Integrales definidas

Dada una func ión f (x ) de una var iab le rea l x y un in terva lo [a ,b ] de la

rec ta rea l , l a integral def in ida es igua l a l á rea l im i tada ent re la g rá f i ca

de f (x ) , e l e je de absc i sas , y las l íneas ver t i ca les x = a y x = b .

Se representa por .

∫ es e l s igno de in tegrac ión .

a l ím i te in fe r io r de la in tegrac ión .

b l ím i te super io r de la in tegrac ión .

f (x) es e l integrando o func ión a in tegrar .

dx es diferencia l de x , e ind ica cuá l es la var iab le de la func ión que

se in tegra .

Propiedades de la integrales definidas

1. E l va lo r de la integral def in ida cambia de s igno s i se permutan

los l ím i tes de in tegrac ión .

2. S i los l ím i tes que in tegrac ión co inc iden , la integral def in ida va le

cero .

3. S i c es un punto in ter io r de l in te rva lo [a , b ] , l a i ntegral def in ida

se descompone como una suma de dos in tegra les extend idas a los

in te rva los [a , c ] y [c , b ] .

4. La integral def in ida de una suma de func iones es igua l a la suma

de in tegra les ·

5. La in tegra l de l p roducto de una constante por una func ión es igua l

a la constante por la in tegra l de la func ión .

Sea f ( t ) una función cont inua en e l in te rva lo [a, b] . A par t i r de

es ta func ión se de f ine la función integral :

que depende de l l ím i te super io r de in tegrac ión .

Para ev i ta r con fus iones cuando se hace re fe renc ia a la var iab le de f ,

se la l l ama t , pero s i l a re fe renc ia es a la var iab le de F , se la l l ama x .

Geométr i camente la función integral , F (x ) , representa e l área de l

rec in to l im i tado por la curva y = f ( t ) , e l e je de absc i sas y las rec tas t = a y

t = x .

A la función integral , F (x ) , también se le l l ama función de áreas

de f en e l in te rva lo [a , b ] .

Teorema fundamental del cálculo

La der ivada de la función integral de la función cont inua f (x)

es la propia f (x) .

F'(x) = f (x)

E l teorema fundamental del cá lculo nos ind ica que la der ivac ión y

la in tegrac ión son operac iones inversas : s i una func ión cont inua pr imero se

in tegra y luego se der iva , se recupera la func ión o r ig ina l .

Ejemplos

Ca lcu la r la der ivada de las func iones :

Teorema de la media

E l teorema de la media o teorema del valor medio para

integrales d i ce que :

S i una func ión es cont inua en un in terva lo cer rado [a , b ] , ex i s te un

punto c en e l in te r io r de l in te rva lo ta l que :

Ejemplos

1. Hal la r e l va lo r de c , de l teorema de la media , de la func ión f (x )

= 3x 2 en e l in te rva lo [−4, −1] .

Como la func ión es cont inua en e l in te rva lo [−4, −1] , se puede

ap l i car e l teorema de la media .

La so luc ión pos i t i va no es vá l ida porque no per tenece a l in te rva lo .

2. ¿Es ap l i cab le e l teorema del valor medio del cá lculo integral a

la s igu iente func ión en e l in te rva lo [0 , 1 ]?

Como la func ión es cont inua en [0 , 1 ] , se puede ap l i car e l teorema

de la media .

E J E R C I C I O S R E S U E L T O S

Resolver las siguientes integrales:

1. -

2.

3 .

4.

5 .