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I. Fundamentos matemáticos - · PDF fileSignificado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I) Fuentes vectoriales de campo vectorial “perturbaciones vectoriales” que actúan

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  • I. Fundamentos I. Fundamentos matemticosmatemticos

    Di i i l Di i i l5. Divergencia y rotacional5. Divergencia y rotacional

    Campos ElectromagnticosCampos Electromagnticos Gabriel Cano Gmez, 2010/11 Gabriel Cano Gmez, 2010/11

    Dpto. Fsica Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Fsica Aplicada III (U. Sevilla)

    Campos ElectromagnticosCampos ElectromagnticosIngeniero de TelecomunicacinIngeniero de Telecomunicacin

    I. FundamentosI. Fundamentos matemticosmatemticosI. FundamentosI. Fundamentos matemticosmatemticos

    1.1. Coordenadas curvilneasCoordenadas curvilneas2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalarespp4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales5.5. Divergencia y Divergencia y rotacionalrotacional

    Divergencia. Teorema de Gauss Significado fsico de la divergencia

    g yg y

    g g Fuentes escalares de un campo vectorial

    Rotacional. Teorema de Stokes

    Gm

    ez,

    10/1

    1G

    mez

    , 10

    /11

    Significado fsico del rotacional Fuentes vectoriales de un campo vectorial

    abri

    el C

    ano

    Gab

    riel

    Can

    o G

    6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales

    Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos

    G

    a

    Ga

    2

  • Divergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia de campo vectorialDivergencia de campo vectorialA(r) continuo y derivable (en general)

    =i Ai (q1,q2,q3) uiA(r) continuo y derivable (en general)

    definicin intrnseca: divA(P) es flujo de A por unidad de volumen en torno a P

    d d

    AAn

    p

    0( )

    1limP

    ddd

    A S div ( )=PAdS=dSn

    ()A

    P

    mide variacin neta por unidad de longitud de An

    expresin en coordenadas ortogonales:

    ( )At

    r(q1,q2,q3)

    Z

    O(AdS)/=(|An|dS)/expresin en coordenadas ortogonales:

    31 2 3

    11 2 3

    1 div ( ) ii i i

    h h h Ah h h q h

    A r A X

    Y

    Gm

    ez,

    10/1

    1G

    mez

    , 10

    /11

    Teorema de GaussTeorema de Gaussl fl j d ( ) d i l l

    11 2 3 i i ih h h q h

    abri

    el C

    ano

    Gab

    riel

    Can

    o G

    el flujo de A(r) a travs de es igual a la integral de div A(r) en el volumen

    Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos

    G

    a

    Ga

    3

    ( ) d d

    A r S A

    Interpretacin fsica del flujo: caso particularInterpretacin fsica del flujo: caso particular

    Ejemplo de flujo: Un fluido incompresible (densidad m constante), se mueve

    Interpretacin fsica del flujo: caso particularInterpretacin fsica del flujo: caso particular

    j p j p ( ),segn una distribucin de velocidades v=v(r) (campo vectorial). Determnese la masa de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.

    Solucin:es igual al flujo del campo vec-es igual al flujo del campo vectorial A(r)=mv(r) a travs de la superficie .

    ( )dm ddt

    rA S

    Gm

    ez,

    10/1

    1G

    mez

    , 10

    /11

    flujo neto en el sentido de dS:

    (dm/dt) > 0

    dt

    abri

    el C

    ano

    Gab

    riel

    Can

    o G (dm/dt)> 0

    flujo neto contrario a dS:

    (d /dt) < 0

    Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos

    G

    a

    Ga

    4

    (dm/dt)< 0

  • Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)

    Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial

    Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)

    perturbaciones escalares que actan como causas del campo vectoriallas lneas de campo divergen o convergen en loslas lneas de campo divergen o convergen en los

    puntos donde existen fuentes escalaresdiv A(r)=A(r) proporciona la distribucin de las fuentes escalares de A(r)densidad volumtrica de fuentes escalares

