História da Matemática.doc

7/22/2019 Histria da Matemtica.doc

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Histria da Matemtica no ensino da Matemtica

adaptao de artigo de Jean Paul Guichard

Ao despir a Matemtica das suas longas tradies para a vestir com conjuntos eestruturas, muitos assuntos perderam todo o encanto e atraco.. Talve no tenhamosdespejado o !"!" juntamente com a gua da !anheira ao retirar #s matemticas oconjunto dos assuntos e dos cap$tulos mais antigos e menos coerentes, mas perdemosconcerte a o sa!o% sa!emos como " &cil encontrar estudantes 'ue pensam 'ue asmatemticas cheiram mal.

(.). Jones

Que pensar do primeiro contacto de um aluno com o Teorema de Thales sob a seguinteforma:

"Enunciamos o teorema seguinte, conhecido pelo nome deTeorema de Thales : Teorema1. Sejam e ! dois pontos diferentes e um ponto #ual#uer de uma recta $% os pontos&, !& e & sendo as imagens dos pontos , ! e por uma projeco no constante p darecta $ sobre uma recta $&, o ponto & tem a mesma abcissa no referencial ' &, !&( #ueo ponto no referencial ' , !(" ) Este * o te+to de uma manual de ensino franc s,correspondente ao programa de 1- / #ue est0 longe de ser uma e+cepo. Todo ocap tulo sobre o teorema de Thales tem esse esp rito. E onde * #ue est0 Thales em tudoisso) 2ode ha3er manuais inserindo uma nota hist4rica sobre Thales, mas em nenhum seencontrar0 #ual#uer refer ncia ao teorema estudado. Que atraco pode e+ercer sobreum estudante uma tal apresentao) 5nde est0 a problemati6ao) 2ara #ue pode ser3irtal teorema) 7o nos podemos espantar se ou3irmos refle+8es do tipo: " elhor seria seThales no ti3esse e+istido9..." e da boca de estudantes #ue pensam #ue Thales 3i3eu h0algumas de6enas de anos.

5ra, 3oltemos s fontes para dar a pala3ra a $iogenes ;a


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permite tamb*m a criao de no3as situa8es did0cticas pelo material #ue ela fornece edar elementos para analisar estas no3as situa8es assim como a#uelas #ue as precederam. utili6ao #ue se pode fa6er da hist4ria da matem0tica permite analisaras nossas pr0ticas de ensino.

Histria da Matemtica e transposio didctica.

5s conhecimentos em ?ist4ria da atem0tica permitem compreender melhor comocheg0mos aos conhecimentos actuais, por#ue * #ue se ensina este ou a#uele cap tulo.>om efeito, sem a perspecti3a cr tica #ue a hist4ria nos d0, a matem0tica ensinadatransforma se pouco a pouco no seu pr4prio objecto, e os objectos matem0ticos ficamdesnaturados: j0 no so mais do #ue objectos de ensino. prendem se os casosnot03eis para eles mesmos, a noo de distancia para ela mesma: est0 se ento em presena do fen4meno da transposio did0ctica em #ue o objecto de ensino * oresultado de uma desconte+tuali6ao, est0 separado da problem0tica #ue lhe deuorigem e #ue fa6 3i3er a noo como saber.

Tal fen4meno poupa o esforo de saber #uando apareceu a noo e por#u , #ue tipo de problemas ela permitia e permite resol3er. 5 processo de "desistori6ao", de"despersonali6ao" do saber * caracter stico da transposio did0ctica. "5 saber toma oaspecto de uma realidade anti hist4rica, intemporal, #ue se imp8e por si mesma e #ue,sem produtor, aparecendo li3re em relao a #ual#uer processo de produo, no se lhe pode contestar a origem, a utilidade, a pertin nciaD atem0tica e sentido.

