04. Integrales Indefindas y Definidas

8/17/2019 04. Integrales Indefindas y Definidas

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IINNTTEEGGRRAALLEESS

Lic. José L. Estrada P. UNAJMA

LA INTEGRAL INDEFINIDA

Introducción.

La 2da. parte del cálculo diferencial e integral. La antiderivación llamada tambiénantidiferenciación, o comúnmente denominada integración tiene dos interpretacionesdistintas: es un procedimiento inverso a la derivación, i es un método para determinar elárea de una región encerrada por una o varias curvas. Cada una de estas interpretacionestiene numerosas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería, administración, economía,biología, ciencias sociales, etc.

Integral indefinida

Definición 18.1 Diremos que la función y = F(x) es una antiderivada de y = f(x) en el

intervalo I, si F’(x) = f(x) ∀ x ∈ I. (Otras veces F recibe el nombre de primitiva de f).

Así por ejemplo: la antiderivada de f (x) = 4x3 es F(x) = x4 ∀x ∈ R ; puesDx (x

4) = 4x3 (Note que Dx (x4 + 8) = 4x3, Dx (x

4 – 6) = 4x3; en general Dx (x4 + C) = 4x3).

La antiderivada de g(x) = 1/x es G(x) = ln x, ∀x ∈ ] 0, + ∞[; pues Dx (ln x) = 1/x (Observeque Dx (ln x + 5) = 1/x, Dx (ln x – 1) = 1/x; en general Dx (ln x + C) = 1/x). La antiderivada

de h(x) = cos x es H(x) = sen x, ∀x ∈ R; pues Dx (sen x) = cos x (Mire que Dx (sen x + 3)= cos x, Dx (sen x – 2) = cos x; en general Dx (sen x + C) = cos x).

Así como el operador lineal Dx, llamado diferenciación asigna a la función y = f(x)la función y = g’(x); el operador lineal inverso Ax, llamado antidiferenciación, asigna a lafunción y = f’(x) la función y = f(x). Para los ejemplos anteriores: Ax(4x

3) = x4, Ax(1/x) =ln x, Ax(cos x) = sen x.

La notación Ax generalmente se reemplaza por otro símbolo. Leibnitz es el autor

para emplear “la s alargada”: ∫∫∫∫, i ésta es la que comúnmente se utiliza casi en todos lostextos de cálculo. A este símbolo se adjunta la diferencial dx. Por ejemplo, ∫4x3dx = x4 + C,∫ (1/x)dx = ln x + C, ∫ cos x dx = sen x + C.

En general, dx)x(f = F(x) + C , se llama antiderivada de f ó la integral

indefinida, donde f(x) se llama el integrando, ∫∫∫∫ se llama el signo integral, C se denominala constante de integración, i dx la diferencial de x, que indica la variable respecto a lacual se lleva a cabo el proceso de integración.


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2

Esta familia de curvas tiene la propiedad de que, dado un punto (x 0, y0) hay una i

sólo una curva de la familia que pasa por este punto particular de modo que la constante Ccorrespondiente estará determinada por C0 = y0 – f(x0). Vea la figura 1

Fig. 1

En el estudio de las ecuaciones diferenciales esta familia resulta ser la solucióngeneral de una ecuación diferencial ordinaria i la especificación del punto (x0, y0) seconoce como una condición inicial para hallar la solución particular.

18.1 Integrales inmediatas

Desde que la derivación i la integración son operaciones inversas, los casos mássencillos de integración se llevan a cabo invirtiendo las correspondientes fórmulas de la

derivación, razón por la cual las fórmulas resultantes se denominan integrales inmediatas.Los casos algo más complicados se manejan mediante técnicas de integración que se veránen un próximo capítulo.

En general este proceso es más complicado que el de derivación, i tendremos queser más cautelosos i pacientes con las técnicas que nos permitan obtener tales antiderivadas.Más adelante abordaremos métodos más especializados.

La naturaleza inversa de las operaciones de integración i derivación Ax i Dx respectivamente puede simbolizarse, como propiedades, de la manera siguiente:

La derivación es la inversa de la integración: )x(f dx)x(f dxd =

∫

. . . (1)

La integración es la inversa de la derivación: ∫ dx)x('f = f(x) + C . . . (2)

Aunque hemos definido el proceso de integración, no disponemos aún de reglasprácticas para calcular antiderivadas. Afortunadamente como la integración es inversa de ladiferenciación, es fácil obtener reglas de integración a partir, precisamente de las reglas dederivación.

• •

• C

• (xo , yo)

y = f(x) + C

a b x

yyo = f(xo) + Co


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3

Ahora estableceremos dos propiedades fundamentales de la integración indefinida,

llamadas propiedades de linealidad, que permitirán facilidad en los cálculos.

Si u = f(x) i v = g(x) son dos funciones definidas en un intervalo I, entonces:

∫ + dx)]x('g)x('f [ = ∫ dx)x('f + ∫ dx)x('g = ∫ + )dvdu( = ∫∫ + dvdu . . .(3)

∫ dx)x('f k = k ∫ dx)x('f = k ∫du . . . . (4)

Las demostraciones de las propiedades (3) i (4) se basan en las fórmulas dederivación correspondiente. Obsérvese que si u = x i v = 0, entonces la propiedad (3) se

convierte en ∫dx = x + C.

Geométricamente, la integral indefinida y = f(x) + C representa una familia decurvas en un intervalo I, de las cuales puede obtenerse una curva cualquiera desplazandoy = f(x) una distancia vertical C, resultando todas ellas “paralelas” entre sí.

A. Primer grupo de fórmulas.

Si u es una función de x: u = f(x) , donde du = f’(x) dx, entonces:

1. ∫ duun = 1nu 1n

+

+

+ C. o ∫ dx)x('f )]x(f [ n = 1n)]x(f [ 1n

+

+

+ C, n ≠ –1

2. ∫ udu

= ln | u | + C o ∫ )x(f dx)x('f

= ln | f(x) | + C, n = –1

Ejemplo 1. Suponga que y = f(x) es una función “suficientemente diferenciable”.

Simplifique las siguientes expresiones: (a) ∫ + dx)]x('f 5)x(''f 4[ (b) (x + ∫ dx)x('f )’.

Solución: Aplicando sucesivamente las propiedades (3) i (2), (a) ∫ + dx)]x('f 5)x(''f 4[ =

4 ∫∫ + dx)x('f 5dx)x(''f = 4 ∫ dx))x('f (dxd

+ ∫ dx)x('f 5 = 4 f’(x) + 5f(x). (b) Empleando

la derivada de un producto i la propiedad (1): (x + ∫ dx)x('f )’ =

+ ∫ dx)x('f xdx

d = 1 +

∫ dx)x('f dxd

= 1 + f’(x).

Ejemplo 3. Calcular las siguientes integrales:


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4

(a) C5

xC

14

xdxx

5144

+=+

+

=

+

∫

(b) ( ) CxxC2

x2

3

x3dxx2dxx3dxx2dxx3dxx2x3 23

23222

++=++=+=+=+ ∫∫∫∫∫

(c) Cx8

5C

15

3

xdxxdxx 5

815

3

535 3+=+

+

==

+

∫∫

(d) ( ) Cx

4x5

2

xC

1

x4x5

2

xdxx45xdx

x

4x5x 21222

23

+++=+−

−+=−+=−+

−−∫∫

(e) ( ) Cx7

2x

3

2dx)xx(dxxx1 2 / 72 / 32 / 52 / 12 +−=−=− ∫∫

Ejemplo 4. Obtener el valor de: (a) ∫ + dx)2x3( (b) ∫ + dx)2x3( 2

(c) ∫ + dx)2x3( 3 (d) ∫ + dx)2x3( 50

Solución: (a) Por la linealidad: ∫ ∫∫ +=+ dx2dxx3dx)2x3( = Cx2x23 2

++ .

(b) Desarrollando el binomio: ∫ + dx)2x3( 2 = ∫ ++ dx)4x12x9(2

= 9 ∫ dxx2 + 12 ∫ ∫ =+ dx4dxx 3x3 + 6x2 + 4x + 4 +C.

(c) Desarrollando el binomio: ∫ + dx)2x3( 3 = ∫ +++ dx)8x36x54x27( 23 =

∫ ∫ ∫ ∫ =+++ dx8dxx36dxx54dxx27 23 Cx8x18x18x427 234

++++ .

(d) ∫ + dx)2x3( 50 . ¡Un momento!. Una manera “agresiva” para obtener la integral seríadesarrollar mediante el binomio de Newton, el integrando, i luego integrar los 51términos del desarrollo; i esto, en principio no suena nada agradable. Este primitivoprocedimiento podemos remediar por medio de una sustitución elemental. Sea u =f(x) = 3x+2, entonces du = 3dx. Al integrando lo multiplicamos por 3, i para que novaríe lo dividimos también por 3; esto es:

∫ + dx)2x3( 50 = ∫ ∫ ++=+==+ C)2x3(1531

C51

u

3

1duu

3

1dx3)2x3(

3

1 5151

5050 .


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5

(Para comprobar el resultado se recomienda derivar la antiderivada, i debe ser igual al

integrando). Esta es una de las ideas más importantes que aparecerá constantemente enlos problemas de cálculo de integrales.

Ejemplo 5. Evaluar las siguientes integrales:

(a) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ++=++=+ dxx12x12x3dxx34x4xdxx32x 258236223 = .Cx4x2x31 369

+++

De otra manera, la integral puede evaluarse usando la sustitución u = x 3 + 2, de modo

que du = 3x 2 dx; luego la integral dada se convierte en ∫ duu2 ; por tanto:

( ) ( )

Cx4x2x3

1

C38x4x2x

31C2x

31C

3uduudxx32x

369

1369

133

1

32223

+++=

++++=++=+==+ ∫∫

(b) ( )∫ ∫ −+=+

dxx2x

2x

dxx 4 / 12

4 2. Sea x2 + 2 = u; x dx =

2

1 du, entonces:

∫ ++=+=− C)2x(32

Cu3

2du

2

1u 4 / 324 / 34 / 1 .

Ejemplo 6. Determinar los valores de las integrales siguientes: (a)∫

dxxcosxsen2

,

(b) ∫ dxxsenxcos3 , (c) ∫ dxxsecxtan 24 , (d) ∫ dxxcscxctg 25 Solución: Teniendo en cuenta la fórmula 1:

(a) ∫ dxxcosxsen 2 = ∫ += Cxsen31

)dxx(cos)xsen( 32

(b) ∫ dxxsenxcos3 = ∫ +−=−− Cxcos41

)dxxsen()x(cos 43

(c) ∫ dxxsecxtan24 = ∫ += Cxtan5

1)dxx(sec)x(tan 524

(d) ∫ dxxcscxctg 25 = ∫ +−=−− Cxctg61

)dxxcsc()xctg( 625

Ejemplo 7. Encontrar las siguientes integrales:

(a) ∫ + 4xdx

; si u = x + 4, du = dx, entonces: ∫ ∫ ++=+==+

C4xlnCulnu

du

4x

dx. En


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6

los siguientes ejercicios, para usar la fórmula Culnu

du+=

∫, debe tenerse en cuenta

que en el numerador está la diferencial del denominador.

