INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRSINSKIˇ · dr lidija stefanovi´c integrali: krivolinijski, dvojni, trojni, povrsinskiˇ za studente tehnickih fakulteta;ˇ i deo skc

dr Lidija Stefanovic

INTEGRALI:KRIVOLINIJSKI, DVOJNI,

TROJNI, POVRSINSKIZA STUDENTE TEHNICKIH FAKULTETA;

I DEO

SKC Nis, 2008.

dr Lidija StefanovicINTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI,TROJNI, POVRSINSKIZA STUDENTE TEHNICKIH FAKULTETA; I DEOI izdanje, Nis, 2008.

Recenzenti:dr Ljubisa Kocic, red. prof. Elektronskog fakulteta u Nisu,dr Dragana Cvetkovic–Ilic, vanr. prof. PMFa u Nisu

Izdavac:Studentski kulturni centar Nis

Za izdavaca:Miroslav Jovic, direktor

Urednik:Aleksandar Blagojevic

Tehnicka obrada:dr Lidija Stefanovic,mr Branislav Randelovic,dipl. ing. Biljana Dordevic

Stampa:”Petrograf” Nis

Tiraz:100 primeraka

ISBN 978–86–7757–146–7

Bilo kakvo umnozavanje ove knjige nije dozvoljeno bez pisanogodobrenja autora.

PREDGOVOR

Ova knjiga je proistekla iz visegodisnjeg rada autora u nastavi na Elek-tronskom fakultetu u Nisu. Zato je, pre svega, prilagodena i namenjena stu-dentima tehnickih nauka. Naravno, mogu da je koriste i studenti drugacijeprofesionalne orijentacije, koji u okviru predvidenog nastavnog programaimaju ovde iznetu materiju.

Knjiga se odnosi na oblast matematike Integracija realnih funkcija, uk-ljucujuci i integraciju vektorskih funkcija sa realnim komponentama. Neo-dredeni i odredeni integral nisu razmatrani jer su oni predmet izucavanjaranijih kurseva matematike. Prezentovani tipovi integrala su znacajni udrugim oblastima matematike, kakve su Integracija kompleksnih funkcija iTeorija polja, a ove oblasti su neophodne za strucno usavrsavanje studenatatehnickih nauka.

Knjiga sadrzi teoriju, resene primere kojima se teorija ilustruje i veliki brojuputstava za primenu teorije, koja nije obuhvacena primerima, a u praksi jepotreba za takvom primenom cesta.

Autor se trudio da nacin izlaganja bude istovremeno matematicki, me-todoloski i pedagoski ispravan, ali i prilagoden novim zahtevima u nacinuskolovanja studenata. Zato su dokazi nekih teorema izostavljeni, uz obaveznonavodenje literature u kojoj se mogu naci, a zauzvrat je teorija demonstri-rana kroz veci broj adekvatnih primera.

Tekst knjige je uraden pomocu programskog paketa MIKTEX (verzijaAmstex 2.0), a slike pomocu programskog paketa Corel Draw (verzija 11) iodgovarajucih propratnih programa, neophodnih za tehnicku obradu tekstau celini. U vezi sa slikama, autor ukazuje na konvencionalno prikazivanjeprostornih objekata, ciji je ”prirodni” izgled zrtvovan jasnom unosenju po-dataka, znacajnih za te objekte i za problem koji se resava. Takvi objekti su,npr., prostorne krive i povrsi. Korektan prikaz nekih od prostornih krivih ipovrsi je dat na slikama u Prilogu, a dobijen je pomocu programskog paketaMATHEMATICA (verzija 6.0).

Autor duguje i ovom prilikom iskazuje zahvalnost dr Vladimiru Pavlovicu,

iii

iv PREDGOVOR

asistentu Prirodno–matematickog fakulteta u Nisu, jer je procitao veci deorukopisa, ispravio postojece materijalne greske u njemu i ukazao autoru namnogobrojne nepreciznosti, previde i propuste, svojstvene tehnickoj, ne i ma-tematickoj literaturi. Takode, autor iskreno zahvaljuje asistentima Elektron-skog fakulteta u Nisu, mr Marjanu Matejicu i mr Branislavu Randelovicu.Prvom od njih na predanom iscitavanju i ispravljanju teksta, a drugom nanesebicnoj pomoci u grafickoj obradi istog. Posebna zahvalnost pripada re-cenzentima, prof. dr Ljubisi Kocicu i prof. dr Dragani Cvetkovic–Ilic. Nas-tanak Priloga iskljuciva je zasluga prof. dr Ljubise Kocica. Autor smatra dabi prvobitni rukopis, bez intervencije svih pomenutih ucesnika u mukotrpnomprocesu formiranja ove knjige, bio znatno manje korektan u matematickom,estetskom i svakom drugom pogledu.

Nis, 2008. g. Autor

SADRZAJ

1. UVODNI POJMOVI 1

1.1. Pojam krive, oblasti i povrsi 11.2. Orijentacija krive, oblasti i povrsi 9

1.2.1. Orijentacija i podela prostorne krive 91.2.2. Orijentacija i podela ravne oblasti 171.2.3. Orijentacija i podela prostorne povrsi 20

1.3. Riemannovi integrali 261.3.1. Vrste i nacin formiranja Riemannovih integrala 261.3.2. Odredeni integral 291.3.3. Opste osobine Riemannovih integrala 32

1.4. Koordinatni sistemi 341.4.1. Generalisane koordinate: polarne, cilindricne, sferne 351.4.2. Primena generalisanih koordinata 41

2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI 57

2.1. Krivolinijski integrali po luku (I vrste) 572.2. Krivolinijski integrali po koordinatama (II vrste) 592.3. Izracunavanje krivolinijskih integrala 64

2.3.1. Izracunavanje krivolinijskih integrala I vrste 642.3.2. Izracunavanje krivolinijskih integrala II vrste 70

2.4. Veza izmedu krivolinijskih integrala I i II vrste 782.5. Vektorski krivolinijski integrali 85

3. VISESTRUKI INTEGRALI 94

3.1. Dvojni integrali 943.2. Trojni integrali 973.3. Izracunavanje visestrukih integrala 98

v

vi SADRZAJ

3.3.1. Izracunavanje dvojnih integrala 983.3.2. Izracunavanje trojnih integrala 109

3.4. Smena promenljivih u visestrukim integralima 117

3.4.1. Smena promenljivih u dvojnim integralima 1173.4.2. Smena promenljivih u trojnim integralima 124

3.5. Green–Riemannova teorema 130

4. POVRSINSKI INTEGRALI 142

4.1. Povrsinski integrali po povrsi (I vrste) 1424.2. Povrsinski integrali po koordinatama (II vrste) 1434.3. Izracunavanje povrsinskih integrala 147

4.3.1. Izracunavanje povrsinskih integrala I vrste 1474.3.2. Izracunavanje povrsinskih integrala II vrste 155

4.4. Veza izmedu povrsinskih integrala I i II vrste 1614.5. Vektorski povrsinski integrali 1674.6. Teorema Ostrogradskog 1734.7. Stokesova teorema 1784.8. Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije 183

PRILOG 193

LITERATURA 197

1. UVODNI POJMOVI

1.1. Pojam krive, oblasti i povrsi

Radi lakseg pracenja materije koja sledi, dajemo definicije i opise osnovnihpojmova koji se koriste u kasnijem izlaganju. Pri tome smo, u skladu s potre-bama ovog kursa, izvrsili izvesne modifikacije i ucinili znacajna skracivanja.Za precizna i detaljna objasnjenja videti [6], str. 29–33, ukljucujuci i litera-turu citiranu u [6].

Prvo navodimo definicije nekih elementarnih topoloskih pojmova ([3],str. 86–95).

Neka je Rn (n = 1, 2, 3) skup svih uredenih n–torki realnih brojeva i deuklidska metrika na tom skupu.

Definicija 1.1.1. Skup K(M, r) =X ∈ Rn

∣∣ d(M,X) < r, gde je

r ∈ R i r > 0, zove se okolina tacke M ∈ Rn.

Definicija 1.1.2. Tacka M ∈ D je unutrasnja tacka skupa D ⊂ Rn akopostoji okolina K(M, r) takva da je K(M, r) ⊂ D.

Definicija 1.1.3. Skup D ⊂ Rn je otvoren skup ako su sve tacke iz Dunutrasnje.

Definicija 1.1.4. Tacka M ∈ Rn je rubna tacka skupa D ⊂ Rn ako usvakoj okolini K(M, r) postoji bar jedna tacka iz D i bar jedna tacka iz Dc,gde je Dc komplement skupa D u odnosu na Rn.

Definicija 1.1.5. Rub ili meda skupa D ⊂ Rn je skup svih rubnih tacakaza D.

Definicija 1.1.6. Skup D ⊂ Rn je ogranicen skup ako postoji okolinaK(M, r) takva da je D ⊂ K(M, r), gde je M ∈ Rn i r konacan broj. Usuprotnom je D neogranicen skup.

1

2 INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRSINSKI; I DEO

Prelazimo sada na definiciju krive i ostale pojmove vezane za krivu.

Definicija 1.1.7. Prostorna kriva L je geometrijsko mesto tacaka(x, y, z) ∈ R3 dobijenih preslikavanjem

(1.1.1) x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ; t ∈ [α, β] ⊂ R ,

gde su x(t), y(t), z(t) neprekidne funkcije na [α, β].

Jednacine (1.1.1) su parametarske jednacine ili parametrizacija krive L.Za postupak kojim se do njih dolazi se koristi isti termin, parametrizacijakrive. Segment [α, β] je oblast definisanosti krive L. Cinjenica da je kriva Ldata svojim parametarskim jednacinama (1.1.1) cesto se zapisuje na nacin

L : x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ; t ∈ [α, β] .

Definicija 1.1.8. Prostorna kriva L je prosta ili Jordanova kriva akose jednacinama (1.1.1) ostvaruje bijekcija (obostrano jednoznacno preslika-vanje) izmedu brojeva t ∈ [α, β] i tacaka X

(x(t), y(t), z(t)

) ∈ L.

Bijekciju (1.1.1) cemo krace oznacavati sa [α, β] ↔ L.Prosta kriva ocigledno nema visestrukih tacaka, tj. samu sebe ne dodiruje

i ne preseca.Prostu krivu L zvacemo i otvorenom krivom ili lukom, a tacke

A(x(α), y(α), z(α)

) ∈ L , B(x(β), y(β), z(β)

) ∈ L

granicnim tackama krive L. Jos, reci cemo da je L ogranicena sa A i B.

Definicija 1.1.9. Prostorna kriva L, koja se od Jordanove razlikuje samou tome sto je

x(α) = x(β) , y(α) = y(β) , z(α) = z(β) ,

zove se zatvorena prosta kriva ili krace zatvorena kriva.

Kod zatvorene krive je preslikavanje (1.1.1) bijekcija samo na intervalu(α, β), ne i na segmentu [α, β]. Razliciti brojevi t = α i t = β se preslikavajuu istu tacku

A(x(α), y(α), z(α)

)= B

(x(β), y(β), z(β)

) ∈ L

i nijedan drugi broj t ∈ (α, β) se ne preslikava u tu tacku. Uslovno receno,”granicne tacke krive se poklapaju i otvorena kriva postaje zatvorena”. S

1. UVODNI POJMOVI 3

tim u vezi, ukoliko bar jedan od uslova iz Definicije 1.1.9 nije ispunjen, npr.ako je x(α) 6= x(β), y(α) = y(β), z(α) = z(β), kriva je otvorena.

Neka su Li (i = 1, 2, . . . , n; n ≥ 3) proste (otvorene) krive, definisane narazlicitim segmentima u opstem slucaju. Jos, neka za svako i = 1, 2, . . . , n−1vazi: Li i Li+1 imaju samo jednu zajednicku tacku i to granicnu; Li i Lj (j >i + 1) nemaju zajednickih tacaka. Tada se krive Li nadovezuju i formirajunovu krivu

L = L1 ∪ L2 ∪ · · · ∪ Ln ,

koja je takode prosta (otvorena). Ukoliko L1 i Ln imaju jednu granicnutacku zajednicku, L je zatvorena prosta kriva.

U slucaju L = L1 ∪ L2 (n = 2) kriva L je otvorena ako L1 i L2 imaju zazajednicku samo jednu granicnu tacku, a zatvorena ako L1 i L2 imaju dvezajednicke tacke, obe granicne.

Definicija 1.1.10. Prosta ili zatvorena prosta kriva L je glatka krivaako su izvodi x′(t), y′(t), z′(t) neprekidne funkcije na [α, β] i ako je x′2(t) +y′2(t) + z′2(t) > 0 za svako t ∈ [α, β].

Definicija 1.1.11. Prosta ili zatvorena prosta kriva L je deo po deo glatkakriva ako je sastavljena od konacno mnogo glatkih delova Li (i = 1, 2, . . . , n)koji se nadovezuju.

Definicija 1.1.12. Zatvorena glatka ili deo po deo glatka kriva L zovese kontura.

NAPOMENA 1.1.1. Pretpostavimo da kriva L pripada nekoj od koordinatnih ravni,npr. xy–ravni. Tada je L ⊂ R2 skup tacaka (x, y) ∈ R2 dobijenih preslikavanjem

x = x(t) , y = y(t) ; t ∈ [α, β] .

Ako ovu krivu posmatramo u prostoru, sve njene tacke (x, y, z) ∈ L imaju istu trecu koor-dinatu z = 0, pa ona postaje specijalan slucaj prostorne krive L ⊂ R3, date jednacinama

L : x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) = 0 ; t ∈ [α, β] .

Analogno, neka segment [a, b] ⊂ R pripada nekoj od koordinatnih osa, npr. x–osi. Pos-matran u prostoru, on postaje specijalan slucaj prostorne krive L ⊂ R3, date jednacinama

L : x = x(t) = t , y = y(t) = 0 , z = z(t) = 0 ; t ∈ [a, b] . 4

Nadovezujuci se na Definicije 1.1.1–1.1.6, uvodimo pojam oblasti kaosledeci vazan pojam.

Definicija 1.1.13. Skup D ⊂ Rn je povezan skup ako za ma koje dverazlicite tacke iz D postoji prosta kriva koja prolazi kroz te tacke i cela sesadrzi u D.


Definicija 1.1.14. Otvoren i povezan skup D ⊂ Rn zove se oblast.

Definicija 1.1.15. Skup D ⊂ Rn, koji se sastoji od tacaka oblasti D itacaka njenog ruba, zove se zatvorena oblast.

Ako je D ⊂ R, D je interval na koordinatnoj osi. Ako je D ⊂ R2, D jeoblast u koordinatnoj ravni ili ”ravna” oblast. Ako je D ⊂ R3, D je oblastu prostoru ili prostorna oblast.

U ovom trenutku se zadrzavamo na ravnim oblastima.

Definicija 1.1.16. Granicna kriva oblasti D ⊂ R2 je svaka zatvorenaprosta kriva koja je deo ruba ili ceo rub te oblasti u R2.

Ukoliko je granicna kriva kontura, zvacemo je i granicnom konturomoblasti D ili samo konturom oblasti D.

Unija svih granicnih krivih cini granicu oblasti D. Prema Definiciji 1.1.15,zatvorena oblast D sadrzi svoju granicu. Ako je D ogranicena oblast u smisluDefinicije 1.1.6, reci cemo da je D ogranicena svojom granicom.

Bez dokaza navodimo sledecu teoremu ([2], str. 13).

Teorema 1.1.1. (JORDANOVA TEOREMA) Svaka zatvorena prosta krivaL ⊂ R2 deli koordinatnu ravan na dve oblasti, jednu ogranicenu i druguneogranicenu.

Ogranicena oblast iz Teoreme 1.1.1 zove se unutrasnjost krive L i oznacavase sa intL, a neogranicena oblast je spoljasnjost krive L, u oznaci extL. Pritome je L zajednicka granicna kriva obe oblasti.

Nadalje radimo samo sa ogranicenim oblastima i njihovim granicama sas-tavljenim od kontura.

Definicija 1.1.17. Oblast D ⊂ R2 je jednostruko ili prosto povezanaoblast ako za svaku zatvorenu prostu krivu L ⊂ D vazi intL ⊂ D. Sve ostaleoblasti su visestruko povezane oblasti.

Granica prosto povezane oblasti se sastoji od samo jedne konture, agranica visestruko povezane oblasti od vise kontura koje nemaju zajednickihtacaka. Brojem granicnih kontura je odredena visestrukost oblasti. Konkre-tno, granica dvostruko povezane oblasti ima dve konture, trostruko povezaneoblasti tri konture, itd.

Neka je D n–tostruko povezana oblast i neka je njena granica sastavljenaod kontura L i Li (i = 1, 2, . . . , n − 1), takvih da je Li ⊂ intL za svakoi = 1, 2, . . . , n− 1. Tada je L spoljna kontura oblasti D, a Li su unutrasnjekonture oblasti.

Na sledecoj slici su prikazane prosto, dvostruko i trostruko povezanaoblast redom.

1. UVODNI POJMOVI 5

L

LL L

L L

11 2

Slika 1.1.1.

U skladu sa ranijim dogovorom, za prosto povezanu oblast sa Slike 1.1.1kazemo da je ogranicena konturom L, za dvostruko povezanu da je ograni-cena konturama L i L1, itd.

Definicija 1.1.18. Prosto povezana oblast D ⊂ R2 je elementarna oblastako prava kroz proizvoljnu tacku iz D, koja je paralelna ma kojoj od koor-dinatnih osa, sece granicu (konturu) te oblasti samo u dve tacke.

X M

Slika 1.1.2.

Prva oblast na Slici 1.1.2 je elementarna jer prave kroz svaku tackuX ∈ D, paralelne koordinatnim osama, seku konturu oblasti u po dve tacke.Druga oblast nije elementarna jer postoji tacka M ∈ D kroz koju pravaparalelna y–osi sece konturu u cetiri tacke.

Prelazimo na pojam povrsi.

Definicija 1.1.19. Prostorna povrs S je geometrijsko mesto tacaka(x, y, z) ∈ R3 dobijenih preslikavanjem

(1.1.2) x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) ; (u, v) ∈ Duv ⊂ R2 ,

gde su x(u, v), y(u, v), z(u, v) neprekidne funkcije na Duv, a Duv jeogranicena, zatvorena i prosto povezana oblast.

U Definiciji 1.1.19 su za oblast Duv uvedeni uslovi koji nisu neophodni,ali odreduju za nas interesantne povrsi. Na primer, Duv moze da budevisestruko povezana oblast.


Jednacine (1.1.2) su parametarske jednacine povrsi S, a postupak kojimse do njih dolazi je parametrizacija povrsi. Oblast Duv je oblast definisanostipovrsi S. Da je povrs S zadata svojim parametarskim jednacinama (1.1.2)cesto se zapisuje sa

S : x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) ; (u, v) ∈ Duv .

Definicija 1.1.20. Prostorna povrs S je prosta povrs ako se jednacinama(1.1.2) ostvaruje bijekcija izmedu tacaka oblasti (u, v) ∈ Duv i tacaka povrsiX

(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

) ∈ S.

Bijekciju (1.1.2) krace oznacavamo sa Duv ↔ S.Prostu povrs zovemo i otvorenom povrsi, a krivu L ⊂ S, koja se dobija bi-

jekcijom (1.1.2) iz granicne krive oblasti Duv, granicnom krivom ili granicompovrsi S. Primecujemo da je granica L povrsi S zatvorena kriva. Ukoliko jeL kontura, kazemo da je L granicna kontura ili samo kontura povrsi S. Uoba slucaja je povrs S ogranicena sa L.

Pojam zatvorene proste povrsi ili krace zatvorene povrsi nije jednos-tavno definisati, ali ga je jednostavno intuitivno prihvatiti. Kako preciznamatematicka definicija nije neophodno potrebna za razumevanje ovog kursa,oslonicemo se na intuiciju i iskustvo citalaca. Na primer, sfera (lopta) jezatvorena povrs, dok je polusfera otvorena povrs.

Izmedu zatvorene krive i zatvorene povrsi postoji analogija u sledecemsmislu. Kod zatvorene povrsi preslikavanje (1.1.2) nije bijekcija samo nagranici oblasti Duv jer se po dve ili vise razlicitih tacaka sa granice oblastipreslikavaju u istu tacku povrsi S. Time se zatvorena granicna kriva oblastiDuv preslikava u otvorenu krivu sa povrsi S, a ne u zatvorenu granicnukrivu povrsi. Svakodnevnim recima kazano, ”granicna kriva povrsi se sklapai otvorena povrs se zatvara”.

Navodimo jos jednu ”slicnost” izmedu prostorne krive i povrsi. Neka suSi (i = 1, 2, . . . , n) otvorene povrsi, definisane na razlicitim oblastima Duv

u opstem slucaju i neka kao zajednicke tacke imaju samo tacke sa svojihgranica. U izvesnim situacijama, za nas i jedino interesantnim, povrsi Si

formiraju novu otvorenu ili zatvorenu povrs

S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn .

Najjednostavniji slucaj je S = S1 ∪ S2. Povrs S je otvorena ako segranicne krive povrsi S1 i S2 poklapaju delimicno. Povrs S je zatvorenaako se granicne krive poklapaju u celini, tj. ako povrsi S1 i S2 imaju za-jednicku granicnu krivu.

1. UVODNI POJMOVI 7

Definicija 1.1.21. Prosta ili zatvorena prosta povrs S je glatka povrsako su parcijalni izvodi prvog reda

xu =∂x

∂u, xv =

∂x

∂v; yu =

∂y

∂u, yv =

∂y

∂v; zu =

∂z

∂u, zv =

∂z

∂v

neprekidne funkcije na Duv i za minore

A =∣∣∣∣xu yu

xv yv

∣∣∣∣ , B =∣∣∣∣xu zu

xv zv

∣∣∣∣ , C =∣∣∣∣yu zu

yv zv

∣∣∣∣

matrice [xu yu zu

xv yv zv

]

vazi A2 + B2 + C2 > 0.

Definicija 1.1.22. Prosta ili zatvorena prosta povrs S je deo po deo glatkapovrs ako je sastavljena od konacno mnogo glatkih delova Si (i = 1, 2, . . . , n).

Primetimo da je granicna kriva proste i deo po deo glatke povrsi kontura.Ukoliko nije drugacije receno, nadalje radimo sa deo po deo glatkim kri-

vama i povrsima.

NAPOMENA 1.1.2. Neka je D ⊂ R2 zatvorena, ogranicena i prosto povezana oblastu nekoj od koordinatnih ravni, npr. D = Dxy u xy–ravni. Ako ovu oblast posmatramou prostoru, ona prestaje da bude oblast (sve tacke iz Dxy su rubne) i postaje specijalan

slucaj prostorne povrsi S ⊂ R3, date jednacinama

S : x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) = 0 ; (u, v) ∈ Duv . 4

Vracamo se na prostorne oblasti. Zbog analogije sa ravnim oblastima,ukratko dajemo samo najvaznije cinjenice.

Granicna povrs oblasti D ⊂ R3 je svaka zatvorena povrs koja je deo rubaili ceo rub te oblasti u R3.

Unija svih granicnih povrsi cini granicu oblasti.Granica prosto povezane oblasti se sastoji od jedne zatvorene povrsi, a

n–tostruko povezane oblasti od n zatvorenih povrsi, koje nemaju zajednickihtacaka.

Za prosto povezanu oblast D i njenu granicu S kazemo: S ogranicava D,D je ogranicena sa S, D je unutrasnjost povrsi S i slicno. Za visestrukopovezanu oblast takode kazemo da je ogranicena svojom granicom, ali uznavodenje svih zatvorenih povrsi od kojih se granica sastoji.

Prostorna oblast je elementarna pod istim uslovima kao i ravna oblast.


NAPOMENA 1.1.3. Mnogi od termina su ovde uvedeni radi lakseg izrazavanja i spo-razumevanja, pa su internog karaktera. Ne treba ih poistovecivati sa opste prihvacenimterminima koji se odnose na skupove jer oni oznacavaju razlicite pojmove. Na primer,otvorena kriva iz Definicije 1.1.7 i otvorena povrs iz Definicije 1.1.20 su zatvoreni skupoviu R3 ([3], str. 93). Takode, neka su A i B granicne tacke krive L. Ako krivu L posma-tramo kao skup D =

X ∈ R3

X ∈ L, tada je svaka tacka X ∈ D granicna tacka(tacka nagomilavanja) skupa D ([3], str. 94). Medutim, samo su dve tacke iz D, X = A iX = B, granicne tacke krive L. 4

Na kraju, podsecamo citaoca na sledece pojmove ([5], str. 18–20).

Neka je (x, y, z) ∈ R3 proizvoljna tacka i D ⊂ R3 proizvoljan skup.

Tacke (x, y, 0), (0, y, z), (x, 0, z) su ortogonalne projekcije tacke (x, y, z)na koordinatne ravni xy, yz i zx redom.

Tacke (x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z) su ortogonalne projekcije tacke (x, y, z)na koordinatne ose x, y i z redom.

Skup(x, y, 0)

∣∣ (x, y, z) ∈ D

je ortogonalna projekcija skupa D na xy–koordinatnu ravan.

Skup(x, 0, 0)

∣∣ (x, y, z) ∈ D

je ortogonalna projekcija skupa D na x–koordinatnu osu.

Analogno se definisu i ortogonalne projekcije skupa D na ostale koordi-natne ravni i ose.

Preslikavanje koje tacki (x, y, z) ili skupu D dodeljuje neku ortogonalnuprojekciju je ortogonalno projektovanje.

Za ortogonalnu projekciju i ortogonalno projektovanje nadalje koristimokrace termine projekcija i projektovanje.

Projektovanje skupa u opstem slucaju nije bijekcija. Na primer, razlicitetacke (x, y, z1), (x, y, z2) ∈ D imaju istu projekciju (x, y, 0).

U skladu s prethodnim i prema Definiciji 1.1.7, projekcija Lxy krive L naxy–ravan je data jednacinama

Lxy : x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) = 0 ; t ∈ [α, β] ,

a projekcija Lx krive L na x–osu jednacinama

Lx : x = x(t) , y = y(t) = 0 , z = z(t) = 0 ; t ∈ [α, β] .

Takode, prema Definiciji 1.1.19, projekcija Sxy povrsi S na xy–ravan imajednacine

Sxy : x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) = 0 ; (u, v) ∈ Duv .

1. UVODNI POJMOVI 9

Radi matematicke korektnosti kasnijeg izlaganja, na ovom mestu usva-jamo i sledeci dogovor.

Neka je f = f(x, y, z) funkcija tri argumenta. Ako argumenti x, y, z nisunezavisno promenljive, nego funkcije date jednacinama (1.1.1), f je slozenafunkcija f

(x(t), y(t), z(t)

)definisana na segmentu [α, β]. S druge strane, za

tacku X(x, y, z) vazi X ∈ L. Zato funkciju f mozemo da posmatramo, nekao slozenu na [α, β], vec kao funkciju tacke f = f(X) na krivoj L. Ovo jerazlog zbog kojeg cemo da kazemo da je funkcija f = f(x, y, z) definisanana krivoj L ili da je kriva L oblast definisanosti funkcije f .

Analogno, ako su x, y, z funkcije date sa (1.1.2), slozena funkcijaf(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)je definisana na oblasti Duv. Kako je X(x, y, z) ∈

S, to je f = f(X) funkcija tacke sa povrsi S. Zato je funkcija f = f(x, y, z)definisana na povrsi S ili je povrs S oblast definisanosti funkcije f .

1.2. Orijentacija krive, oblasti i povrsi

1.2.1. Orijentacija i podela prostorne krive

Ako postoji parametar t i parametarske jednacine

(1.2.1) x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ; t ∈ [α, β] ,

kojima je definisana prosta ili zatvorena prosta kriva L, kriva L je dvosmernakriva. Smer krive je isto sto i specijalna relacija totalnog poretka, kojom seodreduje medusobni raspored tacaka na krivoj. Ova relacija totalnog poretkase uvodi prema jednom od sledeca dva kriterijuma.

1 Od dve tacke sa krive prva je ona tacka kojoj odgovara manja vrednostparametra t ∈ (α, β).

2 Od dve tacke sa krive prva je ona tacka kojoj odgovara veca vrednostparametra t ∈ (α, β).

Neka su tacke M,N ∈ L i neka je sa ≺ oznacena relacija totalnog poretka.Zapis M ≺ N citamo na neki od nacina: tacka M je ispred tacke N ; Mprethodi N ; M je prva, a N druga tacka; N je iza M i slicno.

Ako su t1 i t2 (t1 < t2) vrednosti parametra t ∈ (α, β) koje odgovarajutackama M i N redom, prema kriterijumu 1 je M ≺ N , a prema krite-rijumu 2 je N ≺ M . Ovi kriterijumi ocigledno odreduju dva medusobnosuprotna rasporeda tacaka na krivoj, tj. dva medusobno suprotna smera, paotuda potice ime dvosmerna kriva.


Dvosmerna kriva L je orijentisana kriva ako je na njoj izabran jedan oddva moguca smera, koje drugacije zovemo i orijentacijama krive. Ukolikoorijentacija nije precizirana, krivu smatramo neorijentisanom.

Pojmove raspored tacaka na krivoj, smer krive i orijentacija krive nadaljepoistovecujemo.

Kod otvorene krive, kriterijumi 1 i 2 se odnose i na vrednosti parametrat = α, t = β kojima odgovaraju granicne tacke krive. Granicnu tackuotvorene krive koja prethodi svim ostalim tackama zovemo pocetnom tackom,a granicnu tacku koja je iza svih ostalih krajnjom tackom krive.

NAPOMENA 1.2.1. Termini orijentisana kriva i dvosmerna (orijentisiva) kriva u lite-raturi cesto imaju isto znacenje, tj. predstavljaju krivu na kojoj postoje dve prethodnoopisane relacije totalnog poretka, bez obzira da li je neka od njih nametnuta krivoj ili ne.Termin neorijentisana kriva se srece i u znacenju neorijentisive krive. 4

Orijentacija krive moze da se zada posredno ili direktno.Posredno se zadaje pomocu kriterijuma 1 ili 2, kao ona orijentacija koja

je u skladu sa rastucom promenom (rastom) parametra u slucaju kriteri-juma 1 ili ona koja je u skladu sa opadajucom promenom (opadanjem)parametra u slucaju kriterijuma 2. Da bi se lakse pratila promena parame-tra, kod zatvorene krive je korisno uzeti tri, a ne dve vrednosti parame-tra. Ovakav nacin zadavanja orijentacije zovemo posrednim jer zahtevaprethodno poznavanje konkretnih jednacina (1.2.1) i parametra t koji fi-gurise u njima.

Na osnovu iskustva, u praksi se kriva prepoznaje kao dvosmerna i bezutvrdivanja egzistencije preslikavanja (1.2.1). Takode, cesto postoji viserazlicitih preslikavanja oblika (1.2.1) pomocu kojih moze da se uvede ori-jentacija na krivoj. Zato se egzistencija jednog ili vise preslikavanja oblika(1.2.1) podrazumeva, preslikavanje se ne navodi, a orijentacija se zadaje di-rektno: upisivanjem strelice na crtezu, koriscenjem granicnih tacaka kodotvorene krive ili na neki drugi opisan, ali dovoljno jasan nacin. Na primer,za otvorenu krivu L sa granicnim tackama A i B se kaze: da je A pocetnatacka krive; da je B krajnja tacka; da je L orijentisana od A ka B. Cesto se

koristi i oznaka L =y

AB sa istim znacenjem (Slika 1.2.1). U slucaju L =y

BAkriva L je suprotno orijentisana, od tacke B ka tacki A (Slika 1.2.2). Direk-tno zadatoj orijentaciji odgovara samo jedna promena, rastuca ili opadajuca,konkretno izabranog parametra.

A

B B

A

Slika 1.2.1. Slika 1.2.2.

1. UVODNI POJMOVI 11

NAPOMENA 1.2.2. Otvorena kriva L sa granicnim tackama A i B cesto se oznacava

sa L =_

AB ili L =_

BA. Ove oznake ukazuju samo na granicne tacke, a ne i na orijentacijukrive, pa se sustinski ne razlikuju. 4

Ukoliko jednu od orijentacija proglasimo pozitivnom, druga je negativnai obrnuto. Dajemo dve definicije kojima se upravo jedna od orijentacija biraza pozitivnu.

Sledeca definicija polazi od posredno zadate orijentacije, pa se njome pozi-tivna orijentacija takode odreduje posredno, pomocu parametra. Definicijaje univerzalna jer se odnosi na sve krive.

Definicija 1.2.1. Kriva je pozitivno orijentisana ako njena orijentacijaodgovara rastucoj promeni parametra.

Prema Definiciji 1.2.1, od dve orijentacije pozitivna je ona koja se dobijaprimenom kriterijuma 1 (parametar raste), a negativna ona koja se dobijaprimenom kriterijuma 2 (parametar opada). Pozitivno orijentisana kriva Lse oznacava sa L+ ili samo sa L, a negativno orijentisana sa L−.

Kod utvrdivanja direktno zadate orijentacije kao pozitivne ili negativneprema Definiciji 1.2.1, treba biti oprezan. Ista orijentacija za jedan parame-tar moze da bude pozitivna, a za neki drugi parametar negativna, o cemusvedoci sledeci primer.

Neka je kriva L deo kruznice x2 + y2 = 1 u I kvadrantu xy–ravni, sagranicnim tackama A na x–osi, B na y–osi i neka je orijentisana od tacke Aka tacki B. Ako za parametarske jednacine krive L izaberemo

L : x = t , y =√

1− t2 ; t ∈ [0, 1] ,

zadatoj orijentaciji odgovara opadajuca promena parametra x, pa je to ne-gativna orijentacija (Slika 1.2.3). Ako su parametarske jednacine

L : x =√

1− t2 , y = t ; t ∈ [0, 1] ,

zadata orijentacija je pozitivna jer joj odgovara rastuca promena parametray (Slika 1.2.4).

x

y

A

L LB +

x

y

A

B_



Specijalan slucaj prostornih krivih su zatvorene krive u nekoj od koordi-natnih ravni. Definicija 1.2.1 kao univerzalna moze da se primeni i na ovekrive. Medutim, mnogo je cesca definicija kojom se pozitivna (negativna)orijentacija uvodi direktno.

Definicija 1.2.2. Zatvorena kriva u xy–koordinatnoj ravni je pozitivnoorijentisana ako se njena orijentacija poklapa sa smerom suprotnim kretanjuskazaljke na satu, posmatrano s pozitivnog dela z–ose.

Analogno vazi i za zatvorene krive u yz i zx–koordinatnoj ravni, posma-trano s pozitivnog dela x i y–ose redom (Slika 1.2.5).

z

x

y

L

L+

+

L+

3

1

2

Slika 1.2.5.

Izdvojene koordinatne ravni sa Slike 1.2.5 su prikazane na Slici 1.2.6.

L

x

y z

L L

x

y z

+ ++

1 2 3

Slika 1.2.6.

NAPOMENA 1.2.3. Definicija 1.2.2 podrazumeva koordinatni sistem desne orijen-tacije. Promenom orijentacije koordinatnog sistema menja se i orijentacija krive. Na pri-mer, pozitivno orijentisana kriva u zx–ravni (”desni” sistem) je negativno orijentisana uxz–ravni (”levi” sistem) i obrnuto. O koordinatnim sistemima ce vise biti reci kasnije. 4

Ocigledno je da su Definicije 1.2.1 i 1.2.2 razlicite jer Definicija 1.2.2ne obuhvata krive u prostoru, niti otvorene krive. Medutim, one se raz-likuju cak i u specijalnom slucaju zatvorenih krivih u koordinatnoj ravni.Razlog lezi u cinjenici da Definicija 1.2.1 pozitivnu (negativnu) orijentacijune utvrduje jednoznacno jer je uslovljava izborom i promenom parametra,dok Definicija 1.2.2 odreduje pozitivnu (negativnu) orijentaciju nezavisno


od parametra. Kao ilustraciju navodimo primer jedinicne kruznice L u xy–ravni, date sa x2 + y2 = 1. Kako je sin2 t + cos2 t = 1 za svako t ∈ [0, 2π], toza parametarske jednacine ravnopravno mogu da se uzmu

L : x = cos ϕ , y = sin ϕ ; ϕ ∈ [0, 2π] ,

L : x = sin θ , y = cos θ ; θ ∈ [0, 2π] .

Izaberimo rastuce vrednosti parametra ϕ, npr. ϕ = 0, ϕ = π/4, ϕ = π/2.Na kruznici L se redom dobijaju tacke (1, 0), (

√2/2,

√2/2), (0, 1). Ovaj ras-

pored tacaka odreduje pozitivnu orijentaciju kruznice prema Definiciji 1.2.1,koja se poklapa sa pozitivnom orijentacijom iz Definicije 1.2.2 (Slika 1.2.7).U slucaju parametra θ, za rastuce vrednosti θ = 0, θ = π/4, θ = π/2 sedobijaju iste tacke (0, 1), (

√2/2,

√2/2), (1, 0), ali u redosledu koji odreduje

pozitivnu orijentaciju prema Definiciji 1.2.1 i negativnu orijentaciju premaDefiniciji 1.2.2 (Slika 1.2.8).

x

y

(1,0)

(0,1)

L+

LL

( 2/2,V2/2)qweqwe123adaÖ


( 2/2, 2/2)Ö Ö ( 2/2, 2/2)Ö Ö_ __ _

x

y

(1,0)

(0,1)


_


Zakljucujemo da su kriterijumi iz Definicija 1.2.1 i 1.2.2 ekvivalentni samoza neke parametre, kakav je parametar ϕ u prethodnom primeru. Ako nijedrugacije receno, prednost dajemo Definiciji 1.2.2 zbog njene jednoznacnostii pozitivnu orijentaciju zatvorene krive u koordinatnoj ravni odredujemo uskladu s njom.

NAPOMENA 1.2.4. U prakticnim primenama, neki parametri su pogodni za potrebnaizracunavanja, a neki nisu. Zato se orijentacija, po pravilu, zadaje direktno, zatim sebira parametar pogodan za izracunavanje, a tek onda se utvrduje promena parametra zazadatu orijentaciju. Ako parametar raste, zadata orijentacija je pozitivna, a ako opada,orijentacija je negativna (Definicija 1.2.1). Najcesce nije ni vazno da li je zadata ori-jentacija pozitivna ili negativna, nego je vazna samo promena parametra. 4

Navodimo jos nekoliko pojmova koji su od interesa za ovaj kurs, uz do-govor da nadalje imamo u vidu samo deo po deo glatke krive.

Neka je L otvorena ili zatvorena prostorna kriva, a Lxy, Lyz, Lzx njeneprojekcije na xy, yz i zx–koordinatnu ravan redom. Uocimo, npr., projekciju


Lxy i pretpostavimo da je odgovarajuce projektovanje bijekcija, kao i da su Li Lxy opisane pomocu istog parametra t ∈ [α, β] jednacinama oblika (1.2.1),tj. jednacinama

L : x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ; t ∈ [α, β] ,

Lxy : x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) = 0 ; t ∈ [α, β] .

Kaze se da kriva L i projekcija Lxy imaju saglasne orijentacije ako su obeistovremeno pozitivno ili obe negativno orijentisane prema Definiciji 1.2.1.Analogno vazi i za projekcije Lyz, Lzx.

Neka je L zatvorena, orijentisana prostorna kriva i L′ neka njena saglasnoorijentisana projekcija (Slika 1.2.9). Zbog razlike u Definicijama 1.2.1 i 1.2.2desava se da su L i L′, npr., pozitivno orijentisane prema Definiciji 1.2.1, alida je L′ negativno orijentisana prema Definiciji 1.2.2. Takva je projekcijaL′ = Lyz na Slici 1.2.9. U skladu s ranijim dogovorom, na slici su projekcijeorijentisane pozitivno ili negativno prema Definiciji 1.2.2.

Iako Definicija 1.2.2 ne moze da se primeni na krive u prostoru, cesto senamerno pravi previd i kaze se, npr., da je L pozitivno orijentisana posma-trano sa pozitivnog dela z–ose. Pri tome se misli da je saglasna orijentacijanjene projekcije Lxy pozitivna prema Definiciji 1.2.2.

+

L

x

y

z

L

L

L+

+

_

zx

yz

xy

Slika 1.2.9.

U proizvoljnoj tacki X(x, y, z) orijentisane krive L postavimo tangentuLt i secicu Lc, koja nije normalna na tangentu Lt. U tacki X mogu da sepostave dva vektora tangente (tangentni vektori), ciji su smerovi uzajamnosuprotni. Za krivu L, zadatu jednacinama (1.2.1), vektori tangente su ([2],str. 137)

~t1 =(x′(t), y′(t), z′(t)

), ~t2 = −(

x′(t), y′(t), z′(t))

= −~t1 .


Kriva L i tangenta Lt imaju saglasne orijentacije ako je na tangenti izabranvektor ~t1 i kriva je istovremeno pozitivno orijentisana prema Definiciji 1.2.1,ili ako je na tangenti izabran vektor ~t2 i kriva je negativno orijentisana. KrivaL i secica Lc imaju saglasne orijentacije ako je na secici izabran vektor kojigradi ostar ugao θ sa vektorom saglasno orijentisane tangente. Saglasneorijentacije krive, tangente i secice su prikazane na Slici 1.2.10.

Lt

Lc

L

X

q

Lt

Lc

L

Xq

Slika 1.2.10.

NAPOMENA 1.2.5. Uopste uzev, orijentacija razlicitih krivih se ne uporeduje.Izuzetak je slucaj kada su dve krive (ili vise krivih) opisane pomocu istog parametrajednacinama oblika (1.2.1). Tada se kaze da krive imaju saglasne orijentacije ako suobe istovremeno pozitivno ili obe negativno orijentisane prema Definiciji 1.2.1. Umestotermina saglasne cesto se koristi termin uzajamno odgovarajuce orijentacije. 4

Definicija 1.2.3. Neka je ≺ oznaka bilo koje orijentacije dvosmerne kriveL i neka su tacke Ti ∈ L (i = 0, 1, . . . , n) takve da je T1 ≺ · · · ≺ Tn−1. Akoje T0 ≺ T1, Tn−1 ≺ Tn i tacke T0, Tn se poklapaju sa granicnim tackama kodotvorene krive, ili je T0 = Tn kod zatvorene krive, tackama Ti je izvrsenapodela krive L.

Tacke Ti (i = 0, 1, . . . , n) su tacke podele ili podeone tacke krive, pri cemu

je T0 pocetna, a Tn krajnja tacka podele. Delovi_

Ti−1Ti izmedu uzastopnihpodeonih tacaka su podeoni delovi krive L.

Ako je kriva L orijentisana, podeone tacke Ti (i = 0, 1, . . . , n) moraju da

prate izabranu orijentaciju krive, a podeoni delovi_

Ti−1Ti da zadrze ori-jentaciju celine L. Ovo znaci da su delovi orijentisani od prethodne ka

sledecoj tacki podele, tj.y

Ti−1Ti. Takode, kod otvorene krive L, pocetnatacka podele T0 mora da se poklapa sa pocetnom tackom krive, a krajnjatacka podele Tn sa krajnjom tackom krive.

Podele prostorne krive L sa granicnim tackama A i B, za suprotne ori-

jentacije L =y

AB i L =y

BA, prikazane su na Slici 1.2.11.


A=T

T

TT =B

A=T

T

TT =B

0

0i

i

-

-

1

1

i

i

n

n

Slika 1.2.11.

Pretpostavimo da je orijentisana kriva L data jednacinama (1.2.1) i dagranicnim tackama A i B odgovaraju vrednosti parametra t = α i t = βredom. Ako je

Ti

(x(ti), y(ti), z(ti)

)(i = 0, 1, . . . , n) ,

podeli orijentisane krive L tackama Ti odgovara podela segmenta [α, β]tackama ti (i = 0, 1, . . . , n). Zavisno od orijentacije krive, tacke ti cine”rastucu” ili ”opadajucu” podelu segmenta [α, β]. Tako je

α = t0 < t1 < · · · < tn = β ; A = T0 , B = Tn

za L =y

AB i

β = t0 > t1 > · · · > tn = α ; A = Tn , B = T0

za L =y

BA. Pri tome jey

AB = L+ zbog rastuce iy

BA = L− zbog opadajucepromene parametra t. Vazi i obrnuto. Svakoj podeli segmenta [α, β] tackamati (i = 0, 1, . . . , n) odgovara podela krive L tackama T0 ≺ T1 ≺ · · · ≺ Tn i

orijentacija krive L =y

T0Tn, bilo da jey

T0Tn =y

AB iliy

T0Tn =y

BA.Veza izmedu podele segmenta [α, β] i podele krive L ilustrovana je na

Slici 1.2.12 za specijalan slucaj krive iz xy–ravni i izbor parametra t = x.Podeone tacke ti su oznacene sa xi (i = 0, 1, . . . , n), u skladu sa izboromparametra.

x

yL

+

A=T

T

T =B

a= =b. . . x

yL

A=T

T

T =B

a= =b. . .

_

00

0

0

11

1

1

nn

n

n

xx xx xx

Slika 1.2.12.


Prethodno izvedeni zakljucak vazi i za zatvorene krive.

Prema Napomeni 1.1.1, segment na nekoj od koordinatnih osa moze da setretira kao prostorna kriva L. Jasno je da su tada podela segmenta i podelakrive isti pojmovi. Na Slici 1.2.13 je prikazana podela segmenta L = [a, b] sax–ose. Uocavamo da se orijentacija oznacena sa L+ poklapa sa pozitivnimsmerom, a orijentacija L− sa negativnim smerom x–ose.

_

x

y

L L+

T TT TT

a=x xx xx x=b. . .

[ ]

x

y

T

a= =b. . .

[ ]

0 0

0 0

1 1

1 1

n

n n

n

Slika 1.2.13.

NAPOMENA 1.2.6. Ako je kriva L data jednacinama (1.2.1), na osnovu prethodnogzakljucujemo da iz bijekcije [α, β] ↔ L sledi i bijekcija izmedu odgovarajucih podela seg-menta [α, β] i krive L. Ovu cinjenicu cemo da iskoristimo kasnije. Podelu na krivoj cemoda uvodimo direktno, podrazumevajuci i ne naglasavajuci da je ona nastala iz prethodnouvedene podele segmenta. 4

1.2.2. Orijentacija i podela ravne oblasti

Neka je D zatvorena, prosto povezana oblast u nekoj od koordinatnihravni i L njena kontura. Oblast D je orijentisana oblast ako je kontura Lorijentisana.

Definicija 1.2.4. Oblast D je pozitivno orijentisana ako je kontura Lpozitivno orijentisana.

Pozitivnu orijentaciju konture utvrdujemo prema Definiciji 1.2.2. Akoje kontura L negativno orijentisana i oblast D je negativno orijentisana.Pozitivno orijentisana oblast se oznacava sa D+ ili samo sa D, a negativnoorijentisana sa D−.

Na Slikama 1.2.14 i 1.2.15 su redom prikazane pozitivno i negativno ori-jentisana oblast D u xy–ravni.

x

yL

+

D+

x

yL

D

_

_

Slika 1.2.14. Slika 1.2.15.


Ako je kontura L pozitivno orijentisana, oblast D ostaje s njene levestrane pri obilazenju u zadatom pozitivnom smeru. Obrnuto, ako D ostajesleva pri obilazenju po konturi L, smer obilazenja konture (orijentacija) morada bude pozitivan. Kako pozitivna orijentacija konture odreduje pozitivnuorijentaciju oblasti, cesto se kaze da je D pozitivno orijentisana ako ostajes leve strane pri obilazenju konture L (Slika 1.2.14). Negativno orijentisaneoblasti ostaju s desne strane pri obilazenju konture (Slika 1.2.15).

Za visestruko povezane oblasti Definicija 1.2.4 se modifikuje. Neka jeD zatvorena, n–tostruko povezana ravna oblast, sa spoljnom konturom L iunutrasnjim konturama Li (i = 1, 2, . . . , n− 1).

Definicija 1.2.5. Oblast D je pozitivno orijentisana ako je spoljna kon-tura L pozitivno orijentisana, a unutrasnje konture Li (i = 1, 2, . . . , n − 1)negativno orijentisane.

Slika 1.2.16 prikazuje pozitivno orijentisanu trostruko povezanu oblast D.

yL

+

D+

x

L2L1

__

Slika 1.2.16.

Primecujemo da u ovom slucaju pozitivno orijentisana oblast D ostaje sleve strane pri obilazenju ma koje konture L, Li (i = 1, 2, . . . , n− 1).

Prema Definiciji 1.2.4, prosto povezana ravna oblast D i njena kon-tura L su ”isto” orijentisane, obe istovremeno pozitivno ili obe nega-tivno. Analogno, prema Definiciji 1.2.5, n–tostruko povezana oblast D ispoljna kontura L su ”isto” oorijentisane, dok su D i unutrasnje konture Li

(i = 1, 2, . . . , n − 1) ”suprotno” orijentisane. U oba slucaja su oblast D injene konture (jedna ili vise) saglasno orijentisane.

Definicija 1.2.6. Neka su D i ∆i ⊂ D (i = 1, 2, . . . , n) zatvorene ravneoblasti. Kazemo da je izvrsena podela oblasti D ako oblasti ∆i zadovoljavajuuslove:

1 svaka tacka oblasti D pripada bar jednoj oblasti ∆i,2 oblasti ∆i i ∆j (i 6= j) mogu da imaju samo svoje rubne tacke kao

zajednicke.


Oblasti ∆i (i = 1, 2, . . . , n) su podeoni delovi oblasti D ili celije podele.Celije koje nemaju zajednickih tacaka sa konturom oblasti D su unutrasnje,a sve ostale su rubne celije. Uobicajeno je da se podela oblasti D na celije ∆i

vrsi koordinatnim linijama (prave paralelne koordinatnim osama). U ovomslucaju su unutrasnje celije pravougaone oblasti, a za sve celije se kaze da su”pravolinijske” (Slika 1.2.17).

x

y

DD i

Slika 1.2.17.

Ako je oblast D orijentisana, celije ∆i (i = 1, 2, . . . , n) moraju da zadrzeorijentaciju celine D. To znaci da su sve celije pozitivno orijentisane akoje D pozitivno orijentisana i sve negativno orijentisane ako je D negativnoorijentisana. Pri tome zajednicki delovi rubova susednih celija imaju po dve,medusobno suprotne orijentacije (Slika 1.2.18).

x

y

D+

Slika 1.2.18.

Od interesa za dalja izucavanja su pre svega pozitivno orijentisane ravneoblasti i podele uvedene na njima.

Orijentaciju prostornih oblasti ne definisemo. Definicija podele prostornihoblasti je u potpunosti analogna definiciji kod ravnih oblasti, uz napomenu dasu celije podele ∆i prostorne oblasti. Podela se vrsi koordinatnim povrsima(ravni paralelne koordinatnim ravnima), pa je unutrasnja celija oblast kvadra(Slika 1.2.19).

x y

z

D

Di

Slika 1.2.19.


1.2.3. Orijentacija i podela prostorne povrsi

Ako postoje parametri u, v i parametarske jednacine

(1.2.2) x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) ; (u, v) ∈ Duv ,

kojima je definisana prosta ili zatvorena prosta povrs S, povrs S je dvostranapovrs. U suprotnom je S jednostrana povrs. Primer jednostrane povrsi jeMobiusova traka ([2], str. 234).

Svaka od strana povrsi se poistovecuje sa jednom od dve medusobnosuprotne orijentacije. Dvostrana povrs S je orijentisana povrs ako je nanjoj izabrana strana, tj. ako je na njoj zadata orijentacija. Ukoliko ori-jentacija nije precizirana, povrs smatramo neorijentisanom. Napominjemoda se termini orijentisana i neorijentisana povrs u literaturi cesto srecu urazlicitom znacenju od prethodnog. Odnose se na dvostranu (orijentisivu) ijednostranu (neorijentisivu) povrs.

Orijentacija (strana) povrsi se uglavnom zadaje direktno: srafurom nacrtezu, postavljanjem odgovarajuceg normalnog vektora ili jasnim opisom.Na primer, kod otvorene povrsi se kaze da je strana povrsi vidljiva sa pozi-tivnog dela neke od koordinatnih osa.

Ukoliko jednu od orijentacija (strana) povrsi proglasimo pozitivnom,druga je negativna i obrnuto. Umesto pozitivna (negativna) strana povrsi,cesce se kaze pozitivno (negativno) orijentisana strana povrsi. Dakle, pojmo-vi pozitivna (negativna) orijentacija, pozitivna (negativna) strana i pozitivno(negativno) orijentisana strana povrsi znace isto.

Pri utvrdivanju orijentacije povrsi kao pozitivne ili negativne interesujunas samo specijalni slucajevi jednacina (1.2.2), kada zatvorena oblast Duv

pripada nekoj od koordinatnih xy, yz, zx–ravni. Takode, imamo u vidusamo deo po deo glatke povrsi.

Neka Duv = Dxy pripada xy–koordinatnoj ravni i neka je otvorena povrsS data sa

(1.2.3) z = z(x, y) ; (x, y) ∈ Dxy .

Ovo je kraci zapis za specijalan slucaj jednacina (1.2.2),

x = x(u, v) = u , y = y(u, v) = v , z = z(u, v) ; (u, v) ∈ Duv ,

kada su za parametre izabrani u = x, v = y. Odmah primecujemo da jeDxy istovremeno oblast definisanosti i ortogonalna projekcija povrsi S naxy–ravan, pri cemu je Dxy ↔ S.


