Integrales de línea

_________________________________________________________________________ Departamento de Ciencia-Cajamarca

1

INTEGRALES DE LÍNEA

En esta parte se define una integral que es similar a la integral simple, pero con la

diferencia de que en lugar de integrar en el intervalo [ , ]a b , se integra en la curva C . Estas

integrales se llaman Integrales de Línea o también llamadas integrales curvilíneas. Estas

integrales fueron inventadas para solucionar problemas relacionados con el flujo de fluidos,

fuerzas, electricidad y magnetismo.

Iniciaremos nuestro estudio con la definición de curvas, parametrizaciones y caminos

Definición 1.- Sea :[ , ] nr a b una función que toma valores en n describiendo un

conjunto C de puntos ( )r t llamado GRAFICA de tal función. Si r es continua sobre [ , ]a b ,

la gráfica de C se llama CURVA; específicamente, C es la curva descrita por r .

Definición 2.- A la función r que describe a la curva C se le llama una

PARAMETRIZACION de C .

La circunferencia 2 2: 9C x y puede ser descrita por la parametrización

(3cos ,3 ) ( , ) , [0,2 ]r t sent x y t ; es decir

: 3cos

3 , [0,2 ]

C x t

y sent t

De tal manera que la gráfica de r se encuentra sobre la circunferencia 2 2 9x y ,

recorriéndola en sentido antihorario.

Y se dice que la circunferencia C ha sido parametrizada por la función r dada.

Esta primera circunferencia 2 2: 9C x y puede ser descrita por otra parametrización,

como

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Departamento de Ciencia-Cajamarca 2

2: [0, ]

( , ) ( ) (3cos2 ,3 2 )

v

t x y v t t sen t

De manera que la gráfica se encuentra sobre 2 2: 9C x y , recorriéndola toda la vuelta en

sentido anti horario, pero con mayor velocidad (doble) que con la parametrización

(3cos ,3 )r t sent , [0,2 ]t , pues para dar toda la vuelta mediante ( )v t sólo dispone de la

mitad del tiempo [0, ]t que con la parametrización ( ) , [0,2 ]r t t

Si ahora quisiéramos que la misma curva 2 2: 9C x y fuese recorrida en sentido horario,

podemos tomar una parametrización ( )w t que INVIERTA la orientación anterior, esto

puede hacerse de diversas maneras como por ejemplo:

( ) (3cos(2 ),3 (2 )) , [0,2 ]w t t sen t t

Definición 3.- Con respecto a la parametrización ( )r t de la curva dada C, a la función

( )v t se le llama una parametrización que preserva la orientación; y a la función ( )w t se le

llama una parametrización que invierte la orientación.

Al estudiar las integrales de línea nos interesa no solamente el conjunto de puntos de una

curva C sino la manera como ha sido originada; es decir, la parametrización ( )r t .

Definición 4.- A una curva C con una parametrización ( )r t se le llama camino o

trayectoria.

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Las curvas que estudiaremos pueden ser cerradas o no.

Definición 5.- Una función :[ , ] nr a b , describe una curva cerrada C si se cumple

( ) ( )r a r b .

Definición 6.- Sea C: :[ , ] nr a b , un camino continuo en n . Al camino ( )r t se le llama

regular si existe el vector derivada (i.e la aplicación r es diferenciable) '( ) 0r t y si esta

derivada es continua en el intervalo abierto ,a b .

EJEMPLOS DE CURVAS PARAMETRIZADAS de 2en

1.- La aplicación 2:r definido por 0 1 0 2( ) ( , )r t x ta y ta es diferenciable en todo

t , la traza de es una recta en 2 que pasa por el punto 0 0( , )x y y su vector dirección

es 1 2( , )a a .

2.-La aplicación 2:[0,2 ]r definido por ( ) ( cos , )r a asen , 0a es diferenciable

en todo [0,2 ] , por lo tanto, ( )r es una curva parametrizada diferenciable. La traza de

( )r es una circunferencia de radio a en sentido antihorario.

3.- ( ) ( cos , ) , [0,2 ]r t a t bsent t es una curva parametrizada diferenciable cuya traza es

una elipse.

4.- ( ) ( cosh , h )r t a t bsen t es una curva parametrizada diferenciable cuya traza es una

hipérbola.