(b) C9xln2

1

9x

dxx2

2

1

9x

dxx 222

+−=

−

=

− ∫∫

(c) C1xln3xx2

1dx

1x

31xdx

1x

2x 22

+++−=

++−=

+

+

∫∫ . (Cuando el grado delnumerador es mayor o igual que el grado del denominador, es conveniente dividirpreviamente).

(d) Cx4

1xlndx

x

1

x

1dx

x

1xdx

x

1x2xdx

x

2xx455

4

5

48

3

44+−=

+=

+=

++=

++

∫∫∫∫ −

(e) ( ) Ce1lne1

dxe

e1

dxe

1e

dx xx

x

x

x

x ++−=

+

−−=

+

=

+

−

−

−

−

−

∫∫ ∫ . (En el cual, se ha multiplicado elnumerador i el denominador por e– x ).

E J E R C I C I O S

1. Suponga que y = f(x) es derivable lo suficiente. Simplificar las expresiones siguientes:

(a) [ ] 'dx)x(f xsenx2

++∫ (b) dx])x(f x[

'

∫

(c) dx)x("f dx)x(f xdx

dx

dx

d 33∫ ∫

++ (d)

'dx]'x)x(f 3x[ 2

++∫

En los ejercicios del 2 al 60, evaluar las integrales dadas:

2. .Cx3

1x6x48xln64dx

x

)x4( 323

+−+−=−

∫

3.

∫ +−= C

x

1

x

dx

2

.

4. ( ) Cxxxxdx1x2x3x4 23423 ++++=+++∫ .

5. ∫ += Cx43

dxx 3 / 43 .

6. ( ) Cx8

3x

5

3dxxx1 3 / 83 / 5

3 2+−=−∫ .

7. Cx44

xx

3

2dx

x

2x

2

1x

22 / 3

++−=

+−∫


7/43



7

8. ( ) C4x39

2dx4x3

2 / 3++=+

∫.

9. ( ) Cx314

1dxx31

3 / 43 ++−=−∫ .

10. ( ) ( )∫ +−−=− C1x2

1

1x

dx23

.

11. ( ) .C7

x

2

xxdxx1

7423

++−=−∫

12. ( ) ( )∫ ++−+=+

C3x63x3

2

3x

dxx 2 / 12 / 3

13. ( )

( ) ( ) Cx16x123

x1

dxx2 3 / 13 / 43 / 2

+−−−=

−∫

14. ( ) ( ) ( ) Cx36x35

12x3

7

2dxxx3 2 / 32 / 52 / 72 +−−−+−−=−∫ .

15. C1xln2xdx1x

1x++−=

+

−

∫ .

16. C4xln4xdx4x

x2 222

3

+−+=

−∫ .

17. C)x(lnln)x(lnln2

1

dxxlnx

1)x(lnln 2++=

+

∫

50. C1eln2

1dx

1e

e x2x2

x2

++=

+∫

51. ( )∫ +−+=+

−Cx1elndx

1e

1e 2xx

x

52. 2)x1(

Cln

)x1(x

dx

−

=

−∫

53. Cxlnlnxlnx

dx+=∫

54. ( ) Cxln221

dxx

xln22 ++=

+

∫

55. Cx3ln3

1dx

x

x3ln 32

+=∫

56. ( )

C|xln1|lnxln1x

dx+−−=

−∫

57. (a) .Cx2cos8

1dxx2senx2cos 42 +−=∫ (b) Cx3tan9

1dxx3secx3tan 322 +=∫ .

(c) .C8xln9ln9

1

)8xln9(x

dx++=

+∫ (d) .C9xcos8ln161

9xcos8

dxxcosxsen 22

++−=

+∫ B. Segundo grupo de fórmulas

Si u es una función de x: u = f(x), donde du = f ’(x) dx, entonces:

3. ∫ duau = alnau

+ C. o ∫ ]dx)x('f [a )x(f = alna )x(f

+ C

4. dueu∫ = eu + C o ∫ ]dx)x('f [e )x(f = )x(f e + C


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8

Ejemplo 8. Encontrar las siguientes integrales:

(a)∫

dx2 x5 . Para emplear la fórmula 3, observe que du es la diferencial de la función

exponente u. Multiplicando i dividiendo por 5, se tiene: ∫∫ = dx5251

dx2 x5x5 = C2ln

2.

5

1 x5+ .

(b) Caln

a

3

1dxx3a

3

1dxxa

333 x2x2x

+==∫ ∫ .

Ejemplo 9. Hallar: (a) ∫ dxba xx2 . En efecto, ∫ dxba xx2 = ∫ dxb)a( xx2 = ∫ =dx)ba( x2

.C)ba(ln

)ba(

2

x2

+ (b) dx3

4

1x

1x

∫ −−

+−

: En efecto: hagamos la sustitución elemental u = –x+1, de

donde x = 1 – u i du = – dx, luego dx3

41x

1x

∫ −−+−

= du3

41u1

u

∫ −+−− = – =∫ − du34

2u

u

du3

49

u

∫

− = – 9 .C

3

4

)3 / 4(ln

9.C

)3 / 4(ln

)3 / 4(x1u

+

−=+

−

Ejemplo 10. Hallar el valor de las siguientes integrales:

(a) ( ) Ce

3

1dx3e

3

1dxe x32x32x32 +−=−−= −−−

∫∫

(b) Ce2x2

dxe2

x

dxedx

x

e xxxx

+=== ∫∫∫

Ejemplo 11. Obtener dx2e

1x∫ +

Solución: Multiplicando numerador i denominador por e–x resulta ∫ −−

+x

x

e21

dxe.

Sea u = 1+2e–x ⇒ du = –2e–x dx, luego:

dx2e

1x∫ + = ∫ ∫ +−=

−=

+ −

−Culn

21

udu)2 / 1(

e21

dxex

x = Ce21ln21 x

++− − .

Ejemplo 12. Evaluar ∫ +

x2 / x ee

dx

Solución: Sea u = x/2, x = 2u, dx = 2du. Reemplazando en la integral, obtenemos:

∫ ∫ ∫∫

+

+−=

+

=

+

=

+ −

−

−

−

du1e

11e2

1e

due2

ee

du2dx

ee

1u

u

u

u2

u2ux2 / x =

+

+−= ∫ − due1e

1e2u

uu

( )( ) ( ) Ce1ln2xe2Ce1lnue2 2 / x2 / xuu +++−−=+++−−= −− .


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9

Ejemplo 13. Calcular

∫dx

2

xcoshe 2 / x .

Solución: Por definición, sabemos que cosh2

x= )ee(

2

1 2 / x2 / x −+ . Nuestra integral se

convierte en ∫ + dx)1e(21 x = C)xe(

2

1 x++

E J E R C I C I O S

En los ejercicios del 1 al 40, obtener al valor de las siguientes integrales:

1. (a) dx3

1x∫

= C3)3ln(

2x+− (b) C2

2ln1

xdx2 1xx += +

∫

2. Ce5

1dxe x5x5 +=∫

3. Ce2

1dxxe

22 xx+−=

−−∫

4. Ce4

1dxxe

44 x3x+=∫

5. Ce2

1dxxe 4x4x

22+−=

+−+−∫

6. Cedxx

e x / 12

x / 1

+−=∫ 7. ( ) Ce4ex4dxe2e xx22 / x2 / x

+−+=+ −−∫

22. ( ) C9ln

9

6ln

62

4ln

4dx32

xxx2xx++

×+=+∫

23. Caln1

eadxea

xxxx

++

=∫

24. C326ln

1dx32e

xxxx eeeex+=∫

25. Cedxeexeexxe

xee+=∫ +

26. C2

1

2ln5

1

5

1

5ln

2dx

10

52 xx

x

1x1x+

+

−=

−

∫ −+

27. C3

2

2

3

2ln3ln

1dx

32

49xx

xx

xx

+

+

−=

−

∫

28. Cxcoshdxxhsen +=∫

29. C1elndxe1

1 xx

++=

+∫ −

30. Cxsenhdxxcosh +=∫ 31. ( ) Ceelndxxhtan xx ++= −∫

32.

∫ ++= Cx2senh

4

1

2

xdxxcosh2

33. ( ) ( ) Cxsenh3

2dxx2senhxsenh 3 +=∫

34. ( ) ( ) Cx4senh8

1x2senh

4

1dxx3coshxcosh ++=∫


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10

C. Tercer grupo de fórmulasSi u es una función de x: u = f(x), donde du = f ’(x)dx, entonces:

5. ∫ +−= Cucosduusen o ∫ +−= C])x(f [cos]dx)x('f [])x(f [sen

6. ∫ += Cusenduucos o ∫ += C])x(f [sen]dx)x('f [])x(f [cos

7. Cutanduusec2 +=∫ o C])x(f [tan]dx)x('f [])x(f [sec2 +=∫

8. ∫ +−= Cuctgduucsc2 o ∫ +−= C])x(f [ctg]dx)x('f [])x(f [csc

2

9. ∫ += Cusecduutanusec o

∫ += C])x(f [sec]dx)x('f [])x(f [tan])x(f [sec

10. ∫ +−= Cucscduuctgucsc o

∫ +−= C])x(f [csc]dx)x('f [])x(f [ctg])x(f [csc

11. ∫ +−= Cucoslnduutan o ∫ +−= C])x(f [cosln]dx)x('f [])x(f [tan

12. ∫ += Cusenlnduuctg o ∫ += C])x(f [senln]dx)x('f [])x(f [ctg

13. ∫ ++= C)utanu(seclnduusec o ∫ ++= C]))x(f [tan])x(f [(secln]dx)x('f [])x(f [sec

14. ∫ +−= C)uctgu(csclnduucsc o

∫ +−= C))]x(f [ctg])x(f [(cscln]dx)x('f [])x(f [csc

15. ∫ += Cucoshduusenh o ∫ += C])x(f [cosh]dx)x('f [])x(f [senh

16. ∫ += Cusenhduucosh o ∫ += C])x(f [senh]dx)x('f [])x(f [cosh


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11

17. Cutanhduuhsec 2 +=

∫ o C])x(f [tanh]dx)x('f [])x(f [hsec 2 +=

∫

18. ∫ +−= Cuctghduuhcsc 2 o ∫ +− C])x(f [ctgh]dx)x('f [])x(f [hcsc 2

19. ∫ +−= Cuhsecduutanhuhsec o ∫ +−= C])x(f [hsec]dx)x('f [])x(f [tanh])x(f [hsec

20. ∫ +−= Cuhcscduuctghuhcsc o ∫ +−= C])x(f [hcsc]dx)x('f [])x(f [ctgh])x(f [hcsc

Ejemplo 14. Obtener el valor de: dx1xsec

xtanxsec

∫ −

Solución: Sea u = sec x –1, donde du = sec x tan x dx, luego dx1xsec

xtanxsec

∫ − =

∫ −=+= 1xseclnCulnudu

Ejemplo 15. ∫ dx)x4(cos . Sea du41

dx;x4u == , entonces ∫ ∫ =

= du

4

1ucosdx)x4(cos

= Cx4sen4

1Cusen

4

1+=+ .

