Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

1

Voved

Pred da gi navedeme nekoi primeni na izvodot vo geometrijata, fizikata i za

ispituvawe na monotonost i ekstremni vrednosti na funkcija , }e gi dademe

definicijata na izvod na funkcija ,tabli~nite izvodi na elementarnite funkcii,

pravilata za odreduvawe na izvod od zbir, razlika, proizvod i koli~nik i izvod od

slo`ena funkcxija.

Neka funkcijata )(xfy e opredelena vo to~kata h. Izvod na funkcijata

)(xfy se odreduva so formulata :

x

xfxxfxf

x

)()()( lim

0

Tabli~ni izvodi

xctgxe

xx

xtgxee

xxaaa

xxx

x

xxRnxnx

aa

xx

xx

nn

2

2

1

sin

1)(.10log

1)log(.5

cos

1)(.9)(.4

sin)cos(.8ln)(.3

cos)sin(.72

1)(.2

1)ln(.6.,)(.1

Izvod od zbir,razlika,proizvod i koli~nik na dve funkcii

2.4

)(.3

)(.2

.,)(.1

V

VUVU

V

U

VUVUVU

VUVU

konstCUCUC

Neka ))(( xfy e slo`ena funkcija . Neka )(xu toga{ : )( ufy .

Izvod na slo`ena funkcija se odreduva so formulata : )()( /// xuufy

Tablica na izvodi na slo`ena funkcija

/

2

///

/

2

///

////

////

''/1/

sin

1.10

1ln.5

cos

1.9.4

sincos.8ln.3

cossin.72

1.2

log1

)(log.6.,.1

uu

uctguu

u

uu

utguee

uuuuaaa

uuuuu

u

ueu

uRnuunu

uu

uu

aa

nn

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

2

1. Deferencijabilnost i neprekinatost

Velime deka funkcijata f e deferencijabilna vo to~kata h1,ako ima izvod vo

to~kata h1.

Ako funkcijata f ima izvod vo sekoja to~ka na eden otvoren ili zatvoren

integral vikame deka e deferencijabilna vo toj integral.Neka ja zemime funkcijata

xxf )( koga .Rx Nejziniot izvod e

x2

1. Ova e isto taka izvod za sekoja to~ka h1

{to mu pripa|a na R .Toga{ xxf )( e deferencijabilna vo sekoja to~ka od oblasta

na opredelenosta R .

Mno`estvoto na site vrednosti na oblasta i opredelenosta na edna funkcuja

f ,vo koja taa e deferencijabilna,se vika oblast na deferencijabilnosta, fD na f .

Se razbira deka |

fD e podmno`estvo na .fD

Ako edna funkcija e deferencijabilna vo to~kata h1 toga{ taa e neprekinata vo

taa to~ka.

Za edna funkcija velime deka neprekinata ako:

0lim0

Zh

Nez nekoi primeri mo`eme da vidime dali nekoi funkcii se deferencijabilni i

dali se tie neprekinati.

Primer 1: Ispitaj dali funkcijatata e deferencijabilna i dali e taa

neprekinata.

Re{enie:

1

1)(

x

xxf

1

1

1

1limlim

00 x

x

hx

hxZ

hh

11

1111limlim

00 xhx

hzxxhxZ

hh

11

11limlim

22

00 xhx

hhhxxxhxZ

hh

11

2limlim

00 xhx

hZ

hh

0

110

02lim

0

xxZ

h

Funkcijata e neprekinata bidej}i 0lim0

Zh

Sega da ispitame dali )(xf e deferencijabilna.

h

Zxf

h 0

| lim)(

h

xhx

h

xfh

11

2

lim)(0

|

11

2lim)(

0

|

xhxxf

h

110

2)(|

xxxf

2

|

1

2)(

xxf

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

3

Gledame deka funkcijata e deferencijabilna bidej}i nejziniot izvod e

21

2

x i

zatoa taa e deferencijabilna bidej}i postoi ).(xf

2. Tangenta na kriva

Od geometrijata znaeme deka tangentata na kru{nica e prava koja ima edna dopirna

to~ka so kru`nicata.

s

t

M1

M0

Crt.1

Dadeni se to~kite M i M1 Neka to~kata M ja zamislime kako fiksirana to~ka ,a

to~kata M1 kako “promenliva”

Neka M1 se dvi`i po krivata, i se pribli`uva kon M.Toga{ velime deka M1 se stremi

kon M Toga{ i sekantata s se stremi kon tangentata t . Mo`e da ja razgledame krivata

(s) i kako grafik na funkcijata ).(xfy Za da ja postavime tangentata vo to~kata M1

}e zememe i druga to~ka M so koordinati ).,( yx Koeficientot na pravata MM1 so

M1 )( 11 yx i M ),( yx e ednakov na

1

1

xx

yy

pri .1 xx

Ovoj koli~nik e vsu{nost tangens na agolot , {to sekantata s go zafa}a so

pozitivnata nasoka na h-oskata.

