Fritz Jzsefn, Knya Ilona,Pataki Gergely s Tasndi TamsMATEMATIKA1.2011.Ismertet Szakmai vezetTartalomjegyzk LektorPlyzati tmogats Technikai szerkesztGondoz CopyrightiiA Matematika 1. elektronikus oktatsi segdanyag a Budapesti Mszaki s Gazda-sgtudomnyi Egyetem Villamosmrnki s Informatika Karn a mrnk-informatikusszakos hallgatk Analzis 1trgyhoz kszlt, de haszonnal forgathatjk ms szakok,karok vagy mszaki fiskolk, egyetemek hallgati is, akik hasonl mlysgben hasonlanyagot tanulnak matematikbl.Az anyag numerikus sorok, sorozatok elmlett, egyvltozs vals fggvnyek hatr-rtkt, folytonossgt, dierencilst s integrlst trgyalja. A dencik, ttelek,bizonytsok mellett kiemelt szerepet kapnak a pldk, s a gyakran elfordul feladat-tpusok megoldsai.A mintegy 260 oldalas elmleti anyagot kiegszti egy tbb, mint 100 oldalas plda-tr, amely tbbsgben megoldott, tematizlt gyakorlfeladatokat tartalmaz. A kt pdfllomnyklcsnsenhivatkozikegymsra. Azeligazodsttartalomjegyzk, valamintazelmleti anyagbantallhattrgymutatsegti. Amegrtstsznesbrkknny-tik, az rdekld olvas pedig a Thomas Calculusilletve a Calculusappletskapcsoldweboldalaira is elltogathat kls hivatkozsokon keresztl. A httrsznezssel tagoltelmleti anyagfekete-fehrvltozataisrendelkezsrell, amelynyomtatsrajavasoltformtum.Kulcsszavak: sor, sorozat, folytonossg, kalkulus, dierencils, integrls.tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, TasndiiiiTmogats:Kszlt a TMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028 szm, a Termszettudomnyos(matematika s zika) kpzs a mszaki s informatikai felsoktatsban cm projektkeretben.Kszlt:A BME TTK Matematikai Intzet gondozsban.Szakmai felels vezet:Ferenczi MiklsLektorlta:Prhle PterAz elektronikus kiadst elksztette:Gyri Sndor1, Fritz gnes, Knya Ilona, Pataki Gergely, Tasndi TamsCmlap grakai terve:Cspny Gergely Lszl, Tth NorbertISBN 978-963-279-445-7Copyright: Fritz gnes (BME), Knya Ilona (BME), Pataki Gergely (BME), TasndiTams (BME)A c _terminusai: Aszerznevnekfeltntetsemellett nemkereskedelmi cllalszabadon msolhat, terjeszthet, megjelenthet s eladhat, de nem mdosthat.1Korbbi vltozatot szerkesztette.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.huivtankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, TasndiTartalomjegyzkTartalomjegyzk 11. Vals szmsorozatok 51.1. Bevezet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1. A vals szmok (R) aximi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. A rendezsi aximkbl levezethet . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3. Nhny fogalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Szmsorozatok s hatrrtk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1. Szmsorozat konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2. Szmsorozat divergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Tovbbi ttelek a hatrrtkrl (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1. A hatrrtk egyrtelmsge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2. A konvergencia szksges felttele. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Hatrrtk s mveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Mveletek konvergens szmsorozatokkal . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2. Nhny jl hasznlhat egyszerbb ttel . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5. Tovbbi ttelek a hatrrtkrl (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6. Nhny plda az elz ttelek alkalmazsra . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7. Monoton sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7.1. Pldk rekurzv sorozatokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8. Egy kitntetett szmsorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8.1. Nhnye -vel kapcsolatos plda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.8.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.9. Tovbbi ttelek a hatrrtkrl (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.10. Sorozat torldsi pontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392. Vals szmsorok 432.1. Numerikus sorok konvergencija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.1. Geometriai (mrtani) sor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.2. Konvergens sorok sszege s konstansszorosa. . . . . . . . . . . . 472.1.3. A konvergencia szksges felttele. . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2. Vltakoz eljel (alternl) sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112 TARTALOMJEGYZK2.2.1. Feladatok a vltakoz eljel sorokhoz . . . . . . . . . . . . . . . 532.3. Sorok abszolt s feltteles konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4. Pozitv tag sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5. Pozitv tag sorok konvergencijval kapcsolatos elgsges kritriumok . 572.5.1. Majorns kritrium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.2. Minorns kritrium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.3. Hnyados kritrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5.4. Gykkritrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.5.5. Integrlkritrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.6. Hibabecsls pozitv tag sorok esetn . . . . . . . . . . . . . . . . 702.6. Mveletek konvergens sorokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.6.1. Vgtelen sorok termszetes szorzata. . . . . . . . . . . . . . . . . 742.6.2. Vgetelen sorok Cauchy-szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6.3. Zrjelek elhelyezse, illetve elhagysa vgtelen sor esetn . . . . . 762.6.4. Vgtelen sor elemeinek felcserlse (trendezse). . . . . . . . . . 772.7. Feladatok sorokhoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.8. Szmsorozatok nagysgrendje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.8.1. Mveletek-val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.8.2. Aszimptotikus egyenlsg (an bn) . . . . . . . . . . . . . . . . . 823. Fggvnyek hatrrtke s folytonossga 883.1. Fggvny hatrrtke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.1. Szksges s elgsges ttel hatrrtk ltezsre. . . . . . . . . . 943.1.2. Vgesben vett hatrrtkek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.1.3. Vgtelenben vett hatrrtkek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.1.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2. Folytonossg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2.1. Szakadsi helyek osztlyozsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.3. Mveletek fggvnyek krben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.4. Racionlis fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.4.1. Polinomok (racionlis egszfggvnyek). . . . . . . . . . . . . . . 1033.4.2. Racionlis trtfggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5. Pldk s feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.6. Egy nevezetes hatrrtk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.7. Folytonos fggvnyek tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.7.1. Intervallumon folytonos fggvnyek tulajdonsgai . . . . . . . . . 1113.7.2. Kompakt halmazon folytonos fggvnyek tulajdonsgai . . . . . . 1133.7.3. Egyenletes folytonossg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154. Fggvnyek dierencilsa 1194.1. Dierencilszmts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.1.1. Dierencil, rint egyenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.1.2. Dierencilsi szablyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, TasndiTARTALOMJEGYZK 34.1.3. Magasabbrend derivltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.1.4. Inverz fggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2. Elemi fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2.1. Hatvnyfggvnyek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2.2. Exponencilis fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.2.3. Logaritmusfggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2.4. Exponencilis hatvnyfggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2.5. Trigonometrikus fggvnyek s inverzeik . . . . . . . . . . . . . . 1384.2.6. Hiperbolikus fggvnyek s inverzeik . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.2.7. Nhny sszetett plda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.3. A dierencilszmts kzprtkttelei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.3.1. Szksges felttel loklis szlsrtk ltezsre . . . . . . . . . . . 1624.3.2. A dierencilszmts kzprtkttelei . . . . . . . . . . . . . . . 1634.3.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.4. LHospital-szably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.5. Nylt intervallumon dierencilhat fggvnyek tulajdonsgai . . . . . . . 1694.6. Dierencilhat fggvnyek loklis tulajdonsgai. . . . . . . . . . . . . . 1744.7. Implicit megads fggvnyek derivlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.8. Egyenes aszimptota -ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.9. Fggvnyvizsglat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.9.1. Folytonos fggvnyek zrt intervallumbeli szlsrtkei . . . . . . 1854.10. Paramteres megads grbk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.10.1. Grbk megadsa skbeli polrkoordintkkal . . . . . . . . . . . 1934.11. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.12. Nhny kidolgozott feladat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005. Fggvnyek integrlsa 2065.1. Primitv fggvny, hatrozatlan integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.1.1. Pldk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.2. Hatrozott integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.2.1. Jellsek, dencik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.3. A Riemann-integrlhatsg szksges s elgsges felttelei . . . . . . . . 2155.4. Elgsges ttelek Riemann-integrlhatsgra . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.5. NewtonLeibniz-ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.6. A Riemann-integrl tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.7. Az integrlszmts kzprtkttele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235.7.1. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.8. Integrlfggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.8.1. Pldk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285.8.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2305.9. Integrls helyettestssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.10. Integrlsi mdszerek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2325.10.1. sin scos szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu4 TARTALOMJEGYZK5.10.2. sin scos pratlan kitevj hatvnyai . . . . . . . . . . . . . . . . 2325.10.3. sin scos pros kitevj hatvnyai . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.10.4. sin scos hatvnyainak szorzata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.10.5. Parcilis integrls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2345.10.6. Racionlis trtfggvnyek integrlsa . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.10.7. Integrls helyettestssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2385.11. Improprius integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.11.1. Dencik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.11.2. f(x) =1ximproprius integrljai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2455.11.3. Az improprius integrlok nhny tulajdonsga . . . . . . . . . . . 2475.11.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.12. Az integrlszmts alkalmazsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2515.12.1. Terlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2515.12.2. Szektorterlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.12.3. Forgstest trfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.12.4. Forgstest felszne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2535.12.5. vhosszsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Trgymutat 255tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1. fejezetVals szmsorozatok1.1. BevezetThom11.1.1. A vals szmok (R) aximiAlgebrai aximkR-ben rtelmezett kt mvelet: + s Ezekamveleteknemvezetnekki azadott halmazbl, R-bl, teht a, bR-re:a + b R s ab R.+ mvelet tulajdonsgai (14.)1. (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c R-re (az sszeads asszociatv).2. Ltezik egyetlen szm (ezt 0-val jelljk), amelyre teljesl, hogy0 + a = a + 0 = a, ha a R.3. Mindena R szmhoz ltezik pontosan egy olyanx R, amelyrex + a = a + x = 0.Az gy rtelmezettx-et(a)-val jelljk. (Neve: additv inverz.)4. a + b = b + a, a, b R-re (az sszeads kommutatv) mvelet tulajdonsgai (58.)5. (ab)c = a(bc), a, b, c R (a szorzs asszociatv)1lsd Thomas 01-es bemutat 1. fejezet (3-10. oldal).56 1. FEJEZET: VALS SZMSOROZATOK6. Ltezik egyetlen szm, amelyet 1-gyel jellnk (1 ,= 0), amelyre teljesl, hogya1 = 1a = a, ha a R7. Mindena ,= 0 -hoz ltezik egyetlenx R, amelyrexa = ax = 1Az gy rtelmezettx-et aza ,= 0 szm reciproknak nevezzk, s1a -val jelljk.8. ab = ba, a, b R (a szorzs kommutatv)A kt mveletre (+ s) -ra egyttesen rvnyes tulajdonsg (9.)9. a(b + c) = ab + ac, a, b, c R (disztributvits)Rendezsi aximk (1013.)10. Tetszlegesa, b R szmprra aza < b, b < a, a = brelcik kzl pontosan egy teljesl (trichotom tulajdonsg).11. Ha a < b sb < c (rviden a < b < c), akkor a < c, ( a, b, c R) (tranzitvits)12. Haa < b , akkora + c < b + c , ( a, b, c R) (a rendezs monoton).13. Haa < bs c > 0, akkorac < bc, ( a, b, c R).Archimdesz-fle axima (14.)14. Tetszlegesb > 0 szmhoz tallhatb-nl nagyobbn termszetes szm.Cantor-fle axima (15.)15. Ha mindenn N szmnak megfeleltetnk egyIn= x: an x bn, x Rhalmazt (rviden[an, bn] zrt intervallumot) oly mdon, hogyan an+1, bn+1 bn, ( n N)akkor

n=1In ,= Vagyis: egymsbaskatulyzottzrt intervallumsorozatelemeinekmetszetenemres. (

n=1In, R)tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1.1. BEVEZET 7M

_Zrtsg fontos! (In=_0,1n esetn

n=1In= )1.1.2. A rendezsi aximkbl levezethetA rendezsre vonatkozan knny beltni, hogy igazak az albbi lltsok (szoks ezeketaz egyenltlensgekkel val szmols szablyai-nak is nevezni):1. Mindena R szmra aza > 0, a = 0, a > 0tulajdonsgok kzl pontosan egy teljesl. (a > 0(a) < 0)2. (a < b) (c < d) = a + c < b + dSpecilisan: (a > 0) (b > 0) = a + b > 03. (0 a < b) (0 c < d) = ac < bdSpecilisan: (a > 0) (b > 0) = ab > 04. (a < b) (c < 0) = ac > bcSpecilisan: a < b = a > b5. 0 < a < b =1a>1ba < b < 0 =1a>1ba < 0 < b =1a 0 :1a>1bab < 0 :1a 0-hoz ( R) N() N, hogy[anA[ < , ha n > N().N() neve: kszbindex, kszbszmM

_A dencival ekvivalens: > 0 -ra az (A , A + ) intervallumon kvl a sorozatnak vges sok eleme van.(Az intervallumon bell pedig vgtelen sok eleme van.)Az albbi pldknl a denci segtsgvel bizonytsuk be, hogy a megadott A a szm-sorozat hatrrtke!Pl.`_A = 0 , ha a) an=1nb) an=(1)nnMegolds. Mindkt esetben:[anA[ =1n< = n >1= N() _1_Pldul = 0, 001esetnN= 1000vlaszts megfelel.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu10 1. FEJEZET: VALS SZMSOROZATOKPl.`_an=6+n5, 1 n , A = 1Megolds.[anA[ =6+n5, 1 n (1)=11, 15, 1 n=..n>511, 1n 5, 1< = n > 5, 1 + 11, 1Ezrt N() _5, 1 +11, 1_.Pl.`_an=n212n5+5n+8 , A = 0Megolds. [anA[ =n212n5+5n+8=n212n5+5n+8< Ezt az egyenltlensget nem tudjuk megoldanin-re. Azonban nem szksges a lehetlegkisebb kszbindex ellltsa. Elegend megmutatnunk, hogy ltezik kszbindex.Ezrt a megoldshoz felhasznlhatjuk az egyenltlensgek tranzitv tulajdonsgt, pl-dul az albbi mdon:[anA[ =n212n5+5n+83_12 .Ezrt N() _3_12 _.Pl.`_an=8n4+3n+202n4n2+5, A = 4Megolds.[anA[ =8n4+3n+202n4n2+54=4n2+3n2n4n2+5==4n2+3n2n4n2+5 P, han > N(P)D_limnan= ,ha M< 0-hoz (M R) N(M) N, hogyan< M, han > N(M)Ez a denci megfogalmazhatM> 0 felttellel is: M> 0-hoz N(M) N : an< M, ha n > N(M)GyPl.`_an= 2n3+3n+5 Bizonytsa be, hogy limnan= !Megolds.an= 2n3+3n+5 > 2n3> P = n >3_P2= N(P) _3_P2_c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu12 1. FEJEZET: VALS SZMSOROZATOKPl.`_an=6 n22+nBizonytsa be, hogy limnan= !Megolds. Teljestend, hogy an=6 n22+n< M(< 0) , ha n > N(M).Ez egyenrtk a kvetkez felttellel:(an=)n262+n> M(>0) , ha n>N(M). A feladatot egyszerstjk, hiszenmost sem a legkisebb kszbindexet keressk:n262+n>..n4 esetnn22>6n2n222n+n=n6> M = n > 6MEzrtN(M) max4, [6M].1.3. Tovbbi ttelek a hatrrtkrl (1)1.3.1. A hatrrtk egyrtelmsgeT_Ha limnan= A s limnan= B, akkor A = B.B_Indirekt mdon bizonytunk3. Teht feltesszk, hogyA ,= B , pldul A < B.Legyen d = B A > 0 s =d3> 0 !B A+d=BA( ) ( )B AA szmsorozat konvergencija miatt ltezikN1() sN2() , hogyA N().Legyen=2! Az ansbnszmsorozatok konvergencija miatt N1 () = N1_2_ N2 () = N2_2_, hogy[anA[ < =2 , n > N1 ()s [bnB[ < =2, n > N2 ()___= Ha n > max N1 () , N2 (),akkor[cnC[ = [(an + bn) (A + B)[ == [(anA) + (bnB)[ [anA[ +[bnB[ N1 ()=[c anc A[ = [c (anA)[ = [c[ [anA[ < [c[ =[c[[c[= n > N1_[c[_= N() M

_A bizonytsnl felhasznltuk, hogy[a b[ = [a[ [b[ .K_(i) (an A) = (an A) (Mostc = 1)tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1.4. HATRRTK S MVELETEK 15(ii) (an A) (bn B) = anbn= an+(bn) A+(B) = AB(T1, T2-bl kvetkezik)T3`_(i) (an 0) (bn 0) = anbn 0(ii) (an A) (bn B) = anbn ABB_(i) N1_2_s N2(2), hogy[an0[ N1_2_= N1[bn0[ < 2 n > N2(2) = N2( = 2 most)___=Han > max N1, N2, akkor [anbn0[ = [an[[bn[ 0-hoz Na () : [anA[ Na (),msrszt [bn[ K.Ekkor[anbn 0[ = [an[ [bn[ [an[ K N(). M

_([an[) konvergencijbl ltalban nem kvetkezik (an) konvergencija.(Pl. an= (1)ndivergens, de [an[ = 1n= 1 1) .tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1.4. HATRRTK S MVELETEK 17Specilisan azonban igaz: [an[ 0 =an 0.Ugyanis[ [an[ 0 [ = [ an[ = [ an0 [ < , ha n > N().T5`_(i) (bn B ,= 0) =1bn1B(ii) (bn B ,= 0) (an A) =anbnABB_(i) Mivel T4 szerint [bn[ [B[ , ezrt N1_[B[2_= N1, hogy[[bn[ [B[[ < [B[2, han > N1azaz[B[ [B[2< [bn[ < [B[ + [B[2, han > N1vagyis[bn[ > [B[2, n > N1.Msrszt > 0 esetn N2_2 [B[2_= N2(), hogy[bnB[ N2().gy han > N() := max N1, N2, akkor:1bn1B=B bnBbn= [B bn[[B[[bn[< [B bn[[B[ [B[2 Na(2)(an 0 miatt Na(2))(ii) A > 0 esete:an A miatt Na(A) = Na() :[anA[ < A = , ha n > Na_A_De ekkoranA =anAan +A=[anA[an +A [anA[A< AA= ,teht N() = Na() M

_an 0, an A =kan kA tetszleges rgztettk N+esetn.Pl.`_an=4n2+ 5n 1 4n2+ n + 3 ( alak)Megolds.an=4n2+ 5n 1 (4n2+ n + 3)4n2+ 5n 1 +4n2+ n + 3==4n 44n2+ 5n 1 +4n2+ n + 3==4n4n2. .=4n2n=21 1n_1 +54n 14n2+_1 +14n+34n2 2 11 + 1= 1c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu20 1. FEJEZET: VALS SZMSOROZATOK1.4.3. Feladatok Gy1. limn_n2+n 13n2+ 8=?2. limn_2n2+ 5n 2n2+ 3_=?3. limn_3n3+ 3n2+ 1 3n3+ 4_=?4. limn42n4+ n32n2+ 83n6+ 5n2+ 3=?5. limn_n4+ 4n2n n4n2n + 1_=?T_(an ) =_1an 0_B_Tudjuk, hogy Na(P) :an> P> 0 , ha n > Na(P).