Ejemplo 16. θθ+θ∫ dcos1sen . Sea u = 1+ cos θ, donde du = – sen θ dθ, luego

= )dsen(cos1 θθθ+∫ = C)cos1(32

Cu3

2duu 2 / 32 / 32 / 1 +θ+−=+−=− ∫ .

Ejemplo 17. Cxcos2

1)dxx2(xsen

2

1dxxsenx 222 +−== ∫∫ .

Ejemplo 18. ∫ )x(tanlnx2sendx

( tan x > 0 ). Sea u = ln (tan x), donde:

du =xtandxxsec

2

=x2sen

dx2xcosxsen

dx = ⇒ 2

dux2sen

dx = , luego :

∫∫ = udu

2

1

x2sen

dx

)x(tanln

1= Culn

2

1+ = C)x(tanlnlnC])x(tanln[ln

2

1+=+ .

Ejemplo 19. ∫ ∫ +== Cxsecdxxsecxtanxcosdxxsen

2.

Ejemplo 20. ( ) ( )dxx2secx2secx2tan2x2tandxx2secx2tan 222 ∫∫ +−=−

∫ +−−=−−= Cxx2secx2tandx)1x2secx2tan2x2sec2( 2 .


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12

E J E R C I C I O S

En los ejercicios del 1 al 50, determinar el valor de las integrales siguientes:

1. Cxcosdxxsenx3 332 +−=∫

2. ∫ ++=++ C)1x3(sec31

dx)1x3(tan)1x3(sec

3. ∫ +−= C2x

cos2dx2

xsen

4. ∫ +−= Cxcos3

1dxxsenxcos 32

5. ( )∫ += Cxsenln21

dxxcotx 22

6. Cxtan3

1dxxsecx 3322 +=∫

7. ( )∫ ++= Cxtanxsecln2dxxxsec

8. Cxctg2dxx

xcsc

2

+−=

∫

9. Cxtan2dxxtan

xsec2+=∫

10. ∫ += Cesendxecosexxx

11. Cxxseclndxxcos

xcosxsen++=

+

∫

12. Ce6

1dxe x2cos3x2cos3 +−=∫

13. C2

xtg2dx

2

xsec

2

xtg 22 +=∫

14. ( ) Cxsec32ln3

1dx

xsec32

xtanxsec++=

+∫

15. Cxcosxctgxcsclnxsen

dxxcos2++−=∫

16. Cxcos1lnxcos1

dxxsen++−=

+

∫

17. Cxctgxcscxcos1

dx+−=

+∫

18. ∫ +−=+ Cxsecxtansenx1dx

19. ( ) Cx10ctgx10cscln5

2x5ctg

5

1x5tan

5

1dxx5cscx5sec 2 +−+−=+∫

20. ∫ +=+ Cx4tan81

x8cos1

dx 21. ∫ += Cedxxsece xtan2xtan

22. (a) Cxsenhlndxxsenh

xcosh+=∫ (b) Cxcoshlndxxcosh

xsenh+=∫

23. ∫ +−=−− C)1x(cosh31

dx)1x(senh)1x(cosh 32


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24. Cedxe

xsec xtan

xtan

2

+−= −

∫ 25. C

xtan1

1dx

xtan1

xsec2

+

+

−=

+

∫

26. ( ) Cx2coslnx2tan2

1dx1x2tan 2 ++=−∫

27. ( ) ( ) Cxxsecxtan2dxxtanxsec 2 +−−=−∫

28. C|xtan1|lndxxtan1

xsec2++=

+∫

29. ∫ += Cx2senh61

dxx2senhx2cosh 32

30. Cxctglnxcosxsen

dx+−=∫

31. C|x2sec|ln2

1dx

1xctg

xctg2

+=

−∫

32. ∫ ++=+−

Cxsen1lndx

senx1

senx1

33. C|xsenx|lndxsenxx

xcos1++=

+

+

∫

34. Cx2sen4

1dx

x2sen

x2cos23

+−=∫

18.3 Aplicaciones de la integral indefinida

Muchas situaciones prácticas, especialmente aquellas relacionadas con razones decambio, pueden describirse en forma matemática mediante ecuaciones diferenciales; iresolver una ecuación diferencial se convierte simplemente en integrar, obteniéndose unasolución general donde está incluido la constante de integración C sin determinar, o unasolución particular cuando está especificado alguna condición de modo que pueda serdeterminado el valor de C.

Los modelos exponenciales expuestos en la sección 2 del capítulo 8, como son lasleyes de crecimiento i de decrecimiento, la función de aprendizaje, la función logística, etc.no son sino soluciones de ecuaciones diferenciales elementales adecuadamenteestablecidas.

En esta sección estableceremos cuatro aplicaciones: leyes naturales de crecimientoi de decrecimiento, ley del enfriamiento de Newton, ley de dilución (problemas sobremezclas), i otras.

Así mismo, problemas referentes a movimiento de partículas a lo largo de unarecta, cuando se conoce su velocidad v = ds/dt i aceleración a = d2s/dt2, podemosdeterminar la posición de la partícula en un instante cualquiera por medio de la integralindefinida. Estos i otros tipos de problemas son estudiados por el cálculo integral. Nosotrosestamos más bien interesados en las aplicaciones que están orientadas a algunos fenómenosque ocurren en la naturaleza.


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14

A. Leyes de crecimiento i de decrecimiento

En muchos fenómenos naturales el crecimiento o el decrecimiento de unasustancia viene expresado a través de una ley natural, a saber:

“La rapidez de cambio de la cantidad de una sustanciacon respecto al tiempo es proporcional a la cantidad dela sustancia presente en un instante dado”

Esto ocurre en la química, física, biología, demografía, negocios, etc. Si t denota el tiempo iA la cantidad de sustancia presente en cualquier instante, entonces matemáticamente la ley

natural en mención se expresa como:

kAdt

dA=

donde k es la constante de proporcionalidad. Si A aumenta cuando t aumenta, entoncesk>0 i se tiene la ley del crecimiento natural; alternativamente, si A disminuye cuando taumenta, entonces k < 0 y se tiene la ley de decaimiento natural.

Ya que la ecuación anterior, puede escribirse en la forma k A

dA= dt, resulta que

al integrar ambos miembros, en virtud de la fórmula 2 se tiene:

∫∫ = dtk AdA

⇒ 1CktAln += ⇒ 1CkteA += ⇒ 1Ckt eeA = , de donde:

kteCA =

donde C = 1Ce ; por lo que los problemas de crecimiento i decaimiento que consideraremos

son aplicaciones de la función exponencial. Los distintos ejemplos que ilustramos acontinuación provienen de varios campos, cuya explicación se expresa en su desarrollo.

Ejemplo 3. (Crecimiento de población) Supongamos que la tasa de cambio (razón decambio) del tamaño de la población mundial es proporcional al tamaño de la población ique ésta crece a una tasa anual aproximada del 2%. Dado que la población mundial en 1965era de 3 mil millones i suponiendo que la tasa de crecimiento permanece inalterada, ¿cuálera la población en el año 2000?

Solución: Sea N(t) el tamaño de la población mundial en un tiempo t medido en años,

luego según el enunciado del problema se tiene: kNdt

dN=

. Desde que %2N

dt / dN

100 =


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15

entonces tenemos %2

N

kN100 = , es decir k = 0.02, por que la tasa de cambio resulta ser

N02.0dt

dN= ⇒ dt02.0

N

dN= . Integrando ambos miembros se tiene: ∫ ∫= dt02.0N

dN ⇒

ln N = 0.02t + C1 ⇒ N(t) = C e0.02 t. Como la condición inicial establece que cuando t = 0

(en 1965) se tiene N = 3 (10)9, entonces N(0) = C e 0.02(0) ⇒ C = 3 (10)9 ; esto es,

N(t) = 3 (10)9 e0.02t . La población en el año 2000 se obtiene cuando t = 35: N(35) = 3(10)9

e0.02(35) = 3(10)9 e0.7 = 6,041’258,100 habitantes.

Ejemplo 5. (Purificación del aire) Una habitación de 2400 pies cúbicos contiene un filtrode aire de carbón activado a través del cual pasa el aire a una razón de 400 pies cúbicos porminuto. El ozono del aire fluye a través del filtro i el aire purificado se vuelve a hacercircular en la habitación. Asumiendo que el ozono restante es distribuído uniformementepor toda la habitación en todo momento, determine cuánto tiempo dura el filtro en retirar el50% del ozono de la habitación.

Solución: Sea x el número de pies cúbicos de ozono que hay en la habitación después de tminutos que ha empezado a funcionar el filtro. Ya que todo el tiempo hay 2400 piescúbicos de aire en la habitación, al cabo de t minutos el número de pies cúbicos de ozono esx/2400. Como 400 pies cúbicos de aire salen del filtro cada minuto, entonces la habitaciónpierde 400(x/2400) pies cúbicos de ozono por minuto. Desde que x disminuye a medida

que t aumenta , se tiene:

−=

2400

x400

dt

dx ⇒ x

6

1

dt

dx−= ⇒ dt

6

1

x

dx−= . Integrando

ambos miembros obtenemos: ∫ ∫−= dt61

x

dx ⇒ x = Ce– t/ 6. Cuando t = 0, x = x0 que es la

cantidad inicial de ozono, luego x0 = Ce0/6 ⇒ C = x0; por tanto: x = x0e

– t/ 6. Pero en el

instante en que se retira el 50% de ozono se tendrá: 00 x2

1x

100

50x == , luego reemplazando

este valor tenemos:6t

00 exx2

1 −= ⇒ 2

1

e6t

=

−

⇒ t = 6 ln 2 = 4.16 minutos.

D. Otras aplicaciones

Existen todavía una gran variedad de problemas, con los cuales queremos mostraraún más la importancia de la integración indefinida. En el próximo capítulo, mediante laintegral definida, se expondrán otras aplicaciones orientadas a diferentes especialidades.

Ejemplo 13. (Depreciación) El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece aun ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual i su valor residual de $ 5000. Lamaquinaria se compró nueva por $40000 i valía $30000 después de 4 años. ¿Cuánto

valdrá la maquinaria cuando tenga 8 años?.


