INGENIERA DE MINAS

TEMA:

INTEGRALES DE LNEA INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA.

ALUMNA:

ACUA MEDINA, PAUL.

CHILN VILLANUEVA, MARIA DELICIA.

DE LA CADENA JULON, ALEXANDRA.

JULCAMORO ALCNTARA, PATRICIA.

MUURI OLIVARES, LUCERO.

RAMOZ LLICO, SAYDETH.

DOCENTE:

SEVILLANO CASTRO, RODOLFO ANANAS.

CICLO:

IV.

2014

I. INTRODUCCIN

La integral de lnea surge, fundamentalmente, por:

Extensin de la nocin de integral de Rieman simple primero para funciones reales definidas y acotadas en intervales finitos, luego para funciones no acotadas e intervalos infinitos.

Integral de Riemann fue extendido a funciones reales de variables vectoriales (campos esclares). El intervalo [a, b] se reemplaza por un curva C en el espacio p-dimensional (p N, p 2) definida por una funcin vesorial y el integrando por un campo escalar f vectorial definido y acotado en esa curva, llamada camino de integracin. La integral resultante se llama integral de lnea o integral curvilnea o de contorno, y se denota por .

El valor de una integral de lnea depende del integrando, de los extremos y de la curva ue los une, sim embago existen casos especiales, en los cuales el valor de una integral de lnea pedende solamente del integrando y de los extremos, mas no de l trayectoria sobre el cual se realiza la inetgracipon, esto ocurre, cuando la forma diferencial que se pretende integrar P(x,y) es exacta, es decir que existe una funcin , en estos casos las integrales de lnea solo dependen de los extremos, bajo estas condiciones, decimos que la inetgral es independiente de la trayectoria.

II. DEFINICIONES

2.1. Integral de lnea:

Se define una integral que es similar a la integral simple, pero con la diferencia de que en lugar de integrar en un intervalo , se integra en una curva C. Estas integrales fueron inventadas para solucionar problemas relacionados con el flujo de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismo.

Una integral de lnea est determinado por el integrando y por la curva C, entre los puntos P y Q. Sin embargo en ciertas condiciones el valor de una integral de lnea depende solo del integrando y de los puntos P y Q y no de la trayectoria P a Q.

2.1.1. Definicin: Si f est definida en una regin que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de lnea es f a lo largo de C est dado por

Plano

Espacio

Siempre que este lmite exista.

2.1.2. Para evaluar una integral de lnea es til convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si f es continua, el lmite dado existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C.

Para evaluar una integral de lnea sobre una curva plana C dada por , se utiliza el hecho de que

Para una curva en el espacio hay una frmula similar, como se indica en el teorema.

TEOREMA: Evaluacin de una integral de lnea como integral definida:

Sea f continua en una regin que contiene una curva suave C. si C est dada por , donde , entonces:

Si C est dada por , z(t)k, donde , entonces:

Ejemplo: evaluacin de una integral de lnea

Donde C es el segmento de recta mostrada en la figura

Solucin

Para empezar se expresa la ecuacin de la recta en forma paramtrica:

Entonces; , lo cual implica que

Por lo tanto, la integral de lnea de la forma siguiente:

2.2. Integral de lnea independiente de la trayectoria

2.2.2. Camino trayectoria: se le llama a una curva C con una parametrizacin . Estas curvas pueden ser cerradas o no.

Una funcin , describe una curva cerrada C si se cumple que:

Sea , un camino continuo en . Al camino de se le llama regular si existe el vector derivada (i.e. la aplicacin r es diferenciable y si esta derivada es continua en el intervalo abierto .

2.2.3. Integrando:

La integracin es un concepto fundamental del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, una integral es una generalizacin de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeos. El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las matemticas en el proceso de integracin o anti derivacin, es muy comn en la ingeniera y en la ciencia tambin; se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin.

2.2.4. Campo vectorial:

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclidiano es una funcin con valores vectoriales:

Se dice que es un campo vectorial Ck si como funcin es k veces diferenciable con continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.