    C ) i d f lCaso a) ausencia de fuentes escalaresagua fluyendo en torno a un punto Pd id d d t t 1 / 3

    Gm

    ez,

    10/1

    1G

    mez

    , 10

    /11 densidad de masa constante: m=1 gr/cm3

    en entra y sale la misma cantidad de agua

    abri

    el C

    ano

    Gab

    riel

    Can

    o G

    (( )( )

    )dmddt

    A S 0 div ( )= 0P

    dPd

    APP

    Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos

    G

    a

    Ga

    5

    Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)

    Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial

    Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)

    A(r)=mv(r)

    Caso b) presencia de fuentes escalares agua fluyendo en torno a un punto F donde

    ddSS agua fluyendo en torno a un punto F donde

    hay un reactor que acta como manantialH2+O2 H2O (lquida) HH22 OO22

    las lneas de A(r) divergen desde F

    l ( )

    OO

    en sale ms agua que entra (m cte.):

    ddm

    Gm

    ez,

    10/1

    1G

    mez

    , 10

    /11

    FF0 div ( )= 0F

    dFd

    A(

    ( )( ))

    dmddt

    A S

    abri

    el C

    ano

    Gab

    riel

    Can

    o G

    div A(F) 0 indica presencia de manantia-les de campo en F: fuentes escalares positivas

    Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos

    G

    a

    Ga

    6

  • Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)

    Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial

    Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)

    A(r)=mv(r)

    Caso c) presencia de fuentes negativas agua fluyendo en torno a un punto S donde

    ddSS agua fluyendo en torno a un punto S donde

    hay un sumidero:H2O (lquida) H2+O2 HH22 OO22

    las lneas de A(r) convergen en S

    l ( ) en entra ms agua que sale (m cte.) :

    di ( ) 0dS Admd

    Gm

    ez,

    10/1

    1G

    mez

    , 10

    /11

    SS0 div ( )= 0S

    dSd

    A(

    ( )( ))

    dmddt

    A S

    abri

    el C

    ano

    Gab

    riel

    Can

    o G

    div A(F) 0 indica presencia de sumideros de campo en S: fuentes escalares negativas

    Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos

    G

    a

    Ga

    7

    Fuentes Fuentes escalares: escalares: ejemplosejemplosFuentes Fuentes escalares: escalares: ejemplosejemplos

    ZFuentes de un vrticeFuentes de un vrticeFuentes de campo radial (1.13.a)Fuentes de campo radial (1.13.a)

    ZZ

    2

    1( ) rrA r u ( ) rA r udS

    r r, cte. dSz

    r

    rP(r,,)

    dSr

    v v u

    YOC

    P(,,z)

    dS

    X

    ( ) C v r u

    O

    dS

    cil( )v u

    Gm

    ez,

    10/1

    1G

    mez

    , 10

    /11

    ( ) 4 ( )rA r ( ) 0v r 4d d

    A A S

    abri

    el C

    ano

    Gab

    riel

    Can

    o G ( ) 4 ( )rA r ( ) 0v rr

    0d d v v S fuentes escalares en fuentes escalares en OO(d id d i fi it )(d id d i fi it ) no tiene fuentesno tiene fuentesllCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos

    G

    a

    Ga

    cil

    (densidad infinita)(densidad infinita) escalaresescalares

  • Rotacional. Teorema de Stokes (I)Rotacional. Teorema de Stokes (I)

    Rotacional de campo vectorialRotacional de campo vectorial

    Rotacional. Teorema de Stokes (I)Rotacional. Teorema de Stokes (I)

    A( )|A=A(r) continuo y derivable en P

    definicin intrnseca de rotacional:rot A(P)

    A(r)|()

    ( )P rot A 3( )

    ( )d S A r 10lim

    P dSA|()

    rot A(r) mide la variacin neta por unidad de longitud de las componentes r(q1,q2,q3)

    Z

    Ode A(r) tangenciales a (At

    dSA=dSAt ; |dSA|/=|At|dS/ A

    XY

    div A(r)

    Gm

    ez,

    10/1

    1G

    mez

    , 10

    /11

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