1

Kapittel 2: Bevegelseslære (kinematikk) langs en rett linje

Bevegelsen er fullstendig beskrevet av x(t)

Gjennomsnittshastighet:

FORELESNING 4/5­09, REPETISJON

2

Hastighet:

stigningstall til tangenten til kurven

3

Bevegelse med konstant akselerasjon

Andre relasjoner:

4

Bevegelse med ikke­konstant akselerasjon

5

FORELESNING 13/1­09

Kap. 3: Bevegelse i 2 eller 3 dimensjoner

SER PÅ KOMPONENTENE AV VEKTORFUNKSJONEN HVER FOR SEG!!

6

Akselerasjon:

NB!! Konstant fart men endring av retningen på hastigheten gir også en akselerasjon forskjellig fra null!!

7

Eksempel: skråkast

a) Hvor høyt kommer ballen?

8

Eks: bil i sirkelbevegelse med VARIERENDE fart

ENHETSVEKTORER

9

Kap. 4: Newtons lover

Kraft vekselvirkning mellom et legeme og et annet eller mellom et legeme og omgivelsene. Enhet for kraft er Newton (N)

Eks: kloss henger i en snor

10

Dekomponering av krefter:

11

Newtons 2. lov:

Summen av krefter på et legeme er lik massen til legemet ganger akselerasjonen

Dersom 

Enheter:

12

FORELESNING 20/1­09

Masse og tyngde

Masse: grunnleggende egenskap til materie

Tyngde: kraft som virker på en masse i et tyngdefelt

13

Newtons 3. lov

Dersom et legeme A virker på et legeme B med en kraft, virker legeme B på legeme A med en like stor kraft, bare motsatt rettet

14

Eks: person på en badevekt

Newtons 2. lov for personen:

Newtons 3. lov:

15

16

Eks: kloss på skråplan

17

18

Friksjon

Legemet begynner å bevege seg når

friksjonskoeffisient

Da er friksjonskraften  KINETISK friksjon

STATISK friksjon

19

FORELESNING 27/1­09

Eks: luftmotstand

Legeme slippes fra ro. Hva blir v(t)?

20

21

Eks: karusellvogn kjører i loopa) Hva er normalkraften i bunnen av bevegelsen?

22

b) Hva er normalkraften på toppen?

c) Hvor stor må hastigheten på toppen være for at vogna ikke skal falle ned?

23

FORELESNING 2/2­09

Kap. 6: Arbeid og kinetisk energi

Eks: en kraft F virker på en kloss mens den forflytter seg en strekning s

Arbeidet W som den konstante kraften F har gjort på klossen er da:

24

Enhet for arbeid:

Nytt eks:

25

Kinetisk energi og arbeid­energi­teoremet

Hvordan relateres arbeid på et legeme til en eventuell hastighetsforandring?

26

Arbeidet som kraften utfører er lik endring i kinetisk energi

ARBEID­ENERGI­TEOREMET

27

FORELESNING 3/2­09

Arbeid og energi med varierende krefter og/eller ikke­lineær bevegelse

Antar at kraften F er konstant innenfor små intervall

28

Eks: fjær

Strekker ut fjæra fra x = x  til x = x   . Hvor mye arbeid går med?

29

Arbeid av varierende kraft langs en ikke­rett kurve

antar konstant kraft innenfor et lite intervall 

kraftens komponent langs bevegelsen

30

gjelder også når vi har varierende krefter og krumlinjet bevegelse

Effekt

31

FORELESNING 9/2­09

Kap. 7: Potensiell energi og bevaring av energi

32

Arbeid gjort av tyngdekraften:

Størrelsen på arbeidet er uavhengig av hvordan personen kommer seg fra 1 til 2. Det er kun avhengig av posisjonene til punktene 1 og 2!!!!!!!

