Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form

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Kurvensdiskussion - Integralrechnung

School-Scout.de

Barbara Theuer

www.kohlverlag.de

Grundlagen, Stammfunkionen, unbestimmtes und bestimmtes Integral, Bestimmung von Flächeninhalten...

Sekundarstufe II

Erklärungen

Beispiele

Aufgaben

Ausführliche

Lösungen

KurvendiskussionIntegral-Integral-Integral-

rechnung

Seite 2

© Kohl-Verlag, Kerpen 2017. Alle Rechte vorbehalten.

Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt und unterliegen dem deutschen Urheberrecht. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages (§ 52 a Urhg). Weder das Werk als Ganzes noch seine Teile dürfen ohne Einwilligung des Verlages eingescannt, an Dritte weitergeleitet, in ein Netzwerk wie Internet oder Intranet eingestellt oder öffentlich zugänglich gemacht werden. Dies gilt auch bei einer entsprechenden Nutzung in Schulen, Hochschulen, Universitäten, Seminaren und sonstigen Einrichtungen für Lehr- und Unterrichtszwecke. Der Erwerber dieses Werkes in PDF-Format ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den Gebrauch und den Einsatz zur Verwendung im eigenen Unterricht wie folgt zu nutzen:

- Die einzelnen Seiten des Werkes dürfen als Arbeitsblätter oder Folien lediglich in Klassenstärke vervielfältigt werden zur Verwendung im Einsatz des selbst gehaltenen Unterrichts.

- Einzelne Arbeitsblätter dürfen Schülern für Referate zur Verfügung gestellt und im eigenen Unterricht zu Vortragszwecken verwendet werden.

- Während des eigenen Unterrichts gemeinsam mit den Schülern mit verschiedenen Medien, z.B. am Computer, via Beamer oder Tablet das Werk in nicht veränderter PDF-Form zu zeigen bzw. zu erarbeiten.

Jeder weitere kommerzielle Gebrauch oder die Weitergabe an Dritte, auch an andere Lehrpersonen oder pädagogischen Fachkräfte mit eigenem Unterrichts- bzw. Lehrauftrag ist nicht gestattet. Jede Verwertung außerhalb des eigenen Unterrichts und der Grenzen des Urheberrechts bedarf der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Der Kohl-Verlag übernimmt keine Verantwortung für die Inhalte externer Links oder fremder Homepages. Jegliche Haftung für direkte oder indirekte Schäden aus Informationen dieser Quellen wird nicht übernommen.

Kohl-Verlag, Kerpen 2017

KurvendiskussionIntegralrechnung

1. Digitalauflage 2017

© Kohl-Verlag, Kerpen 2017Alle Rechte vorbehalten.

