Komponentfysik - Lunds tekniska högskola

Komponentfysik - En introduktion

Anders Gustafsson Fasta tillståndets fysik

Lunds Tekniska Högskola

Sjunde reviderade upplagan — 2011

Halvledarkomponenter finns i ett antal olika former. Bilden nedan visar ett antal olika komponenter, med allt från dioder och lysdioder till OP-förstärkare och spänningsregulatorer.

Komponenterna tillverkas ofta parallellt på stora skivor av t.ex. kisel. Industristandarden

idag är att använda skivor med en diameter på 300mm. Bilden nedan visar en del av en kiselskiva med ett antal kretsar på. Det större mönstret är ett testmönster för att man ska kunna se att processningen har fungerat. Det större mönstret är ca 1mm x 1mm.

© Anders Gustafsson 2005-2011

Förord Kursen ”Komponentfysik” introducerades läsåret 2001/2002 och ersatte den tidigare kursen ”Halvledarfysik för E” som hade getts i olika utförande sedan E-programmets begynnelse. I samband med den nya kursen förändrades fokus på kursen från allmän kurs i halvledarfysik mot en kurs med mer inriktning på hur halvledarbaserade komponenter fungerar och den bakomliggande fysiken. Efter att innehållet i kursen hade definierats var nästa uppgift att hitta en lämplig kursbok. Det visade sig vara betydligt svårare än förväntat. Efter en hel del letande kom man fram till en bok vars innehåll ligger närmast det då tilltänkta innehållet i kursen. ”An Introduction to the Physics of Semiconductor Devices” av D. J. Roulston. Bokens stora nackdelar är att den är lite för ambitiös och vill gå igenom för många detaljer och att den är ganska dåligt korrekturläst. Sedan dess har vi letat med ljus och lykta efter en lämplig kursbok, själv har jag läst ett tjugotal möjliga böcker, utan att ha hittat något som är bättre. Ett stort problem är att det för många år sen skrevs en bok: ”Physics of Semiconductor Devices” av S. M. Sze. Boken har blivit en stilbildare och man kan se att upplägget på den boken finns i princip i 90% av alla böcker som har skrivits om halvledarkomponenter. Det innebär att böcker i allmänhet börjar med ett par stora kapitel om kristallstrukturer och bandgapsteori. För att förstå hur komponenterna fungerar behöver man acceptera att det finns ett bandgap, men man behöver inte ha hela teorin bakom bandgap klar för sig. Det ligger idag i en fortsättningskurs (FFF021 - Halvledarfysik som ges HT1). Dessutom går man in i många detaljer inom halvledarfysiken i de flesta böcker. I den här kursen är ambitionen att man ska förstå hur bl. a. en bipolär transistor fungerar. Därför är beskrivningen av halvledarfysiken ganska förenklad här. Vi bortser från en hel del detaljer som inte är nödvändiga för förståelsen. Det är detaljer som man har en möjlighet att fördjupa sig inom någon av fortsättningskurserna i ämnet.

Den svagaste beskrivningen i den tidigare kursboken är avsnitten om dioder, eller pn-övergången som den kallas inom halvledarfysiken. Det gjorde att jag till våren 2004 skrev ett kapitel med en mer sammanhängande och detaljerad beskrivning av dioderna. Detta fanns tillgängligt för teknologerna det året. Jag fick mycket positiv feedback på det här kapitlet, trots att det innehåller mycket ekvationer och trots att det inte var färdigskrivet. Det gjorde att jag tog beslutet att börja skriva ett kompendium för att ersätta kursboken. Resultatet är inte på något sätt färdigt. Det kommer att ta några år att nå ett mer färdig format och det är därför viktigt att få feedback från er läsare. Inte bara för att hitta de små felen men för att hitta obegripligheterna i kompendiet, sektioner som behöver förtydligas. Jag riktar ett stort tack till alla som har hjälp till med korrekturläsningen, speciellt Torbjörn Lennartsson.

Årets kompendium är i princip samma som 2010. Det enda som har hänt är att den har fått ännu en korrekturläsning och någon ny illustration. Layouten är också lite modifierad. Den stora ändringen är att beteckningen för elementarladdningen har ändrats från ”qe” till ”e”. Det gör att det kan finnas ställen där qe finns kvar.

Anders Gustafsson

Lund, Februari 2010

En kommentar om beteckningarna som används i det här kompendiet: I det här kompendiet finns det en stor mängd formler som beskriver hur komponenter

fungerar. Det är dessutom ett stort antal variabler vilket gör att det finns många beteckningar. För att skilja samma företeelse men på olika ställen i en komponent behöver man använda index och subindex. Ett exempel är koncentrationen av donatorer i emittern på en transistor.

€

NDE

Koncentrationen betecknas med N, indexet D indikerar att det rör sig om en donator och subindexet E att det rör sig om emittern. Det gör att man enkelt kan skilja det från acceptorkoncentrationen i basen:

€

NAB

Till din hjälp har du därför en lista på alla beteckningar som används i kursen. Det viktiga är inte att kunna alla beteckningar utan att kunna översätta från en parameter till en ekvation. På samma sätt som man inte ska lägga ner någon kraft på att lära sig de många formlerna, det är bättre att försöka förstå hur de olika formlerna fungerar.

Vi kommer också att använda ett antal grekiska bokstäver: α (alfa) Absorptionskoefficient β (beta) Strömförstärkning, gemensam emitter (=hFE) ε (epsilon) Dielektricitetskonstant ζ (zäta) Laddningskoncentration µ (my) Rörlighet, mobilitet ρ (rå) Resistivitet σ (sigma) Konduktivitet τ (tau) Livstid (τn för elektroner, τp för hål) Φ (fi) Fotonflöde ΦF Skillnad mellan EF och Ei Inom komponentfysiken används många prefix: Giga (109) Mega (106) Kilo (103) Deci (10-1) Centi (10-2) Milli (10-3) Mikro (10-6) Nano (10-9) Piko (10-12) Slutligen är det bra att kunna omvandla mellan olika enheter: 1 cm = 10-2 m, 1 cm2 = 10-4 m2 1 cm3 = 10-6 m3 1 mm = 10-3 m, 1 mm2 = 10-6 m2 1 mm3 = 10-9 m3 1 µm = 10-6 m, 1 µm2 = 10-12 m2 1 µm3 = 10-18 m3

Innehåll: Innehåll: ..............................................................................................................................................................................5

1. Inledning ......................................................................................................................................................... 7 2. Ellära och ström ........................................................................................................................................... 13

Driftström – Reaktion på elektriskt fält .........................................................................................................14 Diffusionsström – Reaktion på koncentrationsskillnader ..............................................................................17 Termisk elektronrörelse .................................................................................................................................20 Kapacitanser – Elektriska fält och laddning ..................................................................................................22 Sammanfattning av ellära...............................................................................................................................25

3. Grundläggande halvledarfysik.................................................................................................................... 26 Metall, halvledare och isolator.......................................................................................................................26 Bohrs atommodell ..........................................................................................................................................27 Bandgap och bandstrukur...............................................................................................................................30 Statistik: Fermi-nivå och laddningsbärarkoncentration .................................................................................37 Generation och rekombination .........................................................................................................................................41 Inblandning av föroreningar: Dopning ..........................................................................................................42 Massverkans lag .............................................................................................................................................43 Laddningsbärarkoncentration och Fermi-nivån .............................................................................................47 Andra halvledare än Si och Ge ......................................................................................................................50 Tillverkning av halvledare .............................................................................................................................52 Sammanfattning av grundläggande halvledarfysik........................................................................................54

4. Dioder: pn-övergången ................................................................................................................................ 56 Härledning av pn-övergångens inbyggda spänning, Ubi ................................................................................60 Laddning, elektriskt fält och utsträckning......................................................................................................65 Symmetrisk pn-övergång, d.v.s. NA = ND. .........................................................................................................................74 Asymmetrisk pn-övergång där NA>>ND, vilket brukar kallas p+n-övergång:..................................................................74 Asymmetrisk övergång där ND>>NA, vilket brukar kallas n+p-övergång: .......................................................................75 pn-övergången på ett kvalitativt sätt ..............................................................................................................75 Vad händer om vi ökar dopningen på båda sidor en tiopotens? ......................................................................................76 Vad händer om vi ökar dopningen på ena sidan en tiopotens? ........................................................................................77 Kvalitativ diskussion kring pn-övergången med yttre pålagd spänning ........................................................78 Den totala spänningen är mindre än den inbyggda (framspänning)................................................................................78 Den totala spänningen är större än den inbyggda (backspänning)..................................................................................78 Minoritetsladdningsbärarinjektion från en pn-övergång................................................................................82 Strömmen genom en diod: Diffusionsström ..................................................................................................85 Kort diod ...........................................................................................................................................................................85 Lång diod ..........................................................................................................................................................................88 En fullständig bild av strömmen in en kort n+p-diod .....................................................................................91 Sammanfattning av framströmmen i en n+p-diod: ............................................................................................................92 Motsvarande sammanfattning av framströmmen i en p+n-diod: ......................................................................................92 Temperaturberoendet hos diodströmmen.......................................................................................................93 Småsignalmodell ............................................................................................................................................94 Låg framspänning: Rekombinationsström .....................................................................................................96 Hög framspänning: Högnivåinjektion............................................................................................................97 Idealitetsfaktorn, m ........................................................................................................................................99 Backström ....................................................................................................................................................100 Zener- och lavingenombrott i backriktningen..............................................................................................101 Kapacitanser i dioden...................................................................................................................................104 Utarmningskapacitans ....................................................................................................................................................104 Diffusionskapacitans.......................................................................................................................................................107 Småsignalmodellen - AC .............................................................................................................................109 Speciella dioder............................................................................................................................................110 pin-dioden .......................................................................................................................................................................110 Schottkydioden ................................................................................................................................................................112 Tunneldioden ...............................................................................................................................................113 Ohmska kontakter ........................................................................................................................................115 Tillverkning av dioder..................................................................................................................................115 Sammanfattning av pn-övergången .............................................................................................................116

5. Optokomponenter ...................................................................................................................................... 119 Absorption....................................................................................................................................................120

Fotoledare .................................................................................................................................................... 123 Fotodioder och solceller .............................................................................................................................. 124 Fototransistorer ............................................................................................................................................ 127 Emission ...................................................................................................................................................... 129 Lysdioder ..................................................................................................................................................... 131 Halvledarlasrar............................................................................................................................................. 133 Tillverkning av optokomponenter ............................................................................................................... 135 Sammanfattning av optokomponenter ......................................................................................................... 135

6. Den bipolära transistorn ............................................................................................................................137 Spänningarna i en bipolär transistor ............................................................................................................ 140 Strömmar i den bipolära npn-transistorn ..................................................................................................... 141 pnp-transistorn ............................................................................................................................................. 149 Den bipolära npn-transistorns arbetsmoder ................................................................................................. 150 Normal eller aktiv arbetsmod..........................................................................................................................................151 Inverterad arbetsmod ......................................................................................................................................................151 Strypt arbetsmod..............................................................................................................................................................153 Bottnad arbetsmod ..........................................................................................................................................................153 Kapacitanser i den bipolära transistorn........................................................................................................ 155 Resistanser i den bipolära transistorn .......................................................................................................... 157 Hybrid-π-modellen ...................................................................................................................................... 160 Frekvensegenskaper..................................................................................................................................... 162 Frekvensen vid -3 dB.......................................................................................................................................................164 Övergångsfrekvensen ......................................................................................................................................................164 Parasiteffekter i den bipolära transistorn ..................................................................................................... 165 Earlyeffekten....................................................................................................................................................................166 ”Punch-through” ............................................................................................................................................................168 Genombrott i bas-kollektorövergången...........................................................................................................................168 Rekombinationsström i bas-emitterövergången..............................................................................................................169 Högnivåinjektion i basen.................................................................................................................................................169 Kvasibottning ..................................................................................................................................................................170 Tillverkning av bipolärtransistorer .............................................................................................................. 171 Sammanfattning av den bipolära transistorn ............................................................................................... 172

7. MOSFET......................................................................................................................................................174 Banddiagram: Inversion, flatband och ackumulation .................................................................................. 178 Gate av p-typ kisel ....................................................................................................................................... 190 Kapacitansen i MOS-strukturen .................................................................................................................. 192 Strömmen i MOSFETen .............................................................................................................................. 194 p-MOS .............................................................................................................................................................................202 Småsignalmodellen för MOSFET ............................................................................................................... 204 Frekvensegenskaper..................................................................................................................................... 206 Digital switchning........................................................................................................................................ 207 CMOS .......................................................................................................................................................... 210 Tillverkning ................................................................................................................................................. 211 Sammanfattning av MOSFETen.................................................................................................................. 212

8. Diverse komponenter..................................................................................................................................214 Tyristor ........................................................................................................................................................ 214 Darlingtontransistor ..................................................................................................................................... 215 VDMOSFET och HEXFET......................................................................................................................... 217 IGBT, Insulated gate bipolar transistor ....................................................................................................... 218 Andra typer av fälteffekttransistorer............................................................................................................ 219 Minnesceller, RAM, ROM och Flashminnen.............................................................................................. 221 CCD ............................................................................................................................................................. 224 Kvantkomponenter ...................................................................................................................................... 225 Sensorer och Halleffekten............................................................................................................................ 228

9. Begreppslista ...............................................................................................................................................230 10. Appendix .....................................................................................................................................................241

Register ........................................................................................................................................................ 243

- 7 -

1. Inledning

omponentfysik kan på ytan se ut att vara ett virrvarr av formler som bara används under speciella förhållanden. Vid beräkningar är det inte helt ovanligt att man letar

upp en formel som verkar ha rätt variabler. I själva verket hänger allt ihop och fysiken bakom är inte så komplicerad som den verkar. Mycket av förståelsen bygger på att man har grundläggande ellära klar för sig. Beskrivningen av fysiken bakom elläran är här lite mer detaljerad än hur man normalt beskriver den. Ohms lag beskrivs normalt med spänningen som en funktion av ström och resistans. En lite ovanligare form av Ohms lag beskriver strömmen som en funktion av spänning och konduktansen. Konduktansen är helt enkelt inversen på resistansen (G=1/R). Går man sedan vidare kan man beskriva resistansen och konduktansen som en funktion av geometri och materialegenskaper. De viktiga materialegenskaperna kan sammanfattas i hur stor koncentration av partiklar som kan delta i strömledningen, laddningsbärare, som vi har i materialet och hur lättrörliga de är i ett elektriskt fält. Strömmen i Ohms lag kallas driftström, eftersom det krävs ett elektriskt fält för att driva strömmen. Dessutom kan man få laddningsbärare att röra sig om det finns skillnader i koncentrationer. Den strömmen kallas diffusionsström eftersom den drivs av en mer slumpmässig (diffus) rörelse hos laddningsbärarna. Diffusionsströmmen försöker jämna ut koncentrationsskillnader. Det här är en typ av ström som man normalt inte stöter på i elläran. Ett enkelt exempel på diffusion är hur rök från en cigarett försöker sprida ut sig och fördela sig jämnt i ett rum. De två typerna av strömmar är mycket viktiga för hur elektronikkomponenter fungerar.

En annan del av elläran som är viktig för funktionen hos komponenter är kondensatorn. Det är t.ex. kapacitanserna i en transistor som ger dess frekvensegenskaper, d.v.s. hur höga frekvenser den kan förstärka. Kondensatorn är också en enkel illustration av hur elektrisk laddning, elektriskt fält och spänning hänger ihop. Mycket av komponentfysiken bygger på att vi har skillnader i laddningsbärarkoncentrationer som ger upphov till elektriska fält och interna spänningar. Strömmarna i komponenter ges sedan ofta av hur yttre spänningar påverkar laddningsbärarkoncentrationer.

K

Komponentfysik – Anders Gustafsson

8

Det finns dessutom en hel del begrepp och företeelser. Ett par av dem beskriver energistrukturen hos material i fast form. Det handlar om begreppen band, bandstruktur och bandgap. Begreppen är relaterade till energistrukturen för elektronerna i en atom. En atom har en energistruktur som kan ses som en stege, där varje steg motsvarar en energinivå för elektronerna i atomen. Eftersom ett fast ämne har en rumslig utsträckning så är dessa nivper plan instället. Energistrukturen för ett material i fast form kan ses som ett flervånings parkeringshus där bilarna är elektronerna. Normalt fylls det nedre planet först för vi vill ju parkera så fort som möjligt. Sedan fylls det andra och det tredje o.s.v. Om ett plan är fyllt kan man inte flytta bilarna till ena sidan av planet, allt vi kan göra är att byta plats på två bilar. Vi kan inte få några nettoeffekter. Om planet är helt tomt har vi inga bilar att flytta runt. Om alla platser är fyllda på ett plan måste man köra upp till nästa plan, vilket kräver energi. I ett material i fast form kan man beskriva elektronstrukturen i termer av parkeringsplan för elektroner. Det blir lite mer komplicerat eftersom strukturen är fyrdimensionell, där vi har tre rumsliga dimensioner och en fjärde energidimension (de olika planen). Det gör att vi har lite svårt att visualisera det. När vi har ett material så börjar vi med att konstruera planen i strukturen, sedan fyller vi på alla elektroner i strukturen uppifrån och låter dem ramla ner och fylla upp planen. Vi kan tänka oss elektronerna som kulor. Om planet med de översta elektronerna är halvfyllt så kan elektronerna flytta sig runt på planet. Vi kan i princip flytta runt laddning från sida till sida på planet genom att luta planet. En kollektiv förflyttning av elektroner betyder att vi har fått en ström. Den här typen av material kallas ledare eller metall. Å andra sidan kan vi ha en situation som ger ett helt fyllt plan, där vi inte kan flytta laddningar och vi kan inte få någon ström. Den här typen av struktur kallas isolator. Sedan finns det ett mellanläge, där planen egentligen är fyllda, men det är mycket lätt att flytta upp några elektroner till nästa tomma plan. Vi har alltså ett plan som är nästan fyllt och ett som nästan är tomt. Vi kan alltså flytta elektroner och få en ström. Strömmen är betydligt lägre än för metallen men eftersom det trots allt går en ström kallas den här gruppen av ämnen för halvledare. Banden i bandstrukturen motsvarar planen i modellen ovan och energin som behövs för att flytta upp en elektron till det första tomma bandet ger om det rör sig om en isolator eller en halvledare.

Vetskapen om halvledare har funnits länge. Man har länge klassificerat ämnen utifrån deras ledningsförmåga. Bra ledare har kallats ledare eller metaller, typiska exempel är koppar och aluminium som används i elkablar. Dåliga ledare som glas, plast och porslin har kunnat användas som isolatorer och just det namnet har används för att beskriva dem. Slutligen finns det en grupp ämnen som varken är ledare eller isolatorer, halvledarna. Historiskt sett var dessa oanvändbara eftersom de inte var bara på att leda ström eller att isolera spänning. En av de första halvledarna som upptäcktes var selen, som upptäcktes av Jöns Jakob Berzelius (1779–1848) som har gett namn åt byggnaden där halvledarforskningen i Lund bedrivs, Berzeliuslaboratoriet. Upptäckten gjordes på 1800-talet, men det tog lång tid innan man skulle använda halvledarna för någon tillämpning. Han var dessutom först med att framställa rent kisel och att identifiera det som ett grundämne.

Det var inte förrän man började inse att man kunde påverka ledningsförmågan hos halvledarna genom att blanda in små mängder av andra grundämnen som de började bli

Introduktion

9

intressanta. Ett exempel är att man kan ändra ledningsförmågan hos rent kisel många tiopotenser genom att ersätta en kiselatom på en miljard eller ännu mindre med t.ex. fosfor i en kristall. I början av 1900-talet lyckades man göra en komponent som likriktar strömmar bestående av en selenkristall och en spetsig metallnål. Det är ett exempel på vad vi idag kallar en Schottkydiod och den användes i tidiga radiomottagare, s.k. kristallmottagare. Nästa steg i utvecklingen kom när man under andra världskriget utvecklade radarsystem. Dioderna var viktiga i mottagaren. Nästa stora genombrott kom 1948 när Bardeen, Schockley och Brattain uppfann den bipolära transistorn, som egentligen bara är en utveckling av dioden. Det resulterade i ett Nobelpris. Den andra typen av transistor, fälteffekttransistorn, patenterades redan på 20-talet, men det dröjde till 1953 innan någon demonstrerade den första fungerande fälteffekttransistorn och det dröjde till 70-talet innan den nu dominerade MOSFETen tillverkades. 1959 kom ännu ett stort steg i utvecklingen när Kilby och Noyce uppfann den integrerade kretsen, vilket även det resulterade i ett Nobelpris. Även om de integrerade kretsarna var ganska blygsamma med dagen mått mätt med mindre än 10 komponenter så anses dessa två uppfinningar ofta som grunden till all elektronik som finns idag. Det har sen dess dykt upp en uppsjö av halvledarkomponenter, t.ex. MOS-transistorn, lysdioden, laserdioden och tyristorn. Listan kan göras mycket lång, men här kommer vi att koncentrera oss på de mest grundläggande komponenterna.

Under det senaste årtiondet är det datorindustrin som har drivit utvecklingen av halvledare, speciellt integrerade kretsar. Det handlar både om storleken på kretsen och om antalet komponenter på en och samma krets. Redan på 60-talet observerade Gordon Moore på Fairchild Electronic att antalet komponenter per krets fördubblades varje år. Det var då ganska enkelt att observera eftersom det då handlade om färre än 100 komponenter. Ett typiskt exempel är OP-förstärkaren µA741 som innehåller ca 30 komponenter. Från den här observationen definierade han ”Moores lag” om att antalet komponenter på en integrerad krets kommer att fördubblas varje år. Hans originaldata visas i figur 1:1 tillsammans med en uppdaterad version. Det gör att om man plottar logaritmen på antalet komponenter per krets mot år så får man en rät linje. Det som är mest förvånande så här 40 år senare är att Moores spådom fortfarande i stort sett håller, även om den senaste processorn från Intel innehåller ca 300 millioner komponenter. Det enda som har förändrats är att tiden för fördubblingen är lite långsammare. Det tar nu 18 månader för en fördubbling istället för de ursprungliga 12 månaderna.

En förutsättning för den här utvecklingen är att varje komponent minskar i storlek, annars hade storleken på en krets vid det här laget varit enormt stor. Det visar sig att storleken följer samma lag, där storleken, eller bredden på komponenterna halveras var 18:e månad. Bredden på de minsta detaljerna i en komponent kallas linjebredd. En följd av den minskade storleken är att strömmen i en transistor minskar och att antalet elektroner som genererar strömmen minskar. Antalet elektroner i en komponent minskar alltså. Det gäller i hög grad även för minneskretsar. Idag har man t.ex. ca 100 elektroner i en minnescell i en RAM-krets. Det betyder alltså att en ”etta” består av 100 elektroner och en ”nolla” av inga elektroner i minnescellen. Från storleksminskningen i Figur 1:2 följer att vi år 2012 kommer att ha ett en-elektronminne. Det betyder att en elektron betyder en ”etta”


10

och ingen elektron betyder en ”nolla”. Vi behöver alltså kunna känna av en skillnad på en elektron.

Figur 1:1. Den vänstra bilden visar Moores originalfigur från 1965. Den beskriver en fördubbling av antalet komponenter på en integrerad krets varje år. Den högra bilden visar samma plott, men med betydligt nyare data där t.ex. Pentium 4 finns med. Nu går fördubblingen lite långsammare och det tar ca 18 månader. De senaste processorerna från Intel innehåller över 300 millioner komponenter. Notera att den högsta punkten i den vänstra figuren är ca 26 = 64 komponenter. (Figurerna är hämtade från ”Cramming more components onto integrated circuits” av G. E. Moore, 1965 och “Device Electronics for Integrated Circuits” av R. S. Muller and T. I. Kamins 2003).

En annan konsekvens av den krympande storleken på komponenterna är att tiden det tar för en elektron att gå från komponent till komponent blir kortare. Det gör att man kan ha en högre klockfrekvens på en digital krets. En högre klockfrekvens på processorn i en dator betyder en snabbare dator.

Figur 1:2. Vänster: Med tiden minskar linjebredden på de minsta detaljerna i komponenterna i en integrerad krets. Även linjebredden halveras var 18:e månad. Den senaste generationen av kretsar innehåller en linjebredd på 90 nm. Höger: När komponenterna blir mindre så kommer volymen att minska och de kommer därmed att innehålla färre elektroner. En illustration av det är hur många elektroner som finns i en minnescell i en RAM krets. Idag finns det mindre än 100 elektroner i en minnescell i ett RAM. (Figurerna är hämtade från ”Device Electronics for Integrated Circuits” av R. S. Muller and T. I. Kamins 2003)

Baksidan av utveckling mot mindre komponenter är att teknologin för att tillverka kretsarna blir betydligt dyrare för varje minskning av linjebredden. Det betyder att kostnaden för att sätt upp en fabrik för att tillverka kretsarna också ökar. Idag kostar det motsvarande bruttonationalprodukten för ett mindre europeiskt land att bygga och utrusta en fabrik för kretstillverkning.

Ett exempel på en mycket enkel krets som de flesta har stött på är OP-förstärkaren µA741. Figur 1:3 visar en bild av hur den kretsen kan se ut under skalet. Bilden är tagen

Introduktion

11

genom ett vanligt optisk mikroskop, där själva kretsen är tillverkad på en kiselbricka som är ca 2mm x 2 mm. Det som syns i bilden är den kvadratiska kretsen med ett mönster av metalledare. Dessutom ser man de trådar som kopplar själva kretsen till benen på utsidan av komponenten.

Figur 1:3 Som en illustration av den tidiga utvecklingen av den integrerade kretsen visar vi en bild på kretsen i en OP-förstärkare av typ µA741. Själva kretsen visas till höger och är den kvadratiska plattan i bilden och den mäter ca 2mmx2mm. Den innehåller totalt ett tretiotal komponenter, där den största är den grå rektangeln i nederkanten. Det är en kondensator. Benen på själva inkapslingen kopplas till kretsen via tunna trådar som är fastsvetsade på kretsen. Dessa trådar har samma diameter som ett hårstrå, d.v.s. ca 100 µm. Till höger visas koplingsschemat.


12

Vad är då syftet med en kurs i komponentfysik? Tanken är att ge en insikt i hur de vanligaste komponenterna är uppbyggda och hur de egentligen fungerar. Dels är det för att ge allmänbildning för en elektroingenjör och dels för att en del av dagens elektroingenjörer faktiskt arbetar med någon form av komponentdesign och utveckling. Det kommer även i framtiden att behövas elektroingenjörer för att kunna driva utvecklingen vidare bortom år 2012! För att kunna förbättra egenskaperna hos en komponent är det viktigt att man är väl insatt i hur den egentligen fungerar. Det finns ett antal frågeställningar som kursen kommer att beröra.

Varför är klockfrekvensen i min dator storleksordningen 1 GHz och inte 100 GHz?

Varför är förstärkningen hos en npn-transistor ca 100 och inte 10 000? Varför är förstärkningen betydligt lägre för en motsvarande pnp-transistor? Vad ger färgen på en lysdiod och hur gör men en vit lysdiod? Hur fungerar minnescellen i min dator och varför tappar den minnet när jag

stänger av den men inte min mp3-spelare? Eftersom det rör sig om fysik så kommer vi att behöva en matematisk beskrivning av många företeelser och det blir därför nödvändigt att introducera och använda ett antal ekvationer.

Källor: ”Cramming more components onto integrated circuits” av G. E. Moore, Electronics, Volume 38, Number 8, April 19, 1965 ”Device Electronics for Integrated Circuits” av R. S. Muller and T. I. Kamins, John Wiley & Sons, Inc. 2003

- 13 -

2. Ellära och ström

runden för hur elektronikkomponenter fungerar kommer från ellära med begrepp som ström, spänning och laddning. Det är mestadels gymnasiefysik, men här presenterar

vi det på ett lite annat sätt, med lite annorlunda och utökad terminologi. Det handlar om strömmar och om kapacitanser. Strömmar kan ses som en kollektiv rörelse av elektroner och beror ofta på yttre påverkan i form av en pålagd spänning. Det är den så kallade driftströmmen, där elektronerna drivs fram av ett elektriskt fält. En annan typ av ström är den så kallade diffusionsströmmen, som uppkommer då man har skillnader i elektronkoncentration längs en ledare. Diffusionsströmmen strävar efter att jämna ut koncentrationsskillnaderna. Om det inte finns något som upprätthåller skillnaden så kommer strömmen att avta med tid. En annan del av elläran handlar om kondensatorer och kapacitans. Kondensatorn är ett mycket bra exempel på sambanden mellan laddning, spänning och elektriskt fält. Kapacitans ger dessutom upphov till en impedans när man utsätter den för växelström. Kapacitanser i halvledarkomponenter ger upphov till begränsningar i frekvensegenskaperna, vilket vi kommer att se i ett senare kapitel. I elläran behövs det laddade partiklar som sköter strömtransporten. Den vanligaste partikeln är elektronen, men som vi kommer att se längre fram i det här kompendiet så finns det andra partiklar som kan transportera en ström. Därför brukar man kalla dessa partiklar för laddningsbärare, även om vi i det här kapitlet kommer att fokusera på elektroner, vilket man ju oftast gör i t.ex. analogelektroniken.

Viktiga begrep inom elläran är elektrisk spänning och elektrostatisk potential. Vi kommer mestadels att använda oss av spänning. Oftast är skillnaden mellan de två begreppen hårfin och det är egentligen bara spänningen som är av intresse. Den strikta definitionen är att den elektrostatiska potentialen är given relativt någon extern referenspunkt. Spänningen däremot är given som skillnaden mellan de elektrostatiska potentialerna i två punkter — t.ex. spänningen mellan signal och jord.

G


14

Driftström – Reaktion på elektriskt fält I den här introduktionen kommer vi att gå igenom de delar av ellära som behövs för att

förstå vad som händer i t.ex. en bipolär transistor. En av förutsättningarna är en insikt i en av de mest fundamentala delarna av elläran, nämligen Ohms lag:

€

U = R ⋅ I Ekv. 2:1

där U är spänningen, R är resistans och I är ström. Ett annat sätt att se Ohms lag är att använda begreppet konduktans, G, istället för

resistans. Konduktansen är bara inversen på resistansen (G=1/R) och beskriver ledningsförmågan:

€

I =U ⋅G Ekv. 2:2

G har enheten [1/Ω] eller Siemens [S]. Vi tittar nu lite närmare på Ekv. 2:1 och speciellt på resistansen, R. Om man har ett motstånd så behöver man inte bekymra sig över vad resistansen egentligen är utan det är bara att titta på de färgade ringarna på motståndet och dechiffrera fram värdet på motståndet. Ett annat enkelt sätt är att mäta med en ohmmeter. Om vi vet vilket material det rör sig om och vi har motståndets dimensioner givna så kan vi räkna fram resistansen. Oftast kan det vara mer tillförlitligt att räkna fram resistansen ur materialparametrarna. Om man går till t.ex. TEFYMA så kan man hitta tabeller med materialparametern resistivitet, ρ. Resistiviteten har enheten [Ωm] eller [Ωmm2/m]. För att få fram resistansen så behöver man känna till längden, L, och tvärsnittsarea, A, på ledaren/resistorn.

€

R =ρ⋅LA

Ekv. 2:3

På samma sätt som vi har konduktansen som inversen på resistansen så kan vi definiera konduktivitet, σ, som inversen på resistivitet så att σ = 1/ρ. Konduktiviteten har enheten [1/Ωm eller S/m]. Vi kan därför skriva om ohms lag Ekv. 2:1 som:

€

U = R ⋅ I =ρ⋅L ⋅ IA

=L ⋅ Iσ ⋅A

Ekv. 2:4

Vi förutsätter också att läsaren är bekant med Kirchoffs lagar om strömmar, t.ex.:

€

Iin1 + Iin2 = Iut Ekv. 2:5

där vi i exemplet har tre strömmar genom en punkt. Summan av strömmarna in i punkten är summan av strömmen ut ur punkten. Det som den här lagen säger är att strömmar varken skapas ur eller försvinner i ingenting.

Ellära och ström

15

Det finns fyra begrepp som beskriver ledningsförmågan hos ett ämne: Resistans och konduktans, resistivitet och konduktivitet. Alla fyra är kopplade, där de två senare är materialparametrar (resistiviteten är inversen på konduktiviteten) och de två första innehåller dessutom geometrin för en specifik bit av materialet (resistansen är inversen på konduktansen).

Vi kan skriva om Ekv. 2:4 så att vi definierar strömmen och inte spänningen som resultatet:

€

I =UR

=U ⋅AL ⋅ρ

=U ⋅A ⋅σL

=ε⋅A ⋅σ

Ekv. 2:6

Strömmen definieras som positiv från plus till minus. Så om vi lägger U > 0 vid x = 0 och 0 V vid x > 0 så går strömmen i den positiva x-axeln riktning. Ofta använder man det elektriska fältet, ε, istället för spänning. ε definieras som derivatan på den elektriska spänningen där ε=-dU/dx och har enheten [V/m]. Det betyder att fältet är riktat från plus till minus, i samma riktning som strömmen. Ohms lag innehåller inte någon explicit (synlig) riktning, och normalt vet vi bara att strömmen går från plus till minus. I exemplet ovan så är ε också positivt, eftersom dU/dx = ΔU/Δx = [U(x)-U(0)]/x är negativt. Det är så vi får fram det sista steget efter det sista likhetstecknet i Ekv. 2:6.

Om vi nu drar oss till minnes hur man definierar ström:

€

I =dQdt

=ΔQΔt

Ekv. 2:7

Strömmen är alltså förändringen av laddningen, Q, per tidsenhet. Vi tittar på en ledare med tvärsnittsarean, A [m2], och en koncentration av elektroner, n [antal/m3 eller m-3], där elektronerna har en medelhastighet (som kallas drifthastighet), vd [m/s], på grund av det pålagda elektriska fältet. Det betyder att varje elektorn under tiden ∆t rör sig en sträcka vd⋅Δt. Antalet elektroner som passerar ett visst plan, vinkelrätt mot hastigheten, är: A⋅vd⋅Δt⋅n, vilket är illustrerat i Figur 2:1. Varje elektron har laddningen, -e [As], vilket innebär att laddningen som passerar punkten är: -e⋅A⋅vd⋅Δt⋅n. För att övertyga oss om att det verkligen är laddning kan vi kontrollera enheterna: [As]⋅[m2]⋅[m/s]⋅[s]⋅[m-3] = [As]. Det är ju faktiskt laddning. Strömmen får vi nu enligt Ekv. 2:7:

€

I =−e ⋅A ⋅ vd ⋅ Δt ⋅ n

Δt= −e ⋅A ⋅ vd ⋅ n

Ekv. 2:8

Minustecknet betyder att strömmen går i motsatt riktning mot elektronens rörelse. Det är ju helt logiskt, eftersom elektronen har negativ laddning.


16

Figur 2:1. En ledare har en homogen fördelning av elektroner med en koncentration, n. Alla elektroner har en hasighet, vd, mot batteriets pluspol. På tiden Δt passerar n⋅vd·Δt·A elektroner genom ledarens tvärsnitt. Strömmen ges av mängden laddning som passerar tvärsnittet per tidsenhet och därför av -e⋅n⋅vd·A.

Drifthastigheten är en medelhastighet som bl.a. beror på det elektriska fältet. Vi börjar med det enklaste fallet, när vi har elektroner i vakuum, vilket motsvarar vad som händer i ett TV-rör. Definitionen på elektriskt fält är den kraft som fältet påverkar en laddning med dividerat med laddningen: ε = F/Q. Eftersom pluspolen attraherar negativt laddade elektroner kommer det elektriska fältet att vara riktat från plus till minus, i samma riktning som strömmen: ε = U/L. I TV-rörets vakuum kommer vi att få en sluthastighet efter accelerationssteget, vmax, där den potentiella energin i det elektriska fältet konverteras till rörelseenergi:

€

q ⋅U =mn ⋅ vmax

2

2, d.v.s.

€

vmax =2 ⋅q ⋅Umn

.

Ju högre spänning desto högre sluthastighet. mn är elektronens vilomassa. Här har vi introducerat q, som en konstant som gör om spänning till energi. I SI-enheter gör den om Volt till Joule när spänningen multipliceras med q. I halvledarfysiken använder man oftast energienheten elektronvolt [eV] istället, där 1 eV = 1,602×10-19 J. Att vi använder enheten ”elektronvolt” beror på att relevanta energier i halvledare typiskt är just runt en elektronvolt. Värdet på q är antingen 1,602×10-19 As eller 1 eV/V, beroende på vilken enhet vi vill ha energin i. Däremot är elementarladdningen, e, alltid 1,602×10-19 As. Att [eV/V]⋅[V] är [eV] är inte konstigt, men vi behöver en studie av enheter för att få fram enheten [J]: [As]⋅V=[VA]⋅[s]=[W]⋅[s]=[J], där vi har använt en genväg från elektrisk effekt som är produkten U⋅I, d.v.s. där [VA] är [W].

Den vanliga SI-enheten för energi är Joule [J]. Det gör att man nästa alltid kan använda den. Inom halvledarfysiken handlar det ofta om mycket små energier, ungefär 10-19 J. Det gör att man ofta väljer att använda enheten elektronvolt [eV] istället. Där 1 eV = 1,602×10-19 J.

Om vi har elektronerna i någon form av ledare istället kan inte elektronerna röra sig helt

obehindrat. Det finns en mängd imperfektioner i materialet som elektronerna stöter emot och i princip förlorar en del av sin hastighet i det elektriska fältets riktning. Man kan

vd·∆t

A

+ -

Ellära och ström

17

jämföra det med ett flipperspel, där det elektriska fältet motsvarar lutningen på flipperspelet. En större lutning motsvarar ett större elektriskt fält. Hindren på spelplanen motsvarar imperfektionerna i materialet. När kulan stöter emot hindren ändras hastigheten och genomsnittshastigheten i lutningens riktning minskar. För ett givet material kan man definiera en genomsnittssträcka mellan det att elektronen stöter på två imperfektioner. Med en medelhastighet eller drifthastighet (vd) får man fram genomsnittstid mellan två imperfektioner. För att göra det enkelt så antar vi att elektronen förlorar hela sin hastighet vid stöten.

Nu kan vi jämföra Ekv. 2:6 och Ekv. 2:8:

€

I = -e ⋅A ⋅ vd ⋅ n =ε ⋅A ⋅ σn ⇒ σn = e ⋅ n ⋅ - vdε

Ekv. 2:9

Minustecknet i sista steget ser lite underligt ut, men eftersom elektronerna rör sig mot det elektriska fältets riktning så kommer värdet att vara positivt. Normalt gäller Ohms lag och en fördubbling av spänningen ger en fördubbling av strömmen. Det enda som ändras i Ekv. 2:8 är det drifthastigheten och i Ekv. 2:6 är det elektriska fältet som ändras. Båda ökar linjärt med spänningen. Det gör att kvoten mellan drifthastighet och elektriskt fält är konstant. Vi kan nu definiera konstanten som rörlighet eller mobilitet, µn, med enheten [m2/Vs]. Indexet n betyder att vi syftar på elektronens rörlighet (där n står för elektronens negativa laddning). Rörligheten beror på vilken typ av material det handlar om, där det skiljer mellan t.ex. kisel, germanium och koppar. Värdet på rörligheten på många vanliga halvledare kan man hitta i formelsamlingen. Rörligheten är en mycket viktig materialparameter, speciellt för halvledare. Det gör att konduktiviteten kan uttryckas i rörlighet och elektronkoncentration. För att göra det lättare för oss så definierar vi egentligen kvoten av absolutbeloppet och konduktiviteten kan då skrivas:

€

σ = e ⋅ n ⋅µn Ekv. 2:10

Ju fler imperfektioner ett material har desto mindre är rörligheten. Imprefektionerna är typiskt föroreningar och fel i kristallstrukturen i materialet. För att förenkla så kommer vi att anta att rörligheten för ett givet material är konstant, oberoende av mängden föroreningar och temperatur. Vi kan nu skriva om Ekv. 2:8 som:

€

I = e ⋅ n ⋅µn ⋅ε ⋅A Ekv. 2:11

Detta är den mest använda formen av spänningsberoendet hos strömmen i en halvledare. Driftströmmen spelar en mycket viktig roll i hur halvledarkomponenter fungerar.

Diffusionsström – Reaktion på koncentrationsskillnader Det är inte bara elektriska fält som får elektroner att rör sig i en bestämd riktning. Om

det finns en skillnad i koncentrationen av elektroner, så vill elektroner röra sig från hög koncentration till låg koncentration, illustrerat i Figur 2:2(a). Drivkraften bakom fenomenet är vanlig Coulombrepulsion, där partiklar med samma laddning stöter bort varandra, till skillnad från Coulombattraktion, där partiklar med olika laddning attraherar varandra.


18

Repulsionen gör att elektronerna försöker fördela sig på så jämnt avstånd från varandra som möjligt, se Figur 2:2. Om det inte finns något som håller koncentrationsskillnaden uppe så kommer vi slutligen att få en jämn fördelning av elektroner i materialet. I elektronikkomponenter finns det nästan alltid områden med skillnader i elektronkoncentration och det är en förutsättning för att komponenterna ska kunna fungera. Det kommer vi att se i senare kapitel. Skillnaden i elektronkoncentration kan beskrivas av derivatan på elektronkoncentration med avseende på rumslig koordinat:

€

dn dx , där en större skillnad ger en större ström. En negativ koncentrationsgradient, dn/dx, betyder minskande koncentration i den riktningen. Elektronerna vill röra sig från områden med hög koncentration till områden med låg koncentration, så vi får en nettorörelse av elektroner mot koncentrationsgradientens riktning. Eftersom elektronen har en negativ laddning, så går strömmen i motsatt riktning, i gradientens riktning. Strömmen definieras som:

€

I = e ⋅A ⋅Dn ⋅dndx

Ekv. 2:12

Här har vi en proportionalitetskonstant, Dn, som kallas diffusionskonstanten. Den talar om hur lättrörliga elektronerna är när de känner av en koncentrationsskillnad, på samma sätt som µn talar om hur lättrörlig en elektron är i ett elektriskt fält. Låt oss nu göra en analys av enheten på D: Dn = I/(q⋅A)⋅dx/dn, vilket ger enheten [A]/[As⋅m2]⋅[m]/[m-3] = [m2/s], vilket är snarlikt enheten för rörligheten som är [m2/Vs]. Det innebär att kvoten mellan de två Dn/µn har enheten [V].

Man kan göra en härledning av hur de två materialparametrarna hänger ihop. Eftersom det är komplicerat och inte ger någon mer förståelse, så introducerar vi bara sambandet utan härledning. Det är ett av de viktigare sambanden inom halvledarfysiken och det kallas Einsteinsambandet:

€

Dn =kTq⋅µn =Ut ⋅µn

Ekv. 2:13

k är Boltzmanns konstant i [J/K] eller [eV/K], T är temperaturen [K] och Ut kallas den termiska spänningen och är en viktig faktor inom halvledarfysiken. Den dyker upp i både diodekvationen och transistorekvationerna. Med antagandet att µ är oberoende av temperatur så blir konsekvensen att D ökar med temperatur. Eftersom det oftast är rörligheten och inte diffusionskonstanten som är listad i tabeller med materialparametrar, så kan vi skriva om Ekv. 2:12:

€

I = e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅dndx

Ekv. 2:14

Ellära och ström

19

Figur 2:2. En illustration av vad som händer om man har koncentrationsskillnader. I a) har vi två reservoarer med elektronkoncentrationerna n1 och n2. Om låter dem vara i kontakt med varandra via en ledare så får vi en koncentrationsgradient. Förutsättningen är att reservoarerna ser till att hålla sina respektive koncentrationer oavsett om vi har ett elektronflöde in, i eller ut ur reservoaren. Eftersom strömmen är proportionell mot gradienten kommer vi i jämvikt att få en linjär gradient. Allt annat än en linjär gradient hade resulterat i att strömmen hade varierat längs ledaren, vilket inte kan vara ett jämviktstillstånd. I b) har vi en tillfälligt ökad koncentration av elektroner vid x=0 och tiden t0. Allteftersom tiden går sprider sig elektronerna ut från x=0, för att vid t∞ vara jämnt fördelade i hela ledaren.

Det är lite svårare att göra sig en bild av hur man kan få en gradient i elektronkoncentrationen än hur man får ett elektriskt fält. Ett typiskt exempel på en tvådimensionell koncentrationsgradient är på insidan av ett TV-rör. Insidan är tillverkad med ett ledande skikt så att elektronerna från strålen leds bort ut till sidorna och till jord. Eftersom elektronstrålen sveper med en frekvens som ögat inte kan uppfatta så ser vi inte att den gör det. Vi tittar istället på skärmen på ett oscilloskop, där vi kan stoppa svepet och stå på en enda punkt på skärmen. Det ger upphov till en gradient i elektronkoncentrationen på insidan av skärmen, där koncentrationen är högst i den upplysta punkten och sedan minskar koncentrationen med avståndet ut mot kanterna på skärmen. Det är denna gradient som får elektronerna att röra sig bort från den upplysta punkten. En viktig observation är att diffusionsströmmen som uppstår när man har en koncentrationsgradient inte i sig innebär något spänningsfall som i fallet med den ohmska (drift) strömmen. Vad man kan göra är att man kan minska eller öka strömmen genom att lägga på ett elektriskt fält, där den totala strömmen är summan av de två strömmarna:

€

I = e ⋅ n ⋅µn ⋅ε⋅A+ e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅dndx

Ekv. 2:15

Tecknen i formeln talar om att om vi har det elektriska fältet och koncentrationsgradienten i samma riktning, så ökar strömmen. Eftersom det elektriska fältet går från positiv till negativ pol och gradienten går från låg till hög koncentration, så betyder det att vi ska ha ett överskott på elektroner vid minuspolen för att strömmarna ska samverka. Alternativ så kan vi motverka en diffusionsström med ett motriktat elektriskt fält, d.v.s. genom att lägga en positiv spänning i den punkt som har högst elektronkoncentration. Det är ganska lätt att inse att om vi vill behålla elektronerna vid högkoncentrationssidan så behöver vi lägga på en positiv spänning på just den polen. Det här är illustrerat i Figur 2:3. En annan viktig poäng är att en konstant diffusionsström

x

n

x

n

n=n 1

n=n 2

vnIn

t0

t1t2 t∞"

(a) (b)

0

dndx


20

kräver en linjär gradient. Allt annat hade inneburit att strömmen hade varierat längs x-axeln, vilket hade inneburit att strömmen hade varierat längs x-axel. Det är ju inte en konstant ström!

Figur 2:3. En illustration av drift- och diffusionsströmmar. a) visar en koncentrationsskillnad lik den i Figur 2:2 Till vänster har vi en reservoar med låg koncentration och till höger har vi en hög koncentration av elektroner. Det ger upphov till en linjär gradient (positiv, med en ökning av koncentrationen) från vänster till höger. Det ger upphov till en diffusion av elektroner från höger till vänster, vilket i sin tur ger upphov till en diffusionsström från vänster till höger. b) visar en ledare med en pålagd yttre spänning. Elektronerna dras mot pluspolen, vilket ger upphov till en drift av elektroner mot pluspolen, viket i sin tur ger upphov till en driftström från plus- till minuspol.

Det finns två typer av strömmar. Driftströmmen får elektronerna att rör sig p.g.a. ett elektriskt fält, där de rör sig mot fältets riktning. Diffusionsströmmen får elektronerna att röra sig p.g.a. en koncentrationsskillnad, där de rör sig från hög till låg koncentration. En driftström ger upphov till ett spänningsfall medan så inte är fallet med diffusionsströmmen. Driftströmmen är strömmen i ohms lag.

För att skilja de två typerna av strömmar åt så använder vi indexen "drift" och "diff":

ITotal = Idrift + Idiff.

Termisk elektronrörelse Det sista bidraget till elektronens rörelse kallas för termisk rörelse, eller termisk

hastighet. Det är en rörelse som saknar riktning i meningen att det inte finns någon gemensam riktning för elektronkollektivet. Statiskt sett rör sig inte elektronkollektivet, men varje elektron har en viss hastighet i en viss riktning. Vi kan jämföra elektronernas rörelse med rörelsen hos molekyler i en gas, vilket ger trycket hos gaser. Vid 0K (absoluta nollpunkten) står alla elektroner still, precis som vi har ett gastryck på 0 Pa vid 0K, eftersom alla gasmolekyler står still vid den temperaturen. Allteftersom vi ökar temperaturen, ökar hastigheten. Det gör att varje elektron har en kinetisk energi motsvarande ungefär kT. Eftersom det handlar om många elektroner kommer det att finnas en statistisk fördelning av hastighet bland elektronerna, vissa elektroner står still och vissa har mycket hög hastighet, men genomsnittet motsvarar kT. Alla elektroner rör sig i olika riktningar med olika hastighet, och den termiska rörelsen ger ingen nettoeffekt, d.v.s. ingen ström.

I

+ -

Drift

I

x

El.

konc

.Diffusion(a) (b)

Ellära och ström

21

Effekten av den termiska rörelsen brukar illustreras med statistik. Figur 2:4 (a) visar hur en elektron rör sig med en slumpmässig termisk rörelse. Efter ett antal stötar mot imperfektioner så återvänder elektronen till sin ursprungspunkt. Om vi lägger på ett elektriskt fält så kommer elektronen inte att återvända till samma punkt efter samma antal stötar. Istället har elektronen flyttat sig mot fältets riktning, mot pluspolen. Ju större fält vi lägger på, desto större förflyttning, vilket också visas i Figur 2:4.

Figur 2:4. a) Vid ε=0 kommer elektronens rörelse bara att ges av den slumpmässiga termiska rörelsen. Det betyder att en individuell elektron kommer att återvända till utgångsläget igen efter att ha studsat mot ett antal imperfektioner i materialet. Det gör att det inte går någon nettoström i materialet b) Om vi har ett elektriskt fält där ε ≠ 0 kommer elektronen efter ett antal studsar att ha tillryggalagt en sträcka i motsatt riktning mot fältet. c) Vid en högre fältstyrka går elektronen en längre sträcka under samma tid. I både (b) och (c) går det en ström i fältets riktning.

Vikten av den termiska hastigheten är inte självklar, men om man jämför de tre hastigheterna: drift, diffusion och termisk hastighet så visar det dig att den termiska hastigheten är den högsta av de tre. I kisel är den termiska hastigheten ca 105 m/s vid rumstemperatur. Om en elektron utsätts för ett elektriskt fält som enligt det linjära sambandet borde ge en hastighet som överstiger den termiska hastigheten så visar det sig att den verkliga hastigheten trots det är lika stor som den termiska hastigheten. Istället når vi en maximal hastighet eller gränshastighet, vs (s från engelskans saturation), när det elektriska fältet överstiger ett kritiskt värde, εC. Vi kan jämföra elektronens gränshastighet med vad som händer med en fallskärmshoppare. Efter att fallskärmen har vecklats ut är fallhastigheten konstant och man har uppnått en gränshastighet på grund av luftmotståndet. Figur 2:5 visar hur drifthastigheten och rörligheten beror på det elektriska fältet. Det kritiska fältet är en materialparameter och för en typisk halvledare som Si är värdet på det kritiska fältet ca 106 V/m och motsvarande gränshastighet är ca 105 m/s. Orsaken kan man hitta i stötarna mot imperfektionerna. Vid varje stöt förlorar elektronen hastighet i fältets riktning. Ju större fält, desto snabbare stöter elektronen på imperfektionerna. Vid stora fält så hinner aldrig elektronen få upp farten innan den stöter mot imperfektioner, och hastigheten ges av avståndet mellan imperfektioner och inte av fältet. Därför blir den genomsitsliga hastigheten konstant.

ε=0 ε>0 ε>>0(a) (b) (c)


22

Figur 2:5. Drifthastigheten och rörligheten som funktion av elektrisk fältstyrka. Upp till den kritiska fältstyrkan ökar drifthastigheten linjärt, därefter når den ett mättnadsvärde, gränshastigheten (vs). Rörligheten, som är kvoten mellan hastigheten och fältet, är konstant upp till den kritiska fältstyrkan, därefter avtar den som 1/ε.

Det som gör gränshastigheten så viktig för elektronikkomponenter är att den talar om den absolut kortaste tiden det tar för en elektron att ta sig en viss sträcka. De intressanta sträckorna är t.ex. kanallängden (d.v.s. sträckan från source till drain) i en MOSFET. Den tiden är kopplad till hur hög frekvens en komponent kan drivas med. Ju kortare tid desto högre frekvens. Med en given gränshastighet krävs en kortare kanal för att få en högre frekvens. Det är en av anledningarna till att klockfrekvenserna blir högre och högre på våra datorer, allteftersom linjebredden och därmed kanallängden krymper. Med en kanallängd på 1 µm (10-6 m) behöver man bara en spänning på 1 V mellan source och drain för att uppnå det kritiska fältet. Idag använder man ofta transistorer med kanaler som är kortare än 100 nm och spänningar på ett par volt i digitala tillämpningar.

Kapacitanser – Elektriska fält och laddning Ett viktigt begrepp inom elläran och även inom komponentfysiken är kapacitans. Som

vi ska se lite längre fram så är det kapacitansen som styr hur snabb en komponent är. Den vanliga definitionen på kapacitans är:

€

C =QU

Ekv. 2:16

Där C är kapacitansen, U är spänningen över kondensatorn och Q är den totala laddningen på varje platta. För en vanlig kondensator är kapacitansen konstant, oberoende av U och Q, vilket betyder att kvoten mellan laddning och spänning är konstant. Om man ökar laddningen på en kondensator så ökar man spänningen, eller om man ökar spänningen så ökar man laddningen, beroende på vilken av parametrarna man kan påverka. Den enklaste formen av kondensator är två parallella plattor på ett kort avstånd från varandra. Denna form brukar kallas plattkondensator och kapacitansen ges av:

€

C =εr ⋅ ε0 ⋅A

d

Ekv. 2:17

ε0 är dielektricitetskonstanten i vakuum, εr är den relativa dielektricitetskonstanten för ämnet som ligger mellan plattorna (är det vakuum mellan plattorna så är εr lika med 1), och d är avståndet mellan plattorna. Plattkondensatorn är ett mycket bra exempel på samband

ε εεC εC

vs v

µ

Ellära och ström

23

mellan, laddning, elektriskt fält och spänning. Om vi tittar på en plattkondensator med avståndet, d, mellan plattorna, en platta vid x = 0 (vänster) och en vid x = d (höger). Vi tillför laddningen –Q på vänster platta och laddningen Q på höger platta. Det gör att höger platta får en högre spänning än vänster. Spänningen är 0 längs hela negativa x-axeln och U = Q/C = Q⋅d/(εr⋅ε0) på hela positiva x-axeln för x > d. Från x = 0 till x = d ökar spänningen linjärt från 0 till U. Det elektriska fältet går från hög till låg spänning. För både negativa x-axeln och den delen av den positiva x-axeln där x ≥ d är fältstyrkan 0. Mellan plattorna är fältstyrkan –U/d, minustecknet eftersom fältet ligger från plus till minus. I elektromagnetisk fältteori kallas dessa samband Poissons ekvationer, och kan skrivas som:

€

ζ(x)εr ⋅ ε0

= dε(x)dx

= − d2U(x)dx2

€

ε(x) = − dU(x)dx

Ekv. 2:18

ζ är laddningen per volym. För att få fram den totala laddningen, Q, behöver vi multiplicera med plattornas area och tjockleken på plattorna, om laddningen är fördelad jämnt i plattorna. Ekv. 2:18 kan skrivas om som en integral:

€

ε(x2) =ζ(x)εr ⋅ ε0

dxx1

x 2

∫ +ε(x1)

Ekv. 2:19

För ett material med en given dielektricitetskonstant kommer förändringen av fältstyrkan över ett intervall att ges av summan av laddningen i intervallet, även om den inte är homogent fördelad. För en konstant laddningskoncentration över sträckan Δx ges ε(x2) av:

€

ε(x2) = −ζ ⋅A ⋅ Δxεr ⋅ ε0

+ε(x1) =Q

εr ⋅ ε0+ε(x1)

Ekv. 2:20

Från fältet kan vi sedan få fram spänningen:

€

U(x2) = U(x1) − ε(x)x1

x 2

∫ dx

Ekv. 2:21

Från Ekv. 2:19 kan vi se att vi får en förändring av den elektriska fältstyrkan över ett intervall (x1 till x2) när vi har en nettoladdning, Q, i intervallet, där Q ≠ 0. Om vi integrerar Ekv. 2:19 över ett intervall som har lika mycket positiv som negativ laddning har vi samma fältstyrka vid x1 som x2. Det betyder dock inte nödvändigtvis att vi har samma fältstyrka i hela intervallet.

Från Ekv. 2:21 ser vi att det bara är när vi har ett elektriskt fält som är skiljt från noll i intervallet vi integrerar över som vi får en förändring av spänningen.


24

Det enklaste fallet av förhållandet laddning - fält - spänning är en kondensator där vi har laddningen i ytan på plattorna. Vi tänker oss en plattkondensator med den negativa plattan till vänster och den positiva till höger. Då har vi en laddningsfördelning som är en negativ deltafunktion (med arean Q) på den negativa plattan och en motsvarande positiv deltafunktion på den positiva plattan (en deltafunktion har oändlig höjd och är oändligt smal med arean 1): Fältet är noll utanför gapet mellan plattorna och konstant (negativt) i gapet mellan

plattorna. Spänningen är konstant utanför gapet mellan plattorna och ökar linjärt mellan

plattorna. Spänningen är mer negativ på minussidan än på plussidan. Potentialskillnaden

mellan negativ och positiv platta motsvarar den pålagda spänningen. Om vi gör det lite mer komplicerat så har vi laddningen utspridd homogent i plattorna:

Fältet är fortfarande noll utanför plattorna och konstant (negativt) i gapet. Skillnaden är att fältet minskar linjärt från noll igenom den negativa plattan och ökar linjärt till noll igenom den positiva plattan när vi går längs x-axeln. Funktionen som beskriver det elektriska fältet ser ut som en trunkerad (avhuggen) triangel.

Spänningen är även nu konstant utanför plattorna, mer negativ på minussidan än på plussidan. Spänningen ökar linjärt i gapet som tidigare. I plattorna är situationen lite mer komplicerad. Eftersom fältet ändras linjärt kommer spänningen att ändras med ett andragradspolynom, ax2 + bx + c. I den negativa plattan är a > 0 eftersom fältet minskar linjärt och i den positiva plattan är a < 0 eftersom fältet ökar linjärt.

I kursen kommer vi inte att stöta på något mer komplicerat än konstanta laddningsfördelningar, så det blir aldrig mer komplicerat än så här. Detta är illustrerat i Figur 2:6.

Ellära och ström

25

Figur 2:6. En illustration av sambandet mellan laddning, elektriskt fält och elektrostatisk potential. a) visar geometrin på plattkondensatorn, med en platta vid x = 0 och den andra plattan vid x = d. b) visar laddningsfördelningen med den totala laddningen –Q på vänster platta och +Q på den högra plattan. I figuren är laddningen jämnt fördelad över plattornas utsträckning längs x-axeln. c) visar det elektriska fältet som laddningen på plattorna i (b) ger upphov till. Fältet minskar (fältstyrkans negativa värde ökar) linjärt från vänster till höger på den negativa plattan, för att vara konstant i gapet mellan plattorna, för att slutligen linjärt gå upp till sitt ursprungliga värde genom den positiva plattan. d) visar spänningen som genereras av laddningen på plattorna i (b). Genom den negativa plattan ökar spänningen med ett andragradspolynom (U=ax2+bx+c), i gapet ökar den linjärt för att återigen öka med ett andragradspolynom i den positiva plattan. Om vi förenklar till fallet att laddningen bara ligger i ytan får vi ett konstant elektriskt fält, noll utanför gapet och negativt i gapet. Det medför att spänningen är konstant till vänster om plattorna, ökar linjärt i gapet och är konstant igen till höger om plattorna. Spänningne till höger är högre än till vänster om plattorna.

Sammanfattning av ellära Mycket av hur en halvledarkomponent fungerar kommer från elläran.

Likströmsegenskaperna bestäms av två typer av strömmar. Den ena är den välkända driftströmmen som är grunden i Ohms lag, där laddningsbärarna drivs av ett elektriskt fält. Driftströmmen beror på den elektriska fältstyrkan (d.v.s. spänningen och längden), koncentrationen av fria laddningsbärare, tvärsnittsarean hos ledaren och rörligheten hos laddningsbärarna. Rörligheten (även kallad mobiliteten) är en materialparameter som beskriver hur lättrörliga laddningsbärarna är i ett elektriskt fält. Den andra strömmen är den mindre kända diffusionsströmmen där laddningsbärarna drivs av en koncentrationsgradient. Diffusionsströmmen ges av koncentrationsgradienten (koncentrationsskillnaden och längden), tvärsnittsarean och diffusionskonstanten. Material–parametern diffusionskonstanten beskriver hur lättrörliga laddningsbärarna är i en koncentrationsgradient. Diffusionskonstanten hänger ihop med rörligheten genom den termiska spänningen.

En annan viktig del av elläran är Poissons ekvationer som talar om sambandet mellan laddning, elektrisk fält och spänning (eller egentligen elektrostatisk potential). En enkel illustration av Poissons ekvationer är en laddad plattkondensator.

ζ

ε

U

x

x

xd

d

d

(a)

(b)

(c)

(d)

- 26 -

3. Grundläggande halvledarfysik

det här kapitlet kommer vi att introducera en mängd begrepp som är nödvändiga för att förstå hur olika komponenter fungerar. Det är en rad definitioner och en hel del begrepp

som vi antar att läsaren inte har stött på tidigare. Det är mycket viktigt för resten av kompendiet att man förstår terminologin. Det som vi går igenom här är en förenklad version av halvledarfysiken. Vi kommer egentligen bara att skrapa på ytan, men det är fullt tillräckligt för att man ska kunna förstå hur de vanligaste halvledarkomponenterna fungerar. Det begränsar vissa detaljer i förståelsen av hur en del komponenter fungerar, men det motiverar inte att vi gör en mer detaljerad genomgång av halvledarfysiken. Vi kommer t.ex. att behandla de mest signifikanta temperaturberoendena, men vi kommer att bortse från att många materialparametrar har ett svagt temperaturberoende. Dessa behandlas i fortsättningskurser i halvledarfysik för den som intresserad.

Metall, halvledare och isolator Historisk sett har man delat in material efter deras ledningsförmåga, d.v.s. resistivitet

eller konduktivitet. Figur 3:1 visar resistiviteten och konduktiviteten för ett antal olika material. För att klassas som ledare ska resistiviteten var mindre än 1×10-5 Ωm (1×101 Ωmm2/m), vilket motsvarar en konduktivitet på 1×105 S/m. Ledarna är i huvudsak metaller, så vi kommer att använda beteckningen ”metall” i fortsättningen. Den vanligaste metallen i ledare är koppar med en resistivitet på 2×10-8 Ωm. För att klassas som isolator ska resistiviteten vara större än 1×106 Ωm (1×1012 Ωmm2/m), eller en konduktivitet på 1×10-6 S/m. Typiska isolatorer är glas, plast och porslin. Kvartsglas har en resistivitet på 1×1016 Ωm. Ämnen som hamnar mellan de två typerna är varken bra ledare eller bra isolatorer. Man kallade dem därför halvledare när man en gång i tiden klassificerade olika ämnen efter deras ledningsförmåga. Om en viss spänning över en koppartråd ger en ström på 1A, så får man en ström på 10-24 A genom en kvartsstång med samma dimensioner!

Vanliga halvledare är Si och Ge. Betecknade för halvledarna är att deras resistivitet kan ändras signifikant med inblandning av föroreningar. Till skillnad från metaller minskar resistiviteten oftast med ökande grad av förorening. Ett exempel är att rent Ge har en

I

Grundläggande halvledarfysik

27

resistivitet på 1 Ωm och avsiktligt förorenat Ge kan ha en resistivitet på 1×10-5 Ωm, d.v.s. en minskning med fem tio-potenser. Det gör att Ge är på gränsen till en ledare enligt den gamla klassificeringen. Det är just möjligheten att ändra ledningsförmågan som gör halvledarna så intressanta för komponenter. I det här kapitlet kommer vi att förklara orsaken till den variabla ledningsförmågan. I vår förenklade beskrivning kommer vi att bortse från att många materialparametrar inte är konstanta utan kan påverkas av andra faktorer och parametrar som t.ex. temperatur och förekomsten av föroreningar.

Figur 3:1. En illustration av några ämnen med deras resistivitet/konduktivitet. Ledarna och isolatorerna har ganska väldefinierade resistiviteter, medan halvledarna oftast har en ganska stor variation i resistiviteten. Variationen beror bl.a. på inblandning av föroreningar, vilka i allmänhet minskar resistiviteten.

Vi har i föregående kapitel sett hur ledningsförmågan beror på koncentrationen av elektroner och vi kommer nu att studera var elektronkoncentrationen kommer från. För att kunna göra det så behöver vi introducera en hel del grundläggande halvledarfysik. Grunderna för halvledarfysiken kommer från energistrukturen i Bohrs atommodell.

Bohrs atommodell Bakgrunden till indelningen i de tre kategorierna kan man hitta i materialens

elektroniska struktur. För att förstå vad som händer kommer vi att gå igenom den elektroniska strukturen på två olika sätt. Båda sätten ger samma resultat och båda är ganska förenklade. En stringent härledning av den elektroniska strukturen kräver ganska avancerade beräkningar och baserar sig på kvantmekanik. Vi kommer att basera vår härledning på kunskaper från atomfysik, antingen fysiken från årskurs E1 eller från gymnasiefysiken.

En atom består av en kärna där alla protoner och neutroner befinner sig och dessutom finns elektronerna i olika skal, som betecknas K, L, M, N... I Bohrs atommodell finns elektronerna i K-skalet närmast kärnan och därmed hårdare bundna än de andra elektronerna. Hårdare bundna betyder att vi måste tillföra mer energi för att ta loss elektronerna från atomen. I K-skalet finns det plats för 2 elektroner. Nästa skal, L-skalet har plats för 8 elektroner Dessa är inte lika hårt bundna som elektronerna i K-skalet. M-


28

skalet har plats för 18 elektroner (egentligen 8 + 10) som är lösare bundna än båda elektronerna i K- och L-skalen, osv. När vi tittar på elektronstrukturen hos en viss typ av atom så fyller vi på elektronerna i de olika skalen. Först i K-skalet, sedan i L-skalen och därefter i M-skalet o.s.v. tills vi har stoppat in alla elektroner. Upp till 8 elektroner i M-skalet är enkelt, men sedan börjar det bli lite svårare. Det finns nämligen tillstånd i N-skalet som har lägre energi än det sista platserna i M-skalet. Ädelgaserna i grupp 8 i periodiska systemet har skalen antingen helt fulla eller helt tomma. Helium har 2 elektroner i K-skalet; neon har 2 elektroner i K-skalet och 8 elektroner i L-skalet; argon har 2 elektroner i K-skalet, 8 elektroner i L-skalet och 8 elektroner i M-skalet, o.s.v.

Aluminium med atom nummer 13 är illustrerat i Figur 3:2. Kisel (Si) har t.ex. atomnummer 14. Det ger 2 elektroner i K-skalet, 8 elektroner i L-skalet och 4 elektroner i M-skalet. Orsaken till att vi har olika skal är att elektroner inte tycker om att vara instängda i samma energitillstånd. Från fysiken känner vi igen det här som Pauliprincipen*. Det ryms normalt två elektroner per tillstånd eftersom elektronen har spinn (antingen upp eller ner) och då kan två elektroner med olika spinn finnas i samma energitillstånd. Därför kan det finnas två elektroner i K-skalet. Tittar vi lite närmare på L-skalet så består det egentligen av fyra skal som ligger mycket tätt ihop i energi - därav 8 elektroner i det skalet. Figur 3:2 visar en aluminiumatom med skal och motsvarande diskreta energinivåer.

Figur 3:2. Aluminium har normalt 13 elektroner, två i K-skalet, åtta i L-skalet, tre i M-skalet och inga i N-skalet. Varje skal har en diskret energinivå kopplad till sig. I figuren är energinivåerna relaterade till joniseringsgränsen, d.v.s. den minsta energin som behöver tillföras för att lyfta en elektron från ett givet skal och ta bort den från atomen.

Det finns ett antal konsekvenser av elektronernas skal. En av de viktigaste är att varje skal kan tilldelas en energi, där det innersta skalet, K-skalet, har den lägsta energin. Därefter har varje skal ökande energi med ökande bokstav i alfabetet. Så länge elektronerna är bundna till kärnan kan de bara finnas i skalen, inte mellan skalen. Det

* För elektroner innebär Pauliprincipen att två elektroner med samma spinn inte kan ha samma energinivå om de är tillräckligt nära för att känna av varandra. Om man trots det tvingar ihop två identiska elektroner så kommer deras energinivåer att splittras upp i två skilda energier.

K

ML

Elektroner

Kärna

Al: Z=13Elektronenergi

Joniseringsgräns3eV

70eV

6eV

1600eV


29

betyder att en elektron bara kan ha ett antal diskreta energier, så att elektronerna bara kan ha just den energin, varken mer eller mindre. Dessa energier är alla definierade relativt varandra. Ett exempel är väte, där vi behöver tillföra 1,6×10-18 J, eller om vi använder den mer användbara enheten elektronvolt så behövs det 10,2 eV för att lyfta elektronen från K-skalet till L-skalet. Eftersom det handlar om diskreta energinivåer så måste vi tillföra exakt rätt energimängd. Om vi tillför minst 13,6 eV kan vi helt och hållet ta bort elektronen från atomen. Vi har joniserat atomen och när vi tar bort elektronen från atomen så blir överskottsenergin, d.v.s. över 13,6 eV till rörelseenergi. Energinivåerna ges av Bohrs atommodell:

€

En = − 13,6 ⋅ Z2

n2 Ekv. 3:1

Z är atomnumret som innebär antalet protoner i kärnan och n är numret på skalet, n=1 för K, n=2 för L o.s.v. I Bohrs atommodell använder man jonisationsgränsen som referens och då är alla energinivåer negativa, därav minustecknet i ekvationen. Ibland använder man den lägsta energinivån, K-skalet som referens, och då är alla andra energier positiva.

Energinivån finns även om man inte normalt har en elektron där. T.ex. finns alla skal och motsvarande energinivåer i väte, trots att väteatomen normalt bara har en elektron som nästan uteslutande befinner sig i K-skalet. Vi har sett att vi kan lyfta en elektron till ett högre skal, förutsatt att det finns en ledig plats där och att vi tillför rätt mängd energi. På samma sätt kan en elektron från ett högre skal gå till ett lägre skal om det finns en ledig plats där. I det här fallet har vi istället fått extra energi. Eftersom elektronen inte kan ha annat än just den energi som motsvarar det skalet så måste den göra sig av med överskottsenergin. I de flesta fall sker det genom att det skickas ut en foton, en ljuspuls. Beroende på hur stor energiskillnad det är mellan skalen så kan det vara allt från infrarött ljus, synligt ljus till röntgenstrålning. Fotonenergin, Efot i eV är kopplad till våglängden på fotonen, λfot i nm:

€

Efot[ eV]=1254

λfot[ nm]

Ekv. 3:2

En typisk användning av emissionen som kommer från att en elektron ramlar ner från ett skal till det närmast lägre skalet är i neonlysrör. Det sker när en elektron från M-skalet ramlar ner till L-skalet. Eftersom det rör sig om en mycket väldefinierad energi mellan de två nivåerna så motsvarar det en mycket välbestämd färg. Samma sak gäller för den orangea färgen på gatubelysningen. Den kommer från en övergång i natrium. Bland övergångar med högre energi så kan vi nämna övergången mellan K- och L-skal i koppar som ger upphov till röntgenstrålning. Det används i många röntgenanläggningar på våra sjukhus. De optiska egenskaperna hos halvledare kommer att diskuteras i ett senare kapitel, Optokomponenter.


30

Bandgap och bandstrukur En viktig konsekvens av Pauliprincipen är det som händer om man för ihop två eller fler

atomer till en molekyl. När två identiska atomer kommer så nära varandra att de känner av varandra så händer det saker med energinivåerna i de yttersta skalen. Istället för en uppsättning diskreta nivåer motsvarande atomen, så får vi två separata uppsättningar nivåer, den ena är skiftad ner i energi och den andra är skiftad upp i energi. Det beror på att identiska elektroner ju inte trivs i samma energinivå som grannen. Det är som när man för ihop två motriktade magneter. Den ena försöker röra sig upp och den andra ner. Ju närmare man för dem, desto längre rör de sig isär. Figur 3:3 illustrerar vad som händer när två identiska atomer kommer i närheten av varandra. Skiftet upp i energi är inte nödvändigtvis samma som skiftet ner i energi, vilket innebär att medelvärdet av energinivåerna inte behöver vara identiskt med nivåerna för den enskilda atomen. Det gör att man inte direkt från energistrukturen på en enskild atom kan få fram den exakta energistrukturen hos en molekyl. Det är bara det principiella utseendet man får fram. Skillnaden mellan de två skiftade energinivåerna beror på avståndet mellan atomerna, där ett kortare avstånd ger en större skillnad. Det är viktigt att poängtera att man inte kan skilja på nivåerna — man kan t.ex. inte identifiera att de lägre energierna hör till den högra atomen, även om det ser så ut i figuren. Alla tillstånd hör till molekylen och inte de enskilda atomerna.

När vi tar ett steg till och för ihop tre identiska atomer så splittrar de diskreta nivåerna upp i tre separata nivåer, där den tredje ligger i mitten. Den maximala skillnaden är i princip samma som för två atomer, så länge det rör sig om samma avstånd mellan atomerna som för de två atomerna. Så här kan man hålla på att fylla på med atomer och öka antalet nivåer med en uppsättning för varje atom man lägger till i molekylen.

Figur 3:3. När två identiska atomer kommer i närheten av varandra i en molekyl så splittras atomernas diskreta energinivåer upp i två uppsättningar av nivåer. Den ena uppsättningen skiftar upp i energi och den andra skiftar ner i energi. Detta beror på att elektroner som känner av varandra inte kan ha samma energi (Pauliprincipen). Samtidigt kan medelvärdet av energinivåerna skifta både up och ner. Energinivåerna hör till molekylen och inte till de individuella atomerna, även om det är ritat så i den här figuren.

Nu tar vi steget fullt ut och tittar på energistrukturen i en kristall som innehåller ett stort antal atomer, N stycken atomer. Karakteristiskt för en kristall är att atomerna sitter fast i ett regelbundet mönster, med identiska avstånd mellan närliggande atomer. Enligt resonemanget ovan får vi nu N nivåer från varje ursprungsnivå. I en kristall av kisel har vi 1029 atomer per m3, vilket är ett så stort antal att vi inte längre kan tala om individuella

Elektronenergi

K

M

LK

M

L


31

nivåer och vi kan inte längre se energistrukturen som individuella energinivåer. Man talar om att vi har band av energinivåer istället. På samma sätt som energinivåerna i molekylen är en egenskap hos molekylen så är banden en egenskap hos hela kristallen och inte de individuella atomerna. Banden är egentligen fyrdimensionella lådor för elektroner. Varje låda har tre rumsliga dimensioner, en för varje fysisk dimension (x, y och z). Den fjärde dimensionen är energi.

Ett exempel: En typisk diod av kisel tar upp en volym av 0,1 mm3, eller 1×10-10 m3. Det gör att den innehåller ungefär 1019 atomer!

I varje band (eller låda) finns det plats för det antal elektroner som finns i det

ursprungliga skalet. Bandet som hör till K-skalet har alltså 2⋅N elektroner så att kristallens alla K-elektroner får plats, L-skalet har 8⋅N elektroner och M-skalet har 8⋅N elektroner, o.s.v. Figur 3:4 visar hur de atomära energinivåerna splittrar upp i band. I det här fallet har vi den fiktiva neonkristallen. Det understa bandet som hör till K-skalet är fullt, nästa band som hör till L-skalet är också fullt. Nästa band, M-skalet är helt tomt. Det högsta bandet med elektroner i kallas valensband, eftersom det är här atomens valenselektroner finns. Nästa band, som är helt tomt kallas för ledningsband. Skälet till namnet kommer att klarna längre fram i detta kapitel.

En viktig skillnad mellan energinivåerna för en atom eller molekyl och en kristall är att atomen och molekylen har en utsträckning på ca 1 Å, eller 0,1 nm eller 1×10-10 m, medan kristallen kan ha en utsträckning på allt från några nm (≈ 1×10-9 m) till flera dm (≈ 0,1 m). En av största halvledarkristallerna som finns är den som är utgångsmaterialet för dagens halvledarkretsar. Innan man sågar ut tunna skivor av för tillverkning av kretsar är kiselkristallen 30 cm i diameter och en dryg meter lång. Energistrukturen för atomen har i princip bara energi på y-axeln och ingen utsträckning i x-led. För kristallens band har vi också energi på y-axeln, men x-axeln har en rumslig utsträckning motsvarande utsträckningen på kristallen (i tre dimensioner). Det är en konsekvens av att bandstrukturen är en egenskap hos kristallen och inte av de individuella atomerna som kristallen är uppbyggd av. Det gör att energistrukturen har fyra dimensioner, bredd, höjd och längd på kristallen plus energi, men för att göra det enkelt för oss ritar vi den i en rumslig dimension och energi. Rör det sig om en homogen kristall så är dessutom alla tre rumsliga riktningar identiska och bandstrukturen ser likadan ut i vilken riktning vi än tittar i. Det enda som ändras är utsträckningen på banden. När vi senare tittar på olika komponenter så ritar vi oftast bandstrukturen längs specifika riktningar, t.ex. längs strömriktningen i en diod.


32

Figur 3:4. En jämförelse mellan energinivåerna i en enstaka atom och i en kristall av samma atomer. Varje diskret atomär energinivå splittras upp i band av kontinuerliga tillstånd. Atomens tillstånd har ingen rumslig utsträckning, medan kristallens band har en utsträckning i alla kristallens tre rumsliga dimensioner. Är kristallen homogen så är banden identiska i alla riktningar. Varje band innehåller lika många elektroner per atom som vad den enstaka atomens energinivåer gör. Bandet som motsvarar K-skalet innehåller 2 elektroner per atom, bandet som motsvarar L-skalet innehåller 8 elektroner per atom, o.s.v. Det översta bandet med elektroner i kallas för valensband, för det är där som atomens valenselektroner befinner sig. Nästa band kallas för ledningsband. Ofta finns det ett energiintervall mellan valens- och ledningsbanden. Detta energiintervall kallas bandgap och är ett område där det inte kan finnas några elektroner med just den energin. Banden har samma rumsliga utsträckning som kristallen.

Strukturen med band som visas i Figur 3:4 kallas för banddiagram eller bandstruktur. Vi har alltså ett band som innehåller elektroner, inte nödvändigtvis fullt, men det innehåller atomens valenselektroner. Detta band kallas alltså valensbandet. Bandet över är då helt tomt på elektroner och kallas för ledningsbandet. Bakgrunden till beteckningen är inte helt självklar ännu, men den kommer att ge sig lite längre fram i kapitlet. Ofta är det ett gap mellan ovankanten på valensbandet och underkanten på ledningsbandet. Här finns det inga tillstånd för elektroner så här kan inga elektroner befinna sig. Detta energiintervall kallas därför för det förbjudna bandgapet, eller bara bandgap. Bandgapet är avståndet mellan överkanten på det översta fyllda bandet och underkanten på det nedersta tomma bandet. Vad betyder då det energiintervallet som själva bandet upptar? Enklast är att titta på det tomma ledningsbandet. Vid underkanten på bandet så har elektronen bara precis tillräckligt med energi att ta sig dit från valensbandet. Om vi tillför lite mer energi så börjar elektronen att röra sig i kristallen. Ju mer energi desto fortare rör den sig. Energin över bandkanten motsvarar alltså i princip den kinetiska energin: Ekin=mn⋅v2/2.

När vi tittar på en kristall så utgår vi från en atom och konstruerar motsvarande bandstruktur. Sedan plockar vi in alla kristallens atomers elektroner i de olika banden. Om valensbandet är helt fyllt så finns det inga energitillstånd i närheten, varken rumsligt eller i energi som en elektron kan flytta till. Det gör att alla elektroner sitter fast kring sina atomer. Allt som kan hända är att elektronerna byter plats med varandra. Om vi försöker flytta elektroner med hjälp av ett elektriskt fält händer inte mycket och det går ingen ström. Man kan jämföra det här med ett enkelt gammalt spel som kallas 15-spel. Man har en spelplan med 16 rutor och 15 numrerade brickor. Spelet går ut på att flytta brickorna för att generera en viss följd av siffror genom att använda tomrummet (eller hålet) som

Atom

Kristall Bandgap

Ledningsband

Valensband

8•N

E

xx

y

z 8•N

2•N


33

avsaknaden av den 16:e brickan skapar, illustrerat i Figur 3:5(a) och (b). Ett helt fyllt band motsvar då en spelplan med 16 brickor, där det inte går att flytta elektronerna. Figur 3:5(c) visar ett spelplan med 16 elektronbrickor, vilket motsvara ett fullt band. Möjligtvis kan två elektroner byta plats med varandra, men det innebär ingen nettoförflyttning av laddningsbärare. I bandet har vi dessutom situationen att alla brickor är identiska. Ingen ström innebär att vi har en isolator.

Figur 3:5. Som illustration av helt och delvis fyllda band använder vi ett klassiskt spel, 15-spelet. Det går ut på att flytta 15 brickor på en spelplan för att åstadkomma sekvenser av siffror, som t.ex. i a) och b) genom att utnyttja hålet där den saknade 16:e brickan borde finnas. c) Om vi överför det på ett helt fyllt band har vi 16 identiska brickor (elektroner) som inte går att flytta. Ett elektriskt fält längs x-axeln hade inte resulterat i någon ström eftersom det inte finns några elektroner som kan röra sig. d) Om bandet är halvfullt kan vi lyfta upp en elektron till tredje raden och då kan den plötsligt röra sig åt höger och vi kan få en ström.

