Geotecnia Ing Deza

7/23/2019 Geotecnia Ing Deza

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GEOTECNIA GICO UPCTema 9. Aplicacin de rotura a problemas de contorno bsicos

1

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE CATALUAGRADO EN INGENIERA DE LA CONSTRUCCIN

___________________________________________________

GEOTECNIA

APUNTES TEMA 9____________________________________________________

TEMA 9. APLICACIN DE ROTURA A PROBLEMAS DE CONTORNO BSICOS

9.1 EMPUJES DE TIERRAS SOBRE ESTRUCTURAS DE CONTENCIN ......................................

9.1.1 Planteamiento general. Empujes activos y pasivos ..................................................................

9.1.3 Accin del agua ...........................................................................................................................

9.1.4 Sobreempujes por cargas exteriores. Otros casos ....................................................................

9.2 CAPACIDAD PORTANTE DEL TERRENO ...................................................... ...............................

9.2.1 Planteamiento general. Mecanismo de rotura global ...............................................................

9.2.2 Modelo del Prandtl para terreno sin peso ....................................................................... ..........

9.2.3 Terreno con peso. Otros casos .................................................................... ................................

9.3 ESTABILIDAD DE TALUDES EN SUELOS .....................................................................................

9.3.1 Introduccin. Planteamiento del problema ..............................................................................

9.3.2 Caso de talud indefinido .............................................................................................................

9.3.3 Caso de corte vertical ......................................................... .........................................................

9.3.3.1. Mtodos de equilibrio global

9.3.3.2. Mtodos de equilibrio parcial o mtodo de las rebanadas

9.3.4 Mtodos generales de equilibrio lmite. Equilibrio global y parcial (rebanadas) ..................


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2

TTeemmaa99..AApplliiccaacciinnddeerroottuurraaaapprroobblleemmaassddeeccoonnttoorrnnoobbssiiccooss

La consideracin de rotura, como ya se ha visto en el Apartado 8.2 anterior, viene relacionada

con la hiptesis desfavorable de estados lmite ltimos del comportamiento del suelo (referido al

equilibrio plstico del suelo). A efectos prcticos, estos estados lmite ltimos son de especial

inters y de uso en los procesos de diseo, tanto de las posibles estructuras con las que

interacciona el suelo (estructuras de contencin: figura 9.1.a; y estructuras de cimentacin:

figura 9.1.b) como de la posibilidad geomtrica autoportante y de equilibrio del mismo suelo

(estabilidad de taludes: figura 9.1.c). Aun as, es importante especificar que este tema se

presenta con un enfoque ms terico que prctico, dejando de lado los aspectos ms

tecnolgicos (y consecuentes al diseo; pertenecientes ms bien al mbito de la Ingeniera

Geotcnica). De este modo, los problemas de contorno intrnsecos en los que se analizar la

aplicacin de rotura se pueden englobar, por ejemplo, segn las caractersticas geomtricas y de

deformacin en los bordes y de las posibles interacciones en la zona de anlisis (estructuras de

contencin: Apartado 9.1; estructuras de cimentacin: Apartado 9.2; y estabilidad de taludes:

Apartado 9.2), as como de los parmetros resistentes caractersticos y particulares del tipo de

suelo, el confinamiento, el nivel y localizacin de cargas aplicadas, la presencia de agua, etc.

a) b) c)

WEt

Rb

Ei

qQ

qQP

W

R

Q

q

Figura 9.1.a-cProblemas de contorno bsicos generales del tema: estructuras de contencin (a),

capacidad portante (b) y estabilidad de taludes (c)

99..11EEmmppuujjeessddeettiieerrrraassssoobbrreeeessttrruuccttuurraassddeeccoonntteenncciinn

99..11..11PPllaanntteeaammiieennttooggeenneerraall..EEmmppuujjeessaaccttiivvoossyyppaassiivvooss

Se supone una porcin de suelo (, , c= 0), de profundidad y espesor indefinidos, seco y con

superficie libre horizontal (= 0), en el que no se ha alterado su estado inicial de tensiones ni de

deformaciones (grado de consolidacin OCR igual a la unidad y condiciones edomtricas). Si se


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3

presta atencin a un elemento diferencial situado a una profundidad determinada z(ver figura

9.1.1), ste estar sometido a las tensiones verticalesv

y horizontalesh

, ambas principales

Ya sabido, el factor que relaciona ambas tensiones en un punto ser el coeficiente de empujeK

( /h v

K ). Si las deformaciones laterales estn impedidas (caso edomtrico), dicha relacin

ser el coeficiente de empuje al reposo,K0, luego 0 ,0h v hK . Este coeficiente depende

del grado de consolidacin y del ngulo de rozamiento interno del suelo. Para suelos

normalmente consolidados (OCR= 1), puede utilizarse la expresin que propuso Jaky (1944):

