Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 1
1
• Jednostavne nelinearne zavisnosti
2
Uvod
• Primena metoda ONK zahteva da model
bude linearan, što znači da parametri
modela figurišu na linearan način (β0 i β).
Model ne mora da bude linearan po
promenljivima (Y i X).
• Postoje jednostavne nelinearne forme koje
su od interesa u ekonomskim analizama, a
koje se jednostavnim transformacijama
mogu prevesti na linearne.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 2
3
Jednostavne nelinearne zavisnosti
• Dvojno-logaritamski model (log-log model)
• Eksponencijalni model (log-lin model)
• Inverzni model
• Polu-logaritamski model (lin-log model)
• Za svaki od modela:
▫ Forma i grafički prikaz
▫ Interpretacija parametra
▫ Kako se dobijaju ocene marginalne
zavisnosti i elastičnosti?
4
Dvojno-logaritamski model: forma
{ { {
∗∗ +=
+=
+=
=
∗∗
i*
i
X
io
Y
i
ioi
ioi
X Y
XlnlnYln
XlnlnYln
XY
i*
i
ββ
ββ
ββ
β
β
β
0
0
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 3
5
Dvojno-logaritamski model: interpretacija
X promena lna)(procentua relativna
Y promena lna)(procentua relativna
X/X
Y/Y
Y
X
X
Y
X
Y
X
XX
X
Y
XY
ii
ii
i
i
i
i
i
i
i
ioio
i
i
ioi
=
∂
∂=
∂
∂=⇒
===∂
∂
⇒=
−
β
β
βββββ
ββ
β
β
1
6
Dvojno-logaritamski model: interpretacija II
� Y: 16, 18, 23, 18, 26, 30, 36
� X: 10, 9, 6, 9, 5, 4, 3
� Y – tražnja, X - cena
� β je proporcionalna promena Y
(%) koja je rezultat
proporcionalne promene X (%).
� Ako se X promeni za 1% ,Y će
se promeniti za β%.
� β je elastičnost Y u odnosu na
X.
� Ocena: -0.65, cenovna
elastičnost tražnje
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 4
7
Jednostavni linearni model i log-log model na datom
primeru: prilagodjene funkcije
12
16
20
24
28
32
36
40
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
cena
tra
zn
ja
12
16
20
24
28
32
36
40
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
cena
tra
zn
ja
8
Dvojno-logaritamski model: grafički prikaz
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 5
Intepretacija parametra nagiba
u linearnom i log-log modelu
Model Forma Parametarnagiba
Parametar elastičnosti
Linearni Konstantan Promenljiv
Log-log model
Promenljiv KonstantanieXY iot
εββ=
iii XY εββ ++= 0
ii XY ∂∂ ( )i
iii
Y
XXY ∂∂
β
ii X/Yβ β
ii Y/Xβ
Rezultati ocenjivanja za polazne podatke
ii*
i XlnYln εββ ++= 0
iii XY εββ ++= 0 5692 .−
5716857236510
3642
./..
.X/Y
⋅−
−=β 6510.−
8572357165692
7080
./..
.Y/X
⋅−
−=β
Model Ocena parametra
nagiba
Ocena parametra elastičnosti
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 6
Vežba za sledeći čas
• Posmatramo prvih deset podataka iz primera 3 sa prezentacije Glava 3.
• Oceniti:▫ Jednostavni linearni model▫ Dvojno logaritamski model
• Odrediti ocene marginalne zavisnosti i elastičnosti iz dva modela
12
Eksponencijalni model
Logaritamsko-linearni model: forma
{ {
i*
oi
io
Y
i
ioi
Xoi
XY
XlnYln
XlnYln
eY
*oi
i
ββ
ββ
ββ
β
β
β
+=
+=
+=
=
∗
∗
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 7
13
Logaritamsko-linearni model: interpretacija
X promena apsolutna
Y promena lna)(procentua relativna
X
Y/Y
X
Yln
XYln
i
ii
i
i
ioi
=
∂
∂=⇒
=∂
∂⇒
+=
β
β
β
ββ
14
Logaritamsko-linearni model: interpretacija II
� Ako se X promeni za 1 jedinicu, Y se
promeni za procentualni iznos od 100β.