1

1

xx

yytg

Ako zememe deka M se stremi kon M1 toga{ i naklonot na sekantata se stremi kon

naklonot na tangentata , t.e. 1

limMM

Vo slu~aj koga MM1 , toga{ i site koeficienti na pravci na sekantata se stremat

kon grani~na vrednost- koeficient na pravecot na tangentata vo to~kata M1 .

tgtgMM

1

lim

Bidej}i )( 11 yx e na krivata )(xfy ,mo`e da zamenime 11, xfx i xfx, .

Toga{ ja dobivame i vrskata MM1h1h toga{

1

1)()(limlim

11 xx

xfxftg

xxMM

Toga{ go dobivame i koeficientot na pravecot na tangentata,na edna kriva vo

to~kata 11, yx opredelena so ravenkata xfy

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

4

1

1

1

limxx

xfxfxm

xx

Izrazot hh1 e narastuvawe na argumentot i }e go bele`ime so h , a dodeka pak

razlikata (h)-(h1) e narasnuvawe na funkcijata i }e go obele`ime so .

Pa,spored toa dobivame

h

Z

h

xm lim0

)(

Narasnuvaweto 1xxh dodeka pak, hxx 1

pa,spored,toa,

Dobivame i ravenstvo:

h

xfhxfxm

h

)()(lim)( 11

01

O x1 x1+h x

y

df(x0)

Crt.2

t

M1(x1,y1)

h

M(x,y)

Q

P

so koe isto tako }e go dobieme koeficientot na pravecot na tangentata.

Primer 2: Da se opredeli narasnuvaweto na funkcijata 342 2 xxy koga ni

se dadeni 3x i 4,2h

Re{enie: Narasnuvaweto na funkcijata }e go opredelime na toj na~in {to na

sekoe h mu go dodavame h na y mu go dodavame .Z

3)(4)(2 2 hxhxy

yhxhxhxZ )344)2(2( 22

)342()3442( 222 xxhhxhxZ

342344242 22 xxhxhxhxZ

4,244,224,234 Z

6,98,48,28 Z

24Z

Za toa kako da go dobieme koeficientot na pravec na tangentata mo`eme da

poso~ime i nekoj primer.

Primer 3: Najdigo koeficientot na pravec na tangentata na krivata

xy

sin

1 vo to~kata: a)

4

b)

3

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

5

Re{enie:

)sin(

1

hxZy

y

hxZ

)sin(

1

Toga{ koeficientot na pravec na krivata }e bide

h

ZxMo

h 0lim)(

x

x

x

x22 sin

cos

0sin

cos00

Ako zamenime }e dobieme:

a)

4sin

4cos

)(2

0

xm 2

4

22

2

)(0 xm 02

0

045sin

45cos)( xm

b)

3

2

6

4

4

32

1

60sin

60cos

3sin

3cos

)(02

0

20

xm

3. Nekoi promeni na izvodite vo geometrijata

Nie vidovme deka prviot izvod od funkcijata go tolkuvame geometriski.Spored

toa,nie mo`eme i da pretpostavime deka i za vtoriot izvod,pa i za povisokite,postoi

geometriski tolkuvawe.Deka postoi vrska pome|u vtoriot izvod i geometriskite

svojstva na grafikot ,fG }e poka`ime so slednovo mislewe:

xf | za sekoe fGx go dava koeficientot.

So oddelni koeficienti na pravcite na protegawe na pravata se obele`uva so

“strmnosta” na funkcijata kako vo “ka~uvawe” taka i vo “pa|awe”. Zatoa }e re~eme deka

xf | go opi{uva tekot na fG vo ,|

fD a xf || tekot na

|

fG vo .|||

fff DDD Me|utoa, za

da bide opredelen tekot na fG so tekot ||f i samiot

||f mora da ima vo fG edno

geometrisko zna~ewe.

a) Ravenka na tangenta

Neka ni e dadena ravenkata na krivata .xfy

Nie sega treba da ja najdeme ravenkata na tangentata vo nekoja to~ka ., 11 yx

Ravenkata na pravata niz taa to~ka glasi:

11 xxmyy

Bidej}i kaj nas vo pra{awe e tangentata,koefecientot na pravecot e ednakov na

1

| xf .Toga{ ja dobivame ravenkata:

11

|

1 xxxfyy

So ova formula nie mo`eme da ja nacrtame tangentatana edna kriva ako go znaeme

izvodot so koja e opredelena.

b) Ravenka na normala

Normala na kriva e pravata,{to e normalno na tangentata i minuva niz dopirna

to~ka.Zatoa {to tangentata i normalata se normalni edna na druga,koeficientot na

pravecot na normalata vo to~kata 11, yx , }e bide

1

|

1

xf .

