Gottlob Frege OSNOVE ARITMETIKE i drugi spisi · PDF fileGottlob Frege OSNOVE ARITMETIKE i drugi spisi Odabrali i preveli Filip Grgić Maja Hudoletnjak Grgić Ova je knjiga tiskana

Gottlob Frege

OSNOVEARITMETIKEi drugi spisi

Odabrali i preveliFilip Grgić

Maja Hudoletnjak Grgić

Ova je knjiga tiskana uz potporuMinistarstva znanosti i tehnologijeRepublike Hrvatske

RecenzentiSREĆKO KOVAČZVONIMIR ŠIKIĆ

SADRŽAJ

Za izdavača KRUNOZAKARIJA

Tisak»M&D« - ZAGREB

Sva prava pridržana. Niti jedan dio knjige ne smije se reproduciratibez prethodnoga dopuštenja izdavača, osim u slučajevima kratkihnavoda u stručnim člancima. Izrada kopija bilo kojeg dijela knjige ubilo kojem obliku predstavlja povredu zakona.

CIP - Kataloglzacija u publikacijiNacionalna i sveučilišna biblioteka. Zagreb

UDK 164510.21

FREGE, GottlobOsnove aritmetike i drugi spisi / GottlobFrege ; odabrali i priredili Filip Grgić... [et.ai]. - Zagreb : Kruzak. 1995. - 231 str. 21cm

Prijevod djela: Die Grundlagen derArithmetik. - Kazala

ISBN 953-96477-0-3

950605108

Predgovor 7

Osnove aritmetike.Logičko-matematičko istraživanje pojma broja 9

Funkcija i pojam 139

Ο smislu i značenju 167

Ο pojmu i predmetu 195

Što je funkcija? 213

Bilješka ο tekstovima 225

Stvarno kazalo 227

Imensko kazalo 231

ISBN 953-96477-0-3

PREDGOVOR

N a s l o v i z v o r n i k aGottlob Frege

DIE GRUNDLAGEN DER ARITHMETIKEine logisch mathematische Untersuchung

über den Begriff der ZahlCenterausgabe

Mit ergänzenden Texten kritisch herausgegeben von Christian ThielFelix Meiner Verlag. Hamburg 1986.

Gottlob FregeFUNKTION. BEGRIFF. BEDEUTUNG

Fünf logische StudienHerausgegeben von Günther Patzig

6. AuflageVandenhoeck & Ruprecht. Götüngen 1986.

Copyright © za njemačko izdanjeGnindlagen der Arithmetik: Felix

Meiner Verlag, Hamburg 1986.

Copyright © za hrvatski prijevod: FilipGrgić & Maja Hudoletnjak Grgić & »Kruzak«

Unatoč širokoj važnosti Fregeova djela te njegovu ogrom-nom utjecaju na suvremenu filozofiju, logiku i matematiku.Fregeovi su spisi u nas prevođeni iznimno malo. Stoga jeosnovna namjera ove knjige u tome da omogući hrvatskomčitatelju neposredno upoznavanje s Fregeovim pogledima nafilozofiju matematike, teoriju značenja, neke logičke ifilozofske probleme itd. Što su sabrani u radovima koje ovdjeobjavljujemo.

U teksiu prijevoda Fregeove vlastite bilješke označavali smobrojkama, dok smo napomene prevodilaca označavalizvjezdicom te stavljali u uglate zagrade. Intervencije urednikaizdanja kojima smo se koristili. Ch. Thiela i G. Patziga, nismounosili, nego smo samo prešutno preuzimali njihove ispravkeponekih navoda stranica djela što ih Frege spominje. Na koncusmo dodali imensko i stvarno kazalo (u kojemu smo uz pojedinihrvatski izraz stavili i odgovarajući njemački), za koje senadamo da će olakšati razumijevanje.

Prvotnu verziju prijevoda pregledali su. pogreške ispravili tepoboljšanja predložili prof. dr. Zvonimir Šikić i dr. SrećkoKovač, kojima se i ovom se prilikom najsrdačnijezahvaljujemo.

U Zagrebu, svibnja 1995.

F. G. M. H. G.

Osnove aritmetikeLogičko-matematičkoistraživanje pojma broja

Sadržaj

Uvod 13

I. Mnijenja nekih pisacaο naravi aritmetičkih stavaka 26

Mogu li se brojevne formule dokazati? 26Jesu li zakoni aritmetike induktivne istine? 32Jesu li zakoni aritmetikesintetički apriorni ili analitički? 37

II. Mnijenja nekih pisaca ο pojmu broja 44Je li broj svojstvo izvanjskih stvari? 46Je li broj nešto subjektivno? 52Broj kao skup 56

III. Mnijenja ο broju jedan i jedinici 57Izražava li brojka "jedan" svojstvo predmeta? 57Jesu li jedinice međusobno jednake? 62Pokušaji prevladavanja poteškoće 69Rješenje poteškoće 75

IV, Pojam broja 83Svaki je pojedini broj samostalan predmet 83Da bismo došli do pojma broja, moramo utvrditismisao brojevne jednakosti 89Dopuna i dokaz održivosti naše definicije 97Beskonačni brojevi 114

V. Zaključak 117Drugi brojevi 121

UVOD

Na pitanje što je broj jedan ili što znači znak 1 najčešćećemo dobiti odgovor: jednu stvar. A ako tada upozorimo na toda rečenica

"broj jedan je jedna stvar" ["die Zahl Eins ist ein Ding"]

nije definicija, jer se na jednoj strani nalazi određeni član, a nadrugoj neodređeni, da ona kaže samo to da broj jedan pripadastvarima, ali ne kaže koja je to stvar, onda će se od nas moždazahtijevati da izaberemo neku stvar koju hoćemo nazvatibrojem jedan. No kad bi svatko imao pravo pod tim imenomrazumjeti što hoće. tada bi isti stavak ο broju jedan za različiteljude značio različito; ne bi bilo zajedničkoga sadržaja takvihstavaka. Neki možda to pitanje odbacuju upućujući na činjenicuda u aritmetici ne može biti navedeno ni značenje slova a; a kadbi se reklo kako α znači neki broj, tada bismo u tome mogli naćiistu pogrešku kao i u definiciji "jedan je jedna stvar". Odbaci-vanje pitanja u pogledu α posve je opravdano: a ne značiodređen broj, broj koji se dade navesti, nego služi tome da seizrazi općenitost stavaka. Ako z a a u a + a-a = a postavimobilo koji. ali posvuda isti broj, onda uvijek dobivamo istinitujednakost, U tom se smislu upotrebljava slovo a. Ali u slučajubroja jedan stvar je ipak bitno drukčija. Možemo li u jednakosti1 + 1 = 2 za 1 na oba mjesta staviti isti predmet, recimoMjesec? Naprotiv, čini se da za prvi 1 moramo staviti neštodrugo nego za drugi. Zašto se ovdje mora dogoditi upravo onošto bi u onome slučaju bila pogreška? Aritmetici samo slovo αnije dostatno; ona mora upotrijebiti i druga slova - b, c itd. - dabi općenito izrazila odnose između različitih brojeva. Tako bitrebalo misliti da ni znak 1. kad bi na sličan način služio tomeda se stavcima dade općenitost, ne bi mogao bili dostatan. None izgleda li broj jedan poput određena

14 OSNOVE ARITMETIKE UVOD 15

predmeta s navedivim svojstvima, npr. da pomnožen sa samimsobom ostaje nepromijenjen? U tome se smislu o a ne moženavesti nikakvo svojstvo; jer ono što se iskazuje o a jestzajedničko svojstvo brojeva, dok 1 = 1 ne iskazuje ništa ni oMjesecu ni o Suncu ni o Sahari ni Rtu od Teneriffa; jer što bimogao biti smisao takva iskaza?

Na takva pitanja ni većina matematičara neće imati zado-voljavajući odgovor. Nije li za znanost sramotno da je takonejasna u pogledu svojega najbližega i naizgled tako jedno-stavnoga predmeta? Tim će se manje moći kazati što je broj.Ako pojam koji leži u osnovi neke velike znanosti zadajeteškoće, onda je ipak zacijelo neodgodiva zadaća da ga točnijeistražimo i da te teškoće prevladamo, naročito stoga što bi sesve dok je uvid u osnove cijele zgrade aritmetike manjkav teškomoglo uspjeti doći do pune jasnoće u pogledu negativnihbrojeva, razlomaka i kompleksnih brojeva.

Naravno, mnogi to neće smatrati vrijednim truda. Pojam okojemu je riječ, kako oni misle, u elementarnim je priručnicimadovoljno obrađen i time zauvijek riješen. Jer tko vjeruje damože još nešto naučiti o tako jednostavnoj stvari? Drži se kakoje pojam pozitivnoga cijeloga broja tako lišen svake teškoće dase može smatrati znanstveno iscrpljenim prikazima za djecu i dasvatko bez daljnjega razmišljanja i bez upoznatosti s onim štosu drugi mislili može s njim izići na kraj. Jer tako čestonedostaje onaj prvi preduvjet učenja: znanje o neznanju.Posljedica je to da smo još uvijek zadovoljni s grubimshvaćanjem, iako je već Herbart naučavao ispravnije. Žalosnoje i zastrašujuće što na taj način uvijek iznova prijeti gubitakspoznaje koja već bijaše zadobivena, što tako mnogi rad čini seda postaje uzalud-

1 Sämmtliche Werke, herausgegeb. von. Hartenstein, sv. X. 1. dio. Umrisspädagogischer Vorlesungen. § 252. b. 2: "Dva ne znači dvije stvari, negoudvostručivanje" itd.

nim, jer se u umišljenome bogatstvu ne smatra nužnimprisvajati njegove plodove. I ovaj je rad, dobro znam, izložentakvoj opasnosti. Kada se računanje nazove agregativnim,mehaničkim mišljenjem, tada susrećem onu sirovost shvaćanja.2

Sumnjam da takvo mišljenje uopće postoji. Prije bi se moglodopustiti agregativno predočivanje; ali za računanje je ono bezznačenja. Mišljenje je u biti posvuda isto; ne uzimaju se u obzirrazličite vrste zakona mišljenja prema njihovu predmetu.Razlike postoje samo u većoj ih manjoj čistoći i neovisnosti opsihološkim utjecajima i o vanjskoj pomoći mišljenju, kao štosu jezik, brojke i si., zatim možda još u finoći građe pojmova;no upravo s obzirom na to matematiku ne bi mogla nadmašitinijedna znanost, pa ni sama filozofija.

Iz ovoga će se spisa moći razabrati kako i naizgled navlastitomatematički zaključak, kao onaj od n na n + 1, počiva na općimlogičkim zakonima, kako ne potrebuje posebne zakoneagregativnoga mišljenja. Naravno, brojke se moguupotrebljavati mehanički, kao što se može papagajski govoriti,ah to bi se teško moglo nazvati mišljenjem. To je moguće samonakon što je zbiljskim mišljenjem matematički znakovni jeziktako oblikovan da on, kako se kaže, misli za nas. To nedokazuje da su brojevi oblikovani na posebno mehanički načinkao što je. recimo, hrpa pijeska oblikovana od zrnaca bjelutka.Mislim da je u interesu matematičara da se suprotstave takvunazoru, koji može umanjiti vrijednost poglavitoga predmetanjihove znanosti, a time i nju samu. Ali i kod matematičaranalazimo posve slične tvrdnje. Nasuprot tome, pojmu brojatrebat će se priznati finija građa negoli je grada većine pojmovadrugih znanosti, iako je on još jedan od najjednostavnijiharitmetičkih pojmova.

2 K. Fischer. System der Logik und Metaphysik oderWissenschaftslehre. 2. izd.. § 94.

16 OSNOVE ARITMETIKE

Da bismo opovrgnuli zabludu kako u odnosu na pozitivne cijelebrojeve zapravo uopće ne postoje nikakve poteškoće, nego da vladaopća suglasnost, učinilo mi se da je dobro raspraviti o nekimmnijenjima filozofa i matematičara o pitanjima koja ovdjerazmatramo. Vidjet ćemo kako se može naći malo suglasja, tako da sepojavljuju upravo suprotne tvrdnje. Jedni kažu npr. "jedinice su me-đusobno jednake", drugi drže kako su različite, a i jedni i drugiimaju razloge za svoju tvrdnju koji se ne daju jednostavnoodbiti. Time želim pobuditi potrebu za točnijim istraživanjem.Ujedno želim prethodnim rasvjetljenjem nazora što su ih izreldidrugi utrti put svojemu vlastitu shvaćanju, čime se unaprijedpotvrđuje da oni drugi putovi ne vode cilju i da moje mnijenjenije jedno od mnogih jednako opravdanih, a tako se nadam daću pitanje, barem u glavnini, konačno riješiti.

Naravno, moji su izvodi time zacijelo postali filozofskijimnego što se mnogim matematičarima može činiti prikladnim; notemeljito istraživanje pojma broja uvijek će morati ispastiponešto filozofsko. Ta je zadaća zajednička matematici ifilozofiji.

Ako zajednički rad tih znanosti, unatoč pokojim zamasima sobje strane, nije tako uspješan koliko bi se željelo i koliko bibilo moguće, onda je tome razlog, kako mi se čini, uprevladavanju psiholoških načina razmatranja u filozofiji, a kojiprodiru čak i u logiku. Matematika s tim usmjerenjem uopćenema dodirnih točaka i stoga se lako dade objasniti nenaklonostmnogih matematičara filozofskim razmatranjima. Kada npr. B.Stricker3 predodžbe brojeva naziva motoričkima, ovisnima omišićnim oćutima. tada matematičar u tome ne može prepoznatisvoje brojeve i s takvim stavom ne može započeti ništa.Aritmetika koja bi se osnivala na mišićnim oćutima sigurno bibila prilično

3 Studien über Association der Vorstellungen, Wien. 1883.

UVOD 17

čuvstvena, ali bi, isto kao i njezine osnove, ispala neodređena.Ne, s čuvstvima aritmetika uopće ne može ništa napraviti. Istotako, ne može napraviti ništa ni s nutarnjim slikama koje susastavljene iz tragova ranijih osjetilnih dojmova. Ono nestalno ineodređeno što posjeduju sve te tvorevine u snažnoj jesuprotnosti s određenošću i čvrstoćom matematičkih pojmova ipredmeta. Moglo bi biti korisno razmotriti predodžbe i njihovumijenu koja se pojavljuje pri matematičkome mišljenju; no nekasi psihologija ne umišlja da može bilo što pridonijeti zasnivanjuaritmetike. Matematičar kao takav ravnodušan je prema timnutarnjim slikama, njihovu nastanku i preinaci. Stricker samkaže kako si kod riječi "sto" ne predočuje ništa više doli znak100. Drugi si mogu predočiti slovo C ili nešto drugo; neproizlazi U iz toga kako su te nutarnje slike u našemu slučaju zabit stvari potpuno nevažne i slučajne, slučajne kao i crna ploča ikomad krede, kako one uopće ne zaslužuju da se zovupredodžbama broja 100? Bit se stvari u takvim predodžbamaipak ne vidi. Neka se za definiciju ne uzima opis nastanka nekepredodžbe, a za dokaz neka se ne uzima navođenje duševnih itjelesnih uvjeta za to da nam neki stavak dođe do svijesti i nekase pomišljenost nekoga stavka ne zamijeni s njegovom istinom!Moramo se, kako se čini, podsjetiti na činjenicu kako stavak neprestaje biti istinit kada na nj više ne mislim, isto kao što niSunce ne nestaje kada zatvorim oči. Inače dolazimo i do toga dase kod dokaza Pitagorina poučka mora uzeti u obzir fosfornisadržaj našega mozga i da se astronom svoje zaključke bojiprotegnuti na davno prošla vremena da mu se ne bi prigovorilo:"Ti sad računaš 2 • 2 = 4; ali predodžba broja posjeduje razvoj,povijest! Može se sumnjati je li ona već i u prošlo doba bilatakva. Po čemu znaš da je u onoj prošlosti taj stavak većpostojao? Nisu li tada živuća bića mogla imati stavak 2 • 2 = 5,iz kojega se tek prirodnim izlučivanjem u borbi za opstanakrazvio stavak 2 • 2 = 4 koji je sa svoje strane možda


određen za to da se na istome putu dalje razvije u 2 • 2 = 3?" Estmodus in rebus, sunt certi denique finesi Povijesni načinrazmatranja, koji želi osluškivati nastajanje stvari i iz nastajanjaspoznati njihovu bit, sigurno ima veliko opravdanje; no ima isvoje granice. Kad u jednome tijeku svih stvari ne bi ostaloništa čvrsto, vječno, nestalo bi spoznatljivosti svijeta i sve bi sesručilo u metež. Misli se. kako se čini, kako pojmovi upojedinoj duši nastaju poput listova na drveću i kako se njihovabit može spoznati tako da se istraži njihov nastanak i da sepokušaju psihološki objasniti iz naravi ljudske duše. No toshvaćanje sve pomiče u ono subjektivno te na koncu dokidaistinu. Ono što se naziva poviješću pojmova ili je povijest našespoznaje pojmova ili je povijest značenja riječi. Velikimduhovnim radom, koji može trajati stoljećima, uspijeva se čestotek spoznati pojam u njegovoj čistoći, izvaditi ga iz tuđe ljuskekoja ga skriva od duhovnih očiju. Što treba reći o tome kadanetko umjesto nastavljanja toga rada. gdje on još ne izgledadovršenim, drži taj rad ništetnim, odlazi u dječju sobu ili seuživljava u najstarije zamislive razvojne stupnjevečovječanstva, da bi tamo, poput J. S. Milla. otkrio recimoaritmetiku paprenjaka ili oblutaka! Nedostaje još samo to da sedobrome okusu kolača pripiše posebno značenje za pojambroja. To je ipak upravo suprotno umnome postupanju i usvakome slučaju onoliko nematematički koliko je to moguće.Nije čudo da matematičari o tome ne žele ništa znati! Umjestoda posebnu čistoću pojmova nađemo tamo gdje vjerujemo dasmo blizu njezina izvora, sve gledamo razliveno i nerazlučenokao kroz maglu. To je kao kad bi se tkogod, da bi upoznaoAmeriku, htio vratiti u Kolumbov položaj kada je on ugledaoprvi dvojbeni svjetlosni obris svoje navodne Indije. Naravno,takva usporedba ništa ne dokazuje, no nadam se da pojašnjavamoje mnijenje. Štoviše, može biti da je povijest otkrića umnogim slučajevima korisna kao priprema za daljnjaistraživanja: no ona ne može stupiti na njihovo mjesto.

Što se tiče matematičara, opovrgavanje takvih shvaćanjajedva da bi bilo potrebno. Ah budući da bih razmotrena spornapitanja, koliko je to moguće, želio ponuditi za raspravu ifilozofima, bio sam prinuđen malo se upustiti u psihologiju,makar samo toliko da se osvrnem na njezino upadanje umatematiku.

Uostalom, i u matematičkim se priručnicima pojavljujupsihološki izričaji. Kada se osjećamo obvezanim ponuditidefiniciju, a da nam to nije moguće, tada želimo barem opisatinačin kako se dolazi do dotičnoga predmeta ili pojma. Tajslučaj lako prepoznajemo po tome što u daljnjemu tijeku višenikada ne posižemo za takvim objašnjenjem. Za svrhe učenjatakvo je uvođenje u stvar posve na mjestu, samo bismo gatrebali uvijek jasno razlikovati od definicije. Da i matematičarimogu zamijeniti dokazne razloge s nutarnjim ili izvanjskimuvjetima izvođenja dokaza, za to je E. Schröder4 dao jedanzabavan primjer, nudeći pod naslovom "Jedini aksiom"sljedeće: "Princip na koji mislim zacijelo bi se mogao nazvatiaksiomom inherencije znakova. On nam daje sigurnost za to dapri svim našim razvojima i zaključivanjima znakovi čvrsto stojeu našemu pamćenju - no još čvršće na papiru" itd.

Koliko matematika mora zabraniti svaku pripomoć od stranepsihologije, toliko malo ona može poricati svoju usku vezu slogikom. Da, slažem se s nazorom onih koji oštro razdvajanjedrže nepriličnim. Priznat će se toliko da svako istraživanjevrijednosti nekoga izvođenja dokaza ili opravdanje nekedefinicije mora biti logičko. No takva se pitanja uopće ne moguotkloniti od matematike, jer se tek odgovorom na njih možepostići nužna sigurnost.

Naravno, i u tom smjeru idem ponešto iznad onogauobičajenoga. Većina je matematičara pri istraživanjima

4 Lehrbuch der Arithmetik and Algebra.


takve vrste zadovoljna ako je udovoljeno neposrednim po-trebama. Ako se definicija podatno ponaša u dokazima, akonigdje ne naiđemo na protuslovlja, ako se dadu spoznati vezeizmeđu naizgled udaljenih stvari i ako iz toga proizide višiporedak i pravilnost, onda definier obično držimo dostatnoosiguranom i malo pitamo o njezinoj logičkoj opravdanosti.Ono što je u svakome slučaju u tome postupku dobro jest to štose cilj ne može lako posve promašiti. I ja mislim da definicijesvoju održivost moraju dokazati svojom plodonosnošću,mogućnošću da njima dokazujemo. No valja držati na umukako strogost izvođenja zaključaka ostaje privid, mogao nizzaključaka biti i potpun, ako su definicije samo naknadnoopravdane time što nismo naišli ni na kakvo protuslovlje. Takose u osnovi uvijek postiže samo iskustvena sigurnost i zapravomoramo računati s tim da na koncu ipak nailazimo naprotuslovlje koje ruši cijelu zgradu. Zato mislim da moramozaći dalje u općenite logičke osnove, dalje nego što je moždavećina matematičara držala da je nužno.

U ovome sam istraživanju kao načela utvrdio sljedeće:

oštro valja lučiti psihološko od logičkoga, subjektivno odobjektivnoga;

o značenju riječi treba pitati u kontekstu rečenice, a ne unjihovoj pojedinačnosti;

pred očima valja imati razliku između pojma i predmeta.

Da bih se držao onoga prvoga, riječ "predodžba" upotre-bljavam uvijek u psihološkome smislu te predodžbe razlikujemod pojmova i predmeta. Ako ne uzmemo u obzir drugo načelo,gotovo da smo prisiljeni kao značenje riječi uzimati nutarnjeslike ili činove pojedine duše te time povrijediti i prvo načelo.Što se tiče trećega načela, samo je privid ako mislimo da pojammožemo učiniti predme-

tom, a da ga ne promijenimo. Iz toga proizlazi neodrživostŠiroko prihvaćene formalne teorije razlomaka, negativnihbrojeva itd. U ovome spisu mogu samo nagovijestiti kakozamišljam poboljšanje. U svim će tim slučajevima, kao i kodpozitivnih cijelih brojeva, biti važno to da se utvrdi smisao nekejednakosti.

Mislim da će moji rezultati, barem što se tiče glavnine, naićina odobravanje onih matematičara koji se potrude uzeti u obzirmoje razloge, čini mi se da oni vise u zraku, a pojedini od njihmožda su već svi barem približno izrečeni; ali u ovoj bimeđusobnoj povezanosti oni ipak mogli biti novi. Ponekad samse čudio što se prikazi koji se u jednome vidu tolikopribližavaju mojemu shvaćanju u drugome vidu tako jako odnjega udaljuju.

Prijam će kod filozofa biti različit već prema stajalištu, nozacijelo će biti najlošiji kod onih empirista koji kao izvorninačin zaključivanja žele priznati samo indukciju, pa ni njuuopće ne kao način zaključivanja, nego kao naviku. Moždajedni ili drugi ovom prilikom osnove svoje spoznajne teorijepodvrgnu novom ispitivanju. A onima koji bi moje definicijemožda htjeli protumačiti kao neprirodne dajem neka promisle otome kako pitanje ovdje nije jesu li prirodne, nego pogađaju lisrž stvari i jesu li logički otporne na prigovor.

Nadam se da će u bespredrasudnu ispitivanju i filozofi uovome spisu moći naći nešto upotrebljivo.

22 OSNOVE ARITMETIKE §§ 1-4 23

§ 1. Nakon što se matematika poduže vrijeme bila udaljilaod euklidske strogosti, sada joj se vraća, pa čak i stremi ponadnje. U aritmetiku je - već zbog indijskoga podrijetla mnogihnjezinih načina postupanja i pojmova -uveden drukčiji načinmišljenja nego u geometriju, koju su razvili naročito Grci. On jepronalaskom više analize samo nastavljen; jer, s jedne strane,strogoj se obradi tih učenja suprotstavljaju znatne, gotovonesavladive teškoće, a za njihovo se prevladavanje, s drugestrane, čini kako se napori koji su u to uloženi malo isplate.Ipak, daljnji je razvoj uvijek jasnije poučavao kako umatematici nije dostatno samo moralno uvjerenje poduprtomnogim uspješnim primjenama. Sada je potreban dokaz zamnogo toga Što je prije vrijedilo kao samorazumljivo. Granicevaženja tek su time u mnogim slučajevima postale ustanovljene.Pokazalo se da je potrebno strože određenje pojmova funkcije,neprekinutosti, granice, beskonačnoga. Negativni i iracionalnibroj, koji su u znanosti odavno prihvaćeni, svoje su opravdanjemorali podvrći točnijemu ispitivanju.

Tako se posvuda pokazuje nastojanje da se strogo dokazuje,da se točno povlače granice valjanosti i, da bi se to moglo, da sestrogo shvaćaju pojmovi.

§ 2. Taj put u daljnjemu slijedu mora voditi do pojma broja inajjednostavnijih stavaka koji vrijede za pozitivne cijelebrojeve, a koji tvore osnove cijele aritmetike. Naravno, brojevneformule kao što j e 5 + 7=12 i zakoni kao što je asocijativnostkod zbrajanja tako su mnogostruko potvrđeni nebrojenimsvakodnevnim primjenama da se gotovo može činiti smiješnimhtjeti ih traženjem dokaza dovesti u sumnju. No u biti jematematike da ona, gdje god je to moguće, daje prednostdokazu pred osvjedočavanjem pomoću indukcije. Eukliddokazuje mnogo toga što bi mu svatko bez daljnjega priznao.Budući da se sami nismo

mogh' zadovoljiti euklidskom strogošću, došlo je do is-traživanja povezanih s aksiomom o paralelama.

Tako je pokret usmjeren na najveću strogost već mno-gostruko nadmašio potrebu koja se u početku osjećala i koja sepostojano širi i jača.

Dokaz nema samo tu svrhu da istinitost nekoga stavkaizdigne nad svaku sumnju, nego i tu da dade uvid u međusobnuovisnost istina. Pošto smo se uzaludnim pokušajima dapokrenemo kamenu gromadu uvjerili da je ne možemopokrenuti, možemo dalje pitati što je onda tako sigurnopodupire. Što se ta istraživanja dalje razvijaju, to je manjeosnovnih istina na koje sve svodimo; a to je pojednostavljivanjeveć po sebi cilj vrijedan nastojanja. Možda se potvrdi i nada dase mogu postići općeniti načini oblikovanja pojmova ihutemeljivanja koji se dadu primijeniti i u zamršenijimslučajevima, time što nam dolazi do svijesti ono što su ljudiinstinktivno učinili u najjednostavnijim slučajevima i iz togaizlučili ono općevaljano.

§ 3. Na takva su me istraživanja navele i filozofske pobude.Pitanja o apriornoj ih aposteriornoj, sintetičkoj ih analitičkojnaravi aritmetičkih istina ovdje željno očekuju svoj odgovor.Jer iako sami ti pojmovi pripadaju filozofiji, ipak vjerujem darješenje ne može uslijediti bez pripomoći matematike. Naravno,to ovisi o smislu koji se pridaje tim pitanjima.

Nije rijedak slučaj da se najprije zadobije sadržaj nekogastavka i da se zatim na drugome težem putu izvodi strogi dokaz,kojim se često točnije spoznaju i uvjeti valjanosti. Tako valjaopćenito razdvojiti pitanje o tome kako dolazimo do sadržajasuda od pitanja o tome odakle uzimamo opravdanje za našutvrdnju.

24 OSNOVE ARITMETIKE §§ 1-4 25

Ona razlikovanja apriornoga i aposteriornoga. sintetičkoga ianalitičkoga ne tiču se, po mojemu mišljenju,5 sadržaja suda,nego opravdanja za suđenje. Tamo gdje toga nema, izostaje imogućnost te podjele. Zabluda a priori stoga je isto takvabesmislica kao, recimo, i plavi pojam. Ako se neki stavaknazove aposteriornim ili analitičkim u mojemu smislu, onda sene sudi o psihološkim, fiziološkim i fizikalnim odnosima koji suomogućili da se u svijesti izgradi sadržaj toga stavka, a ni otome kako je netko drugi, možda na pogrešan način, došao dotoga da ga drži istinitim, nego o tome na čemu u najdubljojosnovi počiva opravdanje za to da ga se drži istinitim.

Time se pitanje odmaknulo od područja psihologije idodijelilo se matematici, ako je riječ o matematičkoj istini.Stvar je u tome da pronađemo dokaz i da ga svedemo naosnovne istine. Naiđemo li na tome putu samo na opće logičkezakone i na definicije, onda imamo analitičku istinu, pri čemupretpostavljamo da su uzeti u obzir i stavci na kojima moždapočiva dopustivost definicije. No ako dokaz nije mogućeizvesti, a da se ne rabe istine koje nisu opće logičke naravi negose odnose na posebno područje znanja, onda je stavaksintetičan. Da bi istina bila aposteriorna zahtijeva se da jenemoguće dokazati je bez pozivanja na činjenice, tj. nanedokazive istine bez općenitosti koje sadrže iskaze oodređenim predmetima. Ako je, nasuprot tome, dokaz mogućeizvesti posve iz općih zakona koje same niti je moguće nitipotrebno dokazati, onda je istina apriorna.6

5 Time, naravno, ne želim dodati neki novi smisao, nego samo pogoditi ono štosu mislili prethodni pisci, posebno Kant.

6 Ako uopće priznamo da postoje općenite istine, onda moramo prihvatiti i to dapostoje takvi osnovni zakoni, jer iz samih pojedinačnih činjenica ne slijedi ništa,osim ako to nije na temelju nekoga zakona. Sama indukcija počiva na općenitomestavku kako ona sama može utemeljili istinu ili pak vjerojatnost nekoga zakona.

§ 4. Ishodeći od ovih filozofskih pitanja dolazimo do istogazahtjeva koji se neovisno o njima sam pojavio na područjumatematike: ako je ikako moguće, načela aritmetike dokazatinajvećom strogoćom; jer samo ako najbrižljivije izbjegnemosvaki propust u nizu zaključaka možemo sa sigurnošću reći nakoje se osnovne istine dokaz oslanja; a samo ako to znamomožemo odgovoriti na prethodna pitanja.

Pokušamo li slijediti taj zahtjev, vrlo brzo dolazimo dostavaka čiji je dokaz nemoguć sve dok se pojmovi koji se unjima pojavljuju ne uspiju razlučiti u jednostavnije ili svesti naopćenitije. Ovdje je to prije svega broj, koji treba definirati iliprihvatiti kao nešto što se ne može definirati. To treba bitizadaća ove knjige.7 O rješenju te zadaće ovisit će odluka onaravi aritmetičkih zakona.

Prije negoli se sam dohvatim tih pitanja, želim prethodnonapomenuti nešto što može dati naputak za odgovor na njih.Ako se naime s drugih stajališta ispostave razlozi za tvrdnjukako su načela aritmetike analitička, onda oni govore i u koristnjihove dokazivosti i u korist mogućnosti definiranja pojmabroja. Suprotan će učinak imati razlozi u korist aposteriornostitih istina. Stoga bi se ta sporna pitanja mogla najprije podvrćiprethodnome razjašnjenju.

Za onoga koji to niječe indukcija nije ništa više nego psihološka pojava, način nakoji ljudi dolaze do vjerovanja u Istinu nekoga stavka, a da to vjerovanje nije njomeni na koji način opravdano.

7Nadalje, ako nije kazano ništa više. neće biti riječi nj o kojim drugimbrojevima doli o pozitivnim cijelim brojevima, koji odgovaraju na pitanje"Koliko?".


I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka

Mogu li se brojevne formule dokazati?

§ 5. Brojevne formule u kojima je. kao npr. u 2 + 3 = 5. riječ oodređenim brojevima, moramo razlikovati od općih zakona kojivrijede za sve cijele brojeve.

Prve su neki filozofi8 držali nedokazivima i neposredno jasnimapoput aksioma. Kant9 ih tumači kao nedokazive i sintetičke, nosuspreže se od toga da ih nazove aksiomima. jer nisu općeniti i jer jenjihov broj beskonačan. Tu tvrdnju o beskonačno mnogimnedokazivim osnovnim istinama Hankel10 s pravom nazivaneprikladnom i paradoksalnom. Ona zapravo protuslovi potrebi umaza preglednošću prvih osnova. A je U onda neposredno bjelodano daje

135664 + 37863 = 173527?

Ne! I upravo je to navelo Kanta na tvrdnju o sintetičkoj naravi tihstavaka. No to prije govori protiv njihove nedokazivosti; jer kako ihdrukčije valja uvidjeti doli pomoću dokaza, budući da nisu neposrednobjelodani? Kant si želi pomoći zorom prstiju ili točaka, pri čemu jezapao u opasnost da dopusti da se ti stavci, suprotno njegovu mi-šljenju, pojave kao empirijski; jer zor 37863 prstiju, u svakomeslučaju, ipak nije čisti zor. Isto tako. čini se da

8 Hobbes. Locke. Newton. Usp. Baumann. Die Lehren von Zeit.Raum und Mathematik, str. 241 1 242. str. 365 i d.. str. 475.

9 Kritik der reinen Vernunft, herausgeg. v. Hartenstein, III. str.157 [= B 204-206; usp. i hrv. prijevod: I. Kant. Kritika čistogauma, preveo V. D. Sonnenfeld. Zagreb. 1984. str. 98-99].

10 Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen, str. 53.

I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka 27

izraz "zor" ne može posve odgovarati, budući da već i 10 prstijupoložajem što ga imaju jedan prema drugome mogu izazvatinajrazličitije zorove. Imamo li onda uopće zor 135664 prstiju ilitočaka? Kad bismo ga imali i kad bismo imah zor 37863 prstiju i zor173527 prstiju, tada bi ispravnost naše jednakosti, kad bi bilanedokaziva, odmah bila bjelodana, barem za prste; ali tome nije tako.

Očito, Kant je na pameti imao samo male brojeve. Tada bi formuleza velike brojeve bile dokazive, dok bi za male brojeve bileneposredno bjelodane putem zrenja. No povlačenje načelne razlikeizmeđu malih i velikih brojeva jalov je posao, posebno zato što semeđu njima ne bi mogla povući oštra granica. Kad bi dokazive bilebrojevne formule od, recimo, 10 nadalje, tada bi se s pravom postavilopitanje: a zašto ne od 5 nadalje, od 2 nadalje, od 1 nadalje?

§ 6. Drugi su pak filozofi i matematičari tvrdili i dokazivostbrojevnih formula. Leibniz11 kaže:

"Nije nikakva neposredna istina da su 2 i 2 4, pretpostavivšida 4 označuje 3 i 1. To se može dokazati, i to ovako: Definicije:1) 2 je 1 i 1

2) 3 je 2 i 13) 4 je 3 i 1.

Aksiom: Ako jednako zamijenimo jednakim, ostaje jednako.Dokaz: 2 + 2 = 2+1 + 1 = 3 + 1=4.

Def. 1 Def. 2 Def. 3Dakle: prema aksiomu: 2 + 2 = 4".

Isprve se čini kako je ovaj dokaz izgrađen posve iz definicija inavedena aksioma. I on bi se mogao preinačiti u definiciju, kao što jeto Leibniz sam učinio na drugome

11 Nouveaux Essais. IV. § 10. Erdm.. str. 363.

OSNOVE ARITMETIKE

mjestu.12 Čini se da o 1, 2, 3, 4 ne treba znati ništa više negoono što je sadržano u definicijama. Ipak, pri točnijemupromatranju otkriva se praznina, koja je skrivena ispuštanjemzagrada. Naime, točnije bi trebalo napisati:

2 + 2 = 2 + (1 + 1) (2 + 1) + 1 =3 + 1 = 4.

Ovdje nedostaje stavak

2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1, koji je

poseban slučaj od

a + (b + c) = (a + b) + c.

Pretpostavimo li taj zakon, lako vidimo kako se tako možedokazati svaka formula zbrajanja. Tada je svaki broj definiraniz prethodnoga. Zapravo ne vidim načina na koji bi nam recimobroj 437986 mogao biti prikladnije dan nego što je tolajbnicovski način. Tako ipak njime raspolažemo, pa i akonemamo predodžbu o njemu. Beskonačno se mnoštvo brojevatakvim definicijama svodi na broj jedan i uvećavanje za jedan, asvaka se od beskonačno mnogo brojevnih formula možedokazati iz nekih općih stavaka.

To je mnijenje i H. Grassmanna i H. Hankela. Zakon

a + (b + 1) = (a + b) + 1

Grassmann želi dobiti pomoću definicije kažući:1

12 Won inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm., str. 94.l3 Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. I. dio:

Arithmetik. Stettin. 1860. str. 4.


"Ako su a i b bilo koji članovi temeljnoga niza, onda podzbrojem a + b razumijemo onaj član temeljnoga niza zakoji vrijedi formula

a + (b + e) = a + b + e".

Pritom e treba značiti pozitivnu jedinicu. Tomu se objaš-njenju dade prigovoriti na dvostruki način. Prije svega, zbroj seobjašnjava pomoću sebe samoga. Ako još ne znamo što trebaznačiti a + b. onda ne razumijemo ni izraz a + (b + e). Ali taj seprigovor možda može ukloniti tako da se, naravno uprotuslovlju s doslovnim tekstom, kaže kako treba objasniti nezbroj, nego zbrajanje. Tada bi se još uvijek moglo prigovoritikako bi a + b bilo puki znak kad ne bi postojao nijedan član ihbi pak postojalo više članova temeljnoga niza tražene vrste.Grassmann jednostavno pretpostavlja da tome nije tako. a da tone dokazuje, tako da je strogost samo prividna.

§ 7. Brojevne formule valja pomišljati kao sintetičke ilianalitičke, aposteriorne ili apriorne, već prema tome jesu litakvi opći zakoni na koje se njihov dokaz oslanja. Ipak, tome sesuprotstavlja mnijenje Johna Stuarta Milla. Čini se kako onnajprije želi, poput Leibniza, našu znanost utemeljiti nadefinicijama.14 budući da pojedinačne brojeve tumači kao iLeibniz; ali njegova predrasuda da je sve znanje empirijskoodmah kvari ispravnu misao. Naime, on nas podučava da tedefinicije nisu definicije u logičkome smislu, da one neutvrđuju samo značenje nekoga izraza, nego da se njima tvrdi iopažena činjenica. Ta što, za ime svijeta, uopće može biliopažena, ili, kako Mill još kaže, fizikalna činjenica koja se tvrdiu definiciji broja 777864?

14System der deducttven und inducliven Logik, übersetzt von J.Schiel. III. knjiga. XXTV. pogl., § 5.

15 Na nav. mj.. II. knjiga. VI. pogl.. § 2.

28


Od čitava bogatstva fizikalnih činjenica koje se ovdje prednama otkriva Mill nam. imenuje samo jednu jedinu, kojutreba tvrditi u definiciji broja 3. Ona se, po njemu, sastojiu tome što postoje složevine predmeta koje se, dok naosjetila izazivaju dojam °o°, mogu razdijeliti na dva dijela,ovako:oo o . Kako je ipak dobro što sve u svijetu niječvrsto zavareno i zakovano; tada se ne bismo mogli poduzetitoga razdvajanja i 2 + 1 ne bi bilo 3! Kakva šteta što Mill nijepreslikao i fizikalne činjenice koje leže u osnovi brojeva 0 i 1!

Mill nastavlja: "Pošto je ovaj stavak prihvaćen, sve takverazdiobe nazivamo 3". Odatle uviđamo kako je zapravo netočnoda ako sat otkucava tri da se onda govori o trima otkucajima ilida se slatko, kiselo i gorko nazivaju trima osjetima okusa; istotako ne treba dopustiti izraz "tri načina rješavanja nekejednadžbe", jer o tome nikada nemamo osjetilni dojam kao o°o°.

Mill potom kaže: "Računanja ne slijede iz same definicije,nego iz promatrane činjenice". No gdje bi se Leibniz u gorepriopćenu dokazu stavka 2 + 2 = 4 trebao pozvati na spomenutučinjenicu? Mill propušta ukazati na pravi nedostatak, iako dajedokaz stavka 5 + 2 = 7 koji posve odgovara Leibnizovu.16 Pravinedostatak, koji leži u ispuštanju zagrada, on previđa kao iLeibniz.

Kad bi definicija svakoga pojedinoga broja uistinu tvrdilaodređenu fizikalnu činjenicu, tada se čovjeku koji računa sdevetoznamenkastim brojevima ne bismo mogli dostatnonadiviti zbog njegova fizikalnoga znanja. Možda Millovomnijenje ipak ne ide na to da pojedinačno treba promotriti svete činjenice, nego je dovoljno indukcijom izvesti opći zakon ukojemu su one skupno obuhvaćene. No pokušamo li izreći tajzakon, iznaći ćemo kako je to nemoguće. Nije

16Na nav. mj.. III. knjiga. XXIV. pogl.. § 5.


dosta reći da postoje velike skupine stvari koje se mogurazlagati, jer time nije rečeno da postoje tako velike skupine itakve vrste kakve su potrebne za definiciju recimo broja 1 000000, a način njihova razdvajanja također nije točno naveden.Millovo shvaćanje nužno vodi zahtjevu da se za svaki brojposebno promotri jedna činjenica, jer bi se u općemu zakonuizgubila upravo ona posebnost broja 1 000 000 koja nužnopripada njegovoj definiciji. Prema Millu, ako se ne bi promotrioupravo ovaj poseban način razlaganja skupine stvari, koji jerazličit od onoga koji pripada bilo kojemu drugome broju,zapravo se ne bi smjelo postaviti 1 000 000 = 999 999 + 1.

§ 8. Čini se kako Mill misli da se definicije 2 = 1 + 1. 3 = 2+ 1,4 = 3+ 1 itd. ne bi mogle stvoriti, a da se prije ne promotrečinjenice koje se u njima spominju. Zapravo se 3 ne možedefinirati kao (2+1) ako se s (2 + 1) ne povezuje uopće nikakavsmisao. No postavlja se pitanje je li za to nužno promotritiskupinu i njezino razlaganje. Tada bi zagonetan bio broj 0; jerdosada još zacijelo nitko nije vidio niti opipao 0 oblutaka. Millbi 0 sigurno protumačio kao nešto besmisleno, kao puki izričaj;računanja s 0 bila bi puka igra s praznim znakovima i samo bičudom iz toga moglo proizići nešto umno. No ako ta računanjaimaju ozbiljno značenje, onda ni sam broj 0 ne može biti posvebesmislen. A pokazuje se mogućnost da bi 2 + 1 na sličan načinkao 0 moglo imati smisao i kad činjenica što je spominje Millne bi bila opažena. Tko zapravo može tvrditi kako je činjenicakoja je, prema Millu, sadržana u definiciji osamnaestoznamenkastoga broja ikada opažena i tko može poreći kakotakva brojka unatoč tome ima smisao?

Možda se misu da bi se fizikalne činjenice mogle upotrijebitisamo za manje brojeve, recimo do 10, time što bi se ostali moglisastaviti iz njih. Ali ako se 11 može oblikovati iz 10 i 1 samodefinicijom, a da se nije vidjela odgovarajuća

OSNOVE ARITMETIKE

skupina, onda nema razloga zašto se i 2 ne bi moglo na taj načinsastaviti iz 1 i 1. Ako računanja s brojem 11 ne slijede iz jedneod činjenica koje su za taj broj karakteristične, kako to da seračunanja s 2 moraju oslanjati na promatranje stanovite skupinei njoj svojstvenoga razlaganja?

Možda se tkogod pita kako bi aritmetika mogla postojati kadosjetilima ne bismo mogli razlikovati uopće nijednu stvar ilisamo tri stvari. Za naše poznavanje aritmetičkih stavaka injihovih primjena takva bi okolnost sigurno bila neštonezgodno, no bi U to bila i za njihovu istinu? Ako se nekistavak nazove empirijskim jer bismo morali izvršiti promatranjada bismo postali svjesni njegova sadržaja, onda se riječ"empirijski" ne upotrebljava u smislu kao da je suprotstavljenariječi "a priori". Tada se izriče psihološka tvrdnja koja se tičesamo sadržaja stavka; pritom se ne uzima u obzir je U taj stavakistinit. U tom su smislu i sve Münchausenove priče empirijske;jer sigurno se moralo mnogo toga promatrati da bi ih seizmislilo.

Jesu li zakoni aritmetike induktivne istine?

§ 9. Prema dosadanjim je prosudbama vjerojatno da sebrojevne formule mogu izvesti samo iz definicija pojedinihbrojeva posredstvom nekoliko općih zakona, da te definicije nititvrde promatrane činjenice niti su te činjenice pretpostavkanjihove pravilnosti. Potrebno je dakle spoznati narav tih zakona.

1 7Za svoj prije spomenuti dokaz formule 5 + 2 = 7 Mill se želi

poslužiti stavkom "Što je sastavljeno iz dijelova sastavljeno jeiz dijelova tih dijelova". On drži da je to


karakterističan izraz stavka koji je inače poznat u obliku"zbrojevi jednakoga jesu jednaki". Naziva ga induktivnomistinom i prirodnim zakonom najvišega reda. Za netočnostMillova prikaza karakteristično je to što se on na taj stavakuopće ne poziva na onome mjestu dokaza gdje je on, po njegovumišljenju, neophodan; ipak, čini se kako njegova induktivnaistina treba zamijeniti Leibnizov aksiom "Ako jednakozamijenimo jednakim, ostaje jednako". No da bi aritmetičkeistine mogao nazvati prirodnim zakonima, Mill im pridajesmisao koji one nemaju. On npr.18 misli kako bi jednakost 1 = 1mogla biti lažna, jer jedna funta nema uvijek upravo onu težinukoju ima druga. Ali stavak 1 = 1 to uopće ne tvrdi.

Mill znak + razumije tako kao da se njime izražava odnosdijelova nekoga fizikalnoga tijela ili neke hrpe prema cjelini; noto nije smisao toga znaka. 5 + 2 = 7 ne znači da ako se u 5prostornih dijelova tekućine sliju 2 prostorna dijela tekućine dase dobije 7 prostornih dijelova tekućine, nego je to primjenastavka 5 + 2 = 7, koja je dopuštena samo ako uslijed, recimo,kemijskoga djelovanja ne dođe do promjene volumena. Milluvijek miješa primjene što ih može imati neki aritmetički stavak- koje su često fizikalne i koje kao pretpostavku imaju opaženečinjenice - s čisto matematičkim stavkom samim. Za znak plusmože se doduše u mnogim primjenama činiti kako odgovaraoblikovanju hrpe; no to nije njegovo značenje, jer u drugimprimjenama ne može biti govora o hrpama, agregatima, odnosufizikalnoga tijela prema njegovim dijelovima, npr. ako seračunanje odnosi na događaje. Doduše, i ovdje se može govoritio dijelovima; no tada se ta riječ ne upotrebljava u fizikalnomeili geometrijskome, nego u logičkome smislu, kao ako seumorstva državnih poglavara nazovu dijelom ubojstva uopće.Ovdje imamo logičku podređenost.