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16

Solución: Sea V(t) el valor de la maquinaria cuando tenga t años. La derivada es igual alritmo, i según el enunciado, )5000V(k

dt

dV−= con las condiciones de que cuando t = 0,

V = 40000; i cuando t = 4, V = 30000. Pasemos a resolver la ecuación diferencial:

)5000V(k dt

dV−= ⇒ dtk

5000V

dV=

−. Integrando en ambos miembros:

ln (V-5000) = kt + C ⇒

40000 = V(0) = 5000 + C e k (0) ⇒ C = 35000

30000 = V(4) = 5000 + 35000 ek(4) ⇒ k =

7

5ln

4

1

Luego la solución particular es V(t) = 5000 + 35000t

7

5ln

4

1

e

.

Deseamos saber V cuando t = 8, entonces: V(8) = 5000 + 35000)8(

7

5ln

4

1

e

=22 857.14

dólares.

Ejemplo 14. (Crecimiento) Se calcula que dentro de t años el valor de 1 m2 de terrenocerca de un pueblo (Departamento del Cusco), estará aumentando a una razón de

8000t2.0

t14

4

3

+soles por año. Si el terreno vale actualmente S/. 500 por m

2

, ¿cuánto valdrá

dentro de 10 años?.

Solución: Sea x el valor del terreno en soles por m2 dentro de t años, entonces:

8000t2.0

t14

dt

dx

4

3

+

= . Luego ∫ ∫ −+=+

= dtt)8000t2.0(148000t2.0

dtt14x 32 / 14

4

3

,

K8000t2.04.0

14x 4 ++= . Usando las condiciones iniciales x = 500 cuando t = 0,

obtenemos K = 500 – 4.26304.0

)540()14(−= Reemplazando este valor de K resulta

4.26308000t2.04.0

14x 4 −+= . Necesitamos saber el valor de x cuando t = 10; es decir,

6.8694.263035004.2630)100(4.0

14x =−=−= . Por tanto, el valor de m2 de terreno a los 10

años será aproximadamente de S/. 870.

Ejemplo 15. (Crecimiento de población) En marzo de 1987 la población mundial erade 4.5 miles de millones de habitantes i después creció a razón de 380 mil personas diarias.

V(t) = 5000 + Ce kt ⇒


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17

Suponiendo que son constantes los índices de natalidad i mortalidad, ¿para cuándo se

puede esperar una población mundial de 10 mil millones? (Suponga que el crecimiento dela población mundial obedece la ley del crecimiento natural).

Solución: Sabemos que kPdt

dP= ⇒ P(t) = C ekt, donde C = P(0) = P0, de modo que la

solución de la E.D. es P(t) = P0ekt. Podríamos escribir también la E.D. como P’(t) = k P(t), i

para t = 0, P’(0) = k P(0) ⇒ )0(P

)0('Pk = . Tomaremos t = 0 correspondiente a 1987, así

P0 = 4.5 miles de millones. Como P está aumentando 380 mil / día en t = 0; es decir,0.00038 mil millones en 1día, entonces en 1 año significa que P’(0) = (0.00038) (365.25) =

0.138795 miles de millones al año. Luego 030843.05.4

138795.0)0(P)0('Pk === . Por tanto, el

cambio porcentual de la población al año 1987 está creciendo al 3.08%. Deseamos sabercuándo alcanzará 10 mil millones, para ello basta resolver la ecuación P(t) = P0e

0.030843 t

para P(t) = 10. En efecto, 10 = 4.5 e0.030843 t ⇒ t = 25.89 años, aproximadamente la

población mundial llegará a 10 mil millones cuando t ≈ 26 años después de 1987; esto es,el año 2013.

E J E R C I C I O S

1. (Decrecimiento) Una sustancia radioactiva tiene una vida media de 810 años. Si hay10 gramos al principio; ¿cuánto quedará al cabo de 300 años?.

2. (Decrecimiento) La razón de decaimiento del radio es proporcional a la cantidadpresente en cualquier tiempo. Si se tiene 60 mg. de radio i su vida media es 1690 años,¿qué cantidad de radio estará presente dentro de 100 años a partir de hoy?.

3. (Bienes raíces) En la actualidad el precio de cierta casa es S/. 200000. Suponga que seestima que después de t meses el precio p(t) se incrementará a la razón de 0.01 p(t) +1000t soles. ¿Cuánto costará la casa dentro de 9 meses?.

4. (Reventa) El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece durante unperiodo de 10 años a un ritmo que depende de la antigüedad de la maquinaria. Cuandola maquinaria tiene x años, el ritmo al que cambia su valor es 220 (x–10) dólares poraño. Si la maquinaria valía originalmente 12 mil dolares, ¿cuánto valdrá cuando tenga10 años?.

5. (Decrecimiento) El radio se desintegra a una razón proporcional a la cantidadpresente. Se necesitan 1690 años para que el 50% de una cantidad dada de radio sedesintegre.(a) ¿Qué cantidad de un abastecimiento inicial de 50 gramos de radio quedará

después de 2000 años?.


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18

(b) ¿Cuánto tiempo se necesitará para que un abastecimiento de 50 gramos de radio

se reduzca a 5 gramos?

6. (Crecimiento) Supongamos que la población de bacterias crece en un cultivo a unatasa proporcional al tamaño de la población. Si el tamaño de la población es 106 inicialmente i 25× 105 después de la primera hora, ¿cuál es el tamaño de la poblacióndespués de 2 horas?.

7. (Decrecimiento) Si la vida media del radio es de 1690 años. ¿Qué porcentaje de lacantidad ahora presente permanecerá después de : (a) 100 años, (b)1000 años.

8. (Crecimiento de población) La población de cierto pais crece al 3.2% anual; esdecir, si al comenzar un año es A, al final del año será 1.0321. Suponiendo que ahoraes de 4.5 millones, ¿cuál será al finalizar el año, ¿2 años?, ¿10 años?, ¿100 años?.

9. (Crecimiento) La tasa de crecimiento natural de la población de una cierta ciudad esproporcional a la población. Si la población aumenta de 40,000 a 60,000 en 40 años,¿cuándo llegará a ser la población 80,000?

10. (Decrecimiento) El radio se descompone con una velocidad proporcional a la cantidadde radio presente. Supóngase que se descubre que en 25 años aproximadamente 1.1%de una cierta cantidad de radio se ha descompuesto. Determínese aproximadamentecuánto tiempo tomará el radio para que se descomponga la mitad de la cantidad

original.

11. (Decrecimiento) Calcúlese el período de semidesintegración de una sustanciaradioactiva si en 10 años desaparece el 25% de ésta.

Aplicaciones adicionales a la administración i economía.

A. Función marginal.

Con frecuencia en la situación de negocios ocurre que la tasa de cambio de una

función con respecto a alguna variable se determina fácilmente derivando dicha función. Elproblema ahora consiste en encontrar la función cuya tasa de cambio se conoce. Así porejemplo, dadas las funciones de costo marginal C’(x) i de ingreso marginal R’(x) puede sernecesario conocer las funciones de costo total i del ingreso total con el propósito de queuna compañía realice trabajos de planificación; para tal efecto, bastará integrar lasfunciones marginales; es decir:

∫ += K)x(Cdx)x('C donde la constante K se determina especificando una condición inicial, que frecuentementese hace en términos de un costo fijo o de gastos generales; es decir, cuando x = 0. De una

manera análoga se tiene:


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19

∫ += K)x(Rdx)x('R donde K se encuentra generalmente asumiendo que el ingreso es cero cuando la demandaes cero.

Si c=f(x) representa la función de consumo nacional total i x es la renta total,entonces la “propensión marginal al consumo” se define como:

dx

dc)x('f =

En el análisis teórico elemental de la renta nacional total se hace frecuentemente la

suposición de que la renta disponible x es igual al consumo c más el ahorro s; esto seexpresa

como: x = c + s de donde, la “propensión marginal al ahorro” es:

dx

dc1

dx

ds−=

Por consiguiente, el consumo nacional total estará dado por la integral con respecto a x de

la propensión marginal a consumir; esto es:

∫ += K)x(f dx)x('f , donde la constante K

debe determinarse especificando una condición inicial.

A continuación se presentan 3 problemas en que se conoce la función marginal(como razón de cambio) i el objetivo es hallar dicha función.

Ejemplo 1. (Función marginal) La función de costo marginal para la producción de x

unidades es C’(x) = 10 + 24x – 3x2. Si el costo total para producir una unidad es 25, hallar

la función del costo total i del costo promedio.

Solución: Desde que se conoce la tasa de cambio del costo, la función costo se encuentra

integrando: C(x)= ( )∫ +−+=⇒−+ k xx12x10)x(Cdxx3x2410322 . Para encontrar la

constante de integración k, debemos tener en cuenta que cuando x = 1, C = 25; luego 25 =

10(1) + 12(1)2 – (1)3 + k ⇒ k = 4. Por consiguiente la función del costo total es: C(x) = 10x

+ 12x2 – x3 + 4, i la función del costo promedio es: ( )x

4xx1210

x

)x(CxQ 2 +−+== .

Ejemplo 2. (Costo de almacenamiento de inventarios) Un minorista recibe uncargamento de 12000 kilos de semillas de soya que se consumirán a una razón constante de300 kilos por semana. Si el costo de almacenamiento de las semillas de soya es un centavopor kilo a la semana, ¿cuánto tendrá que pagar el minorista el costo de almacenamiento en

las próximas 40 semanas.


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20

Solución: Sea S(t) el costo total de almacenamiento (en soles) durante t semanas. Las

semillas de soya se consumen a una razón constante de 300 kilos a la semana, la cantidadde semillas de soya almacenadas después de t semanas es 12000 – 300 t. Como el costo dealmacenamiento es un centavo por kilo a la semana, la razón de cambio del costo de

almacenamiento con respecto al tiempo es: kgr.)deNúmero(kgr)porCosto(dt

dS= = (0.01)

(12000 – 300t); es decir, t3120dt

dS−= ⇒ S(t) = 120t – Kt

2

3 2+ . Para determinar la

constante de integración K, utilizamos el hecho de que en el momento en que llega el

cargamento no hay costo; esto es, S = 0 cuando t = 0, luego 0 = S(0) = 0 – 0 + K ⇒ K = 0,

por tanto S(t) = 120t – 2

3

t

2

. Ahora el costo de almacenamiento durante las próximas 40semanas es S(40) = 2400 soles.

Ejemplo 3. (Función de consumo) La propensión marginal a consumir (en millones de

soles) es2 / 1x2

5,06,0

dx

dc+= Cuando la renta es cero, el consumo es de S/. 10 millones.

Hallar la función de consumo.

Solución: Deseamos encontrar la función del consumo c=f(x), donde x es la renta nacional

total; para ello basta integrar la propensión marginal a consumir:

∫ ++=

+= Kx5,0x6,0dx

x2

5,06,0c 2 / 1

2 / 1. Como c =10 cuando x = 0, entonces

obtenemos K = 10, luego la función de consumo es 10x5,06,0c 2 / 1 ++= .

B. Interés continuo

En seguida estamos interesados en otra aplicación más a los negocios que es elinterés compuesto en forma continua, cuya ley se comporta en forma similar a la ley delcrecimiento natural. Para esto, recordemos el interés simple i compuesto, vistas en la parte

C de la sección 1 del capítulo 8.