Om valensbandet inte är helt fyllt motsvarar det att vi har en spelplan med t.ex. åtta brickor och åtta hål. Om vi tänker oss att x-axeln motsvarar den rumsliga x-axeln och y-axeln motsvarar energiaxeln så hamnar alla elektroner i nedre halvan av spelplanen, de vill inta så låga energitillstånd som möjligt. Om vi tillför lite energi till en elektron så att den kommer upp till nästa rad, som i Figur 3:5 (d) så kan vi plötsligt röra elektronen längs x-axeln. Vi får en ström genom kristallen om vi lägger på en spänning. Ström betyder att vi har en ledare (i de flesta fall en metall).

Om vi nu går tillbaka till isolatorn så kan vi se den som att vi har ett band som är helt fyllt med elektroner (valensbandet) och ett band ovanför som är helt tomt på elektroner (ledningsbandet). Om bandgapet mellan de två är tillräckligt litet är det möjligt att få elektroner att hoppa över bandgapet från valensbandet upp i ledningsbandet. Ledningsbandet är nu i det närmaste helt tomt så ett fåtal elektroner har inga problem att röra sig här och kan därför leda ström. Här blir elektronerna alltså ledande, därav namnet ledningsband. Det är här som elektronerna leder stöm.

Hur litet ska då bandgapet vara för att elektroner ska kunna hoppa upp i ledningsbandet? Om vi går tillbaka till föregående kapitel konstaterar vi att varje elektron har en termisk energi motsvarande k⋅T. k=8,6×10-5 eV, vilket betyder att varje elektron har en termisk energi på ungefär 26 meV vid rumstemperatur (T=300K). Med ett bandgap på 26 meV borde vi kunna få upp samtliga elektroner som finns längst upp i valensbandet till ledningsbandet och vi hade då fått en mycket bra ledningsförmåga. Kisel är en halvledare som har ett bandgap på 1,11 eV eller 1,7×10-19 J. Nu ser vi orsaken till att vi oftast föredrar enheten [eV] framför [J] i halvledarfysiken. Med kisels bandgap på 1,11 eV borde vi då inte kunna få upp några elektroner alls, det borde krävas en temperatur där k⋅T = 1,11 eV, eller nära 13 000 K, vilket inte är rimligt. Det som räddar situationen är att de 26 meV är ett medelvärde, där vissa elektroner har mer energi och vissa har mindre. Kisel har ca

(a) (b) (d)(c)1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

1 12 11 10

2 13

7

9

3 14 15 8

4 5 6

e e e e

e e e e

e e e e

e e e e

e

e e e

e e e e


34

1029 kiselatomer per m3 och varje kiselatom har 4 elektroner i valensbandet, vilket som vi för övrigt ska se lite senare faktiskt ger upphov till ett fullt valensband. Om vi gör en statistisk fördelning av den termiska energin så visar det sig att en bråkdel av dessa elektroner har tillräckligt med energi för att ta sig upp i ledningsbandet. I rumstemperatur finns det ca 1016 elektroner per m3 i ledningsbandet. Det motsvarar en elektron på 1013 atomer, så det rör sig verkligen om ett fåtal elektroner. Elektronerna i ledningsbandet ger en viss ledningsförmåga, inte lika bra som ledarna men inte lika dålig som isolatorerna.

Det visar sig att isolatorer och halvledare har samma typ av bandstruktur, med ett fyllt valensband och ett tomt ledningsband. Det som skiljer en halvledare från en isolator är att bandgapet är tillräckligt litet på en halvledare för att få ett signifikant antal elektroner i ledningsbandet. Som vi har sett har kisel en elektronkoncentration i ledningsbandet på ca. 1016 m-3, medan en isolator som diamant med ett bandgap på 5,46 eV har en koncentration på 10-29 m-3. Det betyder att man behöver en volym på 1029 m3 för att hitta en elektron i ledningsbandet på en diod. 1029 m3 är 1012 mil3. Det kan jämföras med jordens volym på ca 109 mil3!!! Gränsen mellan halvledare och isolator är lite odefinierad när det gäller storleken på bandgapet. Man kan hitta ett antal olika värden på gränsen, allt från 1 till 3 eV. Ett material med högt bandgap som används i de moderna vita lysdioderna, GaN, har ett bandgap på drygt 3 eV. Det gör att vi här väljer den högsta vedertagna gränsen på 3 eV. Med framsteg i tillverkning kan även material som betraktas som isolatorer användas i komponenter. Ett exempel är att man nu arbetar på att göra komponenter i diamant, med ett bandgap på 5,46 eV, vilket egentligen är en isolator. Det som gör diamant så intressant är att komponenter kommer att fungera vid mycket höga temperaturer där kisel har slutat fungera. Man kan t.ex. använda diamant för att göra elektronik som fungerar i en jetmotor. Figur 3:6 visar banddiagrammen för de tre typerna.

Figur 3:6. Banddiagram för det tre kategorierna av material. I metallen är valensbandet antingen delvis fyllt, eller så överlappar ledningsband och valensband. Resultatet är att mycket lite energi krävs för att lyfta en elektron till en energi där elektronen kan röra sig längs x-axeln och bidra till strömmen. I halvledaren och isolatorn är valensbandet helt fyllt, ledningsbandet är helt tomt och är separerade av ett bandgap. Bandgapets storlek avgör hur stor elektronkoncentration vi har i ledningsbandet. Brytpunkten mellan halvledare och isolator är lite flytande, men i et här kompendiet här är använder vi 3 eV.

Om ett antal elektroner har tillräckligt med energi för att ta sig över bandgapet så lämnar de ”hål” efter sig i valensbandet. Det gör att elektronerna som finns kvar i valensbandet har en chans att röra sig i t.ex. ett elektriskt fält. Nu tar vi till en definition

Eg > 3 eV 0 < Eg < 3 eV Eg = 0 eV

Metall Halvledare Isolator E


35

som är ett mycket användbart trick. Istället för att titta på ett stort antal elektroner i valensbandet tittar vi på det fåtal ”hål” som blir kvar i valensbandet. Följaktligen kallar vi dessa hål. Valensbandet i kisel innehåller ca 1029 m-3 elektroner och ca 1016 m-3 hål vid rumstemperatur. Ett hål beter sig som en partikel med en massa i samma storleksordning som elektronen men med en positiv laddning. På samma sätt som elektronen reagerar på ett elektriskt fält med en rörlighet reagerar hålet på det elektriska fältet med en rörlighet. Skillnaden är att hålet går i fältets riktning när elektronen går mot fältets riktning. Med olika laddning betyder det att elektron- och hålströmmarna går i samma riktning. En skillnad är att elektronerna leder ström i ledningsbandet och hålen leder ström i valensbandet. Eftersom båda partiklarna är laddade och sköter strömtransport så använder vi en gemensam beteckning: laddningsbärare. Både elektroner och hål strävar efter att inta ett så lågt energitillstånd som möjligt. För elektronernas del betyder det att de vill gå neråt i energidiagrammet, de beter sig som vattendroppar som vill bilda en vattenpöl i valensbandet. För hålens del betyder det att de strävar efter att ta sig så högt upp i banddiagrammet som möjligt, de beter sig som bubblorna i läsk. Det man ska tänka på är att ett tomt band är fyllt med bubblor.

Elektronerna i ledningsbandet brukar kallas ”fria” eftersom dessa kan röra sig från sina ursprungsatomer, till skillnad från elektronerna i valensbandet som sitter fast vid sina ursprungsatomer. Samma sak gäller för ”fria” hål i valensbandet till skillnad från hål i ledningsbandet. Vi brukar kalla dessa två laddningsbärare för ”fria” och det är de fria laddningsbärarna som står för strömtransporten i en halvledare. I fortsättningen kommer vi att tala om elektroner och hål och syfta på fria elektroner och fria hål.

Elektroner i ledningsbandet till skillnad från i valensbandet kan röra sig i kristallen, vilket gör att de brukar kallas fria laddningsbärare. Detsamma gäller för hål i valensbandet.

Vi nämnde tidigare att kisel har ett fyllt valensband, trots fyra och inte åtta elektroner i valensbandet. Hur går det till? Det handlar om hur atomerna kopplar ihop med varandra i kristallstrukturen. Vad som händer är att varje kiselatom omger sig med fyra andra kiselatomer och delar med sig av sina valenselektroner, en med var och en av de fyra atomerna. Genom att dela med sig kan varje atom omge sig med åtta elektroner och därmed fylla sitt yttre skal. Det här är en vanlig konfiguration och kallas en kovalent bindning. Ett begrepp som kanske känns igen från gymnasiekemin.

Figur 3:7 visar hur kiselatomer i en kristall delar elektroner med varandra för att fylla sitt yttersta skal med åtta elektroner.


36

Figur 3:7. I kiselkristallen binder varje atom fyra atomer med kovalenta bindningar, d.v.s. den delar var och en av sina fyra valenselektroner med var och en av de fyra grannarna. Det gör att varje atom på det här sättet får 8 elektroner i det yttersta skalet och därmed får vi ett fyllt valensband och ett tomt ledningsband. Figuren visar också kopplingen mellan den rumsliga utsträckningen av banden och kristallen. Övre figuren är en tvådimensionell bild av en tredimensionell kristall. Den undre delen av figuren visar banddiagrammet för kristallen.

Med hjälp av Figur 3:7 kan vi också diskutera bandstrukturen på ett alternativt sätt. Istället för att se banden som en uppsplittring av ett stort antal diskreta nivåer så kan vi se överkanten på valensbandet, EV, och underkanten på ledningsbandet, EC, som modifierade energinivåer. De atomära nivåerna är beräknade för en enskild atom i vakuum. I kristallen sitter atomerna i en omgivning som inte är vakuum, vilket gör att energinivåstrukturen mycket väl kan bli modifierad. Elektronerna i atomen rör sig runt kärnan, men trots rörelsen kan de inte ta sig bort från atomen. Till skillnad från i en atom så kan en elektron röra sig fritt i kristallen när den kommer upp i ledningsbandet. Det betyder att den dessutom kan ha en kinetisk energi (Ekin = m⋅v2/2), där hastigheten är från atom till atom i kristallen. Det gör att vi utöver energin som motsvarar ledningsbandskanten kan ha en kinetisk energi, d.v.s. Etot = EC + Ekin. Det betyder att hastighetstermen lyfter elektronen uppåt från ledningsbandskanten. Ju fortare elektronen rör sig, desto högre upp i bandet finns den. Det gör att vi kan uppskatta utsträckningen av bandet i energiled. Med en massa på 0,9×10-30 kg och en gränshastighet på 105 m/s så får vi en maxiaml energi över bandkanten på nästan 3 eV.

Energistrukturen hos ett material i fast form beskrivs av bandstruktur eller banddiagram. Istället för atomens diskreta energinivåer så splittras dessa upp i ett antal band, med en given energibredd. Dessutom så har dessa en rumslig utsträckning motsvarande hela materialets dimensioner. Varje band motsvarar ett av atomernas skal. Det skal som innehåller atomens valenselektroner kallas för valensband och bandet ovanför i energi kallas ledningsband.

Ledningsband

BandgapValensband

E

Eg

EC

EV


37

I valensbandet är det tvärt om. Hålets energi ökar ju längre ner från valensbandskanten det kommer. Det gör att valensbandet sträcker sig ner från bandkanten. Energin för ett hål i valensbandet ges därför av: E = EV - Ekin.

Statistik: Fermi-nivå och laddningsbärarkoncentration Eftersom koncentrationen av elektroner i ledningsbandet ger ledningsförmågan hos ett

material är det viktigt att veta hur stor koncentrationen är. Som vi redan har nämnt finns det ett antal elektroner som har en fått tillräckligt med energi för att hoppa upp från valensbandet till ledningsbandet. Vi beskrev det som en effekt av den statistiska fördelningen av elektronernas energi. I genomsnitt har varje elektron energin k⋅T, där k är Boltzmanns konstant (k = 1,38×10-23 J/K = 8,61×10-5 eV/K), vid rumstemperatur är det 26 meV, vilket är betydligt mindre än bandgapet för de flesta halvledare. Fördelningen av elektronenergier ges av en statistisk funktion som kallas Fermi-Dirac-fördelning och beskriver sannolikheten som funktion av energi. Den ges av en ekvation som är en funktion av temperaturen och energin:

€

F(E) =1

1+ eE−EFk⋅T

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:3

€

1−F(E) =1− 1

1+ eE−EFk⋅T

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=1

1+ eEF−Ek⋅T

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:4

F(E) är sannolikheten att hitta en elektron på en energi E per tillstånd, och 1-F(E) är sannolikheten att det inte finns en elektron på den energin, d.v.s. att det finns ett hål där. Energin EF kallas Fermi-nivån (eller ibland Fermi-energin) och definieras som den energinivå där sannolikheten är 50% att hitta en elektron med just den energin, under förutsättning att det finns ett tillstånd för en elektron där. Eftersom det rör sig om en statistisk funktion så finns det en sannolikhet, även om det inte finns några tillstånd vid just den energin. Under Fermi-nivån är sannolikheten högre och över den är sannolikheten lägre. Fermi-nivån är en mycket viktig parameter i halvledarfysiken. I något som kallas termisk jämvikt, d.v.s. när temperaturen är konstant, strömmen är noll och vi inte lyser på halvledare, så är Fermi-nivån konstant i en halvledare eller i en kombination av halvledare. Det kommer att visa sig vara mycket viktigt när vi studerar olika komponenter. En annan orsak är att den talar om hur många elektroner som finns i ledningsbandet och hur många hål som finns i valensbandet. Figur 3:8 visar hur Ekv. 3:3 ser ut. För att få reda på hur många eller hur stor koncentration vi har så måste man veta hur många eller hur stor koncentration av tillstånd som finns.


38

Figur 3:8. En illustration av hur Ekv. 3:3 och Ekv. 3:4 ser ut som funktion av energi för rumstemperatur. För att få perspektiv på ekvationerna så har vi lagt Fermi-nivån ligger mitt i bandgapet på kisel. a) Vid EF är sannolikheten, F(E), 0,5 eller 50% att hitta en elektron om det hade funnits ett möjligt tillstånd där. Vid ledningsbandskanten har sannolikheten gått ner till ca 10-10 att hitta en elektron i ett tillstånd. b) samma som i (a) men för hål. Här är det 50% sannolikhet att hitta ett hål vid Fermi-nivån och vid valensbandskanten har sannolikheten gått ner till ca 10-10. Summan av sannolikheterna att hitta ett hål och en elektron är givetvis ett.

Det kan vara lite svårt att inse vad 50% sannolikhet egentligen betyder. Vi börjar med att titta på ett mycket enkelt system nämligen väteatomen. I grundtillståndet finns det en elektron i K-skalet. Eftersom det finns två tillstånd där så ligger Fermi-nivån precis vid energinivån som hör till det skalet. Två tillstånd och en elektron är ju just 50% sannolikhet att hitta elektronen just där. Tittar vi istället på en kolatom, så finns det två elektroner i två tillstånd i K-skalet och fyra elektroner i åtta tillstånd i L-skalet. M-skalet innehåller inga elektroner i sina åtta tillstånd. Även här är alltså det yttersta skalet halvfyllt, med fyra elektroner i åtta tillstånd. Det gör att Fermi-nivån ligger precis på energinivån som motsvarar L-skalet. I K-skalet är det 100% sannolikhet att hitta en elektron i varje tillstånd vilket måste vara under Fermi-nivån och i M-skalet är sannolikheten 0% och den nivån måste då vara över Fermi-nivån. Går vi istället till bor, med tre elektroner i de åtta tillstånden, dvs. 38% vid L-skalet, så ligger Fermi-nivån under L-skalets energinivå men över K-skalets. På motsvarande sätt ligger Fermi-nivån över L-skalets nivå, men under M-skalets i kväve. Kväve har två elektroner i K-skalet och fem i L-skalet (63%). Om man tittar på helium, med två elektroner i K-skalet och inga elektroner i L-skalet så är det 100% sannolikhet i K-skalet och 0% i L-skalet. Det lägger Fermi-nivån mellan K- och L-skalet.

Om vi gör det lite svårare så tittar vi på en metall med ett halvfyllt valensband, som illustrationen i Figur 3:6. Vi börjar med att titta på elektronerna vid absoluta nollpunkten (T = 0 K), d.v.s. när de inte har någon termisk energi. Då är det 100% sannolikhet att hitta elektroner i tillstånden upp till den högst belägna elektronen. Högre än så är sannolikheten 0%. Det gör att Fermi-nivån ligger mellan den högst belägna elektronen och det lägst belägna hålet, d.v.s. i gränsen mellan streckat och vitt område i figuren.

Var ligger då Fermi-nivån i en halvledare? Vid T=0 K finns alla elektroner i valensbandet och alla hål i ledningsbandet. Det gör att upp till valensbandskanten är sannolikheten att hitta en elektron 100%. Från ledningsbandskanten och uppåt är det 0% sannolikhet att hitta en elektron. Samtidigt är det 0% sannolikhet att hitta ett hål på


39

energier under valensbandskanten och över ledningsbandskanten är det 100% sannolikhet. I bandgapet är det lite svårt att säga något om eftersom det inte finns några tillstånd där. Om vi värmer upp provet till rumstemperatur så finns det en liten sannolikhet att vi har elektroner vid ledningsbandskanten och hål vid valensbandskanten. För varje elektron som hoppar upp i ledningsbandet så skapas ett hål i valensbandet. Det är då i princip lika stor sannolikhet för att hitta ett hål vid valensbandskanten som att hitta en elektron vid ledningsbandskanten. Då krävs att F(EC) = 1-F(EV). Det betyder att exponentialtermerna i de två ekvationerna är identiska och att abskissan är identisk i de två ekvationerna, d.v.s. EC - EF = EF - EV, eller EF =(EC + EV)/2. Det betyder att Fermi-nivån ligger mitt i bandgapet. Allt annat än mitt i bandet hade resulterat i fler av den ena typen än den andra, under förutsättning att det finns ungefär lika många tillstånd i respektive band.

Med Fermi-nivån mitt i bandgapet kan vi se hur statistiken fungerar. Båda banden är fulla av energitillstånd, medan bandgapet inte har några tillstånd. Vi börjar med att titta på valensbandet. Alla energitillstånd ligger under Fermi-nivån och det betyder att det är mer än 50% sannolikhet att hitta en elektron per tillstånd. I själva verket ligger de så långt under Fermi-nivån att sannolikheten i det närmaste är 100%. I kisel har sannolikheten gått upp till 99.99999995…% vid rumstemperatur. På samma sätt ligger alla tillstånd i ledningsbandet över Fermi-nivån och sannolikheten att hitta en elektron i tillstånden här är mindre än 50%. Ledningsbandet ligger långt över Fermi-nivån så sannolikheten är i det närmaste 0% att det finns en elektron per tillstånd i valensbandet. I kisel är det 0,00000005% eller 5×10-8 % sannolikhet vid ledningsbandskanten.

Ännu så länge har vi inte diskuterat var vi räknar våra energier från. Hittills har vi hållit våra ekvationer generella. Det finns ett antal olika möjligheter att använda som referenspunkt eller nollnivå. Vi kan använda den normala atomära referensen som gränsen för jonisering, eller så kan vi använda bandkanten för det understa bandet. I allmänhet brukar man i halvledarsammanhang använda valensbandskanten som referens. Då ligger Fermi-nivån i fallet ovan på Eg/2, eller mer korrekt Eg/2 +EV.

Exempel: Hur stor är sannolikheten att det finns en elektron vid ledningsbandskanten i kisel vid rumstemperatur? Med Fermi-nivån mitt i bandgapet så blir termen EV – EF = Eg/2 = 0,555 eV, vid rumstemperatur är k⋅T = 0,026 eV och F(EV) ges av:

€

F(EC) =1

1+ e0,5550,026⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= 5×10-10

Om vi nu hittar ratten som heter ”Fermi-nivå” och skruvar upp den från 0,555 eV till 0,6 eV, så blir sannolikheten istället:

€

F(EC) =1

1+ e0,560,026⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= 3×10-9

Den här lilla höjningen av Fermi-nivån har vi ökat sannolikheten med nästan en tiopotens. Lite längre fram i det här kapitlet kommer vi att ser hur vi kan påverka Fermi-nivån och därmed elektronkoncentrationen i ledningsbandet.

För att slutligen få fram hur stor total elektronkoncentration vi har i ledningsbandet

behöver vi veta hur många tillstånd vi har. Koncentrationen av elektroner är nämligen sannolikheten multiplicerad med koncentrationen av tillstånd, eller tillståndstätheten som


40

den kallas. Härledningen av tillståndstätheten är komplicerad och inte speciellt givande, så vi hoppar över den. Vi inför dessa tillståndstätheter som materialparametrar istället. Man skulle kunna beskriva den som de diskreta energinivåerna som döljer sig bakom de kontinuerliga banden. Figur 3:9 visar hur de tre funktionerna (tillståndstäthet, sannolikhet och koncentration) ser ut. Det man får fram ur den här härledningen är två ekvationer som talar om hur stor elektronkoncentrationen, n, i ledningsbandet och hålkoncentrationen, p, i valensbandet är:

€

n =NC ⋅eEF−ECk⋅T

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:5

€

p =NV ⋅eEV−EFk⋅T

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:6

Då har vi alltså introducerat två materialparametrar, NV som kallas den effektiva tillståndstätheten i valensbandet och NC som kallas den effektiva tillståndstätheten i ledningsbandet. Dessa kan man hitta i tabeller över materialparametrar. För de flesta halvledare är de två ungefär lika stora, vilket ger att p ≈ n om EF ligger mitt i bandgapet. För kisel är NV = 1,04×1025 m-3 och NV = 2,8×1025 m–3.

Figur 3:9. Det principiella utseendet på de funktioner som bestämmer hur stora laddningsbärarkoncentrationer vi har i ledningsbandet respektive valensbandet. a) visar tillståndstätheten, b) visar sannolikheten för att det finns en elektron per tillstånd och c) visar produkten av det två, vilket motsvarar fördelningen av elektroner i respektive band. Eftersom koncentrationen av elektroner är mycket mindre i ledningsbandet är x-axeln för det bandet multiplicerad med en faktor 1013. d) visar sannolikheten för att det finns ett hål och e) visar produkten av det två, vilket motsvarar fördelningen av hål i respektive band. Eftersom hålkoncentrationen är mycket mindre i valensbandet så är x-axeln för det bandet multiplicerad med 1013.

Exempel: Hur stor är elektron- och hålkoncentrationerna i lednings-, respektive valensbanden vid rumstemperatur i kisel om EF=0,555 eV? Vi använder Ekv. 3:5 och Ekv. 3:6:

€

n = 2,8 ×1025 ⋅e−0,5550,026

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 1,5×1016 m-3

€

p =1,04 ×1025 ⋅e−0,5550,026

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,55×1016 m-3

f(E)

0 1

0,5

Elektroner iledningsbandet

1-f(E)

0 1 0,5

EC

E (a) (b) (c) (d) (e)

Elektroner ivalensbandet

Hål iledningsbandet

Hål ivalensbandet

n•1013

p•1013

NC(E)

EC

EC

NV(E)


41

Vi ser att vi får en något högre elektronkoncentration än hålkoncentration. Det beror på att tillstånden ligger lite tätare i ledningsbandet än i valensbandet, vilket är vad den högre tillståndstätheten i ledningsbandet än i valensbandet innebär. Det betyder att Fermi-nivån egentligen behöver var något lägre ner (≈10 meV) än mitten för att få n = p, ca Ev+0,545 eV och inte EV+0,555. 10 meV är mindre än en procent av bandgapet så för framtida beräkningar kan vi trots allt räkna med att Fermi-nivån ligger mitt i bandgapet.

En faktor tre kan verka vara en ganska stor skillnad, men i halvledarfysiken är en skillnad på en faktor tre ganska obetydlig. Som vi kommer att se längre fram så är skillnaden mellan elektron- och hålkoncentrationerna oftast en miljon eller mer i vanliga komponenter.

Om vi nu slår ihop Ekv. 3:5 & Ekv. 3:6, får vi:

€

n ⋅ p = NV ⋅NC ⋅eE F−E C +E V +E F

k⋅T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= NV ⋅NC ⋅e−

Eg

k⋅T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:7

Om n = p så får vi:

€

n = p = NV ⋅ NC ⋅ e−

Eg

2⋅ k⋅ T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= ni Ekv. 3:8

Detta är en mycket viktig ekvation. Fallet när n = p brukar kallas den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen, och betecknas med index i, ni och pi. Intrinsisk betyder att egenskaperna bara beror på halvledaren själv och inte på yttre faktorer eller föroreningar. ni beror bara på materialet (Eg, NV och NC) och temperaturen. ni är därför i sig en materialparameter. Eftersom det finns ett ”T” i ekvationen ovan så är det en temperaturberoende materialparameter.

Generation och rekombination

Som vi har sett är antalet elektroner som hoppar upp i ledningsbandet från valensbandet en funktion av temperaturen, bandgapet och ett par materialparametrar. Själva lyftet av elektroner upp i ledningsbandet kallas generation, eftersom processen genererar elektroner i ledningsbandet. Väl uppe i ledningsbandet stannar den där en viss tid, för att sedan ramla tillbaka till valensbandet. Tiden kallas livstid och betecknas τ. τ är också en genomsnittstid, vilket innebär att tiden för en enskild elektron kan variera. För att kunna ramla ner måste det finnas ett ledigt tillstånd i valensbandet, dvs. elektronen måste rekombinera med ett hål. Rekombinationen kan antingen ses som att en elektron träffar på en positron och båda förintas, eller helt enkelt att elektronen och hålet byter plats, elektronen går till valensbandet och hålet till ledningsbandet. Sannolikheten för en elektron att rekombinera är direkt proportionell mot antalet tillgängliga hål i valensbandet, så en ökad hålkoncentration ger en ökad rekombinationshastighet. Rekombinationshastighet är som namnet indikerar antalet rekombinationer per tidsenhet, ibland också per volym också. Ökar elektronkoncentrationen i ledningsbandet, så ökar rekombinationshastigheten också. Generationshastigheten, d.v.s. antalet elektroner som hoppar upp i ledningsbandet per


42

tidsenhet betecknas G och rekombinationshastigheten, d.v.s. antalet elektroner som faller tillbaka till valensbandet betecknas R. Rekombinationshastigheten är i själva verket proportionell mot produkten p⋅n. Vid termisk jämvikt (precis som tidigare vid konstant temperatur, ingen ström och ingen annan yttre påverkan) är generationshastigheten och rekombinationshastigheten lika stora och vi behåller på så sätt jämviktsvärdena på elektron- och hålkoncentrationerna.

I en halvledare finns det två processer som ständigt förändrar laddningsbärarkoncentrationerna. Generation lyfter elektroner från valensbandet till ledningsbandet och rekombination lyfter hål från valensbandet till ledningsbandet. I någon form av jämvikt är de båda lika stora och koncentrationerna är lika stora.

Om vi tillfälligt ändrar laddningsbärarkoncentrationerna så strävar G och R efter att

återställa balansen. Har vi för få laddningsbärare, så minskar R tills vi har nått jämvikt, och har vi för många laddningsbärare, så ökar R tills vi har gjort oss av med överskottet

Inblandning av föroreningar: Dopning Den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen gäller för en ren halvledare. Vi ska nu

studera vad som händer när vi avsiktligt stoppar in föroreningar i en halvledare. De mest intressanta föroreningarna är de som har en valenselektron mer eller en mindre än den atom som föroreningen ersätter. Två exempel är när aluminium (Al) eller fosfor (P) ersätter kisel i en kiselkristall. Al har en valenselektron mindre än kisel, vilket innebär att den bidrar med en elektron mindre till valensbandet. För varje Al-atom vi blandar in i kristallen får vi ett hål i valensbandet utan att vi får motsvarande elektron i ledningsbandet som i det rena (intrinsiska) fallet. På liknande sätt har P en elektron extra och den hamnar direkt i ledningsbandet. Det gör att vi får en elektron i ledningsbandet per atom utan att vi får motsvarande hål i valensbandet. Eftersom det oftast handlar om en kontrollerad och förorening så kallar man det för dopning. Om vi tillför atomer som har fler valenselektroner än värdatomerna så donerar dopningsatomen sin extra elektron till ledningsbandet. Dopningsatomen kallas därför donator. Om vi istället tillför atomer som har färre valenselektroner än värdatomerna så kan dopningsatomen istället acceptera en elektron från valensbandet, vilket resulterar i ett hål i valensbandet. Dopningsatomen kallas därför acceptor. Dopning med donatorer och acceptorer visas i Figur 3:10.

Dopning innebär en kontrollerad inblandning av små mängder av föroreningar i en halvledare. Avsikten är oftast att påverka ledningsförmågan hos halvledaren. Dessutom vill man ofta påverka om strömtransporten ska skötas av elektroner i ledningsbandet eller hål i valensbandet.


43

Så länge vi tillför mer dopning än den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen

kommer vi att få en större koncentration elektroner i ledningsbandet i fallet med donatorer och fler hål i valensbandet i fallet med acceptorer. Typiska dopningskoncentrationer är 1019 till 1026 m-3, att jämföra med en typisk koncentration av atomer i värdkristallen på 1029 m-3. Koncentrationen av donatorer betecknas ND och koncentrationen av acceptorer betecknas NA. Dopning med donatorer kallas n-dopning och halvledaren kallas n-typ, dopning med acceptorer kalls p-dopning och halvledaren kallas p-typ.

Figur 3:10. Banddiagrammet och elektronstrukturen för en dopad halvledare. D pekar på den extra elektronen som hör till donatoratomen. Elektronen finns redan i ledningsbandet och bidrar till ledningsförmågan hos halvledaren. A pekar på den saknade elektronen i acceptoratomen. Den saknade elektronen ger ett hål i valensbandet. I banddiagrammet brukar man markera en donator med ett kort streck strax under ledningsbandet och ett streck strax över valensbandet markerar en acceptor. Eftersom dopatomerna är få och långt isär kommer de att se ut som enstaka atomer och inte band, därför ritar man dem som atomära nivåer, men bara den nivå som är av intresse. Nivån för den extra elektronen, donatorn, ritar man i bandgapet i närheten av ledningsbandet och nivån för acceptorn ritar man nära valensbandskanten.

Massverkans lag I den intrinsiska (rena) halvledaren är elektronkoncentrationen i ledningsbandet, n,

identisk med hålkoncentrationen i valensbandet, p. Koncentrationen är en funktion av temperatur och bandgap, enligt Ekv. 3:8. Vad händer med laddningsbärarkoncentrationerna när vi dopar halvledaren med en koncentration av t.ex. donatorer som överstiger den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen? Som vi diskuterade tidigare har vi två processer i halvledaren, generation och rekombination. Generationen beror bara på bandgap och temperatur, så den påverkas inte av dopningen. Däremot påverkas rekombinationen av en ökning av t.ex. elektronkoncentrationen i ledningsbandet eftersom den ju är beroende på produkten n⋅p. För att se hur dopningen påverkar laddningsbärarkoncentrationen så utgår vi från en intrinsisk halvledare och dopar den med donatorer som ger extra elektroner i ledningsbandet. Eftersom elektronkoncentrationen tillfälligt har ökat från det intrinsiska värdet så ökar

Ledningsband

Bandgap

EC

D A

Valensband

E

EV


44

rekombinationen och därmed minskar hålkoncentrationen. I jämvikt är elektronkoncentrationen lika med donatorkoncentrationen och hålkoncentrationen betydligt lägre än den intrinsiska hålkoncentrationen. Det visar sig att det som händer är att produkten av elektron- och hålkoncentrationerna (n⋅p) är konstant, och oberoende av dopningskoncentrationen vid termisk jämvikt. Det betyder att om vi dopar halvledaren med den ena typen av laddningsbärare så kommer koncentrationen av den andra typen att minska. För dopade halvledare kombineras Ekv. 3:7 och Ekv. 3:8 till:

€

nn0⋅ pn0

= ni2 för n-typ

€

np0⋅ pp0

= ni2 för p-typ

Ekv. 3:9

Här har vi nu introducerat index, n för en n-typ halvledare, p för en p-typ halvledare och 0 för att indikera att det gäller termisk jämvikt. För en n-typ halvledare, där n = ND och ND >> ni kan vi skriva om Ekv. 3:7 och Ekv. 3:9:

€

pn 0=

ni2

nn0

=ni

2

ND=

NV ⋅NC ⋅e−

Eg

k⋅T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

ND

Ekv. 3:10

För en p-typ halvledare när p = NA och NA >> ni är motsvarande ekvation:

€

np0=

ni2

pp0

=ni

2

NA=

NV ⋅NC ⋅e−

Eg

k⋅T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

NA

Ekv. 3:11

På samma sätt som i Ekv. 3:10 har vi introducerat index p för en p-typ halvledare och 0 för att indikera termisk jämvikt. De två ekvationerna summerar ett av de viktigaste sambanden inom halvledarfysiken, något som kallas massverkans lag. Det är den som ger sambandet mellan den tilltänkta koncentrationen av laddningsbärare och den ”andra” typen av laddningsbärare. Genom att multiplicera Ekv. 3:10 med n = ND eller Ekv. 3:11 med p = NA så får vi ett samband mellan elektron- och hålkoncentrationerna i en dopad halvledare. Som vi kommer att se är massverkans lag en av de viktigaste ekvationerna för hur en diod och en bipolär transistor fungerar. Ekvationerna kan sammanfattas i följande ekvation:

€

n ⋅ p = ni2

Ekv. 3:12

Vi ser nu att n >> p i en n-typ halvledare och p >> n i en p-typ halvledare. Det gör att vi kan tala om den typ av laddningsbärare vi har mest av som majoritetsladdningsbärare och minst av som minoritetsladdningsbärare. Majoritetsladdningsbärare är alltså elektroner i n-typ halvledare och hål i p-typ material och minoritetsladdningsbärare är hål i n-typ material och elektroner i p-typ material.


45

Ekv. 3:10 och Ekv. 3:11 gäller när dopningskoncentrationen är mycket större än den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen. Är dopningskoncentrationen mycket mindre än den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen så är elektronkoncentrationen i ledningsbandet och hålkoncentrationen i valensbandet samma som den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen.

Majoritetsladdningsbärare är den huvudsakliga typen av laddningsbärare i en dopad halvledare och minoritetsladdningsbärare är den andra typen av laddningsbärare. Begreppen finns bara i dopade halvledare eftersom koncentrationen av båda typer av laddningsbärare är identisk i en intrinsisk halvledare.

Vad händer då när den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen är ungefär lika stor

som dopningskoncentrationen? Om vi blandar in en annan atom än värdkristallens atomer kommer vi att få antingen extra elektroner i ledningsbandet eller extra hål valensbandet. Eftersom atomen vi dopar med i sig själv är neutral, så kommer halvledaren fortfarande att vara laddningsneutral, eftersom kärnans laddning skiljer sig från värdkristallens atomer. Det betyder att när donatorerna släpper ifrån sig sin extra elektron så får vi extraladdningskoncentrationen -e⋅n, samtidigt får vi en laddning i kärnan som är +e⋅ND, där e⋅ND - e⋅n = 0. I fallet när den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen är ungefär lika stor som dopningskoncentrationen kan vi sammanfatta laddningen i n-typ material:

€

nn 0 = pn 0 +ND Ekv. 3:13

På vänster sida om likhetstecknet är summan av de negativa laddningarna och höger sida är summan av de positiva laddningarna, där

€

nn0 är summan av de intrisiska elektroner och elektroner från donatorerna. Om vi använder sambandet från första steget i Ekv. 3:10 får vi fram:

€

nn 0=

n i2

n n 0

+ N D ⇒ n n 02 −ND ⋅n n 0

− n i2 = 0

Ekv. 3:14

Vilket är en vanlig andragradsekvation och lösningen är:

€

nn0 =ND2

±ND2

4+ ni

2 Ekv. 3:15

Det kan bara finnas en enda lösning och vi kan ganska enkelt se att det är plustecknet som gäller. När ni >> ND är rotuttrycket lika med ni och vi vet att elektronkoncentrationen är just ni (och inte -ni). Det gör i sin tur att när ND >> ni så blir elektronkoncentrationen lika med ND (och inte 0). I området där ni ≈ ND är n > ni och n > ND.


46

Nu återstår bara att titta på temperaturberoendet för laddningsbärarna. Figur 3:11 visar hur elektron- och hålkoncentrationen ser ut i en n-typ halvledare, som funktion av temperatur. Med varierande temperatur varierar ni. Eftersom ni har ett beroende som är exponentiellt med (1/T) så plottar vi log (n) som funktion av 1/T. Egentligen borde vi plotta mot ln(n), för då är lutningskonstanten i högtemperaturområdet proportionell mot bandgapet:

€

ln ni( ) = 12 ln NV ⋅NC( ) + −

Eg2 ⋅ k

⋅1T

Ekv. 3:16

Figur 3:11. Koncentrationen av laddningsbärare i n-typ kisel dopat med ND=1020 m-3 i logaritmisk skala som funktion av temperaturen. Den vänstra figuren visar koncentrationen som funktion av inversen på temperaturen och den högra visar koncentrationen som funktion av temperaturen. För låga temperaturer dominerar dopningen och vid höga temperaturer dominerar de intrinsiska egenskaperna. I hela intervallet är n ≥ ni ≥ p.

Om vi drar ut linjen för n = ND och linjen för n = ni så får vi en skärningspunkt mellan linjerna som vi kallar temperaturen T1. Vid den här temperaturen, och endast denna temperatur gäller att:

€

ni T1( ) = ND Ekv. 3:17

Om vi tar tittar tillbaka på kapitel 1 så kommer vi ihåg att driftströmmen ges av: I = A⋅e⋅n⋅µn⋅ε, när vi bara har att göra med elektroner, som i fallet med metaller. I halvledaren har vi både elektroner och hål och då får vi bidrag från båda typerna av laddningsbärare, och strömmen är nu:

€

I = A ⋅ e ⋅ n ⋅µn + p ⋅µp( ) ⋅ε Ekv. 3:18

För de flesta halvledare visar det sig att µp är lägre än µn. Sambandet mellan ström och laddningsbärarkoncentration kan användas för att bestämma både bandgap och dopningskoncentration. Om vi gör en mätning av ström vid konstant spänning eller spänning vid konstant ström för ett antal temperaturer så kan vi få fram en kurva som i princip ser ut som Figur 3:11, antingen genom att plotta ln(I) som funktion av 1/T vid konstant spänning eller ln(1/U) som funktion av 1/T vid konstant ström. Lutningen i högtemperaturdelen av kurvan (till vänster) ges av –Eg/2k och skärningspunkten mellan de två räta linjerna ger temperaturen T1 så att vi kan bestämma dopningskoncentrationen.


47

Finessen med den här typen av mätning är att vi logaritmerar strömmen eller inversen på spänningen och därmed blir vi av med alla konstanter framför exponentialfunktionen och vi får direkt fram lutningen på kurvan. Det gör att vi inte behöver bekymra oss speciellt mycket om geometrin på provet.

En sista fråga vi behöver ställa är vad som händer om vi samtidigt dopar med acceptorer och donatorer. Om vi börjar med att titta på extremfallet där acceptor- och donatorkoncentrationerna är identiska. Då har vi tillfört lika mycket extra elektroner i ledningsbandet som hål i valensbandet. Ökade koncentrationer ger ökad rekombination och det slutar med att ordningen är återställd och Ekv. 3:12 gäller. Det generella uttrycket är:

€

n = ND −NA om ND > NAp = NA −ND om NA > ND

Ekv. 3:19

Med ”rätt” kombination av dopning kan vi alltså skapa en intrinsisk halvledare. Det sker när |ND - NA| << ni.

Laddningsbärarkoncentration och Fermi-nivån Till slut tar vi och tittar på laddningsbärarna i valensband och ledningsband och hur de

är kopplade till Fermi-nivån. Vi har sett att med n = p = ni så ligger Fermi-nivån mitt i bandgapet, (EV+EC)/2. Men hur ser det ut om n ≠ p? Vi går tillbaka till Ekv. 3:5 & Ekv. 3:6:

€

n =NC ⋅eEF−ECk⋅T

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:5

€

p =NV ⋅eEV−EFk⋅T

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:6

Ekvationerna anger hur koncentrationerna i ledningsbandet respektive valensbandet förhåller sig till Fermi-nivån. Genom att kombinera det två kan vi få fram ett mer användbart samband. Vi tar därför kvoten mellan de två ekvationerna:

€

np

=NCNV

⋅eEF−EC−EV+EF

k⋅T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:20

Här har vi använt att

€

ea eb = ea−b . Vi kan nu skriva om och logaritmera:

€

EF =EC + EV( )

2+kT2⋅ ln n ⋅NV

p ⋅NC

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =Eg2

+ EV +kT2⋅ ln n

p⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ +kT2⋅ ln NV

NC

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:21

Här använder vi logaritmregeln ln(a⋅b)=ln(a) + ln(b). Nu kan vi börja analysera Ekv. 3:21. De första två termerna (Eg/2+EV) säger att vi utgår från mitten på bandgapet. Den sista termen är oftast försumbar, eftersom NV och NC normalt ligger inom en faktor tre från varandra, vilket gör att ln-termen ligger mellan –1 och 1, vilket i sin tur gör att hela sista


48

termen är mindre än kT/2. Vid normala arbetstemperaturer är Eg >> kT för de flesta halvledare och termen är försumbar jämfört med halva bandgapet.

Exempel: Hur stor är fjärde termen i Ekv. 3:21 i Si? För Kisel är NV=1,04×1025 m–3 och NC=2,8×1025 m–3. Vid rumstemperatur är kT=26 meV och Eg=1,11 eV.

€

kT2⋅ ln NV

NC

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =0,0262

⋅ ln 1,04 ×1025

2,8 ×1025⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = -0,013 eV, vilket är ca 2% av halva bandgapet och därför oftast försumbart.

Ekv. 3:21 kan alltså oftast förenklas till:

€

EF =Eg2

+ EV +kT2⋅ ln n

p⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:22

Det här är en mycket viktig ekvation, även om vi inte använder den i just den här formen i vanliga fall. Men vi kan se hur Fermi-nivån är kopplad till elektron- och hålkoncentrationerna. Det sker via ln-termen. Om n = p så är ln-termen noll, om n > p så är den positiv och om n < p så är den negativ. Det ger följande samband: i) om vi bara ökar elektronkoncentrationen så lyfts Fermi-nivån. ii) om vi lyfter Fermi-nivån, så ökar vi kvoten mellan elektron- och hålkoncentrationerna. iii) om vi bara ökar hålkoncentrationen så sänker vi Fermi-nivån, iv) om vi sänker Fermi-nivån, så minskar vi kvoten mellan elektron- och hålkoncentrationerna.

Oftast brukar man bara tala om Fermi-nivåer om vi har termisk jämvikt, d.v.s. när massverkans lag gäller, n⋅p = ni

2. Det gör att en ökning av den ena typen av laddningsbärare medför en minskning av den andra typen, vilket påverkar (i) och (iii) ovan. Om vi inte är i termisk jämvikt gäller det fortfarande att vi har en Fermi-nivå, med den brukar då kallas för kvasi Fermi-nivå.

Ett av de vanligaste sätten att påverka Fermi-nivån i jämvikt är att dopa halvledaren. Om vi dopar med donatorer så blir resultatet i termisk jämvikt att n >> p. Om vi nu skriver om Ekv. 3:21 under förutsättningen att ND >> ni, n = ND och att p = ni

2/ND:

€

EF =Eg2

+ EV + kT ⋅ ln NDni

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:23

Här har vi använt sambandet att

€

ln a2( ) = 2 ⋅ ln a( ).


49

Figur 3:12. En illustration av sambandet mellan Fermi-nivå och laddningsbärarkoncentrationer. I exemplet har vi en ratt som påverkar läget på Fermi-nivån relativt bandkanterna. a) I mittläget är Fermi-nivån mitt i bandgapet, d.v.s. EF = Eg/2+EV = Ei, Det medför att n = p = ni. b) Om vi vrider ratten medurs så lyfter vi Fermi-nivån, vilket medför att EF > Ei, och att n >> ni >> p. c) Om vi istället vrider ratten moturs så sänker vi Fermi-nivån, så att EF < Ei, och då är n< < ni << p.

Under samma förutsättningar för dopning med acceptorer blir Ekv. 3:21 istället:

€

EF =Eg2

+ EV − kT ⋅ lnNAni

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 3:24

Här har vi använt sambandet att

€

ln a−2( ) = −2 ⋅ ln a( ). En viktig slutsats som kan dras ur Ekv. 3:23 och Ekv. 3:24 är att n-dopningen ger en

Fermi-nivå som ligger över mitten på bandgapet och p-dopningen ger en Fermi-nivå som ligger under mitten på bandgapet. Genom att titta på banddiagrammet med EF inritad för en halvledare kan man alltså direkt se om det är en p- eller en n-typ halvledare.

Figur 3:12 visar kopplingen mellan Fermi-nivån och elektronkoncentration. Om vi föreställer oss att vi har en ratt som kallas just Fermi-nivån så är mittläget Ei, d.v.s. en Fermi-nivå mitt i bandgapet. Det betyder att n = p = ni. Om vi vrider ratten mot EC så lyfts Fermi-nivån mot ledningsbandskanten och då är n >> ni och p << ni. Om vi istället vrider ratten mot EV så sänks Fermi-nivån mot valensbandskanten och då är p >> ni och n << ni. Ett sätt att åstadkomma de två senare lägena är genom att dopa halvledaren med donatorer (n >> p) eller med acceptorer (p >> n). Genom att dopa med exakt lika många donatorer som acceptorer så kan man åstadkomma att n = p, vilket faktiskt också ger n = ni.

Bortsett från att Fermi-nivån talar om hur mycket hål och elektroner vi har i vår halvledare finns det ännu en mycket viktig funktion hos Fermi-nivån, och det är att den är konstant i en halvledare i termisk jämvikt. Det betyder att om vi kopplar ihop två bitar av samma eller olika halvledare men med olika dopning, så kommer Fermi-nivån att vara konstant igenom hela halvledaren. När vi ritar banddiagrammet för en halvledare är det därför alltid bra att börja med att rita ut Fermi-nivån och sedan lägga in alla material efteråt. Detta är illustrerat i Figur 3:13 för en av de viktigaste byggstenarna inom

EV EC

Ei

EV EC

Ei

EV EC

Ei

EF = Eg/2+EV n = p = ni

EF > Eg/2+EV n >> ni >> p

EF > Eg/2+EV p >> ni >> n


50

halvledarelektroniken, pn-övergången (dioden), som består av en n-typ- och en p-typhalvledare, som kopplats ihop.

Fermi-nivån beskriver en energinivå och är ett mycket centralt begrepp inom halvledarefysiken. Den definieras från statistik, men dess betydelse är mycket större. Vid jämvikt är Fermi-nivån och laddningsbärarkoncentrationen kopplade. Påverkas den ena så påverkas den andra. För ett system i termisk jämvikt gäller att Fermi-nivån är konstant i hela systemet. Det innebär att bandstrukturen ges av hur Fermi-nivån ligger i förhållande till bandkanterna i de olika delarna av systemet.

Figur 3:13. Banddiagrammet för en pn-övergång. a) visar hur det ser ut innan vi kopplar ihop de två materialen, n-typ till vänster och p-typ till höger. b) visar hur Fermi-nivåerna jämkar ihop sig efter hopkopplingen så att de ligger på exakt samma nivå. Det betyder att ledningsbandskanten ligger högre i energi på p-sidan än på n-sidan och att valensbandskanten också ligger högre på p-sidan än på n-sidan. I den här figuren har vi lagt en grå ruta över gränsområdet. Just nu behöver vi inte bekymra oss om vad som händer där. Det ska vi diskutera i nästa kapitel.

Andra halvledare än Si och Ge Den vanligaste halvledaren i dagens komponenter är kisel. Den har en enkel

kristallstruktur där varje kiselatom är omgiven av 4 identiska kiselatomer. Samma sak gäller för den tidigare dominerande halvledaren germanium. Germanium har samma struktur med en atom omgiven av fyra identiska atomer. Om vi gör samma arrangemang med kolatomer så får vi diamant, som är en isolator. Om vi fortsätter i samma grupp (IV) i periodiska systemet har vi tenn och bly, som båda är metaller. Så kolumn IV innehåller en isolator, två halvledare och två metaller. För att åstadkomma andra halvledare behöver vi gör lite mer komplicerade strukturer, där vi blandar ihop atomer från kolumn III och kolumn V, eller kolumn II och kolumn VI. På samma sätt som för kisel delar en atom valenselektroner med sina grannar. Om vi blandar 50/50 får vi 3+5 elektroner i valensbandet och vi får en halvledarestruktur på samma sätt som kislets 4+4. För att det här ska fungera, så ska en kolumn III atom omge sig med fyra kolumn V atomer. Den får då en elektron av tre av kolumn V atomerna och två elektroner från den fjärde. På så sätt får den tillsammans med sina egna tre elektroner åtta valenselektroner. På samma sätt är varje kolumn V atom omgiven av fyra kolumn III atomer som tillsammans bidrar med tre elektroner till kolumn V atomens fem elektroner, vilket igen ger totalt åtta

(a) (b)


51

valenselektroner, vilket är illustrerat Figur 3:14 Det här gör att vi får ett antal möjliga kombinationer. Exempel på halvledare i den här kategorin är GaAs (galliumarsenid), GaN (Galliumnitrid) och InP (indiumfosfid). De här materialen används framför allt i komponenter som genererar ljus, t.ex. lysdioder och halvledarlasrar.

Även III-V-halvledare och II-VI-halvledare går att dopa. Det är bara lite mer komplicerat. Beroende på vilka atomer vi ersätter kan vi få olika effekter. Om vi t.ex. dopar GaAs med Si kan vi få både n- och p-typ material, beroende på om vi ersätter en Ga eller en As-atom. Ersätter vi en Ga-atom så får vi en extra elektron och ersätter vi en As-atom så får vi ett extra hål. På samma sätt kan vi dopa med en kolumn II atom, t.ex. Zn. Ersätter vi en Ga-atom får vi ett extra hål och ersätter vi en As-atom får vi tre extra hål. Det handlar om att vid tillverkningen styra var dopningen hamnar. Det handlar mycket om teknologi, vilket vi inte bekymrar oss så mycket om i den här boken.

Figur 3:14. På samma sätt som kisel bildar en struktur där varje atom omger sig med fyra atomer för att därigenom skapa ett fyllt valensskal i atomen, så kan en blandning av grupp III och grupp V atomer ge samma effekt. Om varje atom omger sig med fyra atomer av motsatt typ får man åtta elektroner i samtliga valensskal. I figuren är det illustrerat med vita och svarta atomkärnor, där de vita motsvarar grupp V, med fem ”vita” elektroner i valensskalen. På samma sätt är de svarta atomerna grupp III atomer, med tre ”svarta” elektroner i valensskalen. Tillsammans ger det tre ”svarta” plus fem ”vita” elektroner i valensskalen, eller valensbandet.

Den slutliga kommentaren om halvledare är att vi även kan göra mer komplicerade blandningar. Vi kan göra mer godtyckliga kombinationer av grundämnen, t.ex. Si och Ge, där de olika atomerna är slumpmässigt fördelade i kristallen. Med ett givet förhållande mellan de två kan vi få ett bandgap som ligger mellan värdet för Ge (0,67 eV) och Si (1,11 eV). Gör man blandningen på ett lämpligt sätt kan man få något som i mångt och mycket liknar Si, men som har en högre elektronrörlighet än Si. Det här är något men använder i senare generationer av Pentium-processorer för att göra dem snabbare. När det gäller III-V-halvledare är kombinationsmöjligheterna större, även om de teknologiska komplikationerna större. För att blandningen ska bli bra behöver antalet kolumn III atomerna vara lika stort som antalet kolumn V atomer. Ett enkelt system är GaAs-GaP, där GaAs har ett bandgap på 1,43 eV vilket ger infrarött ljus och GaP har ett bandgap på

Ledningsband

Bandgap Valensband

E

EC

EC

EV


52

2,25 eV vilket ger grönt ljus om man tillverkar lysdioder. För att få färger däremellan behöver man göra en blandning av de tre atomerna. Det brukar betecknas GaAsxP1-x, där x är mellan 0 och 1. Exempel på kombinationer som används idag är InGaAs som används för lasrar i fiberoptisk kommunikation, AlGaAs som används i lasrar för CD- och DVD-spelare. I moderna trafikljus används kombinationer av AlGaInP för att ge de tre färgerna. Blå lysdioder bygger på GaInN. Dessa material kommer att diskuteras mer i kapitlet om optokomponenter.

Tillverkning av halvledare De flesta halvledare som används för komponenter är idag i kristallform. Det betyder att

atomerna sitter i ett välordnat tredimensionellt mönster. Det innebär i allmänhet att avståndet mellan närliggande atomer är väldefinierat. I en kiselkristall är varje atom omgiven av fyra identiska atomer på ett avstånd av 0,25 nm. Var och en av de fyra är i sin tur omgivna av fyra atomer, varav den ena är den vi startade med, o.s.v. Det är den här väldefinierade strukturen som ger upphov till det välbestämda bandgapet.

Det finns ett antal sätt att tillverka halvledarkristaller. Den vanligaste metoden att tillverka grundmaterialet till komponenter, det som brukar kallas substrat, är att utgå från smält kvarts (SiO2 d.v.s. vanlig sand). Smältan behandlar man så att man tar bort syret och får rent kisel kvar. I smältan doppar man ner en liten bit av en kristall som man har tillverkat tidigare. Genom att ha rätt temperatur på smältan och rätt temperatur på kristallen kan man få det smälta kislet att stelna på kristallen, kristallen växer. Ungefär som när vatten börjar frysa till is. Görs det på rätt sätt så fortsätter kristallstrukturen från ursprungskristallen till det kislet som växer. Proceduren kallas för att odla kristaller. Genom att manipulera odlingen kan man starta från ett par mm3 och sluta med en kristall som har en diameter på 30 cm (12 tum — man använder ofta enheten tum för att beskriva diametern på kristallerna) och längd på över en meter. Från dessa kristaller kan man sedan skära ut skivor som är ca 0,5 mm tjocka och har den fulla diametern på 30 cm. Det är vad man använder i halvledarindustrin idag. Beroende på sammansättningen på smältan kan man skapa dopat material.

Substraten kan man manipulera på ett antal olika sätt. Ett sätt är att odla ett tunt skikt som har en annan dopning än substratet. Skiktet kan också ha en annan sammansättning, t.ex. Ge på Si. Med tunna skikt menar man storleksordningen 1 µm, en tusendels mm. Ett annat sätt att manipulera substratet är att direkt påverka dopningskoncentrationen. En sådan metod är att skjuta in dopatomerna med en teknik som kallas implantering. Det görs genom att skapa joner av dopatomerna. De laddade jonerna kan accelereras med elektriskt fält och fokuseras med ett magnetfält. Man kan alltså skapa en jonstråle, på samma sätt som man har en elektronstråle i ett bildrör på en TV-skärm. När jonerna träffar halvledaren så slår de ut värd atomer och ersätter dem i kristallen. På så sätt kan man antingen öka dopningskoncentrationen eller byta typ av dopning så att man kan skapa pn-övergångar.

Ett exempel: Genom att skicka in en stråle av Ga-joner mot ett p-dopat kiselsubstrat så kan vi öka acceptorkoncentrationen och därmed få en högre hålkoncentration. Om vi istället skickar in strålen mot ett n-dopat kiselsubstrat så kan vi konvertera det till ett p-substrat. Oftast görs det bara i ett tunt skikt närmast ytan.


53

En annan metod att påverka dopningen är att utsätta substratet för dopämnet i gasform.

Då har man en högre koncentration av dopningsatomer vid ytan än inne i halvledaren. Precis som en skillnad i laddningsbärarkoncentration ger upphov till en diffusion så leder koncentrationsskillnaden i dopningsatomer till en diffusion in i halvledaren. En stor skillnad är att diffusionen av dopningsatomer är betydligt långsammare, där diffusionskonstanten är betydligt mindre än för t.ex. elektroner.

Båda metoderna för dopning ger alltså en ökning av dopningskoncentrationen eller ett byte av dopningstyp. En stor komplikation är att profilen för dopningskoncentrationen från implantering eller diffusion inte är jämn. Över ett avstånd av några µm från ytan kan koncentrationen variera från 1026 m-3 till under 1016 m-3. Oftast gör man dock approximationen att koncentrationen är konstant över några µm, Figur 3:15.

Ett exempel: I en transistor börjar vi t.ex. med ett n-typ substrat med en donatorkoncentration av 1021 m-3. Med en implantering konverterar vi det översta skiktet till p-typ. På ett visst djup understiger koncentrationen av acceptorer substratdopningen. Ovanför det här djupet är materialet p-typ och under är det n-typ. För att vara på den säkra sidan låter man oftast koncentrationen av acceptorer överstiga donatorkoncentrationen i det området. Med en efterföljande implantering med en högre koncentration vid ytan och en kortare tid får vi en brantare koncentrationsgradient och ett kortare djup där koncentrationen av donatorer understiger acceptorkoncentrationen. Vi får alltså ett område nära ytan som är n-typ, och den totala strukturen är en npn-struktur med:

€

NDyta >NA >NDsubstrat

Ofta betecknar man högre koncentration med ett eller två plustecken:

€

NDyta++ >NA

+ >NDsubstrat

”+” betyder en högre koncentration och ”++” betyder en mycket högre koncentration.

Figur 3:15. En illustration av implanteringarna som ger en npn-transistor. Ett substrat med en donatorkoncentration av ND utgör kollektorn. En implantering med acceptorer ger upphov till en högre koncentration av acceptorer i ett område nära ytan. En andra implantering med donatorer konverterar ytan till n-typ. Vi får en npn-struktur där n-skiktet i ytan har högst dopningskoncentration och det i substratet har lägst koncentration. Profilerna kan approximeras ofta med en homogen koncentration inom varje område. ND

++>NA+>ND.

ND

NA+

ND++

Log

[N]

Yta

n

Kollektor Bas Emitter


54

Sammanfattning av grundläggande halvledarfysik Dagens elektronik bygger mestadels på ämnen som kallas halvledare. Halvledarna är en

grupp ämnen som i sig själva inte är bra på att leda ström och dessutom är dåliga isolatorer, ganska oanvändbara i sin rena form med andra ord. Deras egenskaper bestäms av att fasta ämnen där atomerna sitter i regelbundna tredimensionella mönster (kristaller) har en väldefinierad energistruktur för elektroner. Energistrukturen har sitt ursprung i Bohrs atommodell med elektroner i skal. När man tittar på en enstaka atom finns det diskreta energinivåer, relaterade till skalen i modellen. När man i kristallen för samman identiska atomer blir nivåerna breddade till band i energi med en rumslig utsträckning i kristallens tre dimensioner istället för atomens egen minimala rumsliga utsträckning. Elektroner i atomen kan bara finnas i de diskreta energinivåerna, medan elektronerna i kristallen kan finnas i banden, men inte på energier mellan banden. Normalt strävar elektronerna i atomen efter att finnas i de inre skalen och därför fylls de först. På samma sätt fylls de inre banden först. Energiintervallet mellan det lägsta bandet med elektroner och det närmast övre bandet kallas bandgap. Genom att titta på hur pass fyllt det övre bandet är kan man förutse vilka egenskaper ett ämne har. Om det översta bandet med elektroner bara är delvis fyllt så kan man lätt lyfta upp elektroner till den tomma delen av bandet och flytta runt elektronerna från sida till sida med hjälp av t.ex. ett elektriskt fält och generera en ström. Ämnet är därför en metall. Om det översta bandet med elektroner i är helt fullt så kan man inte lika lätt flytta upp en elektron till en energi där elektronen kan flyttas runt. Närmast lediga tillstånd finns i nästa band. I det här fallet kommer det inte att gå någon ström om vi lägger på ett elektriskt fält. Ämnet är en isolator. Ett specialfall av isolatorn är när steget upp till nästa band är så litet att en del elektroner finns där p.g.a. termisk energi. Är alltså bandgapet tillräckligt litet kommer det att finnas tillräckligt många elektroner för att det ska bli en ström när man lägger på ett elektriskt fält.

Det överst fulla bandet som skapas av atomens valenselektroner kallas för valensband och nästa band där elektronerna rör sig kallas för ledningsband. När ett antal (litet jämfört med det totalt antalet i bandet) elektroner har lämnat valensbandet är det inte längre helt fullt utan man kan flytta elektroner även i valensbandet. Istället för att se det som om man flyttar ett stort antal elektroner så kan man se det som om man flyttar ett betydligt mindre antal hål i valensbandet. Det gör att hålet har en positiv laddning och rör sig längs ett elektriskt fält medan elektronen rör sig i motsatta riktningen, mot fältet. I en intrinsisk (ren) halvledare har man alltid lika många elektroner i ledningsbandet som hål i valensbandet. Ett sätt att förändra förhållandet är att byta ut en mycket liten del av värdkristallens atomer mot ett annat grundämne som har antingen fler eller färre valenselektroner. Med fler valenselektroner hamnar dessa direkt i ledningsbandet (n-dopning) och med färre valenselektroner blir det direkt hål i valensbandet (p-dopning).

Statistik spelar en stor roll för hur stor koncentration av elektroner respektive hål vi har i en halvledare. Koncentrationen av elektroner i ledningsbandet (intrinsisk koncentration) i en ren halvledare ges i första hand av storleken på bandgapet och temperaturen, där ett större bandgap ger en mindre koncentration och en högre temperatur ger en större koncentration. Man definierar ofta en energinivå (Fermi-nivån) där det är 50% chans att


55

hitta en elektron om det finns ett energitillstånd där. Under den energin är sannolikheten större och över den energin är sannolikheten mindre. Det är inte helt självklart, men i en ren (intrinsisk) halvledare ligger Fermi-nivån mitt i bandgapet. Fermi-nivån ligger i övre delen av bandgapet på en n-typ och i nedre delen av bandgapet i en p-typ halvledare. I en halvledare ligger oftast hela valensbandet under Fermi-nivån och är därför i det närmaste helt fullt på elektroner och ledningsbandet som ligger över Fermi-nivån i det närmaste helt tomt på elektroner.

En viktig funktion som Fermi-nivån har är att i termisk jämvikt så är den konstant, även i kombinationer av olika halvledare och metaller, oavsett dopning. En annan viktig poäng med Fermi-nivån är inte hur den är definierad utan hur den är kopplad till elektron- och hålkoncentrationerna. Ju lägre Fermi-nivån är desto större är hålkoncentrationen och desto mindre är elektronkoncentrationen. Om Fermi-nivån ökar så ökar elektron- och hålkoncentrationen minskar. Ett viktigt samband är att produkten av elektron- och hålkoncentrationerna är konstant, vilket gäller vid termisk jämvikt. Detta kallas massverkans lag. Normalt påverkar vi Fermi-nivån genom att dopa ämnet, men det finns även andra sätt att påverka Fermi-nivån.

Strömmen genom en homogen halvledare med en pålagd yttre spänning är direkt proportionell mot koncentrationen av fria laddningsbärare, både elektroner och hål. Därför kan man ändra ledningsförmågan många tiopotenser för en halvledare genom att antingen dopa den eller att påverka Fermi-nivån på annat sätt. Det är genom dopning som man påverkar Fermi-nivån i en bipolär transistor, medan man använder en extern spänning för att påverka den i MOSFETen.

- 56 -

4. Dioder: pn-övergången

n av de mest fundamentala byggstenarna i moderna elektronikkomponenter är möjligheten att dopa en och samma halvledare med p- och n-områden. Då skapas en

pn-övergång i gränsytan mellan de två dopningstyperna. Mycket av komponentfysiken handlar om att förstå hur en pn-övergång uppkommer och hur den beter sig med och utan spänning över den. För att härleda vad som händer med fria laddningsbärärare och med elektriska fält i och kring själva övergången studerar vi en något förenklad pn-övergång. Det betyder att vi har en konstant koncentration av dopningsatomer, NA, på p-sidan och samma sak för koncentrationen av dopatomer, ND, på n-sidan. Vi har dock inga acceptorer på n-sidan eller donatorer på p-sidan. Denna typ av övergång kallas en abrupt pn-övergång eftersom vi går direkt från n-typ till p-typ. Med en pn-övergång menas gränsskiktet mellan p- och n-områden. En diod består av ett helt n-skikt och ett helt p-skikt, där pn-övergången ligger i gränsen mellan de två skikten. En transistor (bipolär eller MOS) består av ett p-skikt mellan två n-skikt och har därför två pn-övergångar. Alternativt består transistorn av ett n-skikt mellan två p-skikt. Mer komplicerade komponenter kan ha ännu fler skikt och därmed ännu fler pn-övergångar. Ett exempel är tyristorn, med fyra skikt och därmed tre pn-övergångar. Det är viktigt för resten av diskussionen i det här kapitlet att inse att både n- och p-typmaterial är neutrala i sig själva. De har lika många negativa som positiva laddningar. Även om donatorn har en extra elektron jämfört med värdatomerna så har den även en extra proton i kärnan, vilket gör att nettoeffekten är noll.

E

Dioden

57

Figur 4:1. En illustration av vad som händer när en neutral halvledare av p-typ a) och en neutral halvledare av n-typ b) förs ihop i c). Hål och elektroner blandas i gränsskiktet och rekombinerar med varandra. Det gör att gränsområdet i det närmaste helt saknar fria laddningsbärare. Skiktet kommer bara att innehålla de joniserade dopningsatomerna. Dessa områden är inte längre neutrala utan acceptorerna är negativt laddade och donatorerna är positivt laddade. I figuren är alla skikt ritade tredimensionellt. I fortsättningen kommer vi att rita tvådimensionellt, där z-riktningen kommer att saknas. Normalt är utsträckningen av de neutrala delarna dessutom mycket större än de laddade delarna (längs x-axeln).

Innan vi går in på detaljer så tar vi en enkel diskussion om hur en diod fungerar. Diskussionen är på inget sätt fullständig och är ganska översiktlig. Den ger dock en intuitiv förklaring till hur dioden fungerar. Vi gör det enkelt för oss och utgår från två kristaller med olika dopning, en är p-dopad och en är n-dopad. Båda har homogen dopning med koncentrationerna NA i p-typen respektive ND i n-typen. pn-övergången bildas genom att vi för ihop de två bitarna så att vi får en p-sida och en n-sida, vilket är illustrerat i Figur 4:1. Som i figuren har vi p-biten till vänster och n-biten till höger. Valet är gjort bara för att kunna definiera riktningar senare när vi börjar räkna på pn-övergångar. Det här är visserligen inte hur man tillverkar en diod i verkligheten, men det är ett enkelt sätt att visualisera hur pn-övergången uppstår. När vi för ihop det två bitarna har vi en situation med olika koncentration av fria laddningsbärare på p- respektive n-sidan. Just i gränsen har vi en mycket stor koncentrationsgradient för både elektroner och hål. Det gör att elektroner rör sig från n-sidan till p-sidan, vi får diffusion av laddningsbärare. Hål går in på n-sidan och elektroner in på p-sidan. När elektronerna träffar på hålen på p-sidan kommer de att rekombinera med varandra och i princip förlorar vi alla elektroner som tar sig in på p-sidan och en del av hålen som fanns där från början. Samtidigt rör sig hål i motsatt riktning och rekombinerar med elektroner på n-sidan på samma sätt. I slutänden kommer vi i princip inte ha några fria laddningsbärare i området kring gränsskiktet. Om det inte finns något som hindrar laddningsbärare att röra sig över till motsatta sidan så kommer vi att smeta ut de två typerna av laddningsbärare i hela halvledaren och vi får en enda homogen laddningsfördelning. Men så är inte fallet, som vi nu ska se.

För att förstå hur laddningsfördelningen ser ut i verkligheten så tittar vi först på vad som händer när elektronen lämnar n-sidan. Kvar blir själva donatoratomen som inte kan flytta sig i kristallen. Så länge den har alla sina elektroner i närheten är den neutral med lika många elektroner som protoner, även om den har fler elektroner än värdkristallens atomer. Om en elektron försvinner så blir atomen positivt laddad. Området där flera elektroner har försvunnit blir positivt laddat. Den positiva laddningen attraherar elektroner och hjälper därmed till att föra fram elektroner från resten av n-sidan till gränsområdet. På andra sidan gränsen har samtidigt ett antal hål försvunnit och på samma sätt resulterat i ett negativt

p-typ n-typp-typ n-typ

(a) (b) (c)

x

yz


58

ladda skikt, ett skikt som hindrar elektroner från att ta sig över till den neutrala p-sidan där de fria hålen finns. Samma resonemang gäller för hålen på p-sidan. Lite förenklat har vi ett neutralt p-område med fria hål, ett gränsskikt som saknar fria laddningsbärare och ett neutralt n-område med fria elektroner. p- och n-områdena har många fria laddningsbärare och har därför låg resistans, d.v.s. de är lågohmiga. Gränsskiktet å andra sidan saknar fria laddningsbärare, men har laddningar i form av joniserade dopatomer som sitter fast och området har hög resistans, d.v.s. det är högohmigt. Eftersom gränsskiktet saknar fria laddningsbärare kallas skiktet utarmningsområde eftersom det är utarmat på fria laddningsbärare. En annan beteckning är rymdladdningsområde, vilket syftar på att de enda laddningar som finns i området är de joniserade atomerna som sitter fast i kristallen, eller i rymden. Det är viktigt att poängtera att det försvinner lika många fria hål från p-sidan som fria elektroner från n-sidan. Varje elektron rekombinerar med ett hål och varje elektron som rekombinerar med ett hål på andra sidan skapar en positivt laddad donator på n-sidan och en negativt laddad acceptor på p-sidan. Det gör att vi har lika mycket positiv rymdladdning på n-sidan som negativ rymdladdning på p-sidan, även om inte koncentrationerna är lika stora. Det här kommer vi att använda i senare härledningar och beräkningar. Att inte alla elektroner från n-sidan tar sig till p-sidan beror just på den negativa rymdladdningen som bildas på p-sidan. Den bildar en barriär för de negativt laddade elektronerna och de hindras från att ta sig över till den neutrala delen av p-sidan.

Om inget hände med utsträckningen på gränsskiktet när vi lägger på en spänning över dioden så skulle den totala resistansen varit oförändrad och strömmen skulle öka linjärt med spänningen, oberoende av riktningen på spänningen. För att förstå hur den olinjära strömmen genom dioden uppkommer så tittar vi på hur strukturen egentligen ser ut. Från vänster till gränsområdet är halvledaren neutral och det samma gäller på andra sidan om gränsområdet. Själva gränsområdet har två delar, på p-sidan är området negativt laddat p.g.a. de joniserade acceptorerna och på n-sidan är området positivt laddat p.g.a. de joniserade donatorerna. Vi jämför nu med en vanlig kondensator och konstaterar att laddningen i rymdladdningsområdet påminner starkt om laddningen på de två plattorna på en kondensator. Skillnaden är att laddningen kommer från att vi tar bort fria laddningsbärare och inte att vi, som på kondensatorn, tillför fria laddningar. När kondensatorns plattorn innehåller laddning så ligger det en spänning över kondensatorn. På samma sätt ligger det en spänning över gränsområdet. Spänningen kallas inbyggd spänning eller inbyggd potential. Inbyggd betyder här att spänningen finns kring själva pn-övergången. I äldre litteratur kallas den också kontaktpotential, eftersom den bildas när man för gör kontakt mellan n- och p-typmaterial. Spänningen ligger från positiv till negativ laddning, d.v.s. från n-sidan till p-sidan. Det är viktigt att poängtera att det rör sig om en spänning som inte går att mäta över kontakterna i dioden.

En spänning som läggs på kontakterna kallas en yttre spänning (eller pålagd spänning) till skillnad från den inbyggda spänningen. Summan av de två kallas för den totala spänningen. Vad händer då om vi lägger på en yttre spänning? Vi jämför åter med en kondensator. Vi börjar med att lägga på en yttre spänning som ökar den totala spänningen, vilket betyder att vi lägger plus på den positivt laddade n-sidan. För en kondensator betyder det att vi ökar laddningen på plattorna genom att tillföra fria laddningar. För en pn-

Dioden

59

övergång är det inte lika lätt. För att öka laddningen måste vi ta bort fria laddningsbärare. Gör vi det så ökar utsträckningen på rymdladdningsområdet. Det motsvarar att det högohmiga rymdladdningsområdet ökar i utsträckning, d.v.s. resistansen ökar. Det exakta förhållandet mellan spänning och ström är inte självklart, men det visar sig att en ökad resistans och en ökad spänning ger en i det närmaste oförändrad ström.

Figur 4:2. En enkel illustration av diodeffekten för en pn-övergång. Den huvudsakliga resistansen finns i rymdladdningsområdet som ju saknar rörliga laddningsbärare. I a) finns det ingen yttre spänning över dioden och det kan sägas motsvara en variabel resistans någonstans i mitten av skalan. Det motsvarar också en kondensator med laddning på plattorna, för elektroner och för hål). I b) finns det en yttre spänning med plus på n-sidan. Det ökar utsträckningen av rymdladdningsområdet och resistansen ökar, vilket motsvarar att vi använder en längre sträcka på den variabla resistansen, d.v.s. en högre resistans. Det finns nu mer laddning på plattorna och det går en liten ström. I c) finns det en yttre spänning med plus på p-sidan. Det minskar utsträckningen av rymdladdningsområdet och resistansen minskar, vilket motsvarar att vi använder en kortare sträcka på den variabla resistansen. Det finns nu mindre laddning på plattorna och det går en stor ström. c) kallas framriktningen och b) kallas backriktningen på dioden.

Om vi istället lägger på en positiv spänning på den negativt laddade p-sidan så motsvarar det en minskning av spänningen över rymdladdningsområdet och en minskad laddning på kondensatorn. Det betyder att rymdladdningsområdets utsträckning minskar och att resistansen minskar. Nu har vi en ökande spänning i kombination med en minskande resistans. Med en oförändrad resistans hade strömmen ökat linjärt med ökande spänning, med en minskande resistans så ökar strömmen snabbare än linjärt. Återigen är det inte självklart hur strömmen ökar, men det visar sig att den ökar exponentiellt. Det här kan sammanfattas i Figur 4:2.

p-sidan n-sidan

V(a)

I [A]

U [V]

p-sidan n-sidan

V(b)

I [A]

U [V]

p-sidan n-sidan

V(c)

I [A]

U [V]

+- + -


60

Den inbyggda spänningen är en spänning som uppstår när material med olika Fermi-nivå förs ihop. Det är därför en spänning som inte kan mätas direkt med en voltmeter. Den yttre spänningen är en mätbar spänning som kommer från en extern spänningskälla och den ligger över kontakterna. I normala fall lägger sig den yttre spänningen över pn-övergången. Det gör att summan av den inbyggda och den yttre spänningen över själva pn-övergången, den kallas därför totala spänning.

Efter den här enkla förklaringen till hur en diod fungerar är vi redo att göra en lite mer

matematisk härledning av hur den fungerar. Det kommer att vara en detaljerad genomgång där de flesta steg är med. Det är inte meningen att läsaren ska kunna reproducera härledningen, utan tanken är att visa var några av de mer centrala ekvationerna kommer ifrån. Det är de resulterande ekvationerna som är de viktiga.

Härledning av pn-övergångens inbyggda spänning, Ubi

Vi börjar med att härleda sambandet mellan dopning, elektrisk fält, elektrisk spänning och bandstruktur. I härledningen finns det många formler. Tanken är att göra en fullständig härledning för att visa hur man kommer fram till de viktiga resultaten. Härledningen är till för att alla ekvationer ska hänga ihop och att läsaren ska se var slutresultaten kommer ifrån. Det innebär också att till synes orelaterade ekvationer faktiskt hänger ihop. Genom härledningen kommer vi också att diskutera många fenomen kring pn-övergångar. När vi har kopplingarna mellan de olika storheterna kan vi fortsätta diskussionen på ett mer kvalitativt sätt, vilket är den huvudsakliga målsättningen. Vi kommer därför att titta på hur olika parametrar påverkar pn-övergången snarare än hur mycket.

Innan vi börjar med härledningen så går vi igenom lite terminologi. Vissa begrepp är snarlika och behöver lite förklaringar. Laddning betyder just antalet Coulomb [C] eller som enheten också kallas ampersekund [As], medan laddningar är antalet laddade partiklar, t.ex. elektroner. 100 elektroner (laddningar) har laddningen -100⋅1,6×10-19 As, eller -1,6×10-17 As. Koncentration av laddning är därmed laddning per volym [Cm-3] och koncentrationen av laddningar är antalet laddningar per volym [m-3]. Spänning och elektrostatisk potential behöver kanske också en förklaring. En elektrostatisk potential ges relativt en godtycklig referens. Spänning däremot är skillnaden i elektrostatisk potential mellan två punkter. Skillnaden kan tyckas hårfin och det gör att man ofta använder båda för att beskriva samma sak. Vi kommer att vara lite mindre strikta och inte alltid skilja på de två begreppen. Vi kommer oftast att diskutera i termer a spänning.

Vi kan visualisera den abrupta pn-övergången på samma sätt som i den förenklade inledningen av kapitlet, d.v.s. som i Figur 4:1. Anta att vi har en kristall av n-typ material med donatorkoncentrationen ND och en kristall av p-typ material med acceptorkoncentrationen, NA. Vi för ihop de två områdena till en enda kristall och i gränsytan bildas en abrupt pn-övergång och vi har skapat en diod. p-sidan har en

Dioden

61

utsträckning av Wp och n-sidan har en utsträckning av Wn. Utsträckningen på hela dioden är summan av de två områdena, Wtot = Wn + Wp. Om vi tänker oss att vi har p-sidan till vänster och n-sidan till höger så introducerar vi nu ett koordinatsystem med 0-punkten i gränsytan mellan n- och p-sidan. Det ger att vänsterkanten på dioden har koordinaten –Wp och högerkanten har koordinaten Wn, som i Figur 4:3. När vi för ihop de två halvledarna kommer fria elektroner från n-sidan att röra sig (med diffusion) in på p-sidan och fria hål från p-sidan kommer att röra sig in på n-sidan. Detta sker med diffusionsström, eftersom det finns en koncentrationsgradient av elektroner från n-sidan till p-sidan. Diffusionsströmmen för elektroner ges enligt kapitel 2 av:

€

In = e ⋅Dn ⋅dndx

⋅A (för elektroner) Ekv. 4:1

Samtidigt går det en diffusionsström av hål från p-sidan till n-sidan. Diffusionsströmmen för hål ges av:

€

Ip = − e ⋅Dp ⋅dpdx

⋅A (för hål) Ekv. 4:2

e är elementarladdning∗, Dn och Dp är diffusionskonstanten för elektroner respektive hål, dn/dx och dp/dx är koncentrationsgradienten för elektroner respektive hål. Vi kommer ihåg att diffusionskonstanterna är kopplad till rörligheterna µ via Einsteinsambandet, t.ex. Dn = µn⋅Ut, där Ut är den termiska spänningen, k⋅T/q. Slutligen har vi arean av dioden, A.

Figur 4:3. a) och b) illustrerar separata p- och n-typ material där och indikerar fria elektroner respektive fria hål och + och - indikerar acceptorer respektive donatorer. c) illustrerar vad som händer efter att vi har fört ihop de två sidorna. I området närmast gränsytan går fria hål över till n-sidan och rekombinerar med elektroner där och därmed neutraliserar de varandra. Samma sak händer med fria elektroner som tar sig över till p-sidan. Det gör att det i det närmaste inte finns några fria laddningar i ett skikt runt gränsyta. Detta område kallas rymdladdningsområdet, RLO.

Diffusionen p.g.a. koncentrationsgradienten gör att elektroner rör sig över till p-sidan och att hål rör sig över till n-sidan. Det resulterar i att elektroner och hål rekombinerar med varandra i ett område kring gränsen. Om det inte fanns något som hindrade det så hade elektronerna och hålen smetats ut i hela kristallen och gett en homogen koncentration av

∗ I kompendiet kommer vi att skilja på två användningar av elementarladdningen: e är elementarladdningen och är alltid 1,602×10-19 As. Elektronens laddning är därmed –e! q är en konstant som gör om spänning till energi, t.ex. q⋅U. Med U i volt och q = 1,602×10-19 As får vi energin i [J] och med q = 1 eV/V får vi energin i [eV].

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

----

----

----

----

----

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

p-typ n-typ n-sidanp-sidan

----

----

----

----

----

x

-Wp - dp dn

dtot

Wn0

(a) (b) (c)

RLO


62

elektroner och hål i hela kristallen. Vi måste ta hänsyn till donator- och acceptoratomerna som blir kvar när elektronerna och hålen diffunderar över till motsatta sidan. Eftersom en donator med sin extraelektron är neutral så kommer donatoratomen att vara positivt laddad när den extra elektronen har lämnat den. Donatoratomen sitter fast i kristallen och kan inte röra sig. Det betyder att man får ett område på n-sidan som är positivt laddat och ett område på p-sidan som är negativt laddat där de fria laddningsbärarna (elektronerna och hålen) saknas. En viktig poäng är att det finns lika många joniserade donatorer på n-sidan som det finns joniserade acceptorer på p-sidan. Det här kan ses som en kondensator med positiv laddning på ena plattan och negativ laddning på andra plattan. Mellan plattorna på en laddad kondensator finns det ett elektriskt fält. På samma sätt genererar de laddade områdena kring pn-övergången ett elektriskt fält. Detta fält kommer att driva elektronerna i själva övergångsområdet tillbaka till n-sidan. Samma fält driver hålen tillbaka till p-sidan. Detta sker med driftström, eftersom det finns ett elektriskt fält i övergångsområdet. Driftströmmen ges av:

€

In = e ⋅µn ⋅ n ⋅ε ⋅A (för elektroner) Ekv. 4:3

€

Ip = e ⋅µp ⋅ p ⋅ε ⋅A (för hål) Ekv. 4:4

µn och µp är rörligheten för elektroner respektive hål, n och p är elektronkoncentrationen respektive hålkoncentrationen och ε är den elektriska fältstyrkan.

