1

I. Kompetensi Inti

KI 1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung

jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,

responsif dan pro-aktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari

solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif

dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri

sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3: Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual,

konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu

pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan

wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban

terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan

pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai

dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI 4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah

abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di

sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai

kaidah keilmuan.

II. Kompetensi Dasar

3.6 Menerapkan konsep torsi, momen inersia, titik berat, dan momentum

sudut pada benda tegar (statis dan dinamis) dalam kehidupan sehari-

hari.

III. Indikator

3.6.1 Menganalisis momentum sudut pada benda berotasi.

3.6.2 Merumuskan hukum kekekalan momentum sudut.

3.6.3 Menganalisis titik berat pada benda homogen dan tidak homogen.

3.6.4 Menganalisis jenis-jenis kesetimbangan benda.

2

3.6.5 Menerapkan konsep titik berat benda dalam kehidupan.

3.6.6 Merumuskan hukum kekekalan momentum sudut pada benda tegar

dalam kehidupan.

IV. Tujuan Pembelajaran

1. Peserta didik dapat merumuskan pengaruh torsi atau momen gaya pada

sebuah benda.

2. Peserta didik dapat menggunakan konsep momen kopel untuk berbagai

bentuk benda.

3. Peserta didik dapat menggunakan konsep momen inersia untuk berbagai

bentuk benda tegar.

4. Peserta didik dapat mengetahui perbedaan antara momen inersia benda

satu dengan yang lainnya.

5. Peserta didik dapat menerapkan konsep titik berat benda dalam

kehidupan sehari-hari.

6. Peserta didik dapat mengungkap analogi hukum II Newton tentang

gerak translasi dan gerak rotasi.

7. Peserta didik dapat menjelaskan momentum sudut secara jelas.

8. Peserta didik dapat merumuskan hukum kekekalan momentum sudut

pada benda tegar.

9. Peserta didik dapat menentukan energi kinetik rotasi dan usaha dalam

gerak rotasi.

10. Peserta didik dapat menganalisis energi dalam gabungan gerak rotasi

dan translasi.

V. Materi Pokok

Titik berat, dan momentum sudut pada benda tegar (statis dan dinamis) serta

penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

VI. Konsep Esensial

1. Momentum Sudut

a. Impuls sudut

3

b. Hukum kekekalan momentum sudut

2. Kesetimbangan Benda Tegar

a. Syarat kesetimbangan

b. Pusat massa dan titik berat benda

c. Kesetimbangan tiga gaya

3. Penerapan dalam kehidupan sehari-hari

VII. Peta Konsep

VIII. Uraian Materi

1. Momentum Sudut

Kita sudah mendapatkan bahwa hukum Newton II untuk benda berotasi

sama dengan Hukum Newton untuk gerak translasi. Bagaimana dengan

momentumnya? Pada gerak transisi kita mengenal momentum linear dan

hukum kekekalan momentum linear. Momentum sudut linear akan kekal

bila total gaya yang bekerja pada sistem adalah nol. Bagaimana pada gerak

rotasi? Pada gerak rotasi kita akan menemukan apa yang disebut sebagai

mometum sudut.

4

Benda akan memiliki momentum linear sebesar mv . Momentum sudut

didefinisikan sebagai hasil perkalian silang antara vektor r dan momentum

linearnya.

�⃗� = 𝑟 × 𝑝 = 𝑟 × 𝑚𝑣

Momentum sudut merupakan besaran vektor karena memiliki besar dan

arah. Arah momentum sudut L tegak lurus dengan arah r dan arah v . Arah

momentum sudut sesuai dengan arah putaran sekrup tangan kanan. Atau

arah momentum sudut dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan, seperti

yang ditunjukkan pada Gambar 6.21.

Besar momentum sudut adalah :

𝐿 = (𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑚𝑣

Mari kita tinjau sebuah partikel bermassa m

yang berotasi dengan jarijari konstan r memiliki

kecepatan sudut Z . Kecepatan linear partikel

adalah v . Momentum sudutnya adalah:

�⃗� = 𝑟 × 𝑝 = 𝑟 × 𝑚𝑣 = 𝑚𝑟2𝜔�̂�

Arah momentum sudutnya ke arah sumbu z

positif. Besarnya momentum sudut adalah:

𝐿 = 𝑟𝑚𝑣 = 𝑟𝑚(𝑟𝜔) = 𝐼𝜔

Tampak bahwa momentum sudut analog dengan momentum linear

pada gerak rotasi, kecepatan linear sama dengan kecepatan rotasi, massa

sama dengan momen inersia.

