História da Matemática - História da Geometria - Os Polietros

8/14/2019 Histria da Matemtica - Histria da Geometria - Os Polietros

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Os poliedros

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Hist rias da Geometria

No possvel conhecer em que circunstncias histricas comeou e se desenvolveu o interesse pelospoliedros, identificados como slidos de faces planas. Do ponto de vista matemtico, existem fontesegpcias, chinesas e babilnicas contendo a resoluo de problemas relativos a pirmides.

No Papiro de Rhind1 existem diversos problemas relativos ao declive das faces de uma pirmide.Como sugere V. Katz, o valor do declive era essencial para os constru-tores das pirmides, e na realidade os valores concretos referidos nessesproblemas so aproximadamente iguais aos declives das trs pirmidesde Gizeth.2 No Papiro de Moscovo3 apresentada a frmula para oclculo do volume do tronco de pirmide de base quadrada, embora afrmula para o volume da pirmide no aparea em nenhuma fonteegpcia. Assim, no se conhece como chegaram os egpcios aquelafrmula. No texto que acompanha a figura e os clculos (fig. 1) dito:

Se te posto o problema, um tronco de pirmide tem 6 cbitos de altura,4 cbitos de base, por 2 cbitos no topo.

Calcula com o 4, quadrando. Resultado 16.Calcula 2 vezes 4. Resultado 8.Calcula com o 2, quadrando. Resultado 4.

Adiciona este 16 com este 8 e com este 4. Resultado 28.Calcula 1/3 de 6. Resultado 2.Calcula com o 28, vezes 2. Resultado 56.

56. Encontraste o resultado certo.

Em notaes actuais, a frmula descrita neste texto egpcio corresponde a Vh

a ab b= + +( )3

2 2 ,

onde h a altura da pirmide, e a e b so os comprimentos dos lados das bases quadradas do tronco de

pirmide.

NosNove Captulos da Arte Matemtica (Jiuzhang Suanshu4) aparece a mesma frmula, e tambm afrmula do volume da pirmide. Da mesma forma, existem tabletes babilnicas contendo problemas declculo de volumes de troncos de pirmides e de outros slidos (em forma de telhado de quatro guas)

que parecem ter resultado da necessidade de calcular o volume de pilhas de gros de cereal. No que dizrespeito s frmulas utilizadas, algumas so correctas, outras apenas aproximadas.

Em qualquer caso, todos estes documentos demonstram um interesse natural pelas formas polidricas.Esse interesse no era apenas utilitrio. Em escavaes arqueolgicas junto de Pdua foi descoberto umdodecaedro etrusco (500 a.C), do mineral esteatite, que era um objecto de jogo, e os egpcios usavamdados com a forma de icosaedros.

Os matemticos gregos retomaram a questo do volume da pirmide. Arquimedes, no livro do Mtodo,afirma que Demcrito (que viveu no fim do sc. V a.C.) foi o primeiro a enunciar que o volume de umcone 1/3 do de um cilindro tendo a mesma base e a mesma altura, e que o volume da pirmide 1/3do de um prisma com a mesma base e altura igual. Arquimedes atribui a demonstrao destas duasproposies a Eudxio (c. 409 - c. 356 a.C.), apoiando-se no mtodo da exausto.5

Figura 1. Extracto do Papiro deMoscovo com a resoluo doproblema do clculo do volumedo tronco de pirmide.


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Os slidos Platnicos

PlatoOs cinco poliedros regulares tetraedro, cubo ou hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro pas-saram a ficar conhecidos na histria como slidos platnicos em virtude de um famoso texto de Platoincludo no dilogo Timeu, de que reproduziremos um extracto mais abaixo.

Um poliedro regular quando todas as faces so polgonos regulares congruentes, todas as arestas socongruentes e todos os vrtices so congruentes. Isto significa que existe uma simetria do poliedro quetransforma cada face, cada aresta e cada vrtice numa outra face, aresta ou vrtice. Heath sugere que ospitagricos conheciam todos os slidos platnicos e que construam o tetraedro, o cubo, o octaedro e oicosaedro utilizando a construo em tringulos descrita por Plato no referidotexto, enquanto para o dodecaedro se baseavam na construo do pentgono quemais tarde ficou registada nos Elementos (Eucl. IV,10,11). De resto, os

pitagricos utilizavam como seu smbolo distintivo o pentagrama, que se ob-tm a partir do pentgono traando as respectivas diagonais (fig. 2).

Teeteto (c. 417 - c 369 a.C.), um dos matemticos gregos mais importantes dapoca de Plato, ensinou na Academia fundada por este em Atenas em 385 a.C.e parece dever-se a ele um estudo terico dos cinco poliedros regulares, emparticular do octaedro e do icosaedro. Segundo Heath, estudou as relaes en-tre os cinco poliedros e tambm as superfcies esfricas circunscritas.

Fazemos em seguida uma longa transcrio do texto de Plato, acompanhada de algumas figurasinterpretativas.

Em primeiro lugar, claro para toda a gente que o fogo, a terra, a gua e o ar so corpos, e que todos os

corpos so slidos. Todos os corpos so limitados por superfcies e todas as superfcies rectilneas so com-postas por tringulos. H dois tipos fundamentais de tringulos, cada um deles tendo um ngulo recto e doisngulos agudos; num deles estes dois ngulos so metade de ngulos rectos, sendo subtendidos por ladosiguais; no outro, so desiguais, sendo subtendidos por lados desiguais. Postulamos isto como a origem dofogo e dos outros corpos, combinando o nosso argumento a verosimilhana e a necessidade; as suas origensltimas so conhecidas dos deuses e dos homens a quem os deu-ses amam.

Devemos continuar a indagar quais so os quatro corpos mais per-feitos possvel que, embora diferentes uns dos outros, so capazesde se transformar uns nos outros por resoluo. Se conseguirmosencontrar a resposta para esta questo temos a verdade sobre aorigem da terra e do fogo e dos dois termos entre eles; porque nuncaadmitiremos que haja corpos visveis mais perfeitos que estes, cadaum do seu tipo. Assim, devemos fazer o possvel para construirquatro tipos de corpo perfeito e defender que compreendemos su-ficientemente a sua natureza para atingirmos o nosso objectivo. Dos dois tringulos fundamentais, portanto,o issceles tem uma nica variedade e o escaleno um nmero infinito. Devemos por conseguinte escolher,se vamos comear de acordo com os nossos prprios princpios, o mais perfeito deste nmero infinito. Sealgum nos puder indicar uma melhor seleco de tringulo para a construo dos quatro corpos, essa su-gesto ser bem-vinda; mas pela nossa parte propomo-nos passar por cima de todos os restantes e seleccio-nar um nico tipo, aquele cujo par compe um tringulo equiltero. Seria uma histria demasiado longaexplicar a razo, mas se algum conseguir apresentar uma prova de que assim no , essa proeza ser bemrecebida. Assumamos ento que estes so os dois tringulos a partir dos quais o fogo e os outros corpos soconstruidos: um issceles e o outro com um lado maior cujo quadrado o triplo do menor [...].