5.- ( ) ( , ) ,r t t t t es una parametrización de la recta y x , pero no es una curva

parametrizada diferenciable, ya que y x no es diferenciable en 0.x

EJEMPLOS DE CURVAS PARAMETRIZADAS de 3en

1.-La aplicación 3:r definido por 0 1 0 2 0 3( ) ( , , )r t x ta y ta z ta es una

parametrización diferenciable de la recta en 3

2.- ( ) ( cos , , ),t a t asent bt t es una curva parametrizada diferenciable. Su traza es una

hélice enrollada alrededor del cilindro 2 2 2x y a .

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3.- 2 3( ) (3 ,3 ,2 )t t t t es una curva parametrizada diferenciable. Su derivada es

2'( ) (3,6 ,6 )t t t .

4.- 2

1

( ) ( ,0, ) , 0tt t e t

5.- ( ) (4 ,3cos , )r t t t sent

6.- ( ) ( cos , , )t t tt e t e sent e

7.- ( ) (cos( ),s ( ), )r t at b en at b ct d

8.- ( ) ( , , )t t sent t

9.- 2

2( ) ( , , )2

tt t t

Integrales de línea en el plano

Definición 7.- Para 2:f un campo escalar, la integral sobre la curva C (llamada

también integral de línea o de trayectoria), parametrizada como ( ) ( ) ( )r x x t y t i j con

[ , ]t a b esta definida como:

* *

1

( , ) lim ( , )n

i i iC n

i

f x y ds f x y s

………. (1)

Se puede demostrar que si f es una función continua, entonces el límite de la definición 1

siempre existe y la fórmula siguiente se puede usar para evaluar la integral de línea

2 2

( , ) ( ( )) '( ) ( ( ), ( ))b b

C a a

dx dyf x y ds f r t r t dt f x t y t dt

dt dt

…….. (2)

Donde :[ , ]r a b C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal

manera que ( )r a y ( )r b son los puntos iníciales y finales de C respectivamente.

Las integrales de línea son independientes de la parametrización ( )r t , porque solo depende

de la longitud del arco

Nota.- Si cambiamos la orientación de la curva la integral de línea de la formula (2) cambia

de signo.

_________________________________________________________________________


Ejemplo 1.- Evalué 2(2 )C

x y ds donde C es la mitad superior de un circulo unitario

2 2 1x y

Solución

Para aplicar nuestra formula, primero necesitamos parametrizar a la curva C. Recordemos

que el circulo unitario se puede parametrizar por medio de las ecuaciones

cosx t y sent

y la mitad superior del circulo se describe por el intervalo del parámetro 0 t . Por lo

tanto, la fórmula (1) proporciona

2 2 2 2

0

2 2 2

0

2

0

3

0

(2 ) (2 cos . ) [ '( )] [ '( )]

(2 cos . ) ( ) (cos )

(2 cos . )

(2 cos )

22

3

Cx y ds t sent x t y t dt

t sent sent t dt

t sent dt

t t

Ejemplo 2.- Calcular la integral curvilínea 2 2( ) ,n

Cx y ds donde C es la circunferencia

cos ,x a t y a sent .

Solución

La curva C en forma paramétrica es dado por:

: ( ) ( cos , ) , 0 2 '( ) ( , )C t a t a sent t t a sent acos t

22 2 2 2 2 2

0

2 22 2 1

0 0

2 1

( ) (( cos ) ( ) ) [ ] [ cos ]

( )

2

n

C

n n

n

x y ds a t a sent a sent a t dt

a adt a dt

a

Ejemplo 3.- Calcular ,xy ds donde es la cuarta parte de la elipse

2 2

2 21

x y

a b situado

en el primer cuadrante.

Solución

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Primero parametrizamos a la elipse cos

[0, ]2

x a tt

y b sent

El camino sobre la cual se pide integrar es el arco de elipse AB cuya ecuación

paramétrica es ( ) ( cos , ) , [0, ]2

t a t bsent t

donde '( ) ( , )t a sent bcos t . Luego, la

integral de línea es:

2 2 2 22

0

2 2 2 22

0

2 2 2 22

0

cos s cos

cos s (1 )

cos s ( )

xy ds a t b ent a sen t b tdt

ab t ent a sen t b sen t dt

ab t ent b a b sen tdt

Para calcular esta integral, hacer el siguiente cambio de variable 2 2 2 2( )b a b sen t ,

2 22( ) cosd a b sent t dt .

