9
MATEMATIKA 2 INTEGRAL 1 DVOJNI INTEGRAL Polovico valja presekamo z ravnino. Določi prostornino dobljenega telesa 2 2 u r x u du x dx r h x y z r r r enačba ravnine: h z x r h z x r 0 z 2. možnost: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 3 2 2 2 2 0 0 2 2 3 3 r y r y x r y r r x r y r r h h x V x dx dy r dy r r h h y r y dy ry r h r 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 3 r x r r y r x y r r r r r r h h V x dy dx xy dx r r h h h x r x dx x r x dx u du r r r h r

INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

1

DVOJNI INTEGRAL

Polovico valja presekamo z ravnino.Določi prostornino dobljenega telesa

2 2

u r x

u du x dx

r

h

x

y

z

r

rr

enačba ravnine: h

z xr

hz xr

0z

2. možnost:

2 22 2

2 22 2

2

0 0

32 2 2

2

0 0

2

2

3 3

r y

r y

x r yr r

x r y

rr

h h xV x dx dy

r

dyr r

h h yr y dy r y

r

h

r

2 22 2

0

0

0

2 2 2 22

2

0

22 2

3

r xr ry r x

yr r

r r

r r

h hV x dy dx xy dx

r r

h h hx r x dx x r x dx u du

r

r

r

h

r

Page 2: INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

2

DVOJNI INTEGRAL

( , )z f x y

a b

( )y u x

( )y v x

D

V splošnem računamo integral funkcije dveh spremenljivk po ukrivljenem območju takole:

Območje D omejimo po širini med x=a in x=b.

Spodnji rob območja je krivulja y=u(x), zgornji pa krivulja y=v(x).

( )

( )

( , ) v xb

D a u x

f f x y dy dxDvojni integral izrazimo kot dvakratni integral, kjer so meje notranjega integrala odvisne od spremenljivke x.

Včasih je lažje integrirati v obratnem vrstnem redu, najprej po x in potem po y.

Page 3: INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

3

DVOJNI INTEGRAL

Podobno obravnavamo trojne, tj. prostorske integrale:

Izrazi maso plina v valjastem stolpcu s polmerom R in višino h.

R

h

0Gostota plina upada z višino: kze

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0

0

0

0

0

0 201 1

y R x

y R x

y R x

y R x

y R x

y R x

kz

V

x R z hkz

x R z

z hx Rkz

zx R

x R

x

khkh

R

m e dV

e dz dy dx

e dy dxk

e y ek k

d Rdx

-R R2 2R x

2 2R x

Page 4: INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

4

TRIGONOMETRIČNE VRSTE

Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada z oddaljevanjem od izhodišča, zato so za obravnavanje periodičnih funkcij primernejše vrste sestavljene iz trigonometričnih funkcij.

Pomožni izračuni:

podobno:

podobno:

sin( ) cos( ) nx mx dx:n m

sin( ) sin( ) 2sin( )cos( )n m x n m x nx mx

1 cos( ) cos( )0

2

n m x n m x

n m n m

cos( ) cos( ) 0 sin( ) sin( ) 0 nx mx dx nx mx dx

:n m 1sin( ) cos( ) sin(2 ) 0

2 nx nx dx nx dx

1 sin(2 )sin( ) sin( ) (1 cos(2 ))

2 2 4

x nxnx nx dx nx dx

cos( ) cos( ) nx nx dx

TRIGONOMETRIČNE VRSTE

Page 5: INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

5

TRIGONOMETRIČNE VRSTE

Motivacija

Nastane valovanje, ki potuje po vrvici in se odbija od koncev. Ker konca mirujeta,so pri sinusnem nihanju možne le valovne dolžine oblike l=2L/n, kjer je nnaravno število.

Splošno nihanje vrvice (strune) je superpozicija osnovnih nihanj.

L

l

Elastično vrvico napnemo in izmaknemo iz ravnovesne lege.

Page 6: INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

6

TRIGONOMETRIČNE VRSTE

Privzemimo, da je funkcija f 2 -periodična in da je enaka vsoti vrste

Kako bi določili koeficiente ak in bk?

trigonometrična ali Fouriereva vrsta

0 1 1 2 2

0

1

( ) ( cos sin ) ( cos 2 sin 2 ) ...

( cos sin )k k

k

f x a a x b x a x b x

a a kx b kx

0

1

( ) ( cos sin )k k

k

f x dx a dx a kx dx b kx dx

=0 =0

02 a

0

1

( ) cos cos ( cos cos sin cos )

cos c os

k k

k

m m

f x mx dx a mx dx a kx mx dx b kx mx dx

a mx mx dx a

0

1

( )sin sin ( cos sin sin sin )

sin s in

k k

k

m m

f x mx dx a mx dx a kx mx dx b kx mx dx

b mx mx dx b

Page 7: INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

7

TRIGONOMETRIČNE VRSTE

Če je f(x) vsota trigonometrične vrste

(in če smemo vrsto členoma integrirati),potem za koeficiente vrste velja:

0

1

( ) ( cos sin )k k

k

f x a a kx b kx

0

1( )

2

1( )cos

1( )sin

k

k

a f x dx

a f x kx dx

b f x kx dx

Page 8: INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

8

TRIGONOMETRIČNE VRSTE

(integral lihe funkcije po simetričnem intervalu)

Fouriereva vrsta trigonometričnega polinoma je vedno končna.

3( ) sinf x x

3

0

1sin 0

2a x dx

31sin cos 0ka x kx dx

3

1

1 3sin sin

4b x x dx 3

3

1 1sin sin 3

4b x x dx

31sin sin 0 za 0,2kb x kx dx k

3 3 1sin sin sin3

4 4x x x

-

3siny x

Page 9: INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL - fmf.uni-lj.sipavesic/POUK/BIOKEMIJA/Matematika 2 2010-2011/7.pdf · MATEMATIKA 2 INTEGRAL 4 TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

9

TRIGONOMETRIČNE VRSTE

bk=0 za sode k

numerično:

b1=1.161

b3=0.232

b5=0.116

b7=0.074

b9=0.053

...

3( ) sinf x x

f liha ⇒ vsi ak=0

-

3 sin 1.161sinx x 0.232sin3x 0.161sin5 ...x