Det kommer att finnas ett skikt med positiv nettoladdning på n-sidan vid gränsen till p-sidan. På samma sätt skapas ett skikt med negativ nettoladdning på p-sida vid gränsen till n-sidan. Med nettoladdning menar vi summan av fria laddningsbärare och rymdladdning. I de neutrala områdena har vi följaktligen ingen nettoladdning. I en något förenklad bild sträcker sig området med nettoladdning en sträcka dn in och har koncentrationen av laddning e⋅ND i hela detta område på n-sidan. På samma sätt sträcker området sig dp in på p-sidan och har koncentrationen av laddning, -e⋅NA. Den totala utsträckningen av rymdladdningsområdet är summan av de två dtot = dp + dn. För att få den totala laddningen från koncentrationen av laddning behöver vi multiplicera med arean, A, och utsträckningen. Av neutralitetsskäl (varje hål neutraliserar en elektron) kommer det att finnas samma totala laddning (men inte nödvändigtvis samma laddningskoncentration), men med olika tecken, på båda sidor av övergången:

€

e ⋅NA ⋅ dp ⋅A = e ⋅ND ⋅ dp ⋅A

Eftersom vi har samma area på båda sidor om övergången kan vi förkorta bort den i ekvationen:

€

NA ⋅ dp = ND ⋅ dp Ekv. 4:5

Detta medför att övergångsområdet sträcker sig olika långt in på p- och n-sidan om vi inte har exakt samma dopningskoncentration på båda sidorna. Det visar också att den sida som har den högre dopningskoncentrationen har ett kortare övergångsområde. Eftersom övergångsområdet i det närmaste saknar fria laddningsbärare kallas det utarmningsområde.

Dioden

63

Ett annat namn är rymdladdningsområde (RLO), eftersom största delen av laddningen i övergångsområdet är joniserade donator- och acceptoratomer som är orörliga (sitter fast i ”rymden”).

I termisk jämvikt, d.v.s. vid konstant temperatur, ingen yttre spänning och i mörker, kommer drift- och diffusionsströmmarna att vara lika stora i rymdladdningsområdet. Om de inte hade varit lika stora så hade vi kunnat få en ström ur dioden utan att det ligger en spänning över den. Dioden hade i så fall fungerat som ett batteri – utan att vi tillför någon energi! Istället för att räkna på strömmarna så tittar vi på strömtätheterna (J = I/A). Det gör att:

€

Jn = e ⋅Dn ⋅dndx

+ e ⋅µn ⋅ n ⋅ε (för elektroner) Ekv. 4:6

€

Jp = − e ⋅Dp ⋅dpdx

+ e ⋅µp ⋅ p ⋅ε (för hål) Ekv. 4:7

I termisk jämvikt gäller alltså att

€

Jn drift = −Jn diffusion . Det medför att:

€

e ⋅Dn ⋅dndx

= − e ⋅µn ⋅ n ⋅ε Ekv. 4:8

Dessutom gäller att Dn/µn =k⋅T/q = Ut, där k är Boltzmanns konstant∗. Om vi stuvar om lite i ekvationen får vi:

€

ε = − Utn⋅

dndx

Ekv. 4:9

Om vi betraktar dn och dx som oberoende storheter och samlar det som handlar om x på ena sidan och det som handlar om n på andra sidan får vi:

€

ε ⋅ dx = − dnn⋅Ut

Ekv. 4:10

Definitionen på elektriskt fält är ε = -dU/dx, där vi nu har tagit hänsyn till att det elektriska fältet egentligen är en vektor. Därav minustecknet. För att få fram potentialskillnaden, d.v.s. spänningen U, mellan två punkter (x1 och x2) med elektronkoncentrationen n1 respektive n2, integrerar vi över sträckan, där den primitiva funktionen till 1/x är ln(x):

€

U(x2) −U(x1) = − ε ⋅ dx =x1

x2

∫ Ut ⋅dnnn1

n2

∫ = ln n2( ) − ln n1( )[ ] = −Ut ⋅ lnn1n2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:11

Här kan vi se att om vi har samma elektronkoncentration i båda punkterna så är ln-termen lika med noll, d.v.s. vi har ingen spänning. Om vi fortsätter för att se vilken skillnad vi har

∗Vi kan använda antingen k = 1,38×10-23 J/K eller k = 8,63×10-5 eV/K, beroende på vilken enhet vi vill jobba med. Med k i J/K behöver vi q = 1,602×10-19 As och med k i eV/K behöver vi q = 1 eV/V.


64

i spänning mellan n- och p-sidan, Ubi, så integrerar vi över hela området från –Wp till Wn. Vi har konstant elektronkoncentration på den neutrala p- respektive n-sidan. Det gör att de neutrala områdena inte ger upphov till någon spänningsskillnad, vilket reducerar integralen till sträckan från –dp till dn. Vi behöver nu elektronkoncentrationen på båda sidor. På n-sidan har vi

€

nn0 =ND. På p-sidan får vi ta till massverkans lag:

€

ni2 = np0 ⋅ pp0 = np0 ⋅NA, d.v.s.

€

np0 =ni2

N A:

€

Ubi = −Ut ⋅ lnni

2

NA⋅

1ND

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = Ut ⋅ ln

NA ⋅NDni

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:12

Eftersom det handlar om dopade halvledare så är NA⋅ND större än

€

ni2. Det betyder att Ubi

är positiv, d.v.s. att vi har en lägre spänning på p-sidan än på n-sidan.

Exempel: För att allt ska stämma så ska man få samma resultat om man istället räknar på hålkoncentrationerna. Vi använder nu Ekv. 4:7:

€

e ⋅Dp ⋅dpdx

= e ⋅µp ⋅ p ⋅ε (observera teckenskillnaden jämfört med Ekv. 4:8!)

När vi integrerar ekvationen ovan får vi följande uttryck:

€

U = Ut ⋅dnnp1

p2

∫ = ln p2( ) − ln p1( )[ ] = Ut ⋅ lnp2p1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

vilket på samma sätt som för elektronerna ger:

€

Ubi = Ut ⋅ ln NA ⋅NDni

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = Ut ⋅ ln

NA ⋅NDni

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Vilket ju faktiskt är samma ekvation som Ekv. 4:12 och allt är som det ska.

Vi kan nu definiera den inbyggda spänningen, Ubi, som skillnaden i spänning från n-

sidan till p-sidan, d.v.s. med ett positivt värde. Den inbyggda spänningen variera mycket långsamt med ändrade

dopningskoncentrationer. Det kommer vi att använda längre farm i kompendiet när vi tittar på samband som styr karaktären på olika dioder. Figur 4:4 visar hur den inbyggda spänningen ökar med ökande dopningskoncentrationer på båda sidor av övergången. Det krävs en ökning av produkten av dopningskoncentrationerna med en faktor 10 miljarder för att ge en fördubbling av den inbyggda spänningen.

Dioden

65

Figur 4:4. Den inbyggda spänningen (Ubi) som funktion av dopningskoncentrationerna, NA och ND för kisel vid rumstemperatur. Grafen visar spänningen för ett antal kombinationer av acceptor- och donatorkoncentrationer på respektive sida av övergången. Vi kan se att den inbyggda spänningen ökar ca en faktor 2 vid en ökning av produkten NA⋅ND en faktor 10 000 000 000. Det gör att för variationer över ett par tiopotenser kan vi anse att den inbyggda spänningen är konstant.

Om vi skriver om Ekv. 4:12 genom att använda logaritmregeln att ln(A⋅B) = ln(A) + ln(B) får vi följande ekvation:

€

Ubi = Ut ⋅ ln NDni

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ + ln NA

ni

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Ekv. 4:13

Om vi först multiplicerar med q och lägger till och drar ifrån (EC+EV)/2 (d.v.s. medelvärdet av ledningsbandkanten och valensbandskanten) får vi genom lite omstuvningar:

€

q ⋅Ubi = EC + EV2

+ q ⋅Ut ⋅ lnNDni

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ −

EC + EV2

− q ⋅Ut ⋅ lnNAni

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Ekv. 4:14

Första termen i högerledet är Fermi-nivån på n-sidan och den andra termen är Fermi-nivån på p-sidan. Ekvationen är skillnaden i Fermi-nivå mellan n- och p-sidan, vilket talar om för oss att Fermi-nivån är konstant över hela pn-övergången, medan bandkanterna skiljer sig från n och p-sidan. Banden ligger högre på p-sidan än på n-sidan, som är precis vad vi förväntade oss. Detta finns illustrerat i Figur 4:7.

Laddning, elektriskt fält och utsträckning I den här delen av kapitlet kommer vi att härleda några viktiga samband. Det är mest

tänkt som en genomgång för att läsaren ska förstå var dessa samband kommer ifrån. Det viktiga är de slutsatser som dras mot slutet av härledningen. Vi ska nu göra en härledning av vad som händer i rymdladdningsområdet i jämvikt: utsträckning, elektrisk fält, spänning och elektronenergi. Vi gör bara två antaganden för att göra härledningen: Övergången är abrupt, d.v.s. går direkt från ND till NA vid x=0. Alla fria laddningar försvinner i ett område nära övergången, lika många på båda

sidor.

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1021 1022 1023 1024 1025 1026

ND=1026 [m-3]

ND=1025 [m-3]

ND=1024 [m-3]

ND=1023 [m-3]

ND=1022 [m-3]

ND=1021 [m-3]U

bi [V

]

NA[m-3]


66

För att göra en härledning av sambanden mellan de olika storheterna och utsträckningen av utarmningsområdet behöver man dessutom känna till Poissons ekvationer som diskuterades i kapitel 2. För våra behov kan dessa sammanfattas i två ekvationer:

€

ζ(x)εr ⋅ ε0

= dεdx

= − d2Udx2

Ekv. 4:15

€

−ε(x) = dUdx

= 1q⋅dEdx

Ekv. 4:16

I de här ekvationerna är ε(x) den elektriska fältstyrkan (spänning per längd), ζ(x) är laddningskoncentrationen (laddning per volymenhet), ε är dielektricitetskonstanten, U är spänningen, och E är elektronenergin (E=-q⋅U). ζ(x) = e⋅ND för n-typ och ζ(x) = -e⋅NA för p-typ i utarmningsområdet.

För härledningen behövs det några definitioner av geometrin. Vi använder samma koordinater som i härledningen ovan. Själva övergången mellan n och p-sidan definierar vi som x = 0. På n-sidan är x > 0 och på p-sidan är x < 0. Dopningskoncentrationerna är NA och ND på p- respektive n-sidan. Utarmningsområdet på p-sidan sträcker sig från –dp till 0, och på n-sidan sträcker den sig från 0 till dn. Det betyder att:

€

ζ(x) = 0 för x ≤ -dp

€

ζ(x) = −e ⋅NA för –dp ≤ x ≤ 0

€

ζ(x) = e ⋅ND för 0 ≤ x ≤ dn

€

ζ(x) = 0 för x ≥ dn Ekv. 4:17

Det innebär att en plott av laddningen som funktion av x-koordinat består av två fyrkantiga områden. Ett som ligger på negativa y-axeln på p-sidan och ett på positiva y-axeln på n-sidan. Arean av de två områdena är lika stor eftersom vi har lika mycket laddning på båda sidor, men med olika tecken. Vi har negativ laddning på p-sidan och positiv laddning på n-sidan. Nettoladdningen kommer från de joniserade dopningsatomerna. Laddningsfördelningen finns beskriven i Figur 4:5.

Figur 4:5. Fördelningen av laddningskoncentration, ζ, i en pn-övergång. I rymdladdningsområdet mellan –dp och dn finns inga fria laddningar, bara rymdladdningar, d.v.s. joniserade acceptorer och donatorer. –NA på p-sidan och ND på n-sidan. Utanför rymdladdningsområdet finns det dessutom fria laddningsbärare som balanserar ut rymdladdningen. Dessa områden kallas därför neutrala. De streckade områdena indikerar områden med nettoladdning, där summan av fria laddningsbärare och joniserade dopningsatomer är skiljd från noll. (lin-lin-skala)

ζ

x

ND

-NA

p

-n

-dp d

n

Dioden

67

Med hjälp av Ekv. 4:17 kan vi få fram den elektriska fältstyrkan genom att integrera laddningskoncentrationen enligt Ekv. 4:15:

€

ε(x2) =ζ(x)εr ⋅ ε0

dxx1

x 2

∫ +ε(x1)

Ekv. 4:18

Vi ser att det bara är i intervall med nettoladdning (där summan av laddningarna är skiljd från noll) som vi får en förändring av fältstyrkan. Det gör att vi får följande generella ekvationer för det elektriska fältet i de fyra områdena.

€

ε(x) = 0 +ε(−∞) för x ≤ -dp

€

ε(x) =−e ⋅NA ⋅ xεr ⋅ ε0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ −dp

x

+ε(−dp) för –dp ≤ x ≤ 0

€

ε(x) =e ⋅ND ⋅ xεr ⋅ ε0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 0

x

+ε(0) för 0 ≤ x ≤ dn

€

ε(x) = 0 +ε(dn ) för x ≥ dn Ekv. 4:19

Avsaknaden av laddning i de neutrala områdena ger att det elektriska fältet är noll utanför rymdladdningsområdet vid termisk jämvikt. Det gör att vi kan få fram det elektriska fältet i de fyra områdena:

€

ε(x) = 0 för x ≤ -dp

€

ε(x) = −e ⋅NA ⋅ x + dp( )

εr ⋅ ε0 för –dp ≤ x ≤ 0

€

ε(x) =e ⋅ND ⋅ x − dn( )

εr ⋅ ε0 för 0 ≤ x ≤ dn

€

ε(x) = 0 för x ≥ dn Ekv. 4:20

Det som är intressanta är det maximala värdet på fältstyrkan, inte tecknet på den. Med vår definition på riktning blir fältet negativt. Det ger det lite underliga definitionen att εmax < 0. Enligt ekvationerna ovan ökar absolutbeloppet av fältstyrkan, |ε|, linjärt från noll vid x = -dp till x = 0, d.v.s. största fältet ligger i mitten av rymdladdningsområdet. Därefter minskar det linjärt tillbaka till noll vid x = dn. Det gör att:

€

εmax = ε(0) =e ⋅NA ⋅ dp

εr ⋅ ε0= e ⋅ND ⋅ dn

εr ⋅ ε0

Ekv. 4:21

Det sista likhetstecknet är konsistent med att ND⋅dn = NA⋅dp. Dessutom beskrivs fältstyrkan som funktion av x-koordinat av en triangel med höjden centrerad vid x=0. Till skillnad från laddningsfördelningen är inte arean lika stor på båda sidor utom i specialfallet


68

där vi har samma dopningskoncentration på båda sidor. Det är så att arean är störst på den sidan som har den lägsta dopningskoncentrationen. En viktig poäng är att lutningen på ε(x)-kurvan ges av dopningskoncentrationen där en högre koncentration ger en större lutning. Detta är viktigt när vi ska diskutera pn-övergången på ett kvalitativt sätt längre fram i kompendiet.

Figur 4:6. Det elektriska fältet i en asymmetrisk övergång med homogen dopning på respektive sida. Utanför rymdladdningsområdet är fältstyrkan noll. Fältstyrkan ökar linjärt från –dp till 0 och avtar sedan till dn. Eftersom värdet är negativt så minskar egentligen ε. Lutningen på kurvan ges av dopningskoncentrationen på respektive sida. En större koncentration ger en större lutning. Eftersom det maximala fältet ligger mitt i övergången, vid x=0 kommer en större del av arean under kurvan att ligga på sidan med lägst dopning. Arean under kurvan motsvarar den inbyggda spänningen. (lin-lin-skala).

För att hitta skillnaden (spänningen) behöver vi integrera igen, enligt Ekv. 4:16:

€

U(x2) =U(x1) − ε(x)dxx1

x2∫

Ekv. 4:22

Det gör att vi får följande generella ekvationer i de fyra områdena om vi använder ε(x) från Ekv. 4:20:

€

U(x) =U(−∞) −0 för x ≤ -dp

€

U(x) =U(−dp) +e ⋅NA ⋅ (x

2 + 2 ⋅ x ⋅ dp + dp2)

2 ⋅ εr ⋅ ε0 för –dp ≤ x ≤ 0

€

U(x) =U(0) − e ⋅ND ⋅ (x2 − 2 ⋅ x ⋅ dn )

2 ⋅ εr ⋅ ε0 för 0 ≤ x ≤ dn

€

U(x) =U(dn ) − 0 för x ≥ dn Ekv. 4:23

Var vi lägger 0-punkten är godtyckligt. Man skulle kunna lägga den på n- eller p-sidan, men vi väljer att lägga den vid x = 0. Hållpunkten (randvillkoret i matematiska termer) är alltså att U(0) = 0, d.v.s. att spänningen är 0 mitt i övergången. Det enklaste området att börja med är rymdladdningsområdet på n-sidan, d.v.s. där 0 ≤ x ≤ dn eftersom vi har definierat att U(0) = 0 får vi från Ekv. 4:23:

ε

x

-dp d

n

εmax

Dioden

69

€

U(x) = −e ⋅ND ⋅ (x

2 − 2 ⋅ x ⋅ dn)2 ⋅ εr ⋅ ε0

Vilket i sin tur ger att spänningen i det neutrala n-området, där x > dn är:

€

U(x) =e ⋅ND ⋅ (dn

2 )2 ⋅ εr ⋅ ε0

Om vi nu arbetar bakåt och använder att U(0) = 0 igen så får vi spänningen i den delen av rymdladdningsområdet på p-sidan, där -dp ≤ x ≤ 0:

€

U(0) =U(−dp) +e ⋅NA ⋅ (0

2 + 2 ⋅ 0 ⋅ dp + dp2)

2 ⋅ εr ⋅ ε0

Vilket ger spänningen i det neutrala p-området där x < -dp:

€

U(−dp) = −e ⋅NA ⋅ dp

2

2 ⋅ εr ⋅ ε0

När vi nu har U(-dp) kan vi få fram den sista pusselbiten i ekvationen för spänningen:

€

U(x) = −e ⋅NA ⋅ dp

2

2 ⋅ εr ⋅ ε0+e ⋅NA ⋅ (x

2 + 2 ⋅ x ⋅ dp + dp2)

2 ⋅ εr ⋅ ε0=e ⋅NA ⋅ (x

2 + 2 ⋅ x ⋅ dp)2 ⋅ εr ⋅ ε0

Vi kan nu sammanfatta ekvationerna för spänningen i de fyra områdena:

€

U(x) = − e ⋅NA ⋅ dp

2

2 ⋅ εr ⋅ ε0 för x ≤ -dp

€

U(x) =e ⋅NA ⋅ (x

2 + 2 ⋅ x ⋅ dp)2 ⋅ εr ⋅ ε0

för –dp ≤ x ≤ 0

€

U(x) =e ⋅ND ⋅ (2 ⋅ x ⋅ dn − x

2)2 ⋅ εr ⋅ ε0

för 0 ≤ x ≤ dn

€

U(x) =e ⋅ND ⋅ dn

2

2 ⋅ εr ⋅ ε0 för x ≥ dn

Ekv. 4:24

Vi ser att spänningen är konstant i de neutrala områdena, vilket kommer från att vi inte har någon nettoladdning och därför inget ε-fält där. Vi ser att det finns en linjär och en kvadratisk term i spänningen i rymdladdningsområdet. Den linjära termen dominerar nära x = 0 och den kvadratiska termen dominerar nära x = -dp, respektive x = dn. Spänningen är illustrerad i Figur 4:7.

Vi kan nu också se att spänningen mellan p- och n-sidorna ges av U(dn) - U(–dp), vilket motsvarar den inbyggda spänningen, d.v.s.:


70

€

Ubi =e ⋅ (NA ⋅ dp

2 +ND ⋅ dn2 )

2 ⋅ εr ⋅ ε0

Det här är ett annat sätt att uttrycka Ubi än Ekv. 4:12, men ger samma resultat om vi känner till dp och dn. Med ND⋅dn= NA⋅dp ger det:

€

Ubi =e ⋅NA ⋅ dp

2 ⋅ εr ⋅ ε0⋅ dp + dn( ) = −

εmax ⋅ dp + dn( )2

Ekv. 4:25

Här kan vi konstatera att vi har högst spänning på n-sidan. Vi kan också konstatera att spänningen ges av arean under kurvan för ε-fältet. Det är ju en triangel med höjden εmax och en bas på dp + dn = dtot. Här gäller det att komma ihåg att arean av en triangel är basen gånger höjden genom två. Det här är ett mycket viktigt samband när vi ska diskutera pn-övergången kvalitativt.

Figur 4:7. Spänningen i en pn-övergång. Vi definierar spänningen mitt i övergången som noll, d.v.s. U(0) = 0. Det gör att spänningen är lägre i det neutrala p-området och högre i det neutrala n-området. I rymdladdningsområdet går spänningen från negativ till positiv, med ett kvadratiskt beroende. Spänningen mellan den neutrala delen av n-sidan och den neutrala delen av p-sidan motsvarar den inbyggda spänningen, Ubi. I figuren är ND > NA, vilket kan ses på att utsträckningen på n-sidan är kortare än på p-sidan. (lin-lin-skala)

Nu kommer vi till den sista delen av geometrin för pn-övergången. Vi går därför över till elektronenergi, Ε, och då behöver vi veta att elektronenergin är relaterad till spänningen via -q, så att E = -q⋅U. En spänning i volt ger direkt en elektronenergi i elektronvolt med omvänt tecken, om vi använder samma referenspunkt. Vi behöver inte välja samma referenspunkt och därför väljer vi att använda Fermi-nivån, EF, som referensnivå. Vi vet från Ekv. 4:24 hur spänningen, U, ser ut som funktion av x genom övergången. Det gör att vi kan få fram profilen på bandkanterna genom att multiplicera spänningen med -q, vilket i princip motsvarar en spegling i x-axeln. Sedan vet vi att Fermi-nivån är konstant genom övergången eftersom det handlar om termisk jämvikt. Vi använder därför Fermi-nivån som referens och lägger en speglad spänningskurva så att den ligger Eg - (EF - EV) över Fermi-nivån på den neutrala n-sidan, vilket motsvarar ledningsbandskanten. På samma sätt lägger vi in samma kurva, men EF - EV under Fermi-nivån på den neutrala n-sidan. Det motsvarar valensbandskanten. Detta är illustrerat i Figur 4:8. Vi ser att ett bara är i själva rymdladdningsområdet som Fermi-nivån skiljer sig relativt bandkanterna från normalfallet.

Nu kan vi gå tillbaka till vår förutsättning om att det inte finns några fria laddningsbärare i rymdladdningsområdet. Om vi tittar på Figur 4:8 ser vi hur Fermi-nivån

U

x

-dp d

n

Dioden

71

ligger jämfört med bandkanterna. Det ligger ett elektriskt fält i rymdladdningsområdet, men det går ingen nettoström. Det gör att massverkans lag fortfarande gäller. Det gör den så länge det inte går någon nettoström genom dioden. I rymdladdningsområdet har vi en Fermi-nivå som skiljer sig från den normala för ett dopat material. Vi påminner oss om att

€

n ⋅ p = ni2 i termisk jämvikt och skriver om ekvationen för Fermi-nivån från föregående

kapitel som:

€

n(x) = ni ⋅e2⋅EF (x)− E v +E c[ ]

2⋅kT⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

p(x) = ni ⋅eE v +E c[ ]−2⋅E F (x)

2⋅kT⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:26

Figur 4:8. Bandstrukturen i en pn-övergång. I termisk jämvikt är Fermi-nivån konstant genom hela övergången. I de båda neutrala områdena är banden helt plana i termisk jämvikt. Däremot i själva rymdladdningsområdet lutar banden, från p-sidan till n-sidan. Skillnaden mellan bandkanterna motsvarar skillnaden i Fermi-nivå med avseende på t.ex. valensbandskanten. För de flesta dioden ligger valensbandskanten på p-sidan strax under ledningsbandskanten på n-sidan. (lin-lin-skala)

Där vi kommer ihåg att (EV + EC)/2 är mitten på bandgapet. Från Figur 4:8 kan vi se att vi någonstans i rymdladdningsområdet har en Fermi-nivå som ligger i mitten på bandgapet. Det gör att n = p = ni just i den punkten. Om NA = ND så är den punkten mitt i övergången, alltså vid x = 0. I andra fall ligger den här punkten någonstans på den lågdopade sidan. I en kiseldiod i rumstemperatur betyder en Fermi-nivå mitt i bandgapet att vi har den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen på 1016 m-3. Det är betydlig lägre än den avsiktliga dopningen på 1021 till 1024 m-3 som man typiskt har i en diod. Det är just när Fermi-nivån ligger i mitten på bandgapet som vi har den lägsta totala koncentrationen av fria laddningsbärare. Det principiella utseendet visas i Figur 4:9.

Exempel: När n = p = ni är den totala koncentrationen (elektroner och hål) av fria laddningsbärare 2⋅ni. I andra punkter kan vi ta till massverkans lag. Vi tittar på den sidan där n är större än ni. Då kan vi beskriva elektronkoncentrationen som n = u⋅ni , där u är ett positivt tal större än ett. Från massverkans lag följer då att p = ni/u

€

n ⋅ u( ) ⋅ pu⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = n ⋅ p = ni

2

E

0 x- dp dn

EF-!(EF - EV)

E g -!(E

F - E

V)

EV

EC


72

Då är den totala koncentrationen av fria laddningsbärare u⋅ni + ni/u = (u + 1/u)⋅ni. man kan ganska enkelt övertyga sig att det alltid är större än 2⋅ni, så länge u är större än 1: 2+1/2=2,5; 1,1+1/1,1= 2,009… Det betyder att ju närmare ytterkanterna på rymdladdningsområdet vi kommer desto högre laddningsbärarkoncentration av den en eller andra typen. Alldeles i gränsen är koncentrationen samma som dopningskoncentrationen.

Figur 4:9. En schematisk bild av laddningsbärarkoncentrationen genom rymdladdningsområdet på en diod. Laddningsbärarkoncentrationen är ritad i logaritmisk skala. En god approximation är att koncentrationen av majoritetsladdningsbärare avtar exponentiellt genom rymdladdningsområdet. Någonstans i övergången är n = p = ni. Med exakt samma dopningskoncentration på båda sidor är denna punkt mitt i övergången. I en osymmetrisk övergång ligger denna punkt inne på sidan med en lägsta dopningen. Ju större skillnad, desto längre in från själva övergången. (lin-log-skala).

När det gäller hur profilen på laddningsbärarkoncentrationen ser ut genom rymdladdningsområdet så är en enkel men god approximation är att elektronkoncentrationen minskar exponentiellt från n-sidan till p-sidan. Samma sak gäller för hålkoncentrationen där koncentrationen ökar från n-sidan till p-sidan. Om vi plottar laddningsbärarkoncentrationen i logaritmisk skala ger det räta linjer genom rymdladdningsområdet. Det har vi plottat i Figur 4:9. Eftersom koncentrationerna avtar exponentiellt in i rymdladdningsområdet så är koncentrationen av laddningsbärare betydligt lägre än i de neutrala områdena. Det gör att vårt antagande att det inte finns några fria laddningsbärare i rymdladdningsområdet.

Det som är kvar i härledningen är att ta fram ekvationerna för hur rymdladdningsområdets utsträckning ser ut. Härledningen är relativt omfattande, men ganska rättfram eftersom de flesta stegen finns med nedan. Precis som tidigare är det slutresultatet som är det viktiga. Vägen dit är bara till för att inga ekvationer ska hänga i luften. Vi börjar med att titta på hur spänningen fördelar sig mellan p- och n-sidan med hjälp av Ekv. 4:26. För att skilja de två använder vi som tidigare index n och p, där Up är spänningen på p-sidan, jämfört med spänningen vid x = 0 och det samma gäller för Un på n-sidan.

€

Up = −e ⋅NA ⋅ dp2 ⋅ εr ⋅ ε0

⋅ dp och

€

Un =e ⋅ND ⋅ dn2 ⋅ εr ⋅ ε0

⋅ dn

Om vi nu använder sambandet att den totala laddningen är samma på båda sidor av utarmningsområdet,

€

NA ⋅ dp = ND ⋅ dn så kan vi skriva om ekvationerna ovan som:

Log

konc

.x

NDNA

pn

-dp dn0

ni

Dioden

73

€

Un =e ⋅ND ⋅ dn2 ⋅ εr ⋅ ε0

⋅ dn =e ⋅NA ⋅ dp2 ⋅ εr ⋅ ε0

⋅ dn = −Up ⋅dndp

= −Up ⋅NAND

Under förutsättning att pn-övergången är symmetriskt dopad ligger lika stor spänning över p-sidans rymdladdningsområde som på n-sidans. Om det är skillnad på dopningskoncentrationen så ser vi att en större del av spänningen ligger på sidan med den lägre dopningskoncentrationen.

Nu tar vi till tricket med att Ubi är ytan under ε(x), som vi diskuterad ovan: Ubi = (εmax·dtot)/2, där vi behöver komma ihåg hur εmax ser ut från Ekv. 4:21. Det gör att:

€

dtot =2 ⋅Ubiεmax

=2 ⋅Ubi ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅NA ⋅ dp

=2 ⋅Ubi ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅ND ⋅ dn

Ekv. 4:27

Om vi tar till ett litet knep genom att skriva om kvadraten på dtot med summan av de två delarna:

€

dtot2 = dtot ⋅ dp + dn( ) = dtot ⋅ dp + dtot ⋅ dn och använda de två ekvationerna för dtot

som funktion av dp och dn:

€

dtot ⋅ dp + dn( ) =2 ⋅Ubi ⋅ εr ⋅ ε0

e ⋅NA+2 ⋅Ubi ⋅ εr ⋅ ε0

e ⋅ND=2 ⋅Ubi ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ NA +ND( )

e ⋅NA ⋅ND

d.v.s.:

€

dtot =2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅NA +NDNA ⋅ND

⋅Ubi

Ekv. 4:28

Om vi sen vill se hur det ser ut på vardera sida behöver vi gå tillbaka till laddningslikheten,

€

NA ⋅ dp = ND ⋅ dn :

€

dn = dp ⋅NAND

⇒ dtot = dp + dp ⋅NAND

= dp ⋅ND +NAND

, d.v.s.

€

dp =ND

ND +NA⋅ dtot =

NDND +NA

⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅NA +NDNA ⋅ND

⋅Ubi =

=2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅NA

⋅NA ⋅NDNA +ND

⋅Ubi

d.v.s.:

€

dp =1NA

⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅NA ⋅NDNA +ND

⋅Ubi

Ekv. 4:29

På samma sätt kan vi få fram utsträckningen på n-sidan:

€

dn =1ND

⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅NA ⋅NDNA +ND

⋅Ubi

Ekv. 4:30


74

För att kontrollera att vi har gjort rätt kan vi lägga ihop dn och dp och vi ska få fram dtot enligt Ekv. 4:28. Vilket lämnas till läsaren att göra.

Nu kan vi dra ut ett par vanliga specialfall utifrån dopningskoncentrationerna på respektive sida:

Symmetrisk pn-övergång, d.v.s. NA = ND.

I den symmetriska pn-övergången har vi lika stor koncentration av acceptorer på p-sidan som donatorer på n-sidan. Det är det enklaste fallet av pn-övergång eftersom det betyder att allt ser likartat ut på båda sidor. Nettoladdningen, den elektrostatiska potentialen (spänningen) och bandstrukturen är speglad i origo och det elektriska fältet är speglad i y-axeln. Ekv. 4:28 kan då förenklas med:

€

NA +NDNA ⋅ND

=2 ⋅NANA ⋅ND

=2ND

vilket ger:

€

dtot = 2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅UbiND

= 2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅UbiNA

€

dn = dp =εr ⋅ ε0e

⋅UbiND

=εr ⋅ ε0e

⋅UbiNA

Ekv. 4:31

Asymmetrisk pn-övergång där NA>>ND, vilket brukar kallas p+n-övergång:

I den ena typen av asymmetrisk övergång är acceptorkoncentrationen på p-sidan är mycket större än donatorkoncentrationen på n-sidan. Det göra övergångens utseende i stort sett bestäms av sidan med lägst koncentration. I detta fall är det n-sidan som är intressant. I princip kan man bortse från den högst dopade sidan. All inbyggd spänning och hela ε-fältet ligger på n-sidan. Eftersom vi har betydligt fler hål på p-sidan än elektroner på n-sidan så brukar man markera detta med ett ”+” efter p:et och kalla övergången ”p-plus-n”. Nu kan Ekv. 4:28 förenklas med:

€

NA +NDNA ⋅ND

≈NA

NA ⋅ND=1ND

vilket ger:

€

dn =2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅UbiND

€

dp =NDNA

⋅ dn

€

dtot = dn +NDNA

⋅ dn ≈ dn

Ekv. 4:32

Dioden

75

Asymmetrisk övergång där ND>>NA, vilket brukar kallas n+p-övergång: På samma sätt kan vi ha högre koncentration av donatorer på n-sidan än acceptorer på p-sidan. Precis som i fallet ovan ligger den inbyggda spänningen och ε-fältet på sidan med lägst dopning, d.v.s. p-sidan. På samma sätt kallas den här övergången ”n-plus-p” med ett ”+” efter n:et. Även här kan Ekv. 4:28 förenklas till:

€

dp =2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅UbiNA

€

dn =NAND

⋅ dp

€

dtot = dp +NAND

⋅ dp ≈ dp

Ekv. 4:33

I båda asymmetriska fallen använder man alltså ” + ” för att indikera att den typen är kraftigare dopad. Vikten av den asymmetriska pn-övergången är inte klar, men vi kommer att se senare att det är den typen av pn-övergång som är enklast att tillverka. Den stora vikten hos den asymmetriska övergången är att den, som vi kommer att se längre fram i det här kapitlet, är mycket viktig del i förstärkningen hos en bipolär transistor.

Innan vi avslutar den här sektionen ska vi påminna oss om att vi bara gjorde två antagande för att härleda utseendet på pn-övergången och det var att övergången från n- till p-typmaterial är abrupt och att alla fria laddningsbärare försvinner från ett område kring övergången, viket leder till en fyrkantig profil på rymdladdningen.

pn-övergången på ett kvalitativt sätt När vi har alla ekvationer som styr utseendet på pn-övergången kan vi nu börja

diskutera pn-övergången på ett kvalitativt sätt. "Kvalitativt" betyder att vi kommer att titta på samband utan att räkna på dem. Orsaken till att vi studerar hur olika parametrar påverkar utseendet på pn-övergången är att den bipolära transistorn bygger på just två olika pn-övergångar. Utseendet på pn-övergången ger inte bara strömegenskaperna men också frekvensegenskaperna hos transistorn. Dessutom är det en mycket bra träning i att översätta formler till verklighet. För den här kvalitativa diskussionen behöver vi ett par resultat från härledningen ovan: ε-fältet har sitt maximum vid x = 0. Lutningen på ε-fältskurvan ges av dopningskoncentrationen, där en högre

koncentration ger en större lutning. Arean under ε-fältskurvan motsvarar den inbyggda spänningen. Arean under ε-fältskurvan på p- respektive n-sidan motsvarar hur stor del av den

inbyggda spänningen som ligger på p- respektive n-sidan. Den inbyggda spänningen ökar långsamt med produkten NA⋅ND och kan anses som

konstant över ett par tiopotenser i dopningskoncentration.


76

Vi använder en symmetrisk pn-övergång som utgångspunkt för våra kvalitativa diskussioner. Vi diskuterar följande fall med utgångspunkt i en symmetrisk pn-övergång (d.v.s. NA = ND): Ökad dopning med en faktor 10 på båda sidor. Ökad dopning med en faktor 10 på ena sidan. Vad händer om vi ökar dopningen på båda sidor en tiopotens?

Den inbyggda spänningen ökar marginellt, men betydligt mindre än en faktor 2, enligt Figur 4:4. Den inbyggda spänningen är arean under ε-fältskurvan som därför är i det närmaste är oförändrad. Vi börjar med att utgå från samma utsträckning på rymdladdningsområdet. Lutningen på ε-fältskurvan ges av dopningskoncentrationen. Med en större lutning på kurvan blir triangeln högre vilket ger en större area under kurvan, vilket inte går ihop med förutsättningen att arean ska vara oförändrad. Det gör att vi måste skala ner kurvan, lika mycket på höjden som bredden för att få tillbaka arean under kurvan. Det gör att utsträckningen av rymdladdningsområdet har minskat, samtidigt minskar förhållandet mellan basen och höjden kraftigt, där höjden, εmax, ökar. Eftersom vi har ökat båda sidor lika mycket kommer vi fortfarande att ha en symmetrisk pn-övergång, där lika stor del av utarmningsområdet ligger på var sida av övergången. Detta är illustrerat i Figur 4:10. Man kan naturligtvis också använda samma metod men med samma εmax i första steget. Då blir arean för lite och triangeln måste skalas upp. Slutresultatet är dock det samma.

Figur 4:10. a) Laddningen som funktion av position för två olika fall: låg dopningskoncentration (streckade liner) och hög dopningskoncentration (heldragna linjer och randigt mönster). b) Elektriskt fält som funktion av position för två olika fall: låg dopningskoncentration (streckade linjer) och hög dopningskoncentration (heldragen linje och randigt mönster). Eftersom vi har ungefär samma inbyggda spänning har vi samma area under ε-fältskurvan. I fallet med högre dopningskoncentration är lutningen på ε-fältskurvan högre och därför är εmax större och utarmningsområdet mindre. (lin-lin-skala)

Vad händer om vi ökar dopningen på ena sidan en tiopotens? Den inbyggda spänningen ökar marginellt, fortfarande med betydligt mindre än en

faktor 2. Det gör att arean under ε-fältskurvan i det närmaste är oförändrad. Sidan som har den högre koncentrationen har en större lutning på ε-fältskurvan. Det innebär en mindre andel av den totala arean på den sidan. Om vi utgår från den symmetriska ε-fältskurvan och ökar lutningen på den högdopade sidan med oförändrat εmax så får vi en area som

ζ

x

(a) ε x

(b)

Dioden

77

minskar. För att öka arean tillbaka till ursprungsarean måste vi skala upp triangeln. Det medför att utsträckningen på den lågdopade sidan ökar jämfört med den symmetriska övergången och att εmax ökar. Trots att utsträckningen på den lågdopade sidan ökar, så minskar den totala utsträckningen, p.g.a. att utsträckningen minskar på den högdopade sidan. Det betyder ett större εmax och ett mindre totalt rymdladdningsområde. Det betyder också att den inbyggda spänningen i huvudsak ligger på den lågdopade sidan. Detta är illustrerat i Figur 4:11.

Figur 4:11. a) Laddningen som funktion av position för två olika fall, låg dopningskoncentration (streckade linjer) och hög dopningskoncentration (randigt mönster) på ena sidan. b) Elektriskt fält som funktion av position för två olika fall låg dopningskoncentration (streckade linjer) och hög dopningskoncentration (randigt mönster) på ena sidan. I båda fallen är lutningen på ε-fältskurvan identisk på den lågdopade sidan. På den andra sidan ökar däremot lutningen med ökad dopningskoncentration. I det senare fallet är εmax större och större delen av den inbyggda spänningen ligger på den lågdopade sidan. (lin-lin-skala)

Kvalitativ diskussion kring pn-övergången med yttre pålagd spänning När vi nu har sett vad som händer när vi ändrar dopningskoncentrationerna genom att

använda sambanden mellan laddning, elektriskt fält och spänning kan vi använda samma koncept för att studera vad som händer när man lägger på en yttre pålagd spänning på en pn-övergång. Med ”yttre spänning” menar vi den spänning som vi lägger på diodens kontakter. Vi gör därför några antagande: All yttre spänning ligger över själva övergången och inte över de neutrala områdena.

Det är ju rymdladdningsområdet som har hög resistans jämfört med de neutrala områdena.

Den totala spänningen över övergången är summan av den inbyggda och den yttre spänningen.

Arean under ε-fältskurvan motsvarar den totala spänningen.

Återigen behöver vi påminna oss om sambandet mellan laddning, elektriskt fält, spänning och bandstruktur. Den totala spänningen över övergången är summan av den yttre spänningen och den inbyggda spänningen. I det här fallet diskuterar vi två fall för spänningen över pn-övergången: Den totala spänningen är mindre än den inbyggda – Framspänning. Den totala spänningen är större än den inbyggda – Backspänning.

ε

x

ζ

x

(a) (b)


78

Den totala spänningen är mindre än den inbyggda (framspänning) Om den totala spänningen är mindre än den inbyggda spänningen kommer arean under

ε-fältskurvan att minska. Eftersom lutningen på kurvan ges av dopningskoncentrationen skalar arean lika mycket på höjden (εmax) som på bredden (-dp till dn). Det gör att utarmningsområdet minskar med pålagd (fram-)spänning. Detta är illustrerat i Figur 4:12.

Figur 4:12. Kopplingen mellan de olika storheterna för en pn-övergång med (heldragna linjer och randigt mönster) och utan (streckade linjer) pålagd spänning. Framspänning. Med framspänning så minskar den totala spänningen, Utot, och därför minskar arean under ε-fältskurvan. Det i sin tur gör att: a) rymdladdningsområdet minskar, b) εmax och c) spänningsskillnaden minskar. d) Visar bandstrukturen. (lin-lin-skala)

Den totala spänningen är större än den inbyggda (backspänning)

Om den totala spänningen är större än den inbyggda spänningen kommer arean under ε-fältskurvan att öka. Eftersom lutningen på kurvan ges av dopningskoncentrationen skalar arean lika mycket på höjden (εmax) som på bredden (-dp till dn). Det gör att utarmningsområdet ökar med pålagd (back-)spänning.

Figur 4:13. Kopplingen mellan de olika storheterna för en pn-övergång med och utan pålagd spänning. Backspänning. Med backspänning ökar den totala spänningen, U, och därför ökar arean under ε-fältskurvan. Det i sin tur gör att a) rymdladdningsområdet ökar. b) εmax ökar. c) spänningsskillnaden ökar. d) Bandstrukturen. (lin-lin-skala)

Vi kan nu modifiera uttrycken för rymdladdningsområdets utsträckning genom att inkludera den pålagda spänningen, Ua, (applied voltage). Denna spänning definieras som positiv från p-sidan till n-sidan, d.v.s. den motverkar den inbyggda spänningen. För en generell pn-övergång gäller då:

(a) (b) (c) (d) ε ζ U E

(a) (b) (c) (d) ε ζ U

E

Dioden

79

€

dtot =2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅NA +NDNA ⋅ND

⋅ Ubi −Ua( )

€

dp =1NA

⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅NA ⋅NDNA +ND

⋅ Ubi −Ua( )

€

dn =1ND

⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅NA ⋅NDNA +ND

⋅ Ubi −Ua( )

Ekv. 4:34

Om vi har en symmetrisk pn-övergång, d.v.s. där NA=ND reduceras uttrycken till:

€

dnsym = dpsym =εr ⋅ ε0e ⋅ND

⋅ Ubi −Ua( )

€

dtot sym = 2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅ND

⋅ Ubi −Ua( )

Ekv. 4:35

Om vi har en asymmetrisk pn-övergång där NA>>ND, en p+n-övergång reduceras uttrycken till:

€

dnp+n

=2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅ND

⋅ Ubi −Ua( )

€

dpp+n

= dnp+n

⋅ NDNA

€

dtotp+n

= dpp+n

+ dnp+n

= 1+NDNA

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ dn

p+n≈ dn

p+n

Ekv. 4:36

Den större delen av rymdladdningsområdet ligger på n-sidan. Så länge acceptorkoncentrationen är mycket större kan vi bortse från utsträckningen på p-sidan och i det närmaste hela utarmningsområdet ligger på den lågdopade n-sidan.

Om vi har en asymmetrisk pn-övergång där ND >> NA, en n+p-övergång reduceras uttrycken till:

€

dpn+p

=2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅NA

⋅ Ubi −Ua( )

€

dnn +p

= dpn+ p

⋅NAND

€

dtotn+p

= dpn+p

+ dnn+p

=NAND

+1⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ dp

n+p≈ dp

n+p

Ekv. 4:37

På samma sätt ligger i princip hela rymdladdningsområdet på den lågdopade sidan, där den enda skillnaden är att rymdladdningsområdet huvudsakligen ligger på p-sidan.


80

Exempel: Vi tittar på kisel. Vad betyder egentligen NA >> ND? Är det när NA =1,0×1022 m-3 och ND=1,0×1021 m-3? Vi räknar på utsträckningen med de generella formlerna:

€

dp =1NA

⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅NA ⋅NDNA +ND

⋅ Ubi −Ua( )

€

dn =1ND

⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅NA ⋅NDNA +ND

⋅ Ubi −Ua( )

Först behöver vi hitta den inbyggda spänningen:

€

U bi = U t ⋅ lnNA ⋅N D

ni2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

€

Ubi = 0,0259 ⋅ ln 1022 ⋅1021

2,25 ×1032

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,635 V

€

dp =1

1022⋅2 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12

1,602 ×10−19⋅1022 ⋅1021

1022 +1021⋅ 0,635= 8,68×10-8 m = 0,0868 µm

€

dn =11021

⋅2 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12

1,602 ×10−19⋅1022 ⋅1021

1022 +1021⋅ 0,635= 8,68×10-7 m = 0,868 µm

Om vi istället använder de förenklade ekvationerna:

€

dnp+n

=2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅ND

⋅ Ubi −Ua( ) ,

€

dpp+n

= dnp+n

⋅ NDNA

€

dnp+n

=2 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12

1,602 ×10−19 ⋅1021⋅ 0,635=9,10×10-7 m = 0,91 µm

€

dpp+n

= 0,910 ⋅ 1021

1022=0,091 µm

Vi överskattar alltså utsträckningen med 0,910 – 0,868 = 0,042 µm, vilket är 0,042/0,868 = 0,048, d.v.s. ungefär 5%. Det är för det mesta en ganska god approximation. Är det när NA =1,0×1023 m-3 och ND=1,0×1021 m-3? Först behöver vi hitta den inbyggda spänningen:

€

Ubi = 0,0259 ⋅ ln 1023 ⋅1021

2,25 ×1032

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,695 V

Vi räknar på utsträckningen med de generella formlerna:

€

dp =1

1023⋅2 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12

1,602 ×10−19⋅1023 ⋅1021

1023 +1021⋅ 0,695= 9,47×10-9 m = 9,47 nm

€

dn =11021

⋅2 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12

1,602 ×10−19⋅1023 ⋅1021

1023 +1021⋅ 0,695= 0,947×10-6 m = 0,947 µm

Om vi istället använder de förenklade ekvationerna:

€

dnP+N

=2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅ND

⋅ Vbi −Va( ) ,

€

dpP+N

= dnP+N

⋅ NDNA

€

dnP+N

=2 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12

1,602 ×10−19 ⋅1021⋅ 0,695=9,52×10-5 m = 0,952 µm

€

dpP+N

= 0,952 ⋅ 1021

1023=9,52 nm

Vi överskattar alltså utsträckningen med 0,952 – 0,947 = 0,005 µm, vilket är 0,005/0,947 = 0,005, d.v.s. ungefär 0,5%. Det är en mycket god approximation.

e = 1,602×10-19 As εr = 11,8 ε0 = 8,85×10-12 F/m Ut = 0,0256 V ni = 1,5×1016 m-3 NA = 1,0×1022 m-3 ND = 1,0×1021 m-3

Dioden

81

Slutsatsen vi kan dra från exemplet ovan är att en skillnad i dopning på en faktor tio är en rimlig gräns för att vi ska tala om en asymmetrisk övergång. Det ska påpekas att slutsatsen gäller oavsett vilka koncentrationer det handlar om så länge skillnaden är en faktor tio eller mer.

Man skiljer på det principiella beteendet på strömmen när man lägger på en yttre spänning på en diod. Vid framspänning ökar strömmen exponentiellt med spänningen. Vid backspänning är strömmen konstant och betydligt lägre än framströmmen.

Vi gör nu en liknelse för att förstå vad som egentligen händer med strömmen i en pn-

övergång. Vi tänker oss ledningsbandskanten som en verklig backe i rymdladdningsområdet som separerar två platta områden. Elektronerna kan vi då se som cyklister som cyklar i slumpmässiga riktningar på de platta områdena och med en hastighet som motsvarar den termiska energin hos elektronerna. På n-sidan finns det ett stort antal cyklister, medan den bara finns ett fåtal cyklister på p-sidan. En del av dessa förirrar sig in i nerförsbacken och rullar över till n-sidan. Från n-sidan är det betydligt fler cyklister som tar sig in i backen, men det är bara ett fåtal som kan ta sig upp för hela backen. Ligger det ingen spänning på dioden så är backen så hög att lika många cyklister tar sig från n- till p-sidan som de som tar sig från p- till n-sidan. Det går då ingen nettoström i dioden. Om vi lägger på en spänning så att backen blir högre så kommer inga cyklister att ta sig upp för backen och det enda som händer är att ett antal cyklister kommer ner för backen. Det motsvarar backriktningen. Eftersom inga cyklister tar sig upp för backen så är nettoantalet som tar sig ner för backen oberoende av höjden på backen. Om vi lägger på en spänning som minskar höjden på backen så tar sig fortfarande lika många cyklister ner för backen som tidigare, men nu kan betydligt fler cyklister ta sig upp för backen. Det beror på att en del av de cyklister som tog sig upp en bit i backen tidigare nu kan ta sig över till andar sidan. Ju mer vi sänker höjden, desto fler tar sig upp till p-sidan. Det motsvarar framriktningen. Om vi sen tittar på hålen i valensbandet så kan vi se det som cyklister i Australien, så backen sluttar ner mot p-sidan.

Minoritetsladdningsbärarinjektion från en pn-övergång En av de viktigaste egenskaperna hos en pn-övergång är dess förmåga att öka

minoritetsladdningsbärarkoncentrationerna vid rymdladdningsområdets ytterkanter, vilket kallas för att injicera minoritetsladdningsbärare genom övergången. Dessa minoritetsladdningsbärare kommer från den ”andra” sidan där de är majoritetsladdningsbärare. Hela diskussionen bygger på vi förändrar minoritetsladdningsbärarkoncentrationen samtidigt som majoritetsladdnings-bärarkoncentrationen är oförändrad. Det är denna förmåga som ger upphov till strömmen


82

och det karakteristiska strömspänningsberoendet hos en diod. För att diskutera injektionen börjar vi med ekvationerna för strömmarna i övergången. För enkelhetens skull koncentrerar vi oss på elektronströmmarna. Det är ingen inskränkning eftersom härledningen är likartad och ger samma resultat för den injicerade laddningsbärarkoncentrationen. I slutänden måste vi ta hänsyn till båda typer av laddningsbärare för att få fram den totala strömmen, eller närmare bestämt strömtätheten (ström per area):

€

Jn = e ⋅Dn ⋅dndx

+ e ⋅µn ⋅ n ⋅ε (för elektroner) Ekv. 4:6

Inledningsvis studerar vi bara på förändringen i minoritetsladdningsbärarkoncentrationen vid rymdladdningsområdets ytterkant på p-sidan. För låga spänningar över dioden kan vi göra antagandet att vi för varje x-punkt i rymdladdningsområdet har en total ström som är i det närmaste 0, d.v.s. att Jn(x) ≈ 0. Det är inte riktigt sant, men det visar sig att den totala strömmen i de flesta fall är betydligt mindre än var och en av de två motriktade strömmarna i övergången. Det gör att vi som tidigare kan skriva om Ekv. 4:6 som:

€

ε ⋅ dx = − dnn⋅Ut

Ekv. 4:38

Och om integrerar Ekv. 4:38 över rymdladdningsområdet (-dp till dn) får vi:

€

Utot = − ε ⋅ dx =−d p

dn

∫ Ut ⋅dnnn1

n2

∫ = ln n(dn )( ) − ln n(−dp)( )[ ] = −Ut ⋅ lnn(−dp)n(dn )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:39

där n1 är elektronkoncentrationen i punkten -dp och n2 är elektronkoncentrationen i punkten dn. n2 är i själva verket elektronkoncentrationen på den neutrala n-sidan,

€

nn0 . Men hur stor är då n1, som är elektronkoncentrationen på andra sidan pn-övergången? D.v.s. hur stor är minoritetsladdningsbärarkoncentrationen på p-sidan. Genom att stuva om i Ekv. 4:39 får vi:

€

ln n(−dp)[ ] = −UtotUt

+ ln nn 0( )

d.v.s:

€

n(−dp) = e− U tot

U t+ln n n 0( )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= nn 0⋅e

− U totU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Om Utot bara är den inbyggda spänningen, Ubi får vi från Ekv. 4:12 att:

€

n(−dp) = nn0⋅e

− U t ⋅ln N A ⋅N D /n i

2( )U t

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

= nn 0⋅

ni2

NA ⋅ND= ND ⋅

ni2

NA ⋅ND=

ni2

NA= np0

Ekv. 4:40

Dioden

83

D.v.s. att

€

n(−dp) = np0 vilket är koncentrationen vid jämvikt. Vilket är precis vad vi förväntade oss eftersom det ju rör sig om termisk jämvikt när vi inte har någon yttre spänning.

Om vi lägger på en yttre spänning, Ua, över pn-övergången blir Utot = Ubi - Ua. Här definierar vi den yttre spänningen som från p-sidan till n-sidan, d.v.s. tvärt emot den inbyggda spänningen. Det ger oss:

€

n(−dp) = nn 0⋅e

− U bi−U aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= nn 0⋅ e

− U biU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅e

U aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:41

Om vi använder resultat från Ekv. 4:40 ovan kan vi skriva om Ekv. 4:41 som:

€

n(−dp) = np0⋅e

UaU t

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:42

Det betyder att om vi inte har någon spänning över pn-övergången så är exponentialtermen 1, och då är

€

n(−dp) = np0 . Om vi lägger en positiv spänning över pn-övergången är exponentialtermen större än 1, vilket gör att och minoritetsladdningsbärarkoncentrationen ökar med spänningen, vilket är illustrerat i Figur 4:14. I extremfallet lägger vi en spänning över övergången som motsvarar Ubi. Det ger att exponentialtermen är NA⋅ND/ni

2 och vi har samma elektronkoncentration på båda sidor om pn-övergången. Rent formelmässigt kan vi lägga på en spänning som är större än Ubi, men det skulle innebära att

€

n(-dp ) > nn0 . Det är en helt orimlig lösning, det är omöjligt att injicera en högre koncentration av elektroner än vad vi har på sidan med den höga koncentrationen.

Figur 4:14. Koncentrationen av fria laddningsbärare, n och p, både i jämvikt (heldragna linjer) och vid framspänning (streckade linjer) genom en pn-övergång. Vi approximerar kurvan genom rymdladdningsområdet med en exponentiellt avtagande koncentration från att vara majoritetsladdningsbärare på ena sidan till minoritetsladdningsbärare på andra sidan. I logaritmisk skala betyder det en rät linje. Vid framspänning ökar minoritetsladdningsbärarkoncentrationerna vid rymdladdningsområdets ytterkanter med en faktor exp(Ua/Ut), men påverkar inte majoritetsladdnings–bärarkoncentrationerna. Eftersom den skalar båda minoritetsladdningsbärarkoncentrationerna lika mycket, kommer kvoten mellan dem att vara oförändrad. Däremot kommer den totala ökningen att vara störst på sidan med lägst dopningskoncentration, d.v.s. där minoritetsladdningsbärarkoncentrationerna är störst. (lin-log-skala)

NA

ND

n p

-dp

dn

0

€

np0

€

pn0

pn(dn)

np(-dp)

Log.

kon

c.


84

Om vi lägger en negativ spänning över pn-övergången kommer exponentialtermen att bli mindre än ett, vilket gör att

€

n(-dp) < np0 . Koncentrationen minskar med spänningen. Ju mindre exponentialtermen är, desto mindre blir koncentrationen. I extremfallet är den i det närmaste 0. Det gör att

€

0 < n(-dp) < nn0 . En slutsats vi kan dra från Ekv. 4:42 är att minoritetsladdningsbärarkoncentrationen på

gränsen till rymdladdningsområdet skalar lika mycket för en given framspänning, oberoende av minoritetsladdningsbärarkoncentrationen vid jämvikt.

Exempel: Vi studerar en godtycklig pn-övergång i rumstemperatur. Vid en framspänning på 18 mV fördubblas minoritetsladdningsbärarkoncentrationen vid rymdladdningsområdets ytterkanter. För en tiodubbling krävs en framspänning på 60 mV och hundrafaldig ökning kräver 120 mV. Vid en framspänning av 0,7 V, vilket är en typisk framspänning över en kiseldiod, ökar koncentrationen med 5×1011. En spänning som ökar en låg koncentration en viss faktor ökar även en hög koncentration med samma faktor.

På samma sätt kan vi härleda vad som händer med koncentrationen av hål på n-sidan.

Eftersom härledningen i det närmaste är identisk med den för elektroner på p-sidan går vi direkt på resultatet:

€

p(dn ) = pn0⋅e

U aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:43

Återigen ser vi att skalfaktorn är oberoende av hur stor koncentrationen var från början. Det betyder också att om vi lägger på en spänning som ökar hålkoncentrationen på n-sidan en faktor 10 så ökar vi elektronkoncentrationen på p-sidan en faktor 10. Det gör att vi alltid har samma förhållande mellan elektroner vid rymdladdningsområdets ytterkant på p-sidan och hål vid rymdladdningsområdets ytterkant på n-sidan. Det kan sammanfattas i en ekvation:

€

n(−dp)p(dn )

=NDNA

Ekv. 4:44

Det här är ett viktigt samband både när det gäller strömmar genom en diod, men ännu mer när det gäller hur man får en förstärkning i en bipolär transistor. Det kommer vi att studerar närmare i kapitlet om den bipolära transistorn.

Strömmen genom en diod: Diffusionsström I sektionen ovan har vi sett hur vi kan ändra minoritetsladdningsbärarkoncentrationen

på gränsen till rymdladdningsområdet. I den här sektionen ska vi se hur den ändrade koncentrationen genererar strömmen genom en diod. Vi kan konstatera att vi har en större koncentration av minoritetsladdningsbärare vid rymdladdningsområdet än vid kontakten. En koncentrationsskillnad ger upphov till en diffusionsström, och det är det som ger upphov till strömmen genom en diod. Det finns två olika sätt som den här koncentrationsgradienten ser ut. Dessa ger upphov till två likartade, men olika typer av dioder: Kort och lång diod. Den förra är den typ som är en del av en bipolär transistor och

Dioden

85

den senare en vanlig diskret likriktardiod. I det här kompendiet kommer vi att koncentrera oss på den lite enklare korta dioden, men vi kommer även att visa hur den långa dioden beter sig för en jämförelse. Eftersom strömmen ges av gradienter av minoritetsladdningsbärare så kallas den här normala strömmen för diffusionsström. Andra beteckningar är normalinjektion eller lågnivåinjektion. Kort diod

Den korta dioden kallas även diod med kort bas, där bas refererar till basen i en transistor, där bas-emitterdioden är en kort diod. Det är i viss mån även den typen av dioder som sitter i integrerade kretsar. I den här typen av diod är avståndet mellan rymdladdningsområdet och kontakten kort. För den korta dioden finns det två förutsättningar: Kontakten ser till att laddningsbärarkoncentrationerna vid kontakten antar

jämviktsvärdena. Alla laddningsbärare som injiceras från rymdladdningsområdet tar sig fram till

kontakten. Man brukar dessutom förutsätta att ökningen av

minoritetsladdningsbärarkoncentrationen inte påverkar laddningsneutraliteten i den neutrala områdena. Oftast förklaras det inte närmare, men andemeningen är att ökningen av minoritetsladdningsbärarkoncentrationen inte ger motsvarande ökning av majoritetsladdningsbärarkoncentration eftersom ökningen fortfarande är försumbar jämfört med majoritetsladdningsbärarkoncentrationen. Det ger fortfarande i stort sett laddningsneutralitet.

Det som gör den korta dioden enkel i någon mening är att samma typ av laddningsbärare tar sig från kontakten på ena sidan, över pn-övergången och kommer ut genom kontakten på andra sidan av dioden. Det gör att det är ganska enkelt att få fram ekvationer för strömmen genom dioden. Återigen koncentrerar vi oss på elektronerna På p-sidan vet att vi har en minoritetsladdningsbärarkoncentration vid rymdladdningsområdets ytterkant (x = -dp) som är:

€

n(−dp) = np0⋅e

U aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:45

Dessutom har vi enligt förutsättningarna att vi vid kontakten (x = -Wp) har en minoritetsladdningsbärarkoncentration som är:

€

n(−Wp) = np0

Ekv. 4:46


86

Figur 4:15. a) Minoritetsladdningsbärarkoncentrationen, np, på p-sidan. Både i jämvikt (heldragen linje) och med konstant framspänning (streckad linje). b) Minoritetsladdningsbärarkoncentrationen, pn, på n-sidan. Både med (streckad) och utan (heldragen) konstant framspänning. (lin-lin-skala)

För enkelhets skull antar att Wp >> dp, vilket gör att avståndet mellan rymdladdningsområdet och kontakten kan sägas vara Wp. Alternativt kan man definiera att Wp är det neutrala delen av p-sidan. Det gör att vi får en gradient i elektronkoncentrationen längs den positiva x-axeln. Eftersom det rör sig om en konstant framspänning kan det bara röra sig om en linjär gradient. En olinjär gradient hade inneburit en ström som varierar längs x-axeln och det är omöjligt som en kontinuerlig situation. Den linjära gradienten är illustreras i Figur 4:15 och ges av:

€

dndx

=ΔnΔx

=n(−Wp )− n(−d p )

(−Wp )− (−dp )≈

np0− np0

⋅eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−Wp=

n p0

Wp⋅ e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:47

Att vi har använt ungefär lika med (≈) beror på att det förutsätter att Wp >> dp. Vi drar oss till minnes från kapitlet om ellära hur en gradient i elektronkoncentration ger upphov till en diffusionsström, eller snarare en strömtäthet:

€

Jndiff = e ⋅Dn ⋅ dndx

Vilket gör att strömtätheten ges av:

€

Jndiff =

e ⋅Dn ⋅ np0Wp

⋅ eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:48

Om vi vill se hur strömmen ser ut behöver vi introducera en area, A, på dioden. För att göra om en strömtäthet till ström så multiplicerar vi med arean. Dessutom kan vi skriva om ekvationen med hjälp av Dn = Ut⋅µn, eftersom det oftast är rörligheten man hittar i tabeller:

€

Indiff =

e ⋅A ⋅Dn ⋅ np0Wp

⋅ eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

=e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ np0

Wp⋅ e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:49

Strömmen uttryckt i dopningskoncentrationen, där

€

np0 =ni2

NA, ges då av:

Lin

(n)

0

np(-!dp) pn(dn)

- dp-Wp

Lin

(p)

0

np0 pn0

dn Wn

(a) (b)

Dioden

87

€

Indiff =

e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ ni2

Wp ⋅NA⋅ e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:50

Om vi lägger på en framspänning på dioden, d.v.s. Ua > 0, kommer uttrycket i parentesen att vara positivt. Det betyder att strömmen går från p-sidan till n-sidan. Det är konsistent med att vi har fler elektroner vid rymdladdningsområdet än vid kontakten på p-sidan, vilket betyder att elektroner rör sig mot kontakten, d.v.s. strömmen går i motsatt riktning, från kontakten. Det är precis vad vi förväntar oss för elektroner.

På samma sätt kan vi få fram strömmen för hål:

€

Ipdiff =

e ⋅A ⋅Ut ⋅µp ⋅ ni2

Wn ⋅ND⋅ e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:51

Återigen ser vi att en positiv Ua ger en ström från p- till n-sidan, vilket är samma riktning som för elektronströmmen. Om vi har en generell diod är strömmen genom dioden summan av de två strömmarna. Ekvationen brukar kallas diodekvationen:

€

I = e ⋅A ⋅Ut ⋅ ni2 ⋅

µnWp ⋅NA

+µp

Wn ⋅ND

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ ⋅ e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:52

En enkel slutsats vi kan dra är att strömmen skalar linjärt med arean, d.v.s. en fördubbling av arean ger en fördubbling av strömmen för en given spänning över dioden. Det är en enkle tumregel när man designar dioder för olika tillämpningar där en signaldiod med en typisk ström på 100mA har en betydligt mindre area än en likriktardiod i en bilgenerator som hanterar strömmar på 100A.

I de flesta fall är dioder dopade så att den ena dopningskoncentrationen är mycket större än den andra. Om p-sidan är kraftigare dopad än n-sidan (NA >> ND) kallas dioden för en p+n-diod och om det är tvärt om (ND >> NA) är det en n+p-diod. Det gör att man i vanliga fall bara behöver ta hänsyn till den typen av laddningsbärare som finns i det kraftigare dopade området. Det gör att ekvationen ovan reduceras till:

€

Ip+n =e ⋅A ⋅Ut ⋅ ni

2 ⋅µpWn ⋅ND

⋅ eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:53

€

In+p =e ⋅A ⋅Ut ⋅ ni

2 ⋅µnWp ⋅NA

⋅ eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:54


88

Vi ser nu att: Strömmen är beroende av materialkonstanter, linjärt beroende av rörlighet och

kvadratiskt beroende på intrinsisk laddningsbärarkoncentration. Strömmen är beroende av designparametrar, linjärt beroende av arean och linjärt

beroende av inversen på utsträckningen av den lågdopade sidan och dopningskoncentrationen på den lågdopade sidan.

Strömmen är i princip oberoende av egenskaperna på den högdopade sidan.

Lång diod I den typen av dioder som man hittar som diskreta komponenter är avståndet mellan

rymdladdningsområdet och kontakten ofta stort. Det är så stort att inga av de laddningsbärare som injiceras från rymdladdningsområdet når till kontakten. Samtliga injicerade laddningsbärare rekombinerar på vägen mot kontakten med majoritetsladdningsbärarna i de respektive neutrala områdena. Det som är viktigt är nu överskottet av laddningsbärare,

€

np(x) - np0 = np

, (x). Eftersom minoritetsladdningsbärarna rekombinerar är inte gradienten linjär längre. Hålkoncentrationen är betydligt större än elektronkoncentrationen, även vid framspänning. Rekombinationshastigheten är ju som vi diskuterat tidigare i kapitel 3 proportionell mot n⋅p, vilket gör att när elektroner rekombinerar så minskar elektronkoncentrationen och därmed avtar även rekombinationshastigheten. Det visar sig att överskottet av minoritetsladdningsbärare avtar exponentiellt, se Figur 4:16. Ett exponentiellt avtagande med avstånd kan man alltid beskriva med en karakteristisk längd där exponentialtermen har minskat till 37%, d.v.s. 1/e. I fallet med elektronkoncentrationen kallar man denna längd för diffusionslängd, Ln för elektroner på p-sidan och Lp för hål på n-sidan. Det gör att överskottet av elektroner

€

np,( ) kan beskrivas som:

€

np, (x) = n,(−dp) ⋅e

xLn

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (där x < 0)

Ekv. 4:55

Eftersom vi inte längre har en linjär gradient så kommer strömmen att bli lite mer komplicerad. Vi börjar med att titta på strömmen genom den neutrala delen av p-sidan, d.v.s. den delen som genereras av injektionen av elektroner. Det som är intressant i det här fallet är att titta på elektronströmmen i gränsen mellan rymdladdningsområdet och det neutrala p-området, i punkten -dp. Det ger strömmen p.g.a. elektroner. Strömmen ges av koncentrationsgradienten av överskottsladdning i punkten -dp. Orsaken till att vi bara tittar på gradienten i gränsen mellan rymdladdningsområdet och det neutrala området är enkel. För att inse varför behöver vi tänka på vad som egentligen händer när elektronerna rekombinerar med hålen på p-sidan. Varje elektron ”äter upp” ett hål och om vi inte ersätter dem kommer vi till slut att ha ”ätit upp” alla hål. Vi måste alltså på något sätt ersätta hålen. Det görs genom att vi får in hål från kontakten. Om vi tittar lite mer fysikaliskt på vad som händer kan vi konstatera att vi har en avtagande gradient i elektronkoncentrationen bort från rymdladdningsområdet. Eftersom elektronerna rekombinerar med hål kommer vi att få en motsvarande gradient i hålkoncentrationen, men ökande från rymdladdningsområdet. En gradient i laddningsbärarkoncentration innebär att

Dioden

89

vi får en diffusionsström av hål. Det betyder att vi har en ström som är en ren elektronström vid rymdladdningsområdets gräns. Utanför rymdladdningsområdet består strömmen av både elektroner och hål, ju längre bort från rymdladdningsområdet desto större del av strömmen orsakas av hål. Är det neutrala området tillräckligt långt har vi en ren hålström vid kontakten.

Figur 4:16. I en lång diod avtar överskottet på minoritetsladdningsbärare (heldragen linje) exponentiellt för att vara noll långt innan kontakten. Vid en sträcka motsvarande diffusionslängden för minoritetsladdningsbärarna (elektronerna) i figuren (Ln), har överskottskoncentrationen gått ner till 1/e (37%). För jämförelse är koncentrationsprofilen för den korta dioden också inlagd i figuren (streckad linje). Eftersom förutsättningen är att Wn << Ln för den korta dioden så är den linjära gradienten betydligt högre än den exponentiella gradienten i figuren.

För att få fram strömmen genom dioden behöver vi få fram gradienten i laddningsbärare. Gradienten i elektronkoncentration ges helt enkelt av derivatan av Ekv. 4:55. Eftersom vi är ute efter den rena elektronströmmen som orsakas av injektionen så är det derivatan i punkten -dp som är intressant. Det är enkelt att derivera en exponentialfunktion. Allt som händer är att termen före x i exponenten kommer ut framför funktionen:

€

dn'pdx

=1Ln

⋅ n'p (x) ⋅exLn

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=n'p (x)Ln

Ekv. 4:56

I punkten -dp ges gradienten av överskottet på elektroner i den punkten, d.v.s. av koncentrationen av injicerade elektroner minus jämviktsvärdet, d.v.s.:

€

dn'pdx

=np0Ln

⋅ eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:57

Vilket i princip är samma som i fallet med den korta dioden. Skillnaden är att vi nu har diffusionslängden Ln och inte utsträckningen Wp i nämnaren. För att få strömmen ur gradienten så gör vi som i fallet med den korta dioden. I den här diskussionen har vi bara tagit hänsyn till den delen av strömmen som orsakas av injicerade elektroner på p-sidan, men samma sak gäller för injicerade hål på n-sidan. Om man har en diod där strömmen

Lin

(n)

0

np(- dp)

np0

- dnLn WnkortWp

lång


90

består av både injicerade elektroner och hål så kommer strömmen av vara summan av de två bidragen:

€

I = e ⋅A ⋅Ut ⋅ ni2 ⋅

µnLn ⋅NA

+µp

Lp ⋅ND

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ ⋅ e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:58

Och från den ekvationen kan vi få fram ekvationerna för p+n- och n+p-dioder:

€

Ip+n =e ⋅A ⋅Ut ⋅ ni

2 ⋅µpLp ⋅ND

⋅ eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:59

€

In+p =e ⋅A ⋅Ut ⋅ ni

2 ⋅µnLn ⋅NA

⋅ eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:60

Vi kan konstatera att formlerna ser ganska snarlika ut för den långa som den korta dioden. Enda skillnaden är att strömmen i den korta dioden skalar med utsträckningen på de neutrala områdena (som är betydligt kortare än diffusionslängderna) och i den långa dioden skalar strömmen med diffusionslängden (som är betydligt kortare än utsträckningen på de neutrala områdena). Det gör att strömmen i en lång diod är oberoende av utsträckningen på de neutrala områdena till skillnad mot en kort diod. I övrig har vi samma exponentiella beroende av den pålagda spänningen.

En fullständig bild av strömmen in en kort n+p-diod För att få en komplett bild av hur strömmen i en diod ser ut i alla delar av dioden

använder vi en kort n+p-diod som exempel, vilket visas i Figur 4:17. Det innebär egentligen ingen inskränkning, men gör hanterandet lite enklare eftersom vi inte behöver ta hänsyn till så många fysikaliska processer samtidigt.

Hittills har vi bara tagit hänsyn till att elektronerna injiceras från rymdladdningsområdet till den neutrala p-sidan med en kombination av drift- och diffusionsström från n-sidan. Efter att elektronerna har injicerats förs de sedan vidare genom diffusion till kontakten på p-sidan. Diffusionsström ger inte upphov till något spänningsfall över den neutrala p-sidan.

Figur 4:17. I en kort n+p-diod sker strömtransporten i huvudsak med elektroner. Elektroner kommer in genom ledaren till n-sidan och går fram till rymdladdningsområdet. Transporten sker med drift. Från n-sidan injiceras elektronerna till p-sidan. Elektronerna tar sig genom p-sidan som en diffusionsström. Elektronerna går sedan ut genom ledaren med drift. Ett fåtal hål tar sig i motsatt riktning genom dioden. Hålbidraget till strömmen är normalt försumbart jämfört med elektronbidraget i en n+p-diod. Strömmen går från vänster till höger i figuren.

n+-sidanp-sidan RLO

n+p-diod

+ –

Dioden

91

För att det ska gå en ström genom dioden måste det även gå en ström genom n-sidan. I själva verket måste samma ström gå genom n-sidan. Under förutsättningen att vi inte har någon hålinjektion har vi ingen koncentrationsgradient för varken hål eller elektroner i det neutrala n-området. Det betyder att transporten av elektroner från kontakten genom det neutrala området till rymdladdningsområdet måste ske genom drift. Driftström är ju den vanliga ohmska strömmen som ger upphov till ett spänningsfall över den neutrala n-sidan som vi kan kalla Un-sidan:

€

Un−sidan =Wn

e ⋅µn ⋅ nn0⋅ J

Ekv. 4:61

Exempel: En n+p-diod av kisel med NA=1022 och ND=1024 m-3, µn=0,045 och µp=0,135 m2/Vs och Wn=Wp=10 µm. Vid Ua=0,7 V ger det en strömtäthet på 700 kA/m2. Den strömtätheten ger ett spänningsfall på:

€

Un−sidan =10 ×10−6

1,602 ×10−19 ⋅ 0,135 ⋅1024⋅ 7,0 ×105 ≈ 0,3 mV.

Vilket är helt klart försumbart jämfört med 0,7 V, ca 0,4 ‰. Vid en spänning på 0,8 V är strömtätheten 30 MA/m2. Det ger ett spänningsfall på n-sidan på 15 mV, vilket fortfarande är betydligt mindre än 0,8 V, ca 2%.

En slutsats vi kan dra är att vi för normala framspänningar inte behöver ta någon hänsyn

till spänningsfallet över den neutrala n-sidan i en n+p-diod. Nu har vi bilden av hur strömmen flyter genom dioden klar för oss. Vad som är kvar är att tänka på hur strömmen flyter från spänningskällan. Eftersom det oftast handlar om ledningar av metall sker strömtransporten med elektroner med drift. Det betyder att vi får ett spänningsfall, men som vanligt har vi en mycket låg resistans i en kopparledare.

Exempel: En 1 meter lång kopparledare med en area på 0,5 mm2 har en resistivitet på 1,7×102 Ωmm2/m vilket ger en resistans på 0,034 Ω och ett spänningsfall på 34 mV vid en ström på 1 A.

Vi kan alltså oftast bortse även från spänningsfallet över ledningarna fram till dioden.

Sammanfattning av framströmmen i en n+p-diod: Driftström med elektroner från spänningskällans pluspol till kontakten på p-sidan.

Elektronerna rör sig från kontakten mot pluspolen. Diffusionsström med elektroner från p-sidans kontakt till rymdladdningsområdet.

Elektronerna rör sig från rymdladdningsområdet till kontakten. I rymdladdningsområdet är det en kombination av driftström från n-sidan till p-sidan

och diffusionsström från p-sidan till n-sidan, båda med elektroner. Diffusionsströmmen är den större av de två. Den huvudsakliga riktningen för elektronerna är från n-sidan till p-sidan.

Driftström med elektroner från rymdladdningsområdet till kontakten på n-sidan. Elektronerna rör sig från kontakten till rymdladdningsområdet.

NA=1022 m-3

ND=1024 m-3

µn=0,045 m2/Vs µp=0,135 m2/Vs Wn=10 µm Wp=10 µm Ua=0,7 V


92

Driftström med elektroner i ledningen från kontakten på n-sidan till minuspolen. Elektronerna rör sig från minuspolen till kontakten.

Motsvarande sammanfattning av framströmmen i en p+n-diod: Driftström med elektroner från spänningskällans pluspol till kontakten på p-sidan.

Elektronerna rör sig från kontakten mot pluspolen. Driftström med hål från p-sidans kontakt till rymdladdningsområdet.

Hålen rör sig från kontakten till rymdladdningsområdet. I rymdladdningsområdet är det en kombination av driftström från n-sidan till p-sidan

och diffusionsström från p-sidan till n-sidan, båda med hål. Diffusionsströmmen är den större av de två. Den huvudsakliga riktningen för hål är från p-sidan till n-sidan.

Diffusionsström med hål från rymdladdningsområdet till kontakten på n-sidan. Hålen rör sig från rymdladdningsområdet till kontakten.

Driftström med elektroner i ledningen från kontakten på n-sidan till minuspolen. Elektronerna rör sig från minuspolen till kontakten.

Temperaturberoendet hos diodströmmen Vad händer om vi ändrar temperaturen på dioden? Ett vanligt scenario är att en diod blir

varm när man driver ström genom den och att strömmen för en given framspännig kan ändras med den högre temperaturen. Om vi tittar på Ekv. 4:52 så ser vi att vi har den termiska spänningen, Ut, både i exponentialtermen och i förfaktorn. Den termiska spänningen är k⋅T/q, så den ökar linjärt med temperatur. En liten förändring av temperaturen ger en stor ändring av exponentialtermen och en liten ändring av förfaktorn. Den senare är därför försumbar jämfört med förändringen i exponentialtermen. Vi tittar lite mer på vad som finns i Ekv. 4:52 för att se om det finns något mer temperaturberoende bland resten av parametrarna. Det första vi kan se är att konstanten elementarladdningen är temperaturoberoende, vilket dessutom gäller för arean och utsträckningen av de neutrala områdena. Dopningskoncentrationen ändras inte heller med temperaturen. Det är inte uppenbart vad som händer med rörligheten när temperaturen ändras, men vi bortser från ett eventuellt temperaturberoende. Kvar har vi då kvadraten på den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen. Där finns det ju ett kraftigt temperaturberoende som vi kommer ihåg från föregående kapitel. Den ges av:

€

ni = NV ⋅NC ⋅e−

Eg

2⋅k⋅T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:62

Där har vi åter igen ett temperaturberoende i exponenten. Övriga termer har försumbara temperaturberoenden. Om vi håller oss till en n+p-diod och undviker mycket små spänningar så att vi kan bortse från ettan i diodekvationen så kan vi skriva om Ekv. 4:54 som:

€

In +p =e ⋅A ⋅ k ⋅ T ⋅µn ⋅NV ⋅NC

q ⋅Wp ⋅NA⋅e

− Eg

k⋅T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅e

q⋅Uak⋅T

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Om vi samlar ihop alla exponentialtermer så ser strömmen ut så här:

Dioden

93

€

In+p =e ⋅A ⋅ k ⋅ T ⋅µn ⋅NV ⋅NC

q ⋅Wp ⋅NA⋅e

q⋅Ua−Egk⋅T

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:63

Här är det nu viktigt att observera att vi har kvoten e/q. Den kan antingen vara 1 eller 1,6⋅10-19, beroende på om vi använder k=1,38×10-23 J/K eller k= 8,61×10-5 eV/K. I övrigt så ser vi att en ökad temperatur ger en minskad storlek på exponenten. Nu måste vi dock titta på tecknet på termen. Vi vet att den yttre spänningen (Ua) är mindre än den inbyggda spänningen (Ubi) och normalt är den inbyggda spänningen mindre än bandgapet. Det gör alltså att q⋅Ua < Eg. Det betyder ju att exponenten är negativ. En ökande temperatur ger alltså en mindre negativ exponent, vilket ger en större exponentterm. Det ger en ökande ström med ökande temperatur, även om det explicita temperaturberoendet i Ekv. 4:54 talar för en minskad ström. Det som saknas i ekvationen är att den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen också har ett exponentiellt temperaturberoende, ett beroende som är kraftigare och därför är det som dominerar. Effekten är att det ökar gradienten i minoritetsladdningar och därmed ökar strömmen.

Figur 4:18. Grafen visar den vanliga diodströmmen vid två olika temperaturer, 300 och 330 K. Vid en ökning av temperaturen så ökar också strömmen. Ökningen beror i huvudsak på exponentialtermen (q⋅Ua-Eg)/(kT). Ju lägre framspänning desto större ändring. I intervallet ovan ökar strömmen mellan 3 och 10 gånger vid den högre temperaturen. Ökningen beror i huvudsak på att den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen ökar med ökande temperatur.

Exempel: Hur mycket ökar strömmen genom en kiseldiod om vi ökar temperaturen 1 K vid rumstemperatur och en framspänning på 0,7 V. Eftersom vi bara är ute efter hur stor ändringen är så tar vi kvoten mellan de två strömmarna. då försvinner alla termer framför exponenttermen och då blir kvoten:

€

I(301)I(300)

=301300

⋅eq⋅U a −E g

k⋅301 −

q⋅Ua −E g

k⋅300⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

€

I(301)I(300)

=301300

⋅e1⋅0,7−1,12

8,61×10−5⋅301 − 1⋅0,7−1,12

8,61×10−5⋅300⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 1,059…

Strömmen ökar alltså med nästan sex procent, vilket gör att strömmen är mycket känslig för förändringar i temperaturen. Det gör att man kan använda diodströmmen som en ganska exakt termometer. Om vi istället gör samma sak, men för en lägre framspänning, t.ex. 0,5 V får vi istället:


94

€

I(301)I(300)

=301300

⋅e1⋅0,5−1,12

8,61×10−5⋅301 − 1⋅0,5−1,12

8,61×10−5⋅300⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 1,083…

En lägre framspänning gör alltså dioden ännu känsligare för temperaturskillnader

Vi illustrerar framströmmen känslighet med ett diagram med diodströmmen vid två

olika temperaturer i Figur 4:18. Här har vi ökat temperaturen från 300 till 330 K. Det ger ungefär en tredubbling av strömmen vid 0,8 V och högre vid lägre framspänning.