U svakoj tacki povrsi S mogu da se postave dva vektora normalna napovrs (vektori normale), tj. na tangentnu ravan povrsi ([2], str. 40). Ovivektori imaju suprotne smerove i odgovaraju razlicitim stranama povrsi. NaSlici 1.2.20 su normalni vektori oznaceni sa ~n1 i ~n2, pri cemu je ~n1 postavljenna osencenu stranu, a ~n2 na njoj suprotnu stranu povrsi S.

x

y

z

S_

S

S+

Dxy

n1

n1 n2

n2

Slika 1.2.20.

Neka je Dxy pozitivno orijentisana oblast.

Definicija 1.2.7. Strana povrsi S je pozitivno orijentisana ako njoj odgo-varajuci normalan vektor zaklapa ostar ugao sa pozitivnim delom z–ose.

U praksi se mnogo cesce srece sledeca opisna definicija.

Definicija 1.2.8. Strana povrsi S je pozitivno orijentisana ako se ”vidi”iz beskonacno daleke tacke sa pozitivnog dela z–ose.

Pozitivno orijentisana strana se oznacava sa S+ ili samo S, a negativnoorijentisana sa S−.

Definicijama 1.2.7 i 1.2.8 su ustanovljeni ekvivalentni kriterijumi za po-zitivnu orijentaciju povrsi. Na Slici 1.2.20 pozitivno orijentisana strana S+

je osencena. Ovoj strani odgovara vektor ~n1 koji zaklapa ostar ugao sapozitivnim delom z–ose. Ista strana se vidi iz beskonacno daleke tacke sapozitivnog dela z–ose. Radi jednostavnijeg izrazavanja, u nastavku podra-zumevamo poziciju posmatraca u beskonacno dalekoj tacki koordinatne osei naglasavamo samo odgovarajuci pozitivan ili negativan deo ose.

Definicije 1.2.7 i 1.2.8 su specijalan slucaj sledeceg opsteg pravila. Istoorijentisana (pozitivno, negativno) kao oblast Dxy je ona strana povrsi Skoja se vidi sa pozitivnog dela z–ose ili ciji normalan vektor zaklapa ostarugao sa pozitivnim delom z–ose (Slike 1.2.21 i 1.2.22). Slucaj oblasti D+

xy saSlike 1.2.21 je izdvojen u definicijama jer nas on jedino interesuje. Navedenoopste pravilo, u stvari, znaci da povrs S i projekcija Dxy imaju saglasneorijentacije.


Na ovom mestu primetimo i sledece. Neka je Lxy kontura oblasti Dxy, a Lkontura povrsi S. Kako je preslikavanje (1.2.3) bijekcija, to je Lxy bijektivnaprojekcija za L na xy–ravan. Konture Lxy i L su takode saglasno orijentisane(Slike 1.2.9, 1.2.21 i 1.2.22).

x

y

z

S_

S+

Dx

x x

y

y yL L+

+x

y

z

S_

S+

_

_

L L

xyD

Slika 1.2.21. Slika 1.2.22.

NAPOMENA 1.2.7. Posmatran iz beskonacno daleke tacke z–ose, svaki objekat sevidi kao njegova ortogonalna projekcija na xy–koordinatnu ravan. Imajuci u vidu bijek-ciju Dxy ↔ S i pretpostavku da je Dxy pozitivno orijentisana oblast, sto znaci da je Lxy

pozitivno orijentisana kontura (Slika 1.2.21), sa pozitivnog dela z–ose vidimo samo jednustranu povrsi S, ukljucujuci i sa Lxy saglasno orijentisanu konturu L. Ovu stranu vidimo

kao pozitivno orijentisanu projekciju D+xy , pa je prirodno da upravo to bude pozitivno ori-

jentisana strana S+. Suprotna strana povrsi je negativno orijentisana strana S−. StranuS− vidimo iz beskonacno daleke tacke sa negativnog dela z–ose i to kao projekciju D−xy

jer se sa ovog dela z–ose oblast D+xy vidi kao D−xy . 4

Neka oblast definisanosti Duv povrsi S pripada nekoj drugoj koordinatnojravni, ne xy–ravni. Ako oblast Duv i povrs S zadovoljavaju iste uslove kaou prethodnom slucaju Duv = Dxy, pozitivna orijentacija povrs S se definiseanalogno. Pretpostavimo da je Duv = Dyz iz yz–ravni i da je

(1.2.4) S : x = x(y, z) ; (y, z) ∈ Dyz .

Tada su sva zakljucivanja ista, samo se vrse u odnosu na pozitivan deo x–ose. Na primer, strana S+ je ona ciji normalan vektor zaklapa ostar ugaosa pozitivnim delom x–ose. U slucaju

(1.2.5) S : y = y(z, x) ; (z, x) ∈ Dzx ,

zakljucivanja se vrse u odnosu na pozitivan deo y–ose.

NAPOMENA 1.2.8. Prema Napomeni 1.1.2, svaka ogranicena, zatvorena i prostopovezana oblast D u nekoj od koordinatnih ravni, npr. u xy–ravni, moze da se tretira kaoprostorna povrs. Sada znamo da je to dvostrana povrs. Prema Definiciji 1.2.8, strana D+


je ona koja se vidi sa pozitivnog dela, a strana D− ona koja se vidi sa negativnog delaz–ose. 4

Na osnovu dosadasnjeg razmatranja vidimo da pozitivna orijentacijapovrsi zavisi od izbora preslikavanja (1.2.2), konkretno (1.2.3)–(1.2.5), tj.od izbora parametara u, v. Dakle, Definicijama 1.2.7 i 1.2.8 pozitivna ori-jentacija je uvedena posredno, slicno Definiciji 1.2.1 kod prostorne krive, paiznosimo analogno zapazanje. Ista, direktno zadata strana povrsi S mozeda bude razlicito orijentisana za razlicite bijekcije Dxy ↔ S, Dyz ↔ S,Dzx ↔ S. Na Slici 1.2.23 je zadata strana, na koju je postavljen normalanvektor, negativno orijentisana u odnosu na Dxy ↔ S i pozitivno orijenti-sana u odnosu na Dyz ↔ S. Zato se povrs orijentise pozitivno ili negativnoiskljucivo u odnosu na jedno, unapred izabrano preslikavanje oblika (1.2.2).

x

y

z

S

Dxy

Dyz

Slika 1.2.23.

Neka je dvostrana povrs S direktno orijentisana i neka je projektovanjeS → Dxy bijekcija, a projektovanje S → Dyz to nije. Tada povrs S mozejedinstveno da se opise pomocu parametara u = x, v = y, tj. preslikavanjemoblika (1.2.3) i da se izabrana strana jedinstveno pozitivno ili negativnoorijentise. To nije moguce u slucaju parametara u = y, v = z. Ako prakticniproblem zahteva bas upotrebu parametara y i z, povrs S se rastavlja nadelove Si (S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn), takve da preslikavanja oblika (1.2.4),

Si : x = xi(y, z) ; (y, z) ∈ Dyz ,

ostvaruju bijekcije Dyz ↔ Si (i = 1, 2, . . . , n). Za delove Si kazemo dasu bijektivni delovi povrsi S. Delovi Si zadrzavaju orijentaciju celine S,pa na njima treba posmatrati one strane koje se poklapaju sa izabranomstranom povrsi S. Tek onda se posmatrana strana svakog dela Si odreduje


kao pozitivno ili negativno orijentisana u odnosu na odgovarajucu bijekcijuDyz ↔ Si.

Kod dvostranih zatvorenih povrsi, intuitivno i nevezano za prethodno uve-denu pozitivnu (negativnu) orijentaciju, jedna od strana se zove unutrasnja,a druga je spoljna strana zatvorene povrsi. Unutrasnju stranu mozemo daopisemo kao onu koju posmatrac vidi ako se nalazi unutar prostorne oblastiogranicene zatvorenom povrsi, a spoljnu stranu kao onu koju posmatrac vidiako je van te oblasti. Kao sto znamo, ove dve strane su dve medusobnosuprotne orijentacije povrsi. Ako nije drugacije zahtevano, povrs se ori-jentise izborom spoljne strane i ta strana se smatra pozitivno orijentisanom.Ovakvo uvodenje pozitivne orijentacije je direktno jer je nezavisno od izboraparametara u, v i analogno je Definiciji 1.2.2 kod zatvorenih krivih u koordi-natnoj ravni. Primetimo da za zatvorenu povrs S ni jedno od projektovanjaS → Dxy, S → Dyz, S → Dzx nije bijekcija, ne samo na granicama oblastiDxy, Dyz, Dzx, vec i u njihovim unutrasnjim tackama. Zato, u slucajupotrebe, zatvorenu povrs treba rastavljati na bijektivne delove.

Neka je L orijentisana kontura povrsi S, X ∈ L proizvoljna tacka iK(X, r) ⊂ R3 dovoljno mala okolina tacke X (Definicija 1.1.1). U tackiX postavljamo tangentnu ravan St povrsi S i saglasno orijentisanu tangentuLt ⊂ St krive L. Okolina K(X, r) se ortogonalno projektuje na ravan St uoblast D ⊂ St, a kriva L u krivu L′ ⊂ St. Pri tome se tacke iz K(X, r) ∩ Sprojektuju samo s jedne strane krive L′ u skup D1 ⊂ D. Uocimo vektor~v ⊂ St sa pocetkom u tacki X i pravcem normalnim na Lt. Smer vektora ~vje takav da ~v i skup D1 imaju X za jedinu zajednicku tacku (Slika 1.2.24).

LS

X

D1

D

L’ v

Ltttt S

XD1

Dv

L’

Slika 1.2.24.

Ako je ~t vektor tangente Lt, od dva vektora normalna na S biramoonaj vektor ~n za koji ~t, ~n, ~v cine ortogonalni sistem desne orijentacije ([3],str. 254–255). Kontura L i strana povrsi S imaju saglasne orijentacije akoje to ona strana na koju je postavljen vektor ~n. Saglasno orijentisana stranaje osencena na Slici 1.2.25.


x y

z

S

x y

z

L

X

v

nt

S

LX

vn t

Slika 1.2.25.

Zamisljajuci sebe kao vektor ~v, u svakodnevnom govoru cesto koristimosledeci intuitivno jasan opis. Pri obilazenju konture L u zadatom smeru,saglasno orijentisana strana povrsi S je ona koja nam ostaje sleva.

Uocimo da saglasno orijentisana strana povrsi ne znaci pozitivno (nega-tivno) orijentisana strana povrsi. Na primer, povrs S sa Slike 1.2.25 se neprojektuje bijektivno ni na jednu od koordinatnih ravni, pa saglasno orijen-tisana strana ne moze u celini da se orijentise ni pozitivno ni negativno.

Definicija 1.2.9. Neka su S i Σi ⊂ S (i = 1, 2, . . . , n) otvorene prostornepovrsi. Kazemo da je izvrsena podela povrsi S ako povrsi Σi zadovoljavajuuslove:

1 svaka tacka povrsi S pripada bar jednoj povrsi Σi,2 povrsi Σi i Σj (i 6= j) mogu da imaju samo tacke sa svojih kontura

kao zajednicke.

Povrsi Σi (i = 1, 2, . . . , n) su podeoni delovi povrsi S ili celije podele. Zaove celije se kaze da su ”krivolinijske” (Slika 1.2.26). Definicija 1.2.9 vazi iako je S zatvorena povrs.

Ako je povrs S orijentisana, celije Σi (i = 1, 2, . . . , n) moraju da zadrzeorijentaciju celine S. To znaci da je na svakoj od celija Σi izabrana onastrana koja se poklapa sa izabranom stranom povrsi S. Pri tome su, jasno,sve celije pozitivno orijentisane ako je S pozitivno orijentisana i sve negativnoorijentisane ako je S negativno orijentisana.

x y

z

S

Si

Slika 1.2.26.


Podela povrsi S na celije Σi se vrsi posredno, podelom oblasti definisa-nosti Duv na celije ∆i i pridruzivanjem ∆i ↔ Σi (i = 1, 2, . . . , n) pomocubijekcije (1.2.2). Ako oblast Duv pripada nekoj od koordinatnih xy, yz,zx–ravni, uobicajeno je da podela povrsi S nastaje iz podele oblasti Duv

pomocu odgovarajucih koordinatnih povrsi. Na primer, neka je Duv = Dxy

u xy–ravni podeljena koordinatnim linijama na celije ∆i i neka je (1.2.3) bi-jekcija. Kroz linije paralelne y–osi se postavljaju ravni paralelne yz–ravni, akroz linije paralelne x–osi ravni paralelne zx–ravni. Ove ravni (koordinatnepovrsi) seku povrs S i na njoj formiraju podelu na celije Σi. Zbog bijek-cije (1.2.3), ovakva podela povrsi S je jedinstvena. Vazi i obrnuto, svakojpodeli povrsi S koordinatnim povrsima odgovara samo jedna podela oblastiDxy koordinatnim linijama. U nastavku govorimo o podeli povrsi S beznaglasavanja da je ona nastala iz prethodno uvedene podele oblasti Duv.

NAPOMENA 1.2.9. Pretpostavimo da je preslikavanje (1.2.3) bijekcija i da su konturecelija Σi ⊂ S orijentisane saglasno konturama celija ∆i ⊂ Dxy (i = 1, 2, . . . , n). Tadazajednicki lukovi susednih celija Σi imaju po dve medusobno suprotne orijentacije, kao ikod celija ∆i. Ovo zapazanje se u literaturi cesto koristi za definisanje dvostrane povrsi([2], str. 233–234). 4

1.3. Riemannovi integrali

1.3.1. Vrste i nacin formiranja Riemannovih integrala

Naziv integral odnosi se na razlicite pojmove: neodredeni integral, Rie-mannovi integrali, Lebesgueovi integrali, itd. Nas interesuju samo Rie-mannovi integrali. Neodredeni integrali su izucavani na ranijim kursevimamatematike ([4], str. 207–242), dok Lebesgueove i ostale integrale ne razma-tramo.

Neka je f(x), x ∈ [a, b], poznata funkcija, c ∈ R proizvoljna konstantai F (x) funkcija takva da je F ′(x) = f(x), tj. dF (x) = f(x) dx za svakox ∈ [a, b]. Tada je i

(F (x) + c

)′ = f(x). Neodredeni integral funkciji f(x)dodeljuje skup funkcija F (x) + c | c ∈ R i oznacava se sa

∫f(x) dx = F (x) + c .

Funkcija f(x) je podintegralna funkcija, izraz f(x) dx je podintegralni izraz,a F (x) + c je primitivna funkcija funkcije f(x) za svako c. Neodredeniintegral je ocigledno operator suprotan (inverzan) operatoru diferenciranja([4], str. 208).


Za razliku od neodredenog, Riemannovi integrali podintegralnoj funkcijidodeljuju samo jednu, konkretnu brojnu ili funkcionalnu vrednost. Sem pod-integralne funkcije, Riemannovi integrali zahtevaju i tzv. oblast integracije.Oblast integracije je deo ili cela oblast definisanosti podintegralne funkcije,sa adekvatnim osobinama, za koju se vezuje izracunavanje Riemannovih in-tegrala. Slucaj kada oblast integracije sadrzi tacke u kojima podintegralnafunkcija nije definisana ne uzimamo u razmatranje. Ako je oblast integracijesegment na nekoj od koordinatnih osa, izmedu neodredenog i Riemannovogintegrala, iako sustinski razlicitih pojmova, moze da se uspostavi veza. Vezase ostvaruje Newton–Leibnitzovom formulom ([4], str. 264–268).

Zavisno od podintegralne funkcije i oblasti integracije, Riemannovi in-tegrali obuhvataju vise medusobno razlicitih tipova. Najjednostavniji Rie-mannovi integrali su odredeni integrali, koji su takode izucavani ranije ([4],str. 242–293). Oblast integracije odredenih integrala je segment na nekojod koordinatnih osa i podintegralna funkcija zavisi od jednog realnog ar-gumenta. U Riemannove integrale spadaju jos: krivolinijski, visestrukii povrsinski integrali, koji za oblast integracije imaju prostornu krivu,visedimenzionalnu oblast i prostornu povrs redom. U opstem slucaju, kodkrivolinijskih i povrsinskih integrala podintegralna funkcija zavisi od tri re-alna argumenta, dok kod visestrukih integrala broj argumenata podinte-gralne funkcije odgovara dimenziji oblasti integracije. Na primer, ako jeoblast integracije dvodimenzionalna (zatvorena oblast u nekoj od koordinat-nih ravni), podintegralna funkcija zavisi od dva argumenta, a ako je trodi-menzionalna (zatvorena oblast u prostoru), podintegralna funkcija zavisi odtri argumenta. U prvom slucaju visestruki integrali se zovu dvojni, a udrugom slucaju trojni integrali.

NAPOMENA 1.3.1. Jasno je da oblast integracije odreduje broj argumenata podin-tegralne funkcije jer funkcija pre svega mora da bude definisana na oblasti integracije. Uizvesnom smislu vazi i obrnuto. Na primer, ako podintegralna funkcija zavisi od jednog ar-gumenta, njena oblast definisanosti je jednodimenzionalna, pa za oblast integracije mozeda se uzme jedino segment na koordinatnoj osi. Takode, ako podintegralna funkcijazavisi od tri argumenta, oblast integracije moze da bude kriva, oblast ili povrs u pros-toru, ali ne moze da bude segment na koordinatnoj osi ili oblast u koordinatnoj ravnibez prethodnog svodenja podintegralne funkcije na funkciju manjeg broja argumenata.Inace, oblast definisanosti, oblast integracije i slicno su uobicajeni termini koji ne znaceuvek i oblast u topoloskom smislu. Korektnije bi bilo reci podrucje definisanosti, podrucjeintegracije, itd. 4

NAPOMENA 1.3.2. U dosadasnjem tekstu smo pod argumentom funkcije podra-zumevali nezavisno promenljivu. Inace, argument funkcije moze da bude i zavisnopromenljiva, tj. opet neka funkcija. U nastavku, kad god postoji mogucnost zabune,naglasavacemo da li je argument nezavisno ili zavisno promenljiva. 4


Grubo govoreci, nacin na koji se formiraju isti je za sve Riemannove in-tegrale. Oblast integracije OI se podeli na n delova. U svakom od podeonihdelova PDi (i = 1, 2, . . . , n) se izabere tacka Xi i u njoj izracuna vrednostpodintegralne funkcije PF . Tacka Xi ∈ PDi moze da bude bilo koja. Vred-nost PF (Xi) se pomnozi izabranom karakteristikom podeonih delova k(PDi)i izvrsi se sumiranje po svim indeksima i = 1, 2, . . . , n. Tako dobijen zbir,

(1.3.1) Sk(n) =n∑

i=1

PF (Xi) · k(PDi) ,

zove se integralna ili Riemannova suma funkcije PF (X), gde je X ∈ OI pro-izvoljna tacka. Riemannov integral se definise kao granicna vrednost sume(1.3.1) kada broj podeoka n →∞ i max

1≤i≤n|k(PDi)| → 0 i oznacava se sa

(1.3.2)∫

OI

PF (X) dk = limn→∞

Sk(n) ,

pri cemu granicna vrednost ne sme da zavisi od nacina deobe OI i izbo-ra tacaka Xi. Ako Riemannov integral (1.3.2) postoji, za podintegralnufunkciju se kaze da je integrabilna na oblasti integracije. Uslovi pod kojimaje neka funkcija integrabilna formulisani su u teoremama o integrabilnosti([4], str. 245–255; [1], str. 240–246). Ove uslove necemo da razmatramo.Pretpostavljacemo najstrozi od njih, da je funkcija neprekidna na oblastiintegracije, imajuci u vidu da Riemannov integral moze da postoji i podmanje strogim uslovima. O neprekidnosti funkcija jedne ili vise nezavisnopromenljivih videti [3], str. 309; [2], str. 21–22.

U zavisnosti od izabrane karakteristike podeonih delova, razlikuju se pod-vrste nekih tipova Riemannovih integrala, npr. krivolinijski integrali po lukui krivolinijski integrali po koordinatama ili povrsinski integrali po povrsi ipovrsinski integrali po koordinatama. Kod krivolinijskih (povrsinskih) inte-grala po luku (povrsi) karakteristika podeoka je njegova duzina (povrsina).Kod krivolinijskih (povrsinskih) integrala po koordinatama karakteristika jeduzina (povrsina) projekcije podeoka na neku od koordinatnih osa (ravni),uzeta sa znakom + ili −, zavisno od orijentacije krive (povrsi). Postoje ivektorski krivolinijski i vektorski povrsinski integrali, kada je karakteristikapodeonih delova pogodno izabrani vektor.

Oblast integracije Riemannovih integrala je orijentisana. Uticaj orijenta-cije oblasti integracije na vrednost integrala zavisi od izabrane karakteristikepodeonih delova. Tako je orijentacija znacajna za neke tipove Riemannovihintegrala, npr. za krivolinijske i povrsinske integrale po koordinatama, jer


promena orijentacije dovodi do promene vrednosti integrala. Za druge tipoveRiemannovih integrala, kakvi su krivolinijski po luku i povrsinski po povrsi,orijentacija oblasti integracije nije vazna jer integrali imaju istu vrednost zabilo koju orijentaciju.

NAPOMENA 1.3.3. Visestruki integrali su generalizacija odredenih integrala kadase sa jednodimenzionalne prede na visedimenzionalnu oblast integracije. S druge strane,odredeni integrali su specijalan slucaj krivolinijskih ako je oblast integracije (kriva) deoneke od koordinatnih osa, a dvojni integrali su specijalan slucaj povrsinskih ako je oblastintegracije (povrs) deo neke od koordinatnih ravni. Zato su krivolinijski i povrsinski in-tegrali takode jedna vrsta generalizacije odredenih integrala, ali sustinski drugacija odvisestrukih. Zbog cinjenice da se podela krivih i povrsi vrsi posredno, podelom njihovihoblasti definisanosti, krivolinijski i povrsinski integrali se cesto i ne smatraju Rieman-novim, vec se izdvajaju u posebnu grupu integrala, poznatu pod imenom integrali namnogostrukostima ([1], str. 324–340). 4

1.3.2. Odredeni integral

Svi Riemannovi integrali se resavaju tako sto se odgovarajucim trans-formacijama dovode na jedan ili vise odredenih integrala. Zato ukratkopodsecamo citaoca na tu vrstu integrala. Pri tome, umesto standardnogpristupa definisanju odredenog integrala pomocu Darbouxovih suma ([4],str. 242–244), prosledujemo prethodno izneto pravilo koje se odnosi na sveRiemannove integrale.

Oblast integracije odredenog integrala je orijentisani segment na nekojod koordinatnih osa, npr. OI = [a, b] (a < b) na x–osi. Tackama xi (i =0, 1, . . . , n) vrsimo deobu segmenta na n podsegmenata PDi = [xi−1, xi]ili PDi = [xi, xi−1] (i = 1, 2, . . . , n), u zavisnosti od orijentacije segmenta(Slika 1.2.13). U svakom od njih biramo tacku Xi = ξi. Za ξi ∈ PDi mozeda se uzme bilo koja tacka. Karakteristika podeonih delova je razlika izmeduuzastopnih podeonih tacaka

k(PDi) = xi − xi−1 ,

s tim sto se uvek od sledece oduzima prethodna tacka. Neka je podintegralnafunkcija PF (X) = f(x) neprekidna na [a, b], gde je tacka X = x ∈ [a, b]proizvoljna. Vrednost PF (Xi) = f(ξi) mnozimo izabranom karakteristikomi sabiranjem dobijamo integralnu sumu

Sx(n) =n∑

i=1

f(ξi) · (xi − xi−1) ,


a zatim i odredeni integral∫

[a,b]

f(x) dx = limn→∞

Sx(n) ,

pri cemu max1≤i≤n

|k(PDi)| = max1≤i≤n

|xi − xi−1| → 0 kad broj podeoka n →∞.

Ako je segment [a, b] orijentisan od a ka b, tacke xi cine rastucu podelu

a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xn = b ,

pa vazi k(PDi) = xi − xi−1 > 0 za svako i = 1, 2, . . . , n. U ovom slucajuodredeni integral se oznacava sa

∫ b

af(x) dx. Ako je segment orijentisan od

b ka a, tacke xi cine opadajucu podelu

a = xn < xn−1 < · · · < xi < xi−1 < · · · < x0 = b

i vazi k(PDi) = xi − xi−1 < 0 za svako i = 1, 2, . . . , n, a odredeni integralima oznaku

∫ a

bf(x) dx. Vidimo da je k(PDi) = ±|xi−xi−1| duzina podeoka

PDi, uzeta sa znakom + ili − zavisno od orijentacije segmenta. Dakle,promena orijentacije dovodi do promene znaka karakteristike k(PDi), sto zaposledicu ima promenu znaka integralne sume Sx(n) i dobro poznatu osobinuodredenih integrala

(1.3.3)∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx .

U specijalnom slucaju, za f(x) ≡ 1 i orijentaciju od a ka b, vrednostodredenog integrala jednaka je duzini segmenta [a, b] jer je

(1.3.4)∫ b

a

dx = limn→∞

n∑

i=1

(xi − xi−1) = limn→∞

(b− a) = b− a .

Geometrijska interpretacija odredenog integrala je sledeca. Neka je f(x)pozitivna funkcija za svako x ∈ [a, b] i neka je [a, b] orijentisan od a ka b.Tada je f(ξi) · (xi − xi−1) povrsina oblasti Di, ogranicene pravougaonikomcije su stranice duzine f(ξi) > 0 i xi−xi−1 > 0 (Slika 1.3.1), pa je Sx(n) po-vrsina stepenaste oblasti D = ∪n

i=1Di. Kada n →∞ i max1≤i≤n

|xi−xi−1| → 0,

povrsina oblasti D se priblizava povrsini m(KT ) oblasti KT , ogranicenekrivolinijskim trapezom sastavljenim od delova x–ose, pravih x = a, x = b ikrive y = f(x). Prema tome, vazi

m(KT ) =∫ b

a

f(x) dx .


x

y

D1 D2 Di

i ii

Dn

nn

y=f(x)

a=x0 x1 11x2 x x x x -- x =b

Slika 1.3.1.

Ako je f(x) negativna funkcija za svako x ∈ [a, b], tada je f(ξi) < 0 zasvako i = 1, 2, . . . , n, pa je

∫ b

af(x) dx < 0 i za povrsinu treba uzeti

m(KT ) = −∫ b

a

f(x) dx .

Dakle, kada funkcija f(x) ne menja znak na segmentu [a, b], povrsina oblastikrivolinijskog trapeza je

m(KT ) =∣∣∣∫ b

a

f(x) dx∣∣∣ .

Ako f(x) menja znak na [a, b], npr. samo u tacki c ∈ (a, b), segment [a, b]treba deliti na podsegmente [a, b] = [a, c] ∪ [c, b] na kojima f(x) ima stalanznak, na svakom od podsegmenata racunati odredeni integral i sabrati mo-dule dobijenih vrednosti. Na taj nacin se odreduje povrsina m(FG) oblastiFG, ogranicene figurom koja se sastoji od dva krivolinijska trapeza nadpodsegmentima [a, c] i [c, b],

m(FG) =∣∣∣∫ c

a

f(x) dx∣∣∣ +

∣∣∣∫ b

c

f(x) dx∣∣∣ .

Neka je segment [a, b] simetrican, tj. neka je a = −b (b > 0) i [a, b] =[−b, b]. Ako je f(x) parna funkcija, kriva y = f(x) je simetricna u odnosuna y–osu (Slika 1.3.2), pa je prema prethodnom zakljucivanju

∫ 0

−b

f(x) dx =∫ b

0

f(x) dx .

Ako je f(x) neparna funkcija, kriva y = f(x) je simetricna u odnosu nakoordinatni pocetak (Slika 1.3.3), pa je

∫ 0

−b

f(x) dx = −∫ b

0

f(x) dx .


Zato za parnu i neparnu funkciju f(x) redom vazi

(1.3.5)∫ b

−b

f(x) dx = 2∫ b

0

f(x) dx ,

∫ b

−b

f(x) dx = 0 .

x

y=f(x)y

-b b0

x

y=f(x)y

-b b0


Odredeni integrali izracunavaju se pomocu Newton–Leibnitzove formule

∫ b

a

f(x) dx = F (x)∣∣∣b

a= F (b)− F (a) ,

gde je F (x) primitivna funkcija funkcije f(x). Kako se svi Riemannovi inte-grali resavaju dovodenjem na odredeni, Newton–Leibnitzovom formulom jeuspostavljena veza izmedu neodredenog i Riemannovih integrala generalno.Zavisno od tipa, za resavanje neodredenih integrala postoji vise metoda, kojisu obradeni u ranijim kursevima matematike ([4], str. 211–242).

1.3.3. Opste osobine Riemannovih integrala

Navodimo neke od zajednickih osobina Riemannovih integrala, postujuciranije uvedene oznake i dogovor da je podintegralna funkcija neprekidna naoblasti integracije. Uopsteniji oblik ovih osobina, njihovi dokazi, kao i ostaleosobine koje ne navodimo dati su, npr., u [1], str. 250–254. Osobine koje sukarakteristicne samo za konkretne tipove Riemannovih integrala obradicemou okviru izlaganja o tim integralima.

1 Ako su ci 6= 0 (i = 1, 2, . . . , n) proizvoljne konacne realne konstante,tada je

(1.3.6)∫

OI

( n∑

i=1

ci PFi(X))

dk =n∑

i=1

ci

∫

OI

PFi(X) dk .


Osobina (1.3.6) je linearnost integrala i sastoji se od osobine aditivnosti

∫

OI

( n∑

i=1

PFi(X))

dk =n∑

i=1

∫

OI

PFi(X) dk

i osobine homogenosti∫

OI

c PF (X) dk = c

∫

OI

PF (X) dk (c 6= 0 , c 6= ∞ , c ∈ R) .

Svakodnevnim recima kazano, ”oznaka integrala prolazi” kroz zbir u podinte-gralnom izrazu (aditivnost) i multiplikativne konstante ”izlaze ispred oznakeintegrala” (homogenost).

2 Ako je OI =n⋃

i=1

OIi, pri cemu delovi OIi, OIj (i 6= j) mogu da imaju

samo svoje rubne tacke kao zajednicke, tada je

(1.3.7)∫

OI

PF (X) dk =n∑

i=1

∫

OIi

PF (X) dk .

Osobina (1.3.7) znaci da je integral po ukupnoj oblasti integracije OI jednakzbiru integrala po svim njenim delovima OIi. Delovi OIi moraju da zadrzeorijentaciju celine OI kod integrala za koje je orijentacija znacajna.

3 Ako orijentacija oblasti integracije utice na vrednost integrala, taj uti-caj se ispoljava na nacin

(1.3.8)∫

OI+PF (X) dk = −

∫

OI−PF (X) dk ,

gde + i − u oznakama OI+, OI− ukazuju na suprotne orijentacije iste oblastiintegracije OI. Dakle, promena orijentacije oblasti integracije, iz pozitivne unegativnu ili obrnuto, dovodi do promene znaka vrednosti integrala. Primerje jednakost (1.3.3).

4 Neka je m = m(OI) velicina (mera) ukupne oblasti integracije OI.Zavisno od prirode oblasti integracije, m je duzina, povrsina ili zapremina.Ako je za karakteristiku podeonih delova k(PDi) izabrana njihova velicinam(PDi), tada je

(1.3.9)∫

OI

dk = m .


Ova osobina se dobija u specijalnom slucaju PF (X) ≡ 1, tj. PF (X) = 1 zasvako X ∈ OI. Primer je jednakost (1.3.4).

5 Ako je M > 0 konacna realna konstanta takva da je∣∣PF (X)

∣∣ ≤ M zasvako X ∈ OI i m velicina za OI, tada je

(1.3.10)∣∣∣∣∫

OI

PF (X) dk

∣∣∣∣ ≤∫

OI

∣∣PF (X)∣∣ dk ≤ Mm .

Osobina (1.3.6) je direktna posledica definicije Riemannovih integrala kaolimesa integralne sume (formule (1.3.1)–(1.3.2)) i lako se dokazuje. Dokazosobine (1.3.7) zahteva poznavanje mnogo ozbiljnije teorije od ovde iznete,pa ga izostavljamo ([1], str. 251). Osobine (1.3.8)–(1.3.10) ne dokazujemou iskazanom opstem obliku, a dokazacemo ih za neki od konkretnih tipovaRiemannovih integrala, npr. za krivolinijske integrale.

1.4. Koordinatni sistemi

Osim Descartesovog koordinatnog sistema, cesto su u upotrebi i generali-sani koordinatni sistemi.

Neka su x, y, z Descartesove koordinate tacke i c1, c2, c3 konkretno iza-brane realne konstante. Skupovi tacaka cija je jedna koordinata konstantna,

(c1, y, z) | c1 ∈ R ; (x, c2, z) | c2 ∈ R ; (x, y, c3) | c3 ∈ R ,

su koordinatne povrsi. Njihove jednacine su redom:

(1.4.1) x = c1 ; y = c2 ; z = c3 .

Ukoliko su konstante c1, c2, c3 proizvoljne, prethodnim jednacinama su pred-stavljene familije koordinatnih povrsi. Specijalno, za c1 = c2 = c3 = 0koordinatne povrsi se zovu koordinatne ravni. Tako su

x = 0 ; y = 0 ; z = 0

jednacine yz, zx i xy–koordinatne ravni redom. Koordinatne povrsi x = c1

su paralelne yz–ravni x = 0 i, naravno, medusobno. Analogno vazi i zapovrsi y = c2, odnosno z = c3. Presek dve koordinatne povrsi je koordinatnalinija. Dakle, jednacine koordinatnih linija su:

(1.4.2) x = c1 , y = c2 ; x = c1 , z = c3 ; y = c2 , z = c3 .


Za c1 = c2 = c3 = 0 koordinatne linije se zovu koordinatne ose. To su x, y iz–osa, cije su jednacine redom:

y = 0 , z = 0 ; x = 0 , z = 0 ; x = 0 , y = 0 .

U Descartesovom sistemu sve koordinatne linije su prave, pa je ovopravolinijski koordinatni sistem. Kod generalisanih sistema koordinatnepovrsi i linije se definisu analogno. U ovom slucaju nisu sve koordinatne li-nije prave, pa se generalisani sistemi drugacije zovu krivolinijski koordinatnisistemi. Jos, u Descartesovom sistemu na koji smo navikli koordinatne linijesu uzajamno normalne, sto se obicno naglasava u imenu sistema i kaze seDescartesov pravougli koordinatni sistem. Kod generalisanih sistema sa ko-jima cemo da radimo koordinatne linije su takode normalne ([2], str. 342),ali se to ne naglasava u imenu sistema. To su polarni koordinatni sistem uravni, cilindricni i sferni koordinatni sistem u prostoru. Postoje i kosougliili afini koordinatni sistemi, medu njima i Descartesov kosougli koordinatnisistem ([5], str. 47–57). Afini sistemi nas ne interesuju.

Izrazi Descartesov koordinatni sistem, Descartesov sistem koordinata(krace Descartesov sistem), sistem Descartesovih koordinata, samo koordi-natni sistem ako se zna o kom sistemu se radi i slicno, imaju isto znacenje.Analogno vazi za generalisane sisteme. Zato ove izraze ravnopravno koris-timo.

Kod Descartesovog koordinatnog sistema su ustanovljeni levi i desniDescartesov koordinatni sistem, koji se medusobno razlikuju u rasporedukoordinatnih osa (koordinata). Mi radimo u desnom koordinatnom sistemu.U ovom sistemu je raspored osa x, y, z (ili y, z, x ili z, x, y), pa umestoDescartesov cesto kazemo i xyz–sistem. Uzajamna promena mesta samo dveose prevodi desni u levi sistem i obrnuto. Tako je, npr., xzy levi sistem. Ovoje razlog zbog kog smo uvek za koordinatnu ravan y = 0 govorili zx–ravan,a ne xz–ravan. Reci xz–ravan nije pogresno, ali u nepaznji moze da dovededo pogresnog zakljucivanja zbog promenjenog redosleda osa u zapisu. Kodgeneralisanih sistema raspored koordinata nije preciziran.

1.4.1. Generalisane koordinate:polarne, cilindricne, sferne

Polarne koordinate odreduju polozaj tacke u ravni. Da bismo objasniliove koordinate, posmatrajmo xy–koordinatnu ravan i proizvoljnu tacku Xu njoj, razlicitu od koordinatnog pocetka O. Duz koja spaja tacku X sakoordinatnim pocetkom je poteg tacke X. Kroz tacku X postavimo centralnu


kruznicu L poluprecnika r, orijentisanu u skladu sa Definicijom 1.2.2 i sa ϕoznacimo ugao izmedu pozitivnog dela x–ose i potega tacke X, uz sledecidogovor. Neka se tacka X krece po kruznici L polazeci sa pozitivnog dela x–ose. Pocetnom polozaju X0 na pozitivnom delu x–ose dodeljujemo vrednostugla ϕ = 0. Ako se tacka X krece po kruznici L u pozitivnom smeru, ugaoϕ je pozitivan i raste od ϕ = 0 do ϕ = 2π (Slika 1.4.1), a ako se kreceu negativnom smeru, ugao je negativan i opada od ϕ = 0 do ϕ = −2π(Slika 1.4.2), kada se tacka X vraca na pocetni polozaj X0. Duzina potega r(poluprecnik kruznice L) i ugao ϕ jednoznacno odreduju polozaj tacke X uxy–ravni. Pri tome je svejedno koji od dva ugla se uzima, ϕ1 ili ϕ2 = ϕ1+2πako je ϕ1 < 0 (Slika 1.4.3), odnosno ϕ2 = ϕ1 − 2π ako je ϕ1 > 0.

L+

x

y

O

X

Xr

j

x

y

O

X

X

rj

L_

x

y

X

X

r

j

j

O

0 0 0

1

2

Slika 1.4.1. Slika 1.4.2. Slika 1.4.3.

Prethodnu situaciju izdvojimo iz Descartesovog koordinatnog sistema.Koordinatnu xy–ravan posmatrajmo kao proizvoljnu ravan R, a pozitivandeo x–ose kao polupravu p ⊂ R sa pocetkom u tacki O. Tacka O je pol,poluprava p je polarna osa. Kao sto smo ustanovili, polozaj proizvoljne tackeX ∈ R je jednoznacno odreden u ravni R prethodno opisanim velicinama ri ϕ, osim tacke O koja ima r = 0 i nedefinisan ugao ϕ. Velicine r i ϕ supolarne koordinate i u parovima (r, ϕ) formiraju polarni koordinatni sistem,ukljucujuci i tacku O sa r = 0. Pri tome je r polarni radijus, a ϕ polarniugao.

Prema (1.4.2), koordinatne linije u polarnom sistemu su kruznice r = c1

(c1 > 0) i poluprave ϕ = c2 sa pocetkom u tacki O. U presecnim tackama onezaklapaju prav ugao, pa je sistem zaista pravougli (Slika 1.4.4). U polarnomsistemu koordinatna linija r = 0 nije definisana jer r = 0 odreduje tackuO (pol). Zato samo jednu koordinatnu liniju ϕ = 0 mozemo da zovemoosom, a to je polarna osa. Za konstantu c2 nije stavljeno ogranicenje, npr.0 ≤ c2 ≤ 2π, jer je u mnogim slucajevima potrebno da bude ϕ ∈ R, sto nemenja prirodu ugla ϕ i dozvoljeno je.


pO

X

c1

c2

-p 2

Slika 1.4.4.

Maksimalni raspon polarnih koordinata je

(1.4.3) 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .

U skladu sa malopredasnjim zapazanjem, umesto segmenta [0, 2π] sme da seuzme bilo koji drugi segment duzine 2π. Za prakticnu primenu je uglavnomnajpogodniji [−π, π]. Vrednosti ϕ = −π, ϕ = π odgovaraju tackama nanegativnom delu x–ose, a ostale vrednosti ugla ϕ 6= 0 imaju isti znak kaokoordinata y tacke X(x, y).

Izmedu Descartesovih x, y i polarnih r, ϕ koordinata (r > 0, 0 ≤ ϕ < 2π)tacke X(x, y) = X(r, ϕ) postoji biunivoka veza iskazana jednakostima

(1.4.4) x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,

sto se lako uocava sa Slike 1.4.5. Jednakosti (1.4.4) se cesto smatraju defini-cionim jednakostima polarnih koordinata.

x

y

O

X

r

j

x

y

Slika 1.4.5.

Analogne jednakosti sa (1.4.4) u yz i zx–koordinatnoj ravni su redom

(1.4.5) y = r cosϕ , z = r sin ϕ ; z = r cos ϕ , x = r sin ϕ .

U prvom slucaju je ϕ ugao izmedu pozitivnog dela y–ose i potega tacke, au drugom slucaju izmedu pozitivnog dela z–ose i potega.


Uopstene polarne koordinate se uvode jednakostima

(1.4.6) x = ar cosn ϕ , y = br sinn ϕ ,

gde su a, b 6= 0 realne i n > 0 racionalna konstanta u opstem slucaju. Speci-jalno, za n = 1, (1.4.6) se svodi na

(1.4.7) x = ar cosϕ , y = br sin ϕ .

Iako isto oznacene, ocigledno je da u xy–ravni uopstene polarne koordinatenemaju znacenje polarnih koordinata iz (1.4.4).

Maksimalni raspon koordinate r je 0 ≤ r < +∞, dok raspon koordinateϕ zavisi od n. Izdvajamo dva slucaja. Ako je n neparan broj, vrednosti zaϕ su iz bilo kog segmenta duzine 2π, npr. 0 ≤ ϕ ≤ 2π ili −π ≤ ϕ ≤ π, pa jemaksimalni raspon uopstenih polarnih koordinata

0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .

Ako je n paran broj, obicno se uzima 0 ≤ ϕ ≤ π/2, pa je maksimalni raspon

0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ ϕ ≤ π

2.

U slucaju parnog broja n, uopstene polarne koordinate su lokalnog karakterajer se uvode razlicitim jednakostima (1.4.6) za tacke iz pojedinih delova(kvadranata) xy–ravni.

Za r > 0 i ϕ iz odgovarajuceg raspona, jednakosti (1.4.6) ostvaruju bijek-ciju izmedu Descartesovih x, y i uopstenih polarnih r, ϕ koordinata.

Cilindricne koordinate su kombinacija polarnih i Descartesovih koor-dinata. U stvari, cilindricne koordinate predstavljaju produzenje polarnihkoordinata sa ravni na prostor, pa se kod nekih autora srecu pod zajednickimimenom polarno–cilindricne koordinate. Uvode se jednakostima

(1.4.8) x = r cosϕ , y = r sinϕ , z = z ,

gde su r i ϕ polarne koordinate projekcije X ′(x, y, 0) tacke X(x, y, z) naxy–ravan, a z je Descartesova koordinata tacke X (Slika 1.4.6).


x

z

X

r

jy

X

z

’

Slika 1.4.6.

Prema (1.4.1), koordinatne povrsi u ovom sistemu su cilindricne povrsir = c1 (c1 > 0) normalne na xy–ravan, poluravni ϕ = c2 koje su ”ogranicene”z–osom (”oslanjaju se” na z–osu) i takode su normalne na xy–ravan i ravniz = c3 paralelne xy–ravni ([5], str. 81). Prema (1.4.2), koordinatne linije suprave r = c1, ϕ = c2 paralelne z–osi, kruznice r = c1, z = c3 i polupraveϕ = c2, z = c3 u ravnima paralelnim xy–ravni. Poluprave imaju pocetkena z–osi. Koordinatne linije su uzajamno normalne, pa je i ovaj sistempravougli. Koordinatna linija ϕ = 0, z = 0 je polarna osa, r = 0 je z–osa,dok linija r = 0, z = 0 nije definisana jer se degenerise u tacku O(0, ϕ, 0)(pol, koordinatni pocetak).

Maksimalni raspon cilindricnih koordinata je

(1.4.9) 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , −∞ < z < +∞ ,

pri cemu umesto segmenta [0, 2π] sme da se uzme bilo koji drugi segmentduzine 2π.

Analogne jednakosti sa (1.4.8), kada se tacka X(x, y, z) projektuje na yzi zx–koordinatnu ravan, su redom

y = r cosϕ , z = r sin ϕ , x = x ; z = r cos ϕ , x = r sin ϕ , y = y .

Ugao ϕ ima znacenje kao u odgovarajucim jednacinama (1.4.5) kod polarnihkoordinata.

Uopstene cilindricne koordinate su produzenje uopstenih polarnihkoordinata (1.4.6) sa ravni na prostor. Date su sa

x = ar cosn ϕ , y = br sinn ϕ , z = z

ili, za n = 1,

(1.4.10) x = ar cos ϕ , y = br sinϕ , z = z .


Sferne koordinate su prostorne koordinate i uvode se jednakostima

(1.4.11) x = r cos ϕ cos θ, y = r sin ϕ cos θ , z = r sin θ

ili

(1.4.12) x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ , z = r cos θ ,

gde je r duzina potega tacke X(x, y, z), a ϕ ugao izmedu potega projekcijeX ′(x, y, 0) na xy–ravan i pozitivnog dela x–ose. U (1.4.11) je θ ugao izmedupotega tacke X i xy–ravni, a u (1.4.12) to je ugao izmedu potega tacke ipozitivnog dela z–ose (Slike 1.4.7 i 1.4.8).

x

z

Xr

jy

q

X ’ x

z

X

r

jy

q

X ’


Koordinatne povrsi u ovom sistemu su sfere r = c1 (c1 > 0), poluravniϕ = c2 ”ogranicene” z–osom i normalne na xy–ravan i konusi θ = c3 okoz–ose (osovina im je z–osa) ([5], str. 82). Koordinatne linije su polukruznicer = c1, ϕ = c2, kruznice r = c1, θ = c3 i prave ϕ = c2, θ = c3 ([7], str. 186).I ovaj sistem je pravougli. Inace, sferne koordinate mogu da se shvate kaogeneralizacija polarnih koordinata, sa prostornim tumacenjem velicine r idodatkom trece velicine θ.

Maksimalni raspon sfernih koordinata iz (1.4.11) je

(1.4.13) 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , −π

2≤ θ ≤ π

2,

a iz (1.4.12) je

(1.4.14) 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π .

U prvom slucaju (1.4.13), vrednosti θ = −π/2 i θ = π/2 uzimaju tackena negativnom i pozitivnom delu z–ose redom, a tacke u xy–ravni imajuvrednost θ = 0. U drugom slucaju (1.4.14) je θ = 0 i θ = π za tacke napozitivnom i negativnom delu z–ose redom, a θ = π/2 za tacke u xy–ravni.


Kako ugao ϕ ima isto znacenje kao kod polarnih i cilindricnih koordinata,vazi isto pravilo o njegovim granicama.

U matematici se obicno radi sa jednakostima (1.4.11), dok su (1.4.12)cesce u tehnickim naukama. Mi cemo da radimo sa (1.4.11) i samo popotrebi sa (1.4.12).

Ako se tacka X(x, y, z) projektuje na neku drugu koordinatnu ravan, npr.na yz–ravan, jednakosti analogne sa (1.4.11) glase

y = r cosϕ cos θ, z = r sin ϕ cos θ , x = r sin θ ,

pri cemu je ϕ ugao izmedu potega projekcije tacke X na yz–ravan i pozi-tivnog dela y–ose, a θ ugao izmedu potega tacke X i yz–ravni.

Uopstene sferne koordinate se uvode sa

x = ar cosn ϕ cosk θ, y = br sinn ϕ cosk θ , z = cr sink θ ,

gde su a, b, c 6= 0 realne i n, k > 0 racionalne konstante. Ove koordinate seretko primenjuju u navedenom generalnom slucaju, pa navodimo specijalanslucaj, za n = k = 1,

(1.4.15) x = ar cos ϕ cos θ, y = br sin ϕ cos θ , z = cr sin θ .

U xy–ravni uopstene sferne koordinate nemaju znacenje sfernih koordinataiz (1.4.11).

Maksimalni raspon koordinata iz (1.4.15) je dat sa (1.4.13).

1.4.2. Primena generalisanih koordinata

Generalisane koordinate imaju veliku primenu jer se mnogi problemi ne-uporedivo jednostavnije resavaju upotrebom ovih koordinata. Na primer,resavanje krivolinijskih, dvojnih i trojnih integrala je u velikom brojuslucajeva najjednostavnije ako se parametrizacija krive, odnosno opis oblastiu ravni ili prostoru, izvrsi pomocu odgovarajucih generalisanih koordinata.Izdvajamo neke od krivih i oblasti za koje su generalisane koordinate karak-teristicne. Od krivih to su kruznica i elipsa u koordinatnoj ravni, od ravnihoblasti unutrasnjost kruznice i elipse, a od prostornih oblasti unutrasnjostsfere i elipsoida.

Po pitanju naziva krivih, oblasti i povrsi, terminologija u literaturi jeraznovrsna, cesto neusaglasena i dvosmislena. Tako se za unutrasnjost


kruznice koriste termini krug, kruzna oblast ili oblast kruznice, a za unu-trasnjost elipse elipsoidna oblast ili oblast elipse. Takode, unutrasnjost sfereje oblast sfere ili sferna oblast, a unutrasnjost elipsoida je oblast elipsoidaili, kao i kod elipse, elipsoidna oblast. Cak i vise, kruznica se poistovecuje sakrugom, dok sfera i elipsoid oznacavaju i povrsi i oblasti unutar njih. Da nebi bilo nesporazuma, u nastavku teksta koristimo izraze kruznica za krivu,krug za njenu unutrasnjost, a sfera (lopta) i elipsoid iskljucivo za povrsi.Koristicemo i slicne termine, kao sto su pravougaonik (kriva) i pravougaonaoblast, konus (povrs) i konusna oblast, itd. Dakle, izuzimajuci krug, uveknaglasavamo kada se radi o oblasti. Pri tome nas interesuju samo zatvoreneoblasti (Definicija 1.1.15), npr. krug kao unutrasnjost kruznice zajedno sasamom kruznicom.

1 Neka je L centralna kruznica u xy–ravni poluprecnika a > 0 (Sli-ka 1.4.9), data implicitno sa

(1.4.16) x2 + y2 = a2 .

x

y

0

L

a

Slika 1.4.9.

Zamenom Descartesovih polarnim koordinatama, tj. zamenom (1.4.4) u(1.4.16), dobija se

r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ = a2 ,

zatim r2 = a2 ir = a .

Za r = a jednakosti (1.4.4) postaju x = a cosϕ, y = a sin ϕ. Imajuci u viduogranicenje (1.4.3), iz prethodnog sledi

(1.4.17) x = a cosϕ , y = a sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈ [0, 2π] ,

sto su parametarske jednacine (1.1.1) kruznice L sa t = ϕ. U skladu saranijim objasnjenjem, umesto ϕ ∈ [0, 2π] moze da se uzme, npr., ϕ ∈ [−π, π].


Neka je sada L ”pomerena” kruznica u xy–ravni poluprecnika a > 0 sacentrom u tacki (x0, y0) (Slika 1.4.10). Njena implicitna jednacina je tada

(1.4.18) (x− x0)2 + (y − y0)2 = a2 .

Smenom u = x − x0, v = y − y0 (translacija xy–koordinatnog sistema uuv–koordinatni sistem), kruznica L iz xy–ravni se transformise u centralnukruznicu L1 iz uv–ravni (Slika 1.4.11).

x

y

0

L

ay0

x0

u

v

0 a

L1

Slika 1.4.10. Slika 1.4.11.

Kruznica L1 ima jednacinu oblika (1.4.16),

u2 + v2 = a2 ,

pa na nju moze da se primeni prethodni postupak. Zamenom u = r cos ϕ,v = r sinϕ sledi r = a i za L1 vazi

u = a cosϕ , v = a sinϕ ; ϕ ∈ [0, 2π] ,

sto povratkom u polaznu smenu daje x − x0 = a cos ϕ, y − y0 = a sin ϕ.Parametarske jednacine kruznice L su

(1.4.19) x = x0 + a cos ϕ , y = y0 + a sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈ [0, 2π] .

U praksi se ne realizuje citav prethodni postupak, vec se iz jednacina(1.4.18) kruznica L prepoznaje kao ”pomerena” i odmah se uvodi smena

(1.4.20) x− x0 = r cosϕ , y − y0 = r sin ϕ ,

koja dovodi do parametarskih jednacina (1.4.19).

Specijalan slucaj kruznice (1.4.18) je ona koja ima centar na nekoj odkoordinatnih osa i prolazi kroz koordinatni pocetak. Takva je, npr., kruznicaL sa Slike 1.4.12, cija je jednacina

(1.4.21) (x− a)2 + y2 = a2 .


Umesto (1.4.20), za ove kruznice moze da se koristi smena (1.4.4). Za-menom x = r cos ϕ, y = r sin ϕ u (1.4.21) sledi

r2 cos2 ϕ− 2ar cos ϕ + a2 + r2 sin2 ϕ = a2 ,

odakle je r2 − 2ar cosϕ = 0 i r(r − 2a cosϕ) = 0. Mogucnost r = 0 otpadajer r = 0 definise tacku (koordinatni pocetak), pa ostaje

r = 2a cosϕ .

Primecujemo da u ovom slucaju r nije konstanta, vec funkcija ugla ϕ, pricemu se ugao krece u rasponu −π/2 ≤ ϕ ≤ π/2. Parametarske jednacine su

(1.4.22) x = 2a cos2 ϕ , y = 2a cos ϕ sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈[−π

2,π

2

].