Teht1P>1an> 0 , ha n > Na(P). P=1vlasztssal kapjuk, hogy0 Na(P).Vagyis1an0< , han > N() = Na(P).(an> 0feltehet, hiszen csak vges sok negatv elem lehet. Ezek elhagyhatk.)Pl.`_(an 0)?=_1an _Megolds. Nem kvetkezik!Pldulan= 2nesetn1an= n2 tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1.4. HATRRTK S MVELETEK 21Vagy pldulan=(1)nn2esetn1an= (1)nn2:= bnb2m , b2m+1 . Teht1an, .De igaz:((an> 0) (an 0)) =_1an _((an< 0) (an 0)) =_1an _Ezt rviden gy fogjuk jellni az indoklsoknl:10++ ,10 T_(an 0) =_1[an[ _B_Tudjuk, hogy Na():[an0[ = [an[ < , ha n > Na().Vagyis1[an[>1= P , ha n > Na() = N(P). Tovbbi hasonl ttelek bizonythatk:Pl.00 (Jelentse: an 0 , bn esetnanbn 0)_stkorltos0 ;_+0 ; + ; (Felhasznlhatak bizonyts nlkl.)Hatrozatlan alakok:00;; 0; ; 1; 0; 00Ilyen esetekben azonos talaktssal prblkozunk, ill. ksbb kapunk egy segdeszkzt(LHospital-szably).c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu22 1. FEJEZET: VALS SZMSOROZATOK1.5. Tovbbi ttelek a hatrrtkrl (2)A limesz monoton:T_(an A,bn B,an< bn, n N+) = (A B, teht limnan limnbn)M1`_Plda A = Besetre:an= 1 1n. .1 = A N1 (ilyenN1) felttel is elg.B_Megmutatjuk, hogyA > Bnem lehet, gy atrichotom tulajdonsg miattA B.( ) ( )B A. .dHaA > Blenne, akkor pl. :=d3=A B3> 0 -hoz a szmsorozatok konvergencijamiatt Na, Nb: n > Na () -ra[anA[ < n > Nb () -ra[bnB[ < _=an> bn, han > maxNa, NbEz pedig a felttel miatt nem lehetsges.Rendrelv:T__an Abn Asan cn bn n N_= (cn A)tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1.5. TOVBBI TTELEK A HATRRTKRL (2) 23M_Attel lltsamostisigazmarad, haa n N felttel helyettagyengbb n > N1 (ilyenN1) felttelt hasznljuk.B_A felttelek miatt:Han > Na() : A < an< A + s A < bn< A + , han > Nb() .N() := maxNa(), Nb().Ha n > N() , akkor az elzek miatt:A 3n5+ 0 n5n3+ 3n3=n22 = anMsik megolds:an=n5n33 +1n3 1n41 +3n3. .cn>n2 2 = anFelhasznltuk, hogycn3 = N0: 2 N0M_Persze belthat lenne, hogy bn , cn C> 0 esetn bncn .Mi azonban ezt nem bizonytottuk be, ezrt nem hasznlhatjuk fel a megoldsnl.Pl.`_an=1n4+ 3cos (n75)?0 ,Megolds.1n4+ 3(1). .0an 1n4+ 31. .0=a rendrelv miattan 0 .Msik megolds: egy nullsorozat s egy korltos sorozat szorzatrl van sz,gy egykorbbi ttel miatt a szorzat is nullsorozat.Pl.`_an=32n4n+ 3n+1 ?Megolds.32n4n+ 3n+1=9n4n..=94n11+3_34_n. .1Teht +hatrrtket vrunk, ezrt a specilis rendrelvet hasznljuk:an>_94_n11 + 31= an .tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1.6. NHNY PLDA AZ ELZ TTELEK ALKALMAZSRA 25Pl.`_an=22n+ (3)n15n+2+ 7n+1?Megolds.22n+ (3)n15n+2+ 7n+1=4n13(3)n255n+ 77n==4n7n..=47n01 13 _34_n25 _57_n+ 7 0 1 00 + 7=0Pl.`_an=n2+ 9n+12 n5+ 32n1 ?Megolds.n2+ 9n+12 n5+ 32n1=n2_19_n+ 92 n5_19_n+139n9n0 + 90 +13= 27Felhasznltuk, hogy limnnkan= 0 , ha[a[ < 1. (Most a =19 .)Pl.`_Keresse meg az albbi sorozatok hatrrtkt!an=1n2+ 1+1n2+ 2+. . . +1n2+ 100bn=1n2+ 1+1n2+ 2+. . . +1n2+ nMegolds. an 0 + 0 +. . .0. .100 darab=0A(bn) sorozatnl mrnemalkalmazhatazelbbi mdszer, mivel azegyestagokugyan nullhoz tartanak, de a tagok szma vgtelenhez tart ( 0 alak). A rendrelvsegtsgvel tudjuk megoldani a feladatot.nn1_1 +1n. .1=n1n2+ n F2 s ekkorI2:= [an2, d1].Stb.n=0In ,= (Cantor-axima), teht l n=0In.Beltjuk, hogy limnan= l.( ) [ ]cm dml l + lIn hossza: dncn K a12n< , ha n > N(). Az elzek miatt0 < l cn dncn< s 0 < dnl dncn< , vagyisl < cn dn< l + , ha n > N().Mivelcm= anms(an) :cm= anm an, ha n > nms an dm(fels korlt) n =l < cm= anm an dm nm= N()Teht valban limnan= l. 1.7.1. Pldk rekurzv sorozatokra GyArekurzvmegadsszmsorozatokkonvergencijasokesetbenvizsglhatazelzelgsges ttel alkalmazsval. Erre mutatunk most nhny pldt.Pl.`_a1=43; an+1=3 + a2n4; n = 1, 2, . . .Konvergens-e a sorozat?Ha igen, mi a hatrrtke?Megolds. a1= 1,33 > a2=3 +_43_24= 1,194 > a3= 1,1067Sejts: (an) , teht an> an+1> 0.Bizonyts: teljes indukcival.tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1.7. MONOTON SOROZATOK 291. a1> a2> a3> 0 teljesl2. Tfh. an1> an> 03. Igaz-e:3 + a2n14= an?> an+1=3 + a2n42. miatt an1> an 34> 0= a2n1> a2n= 3 + a2n1> 3 + a2n=3 + a2n14= an>an+1=3 + a2n4Teht a szmsorozat monoton cskken s alulrl korltos (hiszenan> 0)= (an) konvergens, s fennll:A =limnan=limn3 + a2n14A =3 + A24= A24A + 3 = 0 = A = 1 vagy A = 3.A = 3 nem lehet, mivel an< a1=43 , ezrt annem esik a 3 szm pl. 1 sugarkrnyezetbe. gy A =limnan= 1 .Pl.`_a1= 1; an+1=6 + an; n = 1, 2, . . .Konvergens-e a sorozat?Ha igen, mi a hatrrtke?Megolds. (an) = (1, 2,646, 2,94, . . . )6 + an 0miatt a sorozat elemei pozitvak ((ii)-ben preczen megmutatjuk).(i) Ha a sorozat konvergens lenne, akkor ltezneA =limnan=limn6 + an1=6 + A, vagyis A2A 6 = 0 .Ebbl A = 3vagy A = 2lehetne. an= 6 + an1> 0 miatt A = 2nemlehet. gy csak az A = 3jhet szba.(ii) Sejts: (an) .Bizonyts: teljes indukcival. (Egyidejleg beltjuk, hogy an> 0 .)0 < a1< a2< a3igaz.Tegyk fel, hogy 0 < an1< an.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu30 1. FEJEZET: VALS SZMSOROZATOKIgaz-e, hogy0? 0 miatt)= 0 < 6 + an1 M() , k NesetnM2`_A ttel azt a tnyt fejezi ki, hogy konvergens sorozat elemei egymshoz is tetszle-gesen kzel vannak, ha indexeik elg nagyok. Ezt a ttelt hasznlhatjuk a konvergenciabizonytsra akkor is, ha a hatrrtket nem ismerjk.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu38 1. FEJEZET: VALS SZMSOROZATOKD_Az(an) szmsorozatot Cauchy-sorozatnaknevezzk, ha > 0-hoz M():[aman[ < , han, m > M()A Cauchy-fle konvergencia ttelt megfogalmazhatjuk a kvetkezkppen is:Az (an) szmsorozat akkor s csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat.M_Q-ban a Cauchy-sorozat nem felttlenl konvergens.Pldul (an) = (1, 1,4, 1,41, 1,414, . . . ) 2 / Q.Az(an)Cauchy-sorozat, mert [an+kan[ < 10N= , ha n > N, k Ntetszleges.Nincs olyanQ-beli elem, amelyhez (an) konverglna.Egy fontos pldaPl.`_sn=nk=11k= 1 +12+13+ +1nBizonytsuk be, hogy limnsn= Megolds.sN= 1 +12+13+ +1Ns2N= 1 +12+ +1N+1N+ 1+1N+ 2+ +12NN-et akrmilyen nagyra vlasztjuk:[s2N sN[ =1N+ 1+ +12N> N 12N=12,tehtnemszorthatal, ha 12. Nemteljesl raCauchy-flekonvergenciakritrium = divergens.Mivel(sn) = sn .tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1.10. SOROZAT TORLDSI PONTJAI 391.10. Sorozat torldsi pontjaiD_(Torldsi pont (srsdsi pont, srsdsi rtk):) t R, ill. t = ,vagyt= az(an) torldsi pontja,ha minden krnyezete a sorozat vgtelen sokelemt tartalmazza(Teht ltezik olyan(anr) rszsorozat, amelyt-hez tart.)(+krnyezetei (P, )alakak, ahol P R. krnyezetei (, M)alakak,aholM R.)T_(an) vals szmsorozat akkor s csak akkor konvergens, ha pontosan egy vals szma torldsi pontja.limnan= + akkor s csak akkor, hat = az egyetlen torldsi pont.D_S:= (an) torldsi pontjainak halmaza.T_Ha a torldsi pontok halmaza fellrl korltos, akkor ltezik legnagyobb torldsipont. (B)D_(Limesz szuperior:)limsup anjel=liman:=___legnagyobb torldsi pont, ha a torldsi pontok halmazafellrl korltos, haS= vagyS= , klnbenD_(Limesz inferior:)liminf anjel=liman:=___legkisebb torldsi pont, ha a torldsi pontok halmazaalulrl korltos, haS= vagyS= , klnbenM_Ha limnan= liman=liman= limnanGyPl.`_an= 2(1)nn; liman=? , liman=?c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu40 1. FEJEZET: VALS SZMSOROZATOKMegolds. Ha npros: an= 2n (Rszletezve: n = 2m : a2m= 22m=4m)Ha npratlan: an= 2n=12n0 (n = 2m + 1 : a2m+1= 2(2m+1)=124m 0)gy a sorozat torldsi pontjai: 0 , = liman= , liman=0Pl.`_an=n2+ n2sin_n2_2n2+ 3n + 7Adja meg a szmsorozat torldsi pontjait! liman=? , liman=?Megolds. nrtktl fggen hrom rszsorozat viselkedst kell vizsglnunk.Ha n = 2m: sin_n2_= 0 , ezrt a kapott rszsorozat:an=n22n2+ 3n + 712Ha n = 4m + 1: sin_n2_= 1 , ekkor a rszsorozat:an=2n22n2+ 3n + 71Ha n = 4m1: sin_n2_= 1 , gy a rszsorozat:an= 00Teht a torldsi pontok halmaza: S=_0 ,12 , 1_liman=1 , liman=0Pl.`_an=32n+1+(4)n5+9n+1, bn= an cos nliman=? , liman=? limbn=? , limbn=?Megolds. an=39n+(4)n5+99n=9n9n..=13+_49_n5 _19_n+93 + 00 + 9=13tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi1.10. SOROZAT TORLDSI PONTJAI 41Ezrtlimnan=liman=liman=13Az (an) sorozat konvergens, mert egyetlen vges torldsi pontja van.(bn ) vizsglata : cos n=(1)n.Ezrt, ha npros: bn= an13Ha npratlan: bn= an 13= liman=13, liman= 13, limnan Pl.`_Hatrozza meg az albbi sorozatok limeszt (ha ltezik), valamint limeszszuperiorjt s a limesz inferiorjt!a) an=4n+3n+11+4nb) bn=(4)n+3n+11+4nc) cn=(4)n+3n+11+42nMegolds. a) an=4n+33n1+4n=4n4n..=11+3 _34_n_14_n+11 + 00 + 1= 1= limnan=liman=liman= 1b) bn=(4)n+33n1+4n=(4)n4n. .=(1)n1+3 _34_n_14_n+1. .:=n=(1)nnn1 + 00 + 1=1Ha npros: bn= n1Ha npratlan: bn= n1c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu42 1. FEJEZET: VALS SZMSOROZATOK= limbn=1 , limbn= 1 , limnbn c) cn=(4)n+33n1+16n=(4)n16n. .=(14)n1+3 _34_n_116_n+10 1 + 00 + 1=0= limncn=limcn=limcn=0tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2. fejezetVals szmsorok2.1. Numerikus sorok konvergencijaThom1AppAk=1akvgtelen sszeghez hozzrendelnk egy( sn ) szmsorozatot a kvetkez m-don:k=1ak= a1..s1+a2. .s2+a3. .s3+ + an. .sn+sn:=nk=1ak: n-edik rszletsszegE szmsorozat hatrrtknek segtsgvel deniljuk a sor sszegt az albbiaknak meg-felelen.D_Ak=1ak numerikus sor konvergens s sszege s, ha ltezik alimnsn=limn_nk=1ak_= s R(vges) hatrrtk.1lsd Thomas 11-es bemutat 2. fejezet (21-31. oldal).4344 2. FEJEZET: VALS SZMSOROKA rszletsszegek(sn) sorozatnak viselkedse szerint az albbi esetek lehetsgesek:k=1ak=limnnk=1ak=limnsn=___s R, az sszeg konvergens+,, ,___az sszeg divergens.Pl.`_k=11 =?Megolds.k=11 = 1 + 1 + 1 + 1 + esetn sn=nk=11 = n=limnsn= (Divergens a sor.)Pl.`_k=1(1)k+1=?Megolds.k=1(1)k+1= 1 1 + 1 1 + + (1)k+ divergens, merts2k+1= 1 1s2k= 0 0_= (sn) -nek 2 torldsi pontja van, a sor divergens.Pl.`_k=1_12_k=?Megolds.k=1_12_k=12+_12_2+ +_12_n. .sn+ =limn12_12_n112 1. .sn=12112= 1 ,teht a sor konvergens.Pl.`_k=11k (k + 1)=?tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.1. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIJA 45Megolds.k=11k (k + 1)=limnnk=11k (k + 1)=limnnk=1_1k + 1+1k_==limn__12+ 1_+_13+12_+_14+13_+ +_1n + 1+1n__==limn_1 1n + 1_= 1, konvergens a sor.Pl.