Intercambio (a) Ferromagnetismo 4a Intercambio ferro ferri... · Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j. Spin-statistics

Intercambio (a)Ferromagnetismo

Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio

Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.

Spin-statistics theorem El estado de un sistema de partículas idénticas de espín entero no cambia cuando dos

partículas son intercambiadas: tienen estados Fierz

Pauli

psimétricos. Las partículas con estados

simétricos se llaman bosones.

El estado de un sistema de partículas idénticas Schwinger

Feynman

El estado de un sistema de partículas idénticas de espín semientero cambia de signo cuando dos partículas son intercambiadas: tienen estados antisimétricos. Las partículas con

Wolfgang Pauli1900-1958

pestados antisimétricos se llaman fermiones.



espacial spin

Estado de dos fermiones

ϕij(r1,r2) χij(s1,s2)

Ψ (1 2) (r r ) (s s )

Electrones:

Ψij(1,2) = ϕij(r1,r2) χij(s1,s2)

antisimétrica



Ψij(1 2) = ϕij(r1 r2) χij(s1 s2)

electrones → Ψij(1,2) antisimétrica

Ψij(1,2) ϕij(r1,r2) χij(s1,s2)

ϕ (r r ) ϕ (r r ) ϕij(r1,r2) simétrica χij(s1,s2)

antisimétrica

ϕij(r1,r2) antisimétrica

χij(s1,s2) simétrica antisimétrica simétrica

Sup

ϕi(r1) χi(s1) ϕj(r2) χj(s2)

Átomos hidrogenoides



1Factor de espín

{ }↓↑−↑↓=2

1sijχ

⎫⎧ ↑↑

0;0 == zSS Singlete(antisimétrico)

[ ]⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎨

⎧

↓↑+↑↓

↑↑

=1tχ 0;1

1;1====

z

z

SSSS

Triplete( i ét i )[ ]

⎪⎪

⎭

⎬

⎪⎪

⎩

⎨

↓↓

↓↑+↑↓=2ijχ

1;1;

−== z

z

SS(simétrico)

⎭⎩Factor espacial

1 ( ) ( ) ( ) ( ){ }122121 rrrr jiji

sij

ssss ϕϕϕϕϕ +=

{ }1

(simétrico)

( ) ( ) ( ) ( ){ }122121 rrrr jiji

tij

ssss ϕϕϕϕϕ −= (antisimétrico)



( ) ( ) ( ) ( ){ }122121 rrrr jiji

tij

ssss ϕϕϕϕϕ −= ( ) ( ) ( ) ( ){ }122121 rrrr jiji

sij

ssss ϕϕϕϕϕ +=

ϕijsϕij

t

2 2

i jji

|ϕijs|2|ϕij

t|2

i jji



Evaluación de la

⎞⎛

Evaluación de la energía potencial

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−−=

122121

111111rrrrrr

Ujjiiij

α⎠⎝

Valor esperado de UValor esperado de U

( ) ( )∫ dVdVUUUE * rrrr( ) ( )∫===

espacioeltodo

ijijijijSS dVdVrrUrrUUE 212121 ,, ϕϕϕϕ



en el estado singlete: ( )( )11 ii rllamamos ϕϕ =r

( ) ( )∫== sij

sijs dVdVrrUrrUE 212121

* ,, rrrr ϕϕ ( ) ( )∫espacio

eltodoijijss 212121 ,, ϕϕ

( ) ( ) 211221*1

*2

*2

*12

1 dVdVUE jijijijis ϕϕϕϕϕϕϕϕ ++= ∫

( )∫∫ += 2112*

2*12121

*2

*1 dVdVUdVdVUE jijijijis ϕϕϕϕϕϕϕϕ( )∫∫ + 211221212121 dVdVUdVdVUE jijijijis ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ijK ijJ

ijijS JKE +=



en el estado triplete:

( ) ( )∫== tij

tijt dVdVrrUrrUE 212121* ,, rrrr ϕϕ ( ) ( )∫

espacioeltodo

ijijtt 212121 ,, ϕϕ

( ) ( ) 211221*1

*2

*2

*12

1 dVdVUE jijijijit ϕϕϕϕϕϕϕϕ −−= ∫

( )∫∫ −= 2112*

2*12121

*2

*1 dVdVUdVdVUE jijijijit ϕϕϕϕϕϕϕϕ( )∫∫ 211221212121 dVdVUdVdVUE jijijijit ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ijK ijJ

ijijt JKE −=



diferencia de energía entre ambos estados:

EJ > 0

ijts JsEsEEE 2)1()0( ==−==− S=0

S 12J

S=1

Sistema de dos estados


Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j. Construcción del operador Hamiltoniano de espín

il t ód lír jelectróndelespínsrielectróndelespínsi , jelectróndelespíns j ,

sumaespínssS rrr+=

EJ > 0

sumaespínssS ji ,+=

( ) 2222 2 ssssssS ++=+=rrrr

S=0

S 12J

( ) 2 jjiiji ssssssS +⋅+=+=

( )[ ]222

21

jijiji ssssss −−+=⋅rrrr S=1

22

2sSss ji −=⋅

rr


2ji


Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j. Operador Hamiltoniano de espíin

)1()1( +SSrr )1(2

)(+−=⋅ ssss ji

01S0S

3sss rr 1

+t

ss rr

ES=0

J > 01=S0=S

4−=⋅ ji ss

4+=⋅ ji ss

S=12J

Sistema de dos estadosdiferencia de entre ambos estados:ji ss rr⋅diferencia de entre ambos estados:ji ss

1−=⋅−⋅ts

ssss rrrr

0=S

1−=⋅−⋅ jiji ssss

1=S


Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j. Operador Hamiltoniano de espín

definiendo:

jispin ssCte rr⋅=H

definiendo

ES=0

J > 0

J2HHS=1

2Jy requiriendo:

ijtspinsspin J2=− HH


que reproduce

jiJCte −=

Obtenemos el

Valor típico de J en materiales con elementos 3d (Cr, Mn, Fe, Co

Ni)

que reproduceHamiltoniano

de Heisemberg

)

JoulesJij2110−≈jiijspin ssJ rr

⋅−= 2H



Alcance espacial de la interacción de intercambio

Función de onda electrónica Función de onda electrónica

0,, )( rnlaln

lln eLrrR −= Polinomio de Laguerre (át. H)

rerJ α−≈)( Interacción de corto alcanceerJ ≈)( Interacción de corto alcance


Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j. Operador Hamiltoniano de espín

Hamiltoniano de Heisembergg

jiijH ssJ rr⋅−= 2H

Werner Heisenberg (1901 - 1976)Paul Dirac (1902 - 1984)

Hamiltoniano de Ising H z

jzizijI ssJ2−=H

Wilhelm Lenz(1888 - 1957)

Ernst Ising (1900 - 1998)

Empleo muy difundido en física y otras áreas del conocimiento

Ferromagnetismo

Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.

rH, z

Consideramos dos contribuciones a la energía

intercambio Zeeman

∑∑ ⋅−⋅−=i

iBij

jiij HsgssJErrrr μμ0

i

j

Jij > 0 ⇒ ferromagnetismoJij > 0 ⇒ ferromagnetismoNi fcc


(1) Aproximamos los espines vecinos sj a cada spin de la red si por su valor esperado <sj> y definimos el campo “molecular” de Weiss Hw

irr

∑ iefiBiB

jjiiji HsgHsgssJE rrrr

⋅−=⋅−><⋅−= ∑ μμμμ 002

2 HHHsJg

H iw

jjij

B

ief

rrrrr+=+><= ∑μμ0

2

campo “molecular” de Weiss Hw

Pierre Weiss (1865-1940)mA /104.6 8×≈

Tesla800≈z

B

ziw u

gspJ

H rr

μμ0

2=

Bgμμ0


iefi

iefiBi HmHsgE

rrrr⋅−=⋅−= 00 μμμ

idéntica a la expresión tratada para el paramagnetismo de

t l li dmomentos localizados

( )HmHmBm z00 μμ −=⋅−=⋅−=rrrr

Hssss ==≈

r

(2) segunda aproximación:

)(xBsm zz sHg

x efBμμ0=

zjzizi ssss ==≈

)(xBsm s==

kTx =

⎞⎛⎞⎛ 11212⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=sx

sx

ss

ssxBs 2

coth21

212coth

212)(

s momento angular total


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=sx

sx

ss

ssxBs 2

coth21

212coth

212)(

Teniendo en cuenta que

HsJg

Hj

zijB

ef

rrr+><= ∑μμ0

2

kTsHg

x efBμμ0=

Obtenemos:

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ijzBs

efBsz JsHg

kTssB

kTsHg

sBs 200 μμμμ

⎟⎠

⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

∑j

ijzBssz gkTkT 0 μμ

Ecuación trascendente.Solución formal

Ecuac ón trascendente.La incógnita <Sz> no puede resolverse analíticamente.