Cuando el dinero se invierte, genera (usualmente) interés. La cantidad de dineroinvertida se denomina capital.

En primer lugar, el interés que sólo se calcula sobre el capital se llama interéssimple, i el saldo A (otras veces llamada el monto M) después de t años viene dado por:

Interés simple: A(t) = P(1 + rt) soles . . . (1)

donde r es la tasa de interés simple anual (expresado como un decimal), t en años.


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21

El ejemplo 1, expresado en la sección 8.1, considera P = S/. 15000, r = 2%

trimestral, t = 5 años; el interés total simple que obtuvimos fue de S/. 6000, de donde elsaldo se determinó A = 15000 + 6000 = S/. 21000. Este mismo resultado obtenemos por la

última fórmula (1). En efecto, A(t) = P(1 + rt) ⇒ A(5) = 15000 [1 + (0.08) (5)] = S/.21000.

En segundo lugar, el interés que se calcula sobre el capital más los interesesprevios se llama interés compuesto. Supongamos que se invierte una cantidad de P soles auna tasa de interés r por periodo, compuesto al final de cada periodo, entonces lascantidades A1, A2, ... , An respectivamente, al final del primer periodo, del segundoperiodo, etc, son:

A1 = P + Pr = P(1+ r) = P(1+r)

1

A2 = A1 + A1 r = A1 (1+r) = P(1+r)2

A3 = A2 + A2 r = A2 (1+r) = P(1+r)3

........................................................An= An-1 + An-1 r = An-1 (1+r) = P(1+r)

n

En consecuencia, la cantidad An al final de n periodos viene dada por:

An = P(1+r)n soles . . . (2)

donde, n es el número de periodos, r es la tasa por periodo.

El ejemplo 2, en la sección 8.1 considera P = $ 5000, r = 8% anual, t = 2 años; elinterés compuesto total que obtuvimos fue de $ 849.30 después de 4 etapas sucesivas conlo cual el saldo fue M = 5000 + 849.30 = $ 5849.30. Este mismo resultado determinamospor medio de la fórmula (2). En efecto, P = $ 5000, r = 4% semestral, t = 4 semestres,

entonces A4 = P(1+ r)4 ⇒ A4 = 5000 (1 + 0.04)

4 = $ 5849.30.

Resumimos la fórmula anterior de la forma siguiente. Asumamos que cadaperiodo está representado por 1 año i que el interés anual r se compone con una frecuenciade m veces por año, entonces la cantidad acumulada al cabo de t años viene dada en el

siguiente cuadro:

Número de veces por año enque se compone el interés

Cantidad después de t años

1 P(1 + r) t

2 P(1 + r / 2)2t

3 P(1 + r / 3)t

. . . . . .

365 P(1 + r / 365)365 t

. . . . . .

m P(1 + r / m) m t


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22

Por tanto, la cantidad A después de t años, si P soles son invertidos a una tasa del r%

compuesto m veces por año, está expresada por:

A =P (1 + r / m)m t soles . . . (3)

que se conoce con el nombre de fórmula del interés compuesto, donde r es la tasa deinterés anual, i el interés se capitaliza m veces por año, t está dado en años. ¿Qué sucedecuando m crece indefinidamente en la fórmula (3)?. En tal caso observamos que

tr)tr(

r

m

m

tm

mPe

m

r1Plim

m

r1Plim =

+=

+

∞+→∞+→

; es decir, la cantidad A tiene una cota

superior definida cuando el interés se compone continuamente. En consecuencia: “Si Asoles es el monto total después de t años, cuando se han invertido inicialmente P soles,

entonces la ley del interés compuesto continuamente establece que kAdt

dA= , k > 0 ”,

donde su solución A(t) = C ekt se convierte en:

treP)t(A = soles . . . (4)

con C = P para el cual P = A(0), k = r.

Finalmente, en lo que sigue vamos a ver cómo la integración indefinida puede seraplicada en un modelo del análisis económico dinámico sencillo expresado en términos deecuaciones diferenciales. El señor Domar desarrolló un primer modelo para predecir ladeuda nacional. Este modelo contiene las hipótesis de que el ingreso nacional marginal esuna constante i que un aumento anual en la deuda nacional varía directamente con elingreso nacional; esto es, si I representa el ingreso nacional, entonces la primera hipótesis

de Domar establece que: Bdt

dI= , donde t denota el tiempo i B la cantidad constante anual

expresada en soles. Para resolver esta ecuación escribimos dI = B dt e integrando ambosmiembros se tiene I=Bt+C1. Aplicando la condición inicial I=I0, cuando t = 0 , entonces

C1 = I0 ,

I = Bt + I0 . . . (5)

Si N representa la deuda nacional, entonces la segunda hipótesis de Domar afirma que:

kIdt

dN= , donde k es la constante de proporcionalidad. Reemplazando (5) en la última

ecuación diferencial, resulta: ( )0IBtk dt

dN+= o dN = (kBt + kI0) dt, i al resolver esta

ecuación diferencial obtenemos: 202

CkIt2

kB

N ++=

. Nuevamente aplicando la


23/43



23

condición inicial N = N0 cuando t = 0 se tiene C2 = N0, por consiguiente la deuda nacional

N viene expresada por:( ) 00

2 NkIt2

kBtN ++= . . . (6)

que representa la solución del modelo Domar, dado inicialmente por las ecuaciónes

“estructurales”: Bdt

dI= ; kI

dt

dN= ; I(0) = I0; N(0) = N0; B > 0; k > 0.

Ejemplo 4. Suponga que se invierten 10000 soles al 5% anual. Compare las cantidadesdespués de 5 años si el interés se compone: (a) anualmente, (b) semestralmente, (c)trimestralmente, (d) continuamente.

Solución Para las partes (a), (b) i (c) de este ejemplo, por tratarse de interés compuesto

(no continuo) utilizamos la fórmula (3), i para la parte (d), la fórmula (4). En efecto:tm

m

r1PA

+= , donde P = 10000, r = 5% = 0.05, t = 5 años.

(a) Para m = 1: 8.127621

05.0110000A

)5(1

=

+=

(b) Para m = 2: 8.128002

05.0

110000A

)5(2

=

+=

(c) Para m = 4: 4.128204

05.0110000A

)5(4

=

+=

(d) 2.12840e10000PeA )5)(05,0(rt ===

Comparando estos resultados se observa que las cantidades son cada vez mayorescuando se capitalizan más frecuentemente. A su vez obsérvese también que el cálculo en elcaso periódico es más laborioso que en el caso continuo.

Ejemplo 5. Con qué rapidez se triplicará el dinero si se invierte a una tasa de interés anualdel 6% capitalizado: (a) ¿semestralmente?, (b) ¿continuamente?.

Solución (a) Según la fórmula (3), A(t) = t2)2

r1(P + ⇒ A(t) = t2)

2

06.01(P + . El objetivo

es hallar t para el cual A(t) = 3 P, luego 3P = t2)2

06.01(P + ⇒ 3P = t2)03.1(P ⇒

t = 58.18)03.1(ln2

3ln= años. (b) Según la fómula (4), treP)t(A = ⇒ 3P = t06.0eP ⇒


24/43



24

31.18

06.0

3lnt == años.

C. Un modelo de ajuste de precios.

Sea p el precio de un determinado artículo i S(p) i D(p) las funciones de oferta idemanda de dicho artículo respectivamente. En cierto modelo dinámico de ajuste deprecios, el precio, la oferta i la demanda se consideran como función del tiempo t, i sesupone que “la razón de cambio del precio con respecto al tiempo es proporcional a la

escasez”. Es decir, )SD(k dt

dp−= , donde k > 0 es la constante de proporcionalidad i

D – S es la escasez.

Ejemplo 6. Suponga que el precio p(t) de determinado artículo varía de modo que su

razón de cambiodt

dp es proporcional a la escasez D – S, donde D = 7 – p, S = 1 + p son las

funciones de demanda i de oferta del artículo respectivamente: (a) Si el precio es S/. 6cuando t = 0 i S/. 4 cuando t = 4, halle la función p(t). (b) Demuestre que cuando t crecesin límite, p(t) se aproxima al precio en que la oferta es igual a la demanda.

Solución: Desde que )SD(k dt

dp−= , entonces ])p1()p7([k

dt

dp+−−= ⇒ )p26(k

dt

dp−=

⇒ ∫∫ =− dtk p26dp ⇒ 1Ctk )p26(ln

21 +=−− ⇒ kt2Ce3)t(p −−= , donde 1CeC = .

Por las condiciones iniciales: p(t) = 3–C e –2 k t ⇒ )4(k 2

)0(k 2

e33)4(p4

Ce3)0(p6−

−

+==

−==

Luego p(t) = 3 + 3 t)3ln)4 / 1((e − . Por otra parte, cuando t → + ∞; esto es, 3)t(plimt

=∞+→

, ya

que t)3ln)4 / 1((e − → 0. Por tanto, p(t) se aproxima al precio en que la oferta es igual a la

demanda; es decir, a largo plazo el precio p(t) se aproxima al precio de equilibrio.

E J E R C I C I O S

1. (Costo marginal) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es 6x +1 solespor unidad cuando se han producido x unidades. El costo total (incluido los costosindirectos) de producción de la primera unidad es S/. 130. ¿Cuál es el costo total deproducción de las 10 primeras unidades?.

2. (Utilidad marginal) La utilidad marginal de cierta compañía es 100 – 2x soles porunidad cuando se producen x unidades. Si la utilidad de la compañía es S/. 700 cuandose producen 10 unidades, ¿cuál es la máxima utilidad de la compañía?.

⇒ C = –3

⇒ k = (1/8) ln 3


25/43



25

3. (Costo marginal) El costo marginal del producto “Cusper” es C’(x) = 3 + 0.001 x i

el costo de fabricar 100 unidades es S/. 1005. ¿Cuál es el costo de producir 200unidades?. Los artículos se venden a S/. 5 cada uno. Determine el incremento en lautilidad si el volumen de venta es incrementado de 1000 a 2000.

4. (Costo total i costo promedio) El costo marginal C’(x) como función de las unidadesproducidas x, está dado por C’(x) = 1.064 – 0.005x. Si el costo fijo es 16.3, hallar lasfunciones de costo total i costo promedio.

5. (Valores permitidos) Si el ingreso marginal está dado por 27 – 12x + x2, encontrar lafunción del ingreso total i la ecuación de la demanda. Determinar también los valorespermisibles de x.

6. (Costo total i costo promedio) El costo marginal C’(x) como función de las unidadesproducidas x, está dado por C’(x) = 2 + 60x – 5x 2. Si el costo fijo es 65, hallar lasfunciones de costo total i costo promedio.

7. (Ingreso total) Si el ingreso marginal está dado por R’(x) = 100x – 8x2, encontrar lafunción de ingreso total si el ingreso total es S/. 600 cuando x =3.

