INTEGRALES DE LÍNEA VECTORIALES

8/19/2019 INTEGRALES DE LÍNEA VECTORIALES

1/13

INTEGRALES DE LÍNEA VECTORIALES

Una diferencia importante entre integrales de línea escalares y vectoriales es que las

integrales de línea vectoriales dependen del sentido en el que se recorre la curva.

Definición.- Integral de línea vectorial

La integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de una curva orientada C es la integral de

la componente tangencial de F.

∫C

❑

F . ds = ∫C

❑

( F . T )ds


2/13

Para evaluar integrales de línea vectoriales se utilizan parametrizaciones, pero existe unadiferencia con el caso escalar, la parametrización c(t) debe tener orientación positiva

(cuando tomamos la orientación de la curva en sentido contrario a las agujas del reloj) , es

decir, c(t) debe trazar C en el sentido positivo, Se supondr tambi!n "ue c(t) es regular # es decir

"ue, c´(t) $ % para a& t &b. 'ntonces c´(t) es un vector tangente no nulo "ue apunta en el sentido

positivo se tiene

T =c ´ (t )

‖c ´ (t )‖

'n t!rminos del diferencial de longitud de arco ds = ‖c ´ (t )‖ dt se tiene "ue

(F.T)ds = F(c(t)).

c ´ (t )

‖c ´ (t )‖¿

) ‖c ´ (t )‖ dt= F(c(t)).c´(t)dt

Por lo tanto enunciamos el siguiente teorema.

Teorem !.* Calculo de una integral de línea vectorial

Si c(t) es una parametrizaci+n regular de una curva orientada C para a ≤t ≤b , entonces

∫C

❑

F . d s = ∫a

b

F ( c ( t ) ). c ´ (t )dt

onde d" = c´(t)dt


3/13

E#em$%o &'

'valu! ∫C

❑

F . d s, donde F = (z, y

2, x ¿ C esta parametrizada (en el sentido positivo) por

c(t) = (t-, et , t

2¿ para % ≤t ≤2 .

Soluci+n

& C%c%mo" e% inte*rn+o'

c(t) = (t-, et , t

2¿

c/(t) = (, et ,2t ¿

0(c(t)) = ( t 2

, e2t

,t +1¿

E% inte*rn+o (como n +iferenci%) e" e% $ro+cto e"c%r

0(c(t)). c/(t)dt = ( t 2

, e2t

,t +1¿ . (, et ,2t ¿ dt

0(c(t)). c/(t)dt = ( t 2.1+¿ e

2t

. et +¿ ( t +1¿ .2 t ¿dt

0(c(t)). c/(t)dt =( t 2

- e3 t

-1 t 2+2 t )

0(c(t)). c/(t)dt =( e3 t +3 t 2+2 t ¿ dt

! E,%mo" % inte*r% +e %ne ,ectori%

∫C

❑

F . d s=∫0

2

F (c (t )). c ´ (t )dt

∫0

2

F (c (t )) . c ´ (t )dt =∫0

2

( e3 t +3 t 2+2t ) dt

∫0

2

F (c (t )) . c ´ (t )dt =1

3

e3 t

|2

0 -

3

3

t 3|2

0 -

2

2

t 2|2

0

∫0

2

F (c (t )). c ´ (t )dt =1

3e3 t |20+ t 3|20 - t 2|20 =

1

3 ( e6 t −e0¿+(23−03)+¿ ( 2

2−02 ¿

∫0

2

F (c (t )) . c ´ (t )dt ¿ e6 t

3 −13 -2-3=

e6 t

3 −13+12 =

(e6 t −1+36)3 =

(e6 t +35)3 4pta


4/13

5tra notaci+n estndar para la integral de línea ∫C

❑

F . d s es

∫C

❑

F . d s=∫C

❑

F 1dx+ F 2dy+ F 3 dz

Con esta notaci+n se puede expresar ds como un diferencial vectorial

d" = (dx, d, dz)

de manera "ue F . d s = ( F 1 , F 2 , F 3¿ . (dx, d, dz) = F 1 dx+ F 2 dy+ F 3 dz