Småsignalmodell Vi kan nu göra en modell av hur en diod fungerar. För enkelhets skull använder vi en

n+p-diod. Eftersom vi har en spänning över rymdladdningsområdet som varierar med strömmen, så kan vi definiera en övergångsresistans. Dels kan vi definiera en storsignalresistans, där resistansen är spänning genom ström som för ett vanligt motstånd. Det fungerar bra för en linjär resistans, men är inte så intressant för en diod. Vad som är betydligt mer intressant är småsignalresistansen. Den definieras ur derivatan på ström/spänningskurvan. Vi börjar dock med småsignalkonduktansen, gd, som helt enkelt är derivatan, eller lutningen på kurvan för strömmen som en funktion av spänningen:

€

gd =dIdU

Ekv. 4:64

som vanligt är resistansen inversen på konduktansen, även i småsignalsammanhang:

€

rd =dUdI

Ekv. 4:65

Där rd är diodens småsignalresistans. Orsaken till att vi kallar den för småsignal är att den talar om hur strömmen ändras om man ändrar spänningen en liten bit ΔU, kring en punkt U0 som ger en ström I0. Ofta använder man små bokstäver för att beteckna småsignalparametrar och stora bokstäver för att beteckna storsignalparametrar. Det är typiskt fallet om man har en AC-signal överlagrad på en DC-signal. Då ges strömmen av:

€

I = I0 + ΔI = I0 +ΔUrd

Ekv. 4:66

Vi har en driftström i det neutrala n-området, vilket ger upphov till ett ohmskt spänningsfall. Det kan representeras av en vanlig linjär resistans. Eftersom det är en resistans som ligger i serie med småsignalresistansen kallas den för serieresistans. I det neutrala p-området har vi en diffusionsström, som inte ger upphov till något spänningsfall och vi har ingen resistans på p-sidan. Det gör att vi får ett extra bidrag till resistansen. Ofta är serieresistansen liten jämfört med småsignalresistansen och man kan därför bortse från den. Det är först när framspänningen över dioden närmar sig den inbyggda spänningen som serieresistansen börjar bli märkbar. Den enkla småsignalmodellen av dioden beskrivs i Figur 4:19.

Dioden

95

Figur 4:19. I den enklaste varianten av småsignalmodell av dioden har vi två resistanser. RS är den serieresistans vi får när strömmen tar sig fram med drift i den högdopade neutrala sidan. På den lågdopade neutrala sidan har vi inte något spänningsfall, därför ingen serieresistans på den sidan. Dessutom har vi den huvudsakliga resistansen, rd, vilket är själva övergångsresistansen som ges av derivatan på spänningen med avseende på strömmen. rd är en småsignalresistans, vilket skiljer sig från storsignalresistansen, U/I, för ett olinjärt element.

Den strömmen vi har diskuterat hittills kallas antingen diffusionsströmmen, eller

normalinjektion eller lågnivåinjektion. Den senare beteckningen kommer att få sin förklaring i en av de följande sektionerna. Vi kommer nu att gå in på ett par avvikelser från diodekvationen som vi har gått igenom hittills.

Låg framspänning: Rekombinationsström Så länge det råder någon form av jämvikt så är det också balans mellan generation och

rekombination så att koncentrationen av majoritets- och minoritetsladdningsbärare är konstant. I termisk jämvikt gäller dessutom alltid att

€

n ⋅ p = ni2. Även vid framspänning råder

det jämvikt, även om det inte är termisk jämvikt, i alla fall så länge det rör sig om konstant framspänning. Om vi ökar koncentrationen av laddningsbärare kommer rekombinationen att öka för att försöka återställa koncentrationerna. Om vi ser till att hålla den förhöjda laddningsbärarkoncentrationen kommer vi att ha en högre rekombinationshastighet. För att bibehålla den förhöjda laddningsbärarkoncentrationen måste vi tillföra laddningsbärare utifrån, från de neutrala områdena.

Rymdladdningsområdet är typiskt ett område som i jämvikt, d.v.s. utan pålagd yttre spänning, har balans mellan generation och rekombination. Som vi har sett tidigare ökar minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i rymdladdningsområdets ytterkanter. Samma sak händer i hela rymdladdningsområdet. Om vi gör det enkelt för oss så tittar vi på symmetrisk övergång, där NA = ND. I mitten på rymdladdningsområdet gäller att

€

n = p = ni vid termisk jämvikt. Om vi framspänner dioden är

€

n = p > ni i mitten på rymdladdningsområdet, vilket ger en ökad rekombination jämfört med jämviktsvärdet.

En god approximation för koncentrationen av laddningsbärare, nc, (c = centre) mitt i övergången är det geometriska medelvärdet, som vi kommer ihåg från matematiken:

€

nc = n(−dp) ⋅ n(dn )

Med

€

n(dn ) =ND,

€

NA =ND och

€

n(-dp) = np0 ⋅eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ blir:

RSrd


96

€

nc2 = n(dn ) ⋅ n(−dp) =ND ⋅

ni2

ND⋅e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

d.v.s.

€

nc = ni ⋅eUa2⋅Ut

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Vi kommer ihåg definitionen på ström, I = ΔQ/Δt och ersätter tiden med livstiden, τ. Då får vi en ström som är proportionell mot nc/τ:

€

I∝ niτ⋅e

Ua2⋅Ut

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=niτ⋅ e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Vilket ger en ström som beror exponentiellt på Ua/2 och inte Ua. Då ska vi komma ihåg att det betyder att beroendet är roten ur exponentialtermen.

Vi kan beskriva strömmen på ett sätt som liknar de tidigare ekvationerna:

€

I = I0 ⋅ eUa2⋅Ut

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Men nu är inte I0 samma som för den vanliga diodströmmen, diffusionsströmmen som vi diskuterade tidigare. Om vi plottar I-U kurvan i en logaritmisk skala kommer vi att få en rät linje vid låg ström med en lutning på Ua/2 och en annan vid högre ström som har lutningen Ua. I en verklig diod är övergången gradvis från det ena till det andra fallet. Om vi tittar lite närmare på I0 och gör approximationen att vi har koncentrationen, nc i hela rymdladdningsområdet, vars volym är dtot⋅A, så får vi:

€

I =e ⋅ ni ⋅ dtot ⋅A

τ⋅ e

Ua2⋅Ut

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:67

Men vad händer då vid låg framspänning? Om vi har en ren rekombinationsström så innebär det att vi som vanligt skickar in elektroner från n-sidan och hål från p-sidan. Skillnaden är att inga elektroner tar sig över rymdladdningsområdet utan alla rekombinerar med hål från p-sidan i själva rymdladdningsområdet. I sin tur tar inga hål sig över rymdladdningsområdet. Om man tittar på hur strömmen tar sig igenom dioden så kan man beskriva det så här: Hål kommer från p-kontakten och tar sig in i rymdladdningsområdet. Strömmen är

en ren hålström. I rymdladdningsområdet händer något som gör att strömmen på andra sidan är en ren

elektronström. Det innebär att hålströmmen på p-sidan är identisk med elektronströmmen på n-sidan.

Detta beskrivs i Figur 4:20.

Dioden

97

Figur 4:20. Vid ren rekombinationsström tar sig inga laddningsbärare över rymdladdningsområdet, utan rekombinerar med laddningsbärare av motsatt typ och försvinner i RLO. Det gör att lika många hål måste tillföras från p-sidan som elektroner från n-sidan. Det gör att vi har samma elektronström genom n-sidan som hålström genom p-sidan. Enda skillnaden är att riktningen på laddningsbärarna är motsatt, hål mot höger och elektroner mot vänster. Strömmen går från vänster till höger i figuren, d.v.s. i samma riktning som hålen.

Hög framspänning: Högnivåinjektion Det är inte bara vid mycket låga framspänningar som får strömmen genom en diod att

avvika från den ideala diffusionsströmmen. Om vi lägger en stor framspänning över övergången gäller inte längre antagandet att den injicerade laddningsbärarkoncentrationen är lägre än dopningskoncentrationen. Det innebär att antagandet om laddningsneutraliteten i de neutrala områdena och att det inte ligger någon spänning över dessa områden inte längre gäller.

Exempel: Vi har en dopning av 1021 m-3 på p-sidan av en n+p-diod. Det gör att elektronkoncentrationen är 1011 m-3 på samma sida i termisk jämvikt. Vilken framspänning krävs för att den injicerade elektronkoncentrationen ska bli lika stor som acceptorkoncentrationen? Vi skriver om Ekv. 4:42 med n(-dp)=NA:

€

Ua = 2 ⋅Ut ⋅ lnNAni

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Med insatta värden ger det:

€

Ua = 2 ⋅ 0,026 ⋅ ln 1021

1016

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,598… = 0,6 V

Det krävs alltså bara en spänning på 0,60 V för att uppnå läget där vi injicerar lika stor koncentration av minoritetsladdningsbärare som dopningskoncentrationen på den lågdopade sidan.

Vi kommer inte att göra någon större utredning av detaljerna kring högnivåinjektion.

Det viktiga är hur högnivåinjektionen påverkar utseendet på diodkurvan. Här diskuterar vi fallet där

€

n(−dp) ≈ pp0 =NA för en n+p-diod, men resultaten är giltiga för alla typer av dioder. Från tidigare vet vi att:

€

n(−dp) = np0⋅e

U aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

och vi kommer ihåg att:

€

np0 ⋅ pp0 = ni2

Om vi nu multiplicerar n(-dp) med

€

pp0 så får vi:

€

n(−dp) ⋅ pp0= np0

⋅ pp0⋅e

U aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= ni2 ⋅e

U aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Om vi nu använder antagandet att

€

pp0 = n(−dp) d.v.s. att

€

n(−dp) ⋅ pp0= n2(−dp ) får vi att:

n+-sidanp-sidan RLO

+ –


98

€

n(−dp) = ni ⋅ eU aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= ni ⋅eU a

2⋅Ut

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Eftersom det handlar om injektion av minoritetsladdningsbärare som är i samma storleksordning som majoritetsladdningsbärare så ges koncentrationsgradienten bara av den injicerade koncentrationen, d.v.s. n(-dp) >> n(-Wp). Det betyder att vi kan bortse från ”ettan” i de vanliga diodekvationerna. Det gör att strömmen nu ges av:

€

I =e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ ni

Wp⋅e

U a2⋅U t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:68

Vilket gör att strömmen ökar långsammare med pålagd spänning än för den vanliga strömmen. Punkten

€

pp0 = n(−dp) kan verka lite godtyckligt vald, men det fungerar egentligen med vilket punkt i närheten som helst.

Exempel: Antag istället att

€

n(−dp) = 110 ⋅ pp0 vilket betyder att:

€

n(−dp) ⋅ pp0=

np0⋅ pp0

10⋅e

U aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=ni

2

10⋅e

U aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Vilket ger:

€

n(−dp) =ni10

⋅ eU aU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=ni10

⋅eU a

2⋅Ut

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

som har samma exponentialterm och en något lägre förfaktor. Det gör att det stora beroendet i strömmen fortfarande ges av exponentialtermen, men att det även finns en långsamt varierande förfaktor.

En viktig poäng med det här exemplet är att vi fortfarande kan beskriva strömmen med

en ekvation som definieras av:

€

I = I0 ⋅eUa2⋅Ut

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Där I0 inte längre är konstant utan ökar med ökad framspänning. En orsak till att strömmen avviker vid höga framspänningar är att vi gjorde ett

antagande i fallet med den ideala strömmen att den injicerade laddningsbärarkoncentrationen är betydligt mindre än majoritetsladdningsbärarkoncentrationen.

Idealitetsfaktorn, m Baserat på rekombinationsström, diffusionsström och högnivåinjektion, kan vi definiera

en idealitetsfaktor, m, där 1 ≤ m ≤ 2. Eftersom vi ofta har en blandning av åtminstone två av de tre typerna kan vi skriva diodekvationen som:

Dioden

99

€

I = I0 ⋅ eUam ⋅Ut⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

−1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 4:69

En idealitetsfaktor på 1 talar om att vi har en ren diffusionsström, medan 2 indikerar antingen rekombinationsström eller högnivåinjektion. Beteckningen idealitetsfaktor kommer av att den talar om hur nära strömmen är den ideala diffusionsströmmen, d.v.s. hur när 1 faktorn är.

Figur 4:21. En figur som illustrerar de olika regionerna för ström genom en diod. Vi låg framspänning, när Ua ≈ Ut, syns effekten av ”ettan” i diodekvationen. Vid lite högre framspänning rekombinerar alla laddningsbärare som injiceras i rymdladdningsområdet och vi har en ren rekombinationsström, med m=2. Med ökad spänning kommer laddningsbärare att ta sig över rymdladdningsområdet och vi går gradvis över till diffusionsström, där strömmen beror på diffusion av minoritetsladdningsbärare i de neutrala områdena och m=1. Vid högre framspänning börjar koncentrationen av injicerade minoritetsladdningsbärare att närma sig koncentrationen av majoritetsladdningsbärare, med m=2 som följd. När framspänningen börjar närma sig Ubi så är strömmen så stor att resistansen i de neutrala områdena börjar bli märkbar. En betydande del den yttre spänningen ligger över de neutrala områdena. Följden blir att strömmen inte längre ökar exponentiellt.

Figur 4:21 illustrerar de olika möjligheterna till spänningsberoende hos strömmen för en ideal diod. Från låg till hög framspänning så ser vi först effekten av "ettan" i parentesen i diodekvationen, Ekv. 4:69 och strömmen ökar kraftigt med spänningen. Det händer typiskt vid en spänning upp till 25 meV vid rumstemperatur. Därefter kommer området med rekombinationsström där strömmen ökar exponentiellt med m=2. Den övergår sedan till en ren diffusionsström, med en exponentiell ökning med m=1. Detta är den normala strömmen genom dioden och här ökar strömmen snabbast. Vid högre framspänning övergår strömmen till högnivåinjektion, fortfarande med en exponentiell ökning men med m=2 igen. När framspänningen närmar sig Ubi så börjar strömmen bli så hög att resistansen i den neutrala områdena på dioden börjar spela in (jfr. småsignalmodellen) Det gör att en del av den yttre spänningen lägger sig över dessa områden. Strömmen kommer nu att öka nära linjärt.

Ua

Log

(I)

I0

I0rek

Högnivåinjektion, m=2

Diffusionsström, m=1

Rekombinationsström, m=2

“Ettan” i diodekvationen

Serieresistans

Ubi

I0hög


100

En diod behöver inte uppvisa alla dessa områden. Dessutom kan de olika områdena vara blandade så att man t.ex. har en blandning av rekombinations- och diffusionsström så att man får en idealitetsfaktor på 1,3-1,4.

Backström När vi backspänner en diod så tänker vi oss idealt att det inte går någon ström alls. Det

brukar inte vara fallet i verkliga dioder. Det går en ström som ibland kallas läckström eftersom den egentligen inte borde finnas. För de flesta dioder är backströmmen många tiopotenser lägre än framströmmarna, men den finns trots allt. I det enkla fallet som man brukar räkna med så ser man det som att man genom att backspänna dioden minskar minoritetsladdningsbärarkoncentrationen vid rymdladdningsområdets ytterkant. Det gör att man får en gradient i motsatt riktning, en ökning av koncentrationen när man går mot kontakterna. Det innebär att man har samma ekvationer som tidigare, men att exponentialtermen nu är mindre än 1. För stora backspänningar är exponentialtermen t.o.m. försumbar jämfört med ettan. Det betyder att strömmen ges av –I0. Det ger en bra approximation av backströmmen.

Om vi går in i lite mer detaljer vad som egentligen händer när vi backspänner en diod så kan vi konstatera att vi tvingar ner minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i rymdladdningsområdet under jämviktsvärdet. Det betyder att vi får en liknande effekt som vi har för rekombinationsströmmen i framriktningen, fast tvärt om. Nu har vi tvingat ner laddningsbärarkoncentrationen så att

€

n ⋅ p < ni2. Det betyder att generationen av

laddningsbärare nu överskrider rekombinationen och vi drar ut laddningsbärare ur rymdladdningsområdet. Fenomenet visas i Figur 4:22. Generationen, och därmed strömmen är omvänt proportionell mot livstiden och proportionell mot volymen av rymdladdningsområdet och ni:

€

I ≈ A ⋅ dtot ⋅ niτ

Eftersom dtot ökar svagt med ökande backspänning kommer backströmmen att öka något med backspänning. I själva verket vet vi från tidigare att

€

dtot ∝ Ubi −Ua . När backspänningen är betydligt större än den inbyggda spänningen kommer utsträckningen av rymdladdningsområdet att öka som

€

-Ua , vilket gör att backströmmen kommer att öka med samma faktor. Om vi plottar backströmmen som funktion av backspänning i en log-log-plott kommer vi att få en rät linje med lutningen κ = 0,5:

€

I∝ −Ua ⇒ log(I) = konstant + log −Ua0,5( ) = konstant + 1

2 ⋅ log(−Ua)

Dioden

101

Figur 4:22. Vid backspänning tvingar vi ner laddningsbärarkoncentrationerna under jämviktsvärdena i rymdladdningsområdet. Det gör att generationen överstiger rekombinationen och vi genererar fler elektroner och hål än vad som rekombinerar. Vid konstant backspänning drar vi ut laddningsbärare ur rymdladdningsområdet och vi genererar därmed en ström. Storleken på strömmen beror i huvudsak på volymen av rymdladdningsområdet. Strömmen går från höger till vänster i figuren.

Zener- och lavingenombrott i backriktningen En vanlig diod beter sig som något av fallen ovan om man backspänner den, d.v.s. man

får en liten ström i backriktningen. Om man designar dioden på ett speciellt sätt kan man ändra beteendet i backriktningen. Om vi dopar båda sidor om övergången kraftigt så har vi ett kort övergångsområde. Om vi kan skapa ett tillräckligt högt elektriskt fält i backriktningen kan vi få elektroner att gå direkt från valensbandet på p-sidan till ledningsbandet på n-sidan. Detta är illustrerat i Figur 4:23 (a) Det kräver att elektronen en kort stund befinner sig i bandgapet, där det ju inte finns några tillstånd för elektronen och elektronen egentligen inte kan befinna sig, även för en kort stund. Det sker med så kallad kvantmekanisk tunnling. Kvantmekanik ligger långt över vad vi diskuterar i det här kompendiet, så vi konstaterar bara att det händer. Förutsättningen är att avståndet i x-led är mycket kort, några få nanometer. Eftersom det handlar om att elektronerna ska ta sig igenom en barriär, bandgapet i det här fallet, så kallar man det ett genombrott. Genombrottet sker vid en väldefinierad fältstyrka så genom att välja dopningskoncentrationerna kan man uppnå den nödvändiga fältstyrkan vid en väldefinierad backspänning. Vid denna spänning ökar backströmmen drastiskt, flera tiopotenser. Denna typ av genombrott kallas Zenergenombrott och fenomenet används i Zenerdioder.

Om vi använder lite lägre dopningskoncentrationer än i Zenerdioden kan vi fortfarande få höga fältstyrkor i backriktningen. Skillnaden är att det nu krävs en större backspänning för att uppnå den höga fältstyrkan. Den höga fältstyrkan gör att en elektron som flyttar sig mot fältets riktning i ledningsbandet på en kort sträcka kan få hög rörelseenergi. Rörelseenergin motsvarar i själva verket höjden över ledningsbandskanten. Om denna rörelseenergi överstiger bandgapets energi så kan elektronen överföra sin energi till en elektron i valensbandet. Det resulterar i två elektroner i ledningsbandet och ett hål i valensbandet. En elektron ger alltså två elektroner och ett hål och vi har fått en multiplikation av laddningsbärare. Dessa tre kan i sin tur generera tre nya laddningsbärare. Om rymdladdningsområdet är tillräckligt långt kommer strömmen att öka lavinartat. Vi har en effekt som kallas lavingenombrott. Den här effekten ger ett genombrott som liknar Zenergenombrottet, men kommer oftast vi större backspänning än Zenergenombrottet. Effekten används också i fotodioder, där man får en intern strömförstärkning genom lavineffekten. Typiska strömspänningskurvor för lavin- och Zenerdioder visas i Figur 4:23.

- +n+-sidanp-sidan RLO


102

Figur 4:23. Illustrationer av genombrott i backriktningen. I en ideal diod är backströmmen i det närmaste oberoende av backspänningen. Det finns däremot en speciell kategori av dioder som kallas Zenerdioder. För den typen av dioder får vi en markant strömökning vid en väldefinierad backspänning. Det finns två mekanismer bakom fenomenet. a) När det elektriska fältet blir tillräckligt stort så kommer elektroner från valensbandet på p-sidan att kunna hoppa (genom kvantmekanisk tunnling) direkt till ledningsbandet på n-sidan. En förutsättning är att flytten i x-led är mycket kort. Det här kallas Zenergenombrott. b) Om fältet är lägre och utsträckningen i x-led är längre så kan en elektron få tillräckligt med rörelseenergi (höjd over ledningsbandskanten) för att kunna överföra sin extraenergi till en elektron i valensbandet. Denna elektron kan då ta sig upp i ledningsbandet. Vi får då två elektroner och ett hål och alla tre kan göra samma sak igen om bara rymdladdningsområdet är långt nog. Vi har fått en multiplikation av laddningsbärare som kan leda ström och strömmen ökar därför lavinartat och det kallas därför lavingenombrott. c) Zenergenombrottet kommer vid låga spänningar och strömökningen är lite mjukare än lavingenombrottet som kommer vid större spänningar. Båda fenomenen används i Zenerdioder. En diod kan uppvisa en typ av genombrott, men inte båda typerna. Zenergenombrott används för att göra dioder med låg Zenerspänning och lavingenombrott för att göra dioder med hög Zenerspänning.

Båda effekterna sker när man överskrider värdet för genombrott på den elektriska fältstyrkan, εbr. Nu är det ju så att vi inte har samma fältstyrka i hela rymdladdningsområdet utan vi har maximalt fält i mitten på övergången och det maximala fältet är relaterat till den inbyggda spänningen. Om vi nu tittar på fallet att vi har en n+p-diod:

€

Ubi −Ua = − εmax ⋅ dp

2= − εmax

2⋅

2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅NA

⋅ Ubi −Ua( )

Genom att stuva om och kvadrera får vi fram vilken spänning som krävs för att ge ett genombrott, Ubr. Det gör att vi ersätter εmax med εbr.

€

Ubr = Ubi − εbr

2 ⋅ εr ⋅ ε02 ⋅ e ⋅NA

Ekv. 4:70

Tecknena behöver kanske en förklaring. Ubr är negativt, eftersom det rör sig om en backspänning. I båda typerna av genombrott behöver vi ha en backspänd pn-övergång. Det elektriska fältet är i vår definition negativ, men eftersom vi kvadrerar fältet blir den andra termen i ekvationen ovan positiv, men minustecknet framför ger ett negativt bidrag till genombrottsspänningen. Den inbyggda spänningen ger ett positivt bidrag till genombrottsspänningen, vilket effektivt betyder att det minskar hur stor backspänning som behövs. Det låter kanske fel vid en första titt, men det är ju så att den inbyggda spänningen

I [A]

U [V]

ZenerLavin

(c)Ε

x-dp

dn

EV

EC

(b)Ε

x-dp

dn

EV

EC

(a)

Dioden

103

och den yttre backspänningen samverkar för att ge det elektriska fältet. Det betyder att vi redan har en del av fältet innan vi har lagt på en yttre backspänning.

Ett par exempel: En n+p-diod i kisel med NA=1022 m-3 och ND=1025 m-3. För kisel är genombrottsfältet 3×107 V/m Hur stor är genombrottsspänningen? Den inbyggda spänningen för dioden ges av Ekv. 4:12:

€

Ubi = 0,026 ⋅ ln 1022 ⋅1025

1032

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,898 V.

Det gör att genombrottsspänningen blir:

€

Ubr =Ubi −εbr2 ⋅ εr ⋅ ε02 ⋅ e ⋅NA

:

€

Ubr = 0,898 − 9 ⋅1014 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12

2 ⋅1,6 ×10−19 ⋅1022 = - 28,4 V.

Om vi ökar dopningen på p-sidan till NA=5×1023 m-3, vad händer då?

€

Ubi = 0,026 ⋅ ln 5 ×1023 ⋅1025

1032

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 1,000 V.

€

Ubr =1,0 − 9 ⋅1014 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12

2 ⋅1,6 ×10−19 ⋅ 5 ×1023= 0,41 V.

Med ett positivt tecken uppnår vi det kritiska fältet redan utan någon backspänning. Vi får alltså ett genombrott direkt när vi lägger på en backspänning. Att vi har tillräckligt fält även med i framriktningen hjälper inte eftersom vi har en framspänning och inte en backspänning. Vid Zenergenombrottet tar sig elektroner direkt från det fulla valensbandet till det tomma ledningsbandet, vilket ger en ström i backriktningen. Samma sak gäller för lavingenombrottet, där elektronerna accelereras i det elektriska fältet i övergången, från p-sidan mot n-sidan, vilket också motsvarar backriktningen.

Kapacitanser i dioden Kapacitansen kan definieras som en ändring av laddning vid en ändring av spänning. I

inledningen av det här kapitlet jämförde vi laddningen i rymdladdningsområdet med laddningen på plattorna på en kondensator. Jämförelsen är inte bara bildlig, utan en diod har faktiskt en kapacitans som inte är försumbar. Det finns två bidrag till kapacitansen, utarmningskapacitans och diffusionskapacitans, som vi kommer att diskutera vidare nedan. Kapacitansen i dioden och speciellt i transistorn är för det mesta en oönskad effekt och begränsar ofta hastigheten i komponenter. Det finns dock tillämpningar där man använder diodens kapacitans. Ett exempel är i UHF-oscillatorer (ultrahögfrekvens - t.ex. TV signaler), där man använder sig av att kapacitansen varierar med backspänning för att stämma av kapacitansen för att få rätt frekvens i t.ex. en TV mottagare. Utarmningskapacitans

Som vi diskuterade i inledningen av det här kapitlet så består rymdladdningsområdet av ett område med positiv laddning och ett område med negativ laddning. Det liknar en vanlig plattkondensator, med den skillnaden att mer laddning på plattorna betyder att vi tar bort fria laddningar och lämnar rymdladdningen kvar. Dessutom blir avståndet mellan de nya laddningarna på ”kondensatorn” lite större, eftersom vi har ökat backspänningen för att öka laddningen och därför ökat dtot. En vanlig plattkondensator definieras som:


104

€

C =QU

=A ⋅ εr ⋅ ε0

d

Ekv. 4:71

C är kapacitansen, U är spänningen över plattorna, Q är den totala laddningen på vardera plattan, εr är den relativa dielektricitetskonstanten, ε0 är dielektricitetskonstanten i vakuum, A är arean på plattorna och d är avståndet mellan plattorna. Eftersom kapacitansen ges av geometrin på kondensatorn enligt den senare delen av Ekv. 4:71 ovan så är den oberoende av spänningen. Det gör att kvoten mellan laddning och spänning måste vara konstant, där en fördubbling av spänningen ger en fördubbling av laddningen.

Figur 4:24. När vi ökar backspänningen på en diod så ökar vi laddningen i rymdladdningsområdet med ΔQ på n-sidan och med -ΔQ på p-sidan. Det sker genom att vi tar bort fria laddningar och det är den kvarvarande rymdladdningen som utgör laddningen. Det här motsvarar en plattkondensator där en ökad laddning dessutom ökar avståndet mellan plattorna. Till skillnad från en plattkondensator så ger mer laddning på lattorna en lägre kapacitans. Eftersom geometrin på kondensatorn är spänningsberoende så är även kapacitansen spänningsberoende. Det rör sig alltså om en småsignalkapacitans.

För dioden är det inte lika enkelt med utarmningskapacitansen. En förändring av spänningen ger en förändring av utarmningsområdes utsträckning, vilket betyder en förändring av geometrin hos kondensatorn d.v.s. en förändring i plattavståndet, se Figur 4:24. Vi kan inte längre tala om en vanlig kapacitans utan vi behöver en småsignalkapacitans, där vi definierar kapacitansen som derivatan av laddningen av med avseende på spänningen:

€

Cj =dQdUa

Ekv. 4:72

Där vi nu har definierat Cj som utarmningskapacitansen (”junction capacitance”). För en vanlig kondensator så är det ingen skillnad på derivatan av laddningen med avseende på spänningen och laddningen dividerat med spänningen. Det är precis som med en resistor som har samma storsignalresistans som småsignalresistans.

Laddningen på p-sidan av en diod är -e⋅NA⋅dp⋅A och om vi som vanligt tittar på en n+p-diod så ligger hela rymdladdningsområdet på p-sidan och dp är:

€

dp =2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅Ubi −Ua( )NA

Laddningen på p-sidan, motsvarande den negativa plattan på en vanlig kondensator är därför:

ζ

x

ND

-NA

p

-n!-ΔQ

ΔQ!

Dioden

105

€

Q = −e ⋅NA ⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e

⋅Ubi −Ua( )NA

⋅A = − 2 ⋅A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NA ⋅ Ubi −Ua( )

Om vi nu deriverar laddningen med avseende på

€

Ubi −Ua( ) så får vi:

€

dQd Ubi −Ua( )

= −12⋅2 ⋅A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NA

Ubi −Ua( )

Men nu var det ju derivatan med avseende på Ua vi var ute efter. Det gör att vi multiplicera med derivatan av

€

Ubi −Ua( ) med avseende på Ua, d.v.s. -1.

€

Cj =dQdUa

=A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NA2 ⋅ Ubi −Ua( )

Vi kan stället använda en lite enklare variant av härledning där vi betraktar dioden som en plattkondensator med plattavståndet dtot eller i fallet med en n+p-diod dp. Det gör att kapacitansen ges av:

€

C =A ⋅ εr ⋅ ε0dp

= A ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅e ⋅NA

2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ Ubi −Ua( )=

A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NA2 ⋅ Ubi −Ua( )

Ekv. 4:73

Vilket ger samma resultat som den fullständiga härledningen. Det gör att vi verkligen kan betrakta dioden som en plattkondensator. Bortsett från mer eller mindre självklara saker som att kapacitansen ökar linjärt med arean kan vi se att en framspänning (som minskar

€

Ubi −Ua( )) ökar kapacitansen och en backspänning minskar kapacitansen. Det är illustrerat i Figur 4:25 för en diod och dessutom för en vanlig kondensator för jämförelse. Det finns dessutom en intressant koppling mellan kapacitans, yttre spänning och dopningskoncentration. Om vi stuvar om i ekvationen ovan får vi fram följande samband:

€

1C2

=2

A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NA⋅ Ubi −Ua( )

Ekv. 4:74

Figur 4:25. a) En vanlig plattkondensator har samma kapacitans oberoende av pålagd spänning, där en fördubbling av spänningen ger en fördubbling av laddningen. b) Utarmningskapacitansen hos en diod beror på utsträckningen av rymdladdningsområdet och ökar när det området minskar och tvärt om. c) Om vi plottar inversen på kapacitansen i kvadrat mot spänningen över dioden får vi en rät linje. Lutningen på linjen beror på dopningskoncentrationen i det lågdopade området, och linjen skär x-axeln vid Ubi.

(a)C [F]

U [V]

(b)C

j [F]

Ua [V]

(c)1/C

j2 [F-2]

Ua [V]

Ubi


106

Om vi mäter upp kapacitansen för några olika backspänningar och presenterar inversen på kapacitansen i kvadrat mot backspänning så kan vi få fram ett par materialparametrar. Om vi extrapolerar fram skärningen med x-axel, där 1/C2 är noll, vilket betyder att parentesen i Ekv. 4:74 är noll, så får vi fram den inbyggda spänningen, se Figur 4:25 (c). Lutningen på linjen ger dopningskoncentrationen på den lågdopade sidan, NA för en n+p-diod om man vet diodens area och materialets dielektricitetskonstant. Från den inbyggda spänningen och dopningskoncentrationen på den lågdopade sidan kan man sedan få fram dopningen på den högdopade sidan.

Diffusionskapacitans

Det finns ännu ett bidrag till kapacitansen i en diod. När det går en ström i framriktningen så har vi ett överskott av minoritetsladdningsbärare i den neutrala delen av det lågdopade området, vilket alltså ger upphov till en överskottsladdning i det neutrala området. Detta är koncentrationsgradienten som ger upphov till strömmen, enligt diskussionen ovan. Om vi ändrar spänning så ändrar vi profilen, där en ökad spänning ger en ökad laddning, Figur 4:26. Ändrad laddning med ändrad spänning är ju precis som i fallet med utarmningskapacitansen en kapacitans. Det är bara vid framspänning som vi får en ändring av laddningsprofilen. I backriktningen är strömmen i det närmaste oförändrad och laddningsprofilen är därför oförändrad, d.v.s. dQ/dUa är noll, alltså ingen kapacitans. I framriktningen däremot har vi en laddningsprofil av minoritetsladdningsbärare som ändras med framspänningen. I gränsen till rymdladdningsområdet är det injektionen som ger laddningsbärarkoncentrationen och vid kontakten är den som vanligt nere till jämviktsvärdet. Det ger att vi har en triangulär laddningsprofil där den totala överskottsladdningen ges av:

€

Q =e ⋅ n(−dp) − np0( ) ⋅A ⋅Wp

2=e ⋅ np0 ⋅A ⋅Wp

2⋅ e

UaUt −1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

Ekv. 4:75

Figur 4:26. När vi ökar framspänningen genom en diod så ökar vi överskottet av minoritetsladdningsbärare i det neutrala p-området med Δn, vilket motsvarar det streckade området i figuren. Det ger en ökning av laddningen med -Δn⋅e. Ändrad laddning med ändrad spänning betyder kapacitans, en småsignalkapacitans. Eftersom laddningsprofilen ges av diffusion av laddningsbärare så kallas kapacitansen för diffusionskapacitans. Eftersom det i princip bara är vid framspänning som profilen ändras så finns diffusionskapacitansen bara vid framspänning.

Lin

(n)

0

np

- Wp - dp

np(-dp)

0

! ∆n

Dioden

107

Kapacitansen ges av derivatan av laddningen med avseende på den yttre spänningen, Ua. Den här gången kallas kapacitansen diffusionskapacitans, Cdiff, eftersom profilen motsvarar diffusionsströmmen. Derivatan av ges av:

€

Cdiff =e ⋅ np0 ⋅A ⋅Wp

2 ⋅Ut⋅e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:76

Det här ser bekant ut. Vi kan jämföra med Ekv. 4:47, strömmen i en n+p-diod:

€

Indiff =

e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ np0Wp

⋅ eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Vi skriver nu om Ekv. 4:76 lite för att göra den mer jämförbar med Ekv. 4:47:

€

Cdiff =Wp2

2 ⋅Ut2 ⋅µn

⋅e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ np0

Wp⋅e

UaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 4:77

Vi jämför nu ekvationerna när vi har en tillräckligt stor spänning över dioden för att vi ska kunna bortse från ettan i diodekvationen. Det gör att vi kan skriva om diffusionskapacitansen som:

€

Cdiff =Wp2

2 ⋅Ut2 ⋅µn

⋅ Indiff

Ekv. 4:78

Det betyder att diffusionskapacitansen ökar exponentiellt med framspänningen. På samma sätt kan vi härleda kapacitansen för en p+n-diod:

€

Cdiff =Wn2

2 ⋅Ut2 ⋅µp

⋅ Ipdiff

Ekv. 4:79

Vi kan nu sammanfatta kapacitansen i en diod. Det finns alltså två bidrag till kapacitansen. Ett bidrag som kommer från rymdladdningen i utarmningsområdet och kallas därför utarmningskapacitans. Den beror i huvudsak på utsträckningen på rymdladdningsområdet och minskar med ökande utsträckning. Som störst är den när spänningen över pn-övergången närmar sig den inbyggda spänningen och minskar med ökande backspänning. Det andra bidraget till kapacitansen kommer från överskottet av minoritetsladdningsbärare i de neutrala områdena när det går en framström i dioden. Den är relaterad till diffusionsströmmen och kallas därför diffusionskapacitans. I backriktningen ändras inte minoritetsladdningsbärarkoncentrationen nämnvärt och vi har inget bidrag till diffusionskapacitansen. Rent fysiskt ligger de två områdena med laddning i serier och man kan lätt förledas att tro att de två kapacitanserna är seriekopplade. Vid seriekoppling av två kapacitanser delas den pålagda spänningen mellan de två kapacitanserna. Så är ju inte fallet här, eftersom båda laddningsfördelningarna påverkas av


108

hela den yttre spänningen så ligger de två kapacitanserna parallellt. Eftersom de två kapacitanserna ligger parallellt så ges den totala kapacitansen av:

€

Ctot = Cj + Cdiff Ekv. 4:80

Är dioden backspänd så dominerar utarmningskapacitansen. Vid framspänning så har vi båda kapacitanserna, där båda ökar med framspänning. Eftersom utarmningskapacitansen ökar som

€

1/ Ubi −Ua och diffusionskapacitansen andra ökar exponentiellt med Ua så dominerar utarmningskapacitansen vid låga framspänningar och diffusionskapacitansen vid höga framspänningar.

Mäter man diodens kapacitans som funktion av pålagd fram- och backspänning och plottar den som 1/C2 mot Ua får vi en rät linje när dioden är backspänd (Ua ≤ 0). Lutningen på linjen, som vi diskuterade ovan beror på dopningen i det lågdopade området. Kurvan fortsätter in på den positiva Ua-sidan i plotten. Med ökande framspänning sjunker kurvan under den räta linjen, där avvikelsen ökar med ökande framspänning. Vid framspänning har vi också ett diffusionsbidrag till den totala kapacitansen. Avvikelsen från den räta linjen beror på att diffusionskapacitansen då är lika stor som eller större än utarmningskapacitansen Eftersom diffusionskapacitansen ökar betydligt snabbare med framspänning än utarmningskapacitansen så kommer den förra att dominera vid höga framspänningar, Figur 4:27.

Figur 4:27. a) Utarmningskapacitansen, Cj, finns vid alla spänningar över dioden. Den ökar med framspännig och minskar med backspänning. Diffusionskapacitansen, Cdiff, finns bara vid framspänning och ökar proportionellt mot framströmmen. Vid höga framspänningar dominerar diffusionskapacitansen och vid låga framspänningar och backspänning dominerar utarmningskapacitansen. I en plott av inversen av kapacitansen i kvadrat som funktion av spänning kommer kurvan att börja avvika från en rät linje när de båda kapacitanserna är ungefär lika stora. Jfr. Figur 4:25 (c).

En diod har två bidrag till kapacitansen. Utarmningskapacitansen ges av laddningen i rymdladdningsområdet. Den ökar med ökande spänning och minskar med minskande spänning. Diffusionskapacitansen ges av koncentrationsgradienten av minoritetsladdningsbärare i de neutrala delarna av dioden. Den är proportionell mot framströmmen och ökar därför exponentiellt med framspänningen. Den saknas helt vid backspänning.

(a)C [F]

Ua [V]

Cj

Cdiff

(b)1/C

tot2 [F-2]

Ua [V]

Ubi

Dioden

109

Småsignalmodellen - AC Vi nu har sett att vi har två kapacitanser som ligger parallellt i dioden. Kapacitanser

brukar ju inte vara så viktiga i DC-sammanhang, men har en tendens att ha betydelse i AC-sammanhang. Det betyder att vi måste inkludera kapacitanserna i småsignalmodellen när vi använder AC-signaler. Eftersom de ligger i övergången så ligger de parallellt med diodresistansen, rd, men i serie med serieresistansen, RS. Vi får då en lite mer komplicerad småsignalmodell som presenteras i Figur 4:28. Småsignalmodellen är inte så viktig i sig för dioden, eftersom vi inte så ofta räknar på hur en diod beter sig med en signal över den. Den bipolära transistorn består i princip av två dioder i serie, och den ser i princip signal- och modellmässigt ut som två dioder. Eftersom det är betydligt viktigare att göra modeller av den bipolära transistorn är det viktigt att förstå var de olika delarna av småsignalmodellen kommer ifrån.

Figur 4:28. Den fullständiga småsignalmodellen för en diod innehåller förutom de två resistanserna i Figur 4:19, två kapacitanser. Dels utarmningskapacitansen, Cj, och dels diffusionskapacitansen, Cdiff. Kapacitanserna ligger parallellt med utarmningsresistansen.

Speciella dioder Slutligen ska vi titta på ett par speciella dioder. Det finns många olika varianter av

dioder och vi ska inte gå igenom dem alla. Vi koncentrerar oss på ett par speciella dioder som används ganska mycket i olika sammanhang: pin-dioden och Schottkydioden. Vi kommer att gå igenom dem ganska summariskt. Speciellt Schottkydioden är ganska komplicerad om man tittar på detaljerna, men det kommer vi inte att göra. Det ligger mycket fysik bakom hur den fungerar och det är för komplicerat för innehållet i den här kursen,

pin-dioden

pin-dioden skiljer sig kanske inte så mycket från en vanlig diod, men den är ändå värd en egen sektion. pin-dioden är dessutom ett bra exempel på hur man kan resonera sig fram till strukturen med en kvalitativ diskussion. Skillnaden är att vi har fört in ett intrinsiskt område med en utsträckning på di mellan p- och n-områdena. Eftersom det inte finns någon rymdladdning i det intrinsiska (odopade) området, så har vi effektivt separerat rymdladdningen på p- och n-sidorna. Det medför tre vinster: Vi har separerat plattorna i kondensatorn vilket medför lägre kapacitans; vi har ökad utsträckningen på

RSrd C

jCdiff


110

rymdladdningsområdet, vilket ger en lägre elektrisk fältstyrka och minskad risk för genombrottseffekter, och slutligen kan det ökade rymdladdningsområdet vara användbart som vi ska se i kapitlet om optokomponenter.

Hur ser då bandstrukturen hos en pin-diod ut? Vi tar till vår kvalitativa diskussion igen, illustrerat i Figur 4:29. Vi utgår från en symmetrisk pn-övergång, där alltså NA = ND. Den inbyggda spänningen ges i båda fallen av dopningen på p- respektive n-sidan, d.v.s. oberoende av om det finns ett intrinsiskt skikt mellan de dopade skikten. Läsaren kan ju gå tillbaka till härledningen av den inbyggda spänningen för att övertyga sig. Nu kommer vi ihåg två saker: Lutningen på kurvan som beskriver det elektriska fältet ges av dopningskoncentrationen och arean under ε-fältskurvan motsvarar den inbyggda spänningen, Ubi. Kurvan för det elektriska fältet består av fem områden i en pin-diod: 1) Från p-kontakten genom det neutrala p-området är fältet noll (-Wp ≤ x -dp). 2) I rymdladdningsområdet ökar den elektriska fältstyrkan, men med negativt tecken till εmax vid gränsen till det intrinsiska området (-dp ≤ x ≤ 0). 3) I de intrinsiska området är det elektriska fältet konstant, εmax, eftersom det inte finns någon rymdladdning i det här området. (0 ≤ x - di). 4) I rymdladdningsområdet minskar den elektriska fältstyrkan, men med negativt tecken till noll vid gränsen till det neutrala n-området (di ≤ x ≤ di + dn). 5) Genom det neutrala n-området till n-kontakten är fältet noll(di + dn ≤ x ≤ Wp).

Figur 4:29. pin-dioden. a)-d) illustrerar en vanlig symmetrisk pn-övergång. e) visar vad som händer med laddningsfördelningen om vi lägger in ett intrinsiskt område mellan n och p-områdena. Eftersom det inte finns någon dopning i det intrinsiska området så finns det inte heller någon rymdladdning när vi tar bort alla fria laddningsbärare. Vi får alltså två separerade områden med nettoladdning. Dessa områden är dessutom mindre för pin-dioden. f) Det elektriska fältet är konstant i i-området som saknar nettoladdning, så formen på kurvan är en trunkerad triangel. Eftersom den inbyggda spänningen ges av dopningen på n- och p-sidorna så är den lika stor i båda fallen och därför är arean under ε-fältskurvan lika stor i de båda fallen. Lutningen på ε-fältet ges av dopningskoncentrationen så rymdladdningsområdets utsträckning på n och p-sidorna är mindre i pin-dioden än i motsvarande pn-diod. Eftersom vi har det intrinsiska området i mitten gör det att vi trots allt har ett större rymdladdningsområde, men med ett lägre elektriskt fält, vilket kan ses både i (g) och (h).

ε

x

(b)ζ

x

(a) U

x

(c)

Ε

x

(d)

ε

x

(f) U

x

(g)ζ

x

(e)

Ε

x

(h)

Dioden

111

Den inbyggda spänningen är alltså identisk i en pn-diod och i en pin-diod om n- och p-sidorna har samma dopningskoncentrationer i de två fallen. Det innebär att arean under ε-fältskurvan är identisk i de två dioderna. Skillnaden är att triangeln i pn-dioden är en trunkerad (avklippt) triangel i pin-dioden. Det gör att höjden på den trunkerade triangeln är mindre än höjden på triangeln, och det maximala ε-fältet är mindre i pin-dioden. (För att övertyga sig kan man t.ex. utgå från en liksidig triangel, trunkera den och sen skala upp den till samma area. Då måste ju basen på den trunkerade triangeln öka för att öka arean. Om man skalar upp den trunkerade triangeln så att höjden är den samma som för den liksidiga triangeln så blir arean för stor - alltså måste höjden vara lägre för den trunkerade än för den liksidiga för att ge samma area.) Det maximala ε-fältet finns i hela i-området i pin-dioden till skillnad från i mitten på pn-dioden. Det här gäller vare sig det ligger spänning på dioden eller ej och det betyder att ε-fältet generellt är lägre i en pin-diod än motsvarande vanliga pn-diod. Det gör alltså att pin-dioden klarar av betydligt högre backspänningar utan att vi får några genombrott. Det är användbart för t.ex. likriktning av stora spänningar.

Schottkydioden

Som vi nämnde redan ovan så är en Schottkydiod ganska komplicerad och vi kommer därför bara att titta på principen. En Schottkydiod består av en dopad halvledare och en metall. I vår diskussion om principerna kommer vi att använda en n-typ halvledare men istället för en metall kommer vi att använda en p-typ halvledare som är så kraftigt dopad att Fermi-nivån är precis vid valensbandskanten. Det är i princip en p+n-diod. Det betyder att vi har en hög koncentration av hål i valensbandet och inga elektroner i ledningsbandet på ”metallen”, samtidigt har vi många elektroner och inga hål i halvledaren. Eftersom en Schottkydiod har en metall med rörliga elektroner och inte ett p+-skikt med rörliga hål, så kommer vi i fortsättningen av den här diskussionen att bortse från hålen. Det handlar fortfarande om en p+n-diod, vilket innebär att hela rymdladdningsområdet ligger på n-sidan och det bara är där vi har bandböjning. Fermi-nivån på p-sidan ligger som vanligt på samma energi som Fermi-nivån på n-sidan. Banden böjer ner från övergången mot den neutrala n-sidan, medan de är flata på hela p-sidan, se Figur 4:30(a).

Utan pålagd spänning: Elektroner har en stor barriär att ta sig från den neutrala n-sidan till ledningsbandet på p-sidan. Elektroner på p-sidan finns bara i valensbandet. På n-sidan är valensbandet fullt, och det är bara möjligt att flytta elektroner i ledningsbandet. För att flytta elektroner till n-sidan behöver de ta sig över bandgapet för att ta sig upp i ledningsbandet på n-sidan. Det behövs alltså mycket energi för att flytta elektroner i båda riktningar över övergången.

Framspännig: Om vi lägger en negativ spänning på n-sidan kommer vi att höja banden där och det kommer att minska barriären för elektroner att ta sig från n-sidan till p-sidan. Samtidigt är barriären för att ta sig tillbaka fortfarande lika stor. Vi får ett nettoflöde av elektroner från n-sidan till p-sidan. Det går en framström.

Backspänning: Om vi lägger en positiv spänning på n-sidan så sänker vi banden på n-sidan. Det blir ännu svårare att ta sig från n-sidan till p-sidan för en elektron. Samtidigt


112

måste en elektron fortfarande ta sig upp i ledningsbandet för att kunna ta sig från p-sidan till n-sidan. Strömmen är i det närmaste noll. Den lilla ström som går är dessutom oberoende av backspänningen.

Figur 4:30. En enkel illustration av hur en Schottkydiod fungerar. Istället för en metall använder vi en kraftigt dopad p-typ halvledare, där Fermi-nivån ligger vid valensbandskanten. För att simulera en metall så bortser vi från hålströmmen. a) Dioden kan betraktas som en p+n-diod, där hela rymdladdningsområdet ligger på n-sidan. Barriären för elektroner i valensbandet på p-sidan är hela bandgapet, Eg, för att ta sig upp i ledningsbandet på n-sidan. Barriären är lite lägre från ledningsbandskanten på n-sidan till ledningsbandskanten på p-sidan, i själva verket är den q⋅Ubi. b) Vid framspänning (plus på ”metallen”) minskar barriären från n-sidan och fler elektroner kan ta sig över till ”metallen”, strömmen ökar. c) Vid backspänning (plus på n-sidan) är barriären från ”metallen” oförändrad och strömmen är i det närmaste oförändrad.

Om vi tänker oss en verklig metall så kan vi få en situation där metallens Fermi-nivå ligger i bandgapet, ofta nära mitten på bandgapet och inte vid valensbandskanten. Det gör att vi har en lägre skillnad mellan Fermi-nivåerna och därmed inte har lika kraftig bandböjning på n-sidan, vilket medför en lägre barriär från n-sidan till metallen. Den barriären minskar med framspänning, medan barriären från metallen till halvledaren fortfarande är oförändrad.

Det finns ett flertal fördelar med Schottkydioden. En fördel är att strömmen till skillnad från en vanlig pn-diod består av majoritetsladdningsbärare. Eftersom metallens Fermi-nivå oftast ligger nära mitten på bandgapet så är barriären för laddningsbärare att ta sig ut ur halvledaren lägre än motsvarande pn-diod, vilket ger en högre ström vid en lägre spänning. Dessutom har Schottkydioden ofta en lägre kapacitans.

Tunneldioden Om vi dopar både n- och p-sidorna så kraftigt att Fermi-nivåerna ligger ute i banden och

inte i bandgapet så händer två saker: Utarmningsområdet i dioden är mycket kort. Det finns elektroner i ledningsbandet på n-sidan och hål i valensbandet på p-sidan.

Ε

x

(a)

Eg

q·Ubi

Ε

x

(b)q·(U

bi-Ua)

Ε

x

(c)

Eg

Dioden

113

Figur 4:31. a) En tunneldiod är så kraftigt dopad att Fermi-nivån ligger ute i banden. Det finns då hål i valensbandet just ovanför Fermi-nivån på p-sidan och det finns elektroner i ledningsbandet just under Fermi-nivån på n-sidan. c) Om vi lägger på en liten framspänning finns det elektroner på n-sidan i samma energiintervall som det finns hål på p-sidan. I en vanlig diod så tar sig elektronerna i ledningsbandet på n-sidan sig över till ledningsbandet på p-sidan. Vid en låg framspänning så finns det hål i valensbandet på p-sidan och elektroner i ledningsbandet på n-sidan på exakt samma energinivå. Visserligen finns det ingen direkt väg för dessa elektroner att ta sig från n-sidan till hålen på p-sidan. Är separationen mellan n- och p-sidan liten så kan elektroner ta sig igenom bandgapet med kvantmekanisk tunnling och gå direkt från ledningsband till valensband och ge upphov till ett extra bidrag till diodströmmen, en tunnelström. Vid högre framspänning ligger inte elektronerna och hålen i samma energiintervall längre och ingen tunnling sker. Dioden beter sig som en vanlig diod. b) Illustrerar hur framströmmen ser ut i en tunneldiod, där den streckade linjen motsvarar en vanlig diodkurva.

Vid höga framspänningar beter sig dioden som en vanlig diod. Däremot kommer strömspänningskurvan att avvika kraftigt vid lägre framspänning. På p-sidan har vi tomma tillstånd precis över Fermi-nivån i valensbandet och på n-sidan har vi fyllda tillstånd just under Fermi-nivån i ledningsbandet. Utan någon spänning på dioden så finns det i princip inga elektroner just ovanför Fermi-nivån i valensbandet på p-sidan, men det finns många elektroner just under den. På samma sätt finns det elektroner under Fermi-nivån i ledningsbandet på n-sidan, men inga över den. Om vi flyttar upp tillstånden på n-sidan en aning genom att lägga på en liten framspänning kan elektroner ta sig direkt från botten på ledningsbandet på n-sidan till toppen på valensbandet på p-sidan. Det sker genom kvantmekanisk tunnling på liknande sätt som Zenergenombrottet. Även om det inte finns en direkt väg från valensband till ledningsband är de tillräckligt nära för att elektronen ska kunna hoppa igenom. Detta är illustrerat i Figur 4:31.

Ua

I

Tunnelström

Normal diodström(a) (b) (c)


114

Ohmska kontakter Kan man mäta den inbyggda spänningen direkt med en voltmeter? Det ser ju egentligen

ut som om man skulle kunna mäta spänningen direkt. Förklaring till att detta inte fungerar kan man ana om man studerar Schottkydioden lite närmare. För att koppla in en voltmeter så behöver man någon form av kontakter på dioden. Eftersom dessa oftast är metaller med en Fermi-nivå som skiljer sig från halvledarnas. Det orsakar någon form av bandböjning kring gränsytan mellan metall och halvledare. Samma sak händer i princip mellan olika metaller. Det gör att så fort vi kopplar in våra kopparledare på dioden så suddar vi ut vad som händer inne i dioden genom bandböjningar. Man kan enkelt se det som om vi inte bara har en pn-övergång utan en npn-struktur, där np-övergången tar ut den inbyggda spänningen.

Ett av de stora problemen i halvledarindustrin är faktiskt att göra bra kontakter. Helst ska dessa vara beskaffade så att de inte begränsar strömmen genom dioden. Med rätt kombination av metall och halvledare så kan man få mycket små effekter av bandböjning och den typen av kontakt brukar kallas ohmsk. Det som är betecknande är att det ofta är olika metaller för kontakter för p- och n-typ material. Ett exempel så vi kommer att stöta på under en av laborationerna, där vi ska tillverka en diod av GaP. På n-sidan består kontakten av tenn och på p-sidan av guld.

Tillverkning av dioder Ur tillverkningssynpunkt kan vi skilja på två typer av dioder, dioder som finns i

integrerade kretsar och dioder som diskreta komponenter. Eftersom den senare är lite enklare i sin konstruktion så börjar vi med den. Startmaterialet är ett substrat, typiskt n-dopat. På detta lägger man ett tunt skikt som är p-dopat. Oftast väljer man NA > ND, vilket resulterar i en p+n-diod. Med kontakter på baksidan av substratet och på ovansidan av det tunna skiktet har vi en lång p+n-diod. Om vi använder ett typiskt Si-substrat med en diameter på 30 cm och en skär ut små bitar med en area på mindre än 1 mm2 så får vi tiotusentals dioder av ett substrat.

Figur 4:32. Processen för att framställa en diod i en integrerad krets. a) Ett n-typ substrat beläggs med en tunn film som är ljuskänslig. Filmen belyses med t.ex. ljus genom en mask. b) Den delen av filmen som belysts kan lösas upp och ytan blir då bar där den belystes. En implantering ger ett p-typ material i substratet under den bara ytan. Däremot sker ingen implantering under den täckta delen av substratet. c) Efter att den kvarvarande filmen har tagits bort kan man kontakta dioden man har skapat.

Dioden

115

I en integrerad krets måste man göra många olika typer av komponenter samtidigt och på olika ställen på kretsen. Dioden är dock den enklaste komponenten att tillverka i kretsen. I princip behövs bara en implantering. Vad som behövs är ett mönster på ytan som ser till att vi bara implanterar ytan som definierar dioden. Mönstret skapas i en process som kallas litografi. Det går till så att ytan beläggs med en tunn film som är känslig för ljus, elektroner eller röntgenstrålning på exponeringsteknik. Om man belyser filmen genom en mask så kan den belysta delen lösas upp med ett lämpligt lösningsmedel, vilket kallas för att framkalla mönstret. Det kan jämföras med att exponera en film och framkalla den, eller för den aktive elektronikbyggaren att exponera och framkalla ett kretskortsmönster. Efter framkallningen gör man en implantering. Där filmen fortfarande täcker ytan sker ingen implantering medan där ytan är bar sker det en konvertering av det n-dopade substratet till p-typ. Med ett annat lösningsmedel så kan man lösa upp den resterande masken och göra kretsen tillgänglig för metallkontakter. Processen beskrivs i Figur 4:32. Figur 4:33 visar en diskret diod i genomskärning.

Figur 4:33. En genomskärning av en vanlig diod, av typ 1N4001. Dioden är inbakad i grå plast och här har halva dioden slipats bort för att frilägga själva strukturen. Dioden sitter fast mellan de två metall-ledarna som utgör benen i komponenten. För att kontakten ska bli så bra som möjligt mellan metall och halvledare så använder man en kontaktpasta av någon form av mjuk metall.

Sammanfattning av pn-övergången En av de enklaste halvledarkomponenterna är dioden, eller pn-övergången som den

kallas i halvledarfysiken. Den är mycket viktig, inte bara för att den är den mest fundamentala komponenten, utan för att de flesta komponenter bygger på en eller flera pn-övergångar. I en strömriktning, framriktningen, är strömmen genom dioden olinjär (ökar exponentiellt) med pålagd spänning. Strömmen består både av elektroner och hål, där kvoten mellan de två beror på dopningskoncentrationerna, diodgeometri och rörligheterna hos laddningsbärarna. Det är just kvoten mellan dessa strömmar som är orsaken till förstärkningen i en bipolär transistor, något som vi kommer att diskutera i ett senare kapitel.

Strömmen i en diod beror i allmänhet på majoritetsladdningsbärarna på den högst dopade sidan. Dessa kommer från strömkällan till kontakten på den högdopade sidan av

Ben

Diod

Kontaktpasta


116

dioden. Genom den neutrala delen transporteras de med ett svagt elektriskt fält orsakat av en oftast försumbar bråkdel av den pålagda spänningen. Under normala förhållanden kan man bortse från det spänningsfallet och anta att all yttre spänning ligger över själva övergången. I rymdladdningsområdet finns det både en diffusionsström som orsakas koncentrationsskillnaden av laddningsbärare mellan p- och n-sidorna och en driftström som orsakas av de det elektriska fältet p.g.a. den inbyggda spänningen i själva övergången. De två strömmarna är motriktade. Vid en framspänning så reduceras det elektriska fältet och därmed minskar driftströmmen. Samtidigt minskar utsträckningen av rymdladdningsområdet något, vilket medför en något ökande diffusionsström. Framspänningen gör att minoritetsladdningsbärarkoncentrationen ökar på båda sidor om övergången samtidigt som koncentrationerna är oförändrade vid kontakterna. Det ger en koncentrationsskillnad över den neutrala delen av den lågdopade sidan som ger en diffusionsström. Det är den här diffusionsströmmen som bestämmer diodströmmen.

p- och n-typmaterial har sina respektive Fermi-nivåer på olika höjd över valensbandet. I en pn-övergång så ligger Fermi-nivåerna på samma energi vid jämvikt, vilket innebär att bandkanterna inte ligger på samma energinivå. För att åstadkomma detta måste det finnas en spänningsskillnad mellan n- och p-sidan, en inbyggd spänning. Det åstadkoms genom att elektroner lämnar n-sidan och att hål lämnar p-sidan och rekombinerar med varandra. Kvar blir de laddade (joniserade) dopatomerna i området närmast själva övergången, rymdladdning. Området saknar i det närmaste fria laddningsbärare, men har höga koncentrationer av rymdladdning.

En viktig egenskap hos en pn-övergång är sambandet mellan laddning, elektriskt fält, elektrostatisk potential och bandstruktur. Detta gör att man kan se på pn-övergången på ett mer kvalitativt sätt. En förutsättning är att den inbyggda spänningen är ganska okänslig för mindre förändringar av dopningskoncentrationerna, att arean under ε-fältskurvan motsvarar den inbyggda spänningen och att lutningen på ε-fältskurvan är proportionell mot dopningen. Om man utgår från en symmetriskt dopad övergång så kan man därigenom få fram det principiella utseendet om man ändrar dopningskoncentrationerna eller om man lägger på en yttre spänning.

Dioder finns i många olika former. Den vanligaste är den som leder ström i framriktningen men inte i backriktningen och som används som likriktare. Genom att skapa ett högt elektrisk fält i övergången genom att backspänna dioden så kan ett så kallat genombrott ske, vilket resulterar i en kraftigt ökad backström. Genombrottet sker antingen genom tunnling av elektroner från p-sidans valensband till n-sidans ledningsband, eller genom lavinmultiplikation. Detta leder till en plötslig ökning av backströmmen vid en väldefinierad backspänning. Spänningen där det här sker beror i först hand på dopningskoncentrationen på båda sidor och effekterna används i Zenerdioder, tunnling i dioder med små, och lavingenombrott i dioder med stora Zenerspänningar. En kraftig dopning leder till att Fermi-nivån ligger ute i banden och inte i bandgapet. Den inbyggda spänningen är då större än bandgapet. Vid en låg, men välbestämd framspänning kommer det att vara möjligt för elektroner från n-sidans ledningsband att tunnla direkt in i valensbandet på p-sidan. Det betyder att man får ett extra bidrag till strömmen i

Dioden

117

framriktningen. Strömmen ökar först med framspänning för att sen minska igen ner till en mer normal diodström, som därefter ökar igen. Det finns då ett spänningsintervall där strömmen minskar med ökande spänning. Den här typen av komponent kallas tunneldiod och används i oscillatorkretsar.

- 118 -

5. Optokomponenter

n viktig familj av halvledarkomponenter är optokomponenter. Det handlar både om komponenter som omvandlar ljus till en ström eller spänning och komponenter som

omvandlar en ström till ljus. I den första kategorin hittar vi fotodioder, solceller, fototransistorer och fotoledare och i den andra kategorin hittar vi lysdioder och halvledarlasrar. De flesta komponenter har ju en ganska uppenbar användning, men det finns ganska många andra tillämpningar, speciellt i kombinationer med varandra. Ett enkelt sätt att undvika elektrisk kontakt mellan två kretsar är en s.k. optokopplare, där signalen omvandlas från en elektrisk signal till ljus för att omvandlas tillbaka till en elektrisk signal. Det förekommer t.ex. i en DVD-spelare där man undviker överkoppling av brum (lågfrekvent brus från t.ex. elmotorer och transformatorer) från spelaren till förstärkaren. En annan liknande applikation är fiberoptisk kommunikation. Här genereras ljuset av en laser, kopplas in en fiber och detekteras i andra änden fibern med hjälp av en fotodiod.

Växelverkan mellan ljus (i form av fotoner) och halvledare är grundläggande processer. Fotonen är en partikel med en väldefinierad energi, där energin ges av våglängden (eller färgen) på ljuset. Från atomfysiken kan vi dra oss till minnes sambandet mellan våglängd och energi:

Ekv. 5:1

där Efot är fotonens energi, h är Plancks konstant, c är ljusets hastighet i vakuum och λ är ljusets våglängd. Vi konstaterar från Ekv. 5:1 att en kortare våglängd ger en högre energi. Blått ljus har en kortare våglängd än rött ljus och därmed en högre energi.

E

€

Efot =h ⋅ cλ

Optokomponenter

119

Ett exempel: Hur stor energi har en foton av blått respektive rött ljus. Blått ljus har en våglängd på 450 nm (4,5×10-7 m) och rött ljus har en våglängd på 700 nm (7,0×10-7 m). Plancks konstant (h) är 6,63×10-34 Js och ljusets hastighet i vakuum (c) är 3,0×108 m/s. Rött ljus: 6,63×10-34⋅3,0×108/7×10-7 = 2,84×10-19 J. Blått ljus: 6,63×10-34⋅3,0×108/4,5×10-7 = 4,42×10-19 J. Det är ju ganska små energier, men om vi nu uttrycker energin i elektronvolt istället blir det lite mer relevant. För att omvandla [J] till [eV] delar vi med elementarladdningen, e: Rött ljus: 2,84×10-19/1,6×10-19 = 1,78 eV Blått ljus: 4,42×10-19/1,6×10-19 = 2,76 eV Nu ser vi att energin på ljuset har samma storleksordning som bandgapet på en typisk halvledare. Det finns alltså en koppling mellan storleken på bandgapet och energin på synligt ljus.

Vi kan nu gå in på vad som händer när halvledare och ljus växelverkar. Det handlar

både om hur ljus absorberas och hur ljus emitteras av halvledare.

Absorption Som vi redan tidigare har nämnt kan energin hos en foton vara tillräckligt stor för att

lyfta en elektron från valensbandet till ledningsbandet. Eftersom fotonen försvinner kallas det för absorption och eftersom det genererar en fri elektron och ett fritt hål kallas det generation. Absorption av en foton är bara en av många processer som leder till generation. En förutsättning för att fotonen ska kunna lyfta elektronen är att fotonens energi är större än bandgapet.

€

Efot ≥ E g Ekv. 5:2

När fotonen absorberas får vi en fri elektron i ledningsbandet och ett fritt hål i valensbandet, vilket är illustrerat i Figur 5:1. Det betyder att vi får fler fria laddningsbärare än vid termisk jämvikt. Om vi har tillräckligt många fotoner kommer vi att få tillräckligt många extra laddningsbärare för att förändra konduktiviteten:

€

σ = e ⋅ µn n0 + δn( ) + µp ⋅ p0 + δp( )( ) Ekv. 5:3

där δn och δp är koncentrationen av extra laddningsbärare som genereras av ljuset. Observera att massverkans lag inte längre gäller när vi lyser på halvledaren och därmed genererar extra laddningsbärare. Nu är:

€

n ⋅ p > ni2.

h = 6,63×10-34 Js c = 3,0×108 m/s e = 1,6×10-19 As


120

Figur 5:1. En illustration av växelverkan mellan fotoner och elektroner i en halvledare där den vågiga pilen indikerar den inkommande fotonen. a) När fotonen har mindre energi än bandgapet kan inga elektroner lyftas direkt från ledningsbandet till valensbandet. Fotonen går rätt igenom halvledaren utan att absorberas och inga laddningsbärare genereras. b) Om fotonen har samma energi som bandgapet kan den lyfta en elektron från ledningsbandet till valensbandet. Det ger oss en fri elektron och ett fritt hål. c) Om fotonen har större energi än bandgapet kan den lyfta upp elektronen i ledningsbandet och dessutom ge den lite kinetisk energi så att elektronen kan röra sig. I både (b) och (c) absorberas fotonen och försvinner.

En förutsättning för Ekv. 5:3 är att fotonerna har tillräckligt med energi för att generera elektroner och hål, enligt Ekv. 5:2. Om fotonens energi är mindre än bandgapet (Figur 5:1(a)) kan fotonen inte lyfta en elektron får valens- till ledningsband och fotonen går rakt i genom halvledaren utan att absorberas. Om fotonens energi är tillräckligt hög, minst dubbla bandgapet kan, i princip varje foton generera två elektroner och två hål, men det är ganska osannolikt. Normalt har vi ett förhållande som är ett-till-ett. Ett par illustrationer av absorption av ljus är vanligt fönsterglas som har ett bandgap på ungefär 9 eV. Det betyder att glaset inte absorberar något synligt ljus och glas är därför transparent och färglöst. Kisel har ett bandgap på 1,1 eV och absorberar allt synligt ljus och kisel är grå-svart och ogenomskinligt. Ett material som t.ex. rubin absorberar ljus över ungefär 2 eV. Det gör att rött ljus går rätt igenom, medan grönt och blått ljus absorberas, vilket gör att rubinen är röd.

Eftersom fotoner absorberas blir intensiteten hos det ursprungliga ljuset lägre när det går igenom en halvledare. Hur mycket den minskas beror bl.a. på hur tjock halvledaren är och hur mycket materialet absorberar. Detta kan uttryckas som en funktion av tjocklek, x. Absorptionen är relaterad till en materialkonstant som kallas för absorptionskoefficient som betecknas α. Man kan hitta värdet på absorptionskoefficienten i tabeller över optiska egenskaper hos halvledare och andra material. Absorptionskoefficienten är normalt kraftigt beroende av fotonernas energi, försumbar under bandgapsenergin och ökar med ökande energi över bandgapet. Intensiteten, eller fotonintensiteten på ljuset brukar anges med φ och vid ytan anges det som φ0. Intensiteten anges i enheten fotoner per kvadratmeter och sekund, eller watt per kvadratmeter. Intensiteten inne i halvledaren på ett visst avstånd från ytan ges av:

€

Φ(x) =Φ0 ⋅e−αx Ekv. 5:4

Intensiteten avtar alltså exponentiellt med avstånd från ytan, vilket illustreras i Ekv. 5:4 och i

Figur 5:2. Ett vanligt mått på hur intensiteten avtar med avståndet från ytan är avståndet där intensiteten har gått ner till 1/e, d.v.s. 37 % av ursprungsintensiteten. Det sker vid ett avstånd av 1/α från ytan, vilket brukar kallas inträngningsdjup. Den exponentiellt

(b) (c )EC

EV

EC

EV

EC

EV

(a)

Efot<Eg Efot=Eg Efot>Eg

Optokomponenter

121

avtagande intensiteten gör att vi genererar flest extra laddningsbärare närmast ytan. Det kommer att visa sig vara viktigt senare i det här kapitlet när vi tittar på hur man designar en optimal fotodiod.

Exempel. Hur ser absorptionen ut i kisel och hur långt in kommer ljuset. Absorptionskoefficienten (α) för kisel strax över bandgapet (λfot=1000 nm, Efot=1,25 eV) är ungefär 20 000 m-1. Det betyder att inträngningsdjupet är 1/20 000 = 0,00005 cm, eller 50 µm. Absorptionskoefficienten är starkt våglängdsberoende och ökar med ökande energi. En bit högre upp över bandgapsenergin (λfot=850 nm, Efot=1,45 eV) är absorptionskoefficienten 100 000 m-1, vilket ger ett inträngningsdjup på 1/100 000 = 0,00001 cm, d.v.s. 10 µm. Det betyder att inträngningsdjupet är i samma storleksordning som en typisk utsträckning av ett rymdladdningsområde.

Vi gör nu ett enkelt antagande att varje foton genererar en elektron. Om de genererade

elektronerna stannar kvar i ledningsbandet så skulle elektronkoncentrationen öka med tiden. Som vi kommer ihåg från tidigare kapitel så är rekombinationshastigheten proportionell mot produkten av elektron- och hålkoncentrationen, ∝ n⋅p. (tecknet ∝ betyder "proportionellt mot") Det gör att om vi ökar koncentrationen av elektroner och hål så ökar vi rekombinationshastigheten. Om vi har en konstant ljusintensitet så kommer vi att ha en konstant generationshastighet och därmed en konstant rekombinationshastighet. Båda hastigheterna är däremot högre än motsvarande jämviktsvärden. Trots den ökade rekombinationshastigheten kommer vi att få en högre koncentration av både elektroner och hål än motsvarade jämviktvärden.

Figur 5:2. Intensiteten på ljuset avtar exponentiellt med avstånd från ytan. Exponenten (absorptionen) skalar med absorptionskoefficienten, α, och på ett avstånd av 1/α har intensiteten gått ner till 1/e, d.v.s. vi har tappat 63% av ljuset. På sträckan x1 till x2 har ett antal fotoner, Nfot, absorberats. Nfot är proportionellt mot minskningen av intensiteten. I sin tur är antalet genererade elektroner och hål proportionellt mot Nfot.

Vi ska nu börja titta på hur man bäst konstruerar en effektiv ljusdetektor. Från Ekv. 5:4 kan vi nu titta på hur generationen av laddningsbärare ser ut i olika avståndsintervall från ytan. Vi börjar med att titta på hur många fotoner som absorberas per tidsenhet i ett avståndsintervall, x1 till x2, från ytan. Antalet absorberade fotoner är helt enkelt skillnaden i fotonintensitet mellan de två avstånden från ytan:

€

Nfot = A ⋅ Φ(x1) −Φ(x2)( ) = A ⋅ Φ0 ⋅ e−α⋅x2 −⋅e−α⋅x1( ) Ekv. 5:5


122

Då har vi definierat Nfot som det totala antalet absorberade fotoner per tidsenhet och vi har introducerat en area, A. Observera att det rör sig om det totala antalet fotoner, inte per volymsenhet som med alla andra beteckningar med N. Om varje foton ger upphov till en elektron och ett hål så genereras Nfot elektroner per tidsenhet. Elektronerna kommer inte att stanna kvar i ledningsbandet i all evighet utan kommer att rekombinera med ett hål i valensbandet efter en tid, τ. Eftersom det är den tid som en extra elektron ”lever” i ledningsbandet så kallas tiden för livstid. För att få överskottskoncentrationen, δn, på elektroner så behöver vi generationshastigheten och rekombinationshastigheten. Generationshastigheten är antalet fotoner som absorberas per tidsenhet och volym, proportionell mot Nfot. Rekombinationshastigheten är antalet elektroner som rekombinerar per tidsenhet och volym, vilket är relaterat till livstiden, τ och generationshastigheten. En kortare livstid ger en högre rekombinationshastighet och därmed en lägre δn. Dessutom behöver vi dividera med volymen, A⋅(x2-x1) för att få koncentrationen. Det ger att vi får en medelkoncentration:

€

δn = τ ⋅ Φ0 ⋅e−α⋅x2 −e−α⋅x1

x2 − x1= τ ⋅

NfotA ⋅ x2 − x1( )

Ekv. 5:6

Med tanke på att det rör sig om exponentiellt avtagande intensitet så kommer överskottkoncentrationen att vara betydligt högre närmare ytan, men vi är trots allt intresserade av medelkoncentrationen. Vad händer då om vi ändrar avståndet från ytan? Eftersom exponentialfunktionen i Ekv. 5:4 minskar långsammare än linjära funktioner (lutningen [tangenten] på exponentialfunktionen minskar snabbare än själva funktionen) så kommer δn att minska när x2 ökar. Det betyder att ju tjockare skiktet är desto mindre är δn. Visserligen ökar det totala antalet elektroner, men samtidigt har volymen ökat, och den har ökat ännu mer. Antalet fotoner som absorberas i ett visst avståndsintervall och därmed antalet elektroner som genereras i ett visst avståndsintervall är proportionellt mot hur mycket kurvan i Figur 5:2 har minskat, ΔΦ. Koncentrationen av överskottselektroner i sin tur är i sin tur proportionell mot ΔΦ dividerat med avståndsintervallet. Det verkar kanske lite konstigt att antalet överskottselektroner är proportionellt mot ΔΦ och att koncentrationen är proportionell mot ΔΦ dividerat med en längd. Men det är inte så konstigt som det först låter, eftersom det handlar om proportionalitet. Proportionaliteten när det gäller antalet elektroner betyder att ΔΦ ska multipliceras med ytan på halvledaren som vi belyser. Det ger en enhet som är [antalet fotoner per yta och tid gånger yta] d.v.s. [antal fotoner per tid] och då stämmer de båda enheterna överens.

Fotoledare Den enklaste formen av fotodetektor är en komponent som kallas fotoledare, eller

fotomotstånd. Den är kanske mer av historiskt intresse idag, men den finns fortfarande att köpa idag. Det är en ganska enkel illustration av hur man kan detektera ljus med hjälp av en halvledare. Komponenten består av en halvledare med ganska låg dopningskoncentration. Det gör att den har ganska hög resistans när den befinner sig i mörker. Om man lyser på den så ökar man laddningsbärarkoncentrationen och minskar

Optokomponenter

123

därmed resistansen. Genom att lägga på en yttre spänning kan man alltså få en högre ström genom fotoledaren när man lyser på den. Om man har någon annan komponent (t.ex. ett relä) i serie med den kan man få samma högre ström genom den komponenten. En klassisk tillämpning av fotoledaren är en fotocell. Nackdelen är att man alltid har en ström genom fotoledaren, liten i mörker och stor vid belysning.

Det gäller att göra fotoledaren i ”rätt” tjocklek enligt resonemanget i föregående sektion. För att ha så stor känslighet (d.v.s. skillnaden i ström mellan ljus och mörker) som möjligt gäller det att omvandla så många fotoner till fria laddningsbärare som möjligt. Det kräver en tjock halvledare enligt föregående sektion. Samtidigt vill man ha så stor skillnad som möjligt mellan mörker och belysning för att kunna detektera skillnaden. Om vi har en för tjock halvledare kommer överskottsladdningsbärarna att spridas ut i en alltför stor volym för att ge en tillräckligt stor skillnad i resistiviteten, d.v.s. (δn+n)/n ≈ n. Vi behöver alltså en halvledare som har en tjocklek som är ungefär lika stor som inträngningsdjupet. Visserligen betyder det att vi kastar bort ungefär en tredjedel av ljusintensiteten, men när vi sprider ut de extra laddningsbärarna i hela volymen så är skillnaden större än för en tjockare halvledare. Oftast är det en skillnad vi är ute efter i den här typen av tillämpning.

Fotodioder och solceller Den vanligaste formen av fotodetektor är idag fotodioden. Strömmen, eller

fotoströmmen kommer från laddningsbärare som genereras i rymdladdningsområdet och som drivs av det elektriska fältet. Det är alltså den inbyggda spänningen i en pn-övergång som driver strömmen. I fotoledaren krävs det en yttre spänning för att driva de genererade laddningsbärarna för att åstadkomma en ström. I fotodioden finns det ju redan ett elektriskt fält i själva rymdladdningsområdet orsakat av den inbyggda spänningen. Vi tittar på tre områden i dioden och börjar med den neutrala p-sidan. Elektroner som genereras här har inget som får dem att röra sig i någon speciell riktning utan de rör sig slumpmässigt och kommer efter en tid motsvarande livstiden att rekombinera med hål, som rör sig lika slumpmässigt. Det gör att vi inte får någon nettoström om vi kopplar en amperemeter till kontakterna på dioden. Precis samma sak händer på den neutrala n-sidan. I själva rymdladdningsområdet finns det däremot ett elektriskt fält som driver de genererade elektronerna mot n-sidan. Samtidigt drivs de genererade hålen mot p-sidan, d.v.s. i motsatt riktning. Det gör att vi nu får en nettoström, elektroner mot n-sidan och hål mot p-sidan, vilket ger en ström från n-sidan till p-sidan. Om vi jämför med den vanliga framströmmen, så går fotoströmmen alltså i motsatt riktning mot framströmmen, se Figur 5:2.

För att vara lite mer detaljerad så tittar vi vad som händer i det neutrala p-området vid gränsen till rymdladdningsområdet. Den del av elektronerna som med sin slumpmässiga rörelse tar sig över in i rymdladdningsområdet och känner av det elektriska fältet och drivs mot n-sidan. Det ger ett ytterligare bidrag till fotoströmmen. Eftersom det bara är den del av elektronerna som med sin slumpmässiga rörelse tar sig in i rymdladdningsområdet ger det inte lika stor ström som när vi genererar elektroner direkt i rymdladdningsområdet. Hålen som tar sig in i rymdladdningsområdet drivs tillbaka av det elektriska fältet och ger inget bidrag till strömmen. På samma sätt ger absorption ett hålbidrag till strömmen i det


124

neutrala n-området på gränsen till rymdladdnings–området. Effektivt ökar det volymen av området där absorption av fotoner ger upphov till en fotoström.

Figur 5:3. När en foton kommer in i en diod kan den lyfta en elektron från valensbandet till ledningsbandet, vilket ger en fri elektron och ett fritt hål. Beroende på var i dioden absorptionen sker kan olika saker hända. a) och c) I de neutrala områdena finns det inget som driver laddningsbärarna i någon speciell riktning och det slutar med att elektronen rekombinerar med ett hål utan att ge något bidrag till strömmen. b) Om absorptionen sker i rymdladdningsområdet så drivs laddningsbärarna av det elektriska fältet, elektroner mot n-sidan och hål mot p-sidan. Det ger en nettoström om dioden är kopplad i en yttre krets.

Vi kan nu börja diskutera hur vi gör en effektiv fotodiod. För det tar vi och jämför Figur 5:3 och Figur 5:2. Vi använder en geometri där fotonerna kommer in längs x-axeln i Figur 5:3, vilket är vinkelrätt mot rymdladdningsområdet. Vi har högst intensitet av fotoner närmast ytan och vi får bara bidrag till fotoströmmen av fotoner som absorberas i rymdladdningsområdet. Det gör att vi ska se till att ha ett kort avstånd från ytan till rymdladdningsområdet för att överlappa området som ger fotoström och området med högst fotonintensitet. En annan observation vi kan göra är att vi behöver ha så långt rymdladdningsområde som möjligt för att ha så stor absorberande volym som möjligt. Det enda sättet vi kan påverka utsträckningen av rymdladdningsområdet för en given diod är genom att lägga på en yttre spänning. Som vi kommer ihåg från föregående kapitel så beror utsträckningen på den pålagda spänningen, Ua. En framspänning ger ett kortare och en backspänning ger ett längre rymdladdningsområde. Vi behöver alltså backspänna dioden för att få så stor fotoström som möjligt. Backspänningen har dessutom en bonuseffekt. Utsträckningen beror på

€

Ubi − Ua , vilket betyder att den elektriska fältstyrkan ökar när vi ökar backspänningen. Det beror på att spänningen ökar linjärt medan utsträckningen ökar som roten ur spänningen. En högre fältstyrka ger en högre hastighet på elektronerna och hålen i rymdladdningsområdet, vilket ger en snabbare detektor. En snabbare detektor kan t.ex. ge en högre kommunikationshastighet i ett fiberoptiskt närverk, med en högre överföringshastighet som följd.

