ZAVRŠNI RAD

Koso savijanje ravnih štapova (sveučilišni preddiplomski studij)

Mentor : ¸ Studentica: Doc. dr. sc. DIANA ŠIMIĆ MAJA BANIČEK Matični broj : 0082032412

Zagreb, listopad, 2008. g

SADRŽAJ :  

1. SAŽETAK ........................................................................................................................ 1 

2. KOSO SAVIJANJE ............................................................................................................ 3 

Čisto koso savijanje .......................................................................................................... 5 

Položaj neutralne osi ........................................................................................................ 7 

Dimenzioniranje i provjera uvjeta čvrstoće ................................................................... 10 

Provjera uvjeta krutosti ................................................................................................. 13 

          Koso savijanje silama ..................................................................................................... 16 

3. NUMERIČKI PRIMJER ..................................................................................................... 17 

2. ZAKLJUČAK.................................................................................................................... 37 

 

1. SAŽETAK

Kosim savijanjem naziva se takav oblik savijanja pri kojemu se ravnina djelovanja

momenta savijanja ne poklapa ni s jednom od glavnih središnjih osi tromosti poprečnog

presjeka nosača po čemu se koso savijanje razlikuje od običnog savijanja ravnog štapa kod kojeg

se ravnina djelovanja momenta savijanja poklapa sa jednom od glavnih središnjih osi tromosti

poprečnog presjeka.

Ovisno o vrsti opterećenja na poprečni presjek nosača imamo nekoliko slučajeva kosog

savijanja : čisto koso savijanje, poprečno koso savijanje ili koso savijanje silama, ravninsko koso

savijanje i prostorno koso.

Razmotrit ćemo slučaj čistog kosog savijanja kod kojeg u bilo kojem presjeku štapa

ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi težištem poprečnog presjeka i sa glavnom osi

tromosti zatvara kut a.

Ako u svakoj točki presjeka u smjeru noramle nanesemo vektor naprezanja sx , skup

vrhova tih vektora, kao i pri običnom savijanju, tvore ravninu. Presječnica te ravnine s ravninom

poprečnog presjeka jest neutralna os presjeka. Jednadžbu neutralne osi presjeka dobit ćemo

pomoću jednadžbe pravca koji prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava (težište poprečnog

presjeka). Položaj neutralne osi pri čistom kosom savijanju možemo odrediti i pomoću središnje

elipse tromosti poprečnog presjeka. Neutralna os pri čistom kosom savijanju usporedna je sa

tangentom na središnju elipsu tromosti u točki u kojoj elipsa siječe ravninu djelovanja

opterećenja. Normalno naprezanje je pri kosom savijanju razmjerno udaljenosti promatrane

točke od neutralne osi.

Izrazom da maksimalna naprezanja, normalna ili posmična, moraju biti manja ili jednaka

dopuštenim normalnim i posmičnim naprezanjima kontroliramo uvjete čvrstoće poprečnog

presjeka i provodimo dimenzioniranje poprečnog presjeka.

Diferencijalnom jednadžbom elastične linije štapa dobivamo veličinu progiba, koji za

razliku od običnog savijanja kod kojeg je progib u smjeru glane osi tromosti i u ravnini

djelovanja opterećenja, u slučaju kosog savijanja zatvara sa glavnom osi z kut b. Pri kosom

savijanju ukupni progib usmjeren je okomito na neutralnu os, tj. nosač se savija u ravnini

okomitoj na neutralnu os. Ravnina savijanja nosača ne poklapa se s ravninom djelovanja

vanjskog opterećenja.

Koso savijanje primjenjuje se kod krovnih nosača, kad opterćenje nije u smjeru glavnih

osi tromosti. Najpovoljniji poprečni presjek kod tako opterećenih nosača je Z presjek uz

najekonomičniju iskoristivost materijala u odnosu na ostale oblike presjeka.

2. KOSO SAVIJANJE

Promatra se ravni štap izložen djelovanju vanjskog opterećenja, koje leži u jednoj ravnini

– ravnini opterećenja, koja prolazi kroz uzdužnu os štapa. Pod djelovanjem danog opterećenja

uzdužna os štapa se iskrivljuje (mijenja se zakrivljenost štapa). Takav oblik opterećenja i

deformacije štapa naziva se savijanje. Štap izložen savijanju se naziva nosačem.