Inhalt: Barbara TheuerUmschlagbild: © Matthias Enter & bonilla1879 - fotolia.com

Cliparts: © clipart.comGrafik & Satz: Kohl-Verlag

Bestell-Nr. P12 011

ISBN: 978-3-96040-718-8

Bildnachweise:AdobeStock-Fotos: Seite 3: meen_na, Georgios Kollidas; Seite 5: Steve Young; Seite 6: hultimus; Seite 7: multik79; Seite 8: Alberto Masnovo, Steve Young; Seite 9: adrian_ilie825, Daniel Fuhr, hypnocreative, Piumadaquila; Seite 10: julien tromeur, multik79, Seite 11: Steve Young, julien tromeur, meen_na; Seite 12: Steve Young, fotomek; Seite 13: Steve Young; Seite 14: mulitk79, Steve Young; Seite 15: ARC, socris79, Annika Gandelheid, Christos Georghiou; Seite 16: wegener17, Steve Young; Seite 17: Steve Young, hultimus, CG; Seite 18: Christos Georghiou; Seite 19: wegener17, Steve Young, koya979; Seite 20: socris79, Winne; Seite 21: Steve Young, julien tuomeur; Seite 22: Steve Young; Seite 23: Piumadaquila, multik79, Christos Georghiou; Seite 24: julien tuo-meur, Steve Young; Seite 26: socris79, Steve Young; Seite 27: julien tuomeur, meen_na; Seite 28: orensila, Winne; Seite 30: 3drenderings; Seite 31: julien tuomeur, fotomek; Seite 32: Steve Young, Piumadaquila; Seite 33: Steve Young; Seite 34: wegener17, Steve Young; Seite 35: Steve Young, koya979, julien tuomeur; Seite 36: Rada Covalenco; Seite 37: Rada Covalenco, jokatoons, fotomek, Steve Young; Seite 38: Steve Young, julien tuomeur; Seite 39: orensila; Seite 40: wegener17; Seite 41: Christos Georghiou; Seite 42: Maksym Yemelyanov, julien tuomeur; Seite 43: Steve Young, julien tuomeur; Seite 44: hultimus, Steve Young; Seite 45: fotomek; Seite 46: Steve Young, hultimus; Seite 47: wegener17, Georgios Kollidas, meen_na, Maksym Yemelyanov; Seite 48: Georgios Kollidas, Steve Young; Seite 49: meen_na, Winne; Seite 50: AltoClassic, Steve Young; Seite 51: Steve Young, Piumadaquila; Seite 52: socris79, Steve Young, Prawny, Piumadaquila; Seite 53: Petair, wegener17; Bildnachweis clipart: Seite 10 unten; Bildnachweise wikimedia: Seite 7: Domenico-Fetti_Archi-medes_1620_gemeinfrei; Seite 7, 9, 10: PascalQuadrature_gemeinfrei; Seite 50: Aufbaukeramik_Wulsttechnik_© Poupou l‘quourouce, Grunling_Vase_© Poupou l‘quourouce; Seite 52: Cone_(h,r)_© Kerisolde; Seite 53: Paraboloid_rotacni_© Pajs

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Vorwort 4

Flächeninhalt eines Polygons 5

Grundlagen der Integralrechnung (Blatt 1 bis Blatt 6) 6 - 11

Hauptsatz uber Flächeninhaltsfunktionen (Blatt 1 bis Blatt 3) 12 - 14

Stammfunktion und unbestimmtes Integral (Blatt 1 und Blatt 2) 15 - 16

Rechenregeln fur unbestimmte Integrale (Blatt 1 und Blatt 2) 17 - 18

Übungen zum Berechnen unbestimmter Integrale 19

Das Anfangswertproblem (Blatt 1 und Blatt 2) 20 - 21

Das bestimmte Integral (Blatt 1 bis Blatt 4) 22 - 25

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Blatt 1 und Blatt 2) 26 - 27

Rechenregeln fur bestimmte Integrale (Blatt 1 und Blatt 2) 28 - 29

Test zu den Grundlagen der Integralrechnung (Blatt 1 und Blatt 2) 30 - 31

Flächen unter Funktionsgraphen (Blatt 1 bis Blatt 4) 32 - 35

Rekonstruktionsaufgaben (Blatt 1 und Blatt 2) 36 - 37

Flächen zwischen Funktionsgraphen (Blatt 1 bis Blatt 6) 38 - 43

Eine Aufgabe – zwei Wege 44

Aufgabenpuzzle (Blatt 1 und Blatt 2) 45 - 46

Ein außergewöhnliches Integral (Blatt 1 bis Blatt 3) 47 - 49

Volumen von Rotationskörpern (Blatt 1 bis Blatt 4) 50 - 53

Die Lösungen 54 - 79

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Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt und unterliegen dem deutschen Urheberrecht. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages (§ 52 a Urhg). Weder das Werk als Ganzes noch seine Teile dürfen ohne Einwilligung des Verlages eingescannt, an Dritte weitergeleitet, in ein Netzwerk wie Internet oder Intranet eingestellt oder öffentlich zugänglich gemacht werden. Dies gilt auch bei einer entsprechenden Nutzung in Schulen, Hochschulen, Universitäten, Seminaren und sonstigen Einrichtungen für Lehr- und Unterrichtszwecke. Der Erwerber dieses Werkes in PDF-Format ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den Gebrauch und den Einsatz zur Verwendung im eigenen Unterricht wie folgt zu nutzen:

- Die einzelnen Seiten des Werkes dürfen als Arbeitsblätter oder Folien lediglich in Klassenstärke vervielfältigt werden zur Verwendung im Einsatz des selbst gehaltenen Unterrichts.

- Einzelne Arbeitsblätter dürfen Schülern für Referate zur Verfügung gestellt und im eigenen Unterricht zu Vortragszwecken verwendet werden.