3 22 2 2 2 2

2 2

0

3 32 2 2 22 2

2 2

3 3

2 2

[ ( ) ]3( )

[ ( )] [ ] )3( )

( )3( )

abxy ds b a b sen t

a b

abb a b b

a b

aba b

a b

Suponga que C es una curva suave por segmentos; es decir, C es una unión finita de curvas

suaves 1 2, ,..., nC C C donde, de acuerdo con la figura de abajo

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El punto inicial de 1iC es el punto final de

iC .Entonces, se define la integral de f a lo

largo de C como la suma de las integrales

1

( , ) ( , )i

n

C Cf x y ds f x y ds

Con frecuencia se necesita parametrizar un segmento rectilíneo, de modo que es útil

recordar que una representación vectorial del segmento rectilíneo que inicia en 0r y termina

en 1r se define con

0 1( ) (1 ) , 0 1r t t t t r r

Ejemplo 4.- Evalúe 2C

xds , donde C consta del arco 1C de la parábola 2y x desde (0,0)

a (1,1) seguido por el segmento rectilíneo 2C desde (1,1) hasta (1,2) .

Solución

La curva C se ilustra en la figura siguiente

El arco 1C es la gráfica de una función de x , de modo que elija x t como el parámetro y

las ecuaciones de 1C se vuelven

2 0 1x t y t t

Por lo tanto

_________________________________________________________________________


1

12 2 32 2

2 2

1 10

1 2 5 5 12 2 2 1 4 (1 4 )

4 3 6C

dx dyx ds t dt t t dt t

dt dt

En 2C parametrizamos del siguiente modo

2 : ( ) (1 )(1,1) (1,2)C r t t t

1 1 0 1x y t t

2

2 21 1

0 02 2(1) 2 2

C

dx dyxds dt dt

dt dt

Por lo tanto, 1 2

5 5 12 2 2 2

6C C Cx ds x ds x ds

Ejemplo 5.- Evalúe 2 2x y

Ce ds

, donde C es un circuito limitado por las curvas

, 0 ,4

r a

( ,r son coordenadas polares)

Solución

La gráfica de C es:

El circuito es C OA AB BO . A continuación parametrizaremos cada uno de los

caminos que forman toda la curva.

a) La parametrización de AB , es : cos , , [0, ]4

x a t y a sent t

donde

( ) ( cos , ) , [0, ]4

t a t a sent t

. De esto se tiene '( ) ( , cos ) y '( )t a sent a t t a .

b) La parametrización de OA es ( ) ( ,0) , [0,1]t at t . De esto se tiene

'( ) ( ,0), '( )t a t a

_________________________________________________________________________


c) La parametrización de OB es 2 2

( ) ( , ) , [0,1]2 2

a t a tt t , de donde se tiene

2 2'( ) ( , ) , '( )

2 2

a at t a

Luego la integral será:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 21 10 cos s 2 24

0 0 0

1 14

0 0 0

( 1) ( 1)4 4

x y x y x y x y

C OA AB BO

a t a t

a t a t a en t

BO OB

at a at

a a a a

e ds e ds e ds e ds

e at e at e at ds ds

e at e at e at

e ae e ae

Integrales de línea respecto de coordenadas variables

Se obtiene una clase diferente de integral de línea si en la ecuación (1) de la definición 1 se

reemplaza is por

1i i ix x x o 1i i iy y y . A estas integrales se les llama

integrales de línea de f a lo largo de C con respecto a x yy y se definen como:

* *

1

* *

1

( , ) lim ( , )

( , ) lim ( , )

n

i i iC n

i

n

i i iC n

i

f x y dx f x y x

f x y dy f x y y

Las fórmulas siguientes establecen que las integrales de línea con respecto a x y a y

también se pueden evaluar expresando todo en términos de :t ( ) , ( )x x t y y t

'( ) , '( ) .dx x t dt dy y t dt

( , ) ( ( ), ( )) '( )

( , ) ( ( ), ( )) '( )

b

C a

b

C a

f x y dx f x t y t x t dt

f x y dy f x t y t y t dt

A menudo sucede que las integrales de línea con respecto a x y y se presentan juntas.