17 Na nav. mj., III. knjiga, XXIV. pogl..§ 5.

18 Na nav. mj.. II. knjiga. VI. pogl..§ 3.

32

OSNOVE ARITMETIKE

pojam "ono što se dobije stalnim uvećavanjem za jedan".Razliku između tih dvaju slučajeva možemo naći u činjenici štosmo na slojeve samo nailazili, dok su brojevi stvoreni i premasvojoj čitavoj biti određeni uvećavanjem za jedan. To možeznačiti samo to da se iz načina na koji je neki broj, npr. 8,nastao uvećavanjem za jedan mogu izvesti sva njegova svojstva.Time se u osnovi priznaje kako svojstva brojeva slijede iznjihovih definicija i otvara se mogućnost da se opći zakonibrojeva dokažu iz načina nastajanja koji im je zajednički, dok biposebna svojstva pojedinih brojeva trebala slijediti iz posebnoganačina na koji su oni oblikovani stalnim uvećavanjem za jedan.Tako se i ono što je kod slojeva zemlje određeno već samomdubinom na kojoj smo na sloj naišli, dakle njegovi položajniodnosi, dadu zaključiti upravo iz toga, a da nije bila nužnaindukcija; no ono što time nije određeno ne može nas naučiti niindukcija.

Čini se da postupak indukcije, ako pod indukcijom nerazumijemo puku naviku, sam može biti opravdan samoposredstvom općih stavaka aritmetike. Ona naime uopće nemasnagu koja jamči istinitost. Dok znanstveni postupak premaobjektivnim mjerilima visoku vjerojatnost jednom nalaziutemeljenu u jednoj jedinoj potvrdi a, drugi put, tisućustrukaispunjenja drži gotovo bezvrijednima, dotle je navika određenabrojem i snagom dojmova te subjektivnim odnosima kojinemaju nikakva prava da vrše utjecaj na sud. Indukcija se moraoslanjati na učenje o vjerojatnosti, jer ona neki stavak nikada nemože učiniti nečim višim doli vjerojatnim. No ne nazire se kakobi se to učenje moglo razviti bez pretpostavke aritmetičkihzakona.

§ 11. Nasuprot tome, Leibniz20 misli da nužne istine, kao štosu one kakve nalazimo u aritmetici, moraju imati principe čijidokaz ne ovisi o primjerima, pa dakle ni o

20 Baumann, na nav. mj.. sv. II, str. 13 1 14; Erdm., str. 195. str. 2081 209.


svjedočanstvima osjetila, iako nam bez osjetila nikada ne bipalo na um da o njima razmišljamo. "Čitava nam je aritmetikaurođena i u nama je na virtualan način." Jedno drugo mjestopokazuje kako on razumije izraz "urođen": "Nije istina da svešto se uči nije urođeno; istine brojeva su u nama, a ipak ihučimo, bilo tako da ih izvodimo iz njihova izvora ako ih učimona dokazujući način (što upravo pokazuje da su urođene), bilotako...".

Jesu li zakoni aritmetike sintetički apriorni ili analitički?

§ 12. Prihvatimo li suprotnost analitičkoga i sintetičkoga,proizlaze četiri kombinacije, od kojih ipak jedna, naime

analitičko aposteriorno

ispada. Ako smo se s Millom odlučili za aposteriorno, ne ostajedakle nikakav izbor, tako da nam ostaju da ih razmotrimo samojoš mogućnosti

sintetičko apriorno

ili

analitičko.

Za prvo se odlučuje Kant. U tome slučaju ne preostaje ništadrugo nego da se pozovemo na čisti zor kao na posljednjitemelj spoznaje, iako je ovdje teško reći je U on prostorni ilivremenski ili koji bi inače mogao biti. Baumann22 se slaže sKantom, iako s nešto drukčijim obra-

21 Baumann, na nav. mj., sv. II. str. 38; Erdm.. str. 212.22 Na nav. mj.. sv. II, str. 669.

36


zloženjem. I prema Lipschitzu'" stavci koji tvrde neovisnostbroja od načina brojenja te komutativnost i asocijativnostzbrajanja proistječu iz nutarnjega zora. Hankel24 učenje orealnim brojevima zasniva na trima načelima, kojima pripisujekarakter notiones communes: "Oni eksplikacijom postajupotpuno evidentni, za sva područja veličina vrijede premačistome zoru veličine i mogu se, a da ne izgube svoj karakter,pretvoriti u definicije tako da kažemo: pod zbrajanjem veličinarazumijemo operaciju koja zadovoljava te stavke". U posljednjojse tvrdnji nalazi nejasnoća. Možda se može načiniti definicija,ali ona ne može predstavljati zamjenu za ona načela, jer kodprimjene bi se uvijek radilo o tome jesu li brojevi veličine i je liono što se običava nazivati zbrajanjem brojeva zbrajanje usmislu te definicije. A za odgovor bismo morali već poznavatione stavke o brojevima. Nadalje, smeta i izraz "čisti zorveličine". Kad razmislimo o tome što se sve naziva veličinom -brojevi, dužine, površine, obujmi, kutovi, lukovi, mase, brzine,sile, jakosti svjetla, galvanske jakosti struje itd. - onda zacijelomožemo razumjeti na koji se način to može podrediti pojmuveličine; no izraz "zor veličine", a čak ni "čisti zor veličine" nemože se prihvatiti kao odgovarajući. Ja uopće ne mogu dopustitizor od 100 000, a još puno manje zor broja uopće ili čakveličine uopće. Kada ne možemo navesti drugi razlog, prelakose pozivamo na nutarnji zor. No pri tome ipak ne trebamo posveispustiti iz vida smisao riječi "zor".

Kant u Logici (ed. Hartenstein, VIII, str. 88) daje ovudefiniciju:

"Zor je pojedinačna predodžba (repraesentatio singu-laris), a pojam je općenita (repraesentatio per notas

23 Lehrbuch der Analysis, sv. I, str. 1.24 Theorie der complexen Zahlensysteme, str. 54 i 55.


communes) ili reflektirana predodžba (repraesentatiodiscursiva)".

Ovdje uopće ne dolazi do izražaja odnos prema osjetilnosti,koji se ipak uzima u obzir u transcendentalnoj estetici, a bezkojega zor ne može služiti kao princip spoznaje za sintetičkesudove a priori. U Kritici čistoga uma (ed. Hartenstein, III, str.55)* Kant kaže:

"Dakle pomoću osjetilnosti daju nam se predmeti, i samonam ona daje zorove".

Smisao je naše riječi u logici stoga širi nego u transcen-dentalnoj estetici. U logičkome se smislu 100 000 možda moženazvati zorom, jer to nije opći pojam. No uzet u tome smisluzor ne može poslužiti za zasnivanje aritmetičkih zakona.

§ 13. Uopće, bit će dobro da ne precijenimo srodnost sgeometrijom. Već sam protiv toga naveo jedno mjesto izLeibniza. Neka geometrijska točka promatrana za sebe uopće sene može razlikovati od bilo koje druge; isto vrijedi za pravce ipovršine. Tek ako se u zoru istodobno obuhvati više točaka,pravaca i površina, oni se razlikuju. Ako se u geometriji općistavci dobivaju iz zora, onda se to dade objasniti iz činjenice štozrene točke, pravci, površine zapravo uopće nisu zasebne i stogamogu vrijediti kao zastupnici cijeloga svojega roda. Drukčijestvar stoji kod brojeva: svaki broj ima svoju posebnost. Nemože se bez daljnjega kazati u kojoj mjeri određeni broj možezastupati sve druge, a gdje može vrijediti njegova zasebnost.

[B 33: gornji je citat naveden prema hrvatskome prijevodu, str. 33.]

40 OSNOVE ARITMETIKE I. Mnijenja nekih pisaca ο naravi aritmetičkih stavaka 41§ 14. I uspoređivanje istina u odnosu na područje kojim

vladaju govori protiv empirijske i sintetičke naravi aritmetičkihzakona.

Iskustveni stavci vrijede za fizičku ili psihološku zbiljnost,geometrijske istine vladaju područjem prostorno zornoga, bilato zbiljnost ili proizvod snage uobrazilje. Najmahnitije fantazijeprilikom groznice, najsmionije izmišljotine priča i pjesnika -koje dopuštaju da životinje govore, da se zvijezde zaustave, daiz kamena nastaju ljudi, a iz ljudi drveće i koje podučavaju kakose za vlastiti čuperak izvući iz močvare - ipak su, ukoliko ostajuzorne, vezane za aksiome geometrije. Toga se na određeni načinmože osloboditi samo pojmovno mišljenje, ako, recimo, pret-postavi prostor od četiri dimenzije ili prostor pozitivne mjerezakrivljenja. Takva razmatranja nisu posve beskorisna, no onaposve napuštaju područje zora. Ako ih i pritom pozovemo upomoć, onda je to ipak uvijek zor euklidskoga prostora,jedinoga čijih tvorevina imamo zor. Samo. on se tada ne uzimaonakav kakav jest, nego simbolički za nešto drugo; npr. pravimili ravnim naziva se ono što se ipak zrije kao zakrivljeno. Zapojmovno mišljenje možemo ipak prihvatiti ono što je suprotnoovom ili onom geometrijskom aksiomu, a da se, ako povlačimozaključke iz takvih pretpostavaka koje su protuslovne zoru, nezapletemo u protuslovlje sa samima sobom. Ta mogućnostpokazuje da su geometrijski aksiomi neovisni jedan ο drugome iο osnovnim logičkim zakonima, dakle da su sintetički. Može lise isto reći ο načelima znanosti ο brojevima? Ne bi li se svesručilo u metež kad bismo jedno od njih htjeli poricati? Bi limišljenje onda još bilo moguće? Ne leži li temelj aritmetikedublje negoli temelj sveg iskustvenoga znanja, čak dubljenegoli temelj geometrije? Aritmetičke istine vladaju područjembrojivoga. To je područje najobuhvatnije, jer ne pripada musamo ono zbiljsko, niti samo ono zorno, nego sve mislivo. Ne bili dakle zakoni

brojeva trebali stajati u najnutarnjijoj vezi sa zakonimamišljenja?

§ 15. Može se predvidjeti kako se Leibnizov sud dadetumačiti samo u korist analitičke prirode zakona broja, budućida se za njega ono apriorno poklapa s onim analitičkim. Takoon kaže25 da algebra svoje prednosti posuđuje od jednogamnogo višega umijeća, naime od istinske logike. Na drugomemjestu26 nužne i slučajne istine uspoređuje s komenzurabilnim inekomenzurabilnim veličinama i misli da je kod nužnih istinamoguć dokaz ili svođenje na identitete. Ipak. te izjave gube natežini jer Leibniz naginje tome da sve istine shvati kaodokazive: "... da svaka istina ima svoj apriorni, iz pojmatermina izveden dokaz, iako nije uvijek u našoj moći dadođemo do te analize'". Naravno, usporedba skomenzurabilnošću i ne-komenzurabilnošću ipak uvijek podižebarem za nas nepre-koračivu granicu između slučajnih i nužnihistina.

Vrlo se odlučno u smislu analitičke prirode zakona brojaizjašnjava W. Stanley Jevons:28 "Broj je samo logičko ra-zlikovanje, a algebra je visoko razvijena logika".

§ 16. No i taj nazor ima svoje teškoće. Treba U se ovovisoko, razgranate) i još uvijek rastuće stablo znanosti οbrojevima korjeniti u pukim identitetima? I kako prazni oblicilogike uspijevaju iz sebe steći takav sadržaj?

Mill misli: "Nauk da umjetnim baratanjem jezikom možemootkriti činjenice, da možemo pronaći skrivene procese

25 Baumann. aa nav. mj.. sv. II. str. 56; Erdm.. str. 424.26 Baumann, na nav. mj., sv. II, str. 57; Erdm.. str. 83.27 Baumann. na nav. mj.. sv. II. str. 107; Pertz, II. str. 55.28 The principles of science, London, 1879. str. 156.


prirode tako je suprotan zdravome razumu da već iziskuje nekinapredak u filozofiji kako bismo u to povjerovali".

Sigurno, ako se kod umjetnoga baratanja ne misli ništa. Millse tu okreće protiv formalizma koji jedva '"< netko zastupa.Svatko tko upotrebljava riječi i matematičke znakove zahtijevada oni nešto znače i nitko neće očekivati da iz praznih znakovaproiziđe nešto smisleno. No moguće je da matematičar izvodiduža računanja, a da pod svojim znakovima ne razumije neštoosjetilno zamjetljivo, zorno. Zbog toga ti znakovi još nisubesmisleni; ipak se njihov sadržaj razlikuje od njih samih,makar je i on možda shvatljiv samo posredstvom znakova.Svjesni smo da su i drugi znakovi mogli biti određeni za isto.Dovoljno je znati kako valja logički obrađivati sadržaj koji jepredočen u znakovima i. ako želimo izvršiti primjene na fiziku,kako se mora događati prijelaz na pojave. No u takvoj seprimjeni ne može vidjeti pravi smisao stavaka. Pritom se uvijekgubi velik dio općenitosti i pridolazi nešto posebno, što se koddrugih primjena zamjenjuje drugim.

§ 17. Unatoč svemu podcjenjivanju dedukcije, ipak nemožemo zanijekati kako zakoni zasnovani indukcijom nisudostatni. Iz njih se moraju izvesti novi stavci, koji nisu sadržanini u kojemu pojedinom od njih. Činjenica da su u svima zajednona neki način već skriveni ne oslobađa nas posla da ih odatlerazvijemo i zasebno iznesemo na vidjelo. Time se otvarasljedeća mogućnost. Umjesto da se niz zaključaka neposrednonadoveže na činjenicu, može se, dopuštajući da to budeneispitano, njezin sadržaj zadržati kao uvjet. Time što se takosve činjenice u misaonu nizu zamijene uvjetima dobiva serezultat u tom obliku da je uspjeh učinjen ovisnim od nizauvjeta. Ta bi istina bila utemeljena jedino mišljenjem, ili,kažimo zajedno s Millom. umjetnim baratanjem jezikom. Nijenemoguće da su zakoni broja te vrste. Oni bi tada bih analitičkisudovi, iako ne bi trebalo da budu pronađeni samo mišljenjem;jer ovdje nije


relevantan način iznalaženja, nego vrsta dokaza; ili, kako kažeLeibniz:29 "ovdje se ne radi o povijesti naših otkrića, koja jerazličita u različitih ljudi, nego o povezanosti i prirodnomeporetku istina, koji je uvijek isti". Promatranje bi na koncuimalo odlučiti jesu li ispunjeni uvjeti sadržani u takoutemeljenim zakonima. Tako bismo na koncu dospjeli upravotamo kamo bismo- došli neposrednim nadovezivanjem nizazaključaka na promatrane činjenice. No ovdje naznačenoj vrstipostupanja valja u mnogim slučajevima dati prednost, jer onavodi do općega stavka koji ne treba biti primjenljiv samo naupravo postojeće činjenice. Istine aritmetike tada bi se premaistinama logike odnosile slično kao što se poučci odnose premaaksiomima geometrije. Svaka bi u sebi zgusnuto sadržavalačitav niz zaključaka za buduću upotrebu, a njezina bi se koristsastojala u tome što se više ne trebaju praviti pojedinačnizaključci, nego se odmah može izreći rezultat čitava niza.30 Upogledu silnoga razvoja aritmetičkih učenja i njihovihmnogostrukih primjena naravno da se tada ne mogu održatiširoko rašireno omalovažavanje analitičkih sudova i priče oneplodonosnosti čiste logike.

Kad bi se ovaj nazor, koji ovdje nije prvi put iznesen, mogaou pojedinostima provesti tako strogo da za njim ne bi ostala ninajmanja sumnja, tada on, kako mi se čini, ne bi bio posvenevažan rezultat.

29 Nouveaux Essais. IV, § 9; Erdm., str. 362.30 Upada u oči što, kako se čini. taj nazor izriče i Mill (na nav. mj., II.

knjiga, VT. pogl.. § 4). Njegov zdravi razum s vremena na vrijeme razbijanjegovu predrasudu o onome empirijskome. No to uvijek sve ponovnodovodi do pomutnje, jer mu dopušta da fizikalne primjene aritmetikepobrka s aritmetikom samom. Čini se da on ne zna kako hipotetički sudmože biti istinit i onda ako uvjet nije istinit.


II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja

§ 18. Okrenemo li se sada izvornim predmetima aritmetike,razlikujemo pojedine brojeve [Zahlen] - 3, 4 itd. - od općegapojma broja [Anzahl]. Već smo se odlučili za to da se pojedinibrojevi najbolje izvode na način Leibniza, Milla, H.Grassmanna i drugih, iz jedan i uvećavanja za jedan, no datakva objašnjenja ostaju nepotpuna sve dok nisu objašnjenijedan i uvećavanje za jedan. Vidjeli smo kako su potrebniopćeniti stavci da bi se iz tih definicija izvele brojevne formule.Takvi zakoni upravo zbog svoje općenitosti ne mogu slijediti izdefinicija pojedinih brojeva, nego samo iz općenitoga pojmabroja. Njega sada podvrgavamo pomnijemu razmatranju. Pritomćemo po svoj prilici morati razjasniti i jedan i uvećavanje zajedan, a time će i definicija pojedinih brojeva biti upotpunjena.

§ 19. Ovdje bih se odmah htio okrenuti protiv pokušaja da sebroj shvati geometrijski, kao omjerni broj dužina ili površina.Time što su se aritmetika i geometrija odmah u počecimadovele u najužu vezu očito su se mislile olakšati mnogovrsneprimjene aritmetike na geometriju.

Newton31 pod brojem ne želi toliko razumjeti skup jedinicakoliko apstraktan omjer bilo koje veličine prema nekoj drugojiste vrste, koja se uzima kao jedinica. Možemo priznati kako jetime prikladno opisan broj u širemu smislu, čemu pripadaju irazlomci i iracionalni brojevi; ipak, pritom se pretpostavljajupojmovi veličine i odnosa veličina. Stoga se čini kakoobjašnjenje broja u užemu smislu, kardinalnoga broja [Anzahl],nije suvišno, jer Euklid upotrebljava pojam višekratnika da bidefinirao jednakost dvaju omjera dužina, a pojam višekratnikauvijek se svodi na jednakost brojeva. No može biti da sejednakost odnosa


dužina može definirati neovisno o pojmu broja. Ipak, tadabismo ostali u neizvjesnosti glede toga u kojemu bi odnosu takogeometrijski definiran broj stajao prema broju u običnomeživotu. On bi tada bio posve odvojen od znanosti. A ipak odaritmetike zacijelo možemo tražiti da ona mora pružiti točkenadovezivanja za svaku primjenu broja, makar sama primjenanije njeziria stvar. I obično računanje utemeljenje svojegapostupka mora naći u znanosti. A tada se postavlja pitanje da lise sama aritmetika zadovoljava geometrijskim pojmom brojaako je riječ o broju korijena neke jednakosti, o brojevima kojisu primbrojevi u odnosu na neki broj, a manji su od njega isličnim slučajevima. Nasuprot tome, broj koji daje odgovor napitanje "Koliko?" može odrediti i to koliko je jedinica sadržanou nekoj dužini. Računanje s negativnim brojevima, razlomcima,iracionalnim brojevima može se svesti na računanje s prirodnimbrojevima. No Newton je pod veličinama, kao čiji se odnosdefinira broj, možda htio razumjeti ne samo geometrijskeveličine, nego i skupove. Ipak, tada objašnjenje za našu svrhupostaje neupotrebljivo, jer od izraza ""broj koji biva određenskupom" i "odnos skupa prema jedinici skupa" posljednji nedaje bolju obavijest od prvoga.

§ 20. Prvo će pitanje biti može li se broj definirati. Hankel32

se izjašnjava protiv toga: "Što znači neki objekt jedanput,dvaput, triput ... misliti ili postaviti, to se pri principijelnojjednostavnosti pojma postavljanja ne može definirati". Ipak,ovdje je manje stvar u postavljanju koliko u onomu jedanput,dvaput, triput. Kad bi se to moglo definirati, tada bi nasnemogućnost definiranja postavljanja manje uznemiravala.Leibniz naginje tome da broj shvati barem približno kaoadekvatnu ideju, tj. kao takvu ideju koja je tako razgovijetna daje sve što se u njoj pojavljuje opet razgovijetno.

31 Baumanrt. na nav. mj.. sv. I. str. 475. 32 Theorie der complexen Zahlensysteme, str. 1.

45

OSNOVE ARITMETIKE

Ako smo u cijelosti više skloni tomu da držimo kako sebroj ne može definirati, onda je stvar zacijelo više u neuspjehupokušaja što su na to usmjereni nego na postojanju proturazlogakoji su uzeti iz same stvari.

Je li broj svojstvo izvanjskih stvari?

§ 21. Pokušajmo barem broju naznačiti njegovo mjesto međunašim pojmovima. U jeziku se brojevi većinom pojavljuju upridjevskome obliku i u atributivnome spoju, slično kao i riječitvrd, težak, crven, koje znače svojstva izvanjskih stvari.Postavlja se pitanje moraju li se i pojedini brojevi tako shvatiti ibi li se, sukladno tome, pojam broja mogao staviti na istu razinurecimo s pojmom boje.

Čini se kako je to mišljenje M. Cantora3 kada on matematikunazivlje iskustvenom znanošću ukoliko je njezino polazište upromatranju objekata izvanjskoga svijeta. Broj nastaje samoapstrakcijom od predmeta.

Prema E. Schröderu,34 broj, uzet iz zbiljnosti, može jeoponašati tako što se jedinice odslikavaju u broju jedan. On tozove apstrahiranjem broja. Ako se apstrahira od svih drugihodređenja stvari, kao što su boja i oblik, u tom bi odslikavanjujedinice bile predstavljene samo u pogledu svoje učestalosti. Tuje učestalost samo drugi izraz za broj. Schröder dakle učestalostih broj stavlja u istu liniju s bojom i oblikom te ih razmatra kaosvojstvo stvari.

33Grundzüge einer Elementararithmetik, str. 2. § 4. SličnoLipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bonn, 1877. str. 1.

34 Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipzig. 1873, str. 6. 10 i11.

II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja 47

§ 22. Baumann35 odbacuje misao da su brojevi pojmoviizvedeni iz izvanjskih stvari: "Jer izvanjske nam stvari, naime,ne prikazuju nikakve stroge jedinice; one nam prikazujuomeđene skupine ih osjetilne točke, ali mi imamo slobodu danjih same opet promatramo kao mnoštvo". Zapravo: dok nisamu stanju pukim načinom shvaćanja ni najmanje promijeniti bojuneke stvari ili njezinu tvrdoću, Ilijada mogu shvatiti kao jedanspjev, kao 24 pjevanja ili kao velik broj stihova. Ne govori li seu posve drukčijemu smislu o 1000 listova nego što se govori ozelenim listovima stabla? Zelenu boju pridajemo svakome listu,a broj 1000 ne. Sve listove stabla možemo obuhvatiti pod imenjegova Ušća. I ono je zeleno, ali nije 1000. Kome ondazapravo pripada svojstvo 1000? Gotovo se čini kako ne pripadani pojedinome listu ni cjelini; možda zapravo uopće ne pripadastvarima izvanjskoga svijeta? Ako nekome dam kamen uz riječi"odredi težinu od toga", onda sam mu time dao cijeli predmetnjegova istraživanja. No ako mu u ruku dam svežanj igraćihkarata uz riječi "odredi broj od toga", onda on ne zna želim lidoznati broj karata ili broj svih igara za koje je taj svežanjdostatan ili možda broj jedinica vrijednosti u igri skat. Time štomu u ruku dajem svežanj, još mu nisam u potpunosti daopredmet njegova istraživanja; moram pridodati neku riječ -karta, igra, jedinica vrijednosti. Isto tako, ne može se kazatikako ovdje različiti brojevi, kao različite boje, postoje jedanpored drugoga. Ja mogu pokazati na pojedinu obojenu površinu,a da ne kažem ni riječ, no ne mogu tako pokazati na pojedinibroj. Ako neki predmet mogu s istim pravom nazvati zelenim icrvenim, onda je to znak da taj predmet nije pravi nositeljzelenoga. Njega imam tek u nekoj površini koja je samo zelena.Tako ni predmet kojemu s istim pravom mogu pripisati različitebrojeve nije pravi nositelj broja.

35 Na nav. mj., sv. II. str. 669.

46

48 OSNOVE ARITMETIKE II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja 49

Bitna razlika između boje i broja sastoji se stoga u tome štoplava boja pripada nekoj površini neovisno o našoj volji. To jesposobnost da se neke zrake svjetla odbiju, a druge više ilimanje upiju, a to naše shvaćanje ne može ni najmanjepromijeniti. Nasuprot tome, ne mogu reći kako svežnju igraćihkarata po sebi pripada broj 1 ili 100 ili bilo koji drugi, negosamo da mu pripada u odnosu na naš proizvoljni načinshvaćanja, a ni tada ne tako da mu broj jednostavno možemopridodati kao predikat. Ono što želimo nazvati igrom karataočito je proizvoljno određenje i svežanj karata ništa ne zna otome. No razmatrajući ga u tom pogledu možda otkrijemo da gamožemo nazvati dostatnim za dvije igre. Onaj tko ne bi znao štonazivamo nekom kartaškom igrom vjerojatno bi na njemuiznašao prije neki drugi broj nego upravo dva.

§ 23. Na pitanje čemu broj kao svojstvo pripada ,Mill36

odgovara ovako:

"Ime nekoga broja označuje neko svojstvo koje pripadaagregatu stvari, a koje nazivamo tim imenom; to jesvojstvo karakterističan način na koji je agregatsastavljen ili se može razdijeliti u dijelove".

Najprije, tu je jednina u izrazu "karakterističan način"*pogreška, jer postoje vrlo različiti načini na koje se agregatmože razdijeliti i ne može se kazati kako bi samo jedan biokarakterističan. Npr. svežnjić slame može se razdijeliti tako dase sve travke presijeku ili tako da se svežnjić razluči u pojedinetravke ili tako da se iz njega načine dva svežnjića. Je li ondahrpa od stotinu zrnaca pijeska složena isto kao i svežnjić od 100travki slame? A ipak imamo isti

36 Na nav. mj., III. knjiga, XXIV. pogl., 8 5.[U izvorniku zapravo stoji: "određeni član u izrazu *die

charakteristische Welse'".]

broj. Brojka "jedan" u izrazu "jedna travka slame" ipak neizražuje kako je ta travka sastavljena iz stanica ili molekula. Jošviše poteškoća stvara broj 0. Moraju li onda travke slame uopćetvoriti svežnjić da bi se mogle izbrojiti? Moraju li se slijepci unjemačkome carstvu posve ujediniti u jedan zbor da bi izraz"broj slijepaca u njemačkome carstvu" imao smisao? Da litisuću zrnaca pšenice, nakon što je posijano, više nije tisućuzrnaca pšenice? Postoji li zapravo agregat dokaza nekogapoučka ili događaja? A ipak se i oni mogu brojiti. Pritom jesvejedno jesu li događaji istodobni ili razdvojeni tisućljećima.

§ 24. Time dolazimo do drugoga razloga da se broj ne staviu istu razinu s bojom i čvrstoćom: to je njegova daleko većaprimjenljivost.

Mill37 misli da istina kako ono što je sastavljeno iz dijelovajest sastavljeno iz dijelova tih dijelova vrijedi za sve prirodnepojave, jer se sve mogu izbrojiti. No ne može li se izbrojiti još idaleko više toga? Locke38 kaže: "Broj nalazi primjenu na ljude,anđele, djelatnosti, misli, na svaku stvar koja egzistira ili semože predočiti". Leibniz39 odbacuje mišljenje skolastika kako sebroj ne može primijeniti na netjelesne stvari te broj naziva uneku ruku netjelesnom figurom koja je nastala ujedinjenjem bilokojih stvari, npr. Boga, anđela, čovjeka, kretanja, kojih jezajedno četiri. Stoga, misli on, broj je nešto posve općenito tepripada metafizici. Na jednom drugom mjestu40 kaže: "Ne možese izvagati ništa što nema silu i snagu; ono što nema dijelovanema, sukladno tome, mjere; no ne postoji ništa

37 Na nav. mj., III. knjiga, XXIV. pogl., § 5.38 Baumann. na nav. mj., sv. I. str. 409.39 Isto, sv. II, str. 2.40 Isto, sv. II, str. 56.

OSNOVE ARITMETIKE

što ne dopušta broj. Tako je broj takoreći metafizička figura".

Bilo bi zapravo čudno ako bi se neko svojstvo apstrahiranood izvanjskih stvari moglo bez mijenjanja smisla prenijeti nadogađaje, predodžbe, pojmove. To bi bilo upravo onako kaokad bi se htjelo govoriti o topljivome događaju, o plavojpredodžbi, o slanome pojmu, o žilavome sudu.

Neskladno je da se na neosjetilnome pojavljuje ono što je posvojoj prirodi osjetilno. Ako gledamo plavu površinu, ondaimamo jedinstven dojam koji odgovara riječi "plavo" i njegaprepoznajemo ako opazimo neku drugu plavu površinu. Kadbismo htjeli pretpostaviti kako pri pogledu na trokut riječi "tri"na isti način odgovara nešto osjetilno, tada bismo to moraliponovno pronaći i u tri pojma; nešto neosjetilno na sebi bi imalonešto osjetilno. Možemo doduše priznati kako riječi "trokutast"odgovara neka vrsta osjetilnih dojmova, ah pritom tu riječmoramo uzeti kao cjelinu. Tri u tome ne vidimo neposredno,nego vidimo nešto na što možemo nadovezati neku duhovnudjelatnost koja dovodi do suda u kojemu se pojavljuje broj 3. Jerčime uviđamo recimo broj figura zaključaka što ih postavljaAristotel? Možda očima? Najviše što vidimo jesu neki znakoviza te figure zaključaka, a ne one same. Kako trebamo moćividjeti njihov broj, ako one same ostaju nevidljive? No moždase misli kako je dovoljno vidjeti znakove; njihov je broj jednakbroju figura zaključaka. Odakle se to zna? Za to nam one ipakveć moraju biti određene na drugi način. Ili je stavak "brojfigura zaključaka jest četiri" samo drugi izraz za "broj znakovafigura zaključaka jest četiri"? Ne! Ništa se ne želi iskazati oznakovima, nitko ne želi o znakovima ništa znati, osim akoneko njihovo svojstvo ujedno ne izražava neko svojstvo onogašto je označeno. Budući da bez logičke pogreške isto može imatirazličite

II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja 51

znakove, broj se znakova uopće ne treba podudarati s brojemonoga označenoga.

§ 25. Dok je za Milla broj nešto fizikalno, za Lockea iLeibniza on postoji samo u ideji. Dvije jabuke, za razliku od trijabuke, dva konja, za razliku od tri konja, zapravo su. kako kažeMill,41 fizikalno različite stvari, međusobno razlučeni fenomeništo su dostupni vidu i opipu.42 No treba li odatle zaključiti kakosu dvojstvo. trojstvo nešto fizikalno? Jedan par čizama možebiti ista vidljiva i osjetilna pojava kao i dvije čizme. Ovdjeimamo brojevnu razliku kojoj ne odgovara nikakva fizikalnarazlika, jer dva i jedan par nisu ni u kojemu slučaju isto. kakoMill na čudan način, čini se. vjeruje. Konačno, kako je mogućeda se dva pojma fizikalno razlikuju od tri pojma?

Tako Berkeley43 kaže: "Valja primijetiti da broj nije ništafiksno i utvrđeno što bi realno postojalo u stvarima samim. Onje u potpunosti tvorevina duha koji razmatra ili ideju po sebi ilineku kombinaciju ideja, kojoj želi dati neko ime čineći tako davrijedi kao jedinica. Prema tome kako duh varirajući kombinirasvoje ideje, varira jedinice i kao što varira jedinice, tako varira ibroj, koji je samo skup jedinica. Jedan prozor - 1; jedna kuća ukojoj je mnogo prozora = 1; mnoge kuće čine jedan grad".

41 Na nav. mj., III. knjiga. XXIV. pogl.. § 5.42 Točno uzevši, valjalo bi dodati: ukoliko su to uopće fenomeni.

No ako netko ima jednoga konja u Njemačkoj, a jednoga u Americi(i nijednoga drugoga), onda on posjeduje dva konja. Oni ipak netvore nikakav fenomen, nego bi se tako mogao nazvati samo svakikonj za sebe.

43 Baumann, na nav. mj., sv. II. str. 428.

50


Je li broj nešto subjektivno?

§ 26. U ovomu razmišljanju lako dođemo do toga da brojshvatimo kao nešto subjektivno. Čini se kako način na koji broju nama nastaje može naznačiti uvid u njegovu bit. Onda bismodakle došli do psihološkoga istraživanja. U tome smislu dakakoLipschitz 4 kaže:

"Tko želi zadobiti pregled nad nekim stvarima, taj ćezapočeti s nekom određenom stvari i uvijek neku novu stvarpridodati prijašnjoj". Čini se da to mnogo bolje odgovara načinuna koji mi dobivamo recimo zor zviježđa nego tvorenju broja.Namjera da se zadobije pregled jest nebitna, jer teško da će semoći reći kako stado postaje pregledno kad se dozna iz kolikose grla sastoji.

Takav opis nutarnjih događanja koji prethode donošenjusuda o broju nikada ne može, pa i ako je odgovarajući,zamijeniti pravo određenje pojma. On se nikada neće moći uzetikao dokaz za neki aritmetički stavak; njime ne dozna-jemonijedno svojstvo brojeva. Jer broj je onoliko malo predmetpsihologije ili rezultat psihičkih događanja koliko je to recimoSjeverno more. Objektivnosti Sjevernoga mora ne nanosinikakvu štetu činjenica što o našoj volji ovisi koji dio općegavodenoga pokrivača Zemlje omeđimo i želimo obuhvatitiimenom "Sjeverno more". To nije razlog da se to more želiistraživati na psihološki način. Tako je i broj nešto objektivno.Ako kažemo "Sjeverno je more veliko 10 000 kvadratnih milja",onda niti sa "Sjeverno more" niti s "10 000" ne upućujemo naneko stanje ili događanje u našoj nutarnjosti, nego tvrdimo neštoposve objektivno, što je neovisno o našim predodžbama i si.Ako, recimo, drugi put granice Sjevernoga mora povučemonešto drukčije ih bismo pod "10 000" htjeli razumjeti nešto

44 Lehrbuch der Analysis, str. I. Pretpostavljam da Lipschitz napameti Ima neko nutarnje događanje.


drugo, onda ne bi bio pogrešan isti sadržaj koji je prije bioispravan, nego bi na mjesto istinitoga sadržaja bio možda gurnutpogrešan, čime se istina onoga prvoga ni na koji način ne bidokinula.

Botaničar, kada navodi broj latica nekoga cvijeta, kao i kadanavodi njegovu boju, želi kazati isto tako nešto činjenično.Jedno ovisi o našoj volji jednako malo kao i drugo. Postojidakle određena sličnost broja i boje, ah ona se ne sastoji u tomešto je oboje osjetilno zamjetljivo na izvanjskim stvarima, negou tome što je oboje objektivno

Ja razlikujem ono objektivno od onoga opipljivoga, onogaprostornoga, onoga zbiljskoga. Zemljina os, središte masaSunčeva sustava jesu objektivni, no ne bih ih mogao nazvatizbiljskima kao Zemlju samu. Ekvator se često nazivazamišljenom linijom, ah bilo bi pogrešno nazvati ga izmišljenomlinijom; on nije nastao mišljenjem, nije rezultat nekogaduševnoga događanja, nego je samo mišljenjem spoznat,dohvaćen. Kada bi bivanje spoznatim bilo nastajanje, tada onjemu ne bismo mogli iskazati ništa pozitivno s obzirom navrijeme koje je prethodilo tomu tobožnjemu nastajanju.

Prostor, prema Kantu, pripada pojavi. Moguće je da se ondrugim umnim bićima prikaže posve drukčije nego nama. Da,uopće ne možemo znati da h se on jednome čovjeku pojavljujeonako kao i drugome, jer prostorni zor jednoga ne možemopoložiti pored prostornoga zora drugoga da bismo ih usporedili.No ipak je u tome sadržano nešto objektivno. Svi priznajemoiste geometrijske aksiome, pa makar samo činom, a to moramoda bismo se snalaziti u svijetu. Ono objektivno u tome jest onozakonito, pojmovno, ono prosudljivo, što se dade izraziti uriječima. Ono čisto zorno nije priopćivo. Pretpostavimo,pojašnjenja radi, dva umna bića kojima su zorna samoprojektivna svojstva i odnosi: položenost triju točaka na nekomeprav-

53

54 OSNOVE ARITMETIKE II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja 55

cu, četiriju točaka na nekoj površini itd.; neka se jednome kaoravnina pojavljuje ono što drugi zrije kao točku i obrnuto. Onošto je za jednoga pravac koji povezuje točke, drugome jesjecište površina itd., uvijek na odgovarajući način dualno. Tadabi se oni međusobno mogli dobro sporazumjeti i različitost senjihova zrenja nikada ne bi mogla zamijetiti, jer u projektivnojgeometriji svakome poučku odgovara njegov dualni par, aodstupanje u nekoj estetskoj procjeni ne bi bilo nikakav siguranznak. U odnosu na sve geometrijske poučke oni bi posve bili usuglasju, samo bi si riječi različito prevodili u svoj zor. Recimo,s riječju "točka" jedan bi povezivao ovaj, a drugi onaj zor.Stoga se ipak može kazati kako im riječ "točka" znači neštoobjektivno; samo, pod tim se značenjem ne smiju razumjetinikakve posebnosti njihovih zrenja. A u tom je smislu iZemljina os objektivna.

Obično se pod riječju "bijelo" pomišlja na neki osjet koji je,naravno, posve subjektivan; no čini mi se da već u običnojjezičnoj upotrebi često nastupi objektivan smisao. Ako snijegnazovemo bijelim, onda želimo izraziti jedno objektivnosvojstvo koje se pri običnome danjemu svjetlu spoznaje ponekome osjetu. Pokaže U se on obojenim, onda se to priprosudbi uzima u obzir. Možda kažemo: on se sada činicrvenim, no on je bijel. I onaj tko je slijep za boje može govoritio crvenom i zelenom, iako on te boje u osjetu ne razlikuje. Onrazliku spoznaje time što je prave drugi ili možda nekimfizikalnim pokusom. Tako riječ za boju često ne označuje našsubjektivni osjet, o kojemu ne možemo znati da se podudara sosjetom nekoga drugoga - jer očito je da isti naziv to ne jamči -nego objektivno svojstvo. Stoga pod objektivnošću razumijemneovisnost o našemu osjećanju, zrenju i predočivanju, oprojiciranju nutarnjih slika iz sjećanja na ranije osjete; no podobjektivnošću ne razumijem i neovisnost o umu, jer odgovoritina pitanje o tome što su stvari neovisno o umu značilo bi

suditi, a da se ne sudi, značilo bi prati se, a da ne smočimokožu.

§ 27. Stoga se ne mogu složiti ni sa Schloemilchom,45 kojibroj naziva predodžbom mjesta nekoga objekta u nekomenizu.46 Kad bi broj bio predodžba, tad bi aritmetika bilapsihologija. Ona je to toliko malo koliko je to recimoastronomija. Kao što se astronomija ne bavi predodžbamaplaneta, nego planetima samim., tako ni predmet aritmetike nijenikakva predodžba. Kad bi dva bilo predodžba, tad bi to prijesvega bila samo moja predodžba. Predodžba nekoga drugogaveć je kao takva neka druga predodžba. Tada bismo moždaimah mnoge milijune dvica. Moralo bi se kazati; moje dva,tvoje dva, jedno dva, sva dva. Ako se prihvate latentne ilinesvjesne predodžbe, onda bi se trebale prihvatiti i nesvjesnedvice, koje bi onda kasnije ponovno postale svjesne. Kako seljudi razvijaju, tako bi uvijek nastajale nove dvice, i tko zna nebi li se one u tisuću godina tako promijenile da bi 2 x 2 postalo5. Unatoč tome

45 Handbuch der algebraischen Analysis. str. 1.46

Tome se može prigovoriti i to da bi se tada kada nastupi isü brojuvijek morala pojaviti Ista predodžba mjesta, što je očito pogrešno. Onošto slijedi ne bi odgovaralo kad bi pod predodžbom htio razumjetiobjektivnu ideju; no koja bi tada bila razlika između predodžbe mjesta imjesta samoga?

Predodžba u subjektivnome smislu jest ono na što se odnosepsihološki zakoni asocijacije; ona je osjetilna 1 slikovita. Predodžba uobjektivnome smislu pripada logici i u biti je neosjetilna, lako riječ kojaoznačuje objektivnu predodžbu u sebi često uključuje i subjektivnu, štoipak nije njezino značenje. Za subjektivnu se predodžbu često dadepokazati da je različita u različitih ljudi, dok je objektivna predodžba zasve ista. Objektivne se predodžbe mogu podijeliti u predmete i pojmove.Da bih izbjegao zbrku, riječ "predodžba" upotrebljavat ću samo usubjektivnome smislu. Povezujući s tom riječju oba značenja Kant jesvojemu nauku dao vrlo subjekdvnu, idealističku boju te otežao da sepogodi njegovo pravo mnijenje. Razlika što smo je ovdje povukliopravdana je isto koliko i razlika između psihologije i logike. Njih uvijekvalja posve strogo razlikovati.


bilo bi dvojbeno bi li, kao što se obično misli, bilo beskonačno mnogobrojeva. Možda bi IO10 bilo samo prazan znak, te uopće ni u kojemubiću ne bi bilo predodžbe koja bi se tako mogla nazvati.

Vidimo do kakvih čudnovatosti dolazi ako misao da je brojpredodžba protegnemo nešto dalje. Dolazimo do zaključka kako brojnije ni prostoran ni fizikalan, poput Millove hrpe šljunka i paprenjaka,a niti subjektivan poput predodžaba, nego je neosjetilan i objektivan.Osnova se objektivnosti ne može nalaziti u osjetilnome dojmu - kojije, kao afekcija naše duše, posve subjektivan - nego, koliko vidim,samo u umu.

Bilo bi čudno kad bi se najegzaktnija znanost trebala oslanjati napsihologiju, koja još nesigurno pipka oko sebe.

Broj kao skup

§ 28. Neki pisci broj tumače kao skup, mnoštvo ili množnost. Tuje neprilika u tome što su brojevi 0 i 1 isključeni iz toga pojma. Izrazi"skup", "mnoštvo" i "množnost" prilično su neodređeni: sad sepribližuju značenju "hrpe", "grupe", "agregata" - pri čemu se pomišljana prostorno zajedništvo - a sad se upotrebljavaju gotovo jednoznačnos "brojem", samo neodređenije. Stoga se u takvu Objašnjenju ne moženaći neko suvislo tumačenje pojma broja. Za oblikovanje brojaThomae47 zahtijeva da se različitim skupovima objekata dadu različitaimena. Time se očito pomišlja strože određenje onih skupova objekataza koje je davanje imena samo izvanjski znak. No pitanje je koje jevrste to određenje. Kad bi se za "3 zvijezde", "3 prsta", "7 zvijezda"htjela uvesti imena u kojima se ne bi

Elementare Theorie der analytischen Functionen, str. 1.

III. Mnijenja o jedinici i broju jedan

mogli uvidjeti zajednički sastavni dijelovi, očito je da ne binastala ideja broja. Nije stvar u tome da se uopće daju imena,nego u tome da za sebe postane označeno što je u tome broj. Zato je nužno da se on spozna u svojoj posebnosti.

Valja obratiti pozornost i na sljedeću razliku. Neki brojnazivaju skupom stvari ili predmeta; drugi, kao već Euklid,48

tumače ga kao skup jedinica. Taj izraz potrebuje posebnorazjašnjenje.

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

Izražava li brojka "jedan" svojstvo predmeta?

§ 29. U definicijama što ih Euklid daje na početku 7. knjigeElemenata čini se da on riječju "μονάς" označuje sad nekipredmet koji treba brojiti, sad svojstvo takva predmeta, sad brojjedan. Kroza sve to provlači se prijevod "jedinica" [Einheit], nosamo zato što se sama ta riječ prelijeva u tim različitimznačenjima.*

Schröder49 kaže: "Svaka stvar koju treba brojiti nazivlje sejedinicom". Postavlja se pitanje zašto se stvari najprije podvodepod pojam jedinice, a ne da se jednostavno tumači kako je brojskup stvari, čime bismo se ponovno vratili na ono prethodnostajalište. Prije svega, u nazivanju stvari jedinicama moglo bi sehtjeti pronaći pobliže određenje time što bi se, sukladnojezičnome obliku, "jedan" razumje-

48 7. knjiga Elemenata, na početku: Movas έστι, καθ'ην εκαοτον τωνόντων εν λέγεται. 'Αριθμός δε τό εκ μονάδων σιτγκείμενον ττληθος.

49Na nav. mj., str. 5.

* [Treba imati na umu da i njemačko 'Einheit' označuje kako'jedinicu', tako i 'jedinstvo'.]

57

58 OSNOVE ARITMETIKE III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan 59

lo kao pridjev i "jedan grad" shvatilo kao i "mudar čovjek".Tada bi jedinica bila neki predmet kojemu bi pripadalo svojstvo"jedan" te bi se prema "jedan" odnosila slično kao što se "jedanmudrac" odnosi prema pridjevu "mudar". Razlozima što smo ihgore istaknuli protiv tvrdnje da je broj neko svojstvo stvari valjaovdje dodati još neke posebne. Prije svega, bilo bi čudnovatošto svaka stvar ima to svojstvo. Bilo bi nerazumljivo zašto seuopće još nekoj stvari izričito pridaje to svojstvo. Tvrdnja da jeSolon mudar smisao dobiva samo mogućnošću da nešto nijemudro. Sadržaj se nekoga pojma smanjuje ako se njegov opsegpovećava; ako opseg postane sveobuhvatan, onda sadržaj moraposve iščeznuti. Nije lako zamislivo kako bi jezik došao do togada stvori pridjev koji uopće ne bi mogao služiti tome da pobližeodređuje neki predmet.

Kad bismo "jedan čovjek" mogü shvatiti slično kao "mudarčovjek", tada bismo trebali misliti kako bi se "jedan" mogloupotrijebiti i kao predikat, tako da bi se moglo kazati "Solonbijaše jedno" ili "Solon bijaše jedan", isto kao i "Solon bijašemudar". No iako se može pojaviti i "Solon bijaše jedan", to ipaksamo po sebi nije razumljivo. To bi moglo npr. značiti: Solonbijaše jedan mudrac, ako "mudrac" valja dodati iz konteksta.No čini se da "jedan" samo ne može biti predikat.50 To je jošrazgovjetnije u slučaju množine. Dok se "Solon bijaše mudar" i"Tales bijaše mudar" mogu spojiti u "Solon i Tales bijahumudri", ne može se kazati "Solon i Tales bijahu jedan".Nemogućnost toga ne bismo mogli uvidjeti kad bi "jedan", istokao i "mudar", bilo svojstvo kako Solona, tako i Talesa.

50 Postoje izričaji za koje se čini kako tome protuslove; no pritočnijemu ćemo razmatranju iznaći kako valja dodati neku riječ za pojamili kako se "jedan" ne rabi kao brojka, kako ne treba tvrditi jedinost, negojedinstvenost.

§ 30. S time je u svezi činjenica što nitko nije mogao datinikakvu definiciju svojstva "jedan". Kada Leibniz51 kaže "jednoje ono što sažimljemo jednim činom razuma", tada on "jedan"objašnjava pomoću njega samoga. A ne bismo li i mnogo moglisažeti jednim činom razuma? To je Leibniz na istome mjestu ipriznao. Slično kaže Baumann:52 "Jedno je ono što shvaćamokao jedno"; i dalje: "Ono što postavljamo kao točku ih što neželimo više postaviti kao podijeljeno, to shvaćamo kao jedno;no svako jedno izvanjskoga zora, kako čistoga, tako iempirijskoga, možemo shvatiti i kao mnogo. Svaka jepredodžba jedno ako je omeđena od neke druge predodžbe; no usebi se ona ponovno može razlučiti u mnogo". Tako se ovdjebriše svako stvarno ograničenje pojma i sve ovisi ο našemushvaćanju. Ponovno pitamo: koji smisao može imati pridavanjenekome predmetu svojstva "jedan" ako, već prema shvaćanju,svaki predmet može biti jedno, a može i da ne bude jedno?Kako na nekome tako neodređenome pojmu može počivatiznanost koja svoju slavu traži upravo u najvećoj određenosti itočnosti?

