Introducere în LATEX

Universitatea "Al. I. Cuza" Ia³i

Facultatea de Matematic

Introducere în LATEX

- Notiµe de laborator -

[Iulian Stoleriu]

21 mai 2014

1 Laborator 1


[Dr. Iulian Stoleriu]

Introducere

TEX este un program de redactare a textelor ³i a formulelor matematice. A fost creat deDonald E. Knuth prin anii 1970, prima versiune ap rând prin 1982. Este un programrenumit prin faptul c este foarte stabil pe diverse platforme ³i bug-free. VersiunileTEX sunt aproxim ri ale num rului π, ultima versiune ind 3.1415926.

LATEX este un pachet de macros contruit pentru TEX ce aduce noi îmbun t µiri în ceprive³te calitatea ³i u³urinµa de redactare, cât ³i o a³are profesional .

LATEX a fost introdus de Leslie Lamport în 1984 ³i a devenit o metod dominant deutilizate a programului TEX.

Versiunea curent ³i cea mai utilizat este LATEX2ε, ap rut pentru prima oar în1994, conceput ³i actualizat de o echip de voluntari (Johannes L. Braams, DavidP. Carlisle, Alan Jerey, Frank Mittelbach, Chris Rowley ³i Rainer Schöpf).

Din 2010, a ap rut versiunea LATEX3, ce aduce îmbun t µiri la sintax , interfaµ , accesu³or la fonturi arbitrare, o nou documentaµie.

LATEX este gratuit ³i este disponibil în majoritatea sistemelor de operare (Unix, Win-dows, Mac OS etc.)

Scientic Word e un sistem WYSIWYG (What You See Is What You Get) ce are labaz LATEX pentru Windows.

LyX e un sistem WYSIWYG pentru Linux, Unix, Mac OS X ³i MS.

De ce avem nevoie pentru a produce un document cu LATEX?

- un editor (e.g., TEXmaker sau emacs pt Linux or Mac OS, Notepad and WinEdt pentruWindows).

- o colecµie de arhive - e.g. MiKTeX (http://www.miktek.org) pentru Windows sauTeX-live pentru Unix\ Linux;

1

- un editor pentru *.dvi sau *.pdf (eventual, Ghostscript, Ghostview sau/³i Adobe Acro-bat reader, pentru a vedea sau imprima rezultatul nal.) De regula, ele sunt incluseîn editor.

De ce LATEX ³i nu Word?

(i) scrierea formulelor matematice cu LATEX este mult u³urat ³i f cut într-un mod maiconvenabil;

(ii) structurile complexe (e.g., note de subsol, index ri, liste cu tabele, bibliograe, notarearelaµiilor matematice) pot generate cu u³urinµ ;

(iii) forma nal documentului creat este net superioar celui creat cu MS Word;

(iv) multe reviste ³tiinµice accept doar articole scrise în LATEX;

(v) este gratuit ³i poate folosit în orice sistem de operare;

(vi) creaz ³iere de tip *.ps, *.pdf sau *.dvi.

(vii) exist diverse ³iere gratuite (class packages) pentru prezent ri cu beamer sau slide-uri,CV, pentru c rµi, note muzicale etc.

(viii) este stabil ³i mult mai u³or ³i rapid de utilizat pentru scrierea formulelor dec at MSWord sau WordPerfect.

Dezavantaje

(1) rezultatul nal poate v zut doar dup compilare, ³i nu imediat;

(2) trebuie înv µate comenzile necesare pentru producerea caracterelor dorite;

(3) poate dicil uneori de obµinut un anume rezultat;

(4) e indicat salvarea ³i rularea ³ierului la intervale scurte, pentru a preîntâmpina adu-narea a multor gre³eli de redactare;

(5) în LATEX poate foarte greu de produs documente neorganizate (e.g., text ³i simbolurineuniforme).

Preambulul ³ierului de tip LATEX

Comanda urm toare specic tipul de document ce intenµionezi s scrii:\documentclass[options]class

Spre exemplul, clasele (sau stilurile) pot : article, proc, book, letter, report, beamersau slides. Opµiunile difer în funµie de class. Putem avea mai multe opµiuni, separateprin virgul . De exemplu: 10pt, 11pt, 12pt, a4paper, twoside, oneside, landscape, eqn

2

Un exemplu de comand de început:\documentclass[12pt, twoside, a4paper]article

Aceast linie este urmat de preambul, unde pot înc rcate noi pachete de opµiunipentru document, e.g.,\usepackage[options]package

Tot aici, pot introduse comenzi care s inuenµeze stilul întregului document, e.g.,\newcommand\R\mathbbR % R\newcommand\ff:\mathbbR^m\longrightarrow \R^n % f : Rm −→ Rn

\renewcommand\leq\leqslant % înlocuie³te≤ cu6\newcommand\pd[2]\frac\partial #1\partial #2 % \pdFx pro-duce ∂F

∂x.

Tot aici, putem stabili dimensiunile documentului. De exemplu:\pagestyleplain \setlength\textwidth6.9in

\setlength\textheight9in \setlength\evensidemargin-0.1in

\setlength\oddsidemargin-0.2in \setlength\topmargin0.1in

\setlength\headheight0in \setlength\headsep0.4in

\topmargin= -1cm

Urm toarea comand anunµ începutul textului documentului:\begindocument

Dup aceast comand , scriem textul.

Urm toarea comand anunµ sfâr³itul textului documentului:\enddocument

Orice urmeaz dup aceast comand va ignorat la compilare.

% Acesta este fisierul primul.tex, un fisier LATEX minimal

% Aici scriem comentarii

\documentclass[12pt]article

\begindocument

Primul meu r\^ and \^ in \LaTeX.

\enddocument

Caractere speciale: & % # $ _ \ generate de (respectiv):

\& \% \# \ \ \$ \_ \textbackslash \~ \^

3

Bibliograe

[1] Tobias Oetiker Hubert Partl, Irene Hyna and Elisabeth Schlegl, The Not So ShortIntroduction to LATEX2e, 2009 (online)

[2] Mihai Radu Solcan, Ghid LATEX, versiunea pentru Windows, Bucure³ti, 2005 (online)

[3] Leslie Lamport, LATEX: A Document Preparation System, Addison- Wesley PublishingCompany, Reading, MA, 1994 (2nd edition).

[4] The Comprehensive TEX Archive Network (CTAN): http://www.ctan.org/

[5] http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/

[6] http://www.maths.ox.ac.uk/help/faqs/latex/

[7] http://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/

4

http://www.ctan.org/

http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/

http://www.maths.ox.ac.uk/help/faqs/latex/

http://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/

% Definim tipul documentului


% Definim asezarea in pagina

\pagestyleplain \setlength\textwidth6.9in \indexpagestyle



\setlength\headheight0in \setlength\headsep0.4in \topmargin= -1cm

% Apelam bibliotecile necesare

\usepackageamsfonts,amsmath

\usepackage[usenames,dvipsnames]color

% Titlul documentului

\title\textbf\colorNavyBlue Introducere \^ in \LaTeX\\

Laboratorul 1

% Autorul

\author[Dr. Iulian Stoleriu]

% Data

\date\today

% Incepem textul documentului

\begindocument

% Comanda de afisare a titlului

\maketitle

% Text

\begincenter

\textbf\colorNavyBlue \textbfIntroducere

\endcenter

\beginitemize

\item \TeX este un program de redactare a textelor \c si a formulelor

matematice. A fost creat de Donald E. Knuth prin anii $1970$, prima versiune

ap\u ar\^ and prin $1982$. Este un program renumit prin faptul c\u a este

foarte stabil pe diverse platforme \c si \em bug-free. Versiunile \TeX

sunt aproxim\u ari ale num\u arului $\pi$, ultima versiune fiind $3.1415926$.

\item \LaTeX este un pachet de macros contruit pentru \TeX ce aduce

noi \^ imbun\u at\u a\c tiri \^ in ce prive\c ste calitatea \c si

u\c surin\c ta de redactare, c\^ at \c si o afi\c sare profesional\u a.

\enditemize

% Finalul documentului

\enddocument

5

LATEX(L2) [Dr. Iulian Stoleriu] 6

2 Laborator 2

Pagina de titlu

\begintitlepage ... \endtitlepage

cre m un ³ier TITLU.tex ³i-l ata³ m prin \inputTITLE.tex

Comenzi în LATEX

(i) comenzile sunt senzitive la formatul literei, i.e., se va face diferenµ între \F ³i \f;

(ii) încep cu \, continuat de o liter (e.g., \sum ) ori de un singur caracter care nu esteliter (e.g., \^ );

(iii) spaµiul liber de dup comand este ignorat.

Tipuri de ³iere întâlnite în LATEX:*.tex, *.sty, *.dtx, *.ins, *.cls, *.fd, *.dvi, *.log, *.toc., *.lof, *.lot, *.idx, *.ind.

Biblioteci pentru diverse alte limbi: \usepackage[limbaA, limbaB]babel

E.g., \usepackage[romanian]babel

Stilul paginii

(a) \pagestylestyle, unde style poate : plain, headings, empty.

(b) Pentru a l sa o anumit pagin f r num r se va folosi comanda \pagestyleempty.

(c) schimbarea stilului paginii curente se face prin comanda \thispagestylestyle.

Comenzi de scriere

LATEX desparte automat textul în linii de aceea³i lungime, la nevoie desparµind cuvintelede la nal;

în anumite ocazii, dorim s termin m textul de pe o linie. În LATEX, sfâr³itul de liniese obµine prin: \\ sau \newline

sfâr³it de pagin : \newpage

comenzile pot urmate de , [ ] sau de nimic.

Medii de lucru în LATEX

Sintaxa general este:

\beginenvironment

Textul ce va fi influen\c tat de mediul de lucru.

\endenvironment

Exemple:

\begincenter... text ...\endcenter,

\begincases... variante ...\endcases,

\beginequation... formule matematice ...\endequation,

\begineqnarray... formule matematice ...\endeqnarray,

\begindocument... text ...\enddocument,

\beginitemize... \item[(optional)] ...\enditemize.

\beginenumerate... text ...\endenumerate.

\beginverbatim... text ...\endverbatm

Pentru a schimba stilul de enumerare, putem utiliza comanzi de genul:

\renewcommand\labelenumi(\alphenumi)

\renewcommand\labelenumii[\romanenumii]

Formule matematice

(i) în interiorul textului, modul matematic se introduce prin inserarea de dolar în ambelecapete.E.g., $\frac\pi4 = \sum_k=1^\infty\frac(-1)^k+12k-1$

produce π4

=∑∞

k=1(−1)k+1

2k−1

(ii) pentru a introduce modul matematic în linie separat , folosim \[ ... \] sau\begindisplaymath ... \enddisplaymath sau $$ ... $$ sau modul equation.De exemplu, $$\frac\pi4 = \sum_k=1^\infty\frac(-1)^k+12k-1$$

produceπ

4=∞∑

k=1

(−1)k+1

2k − 1

(iii) pentru a a³a modul display în interiorul textului folosim $\displaystyle ... $

(iv) pentru numerotarea formulelor folosim modul equation. De exemplu,

\beq \labelSt

S(t)=S_0e^(\mu-\frac\sigma^22)\,t+\sigma\,W(t),\;\; t\geq 0\; a.s.

\eeq

7

produce

S(t) = S0 e(µ−σ2

2) t+σW (t), t ≥ 0 a.s. (2.1)

unde St este numele sub care poate apelat formula (2.1), prin comanda (\refSt)sau \eqrefSt.

(v) pentru formule în ³ir, folosim modum eqnarray. Astfel, comanda

\begineqnarray

F_Y(y) &=& P(X\in D_Y),\nonumber \\

&=& \int_D_Y f_X(x)\,dx.\labelFY

\endeqnarray

produce

FY (y) = P (X ∈ DY ),

=

∫

DY

fX(x) dx. (2.2)

(vi) dac nu se dore³te numerotarea relaµiilor, atunci utiliz m \nonumber sau\begineqnarray* ... \endeqnarray*.

Urm torul cod LATEX:

Func\c tia indicatoare a lui $A\subset \Omega$ este definit\u a astfel:

\[

\chi_A(x) =

\begincases

1 & \mbox , dac\ua x\in A,\\

0 & \mbox , dac\ua x \notin A.

\endcases

\]

genereaz textul de mai jos:

Funcµia indicatoare a lui A ⊂ Ω este denit astfel:

χA(x) =

1 , dac x ∈ A,0 , dac x /∈ A.

8

Exerciµiu: Reproduceµi urm torul text:

Din independenµa celor dou variabile aleatoare, g sim c densitatea de repartiµie a vec-torului (X, Y ) este:

h(x, y) = f(x)g(y) =xm2−1y

n2−1 e−

x+y2

2m+n

2 Γ(m2

)Γ(n2

) , (x, y) ∈ (0, ∞)× (0, ∞). (2.3)

Consider m o transformare a acestui vector,

τ :

t =

n

m

x

yv = y,

în vectorul (F, Y ). Densitatea de repartiµie a acestui vector este (vezi Propoziµia anterioar ):

k(u, v) =

(mn

)m2 u

m2−1v

m+n2−1 e−

v2(1+m

nu)

2m+n

2 Γ(m2

)Γ(n2

) , (t, v) ∈ (0, ∞)× (0, ∞).

Densitatea de repartiµie marginal pentru F este:

k1(u) =

∫ ∞

0

k(u, v) dv

=

(mn

)m2 Γ(m+n2

)

Γ(m2

)Γ(n2

) um2−1(

1 +m

nu)−m+n

2, u > 0,

adic tocmai densitatea de repartiµie a unei variabile aleatoare F(m, n).

9

3 Laborator 3

scrierea matricelor; mediile de lucru matrix, pmatrix, vmatrix, bmatrix, Bmatrix sauVmatrix.

\[

\beginmatrix

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\endmatrix

\]

pentrua b cd e fg h i

sau

\[

A_m,n =

\beginpmatrix

a_1,1 & a_1,2 & \cdots & a_1,n\\

a_2,1 & a_2,2 & \cdots & a_2,n\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

a_m,1 & a_m,2 & \cdots & a_m,n

\endpmatrix

\]

pentruAm,n =

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n...

.... . .

...am,1 am,2 · · · am,n

sau

\[

\beginarray|l|c|r|

\hline

\mboxst\^ anga & \mboxcentru & \mboxdreapta\\

\hline

\alpha & \cos(y\pi) & \beta^2 \\

\hline

\sqrt\sum_j\gamma_j & \ln(\tau) & \sin(\pi x)\\

\hline

\endarray

\]

pentrustânga centru dreaptaα cos(yπ) β2

√∑j γj ln(τ) sin(πx)

10

Crearea unei liste bibliograce

O bibliograe poate creat folosind mediul de lucru thebibliography. De exemplu,

\beginthebibliography9

\bibitemlamport Leslie Lamport, \LaTeX: A Document Preparation System,

Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA, $1994$ (2nd edition).

\endthebibliography

Citarea în text a unei referinµe se face cu comanda \cite. De exemplu,\citelamport va produce [3] în text.