Ako se ravnina djelovanja momenta savijanja , odnosno ravnina opterećenja ne poklapa

ni s jednom od glavnih središnjih osi tromosti poprečnog presjeka (slika 1.) onda je to slučaj

kosog savijanja. U tom slučaju ravnine savijanja štapa ne podudaraju se s ravninom djelovanja

momenta savijanja.

xy

zF glevne središnjeosi tromosti

uzdužna os nosaca

glavne ravnine

Slika 1.

Ako u poprečnim presjecima djeluje poprečna sila i moment savijanja (slika 2.) onda je to

poprečno koso savijanje ili koso savijanje silama.

xy

z

F2F1

Slika 2.

Čisto koso savijanje (koso savijanje spregovima) je takav slučaj kosog savijanja kad u

poprečnim presjecima štapa djeluje samo moment savijanja (slika 3.).

M

xy

z

Slika 3.

Slučaj kada opterećenje koje savija štap djeluje u jednoj ravnini koja prolazi kroz os

štapa, ali se ne poklapa ni s jednom od glavnih središnjih osi tromosti presjeka naziva se

ravninsko koso savijanje (slika 2.). U tom je slučaju elastična linija štapa ravninska krivulja u

ravnini koja se ne poklapa s ravninom djelovanja opterećenja, što je karakteristično za koso

savijanje.

Ako opterećenje koje savija štap ne leži u jednoj ravnini, smjerovi se djelovanja

rezultntnog momenta savijanja u različitim poprečnim presjecima štapa ne podudaraju. Slučaj se

zove prostorno koso savijanje, a elastična linija štapa je u tom slučaju prostorna krivulja.

xy

z

F3

F1

F2 F3F2

F1

z

y

Slika 4.

2.1. ČISTO KOSO SAVIJANJE

U bilo kojem presjeku štapa ravnina djelovanja momenta savijanja m-m prolazi težištem

poprečnoga presjeka i s glavnom osi tromosti z zatvara kut α (slika 5.).

Pretpostavimo da su y i z glavne središnje osi tromosti presjeka, a xy i xz dvije glavne ravnine. Za

takav poprečni presjek je centrifugalni moment tyz = 0.

Vektor momenta savijanja M okomit je na ravninu m-m i s drugom glavnom osi tromosti

y zatvara kut α . Moment savijanja M možemo rastaviti na komponente:

α= cosMMy α= sinMMz (1)

zy MMM +=

koje predstavljaju momente savijanja oko glavni osi tromosti y i z. Prema tome, čisto koso

savijanje možemo promatrati kao istodobno savijanje štapa u dvjema glavnim ravninama xz i xy.

Moment savijanja My djeluje na vlakna prvog kvadranta u ravnini xz tako da se one produljuju

(istežu) pa u točki A(y,z) poprečnog presjeka moment savijanja My izaziva normalno vlačno

naprezanje:

zIM

y

y1x ⋅=σ (2)

gdje je Iy glavni moment tromosti obzirom na os y.

Moment savijanja Mz djeluje u ravnini xy i u promatranoj točki A(y,z) izaziva normalno

vlačno naprezanje:

yIM

z

z2x ⋅=σ , (3)

Gdje je Iz glavni moment tromosti obzirom na os z.

z

y

m

m

M

Mz

My

n

n

n.o.

K yo

zoz

yA

2

t

t

1

-

+

iz

iy

Slika 5.

Ukupno normalno naprezanje u promatranoj točki A(y,z) poprečnog presjeka zbog

djelovanja momenta savijanja M dobit ćemo superpozicijom :

2x1x σ+σ=σ

yIMz

IM

z

z

y

yx +=σ (4)

Ako izraz (1) uvrstimo u izraz (4) dobit ćemo ukupno normalno naprezanje u točki A :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α+

α⋅=σ y

Isinz

IcosM

zyx (5)

2.2. POLOŽAJ NEUTRALNE OSI

Za razliku od običnog savijanja kod kosog savijanja neutralna os nije okomita na ravninu

djelovanja momenta savijanja.

Iz izraza (5) slijedi da između naprezanja σx i koordinata y i z postoji linearna ovisnost.