§31. Iako Baumann53 dopušta da pojam jednoga počiva nanutarnjemu zoru, na gore navedenu mjestu kao obilježja ipaknavodi nepodijeljenost i omeđenost. Kada bi ta obilježjaodgovarala, tada bismo mogli očekivati da bi i životinje mogleimati neku predodžbu jedinice. Ima li pas pri pogledu na Mjesecneku makar neodređenu predodžbu ο onome što označujemoriječju "jedan"? Teško! A on ipak sigurno razlikuje pojedinepredmete: neki drugi pas, njegov gospodar, kamenčić kojim seigra sigurno mu se pojavljuju isto tako omeđeni, za se postojeći,nepodijeljeni kao i nama.

51 Baumann, na nav. mj., sv. II, str. 2; Erdm... str. 8.52 Na nav. mj.. sv. II. str. 669.53 Na nav. mj.. sv. II. str. 669.


On će zamijetiti razliku između toga treba li se braniti od punopasa ili samo od jednoga, no to je razlika koju je Mill nazvaofizikalnom. Napose bi stvar bila u tome ima li on ο onomezajedničkome, što mi izražujemo riječju "jedan", neku jošmakar tako nejasnu svijest, npr. u slučajevima kada ga ugrizejedan veći pas i kada progoni jednu mačku. To mi ne izgledavjerojatnim·. Iz toga zaključujem kako ideja jedinice nije, kaošto misli Locke,54 razumu privedena sa svakim izvanjskimobjektom i svakom nutarnjom idejom, nego je spoznajemovišim duhovnim moćima, koje nas razlikuju od životinja. Tadasvojstva stvari kao što su nepodijeljenost i omeđenost, kojezamjećuju i životinje i mi, ne mogu biti ono bitno u našemupojmu.

§ 32. Ipak možemo naslutiti stanovitu vezu. Na to upućujejezik, time što od "jedan" izvodi "jedini" [einig]. Nešto jeutoliko prikladnije da bude shvaćeno kao zaseban predmet štose više razlike u njemu povlače nasuprot razlika prema okolini,što u većoj mjeri preteže nutarnja sveza no sveza s okolinom.Tako "jedini" znači svojstvo koje pobuđuje da se nešto umišljenju odijeli od okoline i razmotri samo za sebe. Akofrancusko "uni" znači "ravan", "gladak", onda se to može i takoobjasniti.* I riječ "jedinstvo" rabi se na sličan način kada segovori ο političkome jedinstvu neke zemlje, ο jedinstvu nekogaumjetničkoga djela. No u tome smislu izraz "jedinstvo"[Einheit] pripada manje izrazu "jedan" [Ein] nego što pripadaizrazima "jedini" [einig] ili "jedinstven" [einheitlich]. Jer akokažemo kako Zemlja ima jedan mjesec, onda mjesec time neželimo proglasiti omeđenim, za se postojećim, nepodijeljenimmje-

54 Baumann, na nav. mj.. sv. I, str. 409. [Fr. 'uni' znači 1 'ravan','gladak' 1 'jednostavan' i 'složan'.]

55Ο povijesti riječi "jedinstvo" usp. Eucken. Geschichte der

philosophischen Terminologie, str. 122-123. str. 136. str. 220.

secom, nego to kažemo u suprotnosti prema onome što jeposrijedi u slučaju Venere, Marsa ili Jupitera. U odnosu naomeđenost i nepodijeljenost Jupiterovi bi se mjeseci moglimjeriti s našim te su oni u tome smislu isto tako jedinstveni.

§ 33. Neki su pisci nepodijeljenost podigli na razinunedjeljivosti. G. Kopp56 svaku nerazdjeljivu i za se postojećupomišljenu osjetilno ili neosjetilno zamjetljivu stvar nazivapojedinačnošću, a pojedinačnosti koje se broje naziva jednima,pri čemu se "jedan" očito upotrebljava u smislu "jedinica".Obrazlažući svoje mnijenje da izvanjske stvari ne predstavljajustroge jedinice činjenicom da imamo slobodu razmatrati ih kaomnoštvo, Baumann i nerazdvojivost navodi kao obilježje strogejedinice. Time što se nutarnja povezanost podiže na razinuonoga neuvjetovanoga očito se želi dobiti obilježje jedinice kojeje neovisno ο našemu proizvoljnome shvaćanju. Taj pokušajpropada u tome što tada ne preostaje gotovo ništa što bi semoglo nazvati jedinicom i brojiti. Zato se i odmah pravi uzmakpa se kao kriterij ne postavlja sama nerazloživost, nego tek našepomišljanje nečega kao nerazloživog. No time smo po-novnodospjeli do našega nestalnoga shvaćanja. A postiže U se timenešto da se stvari pomišljaju drukčije negoli jesu? Upravosuprotno! Iz lažne pretpostavke mogu slijediti lažni zaključci. Aako iz nerazdjeljivosti ne želimo ništa zaključiti, što onda onavrijedi? Ako bez štete možemo odustati od strogosti pojmajedinice, ako to čak i moramo, čemu onda ta strogost? Nomožda samo ne treba misliti na razdjeljivost. Kao da bi senedostatkom mišljenja nešto moglo postići! No postojeslučajevi u kojima ne možemo izbjeći da mislimo narazdjeljivost, u kojima zaključak čak ovisi ο načinu na koji jejedinica razdijeljena, npr. u zadatku: ako jedan dan ima 24 sata,koliko sati imaju 3 dana?

56 Schularithmetik. Eisenach, 1867. str. 5 1 6.


Jesu li jedinice međusobno jednake?

§ 34. Tako ne uspijeva nijedan pokušaj da se objasnisvojstvo "jedan" te moramo odustati od toga da u označivanjustvari kao jedinica vidimo neko pobliže određenje. Ponovno sevraćamo na naše pitanje: zašto se stvari nazivlju jedinicama kadje "jedinica" samo drugo ime za stvar, kad su sve stvari jediniceodnosno mogu se shvatiti kao jedinice? E. Schröder57 kao razlognavodi jednakost koja se pripisuje objektima brojenja. Prijesvega, nije vidljivo zašto to jednako tako dobro ne mogunaznačiti riječi "stvar" i "predmet". Tada se postavlja pitanje:zašto se predmetima brojenja pripisuje jednakost? Da li se onanjima samo pripisuje, ih su oni zbilja jednaki? U svakomeslučaju, dva predmeta nikada nisu posve jednaki. S druge strane,gotovo se uvijek može pronaći vid u kojemu se dva predmetapodudaraju. Ako, nasuprot istini, stvarima želimo pripisatijednakost koja nadilazi onu što im pripada, onda ponovnodolazimo do našega proizvoljnoga shvaćanja. Mnogi piscizapravo bez ograničenja jedinice nazivaju jednakima. Hobbeskaže: "Broj, apsolutno iskazan, u matematici pretpostavljajednake jedinice, iz kojih se uspostavlja". Hume59 sastavnedijelove kvantitete i broja drži posve jednakovrsnima. Thomae60

individuum naziva skupom jedinica i kaže: "Jedinice sumeđusobno jednake". Isto tako ih, štoviše, ispravnije moglo bise kazati: individue skupa međusobno su različite. Sto tanavodna jednakost treba značiti za broj? Svojstva po kojima sestvari razlikuju za njihov su broj nešto nevažno i tuđe. Zato ihželimo držati po strani. No na ovaj nam način to ne polazi zarukom. Ako se, kako traži Thomae, "apstrahira od osebujnostiindivi-

57

Na nav. mj., str. 4-5. 58 Baumann, na nav. mj..sv. I, str. 242. 59 Isto, sv. II, str. 568.60

Na nav. mj.. str. 1.

dua nekoga skupa objekata" ili ako se "pri razmatranjuodvojenih stvari apstrahiraju obilježja po kojima se stvarirazlikuju", onda ne ostaje, kako misli Lipschitz, "pojam brojarazmotrenih stvari", nego se dobiva općeniti pojam, pod koji testvari potpadaju. Same stvari time ne gube ništa od svojihposebnosti. Ako npr. pri promatranju jedne bijele i jedne crnemačke apstrahiram svojstva po kojima se one razlikuju, ondadobivam recimo pojam "mačka". A ako i obje podvedem pod tajpojam i nazovem ih recimo jedinicama, onda bijela mačka ipakjoš uvijek ostaje bijela, a crna ostaje crna. No time što ne mislimna boje odnosno što iz njihove različitosti ne namjeravamizvlačiti nikakav zaključak mačke ne postaju bezbojne i ostajurazličite kakve su i bile. Pojam "mačka", koji je dobivenapstrakcijom, više ne sadrži doduše posebnosti, ah je upravotime samo jedan.

§ 35. Pukim pojmovnim postupcima ne uspijeva namrazličite stvari učiniti jednakima; no kad bi nam to uspjelo, tadaviše ne bismo imah stvari, nego samo jednu stvar; jer, kako kažeDescartes,61 broj [Zahl] - bolje: množina [Mehrzahl] - ustvarima izvire iz njihova razlikovanja. E. Schröder62 s pravomtvrdi: "Zahtjev da se stvari broje može se na razuman načinpostaviti samo tamo gdje postoje takvi predmeti koji se jedan oddrugoga dadu razgovijetno razlikovati, tj. pojavljuju seprostorno i vremenski razlučeni i omeđeni jedan premadrugome". Zapravo je to ponekad otežano prevelikom sličnošću,npr. u slučaju brojenja letava neke ograde. Posebnom seoštrinom u tome smislu izražuje W. Stanley Jevons:63 "Broj jesamo drugo ime za različitost. Točan identitet jest jedinica, a srazličitošću nastaje množ-nost". I dalje (str. 157): "Često se kažekako su jedinice

61 Baumann, na nav. mj., sv. I, str. 103.62 Na nav. mj.. str. 3.63 The Principles oj Science, 3. izd., str. 156.


jedinice ukoliko su međusobno potpuno jednake; no iako bi one unekim vidovima mogle biti potpuno jednake, barem u jednoj točcimoraju biti različite, inače se pojam množnosti na njih ne bi mogaoprimijeniti. Kad bi tri kovanice bile tako jednake da zauzimaju istiprostor u isto vrijeme, tada to ne bi bile tri kovanice, nego jedna kova-nica".

§ 36. No odmah se vidi kako nazor ο različitosti jednota nailazi nanove poteškoće. Jevons objašnjava: "Jedinica (unit) je svaki predmetmišljenja koji se može razlikovati od svakoga drugoga predmeta kojise u istome zadatku smatra jedinicom". Ovdje se jedinica objašnjavaputem sebe same, a dodatak "koji se može razlikovati od svakogadrugoga predmeta" ne sadrži nikakvo pobliže određenje, jer jesamorazumljiv. Neki predmet nazivamo drugim upravo samo zato štoga možemo razlikovati od prvoga. Jevons64 kaže dalje: "Ako napišemsimbol 5, onda zapravo mislim

1 + 1 + 1 + 1 + 1

i potpuno je jasno kako je svaka od ovih jedinica različita od svakedruge. Ako je potrebno, mogu to označiti ovako:

Γ + 1" + V" + 1"" + 1"'"."

Sigurno da je potrebno da ih različito označimo ako su različite;inače bi nastala najveća zbrka. Kad bi već različita mjesta nakojima se pojavljuje 1 trebala značiti različitost, tada bi se tomoralo postaviti kao beziznimno pravilo, jer inače nikada nebismo znali treba li 1 + 1 značiti 2 ili 1. Tada bismo trebaliodbaciti jednakost 1 = 1 te bismo bih u neprilici što istu stvarnikada ne bismo mogli označiti po drugi put. Očito je da to neide. No ako različitim

64 Na nav. mj., str. 162.


stvarima želimo dati različite znakove, onda ne možemouvidjeti zašto se u tome još uvijek držimo zajedničkogasastavnoga dijela, a ne da radije umjesto

1' + 1" + 1'" + 1"" + 1'""

pišemo

a + b + c + d + e.

Jednakost se sada ipak izgubila i naznačivanje stanovitesličnosti ne koristi ništa. Tako nam broj jedan kliže iz ruku;dobivamo predmete sa svim njihovim posebnostima. Tiznakovi,

1', 1", 1'",

bjelodan su izraz neprilike: jednakost nam je nužna - zato 1;različitost nam je nužna - zato oznake, koje, nažalost, jednakostponovno dokidaju.

§ 37. U drugih pisaca nailazimo na istu teškoću. Locke kaže:"Ponavljanjem ideje jedinice i pridodavanjem nje drugojjedinici stvaramo kolektivnu ideju koja se označuje riječju 'dva'.A tko to može dalje činiti i tako nastavljati posljednjojkolektivnoj ideji koju je imao ο nekome broju uvijek dodavajućijoš jednu i tko tome može dati ime, taj može brojiti". Leibniz66

broj definira kao 1 i 1 i 1 ih kao jedinice. Hesse67 kaže: "Akomožemo stvoriti predodžbu ο jedinici koja se u algebri označujeznakom 1, ... onda možemo misliti i na neku drugu jednakoopravdanu jedinicu i na dalje jedinice iste vrste. Ujedinjenjedruge s prvom u cjelinu daje broj 2".

65 Baumann, na nav. mj., sv. I, str. 410-411.66 Baumann, na nav. mj., sv. II, str. 3.67 Vier Species, str. 2.

65


Ovdje valja obratiti pozornost na međusobni odnos značenjariječi "jedinica" i "jedan". Leibniz pod jedinicom razumijepojam pod koji potpadaju jedan i jedan i jedan, kao što i kaže:"Ono apstraktno od jedan jest jedinica". Locke i Hesse, čini se.jedinicu i jedan rabe kao da znače isto. U osnovi to zacijelo činii Leibniz; jer pojedine predmete koji potpadaju pod pojamjedinice skupno nazivljući jedan on tom riječju ne označujepojedini predmet, nego pojam pod koji potpada.

§ 38. Da ne bismo dopustili da se zbrka raširi, bit će ipakdobro strogo provoditi razliku između jedinice i jedan. Kadakažemo "broj jedan" [die Zahl Eins], određenim članomnaznačujemo određeni, pojedinačni predmet znanstvenogaistraživanja. Ne postoje različiti brojevi jedan, nego samo jedan.U 1 imamo vlastito ime koje je kao takvo nemoguće u pluralu,isto kao i "Friedrich Veliki" ili "kemijski element zlato". Nijeslučajna, a niti predstavlja netočan način označivanja činjenicada se 1 piše bez crtice koja bi naznačila različitost. Jednakost

3 - 2 - 1

S. Jevons bi prikazao ovako:

(1' + 1" + 1"') - (1" + 1"') = 1'.

No što bi bio rezultat od

(1' + 1" + 1'") - (1"" + 1'"")?

U svakome slučaju ne F. Iz toga proizlazi da bi, prema njegovushvaćanju, mogli postojati ne samo različiti brojevi jedan, negoi različiti brojevi dva itd.; jer 1"" + 1""' ne bi moglo zastupati 1"+ 1"'. Odavde se prilično jasno vidi kako broj nije gomila stvari.Aritmetika bi se dokinula kad

bismo umjesto broja jedan, koji je uvijek isti, htjeli uvestirazličite stvari, koliko im god znakovi bili slični. Učiniti teznakove jednakima također bi bilo pogrešno. Ipak, ne možemoprihvatiti kako je najdublja potreba aritmetike pogrešnozapisivanje. Zato je nemoguće 1 shvatiti kao znak za različitepredmete, kao što su Island, Aldebaran, Solon i si. Besmislicatoga shvaćanja bit će najočitija ako pomislimo na slučajjednakosti koja ima tri korijena, naime 2, 5 i 4. Ako se dakle,prema Jevonsu, za 3 piše

1' + 1" + 1"',

onda bi 1' - ako se pod Γ, 1", 1'" razumiju jedinice i, sukladnotome, prema Jevonsu, ovdje razmatrani predmeti mišljenja -ovdje značilo 2, 1" bi značilo 5, a 1'" bi značilo 4. Ne bi li tadaumjesto 1' + 1" + 1'" bilo razumljivije pisati

2 + 5 + 4?

Plural je moguć samo za riječi koje označuju pojmove. Akose dakle govori ο "jedinicama", onda se ta riječ ne može rabiti uistome značenju kao i vlastito ime "jedan", nego kao riječ kojaoznačuje pojam. Ako "jedinica" znači "predmet koji trebabrojiti", onda se broj ne može definirati kao jedinice. Ako pod"jedinica" razumijemo pojam koji pod sobom obuhvaća samobroj jedan i ništa drugo, onda plural nema nikakva smisla iponovno je nemoguće s Leib-nizom broj definirati kao jediniceili kao 1 i 1 i 1. Ako je "i" upotrijebljeno kao u "Bunsen iKirchhoff", onda 1 i 1 i 1 nije 3 nego 1, kao što zlato i zlato izlato nije ništa drugo nego zlato. Znak plus u

1 + 1 + 1 = 3

68 OSNOVE ARITMETIKE III. Mnijenja ο jedinid i broju jedan 69

mora se dakle shvatiti drukčije nego "i", koje pomaže da seoznači skupnost, "kolektivna ideja".

§ 39. Prema tome, nalazimo se pred sljedećom poteškoćom:

Ako hoćemo dopustiti da broj nastaje spajanjem različitihpredmeta, onda dobivamo gomilu u kojoj su predmeti sadržaniupravo s onim svojstvima po kojima se razlikuju, a to nije broj.Ako, s druge strane, broj želimo stvoriti spajanjem jednakihpredmeta, onda se to neprestano stječe u jedno te nikada nedolazimo do množnosti.

Ako s 1 označimo svaki predmet koji treba brojiti, onda je togreška, jer ono što je različito dobiva isti znak. Dodamo li uz 1razlikovnu crticu, on za aritmetiku postaje neupotrebljiv.

Riječ "jedinica" savršeno je prikladna da sakrije tu po-teškoću, a to je - makar nesvjestan - razlog zašto se prednostdaje njoj, a ne riječima "predmet" i "stvar". Najprije se stvarikoje treba brojiti nazivlju jedinicama, pri čemu različitostzadržava svoje pravo; zatim spajanje, skupljanje, ujedinjenje,dodavanje, ili kako se već to želi nazvati, prelaze u pojamaritmetičke adicije, a riječ koja označuje pojam "jedinica"neprimjetno se preobrazuje u vlastito ime "jedan". Tada timedobivamo jednakost. Ako slovu u pridodam n, a njemu d, ondasvatko lako vidi kako to nije broj 3. No ako u, n i d podvedempod pojam "jedinica" i za "u i n i d" sad kažem "jedinica ijedinica i još jedna jedinica" ili " l i l i 1", onda lakopovjerujemo kako time imamo 3. Poteškoća se riječju "jedinica"tako lako skriva da je sigurno naslućuje samo malo ljudi.

Ovdje Mill s opravdanim prijekorom može govoriti οumjetnome baratanju jezikom; jer ovdje on nije izvanjskapojava misaonoga događanja, nego ga samo lažno prika-

zuje. Ovdje stvarno imamo dojam kao da, budući da onorazličito treba postati jednakim samo time što se nazivljejedinicom, ispražnjenim riječima pripada stanovita tajanstvenasnaga.

Pokušaji prevladavanja poteškoće

§ 40. Sada razmotrimo neke izvode koji se prikazuju kaopokušaji rješenja te poteškoće, iako nisu uvijek s jasnomsviješću načinjeni u tu svrhu.

Prije svega, u pomoć možemo pozvati jedno svojstvoprostora i vremena. Naime, ako se razmotri sama za sebe, nekase prostorna točka ne može razlikovati od druge, isto kao što semeđusobno ne mogu razlikovati dva pravca, ravnine,kongruentna tijela, dijelovi površina ili crta, nego se mogurazlikovati samo u svojemu zajedničkom obitavanju kaosastavni dijelovi skupnoga zora. Tako se čini kako se ovdjejednakost ujedinjuje s mogućnošću razlikovanja. Slično vrijedi iza vrijeme. Stoga dakako i Hobbes68 mnije kako teško da bi semoglo misliti kako jedinice nastaju drukčije doli dijeljenjemkontinuuma. Thomae69 kaže: "Ako se u prostoru predoči skupindividuuma ili jedinica te ih se sukcesivno broji, za što jepotrebno vrijeme, onda kao razlikujuće obilježje jedinica prisvoj apstrakciji još uvijek preostaje njihov različit položaj uprostoru i njihov različit slijed u vremenu".

Dvojba glede takva načina shvaćanja prije svega je u tomešto bi se u tom slučaju ono brojivo ograničilo na prostorno ivremensko. Već Leibniz70 odbacuje mišljenje skolastika kakobroj nastaje iz pukoga dijeljenja kon-

68 Baumann, na nav. mj., sv. I, str. 242.69

Elementare Theorie der analyt. Functionen, str. 1.70

Baumann, na nav. mj., sv. II, str. 2.

72 OSNOVE ARITMETIKE III. Mnijenja o jedinici i broju jedan 73

§ 43. Vjerojatno da bi izbjegao poteškoće do kojih dolazi S.Jevons, za kojega svaki znak 1 može značiti jedan od predmetakoji se broje, E. Schröder će dopustiti da znak 1 samo odslikavataj predmet. Posljedica je topn da on tumači samo brojku, nebroj. Naime, kaže:74 "ua bismo dobili znak koji može izrazitikoliko je takvih jedinica75 prisutno, pozornost se redomusmjeruje svaki put na pojedinu od njih i odslikava se s crticom[jedan, jedno); one se postavljaju u red, no međusobno sepovezuju znakom + (plus), budući da bi se inače primjerice 111prema uobičajenu označivanju brojeva čitalo kao stotinu i jeda-naest. Na taj način dobivamo znak kao što je

1 + 1 + 1 + 1 + 1,

čija se sastavljenost može opisati time da se kaže:

Neki prirodni broj jest zbroj brojeva jedan".

Odavde se vidi da je za Schrodera broj znak. Ono što jeizraženo tim znakom, a što sam prije nazvao brojem, onriječima "koliko je takvih jedinica prisutno" pretpostavlja kaopoznato. Isto tako, pod riječju "jedan" on razumije znak 1, a nenjegovo značenje. Znak + služi mu prije svega samo kaoizvanjsko sredstvo povezivanja bez vlastita sadržaja; zbrajanjese tumači tek kasnije. Kraće je mogao kazati ovako: napišimoznakova 1 jedan pored drugoga isto onoliko koliko imapredmeta koje treba brojiti i povežimo ih znakom +. Nula bi seizrazila time da se ne dopise ništa.

§ 44. Da se razlikovna obilježja stvari ne bi prenijela u broj,S. Jevons kaže:76

74 Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, str. 5 1 d. 7o

predmeta koje treba brojiti. 76 Na nav. mj., str. 158.

"Sad će biti pomalo teško izgraditi jasnu predodžbubrojevne apstrakcije. Ona se sastoji u apstrahiranju odkaraktera različitosti iz koje proizlazi mnoštvo, tako štoostajemo samo pri njegovoj opstojnosti. Ako govorim οtrima muškarcima, onda ne trebam odmah navestiobilježja svakoga pojedinoga, po kojima se svaki od njihmože razlikovati od drugoga. Ta obilježja morajupostojati ako su to zbilja tri muškarca, a ne jedan i isti, atime što ο njima govorim kao ο mnogima ujedno tvrdimopstojnost potrebnih razlika. Apstraktni je broj daklepuka forma različitosti."

Kako ovo razumjeti? Možemo ili apstrahirati od razlikovnihsvojstava stvari prije nego što ih ujedinimo u jednu cjelinu ihprvo možemo oblikovati cjelinu, a tada apstrahirati od načinarazlikovanja. Na prvi način uopće ne bismo došli dorazlikovanja stvari te dakle ne bismo mogli utvrditi nipostojanje razlike; čini se da Jevons misli na ovo drugo. No nevjerujem da bismo tako dobili broj 10000, jer nismo u stanjuistodobno shvatiti toliko mnogo razlika i utvrditi njihovopostojanje; jer kad bi se to zbivalo u slijedu, broj nikada ne bibio gotov. Mi doduše brojimo u vremenu, no time broj nedobivamo, nego ga samo određujemo. Uostalom, navođenjenačina apstrahiranja nije definicija.

Što treba pomišljati pod "pukom formom različitosti"?Možda stavak kao što je

"a je različito od b",

pri čemu α i b ostaju neodređeni? Bi li taj stavak bio recimobroj 2? Znači li stavak

"Zemlja ima dva pola"

isto što i


"Sjeverni je pol različit od Južnoga"?

Očito ne. Drugi bi stavak mogao postojati bez prvoga, a prvi bezdrugoga. Za broj 1000 imali bismo tada

1000 . 9991 · 2

takvih stavaka koji izražuju različitost.

Ono što kaže Jevons naročito nije prikladno za 0 i 1. Od čegazapravo treba apstrahirati da bi se npr. od Mjeseca došlo dobroja 1? Apstrahiranjem se zacijelo dobivaju pojmovi pratilacZemlje, pratilac nekoga planeta, nebesko tijelo bez vlastitasvjetla, nebesko tijelo, tijelo, predmet; no na 1 u tome nizu nemožemo naići, jer on nije pojam pod koji bi mogao potpastipojam Mjeseca. U slučaju 0 uopće nemamo predmet od kojegabismo u apstrahiranju mogli poći. Neka se ne prigovori kako 0 i1 nisu brojevi u istome smislu kao i 2 i 3! Broj odgovara napitanje "Koliko?" i ako npr. pitamo "Koliko mjeseca ima ovajplanet?", onda se na odgovor 0 možemo pripremiti isto kao i naodgovor 1 ili 2 ili 3, a da se smisao pitanja ne promijeni.Doduše, broj 0 posjeduje nešto posebno, a isto tako i 1, no to uosnovi vrijedi za svaki cijeli broj, samo kod velikih brojevauvijek manje upada u oči. Posve je proizvoljno ovdje stvaratineku vrsnu razliku. Ono što nije prikladno za 0 ih 1, to ne možebiti bitno za pojam broja.

Konačno, pod pretpostavkom ovoga načina nastanka brojauopće se neće ukloniti poteškoća na koju smo naišli kodrazmatranja opisa

1' + 1" + 1'" + 1"" + 1'""


za 5. Ovo zapisivanje stoji u suglasju s onim što Jevons kažeο apstrakciji koja tvori brojeve; naime, gornje crtice naznačujuda je prisutna različitost, a da ipak ne naznačuju njezinu vrstu.No, kako smo vidjeli, već je puko postojanje različitostidostatno da se, po Jevonsovu shvaćanju, stvore različitejedinice, dvice, trice, što je posve nespojivo s postojanjemaritmetike.

Rješenje poteškoće

§ 45. Pregledajmo sada ono što smo prije utvrdili te pitanjakoja su još ostala neodgovorena.

Broj nije apstrahiran od stvari na način boje, težine,čvrstoće, nije svojstvo stvari u onome smislu u kojemu su toboja, težina, čvrstoća. Još ostaje pitanje ο čemu se neštoiskazuje kada se navodi broj.

Broj nije ništa fizikalno, ali ni išta subjektivno, nije nikakvapredodžba.

Broj ne nastaje tako da se stvari pridoda stvar. To ne mijenjani davanje imena nakon svakoga pridodavanja.

Izrazi "mnoštvo", "skup", "množnost" zbog svoje neo-dređenosti nisu prikladni da posluže za objašnjenje broja.

U pogledu broja jedan i jedinice ostaje pitanje kakoograničiti proizvoljnost našega shvaćanja za koje se čini dabriše svaku razliku između jednoga i mnogoga.

Omeđenost, nepodijeljenost, nerazloživost nisu upotrebljivaobilježja onoga što izražujemo riječju "jedno".

Ako stvari koje treba brojiti nazovemo jedinicama, onda jebezuvjetna tvrdnja kako su jedinice jednake pogrešna. Da su ustanovitu pogledu jednake, to je doduše točno, ali

A

75

OSNOVE ARITMETIKE

bezvrijedno. Različitost stvari koje treba brojiti dapače je nužnaako broj treba biti veći od 1.

Tako se čini da bismo jedinicama trebali pridati dvaprotuslovna svojstva: jednakost i mogućnost razlikovanja.

Valja povući razliku između broja jedan i jedinice. Riječ"jedan" kao vlastito ime nekoga predmeta matematičkogaistraživanja ne može imati plural. Besmisleno je dakle dopustitida brojevi nastaju spajanjem jedinica. Znak plus u 1 + 1 = 2 nemože značiti takvo spajanje.

§ 46. Da bi se stvar rasvijetlila, bit će dobro broj razmotriti ukontekstu suda, gdje i nastupa njegov izvorni način primjene.Ako u pogledu iste izvanjske pojave jednako istinito mogukazati "ovo je jedna skupina stabala" ili "ovo su pet stabala" ili"tu su četiri odreda" i "ovdje je 500 ljudi", onda se pritom nemijenja ni pojedinačnost ni cjelina, agregat, nego mojeimenovanje. Ono je pak samo znak zamjenjivanja jednogapojma drugim. Time nam se kao odgovor na prvo pitanjeprethodnoga paragrafa nagovješćuje da navođenje broja sadržiiskaz ο nekome pojmu. To je možda najjasnije u slučaju broja0. Ako kažem 'Venera ima 0 mjeseca", onda uopće ne postojimjesec ili agregat mjeseca ο kojemu bi se nešto moglo iskazati,nego se time pojmu 'Venerin mjesec" pridaje neko svojstvo,naime svojstvo da pod sobom ne obuhvaća ništa. Ako kažem"carevu kočiju vuku četiri konja", onda broj četiri pridajempojmu "konj koji vuče carevu kočiju".

Ako navođenje broja iskazuje neko svojstvo pojma, onda bise moglo prigovoriti kako bi pojam npr. "pripadnik njemačkogacarstva", iako njegova obilježja ostaju nepromijenjena, imao tosvojstvo promjenljivo od godine do godine. Nasuprot tomemože se kazati kako i predmeti mijenjaju svoja svojstva, što nepriječi da ih priznamo kao iste. No razlog se ovdje dade navestijoš točnije. Naime, pojam

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan 77

"pripadnik njemačkoga carstva" kao promjenljiv sastavni diosadrži vrijeme, odnosno, da se izrazim matematički, taj jepojam funkcija vremena. Za "a je pripadnik njemačkogacarstva" može se kazati "a pripada njemačkome carstvu", a to seodnosi na upravo sadanju vremensku točku. Tako je dakle upojmu samome već nešto prolazno. Nasuprot tome, pojmu"pripadnik njemačkoga carstva na početku 1883. godineberlinskoga vremena" za svu vječnost pripada isti broj.

§ 47. Da navođenje broja izražuje nešto činjenično, neovisnoο našemu shvaćanju može čuditi samo one koji pojam drže zanešto subjektivno, jednako predodžbi. No taj je nazor pogrešan.Ako npr. pojam tijela podredimo pojmu teškoga ili pojam kitapojmu sisavca, onda time tvrdimo nešto objektivno. Kad bipojmovi bili subjektivni, tada bi podređenost jednoga pojmadrugome, kao njihova međusobna veza. također bila neštosubjektivno, kao veza između predodžaba. Naravno, na prvi sepogled čini kako je u rečenici

"svi kitovi su sisavci"

riječ ο životinjama, a ne ο pojmovima; no ako tkogod pita οkojim je onda životinjama riječ, ne možemo mu pokazati ni nakoju pojedinu. Pretpostavimo li i da je pred nama neki kit, našarečenica ο tome ipak ne tvrdi ništa. Iz nje se ne bi moglozaključiti kako je ta životinja sisavac, a da se ne doda rečenicada je ona kit, ο čemu naša rečenica ne sadrži ništa. Uopće,nemoguće je govoriti ο nekome predmetu, a da ga nekako neoznačimo ili imenujemo. No riječ "kit" ne imenuje nikakvopojedinačno biće. Ako na to tkogod uzvrati kako doduše nijeriječ ο pojedinačnome, određenome predmetu, ali ipak jest οneodređenome, onda mislim da je "neodređen predmet" samodrugi izraz za "pojam", i to loš, protuslovan. Iako se našarečenica može opravdati samo promatranjem pojedinihživotinja, to ipak

76


ništa ne dokazuje ο njezinu sadržaju. Za pitanje ο čemu je u njojriječ nevažno je je li ona istinita ili nije. ili iz kojih je razlogadržimo istinitom. Ako je pojam nešto objektivno, onda i iskaz οnjemu može sadržavati nešto činjenično.

§ 48. Privid da istome pripadaju različiti brojevi, koji sepojavio malo prije kod nekih primjera, objašnjava se time što supredmeti pritom pretpostavljeni kao nositelji broja. Čimistinskoga nositelja, pojam, rabimo ispravno, brojevi sepokazuju u jednakoj mjeri isključujući kao što su to boje nasvojemu području.

Sada vidimo i kako dolazi do toga da se do broja želidospjeti apstrakcijom od stvari. Ono što se time dobiva jestpojam, na kojemu se onda otkriva broj. Tako apstrakcijazapravo često prethodi oblikovanju suda ο broju. Zbrka je istakao kad bi se htjelo kazati: pojam opasnosti od vatre dobiva setime što se kuća gradi iz konstrukcije s tavanom od dasaka islamnatim krovom čiji je dimnjak propuštan.

Sabirajuća snaga pojma daleko nadmašuje ujedinjujućusnagu sintetičke apercepcije. Njome ne bi bilo moguće pri-padnike njemačkoga carstva povezati u cjelinu; no oni sezacijelo mogu podvesti pod pojam "pripadnik njemačkogacarstva" i brojiti.

Sada se dade objasniti i velika primjenljivost brojeva.Zapravo je zagonetno kako se isto može iskazati ο izvanjskim iujedno ο nutarnjim pojavama, ο prostornome i vremenskome i οneprostornome i nevremenskome. No u navođenju broja touopće nije slučaj. Samo se pojmovima, pod koje se svodi onoizvanjsko i ono nutarnje, ono prostorno i ono vremensko, ononeprostorno i ono nevremen-sko, pridaju brojevi.

§ 49. Za naš nazor potvrdu nalazimo i u Spinoze, koji kaže:"Odgovaram da se stvar naziva jednom ili jedinstvenom samo upogledu svoje egzistencije, ali ne u pogledu svoje esencije; jermi kao brojive stvari zamišljamo samo nakon što smo ih svelina neku zajedničku mjeru. Tko npr. u ruci drži jedan sesterc ijedan imperijal, taj neće misliti na broj dva ako tome sestercu itome imperijalu ne može dodijeliti jedno i isto ime, naimezlatnik ih kovanica; tada može potvrditi da ima dva zlatnika ihdvije kovanice, jer imenom kovanica ne označava samo sesterc,nego i imperijal". Kada nastavlja: "Odavde je jasno da se stvarnaziva jednom ih jedinstvenom samo nakon što je predočenaneka druga stvar, koja se (kako se kaže) s njom podudara" ikada misli da se Bog u navlastitu smislu ne može nazvati jednimih jedinstvenim, jer od njegove esencije ne možemo oblikovatinikakav apstraktan pojam, tada griješi misleći da se pojam možesteći samo neposredno, putem apstrakcije od više predmeta.Štoviše, i od obilježja se može doći do pojma, a tada je mogućeda poda nj ne potpada nijedna stvar. Kad toga ne bi bilo,egzistencija se nikada ne bi mogla zanijekati, a time bi ipotvrđivanje egzistencije izgubilo svoj sadržaj.

§ 50. E. Schröder78 naglašuje da ako treba govoriti οučestalosti neke stvari, onda ime te stvari uvijek mora biti rodnoime, općenita riječ za pojam (notio communis): "Čim se naimeneki predmet potpuno uoči - sa svim njegovim svojstvima iodnosima - onda će on stajati pred nama kao jedinstven u svijetui nigdje neće imati neki sebi jednak. Ime će predmeta tada nositikarakter vlastita imena (no-men proprium), a predmet se nemože pomišljati kao nešto što se opetovano pojavljuje. No to nevrijedi samo za konkretne predmete, to vrijedi uopće za svakustvar, pa i ako

77 Baumann., na nav. mj., sv. I, str. 169.78 Na nav. mj., str. 6.

80OSNOVE ARITMETIKE III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan 81

njezina predodžba nastane i apstrakcijama, samo ako tapredodžba u sebi uključuje takve elemente koji su dostatni dadotičnu stvar učine potpuno određenom... Ovo posljednje"(postati objektom brojenja) "kod neke stvari postaje moguće tekukoliko se neka obilježja ili odnosi što su joj svojstveni, akojima se ona razlikuje od svih drugih stvari, ne uzmu u obzirih se od njih apstrahira; tek time onda ime stvari postajepojmom koji se dade primijeniti na vise stvari".

§51. Ono što je u ovome izvodu istinito zaodjeveno je u takonaopake i varljive izraze da je neophodno raspletanje irazgledanje. Prije svega, neprikladno je općenitu riječ za pojamnazvati imenom stvari. Time nastaje privid da je broj svojstvostvari. Općenita riječ za pojam označuje upravo neki pojam.Ona samo s određenim članom ili pokaznom zamjenicomvrijedi kao vlastito ime neke stvari, no time prestaje vrijediti kaoriječ za pojam. Ime neke stvari jest vlastito ime. Predmet se nepojavljuje opetovano, nego više predmeta potpada pod jedanpojam. Već smo kod Spinoze prigovorili kako pojam nedobivamo samo apstrakcijom od stvari koje podanj potpadaju.Ovdje dodajem kako pojam ne prestaje biti pojmom time štopoda nj potpada samo jedna jedina stvar, koja je, prema tome,njime potpuno određena. Takvu pojmu (npr. Zemljin pratilac)pripada upravo broj 1, koji je u istome smislu broj kao i 2 i 3. Uslučaju pojma uvijek se postavlja pitanje potpada li nešto podanj i što je to otprilike. U slučaju vlastita imena takva su pitanjabesmislena. Ne trebamo se dati zavarati time što jezik nekovlastito ime, npr. Mjesec, upotrebljava kao riječ za pojam iobrnuto; usprkos tome, razlika ostaje. Čim se neka riječupotrijebi s neodređenim članom ili u množini bez člana, ona jeriječ koja označuje pojam.

§ 52. Daljnja se potvrda nazora da se broj pridajepojmovima može naći u njemačkoj jezičnoj upotrebi, naime

u činjenici da se kaže "zehn Mann", "vier Mark", "drei Fass".*Jednina nam ovdje naznačuje da se misli na pojam, a ne nastvar. Dobra strana takva načina izražavanja posebno se ističe uslučaju broja 0. Inače jezik broj pridaje predmetima, a nepojmu: kaže se "broj smotaka", kao i "težina smotaka". Tako senaizgled govori ο predmetima, dok se zapravo nešto želiiskazati ο nekome pojmu. Ta je jezična upotreba zbunjujuća.Izraz "četiri plemenite ruže" pobuđuje privid kao da "četiri"pobliže određuje pojam "plemenita ruža", isto kao što"plemenita" pobliže određuje pojam "ruža". Ipak, samo je"plemenita" takvo obilježje; riječju "četiri" iskazujemo nešto οpojmu.

§ 53. Pod svojstvima što se iskazuju ο pojmu ne razumijem,naravno, obilježja koja ulaze u sastav pojma. To su svojstvastvari koje potpadaju pod pojam, a ne svojstva pojma. Tako"pravokutan" nije svojstvo pojma "pravokutan trokut"; nostavak da ne postoji pravokutan pravocrtan jednakostraničantrokut izriče svojstvo pojma "pravokutan pravocrtanjednakostraničan trokut"; njemu se pridaje broj nula.

U ovomu je pogledu egzistencija slična broju. Potvrđivanjeegzistencije nije ništa drugo nego nijekanje broja nula. Budućida je egzistencija svojstvo pojma, ontološki dokaz ο egzistencijiBoga ne dostiže cilj. No kao ni egzistencija, ni jedinstvenostnije obilježje pojma "Bog". Jedinstvenost se ne možeupotrijebiti za definiciju toga pojma, isto kao što se ni trajnost,prostranost i udobnost neke kuće ne mogu upotrijebiti zajedno skamenjem, žbukom i gredama pri njezinoj gradnji. Ipak se izčinjenice da je nešto svojstvo nekoga pojma ne može općenitozaključiti kako ono ne bi moglo slijediti iz pojma, tj. iz njegovih

[Stvar je u tome što su riječi "Mann" (muškarac). "Mark" (marka) i"Fass" (bure) upotrijebljene u jednini, iako im se pridaje broj veći odjedan - deset, četiri odnosno tri.]


obilježja. Pod nekim je okolnostima to moguće, kao što se iz vrstegrađevinskoga materijala kadšto može izvesti zaključak ο postojanostineke zgrade. Stoga bi bilo previše tvrditi kako se iz obilježja nekogapojma nikada ne bi moglo zaključiti na jedinstvenost ili egzistenciju;samo, to se ne može nikada dogoditi onako neposredno kao što seobilježje nekoga pojma kao svojstvo dodjeljuje nekome predmetu kojipoda nj potpada.

Isto bi tako bilo pogrešno nijekati kako bi egzistencija ijedinstvenost ikada mogli biti obilježja pojmova. One samo nisuobilježja onih pojmova kojima bi se, susljedno jeziku, mogle pripisati.Ako se npr. svi pojmovi pod koje potpada samo jedan predmet skupepod jedan pojam, onda je jedinstvenost obilježje toga pojma. Poda njbi potpadao npr. pojam "Zemljin mjesec", ali ne tako nazvano nebeskotijelo. Tako neki pojam može potpadati pod viši pojam, takoreći podpojam drugoga reda. No taj odnos ne treba brkati s odnosompodređenosti.

§ 54. Sad će biti moguće na zadovoljavajući način objasnitijedinicu. Na str. 7 spomenutoga priručnika E. Schröder kaže:"Ono rodno ime ili pojam naziva se imenom broja koji jeoblikovan na navedeni način i taj je pojam jedinica tog broja".

Ne bi li zapravo bilo najprikladnije neki pojam nazvatijedinicom u odnosu na broj koji mu pripada? Tada bismoiskazima ο jedinici, kako je ona razlučena od okoline inedjeljiva, mogli iznaći neki smisao. Jer pojam kojemu sedodjeljuje broj na određeni način općenito izdvaja ono što podanj potpada. Pojam "slovo riječi broj" izdvaja b u odnosu na r, r uodnosu na ο itd. Pojam "slog riječi broj" riječ ističe kao cjelinu ikao nešto nedjeljivo u tom smislu da dijelovi više ne potpadajupod pojam "slog riječi broj". Nisu svi pojmovi takvi. Ono štopotpada pod pojam crvenoga npr. možemo razdijeliti namnogostruki način, a da

IV. Pojam broja

dijelovi ne prestaju poda nj potpadati. Takvu pojmu nepripada nikakav konačan broj. Stavak ο izdvojenosti inedjeljivosti jedinice dade se, prema tome, izraziti ovako:

Jedinica u odnosu na neki konačan broj može biti samotakav pojam koji ono što podanj potpada na određeni načinizdvaja i ne dopušta nikakvo proizvoljno dijeljenje.

No vidljivo je kako nedjeljivost ovdje ima posebno značenje.

Sada lako odgovaramo na pitanje kako se jednakost jedinicamože pomiriti s mogućnošću njihova razlikovanja. Riječ"jedinica" ovdje je upotrijebljena u dvostruku smislu. Jedinicesu jednake u gore objašnjenu značenju te riječi. U stavku"Jupiter ima četiri mjeseca" jedinica je "Jupiterov mjesec". Podtaj pojam potpada i I. i II. i III. i IV. Jupiterov mjesec. Stoga semože kazati: jedinica na koju se odnosi I. ista je jedinica na kojuse odnosi II. itd. Ovdje imamo jednakost. Ako pak tvrdimomogućnost razlikovanja jedinica, onda pod time razumijemomogućnost razlikovanja brojenih stvari.

IV. Pojam broja

Svaki je pojedini broj samostalan predmet

§ 55. Nakon što smo spoznali kako navođenje broja sadržiiskaz ο nekome pojmu, možemo pokušati Leibnizovu definicijupojedinih brojeva dopuniti definicijom 0 i 1.

Gotovo da smo skloni objašnjenju: nekome pojmu pripadabroj 0 ako podanj ne potpada nijedan predmet. No čini se kakoje ovdje na mjesto 0 stupilo "nijedan", koje znači isto; stogaprednost treba dati sljedećoj formulaciji: nekome pojmu pripadabroj 0 ako općenito, što god bilo a, vrijedi stavak da α nepotpada pod taj pojam.

83

84 OSNOVE ARITMETIKE IV. Pojam broja 85

Na sličan bi se način moglo kazati: nekome pojmu F pripadabroj 1 ako, što god bilo a, općenito ne vrijedi stavak da a nepotpada pod F i ako iz stavaka

"a potpada pod F" i "b potpada pod F"

općenito slijedi da su a i b isto.

Još preostaje da se općenito objasni prijelaz od nekoga brojaneposrednome sljedbeniku. Pokušajmo sljedeću formulaciju:pojmu F pripada broj (n + 1) ako postoji predmet a koji potpadapod F i koji je takav da pojmu "ono što potpada pod F, ali nijea" pripada broj n.

§ 56. Ove nam se definicije prema našim dosadanjimrezultatima nude do te mjere nenametljivo da je potrebnorazjašnjenje zašto nas ne mogu zadovoljiti.

Dvojbu će ponajprije pobuditi posljednja definicija; jer,točno uzevši, smisao izraza "pojmu G pripada broj n" isto jetako nepoznat kao i smisao izraza "pojmu F pripada broj (n +1)". Doduše, pomoću posljednje i pretposljednje definicijemožemo kazati što znači

"pojmu F pripada broj 1 + 1",

a potom, koristeći se time, možemo navesti smisao izraza

"pojmu F pripada broj 1 + 1 + 1";

itd. no - da damo jedan nezgrapan primjer - našim definicijamanikada ne možemo odlučiti pripada li nekome pojmu broj JulijeCezar, je li taj poznati osvajač Galije broj ili nije. Dalje,pomoću našega pokušaja objašnjenja ne možemo dokazati damora biti a = b ako pojmu F pripada broj a i ako istome pojmupripada broj b. Izraz "onaj broj koji pripada pojmu F" ne bi sedakle mogao opravdati te

bi time uopće bilo nemoguće dokazivati jednakost brojeva, jeruopće ne bismo mogli dohvatiti neki određeni broj. Samo jeprivid da smo objasnili 0, 1; zapravo smo samo utvrdili smisaoizričaja

"broj 0 pripada","broj 1 pripada";

no 0 i 1 u tome nije dopušteno razlikovati kao samostalne,prepoznatljive predmete.