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

6

Pa ravenkata,koga ,01

| xf }e glasi:

1

1

|

1xx

xfyy

Ili pak:

0111

| xxyyxf

Sega mo`eme da najdeme,niz nekolku primeri,ravenka na tangenta i normala vo

nekoja to~ka ., 11 yx

Primer 4:

a) Napi{igi ravenkite na tangenti i normalite na parabolata

532 2 xxy vo prese~nite to~ki so h-oskata.

b) Najdi gi to~kite vo koi tangentite na krivite

23

1 2xxy i 232 2

2 xxy

me|usebno se paralelni.

v) Vo koja to~ka od krivata 23 2xxy tangentata e :

-Paralelna na pravata 144 xy

-Paralelna so simetralata na vtoriot kvadrant?

Re{enie:

a)

1

4

4

4

73,

2

5

4

10

4

73,

4

73

22

493

49409,2543,0532

212,1

22

xxx

DDxx

314,7,32

54,34

0,

|

1

|

1

|

1

|

1

yyyxy

xM

077:

77

170

035214:

2\02

357

2

57

2

2

|

22

1

1

|

11

yxt

xy

xy

xxyyy

yxt

x

xy

xxyyy

05142:

14\05147

14

5

72

5

7

1

017:

7\07

1

7

1

7

1

7

11

7

10

1

1

|

11

2

yxn

yx

xyxyxxyyy

yxn

yxxyxy

b) xxy 43 2|

1 34|

2 xy

Za tangentite na krivite me|usebno da bidat paralelni treba |

2

|

1 yy

1003664,3348,0383,3443222 DDDxxxxx

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

7

25,3,9,3

3

1

6

108,3

6

108,

3

1008

11

212,1

TM

xxl

x

9

25,

3

1,

9

25

9

27

9

23

9

22

3

13

3

12

27

7,

3

1,

27

7

27

6

27

1

9

2

27

1

3

12

3

1

25291823332

91827323

2

2

2

2

23

2

2

1

22

1

Ty

My

y

y

Vo to~kite

27

7,

3

1,9,3 i

9

25,

3

1,25,3 ,

Tangentite na ovie krivi se me|usebno paralelni.

v) - xxy 43 2|

1 |

2

|

1 yy

4|

2 y 443 2 xx , 0443 2 xx

64

4816

4842

D

D

D

3

2

2

6

484

2

1

2,1

x

x

x

27

32

0

2

1

y

y

Tangentata na krivata 23 2xxy me|usebno e paralelna so pravata 144 xy

vo to~kite 0,21M i

27

32,

3

22M .

- Ravenka na simetralata na vtoriot kvadrant e xy

xxy 43 2|

1

6

242,1

x

|

2

|

1 yy 1216D

1|

2 y 11 x 143 2 xx 4D

3

12 x 0143 2 xx 11 y ,

27

52 y

Tangentata na krivata ,2 23 xxy me|usebno se paralelni so simetralata na

vtoriot kvadrant vo to~kite 1,11 M i

27

5,

3

12M .

Primer 5: Napi{ija ravenkata na tangentata i normalata na krivata,

2

|

4

8

xy

vo to~kata apcisa h=2

Re{enie :

4

1

24

32

24

216

4

16

4

28222222

|

x

x

x

xy

124

820

y 20 x

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

8

22

1 xx

y 2\022

yx

21

xy

221 xy 421 xy t: 032 yx

4. Dol`ina na tangentata,normalata, subtangentata i subnormalata.

Neka nie dadena krivata .xfy Da gi pocle~eme tangentata i normalata na taa

kriva vo to~kata M (crt:3)

O x0 P x

y

Crt.3

nt

M0(x0,y0)

y0

NT

Sn

St

Dol`inata na otse~kata ,tMT me|u dopirnata to~ka M i prese~nata to~ka T na

tangentata so h-oskata ja narekuvame dol`ina na tangentata.Do deka dol`inata na

otse~kata ,nMN me|u dopirnata to~ka M i prese~nata to~ka N na normalata na

tangentata {to minuva niz dopirnata to~ka M so h-oskata,ja narekuvame dol`ina na

normalata.

Dol`inata na tSPT i nSPN ,na ortogonalnite proekcii na t i n .

Na h-oskata gi narekuvame dol`ini na subtangentata i subnormalata.

Sega da gi izvedeme formulite za presmetuvawe na ovie dol`ini:

|

2

111

y

y

tg

yctgySt

|

211 yytgySn

Po pitagorinoto pravilo }e gi najdeme dol`inite na t i n .

2|

11

2|

1

2

1

2

1

22

1

2|

12|

1

1

2|

1

2

1

2|

1

2

1

|

2

12

1

22

1

1

1

yyyyySyn

yy

y

y

yyy

y

yySyt

n

t

Za tS i nS sekoga{ rezultati }e gi zememe so apsolutna vrednost za{to se raboti

za dol`ini.

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

9

Sega mo`e da poso~ime i nekoj primer.