Ako u svakoj točki presjeka u smjeru normale nanesemo vektor naprezanja σx, skup svih vrhova

tih vektora, kao i pri običnu savijanju, tvore ravninu. Presječnica te ravnine s ravninom

poprečnog presjeka jest neutralna os presjeka.

Jednadžu neutrelne osi dobit ćemo ako u izraz (5) stavimo da je σx=0 (dijagram

normalnog naprezanja se mijenja linearno (slika 5.), a na neutralnoj osi normalno naprezanje ima

vrijednost nula).

0yI

sinzI

coszy

=α

+α (6)

Jednadžba (6) jest jednadžba pravca koji prolazi ishodištem koordinatnog sustava

(težištem poprečnog presjeka). Iz izraza (6) slijedi :

z

y

II

tgyz

α−=

Označimo li s f kut što ga neutralna os (pravac n-n (slika 5.)) zatvara s osi y,

dobivamo:

2z

2y

z

y

ii

tgII

tgtg α−=α−=ϕ (7)

gdje su iy i iz glavni središnji polumjeri tromosti poprečnog presjeka.

Iz jednadžbe (7) slijedi da u općem slučaju kut |φ| nije jednak kutu a, što znači da

neutralna os n-n nije okomita na ravninu djelovanja rezultantnog momenta savijanja m-m, a to i

čini razliku između kosog i običnog savijanja. Neutralna os može biti okomita na ravninu

djelovanja opterećenja samo kada se ravnina djelovanja opterećenja poklapa s jednom od glavnih

središnih osi tromosti presjeka (tgα = 0 ili tgα = ∞) ili kada je:

, zy II =

jer je u tom slučaju svaka središnja os ujedno i glavna os tromosti presjeka (kružni i kvadratni

presjeci).

Položaj neutralne osi pri čistom kosom savijanju možemo odrediti pomoću središnje

elipse tromosti poprečnog presjeka čija jednadžba glasi:

1iz

iy

2y

2

2z

2

=+

Jednadžba je tangente na elipsu u točki K(y0, z0) u kojoj elipsa siječe ravninu djelovanja

opterećenja ova:

1izz

iyy

2y

02

z

0 =+

i odatle dobivamo:

0

2y

0

02

z

2y

zi

yzy

ii

z +−=

ili:

0

2y

2z

2y

zi

ytgii

z +⋅α−=

Tangens kuta što ga tangenta na elipsu zatvara s osi y jest:

α−=α−=ψ tgII

tgii

tgz

y2

z

2y

Iz usporedbe ovog izraza s izrazom (7) dobivamo da je ψ = φ. Zbog toga je neutralna os

pri čistom kosom savijanju usporedna s tangentom na središnju elipsu tromosti u točki u kojoj

elipsa siječe ravninu djelovanja opterećenja. To znači da su preavci n-n i m-m konjugirani

promjeri središnje elipse tromosti.

Izraz (6) predstavlja implicitni oblik jednadžbe neutralne osi pri kosom savijanju.

Normalni oblik jednadžbe dobit ćemo tako da se jednadžba (6) podjeli s drugim korijenom

zbroja kvadrata koeficijenata:

0

Isin

Icos

yI

sinzI

cos

2z

2

2y

2

zy =α

+α

±

α+

α

Iz analitičke je geometrije poznato da se udaljenost zadane točke od pravca dobije tako

da se u normalni oblik jednadžbe pravca uvrste koordinate zadane točke pa je udaljenost neke

točke A(x, y) poprečnog presjeka od neutralne osi n-n (slika 5.) :

0

Isin

Icos

yI

sinzI

cos

2z

2

2y

2

zy =α

+α

±

α+

α

=ξ

i odatle:

2z

2

2y

2

zy Isin

Icosy

Isinz

Icos α

+α

⋅ξ±=α

+α

Ako dobiveni izraz uvrstimo u izraz (5), dobivamo:

2z

2

2y

2

x Isin

IcosM α

+α

⋅ξ⋅±=σ (8)

Vidimo da je pri kosom savijanju normalno naprezanje razmjerno udaljenosti promatrane

točke od neutralne osi. Normalno naprezanje σx poprima ekstremne vrijednosti u točkama

presjeka, koje su naudaljenije od neutralne osi (točke 1 i 2 na slici 5. ).