Temos que descrever seguidamente a figura geomtrica de cada corpo e indicar o nmero dos seus compo-

Figura 2

45 45

90

90

Figura 3. Os dois tipos fundamentais de tri-ngulos considerados por Plato. Como dizPlato um pouco mais abaixo, o issceles tem

uma nica variedade, o escaleno (o da direi-ta) tem infinitas.


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nentes. Comearemos com a construo da figura mais simples e maispequena [fig. 5]. A sua unidade bsica o tringulo cuja hipotenusa temo dobro do seu lado menor. Se se juntarem dois destes tringulos, com a

hipotenusa como dimetro da figura resultante, e se se repetir o processotrs vezes, fazendo coincidir os dimetros e os lados menores das trsfiguras no mesmo vrtice, o resultado um simples tringulo equilterocomposto de seis unidades bsicas. E se se juntarem quatro tringulosequilteros, trs dos seus ngulos planos encontram-se para formar ums ngulo slido, aquele que aparece imediatamente a seguir ao maisobtuso dos ngulos planos; e quando quatro destes ngulos tiverem sidoformados o resultado a figura slida mais simples, que divide a super-fcie da esfera, circunscrevendo-a em partes iguais e similares.

A segunda figura composta dos mesmos tringulos bsicos reunidos paraformar oito tringulos equilteros e que formam um s ngulo slido apartir de quatro planos. A formao de seis destes ngulos slidos com-

pleta a figura nmero dois.A terceira figura formada a partir de cento e vinte tringulos bsicos e tem doze ngulos slidos, cada umdeles limitado por cinco tringulos equilteros planos e vinte faces, cada uma das quais um tringulo equi-ltero.

Depois da construo destas trs figuras dispensa-se a primeira das nossas unidades bsicas e utiliza-se otringulo issceles para a produo do quarto corpo [fig. 6]. Quatro destes tringulos so juntos com os seusngulos rectos encontrando se num vrtice para formarem um quadrado, Seis quadrados postos em conjuntocompletam ngulos slidos, cada um deles composto por trs ngulos rectos planos. A figura do corpo re-sultante o cubo, com seis faces quadradas planas.

90 90 90 60

30

Figura 4. Das infinitas variedades detringulos rectngulos escalenos, Platoescolhe aquele que metade de um tri-ngulo equiltero. E diz que aquelecujo quadrado do lado maior triplo doquadrado do lado menor (ser assim?).Mais abaixo, afirma que neste tipo detringulos a hipotenusa tem o dobro docomprimento do lado menor (ser as-sim?).

Figura 5. Formao das primeiras trsfiguras platnicas, o tetraedro, o octaedroe o icosaedro.


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Faltava ainda uma quinta construo que o deus utilizou para organizar todas asconstelaes do cu.

(...) Devemos prosseguir distribuindo as figuras cujas origens acabmos de des-crever pelo fogo, terra, gua e ar. Atribuamos o cubo terra, uma vez que o maisimvel dos quatro corpos e o que tem a forma mais estvel, sendo estas caracters-ticas que deve possuir a figura com as formas mais estveis. E relativamente aostringulos bsicos assumimos que o issceles tem uma base naturalmente maisestvel do que o escaleno, e que das figuras equilteras compostas por eles o qua-drado , no todo ou em partes, uma base mais firme do que o tringulo equiltero.Mantemos assim o nosso princpio de verosimilhana atribuindo-o terra e, deforma semelhante atribumos gua a menos mvel das outras figuras, a mais mvelao fogo e a intermdia ao ar. E de novo atribumos a figura mais pequena ao fogo,a maior gua, a intermdia ao ar; a mais cortante ao fogo, a segunda mais cortante ao ar e a menos cortan-te gua. Resumindo, a figura que tem o menor nmero de faces dever ser, pela natureza das coisas, a maismvel, assim como a mais cortante e a mais penetrante e, finalmente, sendo composta pelo menor nmero

de partes semelhantes, a mais leve. A nossa segunda figu-ra ser a segunda em todas estas caractersticas, e a nossaterceira ser a terceira. Deste modo, a lgica e a verosimi-lhana exigem que olhemos a pirmide como a figura s-lida que a unidade bsica ou a semente do fogo; e pode-mos olhar a segunda das figuras que construmos como aunidade bsica do ar, a terceira a da gua.6

Euclides

NosElementos, os poliedros so tratados nos livros XI, XII e XIII. No livro XIII, a partir da proposio13, Euclides estuda sistematicamente os slidos platnicos. As construes do tetraedro, octaedro, cubo,

icosaedro e dodecaedro, como slidos inscritos numa dada superfcie esfrica, so demonstradas nasproposies 13, 14, 15 , 16 e 17, respectivamente. A proposio 18 estabelece as relaes entre as ares-tas destes slidos e o dimetro da superfcie esfrica. E finalmente, logo a seguir a esta proposio,Euclides afirma e demonstra que nenhuma outra figura, alm das ditas cinco figuras, pode ser construidade modo a ficar contida por figuras, de lados e ngulos iguais, e iguais entre si. Dito de outro modo,Euclides afirma que alm dos cinco slidos que acabou de construir, no pode ser construido mais ne-nhum poliedro cujas faces sejam polgonos regulares, iguais entre si.

Sigamos a sua demonstrao7.Porque um ngulo slido no pode ser construido por dois tringulos planos.

Por tringulo Euclides quer dizer tringulo equiltero, pois est sempre a referir-se a polgonos regu-lares.

Figura 6. Construo da quarta figura platnica, o cubo ou hexaedro

Figura 7. A figura platnicaque faltava, o dodecaedro.

terra fogo guaar cosmos

Figura 8. A interpretao de Kepler, noHarmonicesMundi, das associaes de Plato.


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Com trs tringulos constri-se o ngulo [slido] do tetraedro, com quatro o ngulo do octaedro e com cin-co o ngulo do icosaedro; mas um ngulo slido no pode ser formado por seis tringulos equilteros eequiangulares colocados em torno de um ponto, pois sendo o ngulo do tringulo equiltero igual a dois

teros do ngulo recto, os seis sero iguais a quatro ngulos rectos: o que impossvel, pois um nguloslido est contido por ngulos planos, cuja soma menor que quatro ngulos rectos [II. 21].

Euclides serve-se aqui da proposio 21 do livro II, na qual demonstra a afirmao que colocmos emitlico.

Pela mesma razo, tambm um ngulo slido no pode ser construido por mais do que seis ngulos planos[medindo cada um dois teros do ngulo recto].

O ngulo [slido] do cubo contido por trs quadrados, mas um ngulo slido no pode estar contido porquatro quadrados, pois teramos de novo quatro ngulos rectos.

O ngulo slido do dodecaedro est contido por trs pentgonos equilteros e equiangulares, mas nenhumngulo slido pode estar contido por quatro destes pentgonos, pois como o ngulo [interno] do pentgono[regular] igual a um recto e um quinto [de um ngulo recto], quatro seriam maiores do que quatro ngulos

rectos: o que impossvel.Pela razo da mesma absurdidade, tambm nenhum ngulo slido poderia estar contido por outras figuraspoligonais [regulares].

