INTEGRALES - METODO DE SUSTITUCIÓN

7/25/2019 INTEGRALES - METODO DE SUSTITUCIN

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8. Integrales Indefinidas y mtodos de integracin

8.1. Definicin de funcin primitiva

Integral definida

Funciones primitivas

Vamos a intentar mostrar la relacin, sorprendente, que existe entre una funcin f(x)y sufuncin primitiva F(x).


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En la parte izquierda de la grfica (funcin derivada) representa un rea y en la parte drecha

(funcin primitiva) representa una longitud, numricamente ambos valores son iguales.

Cuando dxtiende a cero, el lmite de la suma, si existe, se llama integral definidade f(x)

entre los puntos x=ay x=b.

Este lmite, cuando existe, coincide con el rea de la zona comprendida entre la grfica de

la funcin f(x), el eje XXy las rectas x=ay x=b, como se puede apreciar en la parte

izquierda de la figura o con la longitud del segmento dada por F(b)-F(a)como se apreciaen la parte derecha. Es decir :


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Siendo F(x)una funcin primitiva de f(x).

Relacin entre una funcin y su primitiva. Explicacin dinmica

Esta relacin reduce el clculo de multitud de magnitudes : reas, volmenes, superficies,trabajo, energa, probabilidades y un largo etc, al clculo de primitivas, clculo muy

elaborado y esquematizado en procedimientos y tablas.

En la tabla de primitivas se indican los procedimientos y primitivas inmediatas que se

utilizan habitualmente para el clculo de otras primitivas ms complejas.


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REA DE REGIN ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y g(x) f(x) x [a, b], entonces elrea de la regin limitada por las grficas de f y g y las rectas verticales x =a y x =

b es

Demostracin: Subdividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cada uno deancho x y dibujamos un rectngulo representativo de alto f(xi) g(xi) donde xest en el i-simo intervalo.

rea del rectngulo i =[f(xi) g(xi)] x

Sumando las reas y considerando que el nmero de rectngulos tiende a infinitoresulta que el rea total es

Como f y g son continuas en el intervalo, la funcin diferencia f g tambin los esy el lmite existe.


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Por lo tanto el rea es rea = =

E s importante darse cuenta que la validez de la frmula del rea depende slo deque f y g sean continuas y de que g(x) f(x). Las grficas de f y g pueden estarsituadas de cualquier manera respecto del eje x.

Integracin respecto al eje y

Si algunas regiones estn acotadas por curvas que son funciones de y o bien sepueden trabajar mejor considerando x como funcin de y los rectngulos

representativos para la aproximacin se consideran horizontales en lugar deverticales. De esta manera, si una regin est limitada por las curvas deecuaciones x =f(y), x =g(y), y =c y la recta horizontal y =d, donde f y g soncontinuas y f(y) g(y) para c y d, entonces su rea resulta

.


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8.2. Definicin de Integral definida

(

(

8.3. Propiedades de la integral indefinida


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Con cierta frecuencia, los alumnos de clculo confunden el concepto de integral con "antiderivada", que

en su justo rigor no es incorrecto, pero lamentablemente se especializan tanto, y seguramente en esto el

profesor de clculo es cmplice, en calcular una ristra de "antiderivadas" de funciones que olvidan elconcepto mismo de derivada, y en definitiva olvidan su adecuado uso. Con mucha dosis de suerte,

reconocen tambin en la integral una suerte de "clculo de rea bajo la curva" (entendiendo que esta

curva es la representacin grfica de una funcin no negativa), cuestin que tampoco es incorrecta.Ahora bien, en este curso intentaremos dar el amplio concepto de integral, de tal manera que abarque

como corolario su utilizacin como "antiderivada", fundamentalmente para la resolucin de ecuaciones

diferenciales, y su utilizacin geomtrica como el clculo del rea bajo la curva, y en esta aplicacin loligaremos con conceptos de la teora de la probabilidad.

Creo que podemos dedicar ms tiempo en el concepto mismo de la integral, sacrificando una buena dosis

de tiempo en la enseanza de las instrucciones para las decenas y centenas de frmulas de integracinque existen, toda vez que hoy por hoy ya no es absolutamente necesario, ni menos manejar "tablas de

integracin", pese a que en algunos programas de clculo estas "tablas de integracin" permanecen

inmutables en el tiempo. Ms bien aprovecharemos la tecnologa que democratiza el clculo deintegracin, puesto que se puede obtener en milsimas de segundo cualquier integral de cualquier

funcin por muy compleja que sea en las decenas de buenos softwares matemticos que existen.

El flujo de agua.Supongamos que en un recipiente, como lo indica lafigura 1, est cayendo agua a travs de un grifo. Supongamos adems

que el flujo de agua, o caudal, que sale del grifo es deIm3/seg. El

agua que cae hacia el recipiente est formando un determinadovolumen que vara con el tiempo. Pues bien, deseamos saber el

volumen de agua que se ha formado desde el tiempo t= aseg hasta el

tiempo t= bseg. De otra forma queremos saber el volumen de aguaque se ha obtenido entre los tiempos ay bmientras el caudal de agua

fluye constante en un valorI. La respuesta es naturalmente

Volumen =I( b- a)esto es el caudal por el tiempo transcurrido.