Por lo general, dado un campo vectorial, se tiene que el valor de una integral de lnea sobre una curva C que une los puntos P y Q no slo depende de los puntos extremos P y Q, sino tambin de la propia trayectoria C. Sin embargo, en algunas ocasiones dicho valor slo depende de los valores extremos P y Q, independientemente del camino C elegido.

Una regin D se llama conexa si se puede unir dos cualesquiera de sus puntos por un poligonal enteramente contenido en D. Si adems, toda curva en D cerrada encierra slo puntos de D, se dice que D es simplemente conexa.

NOTA:

Una regin conexa es una regin de un solo trozo sin partes separadas. Una regin simplemente conexa es una regin conexa sin agujeros

3. PROPIEDADES

3.1. Teorema 1

Sea C cualquier curva a trozos contenida en un disco abierto B en desde el punto (x1 y y2 ). Si F es un campo vectorial conservador continuo sobre B y q es una funcin potencial para F, entonces la integral de lnea

Es independiente de la trayectoria C, y

Ejemplo:

Clculo de una integral de lnea usando una funcin potencial. Calcular la integral de lnea del campo vectorial F(x;y) = P(x;y)i + Q(x;y)j = eyi + xeyj a lo largo de la trayectoria:

r(t) = (senh(5t4)/senh5; t4 + 5t3 - 3t2 - 2t) , =0 t 1

Solucin

F es conservativo. Por lo tanto puede expresarse como el gradiente de una funcin potencial f; esto es: f = F. Si obtenemos tal funcin f, podremos aplicar el teorema fundamental de las integrales de lnea.

Para ello notemos que:

(1),

donde g(y) es una funcin que depende solamente de la variable y. Si ahora derivamos la funcin f obtenida respecto a y, debemos llegar a una expresin equivalente a la otra funcin coordenada, esto es, Q.

Reemplazando este ltimo resultado en (1), tenemos:

(2)

Ya tenemos la funcin potencial. Ahora podemos aplicar el teorema fundamental de las integrales de lnea:

Calculando los puntos extremos de la curva con los valores correspondientes del parmetro tenemos:

Aplicando ahora la funcin f dada por (2) a estos dos puntos tenemos:

Y finalmente:

De esta manera nos evitamos ejecutar una integral de lnea sumamente engorrosa.

3.2. Teorema 2

Si C es una curva cerrada y suave a trozos contenido en algn disco abierto B y y F es un campo vestorial conservador continuo en B, entonces

Ejemplo: una particla de mueve sobre la circunferencia

Calculamos el trabajo total realizadp si el movimineto lo ocasiona el campo de la fuerza

Solucin: SEAN

Como , entonces F es conservador. Ademas, la circunferencia es una curva cerrada y suave. Por lo tanto, si W es el trabajo realizado del teorema se tiene.

3.3. Teorema 3

Sea C cualquier curva suave a trozos contenida en un disco B y desde el punto hasta el punto . Si F es un campo vestorial conservdor continuo sobre B y es una funcin potencial para F, entonces la integral de lnea:

Es independiente de la trayectoria C, y

Ejemplo: demuestre que la integral de linea:

Es independiente de la trayectoria y evalue la integral si C es una curva suave de trozos de (4,-2,1) a (-1,2,0).

Solcin:

;

;

Como:

El campo vertorial es conservador. Por lo tanto, del teorema la integral de linea es independiente de la trayectoria. Se consider la trayectoria como el segmento de la recta de (4,-2,1) a (-1,2,0). Un conjunto de nmeros directos de la recta que pasa por esos dos puntos es . Por lo tanto, las ecuaciones de las rectas son:

; ; ;

As,

=

=

3.4. Teorema 4

Sea + un campo vectorial con funciones componentes definidas y continuas en un abierto simplemente definidas y continuas en un abierto simplemente conexo D. si el campo es conservativo en D entonces:

Para toda trayectoria C en D con extremos inicial P y final Q (la integral de lnea es independiente de la trayectoria).