Da bismo odredili točke presjeka koje su najudaljenije od neutralne osi potrebno je

odrediti neutralnu os i tangirati presjek tangentama paralelnim s neutralnom osi.

2.3. DIMENZIONIRANJE I PROVJERA UVJETA ČVRSTOĆE

Dimenzioniranje ili provjera postojećih dimenzija obavlje se, u ovom slučaju (slika 6.),

na osnovi izraza (4), uz uvjet da treba odrediti presjek gdje je moment savijanja maksimalan.

Ako dopuštena vlačna i tlačna naprezanja nisu jednaka, imat ćemo dva uvjeta čvrstoće:

dopt2z

z2

y

y)2(xminx

dopv1z

z1

y

y)1(xmaxx

yIMz

IM

yIMz

IM

σ≤⋅+⋅=σ=σ

σ≤⋅+⋅=σ=σ

(9)

dopVσ - dopušteno vlačno naprezanje

dopVσ - dopušteno tlačno naprezanje

Ako je , proračun čvrstoće provodi se prema, po apsolutnoj

vrijednosti, najvećem naprezanju:

dopdoptdopv σ=σ=σ

dopmaxx σ≤σ . (10)

Kod nekih se presjeka određivanje najvećih naprezanja znatno pojednostavljuje jer se

može lako utvrditi u kojim se točkama pojavljuju najveća normalna naprezanja. Kod

pravokutnog presjeka (slika 6.) točke u uglovima presjeka najudaljenije su točke od neutralne osi

i ujedno najudaljenije točke i od glavnih osi tromosti pa je max1 zz = , . max1 yy =

Normalna naprezanja primaju ekstremne vrijednosti u točkama 1 i 2 i određene su

izrazom:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±=σ

z

z

y

y

minmaxx W

MWM

. (11)

Uvjet čvrstoće glasi:

dopz

z

y

y

WM

WM

σ≤+

ili:

( ) dopzyy

zz

yy

y

MMW1M

WW

MW1

σ≤⋅η+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

i odatle:

( )zydop

y MM1W ⋅η+σ

≥

ili:

( α⋅η+ασ

≥ sincosMWdop

y ). (12)

z

y

m

m

1

M

Mz

My

n

n

n.o.

-

+

h

b

++

+- --

-+

2

-+

-

+

Mz/Wz

My/Wy

Slika 6.

Za pravokutni je presjek koeficijent η:

bh

6hb

6bh

WW

2

2

z

y ===η .

Najveća naprezanja u nosačima čiji presjeci imaju dvije osi simetrije određuju se pomoću

izraza (11), a dimenzioniranje pomoću izraza (12). Pri tome je prije toga potrebno izabrati odnos

η=z

y

WW

. Kao vrijednost koeficijenata η u prvoj se aproksimaciji uzima 8,5 – 10 za presjeke I,

odnosno 6 – 8 za presjeke [ .

2.4. PROVJERA UVJETA KRUTOSTI

Diferencijalna jednadžba projekcije elastične linije štapa na glavne ravnine xz i xy bit će:

y

y2

2

EIM

dxwd

−= ; z

z2

2

EIM

dxvd

−= , (13)

Gdje je w – progib u smjeru glavne osi tromosti z, a v – progib u smjeru glavne osi tromosti y.

Ukupni će progib biti:

22 wvf += (14)

Prema grafoanalitičkoj metodi, progib štapa u smjeru glavnih osi tromosti presjeka

određeni su izrazima:

y

y

EIM

w = z

z

EIMv = (15)

Ravnine djelovanja fiktivnih momenata savijanja yM I zM i rezultantnog fiktivnog

momenta savijanja 2

z

2

y MMM += poklapaju se s pripadajućim ravninama djelovanja My, Mz

i M pa imamo:

α⋅= cosMMy ; α⋅= sinMMz

yEI

cosMw α⋅= ;

zEIsinMv α⋅

=

i:

2z

2

2y

222

Isin

Icos

EMwvf α

+α

⋅=+=

z

y

m

m

M

Mz

My

n

n

neutralna os

ravn

ina

opte

rece

nja

f

v

w

ravn

ina sa

vijan

ja

Slika 7.

