www.matematiranje.com

1

IRACIONALNE JEDNAČINE Pod iracionalnom jednačinom podrazumevaju se jednačine kod kojih se nepoznata nalazi pod korenom. U opštem slučaju ove jednačine se ne mogu rešiti. Mi ćemo proučiti neke prostije slučajeve. Važno: Jednačina )()( xbxa = je ekvivalentna sistemu 0)()()( 2 ≥∧= xbxbxa Primer 1: Rešiti jednačinu: ∧ 07 ≥+x ovo zbog korena

∧ 7−≥x

6

11

−===

cba

3

22

51

2

1

2,1

−==

±−=

xx

x

Moramo proveriti da li su rešenja ‘’dobra’’ tj. da li zadovoljavaju 1−≥x i 7−≥x

21 =x je dobro 32 −=x nije jer 132 −≥−=x nije tačno. Dakle, jedino rešenje je x=2

Primer 2: Rešiti jednačinu: xx =−+ 91 2 xx =−+ 91 2 Ovde najpre ostavimo koren na jednu stranu, a sve bez korena prebacimo na drugu stranu 192 −=− xx Sada postavljamo ekvivalenciju:

060712

112701)1(7

17

2

2

2

2

=−+

=−−++

−≥∧++=+

≥+∧+=+

+=+

xxxxx

xxxxxxx

xx

www.matematiranje.com

2

∧ ∧ ( ] [ )∞∪−∞−∈ ,33,x Obavezno proverimo dal rešenje zadovoljava uslove: 1≥x i ( ] [ )∞∪−∞−∈ ,33,x Pošto zadovoljava → x=5 je rešenje

Primer 3: Rešiti jednačinu: 3812 2 =−− xx

9)8(/()38

0033838

1298

9812

080812/()3812

22

22

.3

22

2

2

.2

2

.1

222

=−

=−−

>⇒≥⇒=−→−=−−

−=−−

=−−

≥−∧≥−−→=−−

xxxx

xxx

xxx

xx

xx

xxxxx

uslov

uslovuslov

→=−− 098 24 xx ovo je bikvadratna jednačina →=−− 098 24 xx smena tx =2

ixxx

tt

t

tt

±=−=∨=

−==

±=

=−−

4,3

222

1

2,1

2

19

19

2108

098

3,3 21 −== xx Kad je ovako zamršena situacija sa uslovima, kao sada, a dobili smo rešenja 31 =x i

32 −=x , zamenite rešenja u početnu jednačinu, da vidite da li su ‘’dobra’’!

5102

912129

)1(922

22

==

+=+−=−

−=−

xxx

xxxxx

101

≥≥−

xx

33

09

2

1

2

−==

≥−

xxx

www.matematiranje.com

3

3339

31312

383312

38122

2

==

=⋅−

=−−

=−− xx

Dakle x=3 jeste rešenje

⇒−3x Natačno, dakle x=-3 nije rešenje Dakle x=3 je jedino rešenja!!! Drugi tip zadataka koji ćemo proučiti je oblika: )()()( xcxbxa =± Važno: Ovde moramo najpre odrediti zajedničku oblast definisanosti funkcija )(xa i )(xb

odnosno 0)( ≥xa i 0)( ≥xb , a kad dodjemo do oblika )()( xQxP = primenjujemo kao malopre ekvivalenciju da 0)()()( 2 ≥∧= xQxQxP . Opet vam savetujemo da ako se ne snalazite sa uslovima, dobijena rešenja ‘’proverite’’ u početnu jednačinu. Primer koliko su važni uslovi: Reši jednačinu:

1=−+ xx Ovde mora biti 0≥x i 0≥− x , odnosno 0≥x i 0≤x jedino može biti x=0, a to očigledno nije rešenje!!! Primer 1: Reši jednačinu: 7582 =+++ xx Pre nego počnemo sa rešavanjem: 082 ≥+x i 05 ≥+x 4−≥x i 5−≥x [ )∞−∈ ,4x