>omea a ha3er uma reaco para reencontrar o sentido do #ue se ensina e entre osrem*dios figura a hist4ria da matem0tica. >on3*m notar #ue apresentar o conte+to no#ual nos situamos, e+plicar o sentido do #ue se fa6, colocar as #uest8es numa perspecti3a hist4rica, tudo isso no * uma preocupao estranha aos matem0ticos. 2ore+emplo o tratado do ar#u s de ;&?ospital " nal@se des infiniments petits pourl&intelligence des lignes courbes" comea por um pref0cio de #uin6e p0ginas a e+plicar oassunto tratado, o seu interesse, e colocando as no3as t*cnicas no conte+to hist4rico der#uimedes a ;eibni6.

esmo ao n 3el das nota8es, a hist4ria da matem0tica permite recuperar sentido, pois os mbolo no * to arbitr0rio como por 3e6es se #uer fa6er crer. Ele * fre#uentemente umapanhado mnem4nico da noo #ue guarda em si mesmo o trao das origens e a hist4ria

do conceito #ue 3isa.5 sinal 'sigma maiCsculo(, de3ido a Euler, *, em grego, a primeira letra da pala3rasoma. $e igual modo o sinal 'de integral( utili6ado por ;eibni6 * tamb*m a inicial desoma e o d de d+, tamb*m imposto por ;eibni6, * a inicial de diferena: estas nota8eslembram a origem dos conceitos #ue designam. 5 facto de eles terem sido adoptados econser3ados no se de3e ao acaso. Eis o #ue di6ia ;eibni6 a respeito do d+: "Se o nossoad3ers0rio '7eGton( ti3esse tido conhecimento desta relao 'entre as pot ncias e asdiferenas( no teria utili6ado, para indicar os di3ersos tipos de diferenas, as letras '@(#ue no so apropriadas designao do grau geral de uma diferena, mas teriaconser3ado a notao "d" #ue o nosso jo3em ';eibni6, #uando jo3em( tinha imposto, ououtra similar, por#ue assim "d" pode e+primir uma diferena de grau indeterminado". 7a sua obra " s in3estiga8es aritm*ticas", Bauss e+plica se sobre a notao das


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congru ncias: "$e agora em diante, designaremos a congru ncia de dois nCmeros pelosinal 'de identidade( , a ele se acrescentando #uando necess0rio, o m4dulo entre par ntesis% assim 1HI- 'mod J(, I1J'mod 11(. Este s mbolo foi adoptado por ha3eruma grande analogia entre a igualdade e a congru ncia. Koi pela mesma ra6o #ue;egendre empregou o pr4prio sinal da igualdade para designar a congru ncia. S4

preferimos o sinal 'de identidade( para pre3enir a ambiguidade.

Histria da Matemtica e Erro

Saber como pouco a pouco foram sendo forjados os conceitos e as nota8esmatem0ticas, ser3e tamb*m compreender melhor certos erros dos nossos alunos e poder pLr em pr0tica situa8es did0cticas mais ade#uadas para uma apropriao progressi3ade certos conceitos. 2or#ue * #ue tantos alunos chamam recta a um segmento #uandoum professor fa6 tanto empenho em distinguir uma coisa da outra) 2ode atribuir se esseerro a uma simples confuso de pala3ras, a uma falta de ateno, #uando sabemos #ueat* h0 pouco tempo a pala3ra recta designa3a e+actamente o #ue n4s hoje designamos por segmento) bramos por e+emplo o j0 citado tratado do ar#u s de ;&?ospital%desde a segunda p0gina, * preciso tradu6ir: linha I recta, recta I segmento 'ou o seucomprimento(, segmento I poro de 0rea compreendida entre um arco de cur3a e acorda, linha cur3a I cur3a, arco I arco 'ou o seu comprimento(. Esta pala3ra "recta" #ue primeiro 3eio ideia dos matem0ticas para designar o nosso segmento actual * tamb*ma#uela #ue fre#uente e naturalmente aparece aos nossos alunos. Ser0 portanto necess0rioter isso em conta no nosso ensino e no esperar ingenuamente #ue o simples facto dedi6er: "isto * uma recta, isto * um segmento" chegue para obter dos alunos aterminologia esperada% o terreno em #ue plantamos nunca * 3irgem.

prop4sito do erro corrente "+M+& implicar #ue o #uadrado de + maior #ue o #uadradode +& 'em #ue + e +& podem ser nCmeros negati3os( sabe se #ue em 1/NO um grandematem0tico como ;. >arnot, membro da cademia Krancesa de >i ncias, tinha problemas a este prop4sito. Eis o #ue ele escre3ia ento: " N ser menor #ue P, en#uanto#ue o #uadrado de ' N( ser maior #ue o #uadrado de P, isto *, entre duas #uantidadesdiferentes o #uadrado da maior ser menor #ue o #uadrado da mais pe#uena * coisa #uechoca todas as ideias claras #ue se possam ter sobre a #uantidade".