0 1 sinK . Si se representa esta situacin mediante crculos de Mohr (plano ; figura

9.1.2) incluyendo el criterio de rotura de Mohr-Coulomb, el caso considerado (en reposo:

terreno con superficie libre horizontal y sin sobrecargas, en particular con la expresin de

Jacky), permanecer siempre bajo el criterio de rotura.

v

h =K0v

z

, , c = 0)

Figura 9.1.1Estado tensional al reposo en un punto del suelo con superficie libre horizontal (= 0)

0

h,0 = 3 reposo

(z)(K0v)

v= 1

Figura 9.1.2Representacin en el plano (, ) del estado tensional al reposo de un punto del suelo consuperficie libre horizontal


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4

Los empujes son las presiones que soporta una posible estructura de contencin insertada o

construida en el terreno. Luego partiendo del caso anterior, si se supone una proyeccin vertical

en el suelo hasta una profundidad determinada y con deformaciones laterales nulas, sobre dichaproyeccin se aplicarn empujes al reposo.

En caso de que las deformaciones laterales sean no nulas, el empuje pasar a ser empuje activo

(desplazamientos hacia el sentido en el que el suelo se descomprime) o pasivo (desplazamientos

hacia el sentido en el que el suelo se comprime). Conceptualmente, los empujes (activos o

pasivos) en el trasds de una estructura de contencin pueden entenderse como si provinieran

del estado tensional que se generara al desplazar horizontalmente un paramento que contuviera

el suelo.

Se supone ahora la misma porcin de suelo anterior (sin cohesin y con superficie libre

horizontal), con una plataforma vertical mvil supuestamente ilimitada en profundidad,

indeformable y movible a voluntad. En este caso, el estado activo (figura 9.1.3, superior) se

consigue desplazando horizontalmente la plataforma de contencin hacia el intrads, que como

se ha comentado, descomprime el suelo. En este estado, la relacin entre tensiones que controla

la ley de empujes se regir por el coeficiente de empuje activoKa.

De manera anloga al caso anterior, para el estado pasivo (figura 9.1.3, inferior), el

desplazamiento de la plataforma es hacia el trasds y el coeficiente de empuje pasivo Kpes el

que controla la relacin entre tensiones.

Es evidente que el empuje pasivo, con desplazamientos en contra del suelo, comprimindolo,

ser cuantitativamente mayor que el activo (Kp> Ka).

Si se representan ahora estos dos estados mediante crculos de Mohr, en el caso del estado

activo (figura 9.1.4, superior), al desplazar la plataforma hacia el intrads, las tensiones

horizontales disminuyen desde el estado al reposo hasta alcanzar unos valores lmite ,h a

correspondientes al estado activo, en el que el crculo de tensiones del punto de anlisis toca el

criterio de rotura (las tensiones verticales sern prcticamente invariables en este proceso por

corresponder al equilibrio con el peso de tierras situadas por encima de cada punto, cuya altura

se supone tericamente constante). Las tensiones principales se mantienen ordenadas respecto al

caso del estado al reposo (principal mayor correspondiente a la tensin vertical, 1 v , y


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5

principal menor correspondiente a la tensin horizontal, 3 ,h a ). En este estado, desde el

punto ,h a (que corresponde al polo de tensiones al ser= 0), se identifican las direcciones de

las superficies de rotura correspondientes (Ia- IIa).

Estado activo:

(h,a =Kav)

direccin (Ia) de los

planos de rotura

v

h,a

direccin (IIa) de los

planos de rotura

e activo

ea (z)

z

(

Ley de empujes del

estado activo:

(e reposo)

Estado pasivo:

(h,p =Kpv)

epasivo

ep (z)direccin (IIp) de losplanos de rotura

v

h,p

direccin (Ip) de losplanos de rotura

z

( Ley de empujes del

estado pasivo:

(e reposo)

Figura 9.1.3Obtencin de los estados activo y pasivo en un punto de una porcin de suelo mediante lahiptesis de desplazamiento horizontal de una plataforma vertical ilimitada

En el caso del estado pasivo (figura 9.1.4, inferior), al desplazar la plataforma hacia el trasds

(es decir, comprimiendo el terreno) las presiones horizontales (empujes) en el suelo aumentarn

como reaccin del terreno que se opone al movimiento. En este estado tambin se llega a un

valor lmite ,h p correspondiente al estado pasivo (de nuevo considerando las tensiones

verticales invariables). Aqu, las tensiones principales cambian de orden, siendo en los estado

pasivos la tensin principal mayor igual a la tensin horizontal, 1 ,h p , y la tensin principal


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6

menor igual a la tensin vertical, 3 v ). Desde el polo de tensiones se identifican tambin

ahora las direcciones de las superficies de rotura correspondientes (Ip - IIp), con ngulos

menores respecto a la horizontal, comparado con el caso del estado activo.