Om vi har en chans att påverka utformningen av fotodioden så gäller det alltså att se till att rymdladdningsområdet ligger så nära ytan som möjligt. Vi behöver dessutom ha ett så stort rymdladdningsområde som möjligt. Om vi drar oss till minnes från föregående kapitel att utsträckningen på rymdladdningsområdet beror på dopningskoncentrationerna, där en högre dopningskoncentration ger ett kortare rymdladdningsområde. För att få ett stort rymdladdningsområde, så ska vi alltså ha låga dopningskoncentrationer. För att öka utsträckningen ytterligare kan vi dessutom lägga in ett intrinsiskt område för att skapa en pin-diod. På så vis kan man skapa ett rymdladdningsområde med en utsträckning på flera

(a) (b) (c )

Optokomponenter

125

mikrometer. Ett extremt exempel är en fotodiod för röntgenstrålning, där i-området kan vara mer än en mm.

Vi har tidigare sett att antalet laddningsbärare som genereras på ett visst avstånd från ytan är proportionellt belysningsintensiteten vid ytan. Fotoströmmen i dioden utan yttre spänning ges av antalet överskottselektroner och överskottshål som genereras i rymdladdningsområdet. Fältet i rymdladdningsområdet ger hastigheten på laddningsbärarna och tillsammans med laddningsbärarkoncentrationen ger det strömmen. Det betyder att fotoströmmen, Ifot, är proportionell mot belysningsintensiteten vid ytan: Ifot ∝ Φ0. Om vi mäter kortslutningsströmmen får vi ett mått på belysningsintensiteten. Det här utnyttjades t.ex. i exponeringsmätare i gamla mekaniska kameror. Det ska också påpekas att den här strömmen består av lika många elektroner på n-sidan som hål på p-sidan, även om det rör sig om en osymmetrisk diod (n+p eller p+n). Jämför fotoströmmen med generationsströmmen i en backspänd diod.

Om vi dessutom lägger en yttre spänning på dioden så får vi en överlagring av den vanliga diodströmmen och fotoströmmen, där fotoströmmen går i motsatt riktning mot framströmmen och i princip är oberoende av den vanliga diodströmmen:

€

I = I0 ⋅ eUaUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ − Ifot

Ekv. 5:7

Om vi definierar kortslutningsströmmen, Isc, (sc = short circuit = kortslutning) som strömmen när Ua = 0, då är Isc = Ifot. På samma sätt kan vi definiera den spänning där vi inte har någon ström som tomgångsspänningen, Uoc, (oc = open circuit = öppen krets). Beteckningen kortslutningsström är ganska självklar eftersom det är strömmen vid kortsluten diod. Tomgångsspänningen har fått namnet eftersom det motsvarar en solcell som inte levererar någon ström, den går alltså på tomgång. Under förutsättning att vi kan bortse från ettan i diodekvationen så gäller:

€

Uoc =Ut ⋅ lnIfotI0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 5:8

Tomgångsspänningen är inte lika användbar som kortslutningsströmmen eftersom den inte har ett lika enkelt beroende på fotonflödet. Däremot går den lätt att definiera och att mäta. Om vi nu gör en enkel, men inte helt sann approximation att fotoströmmen är oberoende av spänningen över dioden så flyttas kurvan ner motsvarande -Ifot. Vi kallar den därför den ideala fotoströmmen. Den ideala strömkurvan vid mörker och belysning är illustrerad i Figur 5:4.


126

Figur 5:4. a) Strömmen i en diod i mörker (heldragen linje) och vid belysning (streckade linjer). Enda skillnaden är att kurvan vid belysning är flyttad ner med Isc. Skärningen med strömaxeln är kortslutningsströmmen, Isc, och skärningen med spänningsaxeln är tomgångsspänningen, Uoc. b) Vid belysning kan dioden användas som solcell. I fjärde kvadranten (U>0 och I<0) får vi samtidigt ström och spänning utan att vi behöver lägga på dessa externt, allt vi behöver är en lämplig belastning. Effekten vi tar ut från en solcell ges av arean I⋅U för en given spänning. För att maximera effekten måste vi optimera belastningen.

Exempel: Exponeringsmätning i en gammaldags kamera görs ofta med en fotodiod som kallas selencell, och den visar just tomgångsspänningen. Om vi tittar på hur spänningen från fotodioden beror på ljusintensiteten blir det klart hur mätningen fungerar:

€

Uoc = Ut ⋅ lnI fotI 0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = Ut ⋅ ln I fot( )− ln I0( )[ ]

Om I0 görs mycket liten jämfört med Ifot så kommer vi att få ett samband som är:

€

Uoc ∝Ut ⋅ ln Ifot( )

Enligt diskussionen ovan är Ifot direkt proportionell mot belysningsintensiteten. Det betyder att utspänningen ökar långsamt med belysningen. Det gör att man med en enkel linjär voltmeter kan mäta ett större ljusintervall än om man hade använt kortslutningsströmmen.

En viktig tillämpning av fotodioden är som solcell. Den levererar både ström och

spänning. Samtidig ström och spänning ger effekt, P = U⋅I! Och det är precis vad vi behöver från en solcell. När vi drar ut maximal ström, kortslutningsströmmen, har vi ingen spänning, d.v.s. ingen effekt. På samma sätt så ger inte tomgångsspänningen någon effekt, eftersom vi inte får någon ström. För att maximera effekten ut från en solcell måste vi optimera lastresistansen. Effekten ges av arean av en rektangel som genereras av origo och sammanhängande värden på I och U längs kurvan i Figur 5:4. (b). Ju större area desto större effekt. Det är viktigt att påpeka att det bara är i kvadranten med negativ ström och positiv spänning som solcellen levererar effekt till en yttre krets. Det är i den kvadranten vi befinner oss om vi inte lägger på en yttre spänning på fotodioden.

Fototransistorer En variant av fotodetektorn är fototransistorn. För att förstå hur den fungerar är det en

fördel om man har principen för hur en bipolär transistor fungerar klart för sig. Det är därför lämpligt att vänta med att läsa det här avsnittet tills man har gått igenom kapitlet om den bipolära transistorn. Men eftersom fototransistorn hör hemma i det här kapitlet så lägger vi trots allt in den här.

IUa

ISC

UOC

Pmax

(b)

Optokomponenter

127

En bipolär transistor består av två pn-övergångar, se Figur 5:5. Den består av ett tunt skikt med en typ av dopning (basen) omgivet av ett skikt av motsatt dopning på var sida (emitter och kollektor). Normalt håller man den ena pn-övergången framspänd (bas-emitter) och den andra backspänd (bas-kollektor). I korta drag så fungerar transistorn så att den framspända övergången är asymmetrisk, där basen har en lägre dopning än emittern. Det gör att vi injicerar betydligt fler laddningsbärare av den ena typen från emittern in i basen än vad vi injicerar laddningsbärare av den andra typen från basen till emittern. Den backspända dioden å andra sidan plockar åt sig alla laddningsbärare som injiceras i basen från emittern men inga laddningsbärare från själva basen. Det betyder att basströmmen, IB, består av laddningsbärare som kommer från baskontakten och går till emitterkontakten. Kollektorströmmen, IC, består av laddningsbärare som kommer från emitterkontakten och går till kollektorkontakten. Emitterströmmen, IE, är summan av de två strömmarna, och består av både elektron- och hålström. Strömförstärkningen, β eller hFE, kommer sig av asymmetrin i bas-emitterövergången, där varje laddningsbärare som injiceras från basen till emittern motsvaras av ett flertal laddningsbärare av motsatt typ som injiceras från emittern till kollektorn. Lite förenklat kan man säga att en liten basström drar med sig en stor kollektorström in i emittern.

För att illustrera hur fototransistorn fgerar diskuterar vi en transistor där bas-emittern är framspänd och bas-kollektorn är backspänd. För att göra diskussionen lite enklare så tittar vi på en npn-transistor, d.v.s. att basen är p-dopad och de andra två områdena är n-dopade. Vi börjar med att studera vad som händer i mörker. Vi har en liten basström som består av hål som går från baskontakten till emitterkontakten, IB, och en kollektorström, IC, som består av elektroner som går från emitterkontakten till kollektorkontakten. Både bas- och kollektorströmmarna är positiva in genom respektive kontakt eftersom hålen rör sig i strömmens riktning, medan elektronerna rör sig mot strömmen riktning. Det gör att hål som rör sig mot emitterkontakten och elektroner som rör sig från emitterkontakten adderar till en större ström än delströmmarna. Emitterströmmen är därför summan av de andra två strömmarna, IE = IB + IC = (β+1)⋅IB.

Figur 5:5. a) i mörker finns det två bidrag till strömmen i en npn-transistor. Dels rör sig hål från baskontakten till emitterkontakten och dels rör sig elektroner från emitterkontakten till kollektorkontakten. b) i en fototransistor finns det ett antal extra bidrag till strömmarna, där extra elektroner och hål genereras i en backspänd övergång mellan bas och emitter. Hål som genereras i bas-kollektorövergången flyter från övergången till emitterkontakten och ger ett bidrag till emitterströmmen, Ifot. Varje hål som går från basen till emittern genererar ett antal elektroner som tar sig i motsatt riktning, vilket ger en extra ström, β⋅Ifot, som också ger ett extra bidrag till emitterströmmen och till kollektorströmmen. Elektronerna som genereras i bas-kollektorövergången flyter mot kollektorkontakten och ger ett extra bidrag till kollektorströmmen, Ifot.

IE IE

IB IB

ICIC

ß·Ifot

(a) (b)

Ifot Ifot


128

Precis som i fotodioden är det den backspända dioden (bas-kollektorn) som genererar fotoströmmen. Dels ger backspänningen ett större rymdladdningsområde den framspända övergången och dels är kollektorn oftast betydligt lägre dopad än emittern Vid belysning går lika många elektroner mot kollektorn som hål som går mot basen. Om vi börjar med att titta på vad som händer med hålen. De adderas till den vanliga basströmmen och tar sig över till emittern. För varje hål som tar sig över övergången genereras ett antal elektroner som tar sig över i motsatt riktning. Om vi betecknar den extra hålströmmen som Ifot, genererar det en motsvarande extra elektronström I’C = β⋅Ifot. Den totala strömmen genom emitterkontakten är IB + Ifot + IC + β⋅Ifot. De två första strömmarna är hålströmmar och de andra två är elektronströmmar. Den totala strömmen genom baskontakten är fortfarande oförändrad, IB. Slutligen är kollektorströmmen IC + Ifot + β⋅Ifot, där alla tre är elektronströmmar. För att få så stor känslighet som möjligt gäller det att ha en låg framspänning av bas-emitterövergången så att β⋅Ifot >> IC.

Basströmmen är alltså oförändrad, medan både emitter och kollektorströmmarna ökar med ett bidrag på (β+1)⋅Ifot. Jämfört med fotodioden har vi alltså fått en förstärkning av strömmen med en faktor β+1. Eftersom β normalt är mycket större än ett så är det i realiteten en förstärkning med β. Priset vi får betala är en mer komplicerad komponent än fotodioden och att vi måste ha en mer komplicerad yttre krets för att använda den genererade strömmen.

Emission Rekombination är när en elektron i ledningsbandet faller tillbaka till valensbandet och

det är den omvända processen mot generation. För att kunna rekombinera måste elektronen hitta ett hål i valensbandet. Man kan också se det som att det måste finnas en ledig plats i valensbandet för att elektronen ska kunna falla tillbaka. En ledig plats är ju samma sak som ett hål. Efter att en elektron har lyfts upp i ledningsbandet kommer den att befinna sig där en bestämd tid, statistiskt sett. Som vi redan tidigare har diskuterat kallas den här tiden livstid och betecknas med τ. Det betyder att ju fler elektroner som lyfts upp i ledningsbandet desto fler elektroner faller tillbaka. Antalet elektroner som faller tillbaka per tidsenhet kallas rekombinationshastighet, på samma sätt som antalet elektroner som lyfts per tidsenhet kallas generationshastighet. I jämvikt är rekombinations- och generationshastigheterna lika stora, d.v.s. lika många elektroner lyfts upp till ledningsbandet som elektroner som faller tillbaka till valensbandet.

Det är viktigt att skilja på jämvikt och termisk jämvikt. Termisk jämvikt betyder att den enda process som genererar elektroner i ledningsbandet är halvledarens temperatur. I jämvikt kan vi ha andra processer som genererar elektroner i ledningsbandet. Det kan vara att vi lyser på halvledare eller att vi injicerar elektroner genom en pn-övergång. Jämvikt betyder bara att det är en kontinuerlig och konstant process, d.v.s. att strömmen är konstant eller att belysningsintensiteten är konstant.

När elektronen rekombinerar så har den extra energi som den måste göra sig av med. Det finns ett antal sätt den kan göra det, men den mest användbara processen är att skicka ut en foton med just den energin som den behöver göra sig av med. Eftersom det är mest

Optokomponenter

129

sannolikt att elektronen finns vid ledningsbandskanten och att hålet den rekombinerar med finns vid valensbandskanten så kommer de flesta fotoner som genereras att ha just bandgapsenergin. Rekombination av en elektron och ett hål som ger emission av fotoner kallas för emission, till skillnad mot absorption som genererar elektroner och hål. Om vi jämför absorption och generationen som funktion av energi på fotonerna som är inblandade så får vi ett utseende som i princip ser ut som i Figur 5:6.

Fotonemission är processen som används för att generera ljus i en halvledare. Ofta brukar man kalla ljuset från en halvledare för kallt ljus till skillnad från det mesta ljus vi ser i vår omgivning. Ljuset från t.ex. glödlampor och från solen kommer från värmestrålning. Glödtråden i lampan är så varm (ett par tusen kelvin) att den ger ifrån sig ljus på samma sätt som en glödhet metall ger ifrån sig ljus. Man kan jämföra en synlig fotons energi på 1-2 eV med elektronens termiska energi på 25 meV vid rumstemperatur. Det går åt en mängd energi till att värma upp glödtråden till en temperatur som gör att man har tillräckligt med termisk energi för att kunna generera synligt ljus. Det är därför som en lysdiod är så mycket bättre på att ge ljus ifrån sig än en glödlampa. Nackdelen är att man bara får en enda våglängd från lysdioden, d.v.s. en enda färg. Vill man ha vitt ljus så måste man t.ex. använda flera olika dioder. Ett bra exempel på en tillämpning där en lysdiod är effektivare än en glödlampa är bakljuset på en cykel, där en vanlig glödlampa är på typiskt 3 W, medan en motsvarande röd lysdiod använder ca 30 mW (1,7 V och 20 mA).

Figur 5:6. a) halvledare absorberar ljus om de inkommande fotonerna har en energi som minst lika stor som bandgapet. Det gör att absorptionen som funktion av fotonenergin är en stegfunktion vid Efot = Eg, där den går från noll till något värde. Samma halvledare emitterar ljus där fotonerna har ganska exakt bandgapsenergin, d.v.s. vi får en deltafunktion vid Efot = Eg. I verkligheten finns det alltid lite variationer i halvledaren som ger upphov till en utsmetning av de två processerna, vilket ger det utseende som visas i figuren. b) i en fotodiod är det bara absorption i själva rymdladdningsområdet som ger upphov till en fotoström. Absorptionskoefficienten ökar med fotonenergi så fler fotoner absorberas i nära ytan. Eftersom rymdladdningsområdet normalt inte ligger i ytan utan en bit in, så avtar fotonströmmen med ökande fotonenergi.

Figur 5:6 (b) visar hur fotoströmmen (absorptionen) ser ut i en fotodiod där utarmningsområdet ligger nära ytan, men inte ändå inte helt uppe i ytan. Eftersom absorptionskoefficienten ökar med ökande fotonenergi över bandgapsenergin så ökar antalet fotoner som absorberas vid ytan. Det medför att färre fotoner når in till rymdladdningsområdet och vi får en avtagande fotoström över bandgapet.

Em

issi

on [f

oton

er/s

] Absorption [fotoner/s]

Fotonenergi [eV]

Eg

Abs

orpt

ion

[foto

ner/s

]

Fotonenergi [eV]

Eg

(b) (a)


130

I en halvledare finns det två motsatta processer, relaterade till fotoner. Absorption betyder att en foton absorberas av halvledaren, vilket leder till skapandet av en fri elektron och ett fritt hål. Emission är den motsatta processen där en fri elektron hittar ett hål att rekombinera med, vilket leder till att en foton skapas.

Lysdioder Lysdioder är en typ av diod som sänder ut ljus när man skickar en ström genom den i

framriktningen. Det som händer är att de injicerade minoritetsladdningsbärarna träffar på den stora koncentrationen av majoritetsladdningsbärarna. Som vi har diskuterat tidigare så är antalet elektroner som rekombinerar givet av produkten av elektron- och hålkoncentrationerna. Just i gränsen till rymdladdningsområdet har vi en hög koncentration av båda typerna av laddningsbärare vid framspänning, en koncentration av minoritetsladdningsbärare som vida överstiger det termiska jämviktsvärdet. Det leder till en hög rekombinationshastighet (kom ihåg att R∝n⋅p). Det betyder att en del av de injicerade minoritetsladdningsbärarna inte når fram till kontakten på den neutrala sidan de injiceras på. Det handlar alltså inte om en kort diod utan om en lång diod. Processen där ljus genereras av elektroninjektion på p-sidan visas i Figur 5:7.

Figur 5:7. I en lysdiod (n+p i exemplet) injiceras majoritetsladdningsbärare från den ena till den andra sidan där de blir minoritetsladdningsbärare. När minoritetsladdningsbärarna träffar på den stora koncentrationen av majoritetsladdningsbärare på andra sidan får vi, till skillnad från en vanlig diod, en betydlig rekombination. När en elektron rekombinerar så skickas en foton ut. Här är det illustrerat av en elektron från n-sidan som tar sig över till p-sidan, där den rekombinerar med ett hål. Det kan också ske när ett hål från p-sidan tar sig över till n-sidan och rekombinerar med en elektron där. Överskottsenergin avges i form av en foton, vilket illustreras med den vågiga pilen.

För att få ut så mycket ljus som möjligt ut från dioden så vill man ha så många rekombinerande laddningsbärare som möjligt. Man vill också ha en halvledare där sannolikheten för att rekombination leder till fotonemission är hög. Kisel och germanium är typiska halvledare där sannolikheten för rekombination är låg och dessutom är sannolikheten för fotonemission låg. Den här typen av bandgap brukar kallas indirekt, eftersom rekombinationen tar en ”omväg” och sannolikheten för fotonemission är låg. Istället så omvandlas energin till värme. Ett bandgap där sannolikheten för fotonemission är hög kallas därför för direkt. För att hitta halvledare med direkta bandgap behöver vi

Optokomponenter

131

blandningar av grupp III och grupp V atomer. Typiska halvledare med direkta bandgap är galliumarsenid, GaAs, indiumfosfid, InP och galliumnitrid, GaN. Det är kristaller där varannan atom är grupp III och varannan är grupp V, som vi redan har diskuterat i ett tidigare kapitel.

Tabell 5:1 Sammansättningar och färg på vanliga lysdioder.

Infraröd InGaAs eller GaAs

Röd AlGaAs

Orange GaAsP

Grön GaInN

Blå GaN

Vit AlGaN + lysrörspulver

Om vi gör det ännu mer komplicerat kan vi blanda olika grupp III och grupp V atomer,

t.ex. aluminiumgalliumindiumfosfid, AlGaInP, där hälften av atomerna antingen är Al eller Ga och den andra hälften är antingen In eller P. Orsaken till att man vill blanda ihop olika atomer är att man därigenom kan få ett lämpligt bandgap. Ett klassiskt exempel är blandningar av gallium med arsenik och fosfor, galliumarsenidfosfid, GaAsP. Galliumarsenid har ett bandgap på 1,4 eV (infrarött) och galliumfosfid har ett bandgap på 2,25 eV (grönt). Genom att blanda rätt förhållande av As och P kan man få vilken färg man vill mellan infrarött och grönt. Tabell 4:1 ger en lista på de vanligaste blandningarna av atomer och vilken färg det ger på lysdioden.

Det är viktigt att påpeka att färgen hos en lysdiod är direkt relaterad till bandgapet och de flesta lysdioder ger bara ifrån sig en enda färg. Färgen på plasten är i första hand bara till för att för man lätt ska kunna skilja på färgen på dioden utan att behöva testa den genom att driva en ström genom den. Färgad plast ger dessutom ett lite mer diffust ljus än klar plast. Ofta är själva dioden ganska mycket mindre än de tre till fem mm som diametern är på den inplastade dioden. Det finns flerfärgade dioder på marknaden, men det brukar oftast vara en komponent som består av flera olika dioder, där varje färg består av en separat diod. På så vis kan man t.ex. skapa en vit lysdiod av tre olika dioder i samma plasthölje: en röd, en grön och en blå lysdiod. På samma sätt som dessa tre färger ger den vita färgen på en TV-skärm så ger det en vit lysdiod. Den här typen av trippeldiod används som enskilda pixlar i större TV-skärmar. Den vanligaste dioden för vitt ljus är idag en blå eller violett diod som dessutom har ett pulver liknande det som finns på insidan av ett lysrör. Det gör att den blå emission från lysdioden inducerar sekundär emission från pulvret. Tillsammans ger det intryck av vitt ljus. Pulvret är typiskt en blandning som kallas YAG (yttrium aluminium granat, där det senare syftar på ädelstenen granat) och används i bl.a. lasrar. Det är den blå färgen från lysdioden som gör att många vita lysdioder ser en aning blåa ut.


132

Halvledarlasrar En speciell variant av lysdioden är laserdioden. För att förstå hur den fungerar måste vi

först titta på vad en laser är och vad det innebär. Laser är en förkortning som står för ”light amplification by stimulated emission”. Det finns ett par mycket distinkta egenskaper hos ljuset från en laser. Dels har ljuset bara en enda väldefinierad våglängd och dels har alla fotoner samma fas. Samma fas är kanske lite svårt att förstå, men vi jämför med ljudvågor. Om vi tänker oss att vi har två högtalare bredvid varandra. Om vi matar dem med samma frekvens (samma våglängd) och samma fas kommer båda högtalarmembranen att gå fram och tillbaka i takt. Det gör att trycket från varje högtalare summeras till ett högre tryck. Om vi däremot byter plus och minus på den ena högtalaren så kommer den ena att gå framåt när den andra går bakåt. Det gör att trycken från de två tar ut varandra och vi får inget ljud ut från högtalarparet. Om man istället matar högtalarparet med samma frekvens, men med olika fas får man ett totaltryck någonstans mellan de två extremfallen. Det första fallet är alltså samma fas. Det är fasen som gör laserljuset så speciellt.

Figur 5:8. a) Visar en diod där både n- och p-sidorna är dopade så kraftigt att Fermi-nivåerna ligger ute i banden. Det gör att det finns en hög koncentration av hål i valensbandet på p-sidan och en hög koncentration av elektroner i ledningsbandet. När dioden framspänns så kommer områdena med hål i ledningsbandet och elektroner i ledningsbandet närmare varandra. Vid kraftig framspänning kommer de två att överlappa och resultera i den inverterade populationen som behövs för lasring. Idealt skickas laserljuset ut parallellt med pn-övergången.

Sättet som man genererar ljus med samma våglängd och fas är att man skickar in en foton i materialet som ger laserljuset. Den fotonen drar med sig andra fotoner som har samma våglängd och samma fas. Det är just det som stimulerad emission betyder. En förutsättning är att det finns tillräckligt många elektroner i ett energitillstånd som ligger högre i energi än ett annat tillstånd som har tillräckligt många hål. I laserfysiken kallas det för ”inverterad population”, fler elektroner i det övre tillståndet än det nedre. I en halvledare betyder det att man ska ha tilläckligt med elektroner i ledningsbandet och tillräckligt med hål i valensbandet. Ett sätt är att lysa kraftig på halvledaren så att man lyfter upp många elektroner till ledningsbandet. Så fungerar vissa typer av lasrar. En enkel laserdiod består i princip av en lysdiod, där n- och p-sidorna är mycket kraftigt dopade, så kraftigt att Fermi-nivåerna ligger ute i banden. Detta illustreras i Figur 5:8 (a). När vi framspänner dioden kraftigt kommer vi att få ett område i rymdladdningsområdet som har en den inverterade populationen när de många elektronerna i ledningsbandet överlappar med de många hålen i valensbandet. Detta är illustrerat i Figur 5:8 (b). Det är en förutsättning för att vi ska få laserverkan. Idag finns det mycket mer sofistikerade

(a) (b)

Optokomponenter

133

laserkonstruktioner, men den här typen av halvledarlaser var den typ som först visade lasering 1962. Det var en lite förbättrad variant av den lasern som gav Zhores Alferov Nobelpriset 2000, där man först 1970 lyckades visa en laser som fungerade vid rumstemperatur med kontinuerligt ljus ut, till skillnad från tidigare lasrar som behövde kylas med flytande kväve (-196°C) för att fungera med pulsat ljus ut från dioden.

Figur 5:9. a) Ett sätt att öka överlappet mellan den inverterade populationen och ljuset i pn-övergången är att spegla tillbaka en stor del av fotonerna tillbaka in i dioden, så att varje foton går genom dioden ett stort antal gånger. b) Speglarna finns på två motstående sidor av dioden, vinkelrätt mot pn-övergången.

Ännu en förutsättning för att få den stimulerade emissionen är att vi måste se till att få så stort överlapp mellan de genererade fotonerna och området med den inverterade populationen för att ge fotonerna så stor chans som möjligt att dra med sig fler identiska fotoner. Ett sätt är att göra en jättelång diod, vilket inte är speciellt praktiskt. Istället sätter vi speglar i två ändar av dioden som reflekterar fotonerna tillbaka in i dioden. På så vis får vi varje foton att gå igenom rymdladdningsområdet många gånger och på så sätt effektivt öka längden. Det ökar chansen att stimulera fler fotoner. Om vi dessutom gör den ena spegeln lite genomskinlig så kommer en liten del av alla fotoner som studsar inne i halvledaren att komma ut genom just den spegeln, Figur 5:9. Även om det bara är en bråkdel av fotonerna som tar sig ut genom spegeln så rör det sig oftast om mycket mer ljus ut från en laser än från en lysdiod eftersom fotonintensiteten inne i laserdioden är mycket högre. Om båda speglarna är identiska får vi ut lika mycket ljus i båda riktningar och det är inte vad vi är ute efter.

En liten läcka i motsatt riktning kan i och för sig vara användbart. Det kan användas i en komplicerad struktur där det sitter en fotodetektor på baksidan av laserdioden. Det gör att man kan kompensera för variationer i intensiteten ut från lasern om temperaturen ändras eller om lasern blir ljussvagare genom att den åldras. På så vis kan man få en direkt feedback på hur mycket ljusintensitet man får ut ur dioden. Den här typen av laserdiod används ofta i fiberoptiska kommunikationssystem och i CD/DVD-spelare.

p n RLO


134

Tillverkning av optokomponenter Tillverkningen av lysdioder skiljer sig inte nämnvärt från tillverkningen av en vanlig

diskret diod. Den stora skillnaden är monteringen och inkapslingen. Den mest synbara skillnaden är den genomskinliga plasten, där ytan är sfärisk för att åstadkomma en viss fokusering eller spridning av ljuset från dioden. Om man dessutom tittar lite närmare på en lysdiod så kan man se att det sitter en reflektor under själva halvledaren. Reflektorns uppgift är att samla upp och rikta det ljus som läcker ut på sidorna av halvledaren. Ljuset från en diod har en tendens att inte gå ut genom ytan utan genom sidorna. Själva kristallen fungerar som en optisk fiber när det gäller att leda ljus. Handlar det om en vit lysdiod så belägger man oftast reflektorn med ett pulver motsvarande beläggningen på insidan av ett lysrör. Färgen på plasten som en lysdiod är inkapslad i påverkar inte färgen på ljuset utan är bara en märkning så att vi enklare ska kunna se skillnader på färgen utan att behöva testa dem. Figur 5:10 visar hur en typisk lysdiod ser ut under plasten.

Figur 5:10. Till vänster visas en elektronmikroskopbild på en lysdiod utan sin plast. Själva dioden ligger i en liten skål som fungerar som en reflektor. Den ser till att skicka ljuset från dioden framåt. Skålen är dessutom ena kontakten till dioden och ena benet på komponenten. Den andra kontakten sitter ovanpå dioden och är kopplad via en tunn tråd till det andra benet. Själva dioden är ca 250µm i alla riktningar. Till höger visas en bild av en typisk lysdiod med plast. (Tack Kalle Niederborn för den vänstra bilden)

Vanliga dioder fungerar oftast som fotodioder under förutsättning att ljuset kan nå fram till rymdladdningsområdet. Det är därför som de flesta dioder är inkapslade i ogenomskinlig plast, eftersom en diod annars hade kunnat ge en fotoström om den ser för mycket ljus. En fotodiod har normalt själva övergången så nära ytan som möjligt för att så stor del av absorptionen sker i pn-övergången och därmed ger så stor ström som möjligt för en given belysningsintensitet. Oftast har man en inkapsling med ett litet fönster eller en lins så att man kan få in ljuset i dioden. Solcellen å andra sidan har en stor area och behöver därför inga linser.

Sammanfattning av optokomponenter En viktig familj av halvledarkomponenter är optokomponenter. Det är komponenter

som antingen omvandlar en ström till ljus eller som omvandlar ljus till en ström. Gemensamt för båda typerna är att de utnyttjar förflyttningar av elektroner mellan valens- och ledningsband. Förflyttningar av en elektron från lednings- till valensbandet kan ge upphov till emission av en foton, vilket utnyttjas i lysdioder och laserdioder. Eftersom sannolikheten är störst att elektronen befinner sig vid ledningsbandskanten och att det hål

Optokomponenter

135

den fyller igen (rekombinerar med) finns vid valensbandskanten så kommer fotonen att ha en energi som motsvarar bandgapsenergin, varken mer eller mindre. Förflyttning i motsatt riktning, d.v.s. från valens- till ledningsband kan ske genom absorption av en foton. I det här fallet är förutsättningen att fotonens energi är minst lika stor som bandgapet. Vid absorptionen kan man lyfta en elektron varifrån som helst i valensbandet till var som helst i ledningsbandet. Därför sker absorptionen kontinuerligt över bandgapsenergin.

Den enklaste formen av komponenter för att detektera ljus är en homogent dopad halvledare, vars fria laddningsbärarkoncentration ökar markant när man belyser den. Effekten används i fotomotstånd och fotoceller. Därigenom ändras resistansen. Den vanligaste komponenten är idag en diod där en extra backström (fotoström) skapas när belysningen genererar elektroner och hål i rymdladdningsområdet. Eftersom strömmen är proportionell mot volymen på rymdladdningsområdet så kan man öka fotoströmmen genom att backspänna dioden och därmed öka volymen. Genom att göra en design där man stoppar in ett intrinsiskt skikt mellan p- och n-skikten kan man utöka volymen ytterligare och därigenom öka fotoströmmen. Det är en så kallad pin-diod. En annan variant av fotodioden är solcellen. Den här komponenten har en så stor yta som möjligt och behöver normalt inga linser. Eftersom den ger både ström och spänning samtidigt så betyder det att den genererar elektrisk effekt från optisk effekt.

Den vanligaste formen av halvledarbaserad fotoemitter är lysdioden. Här utnyttjar man att de injicerade minoritetsladdningsbärarna möter majoritetsladdningsbärarna i det neutrala området. Det betyder att produkten av elektron- och hålkoncentrationerna är betydligt större än jämviktsvärdet enligt massverkans lag. Det ger en ökad rekombination och det kan leda till fotonemission. I laserdioden har man dessutom speglar på två sidor av dioden. Det gör att fotonerna studsar fram och tillbaka inne i dioden och bara en bråkdel tar sig ut. När fotonerna går igenom dioden kan de dra med sig (stimulera) fler fotoner med exakt samma våglängd och dessutom har de samma fas. Det är det här som kännetecknar en laser.

För fotodetektorer gäller alltså att fotonenergin måste vara minst lika stor som bandgapet för att absorberas, medan energin för en fotoemitter så är emissionsenergin lika med bandgapet.

- 136 -

6. Den bipolära transistorn

n av de viktigaste halvledarkomponenterna är idag den bipolära transistorn. Som namnet antyder består den av två olika poler, eller material, både n- och p-typ

dopning. Den är också bipolär i meningen att både elektroner och hål är inblandade i funktionen. I mitten av transistorn finns ett tunt skikt av den ena typen av dopning omgiven på två motsatta sidor av skikt av motsatt dopning. Mittskiktet kallas för bas och de andra skikten kallas kollektor respektive emitter. Den bipolära transistorn fungerar genom att en liten ström in genom baskontakten drar med sig en betydligt större ström in genom kollektorkontakten. Båda strömmarna tar sig sedan ut genom emitterkontakten och emitterströmmen är summan av den lilla basströmmen och den stora kollektorströmmen. Man skulle kunna likna den här transistorn vid en färgspruta som drivs med tryckluft. Basströmmen är då luftströmmen från kompressorn och kollektorströmmen är då färgdropparna från färgburken. Emitterströmmen är det totala flödet av luft och färg mot ytan vi målar. Till skillnad från transistorn går det åt en stor volym luft (basström) för att dra med sig en liten färgvolym (kollektorström).

När vi tittar lite närmare på hur transistorn fungerar så blir beteckningarna på skikten ganska självklara. För att få en intuitiv förklaring på hur transistorn fungerar så behöver vi tänka tillbaka på hur en framspänd n+p-diod och hur en backspänd fotodiod fungerar.

E

Figur 6:1. En enkel illustration av hur en framspänd diod används för att skicka in elektroner i rymdladdningsområdet på en backspänd diod. Den vänstra delen, den framspända dioden, används som elektrongenerator och den högra delen, den backspända dioden, används som uppsamlare av elektroner.

Emitter Bas Kollektor

Bipolärtransistorn

137

Strömmen i en backspänd fotodiod består av elektroner och hål som genereras i rymdladdningsområdet av fotonerna från belysningen. Strömmen ges av elektroner som tar sig till kontakten på n-sidan och hål som tar sig till kontakten på p-sidan. Eftersom varje foton ger upphov till en elektron och ett hål så består strömmen av lika många elektroner som hål. Om vi kan isolera skapandet av elektroner så kommer strömmen att bestå av enbart elektroner och elektronerna rör sig från rymdladdningsområdet till kontakten på n-sidan. Ett sätt att skapa en elektronström in i rymdladdningsområdet är att koppla in en andra diod mitt i rymdladdningsområdet i den backspända dioden. För att göra det behöver vi en framspänd diod, med p-sidan mot rymdladdningsområdet. Det gör att elektroner går från n-sidan på den framspända dioden till rymdladdningsområdet på den backspända dioden och därifrån till n-sidan på den backspända dioden. Det går alltså en ström från n-sidan på den backspända dioden till n-sidan på den framspända dioden. Vi kan nu se var beteckningarna på skikten med samma dopningstyp kommer från. Den framspända dioden skapar elektronerna, d.v.s. den emitterar elektroner, medan den backspända dioden samlar upp elektronerna, vilket på engelska heter ”collects”, därav kollektor. Man kan ju också jämföra med kollekt i kyrkan. Generationen och uppsamlingen av elektronerna är illustrerat i Figur 6:1 och geometrin hos både den principiella skissen och en mer realistisk transistor finns i Figur 6:2.

Nu har vi sett vad som händer med elektronerna i den här konstruktionen av dubbeldiod. Vi har ju egentligen inte vunnit något jämfört med en enda diod. Strömmen från kollektor till emitter är ju samma som strömmen från p-sidan till n-sidan på (den framspända) bas-emitterdioden i transistorn. Skillnaden blir inte klar förrän vi tittar på vad som händer med hålen i den här dubbeldioden. Samtidigt som elektroner rör sig från emitter till bas till kollektor (strömmen går från kollektor till emitter) så går det hål från basen till emittern därför att den dioden är framspänd. Eftersom bas-kollektordioden är backspänd så går det inga hål genom den övergången. Alla hål går alltså från basen till emittern.

Det betyder att hål rör sig från basen till emittern samtidigt som elektroner rör sig från emittern till kollektorn via basen. Nu är det viktigt att komma ihåg hur dioden fungerar,

Figur 6:2. a) En dubbeldiod ger en illustration till hur en transistor fungerar i termer av två dioder. Vi börjar med en backspänd diod. Vi kopplar sedan in en framspänd diod, där p-sidan kopplas in i rymdladdningsområdet på den backspända dioden. Det gör att elektroner som injiceras in på p-sidan i den framspända dioden diffunderar in i rymdladdningsområdet på den backspända dioden. Det elektriska fältet i rymdladdningsområdet driver sedan elektronerna mot n-sidan på den backspända dioden. b) En bipolär transistor består av tre skikt till skillnad från fyra i dubbeldioden. Ena sidan av basen är en del i den framspända bas-emitterdioden och den andra sidan är en del av den backspända bas-kollektordioden.

Bas

p-typ

Emitter

n-typn-typ

KollektorBas

p-typ

p-typ

RLO

n-typ

n-typ

Kollektor

Emitter

Backspänd Framspänd Backspänd

Framspänd


138

speciellt en n+p-diod. Förutsättningen när vi tittar på den som diod är att hålströmmen är liten jämfört med elektronströmmen. Vi brukar helt enkelt försumma hålströmmen i en n+p-diod. Vi tittar nu på vår dubbeldiod och vilka strömmar vi har i den. Vi har en stor elektronström in genom kollektorkontakten och en liten hålström in genom baskontakten. Normalt är basströmmens bidrag till emitterströmmen försumbar jämfört med kollektorströmmen. Strömmen ut ur emitterkontakten är summan av de två strömmarna, och i de flesta fall är den ungefär lika stor som kollektorströmmen.

Vi tittar istället på strömmarna ur ett lite annat perspektiv. En liten ström in på baskontakten följs av en stor ström in genom kollektorkontakten. Vi minns dessutom att båda strömmarna skalar på samma sätt med pålagd framspänning så vi inser ganska enkelt att förhållandet mellan strömmarna är det samma oavsett framspänning. En fördubbling av basströmmen medför en fördubbling av kollektorströmmen. Det gör att om vi tar kontroll över den lilla basströmmen så får vi även kontroll över den stora kollektorströmmen. En ström in genom baskontakten drar alltså med sig en förstorad eller förstärkt ström in genom kollektorkontakten. Eftersom förhållandet mellan de två strömmarna är konstant, givet av materialparametrar och av geometrin, så är kollektorströmmen en förstärkt version av basströmmen. Vi har alltså fått en strömförstärkning.

Det är viktigt att poängtera att det inte är den bipolära transistorn i sig som genererar strömmen. En förutsättning är att kollektorn är kopplad till en strömkälla som kan driva strömmen till kollektorn. Normalt är kollektorn kopplad till drivspänningen, ofta via ett motstånd. En enkel förstärkarkoppling med en enda transistor är att ha gemensam emitter (GE). Förstärkarsteget kallas därför GE. Steget är illustrerat i Figur 6:3. Från analogelektroniken känner ni säkert igen den här kopplingen, men då finns det kanske lite fler motstånd i kretsen.

Den typen av bipolärtransistor som vi har diskuterat hittills kallas npn-transistor eftersom vi har en p-typ bas omgiven av en n-typ emitter och en n-typ kollektor. Det är den vanligaste bipolära transistorn. Man kan visserligen även ha en struktur, där en n-typ bas är omgiven av p-typ material i både emitter och in kollektor. Som vi kommer att se lite senare

Figur 6:3. I den vanligaste förstärkarkopplingen med en enda transistor delar in- och utsignalen emittern som referenspunkt. Insignalen läggs in mellan basen och emittern och utsignalen tas ut mellan kollektorn och emittern. Den här kopplingen kallas gemensam emitter, eller GE. En viktig poäng är att förstärkningen av inströmmen kräver att drivspänningen, Ucc klarar av att driva den förstärkta utströmmen. Notera att utspänningen är inverterad jämfört med inspänningen. Det kommer av att bas och kollektorströmmarna ligger i fas. Eftersom vi tar ut signalen mellan kollektor och emitter kommer spänningsfallet över motståndet att vara störst vid stor ström och minst vid lägst ström. I extremfallen kommer hela Ucc att ligga över motståndet vid hög ström och utspänningen är då noll. Utan ström kommer inget spänningsfall att ligga över motståndet, vilket ger en utspänning på Ucc.

Sign

al in

Sign

al ut

Ucc

IB

tid

Uin

tidIC

tid

Uut

tid

Bipolärtransistorn

139

i det här kapitlet så har pnp-transistorn i allmänhet en sämre förstärkning. Det är en skillnad som i allmänhet kommer sig av att rörligheten för hål är lägre än för elektroner. En annan skillnad är att tecknen på spänningar och strömmar är omvända för pnp-transistorn.

Det finns en mycket kritisk punkt i konstruktionen av den bipolära transistorn och det är basen. En förutsättning för att transistorn ska kunna fungera är att strömmarna beter sig på rätt sätt. Kommer bara elektronerna från emittern in i den backspända bas-kollektorns rymdladdningsområde så finns det ett elektriskt fält där som driver dem över till kollektorn. Problemet är att förhindra att elektroner tar sig till baskontakten och ta sig ut den vägen. Varje elektron som tar sig ut genom baskontakten istället för genom kollektorn ökar basströmmen och minskar kollektorströmmen. Det medför att kvoten mellan kollektor- och basströmmen minskar och därmed minskar också förstärkningen. I extremfallet tar sig alla elektroner ut genom baskontakten och då får vi ingen kollektorström och ingen förstärkning. Det finns ett par saker som ser till att riktningen på strömmen blir rätt. För det första är basskiktet ganska tunt, kring en mikrometer (1 µm), vilket gör att injektionen av elektroner i basen ligger nära rymdladdningsområdet mellan bas och kollektor. För det andra så finns det en kontakt för att få in hålen i basen från drivkällan. Vi har inte diskuterat så kallade ohmska kontakter, kontakter mellan halvledare och metaller, i detalj. Vi nämnde att vissa kombinationer av metaller och halvledare ger en likriktande kontakt, en Schottkydiod, och att andra kombinationer ger en ohmsk kontakt. Den ohmska kontakten begränsar i princip inte strömmen genom en halvledare, oavsett strömriktning. Däremot kan en ohmsk kontakt vara bra på att släppa in hål i p-typ material, men samma kontakt kan vara lite sämre på att släppa ut elektroner ur p-typ material. Eftersom rymdladdningsområdet mellan bas och kollektor inte har något som hindrar elektronerna att ta sig över till n-sidan så väljer de flesta elektroner att gå den vägen hellre än att ta sig ut genom baskontakten. Vi har alltså fått en styrning av elektronerna från emittern mot kollektor.

Efter den här lite enklare inledningen så är vi redo att titta lite mer på vad som

egentligen händer i en bipolär transistor.

Spänningarna i en bipolär transistor En viktig förutsättning för att man ska kunna förstå vad som händer i en bipolär

transistor är att man har klart för sig hur en diod fungerar. Det mesta i transistorn handlar bara om att vi har lagt till en extra diod, eller åtminstone en extra pn-övergång. I fortsättningen antar vi att alla skikten i transistorn är kortare än diffusionslängden, d.v.s. det handlar om korta dioder. Precis som för dioderna antar vi att alla kontakter ser till att hålla jämviktskoncentrationerna av laddningsbärare. För att skilja de olika områdena så inför vi ett extra index, E för emittern, B för basen och C för kollektorn. Vi börjar med att titta på en npn-transistor. Där har vi en koncentration av donatorer i emittern som är

€

NDE , en koncentration av acceptorer i basen som är

€

NAB och slutligen en koncentration av donatorer i kollektorn som är

€

NDC .


140

Figur 6:4. Spänningar över transistorn definieras som ”Ufrån till”. UBC är alltså spänningen mellan basen och kollektorn. Ett positivt värde på strömmen betyder följaktligen att det ligger en högre spänning på baskontakten. Från figuren kan man också läsa ut samband av typen: UCE = UCB + UBE, eller UCE = -UBC + UBE.

I den här inledande diskussionen kring strömmar i den bipolära transistorn så gör vi det enkelt för oss genom att anta att vi har samma koncentration av dopatomer i alla skikt. Med den förutsättningen följer att alla minoritetsladdningsbärarkoncentrationer är lika stora i jämvikt. Här använder vi nu liknade index som för dopningskoncentrationerna:

€

nE0och

€

pE0 är jämviktskoncentrationerna av elektroner respektive hål i emittern.

€

nB0och

€

pB0 är jämviktskoncentrationerna av elektroner respektive hål i basen.

€

nC0och

€

pC0 är jämviktskoncentrationerna av elektroner respektive hål i kollektorn. Som vanligt så tycks det lite komplicerat med alla index, men det är för att kunna särskilja de olika termerna i de olika skikten. Vi har nu förutsättningarna för att kunna titta lite mer kvalitativt på vad som händer med strömmarna i transistorn. Vi behöver dessutom definiera några spänningar. Det sker återigen med hjälp av index. Vi har tre kontakter och därför har vi sex kombinationer av spänningar, inklusive riktningar. T.ex. så kallar vi spänningen på basen relativt emittern ”bas-emitter”-spänningen, UBE, vilket inte är samma som ”emitter-bas”-spänningen, UEB, som är spänningen på emittern relativt basen. I själva verket är UBE = -UEB. Läsaren kan ganska enkelt övertyga sig om det och det är dessutom illustrerat i Figur 6:4.

Strömmar i den bipolära npn-transistorn Vi antar fortfarande att alla skikt har en utsträckning som är kortare än

diffusionslängden för laddningsbärarna. För basen är det en förutsättning, men för emittern och kollektorn är det inte nödvändigt. Eftersom korta dioder är enklare att beskriva så använder vi den typen av skikt i diskussionen. Dessutom består en typisk bipolär transistor i en integrerad krets oftast av korta skikt. Vi diskuterar inledningsvis bara fallet med en framspänd bas-emitterövergång och en backspänd bas-kollektorövergång, d.v.s. UBE > 0 och UBC < 0. Det här kallas normal eller aktiv mod, och det är hur man normalt använder en bipolärtransistor i förstärkarsammanhang.

Figur 6:5 visar minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i de tre skikten, både vid jämvikt och vid aktiv mod. Vid båda ytterkontakterna (emitter och kollektor) är koncentrationerna givna av jämviktsvärdet. Vid övergången mellan bas och emitter är koncentrationen betydligt högre än jämviktvärdet, p.g.a. injektionen som följer av framspänningen. Vid övergången mellan bas och kollektor är koncentrationen i det närmaste noll p.g.a. den backspända övergången. Eftersom det går en ström genom övergången så måste det ju trots allt finnas några elektroner där. Strömmarna i transistorn

UCE

UBE

UBC

UEC

UEB

UCB

Bipolärtransistorn

141

ges av koncentrationsgradienterna i emitter och bas. Basströmmen ges av gradienten i emittern och kollektorströmmen ges av gradienten i basen.

Figur 6:5. Minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i en transistor i jämvikt (- - - streckad linje) och i aktiv mod (–––– heldragen linje). I denna enkla transistor har vi samma dopningskoncentration i samtliga skikt, vilket ger att vi har samma minoritetsladdningsbärarkoncentration i alla skikt. Därför är den streckade linjen konstant igenom hela transistorn. Emittern: Vid kontakten (-WE) är hålkoncentrationen nere vid jämviktvärdet och vid övergången mellan emitter och bas (0) ges hålkoncentrationen av framspänningen. Basen: Vid övergången mellan bas och emitter ges elektronkoncentrationen av framspänningen och vid övergången mellan bas och kollektor (WB) är elektronkoncentrationen i princip noll p.g.a. backspänningen. Kollektorn: Vid övergången mellan kollektor och bas är hålkoncentrationen i princip noll och vid kontakten (WE + WB) är hålkoncentrationen uppe vid jämviktsvärdet igen. Det är koncentrationsgradienterna i emittern och i basen som ger bas- och kollektorströmmarna.

Vi tänker oss nu att transistorn består av tre skikt, med tjockleken WE för emittern, WB för basen och slutligen WC för kollektorn. Dessutom har den en area A. Vi inför nu ett koordinatsystem med emitterkontakten vid -WE, emitter-basövergången vid 0, bas-kollektorövergången vid WB och kollektorkontakten vid WB + WC. I första approximationen antar vi att utsträckningen av rymdladdningsområdena är försumbara jämfört med skikttjockleken. För att kunna räkna på strömmarna behöver vi komma ihåg hur den injicerade laddningsbärarkoncentrationen ser ut i ytterkanten på rymdladdningsområdet:

€

pE(0) = pE0 ⋅eUBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=ni2

NDE⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

nB(0) = nB0 ⋅eUBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=ni2

NAB⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:1

För att få fram en gradient så ska vi jämföra med koncentrationen i ”andra änden” av skiktet. I emittern är det enkelt eftersom vi har en kontakt i andra änden, d.v.s. där har vi en koncentration som är

€

pE0 . Det gör att vi har en koncentrationsgradient i emittern längs x-axeln som kommer att ge upphov till en diffusionsström:


Minoritetesladdningsbärarkonc.

-WE WBWC+WB0

pEpC

nB


142

€

dpEdx

=ΔpEΔx

=pE0 ⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ − pE0

0 − −WE( )=

ni2

WE ⋅NDE⋅ e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 6:2

Koncentrationen ökar alltså längs den positiva x-axeln. När det gäller koncentrationsgradienten i basen så är det lite mer komplicerat. Det beror

på att vi har en övergång i ”andra änden”. Koncentrationen vid bas-kollektorövergången ges av:

€

nB(WB) = nB0 ⋅eUBCUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=ni2

NAB⋅e

UBCUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:3

Eftersom vi har en backspänd övergång, d.v.s. UBC < 0, så är exponentialtermen i det närmaste noll och vi har en koncentration som är nära noll.

Exempel: Med en backspänning på -1 V är exponentialtermen 10-17 i ekv. 6:3. Minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i jämvikt är alltid mindre än den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen och majoritetsladdningsbärarkoncentrationen alltid större än den intrinsiska. Samtidigt är faktorn före exponentialtermen mindre än den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen, eftersom

€

ni << NAB . För kisel är den intrinsiska

laddningsbärarkoncentrationen 1016 m-3, vilket gör att koncentrationen är mindre än en elektron per m3, vilket är försumbart.

Om vi kan försumma koncentrationen vid bas-kollektorövergången så är koncentrationsgradienten:

€

dnBdx

=ΔnBΔx

=0 − nB0

⋅eU BCU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

WB − 0= − ni

2

WB ⋅NAB

⋅eU BCU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:4

Koncentrationen avtar alltså längs den positiva x-axeln, vilket stämmer med Figur 6:5 Vi kan nu se hur strömmarna ser ut kring bas-emitterövergången. Då ska vi komma ihåg

att hålgradienten i emittern ger basströmmen och elektrongradienten i basen ger kollektorströmmen. Först måste vi tänka på tecknen på strömmen. Strömmarna genom bas- respektive kollektorkontakterna är positiva in genom respektive kontakt, d.v.s. i koordinatsystemet vi har definierat är strömmarna positiva längs negativa x-axeln. Vi behöver alltså ett extra minustecken för att få rätt på riktningen, jämfört med den vanliga definitionen av strömmen längs x-axeln:

€

IB = − e ⋅ dpEdx

⋅A ⋅Ut ⋅µp⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:5

Om vi kombinerar med Ekv. 6:2 får vi slutligen ett uttryck för basströmmen:

Bipolärtransistorn

143

€

IB =e ⋅A ⋅Ut ⋅µp ⋅ ni

2

WE ⋅NDE⋅ e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Om vi arbetar med en framspänning som ligger över några mV, så kan vi bortse från ”ettan” i ekvationen ovan och basströmmen ges av:

€


2

WE ⋅NDE⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:6

Som väntat skalar strömmen linjärt med arean (A) och med hålens rörlighet (µp) och kvadratiskt med den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen (ni). Strömmen är dessutom proportionell mot inversen på donatorkoncentrationen i emittern

€

(NDE ) och utsträckningen på emittern (WE), under förutsättning att den är kortare än diffusionslängden för hål i emittern. Vi kan dessutom skriva om

€

ni2 /NDE som

minoritetsladdningsbärarkoncentrationen,

€

pE0 . Det gör att strömmen skalar linjärt med minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i emittern. Slutligen skalar strömmen exponentiellt med framspänningen över emitter-basövergången.

Nu tittar vi på vad som händer med elektronerna som injiceras i basen från emittern. Vi börjar med hur diffusionsströmmen ser ut längs den negativa x-axeln. Nu ska vi komma ihåg att elektronerna som injiceras i basen från emittern går genom basen med diffusion (diffusionsström) och drivs över den backspända bas-kollektorövergången med det elektriska fältet där (driftström) för att slutligen gå ut genom kollektorkontakten. Strömmen som ges av elektroninjektion i basen är alltså kollektorströmmen:

€

IC = − −e ⋅ dnBdx

⋅A ⋅Ut ⋅µn⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Med gradienten från Ekv. 6:4 blir kollektorströmmen:

€

IC =e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ ni

2

WB ⋅NAB⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:7

Kollektorströmmen har liknande beroende som basströmmen. Linjärt beroende av arean, elektronernas rörlighet och minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i basen. Kvadratiskt beroende på den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen, och slutligen mot inversen på utsträckningen på basen och på acceptorkoncentrationen i basen. Även kollektorströmmen skalar exponentiellt med framspänningen över emitter-basövergången.

Med tre poler på transistorn så kan man plotta strömmarna som funktion av alla

spänningar. Det ger ett antal olika möjliga sätta att plotta strömmarna. Figur 6:6 visar de vanligaste sätten. Till höger visas den vanliga diodkurvan, där IC ökar exponentiellt med UBE. Till vänster visas det vanligaste sättet att visa strömmen i en transistor. IC som funktion av UCE, för ett antal olika värden på basströmmen (d.v.s. för olika UBE). Så länge


144

UCE är större än UBE så är bas-kollektorövergången backspänd och transistorn fungerar som den ska. I det grå området så är övergången framspänd och transistorn fungerar inte längre som förstärkare. Transistorns olika arbetsmoder (olika kombinationer av fram- och backspända övergångar) kommer att diskuteras i ett senare stycke.

Figur 6:6. Ett av de vanligaste sätten att presentera ström och spänning för en bipolär transistor. På x-axeln har vi spänningen mellan kollektor och emitter, UCE, vilket i många tillämpningar är relaterat till drivspänningen. På y-axeln har vi kollektorströmmen, IC. Vi har ett antal kurvor som visar hur IC ser ut som funktion av UCE, för några olika basströmmar, IB. Så länge UCE är större än UBE är kriterierna att bas-emitterövergången är framspänd och bas-kollektorövergången uppfyllda och IC är konstant. I området från noll till UBE ökar IC från noll det normala värdet. Eftersom UBE ökar med ökande IB så ökar brytpunkten på kurvan.

Emitterströmmen definieras som strömmen ut ur kontakten och är därför summan av de två strömmarna, bas- och emitterströmmarna:

€

IE = IB + IC Ekv. 6:8

Eftersom det finns stora likheter i uttrycken för bas- och kollektorströmmarna, så kan vi lätt titta på en av de viktigaste funktionerna hos den bipolära transistorn som är strömförstärkningen, d.v.s. hur mycket större kollektorströmmen är än basströmmen. Det brukar kallas β eller hFE:

€

β =ICIB

Ekv. 6:9

Vi kan nu skriva om Ekv. 6:9 med hjälp av Ekv. 6:6 och Ekv. 6:7:

€

β =

e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ ni2

WB ⋅NAB⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

e ⋅A ⋅Ut ⋅µp ⋅ ni2

WE ⋅NDE⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Vilket kan förenklas till:

Bipolärtransistorn

145

€

β =µnµp

⋅WEWB

⋅NDENAB

Ekv. 6:10

Förstärkningen ges alltså av tre kvoter och det är ju rimligt att förstärkningen är enhetslös. Vi kan nu börja titta på hur vi ska kunna konstruera en bra transistor med en hög förstärkning. Kvoten mellan rörligheterna är det inte mycket att göra åt, eftersom de är materialparametrar. Vi kan konstatera att den flesta material har en högre elektronrörlighet än hålrörlighet. För kisel är µn = 0,135 och µp = 0,045 m2/Vs, d.v.s. en faktor 3 högre för elektroner. För en bipolär transistor med samma dopningskoncentration och samma utsträckning på bas och emitter får vi alltså en förstärkning på 3 ggr.

Kvar har vi då två designparametrar, dopningskoncentration och skikttjocklek. Vi börjar med skikttjocklekarna. För att få en större förstärkning behöver vi en tjockare emitter än bas. Nu har vi lite restriktioner på utsträckningarna. Emittern kan inte bli hur tjock som helst, om utsträckningen är längre än diffusionslängden (LDiff), ca 10 µm för kisel, kommer basströmmen att ges av ”lång diod”, där ”längden” i det här fallet i gäller emittern. Det betyder att WE ersätts av LDiff i uttrycket för basströmmen och förstärkningen. Det gör att emittern effektivt aldrig kan bli tjockare än 10 µm ur förstärkningssynpunkt. Basen vill vi göra så kort som möjligt för att kollektorn ska fånga upp så stor del av elektronerna från emittern. Som vi kommer att se lite senare så dyker det upp ett par parasiteffekter om man gör basen för tunn. Med parasiteffekter så menas effekter som påverkar förstärkningen i transistorn på ett sätt som inte är tänkt. Det handlar bl.a. om hur rymdladdningsområdena påverkar transistorn. De viktigaste effekterna är genomslag (när rymdladdningsområdena från de två övergångarna möts i basen och effektivt kortsluter den) och Earlyeffekten, där backspänningen av bas-kollektorövergången påverkar den effektiva tjockleken på basen: WE ersätts av WE -

€

dpE , där utsträckningen av rymdladdningsområdet varierar med bas-kollektorspänningen. Det gör att kollektorströmmen ökar med ökad backspänning och förstärkningen varierar. Ännu en effekt som påverkas av en tunn bas är att serieresistansen för basströmmen blir stor, vilket introducerar brus i transistortillämpningen. Vi kommer att diskutera alla tre effekter i senare sektioner. Den minsta tjockleken är en kompromiss, men en typisk minsta tjocklek är 0,5 – 1 µm. Det ger tillsammans ett ytterligare bidrag till förstärkningen på upp till en faktor 20. Hittills har vi en förstärkning på högst 60 när vi har tittat på två av faktorerna.

Nästa steg är att titta på är dopningskoncentrationerna. Från Ekv. 6:10 ser vi att vi helst ska ha en högre dopningskoncentration i emittern än i basen, för det ökar förstärkningen. Vad är då lämpliga koncentrationer? Kisel har en atomkoncentration av ca 1029 m-3. En rimlig maximal dopningskoncentration är ca 1025 m-3. En högre koncentration än så har en tendens att inte bete sig som dopning utan faktiskt börja påverka halvledaren negativt genom att t.ex. ändra bandgapet och minska rörligheten. Det kan vara små effekter, men de kommer att påverka transistorns egenskaper på ett negativt sätt. Vi ska alltså ha en dopning som helst inte överstiger 1025 m-3 i emittern.

Vad händer då i andra änden av dopningskoncentrationer? En effekt är att en lägre dopningskoncentration ger en högre serieresistans (speciellt i kollektorn), och det är inte


146

något att sträva efter. Vilket vi kommer att gå in på senare i det här kapitlet. En viktigare effekt är att en lägre dopningskoncentration ger ett större rymdladdningsområde, vilket minskar den neutrala delen av alla skikt i transistorn. Vi har ju klart för oss att vi behöver en högre dopningskoncentration i emittern än i basen, vilket medför att större delen av rymdladdningsområdet i emitter-basövergången ligger på bassidan. Eftersom vi normalt har den övergången framspänd kommer utsträckningen att vara relativt liten, betydligt mindre än utan spänning. Problemet är att om en relativt stor del av basen är rymdladdningsområde så ändras den effektiva bastjockleken med ändrad framspänning, d.v.s. förstärkningen ändras med basströmmen, d.v.s. inströmmen till transistorn. Det gör att man ofta vill ha en hög dopningskoncentration i emittern, typiskt 1024 m-3 och en något lägre koncentration i basen, typiskt en faktor 10 till 100. En större skillnad ger en större förstärkning, men det ger mer modulation av bastjockleken och större basresistans.

Figur 6:7. Laddningsbärarkoncentrationen i en verklig bipolär transistor både med och utan spänning. Jämfört med Figur 6:5 har vi nu koncentrationerna i logaritmisk skala. Det är tvunget för att vi ska få in hela dynamiken. Dopningskoncentrationen är högst i emittern och lägst i kollektorn. Det medför att minoritetsladdningsbärarkoncentrationen är lägst i emittern och högst i kollektorn. I aktiv mod ökar minoritetsladdningsbärarkoncentrationen lika mycket i basen som i emittern, men eftersom koncentrationen är högre i basen från början, så är koncentrationen fortfarande lika mycket högre i basen. Vi har dessutom lagt in de två rymdladdningsområdena som streckade områden. Eftersom bas-kollektorövergången är backspänd har den en större utsträckning än den framspända bas-emitterövergången.

Om vi nu summerar alla våra faktorer så kommer vi till en maximal förstärkning hos en kiseltransistor på ca 6000. Om vi tar en titt i t.ex. ELFA-katologen så ser vi att typiska värden på förstärkningen ligger på ett par hundra gångers förstärkning. Det kommer att visa sig att vår transistor med en förstärkning på 6000 inte är bra på något annat än att förstärka signaler. Den har helt enkelt för många parasiteffekter. Det är något som vi kommer att titta på lite senare i kapitlet. Vi behöver nu modifiera utseende på Figur 6:5 med en mer realistisk version. Eftersom det är mycket stor dynamik i koncentrationerna så får vi dessutom rita figuren med logaritmisk skala för koncentrationerna, där alla gradienter faktiskt är linjära, även om det inte är helt enkelt att se det i illustrationen i Figur 6:7.


Ladd

ning

sbär

arko

nc. (

log

skala

)

-WE WBWC+WB0

pE

pC

nB

NDE

NDC

NAB

pE0

nB0

pC0

Bipolärtransistorn

147

€

NAB = 1,0×1024 m2

€

NDE = 1,0×1025 m2

WE = 5,0×10-6 µm WB = 1,0×10-6 µm µn = 0,135 cm2/Vs µp = 0,045 cm2/Vs A = 1,0×10-8 m2 Ut = 0,0259 V UBE = 0,85 V ni = 1,0×1016 m-3 e = 1,602×10-19

Ett exempel: En npn-transistor av kisel med en kvadratisk area på 100⋅100 µm2 eller 1,0×10-8 m2, en bastjocklek på 1,0 µm och en emittertjocklek på 5,0 µm. Basen är dopad med acceptorer, NA = 1024 m-3 och emittern är dopad med donatorer, ND = 1025 m-3. Hur stor är förstärkningen?

Förstärkningen ges av:

€

β =µnµp

⋅WEWB

⋅NDENAB

. Vilket med insatta värden ger:

€

β =0,1350,045

⋅51⋅1025

1024 = 150 ggr.

Hur stora är bas och kollektorströmmarna vid en bas-emitterspänning på 0,85 V och en backspänd bas-emitterspänning?

Basströmmen ges av:

€


2

WE ⋅NDE⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ . Med insatta värden ger det:

€

IB =1,6 ×10−19 ⋅10−8 ⋅ 0,0259 ⋅ 0,045 ⋅1032

5 ×10−6 ⋅1025⋅e

0,850,0259⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 6,6852…×10-4 A = 0,67 mA

Kollektorströmmen ges av:

€


2

WB ⋅NAB⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞


€

IC =1,6 ×10−19 ⋅10−8 ⋅ 0,0259 ⋅ 0,135 ⋅1032

10−6 ⋅1024⋅e

0,850,0259⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,10028… A = 100 mA

För att se att vi har räknat rätt kan vi alltid ta kvoten mellan de två strömmarna:

€

β =1000,67

= 149,2… ≈ 150

Det är vad det borde vara enligt uträkningen av förstärkningen. Det talar för att vi har räknat rätt.

Hittills har vi inte nämnt något om kollektorn. Den dyker ju inte upp i uttrycket för

förstärkningen, Ekv. 6:10, så den är inte direkt kopplad till förstärkningen. Kollektorn påverkar transistorns egenskaper på två sätt: serieresistans och rymdladdningsområde. Om vi börjar med rymdladdningsområdet mellan bas och kollektor så vill vi helst att större delen av det ska ligga på kollektorsidan för att inte påverka tjockleken av den neutrala delen av basen när vi ändrar backspänningen. Det gör att kollektorn behöver ha en lägre dopningskoncentration än basen. Samtidigt får den inte var för låg för då blir serieresistansen för hög. Serieresistansen påverkas också av tjockleken på kollektorn. Det gör att kollektorn helst inte ska vara för tjock. Det gör att vi helst ska ha en dopningskoncentration som ligger en faktor 10 till 100 lägre än i basen och ha en utsträckning som är i samma storleksordning som emittern.

Om vi nu gör en sammanfattning av strömmarna i en bipolär transistor så konstaterar vi att basströmmen beror på vad som händer med överskottshålen i emittern och kollektorströmmen beror på vad som händer med överskottselektronerna i basen. Vi ska också tänka på att den bipolära transistorn i sig är en strömförstärkare och egentligen inte en spänningsförstärkare. En fördubbling av inströmmen genom basen ger en fördubbling av strömmen genom kollektorn. Det är bara genom att koppla transistorn i en yttre krets som vi kan få en spänningsförstärkning.


148

Strömmarna i en npn-transistor kan definieras som tre olika strömmar. I normal mod så driver bas-emitterspänningen en liten basström som består av hål och en oftast betydligt större kollektorström som består av elektroner. Summan av de två strömmarna går ut genom emittern i form av en emitterström.

pnp-transistorn En transistor kan naturligtvis göras med en bas som är ett n-skikt och emitter och

kollektor är p-typ. Den typen av transistor kallas för pnp-transistor. Den fungerar på ett liknande sätt, det är bara att vi byter plats på elektroner och hål. Basströmmen är nu elektroner som injiceras i emittern från basen och kollektorströmmen är hål som injiceras från emittern till basen för att senare ta sig över till kollektorn. För att framspänna emitter-basövergången behövs nu en negativ spänning (UBE < 0) och för att backspänna bas-kollektorövergången behövs en positiv spänning (UBC > 0). Det gör att ekvationerna ändras lite:

€

β =µpµn

⋅WEWB

⋅NAENDB

Ekv. 6:11

Den stora skillnaden är att vi har vänt på kvoten mellan rörligheterna. För en npn-transistor i kisel gav den kvoten ett bidrag till förstärkningen på 3. I en motsvarande pnp-transistor är kvoten 1/3, d.v.s. en förminskning med en faktor 3. I sin tur betyder det att en npn-transistor har ca 9 ggr högre förstärkning än motsvarande identiska pnp-transistor. Med identisk menar vi här samma skikttjocklekar och samma dopningskoncentrationer, om än motsatt typ. Detta kan man se i t.ex. ELFA-katalogen, där npn-transistorer ofta har en högre förstärkning än motsvarande pnp-transistor.

Strömmarna ges nu av:

€

IC = − e ⋅A ⋅Ut ⋅µp ⋅ ni

2

WB ⋅NDB

⋅e− U BE

U t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:12

€

IB = − e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ ni2

WE ⋅NAE

⋅e− U BE

U t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:13

Den stora skillnaden är att UBE är negativ för att framspänna bas-emitterövergången. Därför behövs det ett minustecken på exponenten för att kompensera. Den andra skillnaden är att strömmarna har bytt riktning. Det är för att vi har bytt laddning på laddningsbärarna. Kollektorströmmen består fortfarande av laddningsbärare som injiceras från emittern till basen - riktningen är fortfarande från emitter till kollektor. Skillnaden är att i npn-transistorn är det elektroner som rör sig och i pnp-transistorn är det hål som rör sig.

En av de viktiga poängerna med den lite sämre pnp-transistorn är att den ibland är nödvändig för att göra vissa typer av förstärkare. För att en-transistorförstärkaren ska fungera så måste vi se till att viloläget på kopplingen medger både positiva och negativa

Bipolärtransistorn

149

€

NDB = 1,0×1024 m2

€

NAE = 1,0×1025 m2

WE = 5,0×10-6 µm WB = 1,0×10-6 µm µn = 0,135 cm2/Vs µp = 0,045 cm2/Vs A = 1,0×10-8 m2 Ut = 0,0259 V UBE = - 0,85 V ni = 1,0×1016 m-3 e = 1,602×10-19

insignaler. Vi måste lägga på en liten förspänning, bias. Det gör att det alltid går en ström genom transistorn, även om den inte förstärker någon signal. Genom att koppla ihop en pnp- och en npn-transistor kan vi låta den positiva signalen förstärkas av npn-delen av förstärkaren och den negativa signalen av pnp-delen. Det gör att det inte går någon ström genom transistorn om det inte finns någon insignal. Vi har alltså en strömsnålare förstärkare. Audiofiler känner igen de här typerna av förstärkare som klass A och klass B (push-pull) förstärkare.

Ett exempel: Vi har pnp-transistor med motsvarande geometri och dopningskoncentrationer som i det tidigare exemplet. Hur stor är förstärkningen?


€

βpnp =µpµn

⋅WEWB

⋅NAENDB


€

β =0,0450,135

⋅51⋅1025

1024 = 16,666… = 17 ggr.

Hur stora är bas och kollektorströmmarna vid en bas-emitterspänning på -0,85 V och en backspänd bas-emitterspänning?


€

IB =e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ ni

2

WE ⋅NAE⋅e

−UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞


€

IB =1,6 ×10−19 ⋅10−8 ⋅ 0,0259 ⋅ 0,135 ⋅1032

5 ×10−6 ⋅1025⋅e

0,850,0259⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 2,0056…×10-3 A = 2,0 mA

Kollektorströmmen ges av:

€

IC =e ⋅A ⋅Ut ⋅µp ⋅ ni

2

WB ⋅NDB⋅e

−UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞


€

IC =1,6 ×10−19 ⋅10−8 ⋅ 0,0259 ⋅ 0,045 ⋅1032

10−6 ⋅1024⋅e

0,850,0259⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,033426… A = 33 mA


€

β =33,4…2,0…

= 16,7… ≈ 17

Det är precis vad det borde vara enligt uträkningen av förstärkningen. Det talar för att vi har räknat rätt.

Den bipolära npn-transistorns arbetsmoder Vi har redan nämnt att en framspänd emitter-basövergång och en backspänd bas-

kollektorövergång är hur en transistor normalt arbetar. Det kallas alltså för normal eller aktiv mod. Eftersom vi har två spänningar så har vi fyra möjliga arbetsmoder:

Aktiv/normal Framspänd emitter-bas Backspänd bas-kollektor

Inverterad Backspänd emitter-bas Framspänd bas-kollektor

Strypt Backspänd emitter-bas Backspänd bas-kollektor

Bottnad Framspänd emitter-bas Framspänd bas-kollektor


150

Normal eller aktiv arbetsmod Den arbetsmod vi hittills har diskuterat är den så kallade normala eller aktiva moden.

Det är i den här moden som man normalt använder en bipolär transistor i analoga tillämpningar. Figur 6:8 visar laddningsbärarflödena i den aktiva moden. Dessutom visar figuren minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i de olika skikten i transistorn. Figuren visar också rymdladdningsområdena i transistorn.

Figur 6:8. Normal eller aktiv mod. a) Visar hur laddningsbärarna rör sig i transistorn. Ett stort flöde av elektroner går från emitter till kollektor, viket betyder att en stor elektronström flyter från kollektor till emitter. Samtidigt är det ett mindre flöde av hål från bas till emitter, vilket betyder att det går en liten ström från bas till emitter. b) Illustrerar koncentrationsgradienterna av minoritetsladdningsbärare i de olika områdena. Skalan i (b) är linjär och normerad till jämviktsvärdet på minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i de olika områdena.

Inverterad arbetsmod Den inverterade moden är den enklaste moden, förutom den normala moden. Allt som

behövs är att vi byter ut allt som har med emittern att göra till kollektorn:

€

β =µnµp

⋅WCWB

⋅NDCNAB

Ekv. 6:14

€


2

WC ⋅NDC⋅e

UBCUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:15

€

IE = − e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ ni2

WB ⋅NAB

⋅eU BCU t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:16

€

IC = IE − IB Ekv. 6:17

Bas

Kollektor Emitter

(a) (b)

Bipolärtransistorn

151

€

NAB = 1,0×1024 m2

€

NDC = 1,0×1023 m2

WC = 5,0×10-6 µm WB = 1,0×10-6 µm µn = 0,135 cm2/Vs µp = 0,045 cm2/Vs A = 1,0×10-8 m2 Ut = 0,0259 V UBE = 0,85 V ni = 1,0×1016 m-3 e = 1,602×10-19

Då har vi använt samma konvention för tecknen på strömmarna som tidigare. D.v.s. kollektorströmmen går in i kollektorn och emitterströmmen går ut ur emittern. Basströmmen är positiv, emitterströmmen är negativ och slutligen är kollektorströmmen också negativ. Detta visas i Figur 6:9.

Figur 6:9. Inverterad mod. a) Visar hur laddningsbärarna rör sig i transistorn. Ett flöde av elektroner går från kollektor till emitter, viket betyder att en elektronström flyter från emitter till kollektor. Samtidigt är det ett flöde av hål från bas till kollektor, vilket betyder att det går en ström från bas till kollektor. b) Illustrerar koncentrationsgradienterna av minoritetsladdningsbärare i de olika områdena. Skalan i (b) är linjär och normerad till jämviktsvärdet på minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i de olika områdena. Eftersom kollektorn och emittern är ungefär lika tjocka så kommer den andra kvoten i Ekv. 6:14 inte att påverka förstärkningen nämnvärt. Däremot är normalt dopningskoncentrationen i kollektorn lägre än i basen, vilket gör att vi har en betydligt lägre förstärkning i den här moden. De intressanta strömmarna i den här moden är basströmmen och emitterströmmen:

Ett exempel: En npn-transistor av kisel med en kvadratisk area på 100⋅100 µm2 eller 1,0×10-8 m2, en bastjocklek på 1,0 µm och en kollektortjocklek på 5,0 µm. Basen är dopad med acceptorer, NA = 1024 m-3 och kollektorn är dopad med donatorer, ND = 1023 m-3. Hur stor är förstärkningen i inverterad mod?


€

βinv =µnµp

⋅WCWB

⋅NDCNAB


€

β =0,1350,045

⋅51⋅1023

1024 = 1,5 ggr.

Hur stora är bas och kollektorströmmarna vid en bas-kollektorspänning på 0,85 V och en backspänd bas-emitterspänning?


€


2

WC ⋅NDC⋅e

UBCUt

⎛

⎝ ⎜

⎞


€

IB =1,6 ×10−19 ⋅10−8 ⋅ 0,0259 ⋅ 0,045 ⋅1032

5 ×10−6 ⋅1023⋅e

0,850,0259⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 6,6852…×10-2 A = 67 mA

Emitterströmmen ges av:

€

IE = − e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ ni2

WB ⋅NAB

⋅eU BCU t

⎛

⎝ ⎜

⎞


€

IE = − 1,6 ×10−19 ⋅10−8 ⋅ 0,0259 ⋅ 0,135 ⋅1032

10−6 ⋅1024 ⋅e0,85

0,0259⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = - 0,100… A = - 100 mA


€

β =10067

= 1,492… = 1,5

Det är vad det borde vara enligt uträkningen av förstärkningen. Det talar för att vi har räknat rätt.

Bas

Kollektor Emitter

(a) (b)


152

Strypt arbetsmod I den strypta moden är båda övergångarna backspända och därför är alla tre strömmarna

i det närmaste noll och vi har ingen väldefinierad förstärkning, Figur 6:10. Vanliga ekvationer är meningslösa och arbetsmoden är ointressant i förstärkarsammanhang. Det kan dock vara intressant i digitala tillämpningar.

Figur 6:10. Strypt mod. a) I den här moden är alla laddningsbärarflöden väldigt små eftersom det rör sig om backströmmar i båda övergångarna. b) Illustrerar koncentrationsgradienterna av minoritetsladdningsbärare i de olika områdena. Skalan i (b) är linjär och normerad till jämviktsvärdet på minoritetsladdnings-bärarkoncentrationen i de olika områdena.

Bottnad arbetsmod Bottnad mod är den mest komplicerade moden eftersom båda övergångarna är

framspända. Det gör att vi samtidigt injicerar hål till både emitter och kollektor. Det medför att basströmmen ges av:

€


2

WE ⋅NDE⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

+e ⋅A ⋅Ut ⋅µp ⋅ ni

2

WC ⋅NDC⋅e

UBCUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Ekv. 6:18

Vid lika stor framspänning av båda övergångarna kommer en större basström att gå till kollektorn än till emittern. Det beror på att dopningskoncentrationen är betydligt högre i emittern än i kollektorn och strömmarna skalar med inversen på dopningskoncentrationerna. Det är inte ovanligt att vi har en faktor 100 mellan de två koncentrationerna och därför kan det vara en faktor 100 större ström mot kollektorn än mot basen. Det viktigaste är att basströmmen alltid är större jämfört med normal mod, oavsett bas-kollektorspänningen. Detta är illustrerat i Figur 6:11.

Det som gör den här moden komplicerad är elektronflödet. Med framspända övergångar så ökar vi minoritetsladdningsbärarkoncentrationen på båda sidor av basen. Det gör att vi får en gradient av elektroner längs x-axeln som ser ut så här:

€

dndx

=ni2

WB ⋅NAB⋅ e

UBCUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 6:19

och elektronströmmen, In, genom basen i x-axelns riktning (den normala strömriktningen) ges av:

Bas

Kollektor Emitter

(a) (b)

Bipolärtransistorn

153

Bas Kollektor Emitter

(a) (b)

€

In =e ⋅A ⋅Ut ⋅µn ⋅ ni

2

WB ⋅NAB⋅ e

UBCUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Ekv. 6:20

Vi kan nu konstatera att vid samma framspänning av båda övergångarna så går det ingen elektronström i transistorn utan bara en basström. Förstärkningen är alltså noll. Vi kan också konstatera att om UBC > UBE så kommer strömmen att gå i x-axelns riktning och om UBC < UBE så går strömmen i x-axelns negativa riktning. Så länge UBC < UBE så har vi i stort sett den vanliga kollektorströmmen av elektroner. Eftersom vi har en exponentiellt beroende av laddningsbärarkoncentrationerna så krävs det en ganska lite spänningsskillnad för att den lägre koncentrationen ska vara försumbar, och strömmen ges bara av den hösta av de två spänningarna.

Ett exempel: Vid en framspänning på 0,7 V är exponentialtermen 5×1011 och en framspänning på 0,6 V är den istället 1×1010. Det är en faktor 50 lägre. Vid en bas-emitterspänning på 0,7 V och en bas-kollektorspänning på 0,6 V får vi en koncentrationsgradient som är ca 2 % lägre än vid en backspänd bas-kollektorövergång och därmed en 2 % lägre kollektorström. Redan 0,65 V ger en exponentialterm på 8×1010, vilket är en faktor 6 lägre, vilket ger en 16 % lägre ström.

Figur 6:11. Bottnad mod. a) Visar hur laddningsbärarna flyter i transistorn. Här visar vi fallet med UBE > UBC. Ett stort flöde av elektroner går från emitter till kollektor, viket betyder att det går en stor elektronström från kollektor till emitter. Samtidigt är det ett mindre flöde av hål från bas till emitter, vilket betyder att det går en liten ström från bas till emitter. Dessutom är det ett flöde av hål från bas till kollektor, vilket betyder en liten ström från bas till kollektor. Båda hålströmmarna adderar ihop till basströmmen b) Illustrerar koncentrationsgradienterna av minoritetsladdningsbärare i de olika områdena. Skalan är linjär och normerad till jämviktsvärdet på minoritetsladdningsbärarkoncentrationen i de olika områdena. När UBE < UBC flyter elektronerna i motsatt riktning, från kollektor till emitter och strömmen går därför från emitter till kollektor. Eftersom vi har ett extra bidrag till basströmmen så är förstärkningen oftast lägre än i normal mod.

Den extra basströmmen jämfört med normal mod går mot kollektorn vilket gör att vi får ett extra bidrag till kollektorströmmen av hål. Visserligen är det här hålbidraget ofta litet jämfört med elektronbidraget till kollektorströmmen så vi kan ofta försumma det. Å andra sidan är den extra basströmmen inte en försumbar del av basströmmen, vilket innebär att basströmmen i bottnad mod ofta är betydligt högre än i normal mod. Den större basströmmen utan motsvarande ökning av kollektorströmmen gör att vi får en betydligt lägre strömförstärkning än in normal mod. Det är därför som vi kallar moden bottnad – vi får lägre förstärkning än i normal mod. När UBC > UBE så byter vi dessutom riktning på


154

elektronströmmen och vi får en svagt förstärkt ström i ”fel” riktning. Generellt kan man säga det är den extra basströmmen som förstör förstärkningen i den bottnade arbetsmoden.

Kapacitanser i den bipolära transistorn Eftersom den bipolära transistorn i princip består av två dioder så har vi också

motsvarande kapacitanser som för två dioder. Kapacitanserna är intressanta för frekvensegenskaperna hos t.ex. förstärkare. Vi tittar därför bara på kapacitanser i aktiv mod. För att fortsätta diskussionen är det bra att göra en tillbakablick på sektionerna om kapacitanser i dioden för att friska upp minnet om var kapacitanserna kommer ifrån och hur de fungerar. Den framspända emitter-basövergången har både diffusions- och utarmningskapacitans, medan den backspända bas-kollektorövergången bara har utarmningskapacitans. Om vi jämför med Ekv. 4:72 så får vi följande uttryck för utarmningskapacitansen för den n+p-diod som emitter-basövergången är i en npn-transistor:

€

CjBE =A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NAB2 ⋅ UbiBE −UBC( )

Ekv. 6:21

Här använder vi beteckningen

€

UbiBE för den inbyggda spänningen i emitter-basövergången. Vi kan nu få fram diffusionskapacitansen för emitter-basövergången genom att jämföra med Ekv. 4:79:

€

CdiffBE =WB2

2 ⋅Ut2 ⋅µn

⋅ IC

Ekv. 6:22

Då har vi bortsett från att även basströmmen ger ett bidrag till kapacitansen, men eftersom den strömmen är en till två tiopotenser lägre är det inget större fel. Den totala kapacitansen är summan av de två eftersom de i någon mening ligger parallellt. Som för den vanliga dioden dominerar diffusionskapacitansen vid höga framspänningar och utarmningskapacitansen vid låga framspänningar.