Primer 6: Presmetaj gi dol`inite na ,,, tSS nt i n vo slednive zada~i:

a) 22

1

xy

koga h=1

b)

12

2

x

xy koga h=1

v) xy sin koga

4

x

g) tgxy koga

4

x

Re{enie :

a)

112

1

21

2

2

2

21

22

|

1

y

x

xy

221

2

1

|

11

|

1

1

yyS

y

yS

n

t

2|

12|

1

1 1 yy

yt

4

541

4

1t

4

5t

541112|

11 yyn 5n

b)

2

1

1

2

1

222

1

2212222

33

22

22|

1

x

x

x

xxx

x

xxxxy

2

11 y

1

2

12

1

tS

4

1

2

1

2

1nS

52

52

4

11

4

12

1

t 5t

4

5

4

11

2

1n

4

5n

v)

2

2

4coscos|

1

xy

2

2

4sin1

y

1

2

2

2

2

tS

2

1

2

2

2

2nS

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

10

2

3

4

32

4

12

2

6

2

2

4

21

2

2

2

32

2

12

2

62

4

21

4

22

2

n

t

2

3

3

n

t

g) 2

4cos

1

cos

1

221

xy , 11 y ,

2

1tS , 2nS ,

4

51

4

1t

4

5t

541 n

5. Deferencijal na funkcija

Neka nie dadena funkcijata xxfy , e Df {to ima izvod vo edna to~ka h1 e

.Df Zna~i postoi broj 1

| xf takov {to:

1

|11

0lim xf

h

xfhxf

h

, i za 0,0 hh

Toga{ imame:

0limlim 1

|1

|

1

00

xf

h

xfhxfh

hh

Od vtoroto ravenstvo nie imame:

hhxhfxfhxf 1

|

11

Kade: 0lim0

hh

Narasnuvaweto na funkcijata f vo to~kata 1x {to go obele`uvame so 1Z ,t.e.

hhxhfZ 1

|

1

kade: 0lim0

hh

Prviot sobirok 1

| xhf se vika deferencijal na funkcijata f vo to~kata h1 i se

obele`uva so 1xdf ili .dy

Spored toa dobivame: hxfxdf 1

|

1

Voobi~aeno e identi~na funkcijata xX 1 da se pi{uva dxh . Pa imame

1

|

1 xfxdf

Pa od slednive doka`uvawa mo`eme da doka`eme:

Deferencijal na funkcijata f vo to~kata h1 od nejzinata oblast na opredelenost

e proizvodot na funkcijata vo taa to~ka i deferencijalot na argumentite.

Od ravenstvoto:

hhxdfZ 11

Gledame,koga 0h i razlikata 11 xdfZ ,se stremi kon nulata.Dodeka za

dovolno malo ,h mo`eme da zapi{eme:

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

11

11 xdfZ

Da ja sogledame geometriskata smisla na deferencijalot.

Da go nacrtame grafikonot na funkcijata i da povle~eme tangentata vo to~kata

111 , yxM (crt.4)

Nao|ame deka narasnuvaweto na argumentot ,1QMh narasnuvaweto na funkcijata

f ,za narasnuvaweto na argumentot h e QMZ 1 i narasnuvaweto na ordinatata pg, e

,1 QPxdf bidej}i, 11

| xdfxhfPQ

O x1 x1+h x

y

df(x0)

Crt.4

t

M1(x1,y1)

h

M(x,y)

Q

P

Brojot PMQPQMxdfZhh 11 ja poka`uva gre{kata {to se pravi koga

pri presmetuvawe na vrednostite na funkcijata f vo blizina na to~kata h1 se

zamenuva funkcijata so nejzinata tangenta vo to~kata ., 11 xfx

I u{te da napomenime deka od formulata ,| dxxfdy mo`eme da izvedeme u{te

edna furmula za nao|awe na izvodot koja }e glasi: dx

dyxf |

t.e.izvodot }e mo`eme da go najdeme kako koli~nik od deferencijalot na

funkcijata i deferencijalot na argumentot.

A sega mo`e da poso~ime i nekoj primer za toa kako mo`eme da go najdeme

deferencijalot na edna funkcija.

Primer 7:

a) Najdi deferencijal na funkcijata:

dx

x

xxedydxydy

x

xxey

x

xexey

x

xexey

xey

xx

xxxx

x

sin12

cossin22,,

sin12

cossin22

sin12

cossin12,

sin12

cossin1

sin1

||

||

b) Najdi go narasnuvaweto i deferencijalot na funkcijata ako:

a) ,132 2 xxxf h=1, ;01,0h xfhxfZ

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

12

0102,0

02,101,0

301,021401,0

524

132133242

13213322

132132

222

222

22

Z

Z

Z

hxhZ

xxhxhxhxZ

xxhxhxhxZ

xxhxhxZ

01,0101,0

34

|

dy

dxxdy

dxxfdy

01,0

34

01,0

|

hdx

xxf

dy

v) Kolkava e gre{kata kaj plo{tinata na krug so radius mcmr 2,050

cmr 50 cmmh 02,02,0 2rp

222

22

22

2

2

rrhrP

hrhrP

rhrP

hrhP

hrhP

2

2 2

281256,6

02,1000628,0

02,050,214,302,0

P

P

P

28,6

02,014,350,2

2

|

dp

dp

hrdp

drrfdp

rrf

hdr

2|

To~nata gre{ka pri presmetuvaweto 281256,6P dodeka gre{kata

presmetana so pomo{ na deferencijalot e 6,28. I tuka }e mo`eme da zabele`ime deka