Jednacine (1.4.22) u praksi mogu da budu mnogo pogodnije za potrebnaizracunavanja od jednacina (1.4.19).

Za kruznicu L sa Slike 1.4.13,

L : x2 + (y − a)2 = a2 ,

postupak se izvodi analogno. Dobija se r = 2a sin ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π i parame-tarske jednacine

L : x = 2a cos ϕ sin ϕ , y = 2a sin2 ϕ , z = 0 ; ϕ ∈ [0, π] .

x

y

0

L

a 2a

x

y

0

L

a

2a

Slika 1.4.12. Slika 1.4.13.

NAPOMENA 1.4.1. Uvodenje polarnih koordinata sa (1.4.4) kod kruznica (1.4.18)ne dovodi do jedinstvenih parametarskih jednacina kruznice jer istom uglu ϕ na kruzniciodgovaraju dve tacke sa r1 6= r2 (Slika 1.4.14). Isto tako, ugao ϕ se krece u opseguϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 (Slika 1.4.15), gde je ϕ1 = arctan k1, ϕ2 = arctan k2. Ovakvo iskazivanjeuglova ϕ1, ϕ2 zahteva prethodno nalazenje tangenata y = k1x, y = k2x kruznice, a inepogodno je za prakticnu primenu. Analogna je situacija i kod drugih zatvorenih krivihu koordinatnim ravnima.


x

y

j

L

r2

r1

x

y

L

jj2

1

Slika 1.4.14. Slika 1.4.15.

Kod kruznica koje prolaze kroz koordinatni pocetak i imaju centar na x ili y–osi,granice ugla ϕ se odmah odreduju na osnovu specijalnog polozaja kruznica u ravni, tj.neposredno se uocavaju sa odgovarajucih slika. 4

2 Neka je L centralna elipsa u xy–ravni sa poluosama a, b > 0 na x iy–osi redom (Slika 1.4.16). Njena implicitna jednacina je

(1.4.23)x2

a2+

y2

b2= 1 .

Smenom u = x/a, v = y/b (deformacija xy–koordinatnig sistema uuv–koordinatni sistem), elipsa L iz xy–ravni prelazi u centralnu jedinicnukruznicu L1 iz uv–ravni (Slika 1.4.17).

x

y

u

v

0a

0

L2b

1

L1

Slika 1.4.16. Slika 1.4.17.

Jednacina kruznice L1 je

u2 + v2 = 1 .

Prema (1.4.16) i (1.4.17), za L1 vazi

u = cos ϕ , v = sin ϕ ; ϕ ∈ [0, 2π] ,

pa su parametarske jednacine elipse L

(1.4.24) x = a cos ϕ , y = b sinϕ , z = 0 ; ϕ ∈ [0, 2π] .


Ovaj postupak se u praksi skracuje neposrednim uvodenjem smene

(1.4.25) x = ar cos ϕ , y = br sin ϕ

u (1.4.23), sto daje r = 1 i parametarske jednacine (1.4.24). Jednakosti(1.4.25) su, u stvari, definicione jednakosti uopstenih polarnih koordinata(1.4.7). Ove koordinate su i uvedene sa ciljem da se na jednostavan nacinizvrsi parametrizacija ”nepravilnih” krivih, kakva je i elipsa.

Ako je L ”pomerena” elipsa u xy–ravni sa poluosama a, b > 0 i centromu tacki (x0, y0) (Slika 1.4.18), njena jednacina je

(1.4.26)(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= 1 .

Posle translacije u = x − x0, v = y − y0 ona postaje centralna elipsa L1 uuv–ravni (Slika 1.4.19), a posle deformacije U = u/a, V = v/a centralnajedinicna kruznica L2 u UV –ravni (Slika 1.4.20).

u

v

0

a U

V

0

L2b

1

x

y

0

L

y0

x0

L1

a

b


Za kruznicu L2 vazi

U = cos ϕ , V = sin ϕ ; ϕ ∈ [0, 2π] ,

pa za elipsu L1 vazi

u = a cos ϕ , v = b sin ϕ ; ϕ ∈ [0, 2π] .

Zato su trazene parametarske jednacine elipse L date sa

(1.4.27) x = x0 + a cosϕ , y = y0 + b sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈ [0, 2π] .

Do istih jednacina (1.4.27) dovodi odmah uvedena smena

(1.4.28)x− x0

a= r cosϕ ,

y − y0

b= r sin ϕ .


Kao i kod kruznica, u specijalnom slucaju za (1.4.26), kada elipsa L imacentar na nekoj od koordinatnih osa i prolazi kroz koordinatni pocetak,umesto (1.4.28) moze da se koristi smena (1.4.7), tj. (1.4.25). Za elipsuL sa Slike 1.4.21,

(1.4.29)(x− a)2

a2+

y2

b2= 1 ,

zamenom x = ar cos ϕ, y = br sinϕ u (1.4.29) se dobija

r = 2 cosϕ

i za −π/2 ≤ ϕ ≤ π/2 slede parametarske jednacine elipse L

(1.4.30) x = 2a cos2 ϕ , y = 2b cosϕ sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈[−π

2,π

2

].

Analogno, parametarske jednacine elipse L sa Slike 1.4.22,

L :x2

a2+

(y − b)2

b2= 1 ,

suL : x = 2a cos ϕ sinϕ , y = 2b sin2 ϕ ; ϕ ∈ [0, π] .

x

y

0

L

a 2a

x

y

0

L

b

2b

Slika 1.4.21. Slika 1.4.22.

NAPOMENA 1.4.2. Ako tacka, kriva ili oblast pripadaju nekoj od koordinatnihravni, npr. xy–ravni, treca koordinata z = 0 se obicno podrazumeva i u odgovarajucimjednacinama ili opisima se izostavlja. Tako je (1.4.16) isto sto i

x2 + y2 = a2 , z = 0 ,

a (1.4.17) isto sto ix = a cos ϕ , y = a sin ϕ ; ϕ ∈ [0, 2π] .

Koristicemo i nadalje jedan ili drugi zapis, u zavisnosti od procene koliko je naglasavanjetrece koordinate znacajno za trenutnu situaciju. 4


NAPOMENA 1.4.3. Zatvorene krive u koordinatnim ravnima, kao sto su kruznice ielipse, nemaju jedinstvenu eksplicitnu jednacinu u Descartesovim koordinatama. Takokruznica (1.4.16) mora da se rastavi na delove koji mogu jedinstveno da se iskazu, npr.

L1 : y = −p

a2 − x2 , L2 : y =p

a2 − x2 ; x ∈ [−a, a] .

S druge strane, svaka eksplicitna jednacina krive u ravni istovremeno predstavlja i skracenizapis parametarskih jednacina sa specijalno izabranim parametrom. Na primer, za krivuL1 i x = t je

L1 : x = t , y = −p

a2 − t2 , z = 0 ; t ∈ [−a, a] .

Zato se parametrizacija zatvorenih krivih u koordinatnim ravnima ne vrsi pomocuDescartesovih koordinata, vec pomocu nekih drugih parametara, kakve su generalisanekoordinate, ali uz uvid u Napomenu 1.4.1. 4

3 Neka je D krug ogranicen kruznicom (1.4.16). Krug D se opisujeimplicitno nejednakoscu

(1.4.31) x2 + y2 ≤ a2

ili eksplicitno nejednakostima

(1.4.32) −a ≤ x ≤ a , −√

a2 − x2 ≤ y ≤√

a2 − x2 ,

odnosno

(1.4.33) −√

a2 − y2 ≤ x ≤√

a2 − y2 , −a ≤ y ≤ a .

Uvodenjem polarnih koordinata pomocu (1.4.4), opis istog kruga D je

(1.4.34) 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .

Zamisljajuci polarni krivolinijski kao Descartesov pravolinijski koordi-natni sistem sa osama r = 0 i ϕ = 0 i imajuci u vidu opis (1.4.34), krugD iz xy–ravni (Slika 1.4.23) moze da se predstavi kao oblast pravougaonikaD∗ u rϕ–ravni (Slika 1.4.24). Opis (1.4.34) kruga D ima veliku prednostnad opisima (1.4.32) i (1.4.33), posebno pri resavanju dvojnih integrala, jeromogucava da se krug tretira kao pravougaona oblast.

x

y

0

D

a

r

j

0

D*

a

2p

Slika 1.4.23. Slika 1.4.24.


Zahvaljujuci smeni (1.4.20), krug D ogranicen kruznicom (1.4.18) prelaziu krug sa Slike 1.4.23 (ali u uv–ravni), koji se zatim tretira kao pravougaonaoblast sa Slike 1.4.24, opisana nejednakostima (1.4.34).

U specijalnom slucaju kruznice (1.4.21), krug D je opisan sa

(1.4.35) 0 ≤ r ≤ 2a cos ϕ , −π

2≤ ϕ ≤ π

2

i u rϕ–ravni predstavlja oblast D∗ prikazanu na Slici 1.4.25. Ovaj opisje takode mnogo pogodniji od odgovarajuceg opisa pomocu Descartesovihkoordinata.

-

r

j

0

D*-p

2

-p2

2a

Slika 1.4.25.

4 Oblast D ogranicena elipsom (1.4.23) se smenom (1.4.25) transformiseu krug D1 u uv–ravni, a D1 se tretira kao pravougaona oblast D∗ u rϕ–ravnisa opisom

(1.4.36) 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .

Oblasti D, D1 i D∗ su prikazane na Slikama 1.4.26, 1.4.27 i 1.4.28 redom.

u

v

0

r

j

0

D*

1

2p

x

y

0

D

a1

bD1


Oblast ogranicena elipsom (1.4.26) se smenom (1.4.28) transformise prvou elipsoidnu oblast sa Slike 1.4.26 (ali u uv–ravni), a zatim u krug saSlike 1.4.27 (u UV –ravni). Krug se posmatra kao pravougaona oblast saSlike 1.4.28, opisana nejednakostima (1.4.36).


U slucaju elipse (1.4.29), odgovarajuca elipsoidna oblast D ima opis

(1.4.37) 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ , −π

2≤ ϕ ≤ π

2

i u rϕ–ravni predstavlja oblast D∗ prikazanu na Slici 1.4.25 za a = 1.

NAPOMENA 1.4.4. U prethodnom izlaganju smo pominjali translaciju i deforma-ciju koordinatnog sistema, bez objasnjavanja ovih pojmova, a pouzdajuci se u intuitivnorazumevanje istih od strane citalaca. Sa ovim transformacijama ([5], str. 83–102) trebabiti na oprezu, posebno sa deformacijom (1.4.6), kojom se sa Descartesovih x, y prelazina uopstene polarne koordinate r, ϕ. U navedenom primeru elipse i oblasti ogranicenenjome, (1.4.7) je kompozicija dve deformacije. Prvom se elipsa prevodi u kruznicu, a dru-gom kruznica u pravougaonik. Uopste uzev, uticaj deformacije (1.4.6) na promenu krivihi oblasti, tj. na opseg vrednosti koordinata r, ϕ, nije uvek lako sagledati. To se, pre svega,odnosi na koordinatu ϕ jer se ona cesto javlja kao parametar, pa je njen opseg znacajanza prakticnu primenu. Ovim problemom cemo da se bavimo kroz konkretne primere. 4

5 Ako je S sfera poluprecnika a > 0 sa centrom u koordinatnom pocetku(Slika 1.4.29), njena jednacina je

(1.4.38) x2 + y2 + z2 = a2 .

x

S

y

z

a0

a

a

Slika 1.4.29.

Zamenom Descartesovih sfernim koordinatama, tj. zamenom (1.4.11) u(1.4.38), dobija se redom:

r2 cos2 ϕ cos2 θ + r2 sin2 ϕ cos2 θ + r2 sin2 θ = a2 ,

r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = a2 ,

r2 = a2 ir = a .

Povratkom sa r = a u (1.4.11), slede parametarske jednacine (1.1.2) sfere

S : x = a cosϕ cos θ , y = a sin ϕ cos θ , z = a sin θ ; (ϕ, θ) ∈ Dϕθ ,


gde je Dϕθ pravougaona oblast u ϕθ–ravni opisana sa

Dϕθ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π , −π

2≤ θ ≤ π

2.

Opis oblasti Dϕθ je sadrzan u ogranicenjima (1.4.13).

NAPOMENA 1.4.5. Sa opstim parametarskim jednacinama (1.1.2) otvorenih izatvorenih povrsi cemo da radimo uglavnom teorijski, pa se na parametrizaciji dalje nezadrzavano. Parametrizaciju sfere smo izveli radi ilustracije postupka u slucaju zatvorenihpovrsi, koje nemaju jedinstvenu eksplicitnu jednacinu u Descartesovim koordinatama. Saslicnom situacijom smo se sreli kod zatvorenih krivih u ravni (Napomena 1.4.3), pa nadaljetreba imati u vidu i analognost sa zapazanjima iznetim u Napomenama 1.4.1, 1.4.4. 4

6 Neka je D prostorna oblast ogranicena sferom (1.4.38), tj. oblast

(1.4.39) x2 + y2 + z2 ≤ a2 .

Pomocu Descartesovih koordinata oblast D moze eksplicitno da se opise natri nacina, od kojih je jedan

(1.4.40)− a ≤ x ≤ a , −

√a2 − x2 ≤ y ≤

√a2 − x2 ,

−√

a2 − x2 − y2 ≤ z ≤√

a2 − x2 − y2 .

Uvodenjem sfernih koordinata sa (1.4.11), komplikovani opis (1.4.40) sezamenjuje jednostavnim opisom

(1.4.41) 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , −π

2≤ θ ≤ π

2.

Posmatrano u rϕθ–sistemu kao Descartesovom, nejednakosti (1.4.41) pred-stavljaju oblast kvadra D∗ (Slika 1.4.30).

r

a

D*

q

2p j0

- -p2

-p2

Slika 1.4.30.

Sfera S poluprecnika a > 0 sa centrom u tacki (x0, y0, z0) (Slika 1.4.31)ima jednacinu

(1.4.42) (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = a2 ,


a oblast D ogranicena njome ima opis

(1.4.43) (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 ≤ a2 .

x

S

y

z

0

z0

x0

y0

Slika 1.4.31.

Zahvaljujuci smeni

(1.4.44) x− x0 = r cosϕ cos θ , y − y0 = r sin ϕ cos θ , z − z0 = r sin θ ,

oblast sfere D se tretira kao oblast kvadra D∗ sa Slike 1.4.30, opisan nejed-nakostima (1.4.41).

Specijalan slucaj sfere (1.4.42) je ona koja ima centar na nekoj od koor-dinatnih osa i prolazi kroz koordinatni pocetak. Takva je, npr., sfera S saSlike 1.4.32, cija je jednacina

(1.4.45) x2 + y2 + (z − a)2 = a2 .

x

S

y

z

0

a

2a

Slika 1.4.32.

U ovom slucaju umesto (1.4.44) moze da se koristi smena (1.4.11), tj.x = r cosϕ cos θ, y = r sin ϕ cos θ, z = r sin θ. Oblast ogranicena sferomtada ima opis

(1.4.46) 0 ≤ r ≤ 2a sin θ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π

2,


pri cemu se granice ugla θ sagledavaju direktno sa Slike 1.4.32.

7 Elipsoid S sa poluosama a, b, c > 0 na x, y i z–osi redom i sa centromu koordinatnom pocetku (Slika 1.4.33) ima jednacinu

(1.4.47)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 ,

a oblast elipsoida D ima opis

(1.4.48)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2≤ 1 .

x

S

y

z

b0

c

a

Slika 1.4.33.

Uvodenjem uopstenih sfernih koordinata pomocu (1.4.15), oblast D seopisuje jednostavno sa

(1.4.49) 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , −π

2≤ θ ≤ π

2.

U rϕθ–sistemu kao Descartesovom, nejednakosti (1.4.49) predstavljaju speci-jalan slucaj oblasti kvadra sa Slike 1.4.30 za a = 1.

Smenom

x− x0 = ar cos ϕ cos θ , y − y0 = br sinϕ cos θ , z − z0 = cr sin θ

se elipsoidna oblast

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2≤ 1

opisuje nejednakostima (1.4.49).

Uvodenje uopstenih sfernih koordinata sa (1.4.15) u slucaju elipsoidneoblasti

x2

a2+

y2

b2+

(z − c)2

c2≤ 1


dovodi do opisa (1.4.46) sa a = 1.

8 Nevezano za generalisane koordinate, navodimo jos neke povrsi koje secesto javljaju pri resavanju prakticnih problema. To su konus, paraboloid icilindricna povrs.

Konus S1 sa z–osom kao osovinom ima jednacinu

(1.4.50) z = a√

x2 + y2 ,

gde je a > 0 realna konstanta. Definisan je za svako (x, y) ∈ R2. Iz (1.4.50)je ocigledno z ≥ 0, pa se konus S1 nalazi iznad xy–ravni. Osim ovog, z–osuza osovinu ima i konus S2 sa jednacinom

(1.4.51) z = −a√

x2 + y2 ,

samo se on nalazi ispod xy–ravni zbog z ≤ 0 (Slika 1.4.34). Konusi S1 i S2 senajcesce smatraju delovima jedne konusne povrsi S = S1∪S2 sa implicitnomjednacinom

S : z2 = a2(x2 + y2

).

Konusi S3 i S4 sa y–osom kao osovinom imaju jednacine

S3 : y = a√

x2 + z2 , S4 : y = −a√

x2 + z2

i izgled sa Slike 1.4.35. Analogno vazi i za konuse cija je osovina x–osa.

x

y

z

S1

S2

x

y

z

S3

S4

Slika 1.4.34. Slika 1.4.35.

Konuse smo vec pominjali kao koordinatne povrsi u slucaju sfernih koor-dinata (θ = c3 za −π/2 < c3 < π/2).


Paraboloid S1 cija je osovina z–osa ima jednacinu

(1.4.52) z = a(x2 + y2) ,

gde je a > 0 realna konstanta. Definisan je za svako (x, y) ∈ R2 i citavse nalazi iznad xy–ravni jer je z ≥ 0. Jos jedan paraboloid ima z–osu zaosovinu, a to je S2 sa jednacinom

(1.4.53) z = −a(x2 + y2) ,

koji je ceo ispod xy–ravni zbog z ≤ 0 (Slika 1.4.36). Jednacine paraboloidaS1 i S2 mogu da se objedine u jednu jednacinu

z2 = a2(x2 + y2

)2,

ali se u praksi, za razliku od konusa, to skoro nikad ne radi.Analogni su slucajevi paraboloida sa x i y–osom kao osovinom.

x

y

z

S1

S2

Slika 1.4.36.

NAPOMENA 1.4.6. U Definiciji 1.1.19 je oblast definisanosti prostorne povrsi bilaogranicena. Kod konusa i paraboloida nismo uveli takvo ogranicenje, a uvodicemo gakada konkretne prilike to zahtevaju. Konus i paraboloid su otvorene povrsi prema Defini-ciji 1.1.20. 4

Neka kriva L pripada nekoj od koordinatnih ravni, npr. xy–ravni. Ako sekroz svaku tacku krive L postavi prava p paralelna z–osi, geometrijsko mestotakvih pravih formira cilindricnu povrs S (Slika 1.4.37). Kriva L je direktrisaili linija vodilja, a prave p su generatrise ili izvodnice. Kao geometrijsko mestopravih, cilindricna povrs je neogranicena. Ukoliko je ogranicimo krivama L1

i L2, ove krive zovemo osnovama ili bazisima.Cilindricna povrs S ima ”istu” jednacinu kao direktrisa L. Pri tome je

treca koordinata z = 0 za krivu L, dok je z ∈ R za povrs S proizvoljna. Naprimer, ako su jednacine direktrise

L : x = x(t) , y = y(t) , z = 0 ; t ∈ [α, β] ,


jednacine cilindricne povrsi S su

(1.4.54) x = x(t) , y = y(t) ; t ∈ [α, β] .

Kako se za krive u koordinatnim ravnima najcesce ne navodi koordinata kojaje jednaka nuli, a za cilindricne povrsi se podrazumeva i nikad ne upisujeproizvoljna koordinata, to se jednacine direktrise L i cilindricne povrsi S nerazlikuju. Zato je uvek potrebno naglasiti da li se jednacine odnose na ravanili prostor, tj. na krivu ili cilindricnu povrs.

Analogno razmatranje vazi za cilindricne povrsi cije su direktrise u yz izx–koordinatnoj ravni.

Cilindricne povrsi smo vec pominjali kao koordinatne povrsi u slucajucilindricnih koordinata (r = c1 za c1 > 0).

x

y

z

L2

L

p

L

S

1

Slika 1.4.37.

NAPOMENA 1.4.7. Prema nacinu na koji nastaju, konus i cilindricna povrs spadajuu pravolinijske povrsi, a paraboloid je obrtna povrs ([5], str. 181–190). Definicije ovihpovrsi u opstem slucaju, vezane za nacin njihovog nastanka, nismo razmatrali. Izdvojilismo samo neke specijalne slucajeve i prezentovali ih u obliku koji odgovara potrebamaovog kursa. 4

2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI

2.1. Krivolinijski integrali po luku(I vrste)

U cilju definisanja krivolinijskih integrala po luku, prosledujemo opstepravilo o formiranju Riemannovih integrala, uvodeci konkretne umestoopstih oznaka.

Neka je oblast integracije OI = L, gde je L orijentisana prostorna kriva.Tackama Ti (i = 0, 1, . . . , n) se kriva L deli (Definicija 1.2.3, Slika 1.2.11) na

n delova PDi =y

Ti−1Ti (i = 1, 2, . . . , n). Unutar svakog dela se bira tacka

Xi(ξi, ηi, ζi). Za Xi ∈y

Ti−1Ti moze da se uzme bilo koja tacka. Karakteris-tika podeonih delova je njihova duzina

k(PDi) = m( yTi−1Ti

)= λi > 0 .

Neka je podintegralna funkcija PF (X) = H(x, y, z) neprekidna na krivojL, gde je tacka X(x, y, z) ∈ L proizvoljna. Vrednost PF (Xi) = H(Xi) =H(ξi, ηi, ζi) se mnozi izabranom karakteristikom i sabiranjem se dobija inte-gralna suma, a zatim i odgovarajuci integral.

Definicija 2.1.1. Zbir

(2.1.1) Sλ(n) =n∑

i=1

H(Xi) · λi =n∑

i=1

H(ξi, ηi, ζi) · λi

je integralna suma po luku funkcije H(x, y, z).

Definicija 2.1.2. Ukoliko postoji kad n → ∞ i max1≤i≤n

λi → 0, granicna

vrednost

(2.1.2)∫

L

H(x, y, z) dλ = limn→∞

Sλ(n)

57


je krivolinijski integral po luku ili krivolinijski integral I vrste funkcijeH(x, y, z).

Granicna vrednost (2.1.2) mora da postoji nezavisno od nacina deobe Li izbora tacaka Xi, sto je uslov egzistencije svih Riemannovih integrala, pavise necemo da ga ponavljamo.

Promena orijentacije krive L dovodi do promene rasporeda tacaka Ti (i =0, 1, . . . , n) na krivoj (Slika 1.2.11). Medutim, to ne menja duzine λi podeokay

Ti−1Ti, pa karakteristike podeonih delova zadrzavaju znak k(PDi) = λi > 0za svako i = 1, 2, . . . , n. Zato integralna suma (2.1.1) i integral (2.1.2) ostajuisti. Zakljucujemo da orijentacija krive L ne utice na vrednost krivolinijskogintegrala I vrste, sto znaci da za njih ne vazi osobina (1.3.8), vec vazi

∫

L+H(x, y, z) dλ =

∫

L−H(x, y, z) dλ .

Ako je l = m(L) duzina cele krive L, za H(x, y, z) ≡ 1 iz (2.1.1) i (2.1.2)sledi osobina (1.3.9), tj.

(2.1.3)∫

L

dλ = limn→∞

n∑

i=1

λi = limn→∞

l = l .

Neka je M > 0 konacan realan broj, takav da je |H(x, y, z)| ≤ M za svakutacku X(x, y, z) ∈ L. Ako je l duzina krive L, prema (2.1.1) i (2.1.2) sledi iosobina (1.3.10), tj.

∣∣∣∫

L

H(x, y, z) dλ∣∣∣ =

∣∣∣ limn→∞

n∑

i=1

H(Xi) · λi

∣∣∣ ≤ limn→∞

n∑

i=1

|H(Xi)|λi ≤ Ml .

Za H(x, y, z) ≡ M vazi znak jednakosti.

Geometrijska interpretacija krivolinijskog integrala I vrste moze da se dasamo kada kriva L pripada nekoj od koordinatnih ravni, npr. xy–ravni. Tadase funkcija H(x, y, z) svodi na funkciju dve nezavisno promenljive f(x, y) =H(x, y, 0). Krivolinijski integral

∫L

f(x, y) dλ izracunava povrsinu cilindricnepovrsi cije su izvodnice paralelne z–osi, ”donji” bazis (i direktrisa) je kriva L,a ”gornji” bazis se nalazi u preseku te povrsi i povrsi z = f(x, y) (Slika 2.1.1).Sagledavanje ovog geometrijskog tumacenja je jednostavno. Ako krivu L”ispravimo”, ”ispravlja se” i opisana cilindricna povrs. Dovodeci krivu L,npr., na y–osu i cilindricnu povrs u yz–ravan, nastaje situacija koja je u


potpunosti analogna situaciji kod odredenih integrala jer kriva L postajesegment na y–osi, a cilindricna povrs postaje oblast krivolinijskog trapezakao na Slici 1.3.1, samo u yz–ravni.

x

y

zz = f(x,y)

L

T-T

i

i

1

Slika 2.1.1.

U skladu sa uocenom analogijom u geometrijskoj interpretaciji krivoli-nijskog integrala I vrste i odredenog integrala je i sledece zapazanje. NaSlici 2.1.1 je prikazan slucaj kada je f(x, y) ≥ 0 duz citave krive L. Ako jef(x, y) ≤ 0 za svako (x, y) ∈ L, vrednost

∫L

f(x, y) dλ je negativna, pa zapovrsinu treba uzeti

∣∣∫L

f(x, y) dλ∣∣. Ako f(x, y) menja znak duz krive L,

krivu treba podeliti tako da na dobijenim delovima f(x, y) ima stalan znak,zatim na svakom od delova izracunati integral i sabrati module nadenih

vrednosti. Na primer, za L =_

AB, C ∈ L, f(x, y) ≥ 0 na_

AC i f(x, y) ≤0 na

_

CB, povrsinu cilindricne povrsi dobijamo pomocu∫

_AC

f(x, y) dλ +∣∣∫ _CB

f(x, y) dλ∣∣.

Specijalno, neka L pripada nekoj od koordinatnih osa, npr., neka je L =[a, b] segment na x–osi. Tada se podintegralna funkcija H(x, y, z) svodi nafunkciju f(x) = H(x, 0, 0), a krivolinijski integral I vrste

∫L

H(x, y, z) dλ naodredeni integral

∫ b

af(x) dx.

NAPOMENA 2.1.1. Neka je kriva L data parametarskim jednacinama (1.1.1).Za funkciju H(x, y, z) kazemo da je neprekidna na krivoj L ako je funkcija f(t) =Hx(t), y(t), z(t)

neprekidna na segmentu [α, β]. 4

2.2. Krivolinijski integrali po koordinatama(II vrste)

Kod krivolinijskih integrala po koordinatama situacija je ista kao kodkrivolinijskih integrala po luku. Oblast integracije je OI = L, gde je L


orijentisana prostorna kriva. Kriva L se tackama Ti (i = 0, 1, . . . , n) deli

na lukove PDi =y

Ti−1Ti (i = 1, 2, . . . , n) i u svakom od njih se bira tackaXi(ξi, ηi, ζi). Ovi tipovi integrala se medusobno razlikuju u izabranoj karak-teristici podeonih delova k(PDi). Ako je Ti(xi, yi, zi), kod krivolinijskihintegrala po koordinatama se za karakteristiku bira jedan od izraza:

k(PDi) = xi − xi−1 , k(PDi) = yi − yi−1 , k(PDi) = zi − zi−1 .

Dakle, karakteristika k(PDi) je razlika izmedu odgovarajucih koordinatauzastopnih podeonih tacaka Ti−1 i Ti, s tim sto se uvek od koordinatenaredne oduzima koordinata prethodne tacke podele. Ako je X(x, y, z) ∈ Lproizvoljna tacka i podintegralna funkcija PF (X) = P (x, y, z) neprekidnana L, dolazi se do sledecih definicija.


(2.2.1) Sx(n) =n∑

i=1

P (Xi) · (xi − xi−1) =n∑

i=1

P (ξi, ηi, ζi) · (xi − xi−1)

je integralna suma po koordinati x funkcije P (x, y, z).


|xi − xi−1| → 0,

granicna vrednost

(2.2.2)∫

L

P (x, y, z) dx = limn→∞

Sx(n)

je krivolinijski integral po koordinati x ili krivolinijski integral II vrste funkcijeP (x, y, z).

Ako su Q(x, y, z) i R(x, y, z) funkcije neprekidne na L, analogno se definisuintegralne sume po koordinatama y i z,

Sy(n) =n∑

i=1

Q(Xi) · (yi − yi−1) , Sz(n) =n∑

i=1

R(Xi) · (zi − zi−1) ,

kao i krivolinijski integrali po koordinatama y i z,∫

L

Q(x, y, z) dy = limn→∞

Sy(n) ,

∫

L

R(x, y, z) dz = limn→∞

Sz(n) .

Ovi integrali su takode krivolinijski integrali II vrste.


Definicija 2.2.3. Potpuni krivolinijski integral II vrste je∫

L

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz(2.2.3)

=∫

L

P (x, y, z) dx +∫

L

Q(x, y, z) dy +∫

L

R(x, y, z) dz .

Vidimo da je potpuni krivolinijski integral samo kraci zapis zbira krivoli-nijskih integrala po koordinatama u kojima se integracija vrsi po istoj krivojL. Smisao uvodenja ovog integrala bice razjasnjen kasnije, u okviru vek-torskih krivolinijskih integrala.

Posmatrajmo krivu L =_

AB i pretpostavimo da su a, b (a < b) prvekoordinate granicnih tacaka A, B redom. Takode, pretpostavimo da je ujednacinama (1.1.1) preslikavanje x = x(t) bijekcija. Tada orijentaciji kriveod tacke A ka tacki B i podeli tackama Ti odgovara rastuca podela segmenta[a, b] tackama xi na x–osi (Slika 2.2.1), dok orijentaciji od B ka A odgovaraopadajuca podela segmenta (Slika 2.2.2). Dakle, karakteristike podeonih

delova za svako i = 1, 2, . . . , n su k(PDi) = xi−xi−1 > 0 u slucaju L =y

AB

i k(PDi) = xi − xi−1 < 0 u slucaju L =y

BA. Suprotan znak k(PDi)uslovljava suprotan znak integralne sume, a time i krivolinijskog integralapo koordinati x. Zakljucujemo da za krivolinijski integral po koordinati xvazi osobina (1.3.8), tj. vazi

∫

L+P (x, y, z) dx = −

∫

L−P (x, y, z) dx ,

pri cemu L− oznacava samo suprotno orijentisanu krivu u odnosu na L, neobavezno negativno orijentisanu. Analogno se zakljucuje i za krivolinijskeintegrale po ostalim koordinatama, pa osobina (1.3.8) vazi generalno za svekrivolinijske integrale II vrste.

x

y

zA T

TTT

B

x

x

i

i

a

b

x

x

i

i

i

i

i

i

1

1

1

1

x

y

zA

B

a

b

-

--

-



Primecujemo da je segment [a, b] projekcija krive L na x–osu. Pret-postavka da je x = x(t) bijekcija uvedena je da bi i projektovanje L nax–osu bilo bijekcija. Ovaj uslov obezbeduje da segment [a, b] i kriva L imajusaglasne orijentacije (Napomena 1.2.5) i da koordinate xi podeonih tacakaTi krive, kao podeone tacke segmenta, slede jedna za drugom. Takode,k(PDi) = ±|xi−xi−1| je duzina projekcije podeoka PDi na x–osu, uzeta saznakom + ili − u zavisnosti od orijentacije krive.

Osobina (1.3.9) ne vazi za krivolinijske integrale II vrste jer karakteristike

k(PDi) nisu velicine podeonih delovay

Ti−1Ti.

Osobinu (1.3.10) pokazujemo u slucaju krivolinijskog integrala po koor-dinati x, a slicno se pokazuje i za integrale po ostalim koordinatama. Nekaje M > 0 konacan realan broj, |P (x, y, z)| ≤ M i l duzina krive L. Tada je|xi − xi−1| ≤ λi (Slika 2.2.3) i

∣∣∣∫

L

P (x, y, z) dx∣∣∣ ≤ lim

n→∞

n∑

i=1

|P (Xi)| |xi − xi−1|

≤ M limn→∞

n∑

i=1

|xi − xi−1| ≤ M limn→∞

n∑

i=1

λi = Ml ,

gde je λi duzina lukay

Ti−1Ti, a jednakost vazi ako je P (x, y, z) ≡ M i ako je Lparalelna x–osi. Radi jednostavnosti, na Slici 2.2.3 je predstavljena kriva L uxy–ravni. Duzina hipotenuze mi u uocenom pravouglom trouglu je najkracerastojanje izmedu tacaka Ti−1 i Ti, pa je mi ≤ λi. Kako je |xi−xi−1| duzinakatete u istom trouglu, to je |xi − xi−1| ≤ mi, dakle |xi − xi−1| ≤ λi. Akoje kriva L paralelna x–osi, tada je |xi−xi−1| = λi. Primecujemo da u ovomslucaju vazi i stroza nejednakost

∣∣∣∫

L

P (x, y, z) dx∣∣∣ ≤ M(b− a) ,

gde su a i b (a < b) prve koordinate granicnih tacaka krive L.

x

y

L

T

T

i

i

i

ii

i

i

i 1

1

1

x

lm

|x -x |

x

-

-

-

Slika 2.2.3.


Za krivolinijske integrale II vrste je znacajna i sledeca osobina. Ako krivaL pripada ravni normalnoj na x–osu, vazi

(2.2.4)∫

L

P (x, y, z) dx = 0 ,

sto se lako pokazuje. Neka je S ravan normalna na x–osu, koja x–osu seceu tacki x = a. Sve tacke ravni S, pa i tacke sa krive L, tada imaju istuprvu koordinatu x = a. Zato je x0 = x1 = · · · = xn = a, xi − xi−1 = 0za svako i = 1, 2, . . . , n i, prema (2.2.1) i (2.2.2), sledi (2.2.4). Analognuosobinu imaju integrali po koordinatama y i z.

Osobina (2.2.4) ne vazi za krivolinijske integrale po luku jer je λi 6= 0 zasvako i = 1, 2, . . . , n bez obzira na polozaj krive.

Geometrijska interpretacija krivolinijskog integrala II vrste moze da se dapod istim uslovom pripadnosti krive L nekoj od koordinatnih ravni, kao uslucaju krivolinijskog integrala I vrste. Zato imamo u vidu istu situaciju(Slika 2.1.1). Krivolinijski integral

∫L

f(x, y) dy izracunava povrsinu projek-cije cilindricne povrsi na yz–ravan, pod uslovom da je projektovanje bijek-tivno (Slika 2.2.4).

xy

z

L y y

TT

i

i

i

i

1

1

-

-

Slika 2.2.4.

Znamo da znak krivolinijskog integrala II vrste, osim od znaka podinte-gralne funkcije, zavisi i od orijentacije krive L. Na Slici 2.2.4 je izabrana onaorijentacija za koju je yi − yi−1 > 0 (i = 1, 2, . . . , n). U slucaju suprotneorijentacije je yi− yi−1 < 0 i vrednost integrala je negativna, pa za povrsinutreba uzeti

∣∣∫L

f(x, y) dy∣∣. Uticaj znaka podintegralne funkcije na znak in-

tegrala je isti kod svih Riemannovih integrala, konkretno kod krivolinijskihintegrala I i II vrste. Zato ranije dati komentari o izracunavanju povrsine uzavisnosti od znaka podintegralne funkcije ostaju i ovde na snazi.

Interpretacija integrala∫

Lf(x, y) dx je analogna prethodnoj, samo pro-

jektovanje treba vrsiti na zx–ravan.

Specijalno, neka L pripada nekoj od koordinatnih osa, npr., neka je L =[a, b] segment na x–osi. Tada se podintegralna funkcija P (x, y, z) svodi na


funkciju f(x) = P (x, 0, 0), a krivolinijski integral II vrste∫

LP (x, y, z) dx

na odredeni integral∫ b

af(x) dx ako je kriva L orijentisana od a ka b ili na∫ a

bf(x) dx ako je orijentisana od b ka a.NAPOMENA 2.2.1. Bilo koja kriva se u literaturi cesto srece pod imenom luk, put ili

trajektorija. Tako se za krivu L po kojoj se vrsi integracija kaze da je L kriva, luk ili putintegracije. Cest je i termin smer integracije jer je L orijentisana kriva.

Krivolinijski integrali po luku i koordinatama su dobili svoja imena prema izabranimkarakteristikama podeonih delova. U prvom slucaju se karakteristikom k(PDi) = λi kriva(luk) tretira direktno. U drugom slucaju se karakteristikom, npr. k(PDi) = xi − xi−1,kriva tretira posredno, preko njene projekcije na x–osu, tj. pomocu prvih koordinatanjenih tacaka. 4

2.3. Izracunavanje krivolinijskih integrala

Izracunavanje krivolinijskih, kao i ostalih Riemannovih integrala, svodise na izracunavanje odgovarajucih odredenih integrala. Uslove i pravila pre-vodenja krivolinijskih na odredene integrale formulisacemo u obliku teorema.

2.3.1. Izracunavanje krivolinijskih integrala I vrste

Teorema 2.3.1. Ako je orijentisana kriva L data parametarskim jedna-cinama

L : x = x(s) , y = y(s) , z = z(s) ; s ∈ [0, l] ,

gde je parametar s duzina dela krive merena od jedne njene granicne tackei l ukupna duzina krive, tada je

(2.3.1)∫

L

H(x, y, z) dλ =∫ l

0

H(x(s), y(s), z(s)

)ds .

Dokaz. Neka su A i B granicne tacke krive L, a s duzina dela krivemerena od bilo koje granicne tacke, npr. od tacke A. S obzirom na znacenjeparametra s, ocigledno je s ∈ [0, l], pri cemu s = 0 odgovara tacki A, a s = ltacki B. Jos, neka su s = si (i = 0, 1, . . . , n) vrednosti parametra s kojeodgovaraju podeonim tackama Ti (Slike 2.3.1, 2.3.2).

l l

A= 0

0

s

ss

s

n

n=B

A=

=B

T

TT

T

T

T

T

Ti

ii

i

i

i

ii

i

i

1

11

1

-

--

-



Za orijentaciju krive L od tacke A ka tacki B, tj. za L =y

AB, parametars raste od s = s0 = 0 do s = sn = l, pa je λi = si − si−1 > 0 za svakoi = 1, 2, . . . , n (Slika 2.3.1). Ako je s = σi ∈ [si−1, si] vrednost parametra

koja odgovara tacki Xi(ξi, ηi, ζi) ∈y

Ti−1Ti, vazi

Xi(ξi, ηi, ζi) = Xi

(x(σi), y(σi), z(σi)

),

H(Xi) = H(x(σi), y(σi), z(σi)

)= f(σi)

i

Sλ(n) =n∑

i=1

H(Xi) · λi =n∑

i=1

f(σi) · (si − si−1) = Ss(n) .

Dobijeni zbir Ss(n) je integralna suma za odredeni integral u kome je pod-integralna funkcija

f(s) = H(x(s), y(s), z(s)

),

a oblast integracije segment [0, l]. Kako tacke si (i = 0, 1, . . . , n) cine rastucupodelu segmenta [0, l], to je

∫

L


Sλ(n) = limn→∞

Ss(n) =∫ l

0

f(s) ds

=∫ l

0

H(x(s), y(s), z(s)

)ds .

Za suprotnu orijentaciju L =y

BA parametar s opada od s = s0 = l dos = sn = 0, pa je λi = si−1 − si > 0 za svako i = 1, 2, . . . , n (Slika 2.3.2) i

Sλ(n) =n∑

i=1

f(σi) · (si−1 − si) = −n∑

i=1

f(σi) · (si − si−1) = −Ss(n) .

Kako tacke si (i = 0, 1, . . . , n) cine opadajucu podelu segmenta [0, l], to je∫

L


Sλ(n) = − limn→∞

Ss(n) = −∫ 0

l

f(s) ds =∫ l

0

f(s) ds

=∫ l

0

H(x(s), y(s), z(s)

)ds ,

cime je dokaz teoreme zavrsen. ¤Teorema 2.3.2. Ako je orijentisana kriva L data parametarskim jedna-

cinamaL : x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ; t ∈ [α, β] ,


gde je parametar t proizvoljan, tada je∫

L

H(x, y, z) dλ(2.3.2)

=∫ β

α

H(x(t), y(t), z(t)

)√x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt .

Dokaz Teoreme 2.3.2 je izveden u [6], str. 47–49. Ovde ga zbog kompli-kovanosti izostavljamo, uz napomenu da su za njegovu realizaciju potrebnejednakosti

λi = ±∫ ti

ti−1

√x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt ,

gde su ti−1, ti vrednosti parametra t koje odgovaraju podeonim tackamaTi−1, Ti. Pri tome je ti−1 < ti ako je L pozitivno orijentisana prema Defini-ciji 1.2.1, a ti−1 > ti ako je L negativno orijentisana.

Specijalno, ako je parametar t neka od Descartesovih koordinata, npr.x ∈ [a, b], parametarske jednacine krive L su

x = x(t) = t , y = y(t) , z = z(t) ; t ∈ [a, b]

ili, uobicajeno zapisano,

L : y = y(x) , z = z(x) ; x ∈ [a, b]

i (2.3.2) postaje

(2.3.3)∫

L

H(x, y, z) dλ =∫ b

a

H(x, y(x), z(x)

)√1 + y′2(x) + z′2(x) dx .

U sva tri navedena slucaja (2.3.1), (2.3.2) i (2.3.3) granice odredenih inte-grala su uzete od manje ka vecoj, tj. u smeru rasta izabranog parametra, stoodgovara pozitivnoj orijentaciji krive (Definicija 1.2.1) bez obzira na njenustvarnu orijentaciju, a u skladu je sa ranijim zakljuckom da orijentacija krivene utice na krivolinijske integrale I vrste.

Ukoliko se kriva L sastoji od delova sa razlicitom parametrizacijom, trebaprimeniti opstu osobinu Riemannovih integrala (1.3.7).

PRIMER 2.3.1. Izracunati duzinu dela krive (cikloida)

L1 : x = t− sin t , y = 1− cos t , z = 0 ; t ∈ R

izmedu tacaka A(0, 0, 0) = O(0, 0, 0) i B(2π, 0, 0).


Neka je kriva L =_

AB deo zadate krive L1 (Slika 2.3.3) ciju duzinu l = m(L) trebaizracunati.

A B

2 4-2-4

2L

x

y

0

L1

Slika 2.3.3.

Duzina l se izracunava prema (2.1.3), tj.

l =

ZL

dλ .

Kriva L ima parametarske jednacine kao L1, uz ogranicenje za parametar t,

L : x = t− sin t , y = 1− cos t , z = 0 ; t ∈ [α, β] ,

pri cemu vrednosti t = α i t = β, koje odgovaraju granicnim tackama A i B, nisu poznate.Ove vrednosti se odreduju iz cinjenice da je A, B ∈ L, tj. da koordinate tacaka A i Bzadovoljavaju jednacine krive L. Za tacku A(0, 0, 0) je x = 0, y = 0, pa vazi

0 = t− sin t , 0 = 1− cos t .

Iz druge jednacine dobijenog sistema je cos t = 1 i t = 2kπ (k = 0,±1,±2, . . . ). Zat = 2kπ prva jednacina postaje 0 = 2kπ − sin 2kπ. Kako je sin 2kπ = 0, to je 2kπ = 0 ik = 0. Dakle, za tacku A je t = 2kπ = 0, pa je α = 0. Analogno, za tacku B(2π, 0, 0) jex = 2π, y = 0, pa je

2π = t− sin t , 0 = 1− cos t .

Iz druge jednacine je t = 2kπ, sto smenom u prvu daje 2π = 2kπ i k = 1. Sada jet = 2kπ = 2π i β = 2π. Konacno, parametarske jednacine krive L su

L : x = t− sin t , y = 1− cos t , z = 0 ; t ∈ [0, 2π] .

Prema tvrdenju (2.3.2) Teoreme 2.3.2 sa H(x, y, z) ≡ 1 duzina l je

l =

Z 2π

0

qx′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt .

Kako je

x′(t) = 1− cos t , y′(t) = sin t , z′(t) = 0 ;

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) = 2(1− cos t) ,

dalje je

l =

Z 2π

0

p2(1− cos t) dt .


Primenom jednakosti

1− cos t = 2 sin2 t

2

i imajuci u vidu da je sint

2≥ 0 za t/2 ∈ [0, π], tj. t ∈ [0, 2π], poslednji odredeni integral

se jednostavno resava i dobija se

l =

Z 2π

0

r4 sin2 t

2dt = 2

Z 2π

0

sin t

2

dt = 2

Z 2π

0sin

t

2dt = 4

Z 2π

0sin

t

2d t

2

= −4 cos

t

2

2π

0= −4(cos π − cos 0) = −4(−1− 1) = 8 . 4

NAPOMENA 2.3.1. Primecujemo da u Primeru 2.3.1 oblast definisanosti R krive L1

nije ogranicena kao u Definiciji 1.1.7. Kako je u ovakvim i slicnim slucajevima moguceograniciti oblast definisanosti na bilo koji segment [α, β] ⊂ R, Definicija 1.1.7 i sve njeneposledice ostaju na snazi. Ovu cinjenicu nadalje podrazumevamo i dozvoljavamo da oblastdefinisanosti krive bude proizvoljna, a biramo onaj segment unutar nje koji nam za pos-matrani problem odgovara. 4

PRIMER 2.3.2. Izracunati povrsinu dela cilindricne povrsi

S1 : x2 + y2 = ax

koji se nalazi unutar sfereS2 : x2 + y2 + z2 = a2 ,

gde je a > 0 konacan realan broj.

Neka je cilindricna povrs S deo zadate cilindricne povrsi S1 ciju povrsinu m trebaizracunati. Takode, neka je L direktrisa, a L1 i L2 bazisi povrsi S koji nastaju u presekuS1 sa sferom S2. Sfera S2 je centralna poluprecnika a (Slika 2.3.4). Zbog simetrije povrsiS u odnosu na xy–ravan, posmatramo samo deo iznad xy–ravni za koji je z ≥ 0.

S1 S2

0

S

L

L1

L2

a

aa

x

y

z

Slika 2.3.4.

Iz zadate implicitne jednacine sfere S2 je z = ±p

a2 − x2 − y2, pa je eksplicitnajednacina gornje polusfere (z ≥ 0)

z = f(x, y) =p

a2 − x2 − y2


i ocigledno vazi f(x, y) ≥ 0 za (x, y) ∈ L. Prema geometrijskom tumacenju krivolinijskogintegrala I vrste, polovina trazene povrsine je

m

2=

ZL

f(x, y) dλ =

ZL

pa2 − x2 − y2 dλ .

Direktrisa L ima ”istu” jednacinu kao cilindricna povrs S, odnosno S1, pa je

L : x2 + y2 = ax , z = 0 ,

tj. L je kruznica u xy–ravni (z = 0)

L :x− a

2

2+ y2 =

a2

4,

sa centrom u tacki (a/2, 0, 0) i poluprecnika a/2. Poslednja jednacina je oblika (1.4.21).Uvodenjem polarnih koordinata sa (1.4.4), tj. sa

x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,

dobijaju se parametarske jednacine kruznice oblika (1.4.22),

L : x = a cos2 ϕ , y = a cos ϕ sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈h−π

2,π

2

i.

Prema tvrdenju (2.3.2) Teoreme 2.3.2 sa t = ϕ, je

m

2=

Z π/2

−π/2

qa2 − x2(ϕ)− y2(ϕ)

qx′2(ϕ) + y′2(ϕ) + z′2(ϕ) dϕ .

Kako je

x2(ϕ) + y2(ϕ) = a2 cos4 ϕ + a2 cos2 ϕ sin2 ϕ = a2 cos2 ϕ ;

x′(ϕ) = −2a cos ϕ sin ϕ = −a sin 2ϕ ,

y′(ϕ) = −a sin2 ϕ + a cos2 ϕ = a cos 2ϕ , z′(ϕ) = 0 ;

x′2(ϕ) + y′2(ϕ) + z′2(ϕ) = a2 ,

dalje je

m

2=

Z π/2

−π/2

pa2 − a2 cos2 ϕ

√a2 dϕ = a2

Z π/2

−π/2

p1− cos2 ϕ dϕ = a2

Z π/2

−π/2| sin ϕ| dϕ .

Funkcija | sin x| je parna, a segment [−π/2, π/2] simetrican, pa vazi (1.3.5). Jos je sin ϕ ≥ 0za ϕ ∈ [0, π/2]. Zato je

m

2= 2a2

Z π/2

0sin ϕ dϕ = −2a2 cos ϕ

π/2

0= 2a2

i konacnom = 4a2 .


Kako je (1.4.21) specijalan slucaj kruznice (1.4.18), umesto (1.4.4) moze da se uvedesmena (1.4.20), tj.

x− a

2= r cos ϕ , y = r sin ϕ ,

posle koje se dobijaju parametarske jednacine oblika (1.4.19),

L : x =a

2+

a

2cos ϕ , y =

a

2sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈ [0, 2π] ,

a dalje se postupak odvija analogno.Teorijski posmatrano, svejedno je koje parametarske jednacine krive se koriste. U

praksi se, naravno, koriste one koje omogucavaju jednostavnije resavanje odgovarajucegodredenog integrala. 4

NAPOMENA 2.3.2. Parametrizacija zatvorene krive u ravni pomocu neke od Descar-tesovih koordinata ne moze da se izvrsi jedinstveno za celu krivu (Napomena 1.4.3). Tadase kriva deli i svaki od delova se parametrizuje zasebno. Ovakav nacin rada najcescedovodi i do znatno komplikovanijeg resavanja odredenih integrala. U Primeru 2.3.2, zat = x, imamo L = L1 ∪ L2 i

L1 : x = t , y = −p

at− t2 , z = 0 ; t ∈ [0, a] ,

L2 : x = t , y =p

at− t2 , z = 0 ; t ∈ [0, a] ,

a resavanje integrala prepustamo citaocu. Nemogucnost jedinstvene parametrizacije, kaoi otezano izracunavanje su razlozi zbog kojih se Descartesove koordinate izbegavaju kaoparametri u slucaju zatvorenih krivih. 4

2.3.2. Izracunavanje krivolinijskih integrala II vrste

Krivolinijski integrali II vrste se resavaju na isti nacin po bilo kojoj odkoordinata, pa svodenje na odredeni integral dajemo samo za integral pokoordinati x.

Teorema 2.3.3. Ako je pozitivno orijentisana kriva L data parametar-skim jednacinama

L : x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ; t ∈ [α, β] ,

tada je

(2.3.4)∫

L+P (x, y, z) dx =

∫ β

α

P(x(t), y(t), z(t)

)x′(t) dt .

Dokaz. Neka su t = ti (i = 0, 1, . . . , n) vrednosti parametra t ∈ [α, β]koje odgovaraju podeonim tackama Ti. Zbog pretpostavljene pozitivne ori-jentacije krive L, parametar t raste od t = t0 = α do t = tn = β, pa je


ti − ti−1 > 0 za svako i = 1, 2, . . . , n. Ako je t = τi ∈ [ti−1, ti] vrednost

parametra koja odgovara tacki Xi(ξi, ηi, ζi) ∈y

Ti−1Ti, vazi

Ti(xi, yi, zi) = Ti

(x(ti), y(ti), z(ti)

),


(x(τi), y(τi), z(τi)

),

P (Xi) = P(x(τi), y(τi), z(τi)

)= φ(τi)

i

Sx(n) =n∑

i=1

P (Xi) · (xi − xi−1) =n∑

i=1

φ(τi) ·(x(ti)− x(ti−1)

).

Funkcija x(t) je neprekidna na [α, β], pa je neprekidna i na [ti−1, ti] zasvako i = 1, 2, . . . , n. Zbog vec postignutog dogovora da radimo samo sadeo po deo glatkim krivama, ne umanjujuci opstost pretpostavljamo da jeL glatka kriva (Definicija 1.1.10). To znaci da je x′(t) neprekidna funkcijana [α, β], odakle sledi da je x(t) diferencijabilna na [α, β], tj. na [ti−1, ti] zasvako i = 1, 2, . . . , n ([4], str. 4). Prema Lagrangeovoj teoremi ([4], str. 35),postoje tacke τi ∈ [ti−1, ti] takve da je x(ti) − x(ti−1) = x′(τi) (ti − ti−1).Zato je dalje

Sx(n) =n∑

i=1

φ(τi)x′(τi) · (ti − ti−1) ,

∣∣∣Sx(n)−n∑

i=1

φ(τi)x′(τi) · (ti− ti−1)∣∣∣ ≤

n∑

i=1

|φ(τi)| |x′(τi)−x′(τi)| · (ti− ti−1) .