Dac se dore³te introducerea în Bibliograe a unei lucr ri, f r a o utiliza în text, atuncifolosim comanda \nocite. De exemplu, \nocitelamport nu afecteaz textul.

citaµiile multiple pot introduse prin \citecitatia1,citatia2,citatia3. Deexemplu,\citelamport, wiki produce în text [3, 5].

trimiterea la o anumit pagin dintr-o referinµ se face prin \cite[pag. 175]lamport,obµinându-se [3, pag. 175].

o alt modalitate de a crea o bibliograe, mult mai specializat , este prin utilizareaunei baze de date BibTeX, înregistrat într-un ³ier de tip *.bib. Un exemplu deintroducere a datelor în aceast baz de date este (pentru o carte):

@booklamport,

author = "Leslie Lamport",

title = "\LaTeX: A Document Preparation System",

year = "1994",

publisher ="Addison-Wesley Publishing Company",

address = "Reading, MA,"

un articol îl introducem astfel:

@articlegeo,

author = "Ion Georgescu",

title = "Subspa\c tii invariante",

year = "2003",

journal = "Journal of Applied Analysis",

volume = "31",

number = "2",

pages = "232--241"

11

citarea adreselor www se face prin:

@MISCwebsite:LATEX symbols,

AUTHOR = "Applied Mathematics - Colorado",

TITLE = "LATEX symbols",

MONTH = "January",

YEAR = 2008,

HOWPUBLISHED = "\urlhttp://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/"

ad ugarea referinµelor (e.g., gino1, thon2, simon) în text se face astfel:

\bibliographystyleplain

\bibliographygino1, thon2, simon

stilurile care pot utilizate sunt: plain, abbrv ³i alpha.

pentru ca Bibliograa s e inclus în Cuprins, folosim:

\clearpage

\addcontentslinetocchapterBibliography

sau

\cleardoublepage

\sectionBibliography

pentru a aparea Bibliograe în loc de References, ad ug m în preambul comanda\usepackage[romanian]babel.

o alt modalitate de a crea o bibliograe este NatBib, ce necesit comanda\usepackagenatbib în preambul.

pentru ca un url s e activ ³i s poat accesat direct din ³ierul .pdf, avem nevoiede pachetul de opµiuni hyperref în preambul. Comanda din text ce face trimiterea lasite este \urlfisier (vezi secvenµa de cod de mai jos ce a creat Bibliograa)

Pachetul de opµiuni hyperref mai are avantajul c activeaz toate referinµele ³i cit riledin textul .pdf (cele introduse prin comanzile \ref ³i \cite) ³i, astfel, vom putem s rila referinµa dorit printr-un simplu click de mouse.

Urm toarea secvenµ creaz bibliograa din Laboratorul 1:

12


\bibitemshort Tobias Oetiker Hubert Partl, Irene Hyna and Elisabeth Schlegl,

The Not So Short Introduction to \LaTeX2e, $2009$ (online)

\bibitemsolcan Mihai Radu Solcan, Ghid \LaTeX, versiunea pentru Windows,

Bucure\c sti, $2005$ (online)



\bibitemctan The Comprehensive \TeX Archive Network (CTAN):

\urlhttp://www.ctan.org/

\bibitemwiki \urlhttp://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/

\bibitemoxford \urlhttp://www.maths.ox.ac.uk/help/faqs/latex/

\bibitemcolorado \urlhttp://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/

\endthebibliography

Orientarea în pagin

\usepackage[landscape]geometry

\beginlandscape

.......

\endlandscape

13

Aranjarea în pagin

Figura 1: Aranjarea în pagin

1. one inch + \hoffset

2. one inch + \voffset

3. \oddsidemargin = 31pt

4. \topmargin = 20pt

5. \headheight = 12pt

6. \headsep = 25pt

7. \textheight = 592pt

8. \textwidth = 390pt

9. \marginparsep = 10pt

10. \marginparwidth = 35pt

11. \footskip = 30pt

* \marginparpush = 7pt

* \hoffset = 0pt

* \voffset = 0pt

* \paperwidth = 597pt

* \paperheight = 845

14

4 Laborator 4

Mediul de lucru pentru teoreme

Pachetul necesar pentru mediul teorem este \usepackageamsthm;

Comanda \newtheoremnumeNume afisat dene³te mediul teorem , ce poate in-clude: teoreme, leme, corolarii, propoziµii, deniµii, exerciµii, observaµii etc.Exemple:

\newtheoremteoTeorem\u a, \newtheorempropPropozi\c tie,

\newtheoremdfnDefini\c tie, \newtheoremexExerci\c tiu

dac se dore³te numerorarea teoremelor/propoziµiilor/observaµiilor etc. în funcµie desecµiune, folosim în preambul comanda

\newtheoremnumeNume afisat[section]

Pentru a introduce teoreme în text, folosim comenzi de genul:

\beginteo Text... \endteo sau \beginprop Text...\endprop

\begindfn Text... \enddfn sau \beginex Text... \endex

care vor a³a urm toarele:

Teorema 4.1 Text...

Propoziµia 4.1 Text...

Deniµia 4.1 Text...

Exerciµiu 4.1 Text...

Dac se dore³te numerorarea teoremelor/propoziµiilor/observaµiilor etc. în funcµie deanumite rezultate importante din text, ³i nu doar în funµie de secµiune, atunci folosimîn preambul comanda

\newtheoremnume[contor]Nume afisat

unde [contor] specic numele contorului utilizat. De obicei, se folosesc anumiteteoreme importante. Spre exemplu, dac în preambul folosim comenzile

15

\newtheoremteoTeorema[section]

\newtheoremcor[teo]Corolar

\newtheoremprop[teo]Propozi\ctia

\newtheoremex[teo]Exerci\ctiu

atunci rezultatul a³at va

Teorem 4.1. Text...

Propoziµia 4.2. Text...

Corolar 4.3. Text...

Exerciµiu 4.4. Text...

Pentru teoreme f r num r, folosim în preambul urm toarea comand :

\newtheorem*exmExemplu

Secvenµa urm toare:

\beginexm

Acesta este un exemplu de teorem\u a f\u ar\u a num\u ar

\endexm

produce

Exemplu. Acesta este un exemplu de teorem f r num r

Dac se dore³te apelarea unei anumite teoreme, atunci folosim etichete introduse prin\label. Spre exemplu, urm toarea secvenµ

\begindfn\labeldef1

O func\c tie $f: D \longrightarrow \R$ se nume\c ste func\c tie de

clas\u a $C^1(D)$ dac\u a $f$ este derivabil\u a pe $D$ \c si cu derivata

continu\u a.

\enddfn

a³eaz textul

Deniµia 4.5. O funcµie f : D −→ R se nume³te funcµie de clas C1(D) dac f estederivabil pe D ³i cu derivata continu .

Apelul Deniµiei 4.5 se face cu comanda \refdef1.

Mediul Demonstraµie poate denit prin comanda proof. De exemplu, secvenµa

\beginproof

Aici se scrie demonstra\c tia.

\endproof

16

va a³a

Demonstraµie. Aici se scrie demonstraµia.

Anterior, cuvântul Demonstraµie apare deoarece avem pachetul [romanian]babel înpreambul. F r acest pachet, mai avem opµiunea

\beginproof[nume] ... \endproof

ce va a³a numele dintre paranteze p trate. De exemplu,

\beginproof[Pr\" ufung]

Scrie demonstra\c tia \^ in german\u a.

\endproof

Prüfung. Scrie demonstraµia în german .

Comanda \renewcommand\qedsymbol\fbox$\surd$ înlocuie³te patr µelul dela nalul demomstraµiei cu ce punem între acolade. În cazul de faµ ,

√

Exist 3 stiluri pentru a introduce teoreme, ³i anume plain (implicit), denition ³iremark.Putem schimba stilul folosind în preambul comanda

\theoremstylenumele_stilului.

LATEX permite denirea ³i a altor stiluri dect cele deja existente.

Fonturi ³i stiluri de redactare

normal, italic, subliniat, bold, ma³in de scris, small caps, aplecat, sans serif,roman.

M rimi uzuale (vezi [5]):

17

Etichete:

Se atribuie ³i se refer la ele prin comenzile:\labelmarker, \refmarker, \pagerefmarker

De exemplu, \refchap: f1, \refsec: f2, \reffig: F1, \reftab: t1,\refeq: eqn1

18


Teorem 4.6. (Hincin1) (legea slab a numerelor mari)Dac Xn, n ≥ 1, sunt variabile aleatoare ce admit momente absolute de ordin 1, suntindependente dou câte dou ³i identic repartizate, atunci ³irul (Xn)n urmeaz legea slab a numerelor mari, i.e.,

1

n

n∑

k=1

Xkprob−→ E(X1), (n→∞). (4.1)

Teorem 4.7. (Kolmogorov2 , 1929) (legea tare a numerelor mari)Fie ³irul de v.a. (Xn)n∈N∗ , independente, sunt identic repartizate ³i E(|X1|) <∞.Fie E(Xn) = m, ∀n ∈ N∗. Atunci ³irul (Xn)n satisface legea tare a numerelor mari, adic :

1

n

n∑

k=1

Xka.s−→ m, (n→∞). (4.2)

Observaµia 4.8. Concluzia legii slabe a numerelor mari se mai poate scrie ³i sub forma:

P

(limn→∞

X1 +X2 + · · ·+Xn

n= m

)= 1.

Teorem 4.9. (TLC) (teorema limit central )Dac v.a. (Xn)n∈N sunt independente ³i identic repartizate, cu m ³i σ2 nite, atunci:

1

σ√n

(n∑

k=1

Xk − nm)⇒ Y ∼ N (0, 1), pentru n→∞.

Observaµia 4.10. Not m cu

Znnot=

1

σ√n

(n∑

k=1

Xk − nm).

Atunci, convergenµa din Teorema 4.9 este echivalent cu

limn→∞

P (Zn ≤ x) = Θ(x), ∀x ∈ R, (4.3)

unde Θ(x) este funcµia lui Laplace, sau

limn→∞

P

(a ≤ Sn − nm

σ√n≤ b

)=

1√2π

∫ b

a

e−x2

dx = Θ(b)−Θ(a). (4.4)

1Aleksandr Yakovlevich Khinchin (1894− 1959), matematician rus2Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903− 1987), matematician rus

19

5 Laborator 5

Crearea | de | tabele

Modul de lucru tabular poate folosit pentru crearea de tabele cu linii veriticale sauorizontale opµionale. Poate denit astfel:

\begintabular[pozitia]aliniamentc

unde pozitia poate b (bottom), t (top) sau c (central). Pentru aliniament putemfolosi: l (left), c (central) sau r (right), cu | sau ||, dup preferinµe. Prin comanda*numstr putem determina aliniamentul mai multor coloane dintr-un foc. De exem-plu, secvenµa urm toare:

\begintabular||l|| c|c|c||

\hline \hline

fain\u a & 1 & 2 & 3 \\

ou\u a & 4 & 5 & 6 \\

br\^ anz\u a & 2 & 4 & 3 \\

\hline

Total & 7 & 11 & 12 \\

\hline \hline

\endtabular

produce:

fain 1 2 3ou 4 5 6brânz 2 4 3Total 7 11 12

Separarea între celule se face cu &. Trecerea la urm toarea linie se face prin \\.

Liniile orizontale sunt determinate de comanda \hline

Comanzile pentru a crea coloane multiple sau linii multiple sunt:

\multicolumnnum_coloanealiniamentcontinut

\multirownum_liniilatimecontinut

(Pentru l µimea natural , în \multirow se folose³te *.)

Pentru a colora liniile dintr-un tabel este necesar comanda

\usepackage[table]xcolor

în preambul. Comanda ce coloreaz linii într-un tabel este

20

\rowcolors<linia de start><impar><parr>

Alte comenzi pentru colorare: \showcolors, \hidecolors, cellcolor (coloreaz doaro celul din tabel).

Pentru a controla m rimea tabelului, putem utiliza comanda

\resizeboxlatimeinaltimetabel

Liniile orizontale parµiale sunt determinate de \clinei-j , adic linia ce începe încoloana i ³i se termin în coloana j. Spre exemplu:

\resizebox5cm1.5cm

\begintabular|c|c|c|

\hline

2 & \multicolumn2c|Variante \\

\cline2-3 456 & \multirow2*$\alpha$ & \multirow2*$\beta$ \\

00000 & & \\

\hline \hline

1111 & \multicolumn2c|ABCDE \\

\hline

\endtabular

produce tabelul:

2 Variante456

α β00000

1111 ABCDE

Modul tabele ne ajut s ad ug m etichete ³i text la tabele. Formatul general este:

\begintable[pozitie]

\captionAici scriem ce reprezent\u am \^ in tabel

\begintabular| r | r || c | c | c |

...

\endtabular

\endtable

unde [pozitie] poate t, b, h, ht, hb.

O sumarizare a tuturor tabelelor din document se poate face folosind comanda \listoftablesîn preambul.

21

Urm toarea secvenµ

\begintable[!hb]

\bc

\begintabularc|l

\mbox stem & \mbox leaf \\

\hline

$9$ & $2$ $6$\\

$8$ & $1$ $5$ $6$ $8$\\

$7$ & $3$ $5$ $7$ $7$ $7$ $9$\\

$4$ & $1$ $4$ $8$\\

$3$ & $8$

\endtabular

\captionTabel \it stem-and-leaf reprezent\^and punctajele

studen\c tilor.\labelleaf

\ec

\endtable

produce

stem leaf9 2 68 1 5 6 87 3 5 7 7 7 94 1 4 83 8

Tabela 1: Tabel stem-and-leaf reprezentând punctajele studenµilor.

Modul minipage :

\beginminipage5cm

...

\endminipage

\hspace1cm

\beginminipage8cm

...

\endminipage

22

Exerciµiu: Reproduceµi textele de mai jos:

I Putem grupa datele de tip continuu într-un tablou de distribuµie de forma:

data :

([a0, a1) [a1, a2) . . . [ar−1, ar)

f1 f2 . . . fr

),

sau sub forma unui tabel de distribuµie (vezi Tabelul 2).

clasa frecvenµa valoare medie[a0, a1) f1 x′1[a1, a2) f2 x′2

......

...[ar−1, ar) fr x′rTabela 2: Tabel cu frecvenµe pentru date continue.

II Not m cu FY (y) funcµia de repartiµie pentru Y ³i cu fY (y) densitatea sa de repartiµie.Atunci:

FY (y) = P (aX+b ≤ y) =

P

(X ≤ y − b

a

), a > 0;

P

(X ≥ y − b

a

), a < 0;

=

FX

(y − ba

), a > 0;

1− FX(y − ba

), a < 0;

III Tabelul de mai jos conµine echipele române³ti ce vor participa în cupele europeneîn sezonul 2010-2011 sunt:

Clasamentul Ligii INr. crt. Echipa Games Wins Draws Loses Points

1 CFR Cluj 23 12 7 4 432 FC Timi³oara 23 11 9 3 423 Steaua 23 12 6 5 424 Dinamo 23 11 8 4 415 Urziceni 23 11 8 4 416 SC Vaslui 23 12 5 6 41

←− Calicat în CL←− Play-o pentru CL←− Europa League←− Europa League←− Play-o Europa League←− Play-o Europa League

23

6 Laborator 6

Includerea de guri/imagini

Pentru includerea de grace/imagini, va trebui s avem în preambul comanda:\usepackagegraphicx.

Putem include ³iere .jpg, .pdf, .png, .eps, .ps etc. folosind comanda\includegraphics[atribut1=val1, atribut2=val2, ..., atributN=valN]imagine

Atributele pot : scale, width, height, angle, trim, clip. De exemplu,

\beginminipage6cm

\includegraphics[scale=0.5, angle=0]eggs

\endminipage

\hspace*1.2cm\c si invers:\hspace*2cm

\beginminipage6cm


\endminipage

³i invers:

Opµiunea trim se folose³te astfel:

\includegraphics[trim = <stanga> <jos> <dreapta> <sus>, clip, <alte optiuni>]imagine

Comenzile \setlength\fboxsep**pt ³i \setlength\fboxrule**pt realizeaz unchenar în jurul imaginii ³i determin m rimea acestuia, respectiv. De exemplu,

\bc

\setlength\fboxsep10pt \setlength\fboxrule10pt

\colorBurntOrange

\fbox\includegraphics[trim=1.mm 5mm 1mm 9mm, clip, width=10cm,height=6.5cm]eggs

\ec

produce tabloul din Figura 2.