`_k=11k(harmonikus sor) divergensMegolds.s2k= 1 +_12_+_13+14_+_15+16+17+18_+ ++_ +12k1_+_12k1+ 1+ +12k_ 1 +12+ 2 14+ 4 18+ + 2k112k= 1 + k 12limks2k= =k=11k= Ugyanissn s2k, han > 2kmiatt limnsn= .M_Ha a sorban vges sok tagot elhagyunk vagy megvltoztatunk, akkor a konvergen-cia tnye nem vltozik, konvergens sorbl konvergens sort, divergens sorbl divergenssort kapunk. A sorsszeg rtke termszetesen megvltozik.2.1.1. Geometriai (mrtani) sorT_Geometriai sor1 + q + q2+=k=1qk1=___11 q , ha [q[ < 1, haq 1divergens , haq 1c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu46 2. FEJEZET: VALS SZMSOROKB_sn=nk=1qk1= 1 + q + q2+ + qn1Ha q= 1 :sn= n, ezrt limnsn= .Ha q ,= 1 :sn=qn1q 1.Mivel qn 0 , ha [q[ < 1 , ezrtlimnsn=1q 1=11 q, ha[q[ < 1.Mivel qn , ha q> 1 = sn , ha q> 1.Ha q= 1 :qn-nek kt torldsi pontja van, mgpedig t1= 1 , t2= 1 .= sn -nek is 2 torldsi pontja van: 0 s 1, teht divergens.Ha q< 1 :qn-nek kt torldsi pontja van, mgpedig t1= , t2= .= sn -nek is 2 torldsi pontja van: s , teht divergens.Pl.`_k=3qk=q3+ q4+ q5+ =q31 q, ha [q[ < 1 .A rszletsszegek a ttelben szerepl rszletsszegek q3-szeresei, gy a hatrrtk (a sorsszege) is q3-nel szorzdik.Pl.`_a + aq + aq2+ =k=0a qk=k=1a qk1=a1 q, ha [q[ < 1Most a rszletsszegek a ttelben szerepl rszletsszegeka -szorosai, gy a hatrrtkis a -szoros lesz._A kpletet gy rdemes megjegyezni, hogy s =els tag1 kvciens._Pl.`_k=3(2)3k32k=?tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.1. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIJA 47Megolds.k=3(2)3k32k=k=3((2)3)k(32)k=k=3(8)k9k=k=3_ 89_k== _89_3+_89_4_89_5=_89_31 _89_(q =89, [q[ < 1)Pl.`_k=12k+ 3k+14k+2=?Megolds.sn=nk=1_2k4k+2+3k+14k+2_=nk=1_116 _12_k+316 _34_k_sn=116_nk=1_12_k+ 3nk=1_34_k_=116_12(12)n112 1+334(34)n134 1_= limnsn=116 _121 12+3 341 34_=58Pl.`_Milyenx-re konvergens ak=0(log2x)ksor?Megolds. q= log2x, [ log2x[ < 1 1 < log2x < 1,21< x < 2, azazx (21, 2) .2.1.2. Konvergens sorok sszege s konstansszorosaT_Hak=1ak= Sask=1bk= Sb, Sa, Sb, c R=k=1(ak + bk) = Sa + Sbsk=1(cak) = cSa .c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu48 2. FEJEZET: VALS SZMSOROKB_Sa=limnsan=limnnk=1akSb=limnsbn=limnnk=1bkSa+b=limnsa+bn=limnnk=1(ak + bk) =limn_nk=1ak+nk=1bk_=limn_nk=1ak_+ limn_nk=1bk_=Sa + SbMsrsztSc a=limnsc an=limnnk=1(c ak) = c limnnk=1ak= c SaEzen ttelek segtsgvel egyszerbben oldhatk meg az elz tpus feladatok.Pl.`_k=2(3)k+222k+1=?Megolds.k=2(3)k+222k+1=(3)221k=2_ 34_k=92_ 34_21 ( 34)_q= 34, [q[ < 1 teljesl._Pl.`_k=23k+2+ (2)k+25k=?Megolds. A sor kt konvergens geometriai sor sszege:k=193k+ (2)2 (2)k5k= 9k=1_35_k+4k=1_ 25_k= 9351 35+4251 _ 25_tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.1. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIJA 49(q1=35, [q1[ < 1 , q2= 25, [q2[ < 1)A konvergencia szksges s elgsges felttele (Cauchy-kritrium):T_Cauchy-ttelk=1akakkor s csak akkor konvergens, ha > 0-hoz M():[an+1 + an+2 + + an+k[ < , han > M() s k N+B_Trivilisan igaz, hiszen a szmsorozatok konvergencijra tanult szksges s elg-sges ttel alkalmazhat. (sn) akkor s csak akkor konvergens, ha > 0 -hoz M() ,hogyn, m > M() esetn[smsn[ < .Legyenm > ns m = n + k ! Mivelsn=a1 + a2 + + an,sm=sn+k=a1 + a2 + + an + an+1 + an+2 + + an+k.Ezrt[smsn[ = [an+1 + an+2 + + an+k[ < ,ha n > M() sk N+tetszleges. Pl.`_Konvergens-e an=1(1)n+11n=1 12+13 14+(alternl harmonikussor)?Megolds. Igen, ugyanis[sn+k sn[ = [an+1 + an+2 + + an+k[ =1n + 1 1n + 2+1n + 3 +(1)k+1n + k=c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu50 2. FEJEZET: VALS SZMSOROK=____1n + 1 1n + 2_. .>0+_1n + 3 1n + 4_. .>0+ +_1n + k 1 1n + k_. .>0==1n + 1 _1n + 2 1n + 3_. .>0 _1n + k_..>0, hak pros_1n + 1 1n + 2_. .>0+_1n + 3 1n + 4_. .>0+ +_1n + k 2 1n + k 1_. .>0+1n + k==1n + 1 _1n + 2 1n + 3_. .>0 _1n + k 1 1n + k_. .>0, hak pratlanVagyis[sn+k sn[ 1 1 = N() _1 1_Ksbbiekben knnyen ellenrizhetjk, hogy ez egy gynevezett Leibniz-sor.2.1.3. A konvergencia szksges feltteleT__k=1akkonvergens_=_limkak= 0_B_A Cauchy-kritriumbl ( k = 1vlasztssal):[sn+1sn[ = [an+1[ < , han > N() = an 0Vagy (egy msik bizonyts)sn= sn1 + an= an= snsn1 s s = 0M_A felttel nem elgsges. Pldul ak=11ksor a felttelt teljesti, mgis diver-gens.tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.2. VLTAKOZ ELJEL (ALTERNL) SOROK 512.2. Vltakoz eljel (alternl) sorokThom2Appc1c2 + c3 + (1)n+1cn + =n=1(1)n+1cn, cn> 0Leibniz-kritrium:T_Ha az alternl sor tagjainak abszolt rtkeibl kpzett sorozat (fent (cn) ) mono-ton fogyan tart 0 -hoz ( jelben cn 0) , akkor a sor konvergens.Az ilyen alternl sor neve: Leibniz-sor.B_Beltjuk, hogy s2k s fellrl korltos:s2k+2= s2k + (c2k+1c2k+2. .0) s2k= s2k Msrszt0 s2k+2..az elzbl lthat= c1(c2c3. .0) (c4c5. .0) (c2k+2. .0) c1Teht s2kmonotonnvsfellrl korltos = s2kkonvergens, legyen s=limks2k.Megmutatjuk, hogy s2k+1 s szintn, s gy a sor konvergens.s2k+1= s2k + c2k+1 s + 0 = sM_Az is megmutathat, hogy az s2k+1rszsorozat monoton cskkenen tart s -hez.0 s2k+1=(c1c2) + (c3c4) ++ (c2k1c2k) + c2k+1==(c1c2) + (c3c4) ++ c2k1. .s2k1(c2k c2k+1). .0s2k12lsd Thomas 11-es bemutat 6. fejezet (49-60. oldal).c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu52 2. FEJEZET: VALS SZMSOROKHibabecsls Leibniz-tpus soroknlTeht aLeibniz-tpus soroknl apros indexrszletsszegek s -nl kisebbekvagyegyenlk:s2k s.A pratlan index elemek monoton cskkenve tartanaks -hez, ezrts s2k+1.Mivels s2k s2k+1s2k= c2k+1s s2k+1s s2k+1s2k+2= c2k+2,ezrt[H[ = [s sn[ cn+1, n N.Pl.`_Konvergens-e an=1(1)n+1132n + 1=n=1(1)n+1cnsor?Megolds. A sor Leibniz-tpus s gy konvergens, mivel cn=132n + 10 .Pl.`_Konvergens-e an=1(1)n+11n2n + 1=n=1an=n=1(1)n+1cnsor?Megolds.1n3nn. .1=1n2n + ncn M(), k N+. .Cauchy-kritrium[ak[-ragyak -raisteljesl aszksgesselgsgesttel (Cauchy-kritrium), tehtkonvergens. Gy3lsd Thomas 11-es bemutat 6. fejezet (49-60. oldal).tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.4. POZITV TAG SOROK 55Ez a ttel azt mutatja, hogy az abszolt konvergencia vizsglata igen hasznos lehet.A[ak[ sor elemei nem negatvak, st pozitvnak tekinthetk, mivel a nulla elemeketnyilvn nem kell gyelembe vennnk.2.4. Pozitv tag sorokT_(i) Egy pozitv tag sor rszletsszegei monoton nvekedek.(ii) Egy pozitv tag sor akkor s csak akkor konvergens, ha rszletsszege-inek sorozata korltos.B_(i) Haan 0, n N, akkorsn+1= sn + an+1 sn n-re.(ii) a) Ha a sor konvergens, akkor(sn) konvergens = (sn) korltosb) Ha(sn) korltos, akkor(sn) miatt(sn) konvergens. M_Pozitv tag sor vagy konvergens, vagy -nel egyenl. Ez nem igaz ltalnossg-ban egy vltakoz eljel sorra, ahol a rszletsszegek sorozatnak lehet tbb torldsipontja_pl.k=0(1)k_.T_ak> 0; ak ak+1felttelek mellettak=1aksor akkor s csak akkor konvergens, hal=1a2l2lis konvergensB_(B)A bizonyts lnyege, hogy az els sor rszletsszegei a msodik sor megfelel rszlet-sszegeivel alulrlsfellrl isbecslhetek. Abecslsigazolshozfontosfeltenni,hogy az (ak) sorozat monoton cskken.(ArszletesbizonytsmegtekinthetWalterRudin: Amatematikaianalzisalapjaicm knyvben.) Pldk a ttel alkalmazsra:Pl.`_n=11nkonvergens, ha > 1 . Egybknt divergens.B_Ha 0: an=1n= n|| ,0A konvergencia szksges felttele nem teljesl = divergens a sor.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu56 2. FEJEZET: VALS SZMSOROKHa > 0: an=1n , gy alkalmazhat az elz ttel:Vagyisn=11nsl=11(2l)2legyidejleg konvergens, illetve divergens.l=11(2l)2l=l=112l12l=l=1_12_ll==l=1_12_(1)l=l=1__12_1_l=l=1qlGeometriai sort kaptunk, mely csak akkor konvergens, ha[q[ =_12_1< 1.Teht a konvergencia csak akkor teljesl, ha 1 > 0, vagyis > 1.Vigyzat! A ttelben szerepl kt sor sszege nem azonos, teht nem tudtuk meg-llaptani a11nsorsszegt, csakakonvergenciatnyttudtukmegllaptani>1 -re. Ilyenkor a megfelel snrszletsszeggel tudjuk kzelteni a sor sszegt azesetleg elrt pontossggal (lsd hibabecslsek, 2.5.6 fejezet).Pl.`_n=n11nlog2ndivergensUgyanis:l=l112l log2 2l2l=l=l11ldivergens.Pl.`_n=n11n(log2n)pp > 1 konvergens, egybknt divergensB_p > 0 esetn alkalmazhat az elz ttel:l=l112l (log2 2l)p2l=l=l11lp0 < p 1 : div.; 1 < p : konv.(p 0 esete HF. Pl. minorns kritriummal megmutathat. (Lsd ksbb.) tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.5. POZITV TAG SOROK KONVERGENCIJVAL KAPCSOLATOS ELGSGES KRITRIUMOK57Pl.`_n=n11nlog2nlog2 log2ndivergensA ttel alkalmazhat.l=l112l (log2 2l)(log2 log2 2l)2l=l=l11llog2lez pedig divergens2.5. Pozitvtagsorokkonvergencijval kapcsolatoselgsges kritriumokThom4majorns kritrium (csak konvergencia eldntsre)minorns kritrium (csak divergencia eldntsre)hnyados kritriumgykkritriumintegrlkritriumEzeketakritriumokatkizrlagpozitvtagsorokraalkalmazhatjuk. gyasz-banforg kritriumok hasznosak lehetnek az abszolt konvergencia eldntsre (amiblkvetkezik az eredeti nem felttlenl pozitv tag sor konvergencija is.)2.5.1. Majorns kritriumAppT_Ha 0 < an cnn-re sn=1cnkonvergens =n=1ankonvergensB_A felttel miatta1 c1...an cnAzonos rtelm egyenltlensgek sszeadhatk, ezrt4lsd Thomas 11-es bemutat 3., 4. s 5. fejezet (32-48. oldal).c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu58 2. FEJEZET: VALS SZMSOROKsan= a1 + + an c1 + + cn= scn.Tovbbn=1cnkonvergencijamiatt scn K = sankorltossmivelpozitvtag a sor =1ankonvergens. 2.5.2. Minorns kritriumAppT_Ha0 dn ann-re sn=1dn divergens =n=1an divergensB_san sdn = san (spec. rendrelv) M_Mindkt esetben elegend, ha a felttel n helyettn N0-ra teljesl.(n=1an sn=N0an egyidejleg konvergens, ill. divergens, hiszen az els szumma rszlet-sszegeic =N01n=1an konstanssal nagyobbak, mint a msodik szumma rszletsszegei.)Pl.`_Konvergens-e an=112n + 1=n=1ansor?Megolds. A harmonikus sorbl vgtelen sok tagot elhagytunk. A minorns kritri-ummal beltjuk, hogy mg ez a sor is divergens. Ugyanisan>12n + n=13n,n=113n=13n=11ndivergens =n=1andivergensPl.`_Konvergens-e an=212n5+ 3=n=1an sor?tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.5. POZITV TAG SOROK KONVERGENCIJVAL KAPCSOLATOS ELGSGES KRITRIUMOK59Megolds.an 1)=n=1ankonvergensPl.`_Konvergens-e an=11n2n5+ 3=n=1an sor?Megolds. A sor divergens, mivel a rendrelvvel megmutathat, hogy limnan= 1 ,teht nem tart nullhoz, gy nem teljesl a konvergencia szksges felttele. Rszletez-ve:1n5(nn)5. .1115= 1=1n2n5+ 3n5an=1n2n5+ 3 32s ezrtan=2n232n3+ 8>2n2n2n3+ 8n3=19n,n=119n=19n=11ndivergens=n=1andivergens.Pl.