MA1003 Calculo IIITema 04: Campos vectoriales

Parte 01: integrales de lınea y teorema de Green

Profesor Jesus Sanchez Guevara

U.C.R.

I Semestre 2020

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T04P01 integrales de lınea I Semestre 2020 1 / 20

En esta clase

1 Campos vectoriales.

2 Integrales de lınea.

3 Independencia de trayectoria.

4 Teorema de Green

Introduccion

¿Cual es la importancia de las integrales delınea?

1 Descripciones de movimientos departıculas.

2 Calculos de areas.

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T04P01 integrales de lınea I Semestre 2020 2 / 20

Definicion

Un campo vectorial ~F es una funcion queasigna a cada punto de R2 un vector de R2.

Se escribe

~F “ pM,Nq “ M ı` Npx , yq

o~F px , yq “ Mpx , yqı` Npx , yq

donde M,N son funciones escalares.

Para representarlo de forma grafica, sobrecada punto px , yq P R2 se dibuja el vector~F px , yq.

Los campos vectoriales se puedeninterpretar como campos de velocidad,flujo de viento, campos gravitacionales,etc.

Geogebra:

https://www.geogebra.org/m/cXgNb58T

Ejemplos

Se grafican y se explican cada uno de lossiguientes campos vectoriales.

1 Campo con simetrıa radial, donde entremas lejos se esta del origen la fuerza esmayor:

~F px , yq “ x ı` y

2 Campo de movimientos circulares:

~F px , yq “ ´y ı` x

3 Campo con componente horizontalconstante:

~F px , yq “ 2ı` y

4 Campo vectorial constante:

~F px , yq “ 2ı` 1

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Definicion

Un campo vectorial ~F en R3 es una funcion queasigna a cada punto de R3 un vector de R3.

Se escribe

~F “ pP,Q,Rq “ P ı` Q ` Rk

o

~F px , y , zq “

Ppx , y , zqı` Qpx , y , zq` Rpx , y , zqk

donde P,Q,R son funciones escalares.

Para representarlo de forma grafica, sobrecada punto px , y , zq P R3 se dibuja el

vector ~F px , y , zq.

Ejemplo

El gradiente de f px , yq “ xy se puede ver como

un campo vectorial ∇f “ ~F “ y ı` x ı.

Observacion

Se puede obtener un campo vectorial a partir deuna funcion escalar de R2, o de R3:

A z “ f px , yq se le asigna el campovectorial:

~F “ fx ı` fy “ ∇f

Entonces Mpx , yq “ fx px , yq yNpx , yq “ fy px , yq.

A w “ f px , y , zq se le asigna el campovectorial:

~F “ fx ı` fy ` fz k “ ∇f

Entonces Ppx , y , zq “ fx px , y , zq,Qpx , y , zq “ fy px , y , zq yRpx , y , zq “ fz px , y , zq.

Definicion

Si ~F es un campo vectorial y existe una funcionescalar tal que ~F “ ∇f , entonces a f se lellama la funcion potencial de ~F .

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Observacion

No todo campo vectorial ~F es de la forma~F “ ∇f . ¿Como encontrar un ejemplo?

Interpretacion de un campo vectorial con

funcion potencial ~F “ ∇f :

1 Si ~F es un campo gravitacional, f es elpotencial gravitacional.

2 Si ~F es un campo electrivo, f es el voltaje(potencial electrico).

Ejemplo

El campo vectorial

~F “ ´y ı` x

no es un campo que se obtenga como gradientede una funcion escalar.

o Una posible justificacion:

Si suponemos que ~F “ fx ı` fy , entonces

fx “ ´y y fy “ x .

ñ fxy “ ´1 y fyx “ 1.

ñ ´1 “ fxy “ fyx “ 1.

ñ ´1 “ 1 lo que es una contradiccion.

Ejemplo

Tampoco tienen funcion potencial los camposde la forma:

~F “ hpxqı` x .

~F “ y ı` gpyq.

~F “ hpxqı` xgpyq.

~F “ hpxqy ı` gpyq.

donde f , g son funciones no nulas.

