1 Berina Cocalić

Inženjerska fizika II

1 PRVI PARCIJALNI ISPIT

1.1 HIDROSTATIČKI PRITISAK. PASKALOV ZAKON.

Tečnost ili plin djeluju silom na svaki djelić posude u kojoj se nalaze, odnosno na svaku površinu tijela koje se nalazi

u fluidu. Sila koja djeluje okomito na jedinicu površine se naziva pritisak ili tlak ( ). Pritisak je skalarna veličina, i

mjeri se u Paskalima

.

Pritisak uzrokovan samom težinom fluida nazivamo hidrostatički pritisak.

Posmatrajmo tekućinu u posudi, i izračunajmo pritisak koji djeluje na djelić površine

na dubini h. Sila na površinu prouzrokovana je težinom stupca tekućine nad

tom površinom, odnosno:

pa je pritisak (sila na jedinicu površine):

1.1.1 Pascalov zakon Pritisak u cijelom mirnom fluidu je konstantan. Po Paskalu, pritisak u proizvoljnom dijelu mirne tečnosti jednak je u

svim pravcima i prenosi se podjednako po cijeloj zapremini mirnog fluida tj. .

1.2 POTISAK, ARHIMEDOV ZAKON (IZVESTI I OBJASNITI)

Kada je tijelo uronjeno u fluid, kao posljedica hidrostatičkog pritiska se javlja rezultantna sila prema gore. Ta sila se

naziva potisak (uzgon).

Neka je tijelo oblika kocke ili valjka, volumena uronjeno u fluid gustine . Tada na tijelo djeluju sile.

Sa slike je očigledno da se bočne sile međusobno poništavaju. Sila

na donju bazu je , dok je sila na gornju bazu .

Budući da je hidrostatički pritisak na nivou veći nego

na nivou , sila biti će veća od sile , i kao rezultat će se pojaviti

sila prema gore, tj. potisak/uzgon:

gdje je masa istisnutog fluida.

Uslov plutanja: Tijelo lebdi u fluidu ako je težina tijela uravnotežena sa potiskom .

1.2.1 Arhimedov zakon Tijelo uronjeno u fluid izgubi od svoje težine onoliko koliko je teška njime istisnuta tečnost.

2 Berina Cocalić

1.3 BERNULIJEVA JE DNAČINA (IZVESTI I OBJASNITI)

Posmatrajmo stacionarno strujanje idealnog fluida kroz strujnu cijev promjenjivog presjeka:

Neka za vrijeme kroz presjek protekne masa fluida . Pri tom je sila potiska na

površini izvršila rad:

dok je rad sile na površini (predznak – jer su smjerovi sile i pomaka različiti):

Rad izvršen nad sistemom na presjeku prenosi se preko sistema na presjek gdje sistem izvrši rad

protiv sila vanjskog pritiska . Ukupni rad izvršen nad sistemom je:

( ) ( )

Taj rad je jednak promjeni energije čitavog razmatranog volumena fluida. Ta se promjena može izračunati kao

razlika kinetičke i potencijalne energije elementarnih volumena i :

( )

Kada izjednačimo ( ) i ( ) (i pomnožimo sve sa

), imamo Bernoulijevu jednačinu strujanja idealnog fluida:

gdje je – statički pritisak, - pritisak zbog težine, razlike visina,

– dinamički tlak

Zbir statičkog, dinamičkog (brzinskog) pritiska i pritiska koji dolazi zbog visinske razlike pojedinih dijelova fluida

uvijek je konstantan za određenu strujnicu.

3 Berina Cocalić

1.4 IZVESTI JEDNAČINU KONTINUITETA ZA FLUIDE.

Posmatrajmo strujanje fluida kroz cijev različitog presjeka:

Za vrijeme kroz presjek prođe volumen fluida . Volumen fluida koji u jedinici vremena prođe kroz

određeni presjek naziva se protok i iznosi:

Ako je gustoća fluida svuda konstantna i ako unutar strujne cijevi nema izvora i ponora, masa fluida, koja u

vremenu protekne kroz bilo koji presjek, konstantna je:

.

pa je konstantan i protok: .

To je jednačina kontinuiteta. Tamo gdje je cijev uža, brzina je veća i obrnuto.

1.5 VISKOZNOST, LAMINARNO I TURBULENTNO KRETANJE (OBJASNITI I NAPISATI NEWTONOV ZAKON).

Kod posmatranja realnih fluida, ne može se zanemariti trenje koje se javlja pri njihovom kretanju, a posebno je

izraženo kod nekih tečnosti.

Newton je fromulirao zakon po kome se trenje u tečnostima tretira analogno trenju čvrstih tijela u mehanici.

Posmatrajmo tečnost između dvije paralelne ploče, od kojih je donja fiksirana, a gornja se kreće

brzinom .

Kretanjem gornje ploče nastaje i kretanje slojeva

tečnosti, pri čemu gornji sloj ima najveću brzinu, a

donji je nepokretan. Na taj način se između slojeva

javlja relativno kretanje jednog sloja u odnosu na drugi,

što za posljedicu ima pojavu sile trenja na njihovoj

dodirnoj površini.

Ako između slojeva nema prelaska čestica iz jednog sloja na drugi, kretanje se naziva laminarno(slika 1), i dešava se

pri malim brzinama.