- Während des eigenen Unterrichts gemeinsam mit den Schülern mit verschiedenen Medien, z.B. am Computer, via Beamer oder Tablet das Werk in nicht veränderter PDF-Form zu zeigen bzw. zu erarbeiten.

Jeder weitere kommerzielle Gebrauch oder die Weitergabe an Dritte, auch an andere Lehrpersonen oder pädagogischen Fachkräfte mit eigenem Unterrichts- bzw. Lehrauftrag ist nicht gestattet. Jede Verwertung außerhalb des eigenen Unterrichts und der Grenzen des Urheberrechts bedarf der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Der Kohl-Verlag übernimmt keine Verantwortung für die Inhalte externer Links oder fremder Homepages. Jegliche Haftung für direkte oder indirekte Schäden aus Informationen dieser Quellen wird nicht übernommen.

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Dieser vierte Band zur Analysis bietet einen Beitrag zur Behandlung der Analy-sis im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe an. Anknupfend an die vorangegangenen Bände bildet dieses Werk den Schwerpunkt Integralrechnung an und ergänzt die Kurvendiskussion im weitesten Sinne mit der Berechnung von Flächen zwischen Funktionsgraphen. Geschichtliche Betrachtungen zur Ent-wicklung und zu den Methoden der Integralrechnung finden sich hier ebenso wie Begriffserklärungen, vielfältige Arbeitsaufträge zum Üben und Festigen im Be-rechnen unbestimmter und bestimmter Integrale, die Anwendung des bestimm-ten Integrals zur Flächen- und Volumenberechnung. Auch Symbole und Formeln werden als Merkstoff zum Erkennen der Zusammenhänge zwischen Integralrech-nung und Differentialrechnung vorgestellt.

Die Aufträge in diesem Heft erschöpfen sich keineswegs auf eine algorithmische Anwendung der Operation des Integrierens und entsprechender Regeln – das erledigen ja inzwischen moderne Taschenrechner fur die Schuler. Vielmehr geht es auf den ersten Seiten darum, das Verständnis fur die Strategie der Flächen-berechnung krummlinig begrenzter Flächen zu fördern, indem die Schuler aufge-fordert werden, die Fläche eines Parabelsegmentes durch die Summen einer zu-nehmenden Zahl von Rechteckflächen – den Streifenflächen – anzunähern. Hier ist der Einsatz von Arbeitsblättern auch fur die Schuler der gymnasialen Oberstu-fe sinnvoll, da entsprechende Graphiken Hilfe und Anregung zum weiteren selbst-ständigen Entwickeln von Formeln fur Ober- und Untersummen zum Einschach-teln der exakten Flächen geben. Auch die Genialität des Grenzwertbegriffs bei der Anwendung fur eine gegen unendlich strebende Anzahl von Streifen soll den Schulern mit entsprechenden Arbeitsaufträgen bewusst gemacht werden.

Zahlreiche Übungen zur Festigung der Integrationsregeln zum Auffinden von Stammfunktionen, Berechnen unbestimmter und bestimmter Integrale – zur Auf-lockerung auch als Multiple Choice-Tests und als Puzzles gestaltet – schließen sich an.

Den Schwerpunkt bildet die Anwendung der Integralrechnung zur Bestimmung des Inhaltes krummlinig begrenzter Flächen. Aufträge zur Erarbeitung des Ver-fahrens sowie Aufgaben zur Festigung der Flächenberechnung sind mittels Abbil-dungen der entsprechenden Funktionsgraphen anschaulich formuliert.

Der Band wird mit Aufgaben zur Volumenberechnung von Rotationskörpern mit-tels Integration abgerundet. Dabei wird der Beschreibung der Profillinien der zu berechnenden Körper durch mathematische Funktionen besondere Aufmerksam-keit gewidmet.

Wir wunschen, dass Ihnen mit den vorliegenden Kopiervorlagen ein anspre-chender Beitrag zur Ergänzung des Mathematikunterrichts sowie eine gute prak-tische Hilfe im Schulalltag in die Hand gegeben wird.

Viel Erfolg bei der Arbeit.

Das Kohl-Verlagsteam und

Vorwort

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Flächeninhalt eines Polygons1Aufgabe 1: Zeichne geeignete Hilfslinien und berechne die abgebildete Fläche A. Notiere deinen Rechenweg.

Rechenweg: __________________________________________________________________

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