24

Figura 2: Tablou de familie: a couple of good-looking eggs.

Comentariile la imagini pot ad ugate la fel ca ³i la guri (vezi Figura 2), folosindcomenzile:

\begintable[!h] % sau \beginfigure[!h]

<imagine>

\captionText\labeleticheta

\endtable

Comentariile pot ad ugate ³i lateral, utilizând în preambul comanda \usepackagesidecap³i apoi ca în exemplul 3.

Pentru a putea scrie text ³i în jurul unei guri, putem folosi un pachet special de op-µiuni: \usepackagewrapfig. Comanda ce include gura în text este:

\beginwrapfigure[inaltimea]aliniamentlatimea\endwrapfigure

Pachetul de opµiuni subfig ne d posibilitatea de a crea guri în alte guri. Spreexemplu, secvenµa de mai jos produce Figura 4.

\beginfigure[!ht]

\centering

\subfloat[\hrefhttp://en.wikipedia.org/wiki/CornflowerCornflower]

\labelfig: corn\includegraphics[width=0.45\textwidth]basketflower \hspace1cm

25

Figura 3:Die Enkelin von Euler,

die Eule

geboren 29/12/2007im Heidelberg,Baden Württemberg,Deutschland.

\subfloat[\hrefhttp://en.wikipedia.org/wiki/EdelweissFloare de col\c t]

\labelfig: colt\includegraphics[width=0.45\textwidth]edelweiss \hspace.5cm

\subfloat[\hrefhttp://en.wikipedia.org/wiki/Passion_flowerFloarea pasiunii]

\labelfig: passion\includegraphics[width=0.45\textwidth]passionflower

\captionFlori

\labelfig:flori

\endfigure

Putem include imagini atât din directorul curent, cât ³i din alte directoare, folosindcomenzile

\input./numefisier.tex % aici, ./ semnic directorul curent

sau

\input./altdirector/numefisier.tex

26

(a) Cornower (b) Floare de colµ

(c) Floarea pasiunii

Figura 4: Flori

.

27

http://en.wikipedia.org/wiki/Cornflower

http://en.wikipedia.org/wiki/Edelweiss

http://en.wikipedia.org/wiki/Passion_flower

Tem : [1] Reproduceµi (folosind LATEX !) imaginea urm toare:

− Are you strong enough?

− Just try it!

[2] Reproduceµi urm toarele:

Urm toarea funcµie Matlab produce guradin partea dreapt , care reprezint o mi³carealeatoare 2-dimensional . (drunkard's walk)

function walk2d(n)

x = [0; cumsum(randn(n,1))];

y = [0; cumsum(randn(n,1))];

plot(x,y)

28

7 Laborator 7

Indexare Folosim în preambul \usepackagemakeidx;

Activarea pachetului se face prin comanda \makeindex, folosit tot în preambul;

Pentru a indexa un element, utiliz m comanda \indexelement;

Comanda pentru a³area indexului este \printindex;

pentru a crea mai multe index ri, utiliz m \usepackagemultind în preambul.

Comenzile posibile sunt:

\makeindexnotiuni

\makeindexautori

...

\indexnotiunifunc\c tie continu\u a

\indexautoriA. N. Kolmogorov

...

\printindexnotiuni

\printindexautori

Diverse

Comanda \parbox[poz]lattext m rgine³te un paragraf (i.e., ceea ce scriem latext) la dimensiunile dorite. Aici, poz e poziµia(poate doar c, t, b) ³i lat e l µimea textului.

Comanda 0.5\textwidth reduce textul la jum tate din l µimea textului normal;

Comanda \makebox[lat][poz]text creaz , de asemenea, diverse încadr ri ale tex-tului. Aici, poz poate una dintre: c, l, r, s. De exemplu, comanda

\makebox[\textwidth][c]\colorGreentext centrat

text centrat

Comanda \framebox[lat][poz]text este la fel ca \makebox, cu diferenµa c dese-neaz încadrarea textului. De exemplu, comanda

\framebox[\textwidth][s]\colorCyanMan ist, was man isst.

produce

Man ist, was man isst.

O alt comand util pentru încadrarea textului este \raiseboxparametru[0pt][0pt]text

Comenzile \mbox ³i \fbox sunt cazuri particulare pentru \makebox ³i \framebox.

29

Exemplu de scrisoare

\documentclassletter

\usepackagehyperref

\usepackage[romanian]babel


\signatureStudentu' $00$7\\ cu tricou \^ in dungi \newline \newline % numele

\addressBanca a 3-a \\ R\^ andul 2 (de la u\c s\u a) \\ din Laboratorul $3$

% adresa expeditorului

\begindocument

\beginletterDomnului Profesor I. S., \\ de la Laboratorul cu \LaTeX

\newline \newline % adresa destinatarului

\raisebox0pt[0pt][0pt]\colorPurple\Huge%

\textbf \raisebox-7.0ex S%

\raisebox-12.7ex$\hspace1.2cm$ P%

\raisebox-19.2ex$\hspace-.7cm$ E%

\raisebox-23.8ex$\hspace1.5cm$ C%

\raisebox-28.5ex$\hspace-.7cm$ I

\raisebox-32.5ex$\hspace1.0cm$ M

\raisebox-38.5ex$\hspace-.7cm$ E

\raisebox-43.5ex$\hspace1.2cm$ N

\opening\sl Stimate Domnule Profesor, % formula de incepere

\vspace*.4cm

\sl V\u a rog frumos s\u a m\u a \^ invoi\c ti dup\u a ora a doua de laborator,

ca s\u a pot prinde autobuzul spre cas\u a. Mi-a spus mama c\u a a mai r\u amas

ceva cozonac \c si pasc\u a de la Pa\c ste \c si nu vreau s\u a le las s\u a se

strice. Men\c tionez c\u a nu pot lua un alt autobuz mai t\^ arziu, deoarece mai

am unele cump\u ar\u aturi de f\u acut pentru ai mei. \^ In plus, mi-e fric\u a

s\u a c\u al\u atoresc seara.

\c Sti\c ti?... multe se pot \^ int\^ ampla \^ in ziua de azi!...

V\u a mul\c tumesc frumos!

\vspace*1cm

\closingCu stim\u a \c si sinceritate, \\ % urarea de final

\colorRed$\bf \times$ \\

\it [Semn\u atura]

\psP.S. \^ In Anexa de mai jos am ata\c sat scutirea oficial\u a de la mama.

\encl\urlScutire-de-la-Mamica % Anexe

\endletter

\enddocument

30

S

P

E

C

I

M

E

N

Banca a 3-aRandul 2 (de la usa)din Laboratorul 3

1 iunie 2010

Domnului Profesor I. S.,de la Laboratorul cu LATEX

Stimate Domnule Profesor,

Va rog frumos sa ma ınvoiti dupa ora a doua de laborator, ca sa pot prindeautobuzul spre casa. Mi-a spus mama ca a mai ramas ceva cozonac si pasca dela Paste si nu vreau sa le las sa se strice.Mentionez ca nu pot lua un alt autobuz mai tarziu, deoarece mai am unelecumparaturi de facut pentru ai mei. In plus, mi-e frica sa calatoresc seara.Stiti?... multe se pot ıntampla ın ziua de azi!...

Va multumesc frumos!

Cu stima si sinceritate,×[Semnatura]

Studentu’ 007cu tricou ın dungi

P.S. In Anexa de mai jos am atasat scutirea oficiala de la mama.

Anexa: Scutire-de-la-Mamica

31

8 Laborator 8

Prezent ri

Modul slides

Preambulul la acest mod este \documentclassslides;

Slide-urile se introduc prin

\beginslide

text...

\endslide

Modul beamer

Preambulul la acest mod este

\documentclassbeamer

\mode<presentation>

\usethemeMadrid

Pagina de titlu în modul beamer (se scrie în preambul!) este:

\titleModele matematice \^ in Finan\c te

\subtitleRezumat

\authorA. Student \inst1 \and I. Stoleriu \inst2

\institute

\inst1

student,

Facultatea de Matematic\u a

\and

\inst2

Universitatea ''Al. I. Cuza'' Ia\c si\\


\date\today

\subjectMatematic\u a-Informatic\u a

În interiorul documentului (imediat dup \begindocument) scriem:\frame\titlepage (activeaz pagina de titlu).

32

Titlul slide-ului 1 [daca este cazul]

- Continutul slide-ului 1- Bla - bla - Blaaaa


- Continutul slide-ului 2- Text - Text - Texte...

Continu m în document (vezi Figura) prin:

\beginframe

\frametitleTitlul slide-ului 1 [dac\u a este cazul]

- Con\c tinutul slide-ului 1\\

- Bla - bla - Blaaaa

\endframe

\beginframe



- Text - Text - Texte...

\endframe

\enddocument

Diverse teme ce denesc modul de prezentare, introduse prin comanda\usethemetipul-temei. De exemplu:

\usethemeMarburg, \usethemeMadrid, \usethemeFrankfurt etc.

Pentru controlul culorii se poate folosi comanda \usecolorthemeculoare.

Culorile pot controlate prin comanda\setbeamercolor<beamer-color name><options>

De exemplu, \setbeamercolornormal textfg=orange

Fonturile pot controlate prin comanda \usefontthemetip-text.De exemplu, \usefontthemeserif va face ca textul s e scris în modul serif.

Comenzile \useinnertheme ³i \useoutertheme denesc elementele din in-teriorul (respectiv, din exteriorul) unui mod de lucru.

Comanda \setbeamercovered<optiuni> dene³te modul de prezentare a tex-tului ascuns. Opµiunile sunt: invisible, transparent, dynamic, highly dynamic

De exemplu, comanda \setbeamercoveredtransparent va face ca textul as-cuns s e scris cu caractere transparente.

33

Animaµiile se introduc prin \pause, scris la nalul ec rui rând ce se dore³te a întrerupt.

O alt variant este urm toarea:

\beginitemize

\item<2-> Al 2-lea rand ce apare;

\item<1-> Primul rand ce apare;

\item<alert@2> Al 2-lea rand ce apare;

\only<1-> Apare cu al primul rand si va disparea cu disparitia lui;

\item Acest rand apare mereu;

\enditemize

Comanda \item<alert@2> scrie cu ro³u (culoarea implicit ) rândul activat;

Putem controla fontul textului astfel:

\beginframe

\textbfAceasta linie apare in bold pe toate slide-urile\\

\textbf<2>Aceasta linie apare in bold doar pe slide-ul al doilea\\

\textbf<3>Aceasta linie apare in bold doar pe slide-ul al treilea\\

\endframe

Un exemplu de succesiune de medii de lucru:

\beginframe

\begintheorem<1->

Aici apare enuntul teoremei.

\endtheorem

\beginproof<3->

Demonstratia apare dupa Corolar!

\endproof

\begincorolar<2->

Enuntul corolarului apare dupa cel al teoremei, inainte de demonstratie.

\endcorolar

\endframe

Mai multe detalii g siµi la adresahttp://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/beameruserguide.

pdf

Tem : Reproduceµi ³ierul Tema.pdf ata³at!

34

http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/beameruserguide.pdf

http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/beameruserguide.pdf

9 Laborator 9

Format de lucrare nal

Formatul de lucrare de mai jos este alc tuit dintr-un ³ier principal, cel scris cu albastru, ³ialte ³iere *.tex adiacente (scrise cu diverse culori), care sunt anexate la ³ierul principalcu ajutorul comenzii \include.

\documentclass[12pt, a4paper]report % tipul documentului

% acesta este fisierul principal

% Aici incarcam pachetele ce le dorim. Mai jos sunt cateva exemple

\usepackageappendix,makeidx % apendice si index

\usepackage[dvips]graphics % pachetul pentru figuri

\usepackageamsfonts,amsmath,amssymb,graphicx

\usepackage[usenames,dvipsnames]color % pachetul pentru culori

\usepackage[romanian]babel % pachetul cu optiuni in limba romana

\usepackagefancyhdr % pachet pentru header

\usepackagesetspace % pachet pentru spatieri

\textheight=23.7cm \textwidth=14.0cm

\parindent=0.0in \topmargin= 0cm

\oddsidemargin=1.5cm \evensidemargin=0cm

\setstretch1.3 % distanta intre randuri

% aici definim shortcut-uri pentru mediul teorema sau pentru formule.

% Cateva exemple:

\newtheoremteoTeorema[chapter]

\newtheoremlema[teo]Lema

\newtheoremdfn[teo]Defini\ctia



\newtheoremobs[teo]Observa\ctia

\newtheoremexm[teo]Exemplu

\newcommand\E\mathbbE % simbolul pentru medie a unei v.a.

\newcommand\N\mathbbN % multimea numerelor naturale

\newcommand\R\mathbbR % multimea numerelor reale

\newcommand\C\mathbbC % multimea numerelor complexe

\newcommand\F\mathcal F % un F caligrafic

\newcommand\ff:\mathbbR^m\longrightarrow \R^n % f : R^m -> R^n

\newcommand\x(x_n)_n\in \N % un sir (x_n) cu n natural

\newcommand\beq\beginequation

\newcommand\eeq\endequation

35

\newcommand\bc\begincenter

\newcommand\ec\endcenter

\newcommand\hh\hspace*2cm

\makeindex % realizeaza indexul

\begindocument

\begintitlepage % incepe pagina de titlu

\begincenter

\large

\textscUniversitatea ''Al. I. Cuza'' din Ia\c si \\

\textscFacultatea de Matematic\u a \\

\textscSpecializarea Matematic\u a-Informatic\u a\\

\vspace5cm

\textbf\sc Lucrare de licen\c t\u a\\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge \sc Titlul lucr\u arii\\

\vspace6cm

Coordonator, \hfill Absolvent,\\

A. \sc Professor \hfill A. \sc Student\\

\vfill

Iunie - 2011\\

Ia\c si \\

\ \\

\endcenter

\endtitlepage % se termina pagina de titlu

\begintitlepage % incepe pagina de dedicatie

\begincenter

\ \\

\vspace5cm

(Pagina goal\u a sau pagina pentru dedica\c tie)

\endcenter

\endtitlepage % se termina pagina de dedicatie

\pagenumberingroman

\setcounterpage2 % stabileste nr. paginii de start

\addcontentslinetocsectionAbstract % adauga Abstractul in Cuprins

\includeabstract % include Abstractul

\tableofcontents % afiseaza Cuprinsul

\addcontentslinetocsectionList\u a de figuri

\listoffigures % lista figurilor

\addcontentslinetocsectionList\u a de tabele

\listoftables % lista tabelelor

\addcontentslinetocsectionNota\c tii % adauga Notatii in Cuprins

36

\includeNotatii % include un paragraf de notatii

\pagenumberingarabic

\renewcommand\thesection

\addcontentslinetocsectionIntroducere % adauga Introducerea in Cuprins

\includeIntro % include Introducerea

% ~~~~~ optiuni de header pentru pagina ~~~~~~~~~

\pagestylefancy

\fancyhf

\fancyhead[LE,RO]\thepage

\fancyhead[CE]\textit\nouppercase\leftmark

\fancyhead[CO]\textit\nouppercase\rightmark

% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

% urmatoarele 2 comenzi stabilesc modul cum vor aparea numerele la (sub)sectiuni

\renewcommand\thesection\arabicchapter.\arabicsection

\renewcommand\thesubsection\arabicchapter.\arabicsection.\arabicsubsection

\includeCapitolul1 % include Capitolul 1



\fancyhf

\renewcommand\thesection % nu numeroteaza Apendice

\addcontentslinetocsectionApendice % adauga Apendice in Cuprins

\includeapendix % afiseaza Apendice

\renewcommand\thesection % nu numeroteaza Indexul

\addcontentslinetocsectionIndex % adauga indexul in Cuprins

\printindex % afiseaza indexul

\renewcommand\thesection % nu numeroteaza Bibliografia

\addcontentslinetocsectionBibliografie % adauga Bibliografia in Cuprins

\includeBiblio % afiseaza Bibliografia

\enddocument

Fi³ierul .pdf obµinut este www.math.uaic.ro/~stoleriu/TEZA.pdf.