Apabila jari-jari benda yang melakukan gerak rotasi jauh lebih kecil

dibandingkan dengan jarak benda itu terhadap sumbu rotasi r, momentum

sudut benda itu dinyatakan sebagai momentum sudut partikel yang secara

matematis dituliskan sebagai

𝐿 = 𝑚𝑣𝑟

a) Hukum Kekekalan Momentum Sudut

5

Jika momen gaya luar sama dengan nol, berlaku Hukum Kekekalan

Momentum Sudut, yaitu momentum sudut awal akan sama besar dengan

momentum sudut akhir. Secara matematis, pernyataan tersebut ditulis

sebagai berikut.

𝐿𝑎𝑤𝑎𝑙 = 𝐿𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟

𝐼1𝜔1 + 𝐼2𝜔2 = 𝐼1𝜔1′𝐼2𝜔2

′

Dari Persamaan tersebut, dapat dilihat bahwa apabila I bertambah besar,

ω akan semakin kecil. Sebaliknya, apabila ω semakin besar maka I akan

mengecil

2. Kesetimbangan Benda Tegar

a) Syarat Kesetimbangan

Menurut Hukum Pertama Newton, apabila resultan gaya-gaya yang

bekerja pada benda sama dengan nol, percepatan benda tersebut juga

akan sama dengan nol. Dalam hal ini, dapat diartikan bahwa benda

berada dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan tetap.

Kondisi ini berlaku untuk gerak translasi dan gerak rotasi. Apabila

pada benda berlaku hubungan ∑ F = 0 dan ∑ τ = 0 (a = 0 dan α = 0)

maka dikatakan benda tersebut dalam keadaan setimbang.

Benda yang berada dalam keadaan setimbang tidak harus diam,

akan tetapi harus memiliki nilai percepatan linier a = 0 (untuk gerak

translasi) dan percepatan sudut α = 0 (untuk gerak rotasi). Sebaliknya,

benda yang diam pasti berada dalam keadaan setimbang. Dengan

demikian, keadaan setimbang itu terdapat dua macam, yaitu :

Setimbang statik (benda diam).

v = 0 dan ω = 0

∑ F = 0 dan ∑ τ = 0

Setimbang mekanik (benda bergerak translasi atau rotasi).

o Setimbang translasi → benda bertranslasi dengan v konstan.

6

o Setimbang rotasi (untuk benda tegar) → benda berotasi dengan

ω konstan.

b) Pusat Massa dan Titik Berat Benda

Benda tegar yang melakukan gerak rotasi, memiliki pusat massa

yang tidak melakukan gerak translasi (v = 0). Apakah benda tegar itu?

Benda tegar adalah benda yang saat bergerak jarak antar titiknya tidak

berubah. Misalnya sepotong kayu padat. Jika misalnya kalian

melempar suatu benda ke atas, lalu benda tadi berubah bentuk, maka

benda itu bukan benda tegar. Berbeda dengan sebuah partikel yang

bergerak melingkar beraturan, partikel tersebut memiliki pusat massa

yang melakukan gerak translasi (v ≠ 0) dengan arah yang selalu

berubah karena adanya percepatan sentripetal, as di mana F ≠ 0.

Jika kita memiliki sebuah sistem yang terdiri atas 2 massa, massa

1 di titik x1 dan massa 2 ditik x2. Pusat massa sistem terletak di titik

tengah. Bila sistem terdiri atas banyak benda bermassa maka pusat

massa sistem adalah:

𝑥𝑝𝑚 =𝑥1𝑚1 + 𝑥2𝑚2 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑚𝑛

𝑚1 + 𝑚2 + ⋯+ 𝑚𝑛

Begitu juga komponen ke arah sumbu y dan z

𝑦𝑝𝑚 =𝑦1𝑚1 + 𝑦2𝑚2 + ⋯+ 𝑦𝑛𝑚𝑛

𝑚1 + 𝑚2 + ⋯+ 𝑚𝑛

𝑧𝑝𝑚 =𝑧1𝑚1 + 𝑧2𝑚2 + ⋯+ 𝑧𝑛𝑚𝑛

𝑚1 + 𝑚2 + ⋯+ 𝑚𝑛

Jika sistem kita adalah sistem yang kontinu, misalkan sebuah

balok, di manakah titik pusat massa balok? Kita dapat membagi

menjadi bagian yang kecil-kecil yang tiap bagiannya bermassa dm. ∑

akan berubah menjadi integral. Pusat massa sistem adalah

𝑥𝑝𝑚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦𝑝𝑚𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑧𝑝𝑚 =∫(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑚

𝑀

7

Letak pusat massa suatu benda menentukan kestabilan

(kesetimbangan) benda tersebut. Jika dari titik pusat massa benda

ditarik garis lurus ke bawah dan garis tersebut jatuh pada bagian alas

benda, dikatakan benda berada dalam keadaan setimbang stabil.