Definerer derfor potensiell energi i tyngdefeltet til å være:

evne eller potensiale til å utføre et arbeid

33

Total mekanisk energi:

34

Dersom andre krefter enn tyngden utfører arbeid:

arbeid fra punkt 1 til punkt 2 utført av de andre kreftene

35

Potensiell energi i kloss/fjær­system

Arbeid som må til for å strekke ut en fjær fra en posisjon x    til en posisjon x    :

Arbeid som fjæra gjør på klossen:

36

Potensiell energi i fjæra:

37

FORELESNING 10/2­09

Situasjoner der både elastiske krefter og tyngdekrefter virker

Total mekanisk energi er bevart når ingen andre krefter gjør arbeid

38

Relasjon mellom kraft og potensiell energi

Potensiell energi:

kraft                                                potensiell energi

potensiell energi                                            kraft

39

FORELESNING 16/2­09

Kap. 8: Bevegelsesmengde, kraftstøt og kollisjoner

Bevegelsesmengde:

40

På vektorform:

KRAFTSTØT = ENDRING I BEVEGELSESMENGDE

41

Bevaring av bevegelsesmengde

To legemer/partikler : anta at kun interne krefter virker

42

Total bevegelsesmengde:

TOTAL BEVEGELSESMENGDE ER BEVART DERSOM SUM AV YTRE KREFTER ER LIK NULL!!!

43

Elastiske kollisjoner: kinetisk energi er også bevart

Uelastisk kollisjon: kinetisk energi er IKKE bevart

Fullstendig uelastisk kollisjon: legemene henger sammen etter kollisjonen

Eksempel: ballistisk pendel. Kule skytes inn i en sandkasse

Hva er den felles hastigheten v etter støtet? Hvor stor vinkel svinger kassa?

44

Massesenter

45

46

FORELESNING 23/2­09

Kap. 9: Rotasjon av legemer

Eks: rotorbladene til et helikopter

rotasjonsakse

 Punktene innerst ved aksen har lavere hastighet enn de ytterste. Hvordan beskriver vi rotasjonsbevegelsen på enklest mulig måte?

47

(Absolutt) vinkelhastighet:

Positiv vinkelhastighet: MOT klokkaNegativ vinkelhastighet: MED klokka

Benevning:

48

Relasjoner mellom angulære og lineære størrelser

49

avstand fra rotasjonsaksen

Tangentiell akselerasjon:

Sentripetalakselerasjon:

50

FORELESNING 24/2­09

Potensiell energi for legeme i tyngdefelt

51

Kinetisk energi for rotasjonsbevegelse

alle punkter på legemet har samme vinkelhastighet ω

52

TREGHETSMOMENT!!

53

Parallellakse­teoremet

Eks: sylinder hva er treghetsmomentet I om denne aksen?

Generelt gjelder:

avstand fra massesenteraksen til den reelle rotasjonsaksen

54

Direkte beregning av treghetsmoment

masse per lengdeenhet

Uniform stav:

55

Kraftmoment er egentlig definert til å være en vektorstørrelse:

Eks: r = 1,0 m , F = 10 N, φ

56

Kraftmoment og vinkelakselerasjon for et stivt legeme

Ser på rotasjon om en z­akse

Newtons 2. lov på rotasjonsform

57

Eks: kloss/trinse Hva blir akselerasjonen til klossen?

Trinse: massiv sylinder

58

Hva blir akselerasjonen til kloss 2?

59

FORELESNING 3/3­09

Rotasjon om bevegelig akse, dvs. en kombinert translasjons­ og rotasjonsbevegelse

Total kinetisk energi:

60

Rulling uten glidning

Eks: sylinder ruller nedover skråplan

Kontaktpunktet mellom sylinderen og underlaget er i ro når sylinderen ruller uten å gli !!!!

61

Forløpig oppsummering om dynamikk for kombinert translasjons­ og rotasjonsbevegelse

Bevegelse av massesenter:

Rotasjon rundt massesenter:

Kinetisk energi:

Potensiell energi:

62

FORELESNING 9/3­09

Bevegelsesmengdemoment (spinn)

bevegelsesmengde

63

Det viser seg:

Spinn av et kontinuerlig legeme

rotasjonsakse

Spinn rundt aksen:

Benevning:

64

Bevaring av spinn:

Dersom

65

FORELESNING 10/3­09

Kap. 13: Periodisk bevegelse

Eks: kloss/fjærsystem

66

Løsning på denne 2. ordens diff. likning:

gitt av initialbetingelseneamplitude

67

68

Energi i harmonisk (svinge­) bevegelse

Kinetisk energi:

Potensiell energi:

Mekanisk energi er bevart i et kloss/fjærsystem (uten friksjon) !!

