História da Matemática - História dos Números

8/14/2019 História da Matemática - História dos Números

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HISTÓRIA DOS NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas àhistória da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte dascomparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludemconscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a

ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo damatemática.

A LINGUAGEM DOS NÚMEROS

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se nohomem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em umapequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimentodireto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confundecom a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é umatributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido

rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumesdos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos,pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho sefaltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seucastelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem seaproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima,e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homensentraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganare, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos

dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homensentraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava otrabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem osmonos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tãolimitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Naprática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado,usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como acomparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou partetão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica diretaresultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do númeropossuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil éainda mais limitado.

Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação dessesresultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contarcom os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Oshabitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um , dois e muitos , e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenaslhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem maisbem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigaslimitações: a palavra inglesa thrice , do mesmo modo que a palavra latina ter , possui dois

sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) etrans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito). Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu

simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homemprimitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.



Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagensatuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamentemodesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros,foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta donúmero, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal.Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua

percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influênciaextraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar , e é a ele que devemoso progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica denúmero sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós doisconjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar seesses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menornúmero. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos semcontar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e hágente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, eque recebeu o nome de correspondência biunívoca . Esta consiste em atribuir a cada objeto deum conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos seesgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a taisassociações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meiode incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos umaprova desse procedimento na origem da palavra "cálculo ", da palavra latina calculus , quesignifica pedra.

A idéia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-sedizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), umnúmero que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um ; aponta para outro e diz: dois ; e assimsucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito,dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmocom conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um maspor zero , e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciososda história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeirosséculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permiteescrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor- fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos

romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticosde todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecerum meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas dorebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto dapalavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos , tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um delescaracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida àseleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondênciabiunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de umtrevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco.Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomasprimitivos.



É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representavaoriginalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser ummodelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais dalinguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo asimagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a formaabstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica

falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita. Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foramperdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mãoestendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveraminvariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança emtodos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimentosofreram uma metamorfose completa.

Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:

Nº Gregoarcaico

Latim Alemão Inglês Francês Russo

1 en unus eins one un odyn 2 duo duo zwei two deux dva

3 tri tres drei three trois tri

4 tetra quatuor vier four quatre chetyre

5 pente quinque fünf five cinq piat

6 hex sex sechs six six chest

7 hepta septem sieben seven sept sem

8 octo octo acht eight huit vosem

9 ennea novem neun nine neuf deviat

10 deca decem zehn ten dix desiat 100 hecaton centum hundert hundred cent sto

1000 xilia mille tausend thousand mille tysiatsa

HISTÓRIA DA GEOMETRIA

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros.Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema dePitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapasfundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dosconhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da

Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figurasgeométricas.

Uma medida para a vida As origens da Geometria (do grego medir a terra ) parecem coincidir com as necessidades do

dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever osmovimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeramde operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônicacomprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia,porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anterioresa Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates.E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século

V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importaçãodo Egito. Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um

novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VIa.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos,



os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribuihá mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, queparte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) paraconstruir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta eo círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamadaeuclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em

postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

O corpo como unidade

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano:palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egitocomeçaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrarunidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um únicohomem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, oucordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Ângulos e figuras

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham formaretangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos aconstruírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueleshomens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacascravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavamcordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam edeterminam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando osângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular auma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto jáestá determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas,colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham

comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágorasexplica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual aoquadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros .

Para medir superfícies

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmentecomeçaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certodia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfícieretangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastavacontar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assimnasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínioextremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo edividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duaspartes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área,naturalmente, é a metade da área do quadrado.

Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular),os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido comotriangulação : começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulosvisíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujasáreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros,quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.



De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. Econstruções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta:como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Porcircunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os

antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, eranecessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era aestaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hojecomo raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estacae colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovarque cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda,o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de umacircunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer ocomprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por6,28.

E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante.Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho deum círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área dafigura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou emdeterminar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área docírculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse comolado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculomais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmentedizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular aárea de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um poucomenos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, jádeterminado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só temuns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria , significandocircunferência.

Novas figuras

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seudiscípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmoda Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidadecrescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu acorda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dosgeômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegoua afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, esuas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada polígono , do grego polygon , que significa "muitos ângulos".

Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos deGeometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é deestranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ouseja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram



solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e ocálculo da altura de uma construção.

No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudessever o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º.Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo

isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eramiguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância dobarco até a costa.

O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é tambémmuito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que aextensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra ea linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer aaltura.

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA(uma visão geral)

Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart

Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologianítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número").

Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr ), usada notítulo de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo

matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, deKhowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr .

Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) eredução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou,conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "ocancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada

a equação:

x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3

al-jabr fornece x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3

e al-muqabalah fornecex2 + 7x = 5x3

Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado

muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.

(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéise corpos - para mencionar apenas algumas.De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases,

uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.



Equações algébricas e notação

A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente,caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geralcoeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a

resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações

polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).

O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ouverbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico . No últimoestágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente

estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há totaluniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" comoaproximação de Pi , e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o

símbolo "÷" significa "menos". Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, pareceapropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte

mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemasencontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei

Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal

indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece aspassagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:

[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252.Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.

[2] [Dado] 32 soma; 252 área . x+y=k xy=P } ... (A)

[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura .

[4] Segue-se este método: Tome metade de 32[que é 16].

k/2

16 x 16 = 256 (k/2)

2

256 - 252 = 4 (k/2)2 - P = t2 } ... (B)

A raiz quadrada de 4 é 2.

16 + 2 = 18 comprimento. (k/2) + t = x.

16 - 2 = 14 largura (k/2) - t = y.

[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura . 18 x 14 = 252 área

((k/2)+t) ((k/2)-t) = (k2 /4) - t2 = P = xy.

Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são apresentados, na [3] aresposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com números e, finalmente, na [5] a

resposta é testada. A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem significado

histórico e interesse atual por várias razões.

Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema (A). O procedimento padrãonos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para y (em

termos de x ), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática resultanteem x ; isto é, usaríamos o método de substituição. Os babilônios também sabiam resolver

sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método paramétrico. Ouseja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita (ou

parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t .

Então o produto xy = ((k/2) + t) ((k/2) - t) = (k/2)2 - t 2 = P

levava-os à relação (B):



(k/2)2 - P = t 2

Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega(geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução - traduzida,entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas.

Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu

trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindoabreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica. Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o métodoempregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e

expressar tudo em termos de palavras e números. Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma

variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas -todas com coeficientes numéricos, naturalmente.

Álgebra no Egito

A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra

egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equaçõesresolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam decerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um

período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resoluçãoconsistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os

europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posição". Aálgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.

O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dosbabilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticoseuropeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de

poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.

Álgebra geométrica grega

A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Porexemplo, o que nós escrevemos como:

(a+b)2 = a 2 + 2ab + b 2 era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era

curiosamente enunciado por Euclides em Elementos , livro II, proposição 4: Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual

aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém. [Isto é, (a+b)2 = a 2 + 2ab + b 2 .]

Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente umquadrado.

Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam

os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados essesresultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema

babilônio considerado acima.

Do livro VI dos Elementos , temos a proposição 28 (uma versão simplificada): Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma

dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade



"preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].

Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamenteparalelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath /

EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:

Bissecte AB em M: k/2

Construa o quadrado MBCD: (k/2)2

Usando VI, 25, construa o quadrado DEFGcom área igual ao excesso de MBCD sobre aárea dada P:

t2 = (k/2)2 - P

Então é claro que y = (k/2) - t

Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso,x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.