4 Berina Cocalić

Eksperimentalno je utvrđeno da je sila trenja proporcionalna dodirnoj površini slojeva i gradijentu brzine, pa

Newtonov zakon trenja u tečnosti glasi:

gdje je koeficient viskoznosti i zavisi od vrste tečnosti. Npr., kod vode je viskoznoznost manja, a kod meda veća.

Pri većim brzinama strujanja fluida (u zavisnosti od prečnika mlaza, oblika suda i ostalih faktora), dolazi do prelaska

čestica fluida iz jednog sloja u drugi, tj. međusobnog miješanja, i takvo kretanje naziva se turbulentno(slika 2).

Brzina pri kojoj dolazi do prelaska iz luminarnog u turbulentno kretanje naziva se kritična brzina. Eksperimentalno

je pokazano da kritična brzina zavisi od koeficienta viskoznosti, gustine fluida i od dimenzija mlaza, kao i od drugih

faktora koje je nemoguće odrediti. Zbog toga se kao kriterijum za određivanje prirode kretanja fluida koristi

Reynoldsov broj

Re <2000 >2000 & <3000 >3000

kretanje laminarno promjenjivo turbulentno

slika 1 slika 2

1.6 ŠTA JE TOPLOTA, A ŠTA TEMPERATURA, ČIME SE MJERE I U KOJIM JEDINICAMA?

Toplota je oblik prenošenja energije. Kao i rad, to nije energija, već forma njenog prenošenja, pa nema pravi

diferencijal, i zbog toga se označava sa . Toplota može prelaziti sa tijela na tijelo. Kao i kod energije, jedinica za

toplotu je džul .

Temperatura je fizikalna veličina kojom se izražava toplinsko stanje tvari. Ne može prelaziti sa tijela na tijelo, ali

prilikom prelaska toplote, temperature se izjednačavaju. Označava se sa , a mjeri u različitim jedinicama (osnovna –

kelvin , stepen celzijus , stepen farenhajt ). Temperatura se mjeri termometrom.

1.7 PRVI I DRUGI PRINCIP TERMODINAMIKE.

Prvi princip termodinamike: unutrašnja energija sistema povećava se obavljanjem rada na sistemu i dovođenjem

topline sistemu, a smanjuje se kada sistem obavlja rad, odnosno kada se toplina odvodi iz sistema (ili matematička

formulacija prvog principa termodinamike):

Dakle, količina toplote koju sistem primi, može se potrošiti na promjenu unutrašnje energije i za rad koji

sistem vrši protiv vanjskih sila:

5 Berina Cocalić

U izoliranom sistemu energija ostaje konstantna, odnosno vrijedi , pa je . Perpetuum mobile prve vrste

je nemoguć, jer nije moguće konstruisati stroj koji bi radeći u ciklusima izvršio rad veći od vrijednosti energije u

obliku topline.

Drugi zakon termodinamike: Nisu mogući procesi u kojima bi dolazilo do smanjenja entropije izoliranog sistema, ili u

svakom procesu do kojeg dolazi u izoliranom sistemu entropije sistema energija raste ili ostaje konstantna.

Nemoguće je napraviti toplotni stroj koji bi u periodičnom ciklusu svu dovedenu toplinu pretvorio u mehanički rad.

To bi bio perpetuum mobile druge vrste.

Toplina sama od sebe prelazi samo s tijela više temperature na tijelo niže temperature. Toplina prelazi sa tijela niže

temperature na tijelo više temperature, uz naročito djelovanje izvana, tj. uz utrošak vanjskog rada. Perpetuum

mobile druge vrste nije moguć, tj. nije moguće kružnim procesom trajno uzimati toplinu iz jednog spremnika i

pretvarati u mehanički rad.

1.8 ENTROPIJA I KLAUZIJUSOVA TEOREMA.

Entropija je veličina koja u termodinamici karakterizira smjer termodinamičkog procesa. To je funkcija stanja

sistema koja ima različite vrijednosti na početku i na kraju procesa.

Prvi ju je pronašao Clausius.

Njegov teorem glasi: Nisu mogući procesi u kojima bi dolazilo do smanjenja entropije izoliranog sistema, ili u svakom

procesu do kojeg dolazi u izoliranom sistemu entropije sistema energija raste ili ostaje konstantna.

Integriranjem matematičkog oblika drugog zakona termodinamike

imamo:

( )

gdje je S entropija sistema, za koju vrijedi:

- računa se samo za ravnotežna stanja

- iz relacije ( ) se može izračunati samo promjena entropije

- ona je samo funkcija stanja, i nije ovisna od povijesti sistema

- promjena entropije se iz relacije ( ) može računati samo za reverzibilne (povratne) procese

1.9 DEFINIRATI IDEALNI I REALNI GAS, OBJASNITI RAZLIKU IZMEĐU NJIH I IZVESTI JEDNAČINU STANJA.

Model idealnog plina je baziran na sljedećim pretpostavkama:

- plin se sastoji od velikog broja molekula koja se kreću haotično unutar granica sistema koji se istražuje

- sudari među molekulama ili sa granicama sistema (zidovima) su savršeno elastični

- zapremina samih molekula se može zanemariti u odnosu na raspoloživu zapreminu sistema