`_Konvergens-e an=12n+ 3n+122n+3+ 5=n=1an sor?Megolds.an=2n+ 33n84n+ 5 0, n) _an+1an q< 1, n_=n=1ankonvergens.2. (an> 0, n) _an+1an q 1, n_=n=1andivergens.B_1. Mivel an+1 q an q2an1 q3an2 qna1, n, ezrt1an -nek1qn1a1konvergensmajornsa(geometriai sor, 0 0, n) _ limnan+1an= c < 1_=n=1an konv.2. (an> 0, n) _ limnan+1an= c > 1 vagy limnan+1an= _=n=1an div.B_1. Legyen =1 c2, gy q= c + < 1. A hatrrtk tulajdonsga miattan+1an< q< 1 , n > N().Ezrt T1 (1)-bl addik, hogyn=N()ans gy vele egyttn=1anis konvergens.tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.5. POZITV TAG SOROK KONVERGENCIJVAL KAPCSOLATOS ELGSGES KRITRIUMOK632. Legyen =c 12, gy q= c > 1 . Ekkor N() , hogyan+1an> q> 1, n > N().gy T1 (2)-bl addik az llts.T1(2) lltsa c = esetn is igaz. Ugyanis, ha limnan+1an= , akkor is tallhatmegfelel q . (Pl. q= 2is vlaszthat.)M4`_Ha limnan+1an= 1 , akkor nem tudtunk meg semmit a konvergencirl. Lehet asor konvergens s divergens is.Pl._11ndivergens, s a11n2konvergens sorok esetn egyarnt limnan+1an= 1.M5`_A fenti ttel tovbb nomthat. Bebizonythatk az albbi lltsok is:Haan> 0 n, s liman+1an< 1 =1an konvergens.Haan> 0 n, s liman+1an> 1 =1an divergens.(liman+1an 1 a konvergencirl nem mond semmit.)Pl.`_Konvergens-e an=1(n + 2) 3n+1n!sor?Megolds. A feladatot a T1ttellel (hnyadoskritriummal) oldjuk meg.limnan+1an=limn(n + 3) 3n+2n!(n + 1)! (n + 2) 3n+1=limn3 (n + 3)(n + 1) (n + 2)== limn3n1 +3n_1 +1n__1 +2n_=0 0s1.nan q< 1 =Nan konv.2.nan 1 =Nan div.B_1. 0 < an qnsNqnkonvergens =Nan konvergens a majornskritrium miatt.2. an 1 = an , 0 =Nan div. M6`_nan 1 elg, ha vgtelen sokn-re igaz. Nem kell, hogy n > N-re teljesljn.Ekkor mr anr , 0 rszsorozat.Ez a ttel is kimondhat limeszes alakban:tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.5. POZITV TAG SOROK KONVERGENCIJVAL KAPCSOLATOS ELGSGES KRITRIUMOK65T2`_Ha an> 0 s limnnan= c , akkorc < 1 =an konvergens.c > 1 vagyc = =an divergens.B_Hasonl a hnyados kritriumnl ltotthoz. M7`_c = 1 , teht limnnan= 1 esetn nem hasznlhat a gykkritrium. Az albbikt plda igazolja lltsunk helyessgt.Pl._1ndivergens slimnnan=limnn_1n=limn1nn= 1Pl._1n2konvergens slimnnan=limnn_1n2=limn1(nn)2= 1Bebizonythat az albbi llts is:T_Haan> 0, n > N s limnan< 1 =an konv. (B)Haan> 0, n > N s limnan> 1 =an div.M8`_A msodik llts knnyen bizonythat,hiszen limnan>1 -bl kvetkezik adivergencia, mivel vgtelen sokn-re:nan> 1 = an> 1 ; teht anr , 0 rszsorozat.Pl.`_Konvergens-e an=1_2n2+22n2+5_2n3sor?Megolds. A feladatot a T2ttellel (gykkritriummal) oldjuk meg.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu66 2. FEJEZET: VALS SZMSOROKlimnnan= limn_2n2+ 22n2+ 5_2n2= limn_1 +22n2_2n2_1 +52n2_2n2=e2e5=1e3 1) =n=1ankonvergenstankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.5. POZITV TAG SOROK KONVERGENCIJVAL KAPCSOLATOS ELGSGES KRITRIUMOK67A hnyados kritrium, illetve a gykkritrium is hasznlhat lenne.Pl.`_Konvergens-e an=1n47n8n=n=1an sor?Megolds. Ennek a feladatnak a megoldsa mr a majorns kritrummal elg nehz-kes lenne. A hnyados kritrium alkalmazhat, de itt a gykkritrium alkalmazsa alegjobb vlaszts.limnnan= limn(nn)478=78 01. Ha_1f(x) dxkonvergens =k=1akkonvergens2. Ha_1f(x) dxdivergens =k=1akdivergenstankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.5. POZITV TAG SOROK KONVERGENCIJVAL KAPCSOLATOS ELGSGES KRITRIUMOK69M_llts is igaz, teht a sor s az improprius integrl egyidejleg konvergens,illetve divergens.2.1. bra. Az integrl s a rszletsszeg klcsnsen majorlja, minorlja egymst1 na1a2a3anan11 na1a2a3anan11 2 3 na) b)1 2 3 nB_1. Tekintsk a 2.1.a) brt! Mivela2 + a3 + + an n_1f(x) dx. .monoton nv fggvnye n-neklimnn_1f(x) dx =_1f(x) dx R,ak> 0 sn2akkorltos =2akkonvergens =1akkonvergens2. Tekintsk a 2.1.b) brt!n_1f(x) dx a1 + a2 + + an1= sn1Mivel limnn_1f(x) dx = = limnsn1= , teht a sor divergens. c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu70 2. FEJEZET: VALS SZMSOROKA1nsor konvergencijaT_An=11nsor konvergens, ha >1 , minden ms esetben divergens.B_ 0 esete:limn1n= limnn= limnn||0( = 0 esetn1-hez tart, < 0 esetn pedig-hez tart)= a sor divergens, mivel nem teljesl a konvergencia szksges felttele.>0 esete:f(x) :=1x, x 1 : a fggvny monoton cskken s f(n) =1n= an.gy alkalmazhat an=1ansor konvergencijnak vizsglatra az integrlkritrium.Mint bizonytottuk_11xdxkonvergens > 1 -re, ezrt an=11nsor is konvergens,ha >1 . Az improprius integrl divergens 0 < < 1 esetn, gy ekkor a vizsgltsor is divergens. 2.5.6. Hibabecsls pozitv tag sorok esetnIntegrlkritriummalHa a sor konvergencija integrlkritriummal llapthat meg, akkor az ssorsszegsnrszletsszeggel val kzeltsnek hibjt is egy integrllal becslhetjk.T_Ha az integrlkritrium 1. lltsnak felttelei teljeslnek, akkor az s snkzeltsnl elkvetett hiba0 0 = alkalmazhat az integrlkritrium._31101xln xdx=110lim_31xln x. .f/f alakdx=110limln ln x[3==110lim(ln ln ln ln 3) = Az improprius integrl divergensint. kr.= an=31nln n10sor is divergens.b) f(x) :=1x (ln x)2=11/41x (lnx)2, x 3f pozitv rtk monoton cskken fggvny a [3, ) intervallumonf(n) = an> 0 = most is alkalmazhat az integrlkritrium._341x (lnx)2dx=4 lim_31x(ln x)2. .f f2alakdx=4 lim(ln x)113==4 lim_1ln +1ln 3_=4ln 3Az improprius integrl konvergensint. kr.= an=31n (ln n)2sor is konvergens.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu72 2. FEJEZET: VALS SZMSOROKHibaszmts az s s1000kzeltsre:0 0an= (cn)bn= (dn)_=___1. an bn= (cn dn)2.anbn= _cndn_3. an + bn= (cn + dn)Klnbsgre nem igaz!M_Akkor van rtelme hasznlni ezt, hacn sdn sokkal egyszerbbsorozatok.B_0 < 1cn an 2cn, mertan= (cn)0 < 1dn bn 2dn, mertbn= (dn)1. Azonos rtelm egyenltlensgek sszeszorozhatk:(11)cndn anbn (22)cndn= anbn= (cndn)2.0 < 1cn n 2cn0 0an cnbn dn_=___1. an + bn cn + dn2. anbn cndn3.1an1cn4.bnandncnMegint nincs klnbsg!B_an cn:ancn 1 = 0 < 1 N1tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.8. SZMSOROZATOK NAGYSGRENDJE 83bn dn:bndn 1 = 0 < 1 N2Legyenn > maxN1, N2 = N1. 1 =(1 )cn + (1 )dncn + dn 0an bn=nan n_bnB_an bn=anbn 1 = 0 < 1 N()=n1 10)LH= limu+0sin uu1=limu+0sin uu1 1=1= Aha 1 = 1 = = 2, A = 12.Tehtcos1n 1 121n22. megolds:cos x 1= 2 sin2 x2azonossg segtsgvel:cos1n 1An=2 sin212nAn1,haAn= 2_12n_2 A = 12, = 2Feladat:Hatrozza megA s rtkt gy, hogysin1n 1n Anfennlljon!T_an> 0, bn> 0an bn=an sbn egyidejleg konvergens, illetve divergens(Jelben:an bn)B_an bn=anbn 1 = 1 0, c2= 1 + )Haan konvergens, akkor bn 0-ra[an[ c [bn[ n > N-retankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi2.8. SZMSOROZATOK NAGYSGRENDJE 87Ms jells is hasznlatos:an bn, haan= o(bn)(Nagysgrendileg kisebb vagy lnyegesen kisebb.)A denci kvetkezmnye, hogybn ,=0 esetnanbn c, n>N c>0-ra. Ebblpersze mr kvetkezik, hogy ekkor > 0-hoz N0(), hogyanbn< , han > N0().Nyilvnvalan igaz az albbi llts is:T_an= o(bn), bn ,= 0 limnanbn= 0Pl.`_Mit jelentan= o(1)?Megolds. Mivel c > 0-ra [an[ c, han > N, ezrt limnan= 0A kvetkez llts is knnyen bizonythat lenne:M_an bnan= bn(1 + o(1)).Pl.`_Mutassuk meg, hogyn! = o(nn)!Megolds. Be kell ltni, hogy limnn!nn= 01. megolds:0 0 peridussal, haf(x + p)=f(x) (x Df). (Ehhez perszeaz is kell, hogyx Df=x + p Df, azazDf+ p Dfteljesljn.)D_f pros, haf(x) =f(x) (x Df). (Ehhezperszeaziskell, hogyx Df=x Df, azaz Df Dfteljesljn.)D_f pratlan, haf(x) = f(x) (x Df). (Ehhezperszeaziskell, hogyx Df=x Df, azaz Df Dfteljesljn.)Pl.`_Az eljel (signum) fggvny (3.1.a) bra):sg x = sgn x =___1, hax > 00, hax = 01, hax < 0Azeljel fggvnykorltos (pl.: K=1), monotonn, denemszigoran, nemperiodikus, s pratlan.3.1. bra. Az eljel s az abszoltrtk fggvny grakonjaxy11xy11a) b) sgn abs x xc _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu90 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGAPl.`_Az abszoltrtk fggvny (3.1.b) bra):[x[ = abs x =_x, hax 0x, hax < 0Azabszoltrtkfggvnyalulrlkorltos(pl.: K=0), defellrlnem, gynemkorltos. Semmilyen rtelemben nem monoton, nem periodikus, s pros.Pl.`_Az egszrsz fggvny (3.2.a) bra):[x] = maxz Z : z xTeht [x] azx -nl nem nagyobb legnagyobb egsz szm. Pl. [1.9] = 1 , [1.1] = 2 .Az egszrsz fggvny alulrl sem s fellrl sem korltos, gy nem korltos.Monotonn, de nem szigoran, nem periodikus, s se nem pros, se nem pratlan.3.2. bra. Az egszrsz s a trtrsz fggvny grakonjaxy11xy11b) a) {x} [ x]Pl.`_A trtrsz fggvny (3.2.b) bra):x = x [x]Atrtrszfggvnyalulrl korltos(pl.: K=0), sfellrl is(pl.: K=1), gykorltos. Semmilyen rtelemben nem monoton, periodikus (p = 1), s se nem pros, senem pratlan.tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi3.1. FGGVNY HATRRTKE 91Pl.`_Dirichlet fggvny:f(x) =_1, hax Q0, hax/ QADirichletfggvnyalulrlkorltos(pl.: K=0), fellrlkorltos(pl.: K=1),gykorltos. Semmilyenrtelembennemmonoton, mindenpozitv, racionlis p-velperiodikus, gy nincs legkisebb peridusa, s pros.Nhny denci:D_Azx0 R pont aH R halmaz torldsi pontja, hax0 minden krnyezete aHvgtelen sok elemt tartalmazza.Krnyezet fogalma:D_Az x0pont sugar krnyezete:Hax0 R s> 0, akkorKx0,= (x0, x0 + )D_Az x0pont sugar pontozott krnyezete:Kx0,= Kx0, x0 = (x0, x0) (x0, x0 + ).Ha-nak nincs szerepe, akkor a jellsben sem tntetjk fel: Kx0,Kx0.[x x0[ < rx Kx0,r.Vgesben vett vges hatrrtk dencijaAppAppD_Azt mondjuk, hogy limxx0f(x) = A, hax0 torldsi pontjaDf-nek, > 0-hoz () > 0, hogy[f(x) A[ < , ha0 < [x x0[ < (), x Df(Azazf(x) KA,, hax Kx0, Df)c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu92 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGAHhalmazra szortkoz hatrrtk:az elz denciban aDf Df Hhelyettestst elvgezve kapjuk a dencijt.Jobb oldali hatrrtk:H= (x0, )AppJellse: limxx0+0f(x) = limxx0+f(x) = f(x0 + 0)Bal oldali hatrrtk:H= (, x0)Jellse: limxx00f(x) = limxx0f(x) = f(x00)A dencikbl kvetkezen az rtelmezsi tartomny x0 bels pontjbanlimxx0f(x) akkors csak akkor ltezik, ha f(x00), f(x0 + 0) sf(x00) = f(x0 + 0) (vges).T_Cauchy-kritrium (B)limxx0f(x) = A > 0-hoz () > 0 : x1, x2 Kx0,esetn [f(x1) f(x2)[ < .Pl.`_Bizonytsuk be, hogy limx2_x24x + 23x 1_=3Megolds. Be kell ltnunk, hogy > 0 -hoz () > 0:[f(x) 3[ < , ha 0 < [x + 2[ < () ! () =?