En partculas, para todo camino cerrado C contenido en D.

La igualdad viene a generalizar la regla de Barrow para funciones reales, a saber .

Ejemplo:

Calcule el trabajo hecho por el campo de fuerza al mover la partcula a lo largo de una cuarta parte de un crculo cuya ecuacin vectorial es .

Sabemos que el cuarto de crculo que estamos utilizando va desde 0 hasta /2. Si sustituimos en la funcin del campo de fuerza la ecuacin vectorial del crculo obtenemos

Necesitamos tambin la primera derivada de nuestra ecuacin vectorial del crculo

Realizamos el producto punto entre vectores

Ahora solo nos queda evaluar nuestro integral

TEOREMA DE GREEN

A veces es ms fcil calcular una integral doble (una particular como veremos) sobre una regin y a veces es ms fcil calcular una integral de lnea sobre una curva cerrada (la frontera de la regin). El teorema de Green establece la conexin entre estas dos integrales para que podamos ir de una a otra. Esta leccin demuestra el teorema de Green y da algunos ejemplos de su uso.

Con este teorema relacionaremos la integral de lnea en el plano con la integral doble.

Teorema de Green

Antes de enunciar el teorema de Green convendra precisar que entendemos por una curva cerrada simple aquella curva que tiene orientacin positiva. Sabemos que toda curva tiene dos posibles orientaciones, y que estas invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora cmo distinguir entre una y otra orientacin? En este punto es donde aparase el trmino y concepto de normal unitaria exterior a una curva.

Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en IR2, parametrizada por: (t)= [x(t), y(t)], el vector normal unitaria exterior a C se define por:

DEFINICION DEL TEOREMA DE GREEN:

El teorema de Green establece una relacin entre la integral de lnea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy til porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad ms simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre la que delimitan la curva.

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO:

Sean P, Q: IR2 IR funciones continuas con , continuas en una regin R del plano que sea interior de una curva plana C, cerrada, simple y regular a trozos. Entonces:

C

R = C

R

Donde C es el recorrido de la curva en sentido positivo.

Como consecuencia de este teorema, podemos enunciar:

Teorema 1.

Sea un campo vectorial F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) , derivable, con derivadas continuas, sobre la regin R simplemente conexa y acotada, y supongamos que en todo el conjunto R.

Entonces F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) es un campo gradiente

Ya sabamos tambin que si F era un campo gradiente resultaba que por lo tanto:

Corolario 3

Sea un campo vectorial, F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) derivable, con derivadas continuas, sobre la regin R simplemente conexa y acotada. La condicin necesaria y suficiente para que el campo

F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) sea un gradiente es que en todo el conjunto R.

Para terminar este epgrafe el teorema, para una regin que no es simplemente conexa, queda:

TEOREMA DE GREEN GENERALIZADO:

Sean C1, C2,.., Cn curvas cerradas, simples y regulares a trozos tales que C2, C3,., Cn estn contenidas en el interior de C1 y no se intersecan dos a dos.

Sean P, Q: IR2 IR funciones continuas con , continuas en la regin R que sea el interior de la curva C1 una vez eliminados los interiores de C2,., Cn. Entonces:

DONDE:C1, C2,., Cn se entienden como recorridas delas curvas en sentido positivo

C1

C3

C2

R

DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE GREEN

Para la demostracin del teorema de Green tenemos que probar la siguiente igualdad:

A tal fin, observemos que la validez de para todos los campos F = (P,Q) de clase C1 sobre D equivale a la validez de las siguientes formulas:

Tambin para todos los campos F = (P, Q) de clase C1 en D. En efecto si estas frmulas son vlidas, obtenemos aplicando una suma aritmtica. Recprocamente, si es cierta podemos obtener (1) tomando Q =0 en , y anlogamente (2), tomando P =0 en

Paso 1. La primera parte de la demostracin del teorema de Green consiste en probar (1) para una clase especial de recinto D, que denominaremos recinto de tipo I; el cual ser el limitado por las grficas de dos funciones y = f(x), y = g(x), con f g. Es decir, supondremos en primer lugar que:

Donde f y g son funciones reales de clase C1 a trozos. Este recinto D est limitado por una curva cerrada simple C = D regular a trozos que puede expresarse como concatenacin de cuatro caminos regulares a trozos:

C = C1 + C2 C3 C4,

(Como es costumbre, los signos negativos que preceden a un camino denotan que se recorre el camino en sentido opuesto al especificado); de manera que la parametrizacin de las curvas C1,C2,C3,C4 son las siguientes:

C1:(t) = (t, f(t)), a t b;

C2: (t) = (b, t), con f(b) t g(b);

C3: (t) = (t, g(t)), a t b

C4: (t) = (a, t), f(a) t g(a).

Ntese que, a lo largo de C2 y de C4, x = x(t) es constante, luego dx = 0 sobre estos caminos, y las correspondientes integrales de lnea se anularan, mientras que sobre los restantes caminos es dx = 1. Entonces se tiene que

PASO 2. Ahora probaremos (2) para otra clase especial de recinto D, que denominaremos recinto de tipo II, el cual est limitado por las grficas de dos funciones x = (y), x = (y), con Es decir, ahora tenemos que:

Con funciones reales de clase C1 a trozos. Como antes, D est limitado por una curva cerrada simple C = D regular a trozos que puede expresarse como concatenacin de cuatro caminos regulares a trozos:

C = C1 + C2 + C3 C4

De manera que la parametrizacin de las curvas C1,C2,C3,C4 son las siguientes:

C1:1(t) = (t), t), c t d

C2:2(t) =(t, c), con (c) t (c)

C3:3(t) = ( (t), t), c t d

C4: 4(t) = (t, d), con (d) t (d)

A lo largo de C2 y de C4, y = y(t) es constante, luego dy = 0 sobre estos caminos, y las correspondientes integrales de lnea son cero; para C1 y C3 se tiene dy = 1. Entonces:

Y por otro lado se tiene:

Luego, si juntamos estas igualdades se obtendr la ecuacin nmero (2)

Paso 3. De acuerdo con la observacin que hemos hecho antes y con lo probado en los pasos 1 2, la frmula de Green () es vlida para toda regin D que sea a la vez de tipo I y de tipo II. Todos los crculos, los rectngulos y los tringulos constituyen ejemplos de regiones que son de tipo I y II simultneamente. Por tanto, el teorema de Green es vlido para todos estos tipos de curvas. Tambin podra probarse, utilizando el teorema del cambio de variables, que la igualdad () es cierta para cualquier regin D que sea difeomorfa con un crculo, un rectngulo o un tringulo.

Paso 4. El siguiente paso consiste en establecer la validez de () para toda regin D que pueda descomponerse como unin finita de regiones simultneamente de tipo I y II. Ms precisamente, se prueba () para todo recinto D que est incluido en IR2 de la forma:

Donde todos los Di son regiones de tipo I y II simultneamente, con interiores disjuntos dos a dos, y cuyos bordes, Ci = Di, estn positivamente orientados, y de forma que se cumplen:

Si una curva Ci tiene una parte en comn con otro camino Cj entonces esa parte no es comn a ningn otro Ck con k i, j

Si Ci tiene un trozo en comn con Cj entonces Ci recorre ese trozo comn en sentido contrario al que lo hace Cj

Si Ci tiene un trozo en comn con C = D entonces ambos caminos recorren dicho trozo en el mismo sentido

Podemos aplicar la frmula (*) a cada regin Di y sumar todas las igualdades correspondientes para obtener que:

Pero en esta suma de integrales de lnea, las integrales sobre Ci = Di pueden descomponerse a su vez en sumas finitas de integrales sobre curvas simples de dos tipos: o bien son trozos del camino Ci comunes a algn otro de los Cj, o bien son partes de C = D. La suma total de todas las integrales sobre caminos del primero de estos tipos es igual a cero ya que, al integrar y sumar, cada una de estas curvas se recorre exactamente dos veces, y con orientaciones opuestas, de modo que la suma de las dos integrales que se hacen sobre cada camino del primer tipo es cero. Por otro lado, la suma de todas las integrales sobre los caminos del segundo tipo es igual a la integral del campo (P,Q) sobre C, ya que C puede expresarse como concatenacin de todos los caminos del segundo tipo. Por consiguiente,

Lo que combinado con las igualdades anteriores nos permite concluir que:

Para todo recinto que pueda romperse en una cantidad finita de recintos de tipo I y II simultneamente. En particular se obtiene que (*) es vlida para toda curva cerrada simple E que sea poligonal (a saber, concatenacin finita de segmentos de recta), ya que una tal curva siempre puede triangularse, es decir expresarse como una unin finita

Donde los Ti son tringulos (y por tanto regiones de tipo I y II simultneamente) Orientados de modo que si Ti y Tj tienen un lado comn entonces Ti recorre este lado en sentido contrario a como lo hace Tj.

4. EJERCICIOS

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS:

a) Evale la integral de lnea

Si la curva C es la hlice circular definida por las ecuaciones paramtricas

Solucin:

b) Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas Sobre una prticula que se mueve a lo largo de la hlice dada por desde el punto (1,0,0) hasta el punto (-1,0,3).

Solucin:

se sigue que .Por lo tanto, el campo de fuerzas puede expresarse como

Para hallar el trabajo realizado por el campode fuerzas al moverse la particula a lo largo de la curva C. Se utiliza el hecho de que

Y se escribe lo siguiente:

=

=

c) Demostrar que la siguiente integral:

Es independiente de la trayectoria C y evaluarla para cuando C va desde (0,0,1) hasta

Solucin:

P = ;

Q = ;

R = ;

Como podemos observar se cumple lo siguiente:

Luego, es una diferencial exacta, entonces tal que: : , .

Ahora, :, integrando respecto a x entonces,f(x,y,z)= , derivando respecto a y , = entonces , integrando respecto a y, se tiene + , reemplazando en f(x,y,z)=. Consideremos derivar a f respecto a z se obtiene de lo cual se concluye . Por lo tanto f(x,y,z)= .

= f-f(0,0,1)=

d) Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de lnea

Donde C es la trayectoria desde (0,0) hasta (1,1) a lo largo de la grfica de y desde (1,1) hasta (0,0) a lo largo de la grfica de .

SOLUCION

Como y , sigue que

y

Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces

e) Aplicacin del teorema de Green para calcular trabajo. estando sometida a la fuerza

Una partcula recorre una vez el crculo de radio 3. Aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por F.

SOLUCION

En coordenadas polares, usando y , el trabajo realizado es

f) Evale , donde C es la circunferencia .

Solucin:

La regin acotada por es el disco , de modo que cambiemos a coordenadas polares despus de aplicar el teorema de Green:

Determinacin de un rea mediante una integral de lnea. Determine el rea de la regin limitada por la hipocicloide que tiene la ecuacin vectorial:

y

x

1

1

-1

-1

r(t) = cos3t i + sen3t j , 0 t 2

Solucin

De la parametrizacin de la curva tenemos:

x = cos3t x2/3 = cos2t

y = sen3t y2/3 = sen2t

Sumando miembro a miembro tenemos:

Este clculo, ejecutado como integral de rea, es muy complicado. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin. Veamos:

El rea de una regin D viene dada por . Por lo tanto, para aplicar Green deberamos encontrar funciones P, Q / . Un par de funciones sencillas que cumplen esta condicin son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrizacin, escribimos:

x = cos3t dx = -3 cos2t sent dt

y = sen3t dy = 3 sen2t cost dt

Luego:

De esta manera contamos con una herramienta ms para obtener el rea de la regin encerrada por una curva cerrada, que se suma al mtodo en coordenadas polares visto en Anlisis II y al clculo por integral de rea que ejecutamos cuando tenemos la expresin cartesiana de la curva.