Cuando esto sucede, se acostumbra abreviarlas escribiendo

( , ) ( , ) ( , ) ( , )C C C

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy

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Ejemplo 6.- Calcular la integral de línea 2 2

5/3 5/3,

C

x dy y dx

x y

donde C es la cuarta parte de la

astroide 3 3cos , ,x R t y Rsen t desde el punto ( ,0)R hasta el punto (0, )R

Solución

La curva parametrizada es dado por: 2 3 3:[ , ] / ( ) ( cos , ) , 02

r a b R r t R t Rsen t t

3 2

3 2

cos 3 cos .:

3 .cos

x R t dx R t sent dtC

y Rsen t dy Rsen t t dt

2 2 2 6 2 2 6 2

25/3 5/3 5/3 5 5/3 50

7 2 7 2/2

4/3

5 50

5 5 2 2 4/3/2

/2

05 50

cos (3 .cos ) ( 3 cos )

cos

cos . cos3

cos

(cos ) cos 3 4( ) /

cos 8 4

C

x dy y dx R t Rsen t t R sen t R t sentdt

x y R t R sen t

t sen t sen t tR dt

t sen t

t sen t sen t t R sen tdt t

t sen t

4/33

16

R

Ejemplo 7.-Calcular la integral de línea 2

2 22 2

2

4C

x dx ydy

x yx y

, donde C es el arco de

parábola 2

2

xy de (0,0) hasta (2,2).

Solución

Sea 2

: , 0 22

xC y x una curva plana

2 2 22

42 22 2 4022

222 2

220 0

2 2.

4 24

44

2 4[ 2 4 2ln 16 ]

164

54 2ln

4

C

x dx ydy x dx x xdx

xx yx y x xx

x xdx x x

xx

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INTERALES DE LINEA EN EL ESPACIO

Definición 1.- Ahora suponga que C es una curva en el espacio que definen la ecuaciones

parametricas

( ) ( ) ( )x x t y y t z z t a t b

o la ecuación vectorial ( ) ( ) ( ) ( )r t x t y t z t i j+ z . Si f es una función de tres variables que

es continua en alguna región que contiene a C, entonces defina la integral de línea de f a

lo largo de C (con respecto a la longitud de arco), de manera similar a la de las curvas

planas:

* * *

1

( , , ) lim ( , , )n

i i i iC n

i

f x y z ds f x y z s

………. (4)

La cual se evalúa usando la siguiente formula

2 2 2

( , , ) ( ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( ))b b

C a a

dx dy dzf x y z ds f r t r t dt f x t y t z t dt

dt dt dt

.. (5)

Nota.- Aquí sucede lo mismo que para el caso de un campo escalar en dos variables, es

decir, si cambiamos la orientación de la curva, la integral de línea de la formula (5) cambia

de signo.

En el caso especial de ( , , ) 1f x y z , se obtiene

( ( )) '( )b

C ads f r t r t dt L

Donde L es la longitud de la curva C.

Las integrales de línea a lo largo de C con respecto a , y x y z también se pueden definir de

forma similar. Por ejemplo

* * *

1

( , , ) lim ( , , )

( ( ), ( ), ( )) '( )

n

i i i iC n

i

b

a

f x y z dz f x y z z

f x t y t z t z t dt

Por lo tanto como sucede con las integrales de línea en el plano, evalúe las integrales de la

forma

( , , ) ( , , ) ( , , )C

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ……………… (6)

_________________________________________________________________________


Expresando todo ( , , , , , )x y z dx dy dz en términos del parámetro t .

Ejemplo 8.- Evalúe C

ysen z ds , donde C es la hélice circular dada por las ecuaciones

cos , , , 0 2x t y sent z t t .

Solución

El resultado con la fórmula (5) es

2 2 22

0

2 22 2 2

0 0

( )

11 2 (1 cos 2 )

2

2

C

dx dy dzysen z ds sent sent dt

dt dt dt

sen t sen t cos t dt t dt


ydx z dy xdz , donde C consta del segmento rectilíneo 1C desde

(2,0,0) hasta (3,4,5) seguido por el segmento vertical 2C desde (3,4,5) hasta (3,4,0) .

