1

SKRIVNING I MATEMATIK GENNEM ET START-SKOLEÅR – EN ELEV KONFERENCEN FAGLIGHED OG SKRIFTLIGHEDSDU 22 MARTS 2012 [UDGAVE TIL HJEMMESIDE]

Lena Lindenskov Institut for Uddannelse og Pædagogik, (DPU) Århus Universitet i KBH lenali@dpu.dk

2

I: Kontekst Øget interesse for skriftlighed i og på

tværs af fag Bestandige betingelser Forandrede betingelser ….Især fra 2008 Fem dokumenter

3

På alle niveauer foregår der didaktiske overvejelser om skrivning Fx på mit Institut for Uddannelse og

Pædagogik (DPU), Århus Universitet i København

indgår der skrivning på Kandidatuddannelse i Didaktik som redskab for læring og for formativ og summativ evaluering bl.a. med overblikspapirer undervejs på moduler

med matematik i fagdidaktisk perspektiv Bl.a. med blogs og case-synopser undervejs på

modul Almen-didaktik

4

Skriftlighed i matematik er underlagt nogle bestandige betingelser Skrivning af tal og andre symboler til

kommunikation af matematisk mening starter før skrivning af bogstaver og verbalord (fylogenetisk som ontogenetisk)

Matematik er det fag i grundskolen med mest skrivning, målt på elevtid og tegnmængde

Skrivning i matematik er anerkendt middel til styrket matematikfaglig læring og til evaluering af matematikfaglig læring

5

Skriftlighed i matematik er underlagt nogle forandrede betingelser Der er forandrede behov for matematikkompetence i ’det

nye tekstsamfund’ med nye teknologiske hjælpemidler

Skrivning i matematik som middel til at styrke (specifikke dele af) generel skrivekompetence foreskrives for første gang i bekendtgørelser for HF/gymnasiet i bilag 2/bilag4.

Der er forandrede rammer for tid og indhold af skriftlige afleveringer i gymnasiets matematikundervisning Fra afleveringer hver uge i startåret i 1980’erne til 15

afleveringer i 2010 - 2011 Fra 2008 omtaler undervisningsvejledninger et udvidet

repertoire på fem typer skriftlige arbejder

6

Undervisningsvejledningen STX B, 2008

1. traditionelle matematikopgaver

2. matematikrapport over projekter og emner

3. redigerede noter4. udformning af

skriveordrer og kommentering af besvarelser

5. formidlingsopgaver

1. at opøve eleverne i problemløsning, fra det simple til det mere komplicerede

2. at opøve elevernes evne til skriftlig formidling

3. forbedre notatteknik

Fem typer skriftlige arbejder Med følgende formål

7

Der foreligger fem dokumenter om skriftlighed i matematik

Dokumenter med fem kvalitetspinde Bedømmelseskriterier for

skriftlig eksamen stxA Bedømmelseskriterier for

skriftlig eksamen stxB

Råd om arbejdet med skriftlig matematik til daglig og til eksamen. "Håndbog i skriftlig

matematik” stx A "Håndbog i skriftlig

matematik” stx B På

http://uvmat.dk/skrift/index.htm

Opgavesamling om modellering: A: Opgaver fra folkeskolens

afgangsprøve.

B: Gymnasieversioner af opgaverne i kategori A

C: Eksamensopgaveversion af opgaverne i kategori A, som de kunne se ud på B-niveau i gymnasiet

På www.silkeborg-gym.dk

Fire til elever Et til lærere

8

II Delprojektets design To problemfelter En elev I et forløb over et år Elevens interesser og opfattelser

9

Delprojektet analyserer to relaterede problemfelter At opøve skrivekompetence gennem

at skrive i matematikundervisningen

At opøve matematisk kompetence gennem at skrive i matematikundervisningen

10

Elevens forholden sig til lærerkommentarer til afleveringer I interview fortæller eleven:

hvis der er mange lærerkommentarer, ignorerer eleven dem

hvis der er en mindre række lærerkommentarer, og især hvis der er konkrete forslag, så bruger eleven dem

MEN i matematik er eleven alligevel glad for at få mange lærerkommentarer, og eleven forventer at kunne bruge dem i lignende fremtidige opgaver

11

Elevens oplevelse af matematik samt af form og indhold i skriftlighed Fra elevinterview:

Eleven oplever, at det er sjovt i matematik Eleven mener, at skriftligt arbejde giver

opmærksomhed på måden at formulere sig på

Eleven ser store fordele ved skriftlighed som et godt supplement, nemlig at det skriftlige arbejde giver bedre mulighed for at overveje, tænke, undersøge og overveje sine formuleringer.