Limitaciones en la aplicacin del Teorema de Green. Dado

F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2)

a) Calcular su integral de lnea sobre el crculo x2 + y2 = 1

b) Calcular , donde D es la regin encerrada por la curva del punto a).

c) Discutir si estos resultados estn de acuerdo o no con el Teorema de Green.

Solucin:

a) Parametricemos el crculo.

Integrando tendremos, as:

b) Haciendo los clculos directamente en coordenadas cartesianas es:

c) Aparentemente estos resultados contradiran el Teorema de Green. Sin embargo, este ltimo no es aplicable a la regin en cuestin, dado que las funciones P y Q no tienen derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que est contenido en la regin.

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS:

a) Una partcula recorre la cubica alabeada

, Calculamos el trabajo total efectuado si el movimiento es causado por el campo de fuerza.

, Supongamos que el arco se dime en metros y la fuerza en newtons.

b) Sea y evaluar la integral de lnea a lo largo de cada una de las curvas parablicas en la figura 15.16

a) C1:

b) C2:

c) . Calcular la integral curvilnea: . Donde C:

d)

Transformacin de una integral de lnea en una de rea. Evaluar , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.

x

y

1

1

y = 1 - x

e) Sea la frontera del tringulo con vrtices (Figura 5). Calcule por el mtodo de Green:

f) Clculo de un trabajo mediante una funcin potencial. Dado el campo vectorial de fuerzas

F(x;y;z) =4xez i + cosy j + (2x2ez + z) k ,

a) Determinar una funcin f tal que f = F.

b) Hallar el trabajo que desarrolla F cuando mueve una partcula desde el punto siguiendo el camino ms corto sobre la esfera , expresndolo con 3 cifras decimales.

4.3. EJERCICIOS DE APLICACIN:

a) La base de una pared delgada tiene la forma de la curva dada por las ecuaciones

Y la altura de la misma en el punto es .Si se quieren pintar ambos lado de esa cerca, sabiendo que el costo de pintar un metro cuadrado es de 7000 unidades monetarias (u.m) Cul es el costo total? (unidades de longitud en metros).

Solucin:

Se tiene qye

Entonces:

= 450

El costo total es de 450x7.000 = 3.150.000 u.m.

Supongo ahora que C es una curva suave a trozos, es decir, C es la union de un numero finito de curvas suaves C1, C2,,Cn. entonces se define la integral de f a lo largo de C como la suma de las integrales de f a lo largo de cada una de las partes suaves de C.

b) Una agencia de publicidad ofrece a sus clientes una valla cuya altura es variable y viene dada por la funcin , si la base de la valla coincide con la trayectoria g 3 tal como se ilustra en la Figura. Determine cuanto debe cobrar mensualmente la agencia de publicidad, si se sabe que la valla va a estar ubicada de tal manera que puede ser observada por ambos lados, y el alquiler mensual de la ya publicitaria es de 40 Bs/m2.

Figura. Valla de altura variable.

Aprovechando la simetra de la curva calculemos la superficie de la valla a lo largo de la longitud ubicada en el primer cuadrante del plano cartesiano, luego multiplicamos este por dos debido a que la valla se observa por ambos lados, y luego este valor resultante lo multiplicamos por dos para obtener la superficie total visible de la valla.

Determinemos la superficie con la integral de lnea definida con respecto a la longitud de arco:

Multiplicamos el valor obtenido ; por dos, obtendramos el rea de ambos lados de la valla , y luego por dos nuevamente para obtener que es el valor de la superficie visible total de la valla. Por lo que el costo de arrendamiento del espacio publicitario seria de 1.008 Bs.

c) Independencia del camino en una integral de lnea. Calcular el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un camino compuesto de un tramo horizontal seguido de uno vertical; y b) un camino compuesto por un tramo vertical seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado es lgico o no.