8. (Función de costo) Si el costo marginal es constante, demostrar que la función decosto es una línea recta.

9. (Ecuación de demanda) Encontrar la ecuación de la demanda para un artículo para elcual la función del ingreso marginal está dado por. 10/(x+5)2 – 4.

10. (Costo total) Dada la función de costo marginal x1)x('C += , encontrar la función

de costo, C(x), si C = 2 cuando x = 9.

METODOS DE INTEGRACION.

19.1 Integración por sustitución

El uso eficaz del método de sustitución depende de la pronta disponibilidad de las 17fórmulas básicas que es tan útil que creemos que todo estudiante debe memorizarla.Llamaremos a estas fórmulas dadas en forma “estándar”. Si usted tropieza con una integralindefinida estándar, basta con escribir la respuesta. Si no, búsquese una sustitución que latransforme en la forma estándar. Si la primera sustitución no funciona, busque otra.Adiestrarse en esto, como en la mayoría de las actividades que valen la pena, depende de lapráctica.

La técnica de la integración: por sustitución fue introducido prácticamente en elcapítulo anterior en algunas ocasiones. Ahora revisaremos el método, que descansa enrealidad en lo siguiente:


26/43



26

“Sea g una función derivable i supongamos que F es una antiderivada de f,

entonces si u = g(x), ∫ ∫ +=+== C))x(g(FC)u(Fdu)u(f dx)x('g))x(g(f ”

Ejemplo 1. Hallar ∫ + dx10x2x 54 Solución Mentalmente, sustituya u = 2x5 + 10, de donde du = 10x4 dx, entonces

∫ + dxx10x2 45 = C)10x2(151

Cu3

2

10

1duu

10

1 352 / 32 / 1++=+=∫ .

Cuando en el integrando aparece una raíz de la forma n bax + , por lo general

haga u = n bax + .

Ejemplo 2. Determinar ∫ + 3xx dxSolución: Sea u = 3x + ⇒ u2 = x + 3 ⇒ x = u2 – 3 i dx = 2u du, luego ∫ + 3xx dx

= 3535242 )3x(2)3x(5

2Cu2u

5

2du)u6u2()duu2()u()3u( +−+=+−=−=− ∫∫ + C

Ejemplo 3. Obtener∫

− dxx45x 3

Solución: Sea u = 3 x45 − ⇒ u3 = 5 – 4x ⇒ x =4

1(5 – u3) i 3u2 du = – 4 dx, de donde

dx= –4

3u2 du. Luego ∫ − dxx45x 3 = ( )∫

−

−duu

4

3u

4

u5 23

= ∫ − du)u15u3(161 36 =

Cu64

15u

112

3 47+− = 3 43 7 )x45(

64

15)x45(

112

3−−− + C.

Ejemplo 4. Encontrar∫ + x2

2 dx

Solución: Sea u = x ⇒ u2 = x i 2u du = dx, luego ∫ + x2

2dx = ∫

+ u2

2(2u du) =

4 ∫ ∫

+−=

+du

u2

214du

u2

u = 4 [ u – 2 ln (2 + u) ] + C = 4 x – 8 ln (2 + x ) + C.

Ejemplo 5. Encontrar ∫ −+ x4xdx


27/43



27

Solución: A pesar de que el integrando contiene radicales de la forma n bax + , la

sustitución es innecesaria. Basta racionalizar el denominador: ∫ −+ x4xdx =

∫ ++ dx)x4x(41

=

++

2 / 32 / 3 x3

2)4x(

3

2

4

1 + C = )x)4x((

6

1 33++ + C.

E J E R C I C I O S

En los ejercicios del 1 al 14, obtener el valor de:

1. C)2x()3x(52

dx3xx2 / 3

++−=− 2.

C)8x12x15()x1(105

2dxx1x 22 / 32 +++−−=−∫

3. ∫ −

−dx

1x2

1x2= C)13x2x3(

15

1x2 2+−+

− 4. ∫

−dx

x

1x= C)1xarctan1x(2 +−−−

5. dxx

x3x2

∫ −

= Cx)32(2 +− 6. ∫ + dx1x1

= C])x1(lnx[2 ++−

7. ∫ +−+

−dx

1x1x

x= C)1x2x( +++− 8. ∫

+−

dx

1xx

1= C])1x(x[

3

2 2 / 32 / 3+++−

9. ∫ +

dxx2x6

x2= C])1x23(lnx23[

9

1++−

10. ∫ + dxx2x1

= Cx)12(2 +−

19. 4 Integración por partes

El método siguiente, llamado integración por partes es fundamental, aplicable a

una gran variedad de problemas, i es particularmente útil para integrandos que contenganproducto de funciones. Por ejemplo, x ln x, ex sen x , x2 ex, x sen x, arcsen x, etc. Es unatécnica que se basa en la derivación de un producto: sean u = f(x), v = g(x) dos funciones.

En forma de derivada:dx

duv

dx

dvu)vu(

dx

d+= . En forma de diferencial: d (u v) = u dv + v

du. Por tanto: ∫∫∫ += duvdvu)vu(d ⇒ ∫∫ −= duvvudvu

Para aplicar esta fórmula, debe descomponerse el integrando en dos factores u idv, los cuales u se debe diferenciar i dv integrar (recomendando u sea la parte más

complicada para derivar, i dv sea la parte más fácil para integrar).


28/43



28

Ejemplo 1. Hallar∫

dxex x

Solución: Sean u = x ⇒ du = dx; dv = exdv ⇒ v = ex . Luego:

∫ dxex x = x ex – ∫ dxex = xe

x – ex + C = ex (x – 1) + C.

Ejemplo 2. Obtener ∫ dxxcosx Solución: Sean u = x ⇒ du = dx; dv = cos x dx ⇒ v = sen x, entonces se tiene:

∫ ∫ ++=−= Cxcosxsenxdxxsenxsenxdxxcosx .

Téngase en cuenta que al hacer la sustitución : u = cos x ⇒ du = – sen x dx; dv = x dx ⇒

v = (½) x 2 , entonces dxxsenx2

1xcosx

2

1dxxcosx 22∫ ∫+= . Pero evaluar ∫ dxsenxx2

es más difícil que evaluar ∫ dxxcosx . De aquí que la elección de los factores, en este caso,no es conveniente.

Ejemplo 3. Determinar ∫ dxex2x3

Solución: Sean u = x 2 ⇒ du = 2x dx; dxexdv2x

= ⇒ 2xe

2

1v = . Luego

( ) C1xe2

1Ce

2

1ex

2

1dxexex

2

1dxex 2xxx2xx2x3

222222+−=+−=−=∫ ∫ .

Ejemplo 4. Encontrar ∫ dxxarcsen

Solución: Sea u = arcsen x ⇒ du = dxx1

1

2−

; dv = dx ⇒ v = x. Luego

∫∫ +−+=

−

−= Cx1xarcsenx

x1

dxxxarcsenxdxxarcsen 22

.

Ejemplo 5. Hallar .dxxsec3∫ Solución: La integral dada podemos escribirla como ∫= dxxsecxsecdxxsec 23 . Seanu = sec x ⇒ du = sec x tan x dx; dv = sec2 x dx ⇒ v = tan x; entonces:

( )∫∫∫ −−=−= dx1xsecxsecxtanxsecdxxtanxsecxtanxsecdxxsec 223


29/43



29

∫ ∫+−= dxxsecxdxsecxtanxsec3

⇒ ∫ ∫+= dxxsecxtanxsecdxxsec2 3 , de donde:

[ ] Cxtanxseclnxtanxsec2

1dxxsec3 +++=∫

Ejemplo 6. Obtener ∫ dxxcosex Solución: Sean : xeu = ⇒ du = exdx ; dxxcosdv = ⇒ v = sen x; entonces:

∫ ∫−= dxxsenexsenedxxcose xxx . Para evaluar ∫ dxxsenex , nuevamente procedemos aintegrar por partes: Sean: xeu = ⇒ du = ex dx; dv = sen x ⇒ v = – cos x, entonces:

∫∫ +−−= dxxcosexcosexsenedxxcose xxxx =

∫ += xcosexsenedxxcose2 xxx ⇒

( ) Cxcosxsene2

1dxxcose xx ++=∫ .

E J E R C I C I O S

1. ( )∫ +−= C1xlnxdxxln 2. Cx41

xlnx2

1dxxlnx 22 +−=∫

3. Cx9

1xlnx

3

1dxxlnx 332 +−=∫ 4. Cx

1

x

xlndx

x

xln2

+−−=∫

5. C2

1xe

2

1dxex x2x2 +

−=∫ 6. C3ln

1x

3ln

3dx3x

xx

+

−=∫

7. ( ) Cxxarctan1xdxxarctan +−+=∫


30/43



30

INTEGRAL DEFINIDA

20.1 Integral definida

Considérese una función y = f(x) definida i continua en un intervalo cerrado [a,b]

cuya gráfica aparece en la figura 1, con la propiedad de que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a,b].

Dividimos [a,b] en n subintervalos cerrados, escogiendo puntos x0 , x1 , x2 , . . . , xn tales

que a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn–1 < xn = b. El conjunto ∆ = { [xi–1, xi] / i = 1, 2, . . . , n} se

llama partición de [a,b], i ∆ se llama norma de la partición, definida como la

longitud del subintervalo más grande.

Sea ∆ix = xi – xi–1 la longitud del i–ésimo subintervalo, i eligiendo

arbitrariamente puntos ti en cada subintervalo [xi–1, xi] formamos los productos f(ti) ∆ix.

Este producto representa el área del rectángulo cuya base es ∆ix i cuya altura es f(ti) (Véasela figura 1), entonces la suma total de las áreas de los n rectángulos, así construidos estádada por:

f(t1) ∆1x + f(t2) ∆2x + . . . + f(tn) ∆nx = ∑=

∆

n

1i

ii x)t(f

cuando el número de subintervalos crece indefinidamente; es decir, n → + ∞, entonces cada

∆ix se aproxima a cero; en consecuencia ∆ → 0, i por tanto, la suma ∑=

∆

n

1i

ii x)t(f se

aproxima al área de la región limitada por la curva, el eje x i las rectas x = a, x = b.

Bajo una consideración similar se arriba al mismo resultado cuando la curva y =

f(x) ≤ 0, para todo x ∈ [a,b].

El hecho de que una función y = f(x) sea continua en [a,b] es una condición algo

excesiva para que exista el límite de la sumatoria anterior cuando la norma de la partición ∆

a = x0 x1 x2 x3 xi-1 xi ti t0 t1 t2 xn-1 xn = btn

• • • • •

∆ix

f(ti)

y = f(x)y

x

Fig. 1

•

•

• •

•


31/43



31

tiende a cero; pues si y = f(x) presenta un número finito de discontinuidades, tal como se

expone en la figura 2, entonces todavía podemos calcular el área siguiendo el mismoprocedimiento al anterior en cada una de las regiones, ya que y = f(x) está definida sobrecada intervalo [a,c], [c,d] i [d,b] (la continuidad en los subintervalos [c,d] i [d,b] falla, apesar de ello sigue teniendo validez la consideración del caso general).