Označimo li s β kut što ga vektor ukupnog progiba f zatvara s osi z (slika 7. ), bit će:

α=α⋅⋅

⋅α⋅==β tg

II

cosMEIEIsinM

wvtg

z

y

z

y (16)

Iz usporedbe izraza (7) i (16) slijedi da je:

ϕ−=β tgtg ili ϕ−=β

što znači da je pri kosom savijanju ukupni progib usmjeren okomito na neutralnu os n-n, tj.

nosač se savija u ravnini okomitoj na neutralnu os. Ravnina savijanja nosača ne poklapa se s

ravninom djelovanja vanjskog opterećenja.

2.5. KOSO SAVIJANJE SILAMA

z

y Tz

Ty

A

xz

xy

by

bz 0

Slika 8.

U općem slučaju kosog savijanja silama rastavimo sile na komponente koje leže u

glavnim ravninama xy, i xz. U poprečnom presjeku štapa djeluju momenti savijanja My, Mz i

poprečne sile Ty i Tz . Normalna naprezanja u nekom presjeku štapa možemo odrediti pomoću

istih izraza kao i za slučaj čistog kosog savijanja.

Komponente posmičnih naprezanja, paralelne sa glavnim osima tromosti presjeka,

možemo odrediti pomoću izraza:

yy

yzxz bI

ST=τ ;

zz

zyxy bI

ST=τ (17)

gdje su:

by - širina presjeka u visini promatrane točke A, u smjeru usporenom s osi y,

bz - širina presjeka u visini promatrane točke A, u smjeru usporenom s osi z,

Sy i Sz – statički moment površine odrezanog dijela poprešnog presjeka (slika 8. ) s obzirom na

glavne središnje osi tromosti y i z.

Puno posmično naprezanje u promatranoj točki A jest:

xz2

xy2 τ+τ=τ . (18)

U općem slučaju kosog savijanja silama ravnina djelovanja momenta savijanja u

različitim je presjecima različito orjentirana s obzirom na glavne osi tromosti presjeka. Odatle

slijedi da neutralna os štapa biti prostorna krivulja, tj. postojat će prostorno koso savijanje.

U slučaju kosog savijanja silama, dovoljno je kontrolirati uvjete čvrstoće za normalna

naprezanja u opasnome presjeku. Položaj opasnog presjeka pri ravninskome kosom savijanju

možemo naći neposredno iz konfiguracije dijagrama My i Mz , jer momenti savijanja My i Mz

dostižu najveće vrijednosti u istom presjeku, koji je ujedno i opasan presjek.

Pri prostornom kosom savijanju presjeci s najvećim vrijednostima momenata savijanja

My i Mz često se ne podudaraju. U tom slučaju ne možemo izravno odrediti položaj opasnog

presjeka, već proračun treba provesti za nekoliko presjeka koje možemo pretpostaviti opasnim.

3. NUMERIČKI PRIMJER:

Za zadani nosač prikazan na slici treba:

a) odrediti geometrijske karakteristike poprečnog presjeka, nacrtati elipsu tromosti i

odrediti položaj neutralne osi poprečnog presjeka

b) odrediti normalna i posmična naprezanja u karakterističnim presjecima nosača i

nacrtati pripadne dijagrame naprezanja

c) kontrolirati uvjete čvrstoće

d) postaviti diferencijalnu jednadžbu elastične linije nosača i odrediti progib i kut

zaokreta u karakterističnim presjecima nosača

e) kontrolirati uvjete krutosti

MPa140dop =σ , , , MPa90dop =τ MPa102E 5⋅=300

1lf=

9 1 3

220

cm

2

3 1 9

F= 20 kN

FAFB

q = 20 kN

Mmax=30,625 kNm

45 kN

20 kN 20 kN35 kN

x = 1,75 m

l =4,0 m a = 1,0 m

M=20,0 kNmM

T

1

1

2

2

Reakcije u ležajevima:

Uvjeti ravnoteže:

kN35F

00,1F2

0,4q0,4F

0M

kN65F

00,5F0,4F2

0,4q

0M

A

2

A

B

B

B

2

A

=

=⋅+⋅

−⋅

=

=

=⋅+⋅−⋅

=

∑

∑

Maksimalni moment u polju:

kNm625,302

75,12075,1352xqxFM

m75,1x0x2035

0xqF

0TM

22

amax

A

max

=⋅

−⋅=⋅

−⋅=⇒

==⋅−

=⋅−

=⇒

a) geometrijske karakteristike poprečnog presjeka, elipsa tromosti i položaj neutralne

osi poprečnog presjeka

y

z

T

Slika 11.