§ 57. Ovdje je mjesto da se nešto pomnije osvrnemo na našutvrdnju kako navođenje broja sadrži iskaz ο nekome pojmu. Ustavku "pojmu F pripada broj 0" 0 je samo dio predikata, akokao stvarni subjekt uzmemo pojam F. Stoga sam izbjegavaobrojeve kao što su 0, 1,2 nazivati svojstvima pojma. Pojedini sebroj kao samostalan predmet pojavljuje upravo time što tvorisamo dio iskaza. Već sam gore upozorio na činjenicu da se kaže"die 1" te da se određenim članom 1 postavlja kao predmet. Tase samostalnost pokazuje posvuda u aritmetici, npr. u jednakosti1 + 1 = 2. Budući da nam je ovdje stalo do toga da pojam brojashvatimo onako kako je on upotrebljiv za znanost, ne treba nassmetati što se u svakodnevnoj jezičnoj upotrebi broj pojavljuje iatributivno. To se uvijek dade izbjeći. Npr. rečenica "Jupiterima četiri mjeseca" može se preinačiti u "broj Jupiterovihmjeseca jest četiri". Ovdje se "jest" ne smije smatrati pukomkopulom kao u rečenici "nebo je plavo". To se očituje u tomešto možemo kazati "broj Jupiterovih mjeseca jest četiri" ili "jestbroj 4". Ovdje "jest" ima smisao "jest jednako", "jest isto kao".Imamo dakle jednakost koja tvrdi kako izraz "broj Jupiterovihmjeseca" označuje isti predmet kao i riječ "četiri". A formajednakosti jest forma koja vlada u aritmetici. Ovo shvaćanje nijeosporeno time što u riječi "četiri" nije sadržano ništa ο Jupiteruili ο mjesecu. Ni u imenu "Kolumbo" ne nalazi se ništa ο

86

otkriću ili ο Americi, a ipak se isti čovjek naziva Kolumbom iotkrivačem Amerike.

§ 58. Moglo bi se prigovoriti kako ο predmetu što ganazivamo četiri ili brojem Jupiterovih mjeseca ne možemostvoriti nikakvu predodžbu79 kao ο nečemu samostalnome. Noza to nije kriva samostalnost što smo je dali broju. Doduše, lakose povjeruje kako u predodžbi ο četiri točke neke igraće kockepostoji nešto što bi odgovaralo riječi "četiri", no to je varka.Pomislimo na zelenu livadu i ispitajmo mijenja li se predodžbaako se našim riječima doda brojka "jedan". Time se ne dodajeništa, dok riječi "zelena" ipak odgovara nešto u predodžbi.Predočimo li otisnutu riječ "zlato", isprve pritom ne pomišljamoni na kakav broj. Pitamo li potom iz koliko se slova ona sastoji,proizlazi broj 5; no predodžba time ne postaje recimoodređenija, nego može ostati posve nepromijenjena. Pojam kojise dodaje, "slovo riječi zlato", upravo je ono u čemu otkrivamobroj. U slučaju četiriju točaka neke kocke stvar je neštoskrivenija jer nam se sličnošću točaka pojam tako neposrednonameće da teško da usred toga zamjećujemo njegovopojavljivanje. Broj se ne može predočiti ni kao samostalanpredmet ni kao svojstvo na nekoj izvanjskoj stvari, jer on nijeniti nešto osjetilno niti je svojstvo neke izvanjske stvari. Stvar jevjerojatno najrazgovjetnija u slučaju broja 0. Uzalud ćemopokušavati predočiti 0 vidljivih zvijezda. Doduše, nebo možemopomišljati posve naoblačeno, no u tome nema ničega što biodgovaralo riječi "zvijezda" ili 0. Predočujemo si samo nekostanje stvari koje može izazvati sud: sada se ne može vidjetinijedna zvijezda.

§ 59. Svaka riječ možda izaziva neku predodžbu u nama, čaki takva kao što je "samo"; no ta predodžba ne mora odgovaratisadržaju riječi, u drugih ljudi može biti neka posve druga. Ondaćemo si zacijelo predočiti takvu situaciju

79 "Predodžba" uzeta u smislu nečega slikovnoga.

87

koja zahtijeva rečenicu u kojoj se pojavljuje ta riječ ili recimo tariječ kada je izgovorena u sjećanje doziva napisanu.

To se ne događa samo u slučaju čestica. Nesumnjivo je danemamo nikakvu predodžbu naše udaljenosti od Sunca. Jer iakoznamo pravilo koliko puta moramo umnožiti neko mjerilo, ipaknam ne uspijeva nijedan pokušaj da si prema tome pravilustvorimo sliku koja se barem u nekoj mjeri približuje onome štoželimo. No to nije razlog da posumnjamo u ispravnostračunanja na temelju kojega je iznađena ta udaljenost i ni nakoji nas način ne priječi da ne utvrdimo daljnje zaključke zapostojanje te udaljenosti.

§ 60. Čak tako konkretnu stvar kao što je Zemlja ne možemopredočiti onakvom kakvom smo je spoznali da jest, nego sezadovoljavamo kuglom umjerene veličine koja nam vrijedi kaoznak za Zemlju; no znamo da je ona od Zemlje vrlo različita.Iako naša predodžba često uopće ne pogađa ono što želimo, miipak s velikom sigurnošću sudimo ο predmetu kao što je Zemljai tamo gdje se radi ο veličini.

Mišljenjem smo uopće često dovedeni iznad onoga pre-dočivoga, a da time nismo izgubili osnove za naše za-ključivanje. Iako je, kako se čini, nama ljudima mišljenje bezpredodžaba nemoguće, ipak je njihova sveza s onim mišljenimposve izvanjska, proizvoljna i konvencionalna.

Dakle, nepredočivost sadržaja neke riječi nije razlog da jojodreknemo svako značenje ih da je isključimo iz upotrebe.Privid suprotnoga nastaje vjerojatno stoga što riječi razmatramopojedinačno te kada pitamo ο njihovu značenju za njegauzimamo neku predodžbu. Tako se za neku riječ za koju namnedostaje odgovarajuća nutarnja slika čini kako nema sadržaj.Pred očima uvijek moramo imati potpunu rečenicu. Zapravosamo u njoj riječi imaju nek


značenje. Nutarnje slike koje pritom možda imamo pred očimane moraju odgovarati logičkim sastavnim dijelovima suda.Dovoljno je ako rečenica kao cjelina ima smisao; time i njezinidijelovi dobivaju svoj sadržaj.

Čini mi se da ova napomena može baciti svjetlo na mnogeteške pojmove, kao što je pojam beskonačno malenoga,80 anjezin se domet sigurno ne ograničuje na matematiku.

Samostalnost što je zahtijevam za broj ne treba značiti dabrojka označuje nešto izvan konteksta nekoga stavka, nego timeželim isključiti samo njezinu upotrebu kao predikata ili atributa,čime se njezino značenje ponešto mijenja.

§ 61. Ali. možda tkogod prigovara, iako je i Zemlja zapravonepredočiva, ona je ipak izvanjska stvar, koja ima određenomjesto. No gdje je broj 4? On nije ni izvan nas ni u nama. To je,razumljeno u prostornome smislu, točno. Mjesno određenjebroja 4 nema nikakva smisla; no iz toga slijedi samo to da broj4 nije nikakav prostorni predmet, a ne da on uopće nije nikakavpredmet. Nije svaki predmet negdje. Ni naše predodžbe81 nisu utom smislu u nama (subcutan). U nama su ganglijske stanice,krvna tjelešca i si., ali ne i predodžbe. Prostorni se predikati nanjih ne mogu primijeniti: jedna predodžba nije ni desno nilijevo u odnosu na drugu; predodžbe nisu međusobno u uda-ljenostima koje se dadu navesti u milimetrima. Ako ipakkažemo kako su u nama, onda ih pritom želimo označiti kaosubjektivne.

80 Stvar je u tome da se definira smisao jednakosti kao štoje

df(x) = g(x)dx, a ne da se pokaže na nekudužinu omeđenu dvjema različitim točkama, čija bi duljina bila dx.

81 Razumijemo li tu riječ čisto psihološki, a ne psihofizički.

No iako ono subjektivno nema nikakva mjesta, kako jemoguće da objektivni broj 4 nije nigdje? Tvrdim da u tomenema nikakva protuslovlja. Broj 4 uistinu jest isti za sve koji senjime bave; no to nema nikakve veze s prostornošću. Nemasvaki objektivni predmet neko mjesto.

Da bismo došli do pojma broja, moramo utvrditismisao brojevne jednakosti

§ 62. Ako ο broju ne možemo imati nikakvu predodžbu ilizor, kako nam onda broj treba biti dan? Riječi nešto znače samou kontekstu nekoga stavka. Stvar je dakle u tome da se objasnismisao stavka u kojemu se pojavljuje brojka. To ponajprije jošviše otvara mjesta samovolji. No već smo utvrdili kako podbrojkama valja razumjeti samostalne predmete. Time nam jedana vrsta stavaka koji moraju imati smisao - stavci kojiizražuju prepoznavanje tih samostalnih predmeta. Ako namznak a treba označivati neki predmet, onda moramo imatikriterij koji posvuda odlučuje je li b isto što i a, iako nije uvijeku našoj moći da taj kriterij primijenimo. U našemu slučajumoramo objasniti smisao stavka

"broj koji pripada pojmu F isti je broj koji pripada pojmuG";

tj. sadržaj toga stavka moramo prikazati na drugi način, neupotrijebivši izraz

"broj koji pripada pojmu F".

Time navodimo općeniti kriterij jednakosti brojeva. Nakon štosmo se tako domogli sredstva da određeni broj shvatimo i da gaprepoznamo kao istoga, možemo mu kao vlastito ime dati nekubrojku.

90 OSNOVE ARITMETIKEIV. Pojam broja 91

§ 63. Takvo sredstvo spominje već Hume:82 "Ako se dvabroja tako kombiniraju da jedan uvijek ima jedinicu kojaodgovara svakoj jedinici drugoga, onda ih proglašavamojednakima". Čini se da je u novije doba među matematičarima83

naišlo na odobravanje mnijenje da se jednakost brojeva moradefinirati pomoću jednoznačnoga pridruživanja. No pojavljujuse u prvom redu logičke dvojbe i poteškoće, koje ne možemomimoići bez ispitivanja.

Odnos se jednakosti ne pojavljuje samo kod brojeva. Čini sekako iz toga slijedi da se taj odnos ne može posebno objasnitiza ovaj slučaj. Valja misliti da je pojam jednakosti već prijeutvrđen te da bi onda iz njega i pojma broja moralo proizićikada su brojevi međusobno jednaki, a da za to nije potrebna jošjedna posebna definicija.

Nasuprot tome valja primijetiti da za nas pojam broja jošnije utvrđen, nego treba biti određen tek pomoću naše definicije.Naša je namjera oblikovati sadržaj nekoga suda koji se dadeshvatiti kao jednakost tako da je svaka strana te jednakosti nekibroj. Ne želimo dakle jednakost objasniti posebno za taj slučaj,nego pomoću već poznatoga pojma jednakosti steći ono štovalja smatrati jednakim. Naravno, čini se kako je to jedna vrloneobična vrsta definicije, za koju logičari zacijelo smatraju kakojoš nije zadovoljavajuća; no neki bi primjeri mogli pokazati danije i nečuvena.

Bauniann, na nav. mj.. sv. II. str. 565.82

83 Usp. E. Schröder, na nav. mj.. str. 7 1 8; E. Kossak. Die Elementeder Arithmetik, Programm des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums.Berlin, 1872, str. 16; G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinenMannichfaUigkeitslehre. Leipzig. 1883.

§ 64. Sud "pravac a paralelan je s pravcem b", u znakovima

α // b.

može se shvatiti kao jednakost. Ako tako učinimo, dobivamopojam smjera i kažemo: "smjer pravca a jednak je smjerupravca b". Dakle, znak // zamjenjujemo općenitijim znakom =razdjeljujući posebni sadržaj prvoga na a i b. Sadržajrazdvajamo na drukčiji način nego što je izvorni i timedobivamo novi pojam. Naravno, stvar se često shvaća obrnuto imnogi učitelji definiraju: paralelni su oni pravci koji imaju istismjer. Stavak "ako su dva pravca paralelni s trećim, onda su onimeđusobno paralelni" dade se tada vrlo prikladno dokazatipozivanjem na stavak ο jednakosti koji glasi slično. Samo. štetašto se istinita činjenica time postavlja na glavu! Jer svegeometrijsko ipak mora izvorno biti zorno. Sad pitam: ima linetko zor ο smjeru pravca? Samo ο pravcu! No razlikuje li se uzoru od toga pravca još i njegov smjer? Teško! Taj pojamiznalazimo tek duhovnom djelatnošću povezanom sa zrenjem.Nasuprot tome, imamo predodžbu ο paralelnim pravcima. Onajdokaz nastaje samo varljivom zamjenom, time što je ono štovalja dokazati pretpostavljeno upotrebom riječi "smjer"; jer kadbi stavak "ako su dva pravca paralelni s trećim, onda su onimeđusobno paralelni" bio netočan, onda se a // b ne bi moglopreinačiti u jednakost.

Na taj se način iz paralelizma površina može dobiti pojamkoji odgovara pojmu smjera kod pravaca. Za to sam naišao naime "položaj". Iz geometrijske sličnosti proizlazi pojam oblika,tako da se npr. umjesto "dva su trokuta slični" kaže "dva trokutaimaju isti oblik" ili "oblik jednoga trokuta jednak je oblikudrugoga". Tako se i iz kolineacijama vezanegeometrijske tvorevine može dobiti pojam zakoji još nedostaje ime.


§ 65. Da bismo npr. od paralelizma došli do pojmasmjera, ispitajmo sljedeću definiciju. Neka stavak

· "pravac a paralelan je s pravcem b"

znači isto što i stavak

• "smjer pravca a jednak je smjeru pravca b".

Ova definicija od uobičajene odstupa utoliko što onanaizgled određuje već poznati odnos jednakosti, dok zapravobaš ona treba uvesti izraz "smjer pravca a" koji se pojavljujesamo uzgred. Iz toga izvire druga dvojba: ne bismo li se takvompostavkom mogli zaplesti u protuslovlje s poznatim zakonimajednakosti? Koji su ti? Oni se kao analitičke istine mogu razvitiiz samoga pojma. Leibniz85 definira:

"Eadem sunt, quorum unum potest substitui alteri salvaveritate".

Ja ovu definiciju jednakosti prihvaćam. Sporedno je kažemo li"isto", kao Leibniz, ili "jednako". Doduše, čini se da "isto"označuje potpuno podudaranje, a "jednako" samo podudaranje uovome ili onome pogledu; no možemo prihvatiti takvuformulaciju da ta razlika otpada time što npr. umjesto "putovi suu duljini jednaki" kažemo "duljina putova jest jednaka" ih"ista", umjesto "površine su u boji jednake" "boja površina jestjednaka". A tako smo tu riječ upotrebljavali gore u primjerima.Zapravo su u općenitoj zamjenljivosti sadržani svi zakonijednakosti.

884 Ovdje govorim ο paralelizmu kako bih se mogao prikladnije izrazitii kako bih bio razumljiviji. Ono bitno u ovim objašnjenjima lako će semoći prenijeti na slučaj jednakosti brojeva.

85 Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm.. str. 94.

Da bismo opravdali naš pokušaj definicije smjera nekogapravca, morali bismo dakle pokazati da se

smjer od a

uvijek može zamijeniti sa

smjer od b

ako je pravac a paralelan s pravcem b. To se pojednostavljujetime što se ο smjeru nekoga pravca najprije ne poznaje nijedandrugi iskaz osim podudaranja sa smjerom nekoga drugogapravca. Trebali bismo dakle samo dokazati zamjenljivost utakvoj jednakosti ili u sadržajima koji bi te jednakosti sadržavalikao sastavne dijelove.86 Svi bi se drugi iskazi ο smjerovimamorali tek objasniti i za te definicije možemo postaviti praviloda zamjenljivost smjera nekoga pravca mora ostati očuvanasmjerom nekoga pravca koji je s njim paralelan.

§ 66. No protiv našega se pokušaja definiranja pojavljuje itreća dvojba. U stavku

"smjer od a jednak je smjeru od b"

smjer od a pojavljuje se kao predmet 7 i u našoj definicijiimamo sredstvo da taj predmet prepoznamo ako on treba

U nekome bi se hipotetičkome sudu npr. jednakost smjerova moglapojaviti kao uvjet ili posljedica.

To naznačuje određeni član [u izrazu "die Richtung von α"("smjer od α")]. Pojam je za me mogući predikat nekoga singularnogaprosudljivoga sadržaja, a predmet je njegov mogući subjekt. Ako urečenici

"smjer osi teleskopa jednak je smjeru Zemljine osi" smjer ositeleskopa shvatimo kao subjekt, onda je predikat "jednak smjeru Zemljineosi". To je pojam. No smjer Zemljine osi samo je dio predikata; on jepredmet, budući da ga možemo učiniti i subjektom.


nastupiti u nekom drugom obliku, recimo kao smjer od b. No tosredstvo nije dovoljno za sve slučajeve. Prema njemu se npr. ne možeodlučiti je li Engleska isto što i smjer Zemljine osi. Oprostite na tomeprimjeru koji izgleda besmislen! Naravno, nitko neće Engleskupobrkati sa smjerom Zemljine osi; no za to nije zaslužno našeobjašnjenje. Ono ne kaže ništa ο tome treba li stavak

"smjer od a jednak je g"

potvrditi ili zanijekati, ako g samo nije dano u obliku "smjer od b".Nedostaje nam pojam smjera, jer kad bismo ga imali, tada bismomogli utvrditi: ako g nije smjer, onda naš stavak valja zanijekati; akog jest smjer, onda odlučuje ranije objašnjenje. Lako bi se dalodefinirati:

g je smjer ako postoji pravac b čiji je g smjer.

No sada je jasno da smo se vrtjeli u krugu. Da bismo tu definicijumogli primijeniti, morali bismo već u svakome slučaju znati treba listavak

"g je jednako smjeru od b"

potvrditi ili zanijekati.

§ 67. Kad bi se htjelo kazati kako je g smjer ako je uvedengore narečenom definicijom, tada bi način na koji je predmet guveden bio obrađen kao njegovo svojstvo, što taj način nije.Definicija nekoga predmeta kao takva zapravo ne iskazuje ništaο njemu, nego utvrđuje značenje nekoga znaka. Nakon toga onase preinačuje u sud u kojemu se radi ο predmetu, no tada ga višene uvodi te s drugim iskazima ο njemu stoji na istoj liniji. Kadbismo odabrali ovaj put, pretpostavili bismo da predmet možebiti dan

IV. Pojam broja 95

samo na jedan jedini način; jer inače iz toga što g nije uvedenonašom definicijom ne bi slijedilo da ono ne bi moglo biti takouvedeno. Sve bi se jednakosti svele na to da bi kao isto bilopriznato ono što nam je dano na isti način. No to je takosamorazumljivo i tako neplodno da se ne bi isplatilo ni izreći. Iztoga se zapravo ne bi mogao izvući nikakav zaključak koji bibio različit od svake od pretpostavaka. Mnogostrana i značajnaprimjenljivost jednakosti počiva, štoviše, na tome što se neštomože prepoznati iako je dano na različite načine.

§ 68. Budući da tako ne možemo dobiti nikakav oštroograničen pojam smjera i, zbog istih razloga, niti takav pojambroja, pokušajmo jedan drugi način. Ako je pravac α paralelan spravcem b, onda je opseg pojma "pravac paralelan s pravcem a"jednak opsegu pojma "pravac paralelan s pravcem b" i obrnuto:ako su opsezi spomenutih pojmova jednaki, onda je α paralelnos b. Pokušajmo dakle objasniti:

smjer pravca α jest opseg pojma "paralelan s pravcem a";

oblik trokuta d jest opseg pojma "sličan trokutu d".

Želimo li to primijeniti na naš slučaj, onda na mjesto pravacaili trokuta trebamo postaviti pojmove, a na mjesto paralelizmaili sličnosti mogućnost da se predmeti koji potpadaju pod jedanpojam obostrano jednoznačno pridruže onima koji potpadajupod drugi pojam. Poradi kratkoće ću pojam F nazvatijednakobrojnim pojmu G ako ta mogućnost postoji; no moramzamoliti neka se ta riječ uzme kao proizvoljno izabran načinoznačivanja, čije značenje ne treba uzeti iz jezičnoga konteksta,nego iz ovoga određenja.

Prema tome, definiram:

OSNOVE ARITMETIKE

broj koji pripada pojmu F jest opseg88 pojma "jed-nakobrojan pojmu F".

§ 69. Isprve će možda biti manje jasno da je ova definicijaispravna. Ne pomišljamo li pod opsegom nekoga pojma neštodrugo? Ono što se pod njim misli vidljivo je iz osnovnih iskazakoji bi se mogli načiniti ο opsezima pojmova. Oni su sljedeći:

1. da su jednaki,2. da je jedan obuhvatniji od drugoga.

Sad je stavak

opseg pojma "jednakobrojan pojmu F" jednak je opsegupojma "jednakobrojan pojmu G"

istinit uvijek onda i samo onda ako je istinit i stavak

"pojmu F pripada isti broj kao i pojmu G".

Ovdje je dakle potpuni sklad.

Doduše, ne kažemo kako je jedan broj obuhvatniji oddrugoga u onome smislu u kojemu je opseg jednoga pojma

Vjerujem da bi se za "opseg pojma" moglo kazati jednostavno"pojam". No tomu bi se mogle prigovoriti dvije stvari:1. to stoji u protuslovlju s mojom ranijom tvrdnjom kako je pojedini brojneki predmet, što je naznačeno određenim članom u izrazima kao što je"die Zwei" te nemogućnošću da se ο jedan, dva itd. govori u pluralu, kao itime što broj čini samo jedan dio predikata navođenja broja;2. moglo bi se prigovoriti kako pojmovi mogu biti istoga opsega, a da sene podudaraju.Mislim da bi se oba prigovora mogli ukloniti, ali to bi ovdje mogloodvesti predaleko. Pretpostavljam da je poznato što je opseg pojma.

IV. Pojam broja 97

obuhvatniji od opsega drugoga pojma; no ne može se ni pojavitislučaj da je

opseg pojma "jednakobrojan pojmu F"

obuhvatnije od

opsega pojma "jednakobrojan pojmu G";

jer ako su svi pojmovi koji su jednakobrojni pojmu Gjednakobrojni i pojmu F, onda su, obrnuto, i svi pojmovi koji sujednakobrojni pojmu F jednakobrojni i pojmu G. Ovo"obuhvatniji" ne smije se, naravno, brkati s "veći" koje sepojavljuje kod brojeva.

Dakako da je zamisliv i slučaj u kojemu bi opseg pojma"jednakobrojan pojmu F" bio obuhvatniji ili manje obu-hvatanod nekoga drugoga opsega pojma koji onda, prema našojdefiniciji, ne bi mogao biti broj; a nije uobičajeno neki brojnazivati obuhvatnijim ili manje obuhvatnim od opsega nekogapojma. No, isto tako, ništa ne priječi da se takva formulacijaprihvati, u slučaju da se jednom treba pojaviti.

Dopuna i dokaz održivosti naše definicije

§ 70. Definicije dokazuju održivost svojom plodnošću.Takve definicije koje slobodno mogu izostati, a da se ne otvoripraznina u izvođenju dokaza valja odbaciti kao potpunobezvrijedne.

Ispitajmo dakle dadu li se poznata svojstva brojeva izvesti iznašega objašnjenja broja koji pripada pojmu F. Zadovoljit ćemose ovdje s najjednostavnijim.

Za to je nužno još nešto točnije shvatiti jednakobrojnost.Objasnili smo je pomoću obostrano jednoznačna pridru-

96

OSNOVE ARITMETIKE

živanja, a sada treba izložiti kako želim razumjeti taj izraz, jerbi se u njemu lako moglo pretpostaviti nešto zorno.

Razmotrimo sljedeći primjer. Želi li neki konobar bitisiguran da je na stolu onoliko noževa koliko je tanjura, on nemora brojiti ni jedne ni druge, dovoljno je samo da desno odsvakoga tanjura položi nož, tako da se svaki nož na stolu nalazidesno od tanjura. Tanjuri i noževi tako su obostranojednoznačno međusobno pridruženi, i to jednakim položajnimodnosom. Ako u stavku

"a leži desno od A"

za a i A pomišljamo umetnute uvijek druge predmete, onda diosadržaja koji time ostaje nepromijenjen sačinjava bit odnosa.Poopćimo to.

Izlučivši a i b iz nekoga prosudljivoga sadržaja u kojemu seradi ο predmetu α i predmetu b, kao preostao dobivamo odnosnipojam koji, prema tome, na dvostruki način potrebuje dopunu.Ako u stavku

"Zemlja ima veću masu od Mjeseca"

izlučimo "Zemlja", dobivamo pojam "ono što ima veću masu odMjeseca". Ako, nasuprot tome, izlučimo predmet "Mjesec",dobivamo pojam "ono što ima manju masu od Zemlje".Izlučimo li oboje ujedno, ostaje odnosni pojam koji sam za sebeima smisao isto tako malo kao i neki jednostavan pojam: onuvijek traži dopunu da bi činio prosudljM sadržaj. No to semože dogoditi na različite načine: umjesto Zemlje i Mjesecamogu postaviti npr. Sunce i Zemlju, a time će se utjecati i naizlučivanje.

Pojedini se parovi pridruženih predmeta odnose na sličannačin - moglo bi se kazati kao subjekti - prema odnosnompojmu kao i pojedini predmet prema pojmu

IV. Pojam broja 99

pod koji potpada. Subjekt je ovdje sastavljen. Kadšto, kada seodnos dade obrnuti, to dolazi do izražaja i jezično, kao u stavku"Pelej i Tetida bijahu Ahilejevi roditelji".89 Nasuprot tome, nebi npr. bilo lako moguće sadržaj stavka "Zemlja je veća odMjeseca" prikazati tako da se "Zemlja i Mjesec" pojave kaosastavljeni subjekt, jer ono "i" uvijek naznačuje stanovitoizjednačavanje. No to ne mijenja ništa na stvari.

Dakle, odnosni pojam, kao jednostavan pojam, pripadačistoj logici. Poseban je sadržaj odnosa ovdje irelevantan;relevantan je jedino logički oblik. A ono što se ο njemu možeiskazati, istina toga je analitička i spoznaje se a priori. Tovrijedi za odnosne pojmove kao i za druge pojmove.

Kao što je

"a potpada pod pojam F"

općeniti oblik nekoga prosudljivoga sadržaja, u kojemu se radiο nekome predmetu a, tako se

"a stoji u odnosu φ prema b"

može uzeti kao općeniti oblik nekoga prosudljivoga sadržaja, ukojemu se radi ο predmetu α i ο predmetu b.

§ 71. Ako dakle svaki predmet koji potpada pod pojam Fstoji u odnosu φ prema nekome predmetu koji potpada podpojam G i ako prema svakome predmetu koji potpada pod G uodnosu φ stoji neki predmet koji potpada pod F, onda supredmeti koji potpadaju pod F i G međusobno pridruženiodnosom φ.

89 S Uni ne treba pobrkati slučaj u kojemu "1" samo naizgledpovezuje subjekte, a zapravo povezuje dvije rečenice.

98


Još se može postaviti pitanje što znači izraz

"svaki predmet koji potpada pod F stoji u odnosu φ premanekome predmetu koji potpada pod G"

ako pod F ne potpada uopće nijedan predmet. Pod tim razumijem:

stavci

"a potpada pod F"

"a ne stoji u odnosu φ ni prema kojemu predmetu kojipotpada pod G"

ne mogu oba biti istiniti, što god značilo a, tako da je lažan iliprvi ili drugi ili oba. Iz toga proizlazi da je "svaki predmet kojipotpada pod F stoji u odnosu φ prema nekome predmetu kojipotpada pod G" istinito ako ne postoji predmet koji potpada podF, jer onda prvi stavak,

"a potpada pod F",

uvijek valja zanijekati, što god bilo a.

Isto tako,

"prema svakome predmetu koji potpada pod G nekipredmet koji potpada pod F stoji u odnosu φ"

znači da stavak

"a potpada pod G"

IV. Pojam broja 101

i

"nijedan predmet koji potpada pod F ne stoji prema α uodnosu φ"

ne mogu oba biti istiniti, što god moglo biti a.

§ 72. Sada smo vidjeli kada se predmeti koji potpadaju podF i pod G međusobno pridružuju odnosom φ. Το pridruživanjeovdje treba biti obostrano jednoznačno. Pod tim razumijem davrijede sljedeći stavci:

1. ako d stoji u odnosu φ prema α i ako d stoji u odnosu φprema e, onda je općenito, što god mogli biti d, a i e, a isto što ie;

2. ako d stoji u odnosu φ prema α i ako b stoji u odnosu φprema a, onda je općenito, što god mogli biti d, b i a, d isto što ib.

Time smo obostrano jednoznačno pridruživanje sveli načiste logičke odnose te sada možemo definirati ovako:

izraz

"pojam F jednakobrojan je pojmu G"

znači isto što i izraz

"postoji odnos φ koji predmete koji potpadaju pod pojamF obostrano jednoznačno pridružuje predmetima kojipotpadaju pod pojam G".

Ponavljam:

broj koji pripada pojmu F jest opseg pojma "jedna-kobrojan pojmu F"

OSNOVE ARITMETIKE102

i dodajem:

izraz

"n je broj" znači

isto što i izraz

"postoji pojam takve vrste da je n broj koji mu pripada".

Tako je definiran pojam broja, dakako naizgled sobomsamim, no ipak bez greške, jer je "broj koji pripada pojmu F"već definirano.

§ 73. Sada najprije želimo pokazati da je broj koji pripadapojmu F upravo jednak onome broju koji pripada pojmu G akoje pojam F jednakobrojan pojmu G. Naravno, to zvuči poputtautologije, no to nije tautologija, budući da značenje riječi"jednakobrojan" ne proizlazi iz konteksta, nego iz gore danedefinicije.

Prema našoj definiciji valja pokazati da je opseg pojma"jednakobrojan pojmu F" isti kao i opseg pojma "jednakobrojanpojmu G" ako je pojam F jednakobrojan pojmu G. Drugimriječima, mora se dokazati da pod tom pretpostavkom općenitovrijede stavci:

ako je pojam Η jednakobrojan pojmu F, onda je onjednakobrojan i pojmu G

ako je pojam Η jednakobrojan pojmu G, onda je onjednakobrojan i pojmu F.

Prvi se stavak svodi na to da postoji odnos koji predmete kojipotpadaju pod pojam Η obostrano jednoznačno pri-

IV. Pojam broja

družuje predmetima koji potpadaju pod pojam G ako postojiodnos φ koji predmete koji potpadaju pod pojam F jednoznačnoobostrano pridružuje predmetima koji potpadaju pod pojam G iako postoji odnos ψ koji predmete koji potpadaju pod pojam Ηobostrano jednoznačno pridružuje predmetima koji potpadajupod pojam F. Sljedeći će poredak slova to učiniti preglednim:

Η ψ F φ G.

Takav se odnos zapravo može navesti; on leži u sadržaju

"postoji predmet prema kojemu c stoji u odnosu ψ i kojiprema b stoji u odnosu φ"

ako iz njega izlučimo c i b (shvaćene kao točke odnosa). Možese pokazati kako je taj odnos obostrano jednoznačan i kako onpredmete koji potpadaju pod pojam Η pridružuje predmetimakoji potpadaju pod pojam G.

Na sličan se način može dokazati i drugi stavak.90 Te ćenaznake, nadam se, dostatno pokazati kako osnovu dokaza nemoramo uzimati iz zrenja i kako se s našim definicijama neštodade učiniti.

§ 74. Sada možemo prijeći na objašnjenja pojedinih brojeva.

Budući da ništa ne potpada pod pojam "nejednak samomesebi", definiram:

0 je broj koji pripada pojmu "nejednak samome sebi".

90 Tako je 1 obrnuto od toga: ako je broj koji pripada pojmu F isti kaoi broj koji pripada pojmu G. onda je pojam F jednakobrojan pojmu G.

103


Možda tkogod prigovori što ovdje govorim ο pojmu. Moždaprigovori kako je u tome sadržano protuslovlje i podsjeća nastare znance, drveno željezo i četvrtasti krug. Mislim da oniuopće nisu tako loši kakvima su ih učinili. Oni doduše ne mogubaš biti od neke koristi, ali ne mogu ni štetiti; dovoljno je da nepretpostavimo kako nešto pod njih potpada, a to još ne činimonjihovom pukom upotrebom. Činjenica da neki pojam sadržiprotuslovlje nije uvijek tako očita da ne potrebuje nikakvaistraživanja; za to istraživanje pojam tek trebamo imati i logičkiga obraditi kao i svakog drugog. Sve što se s logičke stranemože tražiti od nekoga pojma, a za strogost izvođenja dokaza,jest oštro ograničenje da je za svaki predmet određeno potpadali pod taj pojam ili ne. Taj zahtjev sasvim zadovoljava pojamkoji sadrži protuslovlje, kao što je "nejednak samome sebi", jerza svaki se predmet znade da ne potpada pod takav pojam.91

Riječ "pojam" upotrebljavam na takav način da je

"a potpada pod pojam F"

općeniti oblik prosudljivoga sadržaja u kojemu se radi οnekome predmetu α i koji ostaje prosudljiv što god stavimo zaα. Α u tom smislu

91 Od toga je posve različita definicija predmeta iz pojma pod kojipotpada. Izraz "najveći pravi razlomak" [der grösste ächte Bruch] npr.nema sadržaj, jer određeni član zahtijeva da se pokaže jedan određenipredmet. Nasuprot tome je pojam "razlomak koji je manji od 1 i takav daga u veličini ne nadmašuje nijedan razlomak koji je manji od 1" posvenedvojben i kako bi se moglo dokazati da ne postoji nijedan takavrazlomak potreban je čak i takav pojam, iako on u sebi sadrži protuslovlje.No kad bi se tim pojmom htio odrediü neki predmet koji poda nj potpada,svakako bi bilo nužno prije toga pokazati dvoje:1. da pod taj pojam potpada neki predmet;2. da poda nj potpada samo jedan jedini predmet.No budući da je već prvi od ovih stavaka lažan, besmislen je i izraz"najveći pravi razlomak" [der grösste ächte Bruch].

"α potpada pod pojam 'nejednak samome sebi'" znači isto

što i

"a je nejednako samome sebi" ili

"a nije jednako a".

Za definiciju 0 mogao sam uzeti svaki drugi pojam pod koji nepotpada ništa. No bilo mi je stalo do toga da izaberem takav οkojemu se to može dokazati čisto logički, a za to jenajprikladniji "nejednak samome sebi", pri čemu dopuštam daza "jednak" vrijedi prije navedeno Leibnizovo objašnjenje, kojeje čisto logičko.

§ 75. Pomoću onoga što je prije utvrđeno sada se mora datidokazati da je svaki pojam pod koji ne potpada ništajednakobrojan svakome pojmu pod koji ne potpada ništa i samotakvome, iz čega slijedi da je 0 broj koji pripada takvu pojmu ida nijedan predmet ne potpada pod pojam ako je broj koji tomupojmu pripada 0.

Pretpostavimo li da nijedan predmet ne potpada ni podpojam F ni pod pojam G, onda nam je, da bismo dokazalinjihovu jednakobrojnost, nužan odnos φ, za koji vrijede stavci:

svaki predmet koji potpada pod F stoji u odnosu φ premanekom predmetu koji potpada pod G; prema svakomepredmetu koji potpada pod G u odnosu φ stoji nekipredmet koji potpada pod F.

Prema onome što je ranije kazano [§ 71] ο značenju ovihizraza, te uz naše pretpostavke, svaki odnos ispunjava te uvjete,dakle i jednakost, koja je, povrh toga, i obostrano jednoznačna,jer vrijede oba gore [§ 72] za to tražena stavka.


Ako, nasuprot tome, pod G potpada neki predmet, npr. a, dok podF ne potpada nijedan, onda su stavci

"a potpada pod G"

i

"nijedan predmet koji potpada pod G ne stoji u odnosu φprema a"

istiniti za svaki odnos φ, jer prvi je istinit prema prvojpretpostavci, a drugi prema drugoj. Ako naime ne postojinijedan predmet koji potpada pod F, onda ne postoji ni predmetkoji bi stajao u bilo kakvu odnosu prema a. Ne postoji dakleodnos koji bi, prema našemu objašnjenju, predmete kojipotpadaju pod F pridruživao predmetima koji potpadaju pod Gte su, prema tome, pojmovi F i G nejednakobrojni.

§ 76. Sada želim definirati odnos u kojemu dva susjednačlana niza prirodnih brojeva uvijek stoje jedan prema drugome.Stavak

"postoji pojam F i predmet x koji poda nj potpada takavda je n broj koji pripada pojmu F i da je m broj kojipripada pojmu potpada pod F, ali nije jednak s x' "

znači isto što i

"u nizu prirodnih brojeva n slijedi neposredno iza m".

Izbjegavam izraz "n je onaj broj koji neposredno slijedi izam" [n ist die auf m nächstfolgende Anzahl], jer bi se zaopravdanje određenoga člana tek morali dokazati dva

IV. Pojam broja10

7

stavka.92 Zbog istoga razloga ovdje još ne kažem "n = m + 1",jer se i znakom jednakosti (m + 1) označuje kao predmet.

§ 77. Da bismo došli do broja 1, moramo prije svegapokazati da postoji nešto što u nizu prirodnih brojevaneposredno slijedi iza 0.

Razmotrimo pojam - ili, ako se tako više želi, predikat -"jednak 0". Podanj potpada 0. Nasuprot tome, pod pojam"jednak 0, ali nejednak 0" ne potpada nikakav predmet, tako daje 0 broj koji pripada tome pojmu. Prema tome, imamo pojam"jednak 0" i predmet koji poda nj potpada, 0, za koji vrijedi:

broj koji pripada pojmu "jednak 0" jednak je broju kojipripada pojmu "jednak 0";

broj koji pripada pojmu "jednak 0, ah ne jednak 0" jest 0.

Dakle, prema našoj definiciji [§ 76], broj koji pripada pojmu"jednak 0" u nizu prirodnih brojeva slijedi neposredno iza 0.

Ako sad definiramo:

1 je broj koji pripada pojmu "jednak 0",

onda posljednji stavak možemo izraziti ovako:

u nizu prirodnih brojeva 1 slijedi neposredno iza 0.

Možda nije suvišno primijetiti da definicija broja 1 za svojuobjektivnu legitimnost ne pretpostavlja nikakvu pro-

92 Usp. b. na str. 102.

OSNOVE ARITMETIKE

matranu činjenicu; jer lako se možemo zbuniti misleći kakomoraju biti ispunjeni stanoviti subjektivni uvjeti da bismo moglinačiniti definiciju i da nam za to povoda daju osjetilni opažaji.94

To bi čak i mogao biti slučaj, a da izvedeni stavci ne prestanubiti apriorni. Takvim 'uvjetima pripada npr. i to da krv udostatnome obilju i ispravne kakvoće struji kroz mozak - baremkoliko znamo - no istina je našega posljednjega stavka ο tomeneovisna; ona postoji i kada toga više nema; pa i kad bi svaumna bića jednom istodobno trebala zapasti u zimski san. onane bi nipošto bila ukinuta, nego bi ostala posve netaknuta. Istinanašega stavka nije njegova pomišljenost.

§ 78. Ovdje navodim neke stavke koje valja dokazatipomoću naših definicija. Čitatelj će lako dokučiti kako se tomože učiniti.

1. Ako u prirodnome nizu brojeva a slijedi neposredno iza0, onda a = 1.

2. Ako je 1 broj koji pripada nekome pojmu, onda postojipredmet koji potpada pod taj pojam.

3. Ako je 1 broj koji pripada nekome pojmu F; ako predmetx potpada pod pojam F i ako y potpada pod pojam F,onda x — y, tj. x je isto što i y.

4. Ako pod pojam F potpada neki predmet i ako se općenitoiz toga što x potpada pod pojam F i što y potpada podpojam F može zaključiti da x - y, onda je 1 broj kojipripada pojmu F.

5. Odnos m prema n, koji je postavljen stavkom

93 Stavak bez općenitosti.94 Usp. B. Erdmann. Die Axiome der Geometrie, str. 164.

IV. Pojam broja 109

"u nizu prirodnih brojeva η slijedi neposredno iza m"

jest obostrano jednoznačan odnos.

Time još nije kazano da za svaki broj postoji neki drugi kojiu brojevnome nizu neposredno slijedi iza njega ili iza kojega onneposredno slijedi.

6. U nizu prirodnih brojeva svaki broj osim 0 neposrednoslijedi iza nekoga broja.

§ 79. Da bismo sad mogli dokazati da u nizu prirodnihbrojeva iza svakoga broja (n) neposredno slijedi neki broj,moramo pronaći pojam kojemu pripada ovaj posljednji broj.Kao taj pojam izabiremo

"ono što pripada nizu prirodnih brojeva koji završava s n"

i prvo ga trebamo objasniti.

Najprije nešto drukčijim riječima ponavljam definicijuslijeda u nizu što sam je dao u svojemu Pojmopisu. *

Stavak

"ako svaki predmet prema kojemu x stoji u odnosu φpotpada pod pojam F i ako iz toga što d potpada podpojam F općenito, što god bilo d, slijedi da svaki predmetprema kojemu d stoji u odnosu φ potpada pod pojam F,onda y potpada pod pojam F, koji god pojam bio F

znači isto što i

* [Usp. G. Frege, Begriffschrift, eine der arithmetischennachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle. 1879, 60 (def.76).]

108


"u φ-nizu y slijedi iza x"

i

"u φ-nizu x prethodi y".

§ 80. Uz ovo neće biti suvišne neke opaske. Budući da jeodnos φ ostao neodređen, niz ne treba nužno pomišljati u oblikuprostornoga i vremenskoga poretka, iako ti slučajevi nisuisključeni.

Možda bismo prirodnijim mogli držati jedno drugo objašnjenje,npr.: ako polazeći od x svoju pozornost uvijek skrećemo odjednoga predmeta na drugi, prema kojemu onaj stoji u odnosuφ, i ako na taj način naposljetku možemo dokučiti y, ondakažemo kako u φ-nizu y slijedi iza x.

Ovo je način istraživanja stvari, a ne definicija. Dokučujemo liy premještanjem naše pozornosti, to može ovisiti ο raznimsubjektivnim sporednim okolnostima, npr. ο vremenu koje namstoji na raspolaganju ili ο našemu poznavanju stvari. Da li u φ-nizu y slijedi iza x, to općenito nema veze s našom pozornošću iuvjetima njezina pomicanja, nego je nešto stvarno, isto kao štozeleni list reflektira neke zrake svjetla, bez obzira na to upadajuli mi u oči i izazivaju li osjete ili ne, isto kao što se zrno solitopi u vodi, bez obzira na to bacam li ga u vodu i promatram lidogađaj ili ne i kao što je topivo čak i kada uopće nemammogućnosti s njim prirediti neki pokus.

Mojom je definicijom stvar uzdignuta iz područja subjektivnihmogućnosti u područje objektivne određenosti. Zapravo:činjenica da iz stanovitih stavaka slijedi neki drugi jest neštoobjektivno, neovisno ο zakonima kretanja naše pozornosti te jezato svejedno izvodimo li mi uistinu zaključak ih ne. Ovdjeimamo kriterij koji pitanje rješava svugdje gdje se ono možepostaviti, iako bismo u ponekom

slučaju izvanjskim okolnostima mogli biti spriječeni daprosudimo je li odgovarajući. To je za stvar samu posvenevažno.

Ne moramo uvijek prijeći sve međučlanove od početnogačlana do nekoga predmeta da bismo bih sigurni da on slijedi započetnim, članom. Ako je npr. dano da u φ-nizu b slijedi iza a, ac iza b, onda, prema našemu objašnjenju, možemo zaključiti dac slijedi iza a bez poznavanja međučlanova.

Jedino će tom definicijom slijeda u nizu biti moguće načinzaključivanja od n na (n. + 1), koji je prividno svojstvenmatematici, svesti na općenite logičke zakone.

§ 81. Ako kao odnos φ imamo onaj odnos u kojemu je odnosm prema n postavljen stavkom

"u nizu prirodnih brojeva n slijedi neposredno iza m",

onda umjesto "φ-niz" kažemo "niz prirodnih brojeva".

Dalje definiram:

stavak

"u φ-nizu y slijedi iza x ili y je isto što i x" znači isto

što i

"y pripada φ-nizu koji započinje s x" i

"x pripada φ-nizu koji završava s y".

112 OSNOVE ARITMETIKEi prema tome, a pripada

nizu prirodnih brojeva koji završava s n ako u nizu prirodnihbrojeva n ili slijedi iza a ili je jednako a.95

§ 82. Sada valja pokazati da - pod uvjetom koji još trebanavesti - broj koji pripada pojmu

"ono što pripada prirodnome nizu brojeva koji završavas n"

u prirodnome nizu brojeva neposredno slijedi iza n. Α time jeonda dokazano da postoji broj koji u nizu prirodnih brojevaneposredno slijedi iza n, da ne postoji posljednji član toga niza.Očito je da se taj stavak ne može utemeljiti na empirijski načinili indukcijom.

Odvelo bi nas predaleko da ovdje dademo sam dokaz. Dostatnoje samo ukratko naznačiti njegov tijek. Valja dokazati

1. ako u nizu prirodnih brojeva a neposredno slijedi iza d iako za d vrijedi:

broj koji pripada pojmu

"ono što pripada prirodnome nizu brojeva kojizavršava s d"

u nizu prirodnih brojeva neposredno slijedi iza d,

onda i za a vrijedi:

broj koji pripada pojmu

95 Ako n nije broj. onda jedino n pripada nizu prirodnihbrojeva koji završava s n. Ne dajmo se smesti tim izrazom..

IV. Pojam broja

"ono što pripada prirodnome nizu brojeva koji završava s a"

u nizu prirodnih brojeva slijedi neposredno iza a.

Drugo, valja dokazati da za 0 vrijedi ono što je upravoizrečenim stavcima iskazano ο d i a te onda zaključiti da tovrijedi i za n ako n pripada nizu prirodnih brojeva koji započinjes 0. Ovaj je način zaključivanja primjena definicije što sam jedao [§ 79, § 81] za izraz

"y u nizu prirodnih brojeva slijedi iza x"

time što kao pojam F valja uzeti onaj zajednički iskaz ο d i a, alis 0 i n uvrštenim za d i a.

§ 83. Da bismo dokazali stavak (1) prethodnoga §, moramopokazati da je a broj koji pripada pojmu "ono što pripada nizuprirodnih brojeva koji završava sa, ali nije jednako α". Α za toopet valja dokazati kako je taj pojam istoga opsega kao i pojam"ono što pripada nizu prirodnih brojeva koji završava s d". Za tonam je potreban stavak da nijedan predmet koji pripada nizuprirodnih brojeva što započinje s 0 u nizu prirodnih brojeva nemože slijediti iza samoga sebe. To se isto tako mora dokazatipomoću naše definicije slijeda u nizu, kako je gore naznačena.96

96 Čini se da E. Schröder (na nav. mj., str. 63) taj stavak shvaćakao posljedicu jednoga načina označivanja koji se može zamisliti idrukčije. I ovdje se dade zamijetiti nedostatak koji umanjuje vrijednostčitava njegova istraživanja ove stvari: da se ne zna točno je li broj znak išto je onda njegovo značenje ili je on sam upravo to značenje. Iz toga štose služimo različitim znakovima, tako da se nikada ne vraća Isti, još neslijedi da ti znakovi znače i nešto različito.

113


Time smo prinuđeni stavku da broj koji pripada pojmu

"ono što pripada nizu prirodnih brojeva koji završava s n",

a koji u nizu prirodnih brojeva slijedi neposredno iza npridodati uvjet da n pripada nizu prirodnih brojeva kojizapočinje s 0. Za to je upotrebljiv kraći način izražavanja, kojisad objašnjavam:

stavak

"n pripada nizu prirodnih brojeva koji započinje s 0"

znači isto što i

"n je konačan broj".

Posljednji stavak tada možemo izraziti ovako: u nizuprirodnih brojeva nijedan konačan broj ne slijedi iza sebesamoga.