[f(x) 3[ =x24x + 23x 1 3x=2= [x 2 3x + 1 3[ = [ 2x 4[ == [(2)(x + 2)[ =2 [x + 2[ 0[x 27[9< Innen[x 27[ < 9 , gy () min9, 27(27 azx > 0 megktsbl szrmazik.)tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi3.1. FGGVNY HATRRTKE 93Pl.`_Bizonytsuk be, hogy limx3(x2x + 5) = 11Megolds. [f(x) 11[ < , ha0 < [x 3[ < () () =?[x2x + 5 11[ = [x2x 6[ = [x 3[[x + 2[ 0-hoz N(): [f(xn) A[ < , han > N()Algoritmus: (): [f(x) A[ < , ha0 < [x x0[ < ()() N1(()): [xnx0[ < (), han > N1(())De ekkor [f(xn) A[ < , han > N1(()) = N() := N1(())2. Elgsgessg (Q=P, ezzel ekvivalens P = Q) : xn x0-raf(xn) A.Kvetkezik-e ebbl, hogy > 0-hoz ():[f(x) A[ < , ha0 < [x x0[ < ()?Indirekt mdon bizonytunk.Tfh. > 0, melyhez nincs(). Teht minden rossz. Pl. =1m(m N+) isrossz, teht xm: 0 < [xmx0[ 0-hoz () > 0:[f(x) A[ < , ha___1. 0 < [x x0[ < (x Kx0,)2. 0 < x x0< (x0< x < x0 + )3. < x x0< 0(x0< x < x0)1. limxx0f(x) = +2. limxx0+0f(x) = +3. limxx00f(x) = +___ > 0-hoz () > 0:f(x) > , ha___1. 0 < [x x0[ < (x Kx0,)2. 0 < x x0< (x0< x < x0 + )3. < x x0< 0(x0< x < x0)1. limxx0f(x) = 2. limxx0+0f(x) = 3. limxx00f(x) = ___ > 0-hoz () > 0:f(x) < , ha___1. 0 < [x x0[ < (x Kx0,)2. 0 < x x0< (x0< x < x0 + )3. < x x0< 0(x0< x < x0)Pl.`_limx3+016 2x= Megolds.16 2x< =12x 6> > 0 = 0 < x 3 3 x > 0 = 2(3 x) 0 : [f(x) A[ < , hax > P()limxf(x) = A > 0-hoz P() > 0 : [f(x) A[ < , hax < P()limxf(x) = + > 0-hoz P() > 0 : f(x) > , hax > P()limxf(x) = > 0-hoz P() > 0 : f(x) < , hax > P()limxf(x) = + > 0-hoz P() > 0 : f(x) > , hax < P()limxf(x) = > 0-hoz P() > 0 : f(x) < , hax < P()M_Az tviteli elv mindegyik tpusra kiterjeszthet. A rendrelv is alkalmazhat.Pl.`_limx3x + 32x 1=32Megolds. [f(x) A[ < , hax < P()3x + 32x 1 32=6x + 6 (6x 3)4x 2=9[4x 2[< = [4x 2[ >9x < 0 miatt (4x 2) >9= 4x >9 2 = x < 9 24= P()c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu98 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGAPl.`_f(x) = x limxx Megolds. x(1)n= n (n N) f(x(1)n) = 0 0x(2)n= n +12 (n N) f(x(2)n) =12 12 ,= 0Pl.`_limxxx2+ 1= 0Megolds. A rendrelv segtsgvel:00xx2+ 1 1x2+ 10=xx2+ 1 0, hax .3.1.4. Feladatok1. A megfelel dencival mutassa meg, hogya) limx(3x2+ 1) = b) limxx 32x + 4=12c) limx201(x 2)3= d) limx1(x 1)2= 0e) limx3x21 + x2= 3f) limx4x2+ 3x + 5 = 2. Mutassa meg, hogy az albbi hatrrtkek nem lteznek!a) limx0cos 1xb) limxcos x2tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi3.2. FOLYTONOSSG 99c) limx[sin2x]d) limx2f(x), haf(x) =_x2, hax rac.x2, hax irrac.3.2. FolytonossgThom2AppAppx0: az rtelmezsi tartomny bels pontja ( Kx0 Df)D_ffolytonosx0-ban, ha f(x0) s > 0-hoz () > 0:[f(x) f(x0)[ < , ha [x x0[ < ()Ezzel egyenrtk:ffolytonosx0-ban, ha f(x0), limxx0f(x) s limxx0f(x) = f(x0)_= f( limxx0x)_(Teht a folytonossgi helyeken a hatrtmenet s a fggvnymvelet felcserlhet.)Jobbrl folytonosfx0-ban, ha : f(x0) = f(x0 + 0)Balrl folytonosfx0-ban, ha : f(x0) = f(x00)3.2.1. Szakadsi helyek osztlyozsaAppHa az rtelmezsi tartomny bels pontjbanfnem folytonos, akkor a szakads lehet:1. Elsfaj szakadsa) megszntethetszakads: f(x0 + 0)=f(x0 0)(vges), de ,=f(x0)vagyf(x0)b) vges ugrs: a vgesf(x0 + 0) sf(x00), def(x0 + 0) ,= f(x00)2. Msodfaj szakads (lnyeges szakads): minden ms szakadsi helyc _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu100 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGA3.3. Mveletek fggvnyek krbenThom3Thom4(cf)(x) := cf(x) c R(f+ g)(x) := f(x) + g(x)(fg)(x) := f(x)g(x)_fg_(x) :=f(x)g(x)(g(x) ,= 0)(f g)(x) := f(g(x))Pl.`_f(x) = x2; g(x) = sin x (f g)(x) = sin2x; (g f)(x) = sin x2A hatrrtkekre vonatkoz ttelek:T_Ha limxx0f(x) = A Rs limxx0g(x) = B R , akkor limxx0(cf)(x) = cA (= climxx0f(x)) limxx0(f+ g)(x) = A + B limxx0(fg)(x)_=limxx0f(x)g(x)_= AB limxx0fg(x) =AB, haB ,= 0B_A szmsorozatokra vonatkoz hasonl ttelek alapjn. Pl. az sszegre:A felttelek miatt: xn x0(xn ,= x0, xn Df) sorozatraf(xn) A, g(xn) B= ilyenxn x0-ra: (f+ g)(xn) = f(xn) + g(xn) A + B. Stb. M_A ttelek kiterjeszthetk minden hatrrtk fajtra a szmsorozatokhoz hasonl-an. Ugyanazok a hatrozatlan alakok is.2lsd Thomas 02-es bemutat 6. fejezet (75-94. oldal).3lsd Thomas 01-es bemutat 5. fejezet (70-87. oldal).4lsd Thomas 02-es bemutat 2. fejezet (14-24. oldal).tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi3.3. MVELETEK FGGVNYEK KRBEN 101Pl.`_limx1(x21)2x 1=?Megolds.=limx1(x 1). .0x 1x 1. .1(x + 1)2. .4= 0Pl.`_limx3x25x + 6(x29)2=?Megolds.=limx31x 3x 3x 3x 2(x + 3)2limx3+01x 3. .+x 3x 3. .1x 2(x + 3)2. .3262= +limx301x 3. .x 3x 3. .1x 2(x + 3)2. .3262= Pl.`_limx3x25x + 6(x29)2=?Megolds.= =30+0+Pl.`_limx0x4 + x 2=?Megolds.=limx0x4 + x 24 + x + 24 + x + 2=limx0xx_4 + x + 2_= 4Pl.`_limx8 + x3x2+ 6=?c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu102 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGAMegolds.= limxx3x2..=13x01 +8x1 +2x2. .1= 0Pl.`_limxx2+ 3x + 16 + 3x2=?Megolds.= limxx23x2..=131 +3x+1x21 +2x2. .1=13Pl.`_limx9 2x23x + 6=?Megolds.= limx2x23x. .= 23x1 92x21 +2x. .1= Pl.`_limx(x9+ 6x5+ 2x2+ 3) =?Megolds.= limxx9_1 6x4 2x7 3x9_. .1= Pl.`_limx_x2+ 3x + 8 x2+ 6x_=?Megolds.= limxx2+ 3x + 8 (x2+ 6x)x2+ 3x + 8 +x2+ 6x== limx3xx2..=3x|x|=3xx1 83x_1 +3x+8x2+_1 +6x= (3) 11 + 1= 32tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi3.4. RACIONLIS FGGVNYEK 103A folytonossgra vonatkoz ttelek:Belthatk a kvetkez ttelek:T_Hafsg folytonosx0-ban, akkorcf , f+ g , fg s g(x0) ,= 0esetnfgis folytonos x0 -ban.T_Ha g folytonos x0 -ban s f folytonos g(x0) -ban, akkor f g folytonos x0 -ban.3.4. Racionlis fggvnyek3.4.1. Polinomok (racionlis egszfggvnyek)D_n -edfok polinomnak nevezzk aPn(x) = anxn+an1xn1+ +a1x +a0, ai R (i = 0, 1, . . . , n).fggvnyt.T_x , x2, xn, Pn(x) = anxn++a0mindentt folytonos.B_A folytonossg dencija: > 0-hoz (): [f(x) f(x0)[ < , ha [x x0[ < ()a) f1(x) := x :[f1(x) f1(x0)[ = [x x0[ < =() = b) f2(x) := x2:Az albbi bizonytsnl leszktjk a vizsglatot azx0pont 1sugar krnyezetre.Ez a x0pont r = 2 [x0[ + 1sugar krnyezete.Teht fennll, hogy[x + x0[ = [x (x0)[ < r = 2 [x0[ + 1gy[f2(x) f2(x0)[ =x2x20= [x x0[[x + x0[ < [x x0[ (2 [x0[ + 1) < c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu104 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGA=[x x0[ 1Megolds. Df= R 2, 1x = 2 :Hax < 2: f(x) =1(x + 2)+1x + 2 0 = f(2 0) = 0.Ha 2 < x 1: f(x) =1x + 2+1x + 2=2x + 2= f(2 + 0) = +.gyx = 2 lnyeges (msodfaj) szakads.Hax > 1: f(x) =x2(x + 1) + 4(x 1)(1 x) (1 + x)=1 x1 xx241 + xx = 1 :f(1 + 0) = f(1 0) = 32: x = 1 megszntethet szakads (f(1))x = 1 :f(1 0) = f(1) = 2f(1 + 0) = limx1+01 x1 x(x24. .3)11 + x. .+= Tehtx = 1 msodfaj szakads.Feladatok1. a) limx_x2+ 3 x2+ ax + 1_=? a R, a 0b) limxx_4x4+ ax2+ 2 4x4+ bx2+ 1_=? a, b R2. a) limx0xx=?b) limx2xx=?tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi3.6. EGY NEVEZETES HATRRTK 107c) limx0sinxx=?3. limx2_1x24x + 4+1x 2_=?4. a) limx1+2x + 3 +x + 22x + 3 3x + 4=?b) limx1+32x + 1 + 13x + 4 1=?c) limx1x + 2 x3x + 2 3x=?d) limx164x 2x 4=?e) limx21 6x 11 4x 1=? (Prblkozzonu =12x 1 helyettestssel!)5. Milyen tpus szakadsai vannak azx2x 20[x212x + 35[ (x + 4)fggvnynek?6. Milyen tpus szakadsa vanx = 1 -benf-nek?f(x) =x4+ 2x23x4+ 2x33x28x 47. Hol s milyen tpus szakadsa vanf-nek?f(x) =(x2+ 2x 8) (x + 4)[x2+ 3x 10[ (x2+ 5x + 4)3.6. Egy nevezetes hatrrtkT_Asin(x) s cos(x) fggvnyek mindentt folytonosak. (B)(A kvetkez hatrrtk szmolsa kzben felhasznljuk asin scos fggvnyek folyto-nossgt.)c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu108 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGAT_limx0sin xx= 1ET. .1 ABP___tg x sin xxx0B_Mivelf(x) =sin xxpros, elgf(+0)-val foglalkozni.Legyen0 < x 0.Bizonytand, hogy Kx0,:g(x) > 0 x Kx0,-ra.A := g(x0). A folytonossg miatt:ETx0A = g(x0)A A + cg(x) = f(x) cf(x)[g(x) g(x0)[ = [g(x) A[ < , ha [x x0[ < (). :=A2 _A2_, hogy[g(x) A[ 0 = f(x) = g(x) + c > c +A2> c. 3.7.1. Intervallumon folytonos fggvnyek tulajdonsgaiAppT_Bolzanottel:Ha ffolytonos [a, b]-ben, akkor minden f(a) s f(b) kz es c rtket felvesz [a, b]-ben.B_Csakf(a) c = limnf(bn) cTehtf() c sf() c, ami azt jelenti, hogyf() = c. K1`_Ha f folytonos [a, b]-ben s f(a) f(b) < 0 , vagyis f(a)s f(b)klnbz eljel,akkor az f(x) = 0egyenletnek legalbb egy gyke van(a, b) -ben.Mivel c =0az f(a) s f(b) fggvnyrtkekkzesik, aBolzanottel rtelmben (a, b) , hogy f() = 0 , teht gyke az egyenletnek.K2`_Pratlan fokszm polinomnak legalbb egy vals gyke van.B_Legyenf(x) = a2k+1x2k+1+ a2k x2k+ + a1x + a0, legyena2k+1> 0.= ( limxf(x) = , ezrt : f() > 1)s ( limxf(x) = , ezrt : f() < 1).A polinomok folytonosak mindentt, teht [, ] -ban is s f() f() < 0 .gy az 1. kvetkezmny szerint (, ) : f() = 0. tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi3.7. FOLYTONOS FGGVNYEK TULAJDONSGAI 113M_Megjegyezzk, hogy ha a Bolzano ttel felttelei kzl akr az intervallum korl-tossgt, akr a zrtsgt elhagyjuk, akkor a ttel rvnyt veszti. A 3.4 brn lthatfggvny pldul az (a, b] intervallumon folytonos, f(a) s f(b) ellenttes eljel, mg-semveszi fl afggvnyazrusrtketaz(a, b)intervallumon. (Afggvnyazapontban nemfolytonos.3.4. bra. Aza pontban nem folytonos fggvnyre nem teljesl a Bolzano ttelb a3.7.2. Kompakt halmazon folytonos fggvnyek tulajdonsgaiT_WeierstrassI.tteleHaffolytonos az[a, b] (korltos s zrt) intervallumon, akkor ottfkorltos.B_Indirekt:Tfh. nem korltos pl. fellrl, teht K: f(x) Kteljesljn x [a, b]-re.Ekkor x1: x1 [a, b], f(x1) > 1 x2: x2 [a, b], f(x2) > 2......... xn: xn [a, b], f(xn) > n.........(xn) sorozat korltos ( xn [a, b])B.W. kiv. t.= konv. rszsorozat: (xni) x0.Mivel a xni b mindig fennll, ezrt a limnixni= x0 b. Teht xni x0 [a, b],def(xni) ffolytonosx0-ban, ezrtf(xni) f(x0). T_WeierstrassII.ttele:Haffolytonos[a, b]-ben,akkor ott felveszi az inmumt,ill. szuprmumt,tehtvan minimuma s maximuma. Vagyis , [a, b], hogyc _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu114 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGAf() = supf(x) : x [a, b]_=maxx[a,b]f(x) = max f([a, b])_f() = inff(x) : x [a, b]_=minx[a,b]f(x) = min f([a, b])_B_A := f([a, b]).Weierstrass I. ttele rtelmbenA korltosDedekind= sup A := M; inf A := m.Megmutatjuk, hogy , [a, b] : f() = M, f() = m.Bizonytsf() = M-re: indirekt. (Hasonlan lehetnef() = m-re.)Tfh. [a, b] : f() = M = M f(x) > 0, hax [a, b]=g(x) =1M f(x)folytonos[a, b]-benW. I. t.