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T04P01 integrales de lınea I Semestre 2020 5 / 20

o Trabajo de un campo vectorial a lo largo deuna curva en el plano o el espacio

Trabajo a lo largo de una curva

Una partıcula se mueve en el plano desde elpunto A hasta el punto B a lo largo de la curvaC, en cada punto del recorrido la partıcula esafectada por el campo ~F . Se quiere calcular eltrabajo de llevar la partıcula de A a B.

1 Se parametriza C:

~rptq “ pxptq, yptqq, t P ra, bs

tal que ~rpaq “ A y ~rpbq “ B.

2 Formula del trabajo:

W “ fuerza ¨ desplazamiento

Note que es un producto punto devectores.

3 Se secciona C con respecto al tiempo y seestima el trabajo total con la suma de lasestimaciones en cada seccion.

WTotal »ÿ

i

~F ¨∆~rpti q

“ÿ

i

~F ¨∆~rpti q

∆ti∆ti

Se toma el lımite ∆ti Ñ 0

ñWTotal “

ż b

a

~F pxptq, yptqq ¨ ~r 1ptqdt

1 El calculo del trabajo no varıa si se usaotra parametrizacion de C, pero debe derecorrerse en el mismo sentido, puescambia de signo.

2 A la integral

WTotal “

ż b

a

~F pxptq, yptqq ¨ ~r 1ptqdt

se le llama integral de lınea del campovectorial ~F a lo largo de C y se denota:

¿

C

~F ¨ d~r

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Ejemplo

Para ~F px , yq “ ´y ı` x , calcule W “ű

C~F ¨ d~r

donde C es la seccion de la parabola y “ x2 dep0, 0q a p1, 1q.

Se parametriza C : con x “ t y y “ t2, cont P r0, 1s. Ası, ~rptq “ pt, t2q.

W “

ż 1

0

~F pt, t2q ¨ ~r 1ptqdt

“

ż 1

0

ˆ

´t2

t

˙ˆ

tt2

˙1

dt

“

ż 1

0

ˆ

´t2

t

˙ˆ

12t

˙

dt

“

ż 1

0t2dt “

1

3

o Este resultado no varıa con laparametrizacion. Por ejemplo~rpθq “ psinpθq, sin2pθqq, y θ P r0, π

2s.

W “

ż π2

0

~F psinpθq, sin2pθqq ¨ ~r 1pθqdθ

“

ż π2

0

ˆ

´ sinpθq2

sinpθq

˙ˆ

sinpθqsinpθq2

˙1

dθ

“

ż π2

0

ˆ

´ sinpθq2

sinpθq

˙ˆ

cospθq2 sinpθq cospθq

˙

dθ

“

ż π2

0sin2pθq cospθqdθ

“sin3pθq

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π2

0

“1

3

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T04P01 integrales de lınea I Semestre 2020 7 / 20

Segmento de recta de Rn

Sea C un segmento de recta del punto Pi alpunto Pf . Una parametrizacion de C que lorecorre de Pi a Pf es:

~rptq “ Pi ` tpPf ´ Pi q

con t P r0, 1s. Note que ~rp0q “ Pi y ~rp1q “ Pf .

Propiedad

Si ~r “ pxptq, yptqq con t P ra, bs es unaparametrizacion es una parametrizacion de unacurva C, entonces la curva recorrida en elsentido opuesto ´C se puede parametrizar por:

~wptq “ ~rpxp´t ` a` bq, yp´t ` a` bqq

Propiedad

¿

C

~F ¨ d~r “ ´

¿

´C

~F ¨ d~r

En efecto,

¿

´C

~F ¨ d~r

“

ż b

a

~F pxp´t ` a` bq, yp´t ` a` bqq ¨ ~w 1ptqdt

“

ż b

a

~F pxp´t ` a` bq, yp´t ` a` bqq ¨ p´1q~r 1p´t ` a` bqdt

“

ż a

b

~F pxpuq, ypuqq ¨ ~r 1puqdu

“´

ż b

a

~F pxpuq, ypuqq ¨ ~r 1puqdu

“´

¿

C

~F ¨ d~r

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Observacionű

C~F ¨ d~r se puede escribir como:

1 R2:

¿

C

~F ¨ d~r “

¿

C

ˆ

MN

˙

¨

ˆ

dxdy

˙

“

¿

C

Mdx ` Ndy

2 R3:

¿

C

~F ¨ d~r “

¿

C

¨

˝

PQR

˛

‚¨

¨

˝

dxdydz

˛

‚

“

¿

C

Pdx ` Qdy ` Rdz

Ejemplo

Para curva C con parametrizacion x “ t yy “ t2, con t P r0, 1s, se quiere calcular.

