BAB IX MEKANIKA BENDA TEGAR - .momen inersia I = . 2, biasanya dihitung dengan inegrasi I = . i i

  • View
    219

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of BAB IX MEKANIKA BENDA TEGAR - .momen inersia I = . 2, biasanya dihitung dengan inegrasi I = . i i

MEKANIKA BENDA TEGAR

BAB IX

MEKANIKA BENDA TEGAR

Benda tegar adalah sistem benda yang terdiri dari sistem-sistem benda titik yang tak hingga banyaknya dan jika ada benda yang bekerja padanya jarak antara titik anggota sistem selalu tetap. Jadi perbedaan antara benda titik dan benda tegar adalah adanya perubahan jarak pada sistem benda titik yang mengalami gaya.

Gerak sistem benda titik terdiri atas dua macam : - Gerak pusat massa - Gerak relatif Gerak relatif yang sederhana adalah memilih pusat massa sebagai pusat sistem koordinat, sedangkan gerak relatif yang mungkin terjadi adalah gerak benda tegar dalam sistem koordinat pusat massa adalah roatsi terhadap pusat massa dalam keadaan diam

Gerak benda tegar tirdiri dari : - Gerak pusat massa yaitu bila lintasan semua titik tersebut sejajar

disebut translasi - Gerak rotasi terhadap pusat massa yaitu bila lintasan semua titik dari

benda tersebut berbentuk lingkaran yang pusatnya pada sumbu putar yang melalui pusat massa.

9.1. Kinematika Rotasi sebuah benda berotasi terhadap sumbu putar berarti setiap titik pada sumbu tersebut akan melakukan gerak melingkar dengan pusat lingkaran berada pada sumbu putar. Disini terdapat analog antara besaran besaran rotasi dengan translasi yaitu :

a. besaran sudut putar , analog dengan pergeseran x b. kecepatan angular , analog dengan kecepatan linier v c. percepatan angular , analog dengan percepatan a

Hubungan antara besaran-besaran translasi dan rotasi adalah : s = . r vT = . r aT = . r dimana : r adalah jarak titik kesumbu putar T adalah simbol untuk arah tangensial

FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 218

MEKANIKA BENDA TEGAR

Besaran-besaran kinematika rotasi = .t

= 0 +0.t + 21.t2

t.0 +=

t+= ..2202

Macam-macam gerak rotasi : - gerak melingkar beraturan : konstan atau = 0 - gerak melingkar berubah beraturan : 0, > 0, dipercepat, kalau :

MEKANIKA BENDA TEGAR

F = 2 N 0 = 120 rad/s

Ditanya : t ? Jawab : F

Pada saat gaya mesin dipadamkan bekerja gaya tangen sial F = 2 N, tang mengasilkan torsi , yang memberikan perlambatan sudut , sehingga memberhentikan gerinda Momen inersia silinder karena berbentuk pejal :

I = 21 m.r2

= 21 (2)(0,1)2

= 0,01 kg.m2Torsi yang dihasilkan :

= - rF = -( 0,1)(2) = -0,20 m.N

Torsi akan menghasilak percepatan sudut : = I.

= I

= 01,0

2,0

= -20 rad/s diperlambat oleh percepatan sudut : -20 rad/s Pergunakan persamaan gerak rotasi : t = 0 + .t

t = 0t

= 20

)120(0

= 6 s jadi butuh waktu 6 s sampai bantu berhenti

FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 220

MEKANIKA BENDA TEGAR

nifan, Iin Lidya, Yasman 221

9.2. Momen Inersia v O m

r Perhatikan gambar diatas: Jika batang diputar dan titik O ditetapkan sebagai titik poros, dan ujung lain dihubungkan dengan sebuah partikel dengan massa m, maka partikel m akan berotasi dengan kecepatan linier v . Energi kinetik partikel adalah :

Ek = 2.21 mv

Karena : v = r. Maka :

Ek = 2.21 mv

= 21 m . (r )2

= 21 (m.r2) 2

Karena kecepatan linier analog dengan kecepatan sudut, maka formula : m.r2, analog dengan m yang dinamankan momen inersia. Jadi momen inersia adalah hasil kali massa partikel dengan kuadrat jarak partikel dari titik poros.

I = m.r2

Kareana momen inersia pada gerak rotasi analog dengan massa pada gerak translasi, maka fungsi massa sama dengan fungsi momen inersia. Jika massa pada gerak translasi menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahahankan kecepatan liniernya, maka momen inersia benda pada gerak rotasi adalah kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudut rotasinya.