Namun, apabila garis lurus yang ditarik dari titik pusat massa jatuh di

luar alas benda maka benda dikatakan tidak stabil.

Selain titik pusat massa kita mengenal

titik pusat berat. Samakah titik pusat massa

dengan titik pusat berat? Titik pusat berat

akan berimpit dengan titik pusat massa bila

percepatan gravitasi pada semua titik pada

benda itu sama. Mari kita lihat gambar di

samping. Tiap elemen massa dm akan memiliki berat W =gdm. Total

gaya berat bisa kita anggap berpusat pada suatu titik XG. XG kita sebut

sebagai titik berat

𝑋𝐺 =𝑥1𝑤1 + 𝑥2𝑤2 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑤𝑛

𝑤1 + 𝑤2 + ⋯+ 𝑤𝑛

Bila g yang bekerja pada tiap dm sama maka

𝑋𝐺 =𝑥1𝑑𝑚1𝑔 + 𝑥2𝑑𝑚2𝑔 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑑𝑚𝑛𝑔

𝑑𝑚1𝑔 + 𝑑𝑚2𝑔 + ⋯+ 𝑑𝑚𝑛𝑔

=∑ 𝑥𝑛𝑑𝑚𝑛𝑔

𝑁𝑛=1

𝑀𝑔=

∑ 𝑥𝑛𝑑𝑚𝑛𝑁𝑛=1

𝑀

titik berat berimpit dengan titik pusat massa.

Titik berat benda adalah titik tangkap gaya berat suatu benda, di

mana titik tersebut dipengaruhi oleh medan gravitasi. Penentuan letak

titik berat ini dapat dilakukan dengan mudah apabila benda bersifat

homogen dan beraturan (seperti kubus, bola, dan silinder).

c) Titik Berat Benda Beraturan

Tabel 1 Tititk Berat Benda Homogen Berbentuk Garis

8

No Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat

1 Garis Lurus

𝑋0 =1

2𝑙

𝑧 ∶ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠

2 Busur

Lingkaran

𝑌0 = 𝑅 ×𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵

𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵

𝑅 ∶ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛

3 Busur

Setengah

Lingkaran

𝑌0 =4𝑅

3𝜋

𝑅 ∶ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛

Sumber : Fisika, Kane & Sternheim, 1991.

Tabel 2 Titik Berat Benda Homogen Dimensi Dua

No Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat

1 Segitiga

𝑌0 =1

2𝑡

𝑡 ∶ 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎

𝑧 ∶ 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 −

𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝐴𝐷 𝑑𝑎𝑛 𝐶𝐹

2 Jajargenjang

belah ketupat,

bujur sangkar,

𝑌0 =2

3𝑅

𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵

𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵

𝑡 ∶ 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎

𝑧 ∶ 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛

9

persegi

panjang

𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝐴𝐶 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝐷

3 Jaring

Lingkaran

𝑌0 =2

3𝑅

𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵

𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵

𝑅 ∶ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛

4 Setengah

Lingkaran

𝑌0 =4𝑅

3𝜋

𝑅 ∶ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛

Sumber : Fisika, Kane & Sternheim, 1991.

Tabel 3 Titik Berat Benda yang Berupa Selimut Ruang

No Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat

1 Kulit Prisma

𝑧 ∶ 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠

𝑧1𝑧2 ∶ 𝑌0 =1

2𝑡

𝑧1 ∶ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑙𝑎𝑠

𝑧2 ∶ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑡𝑎𝑠

𝑙 ∶ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑙𝑎𝑠

2 Kulit Silinder

(tanpa tutup)

𝑌0 =1

2𝑡

𝑡 ∶ 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑠𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟

3 Kulit Limas

𝑇′𝑧 =1

3𝑇′𝑇

𝑇′𝑇: 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔

10

4 Kulit Kerucut

𝑌0 = 𝑧𝑇′ =1

3𝑇′𝑇

𝑇′𝑇: 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡

5 Kulit

Setengah Bola

𝑌0 =1

2𝑅

𝑅 ∶ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑜𝑙𝑎

Sumber : Fisika, Kane & Sternheim, 1991.