Epistemologia gentica

5 e+emplo #ue acab0mos de citar bem como outros conhecimentos #ue, no presente,so claros para n4s, le3aram muito tempo a ser assimilados, apreendidos em todos osseus aspectos e nas suas conse#u ncias, at* pelos grandes matem0ticos. precisotempo, uma certa familiaridade com os objectos #ue se estudam, para os poder dominare trabalhar com eles. >urto circuitar o tempo de a#uisio de um conhecimento, no *um lud brio) Estudos d e psicologia gen*tica , de3idos a 2iaget, p8em em desta#ue o paralelismo e+istente entre a g*nese dos conhecimentos na criana e a g*nese dosconhecimentos ao n 3el da hist4ria das ci ncias. 2or e+emplo, a prop4sito das no3asformas de e+plicao na criana dos aos 1P anos, 2iaget fa6 notar: " chocanteconstatar #ue, entre as primeiras a aparecer, h0 algumas #ue se assemelham em tudo acertas formas #ue so atribu das aos Bregos precisamente na *poca do decl nio dase+plica8es propriamente mitol4gicas". 2odemos ainda reportar nos a um artigo recente


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de uma re3ista cient fica #ue mostra #ue muitas pessoas, mesmo depois de teremestudado a mecAnica neGtoniana. utili6am espontaneamente para pre3er a #ueda doscorpos uma teoria introdu6ida no s*culo R= e formulada no s*c. por ean !uridam.=sso no #uer di6er #ue seja preciso fa6er cada indi3 duo percorrer na sua aprendi6agem por todos os meandros da hist4ria, mas significa #ue h0 etapas obrigat4rias, ou pelo

menos #ue o conhecimento das etapas do pensamento cient fico permite compreendermelhor as reac8es dos nossos alunos face aos conhecimentos #ue n4s pretendemosfa6 los ad#uirir, #uer se trate de erros, blo#ueios ou dC3idas: Uecentemente um alunodo V ano, en#uanto trabalh03amos com #uadril0teros, perguntou me se a 0rea de um#uadrado * sempre maior #ue o seu per metro. Eu fi#uei chocado pela semelhana entreas suas preocupa8es e as dos matem0ticos antigos, como nat4lio '=== .>.( #ue, a prop4sito do nCmero W, di6ia: "5 #uatern0rio * chamado de ustia, por#ue o #uadrado#ue dele pro3*m tem uma 0rea igual ao seu per metro, en#uanto #ue, para os nCmeros#ue o precedem, o per metro do #uadrado * superior 0rea, e para os #ue o seguem, o per metro do #uadrado * inferior 0rea".

Histria e Pedagogia.

s dificuldades encontradas pelos alunos le3am a #ue nos interroguemos, e a hist4ria pode permitir nos imaginar outras estrat*gias de ensino. Eis o #ue nos di6ia >lairaut arespeito das dificuldades encontradas pelos principiantes em Beometria, #uando sefa6iam debutar, no estilo euclidiano, pelas defini8es, postulados, a+iomas, princ pios:" lgumas refle+8es #ue fi6 sobre as origens da Beometria, fi6eram me ter a esperanade e3itar estes incon3enientes, reunindo 3antagens para interessar e esclarecer os principiantes. 2ensei #ue esta ci ncia, como todas as outras, de3e ter se formado degraua degrau% #ue possi3elmente hou3e alguma necessidade de dar os primeiros passos e#ue estes primeiros passos no podiam estar fora do alcance dos principiantes, dado #uetinham sido principiantes os primeiros a d0 los. 2re3enido com esta ideia, propus meremontar #uilo #ue podia ter dado origem Beometria% e dedi#uei me tarefa dedesen3ol3er os princ pios, por um m*todo to natural #ue pudesse supor ser o mesmo#ue os primeiros in3entores utili6aram e e3itando sempre #ue poss 3el todas as falsastentati3as #ue eles ti3eram necessariamente de fa6er". 7o ser0 esta uma atitude maisra6o03el para abordar, pela primeira 3e6, o Teorema de Thales)