¿

C

´ydx ` xdy

De la curva se tiene x “ t ñ dx “ dt yy “ t2 ñ dy “ 2tdt. Entonces,

ż 1

0´t2dt ` tp2tqdt “

ż 1

0t2dt “

1

3

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Ejemplo

Exprese con integrales de funciones de unavariable

¿

C

Mdx ` Ndy

si C es el recorrido en el sentido antihorario delsector circular de radio a y angulo π

4, iniciando

en p0, 0q, hacia pa, 0q, llegando a pa?

2,

a?

2q y

volviendo a p0, 0q.

o Hacer un dibujo.Se divide C en 3 curvas para poder hacer laparametrizacion:

¿

C

Mdx ` Ndy

“

¿

C1

Mdx ` Ndy `

¿

C2

Mdx ` Ndy

`

¿

C3

Mdx ` Ndy

1 C1: Es un segmento de recta de p0, 0q apa, 0q: Ası que usamos

px , yq “ p0, 0q` tppa, 0q´ p0, 0qq, t P r0, 1s

ñ px , yq “ pta, 0q, t P r0, 1s. Ası dx “ adty dy “ 0

¿

C1

Mdx ` Ndy “ a

ż 1

0Mpat, 0qdt

2 C2: Es un arco de pa, 0q a pa?

2,

a?

2q,

entoncespx , yq “ pa cospθq, a sinpθqq, t P r0, π

4s ñ

dx “ ´a sinpθqdθ y dy “ a cospθqdθ

¿

C2

Mdx ` Ndy “

´ a

ż π{4

0Mpa cospθq, a sinpθqq sinpθqdθ`

a

ż π{4

0Npa cospθq, a sinpθqq cospθqdθ

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T04P01 integrales de lınea I Semestre 2020 10 / 20

1 C3: Es un segmento de recta de pa?

2,

a?

2q

a p0, 0q: Ası que usamos

px , yq “

ˆ

a?

2,

a?

2

˙

` t

ˆ

p0, 0q ´

ˆ

a?

2,

a?

2

˙˙

t P r0, 1s

ñpx , yq “

ˆ

a?

2´ t

a?

2,

a?

2´ t

a?

2

˙

t P r0, 1s

Ası dx “ ´a?

2dt y dy “ ´

a?

2dt

¿

C3

Mdx ` Ndy

“´a?

2

ż 1

0M

ˆ

a?

2´ t

a?

2,

a?

2´ t

a?

2

˙

dt

´a?

2

ż 1

0N

ˆ

a?

2´ t

a?

2,

a?

2´ t

a?

2

˙

dt

Finalmente,

¿

C

Mdx ` Ndy

“

¿

C1

Mdx ` Ndy `

¿

C2

Mdx ` Ndy `

¿

C3

Mdx ` Ndy

“a

ż 1

0Mpat, 0qdt

´a

ż π{4

0Mpa cospθq, a sinpθqq sinpθqdθ

`a

ż π{4

0Npa cospθq, a sinpθqq cospθqdθ

´a?

2

ż 1

0M

ˆ

a?

2´ t

a?

2,

a?

2´ t

a?

2

˙

dt

´a?

2

ż 1

0N

ˆ

a?

2´ t

a?

2,

a?

2´ t

a?

2

˙

dt

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T04P01 integrales de lınea I Semestre 2020 11 / 20

o Integral de lınea con respecto a la longitudde arco

Longitud de arco

Recuerde que

s “

ż t

a}~r 1ptq}dt

Por lo que:

ds

dt“}~r 1ptq} ñ ds “ }~r 1ptq}dt

ñ T ¨ ds “ T ¨ }~r 1ptq}dt

“~r 1ptq

}~r 1ptq}¨ }~r 1ptq}dt

“ ~r 1ptqdt

De lo cual se obtiene la formula:

¿

C

~F ¨ d~r “

¿

C

~F ¨ Tds

Proceso

Para calcular integrales de longitud de arco

¿

C

f px , yqds

se puede seguir el siguiente proceso:

1 Encuentre una parametrizacion de C,~rptq “ pxptq, yptqq con t P ra, bs.

2 Determine }~r 1ptq}

3 Calcule

¿

C

f px , yqds “

ż b

af pxptq, yptqq}~r 1ptq}dt

o Tambien sirve para curvas en R3, solo hayque hacer la adaptacion.