Površina:

72002)20130()10200( =⋅⋅+⋅=A mm2

Momenti tromosti:

63

23

y 1081,701221010211020130

1220130I ⋅=

⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⋅= mm4

63

23

z 1002,1212

102102110201301213020I ⋅=

⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⋅= mm4

Centrifugalni moment tromosti:

6

yz 1016,17)110()30(201301103020130I ⋅=−⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅= mm4

Glavni momenti tromosti:

( ) ( )

( ) 6

622yz

22zy

zyv,u

10866,23415,41

1016,17402,1281,7021

202,1281,70I4II

21

2II

I

⋅±=

=⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−−±

+=⋅−−±

+=

6

u 10281,,65I ⋅= mm4

6

v 10549,17I ⋅= mm4

Smjer glavnih osi tromosti:

006

6

zy

yz0 138,1558377,0

10)02,1281,70(1016,172

III

2tg −=ϕ⇒−=⋅−

⋅⋅=

−−=ϕ

Kontrola:

⇒+=+ zuzy IIII 6666 10549,1710281,651002,121081,70 ⋅+⋅=⋅+⋅

66 1083,821083,82 ⋅=⋅

00 =

Neutralna os:

00

v

u 66,449882,0)138,15(tg549,17281,65tg

IItg =α⇒=−−=ϕ⋅−=α

y

z

n.o.u

v

1

2

iv

iu

Slika 9.

b) normalna i posmična naprezanja u karakterističnim presjecima nosača i pripadni

dijagrami naprezanja

Pri prelasku iz koordinatnog sustava y,z u koordinatni sustav u,v (slika 13.) koristimo

jednadžbe transformacije.

y

zv

Ay

z vA

uA

f

,

Slika 10.

00A

00A

sinycoszvsinzcosyu

ϕ⋅−ϕ⋅=

ϕ⋅+ϕ⋅=

2611447,0sin9652996,0cos

138,15

0

0

O0

−=ϕ

=ϕ

−=ϕ

y[mm] z[mm] u[mm] v[mm]

1 +35,0 +65,0 +65,0 -106,7

2 -35,0 -65,0 -65,0 +106,7

Karakteristični presjeci nosača su na mjestima maksimalnih momenata 1 i 2.

Normalna naprezanja :

Karakteristični presjek 1-1 (slika 11.) :

( ) MPa946,770,6510549,17

2611447,07,10610281,65

9652996,010625,30

uI

sinvI

cosM

666

1v

01

u

0maxmin1

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅

−+−⋅

⋅⋅⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

ϕ+⋅

ϕ⋅=σ=σ

( ) MPa946,770,6510549,17

2611447,07,10610281,65

9652996,010625,30

uI

sinvI

cosM

666

1v

02

u

0maxmax2

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅⋅

−+⋅

⋅⋅⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

ϕ+⋅

ϕ⋅=σ=σ

y

z

n.o.u

v

1

2

iv

iu

2=+77,94

1=-77,94

SLika 11.

Karakteristični presjek 2-2 (slika 12.) :

( )

MPa90,50

0,6510549,17

2611447,07,10610281,65

9652996,0100,20uI

sinvI

cosM 666

1v

01

u

0max1

+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅

−+−⋅

⋅⋅⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

ϕ+⋅

ϕ⋅=σ

( )

MPa90,50

0,6510549,17

2611447,07,10610281,65

9652996,0100,20uI

sinvI

cosM 666

1v

02

u

0max1

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅⋅

−+⋅

⋅⋅⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

ϕ+⋅

ϕ⋅=σ

y

z

n.o.u

v

1

2

iv

iu

2=-50,90

1=+50,90

Slika 12.