Portanto [ nenhuma outra figura, alm das ditas cinco figuras, pode ser construida de modo a ficar contidapor figuras, de lados e ngulos internos iguais, e iguais entre si].

O facto de Euclides terminar os treze volumes da sua obra monumental com esta proposio tem leva-do alguns autores a afirmar que o objectivo principal dosElementos precisamente demonstrar a exis-tncia de apenas cinco poliedros regulares.

Os slidos arquimedianos

Se na definio que demos de poliedro regular mantivermos a condio das faces serem polgonos re-gulares, mas no a de serem todas congruentes, obtemos uma famlia mais ampla de slidos, estudadapor Arquimedes (287-212 a.C.). Note-se que as arestas so todas congruentes, e os vrtices tambm. Asfaces so polgonos regulares, mas enquanto nos platnicos eram apenas de um tipo, aqui podero serde vrios tipos. ainda necessrio acrescentar a condio de que todo o vrtice pode ser transformadonoutro vrtice por uma simetria do poliedro. A estes slidos habitual chamar arquimedianos ou semi-regulares.

Os prismas cujas faces laterais so regulares so, de acordo com a definio dada, arquimedianos. Domesmo modo, tambm os antiprismas de faces regulares so arquimedianos (fig. 9). No entanto, osinfinitos prismas e antiprismas no so em geral includos na famlia dos arquimedianos.

Figura 9. Prismas e antiprismas.

A. Prisma hexagonal(recto)

B. Se diminuirmos a alturado prisma anterior at as fa-ces laterais serem quadra-dos, obtemos um prisma he-xagonal semi-regular)

C. Se rodarmos uma das ba-ses at opor cada vrtice deuma base a um lado da ou-tra, e unirmos os vrticescomo na figura, obtemos umantiprisma.

D. Diminuindo a altura doantiprisma anterior at asfaces laterais serem tringu-los equilteros, obtemos umantiprisma semi-regular.


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Sem os prismas e antiprismas, a famlia dos arquimedianos finita. Tal como para os platnicos, naturalinvestigar quantos poliedros arquimedianos podem existir e, alm disso, construi-los efectivamente. Ainvestigao poder seguir o mesmo caminho indicado na demonstrao de Euclides para os platnicos,embora aqui muito mais morosa pois podemos no mesmo vrtice incluir polgonos regulares diferentes.Chegaramos concluso que no podem existir mais do que 13 tipos de vrtices diferentes. 8 A cadaum desses tipos de vrtices corresponde um slido arquimediano.

Os livros de Arquimedes sobre estes slidos esto perdidos. Foi Johanes Kepler (1571-1630) quem seinteressou de novo por estes slidos a ponto de lhes atribuir nomes e desenhar as respectivas ilustraesnoHarmonices Mundi de 1619.

Como a cada tipo de vrtice corresponde um arquimediano, a notao para os tipos de vrtices servepara designar os diferentes slidos. Na figura 10 podemos ver trs tipos de vrtices, a notao usada cuja origem simples de compreender e os nomes dos slidos correspondentes cuja origem algomisteriosa ser explicada mais abaixo.

Nas figuras 11 e 12 das pginas seguintes esto representados onze dos treze arquimedianos, incluindoas imagens, os nomes e os respectivos smbolos. Cada um deles pode obter-se por meio de uma suces-so de cortes, tambm chamados truncaturas por vezes seguidas de transformaes convenientesa partir dos slidos platnicos. As truncaturas, em cada vrtice, so feitas por planos perpendiculares aoeixo de simetria de rotao que passa por esse vrtice. Obtm-se assim em geral polgonos regularescomo seces. Conforme a distncia do vrtice a que a truncatura se faz, assim se vo obtendo vriospoliedros arquimedianos.

Se partirmos do tetraedro e do cubo (ou do octaedro), conseguimos chegar por truncaturas directasaos seguintes arquimedianos:

tetraedro truncado, cubo truncado, octaedro truncado, cuboctaedro;

Se partirmos do icosaedro (ou do dodecaedro), conseguimos chegar aos seguintes arquimedianos:

icosaedro truncado, icosidodecaedro, dodecaedro truncado.

Note-se, na figura 11, que o cuboctaedro fica entre o cubo e o octaedro, podendo ser obtido portruncaturas tanto a partir do cubo como do octaedro. Da o seu nome. Do mesmo modo, na figura 12, oicosidodecaedro fica entre o icosaedro e o dodecaedro, o que tambm justifica o seu nome.

Vejamos agora como se podem obter os restantes arquimedianos includos nas figuras 11 e 12 cuboctaedro truncado, rombicuboctaedro, icosidodecaedro truncado, rombicosidodecaedro.

Da figura 11 parece concluir-se que possvel obter directamente por truncaturas estes arquimedianos.Tal no verdade. Se truncarmos os vrtices do cuboctaedro por planos perpendiculares aos eixos desimetria de rotao (que so de grau 2) no obtemos quadrados, mas sim rectngulos. necessrio trans-formar esses rectngulos em quadrados para obtermos o cuboctaedro truncado e e rombicuboctaedro.

Figura 10. Trs tipos de vrtices correspondentes a poliedros arquimedianos

3.43 rombicuboctaedro 4.6.8 cuboctaedro truncado (3.5)2 icosidodecaedro


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Figura 11. Seis arquimedianos (tetraedro truncado, cubo trun-cado, cuboctaedro, octaedro truncado, cuboctaedro truncadoe rombicuboctaedro) gerados a partir de trs platnicos (tetra-edro, cubo e octaedro) por meio de truncaturas ou truncaturasmodificadas. suficiente utilizar apenas truncaturas dos vr-tices. Utilizando truncaturas das arestas, podem encontrar-seoutros processos de gerao, como por exemplo na passagemdo cubo ao rombicuboctaedro.Nota: as dimenses dos slidos depois dos cortes no estointegralmente respeitadas, para evitar acabar por ter slidos,depois das truncaturas sucessivas, de tamanho muito reduzi-do...

cubo

(platnico)

43

cubo truncado

(arquimediano)

3.82

cuboctaedro

(arquimediano)

(3.4)2

cuboctaedro truncado(arquimediano)

4.6.8

rombicuboctaedro

(arquimediano)

3.43

octaedro

(platnico)

34

tetraedro

(platnico)

33

tetraedro truncado

(arquimediano)

3.62

octaedro truncado

(arquimediano)

4.62

o rombicuboctaedro

pode ser gerado

a partir do octaedro

por truncaturas

das arestas

posio

intermdia

o rombicuboctaedro

pode ser gerado

a partir do cubo

por truncaturas

das arestas


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Figura 12. A partir do icosaedro (ou do dodecaedro) podemos por truncaturas (ou truncaturasmodificadas) dos vrtices chegar aos 5 arquimedianos seguintes: icosaedro truncado,icosidodecaedro, dodecaedro truncado, icosidodecaedro truncado e rombicosidodecaedro.