6 Berina Cocalić

- srednja kinetička energija molekula je proporcionalna temperaturi plina

Izvedimo jednačinu stanja idealnog plina, tj. vezu između pritiska, volumena i temperature plina. Zamislimo da se

plin nalazi u kutiji oblika kocke (stranice ):

Neka je masa i-te molekule iz kocke, a njena brzina:

Prilikom savršeno elastičnog sudara sa zidom posude (onim koji je okomit na x-osu),

komponenta količine kretanja molekule se promijeni za iznos:

( )

Vrijeme koje je potrebno molekuli da pređe put (od jednog ruba kocke do drugog i

nazad), po pravcu paralelnom x-osi:

Srednja sila kojom jedna molekula djeluje na zid posude je jednaka ukupnom impulsu

koji zid primi u jedinici vremena, i iznosi:

A za N takvih molekula imamo:

Iz definicije za pritisak

, slijedi da je on u ovom slučaju:

( )

Srednji kvadrat -komponente brzine molekula je:

( )

Uvrštavanjem ( ) u ( ) imamo:

Kako su u posudi svi smjerovi jednaki, to je:

7 Berina Cocalić

Uzevši ovo u obzir, slijedi relacija između pritiska i volumena za idealni gas (osnovna jednadžba kinetičke teorije

plinova):

( )

Svakom stupnju slobode kretanja pripada srednja kinetička energija molekule

. Translacija molekule ima tri

stupnja slobode, te je srednja vrijednost kinetičke energije translacije:

( ) ( )

( )

( )

Efektivna brzina molekule jednaka je onda:

Uvrstimo li ( ) u ( ) dobivamo jednadžbu stanja idealnog plina:

Plinska jednadžba vrijedi za idealne plinove, a aproksimativno za realne. Aproksimacija je bolja što je temperatura

plina viša, a pritisak manji. Odstupanja postaju znatna kada se plin približava tački kondenzacije,tj. prelazi u tekuće

stanje.

1.10 DEFINISATI SPECIFIČNU TOPLOTU PRI . , I PRI . I NAPISATI IH ZA JEDNOATOMNI GAS.

Pri konstantnom volumenu plina ( .), rad pritiska je jednak nuli, pa u prvom zakonu termodinamike u

diferencijalnom obliku vrijedi da je , jer je .

Kako unutrašnja energija zavisi samo od stanja sistema, količine dovedene toplote u ovom slučaju zavise samo od

početnog i krajnjeg stanja. Dovedena toplota proporcionalna je masi tvari i promjeni temperature .

Koeficient proporcionalnosti je specifična toplota pri stalnom volumenu:

pa je specifična toplota jednaka (uzimajući u obzir da je ):

Kako specifična toplota zavisi od temperature, to je toplina koju trebamo dovesti da ugrijemo tijelo od početne

temperature do konačne temperature jednaka integralu:

( )

Zagrijavanjem pri konstantnom pritisku ( – ), tijelo se rasteže i obavlja rad protiv pritiska. Stoga je potrebno

dovesti više topline da bismo tijelo ugrijali za određenu temperaturu. Unutrašnja energija se promijeni za:

( )

Kako je pritisak konstantan, to zadnji član je nula, pa imamo: ( ) ( )

8 Berina Cocalić

Član se naziva entalpija , i zavisi samo od stanja sistema. Dakle, dovođenjem toplote pri konstantnom

pritisku za isto toliko se poveća entalpija. Slijedi izraz za specifičnu toplotu pri konstantnom pritisku :

Za jednoatomni plin, specifična toplota za ( ) je jednaka:

a entalpija:

pa je specifična toplota za ( ):

Mayerova relacija: , gdje je broj molova, a plinska konstanta

1.11 OBJASNITI ŠTA JE POLITROPSKI PROCES I IZVESTI JEDNAČINU TOG PROCESA, I IZRAZ ZA RAD PRI TOM

PROCESU.

Politropski proces je onaj koji se dešava pri konstantnoj vrijednosti toplotnog kapaciteta gasa ., tj. za koji je:

Iz I zakona termodinamike imamo:

Iz jednačine stanja imamo:

Uvrštavanjem dobijamo:

( )

Ako se u relaciji ( ) zamijeni sa , imamo izraz:

Količnik

je politropski eksponent, pa jednačina ima oblik:

( )

Nakon integracije:

ln ( ) ln ln

9 Berina Cocalić

Odnosno (jednačina politropskog procesa): .

Ili preko parametara i : .

Rad koji se izvrši pri politropskom procesu može se izračunati polazeći od relacije za rad:

gdje je

međustanje početak kraj

Slijedi izraz za rad pri politropskom procesu za bilo koje :

1.12 ADIJABATSKI, IZOHORNI, IZOTERMNI I IZOBARNI PROCESI, NAPISATI JEDNAČINU I IZVESTI IZRAZ ZA RAD.

Adijabatski proces stanja idealnog gasa je promjena stanja kod

koje nema razmjene toplote sa okolinom, tj. . To su procesi

koji se dešavaju u izolovanim sistemima, ili oni koji se dešavaju

jako brzo, pa sistem nema vremena da razmijeni toplotu sa

okolinom. Spoljašnji rad pri adijabatskoj ekspanziji vrši se na

račun promjene unutrašnje energije gasa.