Funkcija P (x, y, z) je neprekidna na L, sto znaci da je funkcija φ(t) =P

(x(t), y(t), z(t)

)neprekidna na [α, β] (Napomena 2.1.1). Kao neprekidna,

φ(t) je i ogranicena funkcija ([3], str. 317), tj. postoji konacan broj M > 0tako da je |φ(t)| ≤ M za svako t ∈ [α, β]. Takode, iz neprekidnosti funkcijex′(t) sledi da za svako ρn > 0 postoji dovoljno ”sitna” podela segmenta [α, β]tako da je |x′(τi) − x′(τi)| < ρn ([3], str. 309). Neka ρn → 0 kad n → ∞.Tada je

limn→∞

∣∣∣Sx(n)−n∑

i=1

φ(τi)x′(τi) · (ti − ti−1)∣∣∣

≤ limn→∞

Mρn(β − α) = M(β − α) limn→∞

ρn = 0

i

limn→∞

Sx(n) = limn→∞

n∑

i=1

φ(τi)x′(τi) · (ti − ti−1) .


Zbir na desnoj strani jednakosti je integralna suma za odredeni integral ukome je podintegralna funkcija

f(t) = φ(t)x′(t) = P(x(t), y(t), z(t)

)x′(t) ,

a oblast integracije segment [α, β]. Kako tacke ti (i = 0, 1, . . . , n) cinerastucu podelu segmenta [α, β], to neposredno sledi tvrdenje teoreme

∫

L+P (x, y, z) dx =

∫ β

α

f(t) dt =∫ β

α

P(x(t), y(t), z(t)

)x′(t) dt . ¤

Specijalno, ako je parametar t neka od Descartesovih koordinata, npr.x ∈ [a, b], parametarske jednacine krive L su

L : y = y(x) , z = z(x) ; x ∈ [a, b]

i (2.3.4) postaje

(2.3.5)∫

L+P (x, y, z) dx =

∫ b

a

P(x, y(x), z(x)

)dx .

Takode, za parametar y ∈ [c, d] i jednacine

L : x = x(y) , z = z(y) ; y ∈ [c, d]

je

(2.3.6)∫

L+P (x, y, z) dx =

∫ d

c

P(x(y), y, z(y)

)x′(y) dy .

U skladu sa (2.3.4), potpuni krivolinijski integral II vrste se prevodi naodredeni pomocu

∫

L+P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz(2.3.7)

=∫ β

α

[P

(x(t), y(t), z(t)

)x′(t) + Q

(x(t), y(t), z(t)

)y′(t)

+ R(x(t), y(t), z(t)

)z′(t)

]dt .

Prema osobini (1.3.8), koja vazi za krivolinijske integrale II vrste iodredene integrale, za negativno orijentisanu krivu L je

∫

L−P (x, y, z) dx = −

∫

L+P (x, y, z) dx =

∫ α

β

P(x(t), y(t), z(t)

)x′(t) dt .


Iz poslednje jednakosti i jednakosti (2.3.4) vidimo da su granice u odredenimintegralima uzete od manje ka vecoj ako je kriva pozitivno i od vece ka manjojako je kriva negativno orijentisana u odnosu na izabrani parametar. Jasno,isto vazi i u jednakostima (2.3.5)–(2.3.7). Pri prelasku s jednog parametrana drugi treba biti oprezan zbog moguce promene orijentacije od pozitivneu negativnu i obrnuto. Zato je najbolje unositi granice u odredeni integralonim redosledom koji prati orijentaciju krive, bez obzira da li je to pozitivna

ili negativna orijentacija. Na primer, neka je L =_

AB i neka tackama A iB odgovaraju vrednosti parametra t = α i t = β redom. Tada orijentaciji

L =y

AB odgovara

∫

L

P (x, y, z) dx ≡∫ B

A

P (x, y, z) dx =∫ β

α

P(x(t), y(t), z(t)

)x′(t) dt ,

a orijentaciji L =y

BA odgovara

∫

L

P (x, y, z) dx ≡∫ A

B

P (x, y, z) dx =∫ α

β

P(x(t), y(t), z(t)

)x′(t) dt .

Za krivolinijski integral∫

Lduz krive L sa granicnim tackama A i B smo

upotrebili ekvivalentne oznake∫ B

Aili

∫ A

B. Ove oznake cemo i nadalje cesto

da koristimo jer one, osim na krivu L, ukazuju i na njenu orijentaciju.Primetimo da parametar t = s, gde je s duzina dela krive, nije karakte-

ristican za krivolinijske integrale II vrste kao sto je za integrale I vrste. Zatoga treba tretirati kao proizvoljan parametar, tj. za prevodenje krivolinijskogII vrste na odredeni integral treba koristiti jednakost (2.3.4). Buduci daorijentacija krive utice na integrale II vrste, u slucaju upotrebe parametra smora da bude precizirano od koje granicne tacke krive se s meri.

Ako se kriva sastoji od delova sa razlicitom parametrizacijom, treba pri-meniti osobinu (1.3.7).

NAPOMENA 2.3.3. Formule (2.3.3) i (2.3.5) smo dobili iz formula (2.3.2) i (2.3.4)kao specijalne slucajeve. Moguc je i obrnuti postupak, da se (2.3.3) i (2.3.5) dokazu, a iznjih izvedu (2.3.2) i (2.3.4). To se vrsi smenom x = x(t) u odredene integrale, gde je x(t)funkcija koja figurise u parametarskim jednacinama krive. Ovaj postupak je prirodniji odiznetog u slucaju krivolinijskih integrala II vrste jer su Descartesove koordinate za njihkarakteristicni parametri u sledecem smislu. Na primer, koordinata x je karakteristicna zakrivolinijske integrale po koordinati x, ali ne i za krivolinijske integrale po koordinatamay i z. 4

PRIMER 2.3.3. Izracunati povrsinu projekcije na zx–ravan dela cilindricne povrsi

S1 : x2 + y2 = ax


koji se nalazi unutar sfereS2 : x2 + y2 + z2 = a2

za y ≥ 0 i a > 0.

Neka je S cilindricna povrs koju treba projektovati na zx–ravan i m povrsina njeneprojekcije. Takode, neka je L direktrisa, a L1 i L2 bazisi koji nastaju u preseku S1 i S2.Sfera S2 je centralna poluprecnika a (Slika 2.3.5). Zbog simetrije povrsi S u odnosu naxy–ravan, posmatramo samo deo za koji je z ≥ 0.

S1 S2

0

S

L

L1

L2

a

aa

x

y

z

Slika 2.3.5.

Prema geometrijskom tumacenju krivolinijskog integrala II vrste i imajuci u vidu daje povrs S polovina cilindricne povrsi iz Primera 2.3.2 za y ≥ 0, koristimo iste oznake idobijamo

m

2=

ZL

f(x, y) dx =

ZL

pa2 − x2 − y2 dx .

Da bi vrednost krivolinijskog integrala bila pozitivna, L je orijentisana tako da budexi − xi−1 > 0 za svako i = 1, 2, . . . , n (Slika 2.2.1).

Parametarske jednacine direktrise L smo vec odredili

L : x = a cos2 ϕ , y = a cos ϕ sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈h0,

π

2

i,

pri cemu su granice parametra ϕ uzete u skladu sa uslovom y ≥ 0.Za izabranu orijentaciju krive L parametar ϕ se menja od ϕ = π/2 do ϕ = 0, pa je L

negativno orijentisana. Prema osobini (1.3.8) i tvrdenju (2.3.4) Teoreme 2.3.3 sa t = ϕ,je

m

2= −

Z π/2

0

qa2 − x2(ϕ)− y2(ϕ) x′(ϕ) dϕ

= −Z π/2

0

pa2 − a2 cos2 ϕ (−2a cos ϕ sin ϕ) dϕ = 2a2

Z π/2

0cos ϕ sin2 ϕ dϕ

= 2a2

Z π/2

0sin2 ϕ d(sin ϕ) = 2a2 sin3 ϕ

3

π/2

0=

2

3a2 ,

pa je

m =4

3a2 . 4


PRIMER 2.3.4. Izracunati potpuni krivolinijski integral II vrste

I =

ZL

y dx + z dy + x dz ,

gde je kriva L presek povrsi

S1 : x + z = a , S2 : x2 + y2 + z2 = a2

za a > 0. Posmatrano sa pozitivnog dela z–ose, L je pozitivno orijentisana.

Povrs S1 je cilindricna povrs cija je direktrisa prava x = −z+a u zx–ravni (Slika 2.3.6),a izvodnice su paralelne y–osi. Dakle, S1 je ravan koja x–osu (y = 0, z = 0) sece u tacki(a, 0, 0), a z–osu u tacki (0, 0, a). Povrs S2 je centralna sfera poluprecnika a (Slika 2.3.7).Sa Lxy je oznacena saglasno orijentisana projekcija krive L na xy–ravan (Slika 1.2.9).

S1S2L

Lxy

a

a

a

x

y

z

a

a

x

z0


Da bismo odredili parametarske jednacine krive L, prethodno odredujemo parametar-ske jednacine njene projekcije Lxy. Proizvoljna tacka X(x, y, z) ∈ L istovremeno pripadai ravni S1 i sferi S2, pa njene koordinate zadovoljavaju sistem jednacina

x + z = a , x2 + y2 + z2 = a2 .

Iskazujuci z = a−x iz prve jednacine i smenom u drugu jednacinu, dobija se ekvivalentnisistem

2x2 + y2 − 2ax = 0 , z = a− x .

S druge strane, projekcija X′(x, y, 0) ∈ Lxy tacke X ima iste koordinate x, y kao i tackaX, pa koordinate tacke X′ zadovoljavaju prvu od jednacina prethodnog sistema. Zato jejednacina projekcije

Lxy : 2x2 + y2 − 2ax = 0 , z = 0 .

Jednostavnim transformacijama se dobija

Lxy :

x− a

2

2a

2

2+

y2 a√2

2= 1 ,

sto znaci da je Lxy elipsa sa centrom u tacki (a/2, 0, 0) i poluosama a/2, a/√

2 na x iy–osi redom. Poslednja jednacina je oblika (1.4.26). Uvodenjem smene (1.4.28), tj.

x− a

2a

2

= r cos ϕ ,ya√2

= r sin ϕ ,


dobijaju se parametarske jednacine elipse oblika (1.4.27),

Lxy : x =a

2+

a

2cos ϕ , y =

a√2

sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈ [−π, π] .

Povratkom u jednacinu z = a− x slede i parametarske jednacine krive

L : x =a

2+

a

2cos ϕ , y =

a√2

sin ϕ , z =a

2− a

2cos ϕ ; ϕ ∈ [−π, π] .

Zadata orijentacija krive L predstavlja, u stvari, orijentaciju njene projekcije Lxy , a Lje samo orijentisana saglasno sa Lxy (Slika 1.2.9 i komentar uz sliku). Zato se parametarϕ menja od ϕ = −π do ϕ = π, pa je L pozitivno orijentisana. Prema jednakosti (2.3.7)sa t = ϕ, je

I =

Z π

−π

hy(ϕ) x′(ϕ) + z(ϕ) y′(ϕ) + x(ϕ) z′(ϕ)

idϕ .

Kako je

x′(ϕ) = −a

2sin ϕ , y′(ϕ) =

a√2

cos ϕ , z′(ϕ) =a

2sin ϕ ,

to je

I =

Z π

−π

h a√2

sin ϕ−a

2sin ϕ

+a

2− a

2cos ϕ

a√2

cos ϕ +a

2+

a

2cos ϕ

a

2sin ϕ

idϕ

=

Z π

−π

h− a2

2√

2+

a2

2√

2cos ϕ +

a2

4sin ϕ +

a2

4cos ϕ sin ϕ

idϕ

= − a2

2√

2

Z π

−πdϕ +

a2

2√

2

Z π

−πcos ϕ dϕ +

a2

4

Z π

−πsin ϕ dϕ +

a2

4

Z π

−πcos ϕ sin ϕ dϕ .

Funkcije sin ϕ i cos ϕ sin ϕ su neparne, a segment [−π, π] simetrican, pa vazi (1.3.5), tj.Z π

−πsin ϕ dϕ = 0 ,

Z π

−πcos ϕ sin ϕ dϕ = 0 .

Zato je dalje

I = − a2

2√

2ϕπ−π

+a2

2√

2sin ϕ

π−π

= − 1√2

a2π .

Elipsu Lxy smo mogli da tretiramo kao specijalan slucaj (1.4.29). Tada se uvodeuopstene polarne koordinate sa (1.4.7), tj. smena (1.4.25),

x =a

2r cos ϕ , y =

a√2

r sin ϕ ,

posle koje se dobijaju parametarske jednacine elipse oblika (1.4.30) i odgovarajuce para-metarske jednacine krive

L : x = a cos2 ϕ , y =√

2 a cos ϕ sin ϕ , z = a sin2 ϕ ; ϕ ∈h−π

2,π

2

i.

Medutim, ovakva parametrizacija krive L dovodi do odredenog integrala koji se znatnoteze resava.


U parametarskim jednacinama (1.4.27) smo uzeli simetrican segment [−π, π] umestosegmenta [0, 2π] da bismo mogli da iskoristimo jednakosti (1.3.5) i uprostimo izracunavanjeodredenog integrala. Ovo je razlog zbog kog je skoro uvek bolje uzimati simetrican odnekog drugog segmenta. 4

NAPOMENA 2.3.4. Ako je kriva L zadata kao presek povrsi S1, S2 i ako je Lxy

njena projekcija na xy–ravan, postupak iz Primera 2.3.4 kojim se dolazi do jednacineprojekcije Lxy je, u stvari, eliminacija z–koordinate iz jednacina povrsi S1 i S2. Analogno,eliminacijom x–koordinate se dobija jednacina projekcije Lyz na yz–ravan, a eliminacijomy–koordinate jednacina projekcije Lzx na zx–ravan. U Primeru 2.3.4 iz sistema

x + z = a , x2 + y2 + z2 = a2

eliminisemo x tako sto iz prve jednacine iskazujemo x = a−z i zamenom u drugu jednacinudobijamo 2z2 + y2 − 2az = 0, pa je jednacina projekcije na yz–ravan

Lyz : 2z2 + y2 − 2az = 0 , x = 0 .

Uopste uzev, nalazenje jednacine projekcije, njena parametrizacija, kao i parametrizacijasame krive, mogu da predstavljaju znacajan problem, pa nije svejedno na koju koordinatnuravan se vrsi projektovanje.

Na ovom mestu primetimo i sledece. Neka su, npr., za odredivanje parametarskihjednacina projekcije Lxy upotrebljene polarne (1.4.4) ili uopstene polarne koordinate(1.4.7). Tada citav postupak iz Primera 2.3.4 nije nista drugo nego odredivanje parametar-skih jednacina krive L uvodenjem cilindricnih (1.4.8) ili uopstenih cilindricnih koordinata(1.4.10). 4

NAPOMENA 2.3.5. Ako je za odredivanje parametarskih jednacina prostorne krive Lpotrebno prethodno odrediti jednacinu njene projekcije na neku od koordinatnih ravni,dajemo nekoliko prakticnih saveta.

1 Ukoliko se kriva L bijektivno projektuje samo na jednu koordinatnu ravan, nalazise jednacina projekcije upravo na tu koordinatnu ravan da bi se izbeglo rastavljanje krivena bijektivne delove u odnosu na ostala projektovanja i resavanje vise umesto jednogodredenog integrala.

2 Ukoliko se kriva L bijektivno projektuje na dve ili tri koordinatne ravni, bira seono projektovanje za koje se jednacina projekcije krive L najlakse nalazi i odgovarajuciodredeni integral najlakse resava. U Primeru 2.3.4 su projektovanja na xy i yz–ravan bijek-cije, dok projektovanje na zx–ravan to nije. Pri tome su projekcije Lxy i Lyz ravnopravnepo pitanju nalazenja njihovih jednacina i resavanja odgovarajucih odredenih integrala.

3 Pogodna situacija je kada je bijektivna projekcija krive u slucaju 1 ili neka od bijek-tivnih projekcija u slucaju 2 direktrisa vec poznate cilindricne povrsi jer tada jednacinaprojekcije ne mora da se odreduje.

4 Ukoliko je kriva L sastavljena od delova sa razlicitom parametrizacijom, posle de-obe se svaki od delova tretira kao posebna kriva i na nju se primenjuje odgovarajuci odprethodnih zakljucaka.

Sa krivama koje se ne projektuju bijektivno ni na jednu od koordinatnih ravni necemoda se srecemo u okviru ovog kursa. Inace, u tom slucaju treba vrsiti deobu krive na bijek-tivne delove u odnosu na ono projektovanje kojim se do zeljenog rezultata najjednostavnijedolazi. 4


2.4. Veza izmedu krivolinijskih integralaI i II vrste

Razmatramo, najpre, jednostavniji slucaj kada orijentisana kriva L pri-pada nekoj od koordinatnih ravni, npr. xy–ravni.

Neka je kriva L =y

AB zadata parametarskim jednacinama

L : x = x(t) , y = y(t) , z = 0 ; t ∈ [t1, t2] ,

pri cemu vrednost parametra t = t1 odgovara granicnoj tacki A, a vrednostt = t2 granicnoj tacki B. U proizvoljnoj tacki X(x, y, 0) = X(x, y) ∈ Lpostavimo tangentu i secicu krive i orijentisimo ih saglasno orijentaciji krive(Slika 1.2.10). Sa α, ψ ∈ [0, π] oznacimo manje od uglova koje orijentisanatangenta i secica zaklapaju sa pozitivnim delom x–ose (Slika 2.4.1), a saβ, θ ∈ [0, π] manje od uglova koje one zaklapaju sa pozitivnim delom y–ose(Slika 2.4.2). Jos, neka su ∆x, ∆y, ∆h prirastaji po x–osi, y–osi i seciciredom kada se tacka X krece duz krive L u zadatom smeru od polozajaX(x, y) do polozaja M(x + ∆x, y + ∆y).

N

x

y

0

a

B

A

XX

M

x x+ xD

Dh

yDx

N

x

y

0

bB

A

M

qDy

y+ yD

y

Dh


Kako jeX(x, y) = X

(x(t), y(t)

)

proizvoljna tacka, sve prethodno uvedene velicine zavise od polozaja tacke Xna krivoj, tj. od njenih koordinata x, y koje su funkcije nezavisnog parametrat, pa vazi:

∆x = ∆x(t) , ∆y = ∆y(t) , ∆h = ∆h(t) ;ψ = ψ(x, y) = ψ

(x(t), y(t)

), θ = θ(x, y) = θ

(x(t), y(t)

);

α = α(x, y) = α(x(t), y(t)

), β = β(x, y) = β

(x(t), y(t)

).(2.4.1)


Ako je ∆t prirastaj parametra koji tacku X dovodi u polozaj M , tada je

M(x + ∆x, y + ∆y) = M(x(t) + ∆x(t), y(t) + ∆y(t)

)

= M(x(t + ∆t), y(t + ∆t)

)

i∆x(t) = x(t + ∆t)− x(t) , ∆y(t) = y(t + ∆t)− y(t) ,

sto znaci da su ∆x(t) i ∆y(t) prirastaji funkcija x(t) i y(t).Iz pravouglih trouglova sa temenima N , X, M (Slike 2.4.1 i 2.4.2) je

∆h =√

(∆x)2 + (∆y)2 ; cos ψ =∆x

∆h, cos θ =

∆y

∆h.

Zato je dalje

cosψ =

∆x

∆t∆h

∆t

=

∆x

∆t

±√(∆x

∆t

)2

+(∆y

∆t

)2, cos θ =

∆y

∆t

±√(∆x

∆t

)2

+(∆y

∆t

)2,

pri cemu se ispred kvadratnog korena uzima znak + za ∆t > 0, a znak −za ∆t < 0. Kad ∆t → 0, tacka M se priblizava tacki X, secica se priblizavatangenti, ugao ψ uglu α, ugao θ uglu β i sledi:

lim∆t→0

∆x

∆t= x′(t) , lim

∆t→0

∆y

∆t= y′(t) ;

cosα = lim∆t→0

cos ψ = ± x′(t)√x′2(t) + y′2(t)

,(2.4.2)

cosβ = lim∆t→0

cos θ = ± y′(t)√x′2(t) + y′2(t)

.(2.4.3)

U jednakostima (2.4.2) i (2.4.3) znak + odgovara rastucoj promeni parametra(∆t > 0), a znak − opadajucoj promeni (∆t < 0). Uocimo da dobijeni izraziukazuju na zavisnost

cos α = cos α(x, y) = cos α(x(t), y(t)

),

cosβ = cos β(x, y) = cos β(x(t), y(t)

),

sto je logicna posledica zavisnosti (2.4.1).


S obzirom na orijentaciju krive L od tacke A ka tacki B i rast parametrat, uz upotrebu oznake

H(x, y) = P (x, y) cos α(x, y)

i koriscenjem jednakosti (2.3.4), rezultata (2.4.2) i jednakosti (2.3.2) redom,dobijamo

∫

L

P (x, y) dx =∫ B

A

P (x, y) dx =∫ t2

t1

P(x(t), y(t)

)x′(t) dt

=∫ t2

t1

P(x(t), y(t)

)cos α

(x(t), y(t)

)√x′2(t) + y′2(t) dt

=∫ t2

t1

H(x(t), y(t)

) √x′2(t) + y′2(t) dt =

∫

L

H(x, y) dλ

=∫

L

P (x, y) cos α(x, y) dλ .

Analogno je, za oznaku

H(x, y) = Q(x, y) cos β(x, y)

i rezultat (2.4.3),

∫

L

Q(x, y) dy =∫ B

A

Q(x, y) dy =∫ t2

t1

Q(x(t), y(t)

)y′(t) dt

=∫ t2

t1

Q(x(t), y(t)

)cos β

(x(t), y(t)

)√x′2(t) + y′2(t) dt

=∫ t2

t1

H(x(t), y(t)

) √x′2(t) + y′2(t) dt =

∫

L

H(x, y) dλ

=∫

L

Q(x, y) cos β(x, y) dλ .

Sabiranjem poslednje dve jednakosti i podrazumevajuci cos α = cos α(x, y),cos β = cos β(x, y), sledi

(2.4.4)∫

L

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =∫

L

[P (x, y) cos α + Q(x, y) cos β

]dλ .


Za suprotnu orijentaciju L =y

BA, parametar t opada, pa se u jednakos-tima (2.4.2) i (2.4.3) uzima znak −, sto dovodi do istih rezultata, npr.∫

L

P (x, y) dx =∫ t1

t2

P(x(t), y(t)

)[− cosα(x(t), y(t)

)√x′2(t) + y′2(t)

]dt

=∫ t2

t1

P(x(t), y(t)

)cosα

(x(t), y(t)

)√x′2(t) + y′2(t) dt

=∫

L

P (x, y) cos α(x, y) dλ .

Geometrijski posmatrano, promena orijentacije krive povlaci promenu smeratangente, cime se uglovi α i β menjaju u uglove α1 i β1 takve da je α+α1 = π(Slika 2.4.3), β+β1 = π (Slika 2.4.4), pa je cosα1 = − cosα, cos β1 = − cosβ.Dakle, jednakost (2.4.4) vazi za bilo koju orijentaciju krive. Uocavamo dau ovom slucaju orijentacija utice i na integrale I i na integrale II vrste, alise taj uticaj ispoljava na razlicite nacine: kod integrala II vrste kroz znakdiferencijala dx i dy, koji poticu od odgovarajucih karakteristika k(PDi) =xi−xi−1 i k(PDi) = yi−yi−1, a kod integrala I vrste kroz znak podintegralnefunkcije.

x

y

0

a B

A

a1

X

x

y

0

bB

A

b1

X


Ako je L prostorna kriva data jednacinama

L : x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ; t ∈ [t1, t2] ,

tada se slicno prethodnom izvodi:

(2.4.5)

cos α = ± x′(t)√x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)

,

cos β = ± y′(t)√x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)

,

cos γ = ± z′(t)√x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)

,


gde uglovi α i β imaju isto znacenje kao ranije, γ je manji od uglova izmeduorijentisane tangente i pozitivnog dela z–ose, a znaci + i − odgovarajurastucoj, odnosno opadajucoj promeni parametra t redom. Dobija se

∫

L


=∫

L

[P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ

]dλ ,

pri cemu vazi zavisnost

cos α = cos α(x, y, z) = cos α(x(t), y(t), z(t)

),

cos β = cos β(x, y, z) = cos β(x(t), y(t), z(t)

),

cos γ = cos γ(x, y, z) = cos γ(x(t), y(t), z(t)

).

Jednakost (2.4.6) predstavlja trazenu vezu izmedu potpunog krivolinijskogintegrala II vrste i krivolinijskog integrala I vrste.

NAPOMENA 2.4.1. Do jednakosti (2.4.5) moze da se dode i jednostavnije. Uproizvoljnoj tacki (x, y, z) ∈ L vektor saglasno orijentisane tangente je jedan od vektora

~t = ±x′(t), y′(t), z′(t) ,

sa znakom + ako je L pozitivno orijentisana (parametar t raste), a sa znakom − ako je Lnegativno orijentisana (parametar t opada). Tada je

|~t | =q

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)

i odgovarajuci jedinicni vektor glasi

~t0 =~t

|~t | = ±

x′(t)|~t | ,

y′(t)|~t | ,

z′(t)|~t |

.

S druge strane, za ma koji jedinicni vektor ~v0 vazi

~v0 = (cos α, cos β, cos γ) ,

gde su α, β, γ manji od uglova koje taj vektor zaklapa sa pozitivnim delovima koordinatnihosa ([5], str. 20). Birajuci specijalno ~v0 = ~t0, iz prethodnog sledi

cos α = ±x′(t)|~t | , cos β = ±y′(t)

|~t | , cos γ = ± z′(t)|~t | ,

sto su upravo jednakosti (2.4.5). 4


Nevezano za jednakost (2.4.6), na ovom mestu izvodimo jos jedan za-kljucak. U tom cilju navodimo rezultat

(2.4.7) dλ = ±√

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt ,

u kome znak + odgovara rastucoj promeni parametra t (dt > 0), a znak− opadajucoj promeni (dt < 0). Diferencijal dλ > 0 predstavlja duzinubeskonacno malog dela krive jer nastaje iz duzine λi podeonog dela krivekad n →∞ i λi → 0 ([4], str. 282–284). Prema (2.4.7), iz (2.4.5) sledi

(2.4.8)

dx = x′(t) dt = ± cosα

√x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt = cos α dλ ,

dy = y′(t) dt = ± cosβ

√x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt = cos β dλ ,

dz = z′(t) dt = ± cos γ

√x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt = cos γ dλ .

Posmatrajmo dalje vektor

(2.4.9) ~dλ = (dx, dy, dz) = (cos α dλ, cosβ dλ, cos γ dλ) .

Kako je ~t0 = (cos α, cosβ, cos γ) jedinicni vektor tangente u tacki X ∈ L, toje ~dλ = ~t0 dλ vektor tangente koji ima pocetak u proizvoljnoj tacki krive,smer saglasan orijentaciji krive i duzinu | ~dλ| = dλ. Vektor ~dλ i njegov moduodλ su vektorski i skalarni element krive redom.

U Primeru 2.3.1 smo duzinu l krive L odredili pomocu jednakosti

l =∫

L

dλ =∫ t2

t1

√x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt ,

koja je specijalan slucaj tvrdenja (2.3.2) Teoreme 2.3.2. Do iste jednakostise dolazi i primenom rezultata (2.4.7) kad parametar t raste ([4], str. 285).

NAPOMENA 2.4.2. Da bismo mogli da upotrebimo standardne oznake α, β, γ zauglove izmedu tangente krive i koordinatnih osa, dosadasnji zapis t ∈ [α, β] u opstimparametarskim jednacinama krive smo privremeno zamenili zapisom t ∈ [t1, t2]. 4

NAPOMENA 2.4.3. Ako je kriva L zadata parametarskim jednacinama

L : x = x(s) , y = y(s) , z = z(s) ; s ∈ [0, l] ,

gde s i l imaju isto znacenje kao u Teoremi 2.3.1, umesto (2.4.5) i (2.4.7) se dobijajujednostavniji izrazi ([6], str. 54–56):

cos α = ±x′(s) , cos β = ±y′(s) , cos γ = ±z′(s) ; dλ = ±ds ,


pri cemu se znak + uzima kada se duzina s meri od pocetne tacke krive i raste, a znak −kada se s meri od krajnje tacke i opada. Jasno da rezultati (2.4.6), (2.4.8) i (2.4.9) ostajuisti. 4


I =

ZL

dx + dy + dz ,

gde je L bilo koji ”isto” orijentisani deo prave L1 i duzine l.

Tangenta u proizvoljnoj tacki zadate prave L1 je sama prava L1. Zato ma koji orijen-tisani deo L, kao vektor tangente, gradi konstantne uglove α, β, γ sa pozitivnim delovimakoordinatnih osa, pa su cos α, cos β, cos γ takode konstante.

Primenom jednakosti (2.4.6) integral I postaje krivolinijski I vrste

I =

ZL(cos α + cos β + cos γ) dλ = (cos α + cos β + cos γ)

ZL

dλ

= (cos α + cos β + cos γ) l

i ima konstantnu vrednost za istu orijentaciju delova L. 4

PRIMER 2.4.2. Ako je L orijentisana kruznica u xy–ravni

L : x2 + y2 = 4 , z = 0 ,

odrediti jedinicne vektore saglasno orijentisane tangente u tackama A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) i

C(−√2,−√2, 0).

Parametarske jednacine kruznice su

L : x = 2 cos ϕ , y = 2 sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈ [−π, π] ,

gde je parametar ϕ polarni ugao. Tackama A, B i C odgovaraju vrednosti parametraϕ = 0, ϕ = π/2 i ϕ = −3π/4 redom.

Jedinicni vektor tangente~t0 = (cos α, cos β, 0)

odredujemo pomocu jednakosti (2.4.2) i (2.4.3), imajuci u vidu da je

x′(ϕ) = −2 sin ϕ , y′(ϕ) = 2 cos ϕ ; x′2(ϕ) + y′2(ϕ) = 4 .

Ako je L pozitivno orijentisana (Slika 2.4.5), parametar ϕ raste i jednakosti (2.4.2),(2.4.3) postaju

cos α = − sin ϕ , cos β = cos ϕ .

Zamenom odgovarajucih vrednosti parametra dobijamo: cosα = 0, cos β = 1 za tacku A(ϕ = 0), cos α = −1, cos β = 0 za tacku B (ϕ = π/2) i cos α =

√2/2, cos β = −√2/2 za

tacku C (ϕ = −3π/4). Zato su trazeni jedinicni vektori

~t0(A) = (0, 1, 0) , ~t0(B) = (−1, 0, 0) , ~t0(C) = (√

2/2,−√

2/2, 0) .


Ako je L negativno orijentisana (Slika 2.4.6), parametar ϕ opada i jednakosti (2.4.2),(2.4.3) glase

cos α = sin ϕ , cos β = − cos ϕ ,

sto daje jedinicne vektore

~t0(A) = (0,−1, 0) , ~t0(B) = (1, 0, 0) , ~t0(C) = (−√

2/2,√

2/2, 0) .

x

y

A

B

C

L+

1

t0(A)

t0(B)

t0(B)

t0(C)

x

y

A

B

C

L+

1

t0(A)

t0(B)

t0(C )

t0(C )

22


Primetimo da je u slucaju pozitivne orijentacije kruznice α = π/2, β = 0 za tackuA, α = π, β = π/2 za tacku B i α = π/4, β = 3π/4 za tacku C. U slucaju negativneorijentacije je α = π/2, β = π za A, α = 0, β = π/2 za B i α = 3π/4, β = π/4 za C.

Na Slici 2.4.5 su oznaceni uglovi α i β koji odgovaraju tacki B, tj. vektoru ~t0(B), a na

Slici 2.4.6 isti uglovi za tacku C, tj. vektor ~t0(C). 4

2.5. Vektorski krivolinijski integrali

Osim skalarnih funkcija sa kojima smo do sada radili, postoje i vektorskefunkcije. Vektorske funkcije su predmet izucavanja posebne oblasti matema-tike Vektorska analiza ([2], str. 113–129; [6], str. 3–14, 150). Ovde navodimosamo neke za nas vazne cinjenice.

Vektorske funkcije se definisu analogno skalarnim. Medutim, za razliku odskalarnih funkcija, cije vrednosti su skalari, vrednosti vektorskih funkcija suvektori. Komponente (projekcije, koordinate) vektorske funkcije su skalarnefunkcije istih argumenata kao i sama vektorska funkcija. Na primer, ako je~a = ~a(x, y, z) vektorska funkcija tri nezavisno promenljive x, y, z, tada je~a = (a1, a2, a3), gde su komponente a1, a2, a3 skalarne funkcije

a1 = a1(x, y, z) , a2 = a2(x, y, z) , a3 = a3(x, y, z) .

Kako vektor polozaja ~r tacke X(x, y, z) ima iste koordinate kao tacka X, tj.~r = (x, y, z), to se za vektorsku funkciju ~a = ~a(x, y, z) i skalarnu funkcijuf = f(x, y, z) ravnopravno upotrebljavaju oznake

~a(x, y, z) = ~a(X) = ~a(~r ) , f(x, y, z) = f(X) = f(~r ) .


Cesto se terminoloski ne pravi razlika izmedu vektorske funkcije i kon-stantnog vektora i za oba pojma se koristi isti kraci naziv vektor. Takode,nazivi komponente, projekcije ili koordinate se podjednako odnose i na vek-torsku funkciju i na konstantan vektor. Ovakvu terminologiju smo precutnoi do sada koristili.

Ako su parametarske jednacine krive

L : x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ; t ∈ [α, β] ,

X(x, y, z) ∈ L proizvoljna tacka i ~r njen vektor polozaja, tada je

L : ~r = ~r(t) =(x(t), y(t), z(t)

); t ∈ [α, β]

vektorska jednacina krive L, pri cemu je ocigledno ~r = ~r(t) vektorska funkcijajedne nezavisno promenljive t. Pokazuje se ([6], str. 8) da je diferencijal ovevektorske funkcije vektor ~dr = d~r = (dx, dy, dz) i, prema (2.4.9),

(2.5.1) d~r = ~dλ .

Kod vektorskih krivolinijskih integrala situacija je ista kao kod krivoli-nijskih integrala I i II vrste. Oblast integracije je OI = L, gde je L ori-jentisana prostorna kriva. Kriva L se deli tackama Ti (i = 0, 1, . . . , n) na

delove PDi =y

Ti−1Ti (i = 1, 2, . . . , n) i u svakom od njih se bira tacka Xi.Vektorski krivolinijski integrali se od integrala I i II vrste razlikuju u izabra-noj karakteristici podeonih delova k(PDi), koja je kod integrala I i II vrsteskalar, dok je kod vektorskih integrala vektor. Ako je ~ri vektor polozajapodeone tacke Ti, za karakteristiku se bira vektor

k(PDi) = ~ri − ~ri−1 .

Dakle, k(PDi) je vektor koji spaja uzastopne podeone tacke Ti−1, Ti i us-meren je od prethodne Ti−1 ka sledecoj tacki podele Ti, tj. k(PDi) =

−−−−→Ti−1Ti

(Slika 2.5.1). Jos, neka je ~ρi vektor polozaja tacke Xi, ~r vektor polozajaproizvoljne tacke X(x, y, z) ∈ L i PF (X) = Ω(x, y, z) = Ω(~r ) skalarna ilivektorska funkcija, neprekidna na L.

r

x y

zX

rr

O

T

T

i

i

i

i

i

i1

1

-

-0T

nT

Slika 2.5.1.



(2.5.2) Sv(n) =n∑

i=1

Ω(Xi) · (~ri − ~ri−1) =n∑

i=1

Ω(~ρi) · (~ri − ~ri−1)

je vektorska integralna suma po luku funkcije Ω(~r ).


|~ri − ~ri−1| → 0,

granicna vrednost

(2.5.3)∫

L

Ω(~r ) d~r = limn→∞

Sv(n)

je vektorski krivolinijski integral funkcije Ω(~r ).

U zavisnosti od prirode funkcije Ω(~r ) i karaktera mnozenja, svaki sabirakΩ(~ρi) · (~ri − ~ri−1) integralne sume, a time i cela integralna suma Sv(n), jevektor ili skalar. Kako je granicna vrednost niza brojeva opet broj, a nizavektora opet vektor, razlikuju se sledece vrste vektorskih integrala.

1 Ako je Ω(~r ) = f(~r ) skalarna funkcija, integralna suma Sv(n) je vektor,pa je vektor i integral

(2.5.4)∫

L

f(~r ) d~r .

2 Ako je Ω(~r ) = ~a(~r ) vektorska funkcija i mnozenje skalarno, integralnasuma Sv(n) je skalar, pa je skalar i integral

(2.5.5)∫

L

~a(~r ) · d~r .

3 Ako je Ω(~r ) = ~a(~r ) vektorska funkcija i mnozenje vektorsko, integralnasuma Sv(n) je vektor, pa je vektor i integral

(2.5.6)∫

L

~a(~r )× d~r .

Osobina (1.3.8) vazi za vektorske krivolinijske integrale. Promenom ori-jentacije krive L menja se raspored podeonih tacaka Ti, cime se menja smervektora k(PDi) =

−−−−→Ti−1Ti. Kako se vektori suprotnog smera razlikuju u

znaku, menjaju znak i integralna suma (2.5.2) i integral (2.5.3).


Osobina (1.3.9) prirodno da ne vazi za vektorske integrale jer karakte-

ristike k(PDi) ne samo da nisu velicine lukovay

Ti−1Ti, vec su kao vektori ikvalitativno razlicite. Medutim, ako usvojimo oznaku

(2.5.7)∫

L

|d~r | = limn→∞

n∑

i=1

|~ri − ~ri−1| ,

zbog λi ≈ |~ri − ~ri−1| vazi

(2.5.8) l =n∑

i=1

λi = limn→∞

n∑

i=1

|~ri − ~ri−1| =∫

L

|d~r | .

Prema (2.5.1) i | ~dλ| = dλ, (2.5.8) postaje

l =∫

L

|d~r | =∫

L

| ~dλ| =∫

L

dλ ,

pa su (2.5.8) i (2.1.3), uz dogovor (2.5.7), isti rezultati.

Osobina (1.3.10) takode vazi. U slucaju (2.5.4) se pokazuje jednostavno.Iz |f(~r )| ≤ M , prema (2.5.7) i (2.5.8) sledi

∣∣∣∫

L

f(~r ) d~r∣∣∣ =


n∑

i=1

f(~r ) · (~ri − ~ri−1)∣∣∣ ≤ lim

n→∞

n∑

i=1

|f(~r )| |~ri − ~ri−1|

≤ M limn→∞

n∑

i=1

|~ri − ~ri−1| = Ml .

U slucajevima (2.5.5) i (2.5.6) se dokaz izvodi analogno, uz koriscenje jed-nakosti za skalarni i vektorski proizvod

~a ·~b = |~a| |~b| cosψ , |~a×~b| = |~a| |~b| sin ψ ,

gde je ψ manji od uglova izmedu vektora ~a = ~a(~r ) i ~b = ~ri − ~ri−1 ([3],str. 142, 261). Na primer, zbog | cos ψ| ≤ 1, za (2.5.5) je

∣∣∣∫

L

~a(~r ) · d~r∣∣∣ =


n∑

i=1

~a(~r ) · (~ri − ~ri−1)∣∣∣

=∣∣∣ limn→∞

n∑

i=1

|~a(~r )| |~ri − ~ri−1| cos ψ∣∣∣

≤ limn→∞

n∑

i=1

|~a(~r )| |~ri − ~ri−1| | cos ψ|

≤ M limn→∞

n∑

i=1

|~ri − ~ri−1| = Ml .


Vektorski krivolinijski integrali se izracunavaju prevodenjem na odgo-varajuce krivolinijske integrale II vrste ili, zahvaljujuci jednakosti (2.4.6),na krivolinijske integrale I vrste. Veza izmedu vektorskih krivolinijskih in-tegrala i krivolinijskih integrala II vrste se uspostavlja na osnovu njihovihdefinicija.

Posmatramo integral (2.5.4). Za Ti(xi, yi, zi) (i = 1, 2, . . . , n) je

~ri − ~ri−1 = (xi − xi−1, yi − yi−1, zi − zi−1) ,

pa su sabirci integralne sume Sv(n) vektori

f(Xi)(~ri − ~ri−1) =(f(Xi)(xi − xi−1), f(Xi)(yi − yi−1), f(Xi)(zi − zi−1)

).

Zato je i integralna suma Sv(n) vektor

Sv(n) =n∑

i=1

f(Xi)(~ri − ~ri−1)

=( n∑

i=1

f(Xi)(xi − xi−1),n∑

i=1

f(Xi)(yi − yi−1),n∑

i=1

f(Xi)(zi − zi−1))

=(Sx(n), Sy(n), Sz(n)

),

gde su Sx(n), Sy(n), Sz(n) integralne sume po koordinati x, y i z funkcijef(x, y, z) redom. Kako je

limn→∞

Sv(n) = limn→∞

(Sx(n), Sy(n), Sz(n)

)

=(

limn→∞

Sx(n), limn→∞

Sy(n), limn→∞

Sz(n))

,

prema (2.2.2) i analognim jednakostima sa P (x, y, z) = Q(x, y, z) =R(x, y, z) = f(x, y, z) sledi

(2.5.9)∫

L

f(~r ) d~r =(∫

L

f dx,

∫

L

f dy,

∫

L

f dz

).

Dakle, vektorski integral (2.5.4) je vektor cije su koordinate krivolinijskiintegrali po koordinati x, y i z iste funkcije f = f(x, y, z) redom.

Posmatramo sada integral (2.5.5). Neka je ~a(~r ) = (a1, a2, a3) vektorskafunkcija s komponentama a1 = a1(x, y, z), a2 = a2(x, y, z), a3 = a3(x, y, z).Tada je

~a(Xi) =(a1(Xi), a2(Xi), a3(Xi)

)


i, koriscenjem izraza~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3

za skalarni proizvod vektora ~a = (a1, a2, a3) i ~b = (b1, b2, b3) ([3], str. 141),

~a(Xi)·(~ri−~ri−1) = a1(Xi)(xi−xi−1)+a2(Xi)(yi−yi−1)+a3(Xi)(zi−zi−1) .

Integralna suma Sv(n) postaje

Sv(n) =n∑

i=1

~a(Xi) · (~ri − ~ri−1)

=n∑

i=1

a1(Xi)(xi − xi−1) +n∑

i=1

a2(Xi)(yi − yi−1) +n∑

i=1

a3(Xi)(zi − zi−1)

=Sx(n) + Sy(n) + Sz(n) ,

gde su Sx(n), Sy(n), Sz(n) integralne sume po koordinati x funkcijea1(x, y, z), po koordinati y funkcije a2(x, y, z) i po koordinati z funkcijea3(x, y, z) redom. Zato je

limn→∞

Sv(n) = limn→∞

Sx(n) + limn→∞

Sy(n) + limn→∞

Sz(n) .

Prema (2.2.2) sa P (x, y, z) = a1(x, y, z) i analognim jednakostima saQ(x, y, z) = a2(x, y, z), R(x, y, z) = a3(x, y, z), dalje je

∫

L

~a(~r ) · d~r =∫

L

a1 dx +∫

L

a2 dy +∫

L

a3 dz

i, prema (2.2.3),

(2.5.10)∫

L

~a(~r ) · d~r =∫

L

a1 dx + a2 dy + a3 dz .

Zakljucujemo da je vektorski integral (2.5.5) potpuni krivolinijski integralII vrste. Integral (2.5.5) je u oblasti matematike Teorija polja poznat podimenom cirkulacija vektorske funkcije ~a(~r ) duz orijentisanog puta L. Inace,do jednakosti (2.5.10) moze da se dode mnogo jednostavnije, skalarnimmnozenjem vektora ~a(~r ) = (a1, a2, a3) i d~r = (dx, dy, dz) u podintegralnomizrazu iz (2.5.5).

U slucaju integrala (2.5.6) se postupa slicno kao u prethodnim slucajevi-ma. Ako su ~i, ~j, ~k jedinicni vektori x, y i z–ose redom, koriscenjem izraza

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣


za vektorski proizvod vektora ~a = (a1, a2, a3) i ~b = (b1, b2, b3) ([3], str. 260),integral (2.5.6) postaje

∫

L

~a(~r )× d~r(2.5.11)

=(∫

L

a2 dz − a3 dy,

∫

L

a3 dx− a1 dz,

∫

L

a1 dy − a2 dx

),

gde su a1 = a1(x, y, z), a2 = a2(x, y, z), a3 = a3(x, y, z) komponente vek-torske funkcije ~a = ~a(~r ). Prema tome, vektorski integral (2.5.6) je vektorcije su koordinate potpuni krivolinijski integrali II vrste.

NAPOMENA 2.5.1. Ako je ~v = (v1, v2, v3) vektor, uvodenjem vektorske formekrivolinijskog integrala Z

L~v =

ZL

v1,

ZL

v2,

ZL

v3

se jednakosti (2.5.9) i (2.5.11) dobijaju mnogo jednostavnije.

Kako je d~r = (dx, dy, dz), podintegralni izraz u (2.5.4) je vektor

~v = f(~r ) d~r = (f dx, f dy, f dz)

sa komponentamav1 = f dx , v2 = f dy , v3 = f dz .

Prethodna vektorska forma je isto sto i (2.5.9).Podintegralni izraz u (2.5.6) je vektor

~v = ~a(~r )× d~r =

~i ~j ~ka1 a2 a3

dx dy dz

= (a2 dz − a3 dy, a3 dx− a1 dz, a1 dy − a2 dx)

sa komponentama

v1 = a2 dz − a3 dy , v2 = a3 dx− a1 dz , v3 = a1 dy − a2 dx

i vektorska forma se svodi na (2.5.11). 4NAPOMENA 2.5.2. Vektorski krivolinijski integrali mogu da se definisu drugacije, tj.

za karakteristiku podeonih delova moze da se izabere vektor saglasno orijentisane tangente

k(PDi) = ~λi = ~t0 · λi .

Vektorska integralna suma i vektorski integral tada glase

Sv(n) =nX

i=1

Ω(Xi) · ~λi ,

ZL

Ω(~r ) ~dλ = limn→∞Sv(n) .

Za dovoljno malo λi je ~λi ≈ ~ri − ~ri−1, pa je ~dλ = d~r kad n →∞, sto smo vec utvrdili ujednakosti (2.5.1). Zato se ovako definisani vektorski integrali i integrali (2.5.3) u sustini


ne razlikuju i svi prethodni zakljucci ostaju na snazi. Cak i vise, u ovom slucaju vazi

tacna λi = |~λi|, a ne priblizna jednakost λi ≈ |~ri − ~ri−1| i, uz dogovor (2.5.7), osobina(2.5.8) neposredno sledi

l =nX

i=1

λi =nX

i=1

|~λi| = limn→∞

nXi=1

|~λi| =Z

L| ~dλ| ,

cime se i ostale osobine dokazuju jednostavnije. 4

PRIMER 2.5.1. Izracunati vektorske krivolinijske integrale (2.5.4), (2.5.5) i (2.5.6)ako je

f(x, y, z) = x + y + z , ~a(x, y, z) = (−y, x, 3) ;

L : (x− 2)2 + y2 = 1 , z = 0 .

Parametarske jednacine kruznice L su

L : x = 2 + cos ϕ , y = sin ϕ , z = 0 ; ϕ ∈ [−π, π]

i vazi

x′(ϕ) = − sin ϕ , y′(ϕ) = cos ϕ , z′(ϕ) = 0 .

Pod pretpostavkom da je L pozitivno orijentisana, parametar se menja od ϕ = −π doϕ = π.

Komponente vektorske funkcije ~a(~r ) su

a1(x, y, z) = −y , a2(x, y, z) = x , a3(x, y, z) = 3 .

S obzirom na (2.5.9), izracunavamoZL

f dx =

ZL(x + y + z) dx =

Z π

−π(2 + cos ϕ + sin ϕ)(− sin ϕ) dϕ = · · · = −π ,Z

Lf dy =

ZL(x + y + z) dy =

Z π

−π(2 + cos ϕ + sin ϕ) cos ϕ dϕ = · · · = π ,Z

Lf dz =

ZL(x + y + z) dz = 0

i za integral (2.5.4) dobijamo vektorZL

f(~r ) d~r =−π, π, 0

.

Prema (2.5.10) nalazimoZL

a1 dx + a2 dy + a3 dz =

ZL−y dx + x dy + 3 dz

=

Z π

−π

− sin ϕ(− sin ϕ) + (2 + cos ϕ) cos ϕdϕ = · · · = 2π ,


pa je integral (2.5.5) skalar ZL

~a(~r ) · d~r = 2π .

Prema (2.5.11) jeZL

a2 dz − a3 dy =

ZL−3 dy = −3

Z π

−πcos ϕ dϕ = · · · = 0 ,Z

La3 dx− a1 dz =

ZL

3 dx = −3

Z π

−πsin ϕ dϕ = · · · = 0 ,Z

La1 dy − a2 dx =

ZL−y dy − x dx

= −Z π

−π

sin ϕ cos ϕ + (2 + cos ϕ)(− sin ϕ)

dϕ = · · · = 0

i integral (2.5.6) je nula–vektor, tj. tackaZL

~a(~r )× d~r = (0, 0, 0) . 4

Na kraju ovog poglavlja napomenimo i sledece. Za sve tipove krivolinij-skih integrala (po luku, po koordinatama, vektorske), u slucaju zatvorenekrive L se obicno koristi preciznija oznaka

∮L

umesto standardne∫

L.

3. VISESTRUKI INTEGRALI

Oblast integracije visestrukih integrala je visedimenzionalna oblast D, akarakteristika podeonih delova je njihova mera ([6], str. 59; [1], str. 235–239).Generalni slucaj visestrukih integrala, kada je D ⊂ Rn, nije od interesa zaovaj kurs, pa se zadrzavamo samo na specijalnim slucajevima. To su dvojnii trojni integrali, kod kojih je oblast integracije D ⊂ R2 dvodimenzionalna(ravna) i D ⊂ R3 trodimenzionalna (prostorna) oblast redom.

3.1. Dvojni integrali

Konkretizacija opsteg pravila o formiranju Riemannovih integrala zaslucaj dvojnih integrala je sledeca.

Neka je oblast integracije OI = D, gde je D zatvorena orijentisana oblastu xy–ravni. Kako sve tacke xy–ravni, pa i tacke oblasti D, posmatrane u R3,imaju trecu koordinatu z = 0, ovu koordinatu u nastavku podrazumevamoi ne naglasavamo. Koordinatnim linijama se oblast D deli (Definicija 1.2.6,Slika 1.2.17) na n celija podele PDi = ∆i (i = 1, 2, . . . , n) i unutar svakecelije se bira tacka Xi(ξi, ηi). Tacka Xi ∈ ∆i moze da bude bilo koja.Karakteristika podeonih delova je njihova povrsina

k(PDi) = m(∆i) = δi > 0 .

Neka je podintegralna funkcija PF (X) = f(x, y) neprekidna u oblasti D,gde je tacka X(x, y) ∈ D proizvoljna. Vrednost PF (Xi) = f(Xi) = f(ξi, ηi)se mnozi izabranom karakteristikom i sabiranjem se dobija integralna suma,a zatim i dvojni integral.


(3.1.1) Sδ(n) =n∑

i=1

f(Xi) · δi =n∑

i=1

f(ξi, ηi) · δi

94


je integralna suma po ravnoj oblasti funkcije f(x, y).


εi → 0, gde je εi

najvece rastojanje izmedu tacaka celije ∆i, granicna vrednost

(3.1.2)∫

D

f(X) dδ =∫∫

D

f(x, y) dxdy = limn→∞

Sδ(n)

je dvojni integral funkcije f(x, y).

Iz uslova max1≤i≤n

εi → 0 ocigledno sledi max1≤i≤n

k(PDi) = max1≤i≤n

δi → 0, sto

je u skladu sa opstim pravilom. U (3.1.2) prva oznaka odgovara zajednickojoznaci Riemannovih integrala i koristi se za sve visestruke integrale, dokje druga konkretna oznaka dvojnih integrala. Umesto dδ je upotrebljenproizvod diferencijala nezavisno promenljivih dxdy, koji proistice iz povrsineunutrasnje celije (oblast pravougaonika).

Analogno se definisu i dvojni integrali

(3.1.3)∫∫

D

f(y, z) dydz ,

∫∫

D

f(z, x) dzdx ,

kada oblast integracije D pripada yz, odnosno zx–koordinatnoj ravni.

Orijentacija celija ∆i (i = 1, 2, . . . , n) ne utice na njihove povrsinek(PDi) = δi > 0, pa je vrednost dvojnog integrala ista za bilo koju ori-jentaciju oblasti D (Slika 1.2.18) i osobina (1.3.8) za dvojne integrale nevazi. Ne umanjujuci opstost, pretpostavljacemo da je D pozitivno orijenti-sana oblast, uz napomenu da bi negativna orijentacija dovela do nepotrebnihkomplikacija u kasnijim izvodenjima.

Ako je d = m(D) povrsina cele oblasti D, za f(x, y) ≡ 1 iz (3.1.1) i (3.1.2)sledi osobina (1.3.9), tj.

(3.1.4)∫

D

dδ =∫∫

D

dxdy = limn→∞

n∑

i=1

δi = limn→∞

d = d .

Osobina (1.3.10) takode vazi za dvojne integrale i jednostavno se dokazuje([6], str. 62–63).