= g korltos[a, b]-ben, teht K:1M f(x)< K, x [a, b] (K> 0,1M f(x)> 0)M f(x) >1Kf(x) < M 1K. .fels korlt< M (legkisebb fels korlt) M_Weierstrass tteleibl sem a fggvny folytonossga. sem a halmaz kompaktsganem hagyhat el.Tekintsk pldul a 3.5 brn lthat fggvnyt:f(x) =_1x, hax ,= 00, hax = 0.Haf-eta(0, 1] nemzrtintervallumonvizsgljuk, akkorottsenemkorltossenem veszi fel szuprmumt, br folytonos.Ugyangy, ha a [1, +1] intervallumon vizsgljuk, akkor sem korltos, s nem veszifel szuprmumt(sinmumtsem), brmostazintervallumkompakt, def nemfolytonos.Vgl jegyezzkmeg, hogyhaf-etaz[1, )nemkorltos(zrt)intervallumonvizsgljuk, akkor szintn nem veszi fel inmumt.tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi3.7. FOLYTONOS FGGVNYEK TULAJDONSGAI 1153.5. bra. Azf(x) fggvny grakonja113.7.3. Egyenletes folytonossgPl.`_f(x) = x2+ 21. Mutassuk meg, hogy x0 [1, 2]-ben folytonos a fggvny!2. Megadhat-e kzs()?(Ltezik-e infx0[1,2](, x0) > 0 ?)Megolds. 1. [f(x)f(x0)[ = [x2+2(x20+2)[ = [xx0[[x+x0[ < [xx0[(2[x0[+1) < [x x0[ 0-hoz() (A-ban kzs):[f(x1) f(x2)[ < , ha [x1x2[ < ; x1, x2 AM1`_Teht infxA(, x) > 0M2`_AzA halmaz ltalban intervallum szokott lenni.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu116 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGAPl.`_f(x) = x2+ 21. Egyenletesen folytonos-ef az[1, 2] intervallumon?2. Egyenletesen folytonos-ef az(1, 2) intervallumon?3. Egyenletesen folytonos-ef az(1, ) intervallumon?Megolds. 1. Igen. (, 2) megfelel. (Lsd elz plda!)2. Igen. (, 2)megfelel. (Ami azrtintervallumhozmegfelel, azanylthozismindig j.)ltalnossgban is igaz, hogy hafegyenletesen folytonosI-n (nyltvagyzrt), akkor I1 I esetnI1-enisegyenletesenfolytonos. Ugyanazamegfelel.3. fnem egyenletesen folytonos(1, )-en.x(1)n:= n , x(2)n:= n +1n , x(2)nx(1)n=1n 0 ; egymst tetszle-gesen megkzeltik, han-et elegenden nagynak vlasztjuk.Mgisf_x(2)n_f_x(1)n_=_n +1n_2+ 2 (n2+ 2)= 2 +1n2> 2.Teht, ha < 2, nincs kzs.Pl.`_f(x) = x egyenletesen folytonos (, )-en.Megolds.[f(x1) f(x2)[ = [x1x2[ < = () = Pl.`_f(x) = sin x egyenletesen folytonos (, )-en.Megolds. Felhasznljuk, hogysin sin = 2 sin 2cos + 2, , ill. [ sin x[ [x[.[f(x1) f(x2)[ = [sin x1sin x2[ =2 sin x1x22cos x1 + x22 2 sin x1x22 1 2[x1x2[2= [x1x2[ < = () = tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi3.7. FOLYTONOS FGGVNYEK TULAJDONSGAI 117M_Ezzel persze azt is belttuk, hogy sin x mindentt folytonos.smivel cos x =sin_x +2_, gy cos x ismindenttfolytonos, mivel folytonosfggvnyek sszettele.Pl.`_f(x) = tg x egyenletesen folytonos_4, 3_-on.Megolds.[f(x1) f(x2)[ =sin x1cos x1sin x2cos x2=sin (x1x2)cos x1 cos x2 [x1x2[_cos3_2= 4[x1x2[ < = () =4Pl.`_f(x) =1xnem egyenletesen folytonos (0, 1)-en.Megolds. x(1)n:=1n 0, x(2)n:=1n + 1 0 = x(1)nx(2)n 0.Ugyanakkorf(x(1)n) f(x(2)n)= [n (n + 1)[ = 1 ,< , ha < 1Pl.`_f(x) = sin 1xnem egyenletesen folytonos (0, 1)-en.Megolds. x(1)n:=12+ 2n 0, x(2)n:=132+ 2n 0f(x(1)n) f(x(2)n) =sin_2+ 2n_sin_32+ 2n_= [1 (1)[ = 2 ,< , ha 2.T_Heinettele:Haffolytonos az[a, b] zrt intervallumon, akkor ott egyenletesen folytonos. (B)T_Haffolytonos [a, )-ens limxf(x)=A (vges), akkorfegyenletesenfolytonos[a, )-en. (B)c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu118 3. FEJEZET: FGGVNYEK HATRRTKE S FOLYTONOSSGAPl.`_Pn(x) = anxn+ an1xn1+ + a1x + a0. Egyenletesen folytonos-e(1, 10)-en?Megolds. MivelPn folytonos[1, 10]-en = Pn itt egyenletesen folytonos= Pnaz (1, 10) [1, 10]-en is egyenletesen folytonos.Feladatok1. f(x) =x4+ 3x24x2+ x 2a) Hol s milyen tpus szakadsa van azffggvnynek?b) Van-e minimumaf-nek a[1, 0] intervallumon?2. f(x) =x2+ 1x21cos xa) limx0+f(x) =? limx2f(x) =?b) Bizonytsa be, hogyf-nek van gyke _0,2_-ben!3. Legyenffolytonos(, )-en s limxf(x) = 5, limxf(x) = 3.Bizonytsa be, hogyfkorltos(, )-en! Van-e nullahelyef-nek?4. a) Mikor mondjuk, hogy limxf(x) = 5 ?b) Bizonytsa be, hogy haffolytonos a[2, ) intervallumon slimxf(x) = 5, supx(2,)f(x) = 6,akkorfrtkkszletben szerepel a 6.5. Van-e gyke az albbi egyenletnek a(0, )-ben?1x(cos2x + 1) +1x (sin2x + 1) = 06. f(x) = 2x33a) Mutassa meg a hatrrtk dencija alapjn, hogylimx2f(x) = 13 (() =?)b) Egyenletesen folytonos-e azffggvny az(1, 4) intervallumon?c) Egyenletesen folytonos-e azffggvny az(1, ) intervallumon?tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4. fejezetEgyvltozs vals fggvnyekdierencilsa4.1. DierencilszmtsAppAppD_Dierenciahnyados (klnbsgi hnyados):fx=f(x0 + x) f(x0)x=_fggvnyrtk megvltozsafggetlen vltoz megvltozsa= hr irnytangense_x 0 esetn a hrok tmennek az rintbe,ha ltezik limx0f(x0 + x) f(x0)x=dierencilhnyados (derivlt) = az rint irnytangense.D_LegyenKx0, Dff(x0) :=limx0f(x0 + x) f(x0)x=limh0f(x0 + h) f(x0)h=limxx0f(x) f(x0)x x0fderivlhat (dierencilhat)x0-ban,ha a fenti hatrrtk ltezik s vges. Ekkorf(x0) R azffggvnyx0 pontbeli derivltja (dierencilhnyadosa).D_Jobb oldali derivlt: f+(x0)f+(x0) = limh0+0f(x0 + h) f(x0)h= limxx0+0f(x) f(x0)x x0f jobbrl derivlhat (jobbrl dierencilhat) x0-ban, ha a fenti hatrrtk lteziks vges.119120 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSAD_Bal oldali derivlt: f(x0)f(x0) = limh00f(x0 + h) f(x0)h= limxx00f(x) f(x0)x x0f balrl derivlhat (balrl dierencilhat) x0-ban, ha a fenti hatrrtk ltezik svges.M_f(x0) akkor s csak akkor ltezik, ha f+(x0) sf(x0) sf+(x0) = f(x0)D_fderivlhat (dierencilhat) (a, b)-ben, ha fdierencilhat x-ben x (a, b)-re.D_f derivlhat(dierencilhat) [a, b]-ben, hadierencilhat (a, b)-bens mg f+(a), f(b) R.Pl.`_f(x) = x2, f(5) =?f(5) =limh0f(5 + h) f(5)h=limh0(5 + h)252h==limh010h + h2h=limh0(10 + h) = 10.Pl.`_f(x) =1x, f(3) =?f(3) =limh013+h 13h=limh03 (3 + h)3h(3 + h)=limh013(3 + h)= 19.Pl.`_f(x) = x, f(4) =?f(4) =limh04 + h 4h=limh04 + h 4h_4 + h +4_=limh014 + h + 2=14.Pl.`_f(x) = [x[, f(3) =?, f(2) =?, f(0) =?tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.1. DIFFERENCILSZMTS 121f(3) =limh0[3 + h[ [3[hha |h| < 3= limh03 + h 3h= 1;f(2) =limh0[ 2 + h[ [ 2[hha |h| < 2= limh02 h 2h= 1.f+(0) =limh+0[h[ [0[h=limh+0hh= 1f(0) =limh0[h[ [0[h=limh0hh= 1___=f(0)Az f(x) = [x[ fggvny folytonos az origban, de nem derivlhat; ilyenkor azt mondjuk,hogy az origban a fggvnynek trsevan.Pl.`_f(x) = x[x[, f(0) =?f(0) =limh0h[h[ 0h=limh0[h[ = 0Pl.`_f(x) =4x + 5, f(1) =?f(1) =limh0_4(1 + h) + 5 41 + 5h=limh09 + 4h 9h9 + 4h +99 + 4h +9==limh09 + 4h 9h_9 + 4h + 3_=limh049 + 4h + 3=46=23.T_Szksgesselgsgesttelderivlhatsgra:fakkor s csak akkor dierencilhatx0-ban, haKx0, Df, [h[ < -ra:f= f(x0 + h) f(x0) = Ah + (h)h,ahol A csakx0-tl fgghet,h-tl nem, slimh0(h) = 0. (IttA = f(x0).)B_1. Szksgessg: limh0f(x0 + h) f(x0)h= f(x0) =f(x0 + h) f(x0)h= f(x0) + ,ahol 0, hah 0. = (f=) f(x0 + h) f(x0) = f(x0)h + h.2. Elgsgessg:f(x0 + h) f(x0) = Ah + (h)h teljesl. Innenf(x0 + h) f(x0)h= A + (h) = limh0f(x0 + h) f(x0)h= A (= f(x0))c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu122 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSAT_Hafdierencilhatx0-ban, akkor ott folytonos.M_Teht a folytonossg szksges felttele a dierencilhatsgnak, de nem elgsges.Lsd [x[.B_A szksges s elgsges ttel alapjn:f(x0 + h) = f(x0) + Ah + (h)hMindkt oldalon hatrrtket vesznk. limh0f(x0 + h)=f(x0)-ra jutunk, vagyis a ha-trrtk egyenl a helyettestsi rtkkel, teht folytonos.Pl.`_f(x) = x2f(x) =?f= f(x + h) f(x) = (x + h)2x2= 2xh + hh = Ah + hA = f(x) = 2x (fggetlenh-tl), limh0(h) =limh0h = 04.1.1. Dierencil, rint egyenesHafdierencilhatx0-ban:f= f(x0 + h) f(x0) = f(x0)h..frsz+ (h)h. .elenysz rszD_Az f fggvny (elsrend) dierencilja az x0 pontban h megvltozs mellett:df= df(x0, h) := f(x0)hM_df(x0, h): afggvnyx0-beli rintegyenesnafggvnyrtkmegvltozsahlpsre. (4.1 bra)Egyb jellsek:df(x0, x) = f(x0)x; df= f(x)x = f(x)dxPl.`_f(x) = x3: df= 3x2x , teht dx3= 3x2xPl.`_f(x) = x: df= 1x , teht dx = x. Ez indokolja a dierencil legutolsjellst.tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.1. DIFFERENCILSZMTS 1234.1. bra. Egyfggvnyf megvltozsavalamint df elsrenddierenciljaaz x0pontban, ax megvltozs mellettx0x0+xxfdff(x)Alkalmazsa:f df :f(x0 + h. .:=x) f(x0) + df(x0, h) = f(x0) + f(x0)hf(x) f(x0) + f(x0)(x x0) : azx0 pontbeli rint egyenes egyenlete.4.1.2. Dierencilsi szablyokApp1App2App3App4T_Ha fs g dierencilhat x-ben, akkor itt f +g,cf(c R), fg is dierencilhatvalamintg(x) ,= 0 esetn1gsfgis dierencilhat, s1. (f(x) + g(x))= f(x) + g(x)2. (cf(x))= cf(x)3. (f(x)g(x))= f(x)g(x) + f(x)g(x)1konstansszoros derivltja2sszeg derivltja3szorzat derivltja4sszetett fggvny derivltjac _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu124 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSA4._1g(x)_= g(x)g2(x)5._f(x)g(x)_=f(x)g(x) f(x)g(x)g2(x)B_1. (f(x) + g(x))= f(x) + g(x)z(x) := f(x) + g(x)z(x) =limh0z(x + h) z(x)h=limh0(f(x + h) + g(x + h)) (f(x) + g(x))h==limh0_f(x + h) f(x)h+g(x + h) g(x)h_= f(x) + g(x)2. (cf(x))= cf(x)(cf(x))=limh0cf(x + h) cf(x)h= c limh0f(x + h) f(x)h= cf(x)3. (f(x)g(x))= f(x)g(x) + f(x)g(x)limh0(fg)(x + h) (fg)(x)h=limh0f(x + h)g(x + h) f(x)g(x)h==limh0f(x + h)g(x + h) f(x)g(x + h) + f(x)g(x + h) f(x)g(x)h==limh0_f(x + h)g(x + h) f(x)g(x + h)h+f(x)g(x + h) f(x)g(x)h_==limh0_f(x + h) f(x)hf(x)g(x + h)g(x)+f(x)f(x)g(x + h) g(x)hg(x)_limh0g(x + h) = g(x) (hatrrtk = helyettestsi rtk) oka:g derivlhatx-ben = g folytonosx-ben4._1g(x)_= g(x)g2(x)limh01h_1g(x + h) 1g(x)_=limh0g(x) g(x + h)hg(x + h)g(x)=tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.1. DIFFERENCILSZMTS 125=limh01g(x + h)g(x)g(x)g(x)g(x + h) g(x)h. .g(x)= g(x)g2(x)limh0g(x + h) = g(x): g folytonossga miatt(g(x) ,= 0 s g folytonos x-ben (mivel derivlhat) = Kx: g(x) ,= 0 (lsda Bolzano ttel eltti segdttelt). Teht elegenden kish-rag(x + h) ,= 0.)5._f(x)g(x)_=f(x)g(x) f(x)g(x)g2(x)Ez mr kvetkezik az elz kt pontbl:_f(x)g(x)_=_f(x) 1g(x)_= f(x)1g(x)+ f(x)_1g(x)_== f(x)1g(x)+ f(x)g(x)g2(x)=f(x)g(x) f(x)g(x)g2(x) Lncszably: sszetett fggvny derivlsaT2`_HafdierencilhatKx,1-bensgdierencilhatKf(x),2-ben,akkorg fisdierencilhatx-ben s((g f)(x))= (g(f(x)))= g(f(x))f(x) (B)T3`_HaffolytonosKx0,-ban, x Kx0, x0(teht x Kx0,)esetn f(x)s limxx0f(x) = c , akkorfdierencilhatx0-ban s f(x0) = c. (B)Pl.