La expresión ∑=→∆

∆n

1iii

0x)t(f lim no sólo se presenta cuando se desea calcular área de regiones

planas, si no también en otras situaciones como en el cálculo de volúmenes de sólidos, en eltrabajo realizado por una fuerza, etc.

Definición 20.1 Si y = f(x) es una función definida en un intervalo cerrado [a,b], entonces:

∫ =b

adx)x(f ∑

=→∆

∆

n

1i

ii0

x)t(f lim . . . (1)

siempre que el límite exista, se llama integral definida (según Riemann) de la función y =f(x), desde a hasta b.

Los números a i b se llaman límites de integración, siendo a el límite inferior i b el límite superior.

De lo expuesto anteriormente podemos afirmar que la integral definida∫

b

a dx)x(f

se interpreta desde el punto de vista geométrico como el área de la región limitada por lacurva y = f(x), el eje x i las rectas x = a, x = b, con f(x) ≥ 0.

Cuando el límite de la definición anterior existe, se dice que la función y = f(x) esintegrable (según Riemann) sobre el intervalo [a,b]. Evidentemente la existencia o no dellímite por lo general es más dificil de determinar, en cambio si se conoce algunacaracterística de la función y = f(x) nos puede ser más útil para saber si es o no integrablesobre [a,b]; en tal sentido, existe un teorema (cuya demostración omitimos, por estar fueradel alcance de la presente obra. Puede consultar un libro de cálculo avanzado)

x

• •

• •

a = x0 c d b = xn

y

Fig. 2


32/43



32

Teorema 20.1 Si y = f(x) es una función definida i acotada en [a,b] i si f tiene sólo un

número finito de discontinuidades, entonces f es integrable sobre [a,b].

O B S E R V A C I O N E S

1. Una función y = f(x) definida en [a,b] se dice que es acotada en [a,b] si existe un

número real k > 0, talque f(x) ≤ k para todo x ∈ [a,b].2. Desde que una función y = f(x) es continua en [a,b], alcanza un máximo absoluto i un

mínimo absoluto, entonces f es acotada en [a,b]. Por consiguiente, toda funcióncontinua sobre [a,b] es integrable sobre [a,b].

3. El recíproco del teorema de existencia de funciones integrables está lejos de ser cierto.Hay funciones que son integrables pero no están definidas sobre un intervalo cerrado

[a,b]; por ejemplo la función de Gauss 2 / x2

ey −= para x ∈ ]– ∞, + ∞[.

4. Una función no integrable en [0,1], por ejemplo es

=irracionalesxsi1

racionalesxsi0)x(f . Para

ello: 0x)0(x)t(f n

1i

i

n

1i

ii =∆=∆ ∑∑==

si ti ∈ [xi–1, xi] con ti racional;

1x)1(x)t(f

n

1i

i

n

1i

ii =∆=∆ ∑∑==

si ti ∈ [xi–1, xi] con ti irracional;

de modo que las sumas de Riemann son 0 i 1; esto es, ∑=

∞→

∆

n

1i

iin

x)t(f lim no

existe, donde ∆ → 0 es equivalente a n → +∞

5. Otra función no integrable, es por ejemplo la

función

=

≠=

0x,1

0x,x / 1)x(f

2

cuya gráfica se

muestra en la figura 3Cualquier suma riemanniana del subintervalo que

contenga a x = 0 se hace arbitrariamente grande.Este razonamiento demuestra que la función debeser acotada.

A. Propiedades de la integral definida

Dentro de las propiedades básicas de la integral definida, en primer lugar , podemosmencionar las dos propiedades de linealidad; en otras palabras, estamos diciendo que la

integral definida ∫b

a. . . dx es un operador lineal: Si f i g son integrables en [a.b], entonces:

- 2 0 2

0

2

•

2

1

Fig. 3


33/43



33

1 kf es integrable en [a,b] i

∫∫ =

b

a

b

a

dx)x(f k dx)x(f k .

2 f + g es integrable en [a,b] i ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

adx)x(gdx)x(f dx)]x(g)x(f [ .

Por ejemplo, ∫∫ π

π

π

π

=

3 /

4 /

23 /

4 /

2 dx2

xsen5dx

2

xsen5 ;

∫ ∫∫ +=+4

1

4

1

4

1

xx dxxlndxedx)xlne(

En segundo lugar , se refiere al intercambio i a la igualdad de los límites de integración :

3 ∫∫ −=a

b

b

adx)x(f dx)x(f 4 0dx)x(f

a

a=∫

Por ejemplo: dx9xdx9x2

4

24

2

2 ∫∫ −

−

+−=+ i ∫ =−

6

6 20

1xx

dx

En tercer lugar , se refiere al área de un rectángulo i a la propiedad aditiva de intervalos. Sik es una constante, entonces respectivamente:

5 ),ab(k dxk b

a−=∫ cuya área se muestra en la figura 4.

Por ejemplo, 12)25(4dx4dx45

2

5

2=−== ∫∫

6 ∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adx)x(f dx)x(f dx)x(f , con c ∈ [a,b], cuya interpretación se expone en la

figura 5.

Ejemplo 6. Sea y = f(x) una función tal que 7dx)x(f 5

2=∫ i 3dx)x(f

2

3=∫ , determine

∫3

5dx)x(f . En efecto, como ∫∫∫ +=

5

3

3

2

5

2dx)x(f dx)x(f dx)x(f ⇒ =∫

5

3dx)x(f

=− ∫∫3

2

5

2dx)x(f dx)x(f 1037dx)x(f dx)x(f

2

3

5

2=+=+ ∫∫

Fig. 4

a b

k

a bx x

yy

c

Fig. 5


34/43



34

En cuarto lugar , se refiere a las propiedades de comparación i acotamiento,

respectivamente dadas por:7 Si f i g son integrables en [a,b] i si f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a,b], ⇒ ∫∫ ≤

b

a

b

adx)x(gdx)x(f .

Figura 6.

Fig. 6 Fig. 7

8 Si f es integrable en [a,b] i si m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ [a,b], entonces:

m (b – a) ≤ )ab(Mdx)x(f b

a−≤∫ . Figura 7

Ejemplo 7. Diga cuál de las integrales ∫∫1

0

31

0

2 dxxidxx es mayor (sin calcularla). En

efecto, sabemos que x2 ≥ x3 ∀ x ∈ [0,1], luego ∫∫ ≥1

0

31

0

2 dxxdxx .

Ejemplo 8. Dada ∫ +1

0

2 dx1x , halle un intervalo para el cual el valor de la integral se

cumpla la propiedad (8). En efecto, sea 1x)x(f 2 += ⇒ 01x

x)x('f

2=

+

= ⇒ x = 0 es

el único punto crítico, luego f(0)=1 i f(1) = 2 ; de modo que m = 1 es el mínimo

absoluto i M = 2 es el máximo absoluto. En consecuencia. m (b – a) ≤

)ab(Mdx)x(f b

a−≤∫ ⇒ 1 (1 – 0) ≤ )01(2dx1x

1

0

2−≤+∫ ; esto es,

2dx1x11

0

2≤+≤ ∫ ; el intervalo es I = [1, 2 ].

En quinto lugar , la propiedad de simetría de las funciones permite evaluar lasintegrales definidas con cierta facilidad (Vea B sección 2, capítulo 6).

y = g (x)

y = f (x)

a b• •

x

y

a b• • x

y

m

M

y = f (x)


35/43



35

9 Teorema de simetría: Si f es una función par, entonces

∫∫ =

−

a

0

a

a

dx)x(f 2dx)x(f . Si f

es función impar, entonces 0dx)x(f a

a=∫

−

. (La demostración puede verlo, por ejemplo

en: Cálculo con geometría analítica, Purcell–Varberg)

Ejemplo 9. 0dx2x

x3

32

3

=

+∫−

, puesto que f es impar.

Ejemplo 10. Sabiendo que3

8dxx

2

0

2=∫ , hallar el valor de las siguientes integrales (sin

recurrir al teorema fundamental del cálculo): (a) ∫−

2

2

2

dxx , (b) ∫−

0

2

2

dxx ,

(c) ∫ −2

0

2 dxx , (d) ∫ +2

0

2 dx)1x( , (e) ∫−

0

2

2 dxx3 .

Solución: (a) La función f(x) = x2 es par, ya que f(–x) = f(x); luego

3

16

3

82dxx2dxx

2

0

22

2

2=

== ∫∫

−

. (b) Por la propiedad aditiva: =∫−

2

2

2 dxx

∫∫ +−

2

0

20

2

2 dxxdxx ⇒3

8

3

8

3

16dxxdxxdxx

2

0

22

2

20

2

2=−=−= ∫∫∫

−−

(c)38dxxdxx

2

02

2

02 −=−=−

∫∫.

(d)3

14)02(

3

8dxdxxdx)1x(

2

0

2

0

22

0

2=−+=+=+ ∫∫∫ ,

(e) 83

83dxx3dxx3

0

2

20

2

2=

== ∫∫

−−

En sexto lugar , la propiedad de periodicidad de una función, ofrece simplificar laevaluación de integrales definidas.

10 Si f es una función periódica con periodo p, entonces ∫∫ =+

+

b

a

pb

padx)x(f dx)x(f

Ejemplo 11. Si 2dxxsen0

=∫ π

, calcule

∫ π2

0dxxsen .

Solución: Como f(x) = sen x es periódica

de periodo π, entonces:π 2π

x

y

Fig. 8


36/43



36

==

∫∫

π

π

π+π

π+

2

0

dxxsendxxsen

∫

π

0

dxxsen . Por otra parte,

=∫ π2

0dxxsen +∫

π

0dxxsen dxxsen

2

∫ π

π

= ∫∫ ππ

+00

dxxsendxxsen =

∫π

0dxxsen2 =2 ∫

π

0dxxsen = 2(2) = 4.

Hemos hallado el área de la región mostrada en la figura 8.

B. Teorema fundamental del cálculo ( TFC )

El teorema fundamental del cálculo es muy importante ya que nos provee de unaherramienta poderosa para evaluar integrales definidas. Pero su más profundo significadoes que sirve de eslabón entre la derivación i la integración, entre derivadas e integrales.

En esta subsección, añadiremos 3 propiedades más a las 10 anteriores. La últimade estas 3 se llama propiamente el TFC, aunque la penúltima es parte de este teorema.

11 Teorema del valor medio para integrales Sea y = f(x) una función continua en

[a,b], entonces existe c ∈ ]a,b[ tal que

∫−=b

adx)x(f

ab1)c(f . . . (2)

El teorema del valor medio afirma que entre los tamaños de los inscritos i circunscritos hayun rectángulo intermedio que tiene por área exactamente la de la región limitada por la

curva: f(c) (b – a) = ∫b

adx)x(f . (Véa la figura 9).