Solución formal

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

jijzBs

efBsz JsHg

kTssB

kTsHg

sBs 200 μμμμ

Solución formal

⎠⎝ ⎦⎣⎠⎝ jkk

(3) tercera aproximación:

Sólo para los p primeros vecinos j0≠= JJij

⎞⎛ [ ]⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += zBsz spJHg

kTssBs 20 μμ


[ ]⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += zBsz spJHg

kTssBs 20 μμ

⎠⎝

Simplificando la notación

( )αζζ += xB sz=ζsHgx Bμμ0= pJs22

=α( )αζζ +xBss

=ζkT

x =kT

=α

Ecuación trascendente


Caso H = 0 ⇒ x = 0

Solución gráfica 0 8

1,0α = αCr

Cr

para4

3 kTpJs22

=α

( )αζζ sB=

Solución gráfica

ζ=y( )αζBy ={ 0,6

0,8

BS(αζ) T

> TC

1

32

kT

( )αζsBy ={0,2

0,4

y = ζ,

B T < TCr

(α > αCr)Condición crítica

0 1 2 3 4 50,0

,

u =αζ

Pendiente Brillouin

Pendiente rectaα/1

31=

+s

su = αζ

ferro3s

H 0 0


Caso H = 0 ⇒ x = 01,0

α = αCr

r

para4

3 kTpJs22

=α

0,6

0,8

S(αζ) T

> TCr

1

32

kT

de la condición crítica

pJs22 0,2

0,4

y = ζ,

B T < TCr

(α > αCr)

de la condición crítica

CCr kT

pJs2=α

0 1 2 3 4 50,0

0,2

u =αζ

kspJsTC 3

)1(2 +=

Solución Solución

u = αζferro

Solución ferromagnética: BS ≠ 0 ⇒ <sz> ≠ 0

(para T<TC)

Solución paramagnética:

BS = 0 ⇒ <sz> = 0 C d á i (para C)

Corresponde a un mínimo de energía (T<TC)

Corresponde a un máximo de energía para T<TC y a

un mínimo para T>TC


spJsT )1(2 +k

pTC 3)(

=

sssz=ζ

1

CTTt =

00 1


kspJsTC 3

)1(2 +=

MaterialCurie

temperature(K)

Temperaturas de Curie

(K)

Fe 1043

Co 1388

Ni 627

Gd 293

Dy 85

CrBr3 37

Au2MnAl 200

Cu2MnAl 630

Cu2MnIn 500

EuO 77

EuS 16 5EuS 16.5

MnAs 318

MnBi 670

GdCl3 2 2GdCl3 2.2

Fe2B 1015

MnB 578


Ejemplo: estimación del spin s y la integral de intercambio J para el Fe bcc (α)

kspJsTC 3

)1(2 +=

)1(23

+=

spskTJ C

(1) sFe?

ss

(1a) MS vs T

s

sFe = ½ ó sFe = 1

T/Tc

Ejemplo: estimación del spin s y la integral de


Ejemplo: estimación del spin s y la integral de intercambio J para el Fe bcc (α)

bcc FesFe?

(1b) valor de MS a 0 K

bcc-Fe

TeslaM S 198.2=

at VMmmM

a = 2.865 Å

atSatat

atS VMm

VVM =⇒==

==2cel

SatVMm BS Amxmx

mAaM μ

π23.210065.210

2)865.2(

104198.2

2223330

3

7

3

==×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×=× −−

−

BFeBFeat sgsm μμ 2==

sFe ≈ 1.115

Ejemplo: estimación de la integral


Ejemplo: estimación de la integral de intercambio para el Fe bcc (α)

p = 83kTJ C1043K

bcc-Fe

)1(23

+=

spskTJ C

( )1.115

( ) Joulexxxx

KxKJoulexxJ Fe21

23

1021.1115.2115.182

1043/1038.13 −−

− =≈α

ss

sJoulexJ Fe211021.1 −

− ≈α

Fe ⇒ TC = 1043 KFe ⇒ TC 1043 K

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