Osim navedenih opstih osobina Riemannovih integrala, za dvojne inte-grale je znacajna i osobina iskazana narednom teoremom.


Teorema 3.1.1. (TEOREMA O SREDNJOJ VREDNOSTI INTEGRALA) Akosu f(X) i g(X) neprekidne funkcije u oblasti D i g(X) ima stalan znak, tadapostoji tacka A ∈ D takva da je

(3.1.5)∫

D

f(X)g(X) dδ = f(A)∫

D

g(X) dδ .

Dokaz ove teoreme izostavljamo ([6], str. 63–64). Specijalno, ako jeg(X) ≡ 1, (3.1.5) se svodi na

(3.1.6)∫

D

f(X) dδ = f(A)∫

D

dδ = f(A) d .

U jednakostima (3.1.4)–(3.1.6) je upotrebljena opsta oznaka integrala jerone vaze za sve dvojne (oblast integracije D pripada ma kojoj koordinatnojravni), kao i za visestruke integrale generalno.

Geometrijska interpretacija dvojnog integrala se sastoji u sledecem. Nekaprosto povezana oblast D pripada xy–ravni i neka je f(x, y) ≥ 0 u citavojoblasti D. Uocimo cilindricnu povrs cije su izvodnice paralelne z–osi, donjibazis je kontura oblasti D, a gornji bazis je u preseku te povrsi i povrsiz = f(x, y). Dvojni integral

∫∫D

f(x, y) dxdy izracunava zapreminu pros-torne oblasti koju ogranicavaju oblast D (posmatrana kao povrs u smisluNapomene 1.1.2), povrs z = f(x, y), (x, y) ∈ D i opisana cilindricna povrs(Slika 3.1.1).

x

y

z z = f(x,y)

DDi

Slika 3.1.1.

Ako je f(x, y) ≤ 0 za svako (x, y) ∈ D, vrednost∫∫

Df(x, y) dxdy je

negativna, pa za zapreminu treba uzeti∣∣∫∫

Df(x, y) dxdy

∣∣. Ako f(x, y) menjaznak u oblasti D, oblast treba podeliti tako da na dobijenim delovima f(x, y)ima stalan znak, zatim na svakom od delova izracunati integral i sabratimodule nadenih vrednosti. Na primer, za D = D1 ∪D2, f(x, y) ≥ 0 na D1

i f(x, y) ≤ 0 na D2, zapremina je∫∫

D1f(x, y) dxdy +

∣∣∫∫D2

f(x, y) dxdy∣∣.


Dvojni integrali su generalizacija odredenih integrala, kada se sa jednodi-menzionalne, zatvorene i pozitivno orijentisane oblasti (segment na koordi-natnoj osi) prede na dvodimenzionalnu oblast (zatvorena oblast u koordi-natnoj ravni).

NAPOMENA 3.1.1. Neka je D oblast u xy–ravni i L njena kontura. Uocimo povrsi S1

i S2 cija je D oblast definisanosti i L1, L2 granicne krive. Ako su L1, L2 bazisi cilindricnepovrsi S3 sa direktrisom L i izvodnicama paralelnim z–osi, tada je S = S1 ∪ S2 ∪ S3

zatvorena povrs, poznata pod imenom cilindar. Povrsi S1 i S2 su bazisi, a S3 je omotaccilindra S. Prostorna oblast ogranicena cilindrom je oblast cilindra. Analogni cilindri sedobijaju ako je D u yz i zx–ravni. 4

3.2. Trojni integrali

Kod trojnih integrala je oblast integracije OI = D, gde je D zatvorenaprostorna oblast. Koordinatnim povrsima se oblast D deli (Slika 1.2.19)na n celija podele PDi = ∆i (i = 1, 2, . . . , n) i unutar svake celije se biratacka Xi(ξi, ηi, ζi). Tacka Xi ∈ ∆i moze da bude bilo koja. Karakteristikapodeonih delova je njihova zapremina

k(PDi) = m(∆i) = δi > 0 .

Neka je podintegralna funkcija PF (X) = f(x, y, z) neprekidna u oblastiD, gde je tacka X(x, y, z) ∈ D proizvoljna. Vrednost PF (Xi) = f(Xi) =f(ξi, ηi, ζi) se mnozi izabranom karakteristikom i sabiranjem se dobija inte-gralna suma, a zatim i trojni integral.


(3.2.1) Sδ(n) =n∑

i=1

f(Xi) · δi =n∑

i=1

f(ξi, ηi, ζi) · δi

je integralna suma po prostornoj oblasti funkcije f(x, y, z).



najvece rastojanje izmedu tacaka celije ∆i, granicna vrednost

(3.2.2)∫

D

f(X) dδ =∫∫∫

D

f(x, y, z) dxdydz = limn→∞

Sδ(n)

je trojni integral funkcije f(x, y, z).


Kao i kod dvojnih integrala, iz uslova max1≤i≤n

εi → 0 sledi max1≤i≤n

k(PDi) =

max1≤i≤n

δi → 0. U (3.2.2) prva oznaka odgovara zajednickoj oznaci Rieman-

novih integrala, a druga je konkretna oznaka trojnih integrala. Umesto dδje upotrebljen proizvod diferencijala nezavisno promenljivih dxdydz, kojiproistice iz zapremine unutrasnje celije (oblast kvadra). Ovaj proizvod secesto zamenjuje kracom oznakom dv zbog asocijacije na zapreminu (volu-men).

Sve osobine koje smo naveli kod dvojnih integrala vaze i za trojne inte-grale, samo se odnose na trodimenzionalni slucaj. Izdvajamo osobinu (1.3.9)zbog njenog znacaja u primenama. Ako je d = m(D) zapremina cele oblastiD, tada je

(3.2.3)∫∫∫

D

dxdydz = d .

Izuzimajuci jednakost (3.2.3), trojni integrali nemaju geometrijsku inter-pretaciju.

I trojni, kao i dvojni integrali, predstavljaju generalizaciju odredenih in-tegrala, kada se sa jednodimenzionalne, zatvorene i pozitivno orijentisaneoblasti (segment na koordinatnoj osi) prede na trodimenzionalnu oblast(zatvorena oblast u prostoru).

3.3. Izracunavanje visestrukih integrala

Izracunavanje visestrukih integrala se svodi na sukcesivno izracunavanjevise odredenih integrala. Broj odredenih integrala odgovara dimenziji oblastiintegracije. Tako se dvojni integrali prevode na dva, a trojni na tri odredenaintegrala.

3.3.1. Izracunavanje dvojnih integrala

Pravila za prevodenje dvojnih na dva odredena integrala dajemo samo zaintegral (3.1.2), a analogna pravila vaze i za integrale (3.1.3).

Neka su a, b, c, d ∈ R konstante takve da je a < b, c < d. Razmatramosledece slucajeve.


1 Oblast D je pravougaona (Slika 3.3.1), cija je kontura pravougaonik Lsastavljen od delova koji se nadovezuju pravih

L1 : x = a , L2 : x = b , L3 : y = c , L4 : y = d .

Neka je X(x, y) ∈ D proizvoljna tacka. Najmanju prvu koordinatu x = aimaju tacke X1(a, y) ∈ L1, a najvecu x = b tacke X2(b, y) ∈ L2, pa za prvekoordinate tacaka X(x, y) vazi a ≤ x ≤ b. Takode, najmanju drugu koordi-natu y = c imaju tacke X3(x, c) ∈ L3, a najvecu y = d tacke X4(x, d) ∈ L4,pa je za druge koordinate c ≤ y ≤ d. Zato je oblast D opisana nejednakos-tima

(3.3.1) a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d .

Opis (3.3.1) znaci da su obe promenljive x, y u konstantnim granicama.

2 Oblast D je ”proizvoljna” prosto povezana oblast (Slika 3.3.2), sa kon-turom L sastavljenom od delova koji se nadovezuju pravih

L1 : x = a , L2 : x = b

i krivihL3 : y = y1(x) , L4 : y = y2(x) ,

pri cemu je y1(x) < y2(x) za svako x ∈ (a, b).Kao i u prethodnom slucaju 1, za prve koordinate tacaka X(x, y) ∈

D vazi a ≤ x ≤ b. Za svako fiksirano x = ξ ∈ [a, b] najmanju drugukoordinatu y = y1(ξ) ima tacka X3

(ξ, y1(ξ)

) ∈ L3, a najvecu y = y2(ξ)tacka X4

(ξ, y2(ξ)

) ∈ L4. Zato je y1(ξ) ≤ y ≤ y2(ξ) i, zbog proizvoljnostix = ξ, za druge koordinate je y1(x) ≤ y ≤ y2(x). Oblast D je opisana sa

(3.3.2) a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y2(x) .

Iz (3.3.2) sledi da je promenljiva x u konstantnim, a y u funkcionalnimgranicama.

3 Oblast D je ”proizvoljna” prosto povezana oblast (Slika 3.3.3), sa kon-turom L sastavljenom od delova koji se nadovezuju krivih

L1 : x = x1(y) , L2 : x = x2(y)

i pravihL3 : y = c , L4 : y = d ,


pri cemu je x1(y) < x2(y) za svako y ∈ (c, d).Analognim postupkom kao pod 2 se utvrduje da je opis oblasti D

(3.3.3) x1(y) ≤ x ≤ x2(y) , c ≤ y ≤ d .

Dakle, sada promenljiva y ima konstantne, a x funkcionalne granice.

Delovi pravih L1, L2 u slucaju 2, odnosno L3, L4 u slucaju 3, mogu dase svedu na samo jednu tacku.

x

y

X

X

X

X

1

1

3

3

4

4

2

2

D

a b

c

d

LL

L

L

x

y

X

X

X

X

1

1

3

3

4

4

2

2

Dc

d

LL

L

L

x

y

X

X

X

X

1

1

3

3

4

4

2

2

D

a b

LL

L

L


Radi jednostavnosti izrazavanja i zapisivanja, usvajamo sledeci dogovor.Delove krivih (pravih) Li (i = 1, 2, . . . , n) koji ulaze u sastav granice Loblasti D oznacavamo isto sa Li kao i same krive (prave). Tako u opisanim

slucajevima pisemo L =4⋃

i=1

Li, podrazumevajuci pod Li odgovarajuce de-

love isto oznacenih krivih (pravih) Li. Takode, kazemo da je oblast Dogranicena krivama (pravama) Li umesto granicom L sastavljenom od de-lova krivih (pravih) Li, ili da se D nalazi izmedu krivih (pravih) Li umestoizmedu njihovih delova. Koristicemo i druge neprecizne opise ako smatramoda su oni citaocu dovoljno jasni.

Definicija 3.3.1. Ako je

φ1(x) =∫ d

c

f(x, y) dy , φ2(y) =∫ b

a

f(x, y) dx ,

tada se integrali

∫ b

a

φ1(x) dx =∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y) dy]dx =

∫ b

a

dx

∫ d

c

f(x, y) dy ,

∫ d

c

φ2(y) dy =∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y) dx]dy =

∫ d

c

dy

∫ b

a

f(x, y) dx

zovu dvostruki integrali po pravougaonoj oblasti (3.3.1) funkcije f(x, y).


Definicija 3.3.2. Ako je

φ3(x) =∫ y2(x)

y1(x)

f(x, y) dy , φ4(y) =∫ x2(y)

x1(y)

f(x, y) dx ,

tada se integrali

∫ b

a

φ3(x) dx =∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

f(x, y) dy ,

∫ d

c

φ4(y) dy =∫ d

c

dy

∫ x2(y)

x1(y)

f(x, y) dx

zovu dvostruki integrali po proizvoljnoj oblasti (3.3.2) i (3.3.3) redom funkcijef(x, y).

U dvostrukim integralima je prvi upisani integral spoljasnji, a drugi upi-sani unutrasnji. Integracija se vrsi sukcesivno zdesna ulevo, tako sto se prvoresava unutrasnji, a zatim spoljasnji integral, pri cemu rezultat unutrasnjepodleze spoljasnjoj integraciji. U slucaju pravougaone oblasti (3.3.1) svejednoje koji je integral unutrasnji, a koji spoljasnji, dok je u slucaju oblasti (3.3.2) i(3.3.3) uvek unutrasnji integral sa funkcionalnim, a spoljasnji sa konstantnimgranicama. Ako je oblast pravougaona i podintegralna funkcija oblika

f(x, y) = f1(x)f2(y) ,

unutrasnji i spoljasnji integral su nezavisni, pa je dvostruki integral proizvoddva odredena integrala.

Teorema 3.3.1. Ako je D pravougaona oblast (3.3.1), tada je

(3.3.4)∫∫

D

f(x, y) dxdy =∫ b

a

dx

∫ d

c

f(x, y) dy =∫ d

c

dy

∫ b

a

f(x, y) dx .

Dokaz teoreme zbog komplikovanosti izostavljamo ([6], str. 67–70), a izdokaza izdvajamo samo sledece zapazanje. Sve celije ∆i pravougaone oblastiD su takode pravougaone. Koordinatne linije x = xi, y = yi istovremenodele oblast D i segmente [a, b], [c, d] na koordinatnim osama. Zbog uslova

δi = (xi − xi−1)(yi − yi−1) = (xi−1 − xi)(yi−1 − yi) > 0 ,

podele na segmentima su istovremeno rastuce (Slika 3.3.4) ili opadajuce(Slika 3.3.5) i odgovaraju pretpostavljenoj pozitivnoj orijentaciji oblasti D.


U Teoremi 3.3.1 su uzete rastuce podele, sto je uslovilo da redosled granicau oba odredena integrala bude od manje ka vecoj. Za opadajuce podele seg-menata bi redosled granica u oba integrala bio od vece ka manjoj, ali se tonikada ne radi. Kako proizvodu (xi−xi−1)(yi−yi−1) > 0 odgovara proizvoddxdy > 0, u oznaci dvojnog integrala je s razlogom dδ zamenjeno sa dxdy.

xxx

y

y

y

i-1

i-1

i

i

iD

xx x

y

y

y

i-1

i-1

i

i

iD


Teorema 3.3.2. Ako je D prosto povezana oblast (3.3.2), tada je

(3.3.5)∫∫

D

f(x, y) dxdy =∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

f(x, y) dy .

Dokaz. Posmatrajmo pravougaonu oblast D3, opisanu sa (3.3.1) i takvuda je c < y1(x) < y2(x) < d za svako x ∈ (a, b) (Slika 3.3.6). Tada jeD3 = D1 ∪D ∪D2, gde je

D1 : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ y1(x) , D2 : a ≤ x ≤ b , y2(x) ≤ y ≤ d .

x

y

1

1

2

2

a

c

d

b

D

D

DX

X

X

Slika 3.3.6.

Na oblasti D3 definisemo novu funkciju

f∗(x, y) =

f(x, y) , (x, y) ∈ D ,

0 , (x, y) ∈ D3 \D .

Ovako definisana funkcija u opstem slucaju nije neprekidna na D3 jer nijeneprekidna duz krivih y = y1(x) i y = y2(x). Medutim, funkcija f∗(x, y) je


integrabilna na D3 ([1], str. 239, 246), pa na nju moze da se primeni (3.3.4)i dobija se

(3.3.6)∫∫

D3

f∗(x, y) dxdy =∫ b

a

dx

∫ d

c

f∗(x, y) dy .

Leva strana jednakosti (3.3.6), prema osobini (1.3.7) Riemannovih inte-grala i definiciji funkcije f∗(x, y), postaje

∫∫

D3

f∗(x, y) dxdy(3.3.7)

=∫∫

D1

f∗(x, y) dxdy +∫∫

D

f∗(x, y) dxdy +∫∫

D2

f∗(x, y) dxdy

=∫∫

D

f∗(x, y) dxdy =∫∫

D

f(x, y) dxdy .

Posmatramo desnu stranu jednakosti (3.3.6). Za bilo koje fiksirano x =ξ ∈ [a, b] su vrednosti yi(x) = yi(ξ) = ηi ∈ [c, d] (i = 1, 2) konstante i zatacke X(ξ, y) ∈ D3 vazi: X ∈ D1 ako je y ∈ [c, η1], X ∈ D ako je y ∈ [η1, η2],X ∈ D2 ako je y ∈ [η2, d] (Slika 3.3.6). Kako je f∗(x, y) = 0 na D3 \ D,tj. f∗(ξ, y) = 0 za y ∈ [c, η1), y ∈ (η2, d] i f∗(x, y) = f(x, y) na D, tj.f∗(ξ, y) = f(ξ, y) za y ∈ [η1, η2], to je

∫ d

c

f∗(ξ, y) dy =∫ η1

c

f∗(ξ, y) dy +∫ η2

η1

f∗(ξ, y) dy +∫ d

η2

f∗(ξ, y) dy

=∫ η2

η1

f∗(ξ, y) dy =∫ η2

η1

f(ξ, y) dy .

Zbog proizvoljnosti x = ξ ∈ [a, b], a prema prethodnoj jednakosti, unutrasnjiintegral u (3.3.6) je

∫ d

c

f∗(x, y) dy =∫ y2(x)

y1(x)

f(x, y) dxdy ,

odakle integracijom po x ∈ [a, b] sledi

(3.3.8)∫ b

a

dx

∫ d

c

f∗(x, y) dy =∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

f(x, y) dxdy .

Konacno, iz (3.3.7) i (3.3.8) se dobija tvrdenje (3.3.5) teoreme. ¤



(3.3.9)∫∫

D

f(x, y) dxdy =∫ d

c

dy

∫ x2(y)

x1(y)

f(x, y) dx .

Dokaz ove teoreme se izvodi analogno dokazu Teoreme 3.3.2.

U (3.3.5) i (3.3.9) je, kao i u (3.3.4), uzet redosled granica od manje kavecoj u oba odredena integrala.

Ukoliko oblast D ne pripada ni jednom od tipova (3.3.1)–(3.3.3), trebaje deliti na podoblasti nekog od ovih tipova, posebno na svakoj od njihracunati dvojni integral i dobijene vrednosti sabrati, sto je opsta osobinaRiemannovih integrala (1.3.7).

Primetimo na ovom mestu i sledece. Kako je pravougaona oblast (3.3.1)specijalan slucaj oblasti (3.3.2) za y1(x) ≡ c, y2(x) ≡ d ili oblasti (3.3.3)za x1(y) ≡ a, x2(y) ≡ b, to je jednakost (3.3.4) specijalan slucaj jednakosti(3.3.5) ili (3.3.9).

PRIMER 3.3.1. Izracunati povrsinu oblasti trougla u xy–ravni (z = 0) sa temenimaA(1, 1), B(4, 2), C(3, 6).

Neka je D oblast trougla ciju povrsinu d = m(D) treba izracunati. Takode, neka suL1, L2, L3 prave na kojima leze stranice trougla,

L4 : x = 1 , L5 : x = 3 , L6 : x = 4

prave paralelne y–osi koje prolaze kroz tacke A, B, C redom (Slika 3.3.7) i

L7 : y = 1 , L8 : y = 2 , L9 : y = 6

prave paralelne x–osi kroz iste tacke (Slika 3.3.8).

x

y

0 x

y

0

C C

A A

B B

L1L1

L9

L3L3

L6

L5

L2L2

L4

D3

D4

D2D1

L8

L71

1 4

2

3

6



Povrsina d se izracunava prema (3.1.4), tj.

d =

ZZD

dxdy .

Oblast D nije nijednog od tipova (3.3.1)–(3.3.3), pa je delimo pravom L5 na D = D1∪D2

(Slika 3.3.7), gde je oblast D1 ogranicena sa L4, L5, L1, L3, oblast D2 sa L5, L6, L1, L2

i obe su tipa (3.3.2). Tada je povrsina d zbir

d =

ZZD1

dxdy +

ZZD2

dxdy = d1 + d2 ,

gde su d1 i d2 povrsine oblasti D1 i D2.

Jednacinu prave L1 trazimo u eksplicitnom obliku y = kx + n. Kako L1 prolazi kroztacke A i B, koordinate ovih tacaka zadovoljavaju jednacinu prave. Smenjujuci x = 1,y = 1 i x = 4, y = 2 u y = kx + n, dobija se sistem jednacina

k + n = 1 , 4k + n = 2 ,

odakle je k = 1/3, n = 2/3 i

L1 : y =1

3x +

2

3.

Analogno se nalaze i jednacine pravih

L2 : y = −4x + 18 , L3 : y =5

2x− 3

2.

Prema objasnjenju pod 2, opis (3.3.2) oblasti D1 i D2 je

D1 : 1 ≤ x ≤ 3 ,1

3x +

2

3≤ y ≤ 5

2x− 3

2,

D2 : 3 ≤ x ≤ 4 ,1

3x +

2

3≤ y ≤ −4x + 18 .

S obzirom na opis oblasti D1 i D2, primenjujemo tvrdenje (3.3.5) Teoreme 3.3.2 idobijamo

d1 =

ZZD1

dxdy =

Z 3

1dx

Z 5x/2−3/2

x/3+2/3dy =

Z 3

1y5x/2−3/2

x/3+2/3dx

=13

6

Z 3

1(x− 1) dx =

13

6

x2

2− x 3

1=

13

3,

d2 =

ZZD2

dxdy =

Z 4

3dx

Z −4x+18

x/3+2/3dy =

Z 4

3y−4x+18

x/3+2/3dx

= −13

3

Z 4

3(x− 4) dx = −13

3

x2

2− 4x

43=

13

6,

odakle je

d =13

3+

13

6=

13

2.


Oblast D mozemo da podelimo drugacije, pravom L8 na D = D3 ∪D4 (Slika 3.3.8),gde je oblast D3 ogranicena sa L7, L8, L3, L1, oblast D4 sa L8, L9, L3, L2 i obe su tipa(3.3.3). U ovom slucaju jednacine pravih L1, L2 i L3 treba zapisati u obliku

L1 : x = 3y − 2 , L2 : x = −1

4y +

9

2, L3 : x =

2

5y +

3

5,

sto dovodi do opisa

D3 :2

5y +

3

5≤ x ≤ 3y − 2 , 1 ≤ y ≤ 2 ,

D4 :2

5y +

3

5≤ x ≤ −1

4y +

9

2, 2 ≤ y ≤ 6 ,

primenom tvrdenja (3.3.9) Teoreme 3.3.3 do integrala

d3 =

ZZD3

dxdy =

Z 2

1dy

Z 3y−2

2y/5+3/5dx =

13

5

Z 2

1(y − 1) dy = · · · = 13

10,

d4 =

ZZD4

dxdy =

Z 6

2dy

Z −y/4+9/2

2y/5+3/5dx = −13

10

Z 6

2

1

2y − 3

dy = · · · = 26

5

i, naravno, do istog rezultata

d = d3 + d4 =13

10+

26

5=

13

2. 4

NAPOMENA 3.3.1. Neka je oblast D (Slika 3.3.2) opisana sa (3.3.2). Prema (3.1.4) i(3.3.5), povrsina d oblasti D je

d =

ZZD

dxdy =

Z b

adx

Z y2(x)

y1(x)dy =

Z b

ay2(x) dx−

Z b

ay1(x) dx .

Isti rezultat se dobija i prema geometrijskom tumacenju odredenog integrala (Slika 1.3.1),bez poznavanja jednakosti (3.1.4). Tako bi se, npr., povrsina d1 iz Primera 3.3.1 dobilapomocu

d1 =

Z 3

1

5

2x− 2

3

dx−

Z 3

1

1

3x +

2

3

dx = · · · = 13

3. 4

PRIMER 3.3.2. Izracunati zapreminu oblasti cilindra, ciji je omotac cilindricna povrssa izvodnicama paralelnim x–osi, jedan bazis je oblast trougla u yz–ravni sa temenimaO(0, 0, 0), A(0, 1, 0), B(0, 0, 1), a drugi bazis je deo ravni x + y + z = 2.

Sa D oznacimo oblast trougla, sa L1 pravu koja prolazi kroz tacke A, B (Slika 3.3.9)i sa S ravan x + y + z = 2. Kako je segmentni oblik jednacine ravni ([3], str. 269)

x

a+

y

b+

z

c= 1 ,

gde su a, b, c koordinate tacaka (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) u kojima ravan sece koordinatneose, to je a = b = c = 2 u slucaju ravni S (Slika 3.3.10).


y

z

x

y

z

D D

0 1

2

2

2

1

L1

A A

B BS

Slika 3.3.9. Slika 3.3.10.

Kako oblast D pripada yz–ravni, jednacinu ravni S zapisujemo u eksplicitnom obliku

S : x = f(y, z) = 2− y − z

i uocavamo da je f(y, z) > 0 za (y, z) ∈ D. Prema geometrijskom tumacenju dvojnogintegrala, zapremina m oblasti cilindra je

m =

ZZD

f(y, z) dydz =

ZZD

(2− y − z) dydz .

Jednacinu prave L1 nalazimo kao u Primeru 3.3.1,

L1 : z = −y + 1 ,

pa je opis oblika (3.3.2) oblasti D dat sa

D : 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ −y + 1 .

Primenom jednakosti (3.3.5) i resavanjem dvostrukog integrala, za zapreminu dobijamo

m =

Z 1

0dy

Z −y+1

0(2− y − z) dz =

Z 1

0

h(2− y)z − z2

2

i z=−y+1

z=0dy

=

Z 1

0

1

2y2 − 2y +

3

2

dy =

1

6y3 − y2 +

3

2y 1

0=

2

3.

Prilikom upisivanja granica koje treba zameniti upisujemo i promenljivu na koju se graniceodnose kad god nije sasvim ocigledno o kojoj se promenljivoj radi. U ovom slucaju,po resavanju unutrasnjeg integrala kao neodredenog, tako su upisane granice z = 0 iz = −y + 1 promenljive z.

Ukoliko jednacinu prave L1 zapisemo u obliku

L1 : y = −z + 1 ,

opis oblasti D je oblika (3.3.3),

D : 0 ≤ y ≤ −z + 1 , 0 ≤ z ≤ 1 ,


a odgovarajuci dvostruki integral iz jednakosti (3.3.9) je

m =

Z 1

0dz

Z −z+1

0(2− y − z) dy = · · · = 2

3. 4

NAPOMENA 3.3.2. Preseci ravni, kao i bilo koje druge povrsi, sa koordinatnim osamamogu da se nadu na standardan nacin, iz sistema jednacina formiranog od jednacine povrsii jednacina koordinatnih osa. Tako bi se u Primeru 3.3.2 presecna tacka (2, 0, 0) ravni Ssa x–osom dobila iz sistema

x + y + z = 2 , y = 0 , z = 0 ,

tj. zamenom y = 0, z = 0 u jednacinu ravni, a analogno bi se dobile i tacke (0, 2, 0),(0, 0, 2). 4

PRIMER 3.3.3. Izracunati dvojni integral

I =

ZZD

xy dxdy ,

gde je D oblast u xy–ravni (z = 0) ogranicena krivama

L1 : x2 + y2 = 2ax , L2 : y2 = 2ax , L3 : x = 2a

za y ≥ 0 i a > 0.

Kriva L1 je kruznica (1.4.21), tj.

L1 : (x− a)2 + y2 = a2 ,

kriva L2 je parabola x = y2/2a simetricna u odnosu na x–osu, dok je L3 prava paralelnay–osi. Od dve ogranicene oblasti izmedu L1, L2 i L3, oblast D je ona za koju je y ≥ 0(Slika 3.3.11).

y

x

a

a

2a

2a0

L1

L4

L2

L3

D

Slika 3.3.11.

S obzirom na uslov y ≥ 0, delovi krivih L1 i L2 koji ogranicavaju D imaju eksplicitnejednacine

L1 : y =p

2ax− x2 , L2 : y =√

2ax ,


pa je opis (3.3.2) oblasti D dat sa

D : 0 ≤ x ≤ 2a ,p

2ax− x2 ≤ y ≤√

2ax .

Prema (3.3.5), dvojni integral postaje dvostruki, cijim resavanjem sledi

I =

ZZD

xy dxdy =

Z 2a

0dx

Z √2ax

√2ax−x2

xy dy

=

Z 2a

0x

y2

2

y=√

2ax

y=√

2ax−x2dx =

1

2

Z 2a

0x3 dx =

1

8x42a

0= 2a4 .

Oblast D ne moze u celini da se opise nejednakostima (3.3.3), ali je ove nejednakostimoguce koristiti za opis njenih delova. Ako pravom

L4 : y = a

podelimo oblast na D = D1 ∪D2 ∪D3, opis (3.3.3) delova je

D1 :1

2ay2 ≤ x ≤ a−

pa2 − y2 , 0 ≤ y ≤ a ,

D2 : a +p

a2 − y2 ≤ x ≤ 2a , 0 ≤ y ≤ a ,

D3 :1

2ay2 ≤ x ≤ 2a , a ≤ y ≤ 2a ,

gde je x = a−p

a2 − y2 jednacina dela kruznice L1 za x ≤ a i x = a+p

a2 − y2 jednacinadela L1 za x ≥ a. U ovom slucaju dvojni integral I mora da se rastavi na tri nova dvojnaintegrala

I =

ZZD1

+

ZZD2

+

ZZD3

i da se svaki od njih posebno resava, sto je ocigledno znatno komplikovanije nego u prethod-nom slucaju opisa (3.3.2). 4

NAPOMENA 3.3.3. Za opis proizvoljne oblasti mogu da se koriste i nejednakosti(3.3.2) i nejednakosti (3.3.3), bilo da se njima opisuju delovi oblasti (Primer 3.3.1) ilicitava oblast (Primer 3.3.2). Teorijski posmatrano, svejedno je koji se opis koristi. Upraksi se koristi onaj koji omogucava jednostavnije resavanje dvojnog ili odgovarajucegdvostrukog integrala. Po pitanju jednostavnosti resavanja, integrali u Primerima 3.3.1 i3.3.2 su ravnopravni. Medutim, dvojni integral u Primeru 3.3.3 se jednostavnije resavaako se za opis oblasti koriste nejednakosti (3.3.2). 4

3.3.2. Izracunavanje trojnih integrala

Neka su a, b, c, d, g, h ∈ R konstante takve da je a < b, c < d, g < h.Razmatramo sledece slucajeve.


1 Prostorna oblast D je oblast kvadra (Slika 3.3.12), cija je granicakvadar S sastavljen od delova ravni

S1 : x = a , S2 : x = b , S3 : y = c , S4 : y = d ,

S5 : z = g , S6 : z = h .

Projekcija oblasti D na xy–ravan je ravna oblast Dxy sa opisom (3.3.1).Ako je X(x, y, z) ∈ D proizvoljna tacka, tada je njena projekcija X ′(x, y, 0) ∈Dxy. Zato prva i druga koordinata x, y zadovoljavaju nejednakosti (3.3.1).Najmanju trecu koordinatu z = g imaju tacke X(x, y, g) ∈ S5, a najvecuz = h tacke X(x, y, h) ∈ S6, pa za trece koordinate tacaka X(x, y, z) vazig ≤ z ≤ h. Dakle, oblast D je opisana nejednakostima

(3.3.10) a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , g ≤ z ≤ h ,

sto znaci da su sve tri promenljive x, y, z u konstantnim granicama.

2 Prostorna oblast D je ”proizvoljna” prosto povezana oblast (Sli-ka 3.3.13), cija je granica zatvorena povrs S sastavljena od delova: ravni

S1 : x = a , S2 : x = b ,

cilindricnih povrsi sa izvodnicama paralelnim z–osi

S3 : y = y1(x) , S4 : y = y2(x)

i povrsiS5 : z = z1(x, y) , S6 : z = z2(x, y) ,

pri cemu je y1(x) < y2(x) i z1(x, y) < z2(x, y) za svako x ∈ (a, b), y ∈(y1(x), y2(x)

).

Projekcija oblasti D na xy–ravan je ravna oblast Dxy sa opisom (3.3.2),pa za koordinate x, y tacaka X(x, y, z) ∈ D vaze nejednakosti (3.3.2). Zasvako fiksirano x = ξ ∈ [a, b] i y = η ∈ [

y1(ξ), y2(ξ)], tj. X ′(ξ, η, 0) ∈ Dxy,

najmanju trecu koordinatu z = z1(ξ, η) ima tacka X(ξ, η, z1(ξ, η)

) ∈ S5, anajvecu z = z2(ξ, η) tacka X

(ξ, η, z2(ξ, η)

) ∈ S6. Zato je z1(ξ, η) ≤ z ≤z2(ξ, η) i, zbog proizvoljnosti x = ξ, y = η, za trece koordinate je z1(x, y) ≤z ≤ z2(x, y). Oblast D je opisana sa

(3.3.11) a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y2(x) , z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y) ,

odakle vidimo da je promenljiva x u konstantnim, a promenljive y i z ufunkcionalnim granicama.


3 Prostorna oblast D je ”proizvoljna” prosto povezana oblast, cija jegranica zatvorena povrs S sastavljena od delova: cilindricnih povrsi sa izvod-nicama paralelnim z–osi

S1 : x = x1(y) , S2 : x = x2(y) ,

ravniS3 : y = c , S4 : y = d

i povrsiS5 : z = z1(x, y) , S6 : z = z2(x, y) ,

pri cemu je x1(y) < x2(y) i z1(x, y) < z2(x, y) za svako y ∈ (c, d), x ∈(x1(y), x2(y)

).

Projekcija oblasti D na xy–ravan je ravna oblast Dxy sa opisom (3.3.3).Analogno kao pod 2 se utvrduje da je opis oblasti D

(3.3.12) x1(y) ≤ x ≤ x2(y) , c ≤ y ≤ d , z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y) .

Ovde je promenljiva y u konstantnim, a promenljive x i z u funkcionalnimgranicama.

U slucajevima 2 i 3 delovi ravni i cilindricnih povrsi mogu da se sveduna samo jednu krivu (pravu).

x

z

D D

X

X

a

g

h

b

c d

S3 S

4

S S5 5

S6

S1

S2

x

y

z

X

X

X

a

b

S3 S

4

S6

Dxy

S1

S2

y

’Dxy ’X

Slika 3.3.12. Slika 3.3.13.

Kao i kod dvojnih integrala, usvajamo dogovor o istom oznacavanju povrsi(ravni) i njihovih delova Si (i = 1, 2, . . . , n) koji ulaze u sastav granice S

oblasti D. Na primer, u prethodno opisanim slucajevima pisemo S =6⋃

i=1

Si,

podrazumevajuci pod Si odgovarajuce delove isto oznacenih povrsi (ravni).Koristicemo i druge neprecizne opise, analogne onima kod dvojnih integrala.


Definicija 3.3.3. Ako je Dxy oblast u xy–ravni opisana sa (3.3.1) i

φ1(x) =∫ d

c

dy

∫ h

g

f(x, y, z) dz , φ2(x, y) =∫ h

g

f(x, y, z) dz ,

tada se integrali

∫ b

a

φ1(x) dx =∫ b

a

dx

∫ d

c

dy

∫ h

g

f(x, y, z) dz ,(3.3.13)

∫∫

Dxy

φ2(x, y) dxdy =∫∫

Dxy

dxdy

∫ h

g

f(x, y, z) dz(3.3.14)

zovu trostruki integrali po oblasti kvadra (3.3.10) funkcije f(x, y, z).

Definicija 3.3.4. Ako je Dxy oblast u xy–ravni opisana sa (3.3.2) i

φ3(x) =∫ y2(x)

y1(x)

dy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz , φ4(x, y) =∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz ,

tada se integrali

∫ b

a

φ3(x) dx =∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

dy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz ,(3.3.15)

∫∫

Dxy

φ4(x, y) dxdy =∫∫

Dxy

dxdy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz(3.3.16)

zovu trostruki integrali po proizvoljnoj oblasti (3.3.11) funkcije f(x, y, z).

Ako je Dxy oblast u xy–ravni opisana sa (3.3.3), trostruki integral poproizvoljnoj oblasti (3.3.12) funkcije f(x, y, z) se definise analogno

(3.3.17)∫ d

c

dy

∫ x2(y)

x1(y)

dx

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz .

Imajuci u vidu (3.3.4), (3.3.5), (3.3.9), trostruki integrali (3.3.13) i(3.3.14), (3.3.15) i (3.3.16), odnosno (3.3.16) i (3.3.17), su jednaki, pa svitrostruki integrali predstavljaju tri odredena integrala.

U trostrukim integralima je prvi upisani integral spoljasnji, a ostali suunutrasnji. Integracija se vrsi sukcesivno zdesna ulevo, pri cemu rezultatprethodne podleze sledecoj integraciji. U slucaju oblasti kvadra (3.3.10) sve-jedno je koji je integral spoljasnji, a koji su unutrasnji, tj. redosled resavanja


odredenih integrala nije od znacaja. Cak i vise, ukoliko je podintegralnafunkcija oblika

f(x, y, z) = f1(x)f2(y)f3(z) ,

trostruki integral je proizvod tri odredena integrala. U slucaju oblasti(3.3.11) i (3.3.12) uvek se prvo resava unutrasnji integral cije su granicefunkcije od dve nezavisno promenljive, zatim unutrasnji cije su granicefunkcije jedne nezavisno promenljive i, kao poslednji, spoljasnji integralsa konstantnim granicama. Pod posebnim uslovima, trostruki integral jeproizvod jednog odredenog i jednog dvojnog, tj. dvostrukog integrala.

Sledece tri teoreme navodimo bez dokaza, uz napomenu da su dokazi slicnionima kod dvojnih integrala.

Teorema 3.3.4. Ako je D oblast kvadra (3.3.10), tada je

(3.3.18)∫∫∫

D

f(x, y, z) dxdydz =∫ b

a

dx

∫ d

c

dy

∫ h

g

f(x, y, z) dz .


(3.3.19)∫∫∫

D

f(x, y, z) dxdydz =∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

dy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz .


(3.3.20)∫∫∫

D

f(x, y, z) dxdydz =∫ d

c

dy

∫ x2(y)

x1(y)

dx

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz .

U (3.3.18)–(3.3.20) je uzet redosled granica od manje ka vecoj u sva triodredena integrala.

Ukoliko oblast D ne pripada ni jednom od tipova (3.3.10)–(3.3.12), trebaje deliti na podoblasti nekog od ovih tipova, posebno na svakoj od njihracunati trojni integral i dobijene vrednosti sabrati, tj. treba primeniti oso-binu (1.3.7).

Uocavamo da je oblast kvadra (3.3.10) specijalan slucaj oblasti (3.3.11) ili(3.3.12) za z1(x, y) ≡ g, z2(x, y) ≡ h i kada se ravne oblasti (3.3.2) ili (3.3.3)svode na pravougaonu oblast (3.3.1). Zato je i jednakost (3.3.18) specijalanslucaj jednakosti (3.3.19) ili (3.3.20). Koristeci ovu cinjenicu i raniji ko-mentar o trostrukim integralima, (3.3.18)–(3.3.20) mozemo da objedinimo ujednakost

(3.3.21)∫∫∫

D

f(x, y, z) dxdydz =∫∫

Dxy

dxdy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz ,


gde je Dxy projekcija oblasti D na xy–ravan.

Do sada smo razmatrali samo prostorne oblasti D cija je projekcija naxy–ravan ravna oblast Dxy sa nekim od opisa (3.3.1)–(3.3.3) i dali pravila zaprevodenje trojnog na odgovarajuce trostruke integrale. Analogna pravilavaze i za trojne integrale po prostornim oblastima D cije su projekcije Dyz,Dzx na yz i zx–ravan redom nekog od opisa oblika (3.3.1)–(3.3.3). Na primer,za

D : x1(y, z) ≤ x ≤ x2(y, z) , c ≤ y ≤ d , z1(y) ≤ z ≤ z2(y)

je projekcija na yz–ravan oblast Dyz opisana nejednakostima oblika (3.3.2)i vazi

∫∫∫

D

f(x, y, z) dxdydz =∫ d

c

dy

∫ z2(y)

z1(y)

dz

∫ x2(y,z)

x1(y,z)

f(x, y, z) dx(3.3.22)

=∫∫

Dyz

dydz

∫ x2(y,z)

x1(y,z)

f(x, y, z) dx .

PRIMER 3.3.4. Izracunati zapreminu oblasti cilindra, ciji je omotac cilindricna povrssa izvodnicama paralelnim z–osi, jedan bazis je oblast trougla u xy–ravni sa temenimaO(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), a drugi bazis je deo ravni x + y + z = 2.

Neka je D oblast cilindra ciju zapreminu d = m(D) treba izracunati. Projekcija oblastiD na xy–ravan je oblast trougla Dxy sa temenima O, A, B. Sa S1 oznacimo xy–ravan, asa S2 ravan x + y + z = 2 (Slika 3.3.14). Presecne tacke (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2) ravniS2 sa koordinatnim osama smo vec odredili u Primeru 3.3.2.

x

y

z

A

B

S

S

D

D1

2

xy

1

1

2

2

2

Slika 3.3.14.

Zapremina d se izracunava prema (3.2.3), tj.

d =

ZZZD

dxdydz .

Slicno kao u Primerima 3.3.1 i 3.3.2 nalazimo opis (3.3.2) ravne oblasti Dxy ,

Dxy : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ −x + 1 .


Zapisujuci jednacine ravni S1 i S2 u obliku

S1 : z = z1(x, y) = 0 , S2 : z = z2(x, y) = 2− x− y

i prema objasnjenju pod 2, opis (3.3.11) oblasti D je

D : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ −x + 1 , 0 ≤ z ≤ 2− x− y .

S obzirom na opis oblasti D, primenjujemo tvrdenje (3.3.19) Teoreme 3.3.5 i dobijamo

d =

ZZZD

dxdydz =

Z 1

0dx

Z −x+1

0dy

Z 2−x−y

0dz

=

Z 1

0dx

Z −x+1

0z2−x−y

0dy =

Z 1

0dx

Z −x+1

0(2− x− y) dy

=

Z 1

0

h(2− x)y − y2

2

i y=−x+1

y=0dx =

Z 1

0

1

2x2 − 2x +

3

2

dx = · · · = 2

3.

Oblast Dxy mozemo da opisemo i nejednakostima (3.3.3),

Dxy : 0 ≤ x ≤ −y + 1 , 0 ≤ y ≤ 1 ,

sto dovodi do opisa (3.3.12) oblasti D,

D : 0 ≤ x ≤ −y + 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 2− x− y

i, naravno, do iste zapremine

d =

ZZZD

dxdydz =

Z 1

0dy

Z −y+1

0dx

Z 2−x−y

0dz = · · · = 2

3.

Uporedujuci cilindre iz ovog primera i Primera 3.3.2, vidimo da oni imaju isti oblik,ali razlicite polozaje u koordinatnom sistemu. Kako polozaj oblasti ne utice na njenuzapreminu, jasno da je u oba slucaja zapremina oblasti cilindra ista vrednost. 4

NAPOMENA 3.3.4. Neka je prostorna oblast D (Slike 3.3.12, 3.3.13) nekog od tipova(3.3.10)–(3.3.12). Prema (3.2.3) i (3.3.21), zapremina d oblasti D je

d =

ZZZD

dxdydz =

ZZDxy

dxdy

Z z2(x,y)

z1(x,y)dz

=

ZZDxy

z2(x, y) dxdy −ZZ

Dxy

z1(x, y) dxdy .

Isti rezultat se dobija i prema geometrijskom tumacenju dvojnog integrala (Slika 3.1.1),bez poznavanja jednakosti (3.2.3), o cemu svedoci Primer 3.3.2. 4

PRIMER 3.3.5. Izracunati trojni integral

I =

ZZZD

xy2 dxdydz ,


gde je D prostorna oblast ogranicena ravnima

S1 : y = 1 , S2 : z = 1 , S3 : x + y + z = 1 , S4 : x = 0 .

Ravni S1 i S2 su paralelne zx i xy–ravni redom, a S4 je yz–ravan. Kako ravan S3 secekoordinatne ose u tackama (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), jedina ogranicena oblast izmeduovih ravni je oblast tetraedra D za koju je x ≤ 0 (Slika 3.3.15). Projekcija oblasti D nayz–ravan je oblast trougla Dyz izmedu presecnih pravih L1, L2, L3 ravni S1, S2, S3 sayz–ravni.

x

y

z

S

S

D

D1

4

S2

S3

yz

1

1

1

0

Slika 3.3.15.

Zamenom x = 0 u x + y + z = 1 sledi y + z = 1 i, npr., z = −y + 1, pa su jednacinepravih u yz–ravni (x = 0)

L1 : y = 1 , L2 : z = 1 , L3 : z = −y + 1 ,

a opis oblika (3.3.2) oblasti Dyz je

Dyz : 0 ≤ y ≤ 1 , −y + 1 ≤ z ≤ 1 .

Imajuci u vidu da je x ≤ 0 za deo ravni S3 koji ogranicava oblast D, jednacine ravni S3 iS4 zapisujemo u obliku

S3 : x = x1(y, z) = 1− y − z , S4 : x = x2(y, z) = 0

i dobijamo opis oblika (3.3.11) oblasti D,

D : 1− y − z ≤ x ≤ 0 , 0 ≤ y ≤ 1 , −y + 1 ≤ z ≤ 1 .

Prema (3.3.22), trojni integral postaje trostruki, cijim resavanjem sledi

I =

ZZZD

xy2 dxdydz =

Z 1

0dy

Z 1

−y+1dz

Z 0

1−y−zxy2 dx

=

Z 1

0dy

Z 1

−y+1y2 x2

2

x=0

x=1−y−zdz =

Z 1

0dy

Z 1

−y+1−1

2y2(1− y − z)2 dz

=1

2

Z 1

0y2 dy

Z 1

−y+1(1− y − z)2 d(1− y − z) =

1

2

Z 1

0y2 (1− y − z)3

3

z=1

z=−y+1dy

=1

6

Z 1

0y2−y3

dy = −1

6

y6

6

10= − 1

36. 4


3.4. Smena promenljivihu visestrukim integralima

Oblast integracije D dvojnog (trojnog) integrala je cesto tesko ili nemogu-ce opisati nejednakostima oblika (3.3.1)–(3.3.3), odnosno (3.3.10)–(3.3.12),tj. pomocu Descartesovih koordinata. To se desava uglavnom onda kada seoblast zadaje implicitnom jednacinom svoje granice. Cak i ako se oblast opisena neki od pomenutih nacina, resavanje odredenih integrala u dvostrukom(trostrukom) integralu moze da bude komplikovano zbog nepogodne pod-integralne funkcije. Zato se u dvojnom (trojnom) integralu vrsi smenapromenljivih, koja dovodi do transformacije oblasti D u novu oblast in-tegracije D∗, mnogo jednostavniju za opis i do novog dvojnog (trojnog)integrala, mnogo jednostavnijeg za resavanje. Smena promenljivih se uvodii u manje nepovoljnim situacijama, tacnije, kad god je njome omogucenolakse i brze resavanje dvojnog (trojnog) integrala, kao sto je to u slucajuzamene integrala po proizvoljnoj oblasti (3.3.2)–(3.3.3) ili (3.3.11)–(3.3.12)integralom po oblasti pravougaonika (3.3.1) ili kvadra (3.3.10).

3.4.1. Smena promenljivih u dvojnim integralima

Neka je D zatvorena prosto povezana oblast u xy–ravni i neka sistemfunkcija

(3.4.1) u = u(x, y) , v = v(x, y)

ostvaruje bijektivno preslikavanje tacaka (x, y) ∈ D u tacke (u, v) ∈ D∗, gdeje D∗ zatvorena prosto povezana oblast u uv–ravni. Tada postoji jedinstvenisistem funkcija

(3.4.2) x = x(u, v) , y = y(u, v) ,

koji ostvaruje inverzno preslikavanje tacaka (u, v) ∈ D∗ u tacke (x, y) ∈ D.

Posmatrajmo funkcionalnu determinantu

(3.4.3) J(u, v) =D(x, y)D(u, v)

=∣∣∣∣xu xv

yu yv

∣∣∣∣ ,

gde su xu, xv, yu, yv parcijalni izvodi prvog reda funkcija x(u, v), y(u, v), tj.

xu =∂x

∂u, xv =

∂x

∂v; yu =

∂y

∂u, yv =

∂y

∂v.


Determinanta (3.4.3) je poznata pod imenom Jacobieva determinanta ilijakobijan i oznacava se krace samo sa J . Ako su funkcije x(u, v), y(u, v)neprekidne i imaju neprekidne parcijalne izvode prvog reda, jakobijan jetakode neprekidna funkcija. Osim neprekidnosti, neka je jos

(3.4.4) J(u, v) 6= 0

za svaku tacku (u, v) ∈ D∗ i neka su L, L∗ konture oblasti D, D∗ redom(Slika 3.4.1). Uslov (3.4.4) obezbeduje da se funkcijama (3.4.1) i (3.4.2)unutrasnje tacke oblasti D bijektivno preslikavaju u unutrasnje tacke oblastiD∗ i obrnuto. Isto tako, tacke sa konture L se bijektivno preslikavaju u tackesa konture L∗ i obrnuto. Ne moze, npr., unutrasnja tacka oblasti D da sepreslika u tacku sa konture L∗ ([6], str. 80). Ovo omogucava da se oblastiD i D∗ jednostavno transformisu jedna u drugu transformacijom kontura Li L∗ jedne u drugu.

x u

y v

D D

L L

Slika 3.4.1.

Sledecu teoremu navodimo bez dokaza ([6], str. 81–84).

Teorema 3.4.1. Ako su preslikavanja (3.4.1)–(3.4.2) bijekcije izmeduoblasti D, D∗ i ako je Jacobieva determinanta (3.4.3) neprekidna funkcijaza koju vazi (3.4.4), tada je

(3.4.5)∫∫

D

f(x, y) dxdy =∫∫

D∗f(x(u, v), y(u, v)

)∣∣J(u, v)∣∣ dudv .

Teorema 3.4.1 zahteva i neprekidnost mesovitih parcijalnih izvoda funkcijax(u, v), y(u, v). Ovu pretpostavku nismo naveli da ne bismo opterecivalitekst teoreme, a s opravdanjem da je ona u prakticnim problemima gotovouvek ispunjena.

Kako je

J(v, u) =D(x, y)D(v, u)

=∣∣∣∣xv xu

yv yu

∣∣∣∣ = −J(u, v) ,

znak jakobijana zavisi od rasporeda koordinatne u i v–ose, a time i od ori-jentacije oblasti D∗. Uticaj orijentacije oblasti D∗ na vrednost dvojnog in-tegrala po toj oblasti u jednakosti (3.4.5) je izbegnut uzimanjem apsolutne


vrednosti |J(u, v)| u podintegralnoj funkciji, pa se podrazumeva da je D∗

pozitivno orijentisana.

Za f(x, y) ≡ 1, prema (3.1.4) i (3.4.5), povrsina d = m(D) oblasti D je

(3.4.6) d =∫∫

D

dxdy =∫∫

D∗

∣∣J(u, v)∣∣ dudv .

Oznacavajuci sa d∗ = m(D∗) povrsinu oblasti D∗ i primenjujuci posledicu(3.1.6) Teoreme 3.1.1 na jednakost (3.4.6), sledi da postoji tacka (u∗, v∗) ∈D∗ tako da je

d =∣∣J(u∗, v∗)

∣∣∫∫

D∗dudv =

∣∣J(u∗, v∗)∣∣ d∗ .

Kako je u opstem slucaju |J(u∗, v∗)| 6= 1, oblasti D i D∗ se razlikuju i poobliku i po velicini (povrsini). Broj |J(u∗, v∗)| je koeficijent deformacije ilikoeficijent istezanja oblasti D pri preslikavanju sa (3.4.1) u oblast D∗.

U praksi se najcesce koriste jednakosti (1.4.4)–(1.4.7), koje su specijalanslucaj jednakosti (3.4.2) za u = r, v = ϕ. Ovim jednakostima se Descartes-ove koordinate x, y zamenjuju polarnim i uopstenim polarnim koordinatamar, ϕ.

Jakobijan za smenu (1.4.4), kojom se prelazi na polarne koordinate, je

J = J(r, ϕ) =∣∣∣∣xr xϕ

yr yϕ

∣∣∣∣ =∣∣∣∣cosϕ −r sin ϕsin ϕ r cosϕ

∣∣∣∣ = r cos2 ϕ + r sin2 ϕ = r ≥ 0

i tvrdenje (3.4.5) Teoreme 3.4.1 glasi

(3.4.7)∫∫

D

f(x, y) dxdy =∫∫

D∗f(r cos ϕ, r sin ϕ)r drdϕ ,

pri cemu je J = r 6= 0 za sve tacke (r, ϕ) ∈ D∗. Uslov r 6= 0 znaci da oblast Dne sadrzi koordinatni pocetak (0, 0). Za r = 0 jednakosti (1.4.4) ne ostvarujubijekciju izmedu tacaka oblasti D i D∗ i ne vazi zakljucak da se unutrasnjetacke, odnosno tacke sa kontura, preslikavaju jedne u druge. Medutim,jednakost (3.4.7) ostaje na snazi i u ovom slucaju, kada je (0, 0) ∈ D, tj.J = r = 0 ([2], str. 215–216). Za polarne koordinate (1.4.5) je

J =D(y, z)D(r, ϕ)

=∣∣∣∣yr yϕ

zr zϕ

∣∣∣∣ = r , J =D(z, x)D(r, ϕ)

=∣∣∣∣zr zϕ

xr xϕ

∣∣∣∣ = r .


Jakobijan za smenu (1.4.6), kojom se prelazi na uopstene polarne koordi-nate, je

(3.4.8) J = abnr cosn−1 ϕ sinn−1 ϕ .