Desde el punto de vista geomtrico el valorI( b- a) viene a ser el

clculo del rea de un rectngulo de alturaIcon base (b- a).

De otra forma consideremos la funcin constante Q( t) =I, y

realicemos su grfica en el plano cartesiano como lo indica la figura 2. Figura 1


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Podemos observar que el rea del rectngulo de

color corresponde numricamente a la cantidad de

volumen obtenido por el caudalIen el intervalo de

tiempo [a, b].

Vamos a suponer ahora que el caudal no es

completamente constante, sino que tiene el siguientecomportamiento, durante el intervalo de tiempo [a,b] el caudal vale Q( t) =I1, y durante el intervalo de

tiempo (b, c] el caudal es de Q( t) =I2. DondeI1e

I2son flujos constantes, es decir a partir del tiempo t= bhubo un cambio instantneo de caudal.

Nos interesa calcular el volumen conseguido en el

intervalo de tiempo [a, c].

La situacin grfica se indica en la figura 3.

En este caso, el volumen obtenido es de

Volumen =I1( b- a) +I2( c- b)y geomtricamente coincide con la suma de las

reas de los dos rectngulos.

Supongamos ahora que la funcin Q( t) no esconstante en el intervalo [a, b], como lo indica la

Figura 4.

Figura 4

Figura 2

Figura 3

Cmo podramos calcular el volumen de agua?

Vamos a formar pequeos rectngulos de la siguiente manera, la base b- ala vamos a subdividir en

intervalos de la misma longitud, de tal manera de formar nsubintervalos de longitud (b- a) / n, estos

subintervalos entonces formarn la siguiente particin

a=x0< t1< ... < ti - 1< ti< t i + 1< ... < t n - 1< tn= b

de tal forma que


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ti= ti- ti - 1= (b- a) / n

y la altura del i-simo rectngulo ser igual a Q( t i - 1), de tal forma que el rea de cada subrectngulo es

Q( t i-1)ti.

La construccin de los nsubrectngulos lo presentamos en la Figura 5, y en la Figura 6 se observa el i-

simo subrectngulo amplificado de base ti- ti - 1y de altura Q( t i - 1).

Figura 5Figura 6

De tal forma que el volumen de agua aproximada que se formar durante el intervalo de tiempo [a, b] esla suma de las reas de todos estos subrectngulos, esto es

la eleccin de los nsubrectngulos fue en cierto modo arbitraria, mientas ms fina sea la particin, esto

es mientras ms subrectngulos formemos mejor ser la aproximacin del clculo del rea bajo la curva.

Entonces se define la integral de la funcin Q( t) entre ay bcomo

y que para este ejemplo particular corresponde al volumen de agua formado por el caudal Q( t) en el

intervalo de tiempo [a, b] , y que geomtricamente corresponde al rea bajo la curva de Q( t) en elintervalo [a, b].

Generalizando lo que vimos en la anterior seccin, tenemos que sif(x) es una funcin no

negativa, definida en un intervalo [a, b], entonces definiendo una particin en el intervalo[a, b] de la forma

x0= a


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de tal modo que cuando

y si elegimos arbitrariamente

y formamos la suma

se tiene que el rea bajo la curva def(x) entre los valores ay best dada por

Observe que el valor de la derecha de esta ltima ecuacin representa un nmero, y que sedenota por "la integral def(x) entre los valores ay b".

Sin embargo, en la construccin de esta integral se puede relajar la exigencia de que la

funcinf(x) debe ser no negativa y realizar los clculos sobre la particin en el intervalode definicin de la funcin. Por ejemplof(x) puede ser una funcin con la siguiente grfica

donde se entiende que la integral en el dominio [b, c] tendr un valor negativo, pero su

valor absoluto (sin el signo menos) es geomtricamente el rea de la regin determinada

por la grfica def(x) y el segmento [b, c]. De otra forma, la integral de la funcinf(x) enel intervalo [a, c] corresponde numricamente, en este ejemplo, a la diferencia entre la

regin verde menos la regin celeste que se muestra en la siguiente grfica


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Que es un resultado absolutamente diferente si integramos la funcin valor absoluto def(x

), cuya grfica viene a ser de la forma

y el valor de las dos reas amarillas corresponde a la integral

Las propiedades ms importantes sobre integrales

No resulta para nada complicado demostrar las siguientes propiedades de las integrales.


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8.4. Calculo de integrales indefinidas8.4.1. Directas

De la derivacin de funciones elementales se deducen sus correspondientesintegrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si sepretende ser gil en el clculo de otras integrales menos sencillas.


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8.4.2. Por cambios variablesIntegracin por cambio de variable (o sustitucin)Este mtodo consiste en transformar la integral dada en otra ms sencilla

mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casostienen un mtodo preciso, es la prctica, en general, la que proporciona laeleccin del cambio de variable ms conveniente.

Se comenzar por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

Si en lugar dexse tuviese una funcin u(x), x u(x) u(x)m , la regla de lacadena

Por tanto,

Como se ve, se ha escrito uen lugar de u(x)por simplificar la notacin.