Figura 13. O cubo achatado, esquerda, e o dode-caedro achatado, direita. Os smbolos dos vrticesso respectivamente 34.4 e 34.5.

Da mesma forma, s com uma truncatura seguida de umatransformao dos rectngulos resultantes em quadradospodemos obter o icosidodecaedro truncado e orombicosidodecaedro.

A utilizao dos nomes com o prefixo rombi resulta do factodesses poliedros poderem inscrever-se em slidos com fa-ces rmbicas.9

Restam portanto dois arquimedianos, os quais no se po-dem obter por sucesses de truncaturas (deste tipo). So oschamados arquimedianos achatados (do ingls snub10): cuboachatado e dodecaedro achatado (figura 13).

icosaedro

(platnico)

35

icosaedro truncado

(arquimediano)

5.62

icosidodecaedro

(arquimediano)

(3.5)2

icosidodecaedro truncado

(arquimediano)

4.6.10

rombicosidodecaedro

(arquimediano)

3.4.5.4

dodecaedro

(platnico)

53

dodecaedro truncado

(arquimediano)

3.102

o rombicosidodecaedro

pode ser gerado

a partir do dodecaedro

por truncaturas das arestas

posio

intermdia

o rombicosidodecaedro

pode ser geradoa partirdo icosaedro

por truncaturas das arestas


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A R

P

Q

B

C

Figura 14. Em cada uma das fa-ces do octaedro definido um tri-ngulo como indicado na figura,de tal modo que

rBR

RA

CP

PB

AQ

QC= = = 1 839.

Figura 15. Trs fases da construo do cubo achatado. i) Sobre cada uma das faces dooctaedro desenhado um tringulo obtido como na figura 14. Os vrtices destes trin-gulos, tomados quatro a quatro, vo definir as seis faces quadradas. Esto indicados trsdesses grupos de vrtices. ii) O cubo achatado comea a ser construido, vendo-se j trsfaces quadradas e alguma triangulares. iii) o cubo achatado est j construdo; como sev, pode ser obtido por cortes apropriados do octaedro.

Figura 16. Desenho do dodecae-dro truncado, por Leonardo daVinci.

Em 1984, o matemtico francs Jean-Franois Rotg mostrou que estes dois arquimedianos tambm sepodem obter do octaedro e do icosaedro mediante truncaturas especiais, nas quais o que resta de cadaface do octaedro e do icosaedro um tringulo equiltero numa posio especial (fig. 14). Na figura 15tentamos mostrar como se pode efectivamente obter o cubo achatado.

Se a razo radoptada na figura 14 for 1.943 em lugar de 1.839, e se o poliedro de que partimos for oicosaedro, obtemos o dodecaedro achatado. Diga-se tambm que pelo mesmo processo se pode obter oicosaedro do tetraedro, fazendo rigual razo de ouro (1+5)/2.

Estes dois arquimedianos tm algumas caractersticas de simetria diferentes dos anteriores onze. Notm planos de simetria de reflexo. Por outro lado, cada um deles tem duas formas em que cada uma a imagem num espelho da outra, como uma luva ou uma mo vistas ao espelho (formas enantiomrficas).Se na figura 14 os pontos P, Q eR ficassem mais prximos de C,A eB do que dos outros vrtices dotringulo, o tringulo colorido ficaria inclinado para a direita e iramos obter a outra forma possveldo cubo achatado.

Poliedros no Renascimento

No perodo do Renascimento, diversos artistas e matemticos se interessaram pelo estudo e representa-o dos poliedros. Veremos como Ucello, j entre 1420 e 1425, ao desenhar mosaicos na Catedral de S.Marcos, em Veneza, escolheu um poliedro estrelado como motivo.

Cerca do ano 1480, Piero della Francesca, um dos mais famosos pin-tores desse perodo e criador da teoria da perspectiva (ver no cap. V,Perspectiva e geometria projectiva), escreveu um tratado sobre os cin-co slidos regulares, chamado Libellus de cinque corporibusregularibus. Partes do tratado foram incorporados por Luca Pacioli(1445-1517), no seu popular compndio de matemtica, Summa de Arithmetica, geometria, proportione et proportionalita, editado emVeneza em 1494. Num outro livro de Pacioli, De Divina proportione,editado em Florena em 1509, aparecem desenhos de poliedros, emparticular arquimedianos, da autoria de Leonardo da Vinci (fig. 16).Os desenhos de Leonardo salientam a estrutura dos poliedros, repre-sentando apenas as suas arestas.

(i) (ii) (iii)


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Figura 17. Planificao do dodecaedrodesenhada por Drer.11

Figura 18. Reproduo parcial do retrato de Frei Luca Pacioli com oseu aluno Guidobaldo, Duque de Urbino, por Jacopo de Barbari.

Drer, no tratado j referido Underveissung der messung, apresenta, possivelmente pela primeira vez, aideia de construo de slidos a partir da sua planificao. O livro inclui planificaes de vrios poliedrosregulares e semi-regulares.

Na figura 17 reproduzimos um desenho de Drer daquele tratado, em que aparecem ao mesmo tempo aplanificao de um dodecaedro e duas vistas do dodecaedro.

Drer fez duas visitas a Itlia, e numa carta escrita em Veneza ao seu amigo Pirkheimer, durante a se-

gunda visita, diz que ir permanecer oito dias em Bolonha onde algum lhe quer ensinar os segredosda perspectiva.12 Depois dessa visita Drer dedica-se com maior intensidade a estudos de geometria, es ligaes entre a perspectiva linear e a geometria euclidiana. De acordo com Kemp, so evidentes asinfluncias de Piero della Francesca e mesmo de Leonardo da Vinci. O mesmo Kemp especula que pro-vavelmente o seu instrutor foi Pacioli. Este tinha estreitas ligaes com Alberti, com Piero della Francescae com Leonardo da Vinci. H at quem tenha sugerido que Drer que est representado com Paciolina pintura de Jacopo de Barbari, reproduzida na figura 18. A presena de um poliedro de vidro nessapintura um rombicuboctaedro sugere, de acordo com Joseph Malkevitch, que Pacioli construiriamodelos de poliedros em vidro.13

De acordo com o mesmo autor, o interesse de tantos artistas do renascimento pelo estudo e representa-o dos poliedros, alm de justificvel pelo conhecido interesse naquele perodo pelo estudo dos auto-

res gregos, nomeadamente pelosElementos de Euclides, seria tambm provocado pelo desafio que cons-tituiria a utilizao da perspectiva naquela representao.

Os poliedros estrelados

J vimos que Kepler deu importantes contribuies ao estudo dos poliedros arquimedianos. Em particu-lar provou que, alm dos prismas e antiprismas, apenas podem existir treze poliedros arquimedianos. Aeste respeito interessante notar, como faz Malkevitch, que de acordo com a definio adoptada porArquimedes e por Kepler (em que apenas se exige que os vrtices sejam congruentes mas no que exis-ta uma transformao de simetria do poliedro que transforme cada um dos vrtices noutro qualquer),existem 14 e no apenas 13 arquimedianos (fig. 19). E na realidade, noutro local, Kepler refere-se a 14arquimedianos, mas sem acrescentar qualquer outro detalhe.