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T04P01 integrales de lınea I Semestre 2020 12 / 20

Ejemplo

Sea ~F “ x ı` y y C cırculo de radio a. Calculeű

C~F ¨ d~r .

Las tangentes unitarias T a lo largo del cırculoson perpendiculares al campo vectorial:

¿

C

~F ¨ d~r “

¿

C

~F ¨ Tds “

¿

C

0ds “ 0

Ası, ver las cosas con respecto a la longitud dearco puede simplificar calculos.

Ejemplo

Sea ~F “ ´y ı` x y C cırculo de radio a.Calcule

ű

C~F ¨ d~r .

Las tangentes unitarias T a lo largo del cırculoapuntan en la misma direccion que el campovectorial, entonces T “ ~F {}~F }, por lo tanto~F ¨ T “ }~F } “ a.

¿

C

~F ¨ d~r “

¿

C

~F ¨ Tds “

¿

C

ads “ a

¿

C

1ds

“ ap2πaq “ 2πa2

Aplicaciones

1 Calculo de longitudes:

Longitud de C “¿

C

1ds

2 Calculo de masas: si δ es la densidad de lacurva C, entonces

MasapCq “¿

C

f px , yqds

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T04P01 integrales de lınea I Semestre 2020 13 / 20

Definicion~F se dice campo gradiente si ~F “ ∇f .

Teorema

Teorema fundamental del calculo paraintegrales de lınea.

¿

C

~F ¨ d~r “

¿

C

∇f ¨ d~r “ f pPfinalq ´ f pPinicialq

oNota: La region que contiene a C debe de sersimplemente conexa.

Propiedad

Si ~F es un campo gradiente y C es una curvacerrada, entonces:

¿

C

~F ¨ d~r “ 0

Ejemplo

El campo

~F “ yz ı` xz ` xyk

es gradiente porque ~F “ ∇f , dondef px , y , zq “ xyz. Calcule

ű

C~F ¨ d~r donde C es el

cırculo unidad centrado en p0, 0, 0q en el planoxy .

~rptq “ pcosptq, sinptq, 0q, t P r0, 1s y~F “ p0, 0, cosptq sinptqq. Entonces,~F ptq ¨ ~r 1ptq “ 0, por lo que la integral es cero.

Definicion~F se dice campo consevativo si

¿

C

~F ¨ d~r “ 0

sobre cualquier curva cerrada C.

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o ¿Como determinar si un campo vectorial esun campo gradiente?

Definicion

Dado ~F campo vectorial, se llama rotacional a:

1 En R2:

Rot~F “B

BxN ´

B

ByM “ Nx ´My

2 En R3:

Rot~F “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

P Q R

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“pRy ´ Qz ,Pz ´ Rx ,Qx ´ Py q

Propiedad

~F “ ∇f ô Rot~F “ ~0

o Siempre que el campo vectorial este definidoen una region simplemente conexa.

Metodo

Dado un campo gradiente ~F “ ∇f , la funcionpotencial f se puede calcular usando elsiguiente procedimiento:

1 Si ~F “ M ı` N , entonces se calculan:

ż

Mdx “ f px, yq ` c1

ż

Ndy “ f px, yq ` c2

Luego, se forma f con los terminos norepetidos de estas integrales.

2 Si ~F “ P ı` Q ` k, entonces se calculan:

ż

Pdx “ f px, y , zq ` c1

ż

Qdy “ f px, y , zq ` c2

ż

Rdz “ f px, y , zq ` c2

Luego, se forma f con los terminos norepetidos de estas integrales.

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Ejemplo

Verifique que

~F “ yz ı` xz ` xyk

es un campo gradiente y encuentre su funcionpotencial.