Na osnovu I zakona termodinamike i uslova :

( )

Slijedi:

( )

integracijom dobijemo:

gdje je

adijabatski eksponent. Rješavanjem integrala imamo: ln ln ln

Antilogaritmiranjem se dobije jednačina adijabatskog procesa:

10 Berina Cocalić

odnosno (koristeći jednačinu stanja idealnog gasa po kojoj je

):

( )

Rad pri adijabatskoj ekspanziji možemo izračunati polazeći od izraza ( ) i uslova , tj.:

Ako integriramo između početnog stanja ( ) i konačnog stanja ( ), dobijemo:

( )

Iz jednačine stanja izrazimo kao:

Iz jednačine ( ) imamo da je

, pa to uvrstimo u izraz za . uzimajući u obzir Mayerovu relaciju

, i

, dobijemo izraz za rad pri adijabatskom procesu:

Izotermni proces je promjena stanja pri kojoj temperatura ostaje konstantna: . Ovo se obično dešava kada je

sistem u kontaktu sa vanjskim toplotnim rezervoarom, pa je .

Jednačina idealnog gasa kod izotermnog procesa poprima izgled:

Izvršeni rad pri promjeni stanja gasa od stanja (1) do (2) jednak je:

ln

Izobarni proces je promjena stanja pri kojoj

pritisak ostaje konstantan: . Toplota

dovedena u sistem vrši rad, i mijenja unutrašnju

energiju sistema:

Znamo da je rad od strane sistema:

11 Berina Cocalić

( ) ( )

Izohorni proces je promjena stanja pri kojoj volumen istaje konstantan: . Ovaj proces ne proizvodi rad, jer je:

( )

1.13 BAROMETARSKA I BOLTZMANNOVA FORMULA

– atmosferski pritisak na visini

pritisak na visini

broj čestica u jedinici zapremine sa potencijalnom energijom

1.14 DEFINISATI I IZVESTI SREDNJU BRZINU MOLEKULA KOD IDEALNOG GASA POLAZEĆI OD MAXWELLOVE

RASPODJELE. Srednja vrijednost brzine molekula u nekom plinu od N molekula je odnos zbira svih molekula i ukupnog broja

molekula.

Maxwellova funkcija raspodjele: ( ) ( )

Broj molekula čije su brzine u intervalu od do je ( ) . Zbir brzina svih tih molekula je ( ) .

Da bismo našli zbir brzine svih molekula koje imaju sve moguće brzine, moramo integrirati ovu funkciju preko

brzina od do , pa je zbir svih brzina svih molekula:

( )

pa je srednja brzina po definiciji:

( )

( )

Uvrštavanjem vrijednosti za ( ) prema ( ), dobivamo:

( )

Integrali tipa , za neparno , svode se na tipski integral:

12 Berina Cocalić

gdje je , ,

.

Uvrštavanjem vrijednosti integrala u ( ) dobivamo srednju brzinu molekule plina:

Srednja kvadratna brzina je po definiciji:

( )

Integral se rješava na način:

( )

Za , slijedi ,

Konačno, srednji kvadrat brzine molekule:

1.15 DEFINISATI I IZVESTI NAJVJEROVATNIJU BRZINU MOLEKULA KOD IDEALNOG GASA POLAZEĆI OD

MAXWELLOVE RASPODJELE.

Najvjerovatnija brzina molekula ( ) je ona koja je najviše zastupljena među molekulama idealnog plina.

Maxwellova funkcija raspodjele: ( ) ( )

Matematički, to znači da treba naći maksimum funkcije ( ), tj. prvi izvod funkcije ( ) izjednačiti s nulom:

( )

( )

Ovaj izvod je jednak nuli kada je izraz u uglastoj zagradi jednak nuli, tj:

Gornja jednadžba je zadovoljena za: , ,

. kako prve dvije vrijednosti ne odgovaraju

maksimumu funkcije raspodjele, vrijednost najvjerovatnije brzine određujemo iz uvjeta:

13 Berina Cocalić

odakle je:

14 Berina Cocalić

2 DRUGI PARCIJALNI ISPIT

2.1 TRANSPORT MASE I ENERGIJE – DIFUZIJA, FIKOV ZAKON

Difuzija je proces spontanog izjednačavanja koncentracija uslijed termičkog kretanja molekula u smjesi dvije ili više

različitih gasova. To je transportna pojava koja opisuje prijenos čestica supstance sa jednog mjesta na drugo, kao

posljedica postojanja gradijenta koncentracije.

Fluks čestica kroz neku površinu S dat je Fikovim zakonom:

Fluks mase je:

Koeficient difuzije:

Da bi došlo do transporta energije mora postojati gradijent temperature (koji je direktno proporcionalan brzini

proticanja toplote konducijom):

Koeficient toplotne vodljivosti:

– srednja brzina -slobodni put - koncentracija

– Boltzmannova konstanta – broj stepeni slobode

Toplota se prenosi u pravcu opadanja temperature.