5s nossos alunos reagem face nossa maneira de e+por a matem0tica. $urante os anosO, em presena de uma apresentao demasiado formal, em #ue as f4rmulas e as suasdemonstra8es precediam os e+emplos num*ricos, os alunos pediam fre#uentemente

e+plica8es com nCmeros, no com letras. 2ara compreender, eles tinham necessidadede 3er funcionar primeiramente os e+emplos num*ricos para em seguida chegar regra.5ra este tipo de apresentao encontra se fre#uentemente nos escritos antigos.. 2ore+emplo, no par0grafo das *tricas #ue trata da f4rmula #ue tem o seu nome, ?*ron procede da forma seguinte% primeiro apresenta o problema: "?0 um m*todo geral paradeterminar, sem perpendicular, a superf cie de um triAngulo #ual#uer do #ual os tr slados so dados". Em seguida, ele toma um e+emplo num*rico 'um triAngulo cujoslados medem , / e -( e mostra sobre este e+emplo como se calcula a 0rea. 5 #ue d0ra 6 #uadrada de PO. depois ele e+plica como se calculam sucessi3os 3aloresapro+imados de ra 6 #uadrada de PO calculando somente o primeiro 3alor e mostrandocomo prosseguir. Rem em seguida a demonstrao geom*trica #ue * fechada por um

no3o e+emplo num*rico 'triAngulo cujos lados medem 1N, 1W e 1J(. leitura de taiste+tos indica #ue de3emos modificar certas pr0ticas de ensino, indica nos #ue de3emos


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#uestionar as nossas pr0ticas. Qual * o papel dos e+emplos, da demonstrao no ensinoda matem0tica) Que lugar lhe dedicamos e por#u )

Qual * a nossa prioridade: a e+posio ou a a#uisio de conhecimentos)

$urante um est0gio de formao cont nua sobre a aprendi6agem da demonstrao an 3el do /V ano, pLs se o problema da redaco de um e+erc cio de geometria pelosestudantes. s primeiras p0ginas dos Elementos de Euclides fornecidas aos participantes mostraram lhes #ue Euclides no satisfa6ia a todas as suas e+ig ncias9

Histria da Matemtica e situaes didcticas

>onhecer a hist4ria da matem0tica permite tentati3as de pLr de p* situa8es did0cticasmais pertinentes para conseguir aprendi6agens, graas ao conhecimento #ue se pode tersobre a origem da noo a ensinar, sobre o tipo de problema #ue ela 3isa3a resol3er, asdificuldades #ue surgiram e o modo como foram superadas. Ramos dar dois e+emplos:

primeira 3e6 em #ue a noo de 3alor absoluto aparece nos programas franceses dematem0tica de 1-/1 * no V ano e no no HV como poderiam fa6er acreditar certasdefini8es de da soma de dois relati3os #ue aparecem nos manuais do HV ano. Estanoo no aparece nos programas do /V e do -V. Que #uer isso di6er) Que tipo deaprendi6agem * #ue se pretende) Trata se de uma forma c4moda de designar umnCmero relati3o sem o seu sinal '#ue * o #ue os alunos pensam(, como a pr4priae+presso 3alor absoluto sugere, a fim de enunciar de forma simples a regra da adio de dois relati3os) 2or#ue no figura ento j0 nos programas do HV ano) E j0 #ue ela l0no figura, no podemos passar sem ela como fa6 >auch@ no seu curso da Escola2olit*cnica e como o fa6em todos os matem0ticos at* ao s*culo = ) E se s4 se tratardisso, #uando e como se operar0 a passagem a sup'a, a( ou a XaX I a se aMO ou aIO e XaXI a se aYO) lguns elementos de resposta podem ser encontrados 3endo como nos*culo = se operou esta passagem e permitindo lanar um olhar cr tico sobre ose+erc cios com 3alores absolutos e o seu interesse.