Den backspända bas-kollektorövergången har bara utarmningskapacitans eftersom strömmen är oförändrad vid ändrad backspänning. Strömmen genom kollektorn är dessutom en ren driftström som inte leder till någon nettoladdning i den neutrala delen av kollektorn. Det gör att vi får ett uttryck liknande Ekv. 6:21:

€

CjBC =A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NDC2 ⋅ UbiBC −UBE( )

Ekv. 6:23

Om vi jämför kapacitanserna i de två övergångarna så visar det sig att den totala kapacitansen i bas-emitterövergången oftast är betydligt större än den i bas-kollektorövergången.

Bipolärtransistorn

155

Ett exempel: Vi har samma npn-transistor som i tidigare exempel. Hur stora är de tre kapacitanserna vid UBE = 0,85 V och UBC = -10 V.

Utarmningskapacitansen mellan bas och emitter ges av:

€

CjBE =A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NAB2 ⋅ UbiBE −UBE( )

För att kunna beräkna kapacitansen behöver vi få fram den inbyggda spänningen, som ges av:

€

UbiBE =Ut ⋅ lnNAB ⋅NDE

ni2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ,

€

UbiBE = 0,0259 ⋅ ln 1024 ⋅1025

1032⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

= 1,0138…=

1,0 V Nu kan vi beräkna kapacitansen:

€

CjBE =10−16 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12 ⋅1,602 ×10−12 ⋅1024

2 ⋅ 1,0…− 0,85( ) = 7,145…×10-11 F = 71 pF

På samma sätt ges den inbyggda spänningen i bas-kollektorövergången av:

€

UbiBC =Ut ⋅ lnNAB ⋅NDC

ni2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ,

€

UbiBC = 0,0259 ⋅ ln 1024 ⋅1023

1032⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,8946…= 0,90 V

Och utarmningskapacitansen ges av:

€

CjBC =A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NDC2 ⋅ UbiBC −UBC( )

.

€

CjBC =10−16 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12 ⋅1,602 ×10−12 ⋅1023

2 ⋅ 0,89…− (−10)( ) = 2,7709…×10-12 F = 2,8 pF

Diffusionskapacitansen finns bara i den framspända bas-emitterövergången och beror i huvudsak på den elektronströmmen. Den ges av:

€

CdiffBE =WB2

2 ⋅Ut2 ⋅µn

⋅ IC . Den är därför:

€

CdiffBE =10−12

2 ⋅ 0,02592 ⋅ 0,135⋅ 0,100 = 5,536…×10-10 F = 550 pF.

Vi ser att utarmningskapacitansen för bas-emittern är betydligt större än den för bas-kollektorn. Det har två orsaker: Dels är dopningskoncentrationen högre i emittern än i kollektorn, vilket ger ett mindre utarmningsområde, och dels är bas-emittern framspänd vilket minskar utsträckningen och bas-kollektorn backspänd vilket ökar utsträckningen. Diffusionskapacitansen är den största av de tre. Om vi minskar framspänningen av emitter-basövergången så minskar diffusionskapacitansen snabbare än utarmningskapacitansen och den senare kommer att dominera. Om vi minskar framspänningen till 0,8 V så får vi istället:

€

C jBE = 60 pF och

€

CdiffBE = 80 pF och vid en framspänning av 0,75 V får

vi:

€

C jBE = 56 pF och

€

CdiffBE = 11 pF.

Resistanser i den bipolära transistorn Det finns ett antal resistanser i transistorn som spelar roll i olika sammanhang.

Resistanserna spelar roll så fort vi behöver flytta laddningsbärare med hjälp av elektriska fält, d.v.s. driftströmmar. Det gör att det i princip finns tre ohmska (storsignal - i någon mening verkliga) resistanser i en transistor: Resistansen för elektroner i emittern respektive i kollektorn och resistansen för hål i basen. Resistansen för elektronerna är ganska rättfram eftersom strömmen går vinkelrätt igenom dessa skikt. Serieresistansen i emittern:

€

RSE =WE

A ⋅ e ⋅NDE ⋅µn

Ekv. 6:24

Serieresistansen i kollektorn:

€

NDE = 1,0×1025 m2

€

NAB = 1,0×1024 m2

€

NDC = 1,0×1023 m2

WE = 5,0×10-6 m WB = 1,0×10-6 m WC = 5,0×10-6 m µn = 0,135 m2/Vs µp = 0,045 m2/Vs A = 1,0×10-8 m2 Ut = 0,0259 V UBE = 0,77 V UBC = -10 V ni = 1,0×1016 m-3 e = 1,602×10-19 As εSi = 11,8 ε0 = 8,85×10-12 F/m IC = 100 mA


156

WB

Bas

Kollektor

L

B

(a) (b)

Emitter Bas

€

RSC =WC

A ⋅ e ⋅NDC ⋅µn

Ekv. 6:25

Med den lägre dopningskoncentrationen i kollektorn kommer serieresistansen att vara betydligt högre i kollektorn än i emittern. Den högre serieresistansen kommer att visa sig vara viktigt för parasiteffekter.

Figur 6:12. a) Visar geometrin för en tredimensionell transistor. Pilarna visar vilka sidor och var kontakterna sitter. Emitterkontakten är delvis skymd. b) visar en enkel skiss på hur basströmmen går genom basen. Hela basströmmen går in genom kontakten vid ytan, men strömmen minskar med avstånd från kontakten. Det gör att den effektiva resistansen inte är ρ⋅L/(WB⋅B) utan ρ⋅L/(3⋅WB⋅B), d.v.s. en tredjedel av hela resistansen.

Basens serieresistans (basresistansen) är lite mer komplicerad eftersom basströmmen inte går vinkelrätt igenom skiktet. Kollektorströmmen (som ju är en diffusionsström) går ju vinkelrätt mot arean, medan basströmmen kommer in från sidokontakten och går i det närmaste parallellt med skikten innan den går in till emittern, vilket är illustrerat i Figur 6:12 b. Det gör att resistansen från sidan beror på skiktets tjocklek (WB), på dess längd (LB) och på dess bredd (BB), där längden och bredden ger arean, A = LB⋅BB. Hela skiktets serieresistans längs L ges då av:

€

RS =L

WB ⋅B ⋅ e ⋅NAB ⋅µp

Bilden av strömmen kompliceras av att det bara är en del av strömmen som går hela längden och att hela strömmen bara går den första biten. Man kan göra en härledning av det här fenomenet och då visar det sig att den effektiva resistansen blir en faktor 3 lägre. Genom att ändra geometrin på basen kan man ytterligare minska resistansen. T.ex. kan man ha två kontakter, en på vardera sidan, vilket halverar både resistansen och strömmen. Det minskar resistansen med ytterligare en faktor 4. Oftast handlar de geometriska tricken om mindre än en tiopotens i minskad resistans, så vi håller oss till den korrigerade ekvationen för enkelkontakten med rektangulär area:

€

RB =L

3 ⋅WB ⋅B ⋅ e ⋅NAB ⋅µp

Ekv. 6:26

Bipolärtransistorn

157

Vi kan ju se att en rektangulär area med en kort längd och en stor bredd ger en lägre basresistans än en kvadratisk area.

Ett exempel: Hur stora är resistanserna i vår transistor från föregående exempel?

Serieresistansen i emittern ges av:

€

RSE =WE

A ⋅ e ⋅NDE ⋅µn. Det ger:

€

RSE =5 ×10−6

10−8 ⋅1,602 ×10−19 ⋅1025 ⋅ 0,135 = 2,3119…×10-3 Ω = 2,3 mΩ

Serieresistansen i kollektorn ges av:

€

RSE =WC

A ⋅ e ⋅NDC ⋅µn. Det ger:

€

RSE =5 ×10−6

10−8 ⋅1,602 ×10−19 ⋅1023 ⋅ 0,135 = 0,23119… Ω = 0,23 Ω

Serieresistansen i basen ges av:

€

RB =L

3 ⋅WB ⋅B ⋅ e ⋅NAB ⋅µp. Vilket med en kvadratisk

area (L=B) ger en resistans av:

€

RB =1

3 ⋅10−6 ⋅1,602 ×10−19 ⋅1024 ⋅ 0,045 = 46,238… = 46 Ω

Med strömmarna vid 0,85 V blir spänningsfallet över emittern:

€

UE = RSE ⋅ IC = 2,3…×10−3 ⋅ 0,100… = 2,31…×10-4 V = 0,23 mV.

Och över kollektorn:

€

UC = RSC ⋅ IC = 2,3…×10−1 ⋅ 0,100… = 2,31…×10-2 V = 23 mV.

Över basen blir spänningsfallet:

€

UB = RB ⋅ IB = 46… ⋅ 6,67…×10−4 = 30… mV

Vi kan se att serieresistanserna i emitter och kollektorn är försumbara, men basresistansen ställer till det för oss. För att få en spänning på 0,85 V på övergången måste vi lägga på 0,85 + 0,03 = 0,88 V, eftersom en del av spänningen lägger sig över basresistansen. Vi kan ändra många parametrar för att minska basresistansen, men den enklaste metoden är att ändra förhållandet mellan bredd och längd. Om vi halverar längden och fördubblar bredden så behåller vi arean, men vi minskar resistansen med en faktor fyra och spänningsfallet minskas till 8 mV. Då behövs alltså ”bara” 0,858 V mellan bas och emitter för att ge 0,85 på själva övergången.

För det mesta kan vi bortse från basresistansen i en transistor. Vi måste bara vara

medvetna om att resistansen finns. När vi designar en transistor så måste vi se till att basresistansen inte är för stor. Redan en basresistans på 10 Ω ger ett spänningsfall på 0,1 V vid en basström på 10 mA. Med en insignal i storleksordningen 0,5 V är det 20 % av inspänningen.

På ingången kan vi dessutom definiera en småsignalresistans precis som för dioden. Resistansen ges av derivatan på inspänningen (UBE) med avseende på basströmmen (IB):

€

rπ =dUBEdIB

=UtIB

Ekv. 6:27

Eftersom den här resistansen är viktig i hybrid-π-modellen så kallas den för rπ. Det är precis samma uttryck som för dioden. Resistansen kan beskrivas som inversen på lutningen på basström-inspänningskurvan. Eftersom lutningen ökar med ökande spänning så minskar resistansen med ökande ström. Låt oss nu komma ihåg att det handlar om

€

NDE = 1,0×1025 m2

€

NAB = 1,0×1024 m2

€

NDC = 1,0×1023 m2

WE = 5,0×10-6 m WB = 1,0×10-6 m WC = 5,0×10-6 m µn = 0,135 m2/Vs µp = 0,045 m2/Vs A = 1,0×10-8 m2 Ut = 0,0259 V UBE = 0,77 V UBC = -10 V e = 1,602×10-19 As IC = 100 mA IB = 0,67 mA


158

småsignalresistansen. Den definieras kring en viss inspänning,

€

UBE0 , vilket resulterar i en ström

€

IB0 . En ändring av inspänningen med ΔUBE ger en ny basström:

€

IB = IB0 +ΔUBErπ

Ekv. 6:28

Ju större ΔUBE är, desto större blir felet i approximationen av basströmmen.

Ett exempel: Hur stor är ingångsresistansen i vår npn-transistor vid en bas-emitterspänning på 0,85 V? Resistansen ges av:

€

rπ =UtIB

. Med insatta värden ger det:

€

rπ =0,0259

0,67…×10−3 = 38,7425… = 39 Ω

Hybrid-π-modellen Ofta vill man göra om en transistor till en ”svart låda” som konverterar en insignal till

en utsignal. En sådan modell är hybrid-π-modellen som visas i Figur 6:13. Den kallas så för att den ibland kan sägas se ut som ett π. Modellen bygger på att vi parametriserar transistorn och beskriver kopplingen med gemensam emitter som vi har diskuterat ovan. Den komplicerade bilden med exponentiella beroenden ersätts av linjära samband. För den här beskrivningen behöver vi de resistanser och kapacitanser som vi har beskrivit ovan. För att koppla i en krets så brukar vi även lägga in ett lastmotstånd, RL, över utgången (mellan kollektor och emitter). Ibland slår man ihop de två kapacitanserna mellan bas och emitter till en kapacitans och kalla den Cπ, i likhet med resistansen rπ.

Det som saknas i modellen är hur utsignalen beror på insignalen. Eftersom vi ofta vill göra om en inspänning till en utström behöver vi derivera utströmmen (IC) med avseende på inspänningen (UBE). Eftersom det handlar om en utström som funktion av en inspänning brukar man kalla det här för en transkonduktans, gm:

€

gm =dICdUBE

=ICUt

=β⋅ IBUt

=βrπ

Ekv. 6:29

Transkonduktansen är den sista pusselbiten i hybrid-π-modellen. Vad betyder då transkonduktans? Som tidigare handlar det om en småsignalparameter som bl.a. innehåller förstärkningen. Den är relaterad till konduktansen, som talar om hur strömmar beror på spänningar. Här handlar det dock om ett lite mer komplicerat förhållande mellan inspänning och utström. Transkonduktansen talar om hur mycket kollektorströmmen (utströmmen) ändras om vi ändrar bas-emitterspänningen (inspänningen) en litet aning, ΔUBE, kring en given inspänning,

€

UBE0 :

€

IC = IC0 + ΔUBE ⋅ gm Ekv. 6:30

Vi ska nu se hur vi kan använda Hybrid-π-modellen i nästa sektion när vi diskuterar frekvensegenskaperna hos transistorn.

Ut = 0,0259 V IB = 0,67 mA

Bipolärtransistorn

159

Figur 6:13. Resistanser och kapacitanser i hybrid-π-modellen. Signalen läggs in mellan bas och emitter. Insignalen känner av basresistansen i serie med inresistansen, rΠ. Dessutom finns de två kapacitanserna på ingången CjE och Cdiff. Dessa läggs ibland ihop till en enda kapacitans, CΠ. På andra sidan mot kollektorn finns även där en kapacitans, CjC. Vi har också lagt in en lastresistans, RL. Dessutom finns en komponent som kallas transkonduktans, gm. Transkonduktansen innehåller förstärkningen.

Frekvensegenskaper En mycket viktig egenskap hos transistorer är deras förmåga att förstärka inte bara

likspänningar utan förmågan att förstärka växelspänningar. Vi har sett att både in och utgångarna på transistorn har kapacitanser. Eftersom en kapacitans medför impedans för AC signaler så är det ganska troligt att kapacitanserna kommer att påverka förstärkningen vid höga frekvenser.

För att titta på transistorns förmåga att förstärka högfrekventa signaler så behöver vi först repetera lite enkel växelströmslära. Eftersom vi inte har några induktanser i transistorn så bortser vi från dem i den här genomgången. Vi har rena resistanser och rena kapacitanser. Resistansen är helt oberoende av frekvensen, medan kapacitansen bidrag till impedansen ökar med frekvensen, f, eller med vinkelhastigheten, ω, där f = 2⋅π⋅ω. Vi ska också komma ihåg att växelströmmen har en reell och en imaginär del. På samma sätt har impedansen en reell del och en imaginär del.

Eftersom vi här egentligen inte är intresserade av fasvridningen av signalen som introduceras av den komplexa impedansen så kan vi koncentrera oss på absolutvärdet av impedansen. Ingången i transistorn består av en resistans (rπ) parallellt med en kapacitans (Cπ). Från växelströmsläran kan vi hämta resultatet av en parallellkoppling av ett motstånd och en kapacitans:

€

Z =1

1R2

+ω2 ⋅C2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=R

1+ω2 ⋅C2 ⋅R2( )

Ekv. 6:31

Vid likström är ω noll och impedansen (Z) är identisk med resistansen. Kondensatorn fungerar då som ett avbrott, d.v.s. en oändlig resistans. Men eftersom den ligger parallellt med en ren resistans är resultatet en ren resistans. Vi ser att impedansen minskar med ökande frekvens. Det som händer är att hög frekvens kortsluter kondensatorn. Det är därför som impedansen minskar vid ökande frekvens.

Rπ RL

RB CjC

CjE CdiffEmitter

Bas Kollektor

UBE⋅gm


160

Log (f)

Log

(hfe)

1

β

ft

f3dB

-3 dB

Figur 6:14. En skiss över hur förstärkningen av en växelström ser ut som funktion av frekvensen. På lågfrekvenssidan är förstärkningen i det närmaste konstant. Vid högre frekvenser minskar förstärkningen för att vid frekvensen f3dB minska till -3 dB. Med ökande frekvens minskar förstärkningen för att gå ner till ett vid övergångsfrekvensen, ft. Här går man från förstärkning (β>1) till försvagning (β<1) av insignalen.

Nu ska vi titta lite mer på vad som händer med förstärkningen när vi har en växelspänning som insignal. Vi använder nu hybrid-π-modellen där vi överlagrar en liten växelspänning på en likspänning på ingången. Eftersom det nu handlar om växelströmmar och växelspänningar så använder vi små bokstäver (i och u) för att definiera storheterna. Vi kan då använda oss av transkonduktansen, gm, och impedansen, Zπ, för att beskriva växelströmsdelen av kollektorströmmen:

€

iC = uBE ⋅ gm = Zπ ⋅ iB ⋅ gm Ekv. 6:32

Där impedansen ges av Ekv. 6:31, med resistansen rπ. Vi kan nu skriva om förstärkningen av den lilla växelströmmen iB som iC = iB⋅hfe. hfe betecknar förstärkningen av växelström till skillnad från β (hFE) som betecknar förstärkningen av en likström.

€

hfe (ω)=iCiB

= gm ⋅Zπ =gm ⋅ rπ

1+ω2 ⋅C2 ⋅ rπ2

=β

1+ω2 ⋅C2 ⋅ rπ2

Ekv. 6:33

Vi kan nu se att förstärkningen av växelströmssignalen minskar med ökande frekvens. Detta är illustrerat i Figur 6:14. Lite senare ska vi titta på vilken kapacitans det egentligen rör sig om. Det finns många sätt att studera frekvensegenskaperna hos en transistor. Ett av de enklaste sätten är att titta på strömförstärkningen när vi kortsluter utgången, d.v.s. kopplar ihop emitter och kollektor. Om vi tittar på Figur 6:13 så kan vi se att om vi kortsluter utgången så ligger alla tre kapacitanserna parallellt. Om vi dessutom antar att basresistansen är försumbar (som den är i de flesta transistorer) så blir bilden av transistorn ganska enkel: rπ parallellt med de tre kapacitanserna

€

CjBE, CdiffBE

och CjBC. Eftersom det

handlar om parallella kapacitanser gör det att den totala kapacitansen är summan av kapacitanserna och vi kan skriva om Ekv. 6:33 som:

€

hfe(ω) =β

1+ω2 ⋅ CjBE + CdiffBE + CjBC( )2 ⋅ rπ2

Ekv. 6:34

Bipolärtransistorn

161

Det finns ett antal olika sätt att beskriva frekvensegenskaperna hos en transistor. Vi kommer att titta på två olika frekvenser, -3dB och övergångsfrekvensen. Frekvensen vid -3 dB

En av de mer användbara frekvenserna är när förstärkningen har gått ner med 3 dB, vilket betyder att strömmen har gått ner med

€

2 , vilket kan beskrivas som:

€

hfe−3dB (ω) =β

2

Då kan vi se att rotuttrycket i Ekv. 6:34 är

€

2 och att den andra termen i rotuttrycket därmed måste vara ett eftersom den första termen ju är ett. Med sambandet mellan frekvens och vinkelfrekvens blir den här -3 dB-frekvensen, som betecknas f3dB:

€

f3dB =1

2π ⋅ CjBE + CdiffBE + CjBC( ) ⋅ rπ

Ekv. 6:35

Vi tittar nu på vilka termer vi har i uttrycket ovan och vilka termer som dominerar. Vid höga strömmar är det diffusionskapacitansen som är störst av de tre kapacitanserna. Den är proportionell mot kollektorströmmen och därmed också mot basströmmen (likströmskomponenterna). Inresistansen, rπ, å andra sidan är proportionell mot inversen på basströmmen. Det gör alltså att -3 dB-frekvensen i det närmaste är oberoende av strömmen, så länge den dominerande kapacitansen är diffusionskapacitansen. För låga strömmar är det utarmningskapacitansen i bas-emitterövergången som dominerar. Från kapitlet om pn-övergången kommer vi ihåg att utarmningskapacitansen ändras långsammare än diffusionskapacitansen Om vi går från hög ström till låg ström så minskar strömmen fortare än vad utarmningskapacitansen minskar. Det betyder att inresistansen minskar snabbare än kapacitansen, vilket gör att -3 dB-frekvensen ökar något med minskad ström vid låga inspänningar.

Ett exempel: Med vår npn-transistor från tidigare exempel och med framspänningen 0,85 V, vid vilken frekvens har förstärkningen gått ner till -3 dB? Den frekvensen ges av:

€

f3dB =1

2π ⋅ CjBE + CdiffBE + CjBC( ) ⋅ rπ.

Med insatta värden från tidigare exempel:

€

f3dB =1

2π ⋅ 7,14…×10−11 + 5,54…×10−10 + 2,77…×10−12( ) ⋅ 38,7…

= 6,542 …×106 Hz

= 6,5 MHz

Övergångsfrekvensen

En annan frekvens som är ett viktigt mått på frekvensegenskaperna hos en transistor är övergångsfrekvensen, ft, vilket är den frekvens där förstärkningen är nere i ett. Namnet låter lite konstigt, men det handlar om frekvensen där vi går från att ha en förstärkning till att vi har en förminskning av signalen. Det gör att vi kan bortse från ”ettan” i rotuttrycket i Ekv. 6:34 och därmed skriva:

€

CjBE = 7,14×10-11 F

€

CdiffBE = 5,54×10-10 F

€

CjBC = 2,77×10-12 F rπ = 38,7 Ω


162

€

CjBE = 7,14×10-11 F

€

CdiffBE = 5,54×10-10 F

€

CjBC = 2,77×10-12 F

IC = 100 mA Ut = 0,0259 V

€

β

ω ⋅ CjBE + CdiffBE + CjBC( ) ⋅ rπ=1

eller med lite omstuvningar:

€

ft =IC

2π ⋅ CjBE + CdiffBE + CjBC( ) ⋅Ut

Ekv. 6:36

Precis som med -3 dB-frekvensen ovan så minskar övergångsfrekvensen långsamt med ökande ström för att vara mer eller mindre konstant vid större framströmmar. Det hänger som i fallet med -3 dB-frekvensen på vilken av kapacitanserna som är störst.

Ett exempel: Med vår npn-transistor från tidigare exempel och med framspänningen 0,85 V, vid vilken frekvens har förstärkningen gått ner till ett? Den frekvensen ges av:

€

ft =IC

2π ⋅ CjBE + CdiffBE + CjBC( ) ⋅Ut.

Med insatta värden från tidigare exempel:

€

ft =0,100...

2π ⋅ 7,14…×10−11 + 5,54…×10−10 + 2,77…×10−12( ) ⋅ 0,0259 = 9,814…×108 Hz =

= 0,99 GHz

Det är viktigt att poängtera att frekvenserna ovan bara gäller för själva transistorn under speciella förhållanden. Det är ett sätt att kunna jämföra olika transistorer. När man sedan kopplar in transistorn i en krets så ges frekvensegenskaperna av transistorn tillsammans med resten av kretsen.

Med ökande frekvens så minskar förstärkningen. Det finns ett antal sätt att definiera en transistors frekvensegenskaper. En av dessa är övergångsfrekvensen, som är frekvensen där förstärkningen har gått ner till ett.

Parasiteffekter i den bipolära transistorn Med parasiteffekter menar vi processer i transistorn som påverkar förstärkningen i

transistorn på ett sätt som vi inte hade planerat enligt Ekv. 6:10. Gemensamt för alla effekter är att förstärkningen ändras med ström och bidrar därför till distorsion i ett förstärkarsteg. De flesta effekter minskar förstärkningen, men det finns även tillfällen då förstärkningen faktiskt ökar. Effekterna kan delas in i tre kategorier: Låg framström, hög framström och effekter relaterade till backspänningen av bas-kollektorövergången. Vi kommer att gå igenom de viktigaste, men det finns dessutom ett antal olika effekter som vi inte kommer att diskutera här. Earlyeffekten

En av de viktigaste parasiteffekterna är den så kallade Earlyeffekten. Den är relaterad till utsträckningen av rymdladdningsområdet på bassidan av bas-kollektorövergången. I

Bipolärtransistorn

163

UCE

IC UBE

Öka

nde

I B

Bas

Emitter Kollektor

(a) (b)

1

2

1

2

-UA

vanliga fall antar vi att utsträckningen av rymdladdningsområdet är försumbar jämfört med tjockleken på skikten. Med en tunn bas är rymdladdningsområdena i basen, speciellt mot kollektorsidan, inte försumbara där

€

WB >WB − dpBC . Det gör att den neutrala delen av basen varierar med bas-kollektorspänningen, så laddningsbärargradienten i basen ändras med spänningen. Det gör att basen effektivt är kortare och kollektorströmmen är något större för en given basström. Det innebär att förstärkningen är högre än vad vi får fram genom Ekv. 6:10. Det som är ännu viktigare är att utsträckningen ökar med ökad backspänning av bas-kollektorövergången. Det gör att utseendet på Figur 6:6 blir lite modifierat. Eftersom den effektiva utsträckningen av basen minskar med ökad backspänning av bas-kollektorövergången så kommer vi att få en svag positiv lutning på den ”plana” delen av kurvorna i figuren, en ökning av kollektorströmmen. Det visar sig att om vi extrapolerar den plana delen av kurvorna till x-axeln så kommer de att träffa samma punkt på x-axeln. Den spänningen kallas Earlyspänningen, -UA. Ett typiskt värde på Earlyspänningen är 50 till 100 V.

Figur 6:15. En illustration av ett par parasiteffekter, jämför med Figur 6:6. a) Vid en ökning av bas-kollektorspänningen så ökar utarmningsområdets utsträckning och minskar den neutrala delen av basen. Gradienten i minoritetsladdningsbärarkoncentration i basen blir därmed större, vilket leder till en större kollektorström. Det gör att kollektorströmmen ökar med ökande backspänning och de tidigare plana områdena av kollektorström som funktion av bas-kollektorspänning kommer att ha en lutning. Om man extrapolerar dessa områden så kan man definiera en skärningspunkt med x-axeln. Det visar sig att alla linjer kommer att sammanstråla till en punkt, -UA, Earlyspänningen. Den är oberoende av basströmmen. Det innebär att förstärkningen varierar med kollektor-emitterspänningen. Figuren visar dessutom en ökning av kollektorströmmen när bas-kollektorspänningen resulterar i ett elektriskt fält som överstiger ett kritiskt värde. Det leder till lavingenombrott, vilket ökar kollektorströmmen. Detta ökar också förstärkningen för en given basström.

Eftersom kollektorströmmen beror på bas-kollektorspänningen så kan vi definiera en utgångsresistans, rut. Den definieras som derivatan av spänningen med avseende på strömmen:

€

rut =dUCEdIC

Ekv. 6:37

Om vi har det flata utseendet på ström-spänningskurvan som i Figur 6:6, där strömmen är oberoende av spänningen är utresistansen oändligt stor. Om vi däremot har en kurva


164

som ser ut som i Figur 6:15, där strömmen ökar med ökande kollektor-emitterspänning kommer derivatan i Ekv. 6:37 att vara mindre än oändlig. Vi får alltså en ändlig utresistans. Eftersom vi kan approximera att strömmen ökar linjärt med ökad spänning blir derivatan helt enkelt lutningen på kurvan:

€

rut =UCE +UAIC − 0

=UCE +UA

IC

Ekv. 6:38

Det innebär att utresistansen ökar med ökande Earlyspänning. Det verkar rimligt, eftersom en större Earlyspänning betyder att skärningspunkten med x-axeln ligger längre bort från origo. Det i sin tur betyder ju en mindre lutning på strömkurvan. Med en ändlig utresistans behöver vi modifiera hybrid-π-modellen med att lägga in utresistansen. Det är gjort i Figur 6:16.

Figur 6:16. I den fullständiga bilden av hybrid-π-modellen har vi lagt till en utresistans i transistorn mellan kollektor och emitter. Utresistansen är i huvudsak orsakad av Earlyeffekten som innebär att strömmen ökar linjärt med ökande bas-kollektorspänning, enligt Figur 6:15. Jämför med Figur 6:13 utan Earlyeffekten, där Rut=∞.

Ett exempel: Hur stor är Earlyspänningen för npn-transistorn i tidigare exempel? För att beräkna Earlyspänningen behöver vi använda två värden på bas-kollektorspänningen. Vi väljer därför -10 V och -20 V. Dessutom behöver vi ta hänsyn till utsträckningen på rymdladdningsområdena i basen. Utsträckningen på emittersidan av basen ges av:

€

dpBE =2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅NAB

⋅ UbiBE −UBE( )⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

, vilket med insatta värden ges av:

€

dpBE =2 ⋅11,8 ⋅8,85 ×10−12

1,602 ×10−19 ⋅1024⋅ 1,01…− 0,85( )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 1,461…×10-8 m = 0,015 µm

Utsträckningen på kollektorsidan av basen ges av:

€

dpBC =NDCNAB

⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅NDC

⋅ UbiBC −UBC( )⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

, vilket med insatta värden ger:

-10 V:

€

dpBC =1024

1023⋅

2 ⋅11,8 ⋅8,85 ×10−12

1,602 ×10−19 ⋅1023⋅ 0,89… +10( )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 3,7711…×10-8 m = 0,038 µm

-20 V:

€

dpBC =1024

1023⋅

2 ⋅11,8 ⋅8,85 ×10−12

1,602 ×10−19 ⋅1023⋅ 0,89…+ 20( )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 5,2225…×10-8 m = 0,052 µm

Rπ Rut RL

RB CjC

CjE CdiffEmitter

Bas Kollektor

UBE

⋅gm

€

NAB = 1,0×1024 m2

€

NDC = 1,0×1023 m2

WB = 1,0×10-6 m µn = 0,135 m2/Vs A = 1,0×10-6 m2 Ut = 0,0259 V UBE = 0,77 V UBC = -10/-20 V ni = 1,0×1016 m-3 e = 1,602×10-19 As εSi = 11,8 ε0 = 8,85×10-12 F/m

Bipolärtransistorn

165

Den neutrala delen av basen är alltså lite kortare än den fysiska utsträckningen av basen, WB. Det gör att strömmen ökar

med ökad bas-kollektorspänning. Strömmen ges av:

€


2

WB − dpBE − dpBC( ) ⋅NAB⋅e

UBEUt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ . Med insatta värden ger

det:

-10 V:

€

IC =1,602 ×10−19 ⋅10−8 ⋅ 0,0259 ⋅ 0,135 ⋅1032

1− 0,015 − 0,038( ) ×10−6 ⋅1024⋅e

0,850,0259⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,1058… A = 106 mA

-20 V:

€

IC =1,602 ×10−19 ⋅10−8 ⋅ 0,0259 ⋅ 0,135 ⋅1032

1− 0,015 − 0,052( ) ×10−6 ⋅1024⋅e

0,850,0259⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0,10746… A = 107 mA

Lutningskoefficienten ges av:

€

κ =I2 − I1

VCE2 −VCE1. Spänningarna som vi använder är VBE - VBC. För våra två spänningar

och strömmar är lutningen:

€

κ =0,107…− 0,106…20,85 −10,85

= 0,00016447… Vi kan nu använda lutningskoefficienten för att

bestämma Earlyspänningen som är linjens skärning med x-axeln:

€

κ =I1

VCE1 −VA eller

€

VA =I1κ−VCE1

, vilket med

insatta värden ger:

€

VA =0,106…

1,6 ×10−4−10,85 = 632,49… = 630 V

”Punch-through”

”Punch-through” eller genomslag i basen är extremfallet av Earlyeffekten. Med ökande backspänning av bas-kollektorövergången blir den neutrala delen av allt mindre. För en tillräckligt hög bas-kollektorspänning kommer den neutrala delen att försvinna och de två utarmningsområdena kommer att överlappa. Det gör att basen är kortsluten ur kollektorströmmens synvinkel och vi riskerar en mycket stor kollektorström. För att undvika den här effekten måste basen vara relativt högdopad eller relativt tjock. Båda dessa effekter påverkar försträkningen negativt.

Genombrott i bas-kollektorövergången

Genombrott i bas-kollektorövergången är en effekt som ökar kollektorströmmen för en given basström är när kollektor-emitterspänningen blir så stor att det elektriska fältet i övergången överstiger det kritiska fältet för genombrott. Som vi minns från diodkapitlet så finns det två typer av genombrott, Zenergenombrott och lavingenombrott. För att få ett Zenergenombrott så ska vi ha ett mycket kort rymdladdningsområde och det kräver en hög dopning på båda sidor av övergången, vilket är mer troligt i bas-emitterövergången. Eftersom den är framspänd får vi inga genombrott i den övergången i normal mod, vare sig Zener- eller lavingenombrott. Däremot kan vi få ett lavingenombrott i den backspända bas-kollektorövergången. Det betyder att elektronströmmen kommer att multipliceras och kollektorströmmen kommer att öka kraftigt. Det gör att den plana delen av ström-spänningskurvan i Figur 6:6 kommer att öka kraftigt när spänningen överstiger ett kritiskt värde, vilket är illustrerar i Figur 6:15. Samtidigt kommer emitterströmmen att få samma tillskott p.g.a. att de hål som genereras vid lavingenombrottet kommer att gå till emitterkontakten. Det som är viktigt i sammanhanget är att basströmmen är oförändrad.


166

Det medför att förstärkningen ökar, men återigen är det en förstärkning som beror på de yttre spänningarna.

Rekombinationsström i bas-emitterövergången

I kapitlet om dioder introducerade vi begreppet idealitetsfaktorn. Den används för att beskriva strömmens beroende på framspänningen där exponentialtermen är:

€

eUam⋅Ut

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

För normala strömmar, där strömmen bestäms av koncentrationsgradienterna i bas respektive emitter så är m=1, och vi har en ren diffusionsström. Vid låg framspänning så kommer vi ihåg att en del av laddningsbärarna rekombinerar i rymdladdningsområdet och strömmen bestäms i huvudsak av antalet laddningsbärare som rekombinerar. Eftersom varje hål ”äter up” en elektron kommer vi att ha samma flöde av elektroner från emittern mot basen som flödet av hål från basen mot emittern. I första approximationen är ju förstärkningen i transistorn kvoten mellan elektronströmmen och hålströmmen, så när vi har en ren rekombinationsström kommer vi att ha en förstärkning på ett. Egentligen är det värre än så, eftersom inga elektroner kommer över i basen så får vi ingen kollektorström alls, bara den försumbara backström som genereras av backspänningen i den backspända bas-kollektorövergången.

När vi ökar basströmmen något så börjar elektroner ta sig igenom rymdladdningsområdet och vi får en kollektorström. Så länge en tillräckligt stor del av hålen rekombinerar i rymdladdningsområdet kommer basströmmen att vara större än motsvarande ren diffusionsström för en given spänning. Det betyder att trots att den delen av elektronerna som rekombinerar är försumbar så kommer förstärkningen att vara mindre än idealt, eftersom basströmmen är större än tänkt.

Högnivåinjektion i basen

Det är inte bara vid låga framspänningar som strömmarna avviker från de ideala diffusionsströmmarna. Även vid höga strömmar har vi avvikelser. Det handlar om högnivåinjektion, d.v.s. när koncentrationen av injicerade minoritetsladdningsbärare är i samma storleksordning som majoritetsladdningsbärarna. Det innebär att strömmen ökar exponentiellt med UBE/2 och inte UBE. Det hade inte varit ett så stort problem om bas-emitterövergången hade varit en symmetrisk övergång. Då hade högnivåinjektionen inträffat samtidigt i basen och i emittern. Visserligen hade vi då råkat ut för att strömmarna inte hade öka lika mycket med bas-emitterspänningen, men det hade inte påverkat strömförstärkningen. Nu är ju just skillnaden i dopningskoncentration en viktig del av designen av bas-emitterövergången. För att få en förstärkning behöver vi en lägre dopningskoncentration i basen än emitter, enligt Ekv. 6:10. Det medför att vi når högnivåinjektion i basen vid en lägre spänning än den för att nå högnivåinjektion i emitter. I en region av bas-emitterspänning kommer därför kollektorströmmen att öka med exponenten av UBE/2, medan basströmmen fortfarande ökar med exponenten av UBE.

Bipolärtransistorn

167

Kollektorströmmen ökar långsammare än basströmmen, vilket minskar strömförstärkningen och förstärkningen är beroende av yttre spänningar. Figur 6:17 visar hur förstärkningen varierar med ökande kollektorström.

Figur 6:17. En skiss över parasiteffekter relaterade till idealitetsfaktorn (m) hos strömmarna i bas-emitterövergången. Till vänster har vi strömmarna och till höger har vi förstärkningen. Vid låg framspänning dominerar rekombinationsström och kvoten mellan strömmarna är ett. Med en ökning av spänningen börjar kollektorströmmen att vara diffusionsström, medan basströmmen fortfarande är en rekombinationsström. Vid högre spänning är båda strömmarna orsakade av diffusion och vi har ”rätt” förstärkning. Med ökande spänning når vi först högnivåinjektion i basen, vilket gör att kollektorströmmen ökar långsammare än basströmmen och förstärkningen minskar. Vid ännu högre spänning når vi högnivåinjektion i emittern och även basströmmen ökar långsammare, vilket medför att förstärkningen stabiliseras på en lägre nivå.

Kvasibottning Kvasibottningen refererar till den bottnade arbetsmoden, där båda övergångarna är

framspända. ”kvasi” betyder i det här fallet att själva bas-kollektorövergången blir framspänd trots att spänningen mellan bas- och kollektorkontakten borde generera en backspänd övergång. Orsaken är serieresistansen i kollektorn,

€

RSC . När kollektorströmmen flyter genom den neutrala delen av kollektorn så sker det med driftström, även om det elektriska fältet är betydligt lägre än i själva övergången. När det går en driftström så betyder det att vi får ett spänningsfall. I vanliga fall brukar vi kunna bortse från detta spänningsfall. Spänningsfallet, UC, över kollektorn ges av

€

UC = RSC ⋅ IC . Eftersom strömmen går från kontakten till övergången kommer övergången att ha en lägre spänning än kontakten. Vi definierar spänningen över själva övergången som U’BC och spänningen mellan de yttre kontakterna som UBC så ges den av:

€

U'BC =UBC + RSC ⋅ IC Ekv. 6:39

Nu ska vi komma ihåg att IC>0 och att vi vill att UBC < 0. När vi ökar kollektorströmmen kan vi komma i ett läge där

€

RSC ⋅ IC > −UBC d.v.s.

€

U'BC > 0, d.v.s. där bas-kollektorövergången inte längre är backspänd. Orsaken till att det kan hända är att kollektorströmmen inte genereras av bas-kollektorövergången utan av bas-emitterövergången. Det som gör det till en parasiteffekt är att den nu svagt framspända bas-kollektorövergången ger en liten hålström från bas till kollektor. Det ökar den totala basströmmen utan att ge motsvarande ökning av kollektorströmmen. Det ger i slutänden en lägre förstärkning. Framspänningen av bas-kollektorövergången beror på

Log(I)

UBE UBE

IC

IB

!

(1) (2) (3) (4) (5)


168

kollektorströmmen, vilket gör att den extra basströmmen och därmed förstärkningen varierar med yttre spänningar.

Tillverkning av bipolärtransistorer Tillverkningen av den bipolära transistorn liknar i mycket tillverkningen av dioder i

integrerade kretsar. Den stora skillnaden ligger i att man behöver tre olika skikt och två olika masker. Om vi utgår från ett substrat så utgör det den lågdopade kollektorn. Ett första litografisteg definierar basens area och placering. En första implantering ger dopningskoncentrationen i basen och på vilket djup bas-kollektorövergången ligger. Det andra litografisteget definierar arean av emittern och den tillhörande implanteringen ger dopningskoncentrationen i den högdopade emittern och djupet på bas-emitterövergången. Även om det bara rör sig om en skiss så finns det viktiga indikationer i Figur 6:18. En är vilken area som egentligen är transistorns area. Det är inte helt uppenbart att det är arean hos emittern, men så länge basens tjocklek är mindre än avståndet mellan kollektorn och emittern vid ytan så kommer koncentrationsskillnaden mellan de två övergångarna ge en större laddningsbärargradient vertikalt än horisontellt i basen i figuren. Det ger en betydligt lägre ström horisontellt och vi kan bortse från den delen av strömmen. Strömmen definieras alltså vinkelrätt mot ytan.

Figur 6:18. a) Tillverkningen av en bipolär transistor är en fortsättning på tillverkningen av en diod som beskrevs i ett föregående kapitel. Det första litografisteget och implanteringen definierar basen. b) en andra mask och implantering definierar emittern. c) Efter avlägsnandet av masken kan man göra kontakter till de tre områdena i transistorn.

Figur 6:19 visar en elektronmikroskopibild av en bipolär transistor i en integrerad krets. Den motsvarar att vi tittat uppifrån på transistorn i Figur 6:18. I en integrerad krets har man inte några trådar som kontaktar de tre delarna av transistorn, utan istället har man ett mönster av metall som ligger ovanpå hela kretsen. Den ser ut som ett kretskort i miniatyr. I den här kretsen består mönstret av aluminium. I bilden kan man identifiera metallmönstret som de mörkare fälten med vita prickar i. Transistorn består av tre rektanglar inuti varandra. Den inre är emittern, omgiven av basen som i sin tur är omgiven av kollektorn. Alla skikt täcks av en isolator som till viss del är själva masken för implanteringen. Den har sedan tagits bort där metallmönstret är i kontakt med de tre skikten. Det kan ses som en rektangel i var och en av de tre metalledarna.

Bipolärtransistorn

169

Figur 6:19 En elektronmikroskopbild av en bipolär transistor i en integrerad krets. Själva transistorn är markerad med en streckad rektangel. Den rektangeln indikerar också kollektorns utsträckning. Ytterligare två rektanglar kan ses i bilden. De motsvarar basen (yttre) och emittern (inre). Dessutom kan man se ett antal mörkare fält med vita fläckar på. Det är metallmönstret som ligger ovanpå kretsen. Där metallen ligger över de tre delarna av transistorn kan man se rektanglar. Dessa indikerar var metallen kontaktar de tre delarna.

Sammanfattning av den bipolära transistorn Den vanligaste halvledarkomponenten som används som förstärkande element är den

bipolära transistorn. Den består av två stycken pn-övergångar, en mellan bas och emitter och en mellan bas och kollektor. Transistorn fungerar normalt genom att den ena övergången är framspänd och genererar en ström och att den andra är backspänd och samlar upp strömmen från den framspända övergången. I den framspända bas-emitterövergången injiceras en stor mängd laddningsbärare från emitter till basen, som sedan tar sig över den backspända bas-kollektorövergången. Det här är kollektorströmmen. Samtidigt injiceras ett litet antal laddningsbärare av motsatt typ från bas till emitter. Det här är basströmmen. Det innebär att en liten ström in på basen drar med sig en mycket större (förstärkt) ström genom kollektorn. En förutsättning för förstärkningen är att spänningskällan kan leverera den förstärkta strömmen.

För att transistorn ska fungerar måste alltså bas-emittern vara framspänd och bas-kollektorn vara backspänd. Det är en arbetsmod som kallas normal eller aktiv mod. Om vi istället låter bas-emittern vara backspänd och bas-kollektorn framspänd så har vi inverterat transistorn och i den här inverterade moden är förstärkningen betydligt lägre än i den aktiva moden. Det beror på dopningskoncentrationerna och geometrin i transistorn. I den strypta moden är båda övergångarna backspända och de enda strömmar som finns är backströmmar, vilka är försumbara i sammanhanget. Det går i princip inga strömmar i transistorn, därav beteckningen strypt. Den mest komplicerade arbetsmoden är den bottnade moden där båda övergångarna är framspända. Det enda som är givet är att basströmmen har samma riktning som i den normala moden. Däremot beror riktningen på kollektorströmmen på vilken av övergångarna som är mest framspänd. Om det är bas-emittern så går strömmen i normal riktning men om det är bas-kollektorn så går strömmen i motsatt riktning. I den här moden är basströmmen större än i normal mod medan

Emitter

Kollektor

Bas


170

kollektorströmmen i stort sett är oförändrad, vilket gör att förstärkningen är lägre än i normal mod. Därav beteckningen bottnad.

I verkliga transistorer kan den ideala förstärkningen påverkas av parasiteffekter. Gemensamt för alla effekter är att förstärkningen avviker från den ideala förstärkningen. Dessutom varierar förstärkningen med de yttre spänningarna. Vid låga strömmar är inte strömmen en ren diffusionsström utan en del av laddningsbärarna rekombinerar i rymdladdningsområdet mellan bas och emitter, vilket innebär att en del av basströmmen äts upp utan att ge upphov till motsvarande kollektorström och förstärkningen blir lägre än idealfallet. Även vid höga strömmar förekommer det parasiteffekter. En effekt som minskar förstärkningen är högnivåinjektion, där kollektorströmmen ökar långsammare än basströmmen med ökande bas-emitterspänning, viket leder till minskad förstärkning. Andra effekt som minskar förstärkningen är kvasibottning som orsakas av serieresistansen i kollektorn och kortslutning av basen. Det finns dessutom effekter som ökar förstärkningen. En effekt som alltid finns är Earlyeffekten, som beror på att utsträckningen av den neutrala delen av basen ändras med backspänning av bas-kollektorövergången. En mer drastisk effekt är lavingenombrott i bas-kollektorövergången, vilket ökar förstärkningen med ökande basström.

Den bipolära transistorn kan i normal mod approximeras med hybrid-π-modellen, där alla resistanser, kapacitanser och transkonduktansen finns med. Det är viktigt att komma ihåg att det rör sig om en småsignalmodell, viket betyder att man tittar på små förändringar kring ett statiskt tillstånd. Det handlar t.ex. om en liten modulation av en stor kollektorström, ju mindre modulation desto bättre är approximationen. Småsignalresistanser finns på ingången mellan bas och emitter och på utgången mellan kollektor och emitter. Dessutom finns det serieresistans i både bas och kollektor. Kapacitanser finns både i form av utarmningskapacitans i båda övergångarna och som diffusionskapacitans i bas-emitterövergången. Den sista parametern är transkonduktansen som talar om hur kollektorströmmen ändras med bas-emitterspänningen.

Hybrid-π-modellen används ofta för att få fram den bipolära transistorns frekvensegenskaper. En av de viktigaste frekvenserna för en transistor är den så kallade övergångsfrekvensen som talar om när strömförstärkningen har gått ner till ett vid kortsluten utgång.

- 171 -

7. MOSFET

n av de viktigaste komponenterna i dagens elektronik är en typ av transistor som kallas MOSFET, efter den engelska beteckningen ”metal-oxide-semiconductor field-effect

transistor”, eller metalloxidhalvledar-fälteffekttransistor. Den första delen av beteckningen beskriver strukturen. Vi har en halvledare med en oxiderad yta som har en metallkontakt ovanpå. I princip ser MOSFETen ut som en kondensator, där ena plattan är av metall och den andra är en halvledare. Plattorna är isolerade från varandra med en oxid som fungerar som en isolator. Den andra delen av beteckningen, fälteffekt, är kanske inte lika självklar. Man kan förledas att tro att det rör sig om en transistor som kan hantera stora effekter. Istället rör det sig om en fälteffekt, där man får transistorverkan med hjälp av ett elektriskt fält vinkelrätt mot strömriktningen i transistorn. Ganska ofta rör det dig om transistorer som inte hanterar några större strömmar eller spänningar. En typisk tillämpning är digitala kretsar, där man vill ha så små strömmar som möjligt. Historiskt har MOSFETen framförallt haft sämre frekvensegenskaper än de bipolära transistorerna. Eftersom MOSFETarna är lite enklare att tillverka och därmed billigare så finns det stora drivkrafter för att förbättra även MOSFETens frekvensegenskaper.

E


172

Figur 7:1. a) visar en enkel krets med en likspänningskälla (batteri) och en kondensator. Kondensatorn är en plattkondensator. Om vi tittar lite närmare på vad som händer med laddningsfördelningen på plattorna så ser vi att den plattan som är kopplad till minuspolen får extra negativ laddning, d.v.s. elektroner på ytan. Den andra plattan får istället positiv laddning på sig, d.v.s. hål. I b) vi byter ut den ena plattan i kondensatorn mot en p-typ halvledare. Om vi lägger en negativ spänning på plattan kommer vi att attrahera extra hål vid ytan på halvledaren. Här blir alltså hålkoncentrationen större än i resten av halvledaren. Om vi däremot lägger en positiv spänning på plattan så kommer vi att få en ansamling av elektroner vid ytan. Lägger vi på en tillräckligt hög spänning kan vi få en situation där vi har fler elektroner än hål vid ytan. Vi har i skapat ett tunt skikt av n-typ material vid ytan. Vi har en kanal av n-typ. Det är det här som kallas för fälteffekten.

Som vanligt börjar vi med en lite enklare förklaring till hur MOSFETen fungerar för att senare ge en mer ingående diskussion i resten av kapitlet. För att förstå hur MOSFETen fungerar, så går vi tillbaka till kondensatorn. Om vi lägger på en spänning över en plattkondensator så får vi positiv laddning på plattan som är kopplad till pluspolen och negativ laddning på plattan som är kopplad till minuspolen. Det är illustrerat i Figur 7:1(a). Om vi byter plats på plus och minus så byter vi också plats på laddningen. Det är också så att en ökning av spänningen medför en ökning av laddningen på plattorna. Om vi byter ut den ena plattan mot en halvledare, t.ex. en p-typ halvledare så händer samma sak. Om vi lägger en positiv spänning på halvledaren så får vi en positiv nettoladdning vid dess yta. Det gör att vi får en ökning av hålkoncentrationen vid ytan, Figur 7:1 (b). Det här kallas för ackumulation, eftersom vi ackumulerar extra hål i p-typ materialet. Hålen kommer från resten av halvledaren. Om vi istället lägger på en negativ spänning på halvledaren så får vi extra negativ laddning. Det sker i första hand genom att vi stöter bort de rörliga hålen vid ytan och då består den negativa laddningen av joniserade acceptorer precis som i rymdladdningsområdet på en diod. Det är inte så intressant, eftersom acceptorerna inte är rörliga, och vi har en ökad resistivitet i skiktet nära ytan. Om den negativa laddningen däremot består av rörliga elektroner så är det mer intressant. Vid tillräckligt hög spänning kan vi få ett skikt nära ytan som har fler elektroner än hål. Vi har bytt från p-typ till n-typ, vi har inverterat laddningsbärartypen. Det kallas därför inversion. Vi får ett skikt med inverterad laddningsbärarkoncentration och skiktet närmast ytan brukar kallas inversionskanal. I den fortsatta diskussionen antar vi att vi har ett p-substrat, även om man mycket väl kan ha ett n-typ substrat. Eftersom vi har inverterad laddningbärartyp på ytan så kallar man en MOSFET på p-typ substrat för n-MOS och på n-typ substrat för p-MOS.

(b) (a)

p-typ halvledare

Plattor

MOSFETen

173

Figur 7:2. a) visar hur en MOSFET ser ut i genomskärning. Ett p-typ substrat har två kontakter av n-typ, source och drain. Ovanför området mellan kontakterna ligger en metallkontakt ovanpå en isolator, gate. Isolatorn är oftast ett oxidskikt. Från source till drain ligger det i princip två motriktade dioder och ingen ström kan flyta mellan source och drain. b) Under normala arbetsförhållanden ligger det en positiv spänning på gaten jämfört med source (UGS>0). Vid tillräckligt hög spänning (UGS>Uth) skapas en (n-typ) inversionskanal mellan drain- och sourcekontakterna som beter sig som en resistor mellan n-kontakterna. Det gör att vi genom att lägga en spänning mellan kontakterna kan få elektroner att flyta i kanalen med driftström. I (c) har vi högre spänning på drain (UDS>0) och elektroner rör sig från source till drain (i pilens riktning), d.v.s. strömmen flyter från drain till source.

Nästa steg är att vi gör två kontakter till den här inversionskanalen för att kunna skicka in och ta ut laddning i kanalen. Det är illustrerat i Figur 7:2 (a) som visar en genomskärning av en MOSFET-struktur. Vi behöver en kontakt för att skicka in laddningsbärare: ”source” och en kontakt på andra sidan för att ta ut laddningsbärarna: ”drain”. Eftersom inversionskanalen vi skapar är n-typ så behöver dessa kontakter också vara n-typ. Det gör att om vi inte har någon spänning på kontakten över inversionskanalen så är den p-typ. Eftersom den här kontakten skapar inversionskanalen så kallas den för ”gate”. Om man vill hålla sig till svenska beteckningar så heter source: källa, drain: avlopp och gate: styre. ”Avlopp” gör att man ofta håller sig till engelska beteckningar även på svenska, och det kommer vi att göra i detta kompendium. Vi har en struktur som utan spänning på gaten påminner om den bipolära transistorn, en npn-struktur. En stor skillnad är att avståndet mellan de två n-skikten kan vara betydligt större än i motsvarande bipolära transistor. Det gör att vi i realiteten har en dubbeldiod, med två motriktade dioder när vi inte har någon spänning på gaten. Det gör också att det inte går någon ström genom inversionskanalen, oavsett vilken riktning vi försöker driva den i. Vi stöter på en backspänd diod hur vi än gör.Om vi däremot lägger på en tillräckligt hög positiv spänning på gaten så kan vi skapa inversionsskiktet så att vi har ett komplett n-skikt med fria elektroner från source till drain. Nu kan vi få en ström mellan de två kontakterna om vi lägger en spänning mellan source och drain. Detta är illustrerat i Figur 7:2 (c). Den minsta spänningen som behövs på gaten för att skapa inversionskanalen kallas för tröskelspänning. Vi kan nu studera vad som egentligen händer i inversionskanalen. Om vi tänker tillbaka på den korta basen i den bipolära transistorn så har vi där en koncentrationsgradient av minoritetsladdningsbärare. Kollektorströmmen ges av just den gradienten, där en ökad gradient ger en ökad ström. I en MOSFET ges strömmen av spänningsskillnaden mellan source och drain och resistansen i inversionskanalen. Om vi har ett p-substrat så har vi en högre spänning på drain än på source. Strömmen i inversionskanalen är en ren driftström, d.v.s. en ohmsk ström. För låga spänningar mellan source och drain får vi därför en i det närmaste linjär ökning av strömmen med ökande spänning mellan source och drain för en given gatespänning. Detta är illustrerat i Figur 7:3 som är en principskiss på drain-sourceströmmen. I princip är MOSFETen till skillnad från

n-typ n-typ p-typ So

urce

Dra

in

Gate

S D

(a)

UGS>0 UDS>0

(b) (c)


174

bipolärtransistorn symmetrisk. Drain och source har samma dopningskoncentrationer och riktningen och storleken på strömmen är bara beroende på spänningsskillnaden mellan source och drain. Det är viktigt att inse att det inte går någon ström genom gatekontakten, vilket skiljer MOSFETen från den bipolära transistorn.

Figur 7:3. En principskiss av strömmen mellan drain och source som funktion av spänningen mellan drain och source. För låga spänningar ökar strömmen i det närmaste linjärt med spänning (det linjära området). Vid högre spänningar mättas strömmen och blir helt oberoende av spänningen (mättnadsområdet). Vid en högre spänning mellan gate och source ökar strömmen för en given spänning mellan drain och source. I förstärkartillämpningar används oftast mättnadsområdet eftersom mättnadsströmmen ändras med spänningen på gaten. Figuren visar också strömmen som funktion av spänningen mellan gate och source för en given spänning mellan drain och source. Under tröskelspänningen så går det ingen ström. Över tröskelspänningen så kommer först mättnadsområdet för att senare gå över till det linjära området, vilket indikeras av den räta linjen.

Under normala arbetsförhållanden i analoga tillämpningar håller vi gatespänningen större än tröskelspänningen. Så länge det inte går någon ström genom inversionskanalen är det inga problem, men då är inte komponenten så intressant. Vi definierar nu strömmen från drain till source som IDS och motsvarande spänning som UDS. Som tidigare gäller att ISD = -IDS, och USD = -UDS. Samtidigt definierar vi spänningen på sourcekontakten som noll. Det är viktigt att inse att strömmen genom kanalen är en ren driftström, driven av spänningen mellan drain och source. När det går en ström genom inversionskanalen så ökar därför spänningen längs inversionskanalen från noll volt vid source till drain-source-spänningen vid drain. Spänningsökningen längs kanalen är en komplikation eftersom det innebär att spänningen mellan gate och kanal minskar ju närmare drainkontakten vi kommer. Minskad spänning innebär minskad laddningsbärarkoncentration och därmed högre resistans. Med en tillräckligt hög drain-soucespänning är spänningen mellan gate och drain mindre än tröskelspänningen. Det betyder att förutsättningen för att ha en inversionskanal vid drain-kontakten inte längre är uppfylld och Inversionskanalen når då inte ända fram till drain-kontakten. Trots det når laddningsbärarna i inversionskanalen fram till drain. Det är inte helt självklart, men det som händer är att strömmen nu blir oberoende av drain-source-spänningen. För en ökande UDS har vi alltså först en, i det närmaste linjär ökning av strömmen upp till en brytpunkt där strömmen är konstant. Det är illustrerat i Figur 7:3.

Det är viktigt att poängtera att oxidskiktet mellan gate och substrat gör att det aldrig går någon ström mellan gaten och inversionskanalen eller någon av de andra kontakterna. Det i sin tur gör att det aldrig flyter någon likström genom gatekontakten. Eftersom gaten är ena

MOSFETen

175

plattan på en kondensator kan det dock gå en växelström genom gatekontaken. Det betyder att man kan se en MOSFET som en spänningsstyrd strömkälla, till skillnad från bipolärtransistorn som är en strömstyrd strömkälla. Om man ska försöka sig på en liknelse så kan man se en MOSFET som en vattentank med en kran. Spänningen på gaten styr hur mycket kranen är öppen mellan source och drain. Hur snabbt vattnet rinner ur kranen bestäms av hur öppen kranen är, men också hur högt vattentanken ligger över kranen. Är höjden tillräckligt stor så begränsas flödet av kranen (gatespänningen - mättnadsområdet). Är höjden liten så begränsas flödet av höjden (spänningen mellan drain och source - linjära området).

Banddiagram: Inversion, flatband och ackumulation Vi kommer först att titta på vad som händer ur banddiagramsynvinkel. Även här

kommer vi att titta på n-MOS, d.v.s. på p-substrat. Därefter kommer vi att titta på formlerna som styr inversionen. Vi börjar med att titta på laddningsbärarkoncentrationerna i termer av Fermi-nivån. Vi minns att en Fermi-nivå i mitten av bandgapet betyder att vi har lika stor koncentration av elektroner i ledningsbandet som hål i valensbandet. Om vi höjer Fermi-nivån över mitten så ökar vi elektronkoncentrationen och minskar hålkoncentrationen. Om vi istället sänker Fermi-nivån så minskar vi elektronkoncentrationen och vi ökar hålkoncentrationen. Om vi utgår från ett dopat material så kan vi genom att ändra Fermi-nivån påverka förhållandet mellan elektron- och hålkoncentrationerna. Om vi t.ex. utgår från p-typ material så kan vi öka hålkoncentrationen genom att sänka Fermi-nivån. Om vi höjer Fermi-nivån så minskar vi hålkoncentrationen. Det finns nu ett par viktiga lägen på Fermi-nivån. Om vi höjer den till mitten av bandgapet så får vi intrinsiskt material där vi har samma koncentrationer av elektroner som hål. Nästa steg är att vi höjer Fermi-nivån så att den ligger lika mycket över mitten på bandgapet som den ligger under mitten i det opåverkade materialet. Det gör att elektronkoncentrationen i det påverkade materialet blir identisk med hålkoncentrationen i det opåverkade materialet. Vi har alltså inverterat förhållandet mellan elektron- och hålkoncentrationen på ytan. Det senare är precis det som händer vid tröskelspänningen.

Vi kan nu gå in på en mer detaljerad genomgång om hur en MOSFET fungerar och vi börjar med att titta på hur vi kan skapa inversionskanalen. Vi ska också titta på vad det egentligen betyder rent spänningsmässigt och hur det ser ut ur banddiagramsynpunkt.

Den stora frågan är bara hur vi kan påverka Fermi-nivån. Hittills har vi bara använt dopning för att påverka Fermi-nivån. Eftersom vi i kanalen på en MOSFET måste kunna gå från den ena till den andra typen av laddningsbärare så är enbart dopning inte en möjlig lösning. Om vi tittar tillbaka på pn-övergången i jämvikt så ser vi att vi har en sänkning av ledningsbandskanten ner mot Fermi-nivån på p-sidan av rymdladdningsområdet relativt bandkanterna. Normalt brukar vi säga att banden böjer ner mot mitten på rymdladdningsområdet, vilket är illustrerat i Figur 7:4. På p-sidan ligger Fermi-nivån normalt närmast valensbandskanten men i rymdladdningsområdet ligger den längre ifrån från valensbandskanten. Just i själva övergången till n-sidan ligger Fermi-nivån som närmast ledningsbandskanten. I en symmetrisk pn-övergång ligger Fermi-nivån i själva


176

verket mitt i bandgapet mitt i övergången. Om vi har en n+p-diod, där större delen av rymdladdningsområdet ligger på p-sidan så har vi en Fermi-nivå som ligger betydligt över mitten på bandgapet vid själva övergången. Det gäller även på den delen av p-sidan som är närmast n-sidan. Det betyder att vi har ett område på p-sidan där elektronkoncentrationen är större än hålkoncentrationen. Det kan vi se i den schematiska bilden (Figur 7:4) av banden i en n+p-diod. Om vi dessutom lägger på en positiv spänning på n-sidan så böjer banden ner ännu mer mot n-sidan. Om vi istället lägger på en negativ spänning, så böjer banden ner mindre än utan spänning.

Figur 7:4. I rymdladdningsområdet på en n+p-diod har vi en situation där n ≠ n0 och p ≠ p0. Det intressanta området är p-sidan närmast n-sidan. I ett område mellan de två vertikala linjerna i figuren ligger Fermi-nivån över mitten på bandgapet, trots att det rör sig om p-typ material. Här har vi inverterat laddningsbäraratypen från p till n-typ. Precis i övergången mellan de två materialen har vi i princip samma elektronkoncentration i p- som i n-typmaterialet.

Nu har vi grunden för hur vi kan påverka Fermi-nivån i p-typ material. Vi är dock inte framme vid någon användbar struktur ännu. Så fort vi lägger på en spänning på n-sidan i dioden så går det en ström, fram- eller backström beroende på spänningen. Helst vill vi kunna påverka bandböjningen utan att det går någon ström in i strukturen. Det kan vi göra genom att lägga på en isolator mellan p- och n-sidorna. Då kan vi lägga på en spänning mellan de två sidorna utan att det går en ström. Dessutom kan vi ha en metall istället för en n-halvledare. Observera att isolatorn inte är en intrinsisk halvledare utan det är en verklig isolator, typisk en oxid, kiseldioxid, SiO2, som har ett bandgap på 9 eV. Isolatorn har i princip inga fria laddningsbärare. Vi har då en struktur som är metall-oxid-halvledare, en MOS-struktur.

För att se vad som händer i en sådan struktur så går vi tillbaka till vår plattkondensator. Vi tänker oss först en plattkondensator med två metallplattor. Det är illustrerat i Figur 7:5 (a), där vi har lagt på en spänning över kondensatorn, minus på den vänstra plattan. En metall har en relativt hög laddningsbärarkoncentration (typiskt 1029 m-3). Det gör att det djup (i x-led) där vi ansamlar de extra elektronerna på minusplattan är mycket litet, några nm. Vi kan jämföra med rymdladdningsområdet hos en kraftigt dopad pn-övergång. Samma sak gäller för djupet på plusplattan. Här handlar det dock om att flytta bort elektroner från ytan. Den positiva laddningen består alltså av joniserade metallatomer, rymdladdning. Eftersom alla valenselektroner i metallen är rörliga så kan man jonisera

EC

Ei

EV EF

n > p p > n

n-typ p-typ

MOSFETen

177

samtliga atomer - inte bara dopatomerna som i en halvledare. Om vi tittar på var laddningen finns så ser vi att den bara finns i ett tunt skikt vid ytan på plattorna. Om vi plottar laddningskoncentrationen (ζ) längs x-axeln så får vi en negativ deltaspik i ytan på minusplatan och en motsvarande positiv deltaspik på plusplattan. Det vi kallar deltaspik är en realistisk version av en deltafunktion. Till skillnad från deltafunktionen med sin oändliga höjd och oändligt lilla bredd, har en deltaspik en ändlig höjd och en liten bredd. Den totala laddningen är lika stor på båda plattorna, men med olika tecken. Det gör att den elektriska potentialen är ganska lätt att plotta. Spänningen är konstant längs den negativa x-axeln, fram till ytan på minusplattan. Där passerar vi negativ laddning och potentialen ökar linjärt tills vi träffar på den positiva laddningen i ytan på plusplattan. Därefter är potentialen konstant igen längs den positiva x-axeln. Vi återvänder till sambandet mellan laddning, elektriskt fält och potential som vi använde i kapitlet om pn-övergången. Dessutom behöver vi definitionen att det inte finns något externt elektriskt fält, d.v.s. att fältet vid -∞ och ∞ vid är noll.

Figur 7:5. a) Visar en plattkondensator med metallplattor. Överst är den fysiska strukturen och mitten visar laddningskoncentrationerna i ytan på de två plattorna. Eftersom utsträckningen av områdena med laddning är litet så indikerar vi laddningen som pilar för att indikera en hög koncentration av laddning i ett tunt skikt närmast ytan. Den undre delen visar det elektriska fältet, som är konstant mellan plattorna och noll utanför dem. Det gör att elektronenergin är positiv till vänster, minskar linjärt mellan plattorna och är noll till höger. Vi har då definierat att elektronenergin är noll på högersidan. b) Visar hur det ser ut om vi byter ut plusplattan mot en n-typ halvledare. Laddningen på plusplattan är nu p.g.a. utarmning, vilket gör att laddningen är utsträckt över ett större område. Det betyder att vi har ett elektriskt fält som avtar linjärt från ytan. Det i sin tur betyder att vi har en skillnad i elektronenergi mellan ytan och inne i halvledarplattan. Det betyder att en del av den pålagda spänningen hamnar mellan plattorna och en del över halvledaren. Det är just detta som gör MOSFETen svår att förstå.

(a) - + ζ

x

ε

x

-q⋅U

(b) - + ζ

x

ε

x

-q⋅U


178

€

ε(x2) =ζ(x)εr ⋅ ε0

dxx1

x 2

∫ +ε(x1)

Ekv. 7:1

Som tidigare är ζ(x) laddningskoncentrationen, A är arean, ε0 är dielektricitetskonstanten i vakuum och εr är den relativa dielektricitetskonstanten. Vi antar att laddningen samlas i ett skikt vid ytan som har en utsträckning av ∂x. Med en laddning av -Q = (ζ(x)⋅∂x⋅A) på den negativa plattan ger det ett elektriskt fält mellan plattorna:

€

ε =ζ(x) ⋅ ∂xεr ⋅ ε0

=−Q

A ⋅ εr ⋅ ε0

Ekv. 7:2

Vi gör också antagandet att ζ(x) är konstant i området ∂x. Vi kan jämföra med en plattkondensator, med plattorna på ett avstånd av d från varandra:

€

QU

= C =A ⋅ εr ⋅ ε0

d ⇒ ε =

Ud

=Q

A ⋅ εr ⋅ ε0⇒ U =

Q ⋅ dA ⋅ εr ⋅ ε0

Ekv. 7:3

Vi ser att det ger samma uttryck bortsett från att vi inte får fram tecknet på fältet, eftersom kondensatorekvationen inte innehåller något tecken. Potentialen i oxiden mellan plattorna ges av:

€

U(x2) =U(x1) − ε(x)dxx1

x2∫

Ekv. 7:4

Eftersom fältet är konstant så blir spänningen mellan plusplattan och minusplattan:

€

U = −−Q

A ⋅ εr ⋅ ε0⋅ d =

Q ⋅ dA ⋅ εr ⋅ ε0

Ekv. 7:5

Vilket också stämmer med vad vi fick fram från kapacitansen, bortsett från att vi inte får fram tecknet.

Viktiga slutsatser vi får fram ur ekvationen är att det elektriska fältet är konstant mellan plattorna, riktat från plus till minus, d.v.s. negativt i vårt fall, precis som väntat. Spänningen ökar linjärt i gapet. Var vi väljer att lägga noll är godtyckligt, men vi väljer att lägga den på den högra plattan, plusplattan. Det gör att potentialen är negativ på minusplattan. Om vi istället vill titta på elektronenergin så måste vi multiplicera med -q, vilket ger en högre energi på minusplattan. Det är vad som visas i Figur 7:5.

Om vi byter ut plusplattan mot en halvledare, en n-typ halvledare, så måste vi få in laddningen +Q på plattan. Vi kan göra det genom att utarma n-materialet. Från pn-övergången kommer vi ihåg att utarmningen har en utsträckning dn, som normalt inte är försumbar. Vi kommer också ihåg från pn-övergången att det ligger en spänning över utarmningsområdet. Det betyder att den yttre spänningen över strukturen med en halvledarplatta kommer att ligga delvis över gapet (oxiden) och delvis över utarmningsområdet på halvledarplattan. Beroende på storleken på gapet (tox), den relativa

MOSFETen

179

dielektricitetskonstanten för oxiden (εox för en MOS-kondensator så kallas den oftast εox) och dopningskoncentrationen i halvledaren kommer spänningen att fördela sig olika mellan de två områdena. Det finns inga enkla sätt att ta reda på hur stor del av spänningen som ligger över halvledaren och över gapet. Tyvärr måste man räkna ut det för varje fall. Det är en av svårigheterna kring beräkningar av MOSFETar. Det kan ju liknas vid en seriekoppling av två kondensatorer, där kapacitansen för den ena kondensatorn varierar med spänningen.

Om plattan istället är en p-typ halvledare så får vi den extra positiv laddningen genom att fria hål dras till ytan. Då fungerar plattan som en metallplatta. Vi har ingen utarmning utan vi har en ansamling eller ackumulation av majoritetsladdningsbärare. På samma sätt ger en positiv spänning på metallplattan en utarmning av en p-typ halvledare och ackumulation av en n-typ halvledare.

Utseendet på bandstrukturen är mycket viktigt för att förstå MOSFETens funktion. För det första behöver vi veta att bandgapet på SiO2 (kiseldioxid) är ca 9 eV och att ledningsbandskanten ligger betydligt (flera eV) över motsvarande bandkant i Si och att valensbandskanten ligger betydligt under motsvarande bandkant i Si. Det gör att det inte är möjligt att få ut laddningsbärare från Si till SiO2,vare sig elektroner från ledningsbandet eller hål från valensbandet. Dessutom har vi en metall med en Fermi-nivå vars läge i förhållande till Fermi-nivån i halvledaren beror på vilken metall det rör sig om. I det här kompendiet gör vi en liten förenkling genom att vi kommer bara att använda två olika kombinationer. Den enklaste är att Fermi-nivån i metallen och i halvledaren ligger på samma energi. Det brukar kallas en ideal MOSFET eller ideal MOS-struktur. Det är inte helt realistiskt, men det är enkelt att visualisera och den används ofta för att illustrera olika kombinationer av spänningar på metallen. Det andra fallet vi kommer att titta på är ett exempel från verkliga komponenter. Det handlar om en gate av kraftigt p-dopat Si, där Fermi-nivån ligger på valensbandskanten. Det är den typ av gate som ofta används i många av dagens MOS-kretsar.

Ett av de viktigaste begreppen i MOSFETens bandstruktur är avståndet mellan Fermi-nivån, EF och mitten på bandgapet. Mitten på bandgapet betecknas Ei, där vi använder indexet, i, eftersom det som tidigare handlar om Fermi-nivån i en intrinsisk halvledare. Det här avståndet betecknas ΦF. Här varierar det en hel del i olika böcker hur man egentligen definierar ΦF. Vi kommer att använda enheten volt [V] och vi kommer att definiera ΦF positiv oavsett om Fermi-nivån ligger över (n-typ) eller under (p-typ) mitten på bandgapet. Om vi använder ledningsbandskanten som referens så får vi för p-typ material:

€

ΦF =Ei −EFq

=Eg2 ⋅ q

−Eg2 ⋅ q

+Ut ⋅ lnNAni

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =Ut ⋅ ln

NAni

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

Ekv. 7:6

Med energierna i eV är q = 1 eV/V, och med energierna i J är q = 1,602×10-19. För n-typmaterial ger det på samma sätt:

€

ΦF =Ut ⋅ lnNDni

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

Ekv. 7:7


180

Det som gör ΦF så viktig är att om vi flyttar Fermi-nivån med q⋅ΦF mot mitten på bandgapet så kommer vi att få ett intrinsiskt material. Om vi flyttar Fermi-nivån dubbelt så mycket, d.v.s. 2⋅q⋅ΦF så har vi precis inverterat laddningsbärarkoncentrationerna.

Figur 7:6 (a) visar bandstrukturen hos en ideal MOSFET, där Fermi-nivån i metallen och i halvledaren alltså ligger på samma energi när det inte ligger någon spänning över strukturen. En viktig observation är att energisteget mellan Fermi-nivån i metallen och ledningsbandskanten i isolatorn är konstant, oberoende av spänningen på metallen. Samma sak gäller för steget mellan ledningsbandskanten i isolatorn och ledningsbandskanten i halvledaren. Figur 7:6 (b) visar samma struktur som i (a), men med en positiv spänning på metallen. Det betyder extra positiv laddning på metallen och extra negativ laddning på halvledaren. Negativ laddning åstadkoms i första hand med hjälp av utarmning av p-typ halvledaren och vi får ett rymdladdningsområde med negativt laddade joniserade acceptoratomer. Då sänker vi Fermi-nivån jämfört med inne i halvledaren. En del av spänningen lägger sig över isolatorn som därmed har ett elektriskt fält över sig och därför lutar ledningsbandet i figuren. Samtidigt lägger sig en del av spänningen över halvledarens utarmningsområde. Hade vi lagt en negativ spänning på metallen så hade vi fått extra positiv laddning på halvledaren, vilket innebär fler hål vid ytan och det ger ingen utarmning. Det i sin tur leder till att all spänning ligger över isolatorn. Detta kallas för ackumulation eftersom vi ackumulerar extra hål på ytan, vilket visas i Figur 7:6 (c).

Ett exempel: Med en dopning med acceptorer med en koncentration av 1021 m-3, hur stort är avståndet mellan Fermi-nivån och mitten på bandgapet (ΦF) i kisel? För att beräkna ΦF så behöver vi använda Ekv. 7:6:

Med insatta värden blir det

= 0,2981… = 0,30 V

Om vi ökar dopningskoncentrationen en tiopotens så blir avståndet istället:

= 0,3578… = 0,36 V

Som förväntat ökar avståndet med ökande dopningskoncentration.

!

"F =Ut # lnNAni

$ % &

' ( )

!

"F = 0,0259 # ln 1021

1016$

% &

'

( )

!

"F = 0,0259 # ln 1022

1016$

% &

'

( )

Ut = 0,0259 V NA = 1021 m-3 ni = 1016 m-3

MOSFETen

181

Figur 7:6. a) Visar en ideal MOS-struktur utan pålagd spänning. Fermi-nivån i metallen ligger på samma energi som Fermi-nivån i p-typ halvledaren. Mellan de två ligger ett oxidskikt som fungerar som en isolator. b) Med en positiv spänning på metallen så sänks energinivån med -q⋅UG. En del av spänningen hamnar över oxiden och ger en lutning på ledningsbandet på isolatorn och en del hamnar över halvledarens utarmningsområde. Det gör att elektronkoncentrationen vid ytan är större än inne i halvledaren. c) Visar strukturen när det ligger en negativ spänning på metallen, vilket höjer energinivån. Eftersom vi nu ackumulerar hål vid ytan har vi ingen utarmning och all spänning ligger över isolatorn. Banden är fortfarande flata i halvledaren. En viktig del av figuren är energisteget mellan Fermi-nivån i metallen och ledningsbandskanten i isolatorn och energisteget mellan ledningsbandskanten i isolatorn och halvledaren. Dessa två energisteg är lika stora oavsett om det ligger en spänning över strukturen eller ej. Det är viktigt för att kunna rita banddiagrammet för en MOS-struktur. Figuren illustrerar också laddningsfördelningen i de tre fallen. Vid flatband har vi ingen laddning alls. Vid inversion har vi positiv laddning på metallen i form av joniserade metallatomer, vilket ger en deltaspik. På halvledaren har vi negativ laddning i form av joniserade acceptorer och fria elektroner i utarmningsområdet. Vid ackumulation har vi negativ laddning på metallen i form av extra elektroner och vi har positiv laddning på halvledaren i form av extra hål. Båda är i form av deltaspikar.

Figur 7:6 (b) visar hur banden böjer ner vid ytan, där området med bandböjning motsvarar rymdladdningsområdet. Eftersom det inte går någon ström mellan metall och halvledare har vi fortfarande en konstant Fermi-nivå i halvledaren. Det gör att laddningsbärarkoncentrationen vid ytan ges av var Fermi-nivån ligger i förhållande till bandkanterna. I det här fallet böjer alltså banden ner vid ytan och ledningsbandet kommer närmare Fermi-nivån, vilket ger en ökning av elektronkoncentrationen vid ytan

€

nyta( ) jämfört med inne i halvledaren

€

np0( ):

€

nyta > np0 . Samtidigt gäller

€

pyta < pp0 . Vi kan nu dela in nyta och pyta i fem olika områden, beroende på spänningen på gaten:

1)

€

nyta < np0 och

€

pyta > pp0 , d.v.s. när vi har en ackumulation av hål vid ytan av p-typ halvledaren. I det här fallet ligger all spänning över isolatorn, och ingen spänning över halvledaren, eftersom det inte finns någon rymdladdning där. 2)

€

nyta = np0 och

€

pyta = pp0 , d.v.s. när vi har samma koncentrationer vid ytan som inne i halvledaren. Det gör att bandkanterna ligger på samma avstånd från Fermi-nivån vid ytan som inne i halvledaren. Det i sig innebär att banden i halvledaren är helt flata. Det kallas därför flatband eller plattband. I den ideala MOS-strukturen är det här när vi inte har någon spänning över strukturen. När vi tittar på en verklig struktur kommer vi att se att det här inte är fallet. Ofta behöver man lägga på en spänning för att komma till flatband, vilket kallas flatbandsspänningen, Ufb.

EFS EV

EC Ei

EFM

ζ

(a)

-q⋅Uth

+ - n>np0

ζ

(b) +

-q⋅UGS

-

p>pp0

ζ

(c)

Rymdladdning


182

3)

€

ni ≥ nyta > np0 och

€

pi ≤ pyta < pp0 . Ett läge där vi har minskat hålkoncentrationen och ökat elektronkoncentrationen vid ytan, men där

€

nyta < pyta . Materialet är fortfarande p-typ även vid ytan och valensbandskanten ligger närmast Fermi-nivån vid ytan. 4)

€

nyta > ni men

€

nyta ≤ pp0 och

€

pyta < ni men

€

pyta ≥ np0 . Materialet har nu skiftat till n-typ vid ytan, vi har skapat inversion

€

nyta > pyta . Ytan är alltså n-typ, men eftersom vi har ett utarmningsområde vid ytan har vi en negativ rymdladdning som har en högre koncentration än elektronkoncentrationen. D.v.s.

€

nyta <NA− , där

€

NA− betecknar

koncentrationen av joniserade acceptorer vilket normalt är samma som koncentrationen av acceptorer. Det betyder att de flesta laddningar vi har vid ytan sitter fast och är orörliga. Ytan är fortfarande högohmig och kommer inte att vara så bra på att leda ström. Nu böjer banden ner så mycket att ledningsbandskanten ligger närmare Fermi-nivån än vad valensbandskanten gör. Vi har skapat en inversion, även om den är liten. Ibland betecknar vi detta som svag inversion. 5)

€

nyta ≥ pp0 och

€

pyta ≤ np0 . Dessutom är elektronkoncentrationen på ytan större än acceptorkoncentrationen. Materialet har nu skiftat till n-typ vid ytan, vi har skapat inversion. Eftersom den dominerande laddningen vid ytan är elektroner så brukar man kalla det här för stark eller kraftig inversion. Ledningsförmågan vid ytan är nu ungefär lika stor som inne i halvledaren. Ledningsbandskanten ligger minst lika nära Fermi-nivån vid ytan som valensbandskanten ligger i för hållande till Fermi-nivån inne i halvledaren. Koncentrationerna är beskrivna i Figur 7:7 för tre olika spänningar på gaten.

Figur 7:7. Laddningsbärarkoncentrationerna i en MOS-struktur vid olika spänningar på gaten i log-skala. Pilen indikerar elektronkoncentrationen vid ytan. a) visar fall 3 i texten ovan. Här gäller att n > ni > p vid ytan. b) visar fall 4 ovan - tröskeln för stark inversion. Här gäller att n = pn0 och p = np0. c) visar fall 5 ovan, över tröskeln till stark inversion. Här gäller att n > pn0 och p < np0.