É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos"

desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra estaformulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações

e números irracionais.

Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as comorazões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada

de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que adiagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente

da razão de dois inteiros). Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta

como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa serexpresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento dereta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo

dizer que o contínuo linear era literalmente linear.

De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos aoestudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais

geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursosuniversitários de hoje.

A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e nãoencorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura

grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente natradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxode idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de

instrução direta não sobreviveram.

Álgebra na Europa A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido

tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e



Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuirpara uma eventual irrupção da álgebra.

A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintesfatores:

1. facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do

ábaco; 2. invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismomediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;

3. ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada docomércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens.

Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimentoalgébrico na Europa efetivamente teve início.

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

A História da Matemática Comercial e Financeira

Trabalho fornecido por Jean Piton Gonçalves

I-) Introdução

É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo daHistória. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entreo dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariamnormalmente a idéia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro.

As tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam claro que osistema sexagesimal posicional já estava de longa data estabelecida. Há muitos textos desses primeirostempos que tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessastransações. As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos decontratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos,hipotecas, escrituras de venda e endossos.

Há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos emedidas. Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de várias tábuas.Das 400 tábuasmatemáticas cerca de metade eram tábuas matemáticas. Estas últimas envolvem tábuas de multiplicação,tábuas de inversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de exponenciais.Quanto a estas, provavelmente eram usadas, juntamente com a interpelação, em problemas de juroscompostos. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação.

II-) Os Juros e os Impostos

Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existentes naTerra. Um dos primeiros indícios apareceu na já na Babilônia no ano de 2000 aC. Nas citações maisantigas, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas; os juroseram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-sedos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas.

A História também revela que a idéia se tinha tornado tão bem estabelecida que já existia uma firmade banqueiros internacionais em 575 aC, com os escritórios centrais na Babilônia. Sua renda eraproveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o financiamento do comérciointernacional. O juro não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da Matemática Financeira eEconomia, mas também seus usos sofreram poucas mudanças através dos tempos.

Como em todas as instruções que tem existido por milhares de anos, algumas das práticas relativas a juros tem sido modificadas para satisfazerem às exigências atuais, mas alguns dos antigos costumesainda persistem de tal modo que o seu uso nos dias atuais ainda envolve alguns procedimentosincômodos. Entretanto, devemos lembrar que todas as antigas práticas que ainda persistem foraminteiramente lógicas no tempo de sua origem. Por exemplo, quando as sementes eram emprestadas para

a semeadura de uma certa área, era lógico esperar o pagamento na próxima colheita - no prazo de umano. Assim, o cálculo de juros numa base anual era mais razoável; tão quanto o estabelecimento de juroscompostos para o financiamento das antigas viagens comerciais, que não poderiam ser concluídas emum ano.Conforme a necessidade de cada época, foi se criando novas formas de se trabalhar com arelação tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário, etc).



Há tábuas nas coleções de Berlirn, de Yale e do Louvre que contêm problemas sobre juros compostos

e há algumas tábuas em Istambul que parecem ter sido originalmente tábuas de a' para n de 1 a 10 epara a = 9, 16, 100 e 225. Com essas tábuas podem-se resolver equações exponenciais do tipo a' = b.Em uma tábua do Louvre, de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema: Por quanto tempo deve-seaplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre?.

III-) O Valor e a Moeda

Na época em que os homens viviam em comunidades restritas, tirando da natureza todos os produtosde que tinham necessidade, sem dúvida devia existir muito pouca comunicação entre as diversassociedades. Mas com o desenvolvimento do artesanato e da cultura e em razão da desigual repartiçãodos diversos produtos naturais, a troca comercial mostrou-se pouco a pouco necessária.

O primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocam diretamente (e,portanto sem a intervenção de uma "moeda" no sentido moderno da palavra) gêneros e mercadoriascorrespondentes a matérias primas ou a objetos de grande necessidade.

Por vezes, quando se tratava de grupos que entretinham relações pouco amistosas, essas trocaseram feitas sob a forma de um escambo silencioso. Uma das duas partes depositava, num lugarpreviamente estabelecido, as diversas mercadorias com as quais desejava fazer a troca e, no diaseguinte, encontrava em seu lugar (ou ao lado delas) os produtos propostos pelo outro parceiro. Se a

troca fosse considerada conveniente levavam-se os produtos, senão retornava-se no dia seguinte paraencontrar uma quantidade maior. O mercado podia então durar vários dias ou mesmo terminar sem trocaquando as duas partes não podiam encontrar terreno para entendimento.

Cenas como tais puderam ser observadas por exemplo entre os aranda da Austrália, os vedda doCeilão, os bosquímanos e os pigmeus da África, os botocudos do Brasil, bem como na Sibéria e naPolinésia.Com a intensificação das comunicações entre os diversos grupos e a importância cada vez maior dastransações, a prática do escambo direto tornou-se bem rapidamente um estorvo. Não se podiam maistrocar mercadorias segundo o capricho de tal ou qual indivíduo ou em virtude de um uso consagrado aopreço de intermináveis discussões.

Houve portanto a necessidade de um sistema relativamente estável de avaliações e de equivalências,fundado num princípio (vizinho daquele da base de um sistema de numeração) dando a definição de

algumas unidades ou padrões fixos. Nesse sistema é sempre possível estimar tal ou qual valor, nãosomente para as operações de caráter econômico mas também (e talvez sobretudo) para aregulamentação de problemas jurídicos importantes e, todas as espécies de produtos, matérias ouobjetos utilitários serviram nessa ocasião.

A primeira unidade de escambo admitida na Grécia pré-helênica foi o boi. Não é por acaso que apalavra latina pecúnia quer dizer "fortuna, moeda, dinheiro": provém, com efeito, de pecus, que significa"gado, rebanho"; além disso, o sentido próprio da palavra pecunia corresponde ao "ter em bois".Mas nos tempos antigos a operação de escambo, longe de ser um ato simples, devia ser, ao contrário,envolta de formalidades complexas, muito provavelmente ligadas à mística e às práticas mágicas. É emtodo caso o que revela a análise etnológica feita nas sociedades "primitivas" contemporâneas, que se viuconfirmar por um certo número de descobertas arqueológicas. Pode-se, portanto, supor que nas culturaspastorais a idéia de boi-padrão (moeda de sangue) sucedeu à idéia de "boi de sacrifício", ela mesmaligada ao valor intrínseco estimado do animal.

Em contrapartida, nas ilhas do Pacífico as mercadorias foram estimadas em colares de pérolas ou deconchas. Após um certo período, começou-se por trocar faixas de tecido por animais ou objetos. O tecidoera a moeda; a unidade era o palmo da fita de duas vezes oitenta fios de largura.Tais métodos apresentavam, contudo, sérias dificuldades de aplicação. Assim, à medida que o comérciose desenvolvia, os metais desempenharam um papel cada vez maior nas transações comerciais, vindo atornar-se no fim das contas a "moeda de troca" preferida dos vendedores e compradores. E as avaliaçõesdas diversas mercadorias passaram a ser feitas quantitativamente pelo peso, cada uma delas referindo auma espécie de peso-padrão relativo a um ou a outro metal.

Igualmente no Egito faraônico, os gêneros e as mercadorias foram freqüentemente estimados e pagosem metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata), que se dividia inicialmente em pepitas e palhetas. Aavaliação era feita também sob a forma de lingotes ou de anéis, cujo valor se determinava em seguidapela pesagem.