315

3312

389312

3812 2

=

=+

=−−

=−− xx

www.matematiranje.com

4

58249)5)(82(2

495)5)(82(282

75582282

/()7582222

2

−−−−=++

=++++++

=++++++

=+++

xxxx

xxxx

xxxx

xx

→−=++ 2/()336)5)(82(2 xxx Pazi uslov

4284

2280288

0113628801136288

0921612961603240892161296)408102(4

)336()5)(82(4

2

1

2,1

2

2

22

22

2

==

±=

=+−

=−+−

=−+−+++

+−=+++

−=++

xx

x

xxxx

xxxxxxxxxx

xxx

Da se podsetimo uslova: [ )∞−∈ ,4x i 12≤x , Dakle, jedino rešenje je x=4 Primer 2: Reši jednačinu 518317 =−−− xx uslovi su: 017 ≥− xx i 0183 ≥−x

71

≥x i 6≥x

[ ) Uslovx →∞∈ ,6 518317 =−−− xx Lakše nam je da jedan koren prebacimo pa onda da kvadriramo!!!

2:/1831084

183101832517

83183102517

/()183517 2

−=−

−=+−−−

−+−+=−

−+=−

xx

xxx

xxx

xx

12363

0336

≤−≥−≥−

x

x

www.matematiranje.com

5

→−=− 2/()183542 xx uslov

833591

833591

833591

882591

046691404507516164

4507516164)183(25)42(

2

1

2,1

2,1

2

2

2

2

−=

+=

±=

±=

=+−

=+−+−

−=+−

−=−

x

x

x

x

xxxxxxxx

xx

Kad se ovako desi moramo naći približne vrednosti za 1x i 2x da bi videli da li zadovoljavaju uslove:

78,797,14

2

1

≈≈

xx

Pošto su uslovi 6≥x i 2≥x Zaključujemo da su oba rešenja dobra. Primer 3: Reši jednačinu: 2483 +=+++ xxx Rešenje: Ovde moramo postaviti: 3 uslova:

3

03−≥≥+

xx

, 8

08−≥≥+

xx

, 24

024−≥

≥+xx

Dakle, kad upakujemo ova 3 uslova 3−≥x

8324)8)(3(2

248)8)(3(23

2488323

/()2483222

2

−−−−+=++

+=++++++

+=++++++

+=+++

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxx

→−=++ xxx 13)8)(3(2 uslov:

2042

≥≥−

xx

1313013

≤−≥−≥−

xx

x

www.matematiranje.com

6

241

67670

6577670

0737030261699612324

26169)2438(4)13()8)(3(4

2

1

2,1

2

22

22

2

−==

±−=

±−=

=−+

=−+−+++

+−=+++

−=++

xx

x

xxxxxxxxxxxx

xxx

Da li su rešenja dobra? Uslovi su 3−≥x i 13≤x , dakle x=1 je jedno rešenje

Primer 4: Rešiti jednačinu: 333 55 xxx =−++ Rešenje: Ovde ćemo morati da uvedemo smenu:

tx =3 2/()55 ttt =−++ Uslovi: i

[ ]5,5−∈t

( )

22

222

22

2

52525

5)5()5(5

55

/()55

tttt

ttttt

ttt

ttt

=−+−++

=−+−−+++

=−++

=−++

→=− 222 /()252 tt uslova: 0102 ≥−t

505

−≥≥+

tt

5505

≤−≥−≥−

tt

t

www.matematiranje.com

7

4,4016000)16(

01610020410010020)25(4

)10()25(4

2

2

22

24

242

242

222

−=+=⇒=−

=⇒=

=−

=−

+−=−

+−=−

−=−

ttttt

tttt

tttttt

tt

za 6444 3 =⇒=⇒= xxt jeste rešenje za 6444 3 −=⇒−⇒−= xxt nije rešenje za 00 =⇒= xt nije rešenje Dakle 64=x je jedino rešenje!!!