Beskonačni brojevi

§ 84. Nasuprot konačnima stoje beskonačni brojevi. Brojkoji pripada pojmu "konačan broj" jest beskonačan. Označimoga recimo s beskonačno Kad bi on bio konačan, u nizuprirodnih brojeva ne bi mogao slijediti iza samoga sebe.No može se pokazati da to čini ∞1

U tako definiranu beskonačnome broju ∞ , nema ničega naneki način tajanstvenoga ili začudnoga. "Broj koji pripadapojmu F jest ∞1", ne znači ništa više i ništa manje nego: postojiodnos koji predmete koji potpadaju pod pojam F obostranojednoznačno pridružuje konačnim bro-

IV. Pojam broja

jevima. To je, prema našoj definiciji, posve jasan i nedvo-značan smisao i to je dostatno da bi se opravdala upotrebaznaka ∞1 i da bi mu se osiguralo značenje. Posve je nevažno štone možemo stvoriti nikakvu predodžbu ο beskonačnome broju;to bi se ticalo i konačnih brojeva. Na tajnačin naš broj ∞1 isto je tako određen kao i bilo koji konačanbroj; nedvojbeno je da se može prepoznati kao isti i razlikovatiod nekoga drugoga.

§ 85. Nedavno je G. Cantor u jednome pozornosti vri-jednome spisu9 uveo beskonačne brojeve. Posve se s njimslažem u prosudbi nazora koji kao zbiljske želi dopustiti davrijede uopće samo konačni brojevi. Osjetilno zamjetljivi iprostorni nisu ni ti brojevi ni razlomci, ni negativni, iracionalni ikompleksni brojevi; i ako se zbiljskim nazove ono što utječe naosjetila ili što barem ima takve učinke koji bi za svoju bližu iliudaljeniju posljedicu mogli imati osjetilne zamjedbe, onda,naravno, nijedan od tih brojeva nije zbiljski. No mi takvezamjedbe uopće i ne trebamo kao dokazne razloge za našepoučke. Neko ime ili znak koji je uveden logički bez prigovorau našim istraživanjimamožemo upotrijebiti bez straha te je tako naš broj °°1 opravdanisto kao i broj dva ili tri.

Slažući se u tome, kako vjerujem, s Cantorom, ipak se unazivlju ponešto od njega udaljujem. Moj broj on naziva "moć",dok se njegov pojam broja98 odnosi na uređaj. Dakako, zakonačne brojeve ipak vrijedi neovisnost ο slijedu u nizu, ali,nasuprot tome, to ne vrijedi za beskonačno velike brojeve. Nojezična upotreba riječi "broj" i pitanje "Koliko?" ne sadržinikakvo upućivanje na određeni uređaj.

97 Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre,Leipzig, 1883.

98 Može se činiti kako taj izraz protuslovi ranije istaknutojobjektivnosti pojma; no subjektivan je ovdje samo nazivak.

115

116 OSNOVE ARITMETIKE V. Zaključak11

7

Cantorov broj prije odgovara na pitanje "Najkolikiji član uuređaju jest krajnji član?". Stoga mi se čini da se moje nazivljebolje slaže s jezičnom upotrebom. Ako se proširi značenje nekeriječi, onda se mora paziti na to da svoje važenje dobije što jeviše moguće općenitih stavaka, a pogotovo tako osnovni stavakkao što je za broj to neovisnost ο slijedu u nizu. Mi nismoučinili nužnim uopće nikakvo proširenje, jer naš pojam brojaodmah obuhvaća i beskonačne brojeve.

§ 86. Da bi došao do svojih beskonačnih brojeva, Cantoruvodi odnosni pojam slijeda u uređaju, koji odstupa od mojega"slijeda u nizu". Prema njemu bi npr. uređaj nastao i kad bi sekonačni pozitivni cijeli brojevi uredili tako da u svojemuprirodnome nizu neparni brojevi za sebe i isto tako parni za sebeslijede jedan za drugim i kad bi se, nadalje, utvrdilo da svakiparni treba slijediti iza svakoga neparnoga. U tom bi uređajunpr. 0 slijedilo iza 13. No nijedan broj ne bi neposrednoprethodio 0. To je slučaj koji se ne može pojaviti u slijedu unizu kako sam ga ja definirao. Može se strogo dokazati, a da sene poslužimo nijednim aksiomom zrenja, da ako y u φ-nizuslijedi iza x, onda postoji predmet koji u tome nizu neposrednoprethodi y. Čini mi se da još nedostaju točne definicije slijeda uuređaju i Cantorova broja. Stoga se Cantor, tamo gdje trebatežiti za dokazom iz definicija i gdje bi on zacijelo bio i moguć,poziva na ponešto otajstven "nutarnji zor" Vjerujem dapredviđam kako bi se ti pojmovi dali odrediti. U svakomslučaju, ovim opaskama uopće ne želim napasti njihovoopravdanje i plodnost. Nasuprot tome, u ovim istraživanjimapozdravljam proširenje znanosti, posebno zato stoje njimeprokrčen čisto aritmetički put prema višim beskonačno velikimbrojevima (moćima).

V. Zaključak

§ 87. Nadam se da sam u ovome spisu učinio vjerojatnimda su aritmetički zakoni analitički sudovi i, sukladno tome,apriorni. Po tome bi aritmetika bila samo šire izgrađena logika,svaki bi aritmetički stavak bio neki logički zakon, premdaizveden. Primjene aritmetike na objašnjenje prirode bile bilogičke razrade promatranih činjenica;" računanje bi biloizvođenje zaključaka. Za zakone brojeva, da bi se daliprimijeniti u izvanjskome svijetu, neće, kako misli Baumann, °°biti nužno praktično opravdanje; jer u izvanjskome svijetu,cjelokupnosti prostornoga, nema pojmova, nema svojstavapojmova, nema brojeva. Dakle, zakoni se brojeva zapravo nemogu primijeniti na izvanjske stvari: oni nisu zakoni prirode.Ali se svakako dadu primijeniti na sudove koji vrijede za stvariizvanjskoga svijeta: oni su zakoni zakona prirode. Oni ne tvrdesvezu između prirodnih pojava, nego svezu između sudova, anjima pripadaju i zakoni prirode.

§ 88. Kant101 je očito podcijenio vrijednost analitičkihsudova - što je zacijelo posljedica preuskoga određenja togapojma - iako mu je ovdje upotrijebljen širi pojam, čini se, lebdiopred očima.102 Uzme li se kao osnova njegova definicija,podjela na analitičke i sintetičke sudove nije potpuna. On mislina slučaj općepotvrdnoga suda. Tada se može govoriti ο pojmusubjekta te pitati je li u njemu - u skladu s definicijom - sadržanpojam predikata. No što već samo promatranje uključuje neku logičkudjelatnost.

100 Na nav. mj., sv. II, str. 670.101 Na nav. mj.. HI, str. 39 1 d [= KrV Β 10-14; hrv. prijevod

str. 26-27].102 Na str. 43 kaže kako se neki sintetički stavak može shvatiti

prema načelu protuslovlja samo ako je pretpostavljen neki drugisintetički stavak. [Usp. Β 14 1 hrv. prijevod, str. 381.]


ako je subjekt pojedinačan predmet? Što ako je posrijediegzistencijalni sud? U tome smislu tada uopće ne može biti riječ οpojmu subjekta. Čini se da Kant pojam pomišlja određen putempridodanih obilježja; no to je jedno od najmanje plodnih tvorenjapojma. Pregledamo li gore dane definicije, jedva da ćemo naći jednutakve vrste. Isto vrijedi i za uistinu plodne definicije u matematici, npr.neprekinutosti neke funkcije. Ovdje nemamo niz pridodanih obilježja,nego bližu, mogao bih kazati organskiju povezanost određenja.Razlika se može učiniti zornom pomoću geometrijske slike. Ako sepojmovi (ili njihovi opsezi) predoče područjima neke ravnine, ondapojmu koji je definiran putem pridodanih obilježja odgovara područjekoje je svim područjima obilježja zajedničko; on biva okružendijelovima njihovih omeđenosti. Dakle, u takvoj je definiciji riječ οtome da se - slikovito govoreći - već dane crte na novi način primijeneza omeđenje područja.103 No pritom se ne pojavljuje ništa bitno novo.Plodna određenja pojma povlače granične crte koje još nisu bile dane.Ne može se unaprijed predvidjeti što se iz njih dade zaključiti; pritomse ne može jednostavno ponovno iznijeti iz ormara što se unutra sta-vilo. Ti zaključci proširuju naša znanja te ih zato, prema Kantu, trebadržati sintetičkima; usprkos tome, mogu se dokazati čisto logički te sudakle analitički. Zapravo su sadržani u definicijama, no poput biljke usjemenu, ne poput balkona u kući. Često je za dokaz nekoga stavkapotrebno više definicija, a on, sukladno tome, nije sadržan ni u kojojpojedinoj, a ipak iz svih zajedno slijedi čisto logički.

§ 89. Moram protusloviti i općenitosti Kantove104 tvrdnje da nambez osjetilnosti ne bi bio dan nijedan predmet. Nula, jedan jesupredmeti koji nam ne mogu biti dani osjetimo. I oni koji manjebrojeve drže zornima ipak moraju dopustiti da im nijedan od brojevakoji je veći od

103 Isto je tako ako su obilježja povezana s "Ili".104 Na nav. mj., IH, str. 82. [= Β 14 1 hrv. prijevod, str. 49].

V. Zaključak 119

1000(10001000) ne može biti dan zorno, a da mi ipak podostaznamo ο njima. Možda je Kant riječ "predmet" upotrijebio uponešto drukčijemu smislu; no onda nula, jedan, naš00

1 posve ispadaju iz njegova razmatranja, jer to nisu nipojmovi, a i za pojmove Kant traži da im se u zoru pridružipredmet.

Kako mi se ne bi prigovorilo zbog sitničavih pokudaupućenih duhu kojega svi možemo gledati samo sa zahvalnimdivljenjem, mislim da moram istaknuti i slaganje koje uvelikeprevladava. Da dotaknem samo ono što je najbliže: velikuKantovu zaslugu vidim u tome što je povukao razliku izmeđusintetičkih i analitičkih sudova. Nazvavši geometrijske istinesintetičkima i apriornima otkrio je njihovu pravu bit. A to je joši danas vrijedno ponavljati, jer se još uvijek često krivo shvaća.Ako je Kant i pogriješio u pogledu aritmetike, to, vjerujem, nenanosi bitnu štetu njegovim zaslugama. Njemu je bilo važno toda postoje sintetički sudovi a priori; od manjeg je značenjapojavljuju li se samo u geometriji ili i u aritmetici.

§ 90. Ne pripisujem si zaslugu da sam analitičku naravaritmetičkih stavaka učinio nečim višim no vjerojatnim, jer sejoš uvijek može dvojiti ο tome može li se njihov dokaz izvesti izčisto logičkih zakona, ne upleće li se negdje neprimjetnodokazna osnova druge vrste. Ta se dvojba ne oslabljuje posve ninaznakama što sam ih dao za dokaz nekih stavaka; on se možepružiti samo neprekinutim nizom zaključaka, tako da se nedogađa ni jedan korak koji nije sukladan nekima od malog brojakao čisto logički priznatih načina zaključivanja. Tako dosadajedva da je izveden koji dokaz, jer je matematičar zadovoljanako je svaki prijelaz na neki novi sud uočen kao ispravan, bezpitanja ο naravi te očevidnosti, je li ona logička ih zorna. Jedantakav korak često je vrlo složen i jednakovrijedan s višejednostavnih zaključaka, pored kojih može uskočiti još i nešto izzora. To se događa skokovito i iz toga nastaje

120 OSNOVE ARITMETIKE V. Zaključak 121naizgled bogata mnogostrukost načina zaključivanja u ma-tematici; jer što su veći skokovi, to oni mogu zastupatiraznovrsnije kombinacije jednostavnih zaključaka i aksiomazrenja. Unatoč tome, takav nam je prijelaz često neposrednoočevidan, a da nismo svjesni međustupnjeva, a budući da se onne pokazuje kao jedan od priznatih logičkih načinazaključivanja, odmah smo spremni tu očevidnost · zorne idokučene istine držati sintetičkom, pa i onda ako područjevaženja očito prelazi ono zorno.

Na taj način nije moguće čisto razdvojiti ono sintetičko, kojepočiva na zrenju, od analitičkoga. Ne uspijeva nam ni aksiomezrenja u potpunosti rasporediti tako da se svaki matematičkidokaz može izvesti jedino iz tih aksioma prema logičkimzakonima.

§ 91. Ne može se dakle odbiti zahtjev da se izbjegnu sviskokovi u zaključivanju. Teško mu je udovoljiti zbogdugotrajnosti postupka koji se provodi korak po korak. Svakisamo ponešto zamršeniji dokaz prijeti da postane grdnodugačak. Tomu pridolazi i to što prevelika raznolikost logičkihoblika koji su iskovani u jeziku otežava omeđivanje područjanačina zaključivanja koji su dostatni za sve slučajeve i lako sedadu pregledati.

Da bih umanjio te neprilike izmislio sam svoj pojmopis. Ontreba postići veću kratkoću i preglednost izraza te se kretatipoput računa u malenome broju čvrstih oblika, tako da ne dođeni do kojega prijelaza koji nije sukladan pravilima koja supostavljena jednom zauvijek.105 Tada se nijedna dokaznaosnova ne može ušuljati neprimjetno. Tako sam, ne posudivšinijedan aksiom iz zrenja, dokazao stavak106 koji bismo na prvipogled mogli držati sintetičkim, a koji ovdje želim izreći ovako:

105 On ipak treba biti u stanju izraziti ne samo logički oblik,poput Booleova načina označivanja, nego i sadržaj.

106 Begriffschrift. Halle a/S.. 1879, str. 86, formula 133.

Ako je odnos svakoga člana nekoga niza prema slje-dećem članu jednoznačan i ako u tome nizu m i y slijedeiza x, onda u tome nizu y prethodi m ili se s njimpodudara ili slijedi iza njega.

Iz toga se dokaza može vidjeti kako stavci koji proširujunaše znanje mogu sadržavati analitičke sudove.1

Drugi brojevi

§ 92. Naše smo razmatranje dosada ograničili na kardinalnebrojeve [Anzahlen]. Bacimo sada još jedan pogled na drugevrste brojeva i pokušajmo se za to šire područje poslužiti onimšto smo spoznali na užemu.

Da bi pojasnio smisao pitanja ο mogućnosti nekoga broja,Hankel kaže.:108

"Stvar, supstancija, koja egzistira samostalno izvanmislećega subjekta i objekata koji je uzrokuju, samostalniprincip, kao recimo u pitagorovaca - broj to danas višenije. Pitanje se ο egzistenciji brojeva stoga može odnositisamo na misleći subjekt ili na pomišljene objekte, čijeodnošaje predstavljaju brojevi. Strogo uzevši,matematičaru kao nemoguće vrijedi samo ono što jelogički nemoguće, tj. ono što samome sebi protuslovi.Nije potreban dokaz za to da se u tome

107 Taj će se dokaz još uvijek držati odviše opširnim, što jenedostatak koji možda više no izravnava gotovo bezuvjetnu sigurnostpred greškom ili prazninom. Moj cilj tada bijaše: sve svesti na štoje moguće manji broj što jednostavnijih logičkih zakona. Uslijedtoga. primijenio sam samo jedan jedini način zaključivanja. No većsam tada u predgovoru (str. VII) upozorio kako bi za širu primjenubilo preporučljivo dopustiti više načina zaključivanja. To je mogućebez štete po raznolikost niza zaključaka te se tako dade postićiznačajno skraćivanje.

108 Na nav. mj.. str. 6 i 7.

122 OSNOVE ARITMETIKE V. Zaključak 123

smislu nemogući brojevi ne mogu dopustiti. No ako su tibrojevi logički mogući, ako je njihov pojam jasno ipotpuno definiran i dakle bez protuslovlja, onda se onopitanje može svesti samo na to postoji li neki njihovsupstrat u području realnoga ili području onoga što jezbiljsko u zrenju, aktualnoga, postoje li objekti na kojimase pojavljuju brojevi, dakle intelektualne sveze određenevrste".

§ 93. U pogledu prve rečenice može se dvojiti da li, premaHankelu, brojevi egzistiraju u mislećemu subjektu ili uobjektima koji ih uzrokuju ili u obojemu. U prostornome smisluoni u svakome slučaju nisu ni unutar ni izvan niti subjekta nitiobjekta. Doduše, izvan su subjekta u tome smislu što nisusubjektivni. Dok svatko osjeća samo svoju bol, svoje veselje,svoju glad, može imati svoj osjet zvuka ili boje, brojevi mogubiti zajednički predmeti za mnoge i za sve su upravo isti, anikako nisu samo više ili manje slična nutarnja stanjarazličitoga. Kada pitanje ο egzistenciji brojeva Hankel želivezati uz misleći subjekt, tada ga, čini se, pretvara upsihologijsko, što ono nikako nije. Matematika se ne baviprirodom naše duše i mora joj biti posve svejedno kako seodgovara na bilo koja psihološka pitanja.

§ 94. Moramo prigovoriti i tvrdnji da bi matematičaru kaonemoguće vrijedilo samo ono što protuslovi samome sebi. Nekije pojam dopušten i ako mu obilježja sadrže protuslovlje; samose ne smije pretpostaviti da nešto potpada podanj. No izčinjenice što neki pojam ne sadrži protuslovlje još se ne možezaključiti da podanj nešto potpada. Uostalom, kako trebadokazati da neki pojam ne sadrži protuslovlje? To nipošto nijeuvijek odmah jasno; iz činjenice što ne vidimo nikakvoprotuslovlje ne slijedi da ga i nema, a potpunost definicije nedaje za to nikakvo svjedočanstvo. Hankel dokazuje da bineki zatvoren,

Na nav. mj., str. 106 i 107.

kompleksan sustav brojeva, koji je viši od uobičajenog, a koji bibio podvrgnut svim zakonima zbrajanja i množenja, sadržavaoprotuslovlje. To se ipak mora dokazati i nije odmah vidljivo.Prije Hankelova dokaza netko je upotrebom takva sustavabrojeva ipak mogao doći do čudesnih rezultata, čijeobrazloženje ne bi bilo lošije od onoga što ga

110 σ

Hankel daje ο stavcima ο determinantama pomoću al-ternirajućih brojeva; jer tko jamči da u pojmovima tih brojevanije sadržano skriveno protuslovlje? I kad bi se neko takvoprotuslovlje moglo općenito isključiti za bilo kolikoalternirajućih jedinica, još uvijek ne bi slijedilo da takvejedinice postoje. A upravo to trebamo. Uzmimo kao primjer 18.stavak prve knjige Euklidovih Elemenata:

U svakome trokutu nasuprot većoj stranici leži veći kut.

Da bi to dokazao. Euklid od veće stranice AC oduzimakomad AD, koji je jednak manjoj stranici AB, a pritom se pozivana jednu raniju konstrukciju. Kad ne bi bilo takve točke D.dokaz sam po sebi ne bi vrijedio, jer nije dosta da se u pojmu"točka na AC čija je udaljenost od A jednaka AB" ne otkrijenikakvo protuslovlje. Euklid će nadalje Β povezati s D, ačinjenica što postoji dužina koja povezuje Β s D jest stavak nakoji se dokaz oslanja.

§ 95. Strogo se neprotuslovnost nekoga pojma može izložitisamo dokazom da nešto poda nj potpada. Obratno bi bilopogrešno. U tome griješi Hankel111 kad u pogledu jednadžbe x+ b = c kaže:

"Jasno je da ako je b > c, u nizu 1, 2, 3... ne postoji broj xkoji rješava navedeni zadatak; oduzimanje je

110 Na nav. mj.. § 35.111 Na nav. mj.. str. 5. Slično E. Kossak. na nav. mj.. str. 17

dolje.


tada nemoguće. Ipak, ništa nas ne sprečava da u tomeslučaju razliku (c-b) shvatimo kao znak koji rješavazadatak i s kojim valja operirati upravo onako kao kad bion bio numerički broj iz niza 1, 2, 3...".

Nešto nas svakako sprečava da (2 - 3) bez daljnjegashvatimo kao znak koji rješava zadatak; jer prazan znak nerješava zadatak, bez nekoga sadržaja on je samo tinta ilitiskarsko crnilo na papiru, kao takav ima fizikalna svojstva, alinema svojstvo da uvećan za 3 daje 2. To zapravo uopće ne bibio nikakav znak, a njegova bi upotreba kao takva bila logičkapogreška. Ni u slučaju u kojemu je c > b rješenje zadatka nijeznak ("c - b"), nego njegov sadržaj.

§ 96. Isto bi se tako moglo kazati: među dosad poznatimbrojevima ne postoji nijedan koji istodobno zadovoljavajednadžbe

x + l = 2 i x + 2 = l;

no ništa nas ne sprečava da uvedemo znak koji rješava zadatak.Kaže se: zadatak sadrži protuslovlje. Naravno, ako se kaorješenje traži realan ili običan kompleksan broj; no ipakproširimo naš sustav brojeva, stvorimo ipak brojeve kojiudovoljavaju zahtjevima! Pričekajmo hoće li nam tko-goddokazati protuslovlje! Tko može znati što je kod tih novihbrojeva moguće? Tada naravno nećemo moći održatijednoznačnost oduzimanja; no želimo li uvesti negativnebrojeve, moramo napustiti i jednoznačnost vađenja korijena; skompleksnim brojevima logaritmiranje postaje vi-šeznačno.

Stvorimo i brojeve koji omogućuju zbrajanje divergentnihredova! Ne! Ni matematičar ne može stvoriti bilo što, kao nigeograf; i on može samo otkriti ono što postoji te to imenovati.

Od ove pogreške boluje formalna teorija razlomaka,negativnih i kompleksnih brojeva.112 Postavlja se zahtjev da se,gdje je moguće, i za nove brojeve koje treba uvesti zadržepoznata pravila računanja, a iz njih se onda izvode općenitasvojstva i odnosi. Ako nigdje ne naiđemo na protuslovlje, ondase uvođenje novih brojeva drži opravdanim, kao da protuslovljeipak ne bi negdje moglo biti skriveno i kao da bineprotuslovnost već bila egzistencija.

§ 97. Razlog zbog kojega do te pogreške dolazi tako lakojest nedostatno razlikovanje pojmova i predmeta. Ništa nas nesprečava da upotrebljavamo pojam "kvadratni korijen iz -1"[Quadratwurzel aus -1], no nemamo bez daljnjega pravo daispred toga stavimo određeni član te izraz "die Quadratwurzelaus -1" shvatimo kao smislen. Pod pretpostavkom da je i2 = -1možemo dokazati formulu kojom se sinus nekoga višekratnikakuta α izražava pomoću sinusa i kosinusa samoga a; no nesmijemo zaboraviti da taj stavak onda u sebi sadrži uvjet i2 = -1,koji ne smijemo bez daljnjega ispustiti. Kad uopće ne bi biloničega čega kvadrat jest -1, tada, što se našega dokaza tiče,jednakost ne bi trebala biti ispravna,113 jer uvjet i2 = -1 nikadane bi mogao biti ispunjen, ο čemu ovisi važenje našega dokaza.To bi bilo kao kad bismo se u nekome geometrijskome dokazuposlužili pomoćnom Unijom koja se uopće ne bi mogla povući.

§ 98. Hankel114 uvodi dvije vrste operacija, koje nazivalitičkom i tetickom i koje određuje pomoću nekih svojstava štoih te operacije trebaju imati. Protiv toga se ništa ne može kazatisve dok se ne pretpostavi kako postoje takve

112 Slična je stvar kod Cantorovih beskonačnih brojeva.113 Na drugi bi se način ona ipak mogla strogo dokazati.114 Na nav. mj., str. 18.


operacije i predmeti koji mogu biti njihovi rezultati. Kasnije116

on neku tetičku, potpuno jednoznačnu, asocijativnu operacijuoznačuje s (a + b), a odgovarajuću, isto tako potpunojednoznačnu litičku s (a - b). Neku takvu operaciju? Koju? Bilokoju? Onda to nije definicija od (a + b); a ako ne postojinijedna? Kad riječ "zbrajanje" još ne bi imala nikakvo značenje,logički bi bilo dopušteno kazati: neku takvu operaciju želimonazvati nekim zbrajanjem [eine Addition]; no ne možemokazati: neka se takva operacija treba zvati zbrajanjem [dieAddition] i označiti je s (a + b) prije nego što se utvrdi dapostoji jedna i samo jedna takva operacija. Ne smije se najednoj strani definicijske jednakosti upotrijebiti neodređeni, a nadrugoj određeni član. Hankel bez dvoumljenja kaže i "moduloperacije" [der Modul der Operation], a da nije dokazao dapostoji jedan i samo jedan takav modul.

§ 99. Ukratko, ova čisto formalna teorija jest nedostatna.Ono vrijedno u njoj samo je sljedeće. Njome se dokazuje da akooperacije imaju neka svojstva kao što su asocijativnost ikomutativnost, onda ο njima vrijede neki stavci. Sad sepokazuje da zbrajanje i množenje, koji su već poznati, imaju tasvojstva, i ο njima se odmah mogu izreći ti stavci, a da se dokazu svakome pojedinome slučaju ne ponavlja opširno. Tek tomprimjenom na drukčije dane operacije dospijevamo do poznatihstavaka aritmetike. No nikako ne smijemo vjerovati da se na tajnačin mogu uvesti zbrajanje i množenje. Daje se samo naputakza definicije, ne one same. Kaže se: ime "zbrajanje" treba bitidano samo tetičkoj, potpuno jednoznačnoj, asocijativnojoperaciji, čime ono što treba tako nazvati još uopće nije zadano.Prema tome, ništa ne bi stajalo na putu da se množenje nazove

115 To Hankel čini zapravo već uporabom jednakosti Θ (c, b)= a.

116 Na nav. mj.. str. 29.

zbrajanjem te da se označi s (a + b) i nitko ne bi mogao sasigurnošću kazati je li 2 + 3 5 ili 6.

§ 100. Ako napustimo ovaj čisto formalni način razmatranja,onda se čini kako se izlaz nudi u okolnosti da se istodobno suvođenjem novih brojeva proširuje značenje riječi "zbroj" i"umnožak". Uzmemo neki predmet, recimo Mjesec, itumačimo: Mjesec pomnožen sa samim sobom jest -1. Tada uMjesecu imamo kvadratni korijen iz -1. Ovo se tumačenje činidopuštenim, jer iz dosadanjega značenja množenja smisao takvaumnoška još uopće ne proizlazi te se, dakle, kod proširenja togaznačenja može utvrditi proizvoljno. No trebamo i umnoškenekoga realnoga broja s kvadratnim korijenom iz -1. Izaberimostoga radije razmak od jedne sekunde za kvadratni korijen iz -1 ioznačimo ga s i. Tada ćemo pod 3 i razumjeti razmak od 3sekunde itd.117 Koji ćemo predmet tada označiti recimo s 2 + 3i?Koje bi značenje u tome slučaju bilo dano znaku plus? To semora utvrditi općenito, što, naravno, neće biti lako. Ipak,pretpostavimo jednom da smo svim znakovima oblika α + biosigurali smisao, i to takav da vrijede poznati stavci zbrajanja.Tada bismo dalje morali utvrditi da općenito treba biti

(a + bi) (c + di) = ac - bd + i (ad + bc),

čime bismo dalje odredili množenje.

117 S istim bismo pravom za kvadratni korijen iz -1 mogli izabrati ineki kvantum elektriciteta, neku površinu itd., a tada bi se, naravno, Urazličiti korijeni morali i različito označiti. Činjenica da se prividno možestvoriti proizvoljno mnogo kvadratnih korijena iz -1 postaje manječudnovata uzmemo li u obzir da značenje kvadratnoga korijena prije tihodređenja nije bilo već nepromjenljivo utvrđeno, nego je određeno teknjima.


§ 101. Sada bismo mogli dokazati formulu za cos (na), kadbismo znali da iz jednakosti kompleksnih brojeva slijedijednakost realnih dijelova. To bi moralo proizići iz smisla od α+ bi, za koji smo ovdje pretpostavili kako postoji. Dokaz bivrijedio za kompleksne brojeve, za njihove zbrojeve i umnoške,samo u onom smislu koji smo utvrdili. Budući da se za cijelorealno n i realno a samo i više ne pojavljuje u jednakosti,pokušajmo zaključiti: dakle, posve je svejedno znači li i jednusekundu, jedan milimetar ili nešto drugo, dovoljno je samo davrijede naši stavci ο zbrajanju i množenju; stvar je samo unjima, za ostalo ne trebamo brinuti. Možda se značenje od a +bi, od zbroja i umnoška može utvrditi na različit način, tako današi stavci i dalje vrijede; no nije svejedno može li se uopćenaći ikakav smisao za te izraze.

§ 102. Često se postupa kao da je već puki zahtjev njegovoispunjenje. Zahtijeva se da oduzimanje,118 dijeljenje,korjenovanje uvijek budu izvedivi te se vjeruje kako je timeučinjeno dovoljno. Zašto se ne zahtijeva i to da se kroz bilo kojetri točke povuče jedan pravac? Zašto se ne zahtijeva da zatrodimenzionalni kompleksni sustav brojeva vrijede svi stavcizbrajanja i množenja kao i za realni? Zato što taj zahtjev sadržiprotuslovlje. E, pa dokažimo onda najprije da oni drugi zahtjevine sadrže protuslovlje! Prije nego što se to učini, svekolikamnogotražena strogost nije drugo no isprazan privid i magla.

U nekome se geometrijskome poučku ne pojavljuje po-moćna crta koja je povučena u svrhu dokaza. Možda je mogućei više njih, ako se npr. neka točka može izabrati proizvoljno. Nokoliko god svaka pojedina mogla biti nepotrebna, snaga dokazaipak ovisi ο tome što se može povući bar jedna crta traženekakvoće. Puki zahtjev nije dostatan. Tako ni u našemu slučajuza snagu dokaza nije

118 Usp. Kossak. na nav. mj., str. 17.

nevažno ima U "a + bi" neki smisao ili je puko tiskarsko crnilo.Za to nije dosta tražiti da "a + bi" treba imati neki smisao ilikazati kako mu je smisao zbroj od α i bi ako se prije nijeobjasnilo što u tome slučaju znači "zbroj" i ako se nijeopravdala upotreba određenoga člana.

• § 103. Gore ispitanoj odredbi smisla od "i" dade se, dakako,puno toga prigovoriti. Na taj način u aritmetiku unosimo neštoposve tuđe - vrijeme. Sekunda ne stoji ni u kakvu nutarnjemodnosu prema realnim brojevima. Stavci koji se dokazujupomoću kompleksnih brojeva, kad ne bi bilo druge vrste dokazaili kad se za i ne bi mogao pronaći nikakav drugi smisao, bili biaposteriorni sudovi ili pak sintetički. Najprije u svakomeslučaju moramo pokušati sve stavke aritmetike dokazati kaoanalitičke.

Kada ο kompleksnom broju Kossak119 kaže "To je sa-stavljena predodžba različitih grupa međusobno jednakihelemenata",120 tada se čini da je time izbjegao upletanje nečegatuđega; no to se čini također samo uslijed neodređenosti izraza.Ne dobivamo uopće nikakav odgovor na pitanje što zapravoznači 1 + i: predodžbu jedne jabuke i jedne krviške ili zuboboljei kostobolje? Ono ipak ne može značiti oboje istodobno, jer tada1 + i ne bi uvijek bilo jednako 1 + i. Kaže se: to je stvarposebnoga određenja. No onda ni u Kossakovu stavku još uopćenemamo nikakvu definiciju kompleksnoga broja, nego samoopćeniti naputak za to. No mi trebamo više; moramo određenoznati što znači "i" i kad bismo slijedeći onaj naputak htjelikazati "predodžbu jedne kruške", tada bismo u aritmetiku po-novno uveli nešto tuđe.

119 Na nav. mj.. str. 17.120 Ο izrazu "predodžba" usp. § 27, ο Izrazu "grupa" ono što

je kazano ο "agregatu" (§ 23 i § 25). a ο jednakosti elemenata usp.§§ 34-39.


Ono što običavamo nazivati geometrijskim prikazomkompleksnih brojeva ima pred dosada razmatranim pokušajimabarem tu prednost što se u njemu 1 i i ne pojavljuju posvenepovezani i nejednakovrsni, nego što dužina koja se razmatrakao prikaz od i stoji u pravilnu odnosu prema onoj dužinikojom se prikazuje 1. Uostalom, ispravno uzevši, nije točno datime 1 znači neku dužinu, a i neku dužinu jednake veličine kojaje na nju okomita, nego "1" posvuda znači isto. Kompleksnibroj ovdje pokazuje kako dužina koja vrijedi kao njegov prikazproizlazi iz dane dužine (jedinične dužine) umnažanjem,dijeljenjem i okretanjem.121 No i nakon toga se svaki poučakčiji se dokaz mora oslanjati na egzistenciju nekogakompleksnoga broja pojavljuje kao ovisan ο geometrijskomezoru te dakle sintetičan.

§ 104. Čime nam onda trebaju biti dani razlomci, iracionalnibrojevi i kompleksni brojevi? Uzmemo li u pomoć zor, uaritmetiku uvodimo nešto tuđe; no ako samo pojam takva brojaodredimo obilježjima, ako samo zahtijevamo da broj ima nekasvojstva, onda ništa ne jamči da nešto potpada pod pojam iodgovara našim zahtjevima, a ipak se dokazi moraju oslanjatiupravo na to.

No kako onda stvar stoji u slučaju kardinalnoga broja? Je lizbilja tako da ne smijemo govoriti ο 1000(100° prije nego štonam je u zrenju dano toliko predmeta? Je li to sve dotle jedanprazan znak? Ne! On ima posve određen smisao, iako nam jepsihološki već s obzirom na kratkoću našega života nemogućezamisliti si toliko predmeta;122 no, usprkos tome, 100010001000jest predmet čija svojstva možemo spoznati, iako on nije zoran.U to se

121 Poradi jednostavnosti ovdje apstrahiram od inkomen-zurabilija.

122 I jednostavniji račun pokazuje da za to ne bi bili dovoljnimilijuni godina.

uvjeravamo time što se pri uvođenju znaka an za potencijupokazuje da je njome izražen uvijek jedan i samo jedanpozitivan cijeli broj, ako su a i n pozitivni cijeli brojevi. Otišlibismo predaleko kad bismo ovdje htjeli u potankostima izložitikako se to događa. Način na koji smo u § 74 objasnili nulu, u §77 jedan, u § 84 beskonačni broj00

1 i naznaka dokaza da iza svakoga konačnoga broja uprirodnome nizu brojeva neposredno slijedi neki broj (§§ 82 i83) omogućit će da se to spozna u svojoj općenitosti.

Na koncu, i kod definicije razlomaka, kompleksnih brojevaitd. cijela je stvar u tome da se potraži neki mogući sadržaj sudakoji se može pretvoriti u jednakost, a čije su strane onda upravonovi brojevi. Drugim riječima: moramo utvrditi smisao sudaprepoznavanja za takve brojeve. Pritom valja obratiti pozornostna dvojbe što smo ih (§§ 63-68) razjasnili s obzirom na takvopretvaranje. Pokušamo li isto što i tamo, novi će nam brojevibiti dani kao opsezi pojmova.

105. Iz ovoga se shvaćanja brojeva,123 kako mi se čini, dadelako objasniti čar bavljenja aritmetikom i analizom. Preinakompoznate misli zacijelo bi se moglo kazati: navlastiti predmetuma jest um. U aritmetici se ne bavimo predmetima koji su namposredovanjem osjetila poznati kao nešto strano izvana, negoonima koji su neposredno dani umu, a koje on kao svojenajvlastitije može potpuno prozrijeti.124

123 Mogli bismo ga nazvati 1 formalnim, no Ipak je posverazličit od onoga što smo gore prosuđivali pod tim imenom.

124 Time uopće ne želim poricati da bismo bez osjetilnihdojmova bili glupi kao daska i da ne bismo poznavali ni brojeveni Išta drugo; no ta nas se psihološka tvrdnja ovdje uopće ne tiče.To još jednom naglašujem zbog stalne opasnosti brkanja dvaju uosnovi različitih pitanja.


A ipak - ili, štoviše, upravo zato - ti predmeti nisu subjektivneutvare. Nema ničega objektivnijeg od aritmetičkih zakona.

§ 106. Bacimo još jedan kratak pogled unatrag na tijek našegaistraživanja. Nakon što smo ustanovili da broj nije ni hrpa stvari nisvojstvo stvari, ah da nije ni subjektivni proizvod duševnih događanja,nego da se navođenjem broja ο pojmu iskazuje nešto objektivnopokušali smo najprije definirati pojedine brojeve - 0, 1 itd - inapredovanje u nizu brojeva. Prvi pokušaj nije uspio, jer smodefinirali samo one iskaze ο pojmovima koji 0 i 1 sadrže kao dijelove,a ne i 0 i 1 same za sebe. To je imalo za posljedicu nemogućnostdokazivanja jednakosti brojeva. Pokazalo se da se broj kojim se baviaritmetika ne smije shvatiti kao nesamostalan atribut, negosupstantivno.125 Broj se tako pojavio kao predmet koji se dadeprepoznati, iako ne kao fizikalan üi samo prostoran, a ni kao ono οčemu pomoću moći uobrazilje možemo stvoriti sliku. Potom smopostavili načelo da se značenje neke riječi ne smije objašnjavatipojedinačno, nego u kontekstu rečenice, a mislim da jedino držimo lise toga možemo izbjeći fizikalno shvaćanje broja, a da ne zapadnemou psihološko. Postoji jedna vrsta stavaka koji moraju imati smisao zasvaki predmet, a to su stavci prepoznavanja, koji se kod brojevanazivaju jednakostima. Vidjeli smo da i navođenje broja valja shvatitikao jednakost. Stvar je dakle u tome da se utvrdi smisao jednakostibrojeva te da se ona izrazi, a da se ne upotrijebi brojka ili riječ "broj".Mogućnost da se predmeti koji potpadaju pod neki pojam F obostranojednoznačno pridruže predmetima koji potpadaju pod neki pojam Gspoznali smo kao sadržaj suda prepoznavanja brojeva. Dakle, naša jedefinicija tu mogućnost morala prikazati kao istoznačnu s jed-nakošćubrojeva. Podsjetili snw na slične slučajeve: na definiciju smjera izparalelizma, oblika iz sličnosti itd.

12° Ta razlika odgovara razlici između "plavo" i "boja neba".

V. Zaključak 133

§ 107. Sada se postavilo pitanje: kada je opravdano nekisadržaj shvatiti kao sadržaj suda prepoznavanja? Za to mora bitiispunjen uvjet da u svakome sudu bez štete po njegovu istinulijeva strana za pokus uzete jednakosti može biti zamijenjenadesnom. Bez pridodavanja daljnjih definicija ο lijevoj ili desnojstrani takve jednakosti nije nam ο njima poznat nijedan drugiiskaz, nego upravo njihova jednakost Zamjen-ljivost je dakletrebala biti dokazana samo u jednakosti.

No ostala je još jedna dvojba. Naime, stavak prepoznavanjauvijek mora imati neki smisao. Ako mogućnost da se predmetikoji potpadaju pod pojam F obostrano jednoznačno pridružepredmetima koji potpadaju pod pojam G shvatimo kaojednakost time što za njih kažemo "broj koji pripada pojmu Fjednak je broju koji pripada pojmu G" te time uvedemo izraz"broj koji pripada pojmu F", onda za jednakost imamo smisaosamo ako obje strane imaju upravo navedeni oblik. Prematakvoj definiciji ne bismo mogli prosuditi je li jednakost istinitaili je lažna ako samo jedna strana ima taj oblik. To nas je navelona definiciju:

Broj koji pripada pojmu F jest opseg pojma "pojamjednakobrojan pojmu F", time što smo neki pojam F nazvalijednakobrojnim nekome pojmu G ako postoji mogućnostobostrana jednoznačna pridruživanja.

Smisao izraza "opseg pojma" pritom pretpostavljamo kaopoznat. Ovaj način da se prevlada poteškoća zacijelo nećesvugdje naići na odobravanje i mnogi će radije one dvojbe htjetiotkloniti na drugi način. Ne pridajem, međutim, odlučujućutežinu posizanju za opsegom pojma.

§ 108. Još je preostalo objasniti obostrano jednoznačnopridruživanje; sveli smo ga na čisto logičke odnose. Nakon togasmo naznačili dokaz stavka "broj koji pripada pojmu F jednakje broju koji pripada pojmu G ako je pojam F


jednakobrojan pojmu G", definirali smo 0, izraz "u nizuprirodnih brojeva n slijedi neposredno iza m" te broj 1 ipokazali da u nizu prirodnih brojeva 1 slijedi neposredno iza 0.Naveli smo neke stavke koji se na tome mjestu lako dadudokazati te smo potanje ušli u sljedeći, koji omogućujespoznaju beskonačnosti niza brojeva:

U nizu prirodnih brojeva iza svakoga broja slijedi nekibroj.

Time smo dovedeni do pojma "ono što pripada nizuprirodnih brojeva koji završava s n", za koji smo htjeli pokazatida broj koji mu pripada u nizu prirodnih brojeva neposrednoslijedi iza n. Najprije smo ga definirali pomoću slijeda nekogapredmeta y iza nekoga predmeta x u općenitome φ-nizu. Načisto logički odnos sveden je smisao i toga izraza. Time smouspjeli za način zaključivanja od η na (n + 1), koji se običnosmatrao navlastito matematičkim, pokazati kako počiva naopćim logičkim zakonima zaključivanja.

Potom smo za dokaz beskonačnosti niza brojeva trebahstavak da u nizu prirodnih brojeva nijedan konačan broj neslijedi iza samoga sebe. Tako smo došli do pojmova konačnogai beskonačnoga broja. Pokazali smo da beskonačan broj uosnovi nije ništa manje logički opravdan nego konačan. Zausporedbu smo uzeli Cantorove beskonačne brojeve i njegov"slijed u uređaju", pri čemu smo uputili na različitost u izrazu.

§ 109. Iz svega prethodnoga s velikom je vjerojatnošćuproizišla analitička i apriorna narav aritmetičkih istina te smodospjeli do poboljšanja Kantova nazora. Nadalje, vidjeli smošto još nedostaje da bi se ta vjerojatnost uzdigla do sigurnosti tesmo naznačili put koji tomu mora voditi.

Na koncu smo se našim rezultatima poslužili za kritikuformalne teorije negativnih brojeva, razlomaka, iracionalnih ikompleksnih brojeva, kojom je postala očita njezina ne-dostatnost. Njezinu smo pogrešku uvidjeli u tome što onaneprotuslovnost pojma pretpostavlja kao dokazanu ako se nijepokazalo nikakvo protuslovlje, te što neprotuslovnost nekogapojma već vrijedi kao dostatno jamstvo za njegovu ispunjenost.Ta si teorija umišlja da je dovoljno postaviti zahtjeve; njihovose ispunjenje onda samo po sebi razumije. Ona se ponaša poputkakva boga koji ono što potrebuje može stvoriti svojom pukomriječju. Valjalo je također prigovoriti slučaju kada se nekinaputak za definiciju prikazuje kao definicija sama; to jenaputak slijeđenje kojega bi u aritmetiku uvelo nešto njoj tuđe,premda se on sam u izrazu želi držati slobodnim od nečegatakvog, no samo zato što ostaje puki naputak.

Tako je ta formalna teorija dospjela u opasnost da padnenatrag u aposteriorno ih pak sintetičko, ma koliko da se činilokako lebdi u visini apstrakcija.

Naše ranije razmatranje pozitivnih cijelih brojeva pokazalonam je mogućnost da izbjegnemo upletanje izvanjskih stvari igeometrijskih zorova, a da ipak ne zapadnemo u pogrešku teformalne teorije. Kao i tamo, stvar je u tome da se utvrdisadržaj suda prepoznavanja. Zamislimo li da se to posvudadogađa, onda nam se negativni brojevi, razlomci, iracionalni ikompleksni brojevi ne pojavljuju nipošto tajanstveniji odpozitivnih cijelih brojeva, koji nisu realniji, zbiljskiji,zahvatljiviji od njih.

Funkcija i pojamΟ smislu i značenjuΟ pojmu i predmetuSto je funkcija?

FUNKCIJA I POJAM

Prije duljega sam vremena1 imao čast u ovome Društvu održatipredavanje ο sustavu znakova što sam ga nazvao pojniopisom.Danas to želim osvijetliti s jedne druge strane i priopćitinekoliko dopuna i novih shvaćanja u čiju sam se nužnost odtoga vremena osvjedočio. Pritom ne može biti riječi οpotpunome izlaganju mojega pojmopisa, nego samo ο tome dase osvijetle neke osnovne misli.

Polazim od onoga što se u matematici naziva funkcijom. Tariječ isprve nije imala onako široko značenje kakvo je dobilakasnije. Bit će dobro da u našemu razmatranju krenemo odizvornoga načina upotrebe i da tek onda obratimo pozornost nakasnija proširenja. Najprije želim govoriti samo ο funkcijamajednoga jedinoga argumenta. Neki se znanstveni izrazpojavljuje u svojemu jasno određenu značenju najprije tamogdje je potreban za izricanje neke zakonitosti. Za funkciju to jezapočelo otkrićem više analize. Tu se ponajprije radilo ο tomeda se postave zakoni koji vrijede za funkcije uopće. Želimo lirazumjeti što se u matematici isprve razumjelo pod riječju"funkcija", trebamo se dakle vratiti u vrijeme otkrića višeanalize. Na to pitanje kao odgovor vjerojatno dobivamo: "Podnekom funkcijom od x razumio se računski izraz koji sadrži x,formula koja uključuje slovo x". Prema tome bi npr. izraz

2 · x3 + x

bio funkcija od x, a

2 · 23 + 21 10. siječnja 1879. 1 27. siječnja 1882

140 GOTTLOB FREGE

bio bi funkcija od 2. Ovaj odgovor ne može zadovoljiti, jer tu se nerazlikuju oblik i sadržaj, znak i označeno, što je pogreška koju dodušei danas vrlo često susrećemo u matematičkim spisima, pa i u spisimauglednih autora. Već sam ranije2 uputio na nedostatke suvremenihformalnih teorija u aritmetici. Tu se govori ο znakovima koji nemajusadržaj, niti ga trebaju imati, no zatim im se ipak pripisuju svojstvakoja na razuman način mogu pripadati samo sadržaju znaka. Tako je iovdje: sam izraz, oblik za neki sadržaj, ne može biti bit stvari, nego tomože biti jedino sam sadržaj. No što je sadržaj, značenje od "2.23 +2"? Isto ono što i od "18" ili od "3 · 6". U jednakosti 2 · 23 + 2 = 18izraženo je daje značenje spoja znakova s desne strane isto što iznačenje onoga s lijeve strane. Ovdje se moram suprotstaviti gledištuda npr. 2 + 5 i 3 + 4 doduše jest jednako, ali da nije isto. U osnovi jetoga shvaćanja ponovno ono brkanje oblika i sadržaja, znaka i ozna-čenoga. To je isto kao kad bi tkogod mirisnu ljubičicu htio smatratirazličitom od viola odoraia jer im imena različito zvuče. Samarazličitost označivanja ne može biti dostatna kako bi se zasnovalarazličitost označenoga. Stvar je ovdje manje jasna samo stoga štoznačenje brojke 7 nije nešto osjetimo zamjetljivo. Sada vrlo raširenasklonost da se kao predmet ne priznaje ništa što ne može bitizamijećeno osjetilima zavodi nas da same brojke držimo za brojeve, zanavlastite predmete razmatranja,3 a tada bi 7 i 2 + 5 doista bili različiti.No takvo se shvaćanje ne može prihvatiti, jer uopće se ne možegovoriti ο nekim aritmetičkim svojstvima brojeva, a da se ne vratimoznačenju brojaka.

2 Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, 1884. § 92 1 d. iSitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medizin undNaturwissenschaft, Jahrg. 1885, sjednica od 17. srpnja.

3 Usp. rasprave Η. ν. Helmholtza (Zählen und Messenerkenntnistheoretisch betrachtet) 1 Leopolda Kroneckera {Über denZahlbegriff) {Philosophische Aufsätze. Eduard Zeller zu seinemfünfzigjähngen Doktorjubiläum gewidmet. Leipzig. 1887).