P Q

Solucin:

x

y

(1;1)

C1

(4;-2)

C2

a) Si llamamos C a la curva indicada, la podemos subdividir en las curvas C1 y C2 mostradas en la figura. En tal caso tendremos:

Ejecutando ambas integrales por separado tendremos (escogiendo parametrizaciones simples):

Con lo cual resulta:

b) Llamando C* a este nuevo camino, vemos que lo podemos separar en dos tramos C3 y C4.

x

y

(1;1)

C3

(4;-2)

C4

Tendremos entonces, igual que en el apartado anterior, que

Realizando parametrizaciones parecidas a las ejecutadas en el apartado anterior, llegamos a lo siguiente:

Sumando esto se obtiene:

Por ambas vas obtenemos el mismo resultado. Esto es lgico, ya que vemos que:

Las derivadas cruzadas son iguales, excepto cuando x = 0, pero esto ltimo no ocurre dentro de un dominio simplemente conexo que abarca a ambos caminos analizados. Por lo tanto, por el teorema 5 las integrales sobre ambos caminos deben ser iguales

d) Aplicacin del teorema de Green a un problema fsico sobre una regin con agujeros.

y

x

a

b

C2

C1

Determinar el momento de inercia de una arandela homognea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus dimetros.

Solucin:

Determinaremos el momento de inercia respecto al dimetro colineal con el eje x. De Fsica sabemos que:

Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es homognea.

Esta regin no es simplemente conexa pero, como se vio en la teora, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:

Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:

Aplicando Green con esta funcin tenemos:

(1)

Parametrizando estas curvas tenemos

Reemplazando con esto en (1) tendremos:

sta es la manera estndar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rgido.

e) El campo vectorial es el campo de velocidad de una rotacin estacionaria (en sentido contrario a las manecillas del reloj) de una rueda en torno del eje . Calcule para cualquier curva cerrada en el plano .

Solucin:

Si es la regin encerrada por ,

f) Empleando el teorema de Green calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas

F(x,y)= (x+ 3y , 2y x) al mover una partcula a lo largo de la frontera de una elipse

4x2 + y2 = 4

1

y

x

2

Coordenadas elpticas:

x =rcos

y = 2rsen

J(r,= 2r

Recinto R con frontera C:

Trabajo = W=

Ahora empleamos el teorema de green se tendra lo siguiente:

W =

5. BIBLIOGRAFA

Leithold, L.(2009). El Clculo 7ed. Mxico: editoriales Incorporados S.A. de C.V. (pg. 1098 1103).

http://books.google.co.in/books?id=QOK7tvGUxRAC&pg=PA123&lpg=PA123&dq=integrales+de+linea+independientes+de+la+trayectoria&source=bl&ots=FSdy5ClNiv&sig=W6s7dwKCDbCGxHkg35RQgJIRRQY&hl=es&sa=X&ei=TTooVIu_EpGRgwSl0YGIAw&sqi=2&ved=0CDMQ6AEwBA#v=onepage&q&f=false

https://sites.google.com/site/ayudantia024/home/material/integrales-de-linea

Larson,Hostetler,Edwards.Clculo 8ed. Mxico, D.F:editoriales Incorporados: S.A de C.V.(pg. 1070 1073).

Analisis Matematico III, Eduardo Espinosa Ramos. Primera edicin.

Stewart, J. Calculo de un variable. Transcendentes tempranas. 7tma ed. Mxico: Cengage Learning, 2012.

Purcell, Edwin J.; Varberg, Dale; Rigdon, Steven E.Calculo. Mxico: Pearson Educacin, 2007.

Larson,Hostetler,Edwards.().Clculo 8ed. Mxico, D.F:editoriales Incorporados: S.A de C.V.(pg. 1070 1073).

x

Q

e

y

P

y

=

=

)

(

y

g

xe

f

e

P

x

f

y

y

+

=

=

=

K

y

g

y

g

xe

Q

y

g

xe

y

f

y

y

=

=

=

=

+

=

)

(

0

)

(

)

(

K

xe

f

y

+

=

))

0

(

(

))

1

(

(

r

r

dr

dr

F

f

f

f

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