1

Kinematika rotacionog kretanja

- Kod translatornog kretanja svi delići nekog tela opisuju putanju istog oblika, pri čemu je pređeni put svakog delića jednak. j

- Sada ćemo se baviti rotacijom tela oko fiksne ose. To je takvo kretanje pri kome svi delići tela opisuju kružnice, pri čemu je ugaoni pomeraj svakog delića isti u posmatranom vremenskom intervalu.

Translacija Rotacija

Rotacija (kružno kretanje)

Rotacija materijane tačke

l č ik t ij

Rotacija krutog tela

poluprečnik rotacije

2

Ugaoni položaj i pomeraj

r

s=θUgaoni položaj:

rad][θ

12 θθθ −=ΔUgaoni pomeraj:

rad=][θ

Δ θθθ

Srednja ugaona brzina-količnik ugaonog pomeraja Δθ i vremenaΔt za koje je taj pomeraj ostvaren ω

ttsr Δ−=

ΔΔ= 12 θθθω

Trenutna ugaona brzina

- je jednaka prvom izvodu opisanog ugla po

dt

d

tt

θθω =ΔΔ=

→Δ 0lim

je jednaka prvom izvodu opisanog ugla po vremenu

s

rad=][ω

Jedinica:

3

Δ

Srednje ugaono ubrzanje- količnik promene ugaone brzine Δω i vremena Δt za koje je ta promena ostvarena

tsr ΔΔ= ωα

Trenutno ugaono ubrzanje

- je jednako prvom izvodu ugaone brzine po

2

2

0lim

dt

d

dt

d

tt

θωωα ==ΔΔ=

→Δ

je jednako prvom izvodu ugaone brzine po vremenu

2s

rad=][αJedinica:

Vektor ugaone brzine

Trenutna ugaona brzina je vektor čiji se pravac poklapa sapravcem ose rotacije – normalan je na ravan rotacije.Smer vektora je, prema dogovoru, određen pravilom desnog

t jzavrtnja. ω

ω

4

Veza između ugaone i periferne brzine

rv ω=Vektor periferne brzine leži u ravni kružnice, kao i radijus-vektor , a vektor ugaone brzine je normalan na ravan kružnice.

rv ×= ω

Dakle, po pravilu vektorskog proizvoda:

Pri rotaciji krutog tela sve tačke tela imaju istu ugaonu brzinu ω ali ne i istu perifernu brzinu v!

v

rv ω=

v1

v2

v3

2211

21

rr

vv

ωω ==123 vvv >>

5

Trenutno ubrzanje se može razložiti na dve komponente:

- Normalno ili centripetalno ubrzanje ima pravac poluprečnika krivine a smer ka centru krivine.

- Tangencijalno ubrzanje koje ima pravac tangente na putanju (polapa se sa v) i govori o promeni intenzitetaputanju (polapa se sa v) i govori o promeni intenziteta brzine

na vta

tn aaa +=

a

22tn

tn

aaa

aa

+=

⊥

r

va

dt

dva nt

2

; ==

Veza između ugaonog i tangencijalnog ubrzanja

rat α=t t

rat ×= α

Tangencijalno ubrzanje je posledica promene intenzitetaperiferne brzine.

ta

t

Vektor ima pravac tangente na kružnu putanju (kao i vektorperiferne brzine) .

ta

Vektor se po pravcu poklapa sa vektorom (za fiksnu osu).α ω

6

2

Normalno ubrzanjeNormalno ubrzanje an je posledica promene pravca perifernebrzine. Vektor an ima pravac poluprečnika krivine (rotacije) iusmeren je ka centru krivine.

Intenzitet an možemo naći akoj k d k

2

1

posmatramo pomeraj kod koga se ne menja ni poluprečnik ni intenzitet brzine:

vvvrrr ==== 2121 i

Iz sličnosti trouglova sledi:

1

2n

n

rr

v

t

r

r

v

t

va n

n2

2

ω==ΔΔ=

ΔΔ=

Ravnomerno rotaciono kretanje ω=const.

-Periferna brzina v ima stalan intenzitet, v=const.

-Ugaona brzina ω takođe ima konstantan intenzitet, ω=const

Analogija sa ravnomernim pravolinskim kretanjem:

Ugaona brzina ω takođe ima konstantan intenzitet, ω const

Ravnomerno rotaciono kretanje je periodično a period rotacije T jeRavnomerno rotaciono kretanje je periodično, a period rotacije T je vreme potrebno da radijus vektor opiše pun krug od 2π rad.Frekvencija ili učestanost obrtanja ν (ili f) obrnuto je srazmerna periodu obrtanja T.