FUNKCIJA I POJAM 141

Primjerice, svojstvo od 1 da pomnoženo sa samim sobomponovno daje sebe sama bilo bi čista izmišljotina, jer nijednomikroskopsko ili kemijsko istraživanje, koliko god prodrlo, nanevinoj tvorevini što je nazivljemo brojkom jedan nikada ne bimoglo otkriti to svojstvo. Možda je riječ ο definiciji; ali nijednadefinicija nije na takav način stvaralačka da bi nekoj stvarimogla udijeliti svojstva koja ona sada uopće ne posjeduje, osimjednoga svojstva - da izrazi i opiše ono za što ga definicijauvodi kao znak. Nasuprot tome, tvorevine što ih nazivljemobrojkama imaju fizikalna i kemijska svojstva koja ovise οsredstvu za pisanje. Moglo bi se zamisliti da se jednom uveduposve nove brojke, kao što su npr. arapske brojke istisnulerimske. Nitko neće ozbiljno misliti da bi time nastali posve novibrojevi, posve novi predmeti aritmetike s dotada neistraženimsvojstvima. Ako se dakle od brojaka moraju razlikovati njihovaznačenja, onda se i izrazima "2", "1 + 1", "3 - 1", "6 : 3" morapripisati isto značenje; jer uopće nije vidljivo ono u čemu bi setrebala sastojati razlika. Možda tkogod kaže: 1 + 1 je zbroj, no 6: 3 je količnik. No što je 6 : 3? To je onaj broj koji pomnožen s3 daje 6. Kaže se "onaj broj" [die Zahl], a ne "broj" [eine Zahl].Određenim se članom naznačuje da postoji samo jedan jedinitakav broj. Sada je

(1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) = 6,

pa je dakle (1 + 1) upravo onaj broj koji je bio označen kao (6 :3). Različiti izrazi odgovaraju različitim shvaćanjima ividovima, ali ipak uvijek istoj stvari. Jednakost x2 = 4 inače biimala ne samo korijene 2 i -2, nego i (1 + 1) i nebrojene druge,koji se međusobno razlikuju, iako bi svi u stanovitome pogledumeđusobno bili slični. Priznajući samo dva realna korijenaodbacuje se mišljenje da znak

4 Pritom je uvijek riječ ο tome da se sa znakom poveže smisao iliznačenje. Tamo gdje smisao i značenje posve nedostaju ne može zapravobiti govora ni ο znaku ni ο definiciji.

142 GOTTLOB FREGE FUNKCIJA I POJAM 143

jednakosti ne znači nikakvo potpuno poistovjećivanje, nego samodjelomično podudaranje. Držimo li se toga, vidimo da izrazi

"2 · l3 + 1" "2 ·23 + 2" "2 · 43

+ 4"ι

znače brojeve, naime 3. 18, 132. Kad bi funkcija uistinu bilasamo značenje nekoga računskoga izraza, ona bi bila upravobroj. a time za aritmetiku ne bismo dobili ništa novo. Naravno,kod riječi "funkcija" obično se pomišlja na izraze u kojima jebroj samo neodređeno naznačen slovom x, kao recimo

"2 · x3 + x";

ali time se ništa ne mijenja, jer taj izraz također samoneodređeno naznačuje neki broj i nema nikakve bitne razlikedopišem li njega ili samo "x".

Ipak, upravo smo zapisom u kojemu se rabi neodređenonaznačujuće "x" dovedeni do ispravna shvaćanja, x nazivamoargumentom funkcije i u

"2 · l3 + 1", "2 ·43 + 4", "2 · 53

+ 5"

prepoznajemo istu funkciju, samo s različitim argumentima,naime 1, 4 i 5. Iz toga možemo uočiti da u onomezajedničkome tih izraza leži prava bit funkcije, tj. dakle uonome što u

"2 · x3 + x"

postoji još izvan "x", a što bismo mogli pisati otprilike ovako:

"2 · ( )3 + ( )".

Važno mi je pokazati da argument ne spada u funkciju, negoda zajedno s funkcijom tvori potpunu cjelinu; jer funkciju samuza sebe treba nazvati nepotpunom, takvom da potrebuje dopunuodnosno nezasićenom. I po tome se funkcije u osnovi razlikujuod brojeva. Iz te biti funkcije dade se objasniti to što, s jednestrane, u "2 · l3 + 1" i "2 · 23 + 2" prepoznajemo istu funkciju,iako ti izrazi znače različite brojeve, dok. s druge strane, u "2 ·l3 + 1" i "4 - 1", unatoč istim brojevnim vrijednostima, nepronalazimo istu funkciju. Sada također vidimo kako lakomožemo biti zavedeni da upravo u obuku izraza vidimo onobitno funkcije. U izrazu spoznajemo funkciju time što gapomišljamo rastavljenoga, a takvo moguće rastavljanjenaznačeno je njegovim oblikom.

Dva dijela na koja je računski izraz na taj način rastavljen,znak argumenta i izraz funkcije, različite su vrste, budući da jeargument neki broj, jedna u sebi zatvorena cjelina, što funkcijanije. To se može usporediti s dijeljenjem dužine točkom. Tadasmo skloni tome da točku dijeljenja pribrojimo objemasegmentima. No ako dijeljenje želimo obaviti čisto, naime takoda se ništa ne računa dvostruko i da ništa nije ispušteno, ondatočku dijeljenja smijemo pribrojiti samo jednome segmentu. Ontime biva potpuno u sebi zatvoren i može se usporediti sargumentom, dok drugome nešto nedostaje. Naime, ne pripadamu točka dijeljenja, koju bismo mogli nazvati njegovom kraj-njom točkom. Iz njega dobivamo nešto potpuno tek time što gaupotpunjujemo tom krajnjom točkom ili nekom dužinom sdvjema krajnjim točkama. Ako npr. kažem "funkcija 2 · x3 + x",onda x ne treba smatrati onim što


spada u funkciju, nego to slovo služi samo tome da naznačineku vrstu potrebovanja dopune, time što obilježava mjesta nakoja treba stupiti znak argumenta.

Ono što dobijemo kada funkciju dopunimo njezinimargumentom nazivljemo vrijednošću funkcije za taj argument.Tako je npr. 3 vrijednost funkcije 2 · x2 + x za argument 1, jerimamo 2 · l2 + 1 = 3.

Postoje funkcije, kao npr. 2 + x - x ili 2 + 0 · x, čija jevrijednost uvijek isto, što god bio njihov argument; imamo 2 =2 + x - x i 2 = 2 + 0 · x. Kad bi se argument ubrajao u funkcije,tada bi se broj 2 držao tom funkcijom. No to je pogrešno. Iakoje ovdje funkcijska vrijednost uvijek 2, samu funkciju ipak trebarazlikovati od 2, jer izraz neke funkcije uvijek mora pokazivatijedno ili više mjesta koja su određena da budu ispunjenaznakom argumenta.

Metoda analitičke geometrije daje sredstvo da se vrijednostineke funkcije za različite argumente učine zornima. Naime,promatramo li argument kao brojevnu vrijednost apscise, apripadnu funkcijsku vrijednost kao brojevnu vrijednost ordinateneke točke, dobivamo jednu skupinu točaka koja se u običnimslučajevima zorno prikazuje kao krivulja. Svaka točka krivuljeodgovara jednome argumentu s pripadnom funkcijskomvrijednosti.

Tako npr.

y = x2 - 4x

daje parabolu, pri čemu "y" naznačuje funkcijsku vrijednost ibrojevnu vrijednost ordinate isto kao što "x" naznačujeargument i brojevnu vrijednost apscise. Usporedimo li s timefunkciju

x(x - 4),

nalazimo da ona općenito za isti argument ima istu vrijednostkao i ona gore. Imamo općenito

x2 - 4x = x(x-4),

koji god broj uzmemo za x. Stoga je krivulja koju dobivamo iz

y = x2 - 4x ista

kao i ona što proizlazi iz

y = x(x - 4).

Ja to izražujem ovako: funkcija x(x - 4) ima isti vrijednosni tokkao i funkcija x - 4x.

Ako napišemo

x2 - 4x = x(x - 4).

onda nismo izjednačili jednu funkciju s drugom, nego samofunkcijske vrijednosti međusobno. A ako tu jednakost razu-mijemo tako da ona treba vrijediti bez obzira na to koji biargument mogao biti stavljen za x, onda smo time izraziliopćenitost neke jednakosti. No za to možemo kazati i"vrijednosni tok funkcije x(x - 4) jednak je vrijednosnom tokufunkcije x - 4x" i u tome imamo jednakost između vrijednosnihtokova. Da je sada moguće općenitost neke jednakosti izmeđufunkcijskih vrijednosti shvatiti kao jednakost, naime kaojednakost između vrijednosnih tokova, to se. kako mi se čini, neda dokazati nego se mora uzeti kao osnovni logički zakon.

5 U nekim formulacijama uobičajenoga matematičkoga načinaizraživanja riječ "funkcija" odgovara onome što sam ovdje nazvaovrijednosnim tokom funkcije. No funkcija u ovdje upotrijebljenu smisluriječi jest ono logički prvotnije.

146 GOTTLOB FREGE

Sada možemo uvesti i kratak način obilježavanja vrijednosnogtoka funkcije. U tu svrhu u izrazu funkcije znak argumentazamjenjujem grčkim znakom za samoglasnik, sve stavljam u zagrade iispred stavljam isto grčko slovo s tihim hakom. Prema tome je npr.

έ (ε2 - 4ε)

vrijednosni tok funkcije x2 - 4x, a

ά (α · [α- 4])

vrijednosni tok funkcije x{x - 4), tako da u

"έ (έ2-4ε) = ά (α· [α- 4])

imamo izraz za to da je prvi vrijednosni tok isti kao i drugi. Namjernosu izabrana različita grčka slova, da bi se naznačilo da ništa ne sili dase uzmu ista.

"x2 - 4x = x(x - 4)"

izražuje doduše isti smisao - ako ga razumijemo kao gore - ahna drugi način. Ono prikazuje smisao kao općenitost jednakosti,dok je novouvedeni izraz jednostavno jednakost, čija desnastrana, isto kao i lijeva, ima u sebi zatvoreno značenje. U

"x2 - 4x - x(x - 4)"

lijeva strana, promatrana sama za sebe, naznačuje, samoneodređeno, neki broj, a isto tako i desna strana. Kad bismoimali samo "x2- 4x", tad bismo umjesto toga mogli


pisati i "y2 - 4y", a da se smisao ne promijeni; jer "y", jednako kao i"x", samo neodređeno naznačuje neki broj. No kada obje straneujedinjujemo u jednu jednakost, tada s obje strane moramoizabrati ista slova, a time izražujemo nešto što ne sadrži nitilijeva strana za sebe, niti desna strana, niti znak jednakosti,naime upravo općenitost, dakako općenitost neke jednakosti, aliipak u prvome redu općenitost.

Kao što se neki broj neodređeno naznačuje uz pomoć slovakako bi se izrazila općenitost, tako je potrebno da se i funkcijaneodređeno naznači uz pomoć slova. Većinom se u tu svrhukoristimo slovima f i F, na taj način da u "f(x)" i "F(x)" x stojiza argument. Potreba za dopunom funkcije ovdje dolazi doizražaja time što slovo f ili F uza. se ima zagradu, čija jenutarnjost određena za primanje znaka argumenta. Prema tome,

"έ f (έ)"

naznačuje vrijednosni tok funkcije koja je ostavljena neo-dređenom.

Kako je onda značenje riječi "funkcija" prošireno napre-dovanjem znanosti?

U tome se mogu razlikovati dva smjera. Naime, prvo jeprošireno područje računskih operacija koje pridonoseoblikovanju funkcije. Zbrajanju, množenju, potenciranju i njimaobrnutim postupcima pridodane su različite vrste prelaženjagranice, a da se, doduše, nije uvijek posjedovala jasna svijest οbitno novom do čega je pritom došlo. Išlo se dalje i postalo ještoviše nužno pribjeći govornome jeziku, jer je znakovni jezikanalize zakazao, kada je npr. bila riječ ο funkciji čija jevrijednost za racionalni argument 1, a za iracionalni 0.


Drugo, prošireno je područje onoga što može nastupiti kaoargument i funkcijska vrijednost, i to uvođenjem kompleksnihbrojeva. Time se ujedno morao dalje odrediti smisao izraza"zbroj", "umnožak" itd.

Nadalje idem u oba smjera. Najprije uza znakove +, -itd.,koji služe oblikovanju izraza za funkciju, dodajem i znakovekao što su =, >, <, tako da mogu govoriti npr. ο funkciji x2 = 1,gdje x, kao i ranije, stoji za argument. Prvo pitanje što se ovdjepojavljuje jest pitanje ο vrijednosti te funkcije za različiteargumente. Postavimo li, redom, za x -1, 0, 1, 2, dobivamo

(-1)2 = 102 = 1l2 = 122 = 1.

Od ovih su jednakosti prva i treća istinite, a ostale su lažne.Sada kažem: "vrijednost naše funkcije jest istinosna vrijednost"i razlikujem istinosnu vrijednost istinitosti od istinosnevrijednosti lažnosti. Jednu kratko nazivam istinitošću, a drugulažnošću. Odatle npr. "22 = 4" znači istinitost, isto kao što "22"znači 4. A "2 =1" znači lažnost. Prema tome,

"22 = 4", "2 > 1", "24 = 42"

znače isto, naime istinitost, tako da u

(22 = 4) = (2 > 1)

imamo ispravnu jednakost.

Ovdje postoji prigovor kako "22 = 4" i "2 > 1 ipak značenešto posve različito, izražuju posve različite misli; ali "24 = 42"i "4.4 = 42" također izražuju različite misli,

a ipak se "24" može zamijeniti s "4 · 4", jer oba znaka imaju istoznačenje. Prema tome, "24 = 42" i "4 · 4 = 42" također imaju istoznačenje. Otuda se vidi da jednakost značenja nema kao posljedicujednakost misli. Kada kažemo "Večernjača je planet čije je vrijemeophodnje manje od vremena ophodnje Zemlje", tada smo izrazilidrugu misao nego u rečenici "Danica je planet čije je vrijemeophodnje manje od vremena ophodnje Zemlje", jer onaj tko ne zna daje Danica Večernjača mogao bi jednu rečenicu držati istinitom, adrugu lažnom. No značenje te dvije rečenice ipak mora biti isto, jerriječi "Večernjača" i "Danica" samo su međusobno zamjenljive riječikoje imaju isto značenje, tj. one su vlastita imena istoga nebeskogatijela. Moramo razlikovati smisao i značenje. "24" i "4 · 4" imajudoduše isto značenje, tj. oni su vlastita imena istoga broja, ali nemajuisti smisao. I otuda "24 = 42" i "4 · 4 = 42" doduše imaju isto značenje,ali nemaju i isti smisao; to u ovome slučaju znači: oni ne sadrže istumisao.6

Dakle, s istim pravom s kojim pišemo

"24 = 4 · 4"

možemo pisati i

"(24 = 42) = (4 · 4 = 42)" i

"(22 = 4) = (2 > 1)".

6 Shvaćana da se ovo isprve može činiti proizvoljnim i umjetnim te da bi moglo bitipotrebno iscrpnije obrazloženje. Usp. moj članak "Über Sinn und Bedeutung" kojiuskoro izlazi u Zeitschrift für Philosophie und phil. Kritik [usp. i ovu knjigu, str. 167-193].


Nadalje, mogli bismo postaviti pitanje u koju su svrhuznakovi =, >. < prihvaćeni u krug onih koji pomažu uoblikovanju nekoga izraza funkcije. Čini se da danas sve višepristaša dobiva gledište kako je aritmetika šire razvijena logika,kako se strože utemeljenje aritmetičkih zakona svodi na čistologičke i samo na takve. I ja tako mislim te na tome temeljimzahtjev da se aritmetički znakovni jezik mora proširiti u logički.Sada ću naznačiti kako se to događa u našemu slučaju.

Vidjeli smo kako je vrijednost naše funkcije x2 = 1 uvijekjedna od dvije istinosne vrijednosti. Ako je sada za nekiodređeni argument, npr. za -1, funkcijska vrijednost istinitost,onda to možemo izraziti ovako: "broj -1 ima svojstvo dajenjegov kvadrat 1" ili, kraće, "-1 je kvadratni korijen iz 1" ili "-1potpada pod pojam kvadratni korijen iz 1". Ako je vrijednostfunkcije x - 1 za neki argument, npr. za 2, lažnost, onda ćemo tomoći izraziti ovako: "2 nije kvadratni korijen iz 1" ili "2 nepotpada pod pojam kvadratni korijen iz 1". Iz toga vidimo ukakvoj je uskoj vezi ono što u logici nazivamo pojmom s onimšto nazivamo funkcijom. Mogli bismo bez ustezanja reći: pojamje funkcija čija je vrijednost uvijek istinosna vrijednost. Ivrijednost funkcije

(x + 1)2 = 2(x + 1)

je uvijek istinosna vrijednost. Istinitost dobivamo npr. zaargument -1, a to ćemo moći i ovako izraziti: -1 je broj koji jeza 1 manji od broja čiji je kvadrat jednak dvostruko većemubroju. Time je izraženo potpadanje broja -1 pod pojam. Sadafunkcije

x2 = 1 i (x + 1)2 = 2(x + 1)

imaju za isti argument uvijek istu vrijednost, naime za -1 ili +1istinitost, a za sve druge argumente lažnost. Prema onome što je prijeustanovljeno kazat ćemo dakle da te funkcije imaju isti vrijednosnitok, a to ćemo u znakovima izraziti na ovaj način:

ε (ε2 = 1) = ά ([α + 1]2 = 2[α + 1]).

U logici se ovo naziva jednakošću opsega pojmova. Stoga opsegpojma možemo označiti kao vrijednosni tok funkcije čija je vrijednostza svaki argument istinosna vrijednost.

Nećemo ostati kod jednakosti i nejednakosti. Jezični oblikjednakosti jest tvrdnja. Tvrdnja kao smisao sadrži neku misao -ili u najmanju ruku zahtijeva da je sadrži -a ta je misao općenitoistinita ili lažna, tj. ona općenito ima neku istinosnu vrijednostkoju isto tako treba shvatiti kao značenje rečenice, kao što jerecimo broj 4 značenje izraza "2 + 2" ili kao što je Londonznačenje izraza "glavni grad Engleske".

Tvrdnje se općenito, isto kao i jednakosti ili izrazi uanalizi, mogu pomišljati kao rastavljene u dva dijela, odkojih je jedan u sebi zatvoren, a drugi je potrebit dopune,nezasićen. Tako se npr. rečenica

"Cezar je osvojio Galiju"

može rastaviti u "Cezar" i "je osvojio Galiju". Drugi je dionezasićen, ima prazno mjesto i zatvoren se smisao pojavljujetek time što to mjesto biva ispunjeno vlastitim imenom ilinekim izrazom koji stoji za vlastito ime. I ovdje značenjetoga nezasićenoga dijela nazivam funkcijom. U ovome jeslučaju argument Cezar.


Vidimo da se ovdje proširenje provodi i u drugome smjeru,naime u pogledu onoga što može nastupiti kao argument. Višenisu prihvatljivi samo brojevi, nego i predmeti uopće, pri čemuu predmete svakako moram ubrojiti i osobe. Već su maloprijekao moguće funkcijske vrijednosti uvedene dvije istinosnevrijednosti. Moramo poći dalje i predmete uzeti bez ograničenjakao funkcijske vrijednosti. Da bismo imali jedan primjer za to,zapoćnimo recimo s izrazom

"glavni grad njemačkoga carstva".

Taj izraz očito stoji za vlastito ime i znači neki predmet.Rastavimo ga sad u dijelove

"glavni grad [od] [des]"

i "njemačko carstvo", pri čemu genitivni oblik ubrajamo u prvidio jer je nezasićen, dok je drugi u sebi zatvoren. Sukladnoonome prije,

"glavni grad od x"

nazivam izrazom funkcije. Uzmemo li kao njegov argumentnjemačko carstvo, kao funkcijsku vrijednost dobivamo Berlin.

Ako smo tako predmete uzeli bez ograničenja kao ar-gumente i kao funkcijske vrijednosti, onda se sada postavljapitanje što se ovdje naziva predmetom. Školsku definicijusmatram nemogućom, jer ovdje imamo posla s nečim što zbogsvoje jednostavnosti ne dopušta logičko rastavljanje. Mogućeje samo upozoriti na ono što se misli. Ovdje se može samokratko kazati: predmet je sve ono što nije funkcija, čiji izrazdakle nema prazno mjesto.

Tvrdnja ne sadrži prazno mjesto, te stoga njezino zna-čenje valja shvatiti kao predmet. No to je značenje istinosnavrijednost. Dakle, dvije istinosne vrijednosti jesu predmeti.

Maloprije smo postavili jednakosti između vrijednosnihtokova, npr.

"έ (ε2 -' 4ε) = ά (α [α - 4])"

Το možemo rastaviti u "έ (ε2 - 4ε) i "( ) = ά (α [α - 4])".

Ovaj je posljednji dio potrebit dopune, jer lijevo od znakajednakosti ima prazno mjesto. Prvi dio, "έ (ε2 - 4ε)", posve je usebi zatvoren, dakle znači predmet. Vrijednosni tokovi funkcijajesu predmeti, dok same funkcije to nisu. I έ (ε2 = 1) nazvalismo vrijednosnim tokom, no mogli smo to označiti i kao opsegpojma kvadratni korijen iz 1. I opsezi pojmova su daklepredmeti, iako sami pojmovi to nisu.

Nakon što smo tako proširili područje onoga što se možeuzeti kao argument moramo pronaći točnije odredbe značenjaveć uobičajenih znakova. Sve dok se u aritmetici predmetimasmatraju samo cijeli brojevi, slova α i b u "a + b" naznačujusamo cijele brojeve; znak plus treba biti objašnjen samo kaoznak koji stoji između cijelih brojeva. Svako proširenjepodručja predmeta koji su naznačeni s "a" i "b" tjera nas nanovo objašnjenje znaka plus. Kao nalog znanstvene strogostipojavljuje se poduzimanje potrebnih koraka protiv toga da nekiizraz može biti bez značenja, da računamo s praznimznakovima vjerujući kako imamo posla s predmetima. Ranijesmo imali loših iskustava s divergentnim beskonačnimnizovima. Nužno je dakle načiniti odredbe iz kojih proizlazi štonpr. znači

j


⊙ + 1ako ⊙ treba značiti Sunce. Razmjerno je svejedno koja sepravila postavljaju; no bitno je da to učinimo, da "a + b" uvijekdobiva značenje, koji god znakovi određenih predmetazamijenili "a" i "b". Sto se tiče pojmova, u tom pogledu imamozahtjev da oni za svaki argument kao vrijednost imaju jednuistinosnu vrijednost, da je za svaki predmet određeno potpada Upod pojam ih ne, drugim riječima: za pojmove imamo zahtjevza njihovim oštrim ograničavanjem, a bez ispunjenja togazahtjeva bilo bi nemoguće postaviti logičke zakone ο njima. Zasvaki argument x za koji bi "x +1" bilo bez značenja ni funkcijax + 1 = 10 ne bi imala nikakvu vrijednost, dakle niti ikakvuistinosnu vrijednost, tako da pojam

ono što uvećano za 1 daje 10

ne bi imao oštru granicu. Zahtjev oštroga ograničavanjapojmova povlači dakle za sobom zahtjev što se tiče funkcijauopće, zahtjev da one za svaki argument moraju imati nekuvrijednost.

Dosada smo istinosne vrijednosti razmatrali samo kaofunkcijske vrijednosti, a ne kao argumente. Prema onome što jeupravo kazano, funkcija mora dobiti vrijednost i tada kada sekao argument uzima istinosna vrijednost; no što se tiče većuobičajenih znakova, u tu je svrhu stvar samo u tome da pravilopostoji, a time se ne uzima u obzir ono što se određuje. No sadse mogu razmotriti neke funkcije koje su važne upravo kada jenjihov argument istinosna vrijednost

Kao takvu funkciju uvodim

── x

tvrdeći da vrijednost te funkcije treba biti istinitost ako se kaoargument uzme istinitost, a da je, nasuprot tome, vrijednost tefunkcije u svim drugim slučajevima lažnost; dakle i onda ako jeargument lažnost, kao i onda ako on nije nikakva istinosnavrijednost. Prema tome je npr.

── 1 + 3 = 4

istinitost, dok su

�1 + 3 = 5

i

� 4

lažnost. Ta funkcija dakle kao vrijednost ima argument samako je on istinosna vrijednost. Prije sam ovu vodoravnu crtuzvao sadržajnom crtom, no to se ime sada više ne činiprikladnim. Sada je želim jednostavno zvati horizontalom.

Ako zapišemo neku jednakost ili nejednakost, npr. 5 > 4,onda time obično ujedno želimo izraziti sud; u našemu seslučaju želi tvrditi da je 5 veće od 4. Prema shvaćanju što samga ovdje izložio, u "5 > 4" ili "1 + 3 = 5" sadržani su samoizrazi ο istinosnim vrijednostima, a da se time ne treba ništatvrditi. To razdvajanje suđenja od onoga ο čemu se sudi čini seneophodnim, jer se inače ne bi dala izraziti jedna pukapretpostavka, postavljanje nekoga slučaja, a da se odmah nesudi ο njegovu nastupanju. Potrebujemo dakle jedan posebanznak da bismo nešto mogli tvrditi. Za to se koristim okomitomcrtom na lijevom kraju horizontale, tako da npr. s

�� 2 +3 = 5

156 GOTTLOB FREGE

tvrdimo: 2 + 3 jednako je 5. Dakle, tu nije samo, kao u

"2 + 3 = 5",

zapisana neka istinosna vrijednost, nego je istodobno kazano ito da je to istinitost.

Naredna jednostavna funkcija može biti ona čija vrijednost jest lažnost upravo za one argumente za koje je vrijednost od ------ x istinitost i, obratno, čija je vrijednostistinitost za one argumente za koje je vrijednost od ------------ xlažnost. To označujem kao

� x pri čemu malu okomitu crtu zovem niječnom crtom. Tufunkciju razumijem kao funkciju s argumentom------------ x:

(� x) = (�[� x])

obje vodoravne crte pomišljajući kao spojene. No to je i

(�[� x]) = ( � x)

jer je vrijednost od � x uvijek istinosna vrijednost. Dakle,dva dijela crte lijevo i desno od niječne crte u «� x» shvaćam kaohorizontale u maloprije objašnjenu posebnome smislu riječi. Prematome npr.

"» � 22 =5 «


znači istinitost i ispred možemo staviti sudnu crtu

�� 22 = 5

te time tvrdimo da 22 = 5 nije istinitost, odnosno da 22 nije 5. No i

� 2

je istinitost, jer --------2 je lažnost:

�� 2;tj. 2 nije istinitost.

Iz jednoga će se primjera najbolje vidjeti kako prikazujemopćenitost. Treba izraziti da je svaki predmet jednak samomesebi. U

x = ximamo funkciju čiji je argument naznačen s "x". Sada treba kazatikako je vrijednost te funkcije uvijek istinitost, što god da se. uzme kaoargument. Sada pod

« � f(}) « razumijem istinitost, ako funkcija f(x) kao vrijednost uvijek imaistinitost, što god bio njezin argument; u svim drugim slučajevima

« � f(}) «

Sudna se crta ne može upotrijebiti za oblikovanje izraza funkcijejer ona ne služi, zajedno s drugim znakovima, za označivanje nekogapredmeta. « �� 2 + 3 = 5 « ne označuje ništa, nego nešto tvrdi.


treba značiti lažnost. Za našu funkciju x-x imamo prvi slučaj. Dakle,

��

tj. "nije svaki predmet kvadratni korijen iz 1" ili "postoje predmetikoji nisu kvadratni korijen iz 1".

je istinitost, a to pišemo ovako:

�� a = a.

Može li se izraziti i to da postoje kvadratni korijeni iz 1!Naravno.Potrebno je usmjesto funkcije x2 = 1 uzeti funkciju

� x2 = 1

Vodoravne crte desno i lijevo od udubine valja shvatiti kao horizontaleu našemu smislu. Umjesto "a" moglo bi se izabrati i bilo koje drugogotičko slovo, osim onih koja, poput t f, trebaju služiti kao slova zafunkcije.Ovaj način označivanja daje mogućnost da zaniječemoopćenitost, kao u

�� a2 = 1 Naime, �� a2 = 1 je lažnost,jer nije svaki argumentfunkcijska vrijednost x2 = 1 istinitost.Naime,za argument 2npr.dobivamo 22 = 1 ,a to je lažnost.Ako je dakle �� a2 = 1lažnost ,onda je�� a2 = 1. istinitost prema onome što jegore ustanovljeno o niječenoj crti.Imamo dakle

�� a2 = 1

Iz

�� a2 = 1

spajanjem horizontala nastaje

�� a2 = 1

To znači lažnost, jer nije za svaki argument vrijednost funkcije

� x2 = 1

istinitost. Npr.

� 12= 1

je lažnost, jer l2 = 1 je istinitost. Budući da je dakle

�� a2 = 1

lažnost,

160 GOTTLOB FREGE

�� a2 = 1

je istinitost:

�� a2 = 1

tj. "nije za svaki argument vrijednost funkcije

� x2 = 1

istinitost", odnosno "nije za svaki argument vrijednost funkcije x2 = 1lažnost", odnosno "postoji najmanje jedan kvadratni korijen iz 1".Evo još nekoliko primjera u znakovima i riječima:

�� a ≧ 0

postoji najmanje jedan pozitivan broj;

�� a < 0

postoji najmanje jedan negativan broj;

�� a3 – 3a2 + 2a = 0

postoji najmanje jedan korijen jednadžbe

x3 - 3x2 + 2x = 0.


Odatle je vidljivo kako treba izraziti toliko važne egzis-tencijalne rečenice. Naznačimo li neki pojam neodređeno saslovom za funkciju/, u

�� f (a)

imamo oblik u kojemu su, bez obzira na su dnu crtu,sadržani ovi posljednji primjeri. Izrazi

�� a2 = 1, �� a ≧ 0 ,�� a< 0,

"» �� a2 - 3a2 + 2a = 0 «

iz ovoga oblika proizlaze na sličan način na koji npr. iz x2

proizlaze "l2", "22", "32". Kao što u x2 imamo funkciju čiji jeargument naznačen s "x", tako i

�� f(a)

shvaćam kao izraz funkcije čiji je argument naznačen s "f. Takvaje funkcija očito bitno različita od onih ranije razmatranih, jernjezin argument može biti samo neka funkcija. Kao što sefunkcije bitno razlikuju od predmeta, tako se i funkcije čijiargumenti jesu i moraju biti funkcije bitno razlikuju od funkcijačiji su argumenti predmeti i ne mogu biti ništa drugo dolipredmeti. Ove posljednje zovem funkcijama prvoga, one gorefunkcijama drugoga stupnja. Isto tako razlikujem pojmoveprvoga i drugoga stupnja. Funk-

8 Usp. moje Grundlagen der Arithmetik (Breslau, 1884). § 53 na koncu, gdjesam umjesto "drugoga stupnja" kazao "drugoga reda [usp. ovu knjigu, str. 82],Ontološki dokaz za opstanak Boga trpi od pogreške što egzistenciju razmatra kaopojam prvoga stupnja.

162 GOTTLOBFREGE


cije drugoga stupnja odavno su se pojavile posebno u analizi,npr. u određenim integralima, ukoliko se funkcija koju trebaintegrirati razmatra kao argument.

Može se dodati još nešto ο funkcijama s dva argumenta.Izraz funkcije dobili smo rastavivši složeni znak nekogapredmeta u zasićeni i nezasićeni dio. Tako npr. znak istinitosti

"3 > 2"

rastavljamo u "3" i "x > 2". Nezasićeni dio "x > 2" možemodalje na isti način rastaviti u "2" i

"x > y",

gdje "y" obilježava prazno mjesto, koje prije bijaše ispunjeno s"2". U

x > y

imamo funkciju s dva argumenta, od kojih je jedan naznačen sx”, a drugi s "y", dok u

3 > 2

imamo vrijednost te funkcije za argumente 3 i 2. Ovdje imamofunkciju čija je vrijednost uvijek istinosna vrijednost. Funkcije sjednim argumentom nazvali smo pojmovima, a one s dvaargumenta zovemo odnosima. Odnose imamo npr. u

x2 + y2 = 9

i u

dok funkcija

x2 + y2

kao vrijednosti ima brojeve. Nećemo je dakle nazvati odnosom.

Ovdje možemo navesti jednu funkciju -koja nije svojstvenaaritmetici. Vrijednost funkcije

� x � y

jest lažnost ako se kao argument naznačen s y uzmeistinitost, a istodobno se kao argument naznačen s x uzmepredmet koji nije istinitost; u svim je drugim slučajevimavrijednost te funkcije istinitost. Donju vodoravnu crtu i dvadijela u koje je gornja rastavljena okomicom valja shvatitikao horizontale [u našem smislu]. Prema tome, kao argumente naše funkcije uvijek možemo smatrat �� x i�� y, tj. istinosne vrijednosti.

Među funkcijama s jednim argumentom razlikujemo oneprvoga i one drugoga stupnja. Ovdje je moguća velikaraznolikost. Funkcija s dva argumenta može u odnosu na njihbiti istoga ih različitoga stupnja: funkcije jednakog i nejednakogstupnja. One koje smo prije razmatrali bijahu jednakoga stupnja.Funkcija nejednakog stupnja je npr. dife-rencijalni količnik akose kao argumenti uzmu funkcija koju treba diferencirati iargument za koji se diferencira ili pak određeni integral ako sekao argumenti uzmu funkcija koju treba integrirati i gornjagranica. Funkcije jednakog stupnja mogu se dalje podijeliti ufunkcije jednakog stupnja prvoga i funkcije jednakog stupnjadrugoga stupnja. Takva funkcija drugoga stupnja jest npr.

x2 + y2 > 9,

164 GOTTLOB FREGEFUNKCIJA I POJAM 165

gdje "F" i "f " naznačuju argumente.

Kod funkcija drugoga stupnja s jednim argumentom moramopraviti razliku prema tome može li se kao taj argument pojavitifunkcija s jednim ili funkcija s dva argumenta, jer funkcija sjednim argumentom tako se bitno razlikuje od funkcije s dvaargumenta da jedna ne može doći kao argument upravo na onomjesto na koje druga može. Neke funkcije drugoga stupnja sjednim argumentom kao argument zahtijevaju funkciju s jednimargumentom, a druge zahtijevaju funkciju s dva argumenta i tesu dvije klase oštro razlučene.

�� b = a

� �� f(c,a)

�� f(c,b)

je primjer funkcije drugoga stupnja s jednim argumentom koja kaoargument zahtijeva funkciju s dva argumenta. Slovo f pritomnaznačuje argument, a dva mjesta razdvojena zarezom u zagradi štoslijedi iza 'f' pokazuju da f stoji za funkciju s dva argumenta.

Kod funkcija s dva argumenta raznolikost je još veća.

Osvrnemo li se odavde na razvoj aritmetike, uviđamostupnjevito uspinjanje. Prvo se računalo s pojedinačnimbrojevima, s 1, 3 itd.

su poučci takve vrste. Zatim se napredovalo prema općenitijimzakonima koji vrijede za sve brojeve. U označivanju tomeodgovara prijelaz na računanje pomoću slova. U

(a + b)c = a · c + b · c

imamo poučak takve vrste. Pri tome su se u razmatranjuprimjenjivale pojedine funkcije, ali se riječ "funkcija" još nijerabila u matematičkome smislu, a niti se shvaćalo njezinoznačenje. Naredni viši stupanj bijaše spoznaja općega zakona οfunkcijama, a time i stvaranje tehničkoga izraza "funkcija". Uoznačivanju tome odgovara uvođenje slova kao što su/, F zaneodređeno naznačivanje funkcije. U

imamo poučak takve vrste. Pritom se došlo do pojedinihfunkcija drugoga stupnja, a da se ipak nije shvatilo ono što smomi nazvali funkcijom drugoga stupnja. To predstavlja narednikorak. Moglo bi se pomisliti da je tako išlo dalje. No vjerojatnoveć ovaj posljednji korak nije tako bogat posljedicama kaoraniji, jer se u daljnjemu razvoju umjesto funkcija drugogastupnja mogu razmatrati funkcije prvoga stupnja, kako trebapokazati na drugome mjestu. No time razlika između funkcijaprvoga i drugoga stupnja nije iščezla, jer ona nije načinjenasvojevoljno, nego je utemeljena duboko u naravi stvari.

Moguće je također umjesto funkcija s dva argumentarazmatrati funkcije s jednim jedinim no kompleksnim ar-gumentom, pri čemu ipak razlika između funkcija s jednim ifunkcija s dva argumenta i dalje postoji u svoj oštrini.

2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6

O SMISLU I ZNAČENJU

Jednakost1 nas tjera na razmišljanje pitanjima koja su s njompovezana i na koja nije lako odgovoriti. Je li ona neki odnos? Jeli neki odnos između predmeta? Ili pak između imena iliznakova za predmete? Ovo posljednje pretpostavio sam usvojemu Pojmopisu. Razlozi za koje se čini kako govore uprilog tome jesu sljedeći: α = αία = b očito su stavci različitespoznajne vrijednosti: stavak α = α vrijedi a priori i treba ga,prema Kantu, nazvati analitičkim, dok stavci oblika a - b čestosadrže vrijedna proširenja naše spoznaje i ne mogu se uvijekzasnovati α priori. Otkriće da svakoga jutra ne izlazi novoSunce, nego uvijek isto, bilo je možda jedno odnajplodonosnijih otkrića u astronomiji. Ni danas nijeprepoznavanje nekoga malenoga planeta ili nekoga kometauvijek nešto samorazumljivo. Kada bismo u jednakosti htjelividjeti odnos između onoga što znače imena "a" i "b", tada bi sečinilo da α = b ne može biti različito od a = a, naime u slučajuda je a — b istinito. Time bi bio izražen odnos stvari prema sebisamoj, i to takav odnos u kojemu svaka stvar stoji prema samojsebi, no nijedna ne stoji prema nekoj drugoj. Čini se da ono štose želi kazati s a = b jest to da znakovi ili imena "a" i "b" značeisto, a tada bi riječ bila upravo ο tim znakovima; tvrdio bi seneki odnos između njih. No taj bi odnos postojao između imenaili znakova samo ukoliko oni nešto imenuju ih označuju. To bibio odnos posredovan povezivanjem svakoga od tih znakova sistim označenim. No ono je proizvoljno. Ne može se nikomezabraniti da kao znak za bilo što prihvati bilo koji proizvoljnidogađaj ili predmet. Time se stavak α = b ne bi više

1 Tu riječ upotrebljavam u smislu identiteta te "a = b"razumijem u smislu "a je isto što i b" ili "a i b se podudaraju".

168 GOTTLOB FREGE Ο SMISLU I ZNAČENJU 169

odnosio na samu stvar, nego samo još na naš način označivanja; timene bismo izrazili pravu spoznaju. No ipak, u puno slučajeva želimoupravo to. Kad bi se znak "a" od znaka "b" razlikovao samo kaopredmet (ovdje oblikom), a ne kao znak - dakle, ne u načinu kakonešto označuje - tada bi spoznajna vrijednost od α = α u biti bilajednaka spoznajnoj vrijednosti od α = b, u slučaju da je α = b istinito.Različitost može nastati samo time što razlika između znakovaodgovara razlici u načinu danosti onoga označenoga. Neka su a, b, cdužine koje kutove nekoga trokuta povezuju sa središtima suprotnihstranica. Točka u kojoj se sijeku α i b tada je ista ona točka u kojoj sesijeku b i c. Imamo dakle različite oznake za istu točku, a imena"točka u kojoj se sijeku α i b" i "točka u kojoj se sijeku b i c" ujednoupućuju na način danosti i stoga je u rečenici sadržana zbiljskaspoznaja.

Jasno je dakle kako sa znakom (ime, sintagma, slovo) osim onogaoznačenoga, koje bismo mogli nazvati značenjem znaka, kaopovezano valja pomišljati i ono što bih htio nazvati smislom znaka, ukojemu je sadržan način danosti. U našemu bi primjeru stoga značenjeizraza "točka u kojoj se sijeku α i b" i "točka u kojoj se sijeku b i c"doduše bilo isto, ali ne bi bio isti i njihov smisao. Značenje izraza"Večernjača" i "Danica" bilo bi isto, ali ne bi bio isti i njihov smisao.

Iz konteksta proizlazi da sam ovdje pod "znak" i "ime" razumiobilo koju oznaku koja stoji za vlastito ime, čije je značenje dakleodređeni predmet (uzmemo U tu riječ u najširemu opsegu), ali nije nipojam ni odnos, koje treba pobliže razmotriti u jednom drugomčlanku. Oznaka pojedinoga predmeta može se sastojati i iz više riječiili drugih znakova. Poradi kratkoće može se svaka takva oznakanazvati vlastitim imenom.

Smisao vlastitoga imena razumije svatko tko dostatno poznajejezik ili sustav znakova kojima ono pripada;2 no time je značenje, uslučaju da postoji, ipak uvijek samo jednostrano razjašnjeno. Zapotpunu spoznaju značenja bilo bi potrebno da mi ο svakome danomsmislu odmah možemo reći pripada li mu. Dotle ne dospijevamonikada.

Pravilna veza između znaka, njegova smisla i njegova značenjatakva je da znaku odgovara određen smisao, a smislu opet određenoznačenje, dok jednome značenju (jednome predmetu) ne pripada samojedan znak. Isti smisao u različitim jezicima, pa i u istome, imarazličite izraze. Naravno, postoje iznimke od toga pravila. Sigurno jeda bi u savršenome sustavu znakova svakome izrazu trebao odgovaratiodređen smisao; no narodni jezici često ne ispunjavaju taj zahtjev temoramo biti zadovoljni barem time da u istome kontekstu ista riječuvijek ima isti smisao. Možda se može priznati da gramatički ispravnooblikovan izraz koji stoji za vlastito ime uvijek ima smisao. No timenije rečeno odgovara li smislu i značenje. Riječi "nebesko tijelonajudaljenije od Zemlje" imaju smisao; vrlo je dvojbeno, međutim,imaju li i značenje. Izraz "najmanje konvergentan niz" ima smisao; nodokazuje se da on nema značenje, budući da se za svaki konvergentanniz može naći manje konvergentan, ah još uvijek konvergentan. Dakle,time što shvaćamo smisao nemamo još sa sigurnošću i značenje.

2 U slučaju pravoga vlastitoga imena kao što je "Aristotel"mišljenja se ο smislu, naravno, mogu razilaziti. Kao smisao bi se moglopretpostaviti npr. Platonov učenik i učitelj Aleksandra Velikog. Tko točini, taj će s rečenicom "Aristotel bijaše rodom iz Stagire" povezati drugismisao nego onaj koji kao smisao imena "Aristotel" pretpostavlja učiteljAleksandra Velikog rodom Iz Stagire. Sve dok samo značenje ostaje isto,te se varijacije smisla mogu tolerirati, iako i njih u izgradnji dokazneznanosti valja izbjegavati te se ne smije dopustiti da se pojave usavršenome jeziku.

170 GOTTLOB FREGE

Ako se riječi upotrebljavaju na uobičajen način, onda je ono οčemu se želi govoriti njihovo značenje. No može se dogoditi i to da seželi govoriti ο samim riječima ih njihovu smislu. To se događa npr.ako se nečije riječi navode u upravnome govoru. Vlastite riječi tadaprije svega znače riječi drugoga i tek one imaju uobičajeno značenje.Tada imamo znakove ο znakovima. U zapisu se u tome slučaju riječistavljaju u navodnike. Ne smije se dakle riječ koja stoji u navodnicimauzeti u uobičajenome značenju.

Ako želimo govoriti ο smislu izraza Ά', onda to možemo učinitijednostavno izričajem "smisao izraza Ά'". U neupravnome se govorugovori ο smislu npr. nečijega govora. Iz toga je jasno da ni u tomenačinu govora riječi nemaju svoje uobičajeno značenje, nego značeono što je inače njihov smisao. Ukratko, želimo kazati: uneupravnome [ungerade] se govoru riječi upotrebljavaju nepravo [un-gerade], odnosno imaju svoje nepravo značenje. Stoga razlikujemouobičajeno značenje riječi od njezina nepra-voga značenja i njezinuobičajen smisao od njezina nepra-voga smisla. Nepravo je značenjeriječi dakle njezin uobičajen smisao. Takve se iznimke uvijek morajuimati pred očima kada u pojedinome slučaju želimo ispravno razumjetinačin povezivanja znaka, smisla i značenja.

Od značenja i smisla znaka treba razlikovati s njim povezanupredodžbu. Ako je značenje znaka neki osjetilno zamjetljiv predmet,onda je moja predodžba ο tome nutarnja slika nastala iz sjećanja naosjetllne dojmove što sam ih imao te na djelatnosti - kako nutarnje,tako i vanjske - što sam ih izvršio.3 Ona je često puna osjećaja;

3 Predodžbama možemo pridružiti i zorove u kojima osjetilni dojmovii djelatnosti sami stupaju na mjesto tragova što su ih ostavili u duši. Ta jerazlika za našu svrhu nevažna, prije svega jer pored osjeta i djelatnosti isjećanja na njih pomažu da se upotpuni zorna slika. No pod zorom semože razumjeti i neki predmet ukoliko je on osjetilno zamjetljiv iliprostoran.

0 SMISLU I ZNAČENJU

jasnoća njezinih pojedinih dijelova raznolika je i nestalna. Nije uvijek,čak ni kod istoga čovjeka, ista predodžba povezana s istim smislom.Predodžba je subjektivna: predodžba jednoga nije predodžba drugoga.Time su same po sebi dane mnogostruke razlike predodžabapovezanih s istim smislom. Slikar, jahač, zoolog vjerojatno će simenom "Buchephalus" povezati vrlo različite predodžbe. Predodžbase time bitno razlikuje od smisla znaka', koji može biti zajedničkovlasništvo mnogih te dakle nije dio ili modus pojedine duše; jer nemože se zanijekati da ljudi imaju zajedničko blago misli koje prenoses jednoga naraštaja na drugi.4

Dok prema tome nije prijeporno govoriti ο smislu naprosto, kad jeriječ ο predodžbi mora se određenije dodati kome pripada i u kojevrijeme. Mogli bismo možda reći: kao što s istom riječi jedan povezujeovu, a drugi onu predodžbu, jednako tako s njom jedan možepovezivati ovaj, a drugi onaj smisao. Ipak, razlika tada postoji u načinutoga povezivanja. To ne priječi da obojica shvate isti smisao, ali istupredodžbu ne mogu imati. Si duo idem faciunt, non est idem. Ako sidvojica predočuju isto, onda svaki ipak ima svoju vlastitu predodžbu.Ponekad je doduše moguće ustanoviti razlike predodžaba, pa i osjećajarazličitih ljudi; ali točna usporedba nije moguća, jer te predodžbe nemožemo zajedno imati u istoj svijesti.