Até o momento não somente tratamos de um simples escambo, mas também um verdadeiro sistemaeconômico. A partir de então, graças ao padrão de metal, as mercadorias passaram a não mais sertrocadas ao simples prazer dos contratantes ou segundo usos consagrados freqüentemente arbitrários,mas em função de seu "justo preço".



Até então, tratava-se somente de introduzir nas transações e nos atos jurídicos uma espécie de peso-padrão, unidade de valor à qual o preço de cada uma das mercadorias ou ações consideradas erareferido. Partindo desse princípio, tal metal ou tal outro podia então servir em toda ocasião como "salário","multa" ou como "valor de troca", e no caso da "multa", algum tipo de cálculo de juros primário erautilizado para se obter um certo valor para a mesma.

Aprendendo a contar abstratamente e agrupar todas as espécies de elementos seguindo o princípio

da base, o homem aprendeu assim a estimar, avaliar e medir diversas grandezas (pesos, comprimentos,áreas, volumes, capacidades etc.). Aprende igualmente a atingir e conceber números cada vez maiores,antes mesmo de ser capaz de dominar a idéia do infinito.

Pôde elaborar também várias técnicas operatórias (mentais, concretas e, mais tarde, escritas) eerguer os primeiros rudimentos de urna aritmética inicialmente prática, antes de tornar-se abstrata econduzir à álgebra - onde hoje temos a Matemática Financeira amplamente desenvolvida.

Foi-lhe também aberta a via para a elaboração de um calendário e de uma astronomia, bem comopara o desenvolvimento de uma geometria estruturada inicialmente em medidas de comprimento, áreas evolumes, antes de ser especulativa e axiomática. Numa palavra, a aquisição desses dados fundamentaispermitiu pouco a pouco à humanidade tentar medir o mundo, compreendê-lo um pouco melhor, colocar aseu serviço alguns de seus inúmeros segredos e organizar, para desenvolvê-la, sua economia.

IV-) Os Bancos

O surgimento dos bancos esta diretamente ligado ao cálculo de juros compostos e o uso daMatemática Comercial e Financeira de modo geral. Na época em que o comércio começava a chegar aoauge, uma das atividades do mercador foi também a do comércio de dinheiro: com o ouro e a prata. Nosdiversos países eram cunhadas moedas de ouro e prata.

Durante a expansão do comércio, assim como durante as guerras de conquista, as moedas dosdiferentes países eram trocadas, mas o pagamento só podia ser efetuado com dinheiro do paísespecífico. Conseqüentemente, dentro das fronteiras de cada país, as moedas estrangeiras deviam sercambiadas por dinheiro deste país. Por outro lado, os comerciantes e outras pessoas possuidoras demuito dinheiro, que viajavam ao exterior, precisavam de dinheiro de outros países, que compravam commoeda nacional. Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram conhecendo muito bem asmoedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes quantidades. Desta forma, dedicaram-seexclusivamente ao câmbio de dinheiro, ou seja, ao comércio de dinheiro.

Aconteceu então a divisão de trabalho dentro do campo do comércio: paralelamente aos comerciantesque se ocupavam com a troca de artigos comuns, surgiram os cambistas, isto é, comerciantes dedicadosao intercâmbio de uma mercadoria específica: o dinheiro.

Num espaço de tempo relativamente curto, acumularam-se fantásticas somas de dinheiro nas mãosdos cambistas. Com o tempo, foram se ocupando de uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro.Naquela época, e devido à deficiente organização das instituições responsáveis pela segurança social doindivíduo, não era recomendável que tivesse em sua casa muitas moedas de ouro e prata. Estas pessoasentregavam seu dinheiro à custódia do cambista rico, que o guardava e devolvia ao dono quando elepedisse. Imaginemos um cambista qualquer que tenha acumulado, desta forma, em seus cofres, imensaquantidade de dinheiro.

Era natural que a seguinte idéia ocorresse: "Porque estas grandes somas de dinheiro haverão depermanecer em meu poder sem qualquer lucro para mim? - Ai então percebe-se que a palavra "lucro"está diretamente interligada com o conceito de finanças - É pouco provável que todos os proprietários, aomesmo tempo e num mesmo dia, exijam a devolução imediata de todo seu dinheiro. Emprestarei partedeste dinheiro a quem pedir, sob a condição de que seja devolvido num prazo determinado. E como meudevedor empregará o dinheiro como quiser durante este é natural que eu obtenha alguma vantagem. Porisso, além do dinheiro emprestado, deverá entregar-me, no vencimento do prazo estipulado, uma somaadicional".Vimos que neste pensamento do mercador, a idéia de lucro já aparece fortemente.

Assim tiveram início as operações creditícias. Aqueles que, por alguma razão, se encontravam semdinheiro - comerciantes, senhores feudais e não raras vezes o próprio rei ou o erário nacional -, recorriamao cambista que lhes emprestava grandes somas de dinheiro a juros "razoáveis".

O juro era pago pelo usufruto do dinheiro recebido ou, mais -propriamente, era a "compensação pelotemor" de quem dava dinheiro emprestado e assim se expunha a um grande risco. Entretanto estes juros

alcançaram, em alguns casos, quantias incríveis: na antiga Roma os usuários exigiam de 50 a 100 porcento e na Idade.Média, de 100 a 200 por cento, às vezes mais, em relação direta com a necessidade dosolicitante ou do montante da soma.

Estes juros foram chamados - com toda justiça - de usurário, o dinheiro recebido emprestado, decapital usurário e o credor, de usureiro. O cambista exercia sua profissão sentado num banco de madeira



em algum lugar do mercado. Daí a origem da palavra "banqueiro" e "banco". Os primeiros bancos deverdade da História foram criados pelos sacerdotes.

No mundo antigo, entre os egípcios, babilônios e mais tarde entre os gregos e romanos, estavaamplamente difundido o costume segundo o qual os cidadãos mais abastados deviam confiar a custódiade seu ouro aos sacerdotes.

A Igreja cristã não só deu continuidade à tradição das operações creditícias dos antigos sacerdotes,que considerava.pagãos, mas desenvolveu-as em grande escala. A Igreja Católica criou o "Banco doEspírito Santo", corri um fabuloso capital inicial. Seu verdadeiro propósito era tornar mais expedita aexação, aos fiéis, dos chamados "denários de São Pedro" destinados a satisfazer as frugalidades doPapa e para facilitar o pagamento de dízimos e indulgências, assim como para a realização de transaçõesrelacionadas com os empréstimos, em outras palavras, com a usura.

Ao mesmo tempo lançou um anátema e condenou às masmorras da inquisição os cidadãos queemprestavam dinheiro a juros, mesmo que este juro fosse menor do que aquele que ela exigia por seudinheiro. A Igreja proibia a seus fiéis que cobrassem juros por seu dinheiro, invocando como autoridade aSagrada Escritura, onde se lê: "Amai pois vossos inimigos e fazei o bem, e emprestei, nada esperandodisso" (São Lucas, 6,35). Na realidade, esta proibição era motivada por um interesse econômico muito"mundano": a Igreja ambicionava assegurar para si o monopólio absoluto na exação de juros.

Apesar das maldições e ameaças com o fogo eterno, a Igreja não pôde conter a avidez por ganhos elucros das pessoas, tanto mais que o próprio desenvolvimento do comércio exigia a criação de umaampla rede bancária. As iniciadoras desta atividade foram as cidades-estado da Itália, que tinham umvasto comércio, cujo raio de ação se estendia aos mais distantes confins do mundo conhecido.