12

III Resultater Typer af skriftlige arbejder Typer sprog Skriveordrens forventninger og

intentioner Elevens konklusioner Lærerkommentarens genstand Kompleksitet i anvendelsesopgaver Udvikling af elevens skriveridentitet Elevens læring gennem året

13

Typer skriftlige arbejder, der afleveres gennem året

Læreren beskriver de 15 afleveringer som:- 9 traditionelle- 3 rapporter (Oktober, December, April)- 1 test (Marts)- 1 opsamling, redigerede noter (Januar)- 1 repetition (Maj)

14

Afleveringer sammenlignet med bestemmelser for Mat B Udover bestemmelserne

test, opsamling, repetition

Der mangler fra bestemmelserne udformning af skriveordrer og

kommentering af besvarelser formidlingsopgaver

15

15 afleveringer i alt8 med fuldt tilgængelige data

60%20%

7% 13%

De 15 afleveringerenkeltopgaver rapportprøve opsamling

63%13%

13%13%

De 8 beskrevne afleveringerenkeltopgaver rapportprøve opsamling

16

De 15 afleveringer over for de 8 afleveringer De 15 fordeler sig med 7 i efteråret, 8 i foråret De 8 fordeler sig med 1 (den første) fra

efteråret, 7 fra foråret 2011

Det giver mulighed for analyser af de 8 samlede konstellationer hver for sig og gennem skoleåret

Og af analyser af delvise data fra 15 afleveringer gennem skoleåret

17

Analyser af

Fordelinger af verbal- og symbolsprog Skriveordrens forventninger og

intentioner Elevens konklusioner Lærerkommentarens genstand Kompleksitet i anvendelsesopgaver Udvikling af elevens skriveridentitet –

genre Elevens læring gennem året

18

Verbal og symbolsprog i elevtekst og lærerkommentar

umatematiske verbalord

28%

matema-tiske ver-

balord8%

tal22%

symboler43%

Fordeling i elevtekst matematik 1. g

Side 4 af 8 - Aflevering 1 af 15

umatematiske verbalord

74% matematiske verbalord

26%

Fordeling i kommentar matematik 1. g Side 4 af 8

- Aflevering 1 af 15

19

Verbal og symbolsprog i elevtekst og lærerkommentar

Næsten halvdelen består af symboler

En femtedel af elevteksten fyldes af tal,

Verbalord udgør godt en tredjedel af elevteksten

En fjerdedel af verbalordene er matematiske

Ingen symboler

Ingen tal Kun verbaltekst

En fjerdedel af verbalordene er matematiske

I elevtekst I lærerkommentar

20

Hvilke forventninger opridser den skriftlige skriveordre? Om særlige repræsentationsformer og

notation? Om præcision? Om faglig redegørelse? Om dokumentation? Om argumentation? Om layout? Om konklusion?

21

Forventninger udtrykkes ikke eksplicit i skriftlig skriveordre Forventninger kan være udtrykt mundtligt.

I optakt til aflevering 1 siger læreren, at eleverne skal gøre det så godt de kan og bruge det de har med fra folkeskolen.

I optakt til aflevering 4 siger læreren, at eleverne skal prøve at skrive med sådan en tekst som hører til en autoriseret aflevering i matematik.

22

Forventninger udtrykkes i verber og hv-ord

Skriveordre 2, en samling enkelt-stående opgaver

Tegn – den rette linje Opskriv – en ligning for hver af tre

linjer Hvor mange – m3 vand Hvor mange – liter vand Hvor meget – kan der spares Vil det kunne betale sig Gang – parenteser ud Reducer - udtrykket Reducer - udtrykkene

23

Forventninger udtrykkes i verber og hv-ord

Skriveordre 13,en rapport

Giv en definition – med dine egne ord

Opskriv - renteformlen Forklar - begreberne Opstil og bevis - formlerne Anvend - til at løse case og

krimigåde Afgør om

24

Forventninger i verber og hv-ord

Skriveordre 15repetition

Bestem – linjens ligning Bestem – skæringspunkt Beregn – vinklerne Beregn – arealet Bestem – kvartilsættet Udregn – frekvenserne Bestem – forskrift Bestem – konstant Løs - ligning

25

Forventninger skrivekompetence?

Man kan som matematiklærer overveje hvordan bydeform og hv-ord giver potentialer og begrænsninger for at skrivning i matematik kan støtte elevernes udvikling af generel skrivekompetence?

26

Verbalsprog i elevtekst 1’s konklusioner Enten intet verbalsprog, kun tal eller tal og symboler Eller ”Nu har jeg fundet….” Eller ”Allan giver 110 kr,…..” Eller - ved kognitive snublestene - længere verbale

udtryk som ”Y skulle efter arket være 2,4. Men da 4,40 og 2,4 ikke er det

samme tal, påviser dette at 4,40 ikke ligger på m linjen”

Så det kan være fordelagtigt for læringsprocessen at opleve og formulere sig om kognitive snublestene [Se Lindenskov, 2003. Kan det være rigtigt at regne forkert og forkert at regne rigtigt]