`_f(x) = (2x2+ 3)x2+ 5f(x) = (2x2+3)x2+ 5 +(2x2+3)_x2+ 5_= 4xx2+ 5 +(2x2+3)12x2+ 5 2xPl.`_f(x) =x7+ x2+ 5x4+ 2x2+ 1f(x) =(x7+ x2+ 5)x4+ 2x2+ 1 (x7+ x2+ 5)_x4+ 2x2+ 1__x4+ 2x2+ 1_2=c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu126 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSA=(7x6+ 2x)x4+ 2x2+ 1 (x7+ x2+ 5)12x4+ 2x2+ 1 (4x3+ 4x)x4+ 2x2+ 1Gy4.1.3. Magasabbrend derivltakAppApp Haaz f(x) fggvnydierencilhataz x0pont egykrnyezetben, akkor az f(x)derivlt fggvnyx0-beli dierencilhnyadosa adja meg azf(x) fggvnyx0pontbanvettf(x0) msodik derivltjt, azazf(x0) = (f)(x0) =limh0f(x0 + h) f(x0)h.A msodik derivlt egy adottx0 pontban val ltezshez teht szksges, hogy az elsderivlt fggvny azx0 pont egy kis krnyezetben ltezzk.Azf(x) fggvny ismtelt derivlsval kapjuk a fggvny tovbbi, harmadik, ne-gyedik, stb. derivltjt. Amagasabbrendderivltakatzrjelbetettarabszmmal,esetleg rmai szmmal, vagy a dierenciahnyadosra utal formlis trttel jelljk:msodrend derivlt: f(x0) = f(2)(x0) = fII(x0) =d2f(x0)dx2harmadrend derivlt: f(x0) = f(3)(x0) = fIII(x0) =d3f(x0)dx3......tdrend derivlt: f(5)(x0) = fV(x0) =d5f(x0)dx5......n-edrend derivlt: f(n)(x0) =dnf(x0)dxn.Fizikban id szerinti derivltat, illetve matematikban paramter szerinti derivltatszoks vessz helyett a fggvny fl tett ponttal is jellni. Ha pldul az x(t) fggvnyegy egyenesvonal mozgs helyid fggvnye, akkor az x(t) = x(t) derivlt fggvny amozgs sebessgid fggvnye, s azx(t) = x(t) msodik derivlt pedig a gyorsulsid fggvny.Pl.`_A kvetkez fggvny mindentt derivlhat, de msodik derivltja az origbannem ltezik.f(x) =___x2sin 1x, hax ,= 00, hax = 0f(x) =? limx0f(x) =? f(x) =?tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.1. DIFFERENCILSZMTS 127Hax ,= 0, alkalmazhatjuk a derivlsi szablyokat:f(x) = 2x sin 1x+ x2cos 1x 1x2= 2x sin 1x cos 1x.Hax = 0, a dencival dolgozunk:f(0) =limh0f(h) f(0)h=limh0h..0sin 1h. .korltos= 0Azf(x) s azf(x) fggvny grakonjt a 4.2. bra mutatja.4.2. bra. Egy mindentt derivlhat fggvny, melynek derivltja az origban szakad-0.05-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-0.2 -0.100.10.2a) A fggvnyf(x)-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-0.2 -0.100.10.2b) A derivltjaf'(x)Lthat, hogyf(x)-nek (msodfaj) szakadsa van az origban, teht f(0). Hax ,= 0,f(x) a derivlsi szablyok ismtelt alkalmazsval egyszeren kiszmolhat.rdekessgkppen megemltjk a kvetkez ttelt:T_Intervallumon rtelmezett derivltfggvnynek csak msodfaj szakadsa lehet.A ttelt nem bizonytjuk.4.1.4. Inverz fggvnyAppc _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu128 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSAD_Az f fggvny invertlhat rtelmezsi tartomnynak egyI Dfrszhalmazn,ha brmely kt x1, x2 I szm esetn az f(x1) = f(x2) egyenlsg teljeslse magautn vonja, hogyx1= x2 , teht ha az f fggvny az I halmazon injektv (klcsnsenegyrtelm vagy 1-1 rtelm). Ekkor brmelyy Rfszm esetn legfeljebb egyetlenolyanx I szm ltezik, melyref(x) = y . Ezesetben azt mondjuk, hogy x az y szmf-inverze ltali kpe; x = f1(y) .Azinverzfggvnyjellsesszekeverhetamnuszelshatvnnyal, ezrtezutbbitinkbb1/f-el jelljk. A szmunkra fontos esetekbenI Dfintervallum.Az inverz fggvny rtelmezsi tartomnya, rtkkszlete:Df1= f(I) =_y Rfx I: f(x) = y_, Rf1= I Df.A dencibl azonnal kvetkezik, hogyx I: f1_f(x)_= (f1 f)(x) = x, sy f(I) : f_f1(y)_= (f f1)(y) = y.Igaz tovbb, hogy (f1)1= f[I, teht egy fggvny inverznek inverze megegyezik azeredeti fggvny megszortsval arra a halmazra, amelyen az inverzet kpeztk.T_Hafszigoran monoton azI Dfhalmazon, akkor itt invertlhat.B_Havalamelyy Rfesetnlteznex1, x2 I, melyref(x1) =f(x2) =y, sx1 ,= x2, akkor ellentmondsba kerlnnk a szigor monotonitssal. Igaz tovbb, hogy f1pontosan akkor szigoran monoton nv, ill. cskken, ha fszigoran monoton nv, ill. cskkenI-n.Pl.`_Azf(x) =x2fggvnyneminvertlhatateljesRhalmazon, hiszenf(x) =f(x). Azonbanfszigoran monoton azI= [0, ) intervallumon, teht itt invertl-hat, sf1(x) = x.A kvetkez ttel geometriai kapcsolatot teremtfsf1grakonja kztt.T_Ha az ffggvny invertlhat, akkor f1inverznek grakonja az eredeti fggvnygrakonjnak azy= x egyenesre val tkrzsvel kaphat meg. (4.3. bra)B_HaaP(x0, y0) pont az f fggvnygrakonjnvan, akkor y0=f(x0), s gyx0=f1(y0), teht aP(y0, x0) pont azf1inverz fggvny grakonjn helyezkedikel. PsP egyms tkrkpei azy= x egyenesre nzve, ezzel az lltst belttuk. tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.1. DIFFERENCILSZMTS 1294.3. bra. Az inverz fggvny grakonja az eredeti grakonnak azy= x egyenesre valtkrkpex0y0x0y0PP'f(x)f-1(x)y=xInverz fggvny derivlsaT_Legyen fszigoran monotonI-ben = invertlhatfdierencilhatI-ben = ffolytonosI-bens f(x) ,= 0 I -ben.A felttelek miatt belthat, hogy f(I) is intervallum. Ekkor f1dierencilhat azf(I) tetszleges bels pontjban(x0) sf1(x0) =1f(f1(x0))=1(f f1)(x0)f(x0) =1f1(f(x0))B_Az sszefggs igazolshoz azt kell szrevennk, hogy a 4.3. brn jellt s szgek ptszgek_ + =2_, gytg tg = 1 , sf1(y0) = tg =1tg =1f(x0)=1f_f1(y0)_.Inneny0helyett x0 -t rva kapjuk a bizonytand lltst. c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu130 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSAAz inverz fggvny derivlsi szablynak egy msik egyszer bizonytsa az(f f1)(x) = f_f1(x)_= xazonossg derivlsval kaphat meg. Az sszefggs bal oldalt a lnc szably szerintderivlva azt kapjuk, hogyf_f1(x)_f1(x) = 1,ahonnan egyszer trendezssel sx = x0 helyettestssel addik a bizonytand egyen-lsg.4.2. Elemi fggvnyekGy4.2.1. HatvnyfggvnyekAppPozitv egsz kitevj hatvnyfggvnyekf(x) = xn, n N+4.4. bra. Pozitv egsz kitevj hatvnyfggvnyek-4-3-2-1 0 1 2 3 4-2 -1.5 -1 -0.500.511.52a) Pratlan kitevxx3x5 0 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -1.5 -1 -0.500.511.52b) Pros kitevx2x4x6A fggvny mindentt folytonos. (lsd: 4.4. bra)Mindentt derivlhat s(xn)=n xn1Ugyanistankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 131f(x) =limh0f(x + h) f(x)h=limh0(x + h)nxnh==limh0(x + h) xh. .=1((x+h)n1+ (x+h)n2x + . . . + (x+h) xn2+ xn1) ==xn1+ xn1+. . . + xn1+ xn1. .n darab tag=n xn1Felhasznltuk, hogyanbn=(a b)_an1+an2b+b+an3b2+. . . + a2bn3+a bn2+bn1_Pozitv egsz rend gykfggvnyekf(x) =nx , n N+A fggvny az xnfggvny inverze (lsd: 4.5. bra), pros nesetn csak x 0- ra.(Pros nesetn a teljes rtelmezsi tartomnyban nem invertlhat a fggvny, mertnem klcsnsen egyrtelm a lekpezs.)4.5. bra. Pozitv egsz rend gykfggvnyek-3-2-1 0 1 2 3-4 -3 -2 -101234a) Pratlan gykxx1/3x1/5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 012345678b) Pros gykx1/2x1/4x1/6f(x) : az inverzfggvny derivlsi szablyval:f(x) =nx ; f1(u) =un; f(x) =1f1(u)[u=f(x)c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu132 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSA_nx_=1nun1[u=nx=1n(nx)n1=1nx11n=1nx1n1Teht_nx_=_x1n_=1nx1n1n pros: x > 0n pratlan: x ,= 0x = 0 -banf(0) (npratlan) s f+(0) (npros).Negatv egsz kitevj hatvnyfggvnyekf(x) =1xn(n N+) (lsd: 4.6. bra )4.6. bra. Negatv egsz kitevj hatvnyfggvnyek-3-2-1 0 1 2 3-3 -2 -10123a) Pratlan kitevx-1x-3x-5 0 0.5 1 1.5 2-3 -2 -10123b) Pros kitevx-2x-4x-6Derivltja a reciprokfggvny_1g(x)_= g(x)g2(x)derivlsi szablya alapjn:_1xn_=_xn_= nxn1x2n=nxn1tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 133Racionlis kitevj hatvnyfggvnyekf(x) =xpq:=qxp(q> 0)Az sszetett fggvny dierencilsi szablyval beltjuk, hogy most is_xpq_=pqxpq1Ugyanisf(x) =1q(xp)1q1 p xp1=pqxpqp+p1=pqxpq1Vals kitevj hatvnyfggvnyek4.7. bra. Tetszleges vals kitevj hatvnyfggvnyek 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 00.511.522.53x-2x-3/2x-1x-1/2x0x1/2x1x3/2x2f(x) = x( vals,x > 0).A fggvny dencija:x:=eln x=eln xA fggvny grakonja klnbz kitevk esetn a 4.7. brn lthat.Belthat, hogy most is (x)=x1.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu134 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSA4.2.2. Exponencilis fggvnyekApp4.8. bra. Klnbz alapokhoz tartoz exponencilis fggvnyek 0 1 2 3 4 5 6-3 -2 -10123a) 1 < alap2xex5x 0 1 2 3 4 5 6-3 -2 -10123b) 0 < alap < 1(1/5)x(1/e)x(1/2)xf(x) =ax(a > 0 , a ,= 1)Denilsa (vzlat):Ha x Z+: ax:=a1. a2. ax.f(x) =ax-re igaz:ax1+x2=ax1 ax2(4.1)(ax1)x2=ax1x2(4.2)Ha x = 0 : a0:=1Ha x Z : ax:=1axHa x =pq; p, q Z, q> 0 : ax=apq:=qapHa xirracionlis:Felvesznkegyracionlisrtkeketfelvevpontsorozatot, melyazadott x -heztart.Tehtxn x, xn Qtankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 135axn A esetn : ax:=ABelthat, hogyArtke fggetlenxnvlasztstl, csakx -tl fgg.Az gy denilt fggvny tulajdonsgai:Dax= R, Rax= (0, ),a > 1 esetn (4.8.a bra):limxax= , limxax= 0,s afggvnyszigoranmonotonns alulrl konvex. Egyspecilis exponencilisfggvny: ex, melynek meredeksge az origban 1.0 < a < 1 esetn (4.8.b bra):limxax= 0, limxax= ,s a fggvny szigoran monoton cskken s alulrl konvex.Derivlhatsg:(ex)=exx = 0- ra:f(0) =limh0f(h) f(0)h=limh0eh1h= limx0ex1x=1Nevezetes hatrrtk, B.x ,= 0- ra:f(x) =limh0f(x + h) f(x)h=limh0ex+hexh=limh0ex..exeh1h. .1=ex4.2.3. Logaritmusfggvnyekf(x) =logax (a > 0 , a ,= 1) (axinverze, 4.9. bra)Ha a = e: ln x (termszetes alap logaritmus).c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu136 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSA4.9. bra. A logaritmusfggvnyek az exponencilis fggvnyek inverzei-3-2-1 0 1 2 3-3 -2 -10123a) 0 < alap < 1(1/e)xlog1/e(x)-3-2-1 0 1 2 3-3 -2 -10123b) 1 < alapexln(x)(ln x)=1xaz inverzfggvny derivlsi szablyval:f(x) = ln x, f1(u) =eu, f1 (u) =euf(x) =1eu[u=ln x=1eln x=1x(ax)=ax ln aUgyanis (ax)=(eln ax)=_exln a_=exln a (x ln a)=axln a.(logax)=1ln a1xx > 0Ugyanis (logax)=_ln xln a_=1ln a(ln x)=1ln a1x.Pl.`_f(x) =102x2+1, f(x) =?f(x) =102x2+1 ln 10(2x2+ 1)=ln 10102x2+1 4xtankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 137Pl.`_f(x) =ln [x[ , f(x) =?f(x) =___ln x , hax > 0ln (x) , hax < 0Ezrtf(x) =1x , hax ,= 0(Ugyanis (ln x)=1x, s (ln (x))=1x(1) =1x .)Pl.