Tabel 4 Titik Berat Benda Pejal Tiga Dimensi

No Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat

1 Prisma Pejal

𝑌0 =1

2𝑡

𝑧1 ∶ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑙𝑎𝑠

𝑧2 ∶ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑡𝑎𝑠

𝑡 ∶ 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘

𝑌0 =1

2𝑡

𝑡 ∶ 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑠𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟

2 Silinder Pejal

3 Limas Pejal

Beraturan

𝑌0 =1

3𝑡

𝑡 ∶ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔

𝑉 ∶ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 ×1

3 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

4 Kerucut Pejal

𝑌0 =1

3𝑡

𝑡 ∶ 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡

𝑉 ∶ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 ×1

3 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

11

5 Setengah Bola

Pejal

𝑌0 =3

8𝑅

𝑅 ∶ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑜𝑙𝑎

Sumber : Fisika, Kane & Sternheim, 1991.

d) Kesetimbangan Statis Benda Tegar

Perhatikanlah gambar tiga jenis kesetimbangan statis benda tegar,

yaitu kesetimbangan stabil, labil, dan netral pada gambar berikut.

Kesetimbangan stabil (mantap), ialah jenis kesetimbangan benda

di mana apabila benda diberi gangguan (gaya luar) maka benda

akan bergerak. Kemudian, apabila gangguan gaya luar tersebut

dihilangkan maka benda akan diam dan kembali pada

kedudukannya semula. Perhatikanlah Gambar 6.27a. Titik berat

benda akan naik, jika benda hendak menggelinding karena gaya F.

Kedudukan benda setelah digulingkan akan tetap.

Kesetimbangan labil (goyah), ialah jenis kesetimbangan benda

dimana benda tidak dapat kembali ke kedudukannya semula

apabila gaya luar (gangguan) yang diberikan padanya dihilangkan.

Perhatikanlah

Gambar 6.27b. Titik berat benda O turun, apabila benda hendak

menggelinding karena gaya F. Kedudukan benda sebelum dan

sesudah digelindingkan berubah.

12

Kesetimbangan netral (indifferent/sembarang),

ialah jenis kesetimbangan benda di mana

apabila benda diberi gangguan, benda akan

bergerak. Kemudian, apabila gangguan

dihilangkan, benda akan kembali diam pada

posisinya yang baru. Perhatikanlah Gambar

6.27c. Titik berat benda, O, tidak naik maupun

turun apabila benda menggelinding. Setelah menggelinding, benda

kembali setimbang di posisinya yang baru.

Apabila terdapat tiga gaya yang bekerja pada satu titik partikel

dan partikel tersebut berada dalam keadaan setimbang, seperti pada

Gambar 6.28, berlaku hubungan sebagai berikut.

𝐹1

𝑠𝑖𝑛𝛼1=

𝐹2

𝑠𝑖𝑛𝛼2=

𝐹3

𝑠𝑖𝑛𝛼3

dengan α1, α2, dan α3 merupakan sudut apit

antara dua gaya yang berdekatan.

3. Penerapan dalam kehidupan sehari-hari

Dari hukum kekekalan momentum sudut,

dapat dilihat bahwa apabila I bertambah

besar, ω akan semakin kecil. Sebaliknya,

apabila ω semakin besar maka I akan

mengecil. Prinsip ini diaplikasikan oleh pemain es skating dalam

melakukan putaran (spinning). Saat akan memulai putaran badan,

pemain es skating merentangkan lengannya (momen inersia pemain

akan semakin besar karena jarak lengan dengan badan bertambah).

Kemudian, ia merapatkan kedua lengannya ke arah badan agar

momen inersianya mengecil sehingga putaran badannya akan

semakin cepat (kecepatan sudutnya membesar).

Aplikasi momentum sudut pada gerak planet.

Menara Pisa yang miring masih tetap dapat berdiri selama

berabadabad. Mengapa menara tersebut tidak jatuh? Dari ilustrasi

Gambar 6.25, dapat dilihat bahwa garis yang ditarik dari pusat massa

menara masih jatuh pada alasnya sehingga menara berada dalam

keadaan stabil (setimbang).

Kesetimbangan gaya pada jembatan.

13

IX. Referensi

Saripudin, Aip. Dede Rustiawan K. Adit Suganda. (2009). Praktis Belajar

Fisika 2. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Palupi, Dwi Satya. Suharyanto. Karyono. (2009). Fisika 2. Jakarta: Pusat

Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Nurachmandani, Setya. (2009). Fisika 2. Jakarta: Pusat Perbukuan,

Departemen Pendidikan Nasional.