en t!rminos de una parametrizaci+n c(t) = (x(t), (t), z(t))

d" = (

dx

dt ,

dy

dt ,

dz

dt ¿dt

F.d" = ( F 1 (c(t))dx

dt , F 2 (c(t))

dy

dt , F

3 (c(t))dz

dt ) dt

6sí obtenemos la siguiente formula

∫C

❑

F 1dx+ F 2dy+ F 3 dz = ∫a

b

( F 1(c (t ))

dx

dt , F

2(c (t ))

dy

dt , F

3(c (t ))

dz

dt )dt

Recor+r' F.T ‖ F ‖ . ‖T ‖ cos θ , donde θ es el angulo entre 0 7


5/13

E#em$%o !' La 'lipse C de la figura (C) , F = (1, *8), con orientaci+n en el sentido contrario al

de las agu9as del relo9 esta parametrizada por c( t ¿ = ( 5+4 cost ,3+2 sent ¿ , para 0≤t ≤2 π .

Calcule

∫C

❑

2 ydx−3dy

SOL/CI0N'

& A$%i1emo"'

∫C

❑

F 1

dx+ F 2

dy+ F 3

dz = ∫a

b

( F 1(c (t ))dx

dt , F 2(c (t ))

dy

dt , F 3(c (t ))

dz

dt )dt

debemos de ver en este caso "ue c(t) = ( 5+4 cost ,3+2 sent ¿ ,

x( t ) ¿5+4 cost e ( t ) ¿3+2 sent

dx

dt = *3sen t

dy

dt = 1cos t

E% inte*rn+o +e % inte*r% +e %ine e"'

2 ydx−3dy=¿ 1( 3+2 sent )(*3sen t d ¿ *8(1cos tdt ¿

2 ydx−3dy = :(; - 3sen t )(*3sen t d t ¿ *;cos t


6/13

∫C

❑

2 ydx−3dy =13(*) −8 (2 π −0 )−6(0−0)

∫C

2 ydx−3dy = % −¿ ; π −0

∫C

❑

2 ydx−3dy −¿ &2 π R$t.

6 continuaci+n se enuncian algunas propiedades bsicas de las integrales de línea vectoriales.

'n primer lugar, dada una curva orientada C, la orientaci+n C indica la curva C con orientaci+n

opuesta ver figura. 'l vector tangente unitario cambia de signo, de 7 a 7, cuando se cambia de

orientaci+n, por lo "ue la componente tangencial de 0 la integral de línea tambi!n cambian de

signo

∫−C

❑

F . d s=−∫C

❑

F . d s

>eamos el siguiente teorema


7/13

'9emplo 8 ∫C

❑

F . d s, donde F = ( e

z, e

y, x+ y¿ C es el tringulo definido por (, %, %), (%, ,

%) (%, %, ), orientado ?acia la iz"uierda, visto desde arriba (vea la figura) para 0≤t ≤1

Soluci+n

∫C

❑

F . d s = ∫́

AB

❑

F . d s - ∫́

BC

❑

F .d s - ∫́

CA

❑

F . d s

@ Se debe integrar∫́

AB

❑

F . d s

parametrizar el segmento AB

AB = 6 -(A*6)t = (,%,%)-((%,,%)*(,%,%))t

AB = 6 - (A*6)t = (,%,%)-(*t, t, %)

AB = 6 - (A*6)t= (*t, t, %)

'se segmento AB sería mi funci+n en t +sea AB=c1 (t) = (*t, t, %)

'ntoncesc1

´ (t) = ( *, %)

'l integrando para ∫́ AB

❑ F . d s

ser

0( c1 (t)).

c1

´ (t)= 0(*t, t, %). ( *, %)

0( c1 (t)).

c1

´ (t)=

e

(¿¿0 , et ,1+0) .(−1,1,0)¿

0( c1 (t)).

c1

´ (t)= (1,e

t ,1) .( −1,1,0¿

0( c1 (t)).