razlikata e zanemarliva i mo`e da zememe deka gre{kata e .28,6 2cmdp

6. Nekoi primeni na izvodite vo fizikata Sredna i momentna brzina,zabrzuvawe

Va`no so grani~nata vrednost e i izu~uvaweto na dvi`eweto na edno telo po edna

linija.So ovoj problem posebno se zanimava Isak Wutan

O s

t tt

Ms)(ts

)( tts

M1

Da go vidime dvi`eweto na edno telo po pravata na crte` 5

Vo sekoj moment f si ima svoja polo`ba na pravata {to se opredeluva so pravata

ON = s .Patot s e funcija na vremeto .t

).(tfs

Zakonot na dvi`eweto na edno telo e daden so funkcijata .f

Treba da ja opredelime brzinata na teloto spored zakonot f

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

13

Nie znaeme deka brzinata pri ramnomerno dvi`ewe sekoga{ e ednakvo.Brzinata

se dobiva koga izminatiot pat }e go podelime so vremeto za koe e izminat toj pat.

Neka za t eizminat y. Toga{ za ttt 1, a pak za sss 1 .

Brzinata }e ja dobieme koga patot s a }e go podelime so vremeto t .

tt

ss

t

s

1

1

Pri ramnomerno dve`ewe na teloto ne e ramnomerno tega{ koli~nokot

t

s

ni

dava edna zamislena brzina {to ja vikame sredna brzina na Vsr vo intervalot na

teloto t .Toga{ bi imale Vsr t

s

Dokolku e pomalo t dotolku Vsr }e bide poblisku do vistinskata V na teloto vo

momentot.

Ottuka proizleguva definicijata:

Momentna brzina vo momentot t e grani~na vrednost na srednata brzina Vsr koga

t se stremi kon nula t.e.

0lim

t

V Vsr ili

tt

tftf

t

fV

ttt

1

1

0

)()(limlim

1

Eve mo`eme da zemame nekoj primer

Primer 8: Najdi ja brzinata na teloto {to se dvi`i spored zakonot

3

1: tts i 2t sek.

Re{enie :

t

ttttttV

t

tttV

tt

3323

0

33

0

33limlim

t

tttttV

t

22

0

33lim 0033 2 ttV

23tV 2

)2( 23 V 43)2( V 12)2( V

Za da go ispitame fizi~koto zna~ewe na prviot i vtoriot izvod vo opredelen

moment 01 ,0 tt go formirame koli~nikot ,t

S

na funkcijata na dvi`eweto tfS vo

okolinata na ,1t na narasnuvaweto t.e.

t

tfttf

t

S

01

Gorenavedeniot izraz ja dava srednata brzina na telo {to se dvi`i za eden

vremenski interval t Grani~nata vrednost kon koja se stremi srednata brzina za

0t e momentna brzina vo momentot .1t

Pa imame:

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

14

Prviot izvod na funkcijata na dvi`eweto tfs za vrednosta 1t ja dava

momentna brzina vo .1t

Sega mo`eme da ja razgledame i funkcijata na brzinata i da sozdademe u{te eden

koli~nik. Koga tfV | toga{ odnovo go formirame vo okolinata na +1 koli~nikot od

razlikite t.e.

t

tfttf

t

V

11 ''

Nie znaeme od fizikata deka koli~nikot od promenata na brzinata V i

intervalot vreme t ja dava merkata za slednoto zabrzuvawe na teloto vo intervalot

ttt 11, .Spored toa,grani~nata vrednost na ovoj koli~nik od narasnuvaweto za 0t

a toa prestavuva vtor izvod na patot po vremeto,go meri momentnoto zabrzuvawe vo

momentot .1t

Pa od ova imame:

Vtoriot izvod na funkcijata na dvi`eweto tfs za vrednosta 1t go dava

momentnoto zabrzuvawe vo .1t

A sega da poso~ime i nekoj primer za primena na izvodite vo fizikata:

Primer 9:

a) Kolkava e kineti~kata energija na telo so masa 20 grama, na krajot od tretata

sekunda ako toa se dvi`i po zakonot 232 tts .

b) Od edna ista to~ka zapo~nuvaat istovremeno da se dvi`at dve tela po zakonot

52 23

1 ttS i 123

3

2 tt

S

Nadi go momentot vo koj dvete tela se dvi`at so ednakva brzina i odredi gi

zabrzuvawata vo toj moment.

Za dvete tela {to se dvi`at so ednakva brzina treba 21 VV

v) Edno telo se dvi`i pravoliniski po zakonot .40200 2s

Najdija brzinata na krajot od pettata sekunda.