Pri tome je J = 0, ne samo za r = 0, vec i za one vrednosti promenljive ϕza koje je cos ϕ = 0 ili sin ϕ = 0. Jednakost (3.4.5) vazi i u ovom slucaju.Specijalno, za n = 1 i (1.4.7) je

J = abr ≥ 0 ,

a jednakost (3.4.5) postaje

(3.4.9)∫∫

D

f(x, y) dxdy = ab

∫∫

D∗f(ar cosϕ, br sin ϕ)r drdϕ .

PRIMER 3.4.1. Izracunati dvojni integral

I =

ZZD

sin(x + y) sin(x− y) dxdy ,

gde je D oblast u xy–ravni (z = 0) ogranicena pravama

L1 : y = x , L2 : y = x + 3π , L3 : y = −x , L4 : y = −x + π .

Podintegralna funkcija sugerise smenu oblika (3.4.1),

u = x + y , v = x− y ,

iz koje se jednoznacno odreduju funkcije oblika (3.4.2),

x =u + v

2, y =

u− v

2.

Prema (3.4.3), Jacobieva determinanta je

J =

xu xv

yu yv

= 1/2 1/21/2 −1/2

= −1

26= 0 .

Kako je uslov (3.4.4) ispunjen, kontura L =S4

i=1 Li oblasti D iz xy–ravni (Slika 3.4.2)se preslikava u konturu L∗ oblasti D∗ iz uv–ravni. Pomocu uvedene smene se prave Li

(i = 1, 2, 3, 4) preslikavaju redom u prave

L∗1 : v = 0 , L∗2 : v = −3π , L∗3 : u = 0 , L∗4 : u = π ,

pa je L∗ =S4

i=1 L∗i . Oblast D∗ je pravougaona (Slika 3.4.3), sa opisom

D∗ : 0 ≤ u ≤ π , −3π ≤ v ≤ 0 .


x

y

u

v

2

2

3

2

3

3

D L1

L1L2

L2

L3

L3

L4

L4

D

0

0


Prema tvrdenju (3.4.5) Teoreme 3.4.1, dvojni integral I po oblasti D postaje dvojnipo oblasti D∗, tj.

I =1

2

ZZD∗

sin u sin v dudv .

Prelazeci sa dvojnog na dvostruki integral, sledi

I =1

2

Z π

0sin u du

Z 0

−3πsin v dv =

1

2(− cos u)

π0(− cos v)

0−3π

=1

22 (−2) = −2 .

Integral I moze da se resi i pomocu promenljivih x, y, bez uvodenja novih promenljivihu, v. Medutim, tada oblast D mora da se deli na D =

S3i=1 Di (Slika 3.4.2), a podinte-

gralna funkcija mora da se transformise pomocu trigonometrijske jednakosti

sin α sin β =cos(α− β)− cos(α + β)

2,

pa je korist od uvodenja smene dvostruka. 4PRIMER 3.4.2. Izracunati dvojni integral

I =

ZZD

px2 + y2 dxdy ,

gde je D krug u xy–ravni (z = 0)

D : x2 + y2 ≤ a2

za a > 0.

Smenom Descartesovih x, y polarnim r, ϕ koordinatama pomocu


krug D iz xy–ravni (Slika 1.4.23) se transformise u pravougaonu oblast D∗ iz uv–ravni(Slika 1.4.24), opisanu sa

D∗ : 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .


Kako je za uvedenu smenu |J | = r, primenjujuci jednakost (3.4.7) i prelazeci sa dvojnogna dvostruki integral, sledi

I =

ZZD∗

q(r cos ϕ)2 + (r sin ϕ)2 r drdϕ =

ZZD∗

r2 drdϕ

=

Z a

0r2 dr

Z 2π

0dϕ =

r3

3

a0

ϕ2π

0=

2

3a3π .

Oblast D moze jednostavno da se opise i pomocu Descartesovih koordinata, npr. ne-jednakostima

D : −a ≤ x ≤ a , −p

a2 − x2 ≤ y ≤p

a2 − x2 .

Imajuci u vidu parnost podintegralne funkcijep

x2 + y2 po y, simetricnost granica za yi (1.3.5), dvojni integral postaje dvostruki

I = 2

Z a

−adx

Z √a2−x2

0

px2 + y2 dy .

Unutrasnji integral se mukotrpno resava hiperbolickom smenom y = x sinh t, koju iznuduje

podintegralna funkcijap

x2 + y2. Nista lakse nije ni resavanje spoljasnjeg integrala

smenoma2 − x2

/x2 = sinh2 t. Dakle, bez uvodenja smene promenljivih u dvojni inte-

gral, resavanje dvostrukog integrala je neuporedivo komplikovanije. 4PRIMER 3.4.3. Izracunati povrsinu oblasti u xy–ravni (z = 0) ogranicene zatvore-

nom krivom

L :√

x +√

y12

= xy .

Neka je D oblast ciju povrsinu d treba izracunati. Kriva L je definisana za x, y ≥ 0.Jos je (x, y) = (0, 0) ∈ L, tj. (0, 0) ∈ D.

Descartesove koordinate x, y zamenjujemo uopstenim polarnim koordinatama r, ϕpomocu

x = r cos4 ϕ , y = r sin4 ϕ ,

sto je moguce zbog x, y ≥ 0 i vazi za svako ϕ ∈ [0, 2π]. S druge strane, uvedena smena jeoblika (1.4.6) sa a = b = 1 i n = 4. Broj n je paran, pa promenljiva ϕ ima maksimalniraspon 0 ≤ ϕ ≤ π/2. Zato je ϕ ∈ [0, π/2] ⊂ [0, 2π] i cos ϕ ≥ 0, sin ϕ ≥ 0. Primenomgotove formule (3.4.8) ili prema (3.4.3), za ovu smenu je

J =

xr xϕ

yr yϕ

= cos4 ϕ −4r cos3 ϕ sin ϕsin4 ϕ 4r cos ϕ sin3 ϕ

= 4r cos3 ϕ sin3 ϕ ≥ 0 .

Iz jednacine krive L sledi r4 = cos4 ϕ sin4 ϕ i r = | cos ϕ sin ϕ|, pa se L preslikava ukrivu

L∗ : r = cos ϕ sin ϕ ,

koja je definisana za svako ϕ ∈ [0, π/2]. Kako tacki (0, 0) ∈ D odgovara r = 0, oblast Diz xy–ravni (Slika 3.4.4) prelazi u oblast D∗ iz rϕ–ravni (Slika 3.4.5), sa opisom

D∗ : 0 ≤ r ≤ cos ϕ sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π

2.


x

Lxy

D

0 r0

2

2

1

4

D

L

jy


Prema (3.4.6) je

d =

ZZD

dxdy =

ZZD∗

4r cos3 ϕ sin3 ϕ drdϕ

i prelaskom na dvostruki integral

d = 4

Z π/2

0cos3 ϕ sin3 ϕ dϕ

Z cos ϕ sin ϕ

0r dr

= 2

Z π/2

0cos5 ϕ sin5 ϕ dϕ = 2

Z π/2

0

1− sin2 ϕ

2sin5 ϕ d(sin ϕ)

= 2

Z π/2

0

sin5 ϕ− 2 sin7 ϕ + sin9 ϕ

d(sin ϕ)

= 2 sin6 ϕ

6− 2

sin8 ϕ

8+

sin10 ϕ

10

π/2

0= 21

6− 1

4+

1

10

=

1

30.

U ovom primeru smenu promenljivih namece granica oblasti D. Implicitna jednacina,kojom je kriva L zadata, ne moze da se prevede na eksplicitan oblik y = y(x) ili x = x(y),pa ni oblast D ne moze da se opise nejednakostima (3.3.2) ili (3.3.3). Za razliku od ovog,mnogobrojni su primeri u kojima je prelazak sa implicitne na eksplicitnu jednacinu kriveteorijski resiv, ali za prakticnu realizaciju veoma tezak problem. Takav je, npr., problemresavanja opstih algebarskih jednacina treceg ili cetvrtog stepena ([4], str. 139–143). Akose uzme u obzir i neupotrebljivost dobijenih rezultata za resavanje integrala, s pravomcesto smatramo da ovako zadate ravne oblasti nije moguce opisati nejednakostima (3.3.2)ili (3.3.3). 4

NAPOMENA 3.4.1. Do izgleda implicitno zadatih krivih, kakva je L u Primeru 3.4.3,se tesko dolazi bez pomoci racunara i odgovarajucih programa. Cesto je tesko sagledatii eksplicitno zadate krive. Taj izgled se samo naslucuje, pa cak ni to. Krive L i L∗ sugraficki prikazane (Slike 3.4.4, 3.4.5) pomocu programskog paketa MATHEMATICA 5.0.

S druge strane, za resavanje dvojnih integrala nije od znacaja izgled, vec analitickiopis ravnih oblasti. Do ovog opisa moze da se dode i bez poznavanja preciznog izgledaoblasti, tj. njene konture, o cemu svedoci zakljucivanje izvedeno u Primeru 3.4.3. Zatonadalje u slicnim situacijama upucujemo citaoca na uslove koji dovode do opisa, a slikompredstavljamo izgled oblasti dobijen upotrebom racunara ili sliku izostavljamo. 4

NAPOMENA 3.4.2. Primer 3.4.3 koristimo za ilustraciju teorije o uopstenim polarnimkoordinatama r, ϕ uvedenim sa (1.4.6) i konkretno sa

x = r cos4 ϕ , y = r sin4 ϕ .


Zamenjujuci ovako iskazane x, y u jednacinu krive L, dobijamo da se L preslikava u krivu

L∗1 : r = | cos ϕ sin ϕ| ,

koja je definisana za ϕ ∈ [0, 2π]. Prema uvedenoj smeni, svakoj tacki (x, y) ∈ L odgovarajucetiri razlicite tacke (r, ϕk) ∈ L∗1 (k = 0, 1, 2, 3), gde je ϕ0 ∈ [0, π/2], ϕ1 = ϕ0 + π/2,ϕ2 = ϕ0 + π, ϕ3 = ϕ0 + 3π/2. Dakle, kriva L se cetiri puta preslikava u L∗1: jednomza ϕ ∈ [0, π/2], drugi put za ϕ ∈ [π/2, π], treci put za ϕ ∈ [π, 3π/2] i cetvrti put zaϕ ∈ [3π/2, 2π]. Zato umesto segmenta [0, 2π] treba uzeti neki od navedenih podsegmenata,svejedno koji. Obicno se uzima [0, π/2]. Ovo je razlog sto je, u slucaju jednakosti (1.4.6)sa parnim brojem n, maksimalni raspon koordinate ϕ definisan sa 0 ≤ ϕ ≤ π/2.

Zbog parnog broja n, prethodna smena moze da se uvede samo za tacke (x, y) izI kvadranta xy–ravni, za koje je x, y ≥ 0, pa su r i ϕ koordinate na lokalnom nivou.

Smena ocigledno ne ostvaruje bijekciju izmedu tacaka (x, y) iz I kvadranta xy–ravni iracaka (r, ϕ) iz rϕ–ravni za ϕ ∈ [0, 2π], ali je ostvaruje za ϕ ∈ [0, π/2]. 4

3.4.2. Smena promenljivih u trojnim integralima

Neka je D zatvorena prosto povezana prostorna oblast i neka sistemfunkcija

(3.4.10) u = u(x, y, z) , v = v(x, y, z) , w = w(x, y, z)

ostvaruje bijektivno preslikavanje tacaka (x, y, z) ∈ D u tacke (u, v, w) ∈ D∗,gde je D∗ zatvorena prosto povezana prostorna oblast u uvw–sistemu. Tadapostoji jedinstveni sistem funkcija

(3.4.11) x = x(u, v, w) , y = y(u, v, w) , z = z(u, v, w)

koji inverzno preslikava tacke (u, v, w) ∈ D∗ u tacke (x, y, z) ∈ D.

Jacobieva determinanta je u ovom slucaju

(3.4.12) J = J(u, v, w) =D(x, y, z)D(u, v, w)

=

∣∣∣∣∣∣

xu xv xw

yu yv yw

zu zv zw

∣∣∣∣∣∣,

gde je

xu =∂x

∂u, xv =

∂x

∂v, xw =

∂x

∂w; yu =

∂y

∂u, yv =

∂y

∂v, yw =

∂y

∂w;

zu =∂z

∂u, zv =

∂z

∂v, zw =

∂z

∂w.


Determinanta (3.4.12) je neprekidna funkcija ako su x(u, v, w), y(u, v, w),z(u, v, w) i njihovi parcijalni izvodi prvog reda neprekidne funkcije. Ako jejos

(3.4.13) J(u, v, w) 6= 0

za svaku tacku (u, v, w) ∈ D∗, unutrasnje tacke jedne oblasti se preslikavajuu unutrasnje tacke druge oblasti, a isto vazi i za tacke sa njihovih granica.

Teorema 3.4.2. Ako su preslikavanja (3.4.10)–(3.4.11) bijekcije izmeduoblasti D, D∗ i ako je Jacobieva determinanta (3.4.12) neprekidna funkcijaza koju vazi (3.4.13), tada je

∫∫∫

D

f(x, y, z) dxdydz(3.4.14)

=∫∫∫

D∗f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)∣∣J(u, v, w)∣∣ dudvdw .

Teorema 3.4.2 zahteva i neprekidnost odgovarajucih mesovitih parcijalnihizvoda funkcija x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w).

Za f(x, y, z) ≡ 1, prema (3.2.3) i (3.4.14), zapremina d = m(D) oblastiD je

(3.4.15) d =∫∫∫

D

dxdydz =∫∫∫

D∗

∣∣J(u, v, w)∣∣ dudvdw .

Kao i kod dvojnih integrala, postoji tacka (u∗, v∗, w∗) ∈ D∗ tako da je

d =∣∣J(u∗, v∗, w∗)

∣∣ d∗ ,

gde je d∗ = m(D∗) zapremina oblasti D∗ i |J(u∗, v∗, w∗)| koeficijent defor-macije oblasti D.

U prakticnim primenama se najcesce koriste jednakosti (1.4.8), (1.4.10)ili (1.4.11)–(1.4.12), (1.4.15), koje su specijalan slucaj jednakosti (3.4.11) zau = r, v = ϕ, w = z, odnosno u = r, v = ϕ, w = θ. Ovim jednakos-tima se Descartesove koordinate x, y, z zamenjuju cilindricnim i uopstenimcilindricnim koordinatama r, ϕ, z, odnosno sfernim i uopstenim sfernim ko-ordinatama r, ϕ, θ.

Jakobijan za smenu (1.4.8), kojom se prelazi na cilindricne koordinate, je

J = J(r, ϕ, z) =

∣∣∣∣∣∣

xr xϕ xz

yr yϕ yz

zr zϕ zz

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

cosϕ −r sin ϕ 0sin ϕ r cosϕ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣= r ≥ 0


i tvrdenje (3.4.14) Teoreme 3.4.2 glasi

(3.4.16)∫∫∫

D

f(x, y, z) dxdydz =∫∫∫

D∗f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)r drdϕdz ,

pri cemu je J = r 6= 0 za sve tacke (r, ϕ, z) ∈ D∗.Jakobijan za (1.4.10) i prelazak na uopstene cilindricne koordinate je

J = abr ≥ 0 ,

a jednakost (3.4.14) postaje∫∫∫

D


=ab

∫∫∫

D∗f(ar cos ϕ, br sin ϕ, z)r drdϕdz .

Jednakosti (3.4.16), (3.4.17) ostaju na snazi i kada je J = 0.Jakobijan za smenu (1.4.11), kojom se prelazi na sferne koordinate, je

J = J(r, ϕ, θ) =

∣∣∣∣∣∣

xr xϕ xθ

yr yϕ yθ

zr zϕ zθ

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

cosϕ cos θ −r sin ϕ cos θ −r cosϕ sin θsin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ −r sin ϕ sin θ

sin θ 0 r cos θ

∣∣∣∣∣∣= r2 cos θ ≥ 0 ,

a za (1.4.12) jeJ = r2 sin θ ≥ 0 ,

pri cemu je J ≥ 0 na osnovu (1.4.13) i (1.4.14) redom. U slucaju smene(1.4.11) se (3.4.14) svodi na

∫∫∫

D


=∫∫∫

D∗f(r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)r2 cos θ drdϕdθ

i analogno u slucaju (1.4.12).Jakobijan za (1.4.15) i prelazak na uopstene sferne koordinate je

J = abcr2 cos θ ≥ 0 ,


pa iz (3.4.14) sledi

∫∫∫

D


=abc

∫∫∫

D∗f(ar cos ϕ cos θ, br sin ϕ cos θ, cr sin θ)r2 cos θ drdϕdθ .

Jednakosti (3.4.18), (3.4.19) vaze i za J = 0.

PRIMER 3.4.4. Izracunati zapreminu prostorne oblasti ogranicene povrsima

S1 : x2 + y2 = 2x , S2 : z = 0 , S3 : z =p

x2 + y2 .

Neka je D prostorna oblast ciju zapreminu d treba izracunati. Povrs S1 je cilindricnasa izvodnicama paralelnim z–osi. Direktrisa je kruznica (1.4.21) sa a = 1, tj.

L : (x− 1)2 + y2 = 1 , z = 0 .

Povrs S2 je xy–ravan, a S3 je konus sa z–osom kao osovinom. Projekcija oblasti D naxy–ravan je krug Dxy ogranicen sa L (Slika 3.4.6).

x

y

z

D

0

2

1

L

S1

S2

S3

Dxy

1

L

Slika 3.4.6.

Descartesove koordinate x, y, z smenjujemo cilindricnim r, ϕ, z koordinatama pomocu

x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = z .

Za ovu smenu je |J | = r.

Povrsi Si (i = 1, 2, 3) se preslikavaju u povrsi

S∗1 : r = 2 cos ϕ , S∗2 : z = 0 , S∗3 : z = r ,

a kruznica L u krivu

L∗ : r = 2 cos ϕ , z = 0 .


Imajuci u vidu znacenje cilindricnih koordinata, za L je ϕ ∈ [−π/2, π/2], pa se krug Dxy

iz xy–ravni (z = 0) preslikava u oblast D∗xy iz rϕ–ravni (z = 0), opisanu sa (1.4.35), tj.

D∗xy : 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ , −π

2≤ ϕ ≤ π

2,

a oblast D iz xyz–sistema u oblast D∗ iz rϕz–sistema,

D∗ : 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ , −π

2≤ ϕ ≤ π

2, 0 ≤ z ≤ r .

Prema (3.4.15) je

d =

ZZZD

dxdydz =

ZZZD∗

r drdϕdz

i, prelaskom na trostruki integral,

d =

Z π/2

−π/2dϕ

Z 2 cos ϕ

0r dr

Z r

0dz

=

Z π/2

−π/2dϕ

Z 2 cos ϕ

0r2 dr =

Z π/2

−π/2

r3

3

2 cos ϕ

0dϕ =

8

3

Z π/2

−π/2cos3 ϕ dϕ

=16

3

Z π/2

0cos2 ϕ d(sin ϕ) =

16

3

Z π/2

0

1− sin2 ϕ

d(sin ϕ) = · · · = 32

9,

pri cemu je iskoriscena parnost funkcije cos3 ϕ na simetricnom segmentu [−π/2, π/2].

Oblast D moze jednostavno da se opise i pomocu promenljivih x, y, z, bez uvodenjanovih promenljivih, npr. nejednakostima

D : 0 ≤ x ≤ 2 , −p

2x− x2 ≤ y ≤p

2x− x2 , 0 ≤ z ≤p

x2 + y2 .

Odgovarajuci trostruki integral tada postaje

d =

Z 2

0dx

Z √2x−x2

−√

2x−x2dy

Z √x2+y2

0dz = 2

Z 2

0dx

Z √2x−x2

0

px2 + y2 dy .

Kao u Primeru 3.4.2, zbog nepogodne podintegralne funkcijep

x2 + y2, dobijeni odredeniintegrali se tesko resavaju. 4

PRIMER 3.4.5. Izracunati trojni integral

I =

ZZZD

px2 + y2 + z2 dxdydz ,

gde je D prostorna oblast ogranicena zatvorenom povrsi

S : x2 + y2 + z2 = z .

Povrs S je sfera (1.4.45) sa a = 1/2 (Slika 1.4.32), tj.

S : x2 + y2 +z − 1

2

2=

1

4.


Zamenom Descartesovih x, y, z sfernim r, ϕ, θ koordinatama pomocu

x = r cos ϕ cos θ , y = r sin ϕ cos θ , z = r sin θ ,

sfera S se preslikava u povrsS∗ : r = sin θ ,

a oblast D iz xyz–sistema u oblast D∗ iz rϕθ–sistema, opisanu sa (1.4.46), tj.

D∗ : 0 ≤ r ≤ sin θ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π

2.

Primenjujuci (3.4.18) i prelazeci sa trojnog na trostruki integral, sledi

I =

ZZZD∗

q(r cos ϕ cos θ)2 + (r sin ϕ cos θ)2 + (r sin θ)2 r2 cos θ drdϕdθ

=

ZZZD∗

r3 cos θ drdϕdθ =

Z 2π

0dϕ

Z π/2

0cos θ dθ

Z sin θ

0r3 dr

=1

4

Z 2π

0dϕ

Z π/2

0cos θ sin4 θ dθ =

1

2π

Z π/2

0sin4 θ d(sin θ) = · · · = 1

10π .

Kao u Primerima 3.4.2 i 3.4.4, oblast D moze da se opise pomocu Descartesovih koor-dinata, npr. sa

D : −1

2≤ x ≤ 1

2, −1

2

p1− 4x2 ≤ y ≤ 1

2

p1− 4x2 , 0 ≤ z ≤ 1

2+

1

2

p1− 4x2 − 4y2 ,

ali podintegralna funkcijap

x2 + y2 + z2 otezava resavanje trostrukog integrala. 4NAPOMENA 3.4.3. U vezi sa cilindricnim i sfernim koordinatama je sledece zapazanje.

Iz projekcije prostorne oblasti na neku od koordinatnih ravni u slucaju cilindricnih koor-dinata moze da se odredi raspon koordinata r i ϕ, a u slucaju sfernih koordinata samoraspon koordinate ϕ, sto je posledica znacenja ovih koordinata (Slike 1.4.6–1.4.8). 4

PRIMER 3.4.6. Izracunati zapreminu prostorne oblasti ogranicene zatvorenom povrsi

S :x2

a2+

y2

b2+

z2

c2

2= a2x

za a, b, c > 0.

Neka je D prostorna oblast ciju zapreminu d treba izracunati. U jednacini povrsi S jex2/a2 + y2/b2 + z2/c2

2 ≥ 0, pa mora da bude i a2x ≥ 0, sto znaci da je S definisanaza x ≥ 0. Jos je (x, y, z) = (0, 0, 0) ∈ S, tj. (0, 0, 0) ∈ D.

Descartesove koordinate x, y, z zamenjujemo uopstenim sfernim koordinatama r, ϕ, θpomocu

x = ar cos ϕ cos θ , y = br sin ϕ cos θ , z = cr sin θ .

Iz maksimalnog raspona 0 ≤ r < +∞, −π/2 ≤ θ ≤ π/2 koordinata r, θ sledi r ≥ 0i cos θ ≥ 0. Zato uslov x ≥ 0 zahteva cos ϕ ≥ 0, a to vazi za −π/2 ≤ ϕ ≤ π/2.Kako je [−π/2, π/2] ⊂ [−π, π], vrednosti koordinate ϕ su unutar maksimalnog raspona tekoordinate. Za uvedenu smenu je |J | = abcr2 cos θ.


Iz jednacine povrsi S dobijamo r4 = a3r cos ϕ cos θ, pa se S preslikava u povrs

S∗ : r = a 3p

cos ϕ cos θ ,

koja je definisana za svako ϕ, θ ∈ [−π/2, π/2]. Buduci da tacki (0, 0, 0) ∈ D odgovarar = 0, oblast D iz xyz–sistema prelazi u oblast D∗ iz rϕθ–sistema,

D∗ : 0 ≤ r ≤ a 3p

cos ϕ cos θ , −π

2≤ ϕ ≤ π

2, −π

2≤ θ ≤ π

2.

Primenom (3.4.15) i prelaskom na trostruki integral sledi

d =

ZZZD

dxdydz = abc

ZZZD∗

r2 cos θ drdϕdθ

= abc

Z π/2

−π/2dϕ

Z π/2

−π/2cos θ dθ

Z a 3√

cos ϕ cos θ

0r2 dr

=1

3a4bc

Z π/2

−π/2dϕ

Z π/2

−π/2cos ϕ cos2 θ dθ .

Koristeci parnost funkcija cos2 θ, cos ϕ na simetricnom segmentu [−π/2, π/2] i jednakost

cos2 θ =1 + cos 2θ

2,

dalje je

d =2

3a4bc

Z π/2

−π/2cos ϕ dϕ

Z π/2

0

1 + cos 2θ

2dθ

=1

3a4bc

Z π/2

−π/2cos ϕ

θ +

1

2sin 2θ

θ=π/2

θ=0dϕ

=1

3a4bcπ

Z π/2

0cos ϕ dϕ = · · · = 1

3a4bcπ . 4

NAPOMENA 3.4.4. Oblasti D∗ u Primerima 3.4.4, 3.4.5 i D, D∗ u Primeru 3.4.6 nisupredstavljene slikom. Jedan razlog je sto, u opstem slucaju, povrsi i prostorne oblastinemaju jasan graficki prikaz, cak i kad je dobijen upotrebom racunara. Drugi razlog jesto do potrebnog analitickog opisa moze da se dode i bez poznavanja izgleda oblasti, ocemu svedoce upravo pomenuti primeri. Sa slicnom situacijom smo se vec sreli kod krivihi oblasti u ravni (Napomena 3.4.1). 4

3.5. Green–Riemannova teorema

Green–Riemannova teorema je jedna od znacajnijih teorema u teorijiintegrala. Njome se, pod odredenim uslovima, uspostavlja veza izmedukrivolinijskog integrala po konturi u nekoj od koordinatnih ravni i dvojnogintegrala po oblasti ogranicenoj tom konturom. Ovakva veza omogucava


siroku primenu Green–Riemannove teoreme, kako pri dokazivanju nekihdrugih tvrdenja, tako i pri resavanju prakticnih problema. U takve prob-leme spadaju izracunavanje krivolinijskog integrala prelaskom na dvojni iliizracunavanje povrsine ravne oblasti pomocu krivolinijskog integrala.

Neka je D zatvorena, prosto povezana oblast u nekoj od koordinatnihravni, npr. u xy–ravni, a L njena kontura (granica), pozitivno orijentisanaprema Definiciji 1.2.2. Oblast D je takode pozitivno orijentisana premaDefiniciji 1.2.4.

Pretpostavimo da je D elementarna oblast (Definicija 1.1.18, Slika 1.1.2).Ne umanjujuci opstost, a radi jednostavnosti izvodenja, izaberimo onu kojau celini moze da se opise i nejednakostima (3.3.2) i nejednakostima (3.3.3).

Lema 3.5.1. Ako su P (x, y) i ∂P/∂y neprekidne funkcije u elementarnojoblasti D sa konturom L, vazi

(3.5.1)∮

L+P (x, y) dx = −

∫∫

D

∂P

∂ydxdy .

Dokaz. Neka su tacke A,B, X1, X2 ∈ L takve da je L+ =y

AX1B∪y

BX2A,

yAX1B : y = y1(x) , z = 0 ; x ∈ [a, b] ,y

BX2A : y = y2(x) , z = 0 ; x ∈ [a, b] ,

gde su a, b prve koordinate tacaka A, B redom i deloviy

AX1B,y

BX2Azadrzavaju orijentaciju celine L (Slika 3.5.1). Tada se parametar x menja

od a do b za deoy

AX1B i od b do a za deoy

BX2A, a oblast D se opisujenejednakostima (3.3.2), tj.

D : a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y2(x) .

xba

y

A

B

XX 12 D

L+

Slika 3.5.1.


Prema (1.3.7) i (2.3.5), krivolinijski integral na levoj strani jednakosti(3.5.1) postaje

∮

L+P (x, y) dx =

∫y

AX1B

P (x, y) dx +∫

yBX2A

P (x, y) dx

=∫ b

a

P(x, y1(x)

)dx +

∫ a

b

P(x, y2(x)

)dx

=∫ b

a

P(x, y1(x)

)dx−

∫ b

a

P(x, y2(x)

)dx .

Kako su diferenciranje i integracija inverzne operacije, to je

∫∂P

∂ydy = P (x, y)

i, prema (3.3.5), dvojni integral na desnoj strani jednakosti (3.5.1) postaje

∫∫

D

∂P

∂ydxdy =

∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

∂P

∂ydy =

∫ b

a

P (x, y)∣∣∣y=y2(x)

y=y1(x)dx

=∫ b

a

P(x, y2(x)

)dx−

∫ b

a

P(x, y1(x)

)dx .

Dobijeni izrazi za krivolinijski i dvojni integral se razlikuju samo u znaku,pa sledi tvrdenje (3.5.1). ¤

Lema 3.5.2. Ako su Q(x, y) i ∂Q/∂x neprekidne funkcije u elementarnojoblasti D sa konturom L, vazi

(3.5.2)∮

L+Q(x, y) dy =

∫∫

D

∂Q

∂xdxdy .

Dokaz. Neka su tacke A,B, X1, X2 ∈ L takve da je L+ =y

BX1A∪y

AX2B,

yBX1A : x = x1(y) , z = 0 ; y ∈ [c, d] ,y

AX2B : x = x2(y) , z = 0 ; y ∈ [c, d] ,

gde su c, d druge koordinate tacaka A, B redom i deloviy

BX1A,y

AX2Bzadrzavaju orijentaciju celine L (Slika 3.5.2). Tada se parametar y menja


od c do d za deoy

BX1A i od d do c za deoy

AX2B, a oblast D se opisujenejednakostima (3.3.3), tj.

D : x1(y) ≤ y ≤ x2(y) , c ≤ y ≤ d .

x

d

c

y

A

B

X X1 2D

L+

Slika 3.5.2.

Postupajuci analogno kao u dokazu Leme 3.5.1, uz koriscene jednakosti∫

∂Q

∂xdx = Q(x, y)

i (3.3.9), dobija se

∮

L+Q(x, y) dy =

∫ d

c

Q(x2(y), y

)dy −

∫ d

c

Q(x1(y), y

)dy =

∫∫

D

∂Q

∂xdxdy ,

sto je tvrdenje (3.5.2). ¤Teorema 3.5.1. (GREEN–RIEMANNOVA TEOREMA) Ako su P (x, y),

Q(x, y), ∂P/∂y, ∂Q/∂x neprekidne funkcije u prosto povezanoj oblasti Dsa konturom L, vazi Green–Riemannova formula

(3.5.3)∮

L+P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy .

Dokaz. Sabiranjem jednakosti (3.5.1) i (3.5.2) sledi tvrdenje (3.5.3) zaslucaj elementarne oblasti D.

Pretpostavimo da D nije elementarna oblast. Tada ona ne moze u celinida se opise bar na jedan od nacina (3.3.2), (3.3.3). Na primer, za oblast saSlike 3.5.3 ne postoji jedinstven opis (3.3.2).

Neka su tacke A,B, X1, X2 ∈ L takve da kriva_

AB deli oblast D naD = D1 ∪D2, gde su D1 i D2 elementarne oblasti. Sa LD1 i LD2 oznacimo

konture oblasti D1 i D2 redom. Na delovimay

AX1B ⊂ LD1 ,y

BX2A ⊂ LD2


zadrzavamo orijentaciju celine L+ =y

AX1B ∪y

BX2A, a zajednicki deo_

AB

orijentisemo tako da LD1 i LD2 imaju jedinstvene orijentacije, tj.y

BA ⊂ LD1

iy

AB ⊂ LD2 . Konture LD1 i LD2 su pozitivno orijentisane (Slika 3.5.3).

x

y X

X

L

L

D

D

2

1

2

2A

1

1

D

D

B

Slika 3.5.3.

Na elementarne oblasti D1 i D2 primenjujemo (3.5.3) i dobijamo∮

L+D1

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =∫∫

D1

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy ,

∮

L+D2

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =∫∫

D2

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy .

Radi jednostavnosti zapisivanja, podrazumevamo i izostavljamo podinte-gralne izraze P (x, y) dx + Q(x, y) dy u krivolinijskim i ∂Q/∂x − ∂P/∂y udvojnim integralima. Kako je

∮

L+D1

=∫

yAX1B

+∫y

BA

,

∮

L+D2

=∫

yBX2A

+∫y

AB

i, prema (1.3.8), ∫y

BA

= −∫y

AB

,

sabiranjem sledi∮

L+P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

∫y

AX1B

+∫

yBX2A

=∮

L+D1

+∮

L+D2

=∫∫

D1

+∫∫

D2

=∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy .

Dakle, jednakost (3.5.3) ostaje na snazi i kada D nije elementarna oblast,cime je teorema dokazana u potpunosti. ¤


Ako kriva pripada yz ili zx–ravni, Green–Riemannova formula glasi∮

L+Q(y, z) dy + R(y, z) dz =

∫∫

D

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)dydz ,

∮

L+R(z, x) dz + P (z, x) dx =

∫∫

D

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)dzdx .

Neka je sada D zatvorena, n–tostruko povezana oblast u xy–ravni sa po-zitivno orijentisanom spoljnom konturom L i negativno orijentisanim unu-trasnjim konturama Li (i = 1, 2, . . . , n − 1). Tada je oblast D pozitivnoorijentisana prema Definiciji 1.2.5. Kako je granica n–tostruko povezaneoblasti sastavljena od svih njenih kontura, sledeca teorema je analognaGreen–Riemannovoj teoremi.

Teorema 3.5.2. Ako su P (x, y), Q(x, y), ∂P/∂y, ∂Q/∂x neprekidnefunkcije u n–tostruko povezanoj oblasti D sa spoljnom konturom L i unu-trasnjim konturama Li (i = 1, 2, . . . , n− 1), vazi

∮

L+P (x, y) dx + Q(x, y) dy +

n−1∑

i=1

∮

L−i

P (x, y) dx + Q(x, y) dy(3.5.4)

=∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy .

Dokaz. Jednakost (3.5.4) pokazujemo u najjednostavnijem slucaju dvo-struko povezane oblasti sa jednom unutrasnjom konturom L1.

Neka su tacke Ai, Bi, Xi, Yi ∈ L (i = 1, 2) takve da krive_

A1B1 i_

A2B2 deleoblast D na D = D1∪D2, gde su D1 i D2 prosto povezane oblasti. Sa LD1 i

LD2 oznacimo konture oblasti D1 i D2 redom. Na delovimay

A1X1B2 ⊂ LD1 ,yB2X2A1 ⊂ LD2 zadrzavamo orijentaciju celine L+ =

yA1X1B2 ∪

yB2X2A1,

a na delovimay

B1Y1A2 ⊂ LD1 ,y

A2Y2B1 ⊂ LD2 orijentaciju celine L−1 =y

B1Y1A2 ∪y

A2Y2B1. Zajednicke delove_

A1B1,_

A2B2 orijentisemo tako da

LD1 i LD2 imaju jedinstvene orijentacije, tj.y

B1A1 ⊂ LD1 ,y

B2A2 ⊂ LD1 iy

A1B1 ⊂ LD2 ,y

A2B2 ⊂ LD2 . Konture LD1 i LD2 su pozitivno orijentisane(Slika 3.5.4).

x

y

X

X

L

L

D

D

22 2

22

2

A

A1

1 1

11

D

BB

Y

Y

1D

Slika 3.5.4.


Na prosto povezane oblasti D1 i D2 primenjujemo (3.5.3) i dobijamo∮

L+D1

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =∫∫

D1

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy ,

∮

L+D2

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =∫∫

D2

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy .

Izostavljajuci podintegralne izraze, imamo∮

L+D1

=∫

yA1X1B2

+∫

yB2A2

+∫

yA2Y1B1

+∫

yB1A1

,

∮

L+D2

=∫

yB2X2A1

+∫

yA1B1

+∫

yB1Y2A2

+∫

yA2B2

;

∫y

B1A1

= −∫

yA1B1

,

∫y

B2A2

= −∫

yA2B2

i sabiranjem∮

L+P (x, y) dx + Q(x, y) dy +

∮

L−1

P (x, y) dx + Q(x, y) dy

=∫

yA1X1B2

+∫

yB2X2A1

+∫

yB1Y2A2

+∫

yA2Y1B1

=∮

L+D1

+∮

L+D2

=∫∫

D1

+∫∫

D2

=∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy ,

sto je jednakost (3.5.4). ¤

Green–Riemannova teorema se koristi kad god je resavanje dvojnog inte-grala po ravnoj oblasti D jednostavnije od resavanja krivolinijskog integralapo njenoj konturi L, sto je i najcesci slucaj. U obrnutom smeru, za resavanjedvojnog pomocu krivolinijskog integrala, formula (3.5.3) se ne koristi, izuzi-majuci situaciju o kojoj ce nesto kasnije biti reci.


I =

ZL

ex sin y − by

dx +

ex cos y − b

dy ,

gde je L deo pozitivno orijentisane kruznice

L1 : x2 + y2 = ax , z = 0


za y ≥ 0 i a, b > 0.

Kruznica L1 pripada xy–ravni (z = 0). Kako je

L1 :x− a

2

2+ y2 =

a2

4,

sto je jednacina oblika (1.4.21), L1 ima centar na x–osi u tacki (a/2, 0) i poluprecnika/2. Zbog uslova y ≥ 0, deo L kruznice L1 je polukruznica u I kvadrantu. PolukruznicaL zadrzava orijentaciju celine L1. Ako je L2 deo x–ose izmedu tacaka (0, 0) i (a, 0),orijentisan od tacke (0, 0) ka tacki (a, 0), kriva

L3 = L ∪ L2

je pozitivno orijentisana kontura. Oblast D u xy–ravni, ogranicena sa L3, je prostopovezana (Slika 3.5.5).

x

y

0 a

2

a

D

L

L+

1

L2

Slika 3.5.5.

Sa I2 i I3 oznacimo krivolinijske integrale duz L2 i L3 redom, koji imaju isti podinte-gralni izraz kao integral I. Tada je I3 = I + I2, tj.

I = I3 − I2 .

Prvo izracunavamo integral I3. Stavljajuci

P (x, y) = ex sin y − by , Q(x, y) = ex cos y − b ,

dobijamo∂P

∂y= ex cos y − b ,

∂Q

∂x= ex cos y ,

pa su funkcije P (x, y), Q(x, y), ∂P/∂y, ∂Q/∂x neprekidne u citavoj xy–ravni, a time i uoblasti D. Uslovi Green–Riemannove teoreme su ispunjeni i primenom tvrdenja (3.5.3)sledi

I3 =

IL+

3

ex sin y − by

dx +

ex cos y − b

dy

=

ZZD

ex cos y − ex cos y − b

dxdy = b

ZZD

dxdy .


Uvodenjem polarnih koordinata sa

x = r cos ϕ , y = r sin ϕ

i imajuci u vidu |J | = r, polukruznica L ⊂ L1 za ϕ ∈ [0, π/2] i oblast D se preslikavaju u

L∗ : r = a cos ϕ ,

D∗ : 0 ≤ r ≤ a cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π

2,

pa je dalje

I3 = b

ZZD∗

r drdϕ = b

Z π/2

0dϕ

Z a cos ϕ

0r dr

=1

2a2b

Z π/2

0cos2 ϕ dϕ =

1

2a2b

Z π/2

0

1 + cos 2ϕ

2dϕ = · · · = 1

8a2bπ .

Isti rezultat se dobija primenom dobro poznate formule

d = R2π

za odredivanje povrsine d kruga poluprecnika R. Konkretno, za polukrug D i R = a/2 jeZZD

dxdy =1

2d =

1

2

a

2

2π =

1

8a2π .

Integral I2 se jednostavno izracunava. Kako je

L2 : y = y(x) = 0 , z = 0 ; x ∈ [0, a] ,

to je sin y(x) = 0, cos y(x) = 1, y′(x) = 0 i, prema (2.3.7) sa R(x, y, z) ≡ 0, t = x,

I2 =

ZL2

ex sin y − by

dx +

ex cos y − b

dy = 0 .

Konacno je

I = I3 − I2 =1

8a2bπ .

Da je direktno resavanje integrala I kao krivolinijskog izuzetno tesko, citalac i sammoze da se uveri. 4

NAPOMENA 3.5.1. Iz Primera 3.5.1 vidimo da je Green–Riemannovu teoremu moguceprimeniti i ako je kriva integracije u krivolinijskom integralu otvorena. Ovakva primenaje otezana iz dva razloga. Otvorena kriva prethodno mora da se dopuni do zatvorene i,osim odgovarajuceg dvojnog, mora da se resi krivolinijski integral po ”dopuni”. Cak itada se mnogi krivolinijski integrali znatno lakse resavaju pomocu ove teoreme. To su,uglavnom, oni integrali cija kriva integracije moze da se dopuni delom prave paralelnenekoj od koordinatnih osa ili, jasno, delom same ose. 4

Jos jedna znacajna primena Green–Riemannove teoreme se sastoji uizracunavanju povrsine ravne oblasti pomocu krivolinijskog integrala ponjenoj granici.


Neka je D prosto povezana oblast u xy–ravni i L njena kontura. Za-menjujuci u (3.5.3) specijalno izabrane funkcije P (x, y) = −y, Q(x, y) = x,dobija se ∮

L+x dy − y dx = 2

∫∫

D

dxdy

i, prema (3.1.4), povrsina d oblasti D je

(3.5.5) d =12

∮

L+x dy − y dx .

Za drugaciji izbor funkcija, npr. za P (x, y) ≡ 0, Q(x, y) = x, iz (3.5.3) sledi

(3.5.6) d =∮

L+x dy ,

a za P (x, y) = −y, Q(x, y) ≡ 0,

(3.5.7) d = −∮

L+y dx .

Jednakosti (3.5.5)–(3.5.7) su medusobno potpuno ravnopravne. Prednost usvakom konkretnom slucaju ima ona kojom se najlakse dolazi do rezultata,a to je obicno (3.5.5). Kako (3.5.5) moze da se zapise u obliku

(3.5.8) d =12

∮

L+x2 d

(y

x

),

koji je ponekad pogodniji za primenu, (3.5.5) se ipak cesce upotrebljava od(3.5.6) i (3.5.7).

U slucaju visestruko povezane oblasti, za isti izbor funkcija P (x, y),Q(x, y) iz (3.5.4) slede analogne jednakosti sa (3.5.5)–(3.5.8). Na primer,za dvostruko povezanu oblast D sa spoljnom konturom L i unutrasnjom L1,analogno sa (3.5.5) je

d =12

∮

L+x dy − y dx +

12

∮

L−1

x dy − y dx .

Ako su d1 i d2 povrsine prosto povezanih oblasti ogranicenih sa L i L1, daljeje

d =12

∮

L+x dy − y dx− 1

2

∮

L+1

x dy − y dx = d1 − d2 ,


sto bi se dobilo i primenom (3.5.5). Zato navedena jednakost nema veciprakticni znacaj.

PRIMER 3.5.2. Izracunati povrsinu oblasti u xy–ravni (z = 0) ogranicene zatvore-nom krivom (kardioida)

L : x = a cos t(1− cos t) , y = a sin t(1− cos t) , z = 0 ; t ∈ [0, 2π]

za a > 0.

Neka je D oblast ciju povrsinu d treba izracunati. Za t = 0, t = π/2, t = π, t = 3π/2, izparametarskih jednacina krive L se redom dobijaju presecne tacke (0, 0), (0, a), (−2a, 0),(0,−a) krive sa koordinatnim osama (Slika 3.5.6). Oblast D je prosto povezana, ali nijeelementarna.

x

y

0

-a

-2a

aL

+

D

0

Slika 3.5.6.

Povrsinu odredujemo prema (3.5.5), tj.

d =1

2

IL+

x dy − y dx .

Pozitivnoj orijentaciji krive L odgovara promena parametra t od t = 0 do t = 2π.Kako je

x′(t) = a sin t(2 cos t− 1) , y′(t) = acos t− cos2 t + sin2 t

,

duzim sredivanjem sledix(t)y′(t)− y(t)x′(t)

dt = a2(1− cos t)2 dt

i, prema (2.3.7) sa R(x, y, z) ≡ 0,

d =1

2a2

Z 2π

0(1− cos t)2 dt =

1

2a2

Z 2π

0

1− 2 cos t + cos2 t

dt

=1

2a2h(t− 2 sin t)

2π

0+

Z 2π

0

1 + cos 2t

2dti

= · · · = 3

2a2π .

Izracunavanje povrsine d pomocu (3.5.6) ili (3.5.7) dovodi do komplikovanije podinte-gralne funkcije, a time i do tezeg resavanja krivolinijskog integrala. 4


NAPOMENA 3.5.2. Implicitna jednacina kardioide L iz Primera 3.5.2 je

L :x2 + y2 + ax

2= a2

x2 + y2

.

Uvodenjem polarnih koordinata r, ϕ u xy–ravni, za koje je |J | = r, kriva L i oblast Dogranicena njome se preslikavaju u

L∗ : r = a(1− cos ϕ) ,

D∗ : 0 ≤ r ≤ a(1− cos ϕ) , 0 ≤ ϕ ≤ 2π

i, prema (3.1.4), (3.4.6), sledi

d =

ZZD

dxdy =

ZZD∗

r drdϕ =

Z 2π

0dϕ

Z a(1−cos ϕ)

0r dr

= a2

Z 2π

0(1− cos ϕ)2 dϕ = · · · = 3

2a2π .

Jasno, isti rezultat smo dobili u Primeru 3.5.2, samo pomocu krivolinijskog, a ne dvojnogintegrala. Imajuci u vidu da u ovom slucaju ne treba nalaziti izvode i sredivati podinte-gralni izraz, izracunavanje povrsine pomocu dvojnog integrala je po pravilu mnogo laksinacin. To je i logicno jer je (3.1.4) osnovna, a (3.5.5) posledicna, na (3.1.4) zasnovanaformula. Zato se (3.5.5) koristi uglavnom onda kada je kontura oblasti zadata svojimparametarskim jednacinama, na osnovu kojih ne umemo ili je naporno da dodemo dodrugih, za opis oblasti pogodnih jednacina konture.

Uocimo da se, zamenom r = a(1− cos ϕ) u x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dobijaju parame-tarske jednacine iz Primera 3.5.2 sa t = ϕ implicitno zadate kardioide, pa je parametar t,u stvari, polarni ugao ϕ. 4

4. POVRSINSKI INTEGRALI

4.1. Povrsinski integrali po povrsi(I vrste)

Prosledujemo opste pravilo o formiranju Riemannovih integrala u kon-kretnom slucaju povrsinskih integrala po povrsi.

Neka je oblast integracije OI = S, gde je S orijentisana prostorna povrs.Povrs S se deli (Definicija 1.2.9, Slika 1.2.25) na n celija podele PDi = Σi

(i = 1, 2, . . . , n) i unutar svake celije se bira tacka Xi(ξi, ηi, ζi). Za Xi ∈ Σi

moze da se uzme bilo koja tacka. Karakteristika podeonih delova je njihovapovrsina

k(PDi) = m(Σi) = σi > 0 .

Neka je podintegralna funkcija PF (X) = H(x, y, z) neprekidna na povrsiS, gde je tacka X(x, y, z) ∈ S proizvoljna. Vrednost PF (Xi) = H(Xi) =H(ξi, ηi, ζi) se mnozi izabranom karakteristikom i sabiranjem se dobija inte-gralna suma, a zatim i odgovarajuci integral.


(4.1.1) Sσ(n) =n∑

i=1

H(Xi) · σi =n∑

i=1

H(ξi, ηi, ζi) · σi

je integralna suma po povrsi funkcije H(x, y, z).



najvece rastojanje izmedu tacaka celije Σi, granicna vrednost

(4.1.2)∫∫

S

H(x, y, z) dσ = limn→∞

Sσ(n)

je povrsinski integral po povrsi ili povrsinski integral I vrste funkcijeH(x, y, z).

142



εi → 0 ocigledno sledi max1≤i≤n


σi → 0, sto

je u skladu sa opstim pravilom.

Orijentacija (strana) celija Σi (i = 1, 2, . . . , n) ne utice na njihove povrsinek(PDi) = σi > 0, pa je vrednost povrsinskog integrala I vrste ista za bilokoju orijentaciju (stranu) povrsi S (Slika 1.2.25). Dakle, za ove integrale nevazi osobina (1.3.8), vec vazi

∫

S+H(x, y, z) dσ =

∫

S−H(x, y, z) dσ .

Ako je s = m(S) povrsina cele povrsi S, za H(x, y, z) ≡ 1 iz (4.1.1) i(4.1.2) sledi osobina (1.3.9), tj.

(4.1.3)∫

S

dσ = limn→∞

n∑

i=1

σi = limn→∞

s = s .

Osobina (1.3.10) vazi za povrsinske integrale I vrste, a dokazuje seanalogno kao kod krivolinijskih integrala.

Izuzimajuci jednakost (4.1.3), povrsinski integrali I vrste nemaju geomet-rijsku interpretaciju.

Specijalno, neka je S deo neke od koordinatnih ravni, npr. xy–ravni (z =0). Tada se podintegralna funkcija H(x, y, z) svodi na funkciju f(x, y) =H(x, y, 0), povrs S na dvodimenzionalnu oblast D, celija Σi na celiju ∆i

(Napomena 1.2.8), povrsina σi na povrsinu δi, a povrsinski integral I vrste∫∫S

H(x, y, z) dσ na dvojni integral∫∫

Df(x, y) dxdy. Takode, povrsinski

integral I vrste podseca na krivolinijski integral I vrste u tome sto se zakarakteristiku podeonih delova uzima njihova velicina (duzina kod krivoli-nijskog i povrsina kod povrsinskog integrala).

NAPOMENA 4.1.1. Neka je povrs S data parametarskim jednacinama (1.1.2). Zafunkciju H(x, y, z) kazemo da je neprekidna na povrsi S ako je funkcija f(u, v) =Hx(u, v), y(u, v), z(u, v)

neprekidna u oblasti Duv. 4

4.2. Povrsinski integrali po koordinatama(II vrste)

Kod povrsinskih integrala po koordinatama situacija je ista kao kodpovrsinskih integrala po povrsi. Oblast integracije je OI = S, gde je S orijen-tisana prostorna povrs. Povrs S se deli na celije PDi = Σi (i = 1, 2, . . . , n) i


u svakoj od njih se bira tacka Xi(ξi, ηi, ζi). Ovi tipovi integrala se medusobnorazlikuju u izabranoj karakteristici podeonih delova k(PDi).

Neka su ∆i(yz), ∆i(zx), ∆i(xy) bijektivne projekcije celije Σi redom na yz,zx i xy–koordinatnu ravan. Sa δi(yz), δi(zx), δi(xy) oznacimo povrsine ovihprojekcija, uzete sa znakom + ako je Σi pozitivno, a sa znakom − ako jeΣi negativno orijentisana u odnosu na odgovarajucu bijekciju. Dakle, δi(yz),δi(zx), δi(xy) nisu obavezno pozitivni brojevi, niti moraju da imaju isti znak.Kod povrsinskih integrala po koordinatama se za karakteristiku bira jedanod njih:

k(PDi) = δi(yz) , k(PDi) = δi(zx) , k(PDi) = δi(xy) .

Ako je X(x, y, z) ∈ S proizvoljna tacka i podintegralna funkcija PF (X) =P (x, y, z) neprekidna na S, dolazi se do sledecih definicija.


(4.2.1) Syz(n) =n∑

i=1

P (Xi) · δi(yz) =n∑

i=1

P (ξi, ηi, ζi) · δi(yz)

je integralna suma po koordinatama y, z funkcije P (x, y, z).



najvece rastojanje izmedu tacaka projekcije ∆i(yz), granicna vrednost

(4.2.2)∫∫

S

P (x, y, z) dydz = limn→∞

Syz(n)

je povrsinski integral po koordinatama y, z ili povrsinski integral II vrstefunkcije P (x, y, z).


εi → 0 sledi max1≤i≤n


δi(yz) → 0. Proizvod

diferencijala dydz u oznaci povrsinskog integrala iz (4.2.2) proistice iz karak-teristike δi(yz), pa ima isto znacenje kao kod dvojnih integrala u slucajuδi(yz) > 0 i vazi dydz > 0. Medutim, za razliku od dvojnih, kod povrsinskihintegrala moze da bude δi(yz) < 0, a time i dydz < 0. Ovu razliku izmedupovrsinskih i dvojnih integrala treba imati u vidu.

Ako su Q(x, y, z) i R(x, y, z) funkcije neprekidne na S, analogno se definisuintegralne sume po koordinatama z, x i x, y

Szx(n) =n∑

i=1

Q(Xi) · δi(zx) , Sxy(n) =n∑

i=1

R(Xi) · δi(xy) ,


kao i povrsinski integrali po koordinatama z, x i x, y,

∫∫

S

Q(x, y, z) dzdx = limn→∞

Szx(n) ,

∫∫

S

R(x, y, z) dxdy = limn→∞

Sxy(n) .

Ovi integrali su takode povrsinski integrali II vrste.

Definicija 4.2.3. Potpuni povrsinski integral II vrste je

∫∫

S

P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy(4.2.3)

=∫∫

S

P (x, y, z) dydz +∫∫

S

Q(x, y, z) dzdx +∫∫

S

R(x, y, z) dxdy .

Vidimo da je potpuni povrsinski integral samo kraci zapis zbira povrsin-skih integrala po koordinatama u kojima se integracija vrsi po istoj povrsi S.Smisao uvodenja ovog integrala bice razjasnjen kasnije, u okviru vektorskihpovrsinskih integrala.