c1

´ (t)= *- e

t +0 = * - et


8/13

∫́ AB

F . d s = ∫

0

1

(−1+et ) dt = * t |1

0 -e

t |10

∫́ AB

F . d s = *(*%)-( e

1−e0¿=−1 - e−¿ ¿e−2

1@ Se debe integrar∫́BC F . d s

parametrizar el segmento BC

BC = A - (C*A)t = (%,,%)-((%,%,)*(%,,%))t

BC = A - (C*A)t =(%, , %) -(%,*, )t =(%, , %)-(%, *t, t)

BC = A - (C*A)t =(%, *t, t)

'se segmento BC sería mi funci+n en t +seaBC =c2 (t) = (%, *t, t)

'ntoncesc2´ (t) = ( %,*, )

'l integrando para ∫́BC

❑

F .d s ser

0( c

2 (t)). c2´ (t)=0(%, *t, t). ( %,*, ) = ( e

t , e

1−t

, %-*t). ( %,*, )

0( c2 (t)).

c2´ (t)= ( et , e

1−t

, *t).(%, *, )= % * e1−t

-*t = * e1−t

-*t

∫́BC

❑

F .d s =

¿¿

∫0

1

¿ * e

1−t

-*t)dt = −∫0

1

e1−t

dt - ∫0

1

dt * ∫0

1

tdt

∫́BC

❑

F .d s = .

−e1−t

−1 |10 - t |10 * 12 t 2|10

∫́BC

F . d s =

e1−t |1

0 -(*%)*1

2 ( 1

2−02¿

∫́BC

F .d s = e

1−1−e1 -*1

2 =e0

*e-1

2 = -1

2−e

=3

2

8@ Se debe integrar∫́

CA

F . d s

CA = C - (6*C)t = (%,%,)-((,%,%)*(%,%,))t

CA = C - (6*C)t =(%,%,)- (,%, *)t =(%, %, )-(t, %, *t)


9/13

CA = C - (6*C)t =(t, %, *t)

'se segmentoCA

sería mi funci+n en t +seaCA=c3 (t) = (t, %, *t)

c ´ 3 (t) = (, % *)

'l integrando para ∫ĆA

❑

F . d s ser

0( c3 (t)).

c3´ (t)=0(t, %, *t). (, % *) = ( e1−t

, e0

, t-%).(, %, *)

0( c3 (t)).

c3´ (t)=( e1−t

,1, t ¿ .(, %, *) = e1−t +0−t =e1−t −t

∫́CA

❑

F . d s = ∫

0

1

( e1−t −t ) dt =e1−t

−1 |10 *1

2 t

2|10 = *

e1−t |1

0 *1

2 t

2|10 =

∫́CA

❑ F . d s

= *( e

1−1−e1−0¿−1

2(12−02)

∫́CA

❑

F . d s = *(*e)*

1

2 = *-e*1

2 =−32 +e

0B6LD'7'

∫C

❑

F . d s = ∫́

AB

❑

F . d s - ∫́

BC

❑

F .d s - ∫́

CA

❑

F . d s

∫C

❑

F . ds e-!3

3

2 -e−32 +e e-! R$t

7raba9o Personal 3Bntegrales de línea vectoriales

. Calcule la integral del campo vectorial F = (x, ,z) sobre c(t) = (cost, sent, t) para %≤t ≤ π

4ptaπ

2

2

1. Calcule la integral del campo vectorial F = ( x2

, xy ) sobre el segmento rectilíneo ((%,%) a

(1,1) # para % ≤t ≤2


10/13

R$t.16

3

8. 0 = (8z y−1

, 3x, *), c(t) = ( et , e

t ,t ¿ para −1≤ t ≤1

R$t. !( e2−e−2¿ −(e−e

−1)

3. 'value la siguiente integral de línea vectorial

∫C

❑

ydx− xdy para = x

2

para 0≤ x ≤2

Rpta . −83

E. ∫C ( x− y ) dx+( y− z)dy+ zdz

sobre el segmento rectilíneo de de (%,%,%) a (, 3, 3)