Koga teloto }e prestane da se dvi`i?

Re{enie :

a) Da napomeneme samo deka kinati~kata energija mo`eme da ja presmetame po

furmulata

2

2mvE

gm

t

20

33

JEEv

ttsv

90,2

920,3

32|

b)

0243243

229

9,43

2222

21

22

|

22

2|

11

ttttttVV

tt

tSVtttSV

01616

2244

0242

2

2

D

D

tt

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

15

Po edna sekunda tie tela se dvi`at so ednakvi brzini .

2

|

22

2

|

11

22

24

s

mtVW

s

mGtVW

Ova se zabrzuvawata na tie dve tela vo toj moment.

v)

s

msv

ttsv

ts

3052405

240

40200

|

|

2

st _5

Brzinata na krajot od 5 y }e iznesuva s

m30

Dodeka teloto }e prestane da se dvi`i koga

st

t

t

tv

_20

402

0240

240

Teloto }e prestane da se dvi`i po 20 y.

7. Rastewe i opa|awe na funkcija

Ovde }e najde vrska me|u prviot izvod i svojstvoto na rastewe i opa|awe na

dadena funkcija f(x), {to e opredelena vo nekoj interval (a,b).

Teorema 1: Ako funkcijata f(x) na intervalot (a,b) e diferencijabilna i

monotono raste~ka (monotono opadnuva~ka) toga{:

f’(x) 1)0 (f’(x) 0) x (a,b)

Dokaz: Neka funkcijata f(x) e monotono raste~ka funkcija na intervalot (a,b) i

neka se x, x+h (a,b).(Crt.6)

O x x+h x

y

f(x)f(x+h)-f(x)

Crt.6

Toga{: f(x+h)-f(x)>0 koga h>0 i f(x+h)-f(x)<0 koga h<0. Spored toa, sekoga{:

1) Znakot za ravenstvo mo`e da va`i samo za nekoi to~ki od intervalot (a,b)

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

16

0

h

)x(f)hx(f od kade {to sleduva: 0

0

)x('f

h

)x(f)hx(flimh

{to

treba{e da se doka`e.

Analogno se doka`uva ako funkcijata e monotono opa|a~ka.

Teorema 2 : (Obratna teorema) Neka funkcijata f(x) e diferencijabilna na

intervalot (a,b) . Toga{ funkcijata e monotono raste ako f’(x)> 0 , a monotono opa|a ako

f’(x)<0 .

Primer 10: Da se oredelat intervalite na monotonost na funkcijata f(x)=x2, x R.

Re{enie: a) Od ravenstvoto f'(x) >0 za h>0, t.e funkcijata monotono raste na

intervalot 0

b) Od ravenstvoto f'(x) <0 za h<0, t.e funkcijata monotono opa|a na intervalot 0

v) f'(x) =0 za h=0. Vo ovaa to~ka velime deka funkcijata stagnira. Taaa to~ka se vika

stacionarna to~ka (Crt. 7).

Crt.7

Voop{to, to~kite od apcisnata oska vo koi {to f'(x) =0 se vikaat stacionarni

to~ki na funkcijata f(x).

Primer 11: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=sinx vo inervalot [0, )

Re{enie: Bidej}i f'(x)=cosx , imame ;

a) f'(x) >0 t.e cosx>0, za

20

,x b) f'(x) <0 t.e cosx<0, za

,x

2v) f'(x) =0 t.e cosx=0,

za

2

x .

Zaklu~uvame deka funkcijata sinx monotono raste na intervalot

20

, , monotono

opa|a na intervalot

,

2 , a stagnira vo to~kata

2

x . (Crt. 8).

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

17

Crt.8

Primer 12: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=tgx vo inervalot

22

,

. Re{enie: Bidej}i

xcos

1(x)f'

2 f'(x) za

22

,x zaklu~uvame deka funkcijata

f(x)=tgx monotono raste na intervalot

22

, (Crt. 9).

Crt.9

Primer 13: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=2x .

Re{enie: Bidej}i 0ln22(x)f' x za sekoj Rx zaklu~uvame deka funkcijata

f(x)=2x monotono raste na intervalot , (Crt. 10).

Crt.10

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

18

Primer 14: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=x3 .

Re{enie: Bidej}i 03(x)f' 2 x za sekoj {0}\Rx zaklu~uvame deka funkcijata

f(x)=x3 monotono raste na intervalot , (Crt. 11).

Crt.11

Koristej}i go geometriskoto tolkuvawe na prviot izvod, mo`eme da go dodademe

slednovo geometrisko tolkuvawe na pogore ialo`enite teoremi:

a) Ako f(x) monotono raste na intervalot (a,b) (f’(x) 0, ),( bax , toga{ tangentata

vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a ostar

agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.12a).

b) Ako f(x) monotono opa|a na intervalot (a,b) (f’(x) 0, ),( bax , toga{ tangentata

vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a tap

agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.12b).

