Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Cálculo de Volumen de solidos de revolución

Aplicaciones de Integrales definidas

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

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INTRODUCCIÓN

Al tratar de calcular el volumen de un sólidoenfrentamos el mismo problema que al tratar decalcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a unadefinición exacta.

Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidossencillos como cilindros y prismas.

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Ah

Cilindro RectoV = Ah

r

h

Cilindro circularV = r2h

ab

c

ParalelepípedoRectangular

V = abc

El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores

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Volumen de un sólido de revolución

Sólido de revolución es el que se obtiene al girar unaregión del plano alrededor de una recta del planollamada eje de revolución.

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Diferencial de volumen

∆xi

f(xi)

a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

MÉTODO DEL DISCO

iii xxfV 2

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TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] yf(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido algirar alrededor del eje X la región limitada por lacurva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

2

1

2

lim [ ( )]

[ ( )]

n

i in

i

b

a

V f x x

f x dx

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Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotaralrededor del eje X la región acotada por la curvay = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

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Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolucióngenerado al rotar alrededor del eje Y la regiónlimitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,y = 1.

y

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3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.

y

xyyxR2

0;41/, 2

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Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:

El volumen obtenido al girar la región limitada porla curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c,y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:

d

c

dyygV2

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Método de la arandela

Cuando la región a girar está limitada por dosfunciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectasx=a y x=b.

Diferencial de volumen

f(xi)g(xi)

xi

ii xxgxfV 22

a bx

x

(*)

y= f(x)

y= g(x)

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TEOREMA

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] talesque f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumendel sólido generado al rotar alrededor del eje X laregión limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a yx=b será:

2 2

1

2 2

lim ([ ( )] [ ( )] )

([ ( )] [ ( )] )

n

i i in

i

b

a

V f x g x x

f x g x dx

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Ejemplo 4:Calcule el volumen del sólido generado al giraralrededor del eje X la región acotada por laparábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

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Ejemplo 5:

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Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al giraralrededor del eje Y la región limitada por las curvasx = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

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Ejemplo 7:Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.

Método de los cascarones cilíndricos

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Método de los cascarones cilíndricos

En algunos casos se desea calcular el volumen deuna región limitada por una función y = f(x) algirar alrededor del eje y, para lo cual se debenhallar los extremos locales de f(x) y despejar x entérminos de y (x=g(y)). Esto muchas veces esmuy complicado por lo que se usará otro método:los cascarones cilíndricos.

¿Cómo escogería el elemento diferencial de volumen?

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xixi

f(xi)

Diferencial de volumen

xi xi

f(xi)

Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:

iiii xxfxV 2

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TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:

dxxfx

xxfxV

b

a

i

n

iii

x

2

2lim1

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Ejemplo 8:Determine el volumen del sólido de revolucióngenerado al girar alrededor del eje Y la regiónlimitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y larecta y = 2.

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Ejemplo 9:La región limitada por la curva y = x2, las rectasy = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3.Calcule el volumen generado.

y = -3