5 segundo e+emplo * o da regra dos sinais nas aulas do V ano. 5 conhecimento dos problemas #ue se colocaram a esta regra no decurso da hist4ria da matem0tica e do seuensino, permite tamb*m encarar mCltiplas situa8es de aprendi6agem ou dedesblo#ueio. Tal3e6 #ue a justificao dada por Euler para esta regra satisfaa a

maioria% depois de ter e+plicado b.' a( I ab pela multiplicao de uma d 3ida, ' a(.b Iab pela comutati3idade, resta s4 saber o #ue acontece a ' a(.' b(. 2ara ele 'e ae+peri ncia mostra #ue se passa o mesmo para os alunos( no h0 dC3ida #ue a respostas4 pode ser uma de duas ab ou Zab% ora ' a(.b j0 3ale ab donde ' a(.' b( s4 pode 3alerZab. 2or outro lado, logo #ue se sabe #ue a Cnica e+plicao desta regra reside no prolongamento aos negati3os da multiplicao com respeito pela distributi3idade, paratentar justificar esta regra ao n 3el do V ano ser0 preciso em primeiro lugar familiari6aros alunos com a distributi3idade e fa6er uma demonstrao com um e+emplo num*ricoe geom*trico como fa6ia Ste3in na sua ritm*tica publicada em 1HPJ.

E podemos, como ;aplace fe6, desen3ol3er de duas maneiras o produto a,'b b( paraa#ueles #ue como ele, no fi#uem con3encidos pelo argumento de Euler. na hist4riatemos muito material para criar situa8es did0cticas e para as analisar.


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Problemticas

Se entre pr0tica e teoria h0 uma distAncia, isso de3e se a #ue uma e outra t m problem0ticas pr4prias% a da teoria sendo essencialmente uma problem0tica intelectualde justificao ou de reorgani6ao do saber. matem0tica moderna essencialmenteteori6ante criou tend ncia a fa6er nos es#uecer o papel pr0tico da matem0tica: a maior parte dos conceitos matem0ticos foram criados para resol3er problemas. o perder de3ista esses problemas, a matem0tica perdeu o seu sentido. 5 interesse da f4rmula de?*ron dando a 0rea de um triAngulo a partir dos comprimentos dos seus tr s lados s4 pode conceber se se pensarmos no problema pr0tico dos agrimensores #ue #ueriama3aliar a 0rea das parcelas de terreno com forma de pol gono, decompon 3el emtriAngulos dos #uais * f0cil medir os lados mas para os #uais seria bem mais problem0tico medir uma altura.. 5 lado pr0tico da Beometria resol3endo problemasconcretos era mencionado em todas as obras antigas. as no ser0 tamb*minteressantes 3er como >lairaut, no fim do seu pref0cio, le3anta3a toda uma outra problem0tica da Beometria de Euclides: " #ue Euclides se tenha dado ao trabalho dedemonstrar #ue dois c rculos #ue se cortam no t m o mesmo centro, #ue um triAngulometido dentro de um outro tem a soma dos seus lados mais pe#uena #ue a do triAnguloem #ue est0 metido, no * surpreendente. Este ge4metra tinha de con3encer sofistasobstinados, #ue fa6iam a sua gl4ria na recusa das 3erdades mais e3identes: era precisoento #ue a geometria ti3esse, como a l4gica, o socorro dos racioc nios em forma, paratapar a boca chicana." 5nde esto os sofistas hoje) 2elo contr0rio, seguindo a 3ia preconi6ada por >lairaut "os principiantes apercebem se a cada passo #ue foi precisodar, a ra6o #ue determina o in3entor, e por essa 3ia, podem ad#uirir mais facilmente oesp rito da in3eno." para uma mesma mat*ria, um mesmo cap tulo, a problem0ticasdiferentes correspondem 3ias de acesso e de apresentao diferentes.

teoria torna se necess0ria e torna se a 3ia fundamental, como nos mostra Riom efeito, o progresso da matem0ticacaminha fre#uentemente no sentido de e+plica8es cada 3e6 mais fortes: a e3id ncia deontem * coisa para ser demonstrada hoje. as para #uem) 2or#u ) Tomemos oe+emplo de 7. 2ropriedades como PZPIW eram consideradas como e3identes.Entretanto, por pura especulao, alguns tentaram construir uma demonstrao, pore+emplo ;eibni6:

"$efini8es:

1( $ois * um e um.

P( Tr s * dois e um.


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N( Quatro * tr s e um.