Solución

La curva C se ilustra a continuación

_________________________________________________________________________


Al aplicar la ecuación de la recta se tiene que 1C se puede expresar como

( ) (1 ) 2,0,0 3,4,5 2 ,4 ,5r t t t t t t

O bien, en forma paramétrica, como

( ) 2 ( ) 4 ( ) 5 0 1x t t y t t z t t t

Por lo tanto,

1

1

0

12

1

00

(4 ) 5 .4. (2 )5

(10 29 ) 10 29 24.52

Cy dx z dy xdz t dt t dt t dt

tt dt t

De manera similar, 2C se puede expresar en la forma

( ) (1 ) 3,4,5 3,4,0 3,4,5 5r t t t

O bien, en forma paramétrica

( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 5 0 1x t y t z t t t

Entonces 0dx dy , de modo que

2

1

03( 5) 15

Cy dx z dy xdz dt

Al sumar los valores de estas integrales

24.5 15C

y dx z dy xdz

Ejemplo 10.- Hallar 2 2 2( )C

x y z ds , donde C es la parte de la hélice circular

( ) cos , ( ) , ( ) (0 2 )x t a t y t asent z t bt t

Solución

Si hacemos

2 2

( ) ( cos , , ),0 2 , '( ) ( , , )

'( )

t a t asent bt t t a sent acost b

t a b

Entonces la integral se calcula de la siguiente forma:

_________________________________________________________________________


22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0

( ) ( cos )

2( ) (3 4 )

3

Cx y z ds a t a sen t b t a b dt

a b a b t dt a b a b

Aplicaciones de la integral curvilínea

Cualquier interpretación física de una integral de línea ( , )C

f x y ds depende de la

interpretación física de la función f . Suponga que ( , )x y representa la densidad lineal en

un punto ( , )x y de un alambre delgado con forma de la curva C . Entonces la masa de la

parte del alambre desde 1iPhasta

iP de la figura

Es de alrededor de * *( , )i i ix y s y entonces la masa total del alambre es de casi

* *( , )i i ix y s . Al considerar más y más puntos de la curva se obtiene la masa m del

alambre como el valor límite de estas aproximaciones, es decir:

* *

1

lim ( , ) ( , )n

i i iCn

i

m x y s x y ds

El centro de masa del alambre con función de densidad se sitúa en el punto ( , )x y ,

donde:

1( , )

1( , )

C

C

x x x y dsm

y y x y dsm

……………………………… (3)

Ahora si 3:C , es la función densidad de la masa del alambre, entonces la masa

del alambre recorrido por la curva C es ( , , )C

m x y z ds , de donde el centro de masa del

alambre es el punto ( , , )x y z siendo:

_________________________________________________________________________


( , , ) ( , , ) ( , , ); ;C C C

x x y z ds y x y z ds z x y z dsx y z

m m m

Ejemplo 11.- Hallar la masa de una cuarta parte de la elipse 2 2

2 21

x y

a b , situada en el

primer cuadrante si la densidad en cada punto es igual a la ordenada de ese punto

Solución

Se pide hallar ( , )C

m x y ds . Primero parametrizamos a la elipse. Como ya hemos visto

anteriormente, la parametrización de esta curva es ( ) ( cos , ) , [0, ]2

t a t b sent t

. Luego

'( ) ( , cos )t a sent b t . Del problema se tiene que la densidad es ( , )x y y .

Ahora reemplacemos nuestros datos en la formula

2 2 2 22

0

2 2 2 22

0

2 21 2 2

( , )

( )

sin ( )2 2

C Cm x y ds y ds

b sent a sen t b cos tdt

b sent a b a cos tdt

b a b cdonde c = a b

c a

cNota.- Aquí se ha hecho el cambio u=e.cost , e=

a

Ejemplo 12.- Un alambre toma la forma de un semicírculo 2 2 1 , 0x y y y es más

grueso cerca de la base que cerca de la parte superior. Calcule el centro de masa del

alambre si la densidad lineal en cualquier punto es proporcional a su distancia desde la

recta 1y .

Solución

Como en el ejemplo 1, use la parametrización cos , , 0 ,x t y sent t y determine que

ds dt . La densidad lineal es

( , ) (1 )x y k y

Donde k es una constante, y entonces la masa del alambre es

_________________________________________________________________________


0

0

(1 ) (1 )

cos ( 2)

Cm k y ds k sent

k t t k

Ahora, utilizando las ecuaciones 2

2

0

1 1( , ) (1 )

( 2)

1 1 1( ) [ cos 2 ]

( 2) ( 2) 4

4

2( 2)

C C

C

y y x y ds yk ym k

sent sen t dt t sen t

Por simetría 0,x de modo que el centro de masa es

4(0, ) (0,0.38)

2( 2)

Ejemplo 13.- Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hélice circular.