O primeiro banco privado foi fundado pelo duque. Vitali em 1157, em Veneza. Após este, nos séculosXIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. A Igreja não teve outra alternativa senão aceitar arealidade dos fatos. Assim os bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o avanço daMatemática Comercial e Financeira e da Economia durante os séculos X até XV. Pois sem essamotivação para o aprimoramento dos cálculos, talvez, essa área de Matemática não estivesse tãoavançada nos dias atuais.

IV-) As Primeiras Aritméticas

Como conseqüência do interesse pela educação e do crescimento enorme da atividade comercial no

Renascimento, começaram a aparecer muitos textos populares de aritmética. Três centenas desses livrosforam impressos na Europa antes do século XVII. Essas obras eram de dois tipos, basicamente aquelasescritas em latim por intelectuais de formação clássica, muitas vezes ligados a escolas da igreja, e outrasescritas no vernáculo por professores práticos interessados em preparar jovens para carreirascomerciais.A mais antiga aritmética impressa é a anônima e hoje extremamente rara Aritmética de Treviso, publicadaem 1478 na cidade de Treviso. Trata-se de uma aritmética amplamente comercial, dedicada a explicar aescrita dos números, a efetuar cálculos com eles e que contém aplicações envolvendo sociedades eescambo. Como os "algoritmos" iniciais do século XIV, ela também inclui questões recreativas. Foi oprimeiro livro de matemática a ser impresso no mundo ocidental.

Bem mais influente na Itália que a Aritmética de Treviso foi a aritmética comercial escrita por PieroBorghi. Esse trabalho altamente útil foi publicado em Veneza em 1484 e alcançou pelo menos dezesseteedições, a última de 1557. Em 1491 foi publicada em Florença uma aritmética menos importante, deautoria de Filippo Calandri, porém interessante para nós pelo fato de conter o primeiro exemplo impressodo moderno processo de divisão e também os primeiros problemas ilustrados a aparecerem na Itália.

Trabalho fornecido por Jean Piton Gonçalves

Bibliografia:Robert, Jozsef – A Origem do Dinheiro, Global Editora – 1982Ifrah, Georges – História Universal dos Algarismos, Ed. Nova FronteiraMattos, Antônio Carlos M. – O Modelo Matemático dos Juros. Uma Abordagem Sistêmica , Ed Vozes

– PetrópolisSmith, D.E. – History of Mathematics – Dover Publications, INC – New York

ORIGEM DOS SINAIS

Adição ( + ) e subtração ( - )



O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widmand'Eger publicada em Leipzig em 1489.Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ounegativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos enegativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por RobertRecorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na

escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheiosou não. Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a

indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremosindicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavamos algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus .

Multiplicação ( . ) e divisão ( : ) O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático

inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar,colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores

justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibnizescontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modoinverso indicava a divisão.

O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo paraa multiplicação, porque é confundida facilmente com x ; freqüentemente eu relaciono o produtoentre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas doispontos, que eu uso também para a divisão."

As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e,1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é

indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundoRouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :

Sinais de relação ( =, < e > ) Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da

Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu

primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais;o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentamalguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviaturada palavra est.

Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por

dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso,ligando os dois membros da igualdade.

Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muitocontribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

ORIGEM DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada comfatos de natureza geométrica e de natureza aritemética. Os de natureza geométrica podem ser ilustradoscom o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.



Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritemética, que consiste na impossibilidade de

encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo,raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), queconsiderava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dosnúmeros racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razõesessencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométricaera formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "asmónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outrode m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional);tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quaisnão conseguem dar forma de fracção, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas

incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua;admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da GeometriaAnalítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico,favorecendo o tratamento aritemético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) definepela primeira vez "número", tanto racional como irracional.

O IRRACIONAL ø ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos

usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, oarquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-seem relações métricas:

- na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas

árvores;- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedrosregulares;- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura eaté na música.

ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS

O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longodesenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamentecom o despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividadespráticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outrodeterminaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetoslevou ao aparecimento do conceito de número Natural.

Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de númeroNatural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente doconceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento daMatemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chinesesestavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os númerospositivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a ideia de um númeronegativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram osnúmeros negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equaçõesquadráticas. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritméticasistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regrassobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtracção, como porexemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricassobre números negativos e positivos.

Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciamconstantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto



havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como porexemplo:

4 = 4x +203x -18 = 5x^2

Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVIe XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se essesnúmeros apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplodeste facto seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos comoraízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os númerosnegativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII)quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos comosendo segmentos de direções opostas.

Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler)

Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como

manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas construçõesforneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus argumentos:

1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de aescudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab.

2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -abDestes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa evice-versa é uma quantidade negativa.

3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. Épois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como únicapossibilidade que (-a).(-b) = +ab.

É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como

Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegueprovar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de argumentação denotaque Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitalvelmente. Namesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas umaquantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal - (menos). Euler não compreendeainda que os números negativos são quantidades menores que zero.

ORIGEM DAS PROBABILIDADES

O passo decisivo para fundamentação teórica da inferência estatística, associa-se aodesenvolvimento do cálculo das probabilidades. A origem deste costuma atribuir-se a questõespostas a Pascal (1623-1662) pelo célebre cavaleiro Méré, para alguns autores um jogadorinveterado, para outros um filósofo e homem de letras. Parece, no entanto, mais verosímilaceitar que as questões postas por Méré (1607-1684) eram de natureza teórica e não fruto da

prática de jogos de azar. Parece, também, aceitável que não foram essas questões que deramorigem ao cálculo das probabilidades. Do que não resta dúvida é de que a correspondênciatrocada entre Pascal e Fermat (1601-1665) - em que ambos chegam a uma solução correta docélebre problema da divisão das apostas - representou um significativo passo em frente nodomínio das probabilidades.

Também há autores que sustentam que o cálculo das probabilidades teve a sua origem naItália com Paccioli (1445-1514), Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499-1557), Galileo (1564-1642) e outros. Se é certo que nomeadamente Cardano no seu livro Liber de Ludo Aleae, nãoandou longe de obter as probabilidades de alguns acontecimentos, a melhor forma decaracterizar o grupo é dizer que marca o fim da pré- história da teoria das probabilidades. Trêsanos depois de Pascal ter previsto que aliança do rigor geométrico com a incerteza do azardaria origem a uma nova ciência, Huyghens (1629-1645), entusiasmado pelo desejo de " dar

regras a coisas que parecem escapar á razão humana" publicou "De Ratiociniis in Ludo Aleae"que é considerado como sendo o primeiro livro sobre cálculo das probabilidades e tem aparticularidade notável de introduzir o conceito de esperança matemática.



Leibniz (1646-1716), como pensador ecléctico que era, não deixou de se ocupar dasprobabilidades. Publicou, com efeito, duas obras, uma sobre a " arte combinatória" e outrasobre as aplicações do cálculo das probabilidades às questões financeiras. Foi ainda devido aoconselho de Leibniz que Jacques Bernoulli se dedicou ao aperfeiçoamento da teoria dasprobabilidades. A sua obra "Ars Conjectandi", foi publicada oito anos depois da sua morte enela o primeiro teorema limite da teoria das probabilidades é rigorosamente provado. Pode

dizer-se que foi devido às contribuições de Bernoulli que o cálculo das probabilidades adquiriuo estatuto de ciência. São fundamentais para o desenvolvimento do cálculo das probabilidadesas contribuições dos astrónomos, Laplace, Gauss e Quetelet.

ORIGEM DO ZERO

Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentosparciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas denumeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito realde qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito dezero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.