2.2 NAČINI PRIJENOSA TOPLOTE, FOURIJEROV ZAKON I TOPLOTNI FLUKS

Postoje tri načina prenošenja toplote:

- kondukcija (provođenje) vrši se u tijelima bez njihovog kretanja i to se objašnjava molekularno- kinetičkom

teorijom (kinetička energija molekula se putem sudara prenosi sa molekule na molekulu, te se na taj način javlja

protok toplote kroz tijelo, od mjesta više temperature do hladnijih dijelova)

Jednačina provođenja toplote (Fourierov zakon)

grad

Toplotni fluks je:

grad

( )

( dužina kroz koju se odvija provođenje toplote)

- konvekcija (strujanje) vrši se putem kretanja materijala, najčešće nekog fluida (strujanjem se prenose molekule sa

jednog mjesta na drugo, a time i njihova toplota)

(h koe icient konvekcije)

15 Berina Cocalić

- radijacija (zračenje) je vid prenošenja toplote, gdje se toplota ne prenosi direktno već posredstvom

elektromagnetnih talasa (toplota prvo prelazi u energiju zračenja koja se brzinom svjetlosti prenosi do tijela u kojem

se ona apsorbuje i ponovno prelazi u toplotnu energiju)

2.3 TOPLOTNI FLUKS KROZ CILINDRIČNU CIJEV I KROZ TIJELO SA VIŠE SLOJEVA

Ako je zid sastavljen od dva različita materijala debljina i , a temperatura na dodirnoj površini je . tada je

toplotni fluks kroz površinu S jednak:

( )

i ( )

( )

( )

(za slojeva)

Cilindrična cijev:

( )

2.4 APSORPCIONA MOĆ TIJELA I KIRCHHOFFOV ZAKON

Neka na elementarnu površinu tijela pada fluks energije elektromagnetnog zračenja frekvencije iz intervala . Dio

tog fluksa apsorbirat će tijelo. Bezdimenzionalna veličina:

,

naziva se apsorpciona moć tijela. Ona je funkcija temperature i frekvencije. Po definiciji, , ne može biti veće od .

Tijelo za koje važi , naziva se apsolutno crno tijelo, a tijelo za koje važi , naziva se sivo tijelo.

Na osnovu eksperimentalnih razmatranja o osobinama apsolutno crnih i sivih tijela, Kirchhoff je formulirao sljedeći

zakon: Omjer emisione i apsorpcione moći ne zavisi od prirode tijela, nego je za sva tijela jedna univerzalna funkcija

frekvencije i temperature.

16 Berina Cocalić

( , )

Pošto je po definiciji , za apsolutno crno tijelo, slijedi da je ( , ) , pa univerzalna Kirchhoffova

funkcija ( , ) nije ništa drugo nego emisiona moć apsolutno crnog tijela.

2.5 STEFAN – BOLTZMANNOV ZAKON

Apsolutno crno tijelo je tijelo koje apsorbuje svjetlost svih talasnih dužina.

Stefan – Boltzmannov zakon govori o zračenju apsolutnog crnog tijela. Stefan je na

osnovu eksperimentalnih rezultata za siva tijela došao do zaključka da je intenzitet

zračenja proporcionalan četvrtom stupnju apsolutne temperature. Boltzmann je na

osnovu termodinamičkih postavki, teorijski dobio da za intenzitet zračenja apsolutnog

crnog tijela vrijedi izraz:

( , )

.

– Stefan-Boltzmannova konstanta – apsolutna temperatura

Time je pokazao da Stefanov rezultat vrijedi samo za apsolutno crno tijelo.

2.6 WIENOVA FUNKCIJA, WIENOV ZAKON POMJERANJA

Wien je, koristeći pored termodinamike i elektromagnetsku teoriju, pokazao da funkcija spektralne raspodjele treba

da ima oblik:

( , )

gdje je nepoznata funkcija omjera frekvencije i temperature.

Koristeći Wienovu funkciju, može se izračunati intenzitet zračenja apsolutno crnog tijela:

Uvodeći smjenu

, , , dobivamo:

( )

( )

( )

Određeni integral u ( ) mora biti jednak konstanti , ali da bi se izračunalo, moramo znati funkciju

. Koristeći

( ), možemo dobiti Wienovu funkciju izraženu preko valne dužine:

( , )

ili ( , )

( ) ( )

gdje je nepoznata funkcija produkta . Iz relacije ( ) možemo naći vezu između valne dužine kojoj pripada

maksimum funkcije ( , ), odnosno za koje je maksimum funkcije jednak nuli:

17 Berina Cocalić

Na osnovu eksperimentalnih podataka dobije se veza između i :

.

( )

gdje je . Wienova konstanta.

Izraz ( ) poznat je kao Wienov zakon pomjeranja, po kojem je talasna dužina na kojoj je emisiona moć apsolutno

crnog tijela maksimalna obrnuto srazmjerna apsolutnoj temperaturi, tj.

2.7 RAYLEIGH-JEANSOVA FORMULA/ZAKON I ULTRAVIOLETNA KATASTROFA

Rayleigh i Jeans su pokušali da odrede funkciju ( , ) polazeći od teorema klasične statistike o ravnomjernoj

raspodjeli energije po stepenima slobode. Oni su pretpostavili da na svako elektromagnetno osciliranje otpada u

srednjem dijelu energija jednaka

, tj. jedna polovina na električnu, a druga na magnetnu komponentu.

