1 UVOD DopojmaizvodadolisunezavisnojedanoddrugogaNjutniLajbnic.Tosesmatra jednimodnajznaajnijihotkriaumatematici.Miemodotogpojmadoiposmatrajui problemodreivanjatangentenakrivoj(tajepojamkasnijebitidefinisanprecizno). Razmatranja emo zapoeti primjerom.Zaraunanjeizvodapostojepravilakojavaezairokuklasufunkcija,tooperaciju diferenciranjainijednostavnijom.Pritomeznaajnuuloguigrapraviloodiferenciranju sloenihfunkcija.Poeemosapravilimakojaopisujuponaanjeizvodauodnosuna algebarske operacije. Teorema 1. Neka su funkcije diferencijabilne u neko taki , tada suutojtakidiferencijabilnefunkcije (cproizvoljnakonstantna), i pri tome vrijedi. , , , Dokaz. Dokazaemo samo posjednju od jednakosti. Ostale se dokazuju slino. Vrijedi: Dijeleisaiprelazeinalimes,kada ,naosnovuposljednjeteoreme dobijamo traenu jednakost. Teorema2.Neka je , sloena funkcija i pretpostavimo da je, u nekoj taki, funkcija diferencijabilna funkcija promjenjive , te da je u taki funkcija diferencijabilnafunkcijaargumenta,tadajeutakifunkcija diferencijabilnafunkcija argumenta i pri tome vrijedi Dokaz.Zarpiratajfunkcije imamo .Sadrugestrane,ako , tadazbogneprekidnostifunkcije ,imamo ,pavrijedi lim lim lim . 2 Ovo se pravilo najee pie na sljedei nain . Izvodi i njihova primjena Primjena diferencijalnog rauna Diferencijalniraunumatematiciimaveomairokuprimjenu.Miemoprvovidjeti kakoseonprimjenjujezaispitivanjefunkcija.Taseprimjenazasnivananeolikoteorema, koje se zovu osnovne teorme diferencijalnog rauna, pa emo dati njihove dokaze. U ovom e dijelu bitnu ulogu igrati funkcije neprekidne na zatvorenom intervalu. Ponovimo da je funkcija neprekidna na segmentu ako je neprekidna u svim unutranjim akama tog segmenta, neprekidna slijeva u taki , a zdesna u taki . Teorema 3. (Rolova teorema) Neka funkcija y= , koja je definisana na segmentu , zadovoljava sledee uslove. 1.Diferencijabilna je u intervalu (a,b). 2.Neprekidna je u taki a zdesna, a u taki b slijeva. 3.Vrijedi . Tada postoji taka , za koju je . Akofunkcijanijekonstantna,tadaje ili razliit od nule. Pretpostavimo,zbogodreenosti,daje .Naosnovuteoremepostojitaka , takva da je . Dokaimo da je traena taka. Ako je takav da je , tada je Putajuida ,zboguslova3., dobijamo .Slinouzimajui imamo Slika 1 paopetputajuida ,zboguslova3.,dobijamo ,izegaslijedi . Geometrijskiovateoremaznaidajetangentafunkcije unekojtaki intervala(a,b) horizontalna. 3 Teorema4.(Lagranovateorema)Nekafunkcija ,kojajedefinisanana segmentu , zadovoljava sledee uslove. 1.Diferencijabilna u intervalu (a,b). 2.Neprekidna je u taki a zdesna, a u taki b slijeva. Tada postoji taka , za koju je Lagranovaterorema,kojaseobinonazivateroremaosrednjojvrijednostije specijalan sluaj sljedee teoreme. Teorema5.(Koijevateorema)Nekafunkcijaf(x)ig(x),definisanenasegmentu , zadovoljavaju sledee uslove. 1.Diferencijabilna u intervalu (a,b). 2.Neprekidna je u taki a zdesna, a u taki b slijeva. 3.Za svaki vrijedi Diferencijal funkcije Ako je prirataj funkcije , za prirataj argumenta , mogue izraziti kao gdje , , onda izraz nazivamo diferencijalom posmatrane funkcije. Potreban i dovoljan uslov za egzistenciju diferencijala funkcije je diferencijabilnost te funkcije, i u tom sluaju vai: Izvodi 1.Nekaje realnafunkcijainekaje i za . Graina vrijednost lim akopostojinaziva seprvi izvod funkcijef u taki x0. Za funkciju se kaedajediferencijabilnautaki akoonaimaizvodutojtaki. Funkcijajediferencijabilnanaintervalu akojediferencijabilnausvakoj taki tog intervala. Svaka diferencijabilna funkcija je neprekidna. 