27

Mange udtryk for ”jeg handler” i elevtekst til samling enkelte opgaver

31 jeg og mine (procedurer, begreber, resultater) Fx ’Så nu går jeg i krig med at

finde samme x’ 1 argument uden jeg: dette

påviser

29 ord, 73 tal, 175 matematiske tegn på første side

Ingen jeg og mine 3 vi 1 man

26 ord, 93 tal, 110 matematiske tegn på første side

Elevtekst i aflevering 1 Elevtekst i aflevering 9

28

Lærerkommentarer har varieret verbal-sprog, er faktuelle og henvendt til eleven

Formlen og beviset er to forskellige ting

Korrigerer konventioner: tilføj af ’A,B and C’ påpeger hverdagsbrug af

lighedstegn Beviset er desværre ikke

helt fuldført. Pointen er… Øh ja men hvor er

grafen?

Ja,…., men….. Hvad mener du helt

præcist? Det er nu ikke nok at

vise…. Hvis…, kunne du også

bare Hvordan er du kommet

frem til denne ligning?

Lærerkommentar til aflevering 3

Lærerkommentar til aflevering 13

29

Et eksempel på en opgave med sådanne data fra folketingsvalg 2010:Parti Antal stemmerA 881.037BCFKOVYØUden for 549

30

Der er konflikt mellem lærer- og elev- tolkninger af opgavens meningsfuldhed

Skriveordre: Gør rede for,… hvorfor der er deskriptorer, der ikke kan benyttes (om partiers stemmetal valget 2007)

Elevyekst: ….dette er variansen spredningen. Det er (ligesom gennemsnittet) ikke særlig vigtigt i forhold til et folketingsvalg

Lærerrespons: Nej, du kan ikke udregne varians, da observationerne ikke har en værdi målt i tal. Du er kommet til at bruge hyppighederne som observationernes værdi

31

Lærer- og elevtolkninger af opgavens meningsfuldhed mødes ikke Eleven tolker skriveordren ud fra, hvad

det er meningsfyldt for politikere at få af viden om stemmetal

Læreren tolker skriveordren ud fra, hvad beregningsalgoritmen forudsætter om de givne data om stemmetal

32

Hvilken kompetence i argumentation dokumenteres i elevteksten?

Elevbesvarelse: jeg skal bruge bevisformel for a

Lærerrespons: Det er nu bare formlen du bruger. Den hedder ikke bevisformel.

Elevbesvarelse: Bevisformel for a: Til at bevise formlen a,….

Lærerrespons: Formlen og beviset er to forskellige ting

Aflevering 1, samling af enkeltstående opgaver Aflevering 3, rapport

33

Elevteksternes udvikling gennem året

både matematisk brug og hverdagsbrug af af lighedstegn

jeg som grundled

uformel reportage fra eget studerekammer, alá facebook

temporale forbindende småord (så, nu o.lign.)

kun matematisk brug af lighedstegn

vi, man og substantiver som grundled

formel autoriseret besvarelse

logiske forbindende småord (dermed o.lign.)

Ved årets start Ved årets afslutning

34

TAK for opmærksomheden

Nu er det tid til: Forståelsesspørgsmål til oplægget Gruppearbejde om en skriveordre,

elevtekst og lærerrespons Samlet diskussion af brugbarhed for praksis

og forslag til videre analyser

35

IV Gruppearbejde Om karakterisering af tekster

med hensyn til typer af sprog med hensyn til sammenhængs-småord

Diskussion af tekster

36

Karakterisér eksempel på skriveordre og elevtekst Verbalsprog – matematisk, hverdag,

andre fag Tal Symboler – matematiske, hverdag, andre

fag Forbindende småord – generelle, logiske,

rumlige, temporale, kausale

37

Karakterisér lærerrespons

Om præcision Om uddybningsgrad Om begrebsforståelse Om valg af metode og procedurer Om elevtekst og om eleven

38

V Afsluttende diskussion af brugbarhed for praksis og forslag til videre analyser Bekræftelse på

at det synes givende at se på skriveordre, elevtekst og lærerrespons som en helhed, som det gøres i forskningsprojektet

at det synes givende at se på forløb, fx gennem et år, som det gøres i forskningsprojektet

Et ønske om at der skabes mere forskningsviden om Hvilke potentialer og ulemper kan dokumenteres

ved brug af CAS-værktøjer i afleveringer, og hvordan imødegås eventuelle ulemper?

39

V Afsluttende diskussion af brugbarhed for praksis og forslag til videre analyser Hvilke forskelle giver det formativt, hvorvidt

lærerrespons indeholder karakterbedømmelse eller ej? sammenligning med præstationer ved tidligere

afleveringer eller ej? Elevers udbytte ved henholdsvis skriftlig og

mundtlig matematik Hvordan adskiller elevteksters udvikling over et

år, alt efter om der er tale om ’traditionelle opgaver’ eller andre genrer

Hvordan kan man karakterisere unge i dag’s læring sammenlignet med den læring, der fandt sted blandt unge, dengang lærerne var unge