69

FORELESNING 16/3­09

Matematisk pendel

70

HARMONISK BEVEGELSE

71

Fysisk pendel

rotasjonsakseavstand fra rotasjonsaksen til massesenteret

72

HARMONISK SVINGNING

73

Dempede svingninger

Eks: kloss/fjærsystem i en viskøs væske

74

Denne likningen har tre mulige løsninger, avhengig av størrelsen på konstantene b, k og m.

1) Liten (underkritisk) dempning:

75

FORELESNING 17/3­09

Kap. 14: Fluidmekanikk

I dag: fluidstatikk (væsker/gasser i ro)

Neste gang: fluiddynamikk (væsker/gasser i bevegelse)

Tetthet

Benevning:

76

Eks: person med bena nede i et svømmebasseng

Fiktiv overflate:

Enhet:

77

Trykk som funksjon av dybde i en væske

Kar med en væske i: areal av overflaten til karet

Væsken er i ro: 

78

Vanlig konvensjon:

ved overflaten

dybde

atmosfærisk trykk

79

FORELESNING 23/3­09

I dag: fluiddynamikk (væsker i bevegelse)

Ideell væske: • ikke komprimerbar (forandrer ikke volum, tettheten er den samme overalt og til alle tidspunkt)• uten viskositet (dvs. ingen intern friksjon)

Strømlinje:    veien som en væskepartikkel følger under strømningen

80

KONTINUITETSLIKNINGEN

81

Bernoullis likning

langs en strømlinje. NB! Gjelder kun for ideelle væsker!!

82

FORELESNING 26/3­09

Kap. 17: Temperatur og varme

Temperatur T: • har med kinetisk energi til molekylene i et materiale å gjøre• mange målbare egenskaper av materialer/gasser er avhengig av temperatur• temperatur måles med termometer

Varme Q: strøm av energi forårsaket av temperaturforskjell

83

Termisk ekspansjon (utvidelse)

Stav:

lineær, termisk utvidelse

koeffisient for termisk utvidelse, avhengig av materialtypen

84

FORELESNING 30/3­09

Varme Q: energioverføring fra ett system til et annet grunnet temperaturforskjell 

Varmekapasitet

Anta at det trengs varmen Q for å varme opp et materiale med masse m en temperatur ΔT. 

85

Da gjelder:

(spesifikk) varmekapasitet, avhengig av typen materiale

Enhet: J/(kg    K)

86

Faseoverganger

Fast stoff                    væske                     gass

Smeltevarme: varme som kreves for at et stoff skal gå over fra fast fase til væske

Fordampningsvarme: varme som kreves for at et stoff skal gå over fra væskeform til gass

Is                           vann                            vanndamp

87

Mekanismer for overføring av varme

1) Varmeledning

Eks: metallstav mellom systemer med forskjellig temperatur

Varmestrøm H:

88

Konveksjon:   varmeoverføring ved bevegelse av fluid

Eks: vifteovn, blodgjennomstrømning

3) Stråling:  varmeoverføring ved elektromagnetiske bølger

STEFAN­BOLTZMANNS LOV

overflate av legeme som stråler

emittivitet (0 < e < 1)

Stefan­Boltzmanns konstant

89

Coulombs lov

Coulomb­konstanten

90

Elektrisk felt

Hva skaper elektriske krefter mellom ladninger?