37

www.math.uaic.ro/~stoleriu/TEZA.pdf

Fi³iere adiacente:

%%% *************************************************************************

%% abstract.tex

\ \\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge Abstract\\

\vspace1.5cm

Abstractul va ap\u area aici ...

%%% *************************************************************************

%%% *************************************************************************

%% Notatii.tex

\ \\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge Nota\c tii\\

\vspace1.5cm

\begineqnarray*

\N & \hh& \mboxmul\c timea numerelor raturale \\

\R & \hh& \mboxmul\c timea numerelor reale \\

\C & \hh& \mboxmul\c timea numerelor complexe \\

\E & \hh& \mboxmedia unei variabile aleatoare \\

\F & \hh& \sigma-\mboxalgebr\u a\\

etc ...

\endeqnarray*

%%% *************************************************************************

%%% *************************************************************************

%% Intro.tex

\ \\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge Introducere\\

\vspace1.5cm

Aici se va scrie Introducerea. Se va motiva subiectul ales \c si importan\c ta

lui, integrarea tematicii \^ in aria \c stiin\c tific\u a aleas\u a.

De asemenea, se va face o prezentare pe capitole a lucr\u arii, sco\c t\^ and

\^ in eviden\c t\u a rezultatele principale.

%%% *************************************************************************

38

%%% *************************************************************************

%% Capitolul1.tex

\chapterNo\c tiuni introductive din Statistic\u a\labelCapitolul1

C\^ ateva cuvinte despre ce con\c tine acest capitol \c si, eventual,

ideile principale ale capitolului.

\sectionNumele sec\c tiunii 1\labelc1s1

\indexStatistic\u a

Aici va ap\u area textul din Sec\c tiunea \refc1s1...

\beginfigure[!ht]

\bc

\includegraphics[scale=0.5]MB2d

\ec

\captionMi\c scarea Brownian\u a 2-dimensional\u a.

\labelfig: fMB2d

\endfigure

\newpage

\subsectionNumele subsec\c tiunii\labelc1s1s1

Aici va ap\u area textul din Subsec\c tiunea \refc1s1s1...

\sectionNumele sec\c tiunii a 2-a\labelc1s2




\begintable[!ht]

\bc \resizebox11cm2.5cm


\hline

\mboxclasa & \mboxfrecven\cta & \mboxvaloare medie\\

\hline

$[a_0, a_1)$ & $f_1$ & $x'_1$\\

$[a_1, a_2)$ & $f_2$ & $x'_2$\\

$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\

$[a_r-1, a_r)$ & $f_r$ & $x'_r$\\

\hline

\endtabular

39

\captionTabel cu frecven\cte pentru date continue.

\labelcdata1\indextabel cu frecven\c te

\ec

\endtable

%%% *************************************************************************

%%% *************************************************************************

%% Capitolul2.tex

\chapterCuno\c stin\c te ale naturii\labelCapitolul2


ideile principale ale capitolului. \indexCuno\c stin\c te ale naturii


Aici va ap\u area textul din Sec\c tiunea \refc2s1...\\

\beginfigure[!ht]

\bc \includegraphics[width=0.75\textwidth]passionflower \ec

\captionFloarea pasiunii. \labelfig: fp

\endfigure







%%% *************************************************************************

%%% *************************************************************************

%% apendix.tex

\ \\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge Apendice\\

\vspace1.5cm

Apendixul va ap\u area aici ...

%%% *************************************************************************

40

%%% *************************************************************************

%% Biblio.tex

\markright\sc Bibliografie\labelbiblio








\bibitemctan The Comprehensive \TeX Archive Network (CTAN): http://www.ctan.org/

\bibitemwiki http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/

\bibitemoxford http://www.maths.ox.ac.uk/help/faqs/latex/

\bibitemcolorado http://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/

\bibitemstoleriu Iulian Stoleriu, Introducere \^ in \LaTeX.

Note de laborator, 2010.

\endthebibliography

%%% *************************************************************************

41

10 Laborator 10

Rubrica DIVERSE

numerotarea ecuaµiilor, gurilor etc se poate face în funcµie de secµiune astfel:

\usepackageamsmath

\numberwithinequationsection

\numberwithinfiguresection

ad ugarea unui comentariu la text se poate face cu comanda marginpar

\marginpar\footnotesize\bf \colorredAici se scrie un comentariuAici se scrie

un comenta-

riu stabilirea l µimii comentariului se face prin o comand de genul

\setlength\marginparwidth2.5cm

comenzile \flushleft sau \flushright stabilesc dac alinierea textului se va face lastânga, respectiv, la dreapta.

scrierea unui text pe coloane multiple. D m mai jos un exemplu de 2 coloane, folosindcomenzile:

\usepackagemulticol

\beginmulticols2

\endmulticols

Pentru ca modurile table ³i figure s e active, va trebui s denim medii noi(tablehere ³i figurehere), folosind urm toarele comenzi în preambul:

\makeatletter

\newenvironmenttablehere \def\@captypetable

\newenvironmentfigurehere \def\@captypefigure

În text, noul mediu se introduce ca în urm torul exemplu:

\beginfigurehere

\centering

\resizebox\columnwidth!\includegraphicsclopot

\caption\labelclop\em Clopotul lui Gauss pentru $\mathcalN(0,\sigma)$

\endfigurehere

\ \\

42

Putem include ³i lme, folosind pachetele

\usepackagemultimedia % in preambul

\usepackagemovie15 % in preambul

apoi

\includemovie[poster]5cm5cmtrailer.avi

Pentru alte facilit µi, folose³te bibliograa sau

M T R

Pentru înc lzire, încearc s reproduci pagina urm toare!

43

Tipuri de repartiµii

(1) Repartiµia exponenµial , exp(λ) (exp)

Valorile sale sunt timpi realizaµi între dou valori spon-tane repartizate P(λ) (repartiµia Poisson). De exem-plu, timpul de a³teptare la un ghi³eu sau într-o staµiede autobuz este o variabil aleatoare repartizat expo-nenµial.Spunem c X ∼ exp(λ) (λ > 0) dac are densitateade repartiµie

f(x; λ) =

λe−λx , dac x > 00 , dac x ≤ 0

Media ³i dispersia sunt: E(X) =1

λ³i D2(X) =

1

λ2.

Observaµia 1. Repartiµia exponenµial satisface a³a-numita proprietate a lipsei de memorie, i.e.,

P (X > x+ y|X > y) = P (X > x), ∀x, y ≥ 0.

Este unica distribuµie continu cu aceast proprietate.Distribuµia geometric satisface o variant discret aacestei propriet µi. [Vericaµi!]

(2) Repartiµia normal , N (µ, σ) (norm)

Spunem c X ∼ N (µ, σ), dac X are densitatea:

f(x; µ, σ) =1

σ√

2πe−

(x−µ)22σ2 , x ∈ R.

Avem c : E(X) = µ ³i D2(X) = σ2.Se mai nume³te ³i repartiµia gaussian .În cazul µ = 0, σ2 = 1 densitatea de repartiµie devine:

f(x) =1√2πe−

x2

2 , x ∈ R. (1)

În acest caz spunem c X urmeaz repartiµia normal

standard, N (0, 1).Gracul densit µii de repartiµie pentru repartiµia nor-mal este clopotul lui Gauss (vezi Figura 1).Din grac (pentru σ = 1), se observ c majoritateavalorilor nenule ale repartiµiei normale standard se a în intervalul (µ − 3σ, µ + 3σ) = (−3, 3). Aceasta estea³a-numita regul a celor 3-σ.

Figura 1: Clopotul lui Gauss pentru N (0, σ).

Dac Z ∼ N (0, 1), atunci X = σZ + µ ∼ N (µ, σ).În mod similar,

dac X ∼ N (µ, σ), atunci Z =X − µσ

∼ N (0, 1).

Pentru o v.a. N (0, 1) funcµia de repartiµie estetabelat (valorile ei se g sesc în tabele) ³i are o notaµiespecial , Θ(x). Ea e denit prin:

Θ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

y2

2 dy. (2)

Funcµia de repartiµie a lui X ∼ N (µ, σ) este dat prin

F (x) = Θ(x− µσ

), x ∈ R. (3)

(3) Repartiµia log-normal , logN (µ, σ) (logn)

Repartiµia log-normal este foarte util în Matemati-cile Financiare, reprezentând o repartiµie de preµuri vi-itoare pentru un activ nanciar. Dac X ∼ N (µ, σ),atunci Y = eX este o v.a. nenegativ , având densitateade repartiµie

f(x; µ, σ) =

1

xσ√

2πe−

(ln x−µ)22σ2 , dac x > 0

0 , dac x ≤ 0

A³adar, Y ∼ logN (µ, σ) dac lnY ∼ N (µ, σ).

\begincenter

\beginfminipage8cm

Textul va aparea intr-un chenar.

\endfminipage

\endcenter


11 Laborator 11

Recapitulare: Reproduceµi textul de mai jos:

Funcµii de variabile aleatoare

Funcµii de o singur variabil aleatoare

Presupunem c X este o variabil aleatoare continu , c reia i se cunoa³te densitatea derepartiµie, fX(x). Not m cu FX(x) funcµia sa de repartiµie.Fie g(x) este o funcµie m surabil (Borel). Atunci Y = g(X) dene³te o alt variabil aleatoare. Dorim s g sim densitatea de repartiµie pentru g(X). S not m cu DY = x ∈R; g(x) ≤ y. Putem scrie:

Y ≤ y = g(X) ≤ y = ω ∈ Ω, X(ω) ∈ DY (not= X ∈ DY ).

Atunci,

FY (y) = P (X ∈ DY ),

=

∫

DY

fX(x) dx. (11.1)

Dac g(x) este bijectiv ³i x = h(y)not= g−1(y), atunci densitatea de repartiµie a lui Y este

dat de:

fY (y) = fX(h(y))

∣∣∣∣dh(y)

dy

∣∣∣∣ . (11.2)

Exemplu. Consider m funcµia

g(x) = ax+ b, a 6= 0.

Dac fX(x) este densitatea de repartiµie a unei variabile aleatoare continue X, atunci den-sitatea de repartiµie a variabilei aleatoare Y = g(X) este

fY (y) =1

|a| fX(y − ba

).

Alternativ, putem calcula densitatea lui g(X) astfel:Not m cu FY (y) funcµia de repartiµie pentru Y ³i cu fY (y) densitatea sa de repartiµie. Atunci:

FY (y) = P (aX+b ≤ y) =

P

(X ≤ y − b

a

), a > 0;

P

(X ≥ y − b

a

), a < 0;

=

FX

(y − ba

), a > 0;

1− FX(y − ba

), a < 0;

Dac FX este continu , atunci:

fY (y) =dFY (y)

dy=

1

|a| fX(y − ba

).

Etapele testul t bilateral

(i) Se dau: x1, x2, . . . , xn (date normale), µ0, α;

(ii) Determin m valoarea t1−α2; n−1 astfel încât funcµia de repartiµie pentru t(n− 1),

Fn−1(t1−α

2; n−1

)= t1−α

2; n−1.

(iii) Calculez valoarea

t0 =x− µ0

d∗(X)√n

, unde d∗(X) =

√√√√ 1

n− 1

n∑

k=1

(xi − x)2.

(iv) Dac :

|t0| < t1−α2; n−1, atunci (H0) este admis (nu poate respins );

|t0| ≥ t1−α2; n−1, atunci (H0) este respins (adic (H1) este admis );

Alµi parametri(H0) : µ1 = µ2 Tipul testului

(H1) Regiunea critic

σ1, σ2 µ1 6= µ2 |X1 −X2| > z1−α2

√σ21

n1+

σ22

n2Testul Z bilateral

cunoscute µ1 < µ2 X1 −X2 < z1−α

√σ21

n1+

σ22

n2Testul Z unilateral stânga

µ1 > µ2 X1 −X2 > −z1−α√

σ21

n1+

σ22

n2Testul Z unilateral dreapta

σ1 6= σ2 µ1 6= µ2 |X1 −X2| > t1−α2;N

√d2∗(X1)n1

+ d2∗(X2)n2

Testul t bilateral

necunoscute µ1 < µ2 X1 −X2 < t1−α;N

√d2∗(X1)n1

+ d2∗(X2)n2

Testul t unilateral stânga

µ1 > µ2 X1 −X2 > −t1−α;N√

d2∗(X1)n1

+ d2∗(X2)n2

Testul t unilateral dreapta

Tabela 3: Teste pentru egalitatea a dou medii.

12 Laborator 12

Prepararea de µuici performante

Urm toarea comand :

\includepdf[pages=1-last,nup=5x5,landscape=false,frame=true,

noautoscale=true,scale=0.18,delta=1mm 1mm]LaTeXlast.pdf

produce paginile 50 ³i 51 din acest material.Pentru ca aceast comand s poat utilizat , este nevoie de pachetul pdfpages în

preambul. A³adar, ad ug m în preambul \usepackagepdfpages.Forma general a comenzii includepdf este

\includepdf[optiuni]fisier. De exemplu, pages=4-9.

Câteva opµiuni utile:

pages - selecteaz paginile ce vor incluse.

nup - determin câte pagini pe orizontal ³i pe vertical urmeaz s e incluse.

landscape - specic formatul aranjamentului în pagin . Implicit este landscape=false.

delta - pune spaµii orizontale sau verticale între pagini. Implicit este delta=0 0.

offset - translateaz originea paginilor inserate. Implicit este offset=0 0.

column - permite aranjarea paginilor inserate pe coloane, dac scriem column=true.

fitpaper - ajusteaz m rimea paginii unde înser m la m rimea paginii inserate. Im-plicit, fitpaper = false".