� Parametar nagiba je polu-elastičnost.
� Značajna primena
Ako je X linearni trend (1,2,...), a Yekonomska veličina merena recimo na godišnjem nivou, onda je 100β godišnja stopa rasta (pada) te ekonomske veličine.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 8
15
Logaritamsko-linearni model: grafički prikaz
16
Logaritamsko-linearni model: interpretacija III
� Ako je X linearni trend (t=1,2,...), a Y ekonomska veličina merena na godišnjem nivou, onda je 100β godišnja stopa rasta (pada) te ekonomske veličine.
β
β
ββ
ββ
=−
⇒≈
=−⇒
−+=
=+=
−
−
−
−
1
1
1
01
0
1
t
tt
rasta stope ijaaproksimac
tt
*t
*t
Y
YY
YlnYln
)t(Yln
1,2,...t ,tYln
4434421
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 9
17
Logaritamsko-linearni model: primer• Na osnovu kvartalnih podataka u periodu 2001:1-2008:4 ocenjen je
sledeći model zavisnosti za BDP privrede Srbije:
• Kvartalna stopa rasta procenjena je na 1.54%
,rezidualt..BDPln t ++= 015401413
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
13.0
13.2
13.4
13.6
13.8
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
RezidualiStvarno kretanje
Modelom ocenjeno kretanje
18
Logaritamsko-linearni model: primer I• Na osnovu kvartalnih podataka u periodu 2001:1-2015:3 ocenjen je
sledeći model zavisnosti za BDP privrede Srbije:
• Kvartalna stopa rasta procenjena je na 0.7%, ali je rezultat nepouzdan zbog nehomogenosti perioda
,rezidualt..BDPln t ++= 00702513
-.2
-.1
.0
.1
.2
13.0
13.2
13.4
13.6
13.8
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
RezidualiStvarno kretanje
Modelom ocenjeno kretanje
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 10
19
Logaritamsko-linearni model:
Kaganova funkcija tražnje za novcem
• Ovo je elementarni model tražnje za novcem u uslovima visoke inflacije i hiperinflacije
• Što je vrednost polu-elastičnosti veća: ▫ to je tražnja za novcem
osetljivija na dalje ubrzavanje inflacije
▫ to se maksimalni inflacioni prihod ostvaruje pri nižim stopama inflacije.
( )
KRIVE LAFEROVE
MAKSIMUMJE TO NOVCA;
EMISIJE OD PRIHOD
RA MAKSIMIZI SEKOJOJ
PRI INFLACIJE NIVO
novcem za traznje telasticnos-polu
inflacija ocekivana
novcem, za traznja mr
- mrln
,emr
e
eo
o
e
→
→
−
−
=
>= −
α
απ
απβ
αβ απ
1
0
20
Logaritamsko-linearni model:
Kaganova funkcija tražnje za novcem II
• Petrović and Mladenović (2000), Journal of Money, Credit and Banking
Modifikacija za uslove hiperinflacije
▫ Umesto stope inflacije koristi se stopa deprecijacije deviznog kursa▫ Tražnja za novcem, koja se obrazuje kao količnik novčane mase i
indeksa cena, formira se uz upotrebu deviznog kursa umesto cena▫ Model ovog tipa bolje objašnjava uslove hiperinflacije u Srbiji od
klasičnog Kaganovog modela na osnovu mesečnih podataka u periodu 1991:1-1994:1.