Det finns tre lägen som är enkla att rita banddiagram för: flatband, intrinsisk yta och

tröskeln för stark inversion. Dessa är också enklare att räkna på, för då vet vi precis hur potentialen är på ytan jämfört med inne i halvledaren. För att utarma en p-typ halvledare krävs en positiv potential på ytan och för en n-typ halvledare krävs en negativ spännig på ytan. Om vi definierar absolutbeloppet av spänningen på ytan relativt inne i halvledaren som Uyta, så kan vi därifrån titta på hur stort utarmningsområde, dp, vi har. Det är samma utarmning som i utarmningen i en diod, så vi kan jämföra med utsträckningen av rymdladdningsområdet på p-sidan i en n+p-diod. Vi använder samma ekvation, men ersätter Ubi - Ua med Uyta. Det ger att vi får:

MOSFETen

183

€

dp =2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅NA

⋅Uyta

Ekv. 7:8

Som väntat ökar utarmningsområdet med ökande spänning på ytan. Dessutom ger en högre dopning ett kortare utarmningsområde för en given spänning. Över tröskelspänningen får vi ett tunt skikt med fria elektroner. I princip kommer att extraladdning från elektroner och utsträckningen på rymdladdningsområdet ökar försumbart. Det gör att vi kan approximera den maximala utsträckningen på rymdladdningsområdet, d.v.s. när UGS ≥ Uth:

€

dp =2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅NA

⋅ 2Φf

Ekv. 7:9

När vi vet utarmningsområdets utsträckning så kan vi få den totalt laddningen, Q, genom att multiplicera utarmningsområdet med arean (A), acceptorkoncentrationen (NA) och elementarladdningen (e). Då förutsätter vi att alla acceptorer i rymdladdningsområdet är joniserade, där varje acceptor bidrar med en elementarladdning. Det ger en total laddning på:

€

Q = A ⋅ dp ⋅NA ⋅ e = A ⋅NA ⋅ e ⋅2 ⋅ εr ⋅ ε0e ⋅NA

⋅Uyta = A ⋅ 2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅Uyta

Ekv. 7:10

Nu har vi laddningen på den ena plattan i den plattkondensator som metall-isolator-halvledaren utgör. Från laddningen kan vi få fram spänningen över oxiden om vi vet hur kapacitansen ser ut. Kapacitansen brukar kallas oxidkapacitans, Cox, och ges av en vanlig plattkondensator, enligt Ekv. 7:3:

€

Cox =A ⋅ εox ⋅ ε0tox

Ekv. 7:11

Då har vi infört några nya beteckningar. εox är den relativa dielektricitetskonstanten för oxiden mellan metallen och halvledaren. Dessa två är separerade med oxidtjockleken, tox.

Om vi nu kommer ihåg sambandet mellan kapacitans, laddning och spänning från t.ex. Ekv. 7:3:

€

QUox

= Cox ⇒ Uox =Q

Cox

Här är då Uox spänningen över oxiden, d.v.s. mellan plattorna i kondensatorn. Det motsvarar dock inte hela den yttre spänningen, eftersom en del av spänningen, Uyta, ligger över ytan. Med hjälp av Ekv. 7:3, Ekv. 7:10 och Ekv. 7:11 kan vi skriva om det som:

€

Uox =A ⋅ 2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅Uyta

A ⋅ εox ⋅ ε0tox

=tox ⋅ 2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅Uyta

εox ⋅ ε0

Ekv. 7:12


184

Observera att εr är den relativa dielektricitetskonstanten för halvledaren, medan εox är motsvarande för oxiden. Man brukar definiera kapacitansen per area som

€

Cox' , d.v.s.

€

Cox = A ⋅Cox' . Det gör att vi kan skriva om Ekv. 7:12 som:

€

Uox =2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅Uyta

Cox'

Ekv. 7:13

Nu kan vi få fram sambandet mellan spänningen på metallen, UGS, och spänningen på ytan, Uyta. Om vi tittar på Figur 7:8 så ser vi att både Uox och Uyta har samma tecken och är positiva. Det gör att spänningen på metallen, eller gaten ges av:

€

UGS =Uyta +Uox =Uyta +2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅Uyta

Cox'

Ekv. 7:14

Som vi har diskuterat tidigare så är det inte helt enkelt att se hur spänningen på metallen fördelar sig på oxiden och halvledaren. Om vi vill ta reda på spänningen på ytan för en given spänning på metallen så får vi lösa en andragradsekvation. Samtidigt är det oftast bara ett par lägen som är intressanta:

Figur 7:8. Med utgång från en ideal MOS-struktur ökar vi successivt spänningen, UGS, över strukturen, med plus på metallen. 1) För en viss spänning kan man få bandkanterna att ligga lika långt från Fermi-nivån vid ytan, vilket ger en rent intrinsisk laddningsbärarkoncentration på ytan, nyta = pyta = ni. Här är laddningen i metallen joniserade metallatomer, och är en deltaspik, medan laddningen i halvledaren är joniserade acceptoratomer i rymdladdningsområdet. 2) Vid en spänning (Uth) där ledningsbandet vid ytan ligger lika nära Fermi-nivån som vad valensbandet gör inne i halvledaren är nyta = pp0 och pyta = np0. Vi har då en exakt inversion av laddningsbärarkoncentrationerna vid ytan. I det här fallet är koncentrationen av joniserade acceptoratomer lika stor som koncentrationen av fria elektroner, d.v.s. hälften av de negativa laddningarna vid ytan är rörliga. 3) Fortsätter vi öka spänningen på metallen kommer ledningsbandet vid ytan att närma sig Fermi-nivån ännu mer och elektronkoncentrationen ökar ytterligare. Det gör att vi får två bidrag till laddningskoncentrationen i halvledaren, fria elektroner och joniserade acceptorer. Nu är elektron-koncentrationen större än acceptorkoncentrationen i ett tunt skikt närmast ytan. Det illustreras av en pil i laddningskoncentrationen.

EFS

EV

EC

Ei

EFM

ζ

-q⋅U

GS

-q⋅U

th

-q⋅U

GS

Ökande UGS 0 Uth

+ —

MOSFETen

185

1) När vi har flata band i halvledaren. Det sker när Uyta är noll och det innebär för den ideala MOS-strukturen att UGS också är noll. Den spänningen brukar kallas flatbandsspänningen, Ufb.

2) När ytan är intrinsisk, d.v.s. när Uyta = ΦF. Då ges UGS av:

€

UGS =ΦF +2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅ ΦF

Cox'

Ekv. 7:15

3) När vi är på gränsen till stark inversion, d.v.s. när Uyta = 2⋅ΦF. Det brukar kallas för tröskelspänningen, Uth:

€

Uth = 2ΦF +2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅ 2ΦF

Cox' = 2ΦF +

toxεox ⋅ ε0

⋅ 2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅ 2ΦF

Ekv. 7:16

Om vi analyserar Ekv. 7:16 så kan vi konstatera att den första termen är spänning på ytan som krävs för att skapa stark inversion. Den andra termen är lite mer komplicerad, men den kan förklaras i ett antal steg. Det är den del av gatespänningen som ligger över MOS-kondensatorn. Den kommer från att en spänning på 2ΦF på halvledarens yta genererar ett utarmningsområde som är

€

2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ 2Φf /e ⋅NA . Volymen av detta område ges av arean multiplicerat med utsträckningen av utarmningsområdet. Laddningen ges därför at dopningskoncentrationen gånger elementarladdningen och volymen, d.v.s.:

€

A ⋅ e ⋅NA ⋅ 2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ 2Φf /e ⋅NA . Enligt Ekv. 7:3 är spänningen över en kondensator Q/C, eller i det här fallet: Q·A/C'ox. Vi kan alltså beskriva den andra termen som en konsekvens av att en spänning över halvledarens yta ger upphov till ett rymdladdningsområde vars laddning är laddningen på ena plattan av MOS-kondensatorn. Denna laddning medför en spänning över MOS-kondensatorn.

Den yttre spänning som behövs för att skapa en inversionskanal mellan source och drain beror i första hand på dopningskoncentrationen i halvledaren. Beroendet finns både explicit i rotuttrycket i Ekv. 7:15Ekv. 7:15, men också indirekt via ΦF, som ökar med dopningskoncentrationen. Det gör att en lägre dopningskoncentration kräver en lägre spänning för att nå stark inversion. Därför brukar substratet i MOSFETen vara ganska lågt dopad. Typiskt brukar man använda 1021 m-3. Den andra viktiga termen är oxidkapacitansen, C'ox. Enligt Ekv. 7:16 så minskar tröskelspänningen med ökande kapacitans som i sin tur ökar med minskande oxidtjocklek, tox, enligt Ekv. 7:11. Det ganska lätt att inse att ju tjockare oxiden är, desto större del av den yttre spänningen lägger sig över oxiden och vi behöver en större spänning för att potentialen ska ändras på ytan. Det är en av orsakerna till att man strävar efter en så tunn oxid som möjligt.


186

Ett exempel: Hur stor är tröskelspänningen för en kisel-MOSFET med en dopningskoncentration av 1021 m-3. Antingen med en oxidtjocklek på 10 nm eller 100 nm. För att nå tröskeln för stark inversion måste vi ändra potentialen på ytan med 2⋅ΦF , vilket enligt ett tidigare exempel är 2⋅0,3 = 0,6 V. Tröskelspänningen ges av:

€

Uth = 2ΦF +2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅ 2ΦF

C'ox

Vi ser att vi behöver räkna ut oxidkapacitansen per area först. Den ges av:

€

C'ox =εox ⋅ ε0tox

Vilket med insatta värden ger:

€

C'ox =3,9 ⋅ 8,85 ×10−12

10 ×10−9 = 3,451… ×10-5 F/m2 = 35 µF/m2

€

C'ox =3,9 ⋅ 8,85 ×10−12

100 ×10−9 = 3,451… ×10-6 F/m2 = 3,5 µF/m2

Vi kan nu räkna ut tröskelspänningen:

€

Uth = 2 ⋅ 0,30 +2 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12 ⋅1021 ⋅1,602 ×10−19 ⋅ 2 ⋅ 0,30

3,451…×10−5= 0,6373… = 0,64 V

€

Uth = 2 ⋅ 0,30 +2 ⋅11,8 ⋅ 8,85 ×10−12 ⋅1021 ⋅1,602 ×10−19 ⋅ 2 ⋅ 0,30

3,451…×10−6= 1,0056… = 1,01 V

En tjockare oxid leder till att vi måste lägga på en högre spänning. Precis som väntat lägger sig en del av den pålagda spänningen över oxiden, där en tjockare oxid kräver en större spänning på gaten för att nå stark inversion.

Valet av tröskeln till stark inversion (och inte svag inversion) som den gatespänning

som öppnar kanalen kan tyckas vara godtycklig. Redan vid svag inversion har vi ju fler elektroner än hål vid ytan. Det borde ju kunna ge upphov till en ström mellan source och drain. Det finns ett par orsaker till att vi trots det använder stark inversion som kravet för att kanalen ska vara öppen. Dels handlar det om antalet tillgängliga laddningsbärare. När vi bara nätt och jämt har inverterat ytan så har vi 1016 m-3 elektroner vid ytan medan vi i en n-MOSFET med en typisk acceptorkoncentration på 1021 m-3 har en vi en lika stor koncentration av elektroner vid tröskeln för stark inversion. För en given spänning mellan source och drain har vi följaktligen en 100 000 gånger större ledningsförmåga vid tröskeln för stark inversion jämfört med tröskeln för svag inversion. En annan anan orsak är helt enkelt att vid tröskeln för stark inversion så har vi exakt lika stor koncentration av fria elektroner och joniserade acceptorer. Det betyder att under tröskeln så sitter de flesta laddningarna fast i ytan och kan inte transportera ström. Över tröskeln så är koncentrationen av fria laddningar större än de som sitter fast.

tox = 10 nm tox = 100 nm εr = 11,8 εox = 3,9 ε0 = 8,85×10-12 F/m e = 1,602×10-19 As NA = 1021 m-3 ΦF = 0,30 V

MOSFETen

187

Det finns ett antal spänningar på gaten som ger ett speciellt utseende på bandstrukturen och som har konsekvenser för hur en MOS-struktur beter sig. Det finns två spänningar som är speciellt viktiga. Vid flatband är banden i halvledaren helt platta eller flata och laddningsbärarkoncentrationen är lika stor som inne i materialet. I det här läget finns det varken ackumulation eller rymdladdning vid ytan. Vid inversion så böjer banden på ett sätt så att mitten på bandgapet på ytan ligger på andra sidan av Fermi-nivån jämfört med inne i halvledaren. Det innebär att det finns fler minoritetsladdningsbärare än majoritetsladdningsbärare på ytan.

Gate av p-typ kisel Som vi redan nämnt kan man ha ett antal olika metaller som gate på MOS-strukturen,

där metallens Fermi-nivå inte ligger på samma nivå som den i substratet. För att studera detta så behöver man införa ett antal definitioner som egentligen inte ökar förståelsen för hur en MOSFET fungerar, vilket gör att vi inte går in på dessa detaljer här. Vi tar dock ett litet steg vidare från den ideala MOS-strukturen. Men vi låser oss till en enda typ av gate, nämligen den kraftigt dopade p-kiselgaten. Dels är den relativt lätt att diskutera och dessutom används den ofta i verkliga komponenter. Det betyder att Fermi-nivån i gaten ligger vid valensbandskanten i gaten. Vi tittar nu på bandstrukturen. Precis som i pn-övergången så börjar vi med att ha valensbanden på båda sidor om oxiden på samma energi. Så ser det ut när vi har alla tre delarna utan att vara i kontakt med varandra. Om vi för ihop dem, med oxiden i mitten så vill Fermi-nivån jämna ut sig. Eftersom Fermi-nivån ligger lägre i gaten så måste vi lägga på en positiv spänning på gaten för att behålla valensbanden på samma energinivå. Det motsvarar att banden i halvledaren är flata. Nu har vi alltså en flatbandsspänning som är skiljd från noll. Flatbandsspänningen ges alltså av skillnaden mellan Fermi-nivån mellan gate och halvledare. Det är illustrerat i Figur 7:9 (a):

€

Ufb =EFS −EFM

q


188

Figur 7:9. a) Illustrerar en MOS-struktur med en gate av p-dopat kisel, där Fermi-nivån ligger vid valensbandskanten. Om vi separerar de tre områdena så linjerar valensbanden upp i de båda kiselbitarna. När vi för ihop de tre bitarna så strävar kiselbitarna att linjera upp med Fermi-nivåerna istället eftersom det då rör sig om ett system i termisk jämvikt. För att bibehålla valensbandskanterna på samma energinivå så måste vi lägga på en spänning på gaten. Eftersom det betyder en sänkning av banden i gaten så kräver det en positiv spänning på gaten. I den här situationen är banden i halvledaren flata, d.v.s. inget utarmningsområde. Inget utarmningsområde betyder inga laddningar vilket i sin tur betyder inget elektriskt fält över oxiden. b) visar samma struktur, men utan spänning på gaten. Då har vi banden högre på gatesidan än på halvledarsidan. Det betyder att vi har negativ laddning på gaten och att vi har positiv laddning på halvledaren – ackumulation. Ackumulation betyder att hela fältet ligger över oxiden. Det betyder i sin tur att oxidens ledningsband lutar mot halvledaren. Laddningen består av joniserade acceptorer på den kraftigt dopade gaten och fria hål på halvledaren, båda ger upphov till deltaspikar laddningsfördelningen.

Här måste vi komma ihåg att om vi har energin i eV så är q = 1 eV/V för att ge enheten volt. Med energin i J så är q = 1,602×10-19 As. För en gate av en kraftigt dopad p-typ halvledare, där

€

EFM = EV , ges flatbandsspänningen av:

€

Ufb =Eg2 ⋅ q

−ΦF

Ett exempel: Hur stor är flatbandsspänningen för en kisel-MOSFET med en dopningskoncentration (NA) av 1021 m-3 med en gate av p-typ kisel? Den ges av:

€

Ufb =Eg2 ⋅ q

−ΦF

Vilket med insatta värden är:

€

Ufb =1,112 ⋅1

− 0,30 = 0,2568… = 0,26 V

Den stora skillnaden mellan den här MOS-strukturen och den ideala är att det krävs en

spänning på gaten för att banden i halvledaren ska vara flata. Det kan ses i Figur 7:9. I jämvikt, d.v.s. utan någon spänning på gaten så har vi laddning både på gaten och på halvledaren. Det ligger då en spänning över oxiden. Den motsvarar skillnaden i Fermi-nivå mellan gaten och halvledaren. Man kan jämföra med den inbyggda spänningen som uppkommer p.g.a. skillnaden i Fermi-nivå mellan n- och p-sidan. Det kan man se i Figur

ΦF = 0,30 V NA = 1021 m-3 q = 1 eV/V

EFS EV

EC Ei

EF

(a) (b)

-q⋅Ufb

+ -

ζ ζ

EC

M

MOSFETen

189

7:9 (b) där banden i isolatorn lutar mot halvledaren. Ett lutande band betyder att det finns ett elektriskt fält. I Figur 7:9 (a) kan man se det genom att Fermi-nivån i gaten ligger lägre än den i halvledaren. En skillnad i Fermi-nivå innebär att det ligger en yttre spänning över strukturen.

För att ta hänsyn till skillnaden i Fermi-nivå så behöver modifiera Ekv. 7:14 och Ekv. 7:16 för flatbandsspänningen:

€

UGS =Ufb +Uyta +2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅Uyta

Cox'

Ekv. 7:17

och tröskelspänningen ges nu av:

€

Uth =Ufb + 2ΦF +2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅NA ⋅ e ⋅ 2ΦF

Cox'

Ekv. 7:18

Det här är en mer generella ekvation för tröskelspänningen än Ekv. 7:16. Visserligen har vi bara använt en speciell typ av gate för att härleda Ekv. 7:18, men den fungerar beroende av skillnad i Fermi-nivå mellan gate och halvledare. Den fungerar dessutom för den ideala MOS-strukturen genom att Ufb = 0.

Kapacitansen i MOS-strukturen Hela MOS-strukturen är en plattkondensator som vi kan se i t.ex. Figur 7:5. Vilken

spänning vi än lägger på gaten har vi en plattkondensator, med kapacitansen Cox. Den kapacitansen har vi stött på redan tidigare i detta kapitel, men vi skriver upp den igen.

€


Ekv. 7:11

Så fort det finns ett utarmningsområde vid ytan på halvledaren så finns det en utarmningskapacitans där, precis som i pn-övergången. Den finns alltså så fort vi har en spänning på gaten som överstiger flatbandsspänningen, Ufb. Den kapacitansen är en småsignalkapacitans, som beror på spänningen på ytan, Uyta. CD (D för depletion) ser ut precis som utarmningskapacitansen hos en n+p-diod. Kapacitansen ges av:

€

CD =A ⋅ εr ⋅ ε0dp

=A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NA

2 ⋅Uyta

Ekv. 7:19

Som tidigare är den maximala utsträckningen av rymdladdningsområdet när ytan har spänningen 2⋅ΦF, vilket motsvarar det minsta värdet på kapacitansen. Det känns kanske lite underligt, men om vi tänker på att ett kort rymdladdningsområde betyder litet gap mellan plattorna i kondensatorn som utarmningsområdet utgör. Det i sin tur betyder en hög kapacitans, som minskar med ökande utsträckningen på rymdladdningsområdet. De två kapacitanserna ligger i serie, till skillnad från kapacitanserna i dioden som ligger parallellt.


190

Att de ligger i serie kan man se på att den ena delen av spänningen ligger över oxiden och den andra över ytan på halvledaren. Därför summeras kapacitanserna till den totala MOS-kapacitansen för MOS-strukturen, CMOS:

€

1CMOS

=1Cox

+1CD

Eller om vi skriver om det lite:

€

CMOS =Cox ⋅CDCox + CD

Ekv. 7:20

Om vi tänker lite på vad det innebär så kan vi se att produkten av två termer dividerat med summan av termerna alltid är mindre än eller lika med hälften av den största termen. Om den ena termen är mycket större än den andra så blir kvoten lika med den mindre av termerna. Om termerna är lika stora är kvoten hälften av kapacitanserna. Ekv. 7:20 gäller alltså bara när det finns utarmning i halvledaren, annars är den totala kapacitansen identisk med Cox, d.v.s. Ekv. 7:11. Den högsta spänning där vi inte har något utarmningsområde motsvarar flatbandsspänningen. Över denna spänning börjar vi få ett utarmningsområde och en kapacitans, initialt mycket hög kapacitans. Med ökande spänning minskar CMOS gradvis. Om vi antar att utarmningskapacitansen vid stark inversion är samma storleksordning som oxidkapacitansen kommer CMOS att vara mindre än Cox. Figur 7:10 visar hur kapacitansen ändras med gatespänningen för en MOS-kondensator.

Ett exempel: Hur stor är oxidkapacitansen och utarmningskapacitansen vid tröskeln till stark inversion för en ideal MOSFET av kisel, dopad med 1021 m-3? Kanallängden (L) är 100 µm och kanalbredden (Z) är också 100µm. Oxidtjockleken är 10 nm eller 100 nm.

Oxidkapacitansen ges av:

€


10 nm oxid:

€

Cox =100 ×10−6( )

2⋅ 3,9 ⋅ 8,85 ×10−12

10 ×10−9 = 3,451…×10-11 F = 35 pF

100 nm oxid:

€

Cox =100 ×10−6( )

2⋅ 3,9 ⋅ 8,85 ×10−12

100 ×10−9 = 3,451…×10-12 F = 3,5 pF

Utarmningskapacitansen ges av:

€

CD =A2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NA

2 ⋅ 2ΦF

Vilket med insatta värden ger:

€

CD =100 ×10−6( )

2⋅11,8 ⋅8,85 ×10−12 ⋅1,602 ×10−19 ⋅1021

2 ⋅ 2 ⋅ 0,30 = 1,184…×10-12 F = 1,2 pF

För båda oxidtjocklekarna ovan är utarmningskapacitansen mindre än oxidkapacitansen. Den totala kapacitansen ges av:

€

CMOS =Cox ⋅CDCox + CD

För 100 nm oxiden betyder det:

€

CMOS =3,5 ⋅1,23,5 +1,2

= 0,8817… = 0,88 pF

För 10 nm oxiden betyder det:

tox = 10 nm tox = 100 nm εr = 11,8 εox = 3,9 ε0 = 8,85×10-12 F/m e = 1,602×10-19 As NA = 1021 m-3 ΦF = 0,30 V L = 100 µm Z = 100 µm

MOSFETen

191

€

CMOS =35 ⋅1,235 +1,2

= 1,145… = 1,1 pF

Figur 7:10. Kapacitansen i en MOS-kondensator kan delas in i tre områden. Illustrerat här för en n-MOS. När spänningen på gaten är lägre än flatbandsspänningen ligger hela den yttre spänningen över oxiden och kapacitansen är en ren plattkapacitans, en kapacitans som är oberoende av spänning. Över tröskelspänningen så skapas ett utarmningsområde vid ytan på halvledaren och vi får en utarmningskapacitans. Vi har därför två bidrag till kapacitansen, dels plattkapacitansen och dels utarmningskapacitansen. Dessa ligger i serie och därför är den totala kapacitansen lägre än plattkapacitansen. I området mellan flatbandsspänningen och tröskelspänningen så ökar utsträckningen av utarmningsområdet, vilket medför att kapacitansen minskar med ökande gatespänning. Det gör att den totala kapacitansen också minskar.

Strömmen i MOSFETen Strömmen i en MOSFET är både enkel och komplicerad. Här kommer vi att titta på en

n-MOSFET, men härledningen är likartad för en p-MOSFET. Det är ganska invecklat att härleda strömmen, medan uttrycken för strömmen är relativt enkla. Strömmen är beroende på många faktorer, spänningen mellan drain och source; och spänningen mellan gate och source. En faktor som komplicerar strömmen är att det handlar om en driftström, d.v.s. att strömmen ger upphov till en spänningsändring på ytan längs inversionskanalen. I själva verket ligger det en högre spänning på drain än på source, vilket innebär att spänningen ökar längs kanalen från source mot drain. Det betyder att vi har starkare inversion, fler rörliga laddningsbärare, vid source än vid drain när det går en ström genom inversionskanalen. I vissa fall har vi inte ens stark inversion vid drain, men som vi kommer att se senare så kommer vi att få en ström ändå.

För att studera strömmen genom en MOSFET så är det bra att titta på bandstrukturen utan spänning mellan source och drain för olika spänningar på gaten. Figur 7:11 illustrera just en hur bandstrukturen ser ut vid olika spänningar på gaten på en ideal n-MOSFET. Utan spänning på gaten så uppvisar ledningsbandet först ett steg upp och sedan motsvarande steg ner när man går från source till kanal och till drain. Steget är för stort för att få elektroner från source till kanal. Med en liten positiv spänning på gaten, lägre än


192

tröskelspänningen, så skapas ett utarmningsområde närmast ytan mellan gate och halvledare. Steget mellan source/drain och kanal minskar, men det finns fortfarande få elektroner i ledningsbandet. Vid tröskeln för stark inversion så sänks valensbandskanten relativt source/drain med precis 2qΦF och det finns tillräckligt med elektroner i kanalen för att leda ström. Med en ännu högre spänning på gaten så sänks bandkanten ännu mer och det finns ett stort antal elektroner i kanalen.

Figur 7:11. a) visar en genomskärning av en ideal n-MOSFET med olika spänningar på gaten. Här har vi samma spänning på source som på drain, d.v.s. det går ingen ström genom kanalen. Längst upp har vi ingen spänning på gaten och vi har därför oförändrat material i ytan. Efterhand som vi ökar spänningen på gaten utvecklas först ett rymdladdningsområde vid ytan. När vi lägger på en spänning motsvarande tröskelspänningen, Uth, så får vi ett tunt skikt av elektroner vid ytan, en inversionskanal. För högre spänningar ökar skiktets tjocklek men framför allt ökar koncentrationen av elektroner dramatiskt. b) visar vad som händer med bandstrukturen vid ytan. Den översta figuren visar banddiagrammet i jämvikt, d.v.s. med UGS = 0. När det ligger en positiv spänning på gaten så sänks banden mellan gate och source. Det är sänkningen av banden som gör det möjligt att få in elektroner i kanalen, precis som det är möjligt att få elektroner från n- till p-sidan när vi framspänner en diod. I det undre banddiagrammet ligger Uth på gaten och banden mellan gate och source sänks med -q⋅2ΦF, d.v.s. spänningen på halvledarens yta vid tröskeln för stark inversion.

Figur 7:11visar också en genomskärning av en MOSFET på ett p-typ substrat med n-typ

source och drain. Under tröskelspänningen så består kanalen av p-typ material, om än utarmat i vissa fall. Det är först vid tröskelspänningen som det skapas en n-kanal. Över tröskelspänningen skapas fler elektroner i kanalen, vilket ofta illustreras med en djupare kanal. Detta trots att det egentligen rör sig om en högre koncentration i ett tunt skikt nära ytan.

Härledningen är som nämnt komplicerad och den finns bara med för att läsaren ska se var uttrycken för strömmen kommer ifrån. Det viktiga i den här sektionen är alltså resultatet av härledningen, Ekv. 7:22 och Ekv. 7:23 och deras tillämpningar. För att kunna göra en härledning av strömmen behöver vi göra några förutsättningar när det gäller spänningarna. Vi definierar spänningen på source som noll och det gör att spänningen på drain blir UDS, vilket för en MOSFET på p-substrat är positiv. Dessutom har vi inga spänningar på substratet. I komponenter kan man ibland koppla ihop source och substrat.

MOSFETen

193

Det är normalt inga principiella skillnader mellan source och drain, de brukar ha samma dopningskoncentration och storlek. Det gör att man i princip skulle kunna byta på benen i komponenten utan att få någon skillnad på strömmen. En annan förutsättning vi gör är en approximation att inversionen ger en ansamling av elektroner i ytan så att utarmningen når sitt maximum vid tröskeln till stark inversion. Det i sin tur betyder att vi kan approximera spänningen på ytan relativt inne i halvledaren, Uyta med 2⋅ΦF när vi har stark inversion. Antagandet kommer från att all extra laddning över tröskelspänningen består av elektroner, vilket inte bidrar till någon ökning av rymdladdningsområdet. Det kommer att förenkla räkningarna. Vi kommer dessutom att använda den ideala MOS-strukturen i härledningen. Det senare ger ingen inskränkning, men det minskar antalet termer att hålla reda på.

Figur 7:12 visar en principskiss med de olika definitionerna som behövs för att göra

härledningen av strömmen. Vi börjar med att definiera ett koordinatsystem där x-axeln går från gaten in i halvledaren, precis som tidigare. y-axeln ligger längs kanalen från source till drain. Spänningen i en given punkt i kanalen kommer då att ha två bidrag, ett från spänningen på gaten och ett från spänningsfallet i kanalen när det går en ström genom den. Vi kommer att anta att dessa är oberoende av varandra och att man kan summera dessa för att få spänningen i en given punkt. Spänningen på gaten kommer då att fördela sig som:

€

UGS =Uox (y) +Uyta (y) +Uy(y)

Figur 7:12. En schematisk bild av en MOSFET. För enkelhets skull har vi inte ritat in gaten eller oxiden. Avståndet mellan gate och source (kanallängden) kallas L. Bredden mellan gate och source (kanalbredden) kallas Z. För att gör en härledning av strömmen genom kanalen behöver vi definierar ett par tunna skikt. dx är ett skikt parallellt med ytan och därmed gaten. dy är ett skikt vinkelrätt mot ytan och kanalen. Koordinatsystemet ligger med x = 0 vid ytan och den positiva x-axeln in i substratet. Y-axeln ligger i riktning från source (y = 0) mot drain (y = L). Z-axeln ligger längs source.

Vi utgår då från en från plattkondensatorn, som har spänningen Uox(y) över sig. Spänningen över oxiden i en punkt, y, längs inversionskanalen vid stark inversion ges av:

L

Z

y

x

Drain Source

dy

dx

z


194

€

Uox(y) =UGS −Uy(y) −Uyta (y)

Uy(y) är spänningen som beror på spänningsändringen p.g.a. strömmen genom kanalen. Det göra att Uy(y) varierar med position, y, längs kanalen. Normalt så lägger man noll volt på source och en positiv spänning på drain. Eftersom det är spänningen i y-led, till skillnad från spänningen i x-led använder vi indexet y. Vi definierar laddningskoncentrationen som laddning per area och kallar den för Q’tot i likhet med kapacitans per area, C’. Det ger en laddningskoncentration på var platta som är:

€

Q'tot (y) = C'ox ⋅Uox = C'ox ⋅ UGS −Uy(y) −Uyta[ ]

Laddningen på halvledaren består av både rymdladdning och fria elektroner. Eftersom rymdladdningen inte bidrar till strömmen så måste vi separera den från de fria elektronerna Rymdladdning per area, Q’N, kan vi få från utarmningsområdet enligt Ekv. 7:10, som vi kan kombinera med uttrycket för tröskelspänningen, Ekv. 7:16, där Uyta = 2ΦF:

€

Q'N (y) = 2 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ e ⋅NA ⋅ 2 ⋅ ΦF = C'ox ⋅ Uth − 2 ⋅ ΦF[ ] Det gör att elektronkoncentrationen vid y är den totala laddningskoncentrationen minus rymdladdningskoncentrationen, vilket ges av:

€

Q'N (y) =Q'tot (y) −Q'N (y) = C'ox ⋅ UGS −Uy(y) −Uth + 2 ⋅ ΦF −Uyta[ ]

Med approximationen att Uyta = 2⋅ΦF vid stark inversion så får vi koncentrationen av elektroner:

€

Q'N (y) = C'ox ⋅ UGS −Uth −Uy(y)[ ] Ekv. 7:21

Vi kan konstatera att elektronkoncentrationen minskar med Uy(y), d.v.s. längs kanalen från source till drain. Under förutsättning att U(0) = 0 och U(y) > 0.

Vi gör nu ännu en förutsättning och det är att vi har samma ström i kanalen längs y-axeln, d.v.s. från drain till source. Det är ju ganska uppenbart, men det betyder att elektronerna som lämnar source kommer fram till drain och inte försvinner någon annanstans. Vi definierar också att IDS är positiv längs den negativa y-axeln. Det kommer att göra att vi behöver byta tecken på strömmen när vi räknar på den. Klart är att strömmen måste gå från den positiva drain-kontakten till sourcekontakten. En komplikation är att vi har en elektronkoncentration som varierar med avstånd från ytan (i x-led) och från sourcekontakten (i y-led), n(x,y). Strömtätheten ges som vanligt av:

€

JDS(x,y) = −e ⋅µn ⋅ n(x,y) ⋅εy (y) Minustecknet beror på att vi har definierat strömmen som positiv i negativa x-axelns riktning. Eftersom elektronkoncentrationen varierar är det inte bara att multiplicera med den totala arean som vanligt utan vi får multiplicera med z⋅dx och integrera över x från ytan (x=0) till djupet på substratet (x ≈ ∞) för att få strömmen:

MOSFETen

195

€

IDS(y) = −e ⋅µn ⋅εy (y) ⋅ Z ⋅ n(x,y)0

∞

∫ ⋅ dx

Z är bredden på kanalen. Själva integralen är (bortsett från Z) elektronkoncentrationen per ytenhet, Q’n/e. Att vi dividerar med e beror på att elektronkoncentrationen (n) multiplicerad med elementarladdningen (e) är laddningskoncentrationen (Q). Det gör att vi kan skriva om strömmen som:

€

IDS(y) = −µn ⋅εy (y) ⋅ Z ⋅Q'n

Om vi nu använder oss av definitionen på elektriskt fält,

€

ε =-dU(y)/dy, så ger det:

€

IDS(y) = µn ⋅ Z ⋅Q'n (y) ⋅dUy (y)dy

Eller

€

IDS ⋅ dy = µn ⋅ Z ⋅Q'n (y) ⋅ dUy(y)

Vi kan nu slutligen få fram strömmen genom att integrera vänsterledet över y från noll till L, och högerledet över Uy från noll till UDS:

€

IDS ⋅ dy0

L

∫ = µn ⋅ Z ⋅ Q'n (y) ⋅ dUy(y)0

UDS∫

Om vi sätter in Q’n från Ekv. 7:21 får vi:

€

IDS ⋅L = µn ⋅ Z ⋅ C'ox ⋅ UGS −Uth −Uy(y)[ ] ⋅ dUy(y)0

UDS∫ =

= µn ⋅ Z ⋅C'ox ⋅ UGS −Uth −Uy2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅Uy

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 0

UDS

Det blir i slutänden:

€

IDS =C'ox ⋅Z ⋅µn

L⋅ UGS −Uth( ) ⋅UDS −

UDS2

2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Ekv. 7:22

Spänningen är då noll på source och UDS på drain. Längs ytan i inversionskanalen är spänningen Uy(y) ≤ UDS. I samma punkt ligger det en spänning över oxiden som är Uox(y) och ligger längs x-axeln, d.v.s. vinkelrätt mot ytan.

I den här härledningen har vi förutsatt att det finns en inversionskanal hela vägen fram till drain-kontakten. Det betyder att UGD > Uth, eller i vanligare termer: UGS - UDS ≥ Uth. Det är alltså bara när UDS ≤ UGS - Uth, som Ekv. 7:22 gäller. För större spänningar mellan source och drain skulle strömmen minska med ökande spänning enligt Ekv. 7:22. Det visar sig att så inte är fallet eftersom förutsättningarna för härledningen inte är uppfyllda. Det som händer är att när spänningen mellan drain och gate är mindre än tröskelspänningen så finns det ingen inversionskanal sista biten mellan kanalen och drain. Precis när UGD = Uth finns det fortfarande en inversionskanal hela vägen från source till drain. Det brukar betecknas som ”pinch-off”, eftersom vi då vi har en situation där vi nyper av inversionskanalen. Med


196

en högre spänning på drain så är inte kravet för att skapa en inversionskanal uppfyllt närmast drain. Det som händer när spänningen på drain ökar är att vi skapar en backspänning mellan inversionskanalen och drain och all ”extra” spänning mellan drain och source hamnar mellan slutet på inversionskanalen och drain. Det innebär i princip att inversionskanalen är oförändrad både i längd och laddningsbärarkoncentration och oberoende av spänningen på drain. Det i sin tur gör att strömmen är oberoende av drainspänningen.

När vi har UDS = UGS - Uth så ges strömmen av:

€


L⋅UGS −Uth( )2

2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

Ekv. 7:23

Det visar sig att det är just så som strömmen ser ut när UDS ≥ UGS - Uth.

Figur 7:13. Vänster sida visar en genomskärning av en MOSFET med en gatespänning som överstiger spänningen för tröskeln till stark inversion. Utan spänning på drain och med jordad source är elektronkoncentrationen konstant längs hela kanalen. När vi lägger på en positiv spänning på drain så kommer spänningen mellan gate och kanal att minska ju närmare drain vi kommer. Det betyder att kanalen minskar ju närmare drain vi kommer, samtidigt minskar elektronkoncentrationen längs kanalen. När spänningen mellan gate och drain är mindre än tröskelspänningen kommer vi inte att ha stark inversion hela vägen fram till drain. Tack vare att vi har en backspänd övergång mellan kanalen och drain så kommer alla elektroner som kommer in i kanalen fram till drain. Höger visar motsvarande banddiagram. Utan spänning på drain är banden flata i kanalen. Med en låg spänning på drain så lutar banden i kanalen ner mot drain och driver elektronerna dit. Med en hög spänning på drain har vi först en svag lutning på banden fram till den punkt där kanalen tar slut. Där ökar lutningen, motsvarande backspänningen.

Den delen av drainspänningen som gör att UGD är mindre än Uth lägger sig mellan slutet på inversionskanalen och drain vilket ger upphov till en backspänd pn-övergång mellan drain och source. Om vi tittar i detalj så innebär backspänningen att längden på kanalen i

MOSFETen

197

själva verket minskar något. Det innebär att resistansen minskar, och strömmen ökar något. Det här ger upphov till en liknande effekt som Earlyeffekten i den bipolära transistorn, där strömmen ökar med ökande spänning mellan drain och source. Effekten har större betydelse för en MOSFET med en relativt kort kanal. Det gör att moderna MOSFETar som finns i t.ex. logikkretsar är känsliga för den här effekten. I digitala sammanhang är dock inte den här effekten lika förödande som i analoga tillämpningar. Här har man ju bara på och av.

Med en positiv spänning på drain så modifieras utseendet Figur 7:11 Så fort det går en (drift)ström i kanalen så får vi ett spänningsfall, vilket i ett banddiagram motsvarar en lutning på banden. Detta illustreras i Figur 7:13. Utan spänning på drain så är ledningsbandet plant i de tre områdena av MOSFETen. Bandkanterna i source och drain ligger på samma höjd och det är ett litet steg upp till kanalen. Med en låg ström genom kanalen så sänks ledningsbandet med qUDS på drain och banden lutar ner mot drain i kanalen. Steget i ledningsbandet mellan drain och kanal är något större eftersom det nu inte längre finns lika stor koncentration av elektroner in kanalen vid drain. Större delen av drainspänningen ligger över kanalen. Vid en hög ström kommer en stor del av drainspänningen att ligga mellan drain och kanal och en backspänning skapas i ett kort område av kanalen.

Figur 7:14. a) strömmen från drain till source som funktion av spänningen mellan drain och source för tre olika spänningar på gaten, UGS. Först ökar strömmen i det närmaste linjärt upp till en spänning av UGS - Uth, där strömmen når ett mättnadsvärde. Med ökande UGS ökar strömmen i mättnad. Brytpunkten mellan det linjära området och mättnadsområdet är indikerat med en punktlinje som motsvarar UGS - Uth. och den här linjen kallas ”pinch-off” eftersom det är för den spänningen som vi ”nyper av” kanalen vid drainkontakten. I figuren har vi också plottat Ekv. 7:22 över brytpunkten. Det är gjort med streckad linje. b) strömmen från drain till source som funktion av spänningen mellan gate och source. Under tröskelspänningen så går det ingen ström. Just över tröskelspänningen så ökar strömmen kvadratiskt upp till den spänning där UDS - Uth = UGS. Över den spänningen ökar strömmen linjärt. Ju högre UDS, desto snabbare ökning.

De två beteendena på kanalen, och därmed strömmen genom den gör att vi får två

områden på en kurva för IDS som funktion av UDS vid konstant UGS, vilket visas i Figur 7:14. För låga spänningar beror strömmen nästan linjärt på spänningen och strömmen ökar linjärt. Det betyder att första termen i parentesen i Ekv. 7:22 dominerar strömmen. För lite högre spänningar börjar båda termerna bli lika stora och ökningen avstannar. Hela det här området kallas för det linjära området, eller triodområdet för att referera till en typ av vakuumrör. I det här området styrs strömmen av UDS. I det andra området är UDS större än


198

UGS - Uth och strömmen är oberoende av UDS. Området kallas därför mättnadsområdet eftersom strömmen är oberoende av drain-source-spänningen. Spänningen där vi går från linjärt till mättnad kallas pinch-off, eftersom det är då man nyper av inversionskanalen. Under pinch-off har vi en fullständig inversionskanal och över har vi bara delvis en inversionskanal.

Den viktiga spänningen för övergången mellan det linjära området och mättnadsområdet är ”pinch-off”-spänningen. Eftersom den beror på spänningen på gaten så den ges av:

€

Upo =UGS −Uth Ekv. 7:24

Ett exempel: Hur ser strömmen ut som funktion av gate- och drainspänningarna? Vår MOSFET är en ideal n-MOS av kisel med dopningskoncentrationen NA = 1021 m3 och geometrin L = Z = 100 µm och tox = 10 nm. Tröskelspänningen och kapacitansen är given från ett tidigare exempel och är 0,64 V respektive 3,5 mF/m2. Source är jordad. Strömmen beror på om MOSFETen arbetar i det linjära eller mättnadsområdet. Det ges av om vi har en inversionskanal hela vägen fram till drain vilket i sin tur ges av om spänningen mellan gate och drain är högre eller lägre än tröskelspänningen. Högre innebär linjärt och lägre innebär mättnad. Pinch-off-spänningen ges av:

€

Upo =UGS −Uth

För en gatespänning på 2,0 V är pinch-off-spänningen 1,36 V och för en gatespänning på 5,0 V är den 4,36 V. För en drain-sourcespänning under pinch-off ges strömmen av:

€



UDS2

2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ och över pinch-off ges strömmen av:

€


L⋅UGS −Uth( )2

2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

För en gatespänning på 3,0 V och en drainspänning av 1,0 V är drainspänningen lägre än pinch-off-spänningen på 2,36 V. MOSFETen arbetar i det linjära området och strömmen ges av:

€

IDS =3,5 ×10−6 ⋅100 ×10−6 ⋅ 0,135

100 ×10−6⋅ 3− 0,64( ) ⋅1− 1

2

2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ = 8,68…×10-4 A = 0,9 mA

En drainspänning på 3,0 V är över pinch-off-spänningen på 2,36 V. MOSFETen arbetar i mättnadsområdet och strömmen ges av:

€

IDS =3,5 ×10−6 ⋅100 ×10−6 ⋅ 0,135

100 ×10−6⋅ 3− 0,64[ ]2 = 1,30…×10-3 A = 1,3 mA

UDS [V] UGS = 3,0 V UGS = 4,0 V UGS = 5,0 V 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,87 1,33 1,80 2,0 1,27 2,20 3,13 3,0 1,30 2,60 4,00 4,0 1,30 2,63 4,40 5,0 1,30 2,63 4,43 Tabell med strömmen som funktion av gatespänning och drainspänning när source är jordad. Dessutom visar plotten till höger hur strömmen ser ut som funktion av spänningarna i tabellen ovan.

µn = 0,135 m2/Vs tox = 10 nm εr = 11,8 εox = 3,9 ε0 = 8,85×10-12 F/m e = 1,602×10-19 As NA = 1021 m-3 ΦF = 0,30 V L = 100 µm Z = 100 µm

MOSFETen

199

Strömmen i en MOSFET delas in i två områden för en given spänning på gaten. I det linjära området så ökar strömmen i det närmaste linjärt med spänningen på drain. Inversionskanalen beter sig i det närmaste som en resistor. I mättnadsområdet är strömmen konstant och oberoende av spänningen på drain. Strömmen ges av den maximala strömmen i det linjära området.

p-MOS

Figur 7:15. a) Visar en ideal p-MOS-struktur utan pålagd spänning. Fermi-nivån i metallen ligger på samma energi som Fermi-nivån i n-typ halvledaren. Mellan de två ligger ett oxidskikt som fungerar som en isolator. b) Med en negativ spänning på metallen så höjs energinivån med -q⋅UGS. Det gör att hålkoncentrationen på ytan är större än inne i halvledaren. Figuren illustrerar också laddningsfördelningen i de två fallen. Vid flatband har vi ingen laddning vare sig på halvledare eller gate. Vid inversion har vi negativ laddning på metallen i form av ackumulerade elektroner, vilket ger en deltaspik. På halvledaren har vi positiv laddning i form av joniserade acceptorer i utarmningsområdet. Vid tillräckligt låg spänning på gaten har vi även rörliga hål vid ytan.

Hittills har vi bara diskuterat MOS-strukturer som bygger på ett p-typ substrat där vi gör om ytan till n-typ. Det går naturligtvis också att göra en MOS-struktur på ett n-substrat, där vi gör om ytan till p-typ. Hur ser det då ut? Strukturen har alltså ett n-substrat. Det betyder att source och drain består av p-skikt och inversionskanalen består av rörliga hål. Vi börjar med att titta på bandstrukturen i en ideal MOS-struktur på med ett n-substrat, illustrerat i Figur 7:15. Det betyder att Fermi-nivån ligger i den övre halvan av bandgapet och vi behöver böja upp banden på ytan för att invertera laddningstypen. Det betyder att vi ska lägga på en negativ spänning på gaten för att minska elektronkoncentrationen på ytan. Nu gäller det att få upp banden 2⋅ΦF på ytan för att nå stark inversion. Det gör att en ideal MOS-struktur har en negativ tröskelspänning och att gatespänningen ska var lägre än tröskelspänningen. Eftersom vi ska ha positiva laddningar i kanalen, så behöver vi en lägre spänning på ytan jämfört med inne i halvledaren. Det gör att den sista termen i uttrycket för tröskelspänningen är negativ. Med definitionen att ΦF är avståndet från mitten på bandgapet till Fermi-nivån gör det att även den första termen i tröskelspänningen är negativ. Det gör att tröskelspänningen för en ideal p-MOS-struktur ges av:

EF

S EV

EC Ei

EFM

ζ

(a)

-q⋅UGS

+ -

p>pn0

ζ

(b)


200

€

Uth =Ufb − 2 ⋅ ΦF −4 ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ ΦF ⋅ e ⋅ND

C'ox

Ekv. 7:25

Den intresserade läsaren kan ju göra om härledningen från Ekv. 7:8 till Ekv. 7:16, men för ett n-substrat, med en p-kanal.

Nästa steg är att titta på strömmen i en p-MOSFET. Som för en n-MOSFET så lägger vi noll volt på source. Som namnet säger är source källan till laddningsbärarna som ger strömmen. Det betyder att vi skickar in hål från source till drain. Det kräver att det ligger en lägre spänning på drain än på source, d.v.s. att UDS < 0. Det gör att IDS < 0. För att vara i det linjära området så ska UDS ≥ UGS + Uth. Strömmen ges då av:

€

IDS = − C'ox ⋅Z ⋅µp


UDS2

2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Ekv. 7:26

Strömmen i mättnadsområdet ges av:

€

IDS = − C'ox ⋅Z ⋅µp

L⋅

UGS −Uth( )2

2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

Ekv. 7:27

Bortsett från att vi har rörligheten för hål istället för elektroner så är det omvänt tecken på strömmen, som förväntat. Vi ska komma ihåg att både UGS och Uth är negativa där den första måste var mest negativt. UDS är också negativ. Det gör att båda termerna i hakparenteserna i Ekv. 7:26 är positiva och att uttrycket i hakparentesen i Ekv. 7:27 är positiv. Det gör att det principiella utseendet på ström-spänningskurvan är som Figur 7:14, men speglad i origo, Figur 7:16. Man kan i princip också byta ut alla index: UDS blir USD; IDS blir ISD; och UGS blir USG.

Figur 7:16. Tecknet på strömmen och spänningarna är omvänt på en p-MOSFET jämfört med en n-MOSFET. En ökande negativ spänning på gaten ger en ökad negativ ström från drain till source, vilken drivs av en negativ spänning på drain. Med ökad negativ spänning på gaten så ökar den negativa strömmen i mättnadsområdet.

IDS

UDS Mättnad

Linjärt “pinch-off”

IDS

UDS

Mättnad

Linjärt

“pinch-off”

n-MOSFET p-MOSFET

MOSFETen

201

Småsignalmodellen för MOSFET Även för MOSFETen kan man göra en småsignalmodell. Modellen är illustrerad i Figur

7:17. Den innehåller ett antal termer, precis som i fallet med den bipolära transistorn. En av de enklaste parametrarna är resistansen i inversionskanalen, rDS. Storsignalresistansen ges av UDS/IDS. De gör att motsvarande småsignalresistans ges av:

€

rDS =dUDSdIDS

, eller 1rDS

=dIDSdUDS

Vi ska kanske först titta på vad småsignalresistansen betyder i fallet MOSFETen. För en given spänning mellan drain och source,

€

UDS0, får vi en ström,

€

IDS0 , mellan drain och source. Om vi ändrar spänningen kring denna punkt,

€

ΔUDS , så får vi en ändring i strömmen:

€

IDS = IDS0 +ΔUDSrDS

Ekv. 7:28

I det linjära området, Ekv. 7:22, ges småsignalresistansen av:

€

1rDS

=dIDSdUDS

=µn ⋅ Z ⋅C'ox

L⋅ UGS −Uth( ) −UDS[ ]

€

rDS =L

µn ⋅ Z ⋅C'ox ⋅ UGS −Uth( ) −UDS[ ]

Ekv. 7:29

I det linjära området är UDS < UGS - Uth. Som väntat minskar resistansen med ökande kanalbredd och ökar med ökande kanallängden. Dessutom minskar den med ökande UGS (vilket medför en ökande ström för en given UDS).

I mättnadsområdet, Ekv. 7:23, är strömmen oberoende av spänningen och småsignalresistansen är därför oändlig, rDS = ∞. Det betyder inte att storsignalresistansen är oändlig, bara att strömmen inte ökar med ökad spänning (UDS).

Det finns som vanligt en ingångsresistans i transistorn. Det går nu ingen ström genom gaten och ingångsresistansen är därför i det närmaste oändlig, rGS ≈ ∞.

Det finns ett antal olika kapacitanser i strukturen. Den mest uppenbara är den mellan gaten och kanalen. Dessutom finns det kapacitanser där gatekontakten ligger över source och drainkontakterna. Dessa tre är rena plattkondensatorer. Sedan finns det ett antal utarmningskapacitanser. En som ligger mellan ytan (kanalen) och substratet och en kring vardera source och drainkontakt till substratet. Eftersom gaten ligger på ingången brukar vi också hänföra kapacitansen mellan yta och substrat till kapacitansen mellan gate och source. Tillsammans med överlappet mellan gaten och source blir den kapacitansen:

€

Cgs ≈ Cox =A ⋅ εox ⋅ ε0

tox=Z ⋅L ⋅ εox ⋅ ε0

tox

Kapacitansen mellan gate och drain är liknande, men den har betydligt mindre area och är därför betydligt mindre. Om vi kopplar ihop source med baksidan på substratet så kortsluter vi i princip utarmningskapacitansen mellan source och substratet. Det betyder att


202

den mellan drain och substratet hamnar mellan source och drain, parallellt med drain-sourceresistansen. Om man jämför de olika kapacitanserna så visar det sig att den enda kapacitansen som är av intresse är egentligen den mellan gate och source.

Figur 7:17. a) en modell av en schematisk MOSFET-struktur. Dessutom visar figuren var de olika bidragen till småsignalmodellen för MOSFETen finns rent fysiskt. De två största bidragen är kanalresistansen, rDS, och gate-sourcekapacitansen, CGS. rGS är resistansen mellan gate och inversionskanalen, eller rent signalmässigt mellan gate och source. Dessutom finns det ett antal utarmningskapacitanser, Den största ligger mellan inversionskanalen och substratet, CGB. De andra två är source-substrat, CSB, och drain-substrat, CDB. b) Visar småsignalmodellen för en MOSFET. Ingången mellan gate och source består av en kapacitans, CGS och en, i det närmaste oändlig resistans, rGS. Kapacitansen är i princip hela oxidkapacitansen. Mellan source och drain ligger en resistans, rDS. Mellan gate och drain ligger det dessutom en liten kapacitans. Slutligen har vi transkonduktansen, d.v.s. utströmmen som funktion av inspänningen (småsignal).

Det som återstår nu är transkonduktansen, gm, d.v.s. hur strömmen ändras med inspänningen. Åter igen tittar vi på vad det betyder. Om vi ändrar inspänningen ΔUGS från något värde

€

UGS0 så ändras strömmen ΔIDS. Det i sin tur innebär att den totala strömmen

ges av:

€

IDS = IDS0 + gm ⋅ ΔUGS Ekv. 7:30

Eller om vi har en liten växelspänning, uGS, in på gaten överlagrad på en likspänning:

€

iDS = gm ⋅ uGS , där växelströmmen iDS ligger överlagrad på likströmmen IDS. Transkonduktansen är alltså derivatan på utströmmen, IDS, med avseende på

inspänningen, UGS. Den ser olika ut beroende på om vi är i det linjära området eller om vi är i mättnadsområdet. Vi börjar med det linjära området:

€

gm =dIDSdUGS

=µn ⋅ Z ⋅C'ox

L⋅UDS

Ekv. 7:31

I mättnadsområdet är transkonduktansen istället:

€

gm =µn ⋅ Z ⋅C'ox

L⋅ UGS −Uth( )

Ekv. 7:32

När vi använder en MOSFET som förstärkare så arbetar den alltid i mättnadsområdet. Det är när insignalen på gaten varierar som man vill att utsignalen ska hoppa mellan de olika kurvorna i Figur 7:14. För att signalen ska vara så linjär som möjlig så måste vi hoppa mellan mättnadskurvor i figuren. I verkligheten handlar det naturligtvis inte om

CGD

CGS 1/rGS=0!

rDS gmUGS

CGD CGS

rDS

rGS

CSB CDB

Gate CGB

Drain Source

Drain Gate

Source

MOSFETen

203

diskreta kurvor utan ett kontinuum av kurvor där en liten ökning av gatespänningen ger en liten ökning av mättnadsströmmen. De diskreta kurvorna är bara en illustration, ett sätt att plotta en tredimensionell (UDS, IDS och UGS) funktion i två dimensioner (UDS och IDS).

Frekvensegenskaper Precis som för den bipolära transistorn kan vi definiera brytfrekvenser. Vi definierar

som tidigare övergångsfrekvensen som den frekvens där strömförstärkningen är ett. Det låter kanske lite underligt att vi har en strömförstärkning när vi har diskuterat att det inte går någon ström in på gaten. Vi ska då komma ihåg att det rör sig om förstärkning av en växelström när vi talar om frekvensegenskaper och att vi talar om att det inte går någon likström in genom gaten. Gaten är en ren kapacitans, vilket betyder att vi har impedans, även om resistansen är oändlig:

€

Zin =1

ω ⋅CGS≈

1ω ⋅Cox

Vi kan nu uttrycka inströmmen som:

€

iin =ugsZin

= ugs ⋅ ω ⋅Cox

och utströmmen som:

€

iut = gm ⋅ ugs

Strömförstärkningen Ai ges då av:

€

Ai =iutiin

=gm ⋅ ugs

ugs ⋅ ω ⋅Cox=

gmω ⋅Cox

Den frekvens som ger en förstärkning på ett är alltså:

€

Ai =1=gm

ω t ⋅Cox ⇒ ft =

gm2π ⋅Cox

Det här kan i mättandsområdet skrivas om som:

€

ft =gm

2π ⋅Cox=

µn ⋅ Z ⋅C'ox2π ⋅Cox ⋅L

⋅ UGS −Uth( ) =µn ⋅ UGS −Uth( )

2π ⋅L2

Ekv. 7:33

Vi ser att en högre rörlighet ger en högre övergångsfrekvens och att en kortare kanallängd också ger en högre övergångsfrekvens. En sak som inte är helt självklar är vad det står i sista ledet på Ekv. 7:33, men L2/µn⋅(UGS - Uth) har enheten [s]. Det visar sig att det handlar om transittiden, tSD, från source till drain, vilket ger:

€

ft =1

2π ⋅ tSD

Ekv. 7:34


204

Transittiden är hur lång tid det tar för en elektron att ta sig från source till drain. Den minsta tiden det tar ges av avståndet mellan de två och den högsta möjliga hastigheten. Det handlar om gränshastigheten, vs, som för en elektron i kisel är 105 m/s.

Ett exempel: Hur stor är övergångsfrekvensen för en ideal n-MOSFET i kisel med L = Z = 100 µm och tox = 10 nm? Dopningen är 1021 m-3. I mättnadsområdet ges övergångsfrekvensen av:

€

ft =µn ⋅ UGS −Uth( )

2π ⋅L2

Först tittar vi på en gatespänning på 3 V och en drainspänning på 5 V. Då är Upo = 2,36 V så MOSFETen arbetar i mättnadsområdet. Övergångsfrekvensen ges av:

€

ft =0,135 ⋅ 3− 0,64( )

2π ⋅ 100 ×10−6( )2

= 5,08…×106 Hz = 5,1 MHz

Sedan tittar vi på en gatespänning på 5 V och en drainspänning på 5 V. Då är Upo = 4,36 V så MOSFETen arbetar i mättnadsområdet. Övergångsfrekvensen ges av:

€

ft =0,135 ⋅ 5 − 0,64( )

2π ⋅ 100 ×10−6( )2

= 9,37…×106 Hz = 9,4 MHz

För en ideal n-MOSFET ges övergångsfrekvensen av:

€

ft =µp ⋅ Uth −UGS( )

2π ⋅L2. För en identisk MOSFET med

motsvarande spänningar, d.v.s. en drainspänning av -5 V och en gatespänning på -3 V är övergångsfrekvensen:

€

ft =0,045 ⋅ −0,64 − (−3)( )

2π ⋅ 100 ×10−6( )2

= 5,64…×105 Hz = 0,6 MHz

Som vi ser har p-MOSFETen en lägre övergångsfrekvens än motsvarande n-MOSFET. Det beror på att rörligheten hos hål är lägre än hos elektroner och övergångsfrekvensen är direkt proportionell mot rörligheten. För att öka övergångsfrekvensen så kan man minska kanallängden, L. Med en kortare kanal tar det mindre tid för ett hål att ta sig från source till drain, även om hålen rör sig långsammare än elektronerna i n-MOSFETen. Nackdelen är att då ökar

även strömmen som ges av:

€

IDS = −C'ox ⋅Z ⋅µp

L⋅UGS −Uth( )2

2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ . Ett enkelt sätt att minska strömmen är att minska

kanalbredden lika mycket som vi minskar kanallängden.

Digital switchning En av de viktigaste tillämpningarna av MOSFETar är i digitala kretsar. Den enklaste

digitala kretsen är en inverterare, illustrerad i Figur 7:18, där insignalen är antingen 0 eller UDD, där den senare är drivspänningen. Source är kopplad till jord och drain till UDD via ett motstånd. Vid hög ingång är MOSFETen öppen och utgången är kopplad till 0 via kanalen, Vid låg ingång är kanalen strypt och utgången är kopplad till drivspänningen via motståndet. Drain är också kopplad direkt till gaten på nästa identiska MOSFET, vilket betyder att lasten på utgången ges av Cox. Vi kan nu göra en enkel modell för omslagstiden från hög (UDD) till låg (0). Vi förutsätter att UDD >> Uth, d.v.s. att vi i huvudsak arbetar i mättnadsområdet och att MOSFETen är strypt vid noll volt. Det förenklar modellen. Anta att vi direkt kan gå från 0 till UDD gå ingångsgaten utan tidsfördröjning. När spänningen är hög på ingången kommer MOSFETen att vara öppen och leda ström. Nu kommer laddningen på den andra MOSFETens gate att generera en ström genom kanalen på den första MOSFETen. Det görs med strömmen IDS, som ges av:

µn = 0,135 m2/Vs C’ox = 3,45 mF/m2 Uth = 0,64 V L = 100 µm

MOSFETen

205

Ekv. 7:35

i mättnadsområdet. Laddningen på gaten på MOSFET nummer två ges av:

€

Q = Cox ⋅UDD = C'ox ⋅L ⋅ Z ⋅UDD Ekv. 7:36

Vi kan nu definiera en tid för omslaget, ts, vilket motsvarar den tid som det tar att tömma laddningen Q genom inversionskanalen på den första MOSFETen:

€

IDS =Qts

⇒ ts =Q

IDS

Ekv. 7:37

Om vi gör approximationen att vi bara arbetar i mättnadsområdet så får vi:

€

ts =2 ⋅C'ox ⋅L

2 ⋅ Z ⋅UDDC'ox ⋅Z ⋅µn ⋅ UDD −Uth( )2

=2 ⋅L2 ⋅UDD

µn ⋅ UDD −Uth( )2= L ⋅ L

µn ⋅UDD⋅

2 ⋅UDD2

UDD −Uth( )2

Ekv. 7:38

Figur 7:18. a) En illustration av en av de enklaste digitala kretsarna, en inverterare bestående av en MOSFET. Figuren illustrera två inverterare i serie. Sourcekontakten är kopplade till jord (låg) och drainkontakten är kopplade till drivspänningen, UDD, (hög) via ett motstånd. För att illustrera kretsen så har vi lagt en last på utgången i form av en andra inverterare. När det ligger en låg signal på gaten på den vänstra MOSFETen är kanalen är strypt och gaten på den högra MOSFETen är kopplad till hög. Om det ligger en hög signal på ingången, så är kanalen öppen och gaten på den andra MOSFETen är låg. Utsignalen är inverterad. b) När insignalen går från låg till hög så måste all laddning på gaten på den högra MOSFETen tas bort genom kanalen på den vänstra MOSFETen. Det tar en tid, ts. Under tiden som laddningen minskar sjunker spänningen på gaten på den andra MOSFETen. c) Allteftersom laddningen på gaten på den andra MOSFETen minskar, minskar även spänningen mellan drain och source på den första MOSFETen. Trots det är strömmen konstant, eftersom vi befinner oss i mättnadsområdet.

Vi kan nu titta lite på vad som styr omslagstiden. Den enklaste faktorn är rörligheten. En högre rörlighet ger en kortare omslagstid. Det är ju ganska rättframt att ju lättare det är att flytta laddningsbärarna med ett elektriskt fält desto snabbare rör de sig i kanalen och desto kortare omslagstid. Vi kan också se att en kortare kanal ger ett snabbare omslag. Det är inte helt klart varför vi har ett kvadratiskt beroende på längden. Med en konstant hastighet i kanalen borde det ju vara linjärt och inte kvadratiskt. För att förstå det måste vi titta på de kvarvarande spänningstermerna. Om vi tänker oss att UDD >> Uth, så blir den det

€

IDS =C'ox ⋅Z⋅µn

L⋅UDD − Uth( )2

2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

UDD

0

(a) UDD

0 ts

Uut

Uin

t

②

① (b)

IDS

UDS

② ①

(c)


206

bara ungefär 1/UDD kvar. Det som egentligen är av intresse är L/UDD, vilket är inversen på den elektriska fältstyrkan. Vi kommer ihåg från kapitel 3 att laddningsbärarhastigheten ökar med elektrisk fältstyrka, så en L-term hör till den fysiska längden och en L-term hör till det elektriska fältet, därav ett kvadratiskt beroende på kanallängden. På samma sätt får vi ett snabbare omslag genom att öka drivspänningen, eftersom vi får ett högre elektriskt fält. En av förutsättningarna för Ekv. 7:38 är att de två MOSFETarna är identiska. Det innebär att vi inte har något beroende på kanalbredden. Om vi däremot minskar kanalbredden på den första MOSFETen så minskar vi strömmen som går genom kanalen och därmed tar det längre tid att tömma laddningen från gaten på den andra MOSFETen.

En annan förutsättning för Ekv. 7:38 är att vi inte har nått gränshastigheten för laddningsbärarna i kanalen. Vid låga fält ges elektronhastigheten av:

€

v =µn ⋅UDD

L

Ekv. 7:39

Vid höga fältstyrkor ges elektronhastigheten av gränshastigheten, vs och då ges omslagstiden av:

€

ts =2 ⋅Lvs

Ekv. 7:40

För att Ekv. 7:40 ska vara giltig krävs att fältet är mycket högre än det kritiska fältet. Om fältet bara är lite högre kommer vi inledningsvis att en elektronhastighet som begränsas av gränshastigheten. Därefter kommer hastigheten att ges av det elektriska fältet. Det betyder att omslagstiden på en digital krets ges av längden på kanalen. Eftersom elektronhastigheten är oberoende av spänningen mellan drain och source så blir omslagstiden oberoende av spänningen.

Ett exempel: Hur lång är omslagstiden för vår ideala n-MOSFET i kisel med dopningskoncentrationen 1021 m-3 och med geometrin L = Z = 100 µm och tox = 10 nm? Omslagstiden i mättnadsområdet ges av:

€

ts =2 ⋅L2 ⋅UDD

µn ⋅ UDD −Uth( )2. Med en vanlig

logikspänning av 5 V är omslagstiden av:

€

ts =2 ⋅ 100 ×10−6( )

2⋅ 5

0,135 ⋅ 5 − 0,64( )2 = 3,891…×10-8 s = 39 ns.

För motsvarande p-MOSFET är omslagstiden:

€

ts =2 ⋅ 100 ×10−6( )

2⋅ 5

0,045 ⋅ 5 − 0,64( )2 = 1,167…×10-7 s =120 ns

Återigen är p-MOSFETen sämre än motsvarade n-MOSFET och återigen är det rörligheten som är skillnaden.

µn = 0,135 m2/Vs UDD = 5 V Uth = 0,64 V L = 100 µm

MOSFETen

207

CMOS Den digitala inverteraren som bygger på en MOSFET som vi har tittat på hittills är den

enklaste möjliga digitala kretsen, med en MOSFET och ett motstånd. Den fungerar mycket bra när ingången är låg och kanalen är strypt. Då går det nämligen ingen ström i kretsen. När vi lägger en hög signal på gaten så går det en ström för att tömma den andra MOSFETens gate på laddningar. Men dessutom kommer det att flyta en ström från UDD via resistansen genom kanalen till jord. Ju större motståndet är desto mindre ström. Eftersom det är genom motståndet som vi fyller på laddningen på gaten igen så vill vi ha ett så litet motstånd som möjligt. Litet motstånd betyder stor ström och snabb återfyllning. Litet motstånd betyder också stor ström vid hög insignal.

Ett sätt att komma runt problemet är att koppla kanalerna på två MOSFETar i serie. Vi tar då ut signalen mellan de två MOSFETarna, Figur 7:19 (a). För att den andra MOSFETen ska göra någon nytta så ska den vara strypt vid hög insignal på gaten och vara öppen vid låg insignal på gaten. Den första MOSFETen ska vara en vanlig n-MOSFET, men den andra ska vara en p-MOSFET. Om vi tittar tillbaka på hur den ideala p-MOSFETen fungerar så ser vi att den kräver en negativ spänning på gaten för att leda ström, medan en positiv spänning på gaten stryper kanalen. Det gäller bara att justera parametrarna för p-MOSFETen så att tröskelspänningen ligger över noll. Det betyder att kanalen leder ström vid låg insignal (0 V) och stryper vid hög insignal (t.ex. 5 V). Det är alltså precis tvärt emot hur n-MOSFETen fungerar.

Exempel: En CMOS-inverterare drivs av en spänning UDD, vilket också motsvarar hög signal. Vid UDD in är utsignalen 0 och vid 0 in är utsignalen UDD. Det ger följande tabell:

Uin = 0 och Uut = UDD Uin = UDD och Uut = 0 n-MOSFET p-MOSFET n-MOSFET p-MOSFET UGS 0 -UDD UDD 0 UGD -UDD -UDD UDD UDD UDS UDD 0 0 -UDD

n-MOSFETen ska vara öppen för UGS=UDD och stängd för UGS=0, d.v.s. 0<Uth<UDD. p-MOSFETen ska vara stängd för UGS=0 och öppen för UGS=-UDD, d.v.s. 0>Uth>-UDD.

Den här typen av arrangemang är den vanligaste typen av logigkretsar baserade på

MOSFETar. Eftersom man både använder n- och p-MOSFETar i samma krets så brukar man kalla den här typen av kretsar för komplementär MOS, eller CMOS från engelskans ”complementary MOS”. Kretsen som vi har beskrivit kallas CMOS-inverterare. För att beskriva funktionen så börjar vi med låg inspänning på de båda gatearna. Då är n-MOSFETen strypt och p-MOSFETen öppen. Det gör att utsignalen är kopplad till UDD via den öppna p-MOSFETen. Med hög inspänning på de båda gatearna kommer n-MOSFETen att vara öppen och p-MOSFETen att vara strypt. Det gör att utsignalen är kopplad till jord via den öppna n-MOSFETen. I båda fallen är alltid en MOSFET strypt och det går därför aldrig någon ström så länge kretsen har en hög eller låg insignal. Det är bara när kretsen


208

slår om som det går ström i kretsen. För varje cykel från hög till låg till hög igen så flyttas laddning motsvarande laddningen på gaten i lastkretsen.

Figur 7:19. a) Visar en CMOS-inverterare, vilket är den enklaste CMOS-kretsen. Med en positiv spänning på gaten är kanalen i n-MOSFETen (undre) öppen och den i p-MOSFETen (övre) är stängd. Det gör att utspänningen är kopplad till jord (= låg) Utan spänning på gaten, d.v.s. 0 V, är kanalen i n-MOSFETen stängd och den i p-MOSFETen är öppen. Utgången är kopplad till drivspänningen (= hög). b) Genomskärning av en CMOS-krets med både n- och p-MOSFET.

Varför är man då så oroade för att det ska gå en ström i kretsen? Så fort det går en driftström i en krets så utvecklas värme och värme betyder effektförluster. Samtidigt betyder det att kretsen måste kylas. Den mest välkända CMOS-kretsen idag är processorn i en dator. Och alla som har titta in i en modern Pentiumprocessor har sett den stora kylfläkten som krävs för att hålla temperaturen nere i processorn. Har man dessutom jobbat med en laptop så märker man ganska snabbt att den blir varm under drift och det är då värmen från processorn som genereras. Om man försätter den i vila så går klockfrekvensen ner och processorn jobbar inte lika mycket, färre omslag från hög till låg så svalnar den av för att bli varm igen när vi börjar använda processorn igen.

Tillverkning Tillverkningen av MOSFETen skiljer sig egentligen bara från den bipolära transistorn i

ett avseende och det är oxidationssteget. Själva halvledaren kräver bara en implantering, eftersom både drain och source är identiska i dopningskoncentration. Efter att source och drain har implanterats precis som om det hade varit två separata dioder så följer ett oxideringssteg. Antingen lägger man en oxid över hela ytan, lägger på en mask och tar bort oxiden där man inte vill ha den eller så lägger man på en mask och lägger oxiden bara där man vill ha den, vilket visas i Figur 7:20. Det sista tillverkningssteget är att lägga på gaten, vilket kan göras genom samma mask i som oxideringen.

MOSFETen

209

Figur 7:20. a) Tillverkningen av en MOSFET börjar med att man lägger två dioder intill varandra, separerade med ett avstånd motsvarande kanalländgen. b) Genom en andra mask lägger man först på en oxid ovanpå kanalen för att sedan lägga på gaten. c) Efter att masken har tagits bort så kan man sätta på kontakter.

Sammanfattning av MOSFETen MOSFETen är idag den transistor som används mest i integrerade kretsar, speciellt i

digitala kretsar. MOSFETens funktion innehåller mycket av halvledarfysiken. Bl.a. är det nödvändigt att förstå sambandet mellan Fermi-nivå och laddningsbärarkoncentration. Genom att lägga en tunn isolator på en halvledares yta och sedan lägga en gate ovanpå isolatorn så får man en plattkondensator. Genom att lägga en spänning på gaten så kan man skapa laddning vid ytan på halvledaren, precis som på en vanlig plattkondensator. Man kan då antingen dra till sig extra majoritetsladdningsbärare (ackumulation) eller extra minoritetsladdningsbärare (inversion) beroende på polaritet på gaten. Med en tillräckligt hög spänning på gaten kan man få en situation där koncentrationen av minoritetsladdningsbärare är större än majoritetsladdningsbärare, vilket kallas (stark) inversion.

P.g.a. isolatorn går det ingen likström genom gaten och därmed är Fermi-nivån konstant i halvledaren respektive gaten, men inte nödvändigt vis på samma energinivå de två delarna. Det betyder att banden i halvledaren böjer sig vid ytan vid inversion. För små böjningar består laddningen vid halvledarens yta av rymdladdning och ytan är utarmad på fria laddningsbärare. När böjningen ökar så fortsätter utarmningen att öka samtidigt som koncentrationen av minoritetsladdningsbärare ökar. Vid en kraftig böjning kommer ytan att ha fler minoritetsladdningsbärare än rymdladdningar, vilket motsvarar stark inversion.

I den ideala MOS-strukturen ligger Fermi-nivån i gaten och halvledaren på samma energi redan innan de är i kontakt med varandra. Det betyder att jämviktsläget är att det inte finns några nettoladdningar på varken gate eller halvledare. Det i sin tur betyder att banden i halvledaren är helt flata, även vid ytan, utan spänning på gaten. Så fort det finns en skillnad mellan Fermi-nivån i gaten och i halvledaren (t.ex. en gate av p-typ Si) så krävs det en spänning på gaten för att åstadkomma flata band i halvledaren. Denna spänning kallas flatbandsspänningen. För den ideala MOS-strukturen är flatbandspänningen 0 V. Eftersom spänningen på gaten delas mellan oxiden och utarmningsområdet på halvledaren så spelar tjockleken på oxiden en viktig roll. En tjockare oxid kräver större spänningsvariationer för att gå mellan flatband och stark inversion.

p-typ

(a)

n-typ

(b) (c)

Source Drain

Gate

Oxid

Mask


210

För att förstå hur en MOSFET fungerar brukar man rita banddiagrammen för strukturen vid några olika gatespänningar. De som är enkla nog att rita upp är fyra gatespänningar. 1) Flatband, 2) Termisk jämvikt, 3) Intrinsisk yta och 4) Tröskel till stark inversion. Däremot kan banddiagrammet alla andra spänningar utvecklas från dessa fyra.

Så länge det inte går någon ström genom inversionskanalen i MOSFETen så är det ganska enkelt, men tämligen ointressant. Svårigheten ligger i att strömmen genom kanalen är en driftström som drivs av spänningen mellan drain och source, vilket leder till en spänningsförändring längs kanalen. Det in sin tur gör att spänningen mellan gate och kanal varierar längs kanalen. Spänningen är i allmänhet störst mellan gate och source medan den minskar ju närmare drain man kommer. Mindre spänning ger färre laddningsbärare i kanalen, med ökande resistans (minskad ledningsförmåga) som följd. Vid en tillräckligt stor ström i kanalen kommer spänningsskillnaden mellan kanalen vid drain och gaten att vara lägre än tröskelspänningen, vilket leder till att inversionskanalen inte sträcker sig ända fram till drain. Det finns därför tre situationer om vi tänker oss en n-MOSFET med en positiv spänning på drain och jordad source: 1) Spänningen på gaten understiger tröskelspänningen redan vid source, vilket gör att det inte finns någon inversionskanal och därmed går det ingen ström mellan drain och source. 2) Det linjära området: Spänningen på gaten överstiger tröskelspänningen både vid source och drain. Det finns då en inversionskanal mellan source och drain och det går en ström mellan drain och source som ökar med drainspänningen. 3) Mättnadsområdet: Spänningen på gaten överstiger tröskelspänningen vid source, men inte vid drain. Det finns då bara delvis en inversionskanal mellan source och drain och det går en ström mellan drain och source som är oberoende av drainspänningen.

MOSFETen kan antingen tillverkas på ett p-substrat där elektroner står för strömmen i kanalen (n-MOS) eller på ett n-substrat där hål står för strömmen i kanalen (p-MOS). I de flesta digitala tillämpningar brukar man lägga en p-MOSFET i serie med en n-MOSFET mellan drivspänning och jord, med de två gatearna hopkopplade. Det gör att oberoende av om inspänningen på gatearna är hög eller låg så är har en av de två MOSFETarna en strypt kanal och det går ingen ström mellan drivspänning och jord så länge inte inspänningen ändras och det går en strömpuls när den ändras. Det här kallas komplementär MOS eller CMOS. Det viktiga med CMOS är att den har en minimal strömförbrukning vilket i sin tur betyder låg värmeutveckling i digitala kretsar. En av de mest välkända digitala CMOS-kretsarna är processorena i våra datorer, som trots CMOS-tekniken utvecklar så mycket värme att den måste kylas.

- 211 -

8. Diverse komponenter

det här kapitlet kommer vi att studera ett antal komponenter utöver de grundläggande typerna. Vi kommer att göra det på ett översiktligt sätt, så att vi bara kommer att beröra

hur komponenterna fungerar och vad man använder dem till. Det kommer därför inte att finnas en enda ekvation i hela kapitlet. Det beror delvis på att det ofta är komplicerade ekvationer, men huvudorsaken är att kapitlet bara är tänkt att ge en översikt över andra komponenter. Det handlar om kraftelektronik, minneskomponenter och sensorer.

Tyristor Den mest etablerade komponenten för att styra stora likströmmar är tyristorn. Den kan

hantera tusentals volt och tusentals ampere. Det handlar om strömmar som t.o.m. är svåra att hantera med vanliga reläkontakter. Tyristorn består av fyra skikt p-n-p-n och finns illustrerad Figur 8:1, där ytterelektroderna kallas för anod respektive katod. Dess ström-spänningskarakteristik är bistabil, d.v.s. för en given spänning mellan anod och katod kan det finnas två (eller tre) strömmar. Detta är illustrerat i Figur 8:1 (a). För att gå från låg ström till hög ström behöver vi lägga på en stor spänning över tyristorn för att gå förbi puckeln på ström-spänningskurvan i Figur 8:1 (a). Med hjälp av en spänning på gatekontakten kan man minska höjden på puckeln (minska spänningen) och gå direkt till högströmsområdet utan den höga spänningen. Det är med hjälp av den här kontakten som vi öppnar tyristorn.

Tyristorn kan beskrivas som två sammankopplade transistorer, där den ena (npn-T1) har katoden som sin emitter och den andra (pnp-T2) har anoden som sin emitter. Det betyder att npn-transistorns bas är pnp-transistorns kollektor och npn-transistorns kollektor är npn-transistorns bas. Vi kan beskriva själva öppnandet av tyristorn med hjälp av gaten genom att tänka i termer av två hopkopplade transistorer. Vi börjar med att skicka in en (hål)ström på gaten. Strömmen går över den framspända pn-övergången mot katoden. Eftersom det motsvarar bas-emitterövergången i T1, så drar den med sig en större kollektorström från kollektorn i T1. Kollektorn är samtidigt basen i T2 så det motsvarar att vi drar en elektronström ut ur basen i T2, som i sin tur drar med sig en kollektorström ut ur

I


212

kollektorn. Den strömmen blir i sin tur till en extra basström i T1. Den extra basströmmen dra med sig en extra kollektorström i T1, vilket ger en extra kollektorström i T2. Den här rundgången pågår tills båda transistorerna är bottnade. När de är bottnade så är hela tyristorn lågresistiv och strömmen ges i princip av vad som begränsar strömmen i den yttre kretsen.

Det stora problemet med en tyristor är att när man en gång har öppnat den så är den ganska svår att stänga. Ett sätt är att se till att den går över i lågström genom att påverka den yttre kretsen. Men då har man ju inte så mycket nytta av tyristorn. Om det inte är så att man har ett kort förlopp i kretsen. En gång i tiden använde man tyristorer i tändkretsar för bilmotorer, och då stängdes den yttre strömmen av när tändstiftet hade gnistrat. Om man måste stänga tyristorn själv, så kan man göra det genom att skicka in en ström på gaten i motsatt riktning mot den ström som öppnar den. Problemet är bara att det rör sig om en ström som är i samma storleksordning som strömmen genom själva tyristorn.

Figur 8:1. Tyristorn består av fyra skikt, p-n-p-n, från anod (p-typ) till katod (n-typ) vilket visas i b). Dessutom har man en kontakt till p-skiktet under katoden. Den är till för att öppna tyristorn. Tyristorn har en bistabil ström-spänningskarakteristik som visas i (a). Ett område är högresistivt (låg ström) och ett lågresistivt (hög ström). Strömmen ökar mycket långsamt med ökande spänning mellan anod och katod i det högresistiva området. Om en tillräckligt hög spänning läggs över tyristorn så böjar den leda, med mycket låg resistans. Strömmen är nu i den övre delen av kurvan. a) Med hjälp av en strömpuls på gaten kan man få tyristorn att gå till det lågresistiva området utan den höga spänningen. Tyristorn kan liknas vid två hopkopplade transistorer, en npn och en pnp, enligt (c). d) illustrerar hur tyristorn öppnas. 1 - En liten ström in på gaten går direkt till katoden. Den strömmen är en basström in på transistorn som har sin emitter i katoden. 2 - basströmmen drar med sig en större kollektorström som samtidigt är basströmmen i transistorn som har anoden som emitter. 3 - basströmmen drar med sig en kollektorström in i basen på den första transistorn. 4 - den ökade basströmmen drar med sig en ännu större kollektorström. Så fortgår det tills båda transistorerna har nått bottning och hela tyristorn är det lågresistiva området.

En nackdel med tyristorn är den bara leder ström i en riktning. Det kan vi kringgå genom att koppla ihop två tyristorer i motsatt riktning, så att den ena leder positiv ström och den andra leder negativ ström. Komponenten kallas nu för triac eller variac. Den här komponenten används typiskt för att reglera växelström i bl.a. en elektronisk ljusdimmer.