Rayleigh-Jeansova funkcija spektralne raspodjele ima oblik

( ) ( , )

ili ( , )

i ona zadovoljava Wienov uvjet:

Ako se jednadžba ( ) integrira po , u granicama od do :

( , )

Rezultat koji se dobije poznat je kao ultravioletna katastrofa i ne poklapa se sa eksperimentom. Naime, Rayleigh-

Jeansova formula u slaganju je sa eksperimentalnim rezultatima samo za velike valne dužine (infracrveno područje),

dok se za male valne dužine (ultravioletno područje) oštro razlikuje od eksperimenata.

2.8 PLANCKOVA FUNKCIJA

Wienova funkcija izražena preko valne dužine: ( , )

gdje je funkcija produkta .

Najprije diferencirajmo funkciju ( , ) po , i izjednačimo je s nulom:

( , )

( )

Vrijednosti i koje zadovoljavaju ( ) karakteriziraju minimum funkcije ( , ), dok pri nekoj vrijednosti

funkcija doseže maksimum. Izraz u uglastoj zagradi anuliramo.

Označimo sa

. Tada imamo ( ) , odnosno ( ) ( ) .

18 Berina Cocalić

Rješavanjem ( ) grafičkom metodom, dobije se da je

. . Uvrštavanjem vrijednosti konstanti , i ,

dobije se vrijednost Wienove konstante:

. .

2.9 SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI

Einstein je došao do zaključka da svjetski eter, tj. specijalna materijalna sredina koja bi poslužila kao apsolutni

sistem referencije ne postoji. Prema Einsteinovom principu relativnosti: Svi prirodni zakoni su invarijantni (nepromijenjeni) u odnosu na prijelaz iz jednog inercijalnog sistema referencije u drugi.

Specijalna teorija relativnosti razmatra samo inercijalne sisteme.

Einstein je također postulirao princip konstantnosti brzine svjetlosti, odnosno da je brzina svjetlosti u vakuumu u

svim inercijalnim sistemima referencije jednaka i ne zavisi od izvora i prijemnika svjetlosti.

2.10 LORENTZOVE TRANSFORMACIJE

orentzove transformacije su one koje ispunjavaju sljedeće uslove:

- transformacije između inercijalnih sistema moraju biti takve da brzina svjetlosti ostaje konstantna

- svi prirodni zakoni su invarijantni s obzirom na takve transformacije i zahtjev da prostor bude homogen nužo vodi

na linearnost transformacija (prava linija se transformira u pravu liniju)

Lorentzove transformacije su:

( )

Iz orentzovih transformacija proizilazi niz događaja koje su neobične sa stanovišta klasične mehanike, kao na

primjer istovremenost događaja u različitim sistemima referencije, dužina tijela u različitim sistemima referencije,

trajanje događaja u različitim sistemima itd.

2.10.1 Kontrakcija dužine

Posmatrajmo štap koji je smješten duž -ose i miruje u odnosu na sistem . Njegova dužina u tom sistemu iznosi:

, gdje su i

koordinate krajeva štapa i ne mijenjaju se sa vremenom . Štap se kreće brzinom u

odnosu na sistem .

U jednom trenutku vremena koordinata štapa u nepokretnom sistemu K iznosi i . Razlika koordinata

daje dužinu štapa . Prema Lorentzovim transformacijama ( ) dobivamo:

odakle je:

ili

19 Berina Cocalić

2.10.2 Diletacija vremena

Neka se u tački koja je nepokretna u odnosu na sistem K' odvija događaj koji traje

. Neka je početak i

kraj događaja na istom mjestu, tj.

. Prema Lorentzovim transformacijama ( ) početku i kraju

događaja u sustavu K odgovaraju vremena:

odakle je:

ili

Analogno se dobiva:

relativistički impuls

relativistička masa

relativistička kinetička energija

2.11 KARAKTERISTIČNO I ZAKOČNO RENDGENSKO ZRAČENJE

Rendgenske zrake nastaju pri bombardovanju čvrstih metala brzim elektronima. One nastaju u jonskim ili

elektronskim cijevima.

Elektronska rendgenska cijev (slika 3) se sastoji od

katode u obliku spirale koja se zagrijava do usijanja, te

na suprotnoj strani katode u kojoj je visoki vakuum.

Između katode i anode je visoki napon. Slobodni

elektroni kreću se ubrzano prema anodi sa kojom se

sudaraju, i na mjestu sudara nastaju – zraci.

Eksperiment pokazuje da intenzivno zračenje moće

dobiti samo pri naglom kočenju brzih elektrona. Za ovo

na rendgensku cijev treba dovesti napon viši od .

slika 3 Zračenje uvjetovano kočenjem elektrona naziva se zakočno zračenje. Ukoliko je energija elektrona jednaka kritičnoj

veličini ili veća od nje, nastaje zračeje koje se naziva karakteristično zračenje (kao posljedica izbijanja elektrona iz

unutrašnjih orbita atoma materijala od kojeg je napravljena anoda).

2.12 FOTOELEKTRIČNI EFEKAT

Fotoelektrični efekat ili fotoefekt je emisija elektrona iz materije pod djelovanjem svjetlosti. Javlja se samo pod

djelovanjem zračenja čija je frekvencija veća od neke granične frekvencije koja je karakteristična za materijal na

kojem se odvija fotoelektrični efekat.

20 Berina Cocalić

Svjetlost prolazi kroz kvarcni prozor u evakuirani balon i osvjetljava katodu.