1( ) (cos ) , 0 6

2r t t sent t t i + j+ k

Donde la densidad del resorte es ( , , ) 1x y z z , como se muestra en la figura

Solución

Como

_________________________________________________________________________


Se sigue que la masa del resorte es

6

0

62

0

(1 ) (1 )2

2 2

36 (1 ) 144.47.

2

C

tz ds dt

tt

Masa

Integral de línea de un campo vectorial

Sea F un campo vectorial continuo sobre una curva suave C dada por una función vectorial

( )r t , a t b . Entonces la integral de línea de F a lo largo de C es

( ( )) '( )b

C ad t t dt F r F r r

Debemos de tener en cuenta que ( ( ))tF r es sólo una forma de abreviar ( ( ), ( ), ( ))x t y t z tF , de

modo que evalué ( ( ))tF r haciendo simplemente ( ) , ( ) , ( )x x t y y t z z t en la

expresión para ( , , )x y zF . Observe también que puede escribir formalmente '( )d t dtr r .

Observación.- Una de las aplicaciones más importantes de las integrales de línea es la de

hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas a lo largo

de una curva o trayectoria ( )r t .

Ejemplo 14.- Determine el trabajo efectuado por el campo de fuerza 2( , )F x y x xy i - jcuando mueve una partícula a lo largo del cuarto de circulo

( ) (cos , )t t sentr 02

t

.

Solución

Puesto que cos ,x t y sent se tiene que

2F(r( )) cos i cos j y r '( ) i cos jt t t sent t sent t

Por lo tanto el trabajo hecho es

2 22

0 0

23

0

( ( )) '( ) 2cos .

cos 22

3 3

Cd t t dt t sent dt

t

F r F r r

_________________________________________________________________________



d F r , donde 2( , , )x y z x xy zxF i - j+ k y C es la cúbica torcida

definida por 2 3, , 0 1x t y t z t t

Solución

Tiene 2 3( )r t t t t i + j+ k y 2'( ) 2 3r t t t i+ j+ k , 3 5 4( ( ))t t t tF r i + j+ k .

Por lo tanto,

1

0

14 7

13 6

00

( ) '( )

5 27( 5 )

4 7 28

Cd t r t dt

t tt t dt

F r = F(r )

=

Ejemplo 16.- Hallar el trabajo realizado por el campo fuerzas

1 1 1( , , )

2 2 4(campo dF =- i - j e fue+ rzas F)kx y z x y

Sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por

( ) (cos ) (Curva C en el espacio= i j+ k )r t t sent t

_________________________________________________________________________


Solución

Como ( ) ( ) ( ) ( ) (cos )= i j+ k = i j+ kr t x t y t z t t sent t se sigue que ( ) cos , ( )x t t y t sent ,

( )z t t . Por tanto, el campo de fuerzas puede expresarse como

1 1 1( ( ), ( ), ( )) cos

2 2 4F =- i - j+ kx t y t z t t sent

Para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas al moverse la partícula a lo largo de

la curva C, se utiliza el hecho de que

'( ) cos= i j+kr t sent t

y se escribe lo siguiente .

3

0

3

0

3

0

( ), ( ), ( ) '( )

1 1 1cos ( cos )

2 2 4

1 1 1cos cos

2 2 4

1 3

4 4

F r = F( ) r

= - i - j+ k i j+k

-

b

C aW d x t y t z t t dt

t sent sent t dt

t sent sent t dt

t

Para finalizar se hace notar la relación entre las integrales de línea de los campos

vectoriales y las integrales de línea de los campos escalares. Suponga que el campo

vectorial F sobre 3 está definido en la forma de componentes mediante la ecuación

P Q RF= i+ j+ k .

( ) '( )

( ) ( '( ) '( ) '( ) )

[ ( ( ), ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( )) '( )]

( ( ), ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( )) '( ) ( (

b

C a

b

a

b

a

b b

a a

d t r t dt

P Q R x t y t z t dt

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt

P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x

F r = F(r )

= i+ j+ k i+ j+ k

+

), ( ), ( )) '( )b

a

C

t y t z t z t dt

Pdx Qdy Rdz

_________________________________________________________________________


Por ejemplo, la integral C

ydx zdy xdz se podría expresar como C

d F r donde

y z xF= i+ j+ k

Notación.- Cuando C es una curva cerrada, a la integral de línea del campo vectorial F a lo

largo de C se le denota por C

F.Tds . En este caso algunos problema se resuelven fácilmente

aplicando el Teorema de Green o el teorema de Stokes, según estemos en 2 3o ,

respectivamente. Esta última observación la aplicaremos en las sesiones siguientes.