Darlingtontransistor Darlington är både beteckningen på en komponent och på en koppling med två

transistorer. Ibland kallas kopplingen för emitterföljare. Kopplingen görs med två transistorer i GE-koppling som kopplas i serie, där båda kollektorerna är kopplade till

Diverse komponenter

213

drivspänningen. Signalen tas in på basen på den första transistorn och ut på emittern. Emittern på den första transistorn är i sin tur kopplad till basen på den andra transistorn. Detta innebär att den sammanlagda förstärkningen är ungefär lika stor som kvadraten på de enskilda transistorernas förstärkning. Det gör att den här typen av koppling används när man behöver en stor ström, men inte vill lasta ner signalkällan. Kopplingen visas i Figur 8:2 (b).

Darlingtontransistorn i Figur 8:2 (a) innehåller två transistorer i emitterföljarkonfiguration. Skillnaden mot två-transistorkopplingen är att man har två identiska transistorer, så när som på arean. Genom att skala upp arean på den andra transistorn med förstärkningen i den första transistorn så kan man se till att ha samma strömtäthet i båda transistorerna. Vitsen med att ha Darlingtontransistorn som en komponent är att det är en effekttransistor. Det gör att man ofta designar den med tanke på att den ska kunna hantera stora strömmar utan att den lider av parasiteffekter. En tjock bas ger t.ex. liten inverkan av Earlyeffekten och lite risk för genomslag i basen. Hög dopning i basen ger liten risk för att basresistansen ska ha negativ påverkan. En hög dopningskoncentration i kollektorn minskar risken för kvasi-botting. Om man ska sammanfatta Darlingtontransistorn så kan man se det som en transistor som ser ut som en liten transistor på ingången, men som stor transistor på utgången. En liten basström ger en stor kollektorström utan några negativa parasiteffekter.

Figur 8:2 Darlingtontransistorn är en effekttransistor som egentligen innehåller två transistorer i emitterföljar- eller Darlington-koppling, vilket visas i b). I en typisk Darlingtontransistor är de tre skikten i båda transistorerna identisk och den enda skillnaden är att arean på den andra transistorn är betydligt större än den första, uppskalad med förstärkningen. Det gör att strömtätheten är lika i de två stegen, även om strömmen är större i det andra steget. Transistorn fungerar genom att en ström in på basen på den lilla transistorn drar med sig en förstärkt kollektorström. Emitterströmmen går sedan in på basen på det andra steget. Det ger en total kollektorström som är förstärkt med ungefär kvadraten på förstärkningen av de individuella transistorerna.

Exempel: Förstärkningen i en Darlingtontransistor är ungefär kvadraten på förstärkningen på de individuella transistorerna. Men hur stor är den egentligen? Kollektorströmmen från det första steget är som vanligt β⋅IB, vilket innebär att emitterströmmen är (β+1)⋅IB. Det just emitterströmmen som förstärks i det andra steget till β⋅(β+1)⋅IB. Det innebär att summan av de två kollektorströmmarna är: β⋅IB + β⋅(β+1)⋅IB = β⋅(β+2)⋅IB. Förstärkningen är alltså β2 + 2β. Den extra linjära termen har två bidrag, dels från kollektorströmmen från det första steget och dels för att det är emitterströmmen som förstärks i det andra steget.


214

VDMOSFET och HEXFET Ett av de stora problemen med stora strömmar i en MOSFET är att strömmen är som

störst vid ytan mot oxiden. Vi har inte diskuterat detta, men ofta är ledningsförmågan, d.v.s. rörligheten ganska lite vid ytan. Den kan vara bortåt en faktor 10 lägre än inne i halvledaren. Dessutom är den ett väldigt tunt skikt nära ytan som leder strömmen, vilket snabbt leder till en hög strömtäthet. Det gör att MOSFETen ofta är ganska dålig på att hantera stora strömmar. Det finns ett antal varianter på MOSFETar för effekttillämpningar. En variant visas i Figur 8:3. Det är en vertikal MOSFET, ibland kallad VDMOSFET, där V står för just vertical, vilket syftar på att strömmen i huvudsak leds vertikalt och inte horisontellt som i den vanliga MOSFETen. D står för double diffused, eftersom man har skapat både n och p-områden som i den vanliga bipolära transistorn. I den här strukturen så spärras strömmen i ”off”-läget av både ett kort p-område vid ytan och av hela längden på strukturen från baksidan (drain) till det korta p-området. Om man gör det hela i en listig konfiguration kan man få en väldigt bred men kort kanal, vilket ger en låg strömtäthet. Samtidigt har man ett långt avstånd mellan drain och source så man inte riskerar problem med en kort kanal.

En variant av den här typen av konstruktion är HEXFETen. Det är egentligen inte mer än en listig geometri-varaint av VDMOSFETen. Det innebär att man har lagt två diffusioner på varandra av olika typ med en sexkantig (hexagonal = HEX) mask. På ett n-substrat har man gjort sexkantiga områden av p-typ, vilket motsvarar substratet i en vanlig MOSFET. I dessa områden har man sedan gjort mindre n-områden. Det betyder att n-områdena som är source är omgivna med p-områden som separerar source från drain. Det betyder i sin tur att komponenten har en mycket stor kanalbredd, mycket större än en horisontell MOSFET per area. Drainkontakten i sig är i princip hela baksidan och gatekontakten ligger över sourceområdet på framsida och över hela kanalområdet. Sourcekontakten ligger över resten av ytan.

Figur 8:3 a) visar en genomskärning av en VDMOSFET, där source finns på ytan och drain på baksidan och där strömmen i stort sett går vertikalt genom komponenten. b) visar hur strömmen går när det finns en inversionskanal. Genom att ha en design av hur själva sourceområdet och hur kanalområdet ser ut kan man skapa en mycket bred, men kort kanal. Det ger en relativt låg strömtäthet i kanalen. Ett exempel på det här är HEXFETen som visas i c) från ytan. Mellan drain och source finns det ett område med kanalmaterial. Över allt utom över source ligger en gate. Över alla sourceområden ligger sourcekontakten.

Diverse komponenter

215

IGBT, Insulated gate bipolar transistor En transistorkonstruktion för effekttransistorer där man kombinerar MOSFETens höga

ingångsimpedans med den bipolära transistorns förmåga att hantera stora strömmar är en transistor som kallas IGBT, eller Insulated Gate Bipolar Transistor, beskriven i Figur 8:4. Det är återigen en struktur med fyra skikt p-n-p-n, där p-n-p är en mer eller mindre vanlig pnp-transistor. I den följande diskussionen utgår vi från funktionen i motsvarande pnp-transistor. Det som skiljer IGBTn från en vanlig transistor är att den har ett extra n-område i kollektorn nära kanten till basen. Dessutom har den kontakter till kollektor och emitter, men inte till basen. Basen är istället kopplad till kollektorkontakten via en kort MOS-kanal i kollektorn mellan bas och det extra n-skiktet. Över kanalen ligger det en gatekontakt. När gaten görs positiv så öppnas kanalen mellan kollektor och bas. Då börjar det gå en ström från bas till kollektorkontakt. Den beter sig som en vanligt basström i en pnp-transistor. Det gör att det börjar gå en ström från emitter till kollektor. Storleken på strömmen styrs av spänningen på gaten. Poängen med den här konstruktionen är att det, som för MOSFETen, inte går någon likström in genom gaten, men att det, som för den bipolära transistorn, går en stor ström mellan emitter och kollektor.

Något som gör komponenten lite konfunderande är att man i definitionen har vänt på beteckningarna emitter och kollektor jämfört med funktionen. Förklaringen ligger troligen i att det som kallas emitter har både basström och förstärkt ström medan kollektorn bara har den förstärkta strömmen.

Figur 8:4 a) En IBGT har tre kontakter, men fyra skikt. b) Den kan liknas vid en vanlig pnp-transistor med en MOSFET mellan ”bas” och ”kollektor”. Med en negativ spänning på ”kollektor” på pnp-transistorn så kommer det att gå en ström genom kanalen på MOSFETen om det ligger en positiv spänning på gaten. Den strömmen är en basström. c) När det går en basström (1) så drar den med sig en förstärkt ström (d) från ”kollektor” till ”emitter” (2). Det gör att en signal in på gaten resulterar i en ström från ”emitter” till ”kollektor”. Observera att notationen är omvänd mot funktionen, så det som i (b) är ”emitter” betecknas kollektor i själva komponenten. Därav citationstecknen i beskrivning.


216

Andra typer av fälteffekttransistorer Vad gör vi då när det behövs snabbare FETar och kisel inte räcker till längre? Man får

då leta efter andra material. Om vi kommer ihåg från MOSFET-kapitlet så ges frekvensegenskaperna bl.a. av ett linjärt beroende på rörligheten. Vi behöver alltså ”bara” öka rörligheten och vi har fått en förbättring av frekvensegenskaperna. Tabell 1 ger en översikt över några andra lämpliga halvledarmaterial. För jämförelse har vi även tagit med kisel. Vad man kan se är att det finns andra halvledare som har betydligt högre rörlighet. InAs är ett typiskt exempel, med en rörlighet som är mer än tio gånger högre än för kisel. Om det vore möjligt att göra en MOSFET på exakt samma sätt som vi idag gör en kisel-MOSFET så hade vi omedelbart en hastighetsökning på vår dator med en faktor tio. Nu finns det minst ett stort problem med de alternativa halvledarna och det är oxiden. De flesta III-V halvledare har ingen användbar oxid. Den växer helt enkelt inte tillräckligt bra, inte på samma sätt som kisel oxiderar. Germanium oxiderar på ett bra sätt och oxiden skulle kunna fungera om det inte var för att den är vattenlöslig, så om den kommer i kontakt med luftfuktighet så återgår oxiden till rent germanium igen. Det enda man kan göra är att blanda in lite germanium 1-15% i kisel. Redan då har man faktiskt lyckats öka rörligheten och man har fortfarande en stabil oxid. Det använder man idag i t.ex. senaste generationernas Pentiumprocessorer.

Tabell 1 Halvledare Rörlighet (µn) [m2/Vs] Kommentar Kisel 0,135 Idealisk stabil och lättillverkad oxid Germanium 0,39 Vattenlöslig oxid GaAs 0,85 Ingen väldefinierad oxid InAs 2,26 Ingen väldefinierad oxid

Vad man behöver är en alternativ design på FETen som inte kräver en oxid under gaten. Det finns två grundläggande typer JFET och MESFET. J står för Junction och MES står för MEtal-Semiconductor. Har man bara hur MOSFETen fungerar klart för sig så är principen för dessa båda ganska klar. Det kan också fungera åt andra hållet, eftersom speciellt JFETen är ganska lätt att förstå. Det kan t.o.m. vara så att men lättare förstår MOSFETen när man har sett hur JFETen fungerar. I både JFETen och MESFETen handlar det om att man har en ledande kanal som man med en backspänd diod utarmar och därigenom stryper.

Vi börjar med den enklare av de två, JFETen. Den är illustrerad i Figur 8:5. Den består av source och drain av n-typ med en kanal av n-typ mellan dem. Kanalen har oftast en lägre dopningskoncentration än source och drain. Under kanalen ligger det ett p-skikt. Ovanför kanalen ligger det ett område med kraftig p-dopning, som precis som i MOSFETen kallas gate. Det ger en p+n-övergång som utarmar en del av kanalen. Som vi minns från kapitlet om pn-övergången ligger huvuddelen av utarmningsområdet på den lågdopade n-sidan, d.v.s. kanalen. Med en backspänning av övergången kan man öka

Diverse komponenter

217

utsträckningen av utarmningsområdet. Därigenom minskar höjden på kanalen. På så sätt kan man effektivt ändra ledningsförmågan i kanalen från fullt öppen utan spänning på gaten till helt stängd med en viss negativ spänning på gaten. I det senare fallet når utarmningsområdet ner till p-substratet. Namnet ”junction” kommer sig av att man styr ledningsförmågan i kanalen med en pn-övergång (junction). Precis som för MOSFETen så ändras ledningsförmågan längs kanalen eftersom backspänningen ändras längs kanalen, d.v.s. höjden på kanalen ändras längs kanalen när det går ström igenom den. Precis som för MOSFETen gör det här JFETen komplicerad att räkna på och det ligger bortom innehållet i det här kompendiet.

Den stora skillnaden i hur JFETen fungerar jämfört med MOSFETen är att gaten inte längre är en perfekt isolator, det går alltid en liten backström igenom gaten så fort det ligger en spänning på den. I princip skulle man också kunna lägga på en framspänning och därigenom minska utarmningsområdet, men då går det en framström genom gaten, något som man oftast inte vill ska hända. Den strömmen kan vara ganska mycket större än backströmmen. Vi ska komma ihåg att den ström som går in genom gaten är den ström som belastar signalkällan och vi vill ofta att den lasten ska vara så liten som möjligt. Dessutom måste strömmen komma någonstans ifrån, och det är antingen source eller drain.

Figur 8:5 En JFET består av ett p-substrat med ett tunt homogent dopat n-skikt ovanpå. I detta skikt finns ett source och ett drain-område av n+-typ Mellan dessa finns det ett p-område som fungerar som en gate. Själva transistorverkan får man från att utarmningsområdet mellan gaten och p-substratet kan ändras genom att backspänna gate-kanalövergången. Ett ökat utarmningsområde betyder en minskad kanalhöjd. a) Visar hur det ser ut utan spänning på gaten, när kanalen är öppen. Då kan elektroner röra sig från source till drain, och det går en ström från drain till source. Strömmen är en ren driftström. b) Visar hur det ser ut när det ligger en tillräckligt hög (negativ) spänning på gaten så att utarmningsområdet sträcker sig ända ner till p-substratet och därigenom utarmar (stryper) hela kanalen. I detta läge går det ingen ström genom JFETen.

Det vi har diskuterat hittills är en n-JFET. Beteckningen ”n” är samma som för n-MOSFETen där det handlar om att elektroner står för strömtransporten i kanalen. På samma sätt som vi kan ha en p-MOSFET så kan vi ha en p-JFET. Det är bara att byta plats på n och p i figuren för att åstadkomma en p-JFET. Den fundamentala skillnaden är att det är hål som rör sig i kanalen. Dessutom byter vi tecken på spänningarna, där det krävs en positiv spänningen på gaten för att strypa kanalen.

Ett alternativt arrangemang är att istället för en gate som består av en p-dopning (eller n-dopning) för att skapa utarmning av den normalt öppna kanalen är att använda sig av en Schottkydiod istället. Det gör man genom att lägga en metallkontakt direkt ovanpå kanalen. Med en lämplig metall skapas då en Schottkydiod mellan kontakten och kanalen. Precis som i JFETen kan man genom att backspänna Schottkydioden öka utarmningsområdet för att minska höjden på kanalen mellan source och drain. Eftersom det


218

här rör sig om en metall-halvledare FET så kallas den följaktligen MEtal-Semiconductor-FET, förkortat MESFET (och inte det lite mer svåruttalade MSFET). Strukturen finns illustrerad i Figur 8:6.

Figur 8:6 En n-MESFET) bygger på ett p-substrat med ett tunt homogent n-skikt ovanpå. n-skiktet bildar i likhet med JFETen kanalen i transistorn. I n-skiktet har två n+-områden skapats, ett för drain och source vardera. Ovanför området mellan source och drain ligger en metallkontakt. Med ett lämpligt val av metall skapas en Schottkydiod mellan metallen och n-kanalen. Det skapar ett utarmningsområde i en del av kanalen. Genom att backspänna övergången så kan man öka utsträckningen av utarmningsområdet och därigenom minska höjden på kanalen. a) visar MESFETen utan spänning på gaten, där en ström kan gå mellan drain och source. Strömmen är i n-MESFETen en ren driftström av elektroner. b) visar situationen när en tillräckligt hög backspänning ligger på gaten och då är hela kanalen utarmad under gaten. Det gör att det inte kan gå någon ström mellan source och drain och kanalen är strypt.

Vilken typ av struktur man gör beror lite på hur enkelt det är att göra den ena eller den andra strukturen. Det är t.ex. ganska enkelt att hitta en lämplig metall för att tillverka en Schottkydiod mot n-typ GaAs, och därför görs ofta MESFETar av GaAs. Finns det inga lämpliga metaller för att skapa en bra Schottkydiod så väljer man JFET. Rent tillverkningstekniskt är ju MESFETen enklare eftersom den har en diffusion/implantering mindre än JFETen. Det kan vara så att MESFETen behöver ett extra metalliseringssteg, men det är oftast enklare än en diffusion.

Minnesceller, RAM, ROM och Flashminnen En familj av mycket viktiga komponenter är minneskretsar, speciellt för

datortillämningar. En intressant kommentar när det gäller en av de vanligaste minnestyperna idag, flashminnet, kommer från en föreläsnings av en av dess uppfinnare, Professor Simon M. Sze. Han berättade att när han uppfann den här typen av komponent och arbetade på IBM så kom han in till sin chef och beskrev glatt sin uppfinning. Chefens första kommentar var ”Vad ska man ha den till?”. På sextiotalet kunde ingen se vad minnet skulle komma att användas till. Det slutade med att man gömde uppfinningen och publicerade upptäckten i en obskyr vetenskaplig tidskrift. Chefen ville helt enkelt inte att IBM skulle kopplas ihop med värdelösa uppfinningar. Var hade vi varit idag utan minne till digitala kameror och MP3-spelare mm!

Man brukar ofta skilja på två typer av minnen, den typ som tappar minnet när det förlorar sin strömförsörjning kallas ofta volatile (dynamiskt på svenska) och den typ som behåller minnet i all evighet, eller i alla fall i åratal, som då följaktligen kallas non-volatile (statiskt på svenska). Den vanligast förekommande typen av minne i den första kategorin är RAM-minne (random access memory) som sitter i bl.a. datorer. De består av två delar, en MOSFET och en kondensator (en MOS-kondensator). Principen för hur komponenten

Diverse komponenter

219

ser ut och fungerar är illustrerad i Figur 8:7. Minnet består av laddningen i kondensatorn. Man kan antingen ha laddning på kondensatorn, vilket kan sägas representera en ”etta” eller så kan man sakna laddning, viket följaktligen betyder en ”nolla” (Definitionen på vad som är ”etta” och ”nolla” kan vara omvänd). En minnescell består av en MOSFET där drain-området är större än source-området. Över drain-området ligger det först en oxid och sedan en metall-kontakt. Kontakten är kopplad till jord och utgör ena plattan på MOS-kondensatorn och drain utgör den andra plattan. Det är då den eventuella laddningen på drain som är minnesinnehållet. Gaten på MOSFETen är kopplad till ett adressnät som gör att man kan öppna kanalen in till själva minnet. Source kan antingen kopplas till en skrivfunktion eller till en läsfunktion. Skriver till minnet gör man genom att öppna kanalen med gaten och antingen se till att kondensatorn töms eller fylls med elektroner. Läser gör man genom att öppna kanalen och läsa av vad som finns i minnet. Kommer det ut elektroner så ligger det en ”etta” i minnet och kommer det inte ut något så ligger det en ”nolla”. Här dyker det upp ett av problemen med den här typen av minne. Varje gång man läser minnet så förloras åtminstone en del av laddningen. Man måste alltså skriva in innehållet igen. Ett annat problem är att laddningen på kondensatorn ofta har en benägenhet att läcka bort med tiden. Det gör att man måste se till att skriva tillbaka all information med jämna mellanrum. Det kallas att man gör en ”refresh” på minnet. Det är som tur är något som datorn själv håller reda på och vi behöver inte bekymra oss om det. Hur det här går till och hur läs- och skrivfunktionerna går till ger upphov till en uppsjö av olika namn på RAM-kretsarna. Vi ska också tänka på att det vi beskrivit hittills bara är en minnescell. I ett minne på 1 GB så finns det alltså ca åtta miljarder celler. Därför krävs det ett ganska avancerat adresseringssystem för att läsa/skriva till varje individuell minnescell.

Figur 8:7 a) En minnescell i ett RAM-minne består av en MOSFET med ett extra stor drain-området. Det är extra stor eftersom den också fungerar som ena plattan på en kondensator. Den andra plattan är en metallplatt som ligger ovanför drain-området, separerad med ett oxidskikt. Det är den här kondensatorn som är själva minnet, där laddning eller ingen laddning avgör om det ligger en ”etta” eller ”nolla” i minnet. b) Visar kopplingsschemat för minnescellen. Gaten används för att öppna kanalen in till kondensatorn. Med öppen kanal kan man antingen (c) skriva till minnet genom att ladda eller ladda ur kondensatorn eller läsa innehållet (d) genom att se om det kommer ut laddning eller ej.

Den andra typen av minnescell är den som används i t.ex. Flashminnen, men det finns ett antal varianter. EPROM som man kan skriva till en gång. EEPROM som man dessutom


220

kan radera och skriv till igen. Men den mest förekommande idag är den typ som kallas Flash. Hur den ser ut är illustrerat i Figur 8:8. I princip ser den ut som en vanlig MOSFET med den skillnaden att man har stoppat in en extra gate mellan kanal och den vanliga gaten. Denna gate är helt isolerad från kretsen och kallas därför flytande gate. Om man inte har gjort något med cellen så har den en normal ström-spänningskarakteristik med en given tröskelspänning. Över denna spänning får man en ström genom MOSFETen och under den får man ingen ström. Om man nu lägger en relativt stor positiv spänning på gaten så kan skapa ett starkt elektriskt fält och därigenom få elektroner att ta sig igenom oxiden till den flytande gaten. Alternativt skapas laddningen på den flytande gaten genom att en kraftig ström drivs mellan source och drain, vilket kan få några få elektroner att hoppa över oxiden. Oavsett hur elektronerna genereras så kommer dessa elektroner att finnas kvar på gaten i åratal om vi inte aktivt tar bort dem. Laddningens tas bort genom att lägga en negativ spänning på gaten. Med den extra laddningen på den flytande gaten så har vi höjt den normala tröskelspänningen för MOSFETen. Med en tillräcklig mängd elektroner på den flytande gaten så kan vi få en situation där vi kan avgöra om det finns elektroner eller ej bara genom att lägga på en spänning på gaten. Spänningen ska vara större än tröskelspänningen för den tomma flytande gaten men lägre än tröskelspänningen för den laddade gaten. Om det går en ström finns det ingen laddning och om det inte går någon ström så finns det laddning. Detta är illustrerat i Figur 8:8 (b). Vi kan alltså läsa minnet genom att studera strömmen. Finessen är att detta fungerar varje gång vi testar strömmen och så länge vi inte utsätter kretsen för höga spänningar så ligger laddningen kvar och vi kan använda cellen som ett permanent minne i våra kameror och MP3-spelare och vad vi nu använder minnena till.

Figur 8:8 a) En minnescell i ett flashminne består at en vanlig MOSFET, där man har bäddat in en extra "flytande" gate mellan den vanliga gaten och kanalen. Den flytande gaten är helt isolerad från resten av komponenten c) Från början finns det ingen laddning på den flytande gaten. d) Genom att lägga en hög spänningspuls på gaten kan man få elektroner att hoppa från source till den flytande gaten. Alternativt kan en stor ström mellan drain och source få elektroner att hoppa ut på den flytande gaten. e) Vi har nu fått laddning på den flytande gaten. Laddningen stannar kvar där i åratal om vi inte fysiskt tar bort dem därifrån. b) Med laddning på den flytande gaten ökas tröskelspänningen. Genom att lägga på en spänning mellan de två tröskelspänningarna på gaten kan vi avgöra om det finns laddning eller ej genom att se om det går ström eller ej. Till skillnad från RAM-minnet så måste vi ta bort laddningen för att tömma minnet.

Diverse komponenter

221

CCD Relaterat till flashminnet är chipet som generar bilderna i en digitalkamera. Det brukar

beskrivas som ett CCD-chip. Beteckningen kommer som vanligt från engelskan och står för Charge-Coupled Device. Egentligen består chippet av ett rutmönster av MOS-kondensatorer, en för varje pixel på ett svart-vitt chip och fyra för varje pixel på ett färg-chip. När vi belyser en pixel så genereras elektroner som lagras i kondensatorn. Antalet elektroner beror på hur mycket ljus som pixeln har utsatts för. Efter att ha exponerats så har vi ett stort antal pixlar som ska läsas av. En modern kamera har t.ex. runt 5 miljoner pixlar där varje pixel innehåller fyra MOS-kondensatorer, alltså 20 miljoner kondensatorer. Här kommer nu CCD-konstruktionen in. Varje kondensator är indelad i tre segment med en separat gate ovanför. Elektronerna i kondensatorn kan samlas under de olika segmenten genom att vi lägger en spänning på något av segmenten. Om vi lägger ett pulsschema som i Figur 8:9 (a) på gatearna så kan inte bara flytta elektronerna från sida till sida på en kondensator utan även flytta från kondensator till kondensator, vilket visas i Figur 8:9 (c). På det här sättet kan man gradvis flytta ut all laddning till kanten på chippet där det finns en känslig elektronräknare. I de känsligaste CCD-chippen kan man räkna enstaka elektroner. Det är därför som det tar lite tid att flytta ut laddningen till räknaren. Det är just därför det tar lite tid att läsa över en bild till minnet i en digitalkamera.

Av förklarliga skäl så måste räknarna ligga i ytterkanterna, för annars hade de blockerat ljuset in på kretsen. Det gäller dessutom att ha så stor del av ytan ljuskänslig för att kunna ta vara på så mycket av ljuset som möjligt. I början av beskrivningen av CCDn så nämnde vi att varje pixel i ett färgchip består av fyra kondensatorer. Normalt brukar ju färg betyda röd-grön-blå, vilket ju bara är tre färger. Förklaringen att man använder just fyra är att CCD-chipen oftast är gjorda av kisel, i alla fall de som används för vanliga kameror. När kisel träffas av synligt ljus så genererar varje foton en elektron. Problemet är att våra ögon har en helt annan relation för känslighet. Det krävs betydligt fler röda fotoner än gröna för att vi ska uppfatta ljuset som lika starkt. Det gör att man använder en kondensator för rött, en för blått och två för grönt. Färgerna fås helt enkelt genom att lägga ett filter framför varje fjärdedel av pixeln. Det är illustrerat i Figur 8:9 (a).

En annan sak som behöver förklaras är varför en spänning på gaten inte drar till sig elektroner från substratet. Sanningen är att det tar sekunder till minuter för en MOS-kondensator att dra till sig elektroner från ett p-dopat substrat. I en n-MOSFET så kommer elektronerna i kanalen i själva verket från det två stora elektronreservoarerna som drain och source utgör. Där finns det en hög koncentration av elektroner att dra till sig till kanalen.

CCD-tekniken kan också användas som minneskretsat där man stoppar in data i ena änden och läser ut i den andra. Det är i kretsar som fungerar som ett shiftregister. Det var den ursprungliga användningen av CCD-tekniken.


222

Figur 8:9 a) Visar en pixel i ett färg-CCD-chip, från ytan. Den består av fyra MOS-kondensatorer, där varje del har ett färgat filter framför sig så att en kondensator detekterar rött, en blått och två grönt. Obalansen är till för att motsvara ögats känslighet. För varje foton som går igenom filtret så genereras i princip en elektron i utarmningsområdet i MOS-kondensatorerna och där ansamlas de tills exponeringstiden är ute. Efter exponering tar själva CCD-tekniken vid. Varje kondensator har tre gatear ovanför sig. Med hjälp av olika spänningar på dem kan man samla elektronerna under en två eller alla tre gatearna. b) Man kan dessutom med ett komplicerat pulsmönster flytta elektroner, inte bara från sida till sida på en kondensator utan från kondensator till kondensator. c) På så sätt kan man successivt flytta ut alla laddning till kanten på CCD-chippet. I chippets ytterkant finns det en krets som räknar elektronerna i varje pixel och man läser därför stegvis ut bilden från chippet till minnet.

Kvantkomponenter Vi kommer nu att kort beskriva en kategori av komponenter som är baserade på

kvantmekaniska effekter. Kvantmekanik är ett ämne som sedan länge tillbaka har försvunnit från obligatoriet för elektro så vi kommer inte att gå in på några detaljer. I huvudsak kan det beskrivas som att gå tillbaka till hur vi introducerade bandstrukturen hos en halvledare som en egenskap av att vi har ett stort antal identiska atomer i ett regelbundet kristallmönster. Om vi nu stoppar in ett tunt skikt av andra atomer i en kristall så kan man se det som ett skikt som i någon mening går tillbaka till atomliknande diskreta tillstånd. Med diskreta menar man att vi har nivåer som bara kan ha en elektron i sig på en väldefinierad energi, precis som i atomen och alltså inte band med många elektroner. Om detta skikt är av material med ett lägre bandgap är den övriga kristallen så får man inte längre band utan man får distreta nivåer i valensbandet för hål och i ledningsbandet för elektroner i det tunna skiktet men inte i de omgivande områdena. Ett typiskt exempel på det här visas i Figur 8:10, där (a) visar en elektronmikroskopibild av en sådan kristall, där de tre skikten med olika grånivåer är olika material. I bilden kan man dessutom se ett antal vita prickar (om trycket är tillräckligt bra). Dessa är faktiskt de enskilda atomerna i kristallen. Det kan man se om man bara vrider kristallen i rätt riktningar. Jämför det med bilderna av kristaller i gymnasiets kemiböcker.

Diverse komponenter

223

Figur 8:10 Med modern tillverkningsteknik kan man kontrollera tillväxten av kristaller ner på atomär nivå. Det gör att man kan tillverka tunna skikt (typiskt mindre än 10 nm) av en halvledare inbäddade i en annan halvledare. a) Visar en kristall med ett tunt skikt av GaAs (bandgap 1.4 eV) omgivet av AlGaAs (bandgap 2,0 eV). Bilden är tagen med ett elektronmikroskop, där man kan se en kontrastskillnad mellan de två materialen, GaAs mörkare och AlGaAs ljusare. Dessutom kan man se de enskilda atomerna i form av vita prickar. Det tunna skiktet innebär att vi inte längre rör oss bland de jättemånga atomerna med band, utan vi befinner oss i ett mellanläge och det tunna skiktet har enstaka, atomliknande nivåer och inte band. b) Elektronen kan bara finnas i ett fåtal tillstånd. Samma sak gäller för hålen. Eftersom det rör dig om ett antal atomer så skiljer energinivåerna sig från enstaka atomer.

Beroende på utsträckningen av dessa tunna områden så använder man olika beteckningar: Ett tunt skikt kallas en kvantbrunn, en tunn tråd kallas kvanttråd och en lite partikel kallas kvantprick. Komponenterna i den här kategorin är i gränslandet mellan igår, idag och imorgon. En del av dem är redan kommersiella produkter och en del är rena prototyper som kanske aldrig kommer i produktion.

Komponenter som baseras på kvantmekaniska effekter utnyttjar oftast det faktum att energitillstånden nu är diskreta. En annan effekt är att elektroner och hål finns mycket närmare varandra och därigenom ökar sannolikheten att de rekombinerar med varandra. Det används i många lasertillämpningar, t.ex. så finns det ett par kvantbrunnar i den laser som sitter i en DVD-spelare. Andra fördelar med kvantkomponenter är att en laser med kvantbrunnar är betydligt strömsnålare och effektivare, den är oftast snabbare och kan moduleras med en högre frekvens än motsvarande laser med tjockare skikt. Högre frekvens innebär fler pulser per tidsenhet vilket i sin tur innebär högre kommunikationshastighet, fler MB per sekund i datorkommunikation.

Även komponenter för vanlig elektronik kan dra nytta av de diskreta nivåerna. Om vi drar oss till minnes den grundläggande halvledarfysiken så nämnde vi att det finns en koppling mellan rörlighet och kvaliteten på halvledaren i något som vi kallade genomsnittssträcka mellan det att elektronen stöter på imperfektioner. Ju längre den sträckan är desto högre är rörligheten. Det som händer i t.ex. en kvantbrunn är den här sträckan ökar betydligt jämfört med ett tjockt skikt. I extremfallet kan man faktiskt göra komponenter är kanallängden är kortare än den här sträckan. Elektronen kan då ta sig igenom kanalen som om det vore i vakuum, helt utan att förlora sin hastighet. Det gör att komponenten är betydligt snabbare. Dessutom sker det ingen värmeutveckling i kanalen.


224

Figur 8:11 Två komponenter som använder kvanteffekter. a) Den resonanta tunneldioden består av en kvantbrunn omgiven av två tunna barriärer och två tjockare skikt. Bandstrukturen visas i (b). c) Elektroner som går från vänster till höger kan ta sig igenom barriären om bandkanten på vänstersidan ligger på exakt samma energi som det diskreta tillståndet i kvantbrunnen. (d) i alla andra fall måste elektronen ta sig över barriären och det kräver mycket högre energi. Det gör att man bara får en ström genom dioden om man har exakt rätt framspänning. En-elektron transistorn har en liknade struktur som tunneldioden i (a). e) Skillnaden är att vi nu har en isolerad gate kopplad till kvantbrunnen. Med hjälp av gaten kan man höja eller sänka tillstånden i kvantbrunnen relativt source och drain. g) Vi kan då se till att en elektron hoppar in i brunnen. h) För att få in en elektron till behöver vi lägga på mer spänning på gaten. Kan antingen användas som ett flerelektronminne eller som en transistor för mycket små men precisa strömmar eftersom vi har kontroll på strömmen på elektronnivå. För att hjälpa elektronerna in och ut så måste det ligga lite spänning mellan source och drain, vilket inte är inkluderat i (g) och (h).

Det finns en uppsjö av komponenter baserade på kvanteffekter, som arbetar på ett sätt som inte har någon motsvarighet i den ”vanliga” komponentvärlden. Det finns för många för att gå igenom dem i detalj, men vi nämner ett par. En är den resonanta tunneldioden, illustrerad i Figur 8:11 (a-d), där en kvantbrunn är omgiven av tunna skikt av material av högre bandgap (kallas normalt för barriärer) för att sedan omges av tjockare skikt av det lägre bandgapet. Normalt kan väldigt få elektroner ta sig igenom barriärerna, men om de är tillräckligt tunna så kan några få göra det. En förutsättning är att elektronen har exakt samma energi som det diskreta tillståndet i kvantbrunnen. Det kan man linjera upp genom att lägga på en framspänning på dioden. När en elektron väl har tagit sig in så krävs det högre energi för att nästa elektron ska få plats i kvantbrunnen, eftersom det lägsta tillståndet redan har en elektron i sig. Man måste vänta till den första elektronen har tagit sig ut igen. Det gör att vi bara får ström igenom den här dioden vid mycket välbestämda framspänningar. Om framspänningen ökas lite så minskar strömmen. Området med negativ differentiell resistans, d.v.s. där strömmen minskar med ökad framspänning är mycket litet. Det innebär att den här typen av komponent kan användas som oscillatorer för mycket höga frekvenser. Ett annat användningsområde är i logikkretsar, där det går att göra de vanligaste grindarna med ett fåtal dioder. Dessa tar upp en betydligt mindre yta än en konventionell MOSFET-grind.

Diverse komponenter

225

Den sista komponenten vi beskriver är en-elektrontransistorn, illustrerad i Figur 8:11 (e-h). När vi tittar på utvecklingen på minneskretsar, enligt figur 1:2 så finns det idag ca 100 elektroner i de minsta minnescellerna. Det förutspås att vi år 2012 kommer att ha ett minne som består av en enda elektron. Det är ju definitivt en gräns som inte går att bryta igenom. Det betyder ju att vi behöver en minnescell som bara innehåller en elektron. Redan idag finns det prototyper på den här typen av transistor. Den ser ut ungefär som den resonanta tunneldioden. Enda skillnaden är att kvantbrunnen har en gate på sig. Genom att lägga en spänning på gaten kan man få en elektron att hoppa in i kvantbrunnen. En ännu högre spänning på gaten kan man få in två elektroner o.s.v. Man kan alltså använd den här transistorn som ett minne för enstaka elektroner eller för ett antal elektroner. Man kan då ha en enda komponent för ett minne för 0-9 istället för de vanliga binära minnena. Även den här typen av komponent kan användas för att skicka strömmar, en elektron åt gången. Det ger en mycket exakt kontroll av strömmen.

De här senare typerna av komponenter visar hur man idag studerar andra sätt att utveckla elektronikkomponenter utanför de vanliga mönstren. Genom att ersätta de vanliga komponenter som har samma funktion som en konventionell komponent kan man göra funktionen mindre, billigare eller någon annan förmånlig egenskap. Den traditionella utvecklingen däremot är att krympa ner existerande komponenter, genom att bara skala ner dem. Det går till en viss gräns men till slut blir allt för litet. Ett exempel är att oxidtjockleken på en MOSFET nu är nere på en nivå där det rör sig om ett par atomlager tjockt. Det gör att kvaliteten på oxiden är mycket viktigt. Om den bara på något ställe är tunnare så kan man drabbas av att det läcker ström genom oxiden och hela kretsen är förstörd.

Sensorer och Halleffekten Sensorer är en kategori komponenter som ligger lite utanför den vanliga familjen av

komponenter, men eftersom en del av dem är baserade på halvledare och eftersom dessa har en mycket enkel funktion så beskriver vi dem i detta kapitel. Det handlar om en komponent som heter Hall-sensor eller Hall-detektor. Den använder en mycket enkel princip och det är hur ett magnetfält påverkar en laddningsbärare som rör sig. Från gymnasiefysiken kommer vi ihåg v-B-F, hur man med tumme-pekfinger-långfinger avgör hur en positivt laddad partikel avviker från en linjär bana i ett magnetfält. Detta visas i Figur 8:12. Om en positivt laddad partikel rör sig från vänster till höger och stöter på ett magnetfält vinkelrätt in i bilden så påverkas den av en kraft uppåt. På samma sätt så avviker en elektron nedåt. Det kan man använda genom att skicka en ström genom t.ex. en n-typ halvledare. Då får man en förskjutning av alla elektroner nedåt i halvledaren, man skapar en ansamling av elektroner i halvledarens nederkant. Detta kan man mäta som en spänning över halvledaren, som i Figur 8:12 (b), där nederkanten har en negativ spänning. Om man istället har en p-typ halvledare så får man en ansamling av hål i halvledarens nederkant, med en positiv spänning på nederkanten.

Det här är en effekt som används i halvledarfysiken för att bestämma om ett material är n- eller p-typ. Storleken på spänningen kan dessutom tala om hur stor koncentration av hål


226

eller elektroner som finns i halvledare. Det är kanske inte så intressant för gemene man. Vad som däremot är mer intressant är att det går att använda denna effekt som en mycket effektiv och känslig lägesdetektor. Denna typ av detektorer används bl.a. i bilmotorer, där man har en liten magnet på svänghjulet i motorn och en hallsensor någonstans i närheten av svänghjulet. När svänghjulets magnet passerar förbi sensorn genereras det en spänningspuls i sensorn. Då kan motorns dator lista ut var svänghjulet befinner sig och den kan då avgöra när insprutning och tändning ska ske. Detta är en av de viktigaste sensorerna i en modern bilmotor och utan den är styrdatorn helt blind och motorn är helt obrukbar. Samma typ av arrangemang kan användas i sensorerna i låsningsfria ABS-bromsar. Tillämpningarna är många, bl.a. sitter det oftast en magnet på hjulet på en cykel med dator. Borta är wirar, snurrande magneter och fjädrar i forna tiders hastighetsmätare.

Figur 8:12 a) En elektron som färdas från vänster och kommer in i ett magnetfält in i kompendiet påverkas av en kraft nedåt, enligt v-B-F regeln. Ett hål med samma riktning påverkas istället uppåt p.g.a. sin positiva laddning. Det kan användas i en komponent som kallas Hallsensor. b) Om det går en ström genom en n-typ halvledare (strömmen består enbart av elektroner) så trycks elektronerna nedåt. c) I en p-typ halvledare så är det hål som tryck nedåt. Det innebär en laddningsförskjutning vilket kan mätas som en spänning, en Hallspänning. Dels kan man genom tecknet på spänningen avgöra om materialet är n- eller p-typ. Man kan också använda sensorn för att mäta magnetfält och dessutom använda den som lägesdetektor med hjälp av en magnet.

- 227 -

9. Begreppslista

Absorption En process där t.ex. en foton fångas upp av ett material och försvinner. Fotonens energi överförs till t.ex. en elektron i valensbandet och en fri elektron skapas i ledningsbandet samtidigt som det skapas ett fritt hål i valensbandet. Jfr. Generation. Acceptor En oftast medveten förorening i en halvledare med en valenselektron mindre än den atom den ersätter. Det skapas därför direkt ett fritt hål i valensbandet utan att det skapas motsvarande fria elektron i ledningsbandet. Under normala förhållanden är koncentrationen av fria hål lika stor som koncentrationen av acceptorer. Material med acceptorer är p-typ. Jfr. donator. Ackumulation Med en spänning på gaten på en MOS-struktur kan man dra till sig fria laddningsbärare till ytan. Om man drar till sig majoritetsladdningsbärare så skapas ett skikt med högre koncentration av dessa vid ytan jämfört med inne i halvledaren. Man har skapat ackumulation vid ytan. Arbetsmoder Den bipolära transistorn har tre poler och kan därför ha fyra möjliga spänningskombinationer när det gäller positiv eller negativ spänning. Normalt tittar man på spänningen mellan bas och emitter och mellan bas och kollektor. För en npn-transistor gäller: I normal eller aktiv mod är UBE > 0 och UBC < 0, där förstärkningen är den tilltänkta; I inverterad mod är UBE < 0 och UBC > 0, där förstärkningen är lägre än tilltänkt; I bottnad mod är UBE > 0 och UBC > 0, där basströmmen är större än i aktiv mod och riktningen på kollektorströmmen är odefinierad. Riktningen ges av vilken av spänningarna som är störst. Och i stryp mod är UBE < 0 och UBC < 0, där båda övergångarna är backspända och det i princip inte går några strömmar, bara backströmmar. Asymmetrisk diod En diod där p- och n-skikten har olika dopningskoncentrationer. Det gör att diodens egenskaper huvudsak bestäms av den lågdopade sidan. Om p-sidan har högst dopningskoncentration så kallas dioden p+n-diod och om istället n-sidan har högst dopningskoncentration så kallas dioden n+p-diod. Jfr. symmetrisk diod. Backström Strömmen i backriktningen i en diod. I idealfallet ges den av gradienten av majoritetsladdningsbärare på den lågdopade sidan. Den är därför i princip oberoende av


228

backspänningen. I en verklig diod ges den av generation av laddningsbärare i rymdladdningsområdet. Ju större backspänning, desto större rymdladdningsområde och desto större volym och desto större ström. För stora backspänningar ökar strömmen därför som roten ur backspänningen, eftersom rymdladdningsområdet ökar med just roten ur den pålagda backspänningen vid stora backspänningar. Bandgap Energiintervallet mellan överkanten på valensbandet och underkanten på ledningsbandet. Det finns inga energitillstånd i det intervallet, så det finns därför inga elektroner eller hål med den här energin. Jämför med energiintervallen mellan skalen i en enskild atom. Bandgapet separerar valensbandet från ledningsbandet. Basresistans Resistansen för basströmmen genom basen. En ren driftström. I en väldesignad transistor är den försumbar. Basström Strömmen som går genom kontakten till basen på en bipolär transistor. I normal arbetsmod är den en ren driftström i basen och den uppkommer genom injektion av laddningsbärare från basen till emittern. Den ges av vad som händer med de injicerade laddningsbärarna i emittern. CMOS En teknologi som är mycket viktig i framför allt digitala tillämpningar. Den bygger på att man har en p-MOSFET och en n-MOSFET i serie mellan jord och drivspänningen. De styrs av samma inspänning, vilket innebär att minst en av dem är strypt för en given inspänning. Det gör att det i statiska situationer inte går någon ström i kretsen. Det i sin tur medför en drastiskt minskad strömförbrukning och därmed en låg effektutveckling vilket är nödvändigt i t.ex. datorprocessorer. Diffusionskapacitans Kapacitansen i en pn-övergång relaterad till strömmen genom den. När det går en framström genom en pn-övergång så finns det ett överskott av minoritetsladdningsbärare i de neutrala delarna på var sida av övergången. Koncentrationen och profilen ändras med strömmen. Det gör en förändring av spänningen över övergången medför en förändring av laddningen. Det ger upphov till en kapacitans som bara finns vid framspänning. Vid backspänningar ändras inte laddningsprofilen och därför finns inte diffusionskapacitansen vid backspänning. Kapacitansen ändras med strömmen genom pn-övergången och är därför en småsignalkapacitans. Diffusionsström En ström som beror på en skillnad i koncentrationen av laddningsbärare. Laddningsbärare rör sig från hög koncentration till låg koncentration. Den ger inte upphov till något spänningsfall till skillnad mot driftströmmen. Diodekvationen Ekvationen beskriver hur strömmen genom en pn-övergång beror på yttre spänning, geometri och materialparametrar. Det viktiga är att strömmen i framriktningen beror exponentiellt på spänningen och temperaturen. Strömmen har också ett implicit beroende på bandgapet genom den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen. Donator En oftast medveten förorening i en halvledare med en valenselektron mer än den atom den ersätter. Det skapas därför direkt en fri elektron i ledningsbandet. Under normala förhållanden är koncentrationen av fria elektroner lika stor som koncentrationen av donatorer. Material med donatorer är n-typ. Jfr. acceptor.

Begrepp

229

Drifthastighet Medelhastigheten som laddningsbärare har i ett elektriskt fält. För låga elektriska fält ökar hastigheten linjärt med fältet. Vid höga fält når laddningsbärarna en maximal hastighet, gränshastigheten. Driftström En ström som uppstår när fria laddningsbärare utsätts för ett elektriskt fält. Strömmen är den som finns i Ohms lag och ger upphov till ett spänningsfall till skillnad från diffusionsströmmen. Earlyeffekten En effekt som påverkar kollektorströmmen när man ändrar spänningen mellan kollektor och emitter. Med ökande spänning mellan kollektor och emitter (egentligen kollektor och bas) ökar kollektorströmmen. Det händer eftersom den ökande spänningen ökar backspänningen av bas-kollektorövergången vilket ökar utsträckningen av rymdladdningsområdet. Därmed minskar den neutrala delen av basen, den delen av basen där själva koncentrationsgradienten finns. Det i sin tur ökar koncentrationsgradienten i basen och därmed ökar kollektorströmmen. Eftersom inte bas-emitterövergången påverkas så ändras inte basströmmen, däremot så ökar förstärkningen. Elektron En elementarpartikel som har negativ laddning. Emission En process som resulterar i att något skapas, t.ex. en foton eller en elektron. I en halvledare talar man ofta om fotonemission, som normalt sker när en elektron i ledningsbandet rekombinerar med ett hål i valensbandet. Det som då kan hända är att en foton skapas, där fotonens energi ges av bandgapet. Emitterström Strömmen som går ut genom emittern. I normal arbetsmod är det summan av bas- och kollektorströmmarna. Det är en kombination av en driftström som består av laddningsbärare som injiceras från emittern till basen och en diffusionsström som består av laddningsbärare som injiceras från basen till emittern. Excitation En process som resulterar i att en elektron lyfts från valensbandet till ledningsbandet och en fri elektron och ett fritt hål skapas. Det kan ske genom termisk excitation, där ett fåtal elektroner har tillräckligt stor del av elektronkollektivets termiska energi för att ta sig upp i ledningsbandet. Det kan också skapas genom att en foton absorberas och en elektron lyfts till ledningsbandet, i en process som kallas fotoexcitation. I det fallet måste fotonens energi överstiga bandgapets energi. Fermi-nivå Ett viktigt begrepp inom halvledarfysiken. Den beskriver en statistisk energinivå, som definieras som den energi där det är 50% chans att hitta en elektron per tillstånd, om det finns ett tillstånd där. I en metall är det enkelt, eftersom det normalt finns tillstånd kring Fermi-nivån. I en halvledare ligger Fermi-nivån normalt i bandgapet där det inte finns några tillstånd. I en dopad halvledare ges Fermi-nivån av dopningskoncentrationen. De viktiga poängerna med Fermi-nivån är: 1) Den är konstant i ett system i jämvikt, vilket innebär att Fermi-nivån i ett system med olika dopning är konstant. Fermi-nivån kan alltså användas som referensnivå. 2) Det finns en direkt koppling mellan Fermi-nivån och laddningsbärarkoncentrationerna. I en opåverkad halvledare ges Fermi-nivån av laddningsbärarkoncentrationen. Påverkas Fermi-nivån kan även laddningsbärarkoncentrationen påverkas.


230

Flatbandspänning Den spänning som behöver läggas på gaten i en MOS-struktur för att banden i halvledaren ska vara helt flata (speciellt vid ytan). Det innebär att det varken är utarmning eller ackumulation i halvledaren. För en ideal MOS-struktur är denna spänning 0. Fotodiod En diod som ger en ström ifrån sig när den belyses. Det sker när elektron-hål-par skapas i rymdladdningsområdet, där det inbyggda fältet separerar elektroner och hål. Elektronerna går mot n-kontakten och hålen mot p-kontakten. Det i sin ger en ström från dioden till en yttre krets utan att man lägger en yttre spänning över den. Ström-spänningskurvan ser ut som en vanlig diodkurva, med den skillnaden att den är förflyttad ner med en konstant ström, kortslutningsströmmen, en ström som är proportionell mot ljusintensiteten. Fotoströmmen går i backriktningen. Fotoledare En resistor vars resistans minskar drastiskt när man lyser på den. Den enklaste typen av fotodetektor som till skillnad mot en fotodiod behöver en yttre spänning för att fungera. Orsaken till den minskande resistansen är att det skapas extra fria laddningar när man belyser den. Dessa extra laddningsbärare är fler än utan belysning, vilket ger en lägre resistans. Fototransistor En transistor vars backspända bas-kollektorövergång fungerar som en fotodiod. När de genererade laddningsbärarna tar sig över basen till den framspända bas-emitterövergången kommer den strömmen att förstärkas som en vanlig basström, vilket ger en förstärkt fotoström jämfört med fotodioden. Generation En process som lyfter en elektron (eller flera elektroner) från valensband till ledningsband. Därigenom skapas fria elektroner. Samtidigt skapas lika många fria hål. Exempel på processer är: termisk excitation, där ett fåtal elektroner har tillräckligt med energi att hoppa över bandgapet och optisk absorption, där elektorn lyfts från valensband till ledningsband genom att en foton överlämnar sin energi till elektronen. Förutsättningen för den senare är att fotonens energi är minst lika stor som bandgapet. Generationshastighet Antalet elektroner som genereras per tidsenhet. Ibland definieras den som antalet elektroner per tidsenhet och volymsenhet. Gränshastighet Den högsta driftshastighet som en laddningsbärare kan ha i ett givet material. Med ett fält som överstiger det kritiska fältet går det inte att öka hastigheten över gränshastigheten. Halvledare Ett material vars bandstruktur har ett helt fyllt valensband och ett helt tomt ledningsband. Banden är separerade av ett bandgap. Elektronerna är i princip orörliga i valensbandet och det krävs energi för att lyfta en elektron till ledningsbandet där den kan röra sig fritt i materialet. Om bandgapet är ”litet” (typisk mindre än 3 eV) så rör det sig om en halvledare och om det rör sig om ett ”stort” bandgap rör det sig om en isolator. Gränsen mellan halvledare och isolator är lite diffus. Idag kan även en klassisk isolator som diamant (bandgap över 5 eV) användas i elektronik, speciellt för applikationer som kräver hög temperatur.

Begrepp

231

Historiskt definierades isolatorn som ett material med god elektrisk isolationsförmåga och halvledaren som ett material med varken bra ledningsförmåga eller bra isolationsförmåga. Ledningsförmågan kan ökas genom att dopa halvledaren. Jfr. Metall. Hybrid-π-modellen En småsignalmodell som beskriver transistorn med hjälp av ett antal linjära parametrar, där alla parametrar är utvecklade kring ett viloläge med spänningar mellan bas och emitter; och bas och kollektor. Den talar om hur strömmarna i transistorn ändras med små förändringar i spänningarna. Hål En laddningsbärare som motsvarar elektronen, men med positiv laddning. Egentligen beskriver den avsaknaden av en elektron i valensbandet, men den beter sig som en partikel med positiv laddning och en massa i samma storleksordning som elektronen. Hål rör sig normalt i valensbandet. Orsaken till att man använder "hål" är att det är enklare att räkna på ett litet antal hål än att räkna på ett stort antal elektroner. Högnivåinjektion Vid hög framspänning av en pn-övergång injiceras så många minoritetsladdningsbärare att koncentrationen är i samma storleksordning som majoritetsladdningsbärarkoncentrationen. Det innebär att idealitetsfaktorn blir 2, jämfört med 1 för en vanlig diffusionsström. Bakgrunden är att förutsättningen att de neutrala områdena i dioden inte längre är sant. Ideal MOS-struktur En MOS-struktur där Fermi-nivån i gate och halvledare är på samma nivå innan de är i kontakt via oxiden. Det gör att flatbandspänningen är noll, och banden i halvledaren är flata utan någon pålagd yttre spänning. Idealitetsfaktor En faktor som ingår i diodekvationen. Den talar om hur snabbt diodströmmen ändras med pålagd spänning, där den yttre spänningen divideras med idealitetsfaktorn i diodekvationen. Vid ren diffusionsström är idealitetsfaktorn 1, vid ren rekombinationsström eller högnivåinjektion är den 2. D.v.s. strömmen ökar snabbast med ökad fram spänning vid ren rekombinationsström. I en verklig diod har man oftast en faktor som ligger mellan 1 och 2. Inbyggd spänning Den spänning som genereras av det elektriska fältet som i sin tur skapas av de joniserade laddningsbärarna i rymdladdningsområdet på en pn-övergång. Intrinsisk halvledare En halvledare vars egenskaper bara beror på värdkristallens egenskaper. Det enklaste fallet är när halvledaren är helt ren, men det kan röra sig om en halvledare som har lika stor koncentration av acceptorer som donatorer, vars effekter tar ut varandra. Intrinsisk laddningsbärarkoncentration Den laddningsbärarkoncentration som en intrinsisk halvledare har. Den ges i första hand av temperaturen och bandgapet. Inträngningsdjup En materialparameter som talar om hur långt in ljus tränger i en viss halvledare. Ljusets intensitet avtar exponentiellt, där intensiteten har avtagit till 37% (d.v.s. 1/e) vid just inträngningsdjupet. Inträngningsdjupet varierar med våglängden på ljuset. Inversion Används i MOS-strukturen som en betecknings på att man byter typ av laddningsbärare med störst koncentration genom att lägga på en spänning på gaten. Man har alltså en större koncentration av substratets minoritetsladdningsbärare än majoritetsladdningsbärare vid ytan.


232

Inversionskanal Det skikt av minoritetsladdningsbärare som skapas vid ytan vid stark inversion i en MOSFET. Isolator Se halvledare. Kollektorström Strömmen in genom kollektorkontakten på en bipolär transistor. Definieras positiv in genom kollektorkontakten. I normal arbetsmod så består den av en ren driftström i kollektorn som beror på laddningsbärare som injiceras från emittern till basen. Konduktans En storhet som talar om hur strömmen beror på spänningen. Något som typisk gäller för en resistor. Konduktivitet En materialparameter som från geometrin (längd och area) ger konduktansen. Kort diod I en kort diod når samtliga injicerade minoritetsladdningsbärare fram till kontakten på sidan där de injiceras. Det gör att samma typ av laddningsbärare kommer från kontakten på ena sidan och tar sig över rymdladdningsområdet till kontakten på andra sidan av dioden. Jfr. Lång diod. Kortslutningsström Den ström man får ut ur en fotodiod eller solcell när man kortsluter utgången på den. Den är direkt proportionell mot ljusintensiteten. Kritiskt fält Det lägsta elektriska fältet som krävs för att laddningsbärare ska uppnå sin gränshastighet i ett givet material. Laddning Den totala mängden av laddning, vilket är det totala antalet laddningar multiplicerat med deras laddning. I fallet med elektroner så är det antalet elektroner multiplicerat med elementarladdningen. Laddningskoncentration Koncentration av laddning. Laddningsbärare Partiklar som kan röra sig och ta med sig laddning. I halvledare handlar det om elektroner och hål. I gaser kan det t.ex. vara joniserade atomer. Laserdiod En form av lysdiod, där ljuset ut ur den uppfyller kraven på laserljus, d.v.s. bara en våglängd (färg) och allt ljus har samma fas. Konstrueras med en speciell design av lysdioden. Lavingenombrott Vid en tillräckligt stor backspänning av en pn-övergång kan man få en situation där en elektron i ledningsbandet får så mycket energi att den kan lyfta en elektron från valensbandet upp till ledningsbandet. Det innebär att man har nu har två fria elektroner och ett fritt hål, vilket i det närmaste innebär en tredubbling av strömmen i dioden bara på en multiplikation. Med ett flertal multiplikationer så blir effekten mycket större. Effekten används i Zenerdioder med höga spänningar och i fotodioder för att skapa en intern strömförstärkning. Ledningsband Det band som skapas av det första tomma skalet hos de atomer som förs ihop i en kristall för att bilda en halvledare. Det separeras från valensbandet av bandgapet. Det är här som de rörliga elektronerna befinner sig. Linjära området Det område där strömmen mellan drain och source ökar med ökande spänningen mellan drain och source för en given spänning på gaten i MOSFETen. Jfr. mättnadsområdet.

Begrepp

233

Litografi En metod att överföra ett mönster till något annat. I halvledarsamband handlar det om att överföra ett mönster från en mask till en halvledare. Det görs oftast genom att en ljuskänslig film läggs på halvledarens yta och ytan belyses genom en mask. Filmen kan efter exponeringen framkallas. Den mönstrade filmen på ytan används för att göra mönster i halvledaren genom att göra t.ex. implanteringar med olika dopningar. Lysdiod En diod som vid framspänning ger ljus ut. Det sker genom att de injicerade minoritetsladdningsbärarna rekombinerar med majoritetsladdningsbärarna. En förutsättning är att rekombinationen sker genom att det skickas ut en foton. Lysdioden är per definition därför en lång diod. Lång diod I en lång diod når aldrig de injicerade laddningsbärarna fram till kontakten, utan de rekombinerar med majoritetsladdningsbärarna på sidan där de injiceras. Det innebär strömmen från kontakten består av majoritetsladdningsbärare. Det gör att en typ av laddningsbärare kommer in genom ena kontakten, tar sig över övergången, rekombinerar och den andra typen av laddningsbärare tar sig in genom den andra kontakten. OBS! De två typerna av laddningsbärare rör sig i olika riktningar i dioden. Jfr. Kort diod. Majoritetsladdningsbärare I en dopad halvledare beskriver det den typ av laddningsbärare som kommer från dopningen, vilket betyder att de är betydligt fler än den andra typen, minoritetsladdningsbärarna. Beteckningen är endast meningsfylld i dopade halvledare. Massverkans lag En av de viktigaste sambanden som styr halvledare. Lagen säger att man i termisk jämvikt alltid har samma produkt av koncentrationen av de två typerna av laddningsbärare. Det betyder att om man ökar den ena så minskar den andra. Produkten är den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen i kvadrat. Maximal fältstyrka I en pn-övergång så ökar fältstyrkan (åtminstone absolutbeloppet) in mot mitten. Den maximala fältstyrkan är mitt i själva övergången mellan p- och n-material. Produkten av den maximala fältstyrkan och utsträckningen av rymdladdningsområdet är en triangel som ger den inbyggda spänningen. Metall Ett material vars bandstruktur har ett delvis fyllt valensband, eller så ligger valensbandskanten över ledningsbandskanten. Det viktiga är att det krävs mycket lite energi (typiskt mindre än den termiska energin) för att lyfta upp en elektron för at den ska kunna flytta runt i materialet. Historiskt definierades det som ett material med god elektrisk ledningsförmåga. Jfr. Isolator och Halvledare. Minoritetsladdningsbärare I en dopad halvledare beskriver det den typ av laddningsbärare som inte kommer från dopningen, vilket betyder att de är betydligt färre än den typ som kommer från dopningen, majoritetsladdningsbärarna. Koncentrationen är dessutom betydligt mindre än den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen. Beteckningen är endast meningsfylld i dopade halvledare. Minoritetsladdningsbärarinjektion Den process som får majoritetsladdningsbärare på ena sidan om en pn-övergång att ta sig över till andra sidan, där de är minoritetsladdningsbärare. Det är den processen som resulterar i strömmens exponentiella beroende på den pålagda spänningen i diodekvationen.


234

Mobilitet Se rörlighet. Moores lag En observation gjord på sextiotalet, i den integrerade kretsens barndom, att antalet komponenter i en krets fördubblas inom en väldefinierad tidsperiod. Ursprungligen rörde det sig om 12 månader, när det handlade om mindre än 100 komponenter. 40 år senare har tiden ökat till 18 månader, men det stämmer fortfarande att antalet komponenter fördubblas under en väldefinierad tidsperiod. Mättnadsområdet Det område där strömmen mellan drain och source är oberoende av spänningen mellan drain och source i MOSFETen. Jfr. linjära området. n+p-diod En asymmetrisk diod där dopningskoncentrationen på n-sidan är betydligt högre än den på p-sidan. n-MOS En MOS-struktur där inversionsskiktet är n-typ och där strömtransporten sker med elektroner. Det innebär att halvledaren ursprungligen är av p-typ. Optokomponenter Komponenter som antingen omvandlar ljus till en elektrisk signal eller en elektrisk signal till ljus. Typiska exempel är fotodioden och lysdioden. Oxidkapacitans En MOS-struktur består av en halvledare, en gate och ett oxidskikt mellan dem. Det gör att det är en plattkondensator som kallas oxidkapacitans. Kapacitansen ges av arean på gaten och isolatorn mellan gaten och substratet. Parasiteffekter Det är effekter som gör att den ideala strömförstärkningen som man räknar fram från materialparametrar och geometri inte stämmer med den verkliga förstärkningen. Det finns effekter som minskar förstärkningen: rekombinationsström i bas-emitterövergången och högnivåinjektion i basen, och effekter som ökar förstärkningen: Earlyeffekten och lavingenombrott i bas-kollektorövergången. Pauliprincipen En princip som säger att två elektroner som känner av varandra inte kan ha exakt samma energitillstånd. Det betyder att om man för ihop två atomer så kommer varje elektrontillstånd att splittras upp i två tillstånd. pin-diod En diod där man har stoppat in ett intrinsiskt skikt mellan n- och p-sidan. Det ger ett lägre maximalt elektriskt fält och det gör att dioden kan hantera höga spänningar utan att man får lavingenombrott. I fotodioder ger det extra intrinsiska området en större volym där absorberade fotoner ger upphov till en fotoström, d.v.s. fotodioden har blivit känsligare. p-MOS En MOS-struktur där inversionsskiktet är p-typ och där strömtransporten sker med hål. Det innebär att halvledaren ursprungligen är av n-typ. p+n-diod En asymmetrisk diod där dopningskoncentrationen på p-sidan är betydligt högre än på n-sidan. Rekombination En process där en eller flera elektroner faller tillbaka till valensbandet från ledningsbandet. Det kan ske genom att överskottsenergin skickas ut i form av en foton. Rekombinationshastighet Antalet rekombinerande elektroner (och hål) per tidsenhet. Kan även definieras per volym.

Begrepp

235

Rekombinationsström Vid låg framspänning drabbas dioden av att majoritetsladdningsbärarna som skickas in från de neutrala områdena rekombinerar med varandra i rymdladdningsområdet. Vid en ren rekombinationsström så skickas laddningsbärare in i rymdladdningsområdet, utan att några av dem tar sig över till andra sidan. Det sker alltså ingen injektion av minoritetsladdningsbärare Strömmen genom dioden består då av lika många elektroner från n-sidan som hål från p-sidan. Resistivitet En materialparameter som tillsammans med geometrin (längd och area) ger resistansen. Värdet kan hämtas i t.ex. TEFYMA. Rymdladdningsområde (RLO) Området kring själva övergången mellan ett p- och ett n-område där det (i princip) inte finns några fria laddningsbärare. Det enda som finns är de joniserade dopningsatomerna. Den laddningen leder till ett elektriskt fält som i sin tur leder till en inbyggd spänning. Rörlighet En materialparameter som tala om hur lättrörliga laddningsbärare är i ett elektriskt fält. Ju högre rörlighet desto större ström för en given spänning. Kallas även rörlighet. Schottkydiod En diod som består av en halvledare och en metall, istället för två halvledare med olika typ av dopning. Om halvledaren är n-typ kan man se den som en p+n-diod och om halvledaren är p-typ kan man se den som en n+p-diod. Den har oftast en lägre inbyggd spänning än motsvarande asymmetriska diod. Serieresistans Den resistans som finns i serie med t.ex. en pn-övergång. Det är en resistans som därför kan ge upphov till ett spänningsfall när det går en driftström genom den. Oftast rör det sig om resistanser i de neutrala områdena i komponenter. Resistansen är för majoritetsladdningsbärare som transporteras med driftström. Småsignalmodell En modell som utgår från ett statiskt läge på t.ex. en transistor och gör en förenkling av hur en liten förändring av t.ex. insignalen påverkar utsignalen. För komponenter som har ett komplicerat beroende (t.ex. den bipolära transistorns exponentiella strömberoende på inspänningen) vill man oftast förenkla till ett linjärt beroende. Under förutsättning att det rör sig om små signaler är felet man gör genom att introducera ett linjärt beroende litet. Ju större signal desto större fel. Stark inversion Inversion betyder att man genom yttre påverkan skapar fler minoritetsladdningsbärare än majoritetsladdningsbärare. Med stark inversion menas att man har fler minoritetsladdningsbärare än man hade majoritetsladdningsbärare utan påverkan. I de flesta fall betyder det att det finns fler minoritetsladdningsbärare än dopningsatomer. Jfr. svag inversion. Strömförstärkning Den bipolära npn-transistorn fungerar genom att en liten ström in genom baskontakten (basström) drar med sig en större ström in genom kollektorkontakten (Kollektorström). Kvoten mellan kollektorströmmen och basströmmen är strömförstärkningen. Svag inversion Inversion betyder att man genom yttre påverkan gör att man har fler minoritetsladdningsbärare än majoritetsladdningsbärare. Med svag inversion menas att man har fler minoritetsladdningsbärare än majoritetsladdningsbärare, men inte fler än


236

majoritetsladdningsbärarna utan påverkan. I de flesta fall betyder det att det finns fler dopningsatomer än minoritetsladdningsbärare. Jfr. stark inversion. Symmetrisk diod En diod där dopningskoncentrationen på n-sidan är lika stor som den på p-sidan. Jfr. Asymmetrisk diod. Transkonduktans Ett begrepp som talar om hur utströmmen beror på inspänningen. Begreppet används för att beskriva komponenter där in- och utsignalen inte ligger över samma poler. Ett typisk exempel är den bipolära transistorn, där insignalen ligger mellan bas och emitter, medan utsignalen ligger mellan kollektor och emitter. Jfr. Konduktans. Termisk energi En rörelseenergi relaterad till temperaturen. I en gas är det molekylerna som rör sig och där ökar molekylernas medelhastighet med temperaturen. I en kristall är det elektronerna som rör sig och har en termisk hastighet. Eftersom det rör sig om en statistisk hastighet så finns det elektroner som i det närmaste står still i kristallen och en del som rör sig väldigt mycket. En mycket liten del av elektronerna har tillräckligt med energi för att ta sig över till ledningsbandet där de kan röra sig fritt i kristallen. Termisk jämvikt Ett av de viktiga begreppen inom halvledarfysiken. Termisk jämvikt betyder att det inte går någon ström genom systemet, d.v.s. det finns inga yttre spänningar och det finns inga yttre excitationskällor som t.ex. belysning. Dessutom har hela systemet samma temperatur. En förutsättning är också att det är möjligt för laddningsbärare att röra sig till alla delar av systemet, t.ex. ta sig från n-sidan till p-sidan av en diod. Tomgångsspänning I en solcell är tomgångsspänningen den största spänningen man kan få ut ur den. Det sker när solcellen inte levererar någon ström. Till skillnad från kortslutningsström är den inte direkt proportionell mot ljusintensiteten. Däremot ökar den med intensiteten. Tröskelspänning I en MOS-struktur krävs ofta en spänning på gaten för att skapa en inversionskanal. Den minsta spänning som ger stark inversion kallas tröskelspänning. För en ideal n-MOS-struktur är tröskelspänningen positiv och för en ideal p-MOS-struktur är den negativ. För en verklig n-MOS-struktur är den högre än flatbandsspänningen och för en verklig p-MOS-struktur är den lägre än flatbandsspänningen. Tunneldiod En diod konstruerad så att den har ett tunnelgenombrott genom pn-övergången vid en väldefinierad framspänning som är betydligt lägre än den vanliga framspänningen. Det gör att man utöver den vanliga strömmen som ökar exponentiellt med ökande framspänning har en puckel vid en låg framspänning. En förutsättning är att dioden har höga dopningskoncentrationer på båda sidor, vilket leder till att Fermi-nivån ligger ute i banden på båda sidor. Vid en låg framspänning kommer därför elektronerna just under Fermi-nivån i ledningsbandet på n-sidan att tunnla direkt in till hålen just över Fermi-nivån i valensbandet på p-sidan. Vid högre framspänningar kommer valensbandskanten på p-sidan att ligga över ledningsbandskanten på n-sidan, vilket gör att tunnlingen inte längre är möjlig och strömmen avtar därför med ökande spänning. Det finns ett område som har negativ småsignalresistans, där strömmen minskar med ökande spänning. Den här typen av dioder kan användas i oscillatorkretsar, eftersom den kan ha tre olika spänningar för samma ström. Jfr. Tunnelgenombrott som sker i backriktningen.

Begrepp

237

Tunnelgenombrott Om en diod är kraftigt dopad på båda sidor så är rymdladdningsområdet är mycket kort. Dopningen är dock inte så hös som i tunneldioden. Vid backspänning kan det elektriska fältet så högt att en elektron kan ta sig direkt från valensbandet på p-sidan till ledningsbandet på n-sidan genom kvantmekanisk tunnling. Effekten används Zenerdioder och genombrottet kallas Zenergenombrott. Utarmningskapacitans Utarmningsområdet i en pn-övergång innehåller rymdladdning som beter sig som en kapacitans. Positiv laddning på n-sidan och negativ laddning på p-sidan. Vid en ändrad spänning över övergången ändras mängden laddning genom att utarmningsområdets utsträckning ändras. Kapacitansen ändras med spänning och är därför en småsignalkapacitans. Utarmningskapacitansen ökar med framspänning och minskar med backspänning av övergången. Utarmningsområde Ett område som är utarmat på rörliga laddningsbärare. Det enda som finns i utarmningsområdet är joniserade dopningsatomer. Därför kallas det också rymdladdningsområde. Det finns ett utarmningsområde i alla pn-övergångar kring själva övergången. Dessutom finns det vid ytan på en MOS-struktur i spänningsområdet mellan flatband och stark inversion. Valensband Det band som skapas av det yttersta fyllda skalet (där valenselektronerna finns) på de atomer som förs ihop i en kristall för att bilda en halvledare. Det separeras från ledningsbandet av bandgapet. Det är här som de rörliga hålen befinner sig, och där elektronerna i princip är orörliga. Genom att dela de fyra valenselektronerna med fyra grannar genom kovalenta bindningar kan kisel generera ett fyllt valensband och därigenom vara en halvledare. Zenerdiod En diod som fungerar som en vanlig diod i framriktningen, men som har ett genombrott i backriktningen. Genombrottet visar sig som en kraftig ökning av backströmmen vid en välbestämd spänning, Zenerspänningen. Genombrottet kan antingen vara ett Zenergenombrott, för dioder med låga Zenerspänningar eller ett lavingenombrott för Zenerdioder med höga Zenerspänningar. Zenergenombrott När man backspänner en diod kommer man till ett läge där toppen på valensbandet på p-sidan ligger över botten på ledningsbandet på n-sidan. Det gör att elektroner kan gå från valensbandet på p-sidan direkt till ledningsbandet på n-sidan utan att ta vägen över ledningsbandet på p-sidan. Det kan bara ske med kvantmekanisk tunnling, vilket förutsätter att rymdladdningsområdet är mycket kort, vilket i sin tur förutsätter höga dopningskoncentrationer på både n- och p-sidan. Effekten används i Zenerdioder med låg Zenerspänning. Övergångsfrekvens Den frekvens där förstärkningen hos en transistor har gått ner till ett. Över den här frekvensen får man en förminskning av signalen och under den får man en förstärkning. Vid den här frekvensen går man över från att ha en förstärkning till att ha en förminskning.


238

10. Appendix

Om man vill ta ett steg djupare in i halvledarefysiken vad har vi då gjort för förenklingar som vi måste ta hänsyn till i verkliga komponenter? Den stora förenklingen är att vi har antagit att de flesta materialparametrar är konstanter. Vad händer då i verkligheten?

Vi har antagit att all dopning ger extra elektroner eller hål beroende på typ av dopning. Det är inte helt sant. Vid 0K så sitter alla extra laddningsbärare fast vid sina störatomer. Det krävs en viss mängd termisk energi för att dessa ska lämna sin moderatom och hoppa till sitt band, på samma sätt som det krävs en viss mängd energi för att en elektron ska hoppa från valensbandet till ledningsbandet. Skillnaden är att det rör sig om en betydligt lägre energi, storleksordning 5-50 meV. Storleken beror på vilket dopämne det rör sig om och fenomenet brukar kallas aktiveringsenergi. Det gör att det krävs en viss temperatur för att alla acceptorer/donatorer ska vara joniserade. I rumstemperatur är alla vanliga dopämnen 100% joniserade. En annan effekt kring dopning är att en alltför kraftig dopnings inte alltid leder till ett 100%-igt utbyte av laddningsbärarkoncentration. I slutänden når man en maximal, eller effektiv dopningskoncentration.

Bandgapet ändras med temperatur, det ökar långsamt med minskande temperatur. Bandgapet påverkas också av dopningskoncentration. När vi överskrider en viss koncentration av dopningsatomer så visar det sig at bandgapet minskar något. Det kan relateras till aktiveringsenergin för dopämnena.

Rörligheten är inte bara relaterad till kristallkvaliteten, utan även till dopningskoncentrationen. Det beror på att de rörliga laddningsbärarna stöter på de joniserade dopningsatomerna. Det leder till en minskning av rörligheten med ökande dopningskoncentration. Den kan minska så mycket som en faktor tio i kraftigt dopat kisel. Rörligheten är dessutom beroende av temperaturen, där en ökad temperatur minskar rörligheten. Det är i själva verket orsaken till att ledningsförmågan minskar i en metall när temperaturen ökar. I metallen så är elektronkoncentrationen i det närmaste konstant med temperatur. Det som ändras är bara rörligheten, som minskar.

Begrepp

239

Rörligheten är också relaterad till elektronens massa. När en elektron rör sig i en halvledare så beter den sig som om den hade en annan massa än vilomassan, normalt är den lägre än vilomassan och den brukar därför kallas den effektiva massan. Den varierar från halvledare till halvledare. Samma sak gäller för hål och det är oftast skillnad på elektronens och hålets effektiva massa i en given halvledare. Det är i själva verket denna skillnad som gör att de effektiva tillståndstätheterna skiljer mellan valens- och ledningsband.

Dioderna som vi har diskuterat i termer av långa och korta har ofta båda processerna, varav en normalt dominerar. Samma sak gäller för transistorn, där det är vanligt att basen har båda typerna. Det gör att en del av basströmmen i en pnp-transistor består av hål som rekombinerar med elektroner från emittern i basen. Det ökar basströmmen något och eftersom elektronerna inte kommer över till kollektorn så blir kollektorströmmen lägre än förmodat. Dessutom är emittern i de flesta fall en lång diod. Sammantaget gör dessa effekter att förstärkningen inte är så enkel som vi har diskuterat.

En stor effekt som finns i MOSFETen är att strömmen går vid ytan, en yta som är täckt av en oxid. Det gör att rörligheten är mycket lägre än inne i halvledaren. Dessutom är kanalen fylld med joniserade dopatomer som också försämrar rörligheten. En annan effekt av oxiden är att den ofta tillför en mängd ladding, både vid ytan och i själva oxiden. Det kommer att påverka tröskelspänningen. Det kan i och för sig användas i tillverkning av MOSFETar som ett sätt att medvetet justera tröskelspänningar.

Sammanfattningsvis så finns det ett antal justeringar man behöver göra när man kommer att jobba med verkliga komponenter, framförallt när man ska jobba med utveckling av komponenter. Att inkludera de flesta av dessa effekter gör inte att man förstår komponentfysiken bättre, det blir snarare bara ännu mer komplicerat. Att vi trots allt nämner det är för att visa ett vi bara har skrapat på ytan av hur komponenter fungerar. Det finns en fortsättning och ett behov av ingenjörer som har en lite djupare förståelse än att en diod kan beskrivas av en ledare som inte leder ström under 0,7 V och ger vilken ström som helst över 0,7 V.


240

Register

Absorption ....................................................... 120 Acceptor............................................................. 42 Ackumulation .......................................... 175, 184 Arbetsmod........................................................ 150

Bottnad ........................................................ 153 Inverterad .................................................... 151 Normal ................................................ 141, 151 Strypt........................................................... 153

Banddiagram...................................................... 32 Bandgap ............................................................. 30 Bandstrukur........................................................ 30 Bipolär transistor ............................................. 137

Basresistans................................................. 158 Basström ..................................................... 143 Diffusionskapacitansen ............................... 155 Kapacitanser................................................ 155 Kollektorström ............................................ 144 Parasiteffekter ............................................. 165 Resistanser .................................................. 157 Utarmningskapacitans................................. 155

Bohrs atommodell.............................................. 27 CCD ................................................................. 224 CMOS .............................................................. 210 Darlingtontransistor ......................................... 215 Dielektricitetskonstant ....................................... 22 Diffusionskonstant ............................................. 18 Diffusionsström ................................................. 17 Diod

Backström ................................................... 100 Diffusionskapacitans................................... 107 Diffusionsström............................................. 85 Högnivåinjektion........................................... 97 Kapacitans................................................... 104 Kort diod ....................................................... 85 Lång diod ...................................................... 88 pin-diod ....................................................... 110 Rekombinationsström ................................... 96 Schottkydiod ............................................... 112 Småsignalmodell - AC................................ 109 Temperaturberoende ..................................... 93 Tunneldiod .................................................. 113 Utarmningskapacitans................................. 104

Diodekvationen............................................ 88, 99 donator ............................................................... 42 Dopning ............................................................. 42 Drifthastighet ..................................................... 16 Driftström .......................................................... 14 Earlyeffekten.................................................... 166 Effektiv tillståndstäthet ...................................... 40 Einsteinsambandet ............................................. 18 Fermi-nivå............................ 37, 70, 178, 190, 202

ΦF 182 Flatband ........................................................... 184 Flatbandsspänning ........................... 188, 190, 192

Fotodiod........................................................... 124 kortslutningsström....................................... 126 tomgångsspänning....................................... 126

Fotoledare ........................................................ 123 Fototransistor ................................................... 127 Gemensam emitter ........................................... 139 Generation.......................................................... 41 Gränshastighet ................................................... 21 Halvledare.......................................................... 26 HEXFET .......................................................... 217 Hybrid-π-modellen .......................................... 160 Ideal MOSFET................................................. 183 Ideal MOS-struktur .......................................... 182 Idealitetsfaktorn, m ............................................ 99 IGBT, Insulated gate bipolar transistor ........... 218 Inbyggd potential ..................Se Inbyggd spänning Inbyggd spänning............................................... 58 Inversion .......................................... 175, 185, 202

Stark inversion ............................................ 188 Inversionskanal ........................................ 175, 201 Isolator ............................................................... 26 JFET

Junction Field-effect Transistor .................. 219 Kapacitans.......................................................... 22 Konduktans ........................................................ 14 Kvantkomponenter .......................................... 225 Laserdiod ......................................................... 133 Lavingenombrott.............................................. 101 Ledningsband..................................................... 31 Lysdiod ............................................................ 131 Majoritetsladdningsbärare ................................. 44 Massverkans lag................................................. 43 Maximalt fält εmax................................................................ 67

MESFET .......................................................... 221 Metall ................................................................. 26 Minoritetsladdningsbärare ................................. 44 Minoritetsladdningsbärarinjektion..................... 82 Mobilitet ............................................ Se Rörlighet Moores lag ........................................................... 9 MOSFET.......................................................... 174

Linjära området ........................................... 200 Mättnadsområdet......................................... 201 n-MOS......................................................... 178 Pinch-off ..................................................... 201 p-MOS......................................................... 202 Småsignalmodell......................................... 204 Småsignalresistans ...................................... 204 Transkonduktansen ..................................... 205 Utarmningskapacitans................................. 192 Utarmningsområde...................................... 185

MOS-kapacitans .............................................. 193 npn-transistor ................................................... 141 Ohms lag ............................................................ 14

Begrepp

241

Oxidkapacitans.................................................186 pnp-transistor ...................................................149 pn-övergång

Asymmetrisk .................................................74 n+p..................................................................75 Normalinjektion ............................................85 p+n..................................................................74 Symmetrisk....................................................74

pn-övergången....................................................56 Poissons ekvationer......................................23, 66 RAM.................................................................221 Rekombination ...................................................41 Resistans.............................................................14 Resistivitet....................................................14, 26 ROM.................................................................221 Rymdladdningsområde ......................................63 Rörlighet.............................................................17 Småsignalmodell

Bipolär transistor .........................................160

Diod...............................................................94 MOSFET .....................................................204

Solcell...............................................................124 Strömförstärkning ............................................145 Termisk hastighet ...............................................21 Termisk spänning ...............................................18 Transkonduktans ..............................................160 Tröskelspänning ...............................176, 188, 192 Tyristor.............................................................214 Utarmningsområde........ Se rymdladdningsområde Valensband.........................................................31 VDMOSFET ....................................................217 Yttre spänning ....................................................78 Zenerdiod .........................................................102 Zenergenombrott ..............................................101 Övergångsfrekvens

Bipolär transistor .........................................164 MOSFET .....................................................206

Documents

Komponentfysik - Lunds tekniska högskola