Elektroni emitirani, usljed fotoefekta, prelaze pod djelovanjem električnog

polja na anodu A. kao rezultat u električnom kolu teče struja koja se mjeri

galvanometrom G. Napon između anode i katode može se mijenjati pomoću

potenciometra.

Einstein je pokazao da se zakonitosti fotoefekta mogu lako objasniti ako se

pretpostavi da svjetlost apsorbira u istim kvantima , u kojima se prema

Planckovom zakonu emitira.

Einsteinov zakon fotoefekta maksimalnu kinetičku energiju fotoelektrona

izbačenih kvantima:

Crvena granica fotoefekta (granična frekvencija) danog materijala je frekvencija pri kojoj je energija fotona jednaka

izlaznom radu materijala, tj. elektron mora da primi najmanje toliku energiju da bi se oslobodio površine.

2.13 FOTONI. KOMPTONOV EFEKT.

Da bi se objasnila raspodjela energije u spektru ravnotežnog toplinskog zračenja Einstein je pretpostavio da se

svjetlost rasprostire u obliku diskretnih čestica, tj. fotona (svjetlosnih kvanta), što je kasnije eksperimentalno

dokazano. Foton je čestica u kojoj je koncentrirana energija elektromagnetskog polja:

Saglasno teoriji relativnosti, dobije se masa fotona:

No, ako u izraz za relativističku masu uvrstimo brzinu svjetlosti umjesto brzinu fotona, tj. , nazivnik će biti

jednak nuli. Istovremeno je masa fotona konačna. Ovo je jedino moguće kada je masa mirovanja , jednaka nuli, tj. :

Znači, foton je čestica koja nema masu mirovanja i može da postoji samo kad se kreće brzinom prostiranja svjetlosti.

Pored Einsteinovog objašnjenja fotoefekta, veliki broj fizičara je smatrao da fotoni nisu fizička realnost. Compton je

istražujući raspršenje rendgenskih zraka na raznim supstancama primjetio da se raspršene zrake, sastoje od dvije

komponente: jedna sa nepromjenjenom valnom dužinom , i druga čija je valna dužina veća od valne dužine

upadnog zračenja.

Comptonov efekat se može objasniti, ako se raspršenje posmatra kao proces elastičnog sudara rendgenskih fotona s

praktično slobodnim elektronima. Slobodnim se mogu smatrati elektroni koji su najslabije vezani za atom, čija je

energija vezanja znatno manja od energije koju foton može da preda elektronu prilikom sudara.

Eksperimentalno je pokazano da je:

( )

gdje je , ugao koji obrazuje smjer raspršenog zračenja i smjer prvobitnog snopa, je Comptonova

valna dužina.

21 Berina Cocalić

Neka na elektron, koji se nalazi u stanju

mirovanja, pada foton energije , i

impulsa . Energija elektrona do sudara

iznosi ( masa mirovanja),

impuls je jednak nuli. Poslije sudara

elektron će imati i impuls m , a

energija i impuls fotona će se također

promijeniti i iznosit će ’. Iz

zakona o očuvanju impulsa (količine

kretanja) i očuvanja energije slijede

dvije relacije.

2.14 BOHROVI POSTULATI

Bohr je dopunio Rutherfordov model atoma sa dva postulata, objasnivši strukturu elektronskog omotača i proces i

emisije i apsorpcije svjetlosti.

Prvi Bohrov postulat: od beskonačno mnogo elektronskih orbita (putanja), mogućih sa gledišta klasične mehanike,

javljaju se u stvarnosti samo neke diskretne orbite, koje zadovoljavaju određene kvantne usluge. Elektron, koji se

nalazi na jednoj od tih orgita, bez obzira da to što se kreće sa ubrzanje, ne emitira elektromagnetne valove.

Drugi Bohrov postulat: zračenje se emitira ili apsorbira u obliku svjetlosnog kvanta energije pri prijelazu

elektrona iz jednog stacionarnog (stabilnog) stanja u drugo. Veličina svjetlosnog kvanta jednaka je razlici energije

onih stacionarnih stanja, između kojih se dešava kvantni skok elektrona: , pa frekvencija emitiranja

svjetlosti iznosi:

.

Stacionarno stanje je takvo stanje pri kojem atom ne zrači nikakvu energiju, mada se elektron kreće ubrzano.

2.15 ELEMENTARNA (BOHROVA) TEORIJA VODIKOVOG ATOMA.

Prema Bohrovom postulatu dozvoljene su samo one orbite za koje važi da je moment količine kretanja elektrona

jednak cjelobrojnom višekratniku Planckove konstantne . Broj je prirodan broj i naziva se glavni kvantni broj:

( ) , , , ,

masa elektrona brzina radijus orbite

Da bi elektron kružio po n-toj orbiti, mora biti zadovoljen uslov stabilnosti, tj. centripetalna sila

mora biti jednaka Coulombovoj sili

( )

redni broj naboj elektrona .

dielektrična konstanta vakuuma

Uslov stabilnosti glasi:

( )

22 Berina Cocalić

Eliminacijom iz ( ) i ( ), dobijamo da radijus elektronskih orbita može imati samo diskretne vrijednosti:

( )

, , ,

Iz ( ) i ( ) može se izračunati brzina elektrona u n-toj orbiti:

2.15.1 Moseleyev zakon Unutrašnji elektroni svojim negativnim nabojem zaklanjaju naboj jezgra, te se rezultati Bohrovog modela atoma

vodika ne mogu primijeniti na ostale atome. Jedino za K seriju dosta dobro vrijedi formula slična onoj za vodik:

( )

Ovo je tzv. Moseleyev zakon, gdje je redni broj elementa, a , , .