Comanda \includepdfmerge include paginile a mai multor ³iere externe de tip .pdf. Deexemplu,

\includepdfmerge[nup=1x3, landscape, linktodoc]file1.pdf, file2.pdf, file3.pdf "

Aici, comanda linktodoc insereaz doar prima pagina a ec rui ³ier ³i creaz link-uri la³ierele externe corespunz toare. De exemplu, comanda

\includepdfmerge[nup=1x3, landscape, scale=0.7, linktodoc, delta=5mm 5mm]

SAlast.pdf, MFlast.pdf, LaTeXlast.pdf, 2

produce pagina urm toare:

Iulian STOLERIU

Statistic Aplicat



Matematici Financiare

- Note de curs -

[Iulian Stoleriu]

19 mai 2010

LATEX(T2) 2

2 Test 2

Interval de încredere pentru medie, când dispersia este cunoscut

Fie X ∼ N (µ, σ) caracteristica unei populaµii statistice, unde µ este necunoscut ³i σ estecunoscut. Pentru a construi un interval de încredere pentru media teoretic µ, efectu m oselecµie repetat de volum n ³i x m nivelul de încredere 1 − α ≈ 1, α ∈ (0, 1). Alegemurm toarea statistic :

Z =X − µσ√n

∼ N (0, 1) (conform Propoziµiei 1.1). (2.1)

Putem determina un interval numeric (z1, z2) astfel încât

P (z1 < Z < z2) = Θ(z2)−Θ(z1) = 1− α, (2.2)

unde Θ : R+ → R+ este funcµia lui Laplace,

Θ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

y2

2 dy. (2.3)

(1) Dac nu se cunoa³te o alt informaµie suplimentar despre µ, atunci alegem (z1, z2)ca ind interval de lungime minim pentru α xat. Aceasta se obµine când z1 = −z2(vezi Observaµia 2.1), de unde g sim

z1 = −z1−α2, z2 = z1−α

2,

³i intervalul de încredere pentru media teoretic µ când σ este cunoscut este:

(µ, µ) =

(X − z1−α

2

σ√n, X + z1−α

2

σ√n

). (2.4)

(2) Dac pentru media teoretic nu se precizeaz o limit superioar , atunci în (2.2) alegintervalul aleator (z1, z2) de forma (−∞, z2). Înlocuind în (2.2) obµinem:

P (−∞ < Z < z2) = Θ(z2)−Θ(−∞)︸︷︷︸= 0

= 1− α,

de unde z2 = z1−α. În acest caz, intervalul de încredere este:

(µ, ∞) =

(X − z1−α

σ√n, ∞

).

(3) Dac pentru media teoretic nu se precizeaz o limit inferioar , atunci

P (z1 < Z <∞) = Θ(∞)︸︷︷︸= 1

−Θ(z1) = 1− α,

de unde z1 = zα = −z1−α. În acest caz, intervalul de încredere este:

(−∞, µ) =

(−∞, X + z1−α

σ√n

).




- Notiµe de laborator -

[Iulian Stoleriu]

21 mai 2010


1 Laborator 1

[Dr. Iulian Stoleriu]

Introducere

• TEX este un program de redactare a textelor ³i a formulelor matematice. A fost creat deDonald E. Knuth prin anii 1970, prima versiune ap rând prin 1982. Este un programrenumit prin faptul c este foarte stabil pe diverse platforme ³i bug-free. VersiunileTEX sunt aproxim ri ale num rului π, ultima versiune ind 3.1415926.

• LATEX este un pachet de macros contruit pentru TEX ce aduce noi îmbun t µiri în ceprive³te calitatea ³i u³urinµa de redactare, cât ³i o a³are profesional .

• LATEX a fost introdus de Leslie Lamport în 1984 ³i a devenit o metod dominant deutilizate a programului TEX.

• Versiunea curent ³i cea mai utilizat este LATEX2ε, ap rut pentru prima oar în1994, conceput ³i actualizat de o echip de voluntari (Johannes L. Braams, DavidP. Carlisle, Alan Jerey, Frank Mittelbach, Chris Rowley ³i Rainer Schöpf).

• Din 2010, a ap rut versiunea LATEX3, ce aduce îmbun t µiri la sintax , interfaµ , accesu³or la fonturi arbitrare, o nou documentaµie.

• LATEX este gratuit ³i este disponibil în majoritatea sistemelor de operare (Unix, Win-dows, Mac OS etc.)

• Scientic Word e un sistem WYSIWYG (What You See Is What You Get) ce are labaz LATEX pentru Windows.

• LyX e un sistem WYSIWYG pentru Linux, Unix, Mac OS X ³i MS.

De ce avem nevoie pentru a produce un document cu LATEX?

- un editor (e.g., TEXmaker sau emacs pt Linux or Mac OS, Notepad and WinEdt pentruWindows).

- o colecµie de arhive - e.g. MiKTeX (http://www.miktek.org) pentru Windows sauTeX-live pentru Unix\ Linux;

- un editor pentru *.dvi sau *.pdf (eventual, Ghostscript, Ghostview sau/³i Adobe Ac-robat reader, pentru a vedea sau imprima rezultatul nal.) De regula, ele sunt incluseîn editor.

De ce LATEX ³i nu Word?

(i) scrierea formulelor matematice cu LATEX este mult u³urat ³i f cut într-un mod maiconvenabil;

(ii) structurile complexe (e.g., note de subsol, index ri, liste cu tabele, bibliograe, notarearelaµiilor matematice) pot generate cu u³urinµ ;

(iii) forma nal documentului creat este net superioar celui creat cu MS Word;

(iv) multe reviste ³tiinµice accept doar articole scrise în LATEX;

(v) este gratuit ³i poate folosit în orice sistem de operare;

(vi) creaz ³iere de tip *.ps, *.pdf sau *.dvi.

(vii) exist diverse ³iere gratuite (class packages) pentru prezent ri cu beamer sau slide-uri,CV, pentru c rµi, note muzicale etc.

(viii) este stabil ³i mult mai u³or ³i rapid de utilizat pentru scrierea formulelor dec at MSWord sau WordPerfect.

Dezavantaje

(1) rezultatul nal poate v zut doar dup compilare, ³i nu imediat;

(2) trebuie înv µate comenzile necesare pentru producerea caracterelor dorite;

(3) poate dicil uneori de obµinut un anume rezultat;

(4) e indicat salvarea ³i rularea ³ierului la intervale scurte, pentru a preîntâmpinaadunarea a multor gre³eli de redactare;

(5) în LATEX poate foarte greu de produs documente neorganizate (e.g., text ³i simbolurineuniforme).

Preambulul ³ierului de tip LATEX

• Comanda urm toare specic tipul de document ce intenµionezi s scrii:\documentclass[options]class

2

• Spre exemplul, clasele (sau stilurile) pot : article, proc, book, letter, report, beamersau slides. Opµiunile difer în funµie de class. Putem avea mai multe opµiuni, separateprin virgul . De exemplu: 10pt, 11pt, 12pt, a4paper, twoside, oneside, landscape, eqn

• Un exemplu de comand de început:\documentclass[12pt, twoside, a4paper]article

• Aceast linie este urmat de preambul, unde pot înc rcate noi pachete de opµiunipentru document, e.g.,\usepackage[options]package

• Tot aici, pot introduse comenzi care s inuenµeze stilul întregului document, e.g.,\newcommand\R\mathbbR % R\newcommand\ff:\mathbbR^m\longrightarrow \R^n % f : Rm −→ Rn

\renewcommand\leq\leqslant % înlocuie³te≤ cu6\newcommand\pd[2]\frac\partial #1\partial #2 % \pdFx pro-duce ∂F

∂x.

• Tot aici, putem stabili dimensiunile documentului. De exemplu:\pagestyleplain \setlength\textwidth6.9in



\setlength\headheight0in \setlength\headsep0.4in

\topmargin= -1cm

• Urm toarea comand anunµ începutul textului documentului:\begindocument

• Dup aceast comand , scriem textul.

• Urm toarea comand anunµ sfâr³itul textului documentului:\enddocument

Orice urmeaz dup aceast comand va ignorat la compilare.

% Acesta este fisierul primul.tex, un fisier LATEX minimal

% Aici scriem comentarii


\begindocument

Primul meu r\^ and \^ in \LaTeX.

\enddocument

Caractere speciale: & % # $ _ \ generate de (respectiv):

\& \% \# \ \ \$ \_ \textbackslash \~ \^

3

Bibliograe

[1] Tobias Oetiker Hubert Partl, Irene Hyna and Elisabeth Schlegl, The Not So ShortIntroduction to LATEX2e, 2009 (online)

[2] Mihai Radu Solcan, Ghid LATEX, versiunea pentru Windows, Bucure³ti, 2005 (online)

[3] Leslie Lamport, LATEX: A Document Preparation System, Addison- Wesley PublishingCompany, Reading, MA, 1994 (2nd edition).

[4] The Comprehensive TEX Archive Network (CTAN): http://www.ctan.org/

[5] http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/

[6] http://www.maths.ox.ac.uk/help/faqs/latex/

[7] http://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/

4

% Definim tipul documentului


% Definim asezarea in pagina

\pagestyleplain \setlength\textwidth6.9in \indexpagestyle



\setlength\headheight0in \setlength\headsep0.4in \topmargin= -1cm

% Apelam bibliotecile necesare

\usepackageamsfonts,amsmath


% Titlul documentului

\title\textbf\colorNavyBlue Introducere \^ in \LaTeX\\

Laboratorul 1

% Autorul

\author[Dr. Iulian Stoleriu]

% Data

\date\today

% Incepem textul documentului

\begindocument

% Comanda de afisare a titlului

\maketitle

% Text

\begincenter

\textbf\colorNavyBlue \textbfIntroducere

\endcenter

\beginitemize

\item \TeX este un program de redactare a textelor \c si a formulelor

matematice. A fost creat de Donald E. Knuth prin anii $1970$, prima versiune

ap\u ar\^ and prin $1982$. Este un program renumit prin faptul c\u a este

foarte stabil pe diverse platforme \c si \em bug-free. Versiunile \TeX

sunt aproxim\u ari ale num\u arului $\pi$, ultima versiune fiind $3.1415926$.

\item \LaTeX este un pachet de macros contruit pentru \TeX ce aduce

noi \^ imbun\u at\u a\c tiri \^ in ce prive\c ste calitatea \c si

u\c surin\c ta de redactare, c\^ at \c si o afi\c sare profesional\u a.

\enditemize

% Finalul documentului

\enddocument

5

LATEX(L2) [Dr. Iulian Stoleriu] 6

2 Laborator 2

Pagina de titlu

• \begintitlepage ... \endtitlepage

• cre m un ³ier TITLU.tex ³i-l ata³ m prin \inputTITLE.tex

Comenzi în LATEX

(i) comenzile sunt senzitive la formatul literei, i.e., se va face diferenµ între \F ³i \f;

(ii) încep cu \, continuat de o liter (e.g., \sum ) ori de un singur caracter care nu esteliter (e.g., \^ );

(iii) spaµiul liber de dup comand este ignorat.

Tipuri de ³iere întâlnite în LATEX:*.tex, *.sty, *.dtx, *.ins, *.cls, *.fd, *.dvi, *.log, *.toc., *.lof, *.lot, *.idx, *.ind.

Biblioteci pentru diverse alte limbi: \usepackage[limbaA, limbaB]babel

E.g., \usepackage[romanian]babel

Stilul paginii

(a) \pagestylestyle, unde style poate : plain, headings, empty.

(b) schimbarea stilului paginii curente se face prin comanda \thispagestylestyle.

Comenzi de scriere

• LATEX desparte automat textul în linii de aceea³i lungime, la nevoie desparµind cuvintelede la nal;

• în anumite ocazii, dorim s termin m textul de pe o linie. În LATEX, sfâr³itul de liniese obµine prin: \\ sau \newline

• sfâr³it de pagin : \newpage

• comenzile pot urmate de , [ ] sau de nimic.

Medii de lucru în LATEX

Sintaxa general este:

\beginenvironment

Textul ce va fi influen\c tat de mediul de lucru.

\endenvironment

Exemple:

\begincenter... text ...\endcenter,

\begincases... variante ...\endcases,

\beginequation... formule matematice ...\endequation,

\begineqnarray... formule matematice ...\endeqnarray,

\begindocument... text ...\enddocument,

\beginitemize... \item[(optional)] ...\enditemize.

\beginenumerate... text ...\endenumerate.

\beginverbatim... text ...\endverbatm

Pentru a schimba stilul de enumerare, putem utiliza comanzi de genul:

\renewcommand\labelenumi(\alphenumi)

\renewcommand\labelenumii[\romanenumii]

Formule matematice

(i) în interiorul textului, modul matematic se introduce prin inserarea de dolar în ambelecapete.E.g., $\frac\pi4 = \sum_k=1^\infty\frac(-1)^k+12k-1$

produce π4

=∑∞

k=1(−1)k+1

2k−1

(ii) pentru a introduce modul matematic în linie separat , folosim \[ ... \] sau\begindisplaymath ... \enddisplaymath sau $$ ... $$ sau modul equation.De exemplu, $$\frac\pi4 = \sum_k=1^\infty\frac(-1)^k+12k-1$$

produceπ

4=∞∑

k=1

(−1)k+1

2k − 1

(iii) pentru a a³a modul display în interiorul textului folosim $\displaystyle ... $

(iv) pentru numerotarea formulelor folosim modul equation. De exemplu,

\beq \labelSt

S(t)=S_0e^(\mu-\frac\sigma^22)\,t+\sigma\,W(t),\;\; t\geq 0\; a.s.

\eeq

7

produce

S(t) = S0 e(µ−σ2

2) t+σW (t), t ≥ 0 a.s. (2.1)

unde St este numele sub care poate apelat formula (2.1), prin comanda (\refSt)sau \eqrefSt.

(v) pentru formule în ³ir, folosim modum eqnarray. Astfel, comanda

\begineqnarray

F_Y(y) &=& P(X\in D_Y),\nonumber \\

&=& \int_D_Y f_X(x)\,dx.\labelFY

\endeqnarray

produce

FY (y) = P (X ∈ DY ),

=

∫

DY

fX(x) dx. (2.2)

(vi) dac nu se dore³te numerotarea relaµiilor, atunci utiliz m \nonumber sau\begineqnarray* ... \endeqnarray*.

Urm torul cod LATEX:

Func\c tia indicatoare a lui $A\subset \Omega$ este definit\u a astfel:

\[

\chi_A(x) =

\begincases

1 & \mbox , dac\ua x\in A,\\

0 & \mbox , dac\ua x \notin A.

\endcases

\]

genereaz textul de mai jos:

Funcµia indicatoare a lui A ⊂ Ω este denit astfel:

χA(x) =

1 , dac x ∈ A,0 , dac x /∈ A.

8


Din independenµa celor dou variabile aleatoare, g sim c densitatea de repartiµie a vec-torului (X, Y ) este:

h(x, y) = f(x)g(y) =xm2−1y

n2−1 e−

x+y2

2m+n

2 Γ(m2

)Γ(n2

) , (x, y) ∈ (0, ∞)× (0, ∞). (2.3)

Consider m o transformare a acestui vector,

τ :

t =

n

m

x

yv = y,

în vectorul (F, Y ). Densitatea de repartiµie a acestui vector este (vezi Propoziµia anterioar ):

k(u, v) =

(mn

)m2 u

m2−1v

m+n2−1 e−

v2(1+m

nu)

2m+n

2 Γ(m2

)Γ(n2

) , (t, v) ∈ (0, ∞)× (0, ∞).

Densitatea de repartiµie marginal pentru F este:

k1(u) =

∫ ∞

0

k(u, v) dv

=

(mn

)m2 Γ(m+n2

)

Γ(m2

)Γ(n2

) um2−1(

1 +m

nu)−m+n

2, u > 0,

adic tocmai densitatea de repartiµie a unei variabile aleatoare F(m, n).

9

3 Laborator 3

• scrierea matricelor; mediile de lucru matrix, pmatrix, vmatrix, bmatrix, Bmatrix sauVmatrix.

\[

\beginmatrix

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\endmatrix

\]

pentrua b cd e fg h i

• sau

\[

A_m,n =

\beginpmatrix

a_1,1 & a_1,2 & \cdots & a_1,n\\

a_2,1 & a_2,2 & \cdots & a_2,n\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

a_m,1 & a_m,2 & \cdots & a_m,n

\endpmatrix

\]

pentruAm,n =

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n...