O x

y

Crt.12

a)

O x

y b)

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

19

8.Ekstremni vrednosti na funkcija

Ovde }e gi primenime prviot i vtoriot izvod na daena funkcija za opredeluvawe

na nejzinite ekstremni vrednosti: maksimum i minimum. Od porano znaeme deka deka

funkcijata f(x) vo intervalot (a,b) ima maksimum (minimum) za ),(0 bax , ako postoi

broj takov {to za sekoj ),( 00 xxx i 0xx va`i neravenstvoto

))()((),()( 00 xfxfxfxf (Crt.13). Isto taka, znaeme deka to~kata so apcisa 0x vo koja

{to funkcijata ima maksimum (Crt.13/a) go odeluva intervalot na rastewe od

intervalot na opa|awe. Ako pak, funkcijata ima minimum vo to~kata so apcisa 0x

(Crt.13/b) toga{ taa go odeluva intervalot na opa|awe od intervalot na rastewe.

O x

ya)

0x0x 0x

O x

y

Crt.13

b)

0x0x 0x

Od prethodno ka`anoto sleduva deka: Prviot izvod na funkcijata f(x) go menuva

znakot od pozitiven vo negativen koga funkcijata ima maksimum i od negativen vo

pozitiven koga funkcijata ima minimum, a samo vo to~kata so apcisa 0x toj e dnakov na

0 t.e. f’(x)=0.

Geometriski zna~i deka tangentata na krivata vo to~kata so apcisa 0x e paralena

so apcisnata oska .

Od prethodno ka`anoto doa|ame do slednovo svojstvo:

Ako funkcijata f(x) ima ekstrem za to~kata Dxx 0 , toga{ f’(x)=0.

No, obratnoto tvrdewe neva`i, t.e funkcijata mo`e da ima prv izvod vo dadena

to~ka ednakov na 0, no vo taa to~ka funkcijata da nema izvod. Na primer, funkcijata

f(x)=x3 vo to~kata 0x =0 ima prv izvod ednakov na 0, t.e f’(0)=0, a sepak , za 0x =0, nema

ekstrem t.e. taa monotono raste za celata oblast na opredelenost.

Od prethodniov prime mo`e da se zaklu~i deka f’(x0)=0 e samo potreben uslov, no

ne i dovolen uslov da dadena funkcija vo 0x ima ekstrem. .

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

20

Dovolnite uslovi za toa dali dadena funkcija f(x) ima ekstrem , vo dadena to~ka

0x za koja f’(x0)=0 i dali toj ekstrem e maksimum i minimum proizleguvaat od

definiciite za ekstremi i glasat:

a) Ako f ’(x)>0 za x <0x i f ’(x)<0 za x >

0x , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata

0x raste, a desno od to~kata 0x opa|a, toga{ f(x0) e najgolema vrednost na f(x) vo

intervalot ),( 00 xx i po definicija pretstavuva maksimum na funkcijata.

b) Ako f ’(x)<0 za x <0x i f ’(x)>0 za x >

0x , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata

0x opa|a, a desno od to~kata 0x raste, toga{ f(x0) e najmala vrednost na f(x) vo

intervalot ),( 00 xx i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata.

v) Ako f ’(x)<0(f ’(x)>0 ) za sekoj ),( 00 xxx , t.e. f ’(x) ne go menuva

znakot za vrednostite na argumentot od okolinata na to~kata 0x , toga{ funkcijata

nema ekstremna vrednost vo to~kata x0 . e najmala vrednost na f(x) vo intervalot

),( 00 xx i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata.

Zaklu~ok: Ako pri premin, od levo na desno na argumentot h niz to~kata x0, vo koja

f’(x)=0,

prviot izvod go menuva znakot od pozitiven vo negativen, toga{ funkcijata f(x)

vo to~kata 0x ima maksimum.

prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven , toga{ funkcijata

f(x) vo to~kata 0x ima minimum.

prviot izvod ne go menuva znakot funkcijata f(x) nema ekstremni vrednosti.

Primer 15: Funkcijata f(x)=1+x2 ima prv izvod f’(x)=2x, koj {to e ednakov na nula

vo to~kata x0=0, t.e.f’(0)=0. Bidej}I f’(x)<0 za x<0 i f’(x)>0 za x>0 sleduva deka

funkcijata ima minimum vo to~kata x0=0 koj {to ednakov na 1, t.e. f(0)=1.(Crt.14)

Crt.14

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

21

Zabele{ka 1: Funkcijata f(x) vo to~kata Dx mo`e da iama ekstrem iako vo taa

to~ka prviot izvod ne postoi, a samo go menuva znakot .

Primer 16: Funkcijata

0x,x

0x,xx)x(f ima prv izvod

0x,1

0x,1)x('f koj {to go

menuva znakot od negativen vo pozitiven vo x0=0, pa spored toa vo to~kata ima minimu,

iako f’(0) ne postoi.(Crt.15)

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

Crt.15

Primer 17: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata

1x3x23

x)x(f 2

3

Re{enie: Prviot izvod na funkcijata e: 3x4x)x('f 2 . So re{avawe na

ravenkata 03x4x2 gi nao|ame to~kite h1=1 i h2=3. Spored toa )3x)(1x()x('f .