4 2.Tablica izvoda FunkcijaIzvod Uslov 0 ( log ln sin cos cos sin tg cos ctg sin aicsin aic cos aictg aicctg 3.Geometrijski,prviizvodfunkcije jednakjekoeficijentupravca tangentenagrafik funkcije u taki . Jednaina te tangentedata je sa . Jednaina normale na grafik funkcije u taki je 4.Neka su diferencijabilne funkcije u taki . Tada su u taki diferencijabilne i funkcije: i vai: , 5.Nekajefunkcija diferencijabilnautaki ifunkcija diferencijabilnautaki .Tadajefunkcija diferencijabilna u taki i vai 5 6.Logaritamskiizvoddiferencijabilneipozitivnefunkcijedatesa naziva se izvod funkcije ln ln tj. 7.Nekajefunkcija neprekidnaistrogomonotonananekomintervalui nekaje njenainverznafunkcija.Akojefunkcijadiferencijabilnau taki i ,tadajefunkcija diferencijabilnautaki i vai: ili krae 8.Akojefunkcijadatauimplicitnomobliku ,tadajepotrebno diferenciranjepo,vritiuzimajuiuobzirdajefunkcijapromjenjive.Tako dobijenu jednainu ako je mogue, rjeavamo po . 9.Zafunkcijudatuparametarski ,gdjesu funkcije i diferencijabilne u taki i vai Definicija 1. Za funkciju iji je domen D kaemo da u taki ima lokalni maksimum, ako postoji okolina , takva da vrijedi U taki funkcija ima lokalni minimum, ako postoji okolina , takva da vrijedi Lokalniminimumiimaksimumisejednim imenomnazivajuekstremnimvrijednostima funkcije.Kadgodsekaeminimumili maksimum,uvijkemopodtimpodrazumijevati lokalni minimum ili maksimum. Teorema6.Nekajefunkcijaneprekidnau nekojokolinitake.Akojeekstremna vrijednostfunkcije,tada,ako postoji, mora biti Dokaz.Pretpostavimodapostoji.Zbog odreenostipretpostaviemodajetaka minimumafunkcije.Zadovoljnomalo imaemo Slika 2. ako je ako je 6 Izoveteoremeslijedidaje potrebanuslovzaekstremnuvrijednostfunkcije. Datonijedovoljanuslovpokazujejednostavan primjerfunkcije itaka ,ukojojje prviizvodjednaknuli,atooiglednonije ekstremna vrijednost funkcije. Taku,zakojuje ,nazivamo stacionarnom takom. Zadovoljnouslovepretpostaviemo diferencijabilnostfunkcije,neusamojtaki, negounekojokolinitetake.Nekajefunkcija diferencijabilnaunekojokolinitake (izuzev, eventualno, same te take). Teorema 7. Tada je taka taka maksimuma ako je , a taka minimuma akoje , za svakix iz uoene okoline. Krae reeno, je ekstemna vrijednost, ako u njoj prvi izvod funkcije mijenja znak. Dokaz.Uskladusateoremomuslov znaida,natomintervalu, funkcijamonotonoraste,dokuslov poisojteoremiznaidafunkcija,u tomintervalu,opada,pajesadaprvatvrdnjateoremejasna.Drugidiosedokazujenaisti nain. Zadovoljanuslovzaekstremnuvrijednostfunkcijeiskazanovomteoremom neophodno je poznavati vrijednost izvoda u okolini take . Dodovoljnihuslovasemoedoiiraunajuisamoutaki,alizato jepotrebno poznavanje i izvoda vieg reda. Teorema8.Nekajefunkcija -putadiferencijabilnaunekojokolinitake i neka vrijedi U sluaju da je n paran broj, tada vrijedi; 1.Ako je , tada je taka minimuma funkcije. 