Neka je Dyz bijektivna projekcija povrsi S na yz–ravan. S obzirom naopis karakteristika, ocigledno je da pozitivno orijentisanoj povrsi S u odnosuna bijekciju Dyz ↔ S odgovara k(PDi) = δi(yz) > 0, a negativno orijenti-sanoj k(PDi) = δi(yz) < 0. Suprotan znak k(PDi) uslovljava suprotan znakintegralne sume, a time i povrsinskog integrala po koordinatama y, z. Prematome, za povrsinski integral po koordinatama y, z vazi osobina (1.3.8), tj.

∫∫

S+P (x, y, z) dydz = −

∫∫

S−P (x, y, z) dydz ,

gde su S+ i S− oznake suprotnih strana povrsi S. Analogno je i u slucajupovrsinskih integrala po ostalim koordinatama, pa (1.3.8) vazi generalno zasve povrsinske integrale II vrste.

Osobina (1.3.9) ne vazi za povrsinske integrale II vrste jer karakteristikek(PDi) nisu velicine podeonih delova Σi.

Osobina (1.3.10) vazi za povrsinske integrale II vrste i pokazuje se slicnokao kod krivolinijskih integrala II vrste. Preciznije, ako je |P (x, y, z)| ≤ M ,d povrsina bijektivne projekcije povrsi S na yz–ravan i s povrsina povrsi S,tada je ∣∣∣

∫∫

S

P (x, y, z) dydz∣∣∣ ≤ Md ≤ Ms .


Za povrsinske integrale II vrste je znacajna i sledeca osobina. Ako je povrsS deo cilindricne povrsi cije su izvodnice paralelne x–osi, vazi

(4.2.4)∫∫

S

P (x, y, z) dydz = 0 ,

sto se lako pokazuje. Neka je S1 cilindricna povrs sa izvodnicama paralel-nim x–osi i L1 njena presecna kriva sa yz–ravni (direktrisa). Tada je pro-jekcija povrsi S1 na yz–ravan upravo direktrisa L1, a projekcija povrsi Sje deo L krive L1. Zato su celije ∆i(yz) delovi krive L i kao takve imajupovrsine δi(yz) = 0 za svako i = 1, 2, . . . , n. Prema (4.2.1) i (4.2.2) sledi(4.2.4). Cinjenica da projektovanje S na yz–ravan nije bijekcija ne narusavaispravnost dokaza, a time ni tacnost tvrdenja (4.2.4). Analognu osobinuimaju integrali po koordinatama z, x i x, y.

Osobina (4.2.4) ne vazi za povrsinske integrale po povrsi jer je σi 6= 0 zasvako i = 1, 2, . . . , n bez obzira na polozaj povrsi.

Povrsinski integrali II vrste nemaju geometrijsku interpretaciju.

Specijalno, neka je S deo neke od koordinatnih ravni, npr. yz–ravni(x = 0). Tada se podintegralna funkcija P (x, y, z) svodi na funkcijuf(y, z) = P (0, y, z), povrs S na oblast Dyz, a povrsinski integral II vrste∫∫

SP (x, y, z) dydz na dvojni integral

∫∫Dyz

f(y, z) dydz ako je S pozitivnoorijentisana ili, prema osobini (1.3.8), na − ∫∫

Dyzf(y, z) dydz ako je S nega-

tivno orijentisana. Takode, povrsinski integrali II vrste podsecaju na krivoli-nijske integrale II vrste jer se za karakteristiku podeonog dela uzima velicinanjegove projekcije (na koordinatne ose kod krivolinijskih i na koordinatneravni kod povrsinskih integrala), sa znakom + ili − zavisno od orijentacijeoblasti integracije.

NAPOMENA 4.2.1. Kao i kod krivolinijskih, povrsinski integrali po povrsi i koordi-natama su dobili svoja imena prema izabranim karakteristikama podeonih delova. Uprvom slucaju se karakteristikom k(PDi) povrs tretira direktno, a u drugom slucajuposredno, preko njene projekcije na neku od koordinatnih ravni, tj. pomocu odgovarajucihkoordinata njenih tacaka. 4

NAPOMENA 4.2.2. U povrsinskim integralima je oblast integracije orijentisana povrs,tj. na povrsi je izabrana jedna od dve strane. Zato je uobicajeno reci da se integracijavrsi po strani povrsi umesto po povrsi, termin povrs integracije se zamenjuje terminomstrana integracije i slicno. 4


4.3. Izracunavanje povrsinskih integrala

Izracunavanje povrsinskih integrala se svodi na izracunavanje dvojnih in-tegrala, tj. na izracunavanje dva odredena integrala. Uslove i pravila pre-vodenja povrsinskih na dvojne integrale formulisacemo u obliku teorema.

4.3.1. Izracunavanje povrsinskih integrala I vrste

Teorema 4.3.1. Ako je orijentisana povrs S data jednacinom

S : x = x(y, z) ; (y, z) ∈ Dyz ,

tada je

(4.3.1)∫∫

S

H(x, y, z) dσ =∫∫

Dyz

H(x(y, z), y, z

)√1 + p2 + q2 dydz ,

gde su p i q standardne oznake parcijalnih izvoda funkcije x(y, z), tj.

(4.3.2) p = xy =∂x

∂y, q = xz =

∂x

∂z.

Dokaz. Neka je ∆i (i = 0, 1, . . . , n) projekcija celije Σi na yz–ravan, δi

njena povrsina i Xi(ξi, ηi, ζi) ∈ Σi proizvoljna tacka. Tada je (ηi, ζi) ∈ ∆i ivazi


(x(ηi, ζi), ηi, ζi

),

H(Xi) = H(x(ηi, ζi), ηi, ζi

)= φ(ηi, ζi) ,

kao i

Sσ(n) =n∑

i=1

H(Xi) · σi =n∑

i=1

φ(ηi, ζi) · σi .

Zbog vec postignutog dogovora da radimo samo sa deo po deo glatkimpovrsima, ne umanjujuci opstost pretpostavljamo da je S glatka povrs(Definicija 1.1.21). To znaci da su p = p(y, z) i q = q(y, z) neprekidnefunkcije na oblasti Dyz, odakle sledi da je

ψ(y, z) =√

1 + p2 + q2


takode neprekidna funkcija na Dyz, tj. na celijama ∆i za svako i =1, 2, . . . , n. Kako je ([6], str. 108–109)

σi =∫∫

∆i

√1 + p2 + q2 dydz =

∫∫

∆i

ψ(y, z) dydz ,

prema Teoremi 3.1.1 postoje tacke (ηi, ζi) ∈ ∆i takve da je

σi = ψ(ηi, ζi)∫∫

∆i

dydz = ψ(ηi, ζi) · δi .

Zato je dalje

Sσ(n) =n∑

i=1

φ(ηi, ζi) ψ(ηi, ζi) · δi

i

∣∣∣Sδ(n)−n∑

i=1

φ(ηi, ζi)ψ(ηi, ζi) · δi

∣∣∣ ≤n∑

i=1

∣∣φ(ηi, ζi)∣∣ ∣∣ψ(ηi, ζi)− ψ(ηi, ζi)

∣∣ · δi .

Funkcija H(x, y, z) je neprekidna na S, sto znaci da je funkcija φ(y, z) =H

(x(y, z), y, z

)neprekidna na Dyz (Napomena 4.1.1). Kao neprekidna,

φ(y, z) je i ogranicena funkcija ([2], str. 24), tj. postoji konacan broj M > 0tako da je

∣∣φ(y, z)∣∣ ≤ M za svaku tacku (y, z) ∈ Dyz. Takode, iz neprekid-

nosti funkcije ψ(y, z) sledi da za svako ρn > 0 postoji dovoljno ”sitna” podelaoblasti Dyz na celije ∆i tako da je

∣∣ψ(ηi, ζi) − ψ(ηi, ζi)∣∣ < ρn ([2], str. 22).

Neka ρn → 0 kad n →∞. Tada je

limn→∞

∣∣∣Sσ(n)−n∑

i=1

φ(ηi, ζi) ψ(ηi, ζi) · δi

∣∣∣ ≤ limn→∞

Mρnd = Md limn→∞

ρn = 0 ,

gde je d povrsina oblasti Dyz, pa je

limn→∞

Sσ(n) = limn→∞

n∑

i=1

φ(ηi, ζi) ψ(ηi, ζi) · δi .

Zbir na desnoj strani poslednje jednakosti je integralna suma za dvojni in-tegral po oblasti Dyz u kome je podintegralna funkcija

f(y, z) = φ(y, z)ψ(y, z) = H(x(y, z), y, z

)√1 + p2 + q2


i tvrdenje teoreme neposredno sledi∫

S

H(x, y, z) dσ =∫∫

Dyz

f(y, z) dydz

=∫∫

Dyz

H(x(y, z), y, z

)√1 + p2 + q2 dydz . ¤

Analogno, ako je

S : y = y(z, x) ; (z, x) ∈ Dzx ,

tada je

p = yz =∂y

∂z, q = yx =

∂y

∂x,(4.3.3)

∫∫

S

H(x, y, z) dσ =∫∫

Dzx

H(x, y(z, x), z

)√1 + p2 + q2 dzdx ,(4.3.4)

a ako jeS : z = z(x, y) ; (x, y) ∈ Dxy ,

tada je

p = zx =∂z

∂x, q = zy =

∂z

∂y,(4.3.5)

∫∫

S

H(x, y, z) dσ =∫∫

Dxy

H(x, y, z(x, y)

)√1 + p2 + q2 dxdy .(4.3.6)

Teorema 4.3.2. Ako je orijentisana povrs S data parametarskim jedna-cinama

S : x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) ; (u, v) ∈ Duv ,

tada je∫∫

S

H(x, y, z) dσ(4.3.7)

=∫∫

Duv

H(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)√EG− F 2 dudv ,

gde su E, G, F Mongeove oznake

(4.3.8)

E = x2u + y2

u + z2u ,

G = x2v + y2

v + z2v ,

F = xuxv + yuyv + zuzv .


Dokaz. Posmatrajmo dvojni integral na desnoj strani jednakosti (4.3.1) ijednacinu x = x(y, z) povrsi S privremeno oznacimo drugacije sa x = ψ(y, z).Za smenu

y = y(u, v) , z = z(u, v) ,

gde su y(u, v), z(u, v) funkcije koje figurisu u parametarskim jednacinamapovrsi S, jednacina x = ψ(y, z) postaje

x = ψ(y(u, v), z(u, v)

)= x(u, v) .

Takode, jakobijan je

(4.3.9) J(u, v) =D(y, z)D(u, v)

=∣∣∣∣yu yv

zu zv

∣∣∣∣

i pokazuje se ([6], str. 110–111) da za J(u, v) 6= 0 vazi

√1 + p2 + q2 =

√EG− F 2∣∣J(u, v)

∣∣ .

Zbog pretpostavljenih bijekcija Dyz ↔ S, Duv ↔ S, bijekcija je i preslika-vanje Dyz ↔ Duv, a iz pretpostavke da je S glatka povrs sledi da je J(u, v)neprekidna funkcija. Dakle, uslovi Teoreme 3.4.1 su ispunjeni, pa se njenomprimenom na posmatrani dvojni integral dobija tvrdenje

∫∫

S

H(x, y, z) dσ

=∫∫

Duv

H(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)√EG− F 2∣∣J(u, v)

∣∣∣∣J(u, v)

∣∣ dudv

=∫∫

Duv

H(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)√EG− F 2 dudv . ¤

Ukoliko se povrs S sastoji od delova sa razlicitom parametrizacijom, trebaprimeniti opstu osobinu Riemannovih integrala (1.3.7).

PRIMER 4.3.1. Izracunati povrsinu manjeg dela sfere

S1 : x2 + y2 + z2 = a2

koji iseca cilindricna povrsS2 : x2 + z2 = −az

za a > 0.


Neka je S deo sfere S1, ciju povrsinu s = m(S) treba izracunati. Sfera S1 je centralnapoluprecnika a. Cilindricna povrs S2 ima izvodnice paralelne y–osi, a njena direktrisa jekruznica u zx–ravni

L : x2 +z +

a

2

2=

a2

4, y = 0 ,

sa centrom na z–osi u tacki (0, 0,−a/2) i poluprecnika a/2 (Slika 4.3.1). Za povrs S2,a time i za S, vazi z ≤ 0. Povrs S2 iseca na sferi S1 dva dela, simetricna u odnosu nazx–ravan, pa se S sastoji od dve povrsi jednakih povrsina. Posmatramo samo deo S3 zakoji je y ≥ 0 (Slika 4.3.2).

x

y

z

S1

S3

S2

Dzx

x

z

Dzx

L

-a -a2


Polovina trazene povrsine se izracunava prema (4.1.3), tj.

s

2=

ZZS3

dσ .

Povrs S3 se bijektivno projektuje na zx–ravan (y = 0) u krug Dzx ogranicen sa L,

Dzx : x2 + z2 ≤ −az .

Kako je S3 deo sfere S1 za y ≥ 0, iz jednacine sfere sledi

S3 : y = y(z, x) =p

a2 − x2 − z2 ; (z, x) ∈ Dzx .

Prema (4.3.3) odredujemo

p =∂y

∂z=

−z√a2 − x2 − z2

, q =∂y

∂x=

−x√a2 − x2 − z2

; 1 + p2 + q2 =a2

a2 − x2 − z2

i prema tvrdenju (4.3.4) sa H(x, y, z) ≡ 1 dobijamo

s

2=

ZZDzx

p1 + p2 + q2 dzdx = a

ZZDzx

dzdx√a2 − x2 − z2

.


z = r cos ϕ , x = r sin ϕ ,

za koje je |J | = r, kruznica L i oblast Dzx prelaze u

L∗ : r = a cos ϕ ,

D∗zx : 0 ≤ r ≤ a cos ϕ ,π

2≤ ϕ ≤ 3π

2,


pa je dalje

s

2= a

ZZD∗zx

r√a2 − r2

drdϕ = a

Z 3π/2

π/2dϕ

Z a cos ϕ

0

r√a2 − r2

dr

= −a

2

Z 3π/2

π/2dϕ

Z a cos ϕ

0

da2 − r2

√

a2 − r2= −a

Z 3π/2

π/2

pa2 − r2

a cos ϕ

0dϕ

= −a2

Z 3π/2

π/2

| sin ϕ| − 1dϕ = −a2

Z 3π/2

π/2| sin ϕ| dϕ + a2

Z 3π/2

π/2dϕ .

Kako je sin ϕ ≥ 0 za ϕ ∈ [π/2, π] i sin ϕ ≤ 0 za ϕ ∈ [π, 3π/2], to je

s

2= −a2

Z π

π/2sin ϕ dϕ− a2

Z 3π/2

π− sin ϕ dϕ + a2ϕ

3π/2

π/2

= a2 cos ϕππ/2

−a2 cos ϕ3π/2

π+a2π = −a2 − a2 + a2π = a2(π − 2)

i konacnos = 2a2(π − 2) .

Osim na zx–ravan, povrs S3 se bijektivno projektuje i na xy–ravan u oblast Dxy .Granicna kriva Lxy oblasti Dxy je projekcija granicne krive povrsi S3. Jednacina

Lxy : y4 − a2y2 + a2x2 = 0 , z = 0

se nalazi eliminacijom z–koordinate iz jednacina povrsi S1 i S2 (Napomena 2.3.4), pa jeoblast Dxy opisana sa

Dxy : −y

a

pa2 − y2 ≤ x ≤ y

a

pa2 − y2 , 0 ≤ y ≤ a .

Pomocu polarnih koordinata ova oblast se transformise u

D∗xy : 0 ≤ r ≤ a

√− cos 2ϕ

sin2 ϕ,

π

4≤ ϕ ≤ 3π

4.

Resavanje bilo kog od odgovarajucih dvojnih integrala, po oblasti Dxy ili D∗xy , ukljucujucii nalazenje samog opisa oblasti, je neuporedivo tezi postupak od ovde iznetog.

Projektovanje povrsi S3 na yz–ravan nije bijekcija i zahteva deobu povrsi S3 na dvabijektivna dela. Olaksavajuca okolnost je da su ti delovi simetricni u odnosu na yz–ravan,sto znaci da imaju jednake povrsine i da se projektuju na istu oblast

Dyz :p

a2 − az ≤ y ≤p

a2 − z2 , 0 ≤ z ≤ a ,

pa je dovoljno resavati samo jedan dvojni integral. Medutim, kao i u prethodnom slucaju,ceo postupak je nepotrebno komplikovan. 4

NAPOMENA 4.3.1. Samo nalazenje bijektivne projekcije povrsi (ili delova povrsi)moze da predstavlja problem, kakav je slucaj projekcija Dxy i Dyz u Primeru 4.3.1. Uzrokje u cinjenici da se projekcija povrsi najcesce nalazi projektovanjem granicne krive povrsi(Napomena 2.3.4), kao i u dodatnom opisivanju projekcije nejednakostima oblika (3.3.2) ili


(3.3.3). Zato je izbor koordinatne ravni na koju se vrsi projektovanje znacajan. Po pravilu,ako je bijektivna projekcija povrsi na neku od koordinatnih ravni ogranicena direktrisomvec zadate cilindricne povrsi, projektovanje se vrsi upravo na tu koordinatnu ravan jerje granicna kriva projekcije (direktrisa) vec poznata. U Primeru 4.3.1 je projekcija Dzx

ogranicena direktrisom L cilindricne povrsi S2. 4

PRIMER 4.3.2. Izracunati povrsinski integral I vrste

I =

ZZS(xy + yz + xz) dσ ,

gde je S deo konusa

S1 : x =p

y2 + z2

koji iseca cilindricna povrs

S2 : y2 + z2 = 2ay

za a > 0.

Konus S1 ima x–osu za osovinu i vazi x ≥ 0. Direktrisa cilindricne povrsi S2 je kruznicau yz–ravni

L : (y − a)2 + z2 = a2 , x = 0 ,

a izvodnice su paralelne x–osi (Slika 4.3.3).

zDyz

S

L2a

S2

S1 y

x

Slika 4.3.3.

Povrs S se bijektivno projektuje na yz–ravan (x = 0) u krug Dyz ogranicen sa L,

Dyz : y2 + z2 ≤ 2ay .

Kao deo konusa S1, povrs S ima jednacinu

S : x = x(y, z) =p

y2 + z2 ; (y, z) ∈ Dyz .

Prema (4.3.2) odredujemo

p =∂x

∂y=

ypy2 + z2

, q =∂x

∂z=

zpy2 + z2

; 1 + p2 + q2 = 2


i prema tvrdenju (4.3.1) Teoreme 4.3.1 dobijamo

I =

ZZDyz

x(y, z)y + yz + x(y, z)z

p1 + p2 + q2 dydz

=√

2

ZZDyz

yp

y2 + z2 + yz + zp

y2 + z2dydz .


y = r cos ϕ , z = r sin ϕ ,

za koje je |J | = r, kruznica L i oblast Dyz prelaze u

L∗ : r = 2a cos ϕ ,

D∗yz : 0 ≤ r ≤ 2a cos ϕ , −π

2≤ ϕ ≤ π

2,

pa je dalje

I =√

2

ZZD∗yz

r3(cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ) drdϕ

=√

2

Z π/2

−π/2dϕ

Z 2a cos ϕ

0r3(cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ) dr

=√

2

Z π/2

−π/2(cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ)

r4

4

r=2a cos ϕ

r=0dϕ

= 4√

2 a4

Z π/2

−π/2cos4 ϕ(cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ) dϕ = 8

√2 a4

Z π/2

0cos5 ϕ dϕ ,

pri cemu su iskoriscene jednakosti (1.3.5), tj. parnost i neparnost odgovarajucih funkcijana simetricnom segmentu [−π/2, π/2]. Resavanjem dobijenog odredenog integrala sledirezultat

I = 8√

2 a4

Z π/2

0

1− sin2 ϕ

2d(sin ϕ) = · · · = 64

15

√2 a4 .

Povrs S se bijektivno projektuje i na zx–ravan, dok projektovanje na xy–ravan nijebijekcija. I u ovom slucaju vazi komentar iz Primera 4.3.1. Takode, projektovanje nayz–ravan je u skladu sa Napomenom 4.3.1. 4

NAPOMENA 4.3.2. U okviru ove napomene dajemo nekoliko prakticnih saveta, zna-cajnih za resavane zadataka. S obzirom na zapazanje iz Napomene 4.3.1, ova napomenaje u velikoj meri analogna Napomeni 2.3.5 kod krivolinijskih integrala.

1 Ako se povrs S bijektivno projektuje samo na jednu koordinatnu ravan, npr. na xy–ravan, za resavanje povrsinskog integrala treba koristiti jednakost (4.3.6) da bi se izbeglorastavljanje povrsi na bijektivne delove u odnosu na ostala projektovanja i resavanje visedvojnih integrala umesto jednog. Retke su, ali ne i nemoguce, situacije kada ovaj savettreba ignorisati.

2 Ako se povrs S bijektivno projektuje na dve ili tri koordinatne ravni, bira seona od jednakosti (4.3.1), (4.3.4), (4.3.6) u kojoj je dvojni integral najlaksi za resavanje(Primeri 4.3.1, 4.3.2), ukljucujuci i nalazenje projekcije.


3 Ako se povrs S ne projektuje bijektivno ni na jednu od koordinatnih ravni, kakavje slucaj zatvorenih povrsi, povrs S mora da se deli na bijektivne delove. Deoba se vrsiu odnosu na ono projektovanje koje dovodi do najjednostavnijeg nalazenja projekcija iresavanja integrala.

4 Ukoliko je povrs S sastavljena od delova sa razlicitom parametrizacijom, gde spadai 3, posle deobe se svaki od delova tretira kao posebna povrs i na nju se primenjujeodgovarajuci od zakljucaka 1 ili 2. Na primer, neka je S = S1 ∪ S2 ∪ S3, pri cemuse S1 i S2 bijektivno projektuju samo na zx–ravan, a S3 na yz i xy–ravan. Tada zaresavanje povrsinskih integrala po S1, S2 i S3 povrsi S1 i S2 treba projektovati na yz–ravan (zakljucak 1), a povrs S3 na yz ili xy–ravan (zakljucak 2). Cesta je pogodnostda se S1 i S2 projektuju na istu oblast u koordinatnoj ravni. 4

4.3.2. Izracunavanje povrsinskih integrala II vrste

Povrsinski integrali II vrste se resavaju na isti nacin po bilo koje dvekoordinate, pa svodenje na dvojni integral dajemo samo za integral po ko-ordinatama y, z.

Teorema 4.3.3. Ako je orijentisana povrs S data jednacinom

S : x = x(y, z) ; (y, z) ∈ Dyz ,

tada je

(4.3.10)∫∫

S+P (x, y, z) dydz =

∫∫

Dyz

P(x(y, z), y, z

)dydz ,

gde je S+ oznaka pozitivne strane povrsi u odnosu na bijekciju Dyz ↔ S.

Dokaz. Neka je ∆i(yz) (i = 0, 1, . . . , n) projekcija celije Σi na yz–ravan,δi njena povrsina i Xi(ξi, ηi, ζi) ∈ Σi proizvoljna tacka. Tada je


(x(ηi, ζi), ηi, ζi

),

P (Xi) = P(x(ηi, ζi), ηi, ζi

)= f(ηi, ζi) .

Povrs S je pozitivno orijentisana u odnosu na bijekciju Dyz ↔ S, pa se zakarakteristiku celija Σi uzima povrsina celija ∆i(yz), tj.

k(PDi) = δi(yz) = δi > 0 .

Zato je

Syz(n) =n∑

i=1

P (Xi) · δi(yz) =n∑

i=1

f(ηi, ζi) · δi .


Dobijeni zbir je integralna suma za dvojni integral po oblasti Dyz u kome jepodintegralna funkcija

f(y, z) = P(x(y, z), y, z

)

i tvrdenje teoreme sledi

∫

S

P (x, y, z) dydz = limn→∞

Syz(n) = limn→∞

n∑

i=1

f(ηi, ζi) · δi

=∫∫

Dyz

f(y, z) dydz =∫∫

Dyz

P(x(y, z), y, z

)dydz . ¤

Analogno, ako je

S : y = y(z, x) ; (z, x) ∈ Dzx ,

tada je

(4.3.11)∫∫

S+Q(x, y, z) dzdx =

∫∫

Dzx

Q(x, y(z, x), z

)dzdx ,

a ako jeS : z = z(x, y) ; (x, y) ∈ Dxy ,

tada je

(4.3.12)∫∫

S+R(x, y, z) dxdy =

∫∫

Dxy

R(x, y, z(x, y)

)dxdy .

U (4.3.11) je povrs S pozitivno orijentisana u odnosu na bijekciju Dzx ↔ S,a u (4.3.12) u odnosu na bijekciju Dxy ↔ S.

Teorema 4.3.4. Ako je orijentisana povrs S data parametarskim jedna-cinama

S : x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) ; (u, v) ∈ Duv ,

tada je∫∫

S+P (x, y, z) dydz(4.3.13)

=∫∫

Duv

P(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

)∣∣J(u, v)∣∣ dudv ,


gde je J(u, v) jakobijan (4.3.9), a S+ oznaka pozitivne strane povrsi u odnosuna bijekciju Dyz ↔ S.

Dokaz. Slicno kao u dokazu Teoreme 4.3.2, uvodenjem smene

y = y(u, v) , z = z(u, v)

u dvojni integral na desnoj strani jednakosti (4.3.10) i primenom Teo-reme 3.4.1, dobija se tvrdenje (4.3.13). ¤

Vaze i analogne jednakosti sa (4.3.13) za povrsinske integrale po koordi-natama z, x i x, y.

Potpuni povrsinski integral II vrste (4.2.3) se resava rastavljanjem na in-tegrale po koordinatama, koji se zatim nezavisno jedan od drugog resavajuodgovarajucom od jednakosti (4.3.10)–(4.3.12). Za ovakav nacin resavanjakazemo da je direktan. Integral (4.2.3) moze da se resi i jednostavnije,prelaskom na odgovarajuci povrsinski integral I vrste, o cemu ce vise bitireci kasnije.

Ako se povrs S sastoji od delova sa razlicitom parametrizacijom, trebaprimeniti opstu osobinu (1.3.7).

Osobina (1.3.8) vazi za povrsinske integrale II vrste. Zato za negativnustranu povrsi S u odnosu na bijekciju Dyz ↔ S iz (4.3.10) sledi

∫∫

S−P (x, y, z) dydz = −

∫∫

S+P (x, y, z) dydz(4.3.14)

= −∫∫

Dyz

P(x(y, z), y, z

)dydz

i analogno u ostalim slucajevima (4.3.11)–(4.3.13).

NAPOMENA 4.3.3. Tvrdenja (4.3.1), (4.3.4), (4.3.6) su samo specijalni slucajevitvrdenja (4.3.7), a (4.3.10)–(4.3.12) specijalni slucajevi tvrdenja (4.3.13) za odgovarajuciizbor parametara u i v. Na primer, za u = y, v = z parametarske jednacine povrsi S sesvode na jednacinu

x = x(u, v) = x(y, z) ,

a jednakosti (4.3.7) i (4.3.13) redom na (4.3.1) i (4.3.10). Za razliku od krivolinijskihintegrala (Napomena 2.3.3), ovde smo prvo dokazali specijalne slucajeve (4.3.1) i (4.3.10),pa tek onda iz njih izveli generalne slucajeve (4.3.7) i (4.3.13). Znatno je teze direk-tno dokazati jednakosti (4.3.7) i (4.3.13), a za povrsinske integrale po koordinatama ineprirodno. 4

PRIMER 4.3.3. Izracunati potpuni povrsinski integral II vrste

I =

ZZS

x dydz + x dzdx + z dxdy ,


gde je

S : z = x2 + y2

deo paraboloida za z ≤ 4. Integracija se vrsi po strani povrsi S koja se vidi sa negativnogdela z–ose.

Paraboloid S ima z–osu za osovinu i nalazi se iznad xy–ravni (z ≥ 0), a ispod ravniz = 4 (z ≤ 4). Neka je S = S1∪S2, gde je S1 deo za x ≥ 0, a S2 deo za x ≤ 0 (Slika 4.3.4).Takode, neka je S = S3 ∪ S4, gde je S3 deo za y ≥ 0, a S4 deo za y ≤ 0 (Slika 4.3.5). Nastrane delova koje odgovaraju strani integracije povrsi S su postavljeni normalni vektori.Slika 4.3.6 prikazuje projekcije Dyz , Dzx, Dxy povrsi S na yz, zx i xy–ravan redom.

xy

z

0

S1

S2

4

xy

z

0

S4 S

3

4


x

x

y

yz

z

0

0 0

4

4

-2

-2

2

2

2

D D

D

yz zx

xy

L

L

L

1

2

xy

Slika 4.3.6.

Potpuni povrsinski integral I rastavljamo na povrsinske integrale po koordinatama

I1 =

ZZS

x dydz , I2 =

ZZS

x dzdx , I3 =

ZZS

z dxdy

i svaki od njih resavamo zasebno.

Integral I1 je po koordinatama y, z, pa S treba projektovati na yz–ravan. Kako ovoprojektovanje nije bijekcija, S rastavljamo na bijektivne delove S1 i S2. Povrs S seceyz–ravan po paraboli

L1 : z = y2 , x = 0 .

Za z = 4 iz z = y2 je y = ±2. Zato se S1 i S2 projektuju na yz–ravan (x = 0) u istuoblast

Dyz : −2 ≤ y ≤ 2 , y2 ≤ z ≤ 4 .


S obzirom na prethodno projektovanje, jednacine povrsi S1 i S2 zapisujemo u potrebnomobliku

S1 : x = x1(y, z) =p

z − y2 ; (y, z) ∈ Dyz ,

S2 : x = x2(y, z) = −p

z − y2 ; (y, z) ∈ Dyz .

Integracija se vrsi po strani povrsi S1 koja se vidi sa pozitivnog dela x–ose, pa je topozitivno orijentisana strana S+

1 u odnosu na bijekciju Dyz ↔ S1. Takode, strana povrsiS2 po kojoj se vrsi integracija se vidi sa negativnog dela x–ose, pa se radi o negativnoorijentisanoj strani S−2 u odnosu na bijekciju Dyz ↔ S2.

Primenjujuci osobine (1.3.7), (4.3.14) i tvrdenje (4.3.10) Teoreme 4.3.3, integral I1postaje

I1 =

ZZS+1

x dydz +

ZZS−2

x dydz =

ZZS+1

x dydz −ZZ

S+2

x dydz

=

ZZDyz

x1(y, z) dydz −ZZ

Dyz

x2(y, z) dydz

=

ZZDyz

pz − y2 dydz −

ZZDyz

−p

z − y2 dydz = 2

ZZDyz

pz − y2 dydz .

S obzirom na opis oblasti Dyz i cinjenicu da je funkcija4 − y2

3/2parna, a segment

[−2, 2] simetrican, dalje je

I1 = 2

Z 2

−2dy

Z 4

y2

pz − y2 dz = 2

Z 2

−2dy

Z 4

y2

pz − y2 d

z − y2

=

4

3

Z 2

−2

z − y2

3/2z=4

z=y2dy =

4

3

Z 2

−2

4− y2

3/2dy =

8

3

Z 2

0

4− y2

3/2dy .

Poslednji odredeni integral se resava smenom

y = 2 sin t ,

za koju je t = 0 kad je y = 0 i t = π/2 kad je y = 2. Dobija se

I1 =128

3

Z π/2

0cos4 t dt =

128

3

Z π/2

0

cos2 t

2dt =

128

3

Z π/2

0

1 + cos 2t

2

2dt

=32

3

Z π/2

0

1 + 2 cos 2t + cos2 2t

dt =

32

3

(t + sin 2t)

π/2

0+

Z π/2

0

1 + cos 4t

2dt

=

32

3

π

2+

1

2

t +

1

4sin 4t

π/2

0

=

32

3

π

2+

π

4

= 8π .

Integral I2 je po koordinatama z, x, pa S projektujemo na zx–ravan. Ni ovo projekto-vanje nije bijekcija, ali su S3 i S4 bijektivni delovi. Analogno prethodnom slucaju, povrsS sece zx–ravan po paraboli

L2 : z = x2 , y = 0 ,

odakle je x = ±2 za z = 4. Dakle, projekcije povrsi S3 i S4 na zx–ravan (y = 0) su istaoblast

Dzx : x2 ≤ z ≤ 4 , −2 ≤ x ≤ 2 ,


a jednacine ovih povrsi u odgovarajucem obliku su

S3 : y = y3(z, x) =p

z − x2 ; (z, x) ∈ Dzx ,

S4 : y = y4(z, x) = −p

z − x2 ; (z, x) ∈ Dzx .

Integracija se vrsi po pozitivno orijentisanoj strani S+3 povrsi S3 u odnosu na bijekciju

Dzx ↔ S3 jer se ona vidi sa pozitivnog dela y–ose i po negativno orijentisanoj strani S−4povrsi S4 u odnosu na bijekciju Dzx ↔ S4 jer se ta strana vidi sa negativnog dela y–ose.

Prema osobinama (1.3.7), (4.3.14) i jednakosti (4.3.11), integral I2 postaje

I2 =

ZZS+3

x dzdx +

ZZS−4

x dzdx =

ZZDzx

x dzdx−ZZ

Dzx

x dzdx = 0 .

Integral I3 je po koordinatama x, y, pa S projektujemo na xy–ravan. Ovo projek-tovanje jeste bijekcija. Granicna kriva L povrsi S je presek ravni z = 4 i paraboloidaz = x2 +y2. Zato eliminacijom z–koordinate sledi jednacina njene projekcije na xy–ravan

Lxy : x2 + y2 = 4 , z = 0 .

Kruznica Lxy je granicna kriva projekcije Dxy povrsi S na xy–ravan (z = 0), sto znaci daje Dxy krug

Dxy : x2 + y2 ≤ 4 .

Odgovarajuci oblik jednacine povrsi S glasi

S : z = z(x, y) = x2 + y2 ; (x, y) ∈ Dxy .

Integracija se vrsi po negativno orijentisanoj strani S− povrsi S u odnosu na bijekcijuDxy ↔ S.

Prema osobini (4.3.14) i jednakosti (4.3.12), integral I3 postaje dvojni

I3 =

ZZS−

z dxdy = −ZZ

Dxy

z(x, y) dxdy = −ZZ

Dxy

x2 + y2

dxdy .

Uvodeci polarne koordinate sa


za koje je |J | = r, kruznica Lxy i krug Dxy se preslikavaju u

L∗xy : r = 2 ,

D∗xy : 0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π

i dobija se

I3 = −ZZ

D∗xy

r3 drdϕ = −Z 2

0r3 dr

Z 2π

0dϕ = · · · = −8π .

Konacno je

I = I1 + I2 + I3 = 8π + 0− 8π = 0 .


U okviru ovog primera vrsimo sledece razmatranje i u tom cilju posmatramo samo pro-jektovanje na zx–ravan, a analogno vazi i za projektovanje na yz–ravan. Prvo uocavamoda je ravan z = 4 paralelna xy–ravni, pa granicna kriva L povrsi S ima ”istu” jednacinukao njena projekcija Lxy , tj.

L : x2 + y2 = 4 , z = 4 .

Neka je L = L3 ∪ L4, gde je L3 deo kruznice L za y ≥ 0, a L4 deo za y ≤ 0. Kruznica Lpripada ravni z = 4, koja sece zx–ravan (y = 0) duz prave

L5 : y = 0 , z = 4 .

Za y = 0 iz jednacine kruznice L sledi x = ±2, pa se L i L5 seku u tackama A(−2, 0, 4),B(2, 0, 4). Kako je ravan z = 4 normalna na zx–ravan, delovi L3, L4 se bijektivnoprojektuju na deo prave L5 izmedu tacaka A i B. Parabola L2 pripada zx–ravni i poklapase sa svojom projekcijom. Ako deo parabole L2 za z ≤ 4 oznacimo isto sa L2, a deo praveL5 izmedu A i B isto sa L5, tada su L2 ∪ L3 i L2 ∪ L4 granicne krive za S3 i S4 redom iprojektuju se na istu krivu

Lzx = L2 ∪ L5 .

Kriva Lzx je granicna kriva zajednicke projekcije Dzx povrsi S3 i S4. Dakle, u ovomslucaju, kao i u slucaju projektovanja na xy–ravan, bijektivna projekcija Dzx povrsi S3,S4 je nadena pomocu projekcije Lzx njihovih granicnih krivih (Napomena 4.3.1).

Lako se uocava koliko je prethodno razmatranje zamorno i istovremeno nepotrebno sobzirom na ociglednost projekcija Dyz i Dzx. Zato u nastavku ovakva i slicna razmatranjaizostavljamo, kao sto smo to ucinili i u osnovnom tekstu ovog primera. 4

NAPOMENA 4.3.4. Iz prethodne teorije zakljucujemo, a iz Primera 4.3.3 i vidimo, dadirektno resavanje potpunog povrsinskog integrala II vrste (4.2.3) zahteva projektovanjepovrsi integracije na svaku od koordinatnih ravni, bez obzira da li je projektovanje bijekcijaili ne. To iznuduje primenu svake od jednakosti (4.3.10)–(4.3.12) bar jednom i resavanjenajmanje tri dvojna integrala obuhvacena ovim jednakostima. 4

4.4. Veza izmedu povrsinskih integralaI i II vrste

Neka je orijentisana povrs S zadata jednacinom

S : x = x(y, z) ; (y, z) ∈ Dyz ,

~n vektor normalan na S i α, β, γ ∈ [0, π] manji od uglova koje ~n zaklapa sapozitivnim delovima x, y i z–ose redom. Iz jednacine tangentne ravni ([2],str. 43) sledi da za vektor ~n u proizvoljnoj tacki X(x, y, z) ∈ S moze da seuzme jedan od vektora ove ravni

~n1 = (1,−p,−q) , ~n2 = (−1, p, q) = −~n1 .


Vektori ~n1 i ~n2 su suprotnog smera i odgovaraju razlicitim stranama povrsi.Posmatramo vektor ~n = ~n1. Tada je

|~n| =√

1 + p2 + q2 ,

gde su p i q arcijalni izvodi funkcije f(y, z) odredeni sa (4.3.2), pa je jedinicnivektor

~n0 =~n

|~n| =( 1|~n| ,

−p

|~n| ,−q

|~n|)

.

S druge strane je (Napomena 2.4.1)

~n0 = (cos α, cos β, cos γ)

i sledi

(4.4.1)

cosα = cos α(y, z) =1√

1 + p2 + q2,

cosβ = cos β(y, z) =−p√

1 + p2 + q2,

cos γ = cos γ(y, z) =−q√

1 + p2 + q2,

Kako je α ∈ [0, π] i cos α > 0, ugao α je ostar. Prema Definiciji 1.2.7, vektor~n je postavljen na pozitivno orijentisanu stranu S+ povrsi S u odnosu nabijekciju Dyz ↔ S.

Koriscenjem jednakosti (4.3.10), rezultata (4.4.1) i jednakosti (4.3.1) re-dom, uz upotrebu oznake

H(x, y, z) = P (x, y, z) cos α(y, z) ,

dobija se∫∫


∫∫

Dyz

P(x(y, z), y, z

)dydz

=∫∫

Dyz

P(x(y, z), y, z

) 1√1 + p2 + q2

√1 + p2 + q2 dydz

=∫∫

Dyz

P(x(y, z), y, z

)cosα(y, z)

√1 + p2 + q2 dydz

=∫∫

Dyz

H(x(y, z), y, z

)√1 + p2 + q2 dydz =

∫∫

S

H(x, y, z) dσ

=∫∫

S

P (x, y, z) cos α(y, z) dσ .


Ako je ~n = ~n2, jednakosti (4.4.1) postaju

(4.4.2)

cosα = cos α(y, z) =−1√

1 + p2 + q2,

cosβ = cos β(y, z) =p√

1 + p2 + q2,

cos γ = cos γ(y, z) =q√

1 + p2 + q2.

Takode, zbog cos α < 0, vektor ~n zaklapa tup ugao α sa pozitivnim delomx–ose i postavljen je na negativno orijentisanu stranu S− povrsi S u odnosuna bijekciju Dyz ↔ S. Zato se dobija isti rezultat

∫∫

S−P (x, y, z) dydz = −

∫∫

Dyz

P(x(y, z), y, z

)dydz

=∫∫

Dyz

P(x(y, z), y, z

) −1√1 + p2 + q2

√1 + p2 + q2 dydz

=∫∫

Dyz

P(x(y, z), y, z

)cos α(y, z)

√1 + p2 + q2 dydz

=∫∫

S

P (x, y, z) cos α(y, z) dσ .

Podrazumevajuci cos α = cos α(y, z), na osnovu prethodnog zakljucujemoda vazi

(4.4.3)∫∫

S

P (x, y, z) dydz =∫∫

S

P (x, y, z) cos α dσ ,

pri cemu se integracija vrsi po bilo kojoj od dve strane povrsi.Analognim postupkom se izvode sledeca dva zakljucka. U slucaju

S : y = y(z, x) ; (z, x) ∈ Dzx

i izvoda p, q datih sa (4.3.3) se odreduje

(4.4.4)

cosα = cos α(z, x) = ± −q√1 + p2 + q2

,

cosβ = cos β(z, x) = ± 1√1 + p2 + q2

,

cos γ = cos γ(z, x) = ± −p√1 + p2 + q2

.


i dobija

(4.4.5)∫∫

S

Q(x, y, z) dzdx =∫∫

S

Q(x, y, z) cos β dσ .

U jednakostima (4.4.4) znak + odgovara ostrom uglu β i pozitivno orijenti-sanoj strani, a znak − tupom uglu β i negativno orijentisanoj strani povrsiS u odnosu na bijekciju Dzx ↔ S. U slucaju

S : z = z(x, y) ; (x, y) ∈ Dxy

i izvoda p, q datih sa (4.3.5) se odreduje

(4.4.6)

cos α = cos α(x, y) = ± −p√1 + p2 + q2

,

cos β = cos β(x, y) = ± −q√1 + p2 + q2

,

cos γ = cos γ(x, y) = ± 1√1 + p2 + q2

.

i dobija

(4.4.7)∫∫

S

R(x, y, z) dxdy =∫∫

S

R(x, y, z) cos γ dσ .

U jednakostima (4.4.6) znak + odgovara ostrom uglu γ i pozitivno orijenti-sanoj strani, a znak − tupom uglu γ i negativno orijentisanoj strani povrsiS u odnosu na bijekciju Dxy ↔ S.

Sabiranjem jednakosti (4.4.3), (4.4.5) i (4.4.7) sledi trazena veza izmedupotpunog povrsinskog integrala II vrste i povrsinskog integrala I vrste

∫∫

S

P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy(4.4.8)

=∫∫

S

[P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ

]dσ .

Jednakost (4.4.8) ostaje na snazi i ako je povrs S zadata parametarskimjednacinama (1.2.2) ([6], str. 133).

Dokazali smo da (4.4.8) vazi za bilo koju stranu (orijentaciju) povrsi Sjer strana povrsi podjednako utice i na integral I i na integral II vrste. Ovajuticaj se samo ispoljava na razlicite nacine: kod integrala I vrste kroz znak


podintegralne funkcije, tj. znak za cos α, cos β, cos γ, a kod integrala II vrstekroz znak za dydz, dzdx, dxdy.

NAPOMENA 4.4.1. Za razliku od veze (2.4.6) izmedu krivolinijskih integrala I iII vrste, veza (4.4.8) izmedu povrsinskih integrala I i II vrste ima veliki prakticni znacaj.Direktno resavanje potpunog povrsinskog integrala II vrste zahteva projektovanje povrsina sve tri koordinatne ravni (Napomena 4.3.4), dok je za resavanje povrsinskog integralaI vrste dovoljno projektovati povrs samo na jednu koordinatnu ravan, koja se bira u skladusa Napomenom 4.3.2. Zato se potpuni povrsinski integrali II vrste najcesce ne resavaju di-rektno, nego prelaskom na povrsinske I vrste pomocu veze (4.4.8). Ovakav nacin resavanjaje narocito pogodan kada je samo jedno od projektovanja bijekcija jer se izbegava rastav-ljanje povrsi na bijektivne delove u odnosu na ostala projektovanja i resava se samo jedanumesto vise dvojnih integrala. 4

Nevezano za jednakost (4.4.8), na ovom mestu izvodimo jos jedan za-kljucak. U tom cilju navodimo rezultat

(4.4.9)

dσ = ±√

1 + p2 + q2 dydz ,

dσ = ±√

1 + p2 + q2 dzdx ,

dσ = ±√

1 + p2 + q2 dxdy ,

pri cemu su izvodi p i q u prvoj jednakosti odredeni sa (4.3.2), u drugojsa (4.3.3) i u trecoj sa (4.3.5). Znak + odgovara pozitivnoj orijentacijipovrsi u odnosu na bijekcije Dyz ↔ S, Dzx ↔ S, Dxy ↔ S redom(dydz, dzdx, dxdy > 0), a znak − negativnoj orijentaciji (dydz, dzdx, dxdy <0). Diferencijal dσ > 0 predstavlja povrsinu beskonacno malog dela povrsijer nastaje iz povrsine σi celije podele kad n → ∞ i σi → 0 ([1], str. 337;[6], str. 109). Prema (4.4.9), iz (4.4.1) i (4.4.2) sledi

dydz =(± 1√

1 + p2 + q2

)(±√

1 + p2 + q2)dydz

= cos α(±

√1 + p2 + q2 dydz

)= cos α dσ

i analogno, iz (4.4.4) i (4.4.6) sledi

dzdx = cos β dσ , dxdy = cos γ dσ .

Formirajmo vektor

(4.4.10) ~dσ = (dydz, dzdx, dxdy) = (cos α dσ, cos β dσ, cos γ dσ) .

Kako je ~n0 = (cos α, cosβ, cos γ) jedinicni normalni vektor povrsi S u tackiX ∈ S, to je ~dσ = ~n0 dσ vektor normalan na povrs S, sa pocetkom u


proizvoljnoj tacki povrsi i duzinom | ~dσ| = dσ. Smer vektora ~dσ odgovaraorijentaciji povrsi, tj. strani povrsi na koju je postavljen. Vektor ~dσ i njegovmoduo dσ su vektorski i skalarni element povrsi redom.

NAPOMENA 4.4.2. Proizvodi diferencijala dydz, dzdx, dxdy u (4.4.9) i (4.4.10) seodnose na povrsinske integrale II vrste. Ukoliko je dydz, dzdx, dxdy < 0, pri prelaskuna odgovarajuce dvojne integrale ovi proizvodi menjaju znak, sto je regulisano znakom− ispred dvojnog integrala u (4.3.14) i analognim jednakostima, a upravo omogucavada (4.4.8) vazi za bilo koju orijentaciju povrsi. Zato pri upotrebi (4.4.8) i prelasku sapovrsinskog integrala I vrste na dvojni mogu da se koriste i jednakosti (4.4.9), ali uvek saznakom +, sto dovodi do istih dvojnih integrala kao primena (4.3.1), (4.3.4), (4.3.6). 4


I =

ZZS


gde jeS : z = x2 + y2

deo paraboloida za z ≤ 4. Integracija se vrsi po strani povrsi S koja se vidi sa negativnogdela z–ose.

Isti integral je direktno resen u Primeru 4.3.3. Sada ga resavamo prelaskom napovrsinski integral I vrste, uz koriscenje vec izvedenih zakljucaka.

Prema jednakosti (4.4.8) je

I =

ZZS(x cos α + x cos β + z cos γ) dσ ,

gde su α, β, γ manji od uglova koje normalni vektor na stranu integracije zaklapa sapozitivnim delovima x, y i z–ose redom.

Vec smo utvrdili da je projektovanje na xy–ravan jedino bijektivno, nasli projekciju

Dxy : x2 + y2 ≤ 4

i jednacinu povrsi zapisali u potrebnom obliku

S : z = z(x, y) = x2 + y2 ; (x, y) ∈ Dxy .

Takode smo utvrdili da je strana integracije negativno orijentisana u odnosu na bijekcijuDxy ↔ S ili, sto je isto, da normalni vektor na stranu integracije zaklapa tup ugao γsa pozitivnim delom z–ose. Zato koristimo jednakosti (4.4.6), u njima biramo znak − idobijamo

cos α =pp

1 + p2 + q2, cos β =

qp1 + p2 + q2

, cos γ =−1p

1 + p2 + q2.

Za posmatrani oblik jednacine povrsi i jednakosti (4.4.6), p i q se odreduju prema(4.3.5), pa je

p =∂z

∂x= 2x , q =

∂z

∂y= 2y .


Primenom (4.3.6) integral I postaje dvojni

I =

ZZDxy

xp + xq − z(x, y)p1 + p2 + q2

p1 + p2 + q2 dxdy

=

ZZDxy

xp + xq − z(x, y)

dxdy =

ZZDxy

x2 − y2 + 2xy

dxdy .

Dvojni integral se resava kao u Primeru 4.3.3. Uvodenjem polarnih koordinata r, ϕ uxy–ravni, oblast Dxy se transformise u

D∗xy : 0 ≤ r ≤ 2 , −π ≤ ϕ ≤ π

i sledi

I =

ZZD∗xy

r3cos2 ϕ− sin2 ϕ + 2 cos ϕ sin ϕ

drdϕ

=

Z 2

0r3 dr

Z π

−π

cos2 ϕ− sin2 ϕ + 2 cos ϕ sin ϕ

dϕ

= 8

Z π

0cos 2ϕ dϕ = 4 sin 2ϕ

π0= 0 ,

pri cemu je iskoriscena parnost funkcije

cos2 ϕ− sin2 ϕ = cos 2ϕ

i neparnost funkcije cos ϕ sin ϕ na simetricnom segmentu [−π, π].

Ocigledno je ovaj nacin resavanja povrsinskog integrala II vrste neuporedivo jednos-tavniji od direktnog resavanja, izlozenog u Primeru 4.3.3, a razlozi za to su objasnjeni uNapomeni 4.4.1.

Umesto pomocu (4.3.6), sa povrsinskog integrala I vrste na dvojni moze da se prede

neposrednom zamenom dσ =p

1 + p2 + q2 dxdy iz (4.4.9), pri cemu je izabran slucajdxdy > 0 iako se integracija vrsi po negativno orijentisanoj strani povrsi (Napome-na 4.4.2). 4

NAPOMENA 4.4.3. Na osnovu prethodne teorije se lako uocava, a Primer 4.4.1 to i

potvrduje, da sep

1 + p2 + q2 uvek skracuje pri prevodenju povrsinskog integrala I vrste

iz (4.4.8) na dvojni. Zatop

1 + p2 + q2 ne izracunavamo i u nastavku medukorak nenavodimo. 4

4.5. Vektorski povrsinski integrali

Kod vektorskih povrsinskih integrala situacija je ista kao kod povrsinskihintegrala I i II vrste. Oblast integracije je OI = S, gde je S orijentisanaprostorna povrs. Povrs S se deli na celije podele PDi = Σi (i = 1, 2, . . . , n)i unutar svake celije se bira tacka Xi. Vektorski povrsinski integrali se odintegrala I i II vrste razlikuju u izabranoj karakteristici podeonih delova


k(PDi), koja je kod integrala I i II vrste skalar, dok je kod vektorskih inte-grala vektor. Ako je σi povrsina celije Σi, za karakteristiku se bira vektor

k(PDi) = ~σi ,

koji je normalan na povrs S, ima pocetak u tacki Xi i duzinu |~σi| = σi. Smervektora ~σi odgovara orijentaciji povrsi, tj. strani povrsi na koju je postavljen.Neka je ~ρi vektor polozaja tacke Xi, ~r vektor polozaja proizvoljne tackeX(x, y, z) ∈ S i PF (X) = Ω(x, y, z) = Ω(~r ) skalarna ili vektorska funkcija,neprekidna na S.


(4.5.1) Sv(n) =n∑

i=1

Ω(Xi) · ~σi =n∑

i=1

Ω(~ρi) · ~σi

je vektorska integralna suma po povrsi funkcije Ω(~r ).

Definicija 4.5.2. Ukoliko postoji kad n →∞ i max1≤i≤n

|~σi| → 0, granicna

vrednost

(4.5.2)∫∫

S

Ω(~r ) ~dσ = limn→∞

Sv(n)

je vektorski povrsinski integral po povrsi funkcije Ω(~r ).

U zavisnosti od prirode funkcije Ω(~r ) i karaktera mnozenja, svaki sabirakΩ(~ρi) · ~σi integralne sume, a time i cela integralna suma Sv(n), je vektorili skalar. Kako je granicna vrednost niza brojeva opet broj, a niza vektoraopet vektor, razlikuju se sledece vrste vektorskih integrala.

1 Ako je Ω(~r ) = f(~r ) skalarna funkcija, integralna suma Sv(n) je vektor,pa je vektor i integral

(4.5.3)∫∫

S

f(~r ) ~dσ .

2 Ako je Ω(~r ) = ~a(~r ) vektorska funkcija i mnozenje skalarno, integralnasuma Sv(n) je skalar, pa je skalar i integral

(4.5.4)∫∫

S

~a(~r ) · ~dσ .


3 Ako je Ω(~r ) = ~a(~r ) vektorska funkcija i mnozenje vektorsko, integralnasuma Sv(n) je vektor, pa je vektor i integral

(4.5.5)∫∫

S

~a(~r )× ~dσ .

