Guía 1 Mat Financiera

7/21/2019 Gua 1 Mat Financiera

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1

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACINPedagoga en MatemticaMatemtica Financiera.

GUA 1: POTENCIAS, RACES Y ECUACIONES EXPONENCIALES

POTENCIAS

Consideremos y . Definiremos como como:

Lo que llamaremos elevado a su ensima potencia donde a es la base y nel exponente.

Ejemplos:

Extenderemos ahora esta definicin para . En particular nos preocuparemos cuando (exponente negativo)

donde la definicin anterior simplemente no tiene sentido pues no podramos pensar que:

que simplemente sera algo "absurdo".Para este caso la definicin acertada ser

Ejemplos:

Propiedades de Las Potencias

1) ,2)

3)

4) ,5) 6) ,

7) ,

8)

9) 10)10.1)Si y n par, entonces10.2)Si y n impar, entonces

Definicin:

a

x

y= a

xy , a IR, x,y Z

Notacin cientficaUn nmero se escribe en notacin cientfica de la forma:

M xn10 donde M es un nmero entre 1 y 10; y n es un

nmero entero.

POTENCIAS Y NOTACIN CIENTFICA

I. Calcule el valor de las siguientes potencias.

1) 42 = 2)3

5 = 3) 27 = 4) 42 =5) 32 = 6) 35 = 7) 52 = 8) 43 =


2/14

2

9) 15 = 10) 5

3

2

=

11)

3

5

6

=

12)

2

2

3

=

13)

3

2

7

=

14)

1

3

2

=

15)

3

5

3

=

16)

2

7

4

=

II. En cada caso, calcule el valor de la expresin reduciendo a una sola potencia.1)

6

53

2

22

2)

64

73

66

66

3)

78

23

55

55

4)

810

29

88

88

5) 42

2143

2

22

6) 432

2324

55

55

7)

13

2

4

52

2

12

8)

22

1

34

5

9)

2132

435

22

10)

4

1

3

2

2

1

2

2

4

15

11)

33

22

22

3

2

3

1

12)

22

222

202,02

103,03

1

13)

22

23

32

22

12

21

52

72

24

15

42

32

14)

1221

2

3

3

12:

3

2

2

1 15)

2

212

73

29:

4

1

3

15

III. Los siguientes nmeros estn escritos en notacin cientfica. Escrbalos en notacin estndar (normal).1) 65,7 x 510 2) 5,2 x 110 3) 61,2 x 610

4) (2,52 x 210 ) : (4,2 x 310 ) 5) (6 x 410 ) (2,2 x 310 ) 6) (3,2 x 210 ) : (0,16 x 410 )

IV. Escriba los siguientes nmeros en notacin cientfica.1) 93.000.000 2) 7.281,3 3) 0,000047

4)

8.100.000 x 6.500.000 5)

2 : 5.687.945.122 6)

2.540.000 x 1.900.000

V. PROBLEMAS DE APLICACIN

1) Una camioneta de reparto, entrega en 6 almacenes elmismo pedido durante una semana. 6 cajas con 6

bebidas cada una, 6 veces a la semana. Cuntas

bebidas reparte en una semana?

2) A un cubo de arista 4 le aumentaron los lados al doble.a) Cul es el volumen del cubo de arista 4?b) Cul es el volumen del nuevo cubo?c) En cuntas veces aumenta el volumen?Volumen del cubo = a 3, con a : medida de la arista

3) Cmo se puede expresar como potencia el siguiente

enunciado?

Pedro camina la cuarta parte de la cuarta parte de lacuarta parte del viaje que hace en bus

4) Una bacteria cada una hora se reproduce 10 veces ms

que la hora anterior.

a) Cuntas bacterias hay al cabo de 4 horas?b) Si se tienen 10 millones de bacterias Cuntas haba

en la hora anterior?5) La velocidad de la luz puede medirse al dividir la

distancia desde el Sol a la Tierra (1,47 x 10 11 metros),con el tiempo que le toma a la luz del Sol llegar a laTierra (4,9 x 10 2segundos). Por lo tanto la velocidad dela luz es:

2

11

109,4

1047,1

. A cuntos metros por segundo

equivale esta expresin?

6) La fisin nuclear se utiliza como fuente de energa Sabe cunta energa proporciona un gramo de uranio

235?, la respuesta es235

107,4 9 Kilocaloras. Escrbalo en

notacin cientfica.


3/14

3

I. POTENCIAS ALGEBRAICAS


4/14

4

II. RACES

Definicin:

a

x

y= a

xy , a IR, x,y Z

PROPIEDAD EJEMPLO

I. Utilizando las propiedades: baba ;b

a

b

a y

bb

11 , estima las races dadas; sabiendo que: (sin usar

calculadora) 4142,12 ; 7321,13 ; 2361,25 y 6458,27

1) 9 2) 12 3) 16 4) 20 5) 27 6) 28 7) 36 8) 45 9) 48 10) 49

11) 50 12) 6 13) 15 14) 14 15) 42 16) 120 17) 5,0 18) 25,0

19)3

1 20) 125,0

II.

Cunto vale 7512 con tres decimales? Sin calculadora, usando los valores dados en (ejer. I)

Escribe en forma exponencial las expresiones siguientes:

1. 2x =

2. b3 4

=

3. mx3 =

4. =4 52yx

5. bca5 33

=

RAIZ DE UNA POTENCIA CON EXPONENTE IGUAL AL INDICE:

( ) a=a=n

nn n

a

Ej.: ( ) 77 55 =

RAIZ DE UN PRODUCTO:

nn b= aban

Ej.: 2824 333 ==

RAIZ DE UN CUOCIENTE:

n

n

n

b

a

b

a=

Ej.: 5252

50

2

50===

RAIZ DE UNA RAIZ:

nmn m aa =

Ej.: 26464 63 ==

AMPLIFICACION Y SIMPLIFICACION DEL INDICE DE UNA RAIZ:

np mpn m aa = pn pmn m aa: :

=

Ej.: 52525255:10 5:510 5

===

FACTOR DE UNA RAZ

n nn baba =

Ej.: 182323 2 ==


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5

III. Es cierto que baba ?

IV. Don Juan, que es algo patriarcal, regala a su primognito Sebastin un terreno agrcola de 900 m por 1600 m. Cuandosu hija Leonor reclama, le dice: Bueno, te regalo tambin a ti un terreno, de la misma rea que a Sebastin, siempre

que t elijas las dimensiones, largo y ancho, de modo que te cueste menos cerrarlo que a tu hermano el suyo. Leonor

piensa un instante y elige las dimensiones ptimas, de modo que el costo del cierre sea el mnimo posible. Cules sonlas medidas que escogi Leonor?

V.

Calcula las siguientes races de nmeros positivos y negativos, sin calculadora.

1) 7128

1 2) 3

8

5123) 3 27 4) 5 00032,0 5) 3 064,0

VI.

Aplica las propiedades de las races y potencias para reducir las expresiones:

1) 53 2) mm abaa 132 3) ba 5 4) 55 273

5)2

1

3

4 6) 2222 7)

nmnm

122 8) 2yx

9) 2

126 x 10) 2

22 xx 11) 232

3xx aa 12) 13552

13) xx aa 3113 23 14) 772a

m

2

m

a 15) 2232

VII.

Efecta las siguientes operaciones:

1) 38

71

12

7

4

32

5

4

2)

13

2

15

7

3

2

2

1

15

4

3

5

3

26

5

26

3) 32333 27:3913211

4)5 33 3 64168813212125

5) 2562711002 235

15

6)

1

2

12

1

2

1

5

5

6

36

1

4

11

3

1:

5

21

210

1

2

1

2

1

4

3

2

12

212

VIII. Efecta los siguientes productos; deja el resultado simplificado


6/14

6

1) 2182 2) 23223 3) 732732 4) nx

n xn

x

m

m

m

36

2

5

1 e)

IX.

RACES ALGEBRAICAS

Calcular el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las races y de las potencias. ( Suponer todas lascantidades sub-radicales positivas)

1)

ba

baba

ba

ba 2222 2: ba 2)

2222 2

1

2

1

yxyxyxyx

3) 4 xy 12

1

x

4)4

22

a

aa

5)3 4 3

x 6 x x 6) 53

6 64

13

z

zz : 60 z 7)

n

n

nn

1

21

41

3

399

8) 22222 9) )1()1()1( xxx 10)4 4913

4 175

ayx

yxa

4 55

4 94

yxb

xyb

11)

4

22

2

ba

b abb

ba

x

x

x 12)

5,1

3

2

3

b

a:

2

12

6 35,0

ca

ba 13)

3 21663216632

yxxyxxx

yx

14)

6

2/1

3/12

3/1

2/1

4 1

3

b

a

a

b

b

a 15) nnn 4629 16)

c

b

a

bc

b

ac

b

ca

c

ba

c

ab

464

5

4

3

32

2

: 322

bc

ba

II.- DETERMINA EL CONJUNTO EN EL CUAL LAS RACES SEAN REALES :

Aplicacin de 0 xIRx

1. 1x

2. 12 +x

3. x21

4.3

1

x

5.1

1

+

x

x

6.

5

2

x


7/14

7

8.

3-2

3+2=

9.

35

25=

+

10.

2253

32 =

11. =b-a

b+a

17)

4

31

5

221

221

xy

yx

xy

yx 18) )

2

4

46

13

2

ab

ba:

ab

ba

19)

3

1

43

4

3

1

3

1

2

1

:: xaxxa 20)

a

aa

n n

n

n

n2

112

=

ECUACIN EXPONENCIALUna ecuacin exponencial es aquella ecuacin en la que la incgnita aparece en el exponente. Pararesolver una ecuacin exponencial vamos a tener en cuenta:

1. a > 0 , a 1

2.ax1 = ax2

x1=x2

Caso 1Realizar las operaciones necesaria para que en los miembros tengamos la misma base, de modo quepodemos igualar los exponentes.

ax1 = ax2 x1=x2

Ejemplos

RACIONALIZA LOS DENOMINADORES :

1. =3

5

2. 23

2 =

3. =3 3

3

. =ab

ba

5.ab

a3

=

6. =m

mn4 3

n

12.

13.

14.


8/14

8

1) 22x 1 = 4

22x 1 = 22 2x 1= 2 x=3

2

2)

3x 3

2x 1= 3

3

2

x 3

2x 1=

3

2 x=

3

4

3)

2x+1 +2x +2x 1 = 28

2x 2+2x +2x

2= 28

2x 2+1+1

2

= 28

2x 7

2= 28

x=

3

Caso 2Si tenemos la suma de los n trminos de una progresin geomtrica, aplicamos la frmula:

Sn=anr a1

r 1

Ejemplo 1

1+2+ 4+8+...+2x =1023

2x 2 1

2 1=

1023

2x = 29

x= 9

Ejemplo 2

22x+1 32x +1= 0

En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar lassumas o restas de los exponentes.

22x+1

32x

+1= 0

Posteriormente realizamos el cambio de variable:

2x= t y 22x = 2x( )

2

Resolvemos la ecuacin y deshacemos el cambio de variable.


9/14

9

2t2

3t+1= 0

t1=

1

2 2x =

1

2 x1= 1

t2=1 2x=1 x1= 0

Ejemplo 3

2 3x+3

x+1= 0

2 1

3x+ 33x = 0

3x = t

2

1

t+3 t= 0

3t2 + 2t

1= 0t1

= 1 3x = 1 sin solucin

t2=1

3 3x =

1

3x= 1

I. Resolver las siguientes ecuaciones y comprobar las soluciones obtenidas:

a)4

14 x g) 39 1 x m) 422 xx

b) 82 1 x h) 12.4 1 xx n)2

333.

2

1 xx

c) 273.9 x i) 03

13.27 2 x o) 0

25

655 1 xx

d)

x

x

2

3

127

j) 42.8 x p)

4

922 3 xx

e) xx 21 42 k) xx 332 93.27 q) 013 13 x

f) 8132 x l)16

12

1 x r)4

19222 13 xxx

II.

Hallar x en las siguientes ecuaciones:

a) 0142.522 xx e) 32024 31 xx

b) 0255.745.3 2 xx f) 9039 21 xx

c) 0377.57.2 12 xx g) 1446.336 12 xx

d) 82.82.5 212 xx h) 432.34.5 13 xx


10/14

10

LTIMOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR.


11/14

11

ECUACIONES IRRACIONALES

Las ecuaciones irracionales son aquellas igualdades en las que intervienen races y cuya incgnita formaparte de una o ms cantidades subradicales.

Ejemplo de ecuaciones irracionales : ; ;

Al resolver una ecuacin irracional debemos elevar miembro de ella una o ms veces a las potencias quecorrespondan para eliminar sucesivamente las races que contienen la incgnita.

Ejemplo: 1) Resolver

Elevemos al cuadrado la ecuacin

Adicionemos a cada lado 5 / +5

Amplifiquemos por 1/2 y obtenemos el resultadoComprobemos en la ecuacin original


12/14

12

Por lo tanto x = 27 satisface la ecuacin, es decir, es su raz o solucin.


Primero aislamos una de las races

Elevemos al cuadrado la ecuacin

Desarrollemos los cuadrados

Aislemos la raz.

Elevemos al cuadrado

Nos queda

Multiplicamos termino a termino

Despejamos la incgnita restando 288 / - 288

Nos queda /

Amplificamos por 1/144 y obtenemos

Comprobemos en la ecuacin original

Por lo tanto satisface la ecuacin, es decir, es su raz o solucin.


13/14

13


Amplificamos por /

Obtenemos

Al despejar y sumar se tiene

Elevamos al cuadrado

Adicionamos 3 a cada lado para despejar X

Obtenemos

Comprobemos en la ecuacin original

Por lo tanto NO satisface la ecuacin, es decir, NO es raz o NO es solucin.

EjerciciosInstrucciones: Desarrolle las siguientes ecuaciones irracionales aplicando las propiedades de las racesque corresponda.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)


14/14

14

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

31) 32)

33) 34)

Bibliografa disponible en Biblioteca Osorno

N PEDIDO 650.01513 M664c 2008

Ttulo Curso de matemtica financiera/ Javier Miner AranzbalAutores Miner Aranzbal,JavierEdicin 2a. ed.Pie de imprenta Madrid : McGraw-Hill , 2002Referencias: $nreferencias 907

Libros que se deben descargar

Matemticas Financieras3era. Edicin Jos Luis Villaloboshttp://es.slideshare.net/kmerejo/matematicas-financieras-3ra-edicion-jose-luis-villalobos

Matemticas Financieras, para la toma de decisiones Empresarialeshttp://matematicasfinancierascag.blogspot.com/p/libros-gratis.html

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