Rot~F “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

yz xz xy

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“px ´ x ,´py ´ yq, z ´ zq

“p0, 0, 0q

Se calcula la funcion potencial:ş

yzdx “ xyz ` c1ş

xzdy “ xyz ` c2ş

xydz “ xyz ` c3

Ası, f px , y , zq “ xyz.

Ejemplo

Verifique que

~F “ 2xyz ı` x2z ` x2yk

es un campo gradiente y encuentre su funcionpotencial.

Rot~F “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

2xyz x2z x2y

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“px2 ´ x2,´p2xy ´ 2xyq, 2xz ´ 2xzq

“p0, 0, 0q

Se calcula la funcion potencial:ş

2xyzdx “ x2yz ` c1ş

x2zdy “ x2yz ` c2ş

x2ydz “ x2yz ` c3

Ası, f px , y , zq “ x2yz.

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o La propiedad sobre curvas cerradas es falsasi la region no es simplemente conexa, esdecir, tiene hueco.

Ejemplo

Sea C una curva cerrada en el plano queencierra al origen. Calcule

I “

¿

C

~F ¨ d~r “

¿

C

´y

x2 ` y2dx `

x

x2 ` y2dy

donde C se recorre en sentido antihorario.

Rot~F “Nx ´My

“1

x2 ` y2´

2x2

px2 ` y2q2

´

ˆ

´1

x2 ` y2`

2y2

px2 ` y2q2

˙

“2

x2 ` y2´

2px2 ` y2q

px2 ` y2q2“ 0

Pero como ~F se indefine en p0, 0q la regiondonde esta C no es simplemente conexa. Dehecho, esta integral no es cero.

Suponga que C es el cırculo de radio a centradoen p0, 0q. Entonces ~rptq “ pa cosptq, a sinptqqpara t P r0, 2πs, entonces dx “ ´a sinptqdt ydy “ a cosptqdt:

I “

ż 2π

0

´a sinptq

a2p´a sinptqqdt `

a cosptq

a2pa cosptqqdt

“

ż 2π

0dt “ 2π ‰ 0

De hecho se puede demostrar que paracualquier curva cerrada C alrededor del origen, Isiempre da 2π.

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Teorema de Green

Si C es una curva cerrada suave borde de unaregion R en R2, entonces

¿

C

~F ¨ d~r “

ij

R

Rotp~F qdA

“

ij

R

pNx ´My qdA

Propiedad

Si ~F es un campo conservativo o gradienteentonces

¿

C

~F ¨ d~r “ 0

Aplicaciones del teorema de Green

1 Puede simplificar calculos de integrales delınea.

2 Calculo de areas: denote el borde de unaregion R del plano como BR.

AreapRq “

ij

R

1dA

“

¿

BR

xdy “

¿

BR

´ydx

ñ AreapRq “1

2

¿

BR

´ydx ` xdy

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Ejemplo

Sea C el cırculo de radio 1 centrado en p2, 0qrecorrido en sentido antihorario. Calcule

W “

¿

C

ye´xdx ` p1

2x2 ´ e´x qdy

Usando el teorema de Green, M “ ye´x ,N “ 1

2x2 ´ e´x , C es el borde del disco D de

radio 1 centrado en p2, 0q:

W “

ij

D

Nx ´MydA “

ij

D

px ` e´x q ´ e´xdA

“

ij

D

xdA “ 2π

Pues sobre D se tiene que

2 “ x “1

AreapDq

ij

D

xdA “1

π

ij

D

xdA

Ejemplo

Sea C el cuadrado de vertices p0, 0q, p1, 0q,p1, 1q, p0, 1q recorrido en sentido antihorario.Calcule

W “

¿

C

y

1` x2dx ` lnp1` x2qdy

Usando el teorema de Green, M “y

1`x2 ,

N “ lnp1` x2q, C es el borde de la region Rv.s. formada por px , yq tal que 0 ď x ď 1 y0 ď y ď 1.

W “

ij

D

Nx ´MydA “

ij

D

2x

1` x2´

1

1` x2dA

“

ż 1

0

ż 1

0

2x ´ 1

1` x2dydx “

ż 1

0

2x ´ 1

1` x2dx

“`

lnp1` x2q ´ arctanpxq˘

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0

“ lnp2q ´π

4

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F I N

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