O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era

essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamentedesenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos desímbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que aspotências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nastábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolopara indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e nãono final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas,escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, enão o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partesmenores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modoque as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0 para indicaristo. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é aprimeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar

o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.

Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativose encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zeroera usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema debase vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar otempo em calendários do que para propósitos computacionais.

É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, queaparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C.,embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequenocírculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas umaconjectura.

Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e

manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando

“lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr , que significa “vago”.

Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200,

mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas,

passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e

“zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do

zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.

Fonte. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e numerais, de Bernard GUNDLACH.



ORIGEM DO CONCEITO DEDERIVADA DE UMA FUNÇÃO

O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e longaevolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilóniosutilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricostentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com oseu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido: asrelações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por umgráfico.

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadascartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos eestudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso,nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir deobservações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função querelaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno daspropriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o

estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens geométricas defunções definidas por relacões entre variáveis.

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta daslimitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela queencontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito eencontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldadeficou conhecida na História da Matemática como o " Problema da Tangente".

Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar umatangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a retaPQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direcção a P, obtendodeste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente

à curva no ponto P. Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores extremos,

a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pelafunção num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E))próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula, quandocomparada com o valor de E, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o problema dedeterminar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamenterelacionados.

Estas ideias constituiram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace aconsiderar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial". Contudo, Fermat nãodispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.

No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitésimal, introduzindo os conceitos de variável,constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor possível dasdiferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hojecomo " Cálculo Diferencial ".

Assim, embora só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e oconceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversoscampos da Ciência.

Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes

Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No

Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, oschineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras debambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução poreliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse



procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que dataprovavelmente do século 111 a.C.

Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (comopolinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático

japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando ovelho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligadotambém a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de umsistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado peloscoeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até umanotação com índices para os coeficientes: o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibnizindicava por 12.

A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio dedeterminantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datandoprovavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra. Mas onome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita.Cramer também chegou à regra (independentemente), mas depois, na sua Introdução à análise dascurvas planas (1750), em conexão com o problema de determinar os coeficientes da cônica geral A + By

+ Cx + Dy

2

+ Exy + x

2

= 0.O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo,

sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coubea outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem dateoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares — embora também os usasse naresolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de umdeterminante através dos menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foidemonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a vercom o assunto: "Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo".

O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto.Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecidoaté então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando oquadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema damultiplicação de determinantes — meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstraçãodeste teorema, mas a de Cauchy era superior.

Além de Cauehy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão CarlG. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". Deve-se a ele a forma simplescomo essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta danotação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de jacobiano de umafunção, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas.

SURGIMENTO DA GEOMETRIA ANALÍTICA

A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesa do seu brilhantismo faltavaoperacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio

unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no séculoXVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.

Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidadede alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Doisfranceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduadosem Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avançocientífico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razõesfilosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos,em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.

Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento deToulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porquefaltasse, alguém em sua posição, outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat

simplesmente não conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática comohobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Alémda geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo deProbabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda aspropriedades dos números inteiros.



A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introduçãoaos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636 mais que só foi publicado em 1679,postumamente, junto com sua obra completa. É que fermat, bastante modesto, era avesso a publicarseus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criadorda Geometria Analítica.

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto

padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muitoespecial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativasmatemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas emParis (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma daspoucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França.Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militarrealizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-seno campo da ciência e da filosofia.

A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria comoum dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna.Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição deconhecimentos em todos os campos.

A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat eDescartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhumdeles. Mais, cada um a seu modo, sabiam que a idéia central era associar equações a curvas esuperfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.

A Matemática Oriental(Árabes, Hindus e Chineses)

Marcos Leandro Ohse

Com o domínio romano exercido em toda a Grécia e com o posterior fechamento da escola de Atenaspelo imperador Justiniano, a matemática e as ciências gregas entraram em declínio. Muitospesquisadores pegaram seus manuscritos e fugiram da Grécia e proximidades para o oriente médio. Istofez com que a ciência oriental florescesse de maneira muito rápida. Este incremento das ciênciasorientais foi muito importante para o desenvolvimento da matemática.

Durante todo o período em que o império romano dominou o mundo conhecido da época, tantoeconomicamente quanto culturalmente, o oriente foi a parte mais desenvolvida. A parte ocidental não foibaseada em uma economia de irrigação, sua agricultura era extensiva, o que não estimulou odesenvolvimento da astronomia. Assim, o ocidente se contentou com um mínimo de astronomia, algumaaritmética e algumas medições para o comércio e agrimensura. O estímulo para este desenvolvimentoveio do oriente. Após a separação política entre ocidente e oriente, este estímulo praticamentedesapareceu.

Árabes

Contexto Histórico

Até o século VII os árabes encontravam-se divididos em várias tribos, algumas sedentárias e outrasnômades. Geralmente estas tribos eram hostis entre si. Estas tribos, desde tempos remotos ocupavam apenínsula arábica, localizada no oriente próximo e limitada pelo mar vermelho, golfo pérsico e oceanoíndico.Em 613, Maomé (570-632) começa a pregação de uma nova religião, na condição de profeta de Alá (deusúnico e verdadeiro). Esta nova religião denominou-se religião Islâmica (Islam significa: submissão).Em 622 ocorre a “hégira”, mudança de Maomé de Meca para Iatreb por causa das perseguições sofridas,marcando o início do calendário islâmico. Após muitos anos de lutas, Maomé consegue impor a novareligião a todos os muçulmanos, sendo Meca a principal cidade sagrada. As demais cidades logo tambémforam conquistadas e aderiram ao islamismo.Depois da morte de Maomé, os árabes foram governados pelos califas (Alá confiava o cuidado dos fiéis).Estes califas estenderam o domínio muçulmano da Índia até a península Ibérica. Esta expansão árabeauxiliou para que a Europa interiorizasse a economia e aumentasse a ruralização da sociedade,expandindo o processo de feudos.

No início, as relações entre a Europa cristã e os muçulmanos foi extremamente violenta e antagônica.Neste período começam a ocorrer as cruzadas, com o intuito de tomar de volta a cidade santa deJerusalém do domínio islâmico. Os ataques muçulmanos praticamente fizeram desaparecer o comérciocristão no mediterrâneo ocidental, contribuindo ainda mais para o processo de feudalismo na Europa. Napenínsula Ibérica os árabes realizaram uma revolução agrícola construindo canais de irrigação , açudes emoinhos d’água, introduzindo o cultivo de cana-de-açucar, algodão, cânhamo e arroz. Por todo o império



circulavam moedas cunhadas em Bagdá, capital do império. Trabalhos em couros feitos em Córdoba ecanais de irrigação em Valência foram algumas das soluções desenvolvidas na economia.Contexto Matemático

Com o domínio dos Sassânidas, reis persas que governaram a mesopotâmia (Ciro e Xerxes), estarecuperou sua posição central ao longo das rotas comerciais, visto que sob o domínio romano e helenohaviam perdido. Não há muitos registros Sassânidas desta época. O que se sabe que era uma cultura

muito rica, haja visto o conto “Mil e uma noites” de Omar Khayyam.

Depois da conquista árabe, em 641 teve origem Bagdá, em substituição à babilônia, que haviadesaparecido. A matemática do período islâmico revela a mesma mistura de influências que se tornaramfamiliares em Alexandria e na Índia.

A matemática e a astronomia foram grandemente incentivadas pelos califas de Bagdá: Al-mansur (754-775), Harun Al-raschid (766-809) e Al-mamun (813-833). Este último organizou em Bagdá a “casa dasabedoria”, composta de uma biblioteca e um observatório.