.... . .

...am,1 am,2 · · · am,n

• sau

\[

\beginarray|l|c|r|

\hline

\mboxst\^ anga & \mboxcentru & \mboxdreapta\\

\hline

\alpha & \cos(y\pi) & \beta^2 \\

\hline

\sqrt\sum_j\gamma_j & \ln(\tau) & \sin(\pi x)\\

\hline

\endarray

\]

pentrustânga centru dreaptaα cos(yπ) β2

√∑j γj ln(τ) sin(πx)

10

Crearea unei liste bibliograce

O bibliograe poate creat folosind mediul de lucru thebibliography. De exemplu,




\endthebibliography

• Citarea în text a unei referinµe se face cu comanda \cite. De exemplu,\citelamport va produce [3] în text.

• Dac se dore³te introducerea în Bibliograe a unei lucr ri, f r a o utiliza în text, atuncifolosim comanda \nocite. De exemplu, \nocitelamport nu afecteaz textul.

• citaµiile multiple pot introduse prin \citecitatia1,citatia2,citatia3. Deexemplu,\citelamport, wiki produce în text [3, 5].

• trimiterea la o anumit pagin dintr-o referinµ se face prin \cite[pag. 175]lamport,obµinându-se [3, pag. 175].

• o alt modalitate de a crea o bibliograe, mult mai specializat , este prin utilizareaunei baze de date BibTeX, înregistrat într-un ³ier de tip *.bib. Un exemplu deintroducere a datelor în aceast baz de date este (pentru o carte):

@booklamport,

author = "Leslie Lamport",

title = "\LaTeX: A Document Preparation System",

year = "1994",

publisher ="Addison-Wesley Publishing Company",

address = "Reading, MA,"

• un articol îl introducem astfel:

@articlegeo,

author = "Ion Georgescu",

title = "Subspa\c tii invariante",

year = "2003",

journal = "Journal of Applied Analysis",

volume = "31",

number = "2",

pages = "232--241"

11

• citarea adreselor www se face prin:

@MISCwebsite:LATEX symbols,

AUTHOR = "Applied Mathematics - Colorado",

TITLE = "LATEX symbols",

MONTH = "January",

YEAR = 2008,

HOWPUBLISHED = "\urlhttp://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/"

• ad ugarea referinµelor (e.g., gino1, thon2, simon) în text se face astfel:

\bibliographystyleplain

\bibliographygino1, thon2, simon

• stilurile care pot utilizate sunt: plain, abbrv ³i alpha.

• pentru ca Bibliograa s e inclus în Cuprins, folosim:

\clearpage

\addcontentslinetocchapterBibliography

sau

\cleardoublepage

\sectionBibliography

• pentru a aparea Bibliograe în loc de References, ad ug m în preambul comanda\usepackage[romanian]babel.

• o alt modalitate de a crea o bibliograe este NatBib, ce necesit comanda\usepackagenatbib în preambul.

• pentru ca un url s e activ ³i s poat accesat direct din ³ierul .pdf, avem nevoiede pachetul de opµiuni hyperref în preambul. Comanda din text ce face trimiterea lasite este \urlfisier (vezi secvenµa de cod de mai jos ce a creat Bibliograa)

• Pachetul de opµiuni hyperref mai are avantajul c activeaz toate referinµele ³i cit riledin textul .pdf (cele introduse prin comanzile \ref ³i \cite) ³i, astfel, vom putem s rila referinµa dorit printr-un simplu click de mouse.

• Urm toarea secvenµ creaz bibliograa din Laboratorul 1:

12








\bibitemctan The Comprehensive \TeX Archive Network (CTAN):

\urlhttp://www.ctan.org/

\bibitemwiki \urlhttp://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/

\bibitemoxford \urlhttp://www.maths.ox.ac.uk/help/faqs/latex/

\bibitemcolorado \urlhttp://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/

\endthebibliography

Orientarea în pagin

• \usepackage[landscape]geometry

\beginlandscape

.......

\endlandscape

13

Aranjarea în pagin

Figura 1: Aranjarea în pagin

1. one inch + \hoffset

2. one inch + \voffset

3. \oddsidemargin = 31pt

4. \topmargin = 20pt

5. \headheight = 12pt

6. \headsep = 25pt

7. \textheight = 592pt

8. \textwidth = 390pt

9. \marginparsep = 10pt

10. \marginparwidth = 35pt

11. \footskip = 30pt

* \marginparpush = 7pt

* \hoffset = 0pt

* \voffset = 0pt

* \paperwidth = 597pt

* \paperheight = 845

14

4 Laborator 4

Mediul de lucru pentru teoreme

• Pachetul necesar pentru mediul teorem este \usepackageamsthm;

• Comanda \newtheoremnumeNume afisat dene³te mediul teorem , ce poate in-clude: teoreme, leme, corolarii, propoziµii, deniµii, exerciµii, observaµii etc.Exemple:

\newtheoremteoTeorem\u a, \newtheorempropPropozi\c tie,

\newtheoremdfnDefini\c tie, \newtheoremexExerci\c tiu

• dac se dore³te numerorarea teoremelor/propoziµiilor/observaµiilor etc. în funcµie desecµiune, folosim în preambul comanda

\newtheoremnumeNume afisat[section]

Pentru a introduce teoreme în text, folosim comenzi de genul:

\beginteo Text... \endteo sau \beginprop Text...\endprop

\begindfn Text... \enddfn sau \beginex Text... \endex

care vor a³a urm toarele:

Teorema 4.1 Text...

Propoziµia 4.1 Text...

Deniµia 4.1 Text...

Exerciµiu 4.1 Text...

• Dac se dore³te numerorarea teoremelor/propoziµiilor/observaµiilor etc. în funcµie deanumite rezultate importante din text, ³i nu doar în funµie de secµiune, atunci folosimîn preambul comanda

\newtheoremnume[contor]Nume afisat

unde [contor] specic numele contorului utilizat. De obicei, se folosesc anumiteteoreme importante. Spre exemplu, dac în preambul folosim comenzile

15

\newtheoremteoTeorema[section]



\newtheoremex[teo]Exerci\ctiu

atunci rezultatul a³at va

Teorem 4.1. Text...

Propoziµia 4.2. Text...

Corolar 4.3. Text...

Exerciµiu 4.4. Text...

• Pentru teoreme f r num r, folosim în preambul urm toarea comand :

\newtheorem*exmExemplu

Secvenµa urm toare:

\beginexm

Acesta este un exemplu de teorem\u a f\u ar\u a num\u ar

\endexm

produce

Exemplu. Acesta este un exemplu de teorem f r num r

• Dac se dore³te apelarea unei anumite teoreme, atunci folosim etichete introduse prin\label. Spre exemplu, urm toarea secvenµ

\begindfn\labeldef1

O func\c tie $f: D \longrightarrow \R$ se nume\c ste func\c tie de

clas\u a $C^1(D)$ dac\u a $f$ este derivabil\u a pe $D$ \c si cu derivata

continu\u a.

\enddfn

a³eaz textul

Deniµia 4.5. O funcµie f : D −→ R se nume³te funcµie de clas C1(D) dac f estederivabil pe D ³i cu derivata continu .

Apelul Deniµiei 4.5 se face cu comanda \refdef1.

• Mediul Demonstraµie poate denit prin comanda proof. De exemplu, secvenµa

\beginproof

Aici se scrie demonstra\c tia.

\endproof

16

va a³a

Demonstraµie. Aici se scrie demonstraµia.

• Anterior, cuvântul Demonstraµie apare deoarece avem pachetul [romanian]babel înpreambul. F r acest pachet, mai avem opµiunea

\beginproof[nume] ... \endproof

ce va a³a numele dintre paranteze p trate. De exemplu,

\beginproof[Pr\" ufung]

Scrie demonstra\c tia \^ in german\u a.

\endproof

Prüfung. Scrie demonstraµia în german .

• Comanda \renewcommand\qedsymbol\fbox$\surd$ înlocuie³te patr µelul dela nalul demomstraµiei cu ce punem între acolade. În cazul de faµ ,

√

• Exist 3 stiluri pentru a introduce teoreme, ³i anume plain (implicit), denition ³iremark.Putem schimba stilul folosind în preambul comanda

\theoremstylenumele_stilului.

LATEX permite denirea ³i a altor stiluri dect cele deja existente.

Fonturi ³i stiluri de redactare

• normal, italic, subliniat, bold, ma³in de scris, small caps, aplecat, sans serif,roman.

• M rimi uzuale (vezi [5]):

17

Etichete:

• Se atribuie ³i se refer la ele prin comenzile:\labelmarker, \refmarker, \pagerefmarker

• De exemplu, \refchap: f1, \refsec: f2, \reffig: F1, \reftab: t1,\refeq: eqn1

18


Teorem 4.6. (Hincin1) (legea slab a numerelor mari)Dac Xn, n ≥ 1, sunt variabile aleatoare ce admit momente absolute de ordin 1, suntindependente dou câte dou ³i identic repartizate, atunci ³irul (Xn)n urmeaz legea slab a numerelor mari, i.e.,

1

n

n∑

k=1

Xkprob−→ E(X1), (n→∞). (4.1)

Teorem 4.7. (Kolmogorov2 , 1929) (legea tare a numerelor mari)Fie ³irul de v.a. (Xn)n∈N∗ , independente, sunt identic repartizate ³i E(|X1|) <∞.Fie E(Xn) = m, ∀n ∈ N∗. Atunci ³irul (Xn)n satisface legea tare a numerelor mari, adic :

1

n

n∑

k=1

Xka.s−→ m, (n→∞). (4.2)

Observaµia 4.8. Concluzia legii slabe a numerelor mari se mai poate scrie ³i sub forma:

P

(limn→∞

X1 +X2 + · · ·+Xn

n= m

)= 1.

Teorem 4.9. (TLC) (teorema limit central )Dac v.a. (Xn)n∈N sunt independente ³i identic repartizate, cu m ³i σ2 nite, atunci:

1

σ√n

(n∑

k=1

Xk − nm)⇒ Y ∼ N (0, 1), pentru n→∞.

Observaµia 4.10. Not m cu

Znnot=

1

σ√n

(n∑

k=1

Xk − nm).

Atunci, convergenµa din Teorema 4.9 este echivalent cu

limn→∞

P (Zn ≤ x) = Θ(x), ∀x ∈ R, (4.3)

unde Θ(x) este funcµia lui Laplace, sau

limn→∞

P

(a ≤ Sn − nm

σ√n≤ b

)=

1√2π

∫ b

a

e−x2

dx = Θ(b)−Θ(a). (4.4)

1Aleksandr Yakovlevich Khinchin (1894− 1959), matematician rus2Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903− 1987), matematician rus

19

5 Laborator 5

Crearea | de | tabele

• Modul de lucru tabular poate folosit pentru crearea de tabele cu linii veriticale sauorizontale opµionale. Poate denit astfel:

\begintabular[pozitia]aliniamentc

unde pozitia poate b (bottom), t (top) sau c (central). Pentru aliniament putemfolosi: l (left), c (central) sau r (right), cu | sau ||, dup preferinµe. Prin comanda*numstr putem determina aliniamentul mai multor coloane dintr-un foc. De ex-emplu, secvenµa urm toare:

\begintabular||l|| c|c|c||

\hline \hline

fain\u a & 1 & 2 & 3 \\

ou\u a & 4 & 5 & 6 \\

br\^ anz\u a & 2 & 4 & 3 \\

\hline

Total & 7 & 11 & 12 \\

\hline \hline

\endtabular

produce:

fain 1 2 3ou 4 5 6brânz 2 4 3Total 7 11 12

• Separarea între celule se face cu &. Trecerea la urm toarea linie se face prin \\.

• Liniile orizontale sunt determinate de comanda \hline

• Comanzile pentru a crea coloane multiple sau linii multiple sunt:

\multicolumnnum_coloanealiniamentcontinut

\multirownum_liniilatimecontinut

(Pentru l µimea natural , în \multirow se folose³te *.)

• Pentru a colora liniile dintr-un tabel este necesar comanda

\usepackage[table]xcolor

în preambul. Comanda ce coloreaz linii într-un tabel este

20

\rowcolors<linia de start><impar><parr>

• Alte comenzi pentru colorare: \showcolors, \hidecolors, cellcolor (coloreaz doaro celul din tabel).

• Pentru a controla m rimea tabelului, putem utiliza comanda

\resizeboxlatimeinaltimetabel

• Liniile orizontale parµiale sunt determinate de \clinei-j , adic linia ce începe încoloana i ³i se termin în coloana j. Spre exemplu:

\resizebox5cm1.5cm


\hline

2 & \multicolumn2c|Variante \\

\cline2-3 456 & \multirow2*$\alpha$ & \multirow2*$\beta$ \\

00000 & & \\

\hline \hline

1111 & \multicolumn2c|ABCDE \\

\hline

\endtabular

produce tabelul:

2 Variante456

α β00000

1111 ABCDE

• Modul tabele ne ajut s ad ug m etichete ³i text la tabele. Formatul general este:

\begintable[pozitie]

\captionAici scriem ce reprezent\u am \^ in tabel

\begintabular| r | r || c | c | c |

...

\endtabular

\endtable

unde [pozitie] poate t, b, h, ht, hb.

• O sumarizare a tuturor tabelelor din document se poate face folosind comanda \listoftablesîn preambul.

21

• Urm toarea secvenµ

\begintable[!hb]

\bc

\begintabularc|l

\mbox stem & \mbox leaf \\

\hline

$9$ & $2$ $6$\\

$8$ & $1$ $5$ $6$ $8$\\

$7$ & $3$ $5$ $7$ $7$ $7$ $9$\\

$4$ & $1$ $4$ $8$\\

$3$ & $8$

\endtabular

\captionTabel \it stem-and-leaf reprezent\^and punctajele

studen\c tilor.\labelleaf

\ec

\endtable

produce

stem leaf9 2 68 1 5 6 87 3 5 7 7 7 94 1 4 83 8

Tabela 1: Tabel stem-and-leaf reprezentând punctajele studenµilor.

• Modul minipage :

\beginminipage5cm

...

\endminipage

\hspace1cm

\beginminipage8cm

...

\endminipage

22

Exerciµiu: Reproduceµi textele de mai jos:

I Putem grupa datele de tip continuu într-un tablou de distribuµie de forma:

data :

([a0, a1) [a1, a2) . . . [ar−1, ar)

f1 f2 . . . fr

),

sau sub forma unui tabel de distribuµie (vezi Tabelul 2).

clasa frecvenµa valoare medie[a0, a1) f1 x′1[a1, a2) f2 x′2

......

...[ar−1, ar) fr x′rTabela 2: Tabel cu frecvenµe pentru date continue.

II Not m cu FY (y) funcµia de repartiµie pentru Y ³i cu fY (y) densitatea sa de repartiµie.Atunci:

FY (y) = P (aX+b ≤ y) =

P

(X ≤ y − b

a

), a > 0;

P

(X ≥ y − b

a

), a < 0;

=

FX

(y − ba

), a > 0;

1− FX(y − ba

), a < 0;

III Tabelul de mai jos conµine echipele române³ti ce vor participa în cupele europeneîn sezonul 2010-2011 sunt:

Clasamentul Ligii INr. crt. Echipa Games Wins Draws Loses Points

1 CFR Cluj 23 12 7 4 432 FC Timi³oara 23 11 9 3 423 Steaua 23 12 6 5 424 Dinamo 23 11 8 4 415 Urziceni 23 11 8 4 416 SC Vaslui 23 12 5 6 41

←− Calicat în CL←− Play-o pentru CL←− Europa League←− Europa League←− Play-o Europa League←− Play-o Europa League

23

6 Laborator 6

Includerea de guri/imagini

• Pentru includerea de grace/imagini, va trebui s avem în preambul comanda:\usepackagegraphicx.