Osobina (1.3.8) vazi za vektorske povrsinske integrale. Promenom ori-jentacije povrsi S menja se smer vektora k(PDi) = ~σi. Vektori suprotnogsmera se razlikuju u znaku, pa menjaju znak i integralna suma (4.5.1) iintegral (4.5.2).

Osobina (1.3.9) ne vazi za vektorske integrale jer karakteristike k(PDi)ne samo da nisu velicine celija Σi, nego su kao vektori i kvalitativno razlicite.

Osobina (1.3.10) vazi i dokazuje se slicno kao kod vektorskih krivolinijskihintegrala.

Vektorski povrsinski integrali se izracunavaju prevodenjem na odgo-varajuce povrsinske integrale I ili II vrste. Slicno krivolinijskim integralima,veza izmedu vektorskih povrsinskih integrala i, npr., povrsinskih integralaII vrste se uspostavlja na osnovu njihovih definicija. Do istih veza sada do-lazimo jednostavnije, na formalan nacin kao u Napomeni 2.5.1. U tom ciljuza vektor ~v = (v1, v2, v3) uvodimo vektorsku formu povrsinskog integrala

∫∫

S

~v =(∫∫

S

v1,

∫∫

S

v2,

∫∫

S

v3

)

i imamo u vidu (4.4.10), tj. ~dσ = (dydz, dzdx, dxdy).Podintegralni izraz u (4.5.3) je vektor

~v = f(~r ) ~dσ = (f dydz, f dzdx, f dxdy)

sa komponentama

v1 = f dydz , v2 = f dzdx , v3 = f dxdy .

Prethodna vektorska forma postaje

(4.5.6)∫∫

S

f(~r ) ~dσ =(∫∫

S

f dydz,

∫∫

S

f dzdx,

∫∫

S

f dxdy

).

Prema (4.5.6), vektorski integral (4.5.3) je vektor cije su koordinate povr-sinski integrali po koordinatama y, z, zatim z, x i x, y iste podintegralnefunkcije f = f(x, y, z).


Ako je ~a(~r ) = (a1, a2, a3) vektorska funkcija sa komponentama a1 =a1(x, y, z), a2 = a2(x, y, z), a3 = a3(x, y, z), podintegralni izraz u (4.5.4) jeskalar

~a(~r ) · ~dσ = a1 dydz + a2 dzdx + a3 dxdy

i neposredno sledi

(4.5.7)∫∫

S

~a(~r ) · ~dσ =∫∫

S

a1 dydz + a2 dzdx + a3 dxdy .

Zakljucujemo da je vektorski integral (4.5.4) potpuni povrsinski integralII vrste (4.2.3). Integral (4.5.4) je u oblasti matematike Teorija polja poznatpod imenom fluks vektorske funkcije ~a(~r ) kroz orijentisanu povrs S.

Podintegralni izraz u (4.5.5) je vektor

~v = ~a(~r )× ~dσ =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ka1 a2 a3

dydz dzdx dxdy

∣∣∣∣∣∣= (a2 dxdy − a3 dzdx , a3 dydz − a1 dxdy , a1 dzdx− a2 dydz)

sa komponentama

v1 = a2 dxdy − a3 dzdx , v2 = a3 dydz − a1 dxdy , v3 = a1 dzdx− a2 dydz .

Uvedena vektorska forma glasi

(4.5.8)∫∫

S

~a(~r )× ~dσ = (I1, I2, I3) ,

gde je

(4.5.9)I1 =

∫∫

S

a2 dxdy − a3 dzdx , I2 =∫∫

S

a3 dydz − a1 dxdy ,

I3 =∫∫

S

a1 dzdx− a2 dydz .

Ako se iz (4.4.10) koristi izraz ~dσ = (cos α, cos β, cos γ) dσ ili ako se pri-meni (4.4.8), u jednakostima (4.5.6), (4.5.7) i (4.5.9) umesto povrsinskihintegrala II vrste figurisu povrsinski integrali I vrste. Na primer, jednakost(4.5.6) postaje

∫∫

S

f(~r ) ~dσ =(∫∫

S

f cosα dσ,

∫∫

S

f cosβ dσ,

∫∫

S

f cos γ dσ

).


PRIMER 4.5.1. Izracunati vektorske povrsinske integrale (4.5.3), (4.5.4) i (4.5.5) akoje

f(x, y, z) = x , ~a(x, y, z) = (x, x, z)

i

S : z = x2 + y2

deo paraboloida za z ≤ 4. Integracija se vrsi po strani povrsi koja se vidi sa negativnogdela z–ose.

Koristimo zakljucke iz Primera 4.3.3 i 4.4.1 jer se radi o istoj povrsi S. Povrs S sebijektivno projektuje samo na xy–ravan u krug

Dxy : x2 + y2 ≤ 4 .

Pomocu polarnih koordinata r, ϕ u xy–ravni, krug Dxy se transformise u oblast

D∗xy : 0 ≤ r ≤ 2 , −π ≤ ϕ ≤ π .

Strana integracije je negativno orijentisana u odnosu na bijekciju Dxy ↔ S. Za uglove α,β, γ, koje normalni vektor ove strane zaklapa sa pozitivnim delovima koordinatnih osa,vazi

cos α =pp

1 + p2 + q2, cos β =

qp1 + p2 + q2

, cos γ =−1p

1 + p2 + q2,

gde je

p = 2x , q = 2y .

Komponente vektorske funkcije ~a(~r ) su

a1(x, y, z) = x , a2(x, y, z) = x , a3(x, y, z) = z .

S obzirom na (4.5.6), nalazimo

I1 =

ZZS

f dydz =

ZZS

x dydz = 8π , I2 =

ZZS

f dzdx =

ZZS

x dzdx = 0 ,

I3 =

ZZS

f dxdy =

ZZS

x dxdy = −ZZ

Dxy

x dxdy .

Vrednosti za I1, I2 su vec odredene u Primeru 4.3.3. Vrednost za I3 odredujemo prelaskomna oblast D∗xy i dobijamo

I3 = −ZZ

D∗xy

r2 cos ϕ drdϕ = −Z 2

0r2 dr

Z π

−πcos ϕ dϕ = · · · = 0 .

Dakle, integral (4.5.3) je vektorZZS

f(~r ) ~dσ = (I1, I2, I3) = (8π, 0, 0) .


Prema (4.5.7) nalazimoZZS

a1 dydz + a2 dzdx + a3 dxdy =

ZZS

x dydz + x dzdx + z dxdy = 0 .

Vrednost poslednjeg integrala je izracunata u Primerima 4.3.3 i 4.4.1. Zato je integral(4.5.4) skalar ZZ

S~a(~r ) · ~dσ = 0 .

Prema (4.5.9) nalazimo

I1 =

ZZS

a2 dxdy − a3 dzdx =

ZZS

x dxdy − z dzdx ,

I2 =

ZZS

a3 dydz − a1 dxdy =

ZZS

z dydz − x dxdy ,

I3 =

ZZS

a1 dzdx− a2 dydz =

ZZS

x dzdx− x dydz .

Prelaskom na povrsinske integrale I vrste, dobijamo

I1 =

ZZS(x cos γ − z cos β) dσ = −

ZZDxy

x + 2y

x2 + y2

dxdy

= −ZZ

D∗xy

r2cos ϕ + 2r2 sin ϕ

drdϕ

= −Z 2

0r2 dr

Z π

−π

cos ϕ + 2r2 sin ϕ

dϕ = · · · = 0 ,

I2 =

ZZS(z cos α− x cos γ) dσ =

ZZDxy

2xx2 + y2

+ xdxdy

=

ZZD∗xy

r22r2 + 1

cos ϕ drdϕ =

Z 2

0r22r2 + 1

dr

Z π

−πcos ϕ dϕ = · · · = 0 ,

I3 =

ZZS(x cos β − x cos α) dσ = 2

ZZDxy

x(y − x) dxdy

= 2

ZZD∗xy

r3 cos ϕ(sin ϕ− cos ϕ) drdϕ

= 2

Z 2

0r3 dr

Z π

−πcos ϕ(sin ϕ− cos ϕ) dϕ = · · · = −8π ,

pa iz (4.5.8) zakljucujemo da je (4.5.5) vektorZZS

~a(~r )× ~dσ = (0, 0,−8π) . 4


4.6. Teorema Ostrogradskog

Teorema Ostrogradskog je generalizacija Green–Riemannove teoremekada se sa dvodimenzionalnog prede na trodimenzionalni slucaj. Pod od-redenim uslovima, ovom teoremom se uspostavlja veza izmedu povrsinskogintegrala po zatvorenoj povrsi i trojnog integrala po prostornoj oblastiogranicenoj tom povrsi. Kako se trojni integrali po pravilu resavaju jed-nostavnije od povrsinskih, mogucnost zamene povrsinskog odgovarajucimtrojnim integralom cini Teoremu Ostrogradskog jednom od najcesce prime-njivanih teorema, cak i u situacijama kada je povrs otvorena.

Neka je D zatvorena, prosto povezana prostorna oblast i S njena pozitivnoorijentisana granicna povrs. Tada je S zatvorena povrs na kojoj je izabranaspoljna strana.

Teorema 4.6.1. (TEOREMA OSTROGRADSKOG) Ako su P (x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z), ∂P/∂x, ∂Q/∂y, ∂R/∂z neprekidne funkcije u prostopovezanoj prostornoj oblasti D sa granicnom povrsi S, vazi formula Ostro-gradskog

∫∫

S+P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy(4.6.1)

=∫∫∫

D

(∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

)dxdydz .

Dokaz. Neka je D elementarna oblast. Ne umanjujuci opstost, a radijednostavnijeg dokazivanja, izaberimo onu koja u celini moze da se opise nabilo koji od nacina

D : x1(y, z) ≤ x ≤ x2(y, z) ; (y, z) ∈ Dyz ,

D : y1(z, x) ≤ y ≤ y2(z, x) ; (z, x) ∈ Dzx ,

D : z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y) ; (x, y) ∈ Dxy .

Odmah primecujemo da se ovi opisi ne razlikuju od ranije datih. Na primer,ako se precizira opis oblasti Dxy, treci od prethodnih opisa oblasti D postaje(3.3.11) ili (3.3.12).

Da bismo dokazali (4.6.1), prvo pokazujemo da vazi

(4.6.2)∫∫

S+R(x, y, z) dxdy =

∫∫∫

D

∂R

∂zdxdydz .


Iz uvedene pretpostavke za oblast D i treceg opisa sledi da S moze da serastavi na S = S1 ∪ S2, pri cemu se delovi S1 i S2 bijektivno projektuju naxy–ravan u oblast Dxy i imaju jednacine

S1 : z = z1(x, y) ; (x, y) ∈ Dxy ,

S2 : z = z2(x, y) ; (x, y) ∈ Dxy .

Povrsi S1 i S2 zadrzavaju orijentaciju celine S, sto znaci da su na njimaizabrane strane koje odgovaraju spoljnoj strani povrsi S. Izabrane stranesu negativno orijentisana S−1 u odnosu na bijekciju Dxy ↔ S1 i pozitivnoorijentisana S+

2 u odnosu na bijekciju Dxy ↔ S2 (Slika 4.6.1).

x

S

S

y

z

1

2

D

Dxy

Slika 4.6.1.

Prema (1.3.7), (1.3.8) i (4.3.12), povrsinski integral na levoj strani jed-nakosti (4.6.2) postaje

∫∫

S+R(x, y, z) dxdy =

∫∫

S−1

R(x, y, z) dxdy +∫∫

S+2

R(x, y, z) dxdy

=−∫∫

Dxy

R(x, y, z1(x, y)

)dxdy +

∫∫

Dxy

R(x, y, z2(x, y)

)dxdy .

Imajuci u vidu da su diferenciranje i integracija inverzne operacije i pri-menjujuci (3.3.21), trojni integral na desnoj strani jednakosti (4.6.2) postaje

∫∫∫

D

∂R

∂zdxdydz =

∫∫

Dxy

dxdy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

∂R

∂zdz

=∫∫

Dxy

R(x, y, z)∣∣∣z=z2(x,y)

z=z1(x,y)dxdy

=∫∫

Dxy

R(x, y, z2(x, y)

)dxdy −

∫∫

Dxy

R(x, y, z1(x, y)

)dxdy .


Dobijeni izrazi za povrsinski i trojni integral su isti, pa (4.6.2) zaista vazi.Koristeci prvi i drugi opis oblasti D, analognim postupkom se pokazuje

da vazi∫∫


∫∫∫

D

∂P

∂xdxdydz ,(4.6.3)

∫∫

S+Q(x, y, z) dzdx =

∫∫∫

D

∂Q

∂ydxdydz .(4.6.4)

Sabiranjem (4.6.2), (4.6.3) i (4.6.4) neposredno sledi tvrdenje (4.6.1) teo-reme za slucaj elementarne oblasti D.

Ako D nije elementarna oblast, treba je podeliti na elementarne podoblas-ti, na svaku od njih primeniti (4.6.1) i sabrati dobijene rezultate. Utvrdujese da jednakost (4.6.1) vazi i u ovom slucaju, cime je Teorema Ostrogradskogu potpunosti dokazana. ¤

Neka je sada D zatvorena, n–tostruko povezana prostorna oblast sa pozi-tivno orijentisanom granicnom povrsi S i negativno orijentisanim granicnimpovrsima Si ⊂ intS (i = 1, 2, . . . , n− 1). Sve granicne povrsi su zatvorene.Na povrsi S je izabrana spoljna, a na povrsima Si unutrasnje strane.

Teorema 4.6.2. Ako su P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), ∂P/∂x, ∂Q/∂y,∂R/∂z neprekidne funkcije u n–tostruko povezanoj prostornoj oblasti D sagranicnim povrsima S i Si ⊂ intS (i = 1, 2, . . . , n− 1), vazi

∫∫

S+P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy(4.6.5)

+n−1∑

i=1

∫∫

S−i

P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy

=∫∫∫

D

(∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

)dxdydz .

Dokaz teoreme izostavljamo, uz napomenu da se on izvodi deobom oblastiD na prosto povezane podoblasti.

Kako je granica prostorne oblasti sastavljena od svih njenih granicnihpovrsi, Teorema 4.6.2 je analogna Teoremi Ostrogradskog. Takode, Teo-rema 4.6.2 je generalizacija Teoreme 3.5.2.

Slicno Green–Riemannovoj teoremi, Teorema Ostrogradskog moze dase primeni za dobijanje jednakosti kojima se izracunava zapremina pros-torne oblasti pomocu odgovarajuceg povrsinskog integrala ([6], str. 144–145).


Jedna od tih jednakosti se odnosi na prosto povezanu oblast D sa granicnompovrsi S i glasi

(4.6.6) d =13

∫∫

S+x dydz + y dzdx + z dxdy .

Medutim, izuzetno se retko desava da jednakost (4.6.6) ima prednost nad(3.2.3), pa (4.6.6) nema veci prakticni znacaj.


I =

ZZS


gde jeS : z = x2 + y2

deo paraboloida za z ≤ 4. Integracija se vrsi po strani povrsi S koja se vidi sa pozitivnogdela z–ose.

Povrs S je ista kao u Primerima 4.3.3 i 4.4.1, pa ne ponavljamo izvodenja, vec samokoristimo dobijene rezultate. Ako je S1 deo ravni z = 4 unutar paraboloida, povrs

S2 = S ∪ S1

je zatvorena. Prostorna oblast D, ogranicena sa S2, je prosto povezana. Pretpostavljamoda je S pozitivno orijentisana.

Sa I1 i I2 oznacimo povrsinske integrale po povrsima S1 i S2 redom, koji imaju istipodintegralni izraz kao integral I. U integralu I se integracija vrsi po strani povrsi S kojaodgovara unutrasnjoj strani povrsi S2. Zato je, prema (1.3.7) i (1.3.8), I2 = −I + I1, tj.

I = I1 − I2 .

Prvo izracunavamo I2. Kako je

P (x, y, z) = x , Q(x, y, z) = x , R(x, y, z) = z ,

to je∂P

∂x= 1 ,

∂Q

∂y= 0 ,

∂R

∂z= 1 ,

pa su funkcije P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), ∂P/∂x, ∂Q/∂y, ∂R/∂z neprekidne u svakojtacki (x, y, z) ∈ R3, a time i u oblasti D. Uslovi Teoreme Ostrogradskog su ispunjeni iprimenom tvrdenja (4.6.1) sledi

I2 =

ZZS+2

x dydz + x dzdx + z dxdy = 2

ZZZD

dxdydz .

Projekcija oblasti D na xy–ravan je krug

Dxy : x2 + y2 ≤ 4 .


Uvodenjem cilindricnih koordinata sa

x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = z ,

za koje je |J | = r, oblast Dxy i povrsi S, S1 se preslikavaju u

D∗xy : 0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,

S∗ : z = r2 , S∗1 : z = 4 ,

pa se oblast D preslikava u

D∗ : 0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , r2 ≤ z ≤ 4

i za integral I2 se dobija

I2 = 2

ZZZD∗

r drdϕdz = 2

Z 2π

0dϕ

Z 2

0r dr

Z 4

r2dz

= 4π

Z 2

0rzz=4

z=r2dr = 4π

Z 2

0r4− r2

dr = · · · = 16π .

Integral I1 se jednostavno izracunava direktno, kao i pomocu (4.4.8), jer je povrs S1

paralelna xy–ravni. Resavamo ga, npr., prelaskom na povrsinski integral I vrste.Povrs S1 se bijektivno projektuje na xy–ravan u oblast Dxy i ima jednacinu

S1 : z = z(x, y) = 4 ; (x, y) ∈ Dxy .

Strana povrsi S1 koja odgovara spoljnoj strani povrsi S2 je pozitivno orijentisana u odnosuna bijekciju Dxy ↔ S1. Zbog paralelnosti S1 sa xy–ravni, jedinicni normalni vektor ovestrane je jedinicni vektor z–ose, tj.

~n0 = ~k = (0, 0, 1) ,

pa jecos α = 0 , cos β = 0 , cos γ = 1 .

Jos, iz jednacine povrsi S1 sledi

p =∂z

∂x= 0 , q =

∂z

∂y= 0 ; 1 + p2 + q2 = 1 .

Primenom (4.4.8), (4.3.1) i (3.1.4), za integral I1 se dobija

I1 =

ZZS1

z dσ = 4

ZZDxy

dxdy = 4d = 16π ,

gde je d = R2π = 4π povrsina kruga Dxy poluprecnika R = 2 (Primer 3.5.1).Konacno je

I = I1 − I2 = 16π − 16π = 0 . 4

NAPOMENA 4.6.1. U vezi sa resavanjem povrsinskih integrala II vrste i primenomTeoreme Ostrogradskog, a uz uvid u Napomenu 4.4.1, iznosimo sledeca zapazanja.


1 Ako je povrs S zatvorena, umesto jednakosti (4.4.8) treba koristiti Teoremu Ostro-gradskog jer se tako izbegava rastavljanje povrsi na odgovarajuce bijektivne delove.

2 Ako je povrs S otvorena, primena Teoreme Ostrogradskog je otezana. Povrs Sprethodno treba dopuniti do zatvorene povrsi i zatim, osim trojnog, izracunati povrsinskiintegral po dodatoj povrsi. Teorijski posmatrano, u ovom slucaju prednost ima (4.4.8). Sdruge strane, veliki je broj integrala koji se ipak jednostavnije resavaju primenom TeoremeOstrogradskog. Takvi su, uglavnom, integrali cija povrs integracije ”dozvoljava” da dodatapovrs bude paralelna nekoj od koordinatnih ravni (Primer 4.6.1). Zakljucujemo da nijedna od jednakosti (4.4.8), (4.6.1) nema prednost nad drugom uopste uzev, vec to zavisiod konkretnog integrala koji se resava. 4

4.7. Stokesova teorema

Pod odredenim uslovima Stokesova teorema uspostavlja vezu izmedukrivolinijskog integrala po konturi i povrsinskog integrala po povrsi ogranice-noj tom konturom. Ovakva veza omogucava da se umesto krivolinijskogresava odgovarajuci povrsinski integral, sto je cesto mnogo jednostavnije.Zbog svog znacaja, Green–Riemannova teorema, Teorema Ostrogradskog iStokesova teorema se u literaturi srecu pod zajednickim imenom Osnovneintegralne teoreme, a njihova tvrdenja Osnovne integralne formule ([1],str. 341).

Neka su povrs S i njena kontura L saglasno orijentisane.

Teorema 4.7.1. (STOKESOVA TEOREMA) Ako su P (x, y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z), ∂P/∂y, ∂P/∂z, ∂Q/∂x, ∂Q/∂z, ∂R/∂x, ∂R/∂y neprekidnefunkcije na povrsi S sa konturom L, vazi Stokesova formula

∮

L


=∫∫

S

∣∣∣∣∣∣

dydz dzdx dxdy∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z

P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)

∣∣∣∣∣∣.

Dokaz. Ne umanjujuci opstost, dokaz izvodimo za specijalan slucaj povrsiS koja se bijektivno projektuje na sve tri koordinatne ravni i pozitivno jeorijentisana u odnosu na bijekciju Dxy ↔ S. Oblast Dxy je projekcija povrsiS na xy–ravan. Normalni vektor ~n, postavljen na izabranu stranu povrsi,zaklapa uglove α, β, γ sa pozitivnim delovima x, y i z–ose redom.

Da bismo dokazali (4.7.1), prvo pokazujemo

(4.7.2)∮

L

P (x, y, z) dx =∫∫

S

(∂P

∂zcos β − ∂P

∂ycos γ

)dσ .


Iz uvedenih pretpostavki za povrs S sledi da se kontura L povrsi S bijek-tivno projektuje na konturu Lxy oblasti Dxy. Takode, konture L i Lxy susaglasno orijentisane, pri cemu je Lxy pozitivno orijentisana prema Defini-ciji 1.2.2 (Slika 4.7.1).

x

S

y

z

Dxy

L

Lxy

n

Slika 4.7.1.

Neka su krive L, Lxy i povrs S date jednacinama

L : x = x(t) , y = y(t) , z = φ(t) ; t ∈ [t1, t2] ,

Lxy : x = x(t) , y = y(t) , z = 0 ; t ∈ [t1, t2] ,

S : z = ψ(x, y) ; (x, y) ∈ Dxy .

Zbog saglasne orijentacije krivih L i Lxy, parametar t se menja na isti nacin,npr. od t1 ka t2. Rastuca promena parametra odreduje pozitivnu orijentacijuovih krivih prema Definiciji 1.2.1. Oznake φ(t) i ψ(x, y) su privremeno uve-dene, umesto dosadasnjih oznaka z(t) i z(x, y), radi matematicke korekt-nosti jer z(t) i z(x, y) ocigledno nisu iste funkcije. Ako je (x, y, z) ∈ L ⊂ Sproizvoljna tacka, njene koordinate x, y zadovoljavaju jednacine krivih L,Lxy i povrsi S, dok koordinata z zadovoljava jednacine samo krive L i povrsiS, tj. za t ∈ [t1, t2] vazi

z = φ(t) = ψ(x(t), y(t)

).

Jos, neka je

f(x, y) = P(x, y, ψ(x, y)

)= P (x, y, z)

∣∣∣z=ψ(x,y)

.

Prema (2.3.4), uz postovanje svih prethodnih dogovora, krivolinijski inte-gral na levoj strani jednakosti (4.7.2) postaje

∮

L+P (x, y, z) dx =

∫ t2

t1

P(x(t), y(t), φ(t)

)x′(t) dt

=∫ t2

t1

P(x(t), y(t), ψ

(x(t), y(t)

))x′(t) dt =

∫ t2

t1

f(x(t), y(t)

)x′(t) dt

=∮

L+xy

f(x, y) dx =∮

L+xy

P(x, y, ψ(x, y)

)dx .


Prema pravilu za nalazenje parcijalnih izvoda slozene funkcije ([2], str. 48)vazi

∂f

∂y=

∂P

∂y+

∂P

∂ψ

∂ψ

∂y=

∂P

∂y+ q

∂P

∂ψ=

(∂P

∂y+ q

∂P

∂z

) ∣∣∣z=ψ(x,y)

,

gde je q = ψy parcijalni izvod odreden sa (4.3.5). Koristeci (4.4.6), (4.4.9) i(3.5.1), povrsinski integral na desnoj strani jednakosti (4.7.2) postaje

∫∫

S+

(∂P

∂zcos β − ∂P

∂ycos γ

)dσ = −

∫∫

Dxy

(∂P

∂y+ q

∂P

∂z

) ∣∣∣z=ψ(x,y)

dxdy

=−∫∫

Dxy

(∂P

∂y+ q

∂P

∂ψ

)dxdy = −

∫∫

Dxy

∂f

∂ydxdy

=∮

L+xy

f(x, y) dx =∮

L+xy

P(x, y, ψ(x, y)

)dx .

Dobijeni izrazi za krivolinijski i povrsinski integral su isti, pa je (4.7.2)tacna jednakost.

Ako se povrs S projektuje na ostale dve koordinatne ravni, analognimpostupkom se dokazuju jednakosti

∮

L

Q(x, y, z) dy =∫∫

S

(−∂Q

∂zcos α +

∂Q

∂xcos γ

)dσ ,(4.7.3)

∮

L

R(x, y, z) dz =∫∫

S

(∂R

∂ycos α− ∂R

∂xcosβ

)dσ .(4.7.4)

Sabiranjem (4.7.2), (4.7.3) i (4.7.4) sledi∮

L

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz

=∫∫

S

[(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)cosα +

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)cosβ +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)cos γ

]dσ

i,prema (4.4.8),∮

L


=∫∫

S

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)dydz +

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)dzdx +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy .

S druge strane, primecujemo da je Stokesova formula (4.7.1) iskazana u ope-ratorskom obliku jer sadrzi operatore parcijalnog diferenciranja ∂/∂x, ∂/∂y,


∂/∂z. Ako determinantu u podintegralnom izrazu povrsinskog integrala iz(4.7.1) razvijemo po elementima prve vrste i operatore parcijalnog diferen-ciranja primenimo na odgovarajuce funkcije, vidimo da je (4.7.1) isto stoi (4.7.5), cime je Stokesova teorema dokazana. Stokesova formula se neiskazuje u obliku (4.7.5), nego u operatorskom obliku (4.7.1) jer je ovaj oblikpregledniji, a i lakse se pamti. ¤

Iz razloga navedenih u Napomeni 4.4.1, navodimo i operatorski oblikStokesove formule

∮

L


=∫∫

S

∣∣∣∣∣∣

cos α cosβ cos γ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z

P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)

∣∣∣∣∣∣dσ .

Stokesovu teoremu smo i dokazali koristeci povrsinske integrale I vrste (jed-nakosti (4.7.2)–(4.7.4)).

Ako je povrs S deo neke od koordinatnih ravni, Stokesova teorema se svodina Green–Riemannovu. Na primer, ako je S deo xy–ravni i njena konturaL pozitivno orijentisana, (4.7.1) postaje (3.5.3). Zato je Stokesova teorema,kao i Teorema Ostrogradskog, generalizacija Green–Riemannove teoreme, alidrugacijeg tipa.

Na kraju, napominjemo da postoji modifikacija Stokesove teoreme, slicnaTeoremama 3.5.2 i 4.6.2. Odnosi se na povrsi kod kojih je oblast Duv uDefiniciji 1.1.19 visestruko povezana. U literaturi se obicno ne navodi jer jenjena primena izuzetno retka.


I =

IL

x2y3 dx + dy + z dz ,

gde je kriva L presek povrsi

S1 : x2 + y2 = 2x , S2 : z =p

x2 + y2 .

Posmatrano sa pozitivnog dela x–ose, L je pozitivno orijentisana.

Povrs S1 je cilindricna sa izvodnicama paralelnim z–osi, a S2 je konus sa z–osom kaoosovinom. Direktrisa povrsi S1 i istovremeno projekcija krive L na xy–ravan je kruznica

Lxy : (x− 1)2 + y2 = 1 , z = 0 .

Neka je S deo konusa S2 ogranicen sa L. Za zadatu orijentaciju krive L saglasno jeorijentisana strana povrsi S koja se takode vidi sa pozitivnog dela x–ose. Na ovu stranuje postavljen normalni vektor (Slika 4.7.2).


x

y

z

0

1

S1

S2

S

Dxy

1

L

Slika 4.7.2.

U integralu I je

P (x, y, z) = x2y3 , Q(x, y, z) = 1 , R(x, y, z) = z ,

pa je∂P

∂y= 3x2y2 ,

∂P

∂z= 0 ,

∂Q

∂x=

∂Q

∂z= 0 ,

∂R

∂x=

∂R

∂y= 0 .

Ocigledno je da su P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) i nadeni parcijalni izvodi neprekidnefunkcije u svakoj tacki (x, y, z) ∈ R3, a time i na povrsi S. Uslovi Stokesove teoreme suispunjeni i primenom tvrdenja (4.7.6) sledi

I =

ZZS

cos α cos β cos γ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zx2y3 1 z

dσ = −3

ZZS

x2y2 cos γ dσ .

Povrs S se bijektivno projektuje na xy i yz–ravan. U skladu sa Napomenom 4.3.1,S projektujemo na xy–ravan (z = 0). Projekcija je krug Dxy ogranicen sa Lxy, a odgo-varajuca jednacina povrsi S je

S : z = z(x, y) =p

x2 + y2 ; (x, y) ∈ Dxy .

Normalni vektor na stranu integracije zaklapa tup ugao γ sa pozitivnim delom z–ose i,prema (4.4.6), sledi

cos γ =−1p

1 + p2 + q2.

Imajuci u vidu Napomenu 4.4.3, izvode p i q ne odredujemo, vec integral I odmah pre-vodimo na dvojni

I = 3

ZZDxy

x2y2 dxdy .

Uvodeci smenu oblika (1.4.20),

x = 1 + r cos ϕ , y = r sin ϕ ,


za koju je |J | = r, kruznica Lxy i krug Dxy se preslikavaju u

L∗xy : r = 1 , D∗xy : 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,

pa je dalje

I = 3

ZZD∗xy

r3(1 + r cos ϕ)2 sin2 ϕ drdϕ = 3

Z 2π

0sin2 ϕ dϕ

Z 1

0r3(1 + r cos ϕ)2 dr

= 3

Z 2π

0sin2 ϕ

1

4+

2

5cos ϕ +

1

6cos2 ϕ

dϕ

=3

4

Z 2π

0sin2 ϕ dϕ +

6

5

Z 2π

0sin2 ϕ d(sin ϕ) +

1

2

Z 2π

0sin2 ϕ cos2 ϕ dϕ .

Upotrebom trigonometrijskih jednakosti

sin2 ϕ =1− cos 2ϕ

2, sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ

sledi

sin2 ϕ cos2 ϕ =1

4sin2 2ϕ =

1

4

1− cos 4ϕ

2=

1− cos 4ϕ

8

i za integral I se dobija

I =3

4

Z 2π

0

1− cos 2ϕ

2dϕ +

6

5

sin3 ϕ

3

2π

0+

1

2

Z 2π

0

1− cos 4ϕ

8dϕ = · · · = 7

8π .

Za direktno resavanje integrala I kao krivolinijskog se koriste parametarske jednacinekrive

L : x = 1 + cos ϕ , y = sin ϕ , z = 2cos

ϕ

2

; ϕ ∈ [0, 2π] ,

koje se nalaze na poznat nacin pomocu prethodno uvedene smene. Da je ovakvo resavanjeteze u odnosu na resavanje primenom Stokesove teoreme, prepustamo citaocu da se samuveri. 4

4.8. Nezavisnost krivolinijskog integralaod puta integracije

Ovo razmatranje nije ukljuceno u deo o krivolinijskim integralima, iako sena njih odnosi, zbog potrebnog poznavanja Stokesove i Green–Riemannoveteoreme, odnosno povrsinskih i dvojnih integrala u vezi s ovim teoremama.

Neka su P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) neprekidne funkcije u zatvorenojprostornoj oblasti D i neka su A,B ∈ D proizvoljne tacke.

Definicija 4.8.1. Krivolinijski integral

(4.8.1) I =∫

L



je nezavisan od puta integracije u oblasti D ako je njegova vrednost ista duz

svake krive L =y

AB ⊂ D sa pocetnom tackom A i krajnjom tackom B.

Teorema 4.8.1. Potreban i dovoljan uslov za nezavisnost integrala(4.8.1) od puta integracije je

(4.8.2)∮

L

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = 0

po svakoj konturi L ⊂ D.

Dokaz. Prvo pokazujemo da je (4.8.2) potreban uslov i u tom cilju pret-postavljamo da integral (4.8.1) ne zavisi od puta integracije.

Neka su L1 =y

AX1B ⊂ D, L2 =y

AX2B ⊂ D proizvoljne krive sazajednickom pocetnom tackom A i krajnjom B. Krive L1 i L2 formi-raju zatvorenu krivu (konturu) L. Ako na jednoj od krivih, npr. na kri-voj L2, promenimo orijentaciju, kontura L je jedinstveno orijentisana, tj.

L =y

AX1B ∪y

BX2A (Slika 4.8.1).

xy

z

A B

X

X

1

2

L

D

Slika 4.8.1.

Podrazumevajuci i izostavljajuci podintegralni izraz, iz Definicije 4.8.1 je

I =∫

L1

=∫

L2

,

odakle je dalje

0 =∫

L1

−∫

L2

=∫

yAX1B

−∫

yAX2B

=∫

yAX1B

+∫

yBX2A

=∮

L

,

sto je jednakost (4.8.2).Obrnuto, pokazujemo da je (4.8.2) dovoljan uslov, tj. pretpostavljamo da

(4.8.2) vazi.


Ako je L ⊂ D proizvoljna kontura i tacke A,B,X1, X2 ∈ L takve da je

L =y

AX1B ∪y

BX2A (Slika 4.8.1), tada je

0 =∮

L

=∫

yAX1B

+∫

yBX2A

=∫

yAX1B

−∫

yAX2B

=∫

L1

−∫

L2

,

gde su krive L1 =y

AX1B, L2 =y

AX2B obe orijentisane od tacke A ka tackiB. Iz poslednje jednakosti sledi

∫

L1

=∫

L2

,

sto znaci da integral (4.8.1) ne zavisi od puta integracije. ¤Teorema 4.8.2. Potreban i dovoljan uslov za nezavisnost integrala

(4.8.1) od puta integracije je egzistencija funkcije u(x, y, z), koja je diferen-cijabilna u oblasti D sa diferencijalom

(4.8.3) du = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz .

Dokaz Teoreme 4.8.2 izostavljamo ([1], str. 357–359; [2], str. 193–195).

Funkcija u(x, y, z) se zove potencijal i, prema Teoremi 4.8.2, postoji ako isamo ako je integral (4.8.1) nezavisan od puta integracije. Tada iz (4.8.1) i(4.8.3) sledi

(4.8.4) I =∫

L

du =∫ B

A

du = u(B)− u(A) .

Iz jednakosti (4.8.4) vidimo da integral (4.8.1), u stvari, ne zavisi od oblika

puta integracije L =y

AB, ali zavisi od njegovih granicnih tacaka A i B.Osim funkcija P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), neka su i njihovi parcijalni

izvodi ∂P/∂y, ∂P/∂z, ∂Q/∂x, ∂Q/∂z, ∂R/∂x, ∂R/∂y neprekidni u oblastiD. Tada vazi sledeca teorema.

Teorema 4.8.3. Potreban uslov za nezavisnost integrala (4.8.1) od putaintegracije je da za svako (x, y, z) ∈ D vaze jednakosti

(4.8.5)∂P

∂y=

∂Q

∂x,

∂P

∂z=

∂R

∂x,

∂Q

∂z=

∂R

∂y.

Isti uslov je dovoljan ako je D prosto povezana oblast.


Dokaz. Pokazujemo da je uslov (4.8.5) potreban i pretpostavljamo daintegral (4.8.1) ne zavisi od puta integracije.

Prema Teoremi 4.8.2, postoji funkcija u(x, y, z) takva da vazi (4.8.3). Sdruge strane, totalni diferencijal funkcije u(x, y, z) je ([2], str. 35)

(4.8.6) du =∂u

∂xdx +

∂u

∂ydy +

∂u

∂zdz .

Uporedivanjem (4.8.3) i (4.8.6) sledi

(4.8.7) P (x, y, z) =∂u

∂x, Q(x, y, z) =

∂u

∂y, R(x, y, z) =

∂u

∂z

i diferenciranjem∂P

∂y=

∂2u

∂y∂x,

∂Q

∂x=

∂2u

∂x∂y.

Zbog pretpostavljene neprekidnosti izvoda ∂P/∂y i ∂Q/∂x, neprekidni su imesoviti izvodi ∂2u/∂y∂x, ∂2u/∂x∂y, pa vazi ∂2u/∂y∂x = ∂2u/∂x∂y ([2],str. 59), tj. ∂P/∂y = ∂Q/∂x, sto je prva od jednakosti (4.8.5). Analogno sezakljucuje da vaze i druge dve jednakosti (4.8.5).

Obrnuto, pokazujemo da je (4.8.5) dovoljan uslov, tj. pretpostavljamo daje D prosto povezana oblast i da (4.8.5) vazi.

Ako je L ⊂ D proizvoljna kontura i S ⊂ D povrs ogranicena sa L, usloviStokesove teoreme su ispunjeni, pa prema (4.7.5) sledi

∮

L


=∫∫

S

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)dydz +

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)dzdx +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy = 0 ,

sto je jednakost (4.8.2). Premi Teoremi 4.8.1, integral (4.8.1) ne zavisi odputa integracije. ¤

Od navedene tri teoreme najcesce je u upotrebi Teorema 4.8.3 jer je naj-jednostavnije proveriti uslove (4.8.5).

Specijalno, kada je prosto povezana oblast D ravna, npr. u xy–ravni(z = 0), integral

(4.8.8) I =∫

L

P (x, y) dx + Q(x, y) dy

ne zavisi od puta integracije L ako i samo ako vazi prva od jednakosti (4.8.5),

(4.8.9)∂P

∂y=

∂Q

∂x,


a dokaz se izvodi koriscenjem Green–Riemannove teoreme. U ovom slucajuje potencijal funkcija u(x, y), a (4.8.7) se svodi na

(4.8.10) P (x, y) =∂u

∂x, Q(x, y) =

∂u

∂y.

Ukoliko oblast D pripada nekoj drugoj, yz ili zx–koordinatnoj ravni,situacija je analogna.

Prakticno odredivanje potencijala zasniva se na Teoremama 4.8.2 ili 4.8.3.Radi jednostavnosti, postupak iznosimo za slucaj integrala (4.8.8).

Prvo nalazimo potencijal prema Teoremi 4.8.2.

Neka je L =y

AB ⊂ D proizvoljna kriva sa fiksiranom pocetnom tackomA(x0, y0) i promenljivom (tekucom) krajnjom tackom B(x1, y1) = B(x, y).Jednakost (4.8.4) tada postaje

u(x, y) =∫

L

P (x, y) dx + Q(x, y) dy + u(x0, y0) .

Ako vrednost u(x0, y0) nije poznata, potencijal u(x, y) se odreduje s tacnoscudo na konstantu

c = u(x0, y0) .

Zbog proizvoljnosti krive L, biramo specijalno L =y

AC ∪y

CB (Slike 4.8.2,4.8.3).

xx xx x

y

y y

y y

1

1 1

1

x

y

0

0 0

0AA

BBC

C


U slucaju krive sa Slike 4.8.2 je

yAC : x = x0 , y = t , z = 0 ; t ∈ [y0, y1] ,y

CB : x = t , y = y1 , z = 0 ; t ∈ [x0, x1] ,


pa je dx = x′(t) dt = 0 duzy

AC, dy = y′(t) dt = 0 duzy

CB i

u(x, y) =∫

L

P (x, y) dx + Q(x, y) dy + c

=∫y

AC

P (x, y) dx + Q(x, y) dy +∫y

CB

P (x, y) dx + Q(x, y) dy + c

=∫ y1

y0

Q(x0, t) dt +∫ x1

x0

P (t, y1) dt + c

=∫ y

y0

Q(x0, t) dt +∫ x

x0

P (t, y) dt + c

ili, uobicajeno zapisano,

(4.8.11) u(x, y) =∫ x

x0

P (x, y) dx +∫ y

y0

Q(x0, y) dy + c .

Za slucaj krive sa Slike 4.8.3 se na slican nacin dobija

(4.8.12) u(x, y) =∫ x

x0

P (x, y0) dx +∫ y

y0

Q(x, y) dy + c .

Izrazi (4.8.11) i (4.8.12) su ravnopravni. U oba izraza je c = u(x0, y0).

Za nalazenje potencijala se cesce koristi postupak koji je zasnovan je naTeoremi 4.8.3. On se sastoji u sledecem.

Neka je (x0, y0) ∈ D proizvoljno izabrana i fiksirana tacka, a (x, y) ∈ Dpromenljiva (tekuca) tacka.

Integracijom po x prve jednakosti iz (4.8.10), sledi

∫ x

x0

P (x, y) dx =∫ x

x0

∂u

∂xdx = u(x, y)− u(x0, y) ,

odnosno

(4.8.13) u(x, y) =∫ x

x0

P (x, y) dx + v(y) ,

gde je v(y) = u(x0, y). Diferenciranjem po y, iz (4.8.13) dalje sledi

(4.8.14)∂u

∂y=

∫ x

x0

∂P

∂ydx + v′(y) .


Koriscenjem druge jednakosti iz (4.8.10) i jednakosti (4.8.9), (4.8.14) postaje

Q(x, y) =∫ x

x0

∂Q

∂xdx + v′(y) = Q(x, y)−Q(x0, y) + v′(y) ,

odakle je Q(x0, y) = v′(y) i, integracijom po y,

∫ y

y0

Q(x0, y) dy =∫ y

y0

v′(y) dy = v(y)− v(y0) .

Iz poslednje jednakosti je

v(y) =∫ y

y0

Q(x0, y) dy + c ,

gde je c = v(y0) = u(x0, y0). Zamenom ovako iskazanog v(y) u (4.8.13),dobija se (4.8.11).

Slicno, polazeci od druge jednakosti iz (4.8.10), dobija se (4.8.12), pa jesvejedno koju od jednakosti (4.8.10) biramo za polaznu.

Kada se formule (4.8.11), (4.8.12) prakticno primenjuju, tacka (x0, y0)se obicno bira konkretno i to tako da resavanje odredenih integrala budejednostavnije. Pri tome mora da je (x0, y0) ∈ D, sto se najlakse proveravapomocu

∂P

∂y

∣∣∣(x,y)=(x0,y0)

=∂Q

∂x

∣∣∣(x,y)=(x0,y0)

.

Konstanta c = u(x0, y0) se unapred zadaje ili se odreduje iz dodatnog uslova.Taj uslov je poznata vrednost potencijala u(x, y) u nekoj konkretnoj tacki(x, y) ∈ D.

Analogno se izvodi izraz za potencijal u(x, y, z) u slucaju prosto povezaneprostorne oblasti D i krive L ⊂ D sa pocetnom tackom (x0, y0, z0) i krajnjomtackom (x, y, z),

u(x, y, z) =∫ x

x0

P (x, y, z) dx +∫ y

y0

Q(x0, y, z) dy(4.8.15)

+∫ z

z0

R(x0, y0, z) dz + c .

Komentar o konkretnom izboru tacke (x0, y0, z0) i odredivanju konstantec = u(x0, y0, z0) vazi i ovde, s tim sto se uslov (x0, y0, z0) ∈ D proveravapomocu jednakosti (4.8.5).


NAPOMENA 4.8.1. Postupak zasnovan na Teoremi 4.8.3 se pri prakticnim prime-nama cesto realizuje u celini, ali na drugaciji nacin. Radi se sa neodredenim umesto saodredenim integralima, pri cemu se funkcija v(y) i konstanta c dobijaju kao proizvoljniintegracioni elementi. Ovakav postupak je opravdan samo ako se ima u vidu zavisnostv(y) = v(x0, y), c = c(x0, y0). Drugim recima, proizvoljnost funkcije v(y) i konstantec potice od proizvoljnosti pocetne tacke (x0, y0), ali za svaki konkretan izbor ove tackefunkcija v(y) dobija konkretan oblik v(x0, y), a konstanta c konkretnu vrednost c(x0, y0).U opstem slucaju je v(x0, y) 6= u(x0, y) i c(x0, y0) 6= u(x0, y0). 4

PRIMER 4.8.1. Neka je D proizvoljna prosto povezana zatvorena oblast u xy–ravni(z = 0), takva da je y < x za sve tacke (x, y) ∈ D i A(3, 2), B(5, 3) ∈ D. Takode, neka je

I =

ZL

(x− 2y)(x− y)λ + x

dx +

y(x− y)λ − y2

dy

potpuni krivolinijski integral II vrste, u kome je L =yAB ⊂ D proizvoljna kriva i λ ∈ R

konstanta.(1) Odrediti λ tako da integral I ne zavisi od puta integracije L.(2) Izracunati integral I za nadenu vrednost λ.

(1) Integral I je oblika (4.8.8) sa

P (x, y) = (x− 2y)(x− y)λ + x , Q(x, y) = y(x− y)λ − y2 ,

odakle je

∂P

∂y= −2(x− y)λ − λ(x− 2y)(x− y)λ−1 ,

∂Q

∂x= λy(x− y)λ−1 .

Funkcije P (x, y), Q(x, y), ∂P/∂y, ∂Q/∂x su neprekidne u oblasti D za svako λ zbogx − y > 0, pa je (4.8.9) dovoljan uslov za nezavisnost integrala I od puta integracije.Jednakost (4.8.9), tj. ∂P/∂y = ∂Q/∂x, postaje

−2(x− y)λ − λ(x− 2y)(x− y)λ−1 = λy(x− y)λ−1

i, deobom sa (x− y)λ−1 > 0,(2 + λ)(x− y) = 0 .

Kako je x− y 6= 0, to jeλ = −2 .

(2) Integral I izracunavamo primenom jednakosti (4.8.4). U tom cilju prvo odredu-jemo potencijal u(x, y) prosledujuci postupak zasnovan na Teoremi 4.8.3, a u skladu saNapomenom 4.8.1.

Za λ = −2 je

P (x, y) =x− 2y

(x− y)2+ x , Q(x, y) =

y

(x− y)2− y2 .

Zato iz prve od jednakosti (4.8.10) sledi

∂u

∂x= P (x, y) =

x− 2y

(x− y)2+ x =

1

x− y− y

(x− y)2+ x ,


integracijom po x

u(x, y) =

Z h 1

x− y− y

(x− y)2+ xi

dx =

Zd(x− y)

x− y− y

Zd(x− y)

(x− y)2+

Zx dx

= ln(x− y) +y

x− y+

x2

2+ v(y)

i diferenciranjem po y∂u

∂y= − 1

x− y+

x

(x− y)2+ v′(y) .

Prema drugoj od jednakosti (4.8.10), tj. ∂u/∂y = Q(x, y), je dalje

− 1

x− y+

x

(x− y)2+ v′(y) =

y

(x− y)2− y2 ,

odakle jev′(y) = −y2

i integracijom

v(y) =

Zv′(y) dy =

Z−y2 dy = −y3

3+ c .

Potencijal je

u(x, y) = ln(x− y) +y

x− y+

x2

2− y3

3+ c .

Neka je (x0, y0) ∈ D konkretno izabrana tacka. Tada je c = c(x0, y0) konkretnakonstanta, pa izracunavajuci

u(A) = u(3, 2) = ln 1 + 2 +9

2− 8

3+ c =

23

6+ c ,

u(B) = u(5, 3) = ln 2 +3

2+

25

2− 9 + c = ln 2 + 5 + c ,

za integral I dobijamo

I = u(B)− u(A) = ln 2 + 5 + c− 23

6− c = ln 2 +

7

6. 4

PRIMER 4.8.2. Neka je D proizvoljna prosto povezana zatvorena prostorna oblast,takva da je x− yz 6= 0 za sve tacke (x, y, z) ∈ D i A(7, 2, 3), B(5, 3, 1) ∈ D. Takode, nekaje

I =

ZL

−yz dx + xz dy + xy dz

(x− yz)2

potpuni krivolinijski integral II vrste, u kome je L =yAB ⊂ D proizvoljna kriva. Odrediti

potencijal u(x, y, z) ako je u(0, 1, 1) = −1, a zatim izracunati integral I.

Prvo proveravamo da li potencijal postoji u svim tackama oblasti D, tj. ispitujemonezavisnost integrala I od puta integracije u oblasti D. Kako je

P (x, y, z) = − yz

(x− yz)2, Q(x, y, z) =

xz

(x− yz)2, R(x, y, z) =

xy

(x− yz)2,


to je

∂P

∂y=

∂Q

∂x= − z(x + yz)

(x− yz)3,

∂P

∂z=

∂R

∂x= −y(x + yz)

(x− yz)3,

∂Q

∂z=

∂R

∂y= −x(x + yz)

(x− yz)3.

Sve navedene funkcije su neprekidne u oblasti D zbog x−yz 6= 0, pa dovoljni uslovi (4.8.5)vaze.

Potencijal u(x, y, z) odredujemo direktnom primenom formule (4.8.15). Za (x0, y0, z0)biramo konkretnu tacku (x0, y0, z0) = (1, 0, 0) i uocavamo da je (x0, y0, z0) ∈ D jer jex0−y0z0 = 1 6= 0. Ova tacka je pogodna zbog R(x0, y0, z) = R(1, 0, z) = 0, pa se (4.8.15)svodi na

u(x, y, z) =

Z x

1P (x, y, z) dx +

Z y

0Q(1, y, z) dy + c

= −Z x

1

yz

(x− yz)2dx +

Z y

0

z

(1− yz)2dy + c ,

gde je c = u(x0, y0, z0) = u(1, 0, 0) nepoznata konstanta. Po izracunavanju odredenihintegrala, za potencijal se dobija

u(x, y, z) =yz

x− yz+ c .

Konstantu c nalazimo iz zadatog dodatnog uslova u tacki (x, y, z) = (0, 1, 1). Kako jeu(0, 1, 1) = −1 + c i u(0, 1, 1) = −1, sledi c = 0 i

u(x, y, z) =yz

x− yz.

Izracunavajuci

u(A) = u(7, 2, 3) = 6 , u(B) = u(5, 3, 1) =3

2,

prema (4.8.4) se dobija i vrednost integrala

I = u(B)− u(A) =3

2− 6 = −9

2. 4

PRILOG

Osnovni nedostatak konvencionalnog nacina predstavljanja prostornih ob-jekata je nedostatak perspektive. Ilustracije radi, u ovom Prilogu pred-stavljamo povrsi i krive sa Slika 1.4.29, 1.4.33, 1.4.34, 1.4.36, 2.3.4, 4.7.2,ukljucujuci i poziciju posmatraca, tj. perspektivu.

Na Slikama 1–5 su prikazane redom prostorne povrsi:

x2 + y2 + z2 = a2 ,sfera

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 ,elipsoid

z = a√

x2 + y2 ,konus

z = a(x2 + y2

),paraboloid

x2 + y2 = a2 .cilindricna povrs

Slike 1, 2 i 5 prikazuju jos presecne krive povrsi sa xy–koordinatnom ravni itacke prodora koordinatnih osa kroz povrsi.

Slika 1.

193

194 PRILOG

Slika 2.

Slika 3. Slika 4.

Slika 5.

PRILOG 195

Slika 6 prikazuje presecnu krivu cilindricne povrsi i sfere,

x2 + y2 = ax , x2 + y2 + z2 = a2 .

Ova kriva se javlja u Primeru 2.3.2 i poznata je pod imenom Vivianievakriva.

Slika 6.

Slika 7 prikazuje presecnu krivu cilindricne povrsi i konusa,

x2 + y2 = 2x , z =√

x2 + y2 ,

koja se javlja u Primeru 4.7.1.

Slika 7.

LITERATURA

1. R. Dimitrijevic : Analiza realnih funkcija vise promenljivih, autor, Nis,1999.

2. D. Mihailovic, D. D. Tosic : Elementi matematicke analize II, Naucnaknjiga, Beograd, 1983.

3. G. V. Milovanovic, R. Z. Dordevic : Matematika za studente tehnickihfakulteta, I deo, Nauka, Beograd, 1992.

4. G. V. Milovanovic, R. Z. Dordevic : Matematika za studente tehnickihfakulteta, II deo, Cuperak plavi, Nis, 1996.

5. B. Rasajski : Analiticka geometrija, Gradevinska knjiga, Beograd, 1973.

6. L. V. Stefanovic : Matematika za studente tehnickih fakulteta – Vek-torska analiza; Integrali: krivolinijski, dvojni, trojni, povrsinski; Teorijapolja, Prosveta Nis, Nis, 1997.

7. D. D. Tosic : Matematika III, kratak kurs, autor, Beograd, 1996.

197

CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд

517.3 ( 075.8 )

СТЕФАНОВИЋ, Лидија Integrali: krivolinijski, dvojni, trojni, površinski, Deo I: za studente tehničkih Fakulteta / Lidija Stefanović. – 1. izd. – Niš: Studentski kulturni centar, 2008 ( Niš: Petrograf ). – VI, 197 str. : graf. prikazi; 25 cm

Tiraž 100. – Bibliografija: str. 197.

ISBN 978–86–7757–146–7

а) Интеграли COBISS.SR–ID 150862604

Documents

INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRSINSKIˇ · dr lidija stefanovi´c integrali: krivolinijski, dvojni, trojni, povrsinskiˇ za studente tehnickih fakulteta;ˇ i deo skc