As atividades matemáticas árabes começaram com a tradução dos Siddanthas hindus por Al-Fazari eculminaram com uma grande importância com Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi, por volta de 825. Eleescreveu vários tratados sobre matemática e astronomia. Estes tratados explicavam o sistema denumeração hindu. A europa ficou conhecendo este sistema de numeração graças a uma cópia latina do

século XII, visto que o original árabe se perdeu. A astronomia de Al-Khwarizmi era um resumo dosSiddanthas, o qual mostrava uma influência grega nos textos sânscritos.

Convém ressaltar que a palavra “álgebra” vem do árabe “al-jabr”, que siginifica “restauração”.

Os árabes tiveram um papel muito importante na história da matemática, pois eles traduziram, fielmente,os clássicos gregos (Apolônio, Arquimedes, Euclides, Ptolomeu e outros). Estes clássicos estariamperdidos para nós sem os árabes, visto o fechamento da escola de Atenas por Justiniano.

Outro matemático brilhante foi Omar Khayyam. Ele escreveu uma álgebra que continha uma investigaçãosistemática de equações cúbicas, utilizando a interseção de duas seções cônicas.

Jemshid Al-Kashi, matemático Persa resolveu equações cúbicas por iteração e por métodostrigonométricos, e também pelo método conhecido hoje como “método de Horner”. Este método tem umaforte influência chinesa, o que nos faz pensar que a matemática chinesa da dinastia Sung haviapenetrado profundamente no mundo islâmico.

Por tudo isto, ressalta-se a importante influência do povo árabe na matemática. Convém ressaltar,também, que os muçulmanos ao expandir o islamismo cometeram um dos maiores crimes contra ahumanidade. Após a queda de Alexandria frente aos muçulmanos, o califa mandou queimar todos osmanuscritos encontrados na biblioteca (cerca de 600.000) argumentando que: “se constam do alcorãonão precisam ser guardados e se não constam são inúteis”. Conta a lenda que os escritos alimentaram ascaldeiras dos banhos durante seis meses.

É preciso lembrar, também, o papel das cruzadas. Com as cruzadas a Europa cristã teve, novamente,contato com a matemática grega, traduzida para o árabe. Isto veio a influenciar muito a Europa medievale serviu como fonte para o desenvolvimento da matemática durante a idade média.Chineses

A civilização chinesa, bem como a civilização indiana, são muito mais antigas que as civilizações grega eromana, mas não mais antigas que as civilizações egípcia e mesopotâmicas.

Contexto HistóricoA civilização chinesa originou-se às margens dos rios Yang-Tsé e Amarelo. Podemos dividir a históriachinesa em quatro grandes períodos:

China Antiga (2000 ac – 600 ac)China Clássica (600 ac – 221 dc)China Imperial (221 dc – 1911 dc)China Moderna (1911 dc – hoje)

Apesar da china antiga ter sido governada por monarquias Hsia, Shang e Chou, o poder real estava nasmãos de numerosos pequenos senhores, governantes de pequenas cidades. Este período foicaracterizado por inúmeras guerras, taxas sobre a população e muita pobreza do povo.

Durante o período clássico, o filósofo Confúcio pregava uma total reestruturação social e política.Confúcio pregava o respeito pelas autoridades, cuidados com a pobreza, humildade, ética por parte dos



governantes e não fazer aos outros o que não queremos que nos façam. Confúcio não conseguiu, emvida, fazer com que suas idéias fossem aceitas pela aristocracia. No mesmo período é criado o taoísmopor Chang Tzu (399 ac – 295 ac), o qual proclamava uma ordem no universo e recomendava a paz e abenevolência governamental. Estes conceitos foram criados em virtude dos desgovernos dos senhores ea miséria de seus súditos. Em 200 ac a dinastia Han criou um império que durou até o fim da chinaclássica. Esta dinastia expandiu os limites da china e adotou o confucionismo como religião oficial. Vindoda Índia, o budismo fundiu-se com o taoísmo e ganhou ampla aceitação entre os camponeses.

No período imperial, a china esteve envolvida em várias lutas internas. Com a queda da dinastia Han, ossenhores começaram a lutar entre si para exercer o domínio em suas regiões. Em 618 dc a dinastia Tangunificou a china. Depois dela seguiram-se as dinastias Sung e Yuan. Estas dinastias patrocinaram asartes e a literatura, criando assim a era de ouro. Com isto a china alcançou grandes dimensões e muitainfluência. Começa a ocorrer a abertura do comércio chinês com a Europa, via oriente médio. As viagensde Marco Pólo à corte de Kublai Khan proporcionaram o primeiro contato da civilização chinesa com omercado europeu.

O império chinês durou muito mais tempo que o romano. Só foi rompido com a revolução de 1911. Éimportante ressaltar que ao contrário do império romano, os imperadores chineses, principalmente KublaiKhan, produziram uma cultura rica e uma base intelectual sólida. Enquanto os monarcas romanos eram,geralmente militares analfabetos, os monarcas chineses valorizavam muito a intelectualidade. Pelo fatode que os chineses se interessavam mais por literatura e arte, a matemática e a ciência chinesa sofreram

um atraso em relação as outras matérias.

Contexto Matemático

Os historiadores consideram muito difícil datar documentos matemáticos da China. O clássico mais antigoda matemática chinesa “Chou Pei Suang Ching” tem uma variação de quase mil anos entre suas datasmais prováveis de escrita. A maior dificuldade em datar este documento ocorre porque foi escrito porvárias pessoas, em períodos diferentes. O Chou Pei indica que na China a geometria originou-se damensuração, assim como na babilônia, sendo um exercício de aritmética ou álgebra. Neste trabalho háindicações que os chineses conheciam o teorema de Pitágoras.

Outra publicação tão antiga quanto o Chou Pei, é o livro de matemática “Chui Chang Suan Shu” (Novecapítulos sobre a arte da matemática, em torno de 1200 a.c.). Entre vários assuntos abordados, chama aatenção problemas sobre mensuração de terras, agricultura, sociedades, engenharia, impostos, cálculos,soluções de equações e propriedades dos triângulos retângulos. Nesta mesma época os Gregoscompunham tratados logicamente ordenados e expostos de forma sistemática. Os chineses seguiam amesma linha babilônica, compilando coleções com problemas específicos. Assim como os Egípcios, oschineses alternavam, em seus experimentos, resultados precisos e imprecisos, primitivos e elaborados.Nesta publicação aparecem soluções de sistemas lineares com números positivos e negativos.

Como os chineses gostavam de resolver sistemas, os diagramas foram muito utilizados por eles. Éinteressante observar que o quadrado mágico teve seu primeiro registro efetuado por este povo, mesmoque sua origem é mais antiga, porém desconhecida.

Durante toda sua história, a ciência chinesa sofreu com vários problemas, que impediram suacontinuidade e aprimoramento. Em 213 a.c. o imperador da China mandou queimar os livros existentes.Mesmo que algumas cópias tenham sido salvas, a perda foi irreparável. No século XX, Mao-Tsé-Tung,com sua “Revolução Cultural” também promoveu uma queima generalizada de livros, considerados

“subversivos”.

Provavelmente houve contato cultural entre Índia e China e entre a China e o ocidente. Muitos dizem quehouve influência babilônica na matemática chinesa, apesar de que a China não utilizava fraçõessexagesimais. O sistema de numeração chinês era decimal, porém com notações diferentes dasconhecidas na época. Eles utilizavam o sistema de “barras” (I, II, III, IIII, T). Não podemos precisar a idadedeste sistema de numeração, porém sabe-se que ele é anterior ao sistema de notação posicional.