(Fse para el parmetro % ≤t ≤1 debe encontrar la ecuaci+n vectorial de la recta)

R$t.13

2

;. ∫C

❑

F . d s , donde F = ( e z

, e x− y

, e x+ y ¿ C es el tringulo definido por

(1, %, %), (%, 3, %) (%, %, ;), orientado ?acia la iz"uierda, visto desde arriba (vea la figura)

para 0≤t ≤1 (Ge"e $or e% e#em$%o +e% $ro4%em 5)

R$t.1

3 e

6

33

2e4

32

3 e

2

31

3e−4−

65

16

G. Calcule la integral del campo vectorial F = ( x2−2 xy , y 2−2 xy ) sobre la parbola =

x2

para −1≤ x ≤ .


11/13

R$t−1415

2. Calcule la integral del campo vectorial F =(3,) cuarta parte de la circunferencia

x2+ y2=1 dada por x ≤0 , y ≤0 (>er grfico) orientada en el sentido contrario a las

agu9as del relo9 . 6l parametrizar traba9e conπ ≤ t ≤

3 π

2

H. Calcule la integral del campo vectorial F =( e y− x

, e2 x¿ traectoria lineal a trozos de (,)

a (1,1) de este punto a (%,1). (>ea el grfico).

6l parametrizarC 1 :C 1 (t) = (t, t) para 1≤ t ≤2

C

2:C

2 (t) = (t, 1) para 2≤ t ≤0

R$t.1

2

e4−

3

2

e2+2

%.Calcule la integral del campo vectorial F (− y

x2+ y2 6

x

x2+ y2 )6 circunferencia de radio ,

centro en el origen orientada en el sentido contrario a las agu9as del relo9 .

6l parametrizar se obtiene para t 0≤t ≤2 π

R$t. ! π

R$t.9

2


12/13

11. Calcule la integral del campo vectorial F (1

y3+1

, 1

z+1,1¿

6 con C(t) = ( t 3

,2, t 2 ¿ para %

≤t ≤1

Rpta.10

9

1.Calcule la integral de línea vectorial ∫C

❑

ydx+ zdy+ xdz, con C(t) = (1-

1t ,

t 3

, t 2

) para

% ≤t ≤1 .

R$t.41

40

8.Calcule la integral de línea vectorial ∫C

zdx+ x2dy+ ydz , con C(t) = (cost, tant, t) para

% ≤t ≤

π

4 .

R$t.π √ 28

−√ 22 3

π

4 3ln 2

2

&7.Calcule la integral de línea vectorial ∫C

❑− ydx+ xdy

x2+ y2 , segmento de (,%) a (%,).

4pta. π 2

15. Calcule la integral del campo vectorial F ( y3

,− x2 y ¿ con c(t)=( e−2t

,et ¿ para %

≤t ≤ ln2

R$t. −198

;.Calcule la integral del campo vectorial F ( x− y , x+ y ¿ a lo largo de la curva C =

x2

de la figura dada ( integre en sentido contrario a las agu9as del relo9 ). Para %

≤ x ≤1


13/13

G.Calcule la integral del campo vectorial F ( 5 xy−6 x2

,2 y−4 x¿ a lo largo de la curva

C = x3

para 1≤ x ≤2 . 4pta 8E

2.Calcule la integral del campo vectorial F(!896 x2¿conc (t )=(t , t 2) para0≤ t ≤2

4pta. 3%I8

H.Calcule la integral del campo vectorial F(!86 !9) con c(t)(!t-&6 2t3&) $r -& ≤t ≤1

Rpta. 16

20. Calcule la integral del campo vectorial F( x2

, y ¿ con c(t) (co"t6 "ent) $r : ≤t ≤ π

6

R$t.3√ 3−5

24

21. Calcule la integral del campo vectorial F(-96 86 !;) con c(t)(!co"t6 5"ent6 5t)

para % ≤t ≤π .

4pta. 9 π 2+6π

Rpta. 2/3

Documents

INTEGRALES DE LÍNEA VECTORIALES