7

Ravnomerno ubrzano rotaciono kretanje α=const.

consta =t

- Analogija sa ravnomerno ubrzanim pravolinijskim kretanjem

tatvs

tavv

consta

2

2

1

.

22

20

0

±

⋅±=

⋅±==

θαωω

αωθ

αωωα

2

2

1

.

22

20

0

±

⋅±=

⋅±==

tt

t

const

savv 220

2 ±=θαωω 20 ±=

DinamikaDinamika (grč. dynamis = sila) je deo mehanike koja proučava kretanja tela uzimajući u obzir uzroke koji dovode do kretanja tj. bavi se uzrocima promene stanja kretanja tela.

8

Njutn je uveo veličinu koja govori o interakciji dva telaTa veličina je odgovorna za promenu stanja kretanja.

Sila je mera interakcije (međ sobnog delo anja) tela

Sila

- Sila je mera interakcije (međusobnog delovanja) tela.

-Do promene stanja kretanja nekog tela može doći samo pri interakciji, uzajamnom delovanju tela sa drugim telima, odnosno pri delovanju sile na telo.

Dakle nema ubrzanja bez dejstva sile!j j

-Sila može uticati na promenu intenziteta brzine kretanja tela, ali i na promenu pravca brzine tela

- Sila je vektorska fizička veličina

-Sila može uticati na promenu oblika tela

-Merna jedinica za silu je Njutn: N

-Najčešća oznaka za silu je F

F

N=][F

9

Sile mogu delovati na telo na dva načina:

- Kontaktne sile deluju direktno – “kontaktom”

- Beskontaktne sile deluju putem polja “na daljinu” npr. j p p j j pgravitaciona, elektrostatička, magnetna itd.

Kontaktne sile

Beskontaktne sile

- Sile koje deluju na isto telo (ili tačku) se sabiraju i dajurezultujuću silu

21 FFF +=1F

= iFF

Princip superpozicije

2F

i

napadna tačka

10

- Jedna od osnovnih osobina tela je inertnost: prirodna tendencija tela da ostane u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja u odsustvu spoljašnjih sila koje deluju

t l I t t j “l j t” t l k t j

Masa m

na telo. Inertnost je “lenjost” tela prema kretanju.

- Masa je mera inertnosti tela.

- Masa je osobina tela koja ne zavisi od uticaja okoline. Što telo ima veću masu teže je promeniti stanje njegovog kretanja (telo je inertnije)(telo je inertnije).

- Jedinica za masu je kilogram

- Masa je skalarna, pozitivna i aditivna fizička veličina

kg=][m

I Njutnov zakon (zakon inercije)

Ako na telo ne deluje sila, ili je suma svih sila koje na telo deluju jednaka nuli, tada to telo zadržava stanje k j i j ili li ij ki k ćkretanja: miruje ili se ravnomerno pravolinijski kreće.Matematički:

Dakle, ako na telo ne deluje nikakva sila onda ne postoji ubrzanje pa se brzina tela ne menja ni po pravcu ni po intenzitetu.

11

Dakle, ako na telo ne deluje nikakva sila onda ne postoji ubrzanje pa se brzina tela ne menja ni po pravcu ni po intenzitetu.

Dinamička veličinaImpuls ili količina kretanja:(ima smer i pravac brzine)

II Njutnov zakon

Ako na telo deluje neka spoljašnja sila (rezultanta više sila), onda ona izaziva promenu količine kretanja

ltela.

Matematički:

Dakle, rezultantna sila je jednaka prvom izvodu impulsa po vremenu.

12

II Njutnov zakon

Kako je impuls jednak

Masa tela se ne menja tokom kretanja, osim u određenim specijalnim slučajevima. Za telo nepromenljive mase važi: 0=

dt

dm

pa dobijamo:

Sila i ubrzanje imaju isti smer i pravac.

III Njutnov zakon (akcije i reakcije)

Ako jedno telo deluje na drugo nekom silom, onda i drugo telo deluje na prvo silom istog intenziteta i

t

Matematički:

pravca, a suprotnog smera.

2112 FF −=

12F 21F1 2

Njutn je uočio da izolovana sila ne može postojati– sile uvek postoje u parovima.