Esta notação em barras não era simplesmente utilizada em placas de calcular (escrita). Barras de bambu,marfim ou de ferro eram carregadas em sacolas pelos administradores para que os cálculos fossemefetuados. Este método era mais simples e rápido do que o cálculo realizado com ábaco, soroban ousuan phan.

Os chineses conheciam as operações sobre frações comuns, utilizando o m.d.c. Trabalhavam com

números negativos por meio de duas coleções de barras (vermelha para os coeficientes positivos e pretapara os negativos), porém não aceitavam números negativos como solução de uma equação.

A matemática chinesa é tão diferente da matemática de outros povos da mesma época que seudesenvolvimento ocorreu de forma independente.Lui Hui, no terceiro século, determinou um valor para Pi



utilizando, primeiro um polígono regular com 96 lados (3,14) e depois utilizando um polígono regular com3072 lados (3,14159).

O ponto alto da matemática chinesa ocorreu no século XIII durante o fim do período Sung. Nesta épocafoi descoberta a impressão, a pólvora, o papel e a bússola. Obras chinesas desta época influenciaramfortemente a Coréia e o Japão. Muitas desta obras desapareceram da China neste período, reaparecendoapenas no século XIX.

Yang Hui (1261 – 1275), matemático talentoso trabalhou com séries numéricas e apresentou umavariação chinesa para o triângulo de Pascal.

Sabe-se que a partir da idade média na Europa, a matemática chinesa não tinha realizações que secomparassem às européias e do oriente próximo. Possivelmente a China absorvia mais matemática doque enviava. Possivelmente as ciências chinesas e hindus sofreram influências mútuas durante o primeiromilênio de nossa era.Hindus

Contexto Histórico

Escavações arqueológicas ocorridas em Mohenjo Daro nos dão uma indicação de uma civilização muitoantiga e de uma cultura muito alta na Índia, ocorrida na mesma época em que eram construídas as

pirâmides no Egito. Posteriormente o país foi ocupado pelos invasores arianos que impuseram o sistemade castas, o qual trouxe um atraso muito grande ao desenvolvimento. Estes invasores arianosdesenvolveram na índia a literatura sânscrita. Na mesma época em que Pitágoras começou adesenvolver seus teoremas e axiomas na Grécia, Buda agia na Índia. Especula-se que Pitágoras esteveem contato com Buda e que desenvolveu seu mais famoso teorema com os hindus.

Os indianos dos primeiros tempos foram exterminados por volta de 1500 ac. Este país tinha como política,vários pequenos principados desunidos, o que propiciou muitas invasões em seu território (arianas,persas, gregas, árabes e ingleses). Estes invasores se estabeleceram como classe dominante, evitando amiscigenação com o povo nativo.

Entre 3000 ac e 1500 ac viveu na índia um povo, da região do rio Indo, que cultivava a agricultura emorava em cidades. Este povo foi destruído pelos arianos. Entre 1500 ac e 500 ac os arianosdesenvolveram o hinduismo, combinação de religião, filosofia e estrutura social, a qual veio a desenvolvera base de sua civilização. O hinduismo é um conjunto de crenças e leis que se baseia em três idéiasprincipais: culto a um grande número de deuses, transmigração da alma e o sistema de castas que dividiarigidamente a sociedade indiana em quatro classes: Brahmana (sacerdotes), kshatriya (guerreiros), vaisya(comerciantes e artesãos) e sudra (camponeses).

Sidarta Gautama (Buda), por volta de 500 ac se revolta contra esta filosofia. O budismo foi uma respostaao caos e à agitação desta época, encontrando muitos adeptos, principalmente entre os pobres. Atécomeçar a declinar, por volta de 500 d.c. o budismo já havia se espalhado pela China, Japão e sudesteasiático.

Em 320 a.c. Chandragupta Mauria unificou todos os pequenos estados indianos e estabeleceu o impérioMauriano, seguido pelo seu neto Açoka (272-232 ac).. Em 185 ac o império voltou a se desintegrar e ficardividido em pequenos estados. Da queda do império mauriano até 200 dc houve um grandedesenvolvimento cultural, por meio da literatura, arte, ciência e filosofia. Em 320 dc a índia foi novamenteunificada por Chandragupta I, originando o império dos Gupta, que se manteve até 470 dc, o qual é

considerado a era clássica da Índia.

Com a invasão dos árabes, o islamismo foi introduzido na índia, conquistando partes da índia ocidentalnos séculos VIII, IX e X. Em 1206 Kutb ud-Din-Aibak fundou o sultanato muçulmano de Dehli. Em 1526Babur instala o império Mogol (Turco). No século XVII a Índia é invadida pelos Ingleses que exercem umatirania muito grande contra a sua população.

Contexto Matemático

A matemática hindu apresenta mais problemas históricos do que a grega, pois os matemáticos indianosraramente se referiam a seus predecessores e exibiam surpreendente independência em seu trabalhomatemático.

A Índia, assim como o Egito, tinha seus “esticadores de corda”. As primitivas noções geométricastomaram corpo no escrito conhecido como “Sulvasutras” (regras de cordas). Este escrito tem três versões,sendo que a mais conhecida tem o nome de Apastamba. Nesta primeira versão, da mesma época dePitágoras, são encontradas regras para construção de ângulos retos por meio de ternas de cordas cujoscomprimentos formam tríadas pitagóricas. Este escrito, provavelmente, sofreu influência babilônica, vistoque estas tríadas encontram-se nas tábuas cuneiformes. A origem e a data dos Sulvasutras são incertos,



de modo que não é possível relacioná-los com a primitiva agrimensura egípcia ou com o problema gregode duplicar um altar.

Após esta publicação, surgiram os “Siddhantas” (sistemas de astronomia). O começo da dinastia Gupta(290) assinalou um renascimento da cultura sânscrita e estes escritos podem ter sido um produto disto. Atrigonometria de Ptolomeu se baseava na relação funcional entre as cordas de um círculo e os ânguloscentrais que subentendem. Para os autores dos Siddhantas, a relação ocorre entre metade de uma corda

de um círculo e metade do ângulo subentendido no centro pela corda toda.A Índia teve muitos matemáticos que fizeram grandes contribuições. Entre eles podemos destacar:

Aryabhata

Publicou, em 499, uma obra intitulada “Aryabhatiya”. Esta publicação é um pequeno volume sobreastronomia e matemática, semelhante aos “Elementos” de Euclides, porém de oito séculos antes. Sãocompilações de resultados anteriores. Esta obra contém: nome das potências de dez, até a décima;regras de mensuração (muitas erradas); área do triângulo; volume da pirâmide (incorreto); área do círculo;volume da esfera (incorreto) e áreas de quadriláteros (algumas incorretas). Também encontramoscálculos com a medida do tempo e trigonometria esférica.

Brahmagupta

Viveu na Índia central pouco mais de cem anos depois de Aryabhata. Tem pouco em comum com seupredecessor que vivia no leste da Índia. Seu trabalho mais importante foi a generalização da fórmula deHeron para achar a área de qualquer quadrilátero. Também trabalhou na solução de equaçõesquadráticas com raízes negativas.

Bhaskara

Considerado o mais importante matemático do século doze (1114 – 1185). Ele preencheu as lacunas dotrabalho de Brahmagupta. É dele a primeira resposta plausível para a divisão por zero. Em seu trabalho“Vija-Ganita” ele afirma que tal quociente é infinito. Sua outra obra, “Lilavati”, apresenta tópicos sobreequações lineares e quadráticas, determinadas e indeterminadas, mensuração, progressões aritméticas egeométricas, radicais, tríadas pitagóricas, entre outras. Sua obra representa a culminação decontribuições hindus anteriores.