• Putem include ³iere .jpg, .pdf, .png, .eps, .ps etc. folosind comanda\includegraphics[atribut1=val1, atribut2=val2, ..., atributN=valN]imagine

• Atributele pot : scale, width, height, angle, trim, clip. De exemplu,

\beginminipage6cm


\endminipage

\hspace1.2cm\c si invers:

\beginminipage6cm


\endminipage

³i invers:

• Opµiunea trim se folose³te astfel:

\includegraphics[trim = <stanga> <jos> <dreapta> <sus>, clip, <alte optiuni>]imagine

24

• Comenzile \setlength\fboxsep**pt ³i \setlength\fboxrule**pt realizeaz unchenar în jurul imaginii ³i determin m rimea acestuia, respectiv. De exemplu,

\bc

\setlength\fboxsep10pt \setlength\fboxrule10pt

\colorBurntOrange

\fbox\includegraphics[trim=15mm 110mm 15mm 30mm, clip, width=11cm,height=4.5cm]eggs

\ec

produce tabloul din Figura 1.

Figura 1: Tablou de familie: a couple of good-looking eggs.

• Comentariile la imagini pot ad ugate la fel ca ³i la guri (vezi Figura 1), folosindcomenzile:

\begintable[!h] % sau \beginfigure[!h]

<imagine>

\captionText\labeleticheta

\endtable

• Comentariile pot ad ugate ³i lateral, utilizând în preambul comanda \usepackagesidecap³i apoi ca în exemplul 2.

• Pentru a putea scrie text ³i în jurul unei guri, putem folosi un pachet special de opµi-uni: \usepackagewrapfig. Comanda ce include gura în text este:

\beginwrapfigure[inaltimea]aliniamentlatimea\endwrapfigure

1

Figura 2:Die Enkelin von Euler,

die Eule

geboren 29/12/2007im Heidelberg,Baden Württemberg,Deutschland.

• Pachetul de opµiuni subfig ne d posibilitatea de a crea guri în alte guri. Spreexemplu, secvenµa de mai jos produce Figura 3.

\beginfigure[!ht]

\centering

\subfloat[\hrefhttp://en.wikipedia.org/wiki/CornflowerCornflower]

\labelfig: corn\includegraphics[width=0.45\textwidth]basketflower \hspace1cm

\subfloat[\hrefhttp://en.wikipedia.org/wiki/EdelweissFloare de col\c t]

\labelfig: colt\includegraphics[width=0.45\textwidth]edelweiss \hspace.5cm

\subfloat[\hrefhttp://en.wikipedia.org/wiki/Passion_flowerFloarea pasiunii]

\labelfig: passion\includegraphics[width=0.45\textwidth]passionflower

\captionFlori

\labelfig:flori

\endfigure

• Putem include imagini atât din directorul curent, cât ³i din alte directoare, folosindcomenzile

\input./numefisier.tex % aici, ./ semnic directorul curent

sau

\input./altdirector/numefisier.tex

2

(a) Cornower (b) Floare de colµ

(c) Floarea pasiunii

Figura 3: Flori

.

3

Tem : [1] Reproduceµi (folosind LATEX !) imaginea urm toare:

− Are you strong enough?

− Just try it!

[2] Reproduceµi urm toarele:

Urm toarea funcµie Matlab produce guradin partea dreapt , care reprezint o mi³carealeatoare 2-dimensional . (drunkard's walk)

function walk2d(n)

x = [0; cumsum(randn(n,1))];

y = [0; cumsum(randn(n,1))];

plot(x,y)

4

1 LABORATOR (L7)

Indexare

• Folosim în preambul \usepackagemakeidx;

• Activarea pachetului se face prin comanda \makeindex, folosit tot în preambul;

• Pentru a indexa un element, utiliz m comanda \indexelement;

• Comanda pentru a³area indexului este \printindex;

• pentru a crea mai multe index ri, utiliz m \usepackagemultind în preambul.

• Comenzile posibile sunt:

\makeindexnotiuni

\makeindexautori

...

\indexnotiunifunc\c tie continu\u a

\indexautoriA. N. Kolmogorov

...

\printindexnotiuni

\printindexautori

Diverse

• Comanda \parbox[poz]lattext m rgine³te un paragraf (i.e., ceea ce scriem latext) la dimensiunile dorite. Aici, poz e poziµia(poate doar c, t, b) ³i lat e l µimea textului.

• Comanda 0.5\textwidth reduce textul la jum tate din l µimea textului normal;

• Comanda \makebox[lat][poz]text creaz , de asemenea, diverse încadr ri ale tex-tului. Aici, poz poate una dintre: c, l, r, s. De exemplu, comanda

\makebox[\textwidth][c]\colorGreentext centrat

text centrat

• Comanda \framebox[lat][poz]text este la fel ca \makebox, cu diferenµa c dese-neaz încadrarea textului. De exemplu, comanda

\framebox[\textwidth][s]\colorCyanMan ist, was man isst.

produce

Man ist, was man isst.

• O alt comand util pentru încadrarea textului este \raiseboxparametru[0pt][0pt]text

• Comenzile \mbox ³i \fbox sunt cazuri particulare pentru \makebox ³i \framebox.

5

Exemplu de scrisoare

\documentclassletter

\usepackagehyperref

\usepackage[romanian]babel


\signatureStudentu' $00$7\\ cu tricou \^ in dungi \newline \newline % numele

\addressBanca a 3-a \\ R\^ andul 2 (de la u\c s\u a) \\ din Laboratorul $3$

% adresa expeditorului

\begindocument

\beginletterDomnului Profesor I. S., \\ de la Laboratorul cu \LaTeX

\newline \newline % adresa destinatarului

\raisebox0pt[0pt][0pt]\colorPurple\Huge%

\textbf \raisebox-7.0ex S%

\raisebox-12.7ex$\hspace1.2cm$ P%

\raisebox-19.2ex$\hspace-.7cm$ E%

\raisebox-23.8ex$\hspace1.5cm$ C%

\raisebox-28.5ex$\hspace-.7cm$ I

\raisebox-32.5ex$\hspace1.0cm$ M

\raisebox-38.5ex$\hspace-.7cm$ E

\raisebox-43.5ex$\hspace1.2cm$ N

\opening\sl Stimate Domnule Profesor, % formula de incepere

\vspace*.4cm

\sl V\u a rog frumos s\u a m\u a \^ invoi\c ti dup\u a ora a doua de laborator,

ca s\u a pot prinde autobuzul spre cas\u a. Mi-a spus mama c\u a a mai r\u amas

ceva cozonac \c si pasc\u a de la Pa\c ste \c si nu vreau s\u a le las s\u a se

strice. Men\c tionez c\u a nu pot lua un alt autobuz mai t\^ arziu, deoarece mai

am unele cump\u ar\u aturi de f\u acut pentru ai mei. \^ In plus, mi-e fric\u a

s\u a c\u al\u atoresc seara.

\c Sti\c ti?... multe se pot \^ int\^ ampla \^ in ziua de azi!...

V\u a mul\c tumesc frumos!

\vspace*1cm

\closingCu stim\u a \c si sinceritate, \\ % urarea de final

\colorRed$\bf \times$ \\

\it [Semn\u atura]

\psP.S. \^ In Anexa de mai jos am ata\c sat scutirea oficial\u a de la mama.

\encl\urlScutire-de-la-Mamica % Anexe

\endletter

\enddocument

6

S

P

E

C

I

M

E

N

Banca a 3-aRandul 2 (de la usa)din Laboratorul 3

16 aprilie 2010

Domnului Profesor I. S.,de la Laboratorul cu LATEX

Stimate Domnule Profesor,

Va rog frumos sa ma ınvoiti dupa ora a doua de laborator, ca sa pot prindeautobuzul spre casa. Mi-a spus mama ca a mai ramas ceva cozonac si pasca dela Paste si nu vreau sa le las sa se strice.Mentionez ca nu pot lua un alt autobuz mai tarziu, deoarece mai am unelecumparaturi de facut pentru ai mei. In plus, mi-e frica sa calatoresc seara.Stiti?... multe se pot ıntampla ın ziua de azi!...

Va multumesc frumos!

Cu stima si sinceritate,×[Semnatura]

Studentu’ 007cu tricou ın dungi

P.S. In Anexa de mai jos am atasat scutirea oficiala de la mama.

Anexa: Scutire-de-la-Mamica

7

2 LABORAT OR (L8)

Prezent ri

• Modul slides

Preambulul la acest mod este \documentclassslides;

Slide-urile se introduc prin

\beginslide

text...

\endslide

• Modul beamer

Preambulul la acest mod este

\documentclassbeamer

\mode<presentation>

\usethemeMadrid

Pagina de titlu în modul beamer (se scrie în preambul!) este:

\titleModele matematice \^ in Finan\c te

\subtitleRezumat

\authorA. Student \inst1 \and I. Stoleriu \inst2

\institute

\inst1

student,


\and

\inst2

Universitatea ''Al. I. Cuza'' Ia\c si\\


\date\today

\subjectMatematic\u a-Informatic\u a

În interiorul documentului (imediat dup \begindocument) scriem:\frame\titlepage (activeaz pagina de titlu).

8


- Continutul slide-ului 1- Bla - bla - Blaaaa


- Continutul slide-ului 2- Text - Text - Texte...

Continu m în document (vezi Figura) prin:

\beginframe



- Bla - bla - Blaaaa

\endframe

\beginframe



- Text - Text - Texte...

\endframe

\enddocument

Diverse teme ce denesc modul de prezentare, introduse prin comanda\usethemetipul-temei. De exemplu:

\usethemeMarburg, \usethemeMadrid, \usethemeFrankfurt etc.

Pentru controlul culorii se poate folosi comanda \usecolorthemeculoare.

Culorile pot controlate prin comanda\setbeamercolor<beamer-color name><options>

De exemplu, \setbeamercolornormal textfg=orange

Fonturile pot controlate prin comanda \usefontthemetip-text.De exemplu, \usefontthemeserif va face ca textul s e scris în modul serif.

Comenzile \useinnertheme ³i \useoutertheme denesc elementele din in-teriorul (respectiv, din exteriorul) unui mod de lucru.

Comanda \setbeamercovered<optiuni> dene³te modul de prezentare a tex-tului ascuns. Opµiunile sunt: invisible, transparent, dynamic, highly dynamic

De exemplu, comanda \setbeamercoveredtransparent va face ca textul as-cuns s e scris cu caractere transparente.

9

• Animaµiile se introduc prin \pause, scris la nalul ec rui rând ce se dore³te a întrerupt.

• O alt variant este urm toarea:

\beginitemize

\item<2-> Al 2-lea rand ce apare;

\item<1-> Primul rand ce apare;

\item<alert@2> Al 2-lea rand ce apare;

\only<1-> Apare cu al primul rand si va disparea cu disparitia lui;

\item Acest rand apare mereu;

\enditemize

• Comanda \item<alert@2> scrie cu ro³u (culoarea implicit ) rândul activat;

• Putem controla fontul textului astfel:

\beginframe

\textbfAceasta linie apare in bold pe toate slide-urile\\

\textbf<2>Aceasta linie apare in bold doar pe slide-ul al doilea\\

\textbf<3>Aceasta linie apare in bold doar pe slide-ul al treilea\\

\endframe

• Un exemplu de succesiune de medii de lucru:

\beginframe

\begintheorem<1->

Aici apare enuntul teoremei.

\endtheorem

\beginproof<3->

Demonstratia apare dupa Corolar!

\endproof

\begincorolar<2->

Enuntul corolarului apare dupa cel al teoremei, inainte de demonstratie.

\endcorolar

\endframe

• Mai multe detalii g siµi la adresahttp://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/beameruserguide.

pdf

Tem : Reproduceµi ³ierul Tema.pdf ata³at!

10

3 LABORAT OR (L9)

Format de lucrare nal

Formatul de lucrare de mai jos este alc tuit dintr-un ³ier principal, cel scris cu albastru, ³ialte ³iere *.tex adiacente (scrise cu diverse culori), care sunt anexate la ³ierul principalcu ajutorul comenzii \include.

\documentclass[12pt, a4paper]report % tipul documentului

% acesta este fisierul principal

% Aici incarcam pachetele ce le dorim. Mai jos sunt cateva exemple

\usepackageappendix,makeidx % apendice si index

\usepackage[dvips]graphics % pachetul pentru figuri

\usepackageamsfonts,amsmath,amssymb,graphicx

\usepackage[usenames,dvipsnames]color % pachetul pentru culori

\usepackage[romanian]babel % pachetul cu optiuni in limba romana

\usepackagefancyhdr % pachet pentru header

\usepackagesetspace % pachet pentru spatieri

\textheight=23.7cm \textwidth=14.0cm

\parindent=0.0in \topmargin= 0cm

\oddsidemargin=1.5cm \evensidemargin=0cm

\setstretch1.3 % distanta intre randuri

% aici definim shortcut-uri pentru mediul teorema sau pentru formule.

% Cateva exemple:

\newtheoremteoTeorema[chapter]

\newtheoremlema[teo]Lema

\newtheoremdfn[teo]Defini\ctia



\newtheoremobs[teo]Observa\ctia

\newtheoremexm[teo]Exemplu

\newcommand\E\mathbbE % simbolul pentru medie a unei v.a.

\newcommand\N\mathbbN % multimea numerelor naturale

\newcommand\R\mathbbR % multimea numerelor reale

\newcommand\C\mathbbC % multimea numerelor complexe

\newcommand\F\mathcal F % un F caligrafic

\newcommand\ff:\mathbbR^m\longrightarrow \R^n % f : R^m -> R^n

\newcommand\x(x_n)_n\in \N % un sir (x_n) cu n natural

\newcommand\beq\beginequation

\newcommand\eeq\endequation

11

\newcommand\bc\begincenter

\newcommand\ec\endcenter

\newcommand\hh\hspace*2cm

\makeindex % realizeaza indexul

\begindocument

\begintitlepage % incepe pagina de titlu

\begincenter

\large

\textscUniversitatea ''Al. I. Cuza'' din Ia\c si \\

\textscFacultatea de Matematic\u a \\

\textscSpecializarea Matematic\u a-Informatic\u a\\

\vspace5cm

\textbf\sc Lucrare de licen\c t\u a\\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge \sc Titlul lucr\u arii\\

\vspace6cm

Coordonator, \hfill Absolvent,\\

A. \sc Professor \hfill A. \sc Student\\

\vfill

Iunie - 2011\\

Ia\c si \\

\ \\

\endcenter

\endtitlepage % se termina pagina de titlu

\begintitlepage % incepe pagina de dedicatie

\begincenter

\ \\

\vspace5cm

(Pagina goal\u a sau pagina pentru dedica\c tie)

\endcenter

\endtitlepage % se termina pagina de dedicatie

\pagenumberingroman

\setcounterpage2 % stabileste nr. paginii de start

\addcontentslinetocsectionAbstract % adauga Abstractul in Cuprins

\includeabstract % include Abstractul

\tableofcontents % afiseaza Cuprinsul

\addcontentslinetocsectionList\u a de figuri

\listoffigures % lista figurilor

\addcontentslinetocsectionList\u a de tabele

\listoftables % lista tabelelor

\addcontentslinetocsectionNota\c tii % adauga Notatii in Cuprins

12

\includeNotatii % include un paragraf de notatii

\pagenumberingarabic

\renewcommand\thesection

\addcontentslinetocsectionIntroducere % adauga Introducerea in Cuprins

\includeIntro % include Introducerea

% ~~~~~ optiuni de header pentru pagina ~~~~~~~~~

\pagestylefancy

\fancyhf

\fancyhead[LE,RO]\thepage

\fancyhead[CE]\textit\nouppercase\leftmark

\fancyhead[CO]\textit\nouppercase\rightmark

% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

% urmatoarele 2 comenzi stabilesc modul cum vor aparea numerele la (sub)sectiuni

\renewcommand\thesection\arabicchapter.\arabicsection

\renewcommand\thesubsection\arabicchapter.\arabicsection.\arabicsubsection




\fancyhf

\renewcommand\thesection % nu numeroteaza Apendice

\addcontentslinetocsectionApendice % adauga Apendice in Cuprins

\includeapendix % afiseaza Apendice

\renewcommand\thesection % nu numeroteaza Indexul

\addcontentslinetocsectionIndex % adauga indexul in Cuprins

\printindex % afiseaza indexul

\renewcommand\thesection % nu numeroteaza Bibliografia

\addcontentslinetocsectionBibliografie % adauga Bibliografia in Cuprins

\includeBiblio % afiseaza Bibliografia

\enddocument

Fi³ierul .pdf obµinut este www.math.uaic.ro/~stoleriu/TEZA.pdf.