+ioma: Substituindo coisas por coisas iguais, a igualdade mant*m se

$emonstrao:P e P * P e 1 e 1 'def 1(

P e 1 e 1 * N e 1 'def P(

N e 1 * W 'def N(

2or conseguinte 'pelo a+ioma( P e P * W".

as 1/O anos mais tarde, o l4gico Krege mostra #ue a pro3a de ;eibni6 comporta umalacuna de3ida omisso de par ntesis% utili6ou, sem o di6er , a associati3idade daadio9 lguns anos mais tarde, a e3idencia recuar0 ainda e o primeiro teorema de2eano para a aritm*tica ser0 "P * um inteiro". =sto * importante e e+ige #ue nosinterroguemos: teremos necessidade de por em e3id ncia a associati3idade ao n 3el daaprendi6agem da adio) E se sim, em #ue momento, a #ue n 3el) necess0rio insistirnela) Que propriedades de3em ser e+plicitadas) Quando e por#u )

dimenso !umana

Enfim, para a formao dos professores, bem como par a formao dos alunos, * bomdesmistificar a matem0tica mostrando #ue ela * uma obra humana, feita por homens emtempos historicamente datados , em e3oluo constante mesmo hoje e no, como tudole3a crer, uma obra do esp rito humano numa eternidade m tica. 2ara isso o primeiro passo a dar * atribuir os nomes e as datas s no8es e aos teoremas estudados: utili6aodo Teorema conhecido por Teorema de 2it0goras : NJOO anos, a sua demonstrao por2it0goras: PJOO anos% uso dos decimais: POO anos% a sua origem: WOO anos% $>: PJOOanos% 3ectores: 1OO anos%D 5 nosso ensino no teria muito a ganhar se colocasse asno8es no seu conte+to e na sua problem0tica para #ue elas ganhem sentido) E j0 #ueno se pode percorrer todo o caminho do pensamento humano, #ue no se omitam aomenos as etapas essenciais. $ei+emo nos #uestionar por este te+to de ean ac*: "

longa formao do esp rito humano recomea em cada crianaD 5 primeiro calculadorno comeou pelas regras abstractas #ue se encontram nos li3ros de escola. pordemais e3idente #ue ele se de3e ter encarado problemas pr0ticos de #ue no seconseguiu li3rar a no ser pela utili6ao de todos os recursos da sua intelig ncia paracriar a regra, e #ue ele no fe6 arte pela arte. =niciar a criana pela regra abstracta, e pLrlhe a seguir problemas para ela resol3er, * caminhar ao arrepio da marcha do esp ritohumano, a ela #ue est0 ao mesmo n 3el da infAncia da esp*cie. 5 #ue * #ue podeacontecer) sua intelig ncia assim pro3ocada, pode recusar se abstraco #ue lhe *apresentada antes de tempo, a sua mem4ria entra em jogo para se carregar contrariadadas pala3ras e das pr0ticas cujo sentido lhe escapa. 5 3erdadeiro m*todo consiste emcolocarmo nos nas condi8es do princ pio e de fa6 lo assistir, de algum modo, criao da aritm*tica."


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preciso #ue o interesse pela hist4ria da matem0tica seja mais do #ue uma moda, ouum cosia artificial, um no3o conteCdo a conhecer e a aprender. Em arrocos, umensino de hist4ria da matem0tica est0 pre3isto desde 1-/N no #uadro da pedagogiaespecial. Em Krana, nos programas de /P do 11V e 1PV anos liter0rios insiste se sobre oaspecto hist4rico das #uest8es, sobre uma perspecti3a hist4rica no #uadro de "uma

formao cultural global" #ue seja "um terreno de in3estimento de uma culturafilos4fica". as como podem reagir os professores) 2ode impro3isar se uma talrecon3erso) Que formao receberam ou recebem os professores para fa6er face aestas no3as e+ig ncias) Que meios documentais foram postos sua disposio) maisf0cil encontrar um li3ro de !ourba[i do #ue a Beometria de $escartes de #ue a Cnica3erso este3e dispon 3el no mercado em /W era uma edio bilingue americana9 justamente de3ido falta de formao dos professores de atem0tica #ue a maior partedas tentati3as de integrao de hist4ria da matem0tica no ensino ti3eram 3ida curta: Estaformao re3ela se cada 3e6 mais necess0ria para o campo da did0ctica, #uer se trate datransposio did0ctica, da an0lise dos obst0culos did0cticos ou dos erros dos nossosalunos, #uer se trate da an0lise das nossas pr4prias pr0ticas pedag4gicas.

daptao li3re de rs*lio artins de artigo de ean 2aul Buichard . =UE de ;@on in!ou3ier, . 'coord(, $idacti#ue des ath*mati#ues, >edic\7athan, 1-/H

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