Ramanujan

Após Bhaskara, a Índia passou vários séculos sem matemáticos de importância comparável. SrinivasaRamanujan (1887-1920) é considerado o gênio hindu, em aritmética e álgebra, do século vinte.

A introdução de uma notação para uma posição vazia, o símbolo para o zero, foi o segundo passo para onosso moderno sistema de numeração. Não se sabe se o número zero (diferente do símbolo para a

posição vazia) surgiu junto com os nove numerais hindus. É bem possível que o zero seja originário domundo Grego, talvez de Alexandria. Possivelmente foi transmitido à Índia depois que o sistema posicional já estava estabelecido lá. É interessante observar que os Maias do Yucatán (México), anterior à Colombo,usavam notação posicional, com notação para a “posição vazia”. Com a introdução, na notação hindu, dodécimo numeral, um ovo de ganso para o zero, o nosso moderno sistema de numeração para os inteirosestava completo.

A nova numeração, geralmente chamada de hindu-arábica, é uma nova combinação dos três princípiosbásicos, todos de origem antiga:i) base decimalii) notação posicionaliii) forma cifrada para cada um dos dez numerais

Nenhum destes de se deveu, originalmente, aos hindus, mas foi devido a eles que os três foram ligadospela primeira vez para formar o nosso sistema de numeração.

Outra contribuição importante dos hindus foi a introdução de um equivalente da função seno natrigonometria para substituir a tabela de cordas dos gregos. A trigonometria hindu era um instrumento útile preciso para a astronomia.



BIBLIOGRAFRIA

BARBEIRO, Heródoto. Et alli. História. Ed. Scipione. 2005BERUTTI, Flávio. História. Ed. Saraiva. 2004.

BOYER, Carl B. História da matemática. 2º ed. SP. Edgard Blucher, 2003.EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2º ed. UNICAMP, 2002.LINTZ, Rubens G. História da matemática. FURB. 1999.STRUIK, História concisa das matemáticas. Gradiva. 1989.

História da matemática desde o século IX a.C

“LISA - BIBLIOTECA DA MATEMÁTICA MODERNA: ANTÔNIO MARMO DE OLIVEIRA.”

Por volta dos séculos IX e VIII a.C a matemática engatinhava na Babilônia. Os babilônios e os egípcios játinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas,e não de uma ciência organizada. Na Babilônia, a matemática era cultivada entre os escrivasresponsáveis pelos tesouros reais. Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e egípcios,só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI e

V a.C. na Grécia.A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la. Os gregos

fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.

Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em contaproblemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade. As diversas tentativas dosgregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo. Estemétodo consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partirdelas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais. As dificuldades com queos gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobrenúmeros irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direçãoà geometria. Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides,intitulada "Os Elementos". Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolôniode Perga.

Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método deexaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo dematemática (teoria dos limites). Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudosdas denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemáticaatual, papel muito importante. No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centrocultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade deAlexandria. Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática grega entra no seu ocaso.

Dia dez de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitosárabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas asobras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse. Mas a cultura helênica era bem forte parasucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente. Os árabes, na suaarremetida, conquistam a Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a

Aritmética.Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até entãoconhecido: o ZERO. Isto causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular". Dá-se início à propagaçãoda cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados "Algarismos arábicos",de invenção dos hindus. Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, oárabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultou em nossa língua as palavras algarismos eAlgoritmo.

Alchwarizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração econforto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra). A matemática, que se achava em estado latente,começa a se despertar. No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de"Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte decalcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3ºgraus. Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus

Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinaisde + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).

Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nósos utilizamos atualmente. É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento. Taldesenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viète, denominada



"Álgebra Speciosa". Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números,segmentos de retas, entes geométricos etc.No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat.A grande descoberta de René Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consistenas aplicações de métodos algébricos à geometria. Pierre Fermat era um advogado que nas horas delazer se ocupava com a matemática. Desenvolveu a teoria dos números primos e resolveu o importanteproblema do traçado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que

mais tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos. Vemos assim no século XVIIcomeçar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido como AnáliseMatemática. Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, jáanteriormente estudados por Galileu Galilei. Tais problemas dão origens a um dos primeirosdescendentes da Análise: o Cálculo Diferencial.

O Cálculo Diferencial aparece pela primeira vez nas mãos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nomede "cálculo das fluxões", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo matemático alemãoGottfried Wihelm Leibniz. A Geometria Analítica e o Cálculo dão um grande impulso à matemática.Seduzidos por essas novas teorias, os matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa edespreocupadamente se lançam a elaborar novas teorias analíticas. Mas nesse ímpeto, eles se deixaramlevar mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciência. Não tardaram asconseqüências de tais procedimentos, começando por aparecer contradições. Um exemplo clássico dissoé o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:

S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...........Supondo que se tenha um número infinito de termos. Se agruparmos as parcelas vizinhas teremos:S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3

O que conduz a resultados contraditórios. Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era bemcaracterístico dos matemáticos daquela época, que se acharam então em um "beco sem saída”. Taisfatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais damatemática. Pode-se afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática. Essa revisão se iniciana Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 - 1857), professor catedrático na Faculdade deCiências de Paris. Cauchy realizou notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quaisdestacamos duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries" e "Lições sobreaplicação do cálculo à geometria". Paralelamente, surgem geometrias diferentes da de Euclides, asdenominadas Geometrias não euclidianas.

Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisãocrítica, levada a efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra"Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie" título do original), publicada em 1901. AÁlgebra e a Aritmética tomam novos impulsos. Um problema que preocupava os matemáticos era o dapossibilidade ou não da solução de equações algébricas por meio de fórmulas que aparecessem comradicais. Já se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí surgiu a seguinte questão:será que as equações do 4º graus em diante admitem soluções por meio de radicais?

Em trabalhos publicados por volta de 1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-96)iniciaram estudos sistemáticos dos métodos de resolução. À medida que as pesquisas se desenvolviamno sentido de achar tal tipo de resolução, ia se evidenciando que isso não era possível. No primeiro terçodo século XIX, Niels Abel (1802-29) e Evariste de Galois (1811-32) resolvem o problema, demonstrando

que as equações do quarto e quinto grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais. O trabalho deGalois, somente publicado em 1846, deu origem à chamada "teoria dos grupos" e à denominada "ÁlgebraModerna", dando também grande impulso à teoria dos números.

Com respeito à teoria dos números não nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind e GorgCantor. R. Dedekind define os números irracionais pela famosa noção de "Corte". Georg Cantor dá inícioà chamada Teoria dos conjuntos, e de maneira arrojada aborda a noção de infinito, revolucionando-a. Apartir do século XIX a matemática começa então a se ramificar em diversas disciplinas, que ficam cadavez mais abstratas.

Atualmente se desenvolvem tais teorias abstratas, que se subdividem em outras disciplinas. Osentendidos afirmam que estamos em plena "idade de ouro" da Matemática, e que nestes últimoscinqüenta anos tem se criado tantas disciplinas, novas matemáticas, como se haviam criado nos séculosanteriores. Esta arremetida em direção ao "Abstrato", ainda que não pareça nada prática, tem por

finalidade levar adiante a "Ciência". A história tem mostrado que aquilo que nos parece pura abstração,pura fantasia matemática, mais tarde se revela como um verdadeiro celeiro de aplicações práticas.



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História da Matemática - História dos Números