13

Fi³iere adiacente:

%%% *************************************************************************

%% abstract.tex

\ \\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge Abstract\\

\vspace1.5cm

Abstractul va ap\u area aici ...

%%% *************************************************************************

%%% *************************************************************************

%% Notatii.tex

\ \\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge Nota\c tii\\

\vspace1.5cm

\begineqnarray*

\N & \hh& \mboxmul\c timea numerelor raturale \\

\R & \hh& \mboxmul\c timea numerelor reale \\

\C & \hh& \mboxmul\c timea numerelor complexe \\

\E & \hh& \mboxmedia unei variabile aleatoare \\

\F & \hh& \sigma-\mboxalgebr\u a\\

etc ...

\endeqnarray*

%%% *************************************************************************

%%% *************************************************************************

%% Intro.tex

\ \\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge Introducere\\

\vspace1.5cm

Aici se va scrie Introducerea. Se va motiva subiectul ales \c si importan\c ta

lui, integrarea tematicii \^ in aria \c stiin\c tific\u a aleas\u a.

De asemenea, se va face o prezentare pe capitole a lucr\u arii, sco\c t\^ and

\^ in eviden\c t\u a rezultatele principale.

%%% *************************************************************************

14

%%% *************************************************************************

%% Capitolul1.tex

\chapterNo\c tiuni introductive din Statistic\u a\labelCapitolul1


ideile principale ale capitolului.


\indexStatistic\u a


\beginfigure[!ht]

\bc

\includegraphics[scale=0.5]MB2d

\ec

\captionMi\c scarea Brownian\u a 2-dimensional\u a.

\labelfig: fMB2d

\endfigure

\newpage







\begintable[!ht]

\bc \resizebox11cm2.5cm


\hline

\mboxclasa & \mboxfrecven\cta & \mboxvaloare medie\\

\hline

$[a_0, a_1)$ & $f_1$ & $x'_1$\\

$[a_1, a_2)$ & $f_2$ & $x'_2$\\

$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\

$[a_r-1, a_r)$ & $f_r$ & $x'_r$\\

\hline

\endtabular

15

\captionTabel cu frecven\cte pentru date continue.

\labelcdata1\indextabel cu frecven\c te

\ec

\endtable

%%% *************************************************************************

%%% *************************************************************************

%% Capitolul2.tex

\chapterCuno\c stin\c te ale naturii\labelCapitolul2


ideile principale ale capitolului. \indexCuno\c stin\c te ale naturii


Aici va ap\u area textul din Sec\c tiunea \refc2s1...\\

\beginfigure[!ht]

\bc \includegraphics[width=0.75\textwidth]passionflower \ec

\captionFloarea pasiunii. \labelfig: fp

\endfigure







%%% *************************************************************************

%%% *************************************************************************

%% apendix.tex

\ \\

\vspace1.5cm

\textbf\Huge Apendice\\

\vspace1.5cm

Apendixul va ap\u area aici ...

%%% *************************************************************************

16

%%% *************************************************************************

%% Biblio.tex

\markright\sc Bibliografie\labelbiblio








\bibitemctan The Comprehensive \TeX Archive Network (CTAN): http://www.ctan.org/

\bibitemwiki http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/

\bibitemoxford http://www.maths.ox.ac.uk/help/faqs/latex/

\bibitemcolorado http://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/

\bibitemstoleriu Iulian Stoleriu, Introducere \^ in \LaTeX.

Note de laborator, 2010.

\endthebibliography

%%% *************************************************************************

17

4 LABORAT OR (L10)

Rubrica DIVERSE

• numerotarea ecuaµiilor, gurilor etc se poate face în funcµie de secµiune astfel:

\usepackageamsmath

\numberwithinequationsection

\numberwithinfiguresection

• ad ugarea unui comentariu la text se poate face cu comanda marginpar

\marginpar\footnotesize\bf \colorredAici se scrie un comentariuAici se scrie

un comen-

tariu• stabilirea l µimii comentariului se face prin o comand de genul

\setlength\marginparwidth2.5cm

• comenzile \flushleft sau \flushright stabilesc dac alinierea textului se va face lastânga, respectiv, la dreapta.

• scrierea unui text pe coloane multiple. D m mai jos un exemplu de 2 coloane, folosindcomenzile:

\usepackagemulticol

\beginmulticols2

\endmulticols

• Pentru ca modurile table ³i figure s e active, va trebui s denim medii noi(tablehere ³i figurehere), folosind urm toarele comenzi în preambul:

\makeatletter

\newenvironmenttablehere \def\@captypetable

\newenvironmentfigurehere \def\@captypefigure

• În text, noul mediu se introduce ca în urm torul exemplu:

\beginfigurehere

\centering

\resizebox\columnwidth!\includegraphicsclopot

\caption\labelclop\em Clopotul lui Gauss pentru $\mathcalN(0,\sigma)$

\endfigurehere

\ \\

18

• Putem include ³i lme, folosind pachetele

\usepackagemultimedia % in preambul

\usepackagemovie15 % in preambul

apoi

\includemovie[poster]5cm5cmtrailer.avi

• Pentru alte facilit µi, folose³te bibliograa sau

M T R

Pentru înc lzire, încearc s reproduci pagina urm toare!

19

Tipuri de repartiµii

(1) Repartiµia exponenµial , exp(λ) (exp)

Valorile sale sunt timpi realizaµi între dou valori spon-tane repartizate P(λ) (repartiµia Poisson). De exem-plu, timpul de a³teptare la un ghi³eu sau într-o staµiede autobuz este o variabil aleatoare repartizat expo-nenµial.Spunem c X ∼ exp(λ) (λ > 0) dac are densitateade repartiµie

f(x; λ) =

λe−λx , dac x > 00 , dac x ≤ 0

Media ³i dispersia sunt: E(X) =1

λ³i D2(X) =

1

λ2.

Observaµia 1. Repartiµia exponenµial satisface a³a-numita proprietate a lipsei de memorie, i.e.,

P (X > x+ y|X > y) = P (X > x), ∀x, y ≥ 0.

Este unica distribuµie continu cu aceast proprietate.Distribuµia geometric satisface o variant discret aacestei propriet µi. [Vericaµi!]

(2) Repartiµia normal , N (µ, σ) (norm)

Spunem c X ∼ N (µ, σ), dac X are densitatea:

f(x; µ, σ) =1

σ√

2πe−

(x−µ)22σ2 , x ∈ R.

Avem c : E(X) = µ ³i D2(X) = σ2.Se mai nume³te ³i repartiµia gaussian .În cazul µ = 0, σ2 = 1 densitatea de repartiµie devine:

f(x) =1√2πe−

x2

2 , x ∈ R. (1)

În acest caz spunem c X urmeaz repartiµia normal

standard, N (0, 1).Gracul densit µii de repartiµie pentru repartiµia nor-mal este clopotul lui Gauss (vezi Figura 1).Din grac (pentru σ = 1), se observ c majoritateavalorilor nenule ale repartiµiei normale standard se a în intervalul (µ − 3σ, µ + 3σ) = (−3, 3). Aceasta estea³a-numita regul a celor 3-σ.

Figura 1: Clopotul lui Gauss pentru N (0, σ).

Dac Z ∼ N (0, 1), atunci X = σZ + µ ∼ N (µ, σ).În mod similar,

dac X ∼ N (µ, σ), atunci Z =X − µσ

∼ N (0, 1).

Pentru o v.a. N (0, 1) funcµia de repartiµie estetabelat (valorile ei se g sesc în tabele) ³i are o notaµiespecial , Θ(x). Ea e denit prin:

Θ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

y2

2 dy. (2)

Funcµia de repartiµie a lui X ∼ N (µ, σ) este dat prin

F (x) = Θ(x− µσ

), x ∈ R. (3)

(3) Repartiµia log-normal , logN (µ, σ) (logn)

Repartiµia log-normal este foarte util în Matemati-cile Financiare, reprezentând o repartiµie de preµuri vi-itoare pentru un activ nanciar. Dac X ∼ N (µ, σ),atunci Y = eX este o v.a. nenegativ , având densitateade repartiµie

f(x; µ, σ) =

1

xσ√

2πe−

(ln x−µ)22σ2 , dac x > 0

0 , dac x ≤ 0

A³adar, Y ∼ logN (µ, σ) dac lnY ∼ N (µ, σ).

\begincenter

\beginfminipage8cm


\endfminipage

\endcenter


5 LABORAT OR (L11)

Recapitulare: Reproduceµi textul de mai jos:

Funcµii de variabile aleatoare

Funcµii de o singur variabil aleatoare

Presupunem c X este o variabil aleatoare continu , c reia i se cunoa³te densitatea derepartiµie, fX(x). Not m cu FX(x) funcµia sa de repartiµie.Fie g(x) este o funcµie m surabil (Borel). Atunci Y = g(X) dene³te o alt variabil aleatoare. Dorim s g sim densitatea de repartiµie pentru g(X). S not m cu DY = x ∈R; g(x) ≤ y. Putem scrie:

Y ≤ y = g(X) ≤ y = ω ∈ Ω, X(ω) ∈ DY (not= X ∈ DY ).

Atunci,

FY (y) = P (X ∈ DY ),

=

∫

DY

fX(x) dx. (5.1)

Dac g(x) este bijectiv ³i x = h(y)not= g−1(y), atunci densitatea de repartiµie a lui Y este

dat de:

fY (y) = fX(h(y))

∣∣∣∣dh(y)

dy

∣∣∣∣ . (5.2)

Exemplu. Consider m funcµia

g(x) = ax+ b, a 6= 0.

Dac fX(x) este densitatea de repartiµie a unei variabile aleatoare continue X, atunci den-sitatea de repartiµie a variabilei aleatoare Y = g(X) este

fY (y) =1

|a| fX(y − ba

).

Alternativ, putem calcula densitatea lui g(X) astfel:Not m cu FY (y) funcµia de repartiµie pentru Y ³i cu fY (y) densitatea sa de repartiµie. Atunci:

FY (y) = P (aX+b ≤ y) =

P

(X ≤ y − b

a

), a > 0;

P

(X ≥ y − b

a

), a < 0;

=

FX

(y − ba

), a > 0;

1− FX(y − ba

), a < 0;

Dac FX este continu , atunci:

fY (y) =dFY (y)

dy=

1

|a| fX(y − ba

).

Etapele testul t bilateral

(i) Se dau: x1, x2, . . . , xn (date normale), µ0, α;

(ii) Determin m valoarea t1−α2; n−1 astfel încât funcµia de repartiµie pentru t(n− 1),

Fn−1

(t1−α

2; n−1

)= t1−α

2; n−1.

(iii) Calculez valoarea

t0 =x− µ0

d∗(X)√n

, unde d∗(X) =

√√√√ 1

n− 1

n∑

k=1

(xi − x)2.

(iv) Dac :

• |t0| < t1−α2; n−1, atunci (H0) este admis (nu poate respins );

• |t0| ≥ t1−α2; n−1, atunci (H0) este respins (adic (H1) este admis );

Alµi parametri(H0) : µ1 = µ2 Tipul testului

(H1) Regiunea critic

σ1, σ2 µ1 6= µ2 |X1 −X2| > z1−α2

√σ21

n1+

σ22

n2Testul Z bilateral

cunoscute µ1 < µ2 X1 −X2 < z1−α

√σ21

n1+

σ22

n2Testul Z unilateral stânga

µ1 > µ2 X1 −X2 > −z1−α√

σ21

n1+

σ22

n2Testul Z unilateral dreapta

σ1 6= σ2 µ1 6= µ2 |X1 −X2| > t1−α2;N

√d2∗(X1)n1

+ d2∗(X2)n2

Testul t bilateral

necunoscute µ1 < µ2 X1 −X2 < t1−α;N

√d2∗(X1)n1

+ d2∗(X2)n2

Testul t unilateral stânga

µ1 > µ2 X1 −X2 > −t1−α;N√

d2∗(X1)n1

+ d2∗(X2)n2

Testul t unilateral dreapta

Tabela 1: Teste pentru egalitatea a dou medii.

6 LABORAT OR (L12)

Prepararea de µuici performante

Urm toarea comad

\includepdf[pages=1-last,nup=5x5,landscape=false,frame=true,

noautoscale=true,scale=0.18,delta=1mm 1mm]LaTeXlast.pdf

produce urm toarele dou pagini din acest material.Pentru ca aceast comand s poat utilizat , este nevoie de pachetul pdfpages în

preambul. A³adar, ad ug m în preambul \usepackagepdfpages.

Glosar

Eule, 2

indexare, 5

lucrare de licenµ , 11

pachetul sidecap, 1pachetul wrapg, 1prezentare beamer/slides, 8

scrisoare, 6

25

13 Laborator 13

Test

Alegeµi un num r cuprins între 1 ³i 10, apoi reproduceµi textul din testul cu num rul res-pectiv.

Succes!

Glosar

LATEX3, 1LATEX2ε, 1LATEX, 1http://www.ctan.org/, 4

A. N. Kolmogorov, 19A. Y. Khinchin, 19aranjare în pagin , 14

bibliograe, 11

caractere speciale, 3comenzi în LATEX, 6comenzi de scriere, 6

displaystyle, 7documentclass, 3

etichete, 18Eule, 26

fonturi, 17formule matematice, 7funµia χA, 8

includerea de imagini, 24indexare, 29

legea slab a numerelor mari, 19legea tare a numerelor mari, 19lucrare de licenµ , 35

matrice, 10medii de lucru, 7mediu deniµie, 16mediul demonstraµie, 16mediul ecuaµie, 7mediul theorem, 15mediul eqnnaray, 8

orientarea în pagin , 13

pachetul sidecap, 25pachetul wrapg, 25pagina de titlu, 6

prezentare beamer/slides, 32

scrisoare, 30stilul paginii, 6

tabele, 20teorema limit central , 19trim, 24

usepackage, 3

53

http://www.ctan.org/

Documents

Introducere în LATEX