Resolucin:

En primer lugar se saca de la integral la constante 5.

Se multiplica y se divide por 3:


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Resolucin:

Se multiplica y se divide por - 1.

Resolucin:

Se multiplica y se divide por 2:

Haciendo un estudio anlogo a los anteriores, se deduce que

La derivada de - cos xes sen x. Por la regla de la cadena, la derivada de -cosuesu' sen u. Anlogamente, la derivada de sen ues u' cos u.


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As se tienen

Ejercicio: clculo de integrales

Resolucin:

La primera de ellas significa sen (x x x), mientras que la segunda es (senx) (sen x) (sen x).

Se saca el factor 5 de la integral.

Se multiplica y se divide por 3.

Como en casos anteriores es sencillo demostrar que:


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8.4.3. Por partes

La tcnica de la integracin por parte es bastante til para encontrar integrales complejasllevndolas a integrales ms sencillas. Esta tcnica se basa en la derivada de un producto.

En efecto, debemos recordar que

(1)

Ahora bien, si integramos la igualdad en (1), respecto dexnos queda

De manera que obtenemos la igualdad

(2)

Supongamos ahora que se quiere integrar una expresin de la forma

donde es relativamente sencillo encontrar la "anti-derivada" v(x). Si es as, observemos que

de la expresin (2) obtenemos

(3)

donde se supone que la integral de la derecha de la ecuacin (3) es sencilla de calcular, o su

resultado se obtiene mediante un procedimiento establecido. A menudo, con cierto abuso de

notacin, la expresin (3) con el nimo de memorizar la frmula, se escribe como

Veamos un ejemplo. Queremos calcular la integral

En este caso, la derivada dexes 1 y una primitiva para e2x

es fcil de calcular, de modo que

hacemos

Entonces aplicando la frmula (3) obtenemos


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8.4.4. Trigonomtricas

En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma las cuales

se convierten en integrales racionales mediante la sustitucin trigonomtrica ,

que es un integral de una funcin racional.

Ejemplo.Calcular la integral .

Existen varios tipos de integrales trigonomtricas que se pueden racionalizarcon cambiosms sencillos. Ellas son las siguientes:

1. , donde , cambio

2. , donde , cambio


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3. , donde , cambio

Ejemplos.

a) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 1. Luego,

que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustitucin

b) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 2. Luego,

c) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 3. Luego,

Integrales irracionales. En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma

, y .


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Las integrales y .

Estas integrales irracionales se convierten en integrales trigonomtricas mediante los

cambios:

1. , cambio

2. , cambio

3. , cambio

8.4.5. Por sustitucin trigonomtrica8.5. En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las integrales, en

otras ocasiones parece ser que pudiramos integrar de manera inmediata

debido a que a primera inspeccin encontramos similitud con las formulas que

tenemos en las tablas de formulas. Inclusive existen algunas de las mismas

formulas que podemos deducir mediante algunas tcnicas, como la que en esta

ocasin nos ocupa, veamos el siguiente ejemplo: Deduce la siguiente formula:

8.6.8.7. Pensemos en una sustitucin que podamos realizar en la integral de tal

forma que nos permita una integracininmediata. Recordemos que:

8.8.8.9. observemos que sucede si hacemos un cambiode variable que nos

conduzca a el uso de esta sustitucin, concretamente, sustituyamos

8.10.


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8.11.8.12. Recordemos que a lo tambin queda expresado como:

8.13.

8.14. de donde

8.15.8.16. donde la nueva c se ha juntado con la constante generada con el

logaritmo:

8.17.8.18. al igual que esta integral se pueden encontrar de la misma forma algunas

otras, vale la pena seguir la siguiente recomendacin:


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8.19.

8.20. hemos de aclarar que esas sustituciones surgen al igual que la sustitucindel ejercicio anterior, de observaciny comparacin de las propiedades

trigonomtricas:

8.21.8.22. Calcular la siguiente integral y comprobar

8.23.8.24. Solucin:8.25. como podemos comprobar la integracin no se puede realizar de manera

inmediata. Antes de realizar alguna sustitucin valdra la pena hacer alguna

factorizacin en el radical

8.26.8.27. realizando la sustitucin

8.28.8.29. por lo tanto:

8.30.

8.31. como entonces:

8.32. del triangulo rectngulo siguiente identificamos:


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8.33.8.34. la hipotenusa es 2xy el cateto adyacente es 3 por lo tanto el cateto

opuesto es igual a:

8.35.8.36. por lo que

8.37.8.38. Comprobacin del resultado.

8.39.8.40. simplificando tenemos:


26/26

8.41.

8.42. Se sugieren los siguientes ejercicios:8.43. Sustitucin trigonomtrica

8.44.8.45. A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcincuando el

integrando presenta expresiones de la forma:

8.46.8.47. Se elimina el radical haciendo la sustitucin trigonomtrica pertinente;

el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomtricascuya

integracin nos es familiar. En la siguiente tabla se muestracul debe ser la

sustitucin:

Expresin en el integrando Sustitucin trigonomtrica

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