Go ispituvame znakot na f’(x) vo sekoja od to~kite h1=1 i h2=3 {to pretstavuvaat

stacionarni to~ki na funkcijata.

Imame: f’(x)>0 za x<1 i f’(x)>0 za x>1, a toa zna~i deka funkcijata za h=1 ima

maksimum {to e ednakov na

3

7)x(f . f’(x)<0 za 1<x<3 i za x>3, pa spored toa funkcijata

ima minim vo to~kata h=3 {to e ednakov na f(3)=1.(crt.16)

Crt.16

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

22

Utvrduvaweto na znakot na prviot izvod na funkcijata f(x) vo oklinata na

stacionarnata to~ka ne e sekoga{ lesno, a toa zna~i deka, ne e lesno i samoto

opredeluvawe na ekstremnite vrednosti so pomo{ na prviot izvod. Ponekoga{ toa se

olesnuva ako funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka.

Neka pretpostavime deka funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka

x0 i vo nejzinata okolina ima prv i vtor izvod i pritoa neka f’(x)=0. Kako {to se

utvduva, vrz osnova na znakot na prviot izvod vo oklinata na to~kata x0. dali

funkcijata raste ili opa|a , taka vrz osnova na znakot na vtoriot izvod (f’’(x)) , mo`e

da se utvrdi dali funkcijata f’(x) raste ili opa|a vo oklinata na to~kata x0.

O~igledno, ako funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum, toga{ neziniot prv

izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 opa|a preminuvaj}i od pozitivni vrednosti preku

nulata na negativni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0

prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e negativen, t.e. f’’(x)<0.

Ako, pak, funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima minimum, toga{ neziniot prv izvod f’(x)

vo okolinata na to~kata x0 raste preminuvaj}i od negativni vrednosti preku nulata na

pozitivni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod

(f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e pozitivenen, t.e. f’’(x)>0.

Vo praktikata, za utvrduvawe dali funkcijata f(x) ima ekstrem vo to~kata x0 i od

koj vid e toj ekstrem, se koristi slednovo pravilo:

Ako f’(x)=0 i f’’(x)<0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima maksimum, ako pak

f’(x)=0 i f’’(x>,0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima minimum.

Zabele{ka 2: Ova pravilo ne mo`e da se primeni ako vo to~kata x0 i vtoriot

izvod na funkcijata f(x) e nula, t.e. f’’(x0)=0. Toga{ utvduvaweto dali funkcijat f(x) vo

to~kata x0 ima ekstrem i od koj vid e toj ekstrem, se vr{i so utvduvawe na znakot na

prviot izvod na funkcijata.

Funkcijata f(x)=x4 ima prv izvod f’(x)=4x3, {to ednakov na nula vo to~kata x0=0. No vo

taa to~ka i vtoriot izvod f’’(x)=12x2 e ednakov na nula , pa zatoa gornoto pravilo ne

dava mo`nost da se utvrdi ekstrem vo to~kata x0=0 i od koj vid e toj ekstrem. So

utvrduvawe na znakot na prviot izvod vo taa to~ka( go menuva znakot od negativen vo

poziteven) zaklu~uvame deka funkcijata vo x0=0 ima minimum. (Crt.17)

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

23

x

y

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

0

1

2

3

4

5

Crt.17

Prakti~no, opredeluvaweto na ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x) se

sveduva na slednovo pravilo:

1. Se opredeluva prviot izvod f’(x).

2. Prviot izvod se izramnuva na nula i se re{ava ravenkata f’(x)=0, t.e. se

opredeluvaat stacionarnite to~ki.

3. Se opredeluva vtoriot izvod f’’(x) i se ispituva negoviot znak vo sekoja

stacionarna to~ka, posebno.

Primer 18: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata:

f(x)=2x3-9x2+12x.

Re{enie:

1o: f’(x)=6x2-18x+12

2o f(‘x)=0 sleduva 6x2-18x+12=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=1 i x2=2

3o f’’(x)=12x-18

Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(1)=-6<0 od

kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1=1 ednakov na f(1) =5,

f”(2)=6>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2=2 ednakov na f(2)

=4.(Crt.18)

Crt.18

Primena na izvodite

---------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------

24

Primer 19: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x)=sinx ,

x[0,].

Re{enie:

1o: f’(x)=cosx

2o f(‘x)=0 sleduva cosx=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=2

i x2=

2

3

3o f’’(x)=-sinx

Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(2

)=-sin

2

=-

1<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1=2

ednakov na f(

2

)

=1, f”( 2

3)=sin

2

3=-1>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2=

2

3

ednakov na f(2

3) =-1.(Crt.19)

Crt.19