Posmična naprezanja:

y

z

u

v

Slika 13.

y

z

u

v

D

vd

s/2*

sin

T3

T3T3

T3 T3

TV

B

A

vBs/

2*si

n

Slika 14.

kN74,62TcosT

kN97,16TsinT

138,15

zv

zu

o

=⋅ϕ=

=⋅ϕ=

=ϕ

1. dio :

( )

MPa83,10mm/N83,10210281,65

27,225311074,62tIST

mm27,22531

s262,0s98,251s131,099,1302ssin2svtsS

mm99,13013,15sin95138,15cos110sinycoszv

23

3

1u

1uVuv

3

21111

1D111u

ooD

==⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=τ

=

=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ⋅+⋅⋅=

=⋅−⋅=ϕ⋅−ϕ⋅=

2. dio :

( )

MPa42,3mm/N42,3210281,65

65,71121074,62tIST

mm65,7112

s2611,0s08,194s131,004,972ssin2svtsS

mm04,9713,15sin35138,15cos110sinycoszv

23

3

2u

2uVuv

3

22222

2B222u

ooB

==⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=τ

=

=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ⋅+⋅⋅=

=⋅−⋅=ϕ⋅−ϕ⋅=

3. dio :

MPa61,5mm/N61,5210281,65

5,58351074,62tIST

mm5,5835

s483,0s18,106sin2svtsS

mm18,10613,15sin0138,15cos110sinycoszv

23

3

3u

3uVuv

3

233

3C333u

ooC

==⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=τ

=

=⋅−⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ⋅−⋅⋅=

=⋅−⋅=ϕ⋅−ϕ⋅=

y

z

u

v

D

uD

T3

T3T3

T3 T3

TV

B

A

uB

s/2*cos

Tu

s/2*cos

Slika 15.

1. dio

MPa57,1mm/N57,1210549,17125,32561097,16

tIST

mm125,3256

s965,0s95,125sin2sutsS

mm97,6213,15sin110138,15cos95sinzcosyu

23

3

1v

1uVuv

3

211

1D111u

ooD

==⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=τ

=

=⋅−⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ⋅−⋅⋅=

=⋅−⋅=ϕ⋅−ϕ⋅=

2. dio

MPa54,1mm/N54,1210549,17

58,31931097,16tIST

mm58,3193

s965,0s02,125sin2sutsS

mm51,6213,15sin110138,15cos35sinzcosyu

23

3

2v

2uUuv

3

222

2B222u

ooB

==⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=τ

=

=⋅+⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ⋅−⋅⋅=

=⋅−⋅=ϕ⋅−ϕ⋅=

3.dio

MPa06,3mm/N06,3210549,17

3,31601097,16tIST

mm3,3160s73,28utsS

mm73,28sinzv

23

3

3v

3uUuv

33C333u

C

==⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=τ

=⋅=⋅⋅=

=ϕ⋅=

2uv2

1uv2 τ+τ=τ

Za 1. dio:

MPa94,1057,183,10 222uv

21uv

21 =+=τ+τ=τ

Za 2. dio:

MPa75,354,142,3 222uv

21uv

22 =+=τ+τ=τ

Za 3. dio:

MPa39,606,361,5 222uv

21uv

22 =+=τ+τ=τ

c) kontrola uvjeta čvrstoće

Karakteristični presjek 1-1 :

140MPaσ77,946MPaσσ dopmax2 =≤+==

Karakteristični presjek 2-2 :

140MPaσ50,90MPaσσ dopmax1 =≤+==

Kontrola posmičnih naprezanja :

MPa90MPa94,10 dop1 =τ≤=τ

d) elastična linija nosača, progibi i kutevi zaokreta u karakterističnim presjecima

nosača

Grafoanalitički postupak :

F= 20 kN

FAFB

q = 20 kN

Mmax=30,625 kNmx = 1,75 m

l =4,0 m a = 1,0 m

M=20,0 kNmM

T

1

1

2

2

FA FA

FB

FB

TCMC

CBA

a)

b)

c)

Slika 16.

Moment savijanja u polju je:

2xqx35)x(M

2⋅−⋅=

Moment savijanja na prepustu:

11 x20)x(M ⋅−=

Na slici 16b. prikazan je fiktivni nosač s fiktivnim opterećenjem u obliku dijagrama

momenta savijanja zadanog nosača. Fiktivni nosač rastavljamo na dva dijela kao što je prikazano

na slici 16c.