Estado activo:

0

Estado

activo

(Kav)

direccin de los

planos de rotura Ia

direccin de los

planos de rotura IIa

reposo

(z)

v= 1

h,a= 3

Estado pasivo:

0

v= 3Estado pasivo

(Kpv)

direccin de los

planos de rotura Ip

direccin de los

planos de rotura IIp

reposo h,p = 1

(z)

Figura 9.1.4Representacin en el plano (, ) de los estados tensionales activo y pasivo un punto del

suelo con superficie libre horizontal (= 0)


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7

Si se analiza genricamente la variacin de los coeficientes de empuje (variacin de tensiones

horizontales) en un punto en relacin con los movimientos laterales necesarios para su

desarrollo, se obtendra una grfica similar a la representada en la figura 9.1.5.

0 (hacia el trasds)

Desplazamiento, hacia el intrads)

Tensinhorizontal,h

h ,p

a


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8

Si se considera ahora un paramento con una altura H fijada (que es lo que sucede en casos

prcticos debido a la geometra real de las estructuras de contencin), el comportamiento en

rotura explicado en el apartado anterior viene condicionado por la misma, generando una

superficie de deslizamiento lmite compatible con el valor deH. En este contexto se procede acontinuacin a explicar el desarrollo terico bsico referente a dos teoras clsicas de obtencin

y cuantificacin de los empujes sobre estructuras de contencin. stas son, la teora de Coulomb

y la de Rankine.

Teora de Coulomb. Caso bsico

Coulomb observ que cuando los muros colapsaban (por empuje activo, esto es, por el empuje

de tierras provocado en el trasds con desplazamiento hacia el intrads) las tierras en el trasdspermanecan con una forma inclinada ms bien plana. En base a este hecho propuso un modelo

de estimacin de los empujes del terreno (empujes activos) planteando el equilibrio de la masa

de suelo desplazado en el caso ms desfavorable. Dicho modelo supone que los movimientos

del muro son suficientes como para que se forme en el terreno una cua de empuje que est

limitada por una superficie de deslizamiento plana (la curvatura real es despreciable en el caso

de los empujes activos).

El empuje activo,Ease puede obtener por equilibrio de fuerzas en la cua de rotura al conocer

completamente el vector peso (W) en magnitud y posicin, y la direccin de la reaccin en el

segmentoBC (al ser plano) y deEa. Sin embargo se desconoce todava cul es la cua de rotura

que se produce. Cuas de rotura pequeas (segmento BCmuy vertical, figura 9.1.6-derecha)

darn lugar a empujes bajos (poco peso de terreno) mientras que cuas de rotura grandes

(segmento BCmuy horizontal, figura 9.1.6-izquierda) darn lugar tambin a empujes bajos ya

que casi todo el peso lo absorber la reaccin en el segmento BC. En consecuencia, habr una

cua intermedia (figura 9.1.7) que produzca un empuje mximo y que es la que se deber

considerar. Por su parte, la direccin del empuje depende del movimiento relativo entre el

terreno y el trasds del muro durante el proceso de colapso (ascenso o descenso relativo de una

parte respecto a la otra, segn el caso). Y dado que en el caso de colapso la cua se mueve

(desliza sobre el segmentoBC) y que adems existe rozamiento en la superficie de rotura, Rno

puede ser ortogonal a la misma.

Aplicando el criterio de rotura de Mohr-Coulomb

( tannc ) y si se supone por el momento nula la cohesin (lo cual deja del lado de la

seguridad), R resulta tener una direccin que ha de formar un ngulo respecto al plano de

rotura.


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9

Esta cua puede obtenerse grficamente (antiguamente se haca as de manera habitual) o

analticamente, tal y como se sigue, considerando un paramento de altura mxima h:21

2a aE K h

que se puede determinar a partir de la ley de empujes:

2

0

1( ) ( )d

2

z h

a a a a a

z

e z K z E e z z K h

El coeficiente de empuje activo de Coulomb usado en estas expresiones es:

)(sin)(sin)(sin)+(sin+1)-(sinsin

)+(sin2

2

2

=

Ka

La expresin del coeficiente de empuje anterior tambin se puede utilizar con la forma

proyectada en direccin horizontal y vertical para determinar directamente las componentes del

empuje en dichas direcciones:

h sin( )

cos( )a a

av a

K K

K K

y h sin( )a aE E y cos( )av aE E son, respectivamente, las componenteshorizontal y vertical del empuje y