I. Fundamentos I. Fundamentos matemticosmatemticos
Di i i l Di i i l5. Divergencia y rotacional5. Divergencia y rotacional
Campos ElectromagnticosCampos Electromagnticos Gabriel Cano Gmez, 2010/11 Gabriel Cano Gmez, 2010/11
Dpto. Fsica Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Fsica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnticosCampos ElectromagnticosIngeniero de TelecomunicacinIngeniero de Telecomunicacin
I. FundamentosI. Fundamentos matemticosmatemticosI. FundamentosI. Fundamentos matemticosmatemticos
1.1. Coordenadas curvilneasCoordenadas curvilneas2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalarespp4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales5.5. Divergencia y Divergencia y rotacionalrotacional
Divergencia. Teorema de Gauss Significado fsico de la divergencia
g yg y
g g Fuentes escalares de un campo vectorial
Rotacional. Teorema de Stokes
Gm
ez,
10/1
1G
mez
, 10
/11
Significado fsico del rotacional Fuentes vectoriales de un campo vectorial
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales
Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos
G
a
Ga
2
Divergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia de campo vectorialDivergencia de campo vectorialA(r) continuo y derivable (en general)
=i Ai (q1,q2,q3) uiA(r) continuo y derivable (en general)
definicin intrnseca: divA(P) es flujo de A por unidad de volumen en torno a P
d d
AAn
p
0( )
1limP
ddd
A S div ( )=PAdS=dSn
()A
P
mide variacin neta por unidad de longitud de An
expresin en coordenadas ortogonales:
( )At
r(q1,q2,q3)
Z
O(AdS)/=(|An|dS)/expresin en coordenadas ortogonales:
31 2 3
11 2 3
1 div ( ) ii i i
h h h Ah h h q h
A r A X
Y
Gm
ez,
10/1
1G
mez
, 10
/11
Teorema de GaussTeorema de Gaussl fl j d ( ) d i l l
11 2 3 i i ih h h q h
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
el flujo de A(r) a travs de es igual a la integral de div A(r) en el volumen
Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos
G
a
Ga
3
( ) d d
A r S A
Interpretacin fsica del flujo: caso particularInterpretacin fsica del flujo: caso particular
Ejemplo de flujo: Un fluido incompresible (densidad m constante), se mueve
Interpretacin fsica del flujo: caso particularInterpretacin fsica del flujo: caso particular
j p j p ( ),segn una distribucin de velocidades v=v(r) (campo vectorial). Determnese la masa de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.
Solucin:es igual al flujo del campo vec-es igual al flujo del campo vectorial A(r)=mv(r) a travs de la superficie .
( )dm ddt
rA S
Gm
ez,
10/1
1G
mez
, 10
/11
flujo neto en el sentido de dS:
(dm/dt) > 0
dt
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G (dm/dt)> 0
flujo neto contrario a dS:
(d /dt) < 0
Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos
G
a
Ga
4
(dm/dt)< 0
Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)
Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial
Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)
perturbaciones escalares que actan como causas del campo vectoriallas lneas de campo divergen o convergen en loslas lneas de campo divergen o convergen en los
puntos donde existen fuentes escalaresdiv A(r)=A(r) proporciona la distribucin de las fuentes escalares de A(r)densidad volumtrica de fuentes escalares
C ) i d f lCaso a) ausencia de fuentes escalaresagua fluyendo en torno a un punto Pd id d d t t 1 / 3
Gm
ez,
10/1
1G
mez
, 10
/11 densidad de masa constante: m=1 gr/cm3
en entra y sale la misma cantidad de agua
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
(( )( )
)dmddt
A S 0 div ( )= 0P
dPd
APP
Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos
G
a
Ga
5
Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)
Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial
Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)
A(r)=mv(r)
Caso b) presencia de fuentes escalares agua fluyendo en torno a un punto F donde
ddSS agua fluyendo en torno a un punto F donde
hay un reactor que acta como manantialH2+O2 H2O (lquida) HH22 OO22
las lneas de A(r) divergen desde F
l ( )
OO
en sale ms agua que entra (m cte.):
ddm
Gm
ez,
10/1
1G
mez
, 10
/11
FF0 div ( )= 0F
dFd
A(
( )( ))
dmddt
A S
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
div A(F) 0 indica presencia de manantia-les de campo en F: fuentes escalares positivas
Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos
G
a
Ga
6
Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)
Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial
Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)
A(r)=mv(r)
Caso c) presencia de fuentes negativas agua fluyendo en torno a un punto S donde
ddSS agua fluyendo en torno a un punto S donde
hay un sumidero:H2O (lquida) H2+O2 HH22 OO22
las lneas de A(r) convergen en S
l ( ) en entra ms agua que sale (m cte.) :
di ( ) 0dS Admd
Gm
ez,
10/1
1G
mez
, 10
/11
SS0 div ( )= 0S
dSd
A(
( )( ))
dmddt
A S
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
div A(F) 0 indica presencia de sumideros de campo en S: fuentes escalares negativas
Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos
G
a
Ga
7
Fuentes Fuentes escalares: escalares: ejemplosejemplosFuentes Fuentes escalares: escalares: ejemplosejemplos
ZFuentes de un vrticeFuentes de un vrticeFuentes de campo radial (1.13.a)Fuentes de campo radial (1.13.a)
ZZ
2
1( ) rrA r u ( ) rA r udS
r r, cte. dSz
r
rP(r,,)
dSr
v v u
YOC
P(,,z)
dS
X
( ) C v r u
O
dS
cil( )v u
Gm
ez,
10/1
1G
mez
, 10
/11
( ) 4 ( )rA r ( ) 0v r 4d d
A A S
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G ( ) 4 ( )rA r ( ) 0v rr
0d d v v S fuentes escalares en fuentes escalares en OO(d id d i fi it )(d id d i fi it ) no tiene fuentesno tiene fuentesllCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos mateCampos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) I. Fundamentos matemtmticosicos
G
a
Ga
cil
(densidad infinita)(densidad infinita) escalaresescalares
Rotacional. Teorema de Stokes (I)Rotacional. Teorema de Stokes (I)
Rotacional de campo vectorialRotacional de campo vectorial
Rotacional. Teorema de Stokes (I)Rotacional. Teorema de Stokes (I)
A( )|A=A(r) continuo y derivable en P
definicin intrnseca de rotacional:rot A(P)
A(r)|()
( )P rot A 3( )
( )d S A r 10lim
P dSA|()
rot A(r) mide la variacin neta por unidad de longitud de las componentes r(q1,q2,q3)
Z
Ode A(r) tangenciales a (At
dSA=dSAt ; |dSA|/=|At|dS/ A
XY
div A(r)
Gm
ez,
10/1
1G
mez
, 10
/11