Pri određivanju fiktivnih reakcija ukupno fiktivno opterećenje zamjenjujemo

koncentriranim silama u težištu odgovarajućih površina (slika 16c.) :

23

22

21

kNm10200,121

kNm67,106400,432

kNm40200,421

=⋅⋅=Φ

=⋅⋅=Φ

=⋅⋅=Φ

Iz uvjeta ∑ = 0MA dobivamo :

038400,267,1060,4FB =⋅−⋅+⋅−

2B kNm67,26F =

Progib u karakterističnom presjeku 1-1 :

Moment :

211 kNm02,70M =−

Progib :

cm73,0fff

cm51,0m0051,010306,1cos02,70

IEcosMf

cm52,0m0052,010351,0sin02,70

IEsinMf

2v

2u11

4u

11v

4v

11u

=+=

==⋅

ϕ⋅=

⋅ϕ⋅

=

==⋅

ϕ⋅=

⋅ϕ⋅

=

−

−

−

Presjek C :

3C

2C

kNm0,2032100,167,26M

kNm67,161067,26T

−=⋅+⋅−=

−=+−=

Progib :

cm021,0fff

cm15,0m0015,010306,1

cos20IE

cosMf

cm15,0m0015,010351,0

sin20IEsinMf

2v

2uC

4u

Cv

4v

Cu

=+=

−=−=⋅

ϕ⋅−=

⋅ϕ⋅

=

−=−=⋅

ϕ⋅−=

⋅ϕ⋅

=

Kut zaokreta:

"11,6'00rad0017,0

"46,4'00rad0012,010306,1coc67,16

IEcosT

"46,4'00rad0012,010351,0sin67,16

IEsinT

o2v

2u)C(

o4

u

C)C(v

o4

v

C)C(u

==ϕ+ϕ=ϕ

=−=⋅

ϕ⋅−=

⋅ϕ⋅

=ϕ

=−=⋅

ϕ⋅−=

⋅ϕ⋅

=ϕ

e) kontrola uvjeta krutosti

3001

lf=

Provjera krutosti u presjeku 1-1 :

00333,0300

1lf001825,0

40073,0

==<=

Provjera krutosti u presjeku C :

00333,0300

1lf0005,0

40021,0

==<=

Nosač zadovoljava uvjete krutosti!

ZAKLJUČAK :

U numeričkom dijelu zadatka ravnina vanjskog opterećenja ne poklapa se s jednom od

glavih ravnina poprečnog presjeka pa se stoga radi o kosom savijanju. Kako je centrifuglani

moment tromosti poprečnog presjeka različit od nule glavne osi tromosti u i v su u odnosu na osi

x i y pod kutem f. Zbog toga smo morali koristiti jednadžbe transformacije pri prelasku iz

jednog koordinatnog sustava u drugi koordinatni sustav.

Kritični presjeci nalaze se na mjestima maksimalnih momenata gdje računamo i

maksimalna naprezanja te provjeravamo uvjete čvrstoće. Dijagram normalnih naprezanja je

linearan, a maksimalna naprezanja su na mjestima točaka presjeka koje su najudaljenije od

neutralne osi poprečnog presjeka. Kod posmičnih naprezanja središte posmika se ne poklapa sa

težištem poprečnog presjeka jer je poprečni presjek nesimetričan. Pretpostavili smo da poprečna

sila, koja predstavlja opterećenje, prolazi središtem posmika i projicirali smo je na glavne

središnje osi tromosti. Pri proračunu posmičnih naprezanja zanemarili smo uvijanje poprečnog

presjeka i u obzir uzeli samo savijanje.

Grafoanalitičkim postupkom prikazali smo fiktivni nosač sa fiktivnim opterećenjem u

obliku dijagrama momenata savijanja zadanog nosača i rastavili ga na dva dijela. Pri određivanju

fiktivnih reakcija ukupno fiktivno opterećenje smo zamjenili koncentriranim silama u težištu

odgovarajućih površina. Tim postupkom dobili smo progibe i kuteve zaokreta u kritičnim

presjecima.

Kontrolu uvjeta krutosti proveli smo usporedbom dobivenog progiba sa zadanim

dopuštenim progibom. Dobiveni progib mora biti manji ili jednak zadanom dopuštenom progibu.