2.16 DEFEKT MASE I ENERGIJA VEZE ATOMSKOG JEZGRA

Energija veze atomskog jezgra je jednaka radu koji treba izvršiti da se jezgro razloži na nukleone, ne uključujući tu

njihovu kinetičku energiju. Razložiti jezgro na nukleone znači razmaknuti nukleone na rastojanja na kojima među

njima nema nuklearnog djelovanja.

Prema relativističkoj teoriji, promjeni mase sistema za veličinu odgovara promjena energije:

Eksperimentalno je dokazano da je masa atomskog jezgra uvijek manja od zbira masa svih nukleona koji ga

izgrađuju. Ova razlika u masama se naziva defekt mase.

Ev ( )

Energija veze po jednom nukleonu se naziva specifična energija veze, i predstavlja stabilnost jezgra.

Specifična energija veze ovisna je o masenom broju, i to energetski omogućava dva procesa: cijepanje teških jezgri na

nekoliko lakših, i spajanje lahkih jezgri u jedno jezgro. Oba procesa se dešavaju uz oslobađanje ogromne količine

energije.

2.17 ZAKON RADIOAKTIVNOG RASPADA

Trenutak spontanog raspada jezgre nekog radioaktivnog izotopa je nemoguće predvidjeti, ali se može odrediti

vjerojatnost tog raspada u toku određenog vremenskog intervala.

Brzina kojom se raspada neki radioaktivni materijal naziva se aktivnost i jednaka je broju raspada u jedinici vremena

:

Znak minus označava da se broj raspada u toku vremena smanjuje. Aktivnost se mijenja sa vremenom i

proporcionalna je broju nestabilnih jezgri ( ):

( )

23 Berina Cocalić

gdje je konstanta raspada i karakteristika je pojedinog radioaktivnog elementa.

Slijedi diferencijalna jednadžba (broj raspada za vrijeme u trenutku ): ( )

Integracijom se dobiva

Za i ln imamo zakon radioaktivnog raspada: ( )

gdje je broj jezgara u momentu , a broj neraspadnutih jezgri do trenutka vremena .

Ako je početna aktivnost uzorka:

Vrijeme poluraspada

predstavlja vremenski interval u kojem se raspadne polovina atoma radioaktivnog elementa.

Za

i

u relaciji ( ) imamo da je vrijeme poluraspada jednako:

ln

Jedinica za aktivnost radioaktivnih izvora je ( ).

2.18 RADIOAKTIVNOST I RASPADI

Radioaktivnost je spontani prijelaz nestabilnih izotopa nekog hemijskog elementa u izotop drugog elementa, koji se

dešava uz emisiju elementarnih čestica ili jezgri. Osnovni tipovi radioaktivnog raspada su: alfa raspad, beta raspad,

spontana fisija i gama raspad.

Kod prva tri dolazi do transmutacije elemenata i praćeni su emisijom odgovarajućih čestica, a gama raspad je praćen

emisijom fotona, i kod njega jezgra trpi samo energetsku promjenu.

Alfa raspad

Beta minus raspad

Beta plus raspad

Gama raspad: poslije alfa ili beta raspada, jezgra potomak može da ostane u nekom od pobuđenih stanja. Jezgra

potomak se vraća u svoje osnovno stanje emitirajući pri tome gama zračenje ( -fotone) odgovarajuće energije.

Radioaktivnost izotopa koji se sreću u prirodnim uvjetima se naziva prirodnom, a radioaktivnost dobivena

posredstvom nuklearnih reakcija naziva se vještačkom. U oba slučaja, proces radioaktivnog pretvaranja ima jednake

zakone.

2.19 FISIJA I FUZIJA Fisija je proces cijepanja teške jezgre na dva približno jednaka

fragmenta uz emisiju jednog ili više neutrona, te oslobađanje

velike količine energije. Tijekom procesa fisije dolazi do

oslobađanja energije, jer je manje energije potrebno za

formiranje dvije lakše jezgre nego jedne teže jezgre.

Jezgre koje su nastale fisijama zovu se fisijski fragmenti ili

fisijski produkti. Fisijski produkti su radioaktivni i glavni su

izvor radioaktivnosti u istrošenom nuklearnom gorivu.

Fuzija (termonuklearna reakcija) je proces sinteze lahkih

jezgara u teže pri čemu teže jezgro ima veću specifičnu

24 Berina Cocalić

energiju veze od lahkih. Proces fuzije se odvija uz pomoć snažnog toplotnog kretanja na visokim temperaturama.

Takvi procesi se odvijaju na Suncu i drugim zvijezdama.

Na principu fuzije zasniva se hidrogenska bomba. Da bi se postigla potrebna temperatura koristi se kao upaljač

atomska bomba (fisija). Za hidrogensku bombu obično se koristi sinteza deuterija i tricija.

Da bi savladale potencijalnu barijeru uvjetovanu Kulonovim odbijanjem, jezgre i trebaju imati energiju:

gdje je radijus djelovanja nuklearnih sila koji iznosi .