• Mladenović and Petrović (2010), Journal of International Money and
Finance
▫ Ocena modela prema dnevnim podacima za period ekstremne hiperinflacije u Srbiji pokazala je da je hiperinflacija trajala relativno dugo zato što je država ubirala rastuće prihode od emisije novca za dugi period vremena.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 11
21
Logaritamsko-linearni model:
Kaganova funkcija tražnje za novcem III
• Podaci iz Mladenović and Petrović (2010)
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
1993
Realni novac (log)
-40
0
40
80
120
160
M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
1993
Dnevna promena deviznog kursa (u %)
22
Inverzni model: forma
{
∗+=
+=
+=
∗
ii
X
i
i
i
i
XoY
XoY
XoY
i
ββ
ββ
ββ
1
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 12
23
Inverzni model: interpretacija
� Ako se X promeni za 1%, Y se promeni za apsolutni iznos od 0.0β po jedinici X.
� Postoji asimetrična reakcija Y u zavisnosti od nivoa X.
� Pri nižim vrednostima X, njegova procentualna promena dovodi do oštrije reakcije Y, nego kada se pri višim vrednostima X menja.
i
i
i
i
ii
i
i
i
X
X
XY
XX
Y
XoY
∂−=∂⇒
−=∂
∂⇒
+=
β
β
ββ
2
24
Inverzni model: grafički prikaz
>↓−
<↑−⇒−=
∂
∂
0
0
2 β
ββ
za jaf
za jaf
XX
Y
ii
i
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 13
25
Inverzni model: primeri
� Levi grafik: Engelova kriva potrošnje
� (Y – potrošnja određenog proizvoda, X – dohodak)� Ispod izvesnog nivoa dohotka potrošnja nije moguća. � Postoji saturacioni nivo potrošnje: nezavisno od nivoa dohotka
potrošnja se ne ostvaruje iznad gornjeg praga.
� Desni grafik: Filipsova kriva
� (Y – stopa rasta plata, X –stopa nezaposlenosti )� Postoji asimetrična reakcija plata na promenu nezaposlenosti
na različitim nivoima nezaposlenosti.� Ako je nivo nezaposlenosti ispod prirodne stope (presek krive
sa x-osom), tada jednoprocentna promena nezaposlenosti dovodi do snažnije reakcije plata nego kada je nezaposlenost iznad prirodnog nivoa (X veće od tačke preseka krive sa x-osom).
26
Polu-logaritamski model
Linearno-logaritamski model: forma
{
∗+=
+=
+=
∗
ii
X
ii
ii
XoY
XlnoY
XlnoY
i
ββ
ββ
ββ
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 14
27
Linearno-logaritamski model: interpretacija
ii
i
ii
i
i
i
i
i
ii
XX
Y
X promena lna)(procentua relativna
Y promena apsolutna
X/X
Y
Xln
Y
Xln
Y
XlnoY
β
β
β
β
ββ
=∂
∂⇒
=
∂
∂=
∂
∂=⇒
=∂
∂⇒
+=
28
Linearno-logaritamski model: interpretacija
� Ako se X promeni za 1%, Y se promeni za apsolutni iznos od 0.0β jedinica.
� Ako je parametar nagiba pozitivan, tada Ysporije raste od rasta X.
�Tražnja za trajnim potrošnim dobrima�Profit u zavisnosti od uloženog kapitala
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 15
29
Linearno-logaritamski model: grafički prikaz
<↓−
>↑−⇒=
∂
∂
0
0
β
ββ
za jaf
za jaf
XX
Y
ii
i
Rezime upotrebe modela I
Model Forma Parametarnagiba
Parametar elastičnosti
Linearni Konstantan Promenljiv
Log-log model
Promenljiv Konstantan
Inverzni model
Promenljiv Promenljivi
i
iX
oY εβ
β ++=
ii*
oi XlnYln εββ ++=
iii XY εββ ++= 0
ii XY ∂∂ ( )i
iii
Y
XXY ∂∂
β
ii X/Yβ
2iX/β−
β
ii Y/Xβ
iiYX/β−