FISIKA MEKANIKA, Jo

MEKANIKA BENDA TEGAR

Poros rotasi m1 r1 m2 r3 m3 r2 Sebuah benda tegar disusun oleh banyak partikel terpisah yang massanya masing-masing : m1,m2,m3,.,mn . Jika porosnya masing-masing adalah : , ,

, .., . Maka momen inersianya adalah :

21r

22r

23r

2nr

I = m1 21r + m22

2r + m32

3r +.+mn2

nr I = 2. iii rm

Contoh : 1. Seorang mahasiswa teknik mesin mendesaian suatu bagian mesin yang

terdiri dari tiga bagian penyambungan yang dihubungkan oleh tiga topangan. Ketiga penyambung dapat dianggap partikel yang dihubngkan oleh batang-batang ringan (lihat gambar). Hitunglah : a. Berapa momen inersia bagian mesin terhadap poros melalui A b. Berapa momen inersia terhadap oros yang bertepatan dengan batang

BC? Jawab : B mB = 0,1 kg 0,5 m 0,3 m mC = 0,2 kg A C mA = 0,3 kg

FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 222

MEKANIKA BENDA TEGAR

a. Partikel A terletak pada poros sehingga jarak partikel ini terhadap poros A adalah nol (rA = 0)

AC2 = AB2 BC2 = (0,50)2 (0,3)2 = 0,4 m jadi didapat :

rB = 0,5 m rC = 0,4 m sehingga :

I = 2. iii rm

= mA 2 + mAr B2

Br + mC2

Cr = (0,3)(0)2 + (0,1)(0,5)2 +(0,2)(0,4)2

= 0,057 kg.m2

b. Tehadap poros BC, partikel B dan C terletak pada poros BC sehingga momen inersianya sama dengan nol. Jadi hanya partkel A yang mengasilkan momen dengan rA = AC = 0,4 m

I = 2. iii rm

= mA 2Ar = (0,3)(0,4)2 = 0.048 kg.m2

2. Tentukanlah momen inersia dari dua buah bola pejal identuk masing-

masing dengan massa 5 kg, yang dihubungkan dengan tongkat tak bermassa yang panjangnya 1 m

Penyelaesaian : Pm rB

rA r Deketahui :

m1 = 5 kg m2 = 5 kg r1 = 0,5 m r2 = 0,5 m Ditanya : I ? Jawab :

FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 223

MEKANIKA BENDA TEGAR

I = 2. iii rm

= m1r12 + m2r22 = (5)(0,5)2 + (5)(0,5)2 = 2,5 kg.m2

9.3. Jari-jari girasi Jari-jari girasi adalah jarak radial dari sumbu putar kesuatu titik tempat massa benda dikonsentrasikan. Jika momen inersianya adalah :

I = m.K2 Maka :

K = mI

Dimana : K = jari-jari girasi m = massa benda I = momen Inersia K m

9.4. Perhitungan momen inersia untuk benda tegar yang kontiniu dan teratur

Jika suatu benda tegar tidak dapat ditampilkan dalam kumpulan partikel partikel, melainkan merupakan ditribusi massa yang kontiniu, maka penjumlah dengan tanda sigma , harus diganti dengan tanda integral . Kita membagi benda dengan elemen massa kecel dm yang berjarak r dari poros rotasi (lihat gambar). Sehingga momen inersia : I = dmr .2

FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 224

MEKANIKA BENDA TEGAR

Y dm r poros O X

Untuk menghitung integral ini kita harus menyatakan r dan dm dalam peubah-peubah integral yang sama. Untuk suatu benda yang tidak terdiri dari titik-titik massa tetapi sutu distribusi materi yang kontiniu, penjumlahan dalam definisi momen inersia I = , biasanya dihitung dengan inegrasi I = . 2. iii rm dmr .

2

Konsep momen inersia, bersama-sama dengan prinsip kerja energi pada umumnya sangat penting untuk menyelesaikan soal-soal benda tegar.

9.4.1. Batang Sebuah batang dengan panjang l dan massa m, berputar melalui pusat massa. Ambil dm dengan panjang dx yang terletak sejauh x dari sumbu putar. Bila adalah rapat massa perstuan panjang maka : dx

l.21 x l.

21

m = . l

FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 225

MEKANIKA BENDA TEGAR

dm = . dx I = dmr .2 = dmx .2

= 2

2

2 ..

l

l

dxx

= 2 2

0

2 ..

l

dxx

= 2. . 2

0

3

31

l

x

= 2. . 3)21(

31 l

= 3.121 l

karena : m = . l maka :

I = 2..121 lm

9.4.2. Silinder berongga

Misal kan R1 jari-jari dalam silinder, R2 jari-jari luar, rapat jenis cicin, jika daerah yang diarsir adalah dm yang berjari-jari r, lebarnya dr dan tebal t maka : dm = . dV = . 2. r. dr.t = . 2. t. r dr m = . t )( 21

22 RR

FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 226

MEKANIKA BENDA TEGAR

maka : I = dmrR

R

.2

1

2

= drrtR

R

....22

1

3

= )(..21 4

142 RRt

= t..21 )( 21

22 RR )(

21

22 RR +

karena : m = . t )( 2122 RR

maka :

I = 21 m. )( 21

22 RR +

9.4.3. Silinder berdinding tebal

Silinder berdinding tebal adalah cicin tebal yang ditumpuk-tumpuk dengan jari-jari luar R2 dan jari-jari dalam R1, cara mencarinya sama dengan cincin tebal. Dimana harhga momen inersianya adala