Capa deMathmatiquesau fil des ges

reduo para

63%


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Figura 19. O slido da direita obtido do rombicuboctaedro, esquerda, rodando de 45 a calote inferior. Note-se que osvrtices continuam com os mesmos polgonos e dispostos da mesma maneira. No entanto, no existe nenhuma transfor-mao de simetria do poliedro que transforme o vrticeA no vrticeB, por exemplo. No portanto um arquimediano.Chama-se pseudorombicuboctaedro.

A

B

Uma outra categoria de poliedros que surge no perodo do renascimento e que so tambm estudadospor Kepler so os estrelados. Num mosaico de Ucello, existente na Catedral de S. Marcos, em Veneza,aparece-nos um exemplo de um slido desse tipo (fig. 20). Se examinarmos bem a figura, e considerar-

mos que a parte escondida simtrica da que se v, podemos intuir que esse poliedro se poderia obtera partir de um dodecaedro, colando nas suas doze faces outras tantas pirmides pentagonais regulares,cujas faces fossem tringulos equilteros. Construiramos assim o slido chamadopequeno dodecaedroestrelado (fig. 21).

Para compreendermos bem como se geram os slidos estrelados, torna-se conveniente comear por vero que so polgonos estrelados. Comparemos o que acontece quando prolongamos os lados de um tri-ngulo equiltero e os lados de um pentgono regular (fig. 22).

Figura 20. Mosaico de Ucello na catedral deS. Marcos, em Veneza (1420-1425).

Figura 21. Pequeno dodecaedro estrelado,primeira estrelao do dodecaedro.

Figura 22


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No primeiro caso, no podemos formar um novo polgono constitudo pelos lados prolongados, poiseles no se voltam a encontrar. Mas no caso do pentgono regular, os lados prolongados intersectam-se,e podemos portanto formar um novo polgono com cinco segmentos formados a partir dos lados pro-longados. Obtemos, de resto, o pentagrama dos pitagricos. um polgono no convexo, com cinco lados congruentes. Seconsiderarmos que regular o polgono de lados congruentese ngulos formados por pares de lados consecutivos tambmcongruentes, estamos perante um polgono regular.

Um polgono pode admitir mais do que uma estrelao. Nafigura 23 vemos como o heptgono admite duas estrelaes.

O processo de obter slidos estrelados anlogo ao dos pol-gonos. Se prolongarmos as faces de um dodecaedro, e consi-derarmos as suas interseces, obtemos a primeira estrelao

do dodecaedro, um poliedro chamado pequeno dodecaedro estrelado, que j representmos na figura21. Note-se que as faces do pequeno dodecaedro estrelado so pentagramas. Existem doze pentagramascomo faces, das quais so visveis seis na figura 21.

O dodecaedro admite ainda outras estrelaes. Se prolongarmos as faces (pentagramas) do pequenododecaedro estrelado, obtemos o grande dodecaedro, cujas faces em nmero de 12 so de novopentgonos regulares (fig. 24). Seis desses pentgonos so visveis na figura. Se fizermos ainda umanova estrelao, resulta um slido estrelado, o grande dodecaedro estrelado, novamente com 12 facesque so pentagramas. Est representado na figura 25, mas como se est a tornar evidente, a representa-o destes slidos complexos resulta mal a uma cor. Quando se pretende ficar com uma ideia de comoso estes slidos, a nica soluo observar um modelo, e de preferncia construi-lo.14

Nas trs figuras representando as estrelaes do dodecaedro, deve notar-se que para salientar as faces edistingui-las se utilizam vrias tonalidades de cor. Cada face pentgonos no grande dodecaedro epentagramas no pequeno e grande dodecaedros estrelados tem um tom. Deve tambm notar-se queas faces se intersectam, como j foi observado. Para interpretar estes slidos como verdadeiros polie-dros, essencial compreender quais so as faces, as arestas e os vrtices. Assim, no pequeno dodecae-dro estrelado, os lados dos pequenos tringulos equilteros no so arestas. As arestas so os lados das

Figura 23. Heptgono e assuas duas estrelaes.

Figura 24. Grande dodecaedro, segun-da estrelao do dodecaedro

Figura 25. Grande dodecaedro estrela-do, terceira estrelao do dodecaedro


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faces, e as faces so pentagramas, no so tringulos equilteros. Do mesmo modo, existem falsos vr-tices deste poliedro, que so os vrtices dos ngulos slidos concavos. Como no esto nas extremida-

des das arestas, no so verdadeiros vrtices do grande dodecaedro.Se contarmos correctamente as faces, os vrtices e as arestas dogrande dodecaedro e do pequeno dodecaedro estrelado, veremosque so em igual nmero em ambos os poliedros (12 faces, 12vrtices e 30 arestas). Quanto ao grande dodecaedro estrelado, tem12 faces, 20 vrtices e 30 arestas.

Um poliedro platnico que d origem a muitas estrelaes oicosaedro. Foi j neste sculo que Coxeter15 provou a existnciade 59 estrelaes do icosaedro. Muitos dos slidos obtidos nestasestrelaes do icosaedro no so verdadeiros poliedros, mas simslidos compostos, que estudaremos um pouco mais frente. Do

ponto de vista histrico, interessa-nos particularmente a 16estrelao do icosaedro, o chamado grande icosaedro, que repro-duzimos na figura 26, a partir de um desenho do livro de Cundy.As faces do grande icosaedro so tringulos equilteros, em n-mero de 20. Os vrtices so em nmero de 12 e as arestas so 30.

Os nove poliedros regulares

Que significa a palavra regular quando aplicada a um polgono? Que os lados e os ngulos entre ladosconsecutivos so todos congruentes. Embora normalmente se inclua implicitamente as condies de seremconvexos e de os lados no se intersectarem, estas condies no so formuladas explicitamente, emgeral. Assim, nada impede que um pentagrama seja um polgono regular. No caso dos poliedros, regu-

laridade significa que todas as faces so polgonos regulares congruentes e que todos os vrtices socongruentes (mesmo nmero de faces encontrando-se em cada vrtice). Se admitirmos que as faces podemser polgonos regulares generalizados (incluindo os pentagramas, por exemplo) e que se podem intersectar,os quatro poliedros obtidos por estrelao que acabmos de estudar (as trs estrelaes do dodecaedroe a 16 estrelao do icosaedro) so regulares.

O pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado foram descobertos por Kepler embora no haja indicaes de que Kepler os associou como regulares aos 5 platnicos. Em 1810, Poinsot(1777-1859) descobre os quatro estrelados, e existem indicaes de que Poinsot compreendeu que numcerto sentido estes quatro poliedros eram regulares. No existe no entanto a certeza que Poinsot noconhecesse a anterior descoberta de Kepler. Em qualquer caso, os quatro estrelados so conhecidos pelospoliedros de Kepler-Poinsot.

Assim, adoptando num sentido largo os conceitos de polgonos e slidos regulares, os trabalhos de Keplere Poinsot afirmam que existem pelo menos nove poliedros regulares. Pouco depois das descobertas dePoinsot, Cauchy provou, em 1813, que apenas podem existir nove poliedros regulares.

Descartes e os poliedros

A interveno de Descartes (1596-1650) na geometria do espao e na histria dos poliedros est ligadaa uma odisseia por que passou o livroDe Solidorum Elementis. O seu manuscrito ficou mergulhado noSena por trs dias, depois de um naufrgio, foi copiado por Leibnitz em 1676 e perdeu-se em seguidaat hoje. Entretanto a cpia de Leibnitz tambm se perdeu, sendo encontrada 200 anos depois emHannover, na Alemanha.

Descartes introduz a noo de dfice angularou desvio esfrico. (em ingls, angle defect).

Figura 26. O grande icosaedro.


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Um ponto no plano est rodeado, por assim dizer, por um ngulo de 360 ou 2. O mesmo acontece aum ponto sobre uma superfcie esfrica. Se pensarmos agora num vrtice de um poliedro, podemosconsiderar que ele est rodeado pela soma dos ngulos planos medidos nas faces que concorrem nes-se ponto. Se considerarmos apenas poliedros convexos (e certamente que, embora no o diga, era o queDescartes fazia), a soma dos ngulos planos num vrtice sempre inferior a 2. natural ento definir

como dfice angular a diferena = 2 (soma dos ngulos em torno do vrtice).

Por exemplo, nos vrtices do tetraedro o dfice angular 180 (trs ngulos planos de 60 em cadavrtice), enquanto no icosaedro o dfice angular em cada vrtice apenas 60. Como seria de esperar,

junto de cada um dos vrtices, o icosaedro est mais prximo de uma esfera do que o tetraedro. Ododecaedro ainda se aproxima mais de uma esfera (dfice angular em cada vrtice igual a 36 apenas). melhor do ponto de vista de rolar melhor construir um dado com um dodecaedro do que com

um icosaedro ou com um cubo.Um resultado importante descoberto por Descartes refere-se ao dfice angular total dos poliedros regu-lares. O d fice angular total de um poliedro a soma dos dfices angulares. Descartes prova no seulivro que

O dfice angular total de um poliedro regularigual a 4 .

Como de prever, a partir deste resultado, que impe uma condio forte para um poliedro ser regular, possvel demonstrar que existem apenas cinco poliedros convexos regulares.16

A frmula de Euler: V F A+ = 2

A controvrsia sobre a frmula de Euler a as sucessivas demonstraes e refutaes da sua validade

constitui por si s uma histria da geometria fascinante.17Numa carta a Christian Goldbach, em 1750, Euler refere-se sua descoberta de que num poliedroV F A+ = 2 , sendo V, FeA respectivamente o nmero de vrtices, faces e arestas do poliedro. Ini-cialmente, Euler fez extensas verificaes da sua conjectura, para diversos tipos de slidos prismas,pirmides, etc. e no apresentou nenhuma demonstrao, dizendo apenas que

Devo admitir em primeiro lugar que ainda no consegui uma demonstrao rigorosa deste teorema... Como,em todo o caso, a sua verdade foi estabelecida em tantos casos, no pode haver dvidas que verdadeiropara qualquer slido. Portanto a proposio parece satisfatoriamente demonstrada.18

Mais tarde, Euler apresenta uma demonstrao.19 No entanto, tal como Descartes e anteriormente Eu-clides, Euler no diz a que tipo de poliedros se est a referir. E no consegue apresentar uma demons-trao aceitvel.

=

2

3

=

3

=

2

=

5 =

dodecaedro icosaedro octaedro cubo tetraedro

Figura 27. O dfice angular num dado vrtice pode visualizar-se fazendo a planificao dasfaces do poliedro que concorrem nesse vrtice. Na figura apresentam-se os dfices angula-res, por ordem crescente, nos slidos platnicos.


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Este apenas o comeo da longa histria das provas e refutaes da frmula (ou teorema) de Euler.Matemticos como Legendre, Cauchy, Gergonne, Steiner, Von Staudt e outros menos conhecidos esti-veram envolvidos nesta longa polmica descrita no livro de Lakatos.

Um dos maiores motivos da controvrsia resulta da indefinio do termo poli-edro. Por vezes as demonstraes, como no caso da de Cauchy em 1813, pres-supunham que o poliedro era topologicamente equivalente a uma superfcieesfrica.20 Nesse caso, um simples contra-exemplo, como o da figura 28, bas-tava para invalidar a demonstrao e mesmo a generalidade com que era enun-ciado o teorema. V-se imediatamente que a frmula de Euler no vlida paraeste slido, pois V F A+ = + =16 16 32 0 . Quanto demonstrao apresen-tada por Cauchy, baseava-se na possibilidade de retirar uma face ao poliedro eem seguida deform-lo continuamente at o estender sobre uma superfcie plana, sem o rasgar. Ora nocontra-exemplo, que no topologicamente equivalente a uma superfcie esfrica (mas sim a um toro),tal no possvel. Tais contra-exemplos eram apelidados de monstros na poca, por no verificarema frmula de Euler.

Noutros casos, como na demonstrao de Legendre, o tipo de poliedros para os quais se fazia a de-monstrao poliedros convexos era demasiado restrito, pois a demonstrao era vlida para umaclasse mais larga de poliedros.

interessante observar a propsito que o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro noverificam o teorema de Euler.

Dualidade e slidos de Catalan

De acordo com J. Malkevitch, o primeiro estudo sistemtico da dualidade nos poliedros deve-se a E. C.Catalan, que num texto intitulado Mmoire sur la thorie des polydres, publicado em 1865, apresen-

ta a lista dos duais dos poliedros arquimedianos.21Uma unificao do conceito de dualidade que seja apropriado para uma categoria muito geral de polie-dros no est feita e ser mesmo porventura impossvel.22 Vamos limitar-nos a apresentar o conceito dedualidade para os poliedros convexos, e em particular para os platnicos e arquimedianos.

Qualquer slido platnico ou arquimediano pode ser inscrito numa superfcie esfrica. Se, no caso deum slido platnico, imaginarmos o plano tangente respectiva superfcie esfrica em cada um dosvrtices e se tomarmos esses planos como os planos das faces de um novo poliedro, este ser tambmplatnico. Se partirmos de um tetraedro, obtemos de novo um tetraedro. Se partirmos de um cubo, ob-temos um octaedro e vice-versa. Se partirmos de um dodecaedro, obtemos um icosaedro e vice-versa.Assim, dizemos que o cubo dual do octaedro (e vice-versa), que o dodecaedro dual do icosaedro (evice-versa) e que o tetraedro dual de si prprio, ou autodual. Note-se que se unirmos os pontos cen-

trais dos pares de faces adjacentes de um cubo obtemos tambm um octaedro. Os dois octaedros sosemelhantes, pois existem dilaes com centro no centro do cubo que transformam qualquer deles nooutro. Qual deles o dual do cubo? A pergunta no tem sentido, pois o conceito de dualidade no seaplica a poliedros concretos mas a classes de poliedros. O que podemos dizer que o dual do cubo(entendendo a palavra cubo como a classe de todos os cubos) o octaedro (entendendo por octaedro aclasse de todos os octaedros). Portanto os dois mtodos que apresentmos para encontrar o dual ser-vem para encontrar representantes do poliedro dual.

A mesma construo a partir dos planos tangentes, no caso dos arquimedianos, leva-nos aos poliedrosduais destes, os chamados slidos de Catalan. As faces no so polgonos regulares, mas so todascongruentes. Na figura 29 est representado um dos slidos de Catalan, o dual do cuboctaedro. As facesso 12 losangos e por isso se chama dodecaedro rmbico.

Figura 28


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Relacionados com os poliedros duais, aparecem os slidos com-postos. Podem tambm resultar de estrelaes. Por exemplo, daestrelao do octaedro surge a stella octangula, que encontrmosno incio do cap. III. Trata-se de um slido composto de doistetraedros, portanto pode tambm considerar-se como compostode um poliedro e do seu dual, numa posio especial. Podemosda mesma forma considerar o slido composto de um octaedro edo seu dual (o cubo), obtido colocando as arestas do cubo con-correntes com as do octaedro e perpendiculares no ponto mdio.A figura 30 mostra esse slido composto.

Como estrelaes do icosaedro podem obter-se vrios slidos compostos, como por exemplo o com-posto de 5 tetraedros (fig. 31). O slido comum a estes 5tetraedros um icosaedro.

Por outro lado, o slido envolvente dos 5 tetraedros um dode-caedro, do qual apenas indicmos na figura, a tracejado, o con-torno de uma das faces.

Poliedros no sc. XX. Deltaedros.Durante o sculo XX os poliedros continuaram a merecer a aten-o dos matemticos. O gemetra canadiano Coxeter alarga ain-da mais o conceito de regularidade, admitindo polgonos no pla-nos e com um nmero infinito de lados, estuda exaustivamenteas estrelaes do icosaedro, e publica a obra fundamentalRegu-lar Polytopes. Neste livro, os poliedros em espaos de dimen-ses maiores do que 3 so estudados sistematicamente.

Comea a ser estudada uma questo que em princpio deveriater merecido a ateno dos matemticos h mais tempo: quantos poliedros convexos, em que as facesso polgonos convexos regulares, existem? Em 1960 Norman Johnson conjectura que existem 92, alm

Figura 29. Dodecaedro rmbico, dualdo cuboctaedro.

Figura 30. esquerda est o slido composto do octaedro e do cubo, seu dual. Na figura do meio, vemoscomo a interseco do octaedro e do cubo, nesta posio, tem como resultado o cuboctaedro. Na figura dadireita vemos como o slido envolvente do slido composto o dodecaedro rmbico, dual do cuboctaedro.

Figura 31. Estrelao do icosaedro dan-do origem a um slido composto por 5tetraedros.


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dos platnicos e dos arquimedianos, incluindo os prismas e antiprismas regulares. Nove anos depois, aconjectura demonstrada por Johnson, Grnbaum e Zalgaller.23

Entretanto um resultado parcial tinha sido demonstrado em 1947 por Freudenthal e por van der Waerden:existem ao todo 8 poliedros convexos cujas faces so tringulos equilteros.24 Num livro publicado qua-tro anos depois Cundy e Rollett propem o nome de deltaedros para esta famlia de poliedros.25

Dos oito deltaedros, trs so bem conhecidos: o tetraedro, o octaedro e o icosaedro. Alm disso, doistetraedros unidos por uma face formam uma bipirmide triangular que um deltaedro , e se unir-mos pela base duas pirmides pentagonais cujas faces sejam tringulos equilteros obtemos mais umdeltaedro. Os trs restantes tm respectivamente 12, 14 e 16 faces. Os ltimos cinco esto representa-dos na figura 32.

Note-se que os deltaedros tm uma sequncia de faces iguais a 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 e 20. Deveriaportanto existir um deltaedro com 18 faces... Se contarmos os vrtices e as arestas, existe a mesma la-cuna que deveria ser preenchida pelo tal deltaedro que falta. Mas Freudenthal e van der Waerden prova-ram que esse tetraedo no existe.

NOTAS

1 Ver nota 6, pg. 54.2 Victor Katz,History of Mathematics, An Introduction. Esta Histria da Matemtica, recente e muito completa, que incluimuita informao sobre matemtica no europeia, geralmente considerada uma das melhores disponveis neste momento.3 O papiro de Moscovo, contm, como o de Rhind, uma coleco de problemas. De acordo com V. Katz, obra citada, foicomprado em 1893 por V. S. Golenishchev e vendido posteriormente ao Museu de Belas Artes de Moscovo.4 V. Katz, obra citada, pg. 3.5 Heath, A History of Greek Mathematics, vol. I, pgs. 327 a 329.6 Esta traduo faz parte de uma publicao em preparao (na Associao de Professores de Matemtica) sobre Poliedros,resultado de um conjunto de trabalhos sobre este tema escritos por professores participantes num Curso de Especializaorealizado em 1993 no Departamento de Educao da Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa. A traduo estavaincluda num dos dois trabalhos sobre slidos platnicos, da autoria de Maria Helena Cunha, Maria Irene Moreira, MariaIrene Segurado e Maria Manuel Marques. Os restantes trabalhos a integrar nessa publicao so: Slidos Platnicos(Fernanda Coelho, M. Julieta Silva, Teresa Arago), Poliedros Arquimedianos (Fernanda Cunha, M Antonieta Raposo, MDina Rego de Almeida, M Ftima P. de Almeida), A Famlia dos Deltaedros (M Rosrio Almeida, M Teresa Lopes,Raquel Escrcio), Prismas e Antiprismas e seus Duais (Ilda Lopes, Maria Fernanda Carvalho), Os Poliedros de Kepler-Poinsot e outros Poliedros e Slidos Estrelados (Helena Maria Paradinha, Maria Jos Boia, Maria Romana Reis) ePoliedros que Preenchem o Espao (Ana Vieira, Ftima Santos, Liseta Santos, Margarida Oliveira). Parte da inspirao doautor para escrever o presente texto sobre poliedros resulta desse ptimo conjunto de trabalhos, que se espera venham a serpublicados no futuro.7 Heath,Elements, vol. XIII, pg. 507.8 O livro em castelhanoEl Mundo de los Poliedros, de Gregoria Guilln Soler, publicado na coleco Matematicas: Culturay Aprendizaje, muito completo e pode servir de livro base para o estudo dos poliedros.9 Ver Gregoria Soler, obra citada, pgs. 126 e 127.

Figura 32


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10 No que diz respeito ao nome snub e sua traduo portuguesa, foi Kepler quem atribuiu nomes aos poliedros arquime-dianos, em particular o nome de simus (a palavra latina, de origem grega, para nariz achatado) a estes dois arquimedia-nos. A palavra snub deriva do termo latino (em ingls snub nose significa nariz achatado) Parece portanto apropriado

designar os dois slidos por cubo achatado e dodecaedro achatado. (informao fornecida por John Fauvel)11 Reproduzida a partir do livro The Science of Art, de Martin Kemp.12 Kemp, obra citada, pg. 54. O livro de Kemp trata longamente das relaes entre Drer e a geometria, e descreve emdetalhe o contedo do tratado de Drer Underweyssung der messung.13 Ver Milestones in the History of Polyhedra, uma contribuio de Malkevitch para o livro organizado por Senechal eFleck, Shaping Space, a polyhedral approach. Este texto de Malkevitch contm dados importantes sobre a histria dospoliedros, e foi seguido de perto nesta histria da geometria.14 Existem dois livros que podem apoiar a construo destes slidos, se o leitor est decidido a faz-lo. Trata-se deMathematical Models, de Cundy e Rollet, e Polyhedral Models, de Wenninger. A reproduo do grande icosaedro, na figura26, tirada do livro de Cundy, pois de mais difcil compreenso a uma cor.15 H. M. S. Coxeter um dos maiores gemetras do sc. XX, e grande impulsionador do estudo da geometria, em particulardos poliedros. De origem canadiana, e ainda vivo (em 1997), autor de numerosos livros de geometria, entre os quaisIntroduction to Geometry eRegular Polytopes, sendo o primeiro um tratado muito completo, abordando praticamente todosos temas principais da geometria, e o segundo um estudo exaustivo dos poliedros regulares de dimenso 3 e superior a 3(os chamadospolitopes).16 Kappraff, Connections, pgs. 273 a 275.17 O leitor interessado em conhecer esta histria no deve deixar de ler o livro de Imre Lakatos, Proofs and Refutations, TheLogic of Mathematical Discovery. Trata-se de um livro importante e controverso que expe, de modo brilhante, as ideias deLakatos sobre a natureza da descoberta e criao matemticas, opostas concepo da matemtica como acumulaopacfica de verdades estabelecidas. A primeira parte do livro passa-se numa aula de fico, em que sucessivas tentativas dedemonstrao da frmula de Euler so tentadas pelo professor e refutadas pelos alunos, num paralelo com a prpria histriaverdadeira, contada em notas de rodap.18 Ver Lakatos, obra citada, pg. 7, nota 2.19 Idem20 Idem, pg.8.21 Ver texto referido na nota 13 anterior.22 Texto de Grnbaum e Shephard, Duality of Polyhedra, in Senechal e Fleck, Shaping Space, a polyhedral approach .23 Malkevitch, texto referido na nota 13.24 Idem.25 Cundy, obra citada.

BIOGRAFIAS BREVES

Catalan, Eugne Charles (1814-1894). Matemtico belga, foi professor de geometria descritiva na cole Polytechnique, deonde tinha sido expulso como aluno anos antes, devido s suas ideias polticas de extrema esquerda. Trabalhou em fracescontnuas e em teoria dos nmeros. Como se refere no texto, estudou os duais dos poliedros arquimedianos, agora chama-

dos slidos de Catalan.Cauchy, Augustin-Louis (1789-1857). Matemtico francs conhecido pelos seus trabalhos em anlise (sries infinitas,equaes diferenciais), teoria das permutaes, probabilidades e fsica matemtica. Demonstrou, para um caso particular depoliedros, a frmula de Euler, e que o nmero mximo de poliedros regulares nove. Mantendo pssimas relaes com osseus colegas cientistas, so clebres os seus erros de apreciao dos trabalhos de Galois e de Abel.

Euclides (c. 365 - c 300 a.C.). Pouco se sabe sobre Euclides, excepto o facto de ter ensinado em Alexandria, no Egipto. conhecido pelosElementos e por outros livros desaparecidos na sua maior parte. Parte dos Elementos foram publicados emportugus em 1855, na Universidade de Coimbra, a partir da edio latina de Frederico Commandino, e esto disponveisna Internet em edio digital, no endereo http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/euclid/elem.html.

Eudxio (c.408 - 355 a.C.). Estudou medicina na ilha de Cnido, junto da sia Menor, onde nasceu. Em Atenas, frequentoua Academia de Plato, e estudou filosofia e matemtica. Segundo V. Katz (History of Mathematics, An Introduction) aEudxio que se deve ter tornado a astronomia uma disciplina matemtica, atravs da utilizao da geometria esfrica.


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Euler, Leonhard (1707-1783). Tendo nascido na Suia, Euler viveu e trabalhou durante muitos anos na Rssia, em S.Petersburgo, e depois em Berlim, na Academia das Cincias, durante vinte e cinco anos, e de novo na Rssia, onde morreucom 76 anos. Euler tem trabalhos importantes em muitas reas da matemtica, como a geometria, a anlise e a teoria dos

nmeros. Tendo cegado praticamente aos 31 anos, continuou a trabalhar at ao fim da vida, tendo sido o mais produtivomatemtico da sua poca.

Gergonne, Joseph Diaz (1771-1859). Oficial de artilharia e professor de matemtica francs, dedicou-se geometriaprojectiva, onde introduziu o princpio da dualidade. Apresentou uma soluo engenhosa para o problema das circunfernci-as tangentes de Apolnio (ver cap. II, pg. 95).

Kepler, Johannes (1571-1630). Kepler sobretudo conhecido pela sua descoberta de que as rbitas dos planetas so elipsese pelas trs leis sobre o movimento dos planetas, resultados publicados nas suas obrasAstronomia Nova (1609) eHarmonices Mundi (1619). So tambm importantes os seus trabalhos em geometria, nomeadamente em relao aospoliedros estrelados e de Kepler-Poinsot.

Pacioli, Luca (1445-1517). Frade franciscano, publicou em 1494 a Summa de Arithmetica, Geometrica, Proportioni etProporcionalita em dialecto toscano, livro que, segundo Victor Katz, no contm descobertas originais mas teve imensainfluncia devido sua expanso, pelo facto de ter sido um dos primeiros textos matemticos a ser impressos.

Poinsot, Louis (1777-1859). Matemtico francs, Poinsot estudou na cole Polytechnique e trabalhou no Bureau des

Longitudes. Em 1809 escreveu um trabalho importante sobre poliedros, descobrindo, independentemente de Kepler, osquatro poliedros estrelados que, juntamente com os cinco platnicos, constituem os nove poliedros regulares.

Teeteto (c. 415-c. 369 a.C.). Teeteto nasceu em Atenas e trabalhou em matemtica na Academia de Plato. Parece dever-sea ele a identificao e as propriedades de pelo menos parte (octaedro e icosaedro) dos poliedros platnicos, e de parte docontedo do vol. XIII dos Elementos de Euclides.

von Staudt, Carl Georg Christian (1798-1867). Matemtico alemo, publicou diversos trabalhos sobre geometria projectiva.

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