Problemas Propuestos

Calcular la integral de línea de los siguientes ejercicios

1. Calcular la integral ( )C

x y ds , donde C es la circunferencia 2 2x y ax

2. Calcular la integral C

dsds

x y , donde C es el segmento de recta 1

22

y x desde el

punto (0, 2)A hasta (4,0)B .

3. Calcular 2 2

Cx y ds , donde C es la circunferencia 2 2x y ax

4. Calcular 4 4

3 3

Cx y ds , donde C es el arco del astroide

2 2 2

3 3 3x y a

5. Calcular C

y ds , donde C es el arco de la lemniscata 2 2 2 2 2( ) ( )x y a x y

6. Calcular 2

Cy ds , donde C es el primer arco de la cicloide

( ) ( ) , ( ) (1 cos )x t a t sent y t a t

7. Calcular la integral 2 2 4C

dsds

x y , donde C es un segmento de recta que une los

puntos (0,0) (1,2)y O A

8. Calcular el valor de la integral l

dsds

x y donde l es el rombo con vértices

(1,0)A , (0,1) , ( 1,0) , (0, 1)B C D

_________________________________________________________________________


9. Calcular la integral Lxyzds , donde L es la intersección de las superficies

22 2 2 2 2 2,

4

Rx y z R x y , situado en el primer octante.

10. Calcular C

xzdx xdy yzdz a lo largo de la curva 1 2 3C C C C , donde

1C es un

arco de circunferencia con centro en (0,0,0) que parte en (0,0,1) y termina (1,0,0) ,2C es

un segmento de recta que parte de (1,0,0) hasta (0,1,0) y 3C también es un segmento de

recta que parte en (0,1,0) y termina en (0,1,1) .

11. Calcular F.dr si ( , , ) ( , , )F x y z xy yz xz y es la intersección de las superficies

2 2 1 1yx y x y z recorrida en sentido antihorario vista desde la parte superior

de z .

12. Calcular (y z)dx (x z)dy (x y)dz donde es la curva de intersección del

cilindro 2 2 2x y y con el plano y z .

13. Hallar la masa total del alambre cuya forma es la de la curva y x , con 1 1x , si

la densidad de cada punto P de él es igual al valor absoluto del producto de las

coordenadas del punto.

14. Hallar la masa de un fragmento de la línea lny x comprendido entre los puntos cuyas

abscisas son 1 2,x x si la densidad de la línea en cada punto es igual al cuadrado de la

abscisa del punto

15. Hallar la masa del arco de línea ( ) cos , ( ) ,t t tx t e t y t e sent z e desde el punto

correspondiente a 0t , hasta el punto cualquiera si la densidad del arco es

inversamente proporcional al cuadrado del radio polar ( 2 2 2r x y z ).

16. Hallar el centro de masa de una pieza de alambre de densidad constante enrollada en la

forma de la hélice ( ) (4cos ,4 ,3 ) , [0, ]r t t sent t t

17. Hallar el centro de masa (centro de gravedad) de la primera semiespira de la hélice

( ) cos , ( ) , tx t a t y t asent z be , considerando la densidad constante.

_________________________________________________________________________


18. Un objeto recorre una elipse 2 2 2 2 2 2b x a y a b en sentido antihorario y se encuentra

sometido a la fuerza ( , ) ( , )2 2

y xF x y . Hallar el trabajo realizado.

19. Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas 2 2( , , ) ( 2 , 3 ,2 4 )F x y z x y z x y z xz y al mover una partícula alrededor de la

curva cerrada 2

2 1 , 24

xy z en sentido antihorario.

20. Calcular el trabajo que realiza la fuerza 2 24 2( 1) 4

( , , ) ( , , )( , ) ( , ) ( , )

xy x y xyzF x y z

A x y A x y A x y

,

donde: 2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) 4 ( 1)A x y x y y x y para mover una partícula alrededor de

la circunferencia 2 2 2 0 , 0x y x z .

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Integrales de línea