Demostración Caso 1: Si f es constante en [a,b], el resultado es trivial, ya que cualquier

punto x ∈ ]a,b[ se toma como x = c. Caso 2: Si f no es constante en [a,b], el teorema devalores extremos para funciones continuas (Vea la sección 13.3–A) permite escoger f(m) i

f(M) como valores mínimos i máximos absolutos de f en [a,b] tal que f(m) ≤ f(x) ≤ f(M) ∀ x ∈ [a,b]. Por la propiedad 7 de comparación, resulta

∫∫∫ ≤≤b

a

b

a

b

adx)M(f dx)x(f dx)m(f . Desde que f(m)

i f(M) son constantes, por la propiedad 5 de área de

un rectángulo, )ab()m(f dx)m(f b

a−=∫ ,

)ab()M(f dx)M(f b

a−=∫ , luego f(m) (b – a) ≤

x•

• •

a c b

f(c)

y

Fig. 9


37/43



37

∫

b

a

dx)x(f ≤ f(M) (b – a); que dividiendo entre (b – a), resulta f(m) ≤

)M(f dx)x(f ab

1 b

a≤

− ∫ . Aplicando el teorema del valor intermedio (sección 13.3–B),

existe c ∈ ]a,b[ tal que f(c) = ∫−b

adx)x(f

ab

1.

12 Derivación de una integral definida

El área de la región (fija) bajo la curva y = f(x) i las rectas verticales x = a, x = b;

figura 10, viene dado por∫

=

b

a dx)x(f A ; en cambio, el área de la región (variable) con

límite superior variable x está dado por ∫=x

adx)x(f A ; figura 11. El área es una función de

x, que podríamos expresar como F(x) = ∫x

adt)t(f . En consecuencia, establecemos que:

)x(f dt)t(f dx

d x

a=∫ . . . (3)

Este teorema es prácticamente la primera parte del TFC. Quiere decir: si F(x) =

∫x

adt)t(f , entonces la integral definida con respecto a su límite superior es el

integrando en su límite superior: F’(x) = f(x). La derivada deshace la acción de laintegral de la función.

Demostración: En efecto demostraremos la última fórmula encerrada en un rectángulo:

Sea g(x) = ∫x

adt)t(f , entonces g(x+∆x) – g(x) = ∫∫ −

∆+ x

a

xx

adt)t(f dt)t(f

y = f(x)

a bx

y•

•

Fig. 10

a x b

y = f(x)

x

y

•

• •

Fig. 11


38/43



38

=

∫∫ +

∆+ a

x

xx

a

dt)t(f dt)t(f =

∫∫

∆+

+

xx

a

a

x

dt)t(f dt)t(f =

∫

∆+ xx

x

dt)t(f . Por el teorema del valor

medio para integrales, existe c∈[x,x+∆x] tal que f(c) = ∫ ∆+

−∆+

xx

xdt)t(f

x)xx(

1, de donde

∫ ∆+ xx

xdt)t(f = f(c) ∆x, luego g(x+∆x) – g(x) = f(c) ∆x ⇒

x

)x(g)xx(glim

0x ∆

−∆+

→∆

= )c(f lim0x→∆

,

de donde g’(x) = f( clim0x→∆

) por ser f continua. Como x ≤ c ≤ x + ∆x, entonces

)xx(limclimxlim0x0x0x

∆+≤≤→∆→∆→∆

⇒ xclimx0x

≤≤→∆

. Por tanto xclim0x

=→∆

. Finalmente

tenemos g’(x) = f(x); es decir: )x(f dt)t(f dxd

x

a=

∫.

13 Teorema fundamental del cálculo Sea y = f(x) una función continua en un intervalocerrado [a,b]. Si g es una antiderivada de f sobre [a,b], entonces

)a(g)b(gdx)x(f b

a−=∫ . . . (4)

Demostración: Por hipótesis, g’(x) = f(x) para todo x ∈ [a,b]. Sea h(x) =∫

x

a dt)t(f ,

entonces por la propiedad anterior se tiene h’(x) = f(x) = g’(x), x ∈ [a,b]. Tomando lasantiderivadas de h’(x) i g’(x), resulta h(x) = g(x) + C, de donde h(a) = g(a) + C. Pero

h(a) = ∫a

adt)t(f = 0, luego C = – g(a), entonces h(a) = g(x) – g(a), x ∈ [a,b] i h(b) =

g(b) – g(a); es decir, ∫b

adt)t(f = g(b) – g(a). Por tanto )a(g)b(gdx)x(f

b

a−=∫ .

Obsérvese que según el teorema anterior, para calcular la integral definida de f(x) de a hasta b, debe encontrarse una antiderivada g(x) i calcular la diferencia g(b) – g(a).

Denotando g(b) – g(a) por ] ba)x(g , podemos escribir ]ba

b

a)x(gdx)x(f =∫ .

Esta “formulita” es aunque usted no lo crea, el resultado más espectacular quehaya aparecido en los 19 capítulos que lleva estudios en este libro. En él revela elparentesco que hay entre los dos problemas más importantes del cálculo diferencial eintegral, el del cálculo de derivadas i el del cálculo de integrales.

Ejemplo 18. (Eficiencia) Un estudio realizado en una fábrica de radios a transistoresindica que un trabajador nuevo que no tenga experiencia anterior empleará 15 + 15 e–0.01n

minutos para ensamblar su n-ésimo radio. (a) Escriba una expresión para el tiempo total


39/43



39

que necesita un nuevo trabajador para ensamblar sus 100 primeros radios. (b) Aproxime el

tiempo total de la parte (a), calculando una integral definida adecuada.

Solución: (a) Sea f (n) = 15 + 15 e–0.01n la función que represente el número de minutospara ensamblar su n-ésimo radio:Para el primer radio emplea f (1) = 15 + 15 e–0.01(1) = 29.8507 minutos.Para el segundo radio emplea f (2) = 15 + 15 e–0.01(2) = 29.7029 minutos.

. . .Para el n-ésimo radio emplea f (n) = 15 + 15 e–0.01( n) = . . . minutos.Luego el tiempo total que necesitará para ensamblar los 100 primeros radios es f (1) + f (2)

+ f (3) + . . . + f (100) = )e1515(100

1i

i01.0

∑=−

+ .

(b) Como el valor exacto de la suma anterior es difícil de calcular, aproximamos este valormediante una integral definida; para ello, dividimos el intervalo de radios desde n = 0 a

n = 100, en subintervalos iguales de longitud ∆i n = ∆ n = 1; por tanto:

)e1515(

100

1i

i01.0∑=

−+ ∆i n = ∫ −+

100

0

n01.0 dn)e1515( = [15n –01.0

15e–0.01n ] 1000 = (1500 –

1500 e–1) – (0 – 1500) = 2448.15 min. = 40.8 hs. Luego el tiempo será aproximadamente de41 horas para ensamblar los 100 primeros radios.

Ejemplo 19. Evaluar ∫−

−−8

4

2 dx12x4x

Solución: Si x2 – 4x – 12 ≥ 0, entonces x ∈ ] – ∞, –2] ∪ [6,+∞ [. Intersectando ésta

solución con [–4, 8] resulta x ∈ [–4, –2] ∪ [6,8], ∫−

−−

8

4

2 dx12x4x =

∫ −

−

−−

2

4

2 dx)12x4x( + ∫ −−8

6

2 dx)12x4x( .

Si x2

– 4x – 12 < 0, entonces x ∈ ]–2,–6[. Intersectando esta solución con [–4,8] resulta x ∈ ]–2,6[, luego ∫

−

−−

8

4

2 dx12x4x = ∫−

−−−

6

2

2 dx)12x4x( . Por tanto:

∫−

−−

8

4

2 dx12x4x = ∫ −

−

−−

2

4

2 dx)12x4x( + ∫−

−−−

6

2

2 dx)12x4x( + ∫ −−8

6

2 dx)12x4x(

=3

368

3

56

3

256

3

56=++ .

• • • –4 –2 0 2 4 6 8• • • •


40/43



40

E J E R C I C I O S

1. Diga cúal de las dos integrales dxx42

2

2∫−

− o ∫−

−

1

1

2 dx)x1( es mayor.

2. Sea y = f(x) una función tal que: (a) 6dx)x(f 4

1=∫ i 2dx)x(f

1

2=∫ , obtenga dx)x(f

4

2∫ ,

(b) 7dx)x(f 26

1=∫ i 12dx)x(f 4

6

3=∫ , calcule dx)x(f 2

1

3∫ .

3. Sean f i g continuas en R i que dx)x(f 3

1∫ =4, 3dx)x(f 5

3=∫ , 2dx)x(g

5

1−=∫ . Hallar:

(a) ∫∫∫ ++2

1

5

2

5

1dx)x(g3dx)x(g3dx)x(f (b) ∫∫ ++

5

3

3

1dx)x(gdx])x(g)x(f 2[

(c) ∫∫ ++−3

1

5

3dx)x(g4dx])x(g4)x(f 3[ (d) ∫∫ −−+

5

3

3

1dx])x(g7)x(f 4[dx])x(g7)x(f 2[

En los ejercicios del (7) al (21), obtener las integrales dadas:

4. ∫ −7

2

2 dx)x2x( 5. ∫−

+

1

1

3 / 13 / 4 dx)x4x( 6. ∫−

−

0

2

2 dxx4x3

7. ∫++

+1

0 3 23

2

dx

4x3x

x2x

8. ∫ +

15

04 / 3)x1(

dxx 9. ∫

−

−

5

2dx3x

10. dxxx1

1∫− − 11. ∫2

0

2 dxxcosx 12. ∫− −

1

1 x45

dxx

13. ∫ −2ln

0

x dx1e 17. ∫ −9

1

3 dxx1x 18. ∫ −

− −

1

2 2 1xx

dx

19. ∫ +1

0

815 dxx31x 20. dx)x1(x

xarcsen1

0∫ − 21. ∫

++

1

02 6x5x

dxx

22. Hallar el valor de C para el que f(C) (4 –1) = ∫ −

4

1

2 dx)x2x3( . ¿Cuál es el valor medio

de f(x) = 3x2 – 2x en [1,4] ?

En los ejercicios del (23) al (25): Hallar el valor medio en el intervalo indicado de lassiguientes funciones:

23. f(x) = 4 – x2; [–2,2] 24. f(x) = x 2x4 − ; [0,2] 25. f(x) = x2x − ;

[0,4]En los ejercicios del (26) al (31), evaluar las integrales siguientes:


41/43



26.

∫

2ln

0

x dxex

27. ∫e

1dxxlnx

28. ∫ +

−

1e

2dx

1x

x

29. dxxln

2e

1∫

30.

∫

2e

1

2

dxx

)x(ln

31. ∫e

1

2 dxxlnx

C. Problemas empleando integrales definidas.

1° Problemas frecuentes i prácticos:

Ejemplo 20. (Crecimiento de población) Un estudio indica que dentro de x meses lapobla

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04. Integrales Indefindas y Definidas