• q1 skaper et ELEKTRISK FELT i rommet rundt seg• det elektriske feltet virker på q2 med kraften 

elektrisk felt i punktet hvor ladning q2 befinner seg

91

Elektrisk felt fra punktladning

det elektriske feltet fra en positiv punktladning peker radielt utover fra ladningen

enhetsvektor (lengde = 1) som peker i radiell retning utover fra ladningen q

92

Homogent elektrisk felt feltet er like stort og pekeri samme retning i et område

Eks: bevegelse av et elektron i homogent felt

93

FORELESNING 14/4­09

Superposisjon av elektriske felt Hva blir det totale elektriske feltet i dette punktet?

finnes på standard måte ved dekomponering av de elektriske feltene

94

Elektriske feltlinjer 

• måte å visualisere elektriske felter på• peker vekk fra positive ladninger• er alltid tangentielle til det elektriske feltet

95

Kap. 23: Elektrisk potensial

Elektrisk potensiell energi

Eks: homogent, elektrisk felt

Potensiell energi:

96

Vanlig konvensjon:

97

FORELESNING 20/4­09

Elektrisk potensial

Elektrisk potensial:

potensiell energi per ladning

Enhet:

98

Punktladning:

99

Flere punktladninger:

Gjelder generelt for et vilkårlig antall N ladninger. Uavhengig av HVA som blir puttet inn i feltet!

Potensial fra kontinuerlig ladningsfordeling

100

Totalt potensial er et integral av SKALAR størrelse ­ ikke vektor!!

Generelt derfor enklere å finne totalt elektrisk potensial enn totalt elektrisk felt!!

Eks: homogent, elektrisk felt

101

"felt ganger avstand"

Bevegelse MOT feltets retning er en bevegelse mot stigende potensial!!

102

Eks: koaksialkabel. Hva er spenningen mellom sentrum og en ytre sylinderflate?

Ladningstetthet, dvs. ladning per lengdeenhet av den ladde metalltråden i midten av kabelen

103

radius av kabeltråd

radius av sylinderen

104

Elektrisk felt utregnet fra elektrisk potensial

Anta at vi kjenner V(r)

105

FORELESNING 21/4­09

Kap. 25: Strøm, resistans (motstand) og elektromotorisk spenning

Elektrisk leder (materiale som kan lede elektrisk strøm):

drifthastighetareal av tverrsnitt

ΔQ: mengde ladning som passerer et tverrsnitt av lederen i løpet av tiden Δt

Strøm:

106

• Strøm skapes av elektrisk felt i en leder• Relasjon gyldig for en del materialer:

RESISTIVITET (materialavhengig)

Konkret del av en leder:

107

resistans eller motstand

Enhet:

Batterierkraft fra kjemiske reaksjoner inne i batteriet som flytter ladningene fra bunnen til toppen av batteriet

elektromotorisk spenning, ems

108

Energi og effekt i elektriske krefter

Hvilket arbeid må de kjemiske reaksjonene i batteriet gjøre for å flytte en ladning dQ fra b til a?

Effekt: 

109

FORELESNING 27/4­09

Kap. 27: Magnetiske felt og magnetiske krefter

Magnetisme

• Permanente magneter virker på hverandre med krefter

• Magneter har alltid to poler, en sørpol og en nordpol• Like poler frastøter hverandre, mens ulike poler tiltrekker hverandre

110

Magnetisk felt

På samme måte som elektrisk felt er magnetisk felt et VEKTORFELT

virker med en kraft             på en ladning som beveger seg i feltet. Det viser seg:

retning innover i tavleplanet

111

Kraft på ladning når både elektriske og magnetiske felt er til stede:

homogent

Hvilken retning og størrelse må et elektrisk felt i samme område ha for at q skal fortsette rett fremover med konstant hastighet?

112

FORELESNING 28/4­09

Bevegelse av ladde partikler i et magnetfelt

kraften gjør ikke noe arbeid på q!

kinetisk energi forandres ikke, dermed forandres heller ikke absoluttverdien av hastigheten

SIRKELBEVEGELSE !!!

113

RADIUS I SIRKELBEVEGELSEN

Eks: masse­spektrometer (instrument som måler masse)

114

Magnetisk kraft på strømleder

I løpet av tiden Δt passerer den totale ladningen Δq gjennom en lengde Δx av ledningen

115

vektor av lengde l som peker i samme retning som strømmen

kraft som virker på et utsnitt av lengde l av en ledning som leder strømmen I og som er plassert i et magnetfelt B.