`_f(x) =ln x2+ 1x4+ 3, f(x) =?f(x) =1x2+ 1x4+ 3_x2+ 1x4+ 3_=x4+ 3x2+ 12x (x4+ 3) (x2+ 1) 4x3(x4+ 3)2Egyszerbben is eljuthattunk volna erre az eredmnyre. Ugyanis mostf(x) ln (x2+ 1) ln (x4+ 3) .(A kt fggvny rtelmezsi tartomnya is azonos.)Ennek felhasznlsvalf(x) =1x2+ 12x 1x4+ 34x34.2.4. Exponencilis hatvnyfggvnyekD_Exponencilis hatvnyfggvny dencija:(f (x))g(x):=eln(f(x))g(x)=eg(x) ln f(x)rtelmezett, ha f s g rtelmezett s f(x) > 0 .Derivlsa ezen alak segtsgvel.Pl.`_(xx)=_eln xx_=_exln x_=exln x (x ln x)=xx_1ln x + x 1x_c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu138 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSAPl.`___1 + x2_sin 2x_=_esin 2x ln(1+x2)_=esin 2x ln(1+x2)_sin 2x ln_1 + x2__==_1 + x2_sin 2x_cos 2x 2ln_1 + x2_+ sin 2x2x1 + x2_M_A derivlt meghatrozshoz felhasznlhatjuk a logaritmikus derivlst is:h(x) :=(f(x))g(x)Mindkt oldalra alkalmazzuk az ln fggvnyt:ln h(x) =ln (f (x))g(x)=g(x)ln f(x)Mindkt oldalt xszerint derivlva:1h(x)h(x) =(g(x)ln f(x))= h(x) =h(x)(g(x)ln f(x))Termszetesen ugyanahhoz az eredmnyhez vezet ez a mdszer is, mint az elz.4.2.5. Trigonometrikus fggvnyek s inverzeik (ciklometrikus vagyarcus fggvnyek)AppA szinuszfggvny s inverzef(x) =sin xMindentt folytonos. (4.10 bra)(sin x)=cos x , x Rf(x) =limh0f(x + h) f(x)h=limh0sin (x + h) sin xh==limh0sin xcos h+cos xsin h sin xh==limh0sin x cos h 1h. .0+cos x sin hh. .1=cos xUgyanis:tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 1394.10. bra. Asin(x) s inverze, azarcsin(x) fggvny-/2-101/2- -/2 -1 0 1 /2 sin(x)arcsin(x)limh0cos h 1h=limh02sin2h2h=limh0 sinh2h2sin h2= 10=0Asin(x) fggvny a teljes rtelmezsi tartomnyban nem invertlhat, mert vgtelensokrt. Ezrt szktjk az rtelmezsi tartomnyt:f:_2,2 [1, 1] szigoran monoton = f1(x)D_f1(x) = arcsin x:Jelenti azt a _2,2-be es radinban mrt szget, melynek szinuszax (4.10. bra).Tulajdonsgai:Darcsin x= [1, 1] , Rarcsin x=_2, 2_.Szigoran monoton n, pratlan.(arcsin x)=11 x2[x[ < 1f1(x) =arcsin x, f(x) =sin x, f1(x) =1f(u)u=f1(x)c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu140 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSAEnnek alapjn:(arcsin x)=1cos uu=arcsin x=1_1 sin2uu=arcsin x=11 x2Felhasznltuk, hogysin2u + cos2u=1 =cos u = +_1 sin2u s sin arcsin x=x(A megadott intervallumoncos upozitv.)Anevezetesszgekszgfggvnyeiazalbbiktjlismerthromszgsegtsgvelszmthatk ki:AAAAAAAAA @@@@@/6/312311/42arcsin 0 = 0arcsin 1 =2arcsin(1) = 2arcsin12=4arcsin_12_= 6sin arcsin32= sin 3=32arcsin sin 23= arcsin32=3_= 23_Nhny plda:Pl.`_limx0arcsin xx=?1. megolds:Helyettestssel oldjuk meg:u := arcsin x = x = sin uHa x 0 , akkor u 0 .limx0arcsin xx=limu0usin u=limu01sin uu=12. megolds:tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 141Mivel azarcsin xfggvny derivltjt az inverzfggvny derivlsi szablyval vezettkle, a derivlt dencijt felhasznlhatjuk a megoldshoz:limx0arcsin xx=limx0arcsin x 0x 0=(arcsin x)[x=0=11 x2x=0=1Pl.`_f(x) = + 2 arcsin (x21) , g(x) =arcsin1x2a) Hatrozza meg a fggvnyek rtelmezsi tartomnyt s rtkkszlett!b) rja fel a derivltfggvnyeket, ahol azok lteznek!Megolds.a) f rtelmezsi tartomnya:1 x21 1 = 0 x2. . x-re igaz2 = [x[ 2Teht Df=[2 ,2 ] .f rtkkszlete:Mivel x21 [1 ,1] = arcsin (x21) _2,2_= 2 arcsin (x21) [ ,] = Rf= [0 ,2]g rtelmezsi tartomnya:0 1x2. . x-re igaz1 = x21 = [x[ 1Teht Dg=(, 1][1 , ) .g rtkkszlete:Mivel1x2 (0 ,1] = arcsin1x2 _0 ,2_gy Rf=_0 ,2_b) f(x) =21_1 (x21)22x , [x[ 1A koszinuszfggvny s inverze4.11. bra. Acos(x) s inverze, azarccos(x) fggvny-101/2-/2 -1 0 1 /2 cos(x)arccos(x)f(x) =cos xMindentt folytonos. (4.11. bra)(cos x)= sin x , x Rf(x) =limh0f(x + h) f(x)h=limh0cos (x + h) cos xh==limh0cos xcos h sin xsin h cos xh==limh0cos x cos h 1h. .0sin x sin hh. .1= sin xInvertls:Acos(x) fggvny a teljes rtelmezsi tartomnyban nem invertlhat, mert vgtelensokrt. Ezrt szktjk az rtelmezsi tartomnyt:tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 143f: [0 ,] [1, 1] szigoran monoton = f1(x)D_f1(x) = arccos xJelenti azt a [0 ,] -be es radinban mrt szget, melynek koszinuszax. (4.11. bra)Tulajdonsgai:Darccos x=[1, 1] , Rarccos x=[0 ,]Szigoran monoton cskken.(arccos x)= 11 x2[x[ < 1Bizonytsa az inverzfggvny derivlsi szablyval:f1(x) =arccos x , f(u) =cos u ,, f(u) = sin uf1 (x) =1f(u)u=f1(x)Ennek alapjn:(arccos x)=1sin uu=arccos x=11 cos2uu=arccos x=11 x2Pl.`_f(x) =5 2 arccos(4x 1)a) Df=? , Rf=?b) Ltezik-e inverze f -nek?Ha igen, f1(x) =? , Df1 =? , Rf1 =?c) rja fel a fggvny x0=18pontbeli rint egyenesnek egyenlett!Megolds.a) T.: 1 4x 1 1 = 0 4x 2 = 0 x 12Teht Df=_0, 12_c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu144 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSAMivel (4x 1) [1, 1] =arccos(4x 1) [0, ]=2 arccos(4x 1) [0, 2] =Rf=[3, 5]b) f szigoran monoton n Df -en:Ugyanis, ha felvesznk az rtelmezsi tartomnyban kt pontot:0 x1< x2 12=4x11 < 4x21=arccos(4x11) >arccos(4x21)=2 arccos(4x11) < 2 arccos(4x21)=f(x1) =5 2 arccos(4x11) 0 :Hamarosan ltni fogjuk, hogy a szigoran monoton nvekeds ebbl is kvetkezik.)y e=f_18_+ f_18__x 18_=113+163_x 18_, mertf_18_=5 2arccos_12_. .23=113s f_18_=163tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 1454.12. bra. Atg(x) s inverze, azarctg(x) fggvny-/20/2-3/2 - -/2 0 /2 3/2tg(x)arctg(x)A tangens fggvny s inverzef(x) =tg x:=sin xcos xx ,=2+ k esetn folytonos. (4.12. bra)(tg x)=1cos2x, x ,=2+ kA hnyadosfggvny derivlsi szablyt s a fggvny dencijt hasznljuk fel.__uv_=u v uvv2_(tg x)=_sin xcos x_=(sin x)cos x sin x (cos x)cos2x==cos xcos x sin x(sin x)cos2x=1cos2x, x ,=2+ kInvertls:f:_2, 2_ (, ) szigoran monoton = f1(x)c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu146 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSAD_f1(x) = arctg x :Jelenti azt a_2, 2_-be es radinban mrt szget, melynek tangensex.(4.12. bra)Tulajdonsgai:Darctg x=R , Rarctg x=_2, 2_Pratlan fggvny: arctg (x) = arctg x(arctg x)=11 + x2x RMost is az inverzfggvny derivlsi szablyval bizonytunk:f1(x) =arctg x , f(u) =tg u , f(u) =1cos2uf1 (x) =1f(u)u=f1(x)Ennek alapjn:(arctg x)=11cos2uu=arctg x=11 + tg2uu=arctg x=11 + x2Felhasznltuk az albbi azonossgot:cos2u + sin2u=1[ : cos2u = 1 + tg2u=1cos2uPl.`_f(x) =arctg 2 x2 + xa) limx20f(x) =? , limxf(x) =?b) f(x) =? , ha x ,= 2c) limx2f(x) =?Ltezik-e f(2) ?tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 147Megolds.a) limx2+0arctg______4 .. 2 x2 + x. .0+______. .= 2limx20arctg 2 x2 + x. .+=2Mivel limx2 x2 + x= limx2x 12x+ 1= 1 , ezrtlimxf(x) =arctg (1) = 4b) Ha x ,= 2 :f(x) =11 +_2 x2 + x_2_2 x2 + x_=11 +_2 x2 + x_21(2 + x) (2 x)1(2 + x)2==4(2 + x)2+(2 x)2c) limx2f(x) = 14f(2) , mert az f fggvny nem folytonos x = 2 -ben.gymostlttunkarrapldt, hogyhibaltezikaz ffggvnynekhatrrtke2 -ben, mgsem ltezikf(2) .A kotangens fggvny s inverzef(x) =ctg x:=cos xsin xx ,=k esetn folytonos. (4.13. bra)(ctg x)= 1sin2x, x ,= kMost is a hnyadosfggvny derivlsi szablyt s a fggvny dencijt hasznljukfel.c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu148 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSA4.13. bra. Actg(x) s inverze, azarcctg(x) fggvny0/2-3/2 - -/2 0 /2 3/2ctg(x)arcctg(x)(ctg x)=_cos xsin x_=(cos x)sin x cos x (sin x)sin2x==sin xsin x cos xcos xsin2x= 1sin2x, x ,= kInvertls:f: (0 ,) (, ) szigoran monoton = f1(x)D_f1(x) = arcctg x :Jelenti azt a (0 ,) -be es radinban mrt szget, melynek kotangensex. (4.13. bra)Tulajdonsgai:Darcctg x=R , Rarcctg x=(0 ,)(arcctg x)= 11 + x2x RMost is az inverzfggvny derivlsi szablyval bizonytunk:f1(x) =arcctg x , f(u) =ctg u , f(u) = 1sin2uf1 (x) =1f(u)u=f1(x)tankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 149Ennek alapjn:(arcctg x)=11sin2uu=arcctg x= 11 + ctg2uu=arcctg x= 11 + x2Felhasznltuk az albbi azonossgot:cos2u + sin2u=1[ : sin2u = 1 + ctg2u=1sin2uM_Vigyzat!arcsin xarccos x,=arctg x ; arcsin2x + arccos2x ,=1 stb.Ellenrzs nlkl ne prbljk a trigonometrikus azonossgokat ltalnostani az arkuszfggvnyekre!Pl.`_Fejezzk ki arctg xsegtsgvel arcsin x , arccos xs arcctg xrtkt!(A programozsi nyelvekben beptett fggvnyknt ltalban csak az arctg xszere-pel.)y=arcsin xtg y=tg arcsin x=sin arcsin xcos arcsin x=x_1 sin2arcsin x=x1 x2=y=arcsin x=arctgx1 x2Hasonlan megmutathat, hogyarccos x=arctg1 x2x; arcctg x=arctg1x4.2.6. Hiperbolikus fggvnyek s inverzeikAppA szinusz hiperbolikusz s a koszinusz hiperbolikusz fggvnyc _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu150 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSA4.14. bra. Azsh x sch x fggvny-3-2-1 0 1 2 3-3 -2 -10123sh(x)ch(x)ex/2e-x/2-e-x/2D_sh x :=exex2ch x :=ex+ ex2(lncgrbe)(Szinusz hiperbolikusz, illetve koszinusz hiperbolikusz fggvnyek, 4.14. bra.)Tulajdonsgok:sh x pratlan, ch x pros.Ugyanissh(x) =exe(x)2= exex2= sh xch(x) =ex+ ex2=ch x(sh x)=ch x ; (ch x)=sh xUgyanis(sh x)=_exex2_=ex+ ex2=ch xtankonyvtar.ttk.bme.hu c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi4.2. ELEMI FGGVNYEK 151(ch x)=_ex+ ex2_=exex2=sh xAzonossgok:ch2x sh2x = 1sh(x y) = sh x ch y ch x sh ych(x y) = ch x ch y sh x sh ysh 2x = 2 sh x ch xch 2x = ch2x+sh2xch2x =ch 2x+12sh2x =ch 2x 12Az area szinusz hiperbolikusz s az area koszinusz hiperbolikusz fggvny4.15. bra. Ash x s inverze, azarsh x fggvny-3-2-1 0 1 2 3-3 -2 -10123sh(x)arsh(x)D_f(x) =arsh x : az sh x fggvny inverze (4.15. bra)c _ Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu152 4. FEJEZET: FGGVNYEK DIFFERENCILSAAz f(x) =sh x fggvny szigoran monoton a teljes rtelmezsi tartomnyban, ezrtaz inverze, melynek jellse: f1(x) =arsh x(area szinusz hiperbolikusz).rdekessg: a fggvny kifejezhet az lnfggvny segtsgvel az albbi mdon:arsh x=ln_x +x2+ 1_Ugyanis:y=arsh x =sh y=x =eyey2= x =(ey)22x ey1=0Ez ey-ra msodfok egyenlet.=ey=2x +4x2+ 42=x +x2+ 1 > 0A msik gyk negatv, gy nem jhet szba eyrtkre, mely mindig pozitv.=y=arsh x=ln_x +x2+ 1_(arsh x)=11 + x2x RAz inverzfggvny derivlsi szablyval:(arsh x)=1ch uu=arsh x=1_1 + sh2uu=arsh x=11 + x2Felhasznltuk, hogych2u sh2u=1 miatt ch u=+_1 + sh2u (ch u>0) .D_f(x) =arch x : a ch x fggvny inverze x 0 -ra. (4