2.Ako je , tada je taka maksimuma. Ako je n neparan, tada u taki funkcija nema ekstemne vrijednosti. Geometrijska interpretacija izvoda Ako je funkcija f diferencijabilna u taki , onda e koeficijent pravca tangente krive u taki biti tg , a jednaina same tangente e glasiti: gdjeje ,ajeugaokojidatatangentazaklapasapozitivnimdijelomx-ose. Jednaina normale, u istoj taki e biti: Slika 3. 7 1. Odrediti jednainu tangente i normale krive u taki (2,4). R j e e nj e Provjeravamo .Iz ,dobijamo ,tojekoeficijent pravaca tangente. Tako je jednaina tangente: , tj. , a normale: , tj. . 2.Odreditijednainutangenteinormalekrive u taki (2,-1). R j e e nj e Najprijeemoodreditivrijednostparametra tzakojuje i . Rjeavajui jednaine i dobijamo:izprve ,aiz druge ,odaklejenuno: .Iz i ,ta imamo: Zadatak 1. U krug datog poluprenika upisati pravougaonik maksimalne povrine. ,gdjejedijagonalapravougaonikairaunase prema Pitagorinoj teoremi kao . Odavde slijedi , jer je . Povrinapravougaonikajednakaje .Kakoje potrebnonaimaksimalnupovrinu,povrinase izraavaufunkcijiodkao . Dabisedobiomaksimumtefunkcije,potrebanuslovje Pa slijedi: Dabipravougaonikupisanukrunicuimaomaksimalnupovrinu,potrebnojeda jedna njegova stranica bude jednaka . b a R 8 Zadatak2.Odreditikupumaksimalnezapreminekojasemoeupisatiuloptu poluprenika . Zapreminakupeuoptemsluajudatajeformulom , gdje je poluprenik baze, a visina kupe. Kakojepotrebnoodreditimaksimalnuzapreminu ,kupeupisaneuloptupoluprenika,potrebnoje zapreminu kupe izraziti preko samo jednog parametra. Prema tomeizPitagorineteoreme iopte formule za zapreminu kupe slijedi: Da bi se dobila maksimalna zapremina potreban uslov je pa dalje slijedi: Potreban uslov da bi kupa upisana u loptu imala maksimalnu zapreminu je . Zadatak3.Odsvihvaljakaupisanihudatukupunaionajijiomotaimanajveu povrinu. R j e e nj e Posmatraemo osni presjek kupe. TrougloviABCiCEGsuslini,pavrijedi proporcija: odakle je ....(1) gdjejevisinatrouglaABCiztjemenaC,ajevisinaupisanogvaljka,a=ABje prenik osnovne kupe, x je prenik osnove valjka. Iz jednaine (1) moemo izraziti visinu valjka: ......(2) R R h r C AB GE x h 9 Povrina omotaa valjka je , pa kada u iz (2) uvrstimo , dobiemo ......(3) Kvadratnafunkcijaubrojnikupostiesvojunajveuvrijednostutjemenutj.za , odakle je . U tom sluaju je . IInain Povrinuomotaaiz(3)moemoiovakonapisati . Poto je konstanta,azbir ,jetakoekonstanta,izteoremezakljuujemodae proizvod biti maksimalan za , odakle dobijamo . Daklenajveupovrinuomotaaimaeonajvaljakijijepoluprenikosnovejednak polovini poluprenika osnove kupe, a visina valjka jednaka polovini visine kupe. Zadatak4.Odsvihkutijabezpoklopcaoblikapravouglogparalelopipedaidate povrine, nai dimenzije kutije maksimalne zapremine. R j e e nj e Oznaimo stranice kutije tj. pravouglog paralelopipeda sa x, y, z. Povina je poznata ivrijedi .IzKoijevenejednakosti(nejednakostizmeuaritmetikei geometrijske sredine) slijedi: Zapremina kutije je tj. odakle je Dakle,maksimalnazapreminasepostieza ,jerjezbir konstantan, pa je . Sada je a odavde slijedi: . Zadatak 5. Koja od pravilnih etverostranih piramida sa istom bonom ivicom a ima najveu zapreminu. R j e e nj e Oznaimo sa ivicu na osnovi.Tadaje (izpravouglog trouglaASD)konstanta.Zapreminapiramide , je najvea kada je odnosno pa je tada 10 Kada uvrstimo dobiemo da je Dakle,zapreminapravilneetverostranepiramidejenajveaza iiznosi .