Značenje vlastitoga imena sam je predmet što ga tim vlastitimimenom označujemo; predodžba koju pritom imamo posve jesubjektivna, a između toga leži smisao, koji doduše nije višesubjektivan kao predodžba, ali ipak nije ni sam predmet. Sljedeća jeusporedba možda prikladna da bi se pojasnili ti odnosi. Netkopromatra Mjesec kroz teleskop. Sam Mjesec uspoređujem saznačenjem; on je

4 Stoga je svrsi neprimjereno riječju "predodžba" označivatinešto u osnovi tako različito.

171

172 GOTTLOB FREGE 0 SMISLU I ZNAČENJU 173

predmet promatranja koji je posredovan realnom slikom kojuprojicira objektiv u nutarnjosti teleskopa te slikom na mrežnicipromatrača. Prvu sliku uspoređujem sa smislom, a drugu spredodžbom odnosno zorom. Slika u teleskopu, doduše, samo jejednostrana, ovisi ο položaju. No ipak je objektivna, ukoliko senjome može služiti više promatrača. U svakom slučaju, moglobi se urediti daje više promatrača rabi istodobno. No što se tičeslike na mrežnici, svaki bi promatrač ipak imao svoju vlastitusliku. Zbog različite građe očiju jedva da bi se mogla postići igeometrijska kongruencija, no zbiljsko bi podudaranje biloisključeno. Ova bi se usporedba možda mogla navoditi i dalje,pretpostavi li se da se slika na mrežnici od A može učinitividljivom B-u; ili bi i sam A mogao u ogledalu vidjeti vlastitusliku na mrežnici. Time bi se možda pokazalo kako sepredodžba doduše može uzeti kao predmet, ali kao takvapromatraču ipak ne bi bila ono što neposredno jest onomu kojipredočuje. No otišli bismo predaleko idemo li u tom smisludalje.

Sada možemo uočiti tri stupnja razlike između riječi, izraza icijelih rečenica. Razlika se najviše odnosi ih na predodžbe ih nasmisao, ah ne na značenje, ih konačno i na značenje. U odnosuna prvi stupanj valja primijetiti da, zbog nesigurnogapovezivanja predodžaba s riječima, za jednoga može postojatirazlika koju drugi ne nalazi. Razlika između prijevoda iizvornika ne treba zapravo prekoračiti prvi stupanj. Razlikamakoje su ovdje još moguće pripadaju obojenosti i osvjetljenjakoje pjesništvo i govorništvo nastoje dati smislu. Te obojenosti iosvjetljenja nisu objektivni, nego ih svaki slušatelj i čitateljmora sebi sam stvoriti na temelju nagovještaja pjesnika ihgovornika. Bez neke srodnosti ljudskoga predočivanjaumjetnost dakako ne bi bila moguća; no nikada se ne možetočno doznati u kojoj mjeri odgovaramo nakanama pjesnika.

Ο predodžbama i zorovima ne treba dalje više govoriti. Onisu ovdje spomenuti samo zato da se predodžba koju neka riječpobuđuje u slušatelja ne bi pobrkala s njezinim smislom iliznačenjem.

Da bismo se kratko i točno izrazili, mogle bi se ustanovitisljedeće formulacije: vlastito ime (riječ, znak, spoj znakova,izraz) izražuje svoj smisao, znači ili označuje svoje značenje.Nekim znakom izražujemo njegov smisao i njime označujemonjegovo značenje.

S idealističke i skeptičke strane možda je već odavno upućenprigovor: "Ti ovdje bez dvoumljenja govoriš ο Mjesecu kaopredmetu; ah odakle znaš da ime 'Mjesec" uopće ima nekoznačenje, odakle znaš da uopće bilo što ima značenje?"Odgovaram da nam namjera nije govoriti ο našoj predodžbiMjeseca i da se, isto tako, ne zadovoljavamo smislom kadakažemo 'Mjesec', nego pretpostavljamo značenje. Kad bismohtjeli pretpostaviti kako je u rečenici "Mjesec je manji odZemlje" riječ ο predodžbi Mjeseca, to bi značilo da upravopromašujemo smisao. Kada bi govornik htio to, tada biupotrijebio izričaj "moja predodžba Mjeseca". No u tojpretpostavci očito možemo i pogriješiti, a takve su se pogreške idogodile. Ah pitanje griješimo h mi možda uvijek u tome možeovdje ostati neodgovoreno. Da bi se opravdao govor ο značenjuznaka - pod uvjetom da neko takvo značenje postoji - dovoljnoje uputiti na našu namjeru pri govorenju odnosno mišljenju.

Dosad smo razmatrali smisao i značenje samo onih izraza,riječi, znakova koje smo nazvali vlastitim imenima. Sadapitamo ο smislu i značenju cijele tvrdnje. Takva rečenica sadržimisao.5 Treba li tu misao shvatiti kao njezin smisao ih kaonjezino značenje? Pretpostavimo prvo da

5 Pod mišlju ne razumijem subjektivni čin mišljenja, nego njegovobjektivni sadržaj, koji može biti zajedničko vlasništvo mnogih.


rečenica ima značenje. Zamijenimo li sada u njoj jednu riječ drugomriječju istoga značenja, ali drugoga smisla, to ne može imati nikakavutjecaj na značenje rečenice. No vidimo da se u takvu slučaju mijenjamisao. Jer npr. misao rečenice "Danica je tijelo što ga obasjava Sunce"različita je od misli rečenice "Večernjača je tijelo što ga obasjavaSunce". Onaj tko ne zna da je Večernjača Danica, taj bi jednu misaomogao držati istinitom, a drugu lažnom. Misao dakle ne može bitiznačenje rečenice, štoviše trebat ćemo je shvatiti kao smisao. No što jeonda sa značenjem? Možemo li uopće ο njemu pitati? Ima li moždarečenica kao cjelina samo smisao, ali ne i značenje? U svakom slučaju,može se očekivati da postoje takve rečenice, jednako kao što postojedijelovi rečenice koji imaju smisao, ali ne i značenje. Takve će vrstebiti i rečenice koje sadrže vlastita imena bez značenja. Rečenica"Čvrsto spavajući Odisej iskrcao se na kopno u Itaci" očito imasmisao. No budući da je dvojbeno ima U ime "Odisej" što se u njojpojavljuje značenje, dvojbeno je i to ima li cijela ta rečenica značenje.No ipak je sigurno da netko tko tu rečenicu ozbiljno drži istinitom ililažnom i imenu "Odisej" pripisuje značenje, a ne samo smisao; jerznačenju toga imena pripisuje se ili odriče predikat. Tko ne priznajeznačenje, taj mu ne može ni pripisati ni odreći predikat. No napre-dovanje do značenja imena bilo bi suvišno; kad bismo htjeli ostati kodmisli, mogli bismo se zadovoljiti smislom. Kad bi stvar bila samo usmislu rečenice, u misli, tada bi bilo nepotrebno brinuti se ο značenjudijela rečenice. Za smisao rečenice relevantan može biti samo smisao,a ne značenje toga dijela. Misao ostaje ista bez obzira na to ima li ime"Odisej" značenje ili ne. Činjenica da se uopće bavimo značenjemdijela rečenice znak je toga da i za samu rečenicu uopće priznajemo izahtijevamo značenje. Misao gubi za nas na vrijednosti čim spoznamoda jednome njezinu dijelu nedostaje značenje. Posve je dakleopravdano što se ne zadovoljavamo smislom rečenice, nego pitamo i οnjezinu značenju. No zašto onda želimo da svako vlastito ime

ima ne samo smisao, nego i značenje? Zašto nas misao nezadovoljava? Jer nas, i utoliko što nas, ona upućuje na svoju istinosnuvrijednost. To nije uvijek tako. Npr. pri slušanju kakva epa poredblagozvučja jezika zaokuplja nas samo smisao rečenica te predodžbe iosjećaji što odatle proizlaze. S pitanjem ο istini napustili bismoumjetnički užitak i posvetili se znanstvenome razmatranju. Stoga namje, sve dok pjesmu razumijemo kao umjetničko djelo, i svejedno ima linpr. ime "Odisej" neko značenje.6 Dakle, težnja za istinom jest ono štonas svugdje tjera da napredujemo od smisla prema značenju.

Vidjeli smo da se kod rečenice značenje treba tražiti uvijek kad jeriječ ο značenju sastavnih dijelova, a to je slučaj uvijek i samo kadapitamo ο istinosnoj vrijednosti.

Tako smo došli do toga da kao značenje rečenice prihvatimoistinosnu vrijednost. Pod istinosnom vrijednošću rečenice razumijemokolnost da je ona istinita odnosno da je lažna. Druge istinosnevrijednosti ne postoje. Poradi kratkoće jednu nazivam istinitost, adrugu lažnost. Svaku tvrdnju u kojoj pitamo ο značenju riječi trebadakle shvatiti kao vlastito ime, a njezino je značenje, u slučaju da gaima, ili istinitost ili lažnost. Svatko tko uopće sudi, tko nešto drži zaistinito, dakle i skeptik, priznat će, makar samo prešutno, ta dvapredmeta. Označivanje istinosnih vrijednosti kao predmeta možeovdje izgledati kao proizvoljna dosjetka ili možda kao puka igrariječima iz koje se ne mogu izvući duboki zaključci. Ono što nazivampredmetom može se točnije razjasniti samo u vezi s pojmom iodnosom. To želim zadržati za jedan drugi članak. No ipak

6 Za znakove koji trebaju Imati samo smisao bilo bi poželjno imatineki poseban izraz. Kad bismo Ih nazvali recimo slikama, tada bi riječiglumca na pozornici bile slike, zapravo bi sam glumac bio slika.


vidjeli, u tom slučaju nije uobičajeno. Rečenica u upravnome govoruponovno znači rečenicu, a u neupravnome misao.

Došli smo tako do razmatranja zavisnih rečenica. Onenastupaju kao dijelovi rečeničnoga niza koji s logičke točkegledišta također izgleda kao rečenica, i to kao glavna rečenica.No tu se susrećemo s pitanjem vrijedi li u tome slučaju i zazavisne rečenice da je njihovo značenje isti-nosna vrijednost.Već znamo da je u slučaju neupravnoga govora upravosuprotno. Zavisne rečenice gramatičari shvaćaju kao ono štostoji za dijelove rečenice i prema tome ih dijele na imenskerečenice, pridjevske rečenice i priloške rečenice. Odatle bimoglo proizići mišljenje da značenje zavisne rečenice nijeistinosna vrijednost, nego da je istovrsno značenju imenice,pridjeva üi priloga, ukratko dijelu rečenice koji kao smisaonema misao, nego samo dio misli. To bi moglo razjasniti samopodrobnije istraživanje. Pritom se nećemo strogo držatigramatičkoga putokaza, nego ćemo skupiti ono što je tomelogički istovrsno. Potražimo najprije takve slučajeve u kojimasmisao zavisne rečenice, kako smo gore predmnijevali, nijesamostalna misao.

Apstraktnim imenskim rečenicama koje počinju s "da"pripada i neupravni govor, a vidjeli smo da u njemu riječi imajusvoje nepravo značenje, koje se podudara s onim što je običnonjihov smisao. U tom slučaju, dakle, zavisna rečenica kao svojeznačenje ima misao, a ne istinosnu vrijednost. Kao smisao nemamisao, nego smisao riječi "misao da...", koji je samo dio misličitavoga rečeničnoga niza. To dolazi nakon "reći", "čuti","mniti", "biti uvjeren", "zaključiti" i sličnih riječi.8 Drukčije, i toprilično zamršeno, stvar stoji s riječima kao što su "spoznati","znati", "misliti", što će trebati razmotriti poslije.

8 U "A je lagao da je vidio B-a" zavisna rečenica znači misao οkojoj je prvo kazano kako ju je A tvrdio kao istinitu, a zatim kako je A biouvjeren u njezinu lažnost.

Činjenica da je u našim slučajevima značenje zavisnerečenice zapravo misao vidljiva je i iz toga što je za istinucjeline svejedno je li ta misao istinita ih je lažna. Usporedimonpr. dvije rečenice: "Kopernik je vjerovao da su putanje planetakružnice" i "Kopernik je vjerovao da je privid kretanja Suncaprouzročen zbiljskim kretanjem Zemlje". Ovdje je mogućejednu zavisnu rečenicu zamijeniti drugom bez štete po istinu.Glavna rečenica, zajedno sa zavisnom rečenicom, kao smisaoima samo jednu jedinu misao, a istina cjeline ne uključuje niistinu ni neistinu zavisne rečenice. U tim slučajevima nijedopušteno u zavisnoj rečenici jedan izraz zamijeniti drugim kojiima isto uobičajeno značenje, nego samo takvim koji ima istonepravo značenje, tj. isti uobičajen smisao. Ako bi netko htiozaključiti da značenje rečenice nije njezina istinosna vrijednost"jer tada bi se ta rečenica mogla uvijek zamijeniti drugom isteistinosne vrijednosti", taj bi previše dokazivao. Isto bi se takomoglo tvrditi da značenje riječi "Danica" nije Venera, jer nemože se uvijek za "Danicu" reći 'Venera". S pravom se možezaključiti samo to da značenje rečenice nije uvijek njezinaistinosna vrijednost i da "Danica" ne znači uvijek planetVeneru, naime ne znači tada kada ta riječ ima svoje nepravoznačenje. Takva se iznimka nalazi u gore razmatranim zavisnimrečenicama čije je značenje misao.

Kada kažemo "čini se da...", pod tim podrazumijevamo "činimi se da..." ili "mislim da...". Ponovno dakle imamo isti slučaj.Slično je s izrazima kao što su "veseliti se", "žaliti", "pristajati","kuditi", "nadati se", "bojati se". Kada se Wellington pri krajubitke kod Waterlooa veselio što su došli Prusi, razlog njegoveradosti bila je uvjerenost. Da se prevario, ne bi se, za vrijemetrajanja njegove zablude, veselio ništa manje, a prije nego što jepostao uvjeren da su Prusi došli nije se mogao tome veseliti,iako su oni zapravo već nadolazili.


pretpostavljeno da ime "Kepler" nešto označuje. Ali zbog toga usmislu rečenice "Kepler je umro u bijedi" ipak nije sadržana misao daime "Kepler" nešto označuje. Kad bi to bio slučaj, nijekanje ne bismjelo glasiti

"Kepler nije umro u bijedi", nego

"Kepler nije umro u bijedi ili ime 'Kepler' je bez značenja".

Činjenica da ime "Kepler" nešto označuje jest štoviše pretpostavkakako za tvrdnju

"Kepler je umro u bijedi".

tako i za njoj suprotnu tvrdnju. Jezici sada imaju taj nedostatak što suu njima mogući izrazi koji prema svojemu gramatičkomu oblikuizgledaju određeni za to da označuju predmet, ali to svoje određenje upojedinim slučajevima ne postižu, jer to ovisi ο istini rečenice.

Tako ο isäni rečenice

"postojao je onaj koji je otkrio eliptični oblik putanja planeta"

ovisi da li zavisna rečenica

"koji je otkrio eliptični oblik putanja planeta"

zbiljski označuje predmet ili samo izaziva privid toga, a zapravo jeipak bez značenja. I tako se može činiti kao da naša zavisna rečenicakao dio svojega smisla sadrži misao da je postojao netko tko je otkrioeliptični oblik putanja

planeta. Kad bi to bilo točno, tada bi nijekanje moralo glasiti

"onaj koji je prvi spoznao eliptični oblik putanja planeta nijeumro u bijedi ili nije postojao onaj koji je otkrio eliptični oblikputanja planeta".

To dakle stoji do nepotpunosti jezika, od čega uostalom nije posveoslobođen ni znakovni jezik analize. I tu bi se mogle pojaviti vezeznakova koje stvaraju privid kao da nešto znače, a koje su, baremdosad, još uvijek bez značenja, npr. divergentni beskonačni nizovi. Tose može izbjeći npr. posebnom tvrdnjom da divergentni beskonačninizovi trebaju značiti broj 0. Od logički savršenoga jezika (poj-mopisa) valja zahtijevati da svaki izraz koji je iz već uvedenihznakova na gramatički ispravan način oblikovan kao vlastito imeuistinu označuje predmet i da nijedan novi znak neće biti uveden kaovlastito ime, a da mu nije osigurano značenje. Logičke nas knjigeodvraćaju od više-značnosti izraza kao izvora logičkih pogrešaka.Ništa manje umjesnom ne držim opomenu od prividnih vlastitih imenakoja nemaju značenje. Povijest matematike može pripovijedati οpogreškama koje su odatle nastale. U tome je, isto tako, očitademagoška zloupotreba, možda očitija nego kod višeznačnih riječi.Kao primjer za to može služiti "volja naroda"; jer lako će se ustanovitikako ipak ne postoji nikakvo općeprihvaćeno značenje toga izraza.Nije dakle sasvim nevažno izvore tih pogrešaka jednom zauvijek zače-piti, barem u znanosti. Tada onakvi prigovori kakve smo upravonaveli postaju nemogući, jer tada nikada ne može ο istini misli ovisitiima li neko vlastito ime značenje.

Tim imenskim rečenicama u raspravi bismo mogli pridružiti i nekuvrstu pridjevskih i priloških rečenica, koje su im logički srodne.

184 GOTTLOB FUEGE Ο SMISLU I ZNAČENJU 185

I pridjevske rečenice služe tome da se oblikuju složenavlastita imena, iako one, za razliku od imenskih rečenica, samenisu za to dostatne. Te pridjevske rečenice treba razmatrati naisti način kao i pridjeve. Umjesto "kvadratni korijen iz 4 koji jemanji od 0" [die Quadratwurzel aus 4. die kleiner ist als 0] možese također reći "negativni kvadratni korijen iz 4" [die negativeQuadratwurzel aus 4]. Ovdje" imamo slučaj daje iz izraza zapojam uz pomoć određenoga člana u jednini oblikovano složenovlastito ime, što je u svakom slučaju dopušteno kada pod pojampotpada jedan i samo jedan predmet.9 Izrazi za pojmove moguse oblikovati tako da se oznake navedu pridjevskim rečenicama,kao u našemu primjeru rečenicom "koji je manji od 0".Bjelodano je da takva pridjevska rečenica, isto kao ni prijeimenska rečenica, kao smisao ne može imati misao, a kaoznačenje ne može imati istinosnu vrijednost, nego kao smisao,koji se u većini slučajeva može izraziti i pojedinim pridjevom,ima samo dio misli. I ovdje, kao i kod onih imenskih rečenica,nedostaje samostalni subjekt, a time i mogućnost da se smisaozavisne rečenice iznese u samostalnoj glavnoj rečenici.

Mjesta, vremenske točke, vremenski razmaci jesu, logičkirazmotreni, predmeti. Stoga jezičnu oznaku određenoga mjesta,određenoga trenutka ili vremenskoga razmaka valja razumjetikao vlastito ime. Priloške rečenice mjesta i vremena mogu seupotrijebiti za oblikovanje takva vlastitog imena na način koji jesličan onome što smo ga uvidjeli u slučaju imenskih ipridjevskih rečenica. Isto se tako mogu oblikovati izrazi zapojmove koji obuhvaćaju mjesta itd. I tu valja primijetiti da sesmisao tih zavisnih rečenica ne može iznijeti u glavnoj rečenici,jer nedostaje jedan bitan

9 Prema onome što smo gore primijetili, takvu bi se Izrazu zapravoposebnom odredbom uvijek trebalo osigurati značenje, npr. određenjemda bi kao njegovo značenje imao vrijediti broj 0 ako pod pojam nepotpada nijedan predmet ili više nego jedan.

sastavni dio, naime određenje mjesta ili vremena koje je samonaznačeno odnosnom zamjenicom ih česticom.10

I u pogodbenim rečenicama, kao što smo vidjeli da je i kodimenskih, pridjevskih i priloških rečenica, većinom valjapriznati jedan neodređeno naznačujući sastavni dio kojemu uapodozi odgovara upravo isti takav. Time što jedan na drugogaupućuju, oni dvije rečenice povezuju u cjelinu koja u praviluizražava samo jednu misao. U rečenici

"ako je neki broj manji od 1 i veći od 0, onda je i njegovkvadrat manji od 1 i veći od 0"

taj je sastavni dio "neki broj" u protazi i "njegov" u apodozi.Upravo tom neodređenošću smisao dobiva općenitost koja seočekuje od nekoga zakona. No upravo time biva i to da samaprotaza kao smisao nema potpunu misao i zajedno s apodozomizražuje misao - i to samo jednu jedinu - čiji

10 Uostalom, kod takvih su rečenica lako moguća različita shvaćanja.Smisao rečenice "nakon što se Schleswig-Holstein odcijepio od DanskePrusija i Austrija su se zavadile" možemo prikazati i u obliku "nakonodcjepljenja Schleswig-Holsteina od Danske Prusija i Austrija su sezavadile". Pri takvu je razumijevanju zacijelo dostatno jasno da kao diosmisla ne treba shvatiti misao da se Schleswig-Holstein jednom odcijepiood Danske, nego da je to nužna pretpostavka za to da izraz "nakonodcjepljenja Schleswig-Holsteina od Danske" uopće ima značenje. Našase rečenica, dakako, dade shvatiti 1 tako da njome treba biti iskazano da seSchleswig-Holstein jednom odcijepio od Danske. Tada imamo slučaj kojiće trebati razmotriti kasnije. Premjestimo se, da bismo jasnije uvidjelirazliku, u dušu nekoga Kineza, koji u svojemu slabom poznavanjueuropske povijesti činjenicu da se Schleswig-Holstein jednom odcijepiood Danske drži lažnom. On našu rečenicu, shvaćenu na prvi način, nećedržati ni istinitom ni lažnom, nego će joj odreći svako značenje, jer bi onotada nedostajalo zavisnoj rečenici. Rečenica bi samo naizgled određivalaneko vrijeme. Ako, nasuprot tome, našu rečenicu shvati na drugi način, unjoj će naći Izraženu misao koju bi držao lažnom, pored jednoga dijela,koji bi za njega bio bez značenja.


dijelovi nisu više misli. Općenito je netočno da su u hipo-tetičkomesudu dva suda postavljeni u uzajamni odnos. Ako se kaže takoili slično, onda se riječ "sud" upotrebljava u istome smislu kojisam ja povezao s riječi "misao", tako da bih zato mogao kazati:"u hipotetičkoj su misli dvije misli postavljene u uzajamniodnos". To bi moglo biti istinito samo ako nedostaje jedanneodređeno naznačujući sastavni dio;11 · no tada ne bi bilo niopćenitosti.

Ako u prolazi i apodozi treba neodređeno naznačitivremensku točku, to se onda nerijetko događa samo uz pomoćtempus praesens glagola, koji u tom slučaju ne suoznačujesadašnjost. Taj je gramatički oblik tada u glavnoj i zavisnojrečenici neodređeno naznačujući sastavni dio. "Kada se Suncenalazi u Rakovoj obratnici, na sjevernoj polutci imamo najdužidan" jest primjer za to. I ovdje je nemoguće smisao zavisnerečenice izraziti u glavnoj rečenici, jer taj smisao nije potpunamisao. Jer kad bismo kazali "Sunce se nalazi u Rakovojobratnici", to bismo stavili u odnos prema našoj sadašnjosti itime bismo izmijenili smisao. Isto tako, ni smisao glavnerečenice nije misao; smisao sadrži tek cjelina koja se sastoji odglavne i zavisne rečenice. Uostalom, i više zajedničkihsastavnih dijelova mogu biti neodređeno naznačeni u protazi iapodozi.

Bjelodano je da imenske rečenice s "tko", "što" i priloškerečenice s "gdje", "kada", "uvijek gdje", "uvijek kada" valjaprema smislu često razumjeti kao pogodbene rečenice, npr."Tko dodiruje smolu, taj se prlja".

I pridjevske rečenice mogu stajati za pogodbene rečenice.Tako smisao ranije navedene rečenice možemo izraziti i u

11 Izričita jezična naznaka ponekad nedostaje i mora se razabrati izcijeloga konteksta.

obliku "kvadrat nekog broja koji je manji od 1 i veći od 0 manji je od1 i veći od 0".

Stvar je posve drukčija ako se zajednički sastavni dio glavne izavisne rečenice označi vlastitim imenom. U rečenici

"Napoleon, koji je uvidio opasnost za svoje desno krilo, sam jepoveo svoje trupe na neprijateljski položaj"

izražene su dvije misli:

1. Napoleon je uvidio opasnost za svoje desno krilo;

2. Napoleon je sam poveo svoje trupe na neprijateljskipoložaj.

Kada se i gdje to dogodilo, to se može doduše spoznati samoiz konteksta, no valja ga razumjeti kao time određeno. Akocijelu našu rečenicu izgovaramo kao tvrdnju, onda time ujednotvrdimo oba dijela rečenice. Ako je jedan od tih dijelova lažan,onda je time lažna i cjelina. Ovdje imamo slučaj da zavisnarečenica sama za sebe kao smisao ima potpunu misao (ako jedopunimo naznakom vremena i mjesta). Značenje je zavisnerečenice prema tome isti-nosna vrijednost. Možemo dakleočekivati da se zavisna rečenica bez štete po istinu cjeline možezamijeniti rečenicom iste istinosne vrijednosti. Tako i jest;samo moramo paziti na to da njezin subjekt mora biti"Napoleon", iz čisto gramatičkoga razloga, jer samo tada onamože biti stavljena u oblik pridjevske rečenice koja spada u"Napoleon". Napustimo U pak zahtjev da je promatramo u tomeobliku i dopustimo li da iza slijedi "i", onda to ograničenjeotpada.

Potpune su misli izražene i u zavisnim rečenicama s "iako".Ta rječca zapravo nema nikakav smisao te i ne

188 GOTTLOB FREGE 0 SMISLU 1 ZNAČENJU 189mijenja smisao rečenice, nego ga samo na osebujan načinosvjetljuje.12 Mogli bismo doduše bez štete po istinu cjelinedopusnu rečenicu zamijeniti nekom drugom rečenicom isteisünosne vrijednosti, no osvjetljenje bi tada lako mogloizgledati neodgovarajuće, kao kad bi se pjesma žalosna sadržajahtjela pjevati na veseli način.

U posljednjim je slučajevima istina cjeline obuhvaćala istinudijelova rečenica. Drukčije je ako pogodbena rečenica izražujepotpunu misao time što umjesto samo naznačujućegasastavnoga dijela sadrži vlastito ime ili nešto što trebapromatrati kao tome jednako. U rečenici

"ako je Sunce sada već izišlo, nebo je jako oblačno"

vrijeme je sadašnjost, dakle određeno. I mjesto valja pomišljatikao određeno. Ovdje se može reći da je postavljen odnosizmeđu istinosnih vrijednosti protaze i apodoze. naime takav daovaj slučaj ne nalazimo tamo gdje protaza znači istinitost, aapodoza lažnost. Prema tome, naša je rečenica istinita i akoSunce sada još nije izišlo - bez obzira na to je U nebo jakooblačno ili nije - i ako je Sunce već izišlo, a nebo je jakooblačno. Budući da je ovdje stvar samo u istinosnimvrijednostima, svaki od dijelova rečenice možemo zamijenitidrugim iste istinosne vrijednosti, a da ne promijenimo istinosnuvrijednost cjeline. Naravno, i ovdje bi osvjetljenje većinom biloneodgovarajuće: misao bi lako mogla izgledati iskrivljeno. Noto nema nikakve veze s njezinom istinosnom vrijednošću.Pritom valja uvijek držati na pameti da se s njom zajednopojavljuju sporedne misli, no one nisu navlastito izražene pa ihstoga ne smijemo ubrojiti u smisao rečenice, u istinosnuvrijednost koje dakle ne možemo zadirati.13

12 Slično imamo i kod "ali", "ipak".13 Misao naše rečenice mogla bi se izraziti i ovako: "ili Sunce

sada još nije izišlo ili je nebo jako oblačno", iz čega je vidljivo kako valjashvatiti tu vrstu rečeničnoga niza.

Time su navedeni jednostavni slučajevi. Bacimo jedan pogledunatrag na ono što smo spoznali.

Zavisna rečenica većinom kao smisao nema misao, nego samonjezin dio te, susljedno tome, kao značenje nema istinosnu vrijednost.Razlog je toga ih u činjenici što u zavisnoj rečenici riječi imaju svojenepravo značenje - tako da je misao značenje, a ne smisao zavisnerečenice - ih u tome što je zavisna rečenica zbog u njoj samoneodređeno naznačujućega sastavnoga dijela nepotpuna, tako da ona tekzajedno s glavnom rečenicom izražuje misao. No postoje i slučajevi ukojima je smisao zavisne rečenice potpuna misao i tada zavisnurečenicu možemo bez štete po istinu cjeline zamijeniti drugom isteistinosne vrijednosti, ukoliko ne postoje gramatičke zapreke.

Promotrimo li potom sve zavisne rečenice na koje možemo naići,namjerit ćemo se na takve koje neće moći odgovarati u tu lepezu.Razlog će tomu. koliko vidim, ležati u činjenici što te zavisne rečenicenemaju tako jednostavan smisao. Gotovo uvijek, čini se, s glavnommisli koju izgovaramo povezujemo sporedne misli, koje i slušalac, iakoone nisu izražene, u skladu s psihološkim zakonima povezuje s našimriječima. A budući da se te sporedne misli tako čine same po sebipovezane s našim riječima, gotovo kao i glavna misao sama, mi tadaželimo izraziti i takvu sporednu misao. Time smisao rečenice postajebogatiji i lako se može dogoditi da imamo više jednostavnih misli negorečenica. U nekim slučajevima rečenicu treba razumjeti tako, u drugimamože biti dvojbeno pripada li sporedna misao smislu rečenice ili gasamo prati. 14 Tako bi se možda moglo iznaći da u rečenici

14 To može biti od važnosti za pitanje je li neka tvrdnja laž, je li nekazakletva krivokletstvo.


"Napoleon, koji je uvidio opasnost za svoje desno krilo,sam je poveo svoje trupe na neprijateljski položaj"

ne bi bile izražene samo dvije gore naznačene misli, nego i tada je spoznaja opasnosti bila razlog zbog kojega je poveo trupena neprijateljski položaj. Zapravo može biti dvojbeno je li tamisao' samo lagano sugerirana ili je uistinu izražena. Postavljase pitanje bi li naša rečenica bila lažna da je Napoleonovaodluka bila donesena još i prije uočavanja opasnosti. Kad binaša rečenica unatoč tome mogla biti istinita, tada našusporednu misao ne bi trebalo shvatiti kao dio smisla našerečenice. Vjerojatno ćemo se odlučiti za to. U drugom bi seslučaju stvari prilično zamrsile: tada bismo imali višejednostavnih misli nego rečenica. Ako dakle i rečenicu

"Napoleon je uvidio opasnost za svoje desno krilo"

zamijenimo drugom iste istinosne vrijednosti, npr. rečenicom

"Napoleon već bijaše stariji od 45 godina",

time bi se promijenila ne samo naša prva, nego i naša trećamisao, a time bi i njezina istinosna vrijednost mogla postatidrukčija - naime u slučaju da njegova starost nije bila razlog zaodluku da trupe povede na neprijatelja. Odatle je vidljivo zbogčega u takvim slučajevima rečenice iste istinosne vrijednosti nemogu uvijek jedna drugu zamijeniti. Rečenica tada premasvojoj povezanosti s drugom izražuje više nego sama za sebe.

Promotrimo slučajeve gdje se to događa pravilno. U rečenici

"Bebel pogrešno misli da bi se vraćanjem Alsace-Lor-raine mogla stišati francuska težnja za osvetom"

izražene su dvije misli i nije tako da jedna od njih pripadaglavnoj rečenici, a druga zavisnoj, naime

1. Bebel vjeruje da -bi se vraćanjem Alsace-Lorraine moglastišati francuska težnja za osvetom;

2. vraćanjem Alsace-Lorraine ne bi se mogla stišati fran-cuska težnja za osvetom.

U izričaju prve misli riječi zavisne rečenice imaju svojenepravo značenje, dok iste riječi u izričaju druge misli imajusvoje uobičajeno značenje. Iz toga vidimo da zavisnu rečenicu unašemu izvornome rečeničnome nizu zapravo valja uzimati nadvostruki način, s različitim značenjima, od kojih je jednomisao, a drugo istinosna vrijednost. Budući da istinosnavrijednost nije cijelo značenje zavisne rečenice, zavisnurečenicu ne možemo jednostavno zamijeniti drugom isteistinosne vrijednosti. Slično imamo kod izraza kao što su"znati", "spoznati", "poznato je".

S uzročnom zavisnom rečenicom i njom pripadajućomglavnom rečenicom izražavamo više misu, no koje pojedinačnone odgovaraju rečenicama. U rečenici

"budući da je led specifično lakši od vode, on pliva navodi"

imamo:

1. led je specifično lakši od vode;

2. ako je nešto specifično lakše od vode, ono pliva na vodi;

192 GOTTLOB FREGE

3. led pliva na vodi.

Treća misao možda ne treba biti izričito navedena jer jesadržana u prve dvije. S druge strane, niti prva i treća niti drugai treća zajedno ne bi činile smisao naše rečenice. Vidimo da je unašoj zavisnoj rečenici

"budući da je led specifično- lakši od vode"

izražena kako naša prva misao, tako i dio naše druge misli.Odatle proizlazi da našu zavisnu rečenicu ne možemo jed-nostavno zamijeniti drugom iste istinosne vrijednosti, jer timebi se promijenila i naša druga misao, a to bi se lako moglo ticatii njezine istinosne vrijednosti.

Slična je stvar i u rečenici

"da je željezo specifično lakše od vode, ono bi plivalo navodi".

Ovdje imamo dvije misli, da željezo nije specifično lakše odvode i da nešto pliva na vodi ako je specifično lakše od vode.Zavisna rečenica opet izražuje jednu misao i dio druge misli.

Ako ranije razmatranu rečenicu

"nakon što se Schleswig-Holstein odcijepio od Danske,Prusija i Austrija su se zavadile"

shvatimo tako da je u njoj izražena misao da se Schleswig-Holstein jednom odcijepio od Danske, onda prvo imamo tumisao, a na drugome mjestu misao da su se u vrijeme koje jepobliže određeno zavisnom rečenicom Prusija i Austrijazavadile. Ni ovdje dakle zavisna rečenica ne izražuje samojednu misao, nego i dio druge misli. Stoga je

193

ne možemo općenito zamijeniti drugom iste istinosne vri-jednosti.

Teško je iscrpiti sve mogućnosti koje su dane u jeziku. Ipakse nadam da sam u bitnome pronašao razloge zbog kojih nemože uvijek bez štete po istinu cijeloga rečeničnoga nizazavisna rečenica biti zastupljena drugom iste istinosnevrijednosti. Ti su razlozi:

1. time što zavisna rečenica izražava samo jedan dio misliona ne znači istinosnu vrijednost;

2. time što smisao zavisne rečenice osim jedne misliobuhvaća i dio druge misli ona doduše znači istinosnuvrijednost, ah se ne ograničuje na nju.

Prvi slučaj nastupa

a) kod nepravoga značenja riječi;

b) kada dio rečenice samo neodređeno naznačuje umjesto daje vlastito ime.

U drugome slučaju zavisnu rečenicu možemo uzeti dvos-truko, naime jednom u uobičajenu značenju, drugi put unepravu značenju. Ih: smisao jednoga dijela zavisne rečenicemože ujedno biti sastavni dio druge misli koja s onim što jeneposredno izraženo u zavisnoj rečenici zajedno čini cjelokupnismisao glavne i zavisne rečenice.

Odatle s dostatnom vjerojatnošću proizlazi da slučajevi ukojima se zavisna rečenica ne može zamijeniti drugom isteistinosne vrijednosti ne dokazuju ništa protiv naše tvrdnje da jeistinosna vrijednost značenje rečenice, a da je njezin smisaomisao.

3. Vratimo se sada našoj polazišnoj točki.

194 GOTTLOB FREGE

Ako smo iznašli da su spoznajne vrijednosti od "a = a" i "a= b" općenito različite, onda se to dade objasniti činjenicom štoza spoznajnu vrijednost smisao rečenice, naime u njoj izraženamisao, nije ništa manje relevantna od njezina značenja, koje jenjezina istinosna vrijednost. Ako je α = b, onda je dodušeznačenje od "b" isto kao i značenje od "a", pa je dakle iistinosna vrijednost od "a = b" ista kao i od "a = a". Unatočtome, smisao od "b" može biti različit od smisla od "a", a time imisao izražena u "a - b" može biti različita od misli izražene u"a = a"; tada ta dva stavka nemaju ni istu spoznajnu vrijednost.Ako, kao gore. pod "sud" razumijemo napredovanje od misli donjezine istinosne vrijednosti, onda ćemo reći i da su sudovirazličiti.

O POJMU I PREDMETU

Benno Kerry se u nizu članaka ο zoru i njegovoj psihičkojpreradi u ovome tromjesečniku* često osvrtao na moje Osnovearitmetike i druge spise, dijelom s odobravanjem, dijelom sosporavanjem. To me može samo veseliti i vjerujem da ću svojuzahvalnost najbolje pokazati tako da se poduzmemobjašnjavanja onoga što je on osporavao. To mi se čini utolikopotrebnijim što njegovo protuslovljenje dijelom počiva usvakom slučaju na nerazumijevanju - koje bi mogao dijeliti sdrugima - onoga što sam kazao ο pojmu i što je ova stvardovoljno važna i teška da bi se i bez ovoga posebnoga povodatrebala razmotriti podrobnije nego što mi se u mojim Osnovamačinilo da je prikladno.

Riječ "pojam" upotrebljava se različito, dijelom u psi-hološkom, dijelom u logičkom smislu, a dijelom možda unejasnoj mješavini obojega. Kada jednom postoji takva sloboda,ona svoje prirodno ograničenje nalazi u zahtjevu da se čvrstodržimo jednom prihvaćenoga načina upotrebe. Odlučio sam dase strogo držim logičke upotrebe. Pitanje je U ova ih onaupotreba prikladnija želio bih ostaviti po strani kao manje važnopitanje. Lako ćemo se sporazumjeti oko načina izražavanjajednom kad je priznato da je riječ ο nečemu što zaslužujeposeban nazivak.

Čini ml se da je Kerryjevo nerazumijevanje uzrokovanotime što on nehotimično brka svoju vlastitu upotrebu riječi"pojam" s mojom. Odatle lako izviru protuslovlja za koja netreba kriviti moj način upotrebe.

*[Vierteljahrschrtft für wissenschaftliche Philosophie 9 (1885),433-493; 10 (1886), 419-467; 11 (1887), 53-116; 249-307; 13 (1889), 71-124; 392-419.]

GOTTLOB FREGE196

Kerry osporava ono što naziva mojom definicijom pojma. Tubih želio prije svega primijetiti kako moje objašnjenje nijezamišljeno kao prava definicija. Ne može se zahtijevati da svebude definirano, kao što se ni od kemičara ne može zahtijevatida razluči sve tvari. Ono što je jednostavno ne može se razlučiti,a ono što je logički jednostavno u navlastitu se smislu ne možedefinirati. Ono što je logički jednostavno nije, kao ni većinakemijskih elemenata, unaprijed dano, nego se dobije tekznanstvenim radom. Ako je pronađeno nešto što je jednostavnoih što barem do daljnjega mora vrijediti kao jednostavno, ondaće za to biti potrebno iskovati naziv, budući da jezik izvornoneće imati točno odgovarajući izraz. Nije moguća definicija zauvođenje imena za ono što je logički jednostavno. Stoga nepreostaje ništa drugo nego da se čitatelj ili slušatelj navještajimauputi da pod riječima razumije ono što se mislilo.

Kerry ne želi dopustiti da razlika između pojma i predmetavrijedi apsolutno. On kaže: "Na ranijem smo mjestu iznijelimišljenje da je odnos između sadržaja pojma i predmeta pojmau stanovitu vidu osebujan, nesvodiv; no s time nije nipošto bilopovezano mišljenje da se svojstva "biti pojam' i 'biti predmet'međusobno isključuju; ovo posljednje iz prvoga slijedi jednakomalo kao što recimo iz toga što odnos između oca i sina nijepovratan slijedi da netko ne bi mogao ujedno biti otac i sin(iako naravno ne npr. otac onoga čiji je sin)."

Nadovežimo se na ovu prispodobu. Ako bi postojala ih akosu postojala bića koja doduše jesu očevi, ali ne bi mogla bitisinovi, onda bi takva bića očito bila posve drukčije vrste odsvih ljudi koji su sinovi. Slično je i ovdje. Pojam - kako jarazumijem tu riječ - jest predikativan.l Nasuprot tome, imepredmeta, vlastito ime uopće ne može

1 On je naime značenje gramatičkoga predikata.

O POJMU I PREDMETU 197

biti upotrijebljeno kao gramatički predikat. Da ne bi izgledalopogrešno, ovo zacijelo potrebuje objašnjenje. Ne može li se onečemu jednako iskazati da je to Aleksandar Veliki ili da je tobroj četiri ih da je to planet Venera kao što se o nečemu možeiskazati da je to zeleno ih da je to sisavac? Razmišljamo li tako,ne razlikujemo načine upotrebe riječi "jest". U posljednja dvaprimjera ono služi kao kopula, samo kao riječ koja oblikujeiskaz. Kao takvu, ponekad je može zastupati samo glagolskinastavak. Usporedimo npr. "ovaj je hst zelen" i "ovaj [se] hstzeleni". Tada kažemo kako nešto potpada pod pojam i kakogramatički predikat pritom znači taj pojam. Nasuprot tome, uprva tri primjera "jest" je upotrijebljeno kao što se u aritmeticiupotrebljava znak jednakosti, da bi se izrazila jednadžba.2 Urečenici "Danica je Venera" imamo dva vlastita imena,"Danica" i 'Venera", za isti predmet. U rečenici "Danica jeplanet" imamo jedno vlastito ime - "Danica" - i jednu riječ zapojam - "planet". Jezično se doduše ne događa ništa osim što se"Venera" zamjenjuje s "planet". No stvarno je odnos postaoposve drukčiji. Jednakost se dade obrnuti; potpadanje predmetapod pojam nije obrtljiv odnos. U rečenici "Danica je Venera""je" očito nije samo kopula, nego je i sadržajno bitan diopredikata, tako da u riječi "Venera" nije sadržan cijeh predikat.3Zato bi se moglo reći: "Danica nije ništa drugo nego Venera", itu ono što je prije ležalo u jednostavnome "je" imamorastavljeno na četiri riječi, a u "nije ništa drugo nego" je sada"[ni]je"

2 Riječ "jednak" i znak "=" upotrebljavam u smislu "Isto kao1", "ništa drugo nego". "Identično s". Usp. E Schroder, Vorlesungeniiber die Algebra der Logik (Leipzig, 1890), 1. sv., 8 1; Ipak, valjaprigovoriti kako Schroder tu ne pravi razliku između dvaju odnosakoji su u osnovi različiti: između potpadanja nekoga predmeta podpojam i podređenosti jednoga pojma drugome. I primjedbe o punome

korijenu [Vollwurzel] daju povoda za razmišljanje. Znak =6 u Schrodera ne stojijednostavno za kopulu.

3 Usp. moje Grundlagen, § 66, bilj.

198 GOTTLOB FREGE

uistinu još uvijek samo kopula. Ovdje se dakle ne iskazuje Venera,nego ništa drago nego Venera. Te riječi označuju pojam podkoji doduše potpada samo jedan jedini predmet, no takav sepojam još uvijek mora razlikovati od predmeta.4 Ovdje imamoriječ "Venera", koja zapravo nikada ne može biti predikat, iakomože tvoriti dio predikata. Značenje5 te riječi ne može daklenikada nastupiti kao pojam, nego samo kao predmet. Zacijelo,ni Kerry ne bi želio osporiti da postoji nešto takvo. No time bise dopustila razlika čije je priznavanje vrlo važno, razlikaizmeđu onoga što može nastupiti samo kao predmet i svegaostaloga. A ta se razlika ne bi izbrisala ni kad bi bilo istinito onošto misli Kerry, da postoje pojmovi koji mogu biti i predmeti.Doista postoje slučajevi za koje se čini da podupiru to mišljenje.Sam sam uputio na to [Osnove, § 53, na kraju) da pojam možepotpadati pod viši pojam, no to ipak ne treba zamijeniti spodređenošću jednoga pojma drugome. Kerry se ne poziva nato, nego daje primjer: "pojam 'konj' jest lako polučljiv pojam" imisli da je pojam "konj" predmet, i to jedan od predmeta kojipotpadaju pod pojam "lako polučljiv pojam". Posve točno!Dvije riječi "pojam 'konj'" označuju predmet, ali upravo zato nei pojam, kako ja upotrebljavam tu riječ. Ovo je potpuno u skladus mojim kriterijem6 prema kojemu kod jednine određeni članuvijek upućuje na predmet, dok neodređeni član prati riječ zapojam. Kerry doduše misli da se na jezičnim razlikama ne moguosnivati nikakva logička pravila. Ali na način na koji ja to činimuopće nitko tko iznosi takva pravila tome ne može izbjeći, jer sebez jezika ne možemo razumjeti i stoga smo na koncu ipakuvijek upućeni na pouzdanje da riječi,

4 Usp. moje Grundlagen. § 51.5 Usp. moj članak "Über Sinn und Bedeutung", koji će se

uskoro pojaviti u Zeitschrift/. Phil. u. phil. Kritik [usp. i ovu knjigu,str. 167-194].

6 Grundlagen, § 51. § 66 bilj., § 68. str. 80 [usp. ovu knjigu,str. 80 i 93 b. 87].

0 POJMU I PREDMETU

oblike i rečeničnu tvorbu drugi u bitnome razumije onako kao i misami. Kao što je već rečeno, ne želim dati definiciju, nego samonavještaje pozivajući se pritom na općeniti njemački jezični osjećaj.Pritom mi dosta može biti od koristi to što se jezična razlika takodobro podudara sa stvarnom. Kod neodređenog člana uopće se nemože primijetiti iznimka od našega pravila, osim starinskih formulapoput "ein edler Rat". Stvar nije tako jednostavna kod određenogčlana, posebno u množini; ali na taj se slučaj moj kriterij ne odnosi.Koliko vidim, kod jednine je stvar dvojbena samo kada ona stojiumjesto množine, kao u rečenicama "Turčin je opkolio Beč [der Türkebelagerte Wien]", "konj je četveronožna životinja [das Pferd ist einvierbeiniges Tier]". Ti se slučajevi tako lako dadu uvidjeti kao posebnida teško da štete vrijednosti našega pravila. Jasno je da je u prvojrečenici "Turčin" vlastito ime naroda. Druga se rečenica moževjerojatno na najprikladniji način shvatiti kao izraz općega suda poput"svi su konji četvero-nožne životinje" ih "svi su konji pravilne građečetveronožne životinje", ο čemu će još biti govora kasnije.7 KadaKerry moj kriterij naziva neprikladnim tvrdeći da u rečenici "po-

7 Danas su ljudi, kako se čini, skloni preuveličavanju domašaja tvrdnjekako različiti jezični izrazi nikada ne mogu biti potpuno jednakevrijednosti i kako se jedna riječ nikada ne može točno iznijeti u drugomejeziku. Možda bi se moglo ići i dalje te kazati kako ljudi jednoga jezikaistu riječ uopće ne shvaćaju posve jednako. Ne želim istraživati koliko utome ima istine, nego samo naglasiti da u različitim izrazima ipaknerijetko leži nešto zajedničko, što nazivam smislom, a kod rečenicamišlju, drugim riječima: moramo priznati da se isti smisao, ista misaomogu izraziti različito, pri čemu onda različitost nije različitost smisla,nego shvaćanja, osvjetljenja, obojenosti smisla te je irelevantna za logiku.Moguće je da neka rečenica ne daje ništa više i ništa manje obavijesti odneke druge, a usprkos svoj raznolikosti jezika čovječanstvo imazajedničko blago misli. Kad bi se svaka preinaka izraza htjela zabraniti uzizliku kako bi se time promijenio i sadržaj, tada bi se logika osakatila; jernjezina je zadaća nerješiva ne nastojimo li misli prepoznati u njihovimraznolikim odijelima. Isto tako, svaku bi definiciju tada trebalo odbacitikao lažnu.

199

GOTTLOB FREGE

jam ο kojemu sada upravo govorim jest individualnipojam" ime koje se sastoji od prvih šest riječi sigurno označujepojam, tada on riječ "pojam" ne razumije u mojemu smislu, aprotuslovlje ne leži u mojoj postavci. No nitko ne možezahtijevati da se moj način izražavanja mora podudarati sKerryjevim.

Moramo priznati- da kada tvrdimo da pojam konj nijepojam,8 dok npr. grad Berlin ipak jest grad, a vulkan Vezuvipak jest vulkan postoji jezična nezgrapnost koju ne možemoizbjeći. Jezik je ovdje u nevolji koja opravdava odstupanje oduobičajenoga. Da je tu riječ ο posebnome slučaju Kerry samnaznačuje navodnicima kod riječi "konj". U istu svrhu jaupotrebljavam kurziv. Nije bilo nikakva razloga da se na sličannačin istaknu riječi "Berlin" i "Vezuv". U logičkimistraživanjima nerijetko postoji potreba da se nešto iskaže οpojmu i da se i to odjene u oblik uobičajen za takve iskaze, danaime iskaz postane sadržaj gramatičkoga predikata. Prematome, kao značenje gramatičkoga subjekta očekivali bismopojam. No on se zbog svoje predikativne naravi ne može takopojaviti, nego se prvo mora preinačiti u predmet, odnosno,točnije govoreći, mora biti zastupljen predmetom9 kojioznačujemo pomoću riječi "pojam" koju stavljamo ispred, npr.

"pojam čovjek nije prazan".

Prve dvije riječi ovdje valja shvatiti kao vlastito ime,10 kojese ne može upotrijebiti predikativno, kao ni recimo

8 Slično je kada u odnosu na rečenicu "ova ruža je crvena" kažemokako gramatički predikat "je crvena" pripada subjektu "ova ruža". Riječi"gramatički predikat 'je crvena'" ovdje nisu gramatički predikat, negosubjekt. Upravo time što to izričito nazivamo predikatom oduzimamo muto svojstvo.

9 Lfsp. moje Grundlagen, str. X [usp. ovu knjigu, str. 20].10 Vlastitim imenom nazivljem svaki znak za neki predmet.

0 POJMU 1 PREDMETU 201

"Berlin" ili 'Vezuv". Ako kažemo "Isus potpada pod pojam čovjek",onda je predikat (ne uzmemo li u obzir kopulu)

"potpadajući pod pojam čovjek",

a to znači isto što i

"čovjek".

No sintagma

"pojam čovjek"

samo je dio toga predikata.

Nasuprot predikativnoj naravi pojma moglo bi se isticati dase ipak govori ο pojmu subjekta. No i u takvim, slučajevima,npr. u rečenici

"svi sisavci imaju crvenu krv"

moramo priznati predikativnu narav pojma; jer umjesto togamožemo kazati

"ono što je sisavac ima crvenu krv"

ili

"ako je nešto sisavac, onda ima crvenu krv".

11 Ono što ovdje nazivljem predikativnom naravi pojma samo jeposeban slučaj potrebe za dopunom ili nezasićenosti koje sam U svojemuspisu "Funktion und Begriff (Jena, 1891) [usp. ovu knjigu, str. 139-165]naveo kao bitne za funkciju. Izraz "funkcija fix)" tamo se nije mogaoizbjeći, iako se i tamo pojavila poteškoća što značenje tih riječi nijefunkcija.

200

202 GOTTLOB FREGE

Dok sam pisao svoje Osnove aritmetike još nisam praviorazliku između smisla i značenja,12 pa sam stoga u izrazu"prosudljM sadržaj" obuhvaćao ono što sada razlikujućioznačujem riječima "misao" i "istinosna vrijednost". Zato višene pristajem posve doslovno uz objašnjenje što sam ga tamodao na str. 77,* iako još uvijek u bitnome mislim isto.Razumijevajući "predikat" i "subjekt" u jezičnome smislukratko možemo reći: pojam je značenje predikata, a predmet jeono što nikada ne može biti čitavo značenje predikata, ali možebiti značenje subjekta. Uz to valja primijetiti da riječi "svi","svaki", "nijedan", "neki" stoje ispred riječi koje označujupojmove. U općim i par-tikularnim potvrdnim i niječnimrečenicama izričemo odnose među pojmovima i tim riječimanaznačujemo određenu vrstu toga odnosa; njih dakle ne trebalogički uže povezati s riječi koja označuje pojam i koja slijediiza njih, nego ih treba protegnuti na čitavu rečenicu. To je lakovidljivo kod nijekanja. Kad bi u rečenici

"svi sisavci jesu kopnene životinje"

sintagma "svi sisavci" izražavala logički subjekt predikata Jesukopnene životinje, tada bismo, da bismo zanijekali cjelinu,morali zanijekati predikat: "nisu kopnene životinje". Umjestotoga "nisu" trebamo staviti ispred "svi", iz čega slijedi da "svi"logički pripada predikatu. Nasuprot tome. rečenicu "pojamsisavac podređen je pojmu kopnena životinja" niječemo tako štoniječemo predikat: "nije podređen pojmu kopnena životinja".

Držimo U se činjenice da u mojemu načinu izražavanjaizrazi kao što je "pojam F" ne označuju pojmove nego

12 Usp. moj članak "Über Sinn und Bedeutung" u Zeitschrift f.Phil. u. phil Kritik [usp. i ovu knjigu, str. 167-194].

[Usp. ovu knjigu, str. 93 b. 87.]

Ο POJMU I PREDMETU

predmete, najveći dio Kerryjevih prigovora postaje velikim dijelomslabašan. On griješi kada misli (str. 281) da ja poistovjećujem pojam iopseg pojma. Ja sam samo iznio mišljenje da se u izrazu "broj kojipripada pojmu F jest opseg pojma jednakobrojan pojmu F" riječi"opseg pojma" [Umfang des Begriffes] mogu zamijeniti riječju"pojam" [Begriff]. Tu se dobro vidi kako je riječ "pojam" tadapovezana s određenim članom. Uostalom, to je bila samo jedna usputnaprimjedba, na kojoj ništa nisam temeljio.

Prema tome, dok Kerryju ne polazi za rukom premostiti ponorizmeđu pojma i predmeta, moji bi se vlastiti iskazi mogli takoprotumačiti. Kazao sam kako navođenje broja sadrži iskaz ο nekomepojmu.13 Govorim ο svojstvima koja se iskazuju ο pojmu idopuštam da pojam potpada pod viši pojam.14 Egzistenciju samnazvao svojstvom pojma. Jedan će primjer najbolje pokazatikako to mislim. U rečenici "postoji barem jedan kvadratnikorijen iz 4" ne iskazuje se nešto recimo ο određenome broju 2,niti ο -2, nego se ο jednome pojmu, naime kvadratni korijen iz4, iskazuje da nije prazan. Ako pak istu misao izrazim, ovako:"pojam kvadratni korijen iz 4 jest pun", onda prvih pet riječitvori vlastito ime predmeta i ο tome se predmetu nešto iskazuje.No lako se vidi kako ovaj iskaz nije isti kao onaj iskaz ο pojmu.To je čudno samo za onoga koji ne shvaća da se misao možemnogostruko raščlaniti i da se time kao subjekt i kao predikatpojavljuje sad ovo, a sad ono. Sama misao još ne određuje štotreba shvatiti kao subjekt. Ako kažemo "subjekt ovoga suda",onda nešto određeno označujemo samo ako ujedno upućujemona određenu vrstu raščlambe. To većinom činimo u odnosu naodređen doslovni smisao. No nikada ne smijemo zaboraviti darazličite rečenice mogu izražavati istu misao. Tako bi se u našojmisli mogao naći i iskaz ο broju 4:

13 Grundlagen. § 46.14 Grundlagen. § 53.

203

204 GOTTLOB FREGEΟ POJMU I PREDMETU 205

"broj 4 ima svojstvo da postoji nešto čiji je on kvadrat".

Jezik ima sredstvo da dopusti da se kao subjekt pojavi sadovaj, a sad onaj dio misli. Jedno od najpoznatijih sredstava jestrazlikovanje aktivnih i pasivnih oblika. Stoga nije nemoguće dase ista misao u jednoj raščlambi pojavi kao singularna. u drugojkao partikularna, a u trećoj kao opća. Prema tome, ne trebačuditi što se ista rečenica može shvatiti kao iskaz ο pojmu i kaoiskaz ο predmetu; samo valja obratiti pozornost na činjenicu dasu ti iskazi različiti. U rečenici "postoji barem jedan kvadratnikorijen iz 4" riječi "jedan kvadratni korijen iz 4" nije mogućezamijeniti riječima "pojam kvadratni korijen iz 4": tj., iskaz kojiodgovara pojmu ne odgovara predmetu. Iako naša rečenica nedopušta da se pojam pojavi kao subjekt, ona ipak nešto ο njemuiskazuje. To se može shvatiti i tako kao da se izražavapotpadanje pojma pod viši pojam.15 Ali time se nipošto ne brišerazlika između predmeta i pojma. Prije svega, primjećujemo dase u rečenici "postoji barem jedan kvadratni korijen iz 4" pojmune odriče njegova predika-tivna narav. Možemo kazati "postojinešto što ima svojstvo da pomnoženo sa samim sobom daje 4".Slijedom toga, nikada se ο predmetu ne može iskazati ono što seovdje iskazuje ο pojmu. Jer vlastito ime nikada ne može bitiizraz za predikat, iako može biti dio takva izraza. Ne želim rećida je pogrešno ο predmetu iskazati ono što se ovdje iskazuje οpojmu, nego želim reći da je to nemoguće, da je besmisleno.Rečenica "postoji Julije Cezar" nije ni istinita ni lažna, nego jebesmislena, iako rečenica "postoji neki čovjek [es gibt einenMann] s imenom Julije Cezar" ima smisao. No ovdje opetimamo pojam, kako pokazuje neodređeni član. Isto imamo i urečenici "postoji samo jedan [es gibt nur ein] Beč". Ne smijemose dati zavarati time

15 U svojini sam Grundlagen takav pojam nazivao pojmomdrugoga reda. a u svojemu spisu "Funktion und Begriff pojmom drugogastupnja, što ću učiniti i ovdje.

što jezik ponekad upotrebljava istu riječ sad kao vlastito ime, sad kaoriječ za pojam. Brojka ovdje naznačuje da je riječ ο posljednjem."Beč" je ovdje jednako tako riječ za pojam kao i "prijestolnica". U tomse smislu može kazati "Trst nije Beč [Triest ist kein Wien]". Ako,nasuprot tome, u rečenici "pojam kvadratni korijen iz 4 jest pun"vlastito ime što ga tvori prvih pet riječi zamijenimo s "Julije Cezar",onda dobivamo rečenicu koja ima smisao, ali je lažna; jer ispunjenost,kako je ta riječ ovdje shvaćena, uistinu se može iskazati samo οpredmetima posve određene vrste, naime takvima koji se moguoznačiti vlastitim imenima oblika "pojam F". Riječi "pojam kvadratnikorijen iz 4" ponašaju se glede svoje zamjenljivosti bitno drukčije odriječi "kvadratni korijen iz 4" u našoj izvornoj rečenici, tj. značenja tihdviju sintagma bitno su različita.

Ono što je ovdje pokazano na jednome primjeru vrijedi općenito:pojam se ponaša bitno predikativno i tamo gdje se ο njemu neštoiskazuje. Slijedom toga, on se i tamo može zamijeniti opet samopojmom, a nikada predmetom. Dakle, iskaz ο pojmu uopće neodgovara predmetu. Pojmovi drugoga stupnja, pod koje potpadajupojmovi, bitno su različiti od pojmova prvoga stupnja, pod kojepotpadaju predmeti. Odnos predmeta prema pojmu prvoga stupnja podkoji on potpada različit je od doduše sličnoga odnosa pojma prvogastupnja prema pojmu drugoga stupnja. Možda bi se moglo, da bi seuza sličnost opravdala i razlika, kazati kako predmet potpada podpojam prvoga stupnja, a pojam potpada u pojam drugoga stupnja.Razlika između pojma i predmeta ostaje dakle u svoj oštrini.

S ovim je u vezi ono što sam u § 53. svojih Osnova rekao οsvojemu načinu upotrebe riječi "svojstvo" i "obilježje". Kerryjeviizvodi daju mi povoda da se tome još jednom vratim. Riječi "svojstvo"i "obilježje" služe za označivanje odnosa u rečenicama kao što su "Φje svojstvo od Γ" i "Φ je obilježje od Ω". Prema mojemu načinu izra-

GOTTLOB FREGE

žavanja, nešto može ujedno biti svojstvo i obilježje, ali ne istoga.Pojmove pod koje potpada predmet nazivam njegovimsvojstvima, tako da je

"biti Φ jest svojstvo od Γ"

samo drugi izraz za

Τ potpada pod pojam od Φ".

Ako predmet Γ ima svojstva Φ, X i Ψ, onda ja ta svojstvamogu obuhvatiti u Ω, tako da je isto kažem li kako Γ imasvojstvo Ω ili kako Γ ima svojstva Φ, Χ i Ψ. Tada Φ, Χ i Ψnazivam obilježjima pojma Ω i ujedno svojstvima od Γ. Jasnoje da je odnos Φ prema Γ posve različit od odnosa Φ prema Ω ida je stoga potreban različit nazivak. Γ potpada pod pojam Φ;no Ω, koje je i samo pojam, ne može potpadati pod pojamprvoga stupnja Φ, nego bi moglo stajati samo u sličnomeodnosu prema pojmu drugoga stupnja. Dočim je Ω podređenoΦ.

Pogledajmo uz ovo jedan primjer. Umjesto da kažemo:

"2 je pozitivan broj" i "2je cijeli broj" i "2 jemanje od 10"

možemo reći

"2 je pozitivan cijeli broj manji od 10".

Ovdje se

biti pozitivan broj biticijeli broj biti manji od10

Ο POJMU I PREDMETU 207

pojavljuju kao svojstva predmeta 2, no ujedno kao obilježja pojma

pozitivan cijeli broj manji od 10.

On nije ni pozitivan ni cijeli broj niti je manji od 10. On jestpodređen pojmu cijeli broj, ali ne potpada poda nj.

Usporedimo sada s ovim ono što Kerry kaže u drugomečlanku, str. 424: "Pod brojem 4 razumijemo rezultat adi-tivnogapovezivanja 3 i 1. Pojmovni predmet na taj način danoga pojmajest brojevni individuum 4. posve određeni broj niza prirodnihbrojeva. Taj predmet očito na sebi nosi upravo ona obilježjakoja su imenovana u njegovu pojmu i - ako, kao što zacijelomoramo, odustanemo od toga da beskonačno mnogobrojneodnose u kojima on stoji prema svim drugim brojevnimindividuama uračunavamo kao njegova propria - ništa drugo:'to' ['die'] 4 također je rezultat aditivnoga povezivanja 3 i 1".

Odmah se vidi kako je ovdje posve izbrisana razlika što samje povukao između svojstva i obilježja. Kerry ovdje razlikujeizmeđu broja 4 i "toga" ["die"] broja 4. Moram priznati da mi jeta razlika nerazumljiva. Broj 4 treba biti pojam; "taj" broj 4treba biti pojmovni predmet i ništa drugo nego brojevniindividuum 4. Ne treba obrazlagati kako ovdje nema mojegarazlikovanja između pojma i predmeta. Gotovo se čini kao daKerryju ovdje - iako posve nejasno - lebdi pred očima razlikašto sam je povukao između smisla i značenja riječi "broj 4".16

No samo se ο značenju može reći kako je rezultat aditivnogapovezivanja 3 i 1.

Kako onda u rečenicama "broj 4 je rezultat aditivnogapovezivanja 3 i 1" ["die Zahl 4 ist das Resultat der additiven

16 Usp. moj gore navedeni članak "Über Sinn und Bedeutung".

206

210 GOTTLOB FRECE O POJMU I PREDMETU 211

podudaraju, da je broj 4 'taj' broj 4, ili. ako se radije želi, da broj4 nije ništa drugo nego 'taj' broj 4, čime bi se razlika što ju jenačinio Kerry dokazala kao slabašna. Ipak. ovdje nije mojazadaća da dokažem protuslovlja u njegovu prikazu. Zapravo mese ne tiče što on razumije pod riječima "predmet" i "pojam";ovim bih htio tek jasnije rasvijetliti moj vlastiti'način upotrebetih riječi i pritom pokazati da ona na svaki način odudara odnjegove, bez obzira je li ona održiva ili nije.

Ne odričem Kerryju posve pravo da riječi "predmet" i"pojam" upotrebljava na svoj način, no želio bih isto pravosačuvati i za sebe te tvrditi kako sam svojim označivanjemzahvatio razliku najviše važnosti. Čitatelju za razumijevanjeočito stoji na putu osebujna prepreka, da naime sa stanovitomjezičnom nužnošću moj izraz, uzet posve doslovno, kadštopromašuje misao, imenujući predmet tamo gdje se pomišljapojam. Potpuno sam svjestan da sam u takvim slučajevimapotpuno upućen na dobrohotnu susretljivost čitatelja koji neštedi sa zrncem soli.

Možda tkogod misu kako je ta teškoća umjetno stvorena,kako uopće ne treba uzeti u obzir nešto tako nespretno kao štoje ono što sam nazvao pojmom i kako se s Kerryjem potpadanjepredmeta pod pojam može shvatiti kao odnos u kojemu se kaopredmet jednom može pojaviti ono što drugi put nastupa kaopojam. Riječi "predmet" i "pojam" služile bi tada samo tome dase naznači različit položaj u odnosu. To se može učiniti; no jakogriješi onaj tko misli da time izbjegava teškoću. Ona je samopomaknuta, jer od dijelova neke misli ne smiju svi bitizatvoreni, nego barem jedan mora na neki način biti nezasićenili predikativan, inače oni ne bi mogli prianjati jedan uzdrugoga. Tako npr. smisao sintagme "broj 2" ne prianja uzasmisao izraza "pojam primbroj" bez nekoga poveznika. Takavpoveznik upotrebljavamo u rečenici "broj dva potpada podpojam primbroj". Sadržan je u riječima "potpada pod", koje na

dvostruki način potrebuju dopunu: subjektom i akuzativom. Isamo tom nezasićenošću smisla one mogu služiti kao poveznik.Tek kada su u tome dvostrukome vidu dopunjene imamozatvoren smisao, imamo misao. Za takve riječi ili sintagmekažem kako označuju odnos. Kod odnosa imamo istu teškoćukoju smo željeli izbjeći kod pojma, jer riječima "odnospotpadanja predmeta pod pojam" ne označujemo odnos negopredmet, a tri vlastita imena - "broj 2", "pojam primbroj","odnos potpadanja predmeta pod pojam" - odnose se jednakokrhko jedan prema drugome kao i samo prva dva; kako god ihspojili, ne dobivamo rečenicu. Lako uočavamo da se teškoćakoja leži u ne-zasićenosti dijela misli dade pomaknuti, ali ne iizbjeći. "Zatvoreno" i "nezasićeno" jesu doduše samo slikovitiizrazi, no ono što ovdje želim i mogu dati samo su navještaji.

Razumijevanje se može olakšati ako čitatelj usporedi mojspis "Funkcija i pojam". Naime, kod pitanja što se u analizizove funkcijom nailazimo na istu prepreku. A u podrobnijemurazmatranju naći ćemo kako je u samoj stvari i u naravi našegamišljenja utemeljeno da se stanovita neprimjerenost jezičnogaizraza ne da izbjeći i da ne preo-staje ništa drugo nego da jepostanemo svjesni te da je uvijek uvažavamo.

ŠTO JE FUNKCIJA?

Još uvijek nije izvan svake sumnje koje značenje u analiziima riječ "funkcija",1 iako se već dugo učestalo upotrebljava. Udefinicijama nalazimo dva izraza što se uvijek iznovapojavljuju, dijelom međusobno povezani, dijelom zasebno:"računski izraz" i "promjenljivica". Uočavamo također nestalnuupotrebu te riječi - funkcijom se naziva sad ono što određujeneku vrstu zavisnosti ili možda vrsta zavisnosti sama. sadzavisna promjenljivica.

U novije vrijeme u definicijama prevladava riječ "pro-mjenljivica". No ona je sama vrlo potrebita objašnjenja. Svakapromjena događa se u vremenu. Stoga bi se analiza, budući dapromjenljivicu podvrgava svojemu razmatranju, morala bavitivremenskim događanjem. No ona nema što raditi s vremenom,jer činjenica da se može primijeniti na vremenske događaje nemijenja ništa na stvari. Analiza se primjenjuje i na geometriju,kod koje je vrijeme sasvim irelevantno. To je jedna od glavnihpoteškoća na koju uvijek iznova nailazimo kada želimo pomoćuprimjera proniknuti u stvar. Jer čim pokušamo navesti nekupromjenljivicu dolazimo do nečega promjenljivoga što semijenja u vremenu i što dakle ne pripada čistoj analizi. A ipakmora biti moguće uputiti na neku promjenljivicu koja u sebi neuključuje ništa što je aritmetici strano (ako su promjen-ljiviceuopće predmeti analize).

Ako je već u mijenjanju sadržana poteškoća, onda nailazimona novu kada pitamo što se mijenja. Kao odgovor najprijedobivamo: veličina. Potražimo primjer. Šipku možemo nazvativeličinom ukoliko je dugačka. Svaka pro-

1 Ovo se razmatranje treba ograničiti na funkcije s jednimjedinim argumentom.

214 GOTTLOB FREGE

mjena šipke s obzirom na njezinu duljinu, koja može uslijediti npr.zagrijavanjem, događa se u vremenu; a niti šipke niti duljine nisupredmeti čiste analize. Takav pokušaj da se u analizi uputi na nekupromjenljivu veličinu ne uspijeva. Isto tako ne mogu uspjeti ni mnogidrugi, jer ni duljine kao veličine ni površine kao veličine ni kutovi kaoveličine ni mase kao veličine nisu predmeti aritmetike. Od svihveličina pripadaju joj samo brojevi. A baš zato što ova znanostposvema ostavlja po strani pitanje ο tome mjerenjem kojih se veličinau pojedinome slučaju dobiju brojevi, ona je sposobna zanajraznovrsniju primjenu. Pitamo dakle: jesu U promjenljivice analizepromjenljivi brojevi? Što bi drugo i mogle biti ako uopće trebajupripadati analizi? Kako to da se gotovo nikada ne kaže "promjenljivibroj" a, nasuprot tome, često se kaže "promjenljiva veličina"? Tajizraz zvuči prihvatljivije nego "promjenljivi broj", jer glede njegajavlja se sumnja: postoje U promjenljivi brojevi? Ne zadržava U svakibroj svoja svojstva nepromijenjenima? Naravno, kaže se,samorazumljivo je da su 3 i π nepromjenljivi brojevi, konstante; nopostoje i promjenljivi brojevi. Kada npr. kažem "broj koji umilinietrima naznačuje duljinu ove šipke", tada imenujem broj i taj jebroj promjenljiv, budući da šipka ne zadržava uvijek istu duljinu.Dakle, tim sam izrazom označio neki promjenljivi broj. Usporedimoovaj primjer sa sljedećim: kada kažem "kralj ovoga carstva", tadaoznačujem nekoga čovjeka. Prije deset godina kralj ovoga carstva bioje starac, sada je kralj ovoga carstva mladić. Onim sam izrazom dakleoznačio nekoga čovjeka koji je bio starac, a sada je mladić. Tu morabiti neka pogreška. Izraz "kralj ovoga carstva" bez naznake vremenauopće ne naznačuje nekoga čovjeka. Ah čim se doda naznaka vremenataj izraz nedvoznačno može označivati nekoga čovjeka. No tada je tanaznaka vremena nužan sastavni dio izraza i kada damo drugunaznaku vremena dobivamo drugi izraz. Dakle, u našim dvjemarečenicama uopće nemamo isti subjekt iskaza. Isto tako ni izraz "brojkoji u milimetrima naznačuje duljinu ove šipke" bez naznake vre-

ŠTO JE FUNKCIJA?

mena uopće ne označuje broj. Ako se doda naznaka vremena,time se može označiti broj, npr. 1000; no to je onda nepromjenljivibroj. Kod druge naznake vremena dobivamo drugi izraz, koji sadamože označivati i drugi broj, npr. 1001. Ako kažemo "Prije pola satabroj koji je u milimetrima naznačivao duljinu ove šipke bio je kubnibroj; sada broj koji u rmlimetrima naznačuje duljinu ove šipke nijekubni broj", tada uopće nemamo isti subjekt iskaza. 1000 se nijepovećalo do 1001, nego se njime zamijenilo. Ili, primjerice, je li broj1000 isti kao i broj 1001, samo s drugim izrazom lica? Ako se neštomijenja, onda na istome predmetu imamo jedne za drugima različitasvojstva, stanja. Kada taj predmet ne bi bio isti, tada uopće ne bismoimah subjekt ο kojemu bismo mogli iskazati promjenu. Šipka sezagrijavanjem rasteže. Dok se to događa, ona ostaje ista. Ako biumjesto toga bila uklonjena i zamijenjena duljom, onda ne bismomogli kazati kako se rastegnula. Čovjek stari; ah ako ga unatoč tomene bismo mogli priznati kao istoga, onda ne bismo imah ništa ο čemubismo mogli iskazati starenje. Primijenimo to na broj. Što ostaje istokada se broj mijenja? Ništa! Prema tome, broj se uopće ne mijenja, jernemamo ništa ο čemu bismo mogli iskazati promjenu. Kubni brojnikada ne postaje primbroj, a iracionalni broj nikada ne postajeracionalni.

Ne postoje dakle promjenljivi brojevi, a to potvrđuje činjenica štonemamo vlastita imena za promjenljive brojeve. Nije nam uspiopokušaj da izrazom "broj koji u milimetrima naznačuje duljinu ovešipke" označimo promjenljivi broj. No ne označujemo li s "x", "y", "z"promjenljive brojeve? Takav se način izražavanja doista rabi. Ah taslova nisu vlastita imena promjenljivih brojeva onako kao što su "2" i"3" vlastita imena konstantnih brojeva. Jer brojevi 2 i 3 razlikuju se nanavediv način, no u čemu se razlikuju promjenljivice navodnooznačene s "x" i s "y"? To ne možemo kazati. Ne možemo navesti kojasvojstva ima x i koja od toga različita svojstva ima y. Ako s tim

215

9

216 GOTTLOB FREGE STO JE FUNKCIJA? 217

slovima uopće nešto povezujemo, onda je to kod obojega istanejasna predodžba. Tamo gdje se prividno pojavljuju razlikeriječ je ο primjenama. No ο njima ovdje ne govorimo. Budućida svaku promjenljivicu ne možemo shvatiti u njezinojposebnosti, promjenljivicama ne možemo pridati nikakvavlastita imena.

Gospodin E. Czuber pokušao je otkloniti neke od navedenihpoteškoća.2 Da bi se riješio vremena, on promjenljivicu tumačikao neodređeni broj. No postoje li neodređeni brojevi? Treba librojeve podijeliti na određene i neodređene? Postoje lineodređeni ljudi? Ne mora li svaki predmet biti određen? Nonije li broj η neodređen? Ne poznajem broj n. "rt" nije vlastitoime nekoga broja, ni određenoga ni neodređenoga. Pa ipak seponekad kaže "broj n". Kako je to moguće? Takav se izraz trebarazmotriti u kontekstu. Uzmimo jedan primjer. "Ako je broj πparan, onda je cos ηπ = 1". Ovdje samo cjelina ima smisao, aniti protaza za sebe niti apodoza za sebe. Na pitanje je U broj ηparan ne može se uopće odgovoriti, jednako kao ni na pitanje jeli cos ηπ = 1. Za to bi "n" moralo biti vlastito ime nekoga brojakoji bi tada nužno bio određen broj. Slovo "rt" piše se da bi sepostigla općenitost. Pritom se pretpostavlja da ako se onozamijeni vlastitim imenom nekoga broja, onda i protaza iapodoza dobivaju smisao.

Naravno, ovdje se može govoriti ο neodređenosti. Ipak,ovdje "neodređen" nije pridjev za "broj", nego [je 'neodređeno']možda prilog uz "naznačiti". Ne može se reći kako "rt"označuje neodređen broj, ali se može reći kako on neodređenonaznačuje brojeve. I tako je uvijek kada se u aritmeticiupotrebljavaju slova, uz nekoliko iznimaka (π, e, i), gdje slovanastupaju kao vlastita imena; no tada označuju određene,nepromjenljive brojeve. Ne postoje da-

2¸ Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Leipzig.Teubner, 1. § 2.

kle neodređeni brojevi i ovaj pokušaj gospodina Czubera nije uspio.

Drugo, on pokušava doskočiti nedostatku što se nijednapromjenljlvica ne može shvatiti kao različita od druge. Cjelokupnostvrijednosti što ih može poprimiti varijabla on naziva područjemvarijable- i kaže: "Varijabla x vrijedi kao definirana ako se za svakirealni broj koji se označuje može ustanoviti pripada li tome područjuili ne". Ona vrijedi kao definirana, no da U ona to i jest? Budući da nepostoje neodređeni brojevi, nemoguće je definirati neki neodređenibroj. Područje se postavlja kao ono koje obilježava varijablu. Stogabismo kod istoga područja imali istu varijablu. Prema tome bi ujednakosti "y — x2" y bilo ista varijabla kao i x ako je područje od xpodručje pozitivnih brojeva.

Ovaj pokušaj moramo smatrati neuspjelim, posebno zato što jeizraz "varijabla poprima neku vrijednost" posve nejasan. Varijablatreba biti neodređen broj. Kako se događa to da neodređen brojpoprima neki broj? Jer vrijednost je očito neki broj. Poprima limožda i neki neodređen čovjek nekog određenog? Inače se kažekako predmet poprima svojstvo; ovdje broj mora igrati objeuloge. Kao predmet on se naziva varijablom ih promjenljivomveličinom, kao svojstvo naziva se vrijednošću. Zbog toga riječ"veličina" pretpostavljamo riječi "broj"; jer moramo se prevaritiu pogledu činjenice da su promjenljiva veličina i vrijednostkoju ona tobože poprima u osnovi isto, da to uopće nije slučaj ukojemu neki predmet poprima jedno za drugim različitasvojstva, da dakle ne može ni na koji način biti riječi οpromjeni.

U pogledu promjenljivica ispostavilo nam se sljedeće.Promjenljive veličine doduše možemo prihvatiti, ah one nepripadaju čistoj analizi. Promjenljivi brojevi ne postoje. Riječ"promjenljivica" nema, prema tome, opravdanja u čistoj analizi.

218 GOTTLOB FREGE ŠTO JE FUNKCIJA? 219

Kako dospijevamo od varijable do funkcije? To se u biti uvijekdogađa na isti način i zato slijedimo prikaz gospodina Czubera koji u§ 3 piše:

"Ako je svakoj vrijednosti realne varijable x, koja pripadanjezinu području, pridružen određen broj y, onda se y takođeropćenito definira kao varijabla i naziva se funkcijom realnevarijable x. Ova se činjenica izražuje jednakošću oblika y =f(x)".

Ovdje najprije upada u oči činjenica da se y naziva određenimbrojem, dok ono kao varijabla ipak mora biti neodređeni broj. y nije niodređen ni neodređen broj, nego je znak "y" pogrešno pridodan uzviše brojeva, a ipak se poslije govori kao da postoji samo jedan jedini.Jednostavnije bi i jasnije bilo slučaj prikazati ovako: svakome brojupodručja x pridružen je jedan broj. Cjelokupnost tih brojeva nazivampodručjem y. Očito je da tako imamo područje y, ali ne y, ο kojemubismo mogli reći kako je funkcija realne varijable x.

Za pitanje ο biti funkcije ograničavanje područja čini se nebitnim.Zašto ne bismo jednako tako kao područje mogli prihvatiticjelokupnost realnih brojeva ili cjelokupnost kompleksnih brojevaskupa s realnima? Srž stvari leži ipak na posve drugome mjestu,naime skriveno u riječi "pridružen". Na osnovi čega zapažam je li broj5 pridružen broju 4? Na to se pitanje ne može odgovoriti ako se onona neki način ne dopuni. A ipak se, prema Czuberovu objašnjenju,čini kao da je za bilo koja dva broja bez daljnjega određeno je li prvipridružen drugome ih nije. Na sreću, gospodin Czuber dodajeprimjedbu:

"O zakona pridruživanja koji je na najopćenitiji način naznačenkarakteristikom f gornja definicija ne sadrži nikakav iskaz. Onse može utvrditi na najrazno-likije načine".

Dakle, pridruživanje se događa prema nekome zakonu, a možemozamisliti različite takve zakone. Tada izraz "y je funkcija od x" nemasmisao ako nije dopunjen naznakom zakona prema kojemu sepridruživanje odvija. To je pogreška u definiciji. A nije li zakon koji sobjašnjenjem postupa .kao s nepostojećim zapravo glavna stvar? Pri-mjećujemo kako je time promjenljivost posve iščezla, dok u naševidno polje stupa općenitost, jer na nju upućuje riječ "zakon".

Različitosti zakona pridruživanja u vezi su s različitostima funkcijai ne mogu se više shvatiti kao kvantitativne. Ako samo pomislimo naalgebarske funkcije, na logaritamske funkcije, na eliptične funkcije,odmah se osvjedočujemo kako je ovdje riječ ο kvalitativnimrazličitostima. To je jedan razlog više da funkcije ne tumačimo kaopromjen-ljivke. Kad bi bile promjenljivice, tada bi eliptične funkcijebile eliptične promjenljivice.

Takav zakon pridruživanja općenito izražujemo jednakošću načijoj lijevoj strani stoji slovo "y", dok se na desnoj strani pojavljujeračunski izraz koji se sastoji od brojki, računskih znakova i slova x,kao npr.

"y = x2 + 3x".

Funkcija je definirana kao takav računski izraz. U novije doba tajje pojam iznađen kao preuzak. No ta bi se neprilika mogla otklonitiuvođenjem novih znakova u aritmetički znakovni jezik. Teži je jedandrugi prigovor, naime da računski izraz kao skupina znakova uopće nepripada aritmetici. Formalnu teoriju koja kao predmete te znanostinavodi znakove mogu smatrati kao konačno odbačenu mojomkritikom u drugome svesku Osnovnih zakona aritmetike. Izmeđuznaka i označenoga nije se uvijek pravila oštra razlika, tako da se podračunskim izrazom {expressio analytica) dijelom razumjelo injegovo značenje. Sto

220 GOTTLOB FREGE ŠTO JE FUNKCIJA? 221

označuje "x2 + 3x"? Zapravo ništa, budući da slovo "x" samonaznačuje brojeve, a ne označuje ih. Zamijenimo li "x"brojkom, dobivamo izraz koji označuje broj; dakle, ništa novo.Kao i samo "x", tako i "x2 + 3x" samo naznačuje. To se možeučiniti kako bi se izrazila, općenitost kao u stavcima

Ono je uostalom zamišljeno samo za iznimku, gdje neku funkcijuželimo označiti posve izoliranu. U "sin 2" samo "sin" vec označujefunkciju.

222 GOTTLOB FREGE STO JE FUNKCIJA? 223

Ali veća je šteta to što je time otežan uvid u bit funkcije.

Osebujnosti znaka funkcije što smo je nazvali neza-sićenošću naravno odgovara nešto na samim funkcijama. I njihmožemo nazvati nezasićenima te time opisati kao u osnovirazličite od brojeva. Naravno, to nije definicija. No nešto takvoovdje nije ni moguće.4 Ovdje se moram ograničiti na to dajednim slikovitim izrazom uputim na ono što mislim, a pritomsam upućen na susretljivo razumijevanje čitatelja.

Biva li funkcija nekim brojem dopunjena tako da daje nekibroj, onda to nazivamo vrijednošću funkcije za taj broj kaoargument. Jednakost "y = f(x)" obično čitamo: "y je funkcija odx". U tome su dvije pogreške: prvo, znak jednakosti prevodi sekao kopula; drugo, funkcija sa svojom vrijednošću brka se sargumentom. Iz tih je pogrešaka nastalo mnijenje kako jefunkcija broj, iako promjenljiv ili

4 Definicija što je daje H. Hankel u svojim Untersuchungen überdie unendlich oft oszillierenden und unstetigen Funktionen(Universitätsprogramm, Tübingen, 1870), § 1 zbog začaranoga je kruganeupotrebljiva, jer sadrži izraz "ßx)". koji za svoje objašnjenjepretpostavlja ono što treba definirati.

neodređen. Nasuprot tome, vidjeli smo da takvi brojevi uopće nepostoje i da se funkcije u osnovi razlikuju od brojeva.

Težnja za kratkoćom u matematički je jezik uvela mnoge netočneizraze, koji su pak zamutili misli i proizveli pogrešne definicije.Matematika bi zapravo trebala biti uzor logičke jasnoće. U stvarnostimožda u spisima nikoje druge znanosti ne nalazimo više naopakihizraza i sukladno tome više naopakih misli nego u matematičkimspisima. Nikada se logička ispravnost ne bi trebala žrtvovati kratkoćiizraza. Stoga je od velike važnosti stvoriti matematički jezik koji snajstrožom točnošću povezuje najveću moguću kratkoću. Za to ćenajprikladniji biti pojmopis, sustav pravila prema kojima se pomoćunapisanih ili otisnutih znakova bez glasovnoga posredovanja moguneposredno izraziti misli.

BILJEŠKA 0 TEKSTOVIMA

1.

Osnove aritmetike. Logičko-matematičko istraživanje pojmabroja: G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logischmathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl,Centerausgabe, mit ergänzenden Texten kritisch herausgegebenvon Christian Thiel (Hamburg: Felix Meiner Verlag, 1986). [Tase knjiga sastoji od: Uvoda priređivača (XXI-LXIH), tekstaOsnova (uz navođenje i izvorne paginacije), tekstova prvihreakcija na Osnove (109-142) (riječ je ο recenzijama: E. R. E.Hoppea, G. Cantora, stanovitoga G.-L, R. Euckena, K.Laßwitza, Η. Scholza, zatim ο Zermelovoj primjedbi uzCantorovu recenziju, Fregeovu odgovoru na Cantorovurecenziju, te ο stajalištima što su ga prema Osnovama zauzeli E.Schröder u Vorlesungen über die Algebra der Logik i E. Husserlu Philosophie der Arithmetik), potom od priređivačevihbilježaka uz tekst (143-174), pregleda literature i kazala.]Osnove aritmetike prvi su puta objavljene u Breslauu 1884.

2.

Funkcija i pojam: G. Frege, Funktion und Begriff. Vortrag,gehalten in der Sitzung vom 9. Januar 1891 der JenaischenGesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft (Jena: H.Pohle, 1891). Tekst je preveden prema: G. Frege, Funktion,Begriff, Bedeutung. Fünf logische Studien, herausgegeben undeingeleitet von Günther Patzig (Göttingen: Vandenhoeck &Ruprecht, 61986), 17-39.

Ο smislu i značenju: G. Frege, "Über Sinn und Bedeutung",Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik C (1892),25-50. Tekst je preveden prema Funktion, Begriff, Bedeutung,40-65.

226 BILJEŠKA O TEKSTOVIMASTVARNO KAZALO

Ο pojmu i predmetu: G. Frege, "Über Begriff und Gegenstand".Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie XVI (1892), 192-205. Tekst je preveden prema Funktion, Begriff, Bedeutung, 66-80.

što je funkcija?: G. Frege, "Was ist eine Funktion?".Festschrift'Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage,20. Februar 1904 (Leipzig: J. A. Barth. 1904), 656-666. Tekst jepreveden prema Funktion, Begriff, Bedeutung, 81-90.

analitičan [analytisch] 37, 41-43, 99, 117-121, 129, 167.

a priori (apriorno) 23, 24, 29, 32, 37, 39, 41, 99, 108, 117, 119, 167.

α posteriori (aposteriorno) 23, 24, 29, 37, 129.

argument [das Argument] 139, 142, 143-145, 147, 148, 150-152, 154,155-158, 160-165, 213 b. 1, 220-222.

broj [die Zahl] 13-18, 22, 26-32, 34-36, 38-42, 44-52, 55-58. 62, 63,65-90, 96, 97, 103, 107, 108, 112-118, 121-131, 132, 134, 140,141-148, 152, 153, 163, 164, 165, 184 b. 9, 185, 197, 203, 206-210, 214-223.

broj [die Anzahl] 22, 25, 38, 44, 46-48, 50, 53, 56, 63, 83, 86, 89,90,95-97, 101-103, 105-109, 112-116, 125 b. 112, 132, 134.kardinalni broj [die Anzahl] 44, 121, 130.

brojka [das Zahlzeichen] 31, 49, 58 b. 50, 72, 88-90, 132, 140, 141,205, 219-221.

funkcija [die Funktion] 22, 77, 118, 139-157, 201 b. 11, 211, 213-223.

iskaz [die Aussage] 14, 76, 78, 83, 85, 93, 94, 132, 168, 200, 203-205, 214, 215.

istinitost [das Wahre] 148, 150, 155-163, 175, 176, 188.

istinosna vrijednost [der Wahrheitswert] 148, 150-156, 162, 163, 175-181, 184, 187-194, 202.

228 STVARNO KAZALO GOTTLOB FREGE 229

jedinica [die Einheit] 16, 29, 44-47, 51, 57-70, 72, 75, 76, 83, 90, 123.

jednadžba [die Gleichung] 30, 123, 124.

jednakobrojan [gleichzahlig) 95-97, 101, 102, 105.

jednakost [die Gleichheit, die Gleichung] 13, 27, 33, 67, 68-71, 76,83, 85, 86, 88 b. 80, 89-93, 95, 125, 126, 128, 131, 140, 145-148, 151, 153, 155, 167, 197, 208, 209. 219, 220.

kontekst [der Zusammenhang] 20, 58, 76, 88, 89, 169, 181, 186 b. 11,187.

lažnost [das Falsche] 148, 151, 155-160, 163, 175, 188.

misao [der Gedanke] 148, 149, 151, 173-194, 199, 202-204, 210, 211,223.

navođenje broja [die Zahlangabe] 75-78, 83, 85, 97 b. 88, 132, 203.

niz [die Reihe] 55, 71, 109-116, 121 122, 125, 131, 133, 134.

pojam [der Begriff] 17, 18, 20, 22, 25, 35, 38, 46, 50-52, 55, 58, 59,61, 63, 66, 67, 70, 74, 76-86, 91, 93-99, 101-109, 112-115, 117-119, 122, 123, 125, 130-133, 139-167, 168,175, 184, 195-211.

predikat [das Prädikat] 58, 85, 88, 93 b. 89, 107, 117, 174,176, 196 b. 1, 197, 198, 200-203.

predmet [der Gegenstand] 20, 24, 46, 47, 55, 57-60, 62, 64, 66-68, 70-72, 74, 76-89, 93, 96 b. 88, 98-111, 113, 115-119, 125-127, 130-132, 140, 141, 152-154, 156 b. 7, 157, 159, 161, 167, 169, 170-173, 175, 176, 181-184, 195-211, 215, 217.

predodžba [die Vorstellung] 16, 20, 28. 38. 50, 52, 55, 56, 59, 65, 71, 73,77, 80, 86-89, 91, 115. 129, 170-173, 175.

prepoznavanje [die Wiedererkennung] 93, 95, 115, 131, 167.

pridruživanje [die Zuordnung] 90, 218, 219jednoznačno [eindeutige] 90.obostrano jednoznačno [beiderseits eindeutige] 95, 99, 131.

rečenica [der Satz] 13. 20, 87. 93 b. 87, 99 b. 89. 149, 157, 161,168, 169 b. 2, 172-194, 195, 199, 202-205, 207, 209, 211, 214. -vidi i stavak

Sintetičan [synthetisch] 37, 39, 40, 78, 117-120. 129, 130.

smisao [der Sinn] 31. 49, 59, 89, 98, 115. 127-130. 141 b. 4, 146, 147,149, 151, 167-194, 199, 202, 203, 205, 207, 209, 216.

stavak [der Satz] 13. 17, 23-26, 30, 32, 33, 35, 34, 38-40, 42, 43, 52.73, 77, 83-85, 88, 89, 91, 92, 94, 96, 99-102, 105-108, 110, 111,113, 114, 116-121, 123, 125-129, 132, 167, 194, 220.

subjekt [das Subjekt] 85, 93 b.87, 98, 99, 117, 118, 176, 181, 184,187, 200 b. 8, 201, 202-204, 211, 214, 215.

sud [das Urteil] 23, 24, 36, 42, 43, 50, 52, 76, 78, 86, 88, 90, 91, 93 b.86, 94, 98, 99, 104, 117-119, 121, 129, 131, 133, 155, 156 b. 7.158, 161, 176, 186, 194, 199, 202.

tvrdnja [die Behauptung, der Behauptungssatz] 32, 151, 153,173, 175, 176, 182, 187, 189 b. 14.

230 STVARNO KAZALO

vlasüto ime [der Eigenname] 80, 90, 149, 151, 152, 168, 169, 171, 173-175,181, 183, 184, 187, 188, 196, 197, 199, 200, 203-205, 209, 215,216.

vrijednosni tok [das Wertverlauf] 145-147, 151, 153.

značenje [die Bedeutung] 13, 18, 20, 29, 67, 72, 87, 88, 94, 95, 113 b.96, 115, 116. 127, 139-142, 149, 151, 153, 154, 165, 167-194,198, 202, 207, 219.

znak [das Zeichen] 29, 31, 33, 42, 50, 56, 66, 68, 71, 72, 87, 89, 91,94, 113 b. 96, 115, 124, 130, 140, 141, 147-154, 156 b. 7, 162,167-171, 173, 175 b. 6, 183, 200 b. 10, 218, 220-223.

zor [die Anschauung] 26, 27, 37-40 53, 54, 59, 69, 71, 89, 91, 116,119, 130, 170 b. 3, 172, 173, 195.

zrenje [die Anschauung, das Anschauen] 27, 54, 103, 116, 120, 130.

IMENSKO KAZALO

Aristotel 48

Baumann, J. J. 26 b. 8, 37, 44 b.31, 47, 49 b. 38, 51 b. 43,59, 60 b. 54, 61, 62 b. 58, 63b. 61, 69, 79 b. 77, 90 b. 82,117.

Berkeley, G. 51Boole, G. 120 b. 105

Cantor, G. 90 b. 83, 115, 116, 125b. 112, 134.

Cantor, M. 46.Czuber, E. 216-218, 220.

Descartes, R. 63.

Erdmann, B. 108 b. 94. Eucken, R60 b. 55. Euklid 22, 44, 57, 123.

Fischer, K. 15 b. 2.

Grassmann, H. 28, 29, 44.

Hankel, H. 26, 28, 38, 45, 71,121-123, 125, 126, 222 b. 4.

Helmholtz, H. 140 b. 3.Herbart, J. F. 14.Hesse, O. 65, 66.Hobbes, Th. 26 b. 8, 62, 69.Hume, D. 62, 90.

Jevons, W. S. 41, 63, 64, 66,67, 70-74.

Kant, I. 26, 27, 37, 38, 53,117-119, 134.

Kerry, B. 195, 196, 198-200,202, 203, 205, 207-210.

Kopp, G. A. 61.Kossak. E. 90 b. 82, 123 b.

111, 128 b. 118, 129.Kronecker, L. 140 b. 3.

Leibniz, G. W. 27, 29, 30, 33,34, 36, 39, 41, 43-45, 49,51, 59, 65, 66, 69, 83, 92.

Lipschitz, R. 38, 46 b. 3, 52,63.

Locke, J. 26 b. 8, 49, 51, 60,65, 66.

Mill, J. S. 18, 29-33, 37, 41-44,48, 49, 51, 56, 60, 68.

Newton, I. 26 b. 8, 44, 45.

Schloemilch, O. 55.Schröder, E. 19, 46, 57, 62, 63,

71,72, 79, 90 b. 82, 113b. 96, 197 b. 2.

Spinoza, B. de 79, 80.Stricker, B. 16.

Thomae, J. 56, 62, 69.

Documents

Gottlob Frege OSNOVE ARITMETIKE i drugi spisi · PDF fileGottlob Frege OSNOVE ARITMETIKE i drugi spisi Odabrali i preveli Filip Grgić Maja Hudoletnjak Grgić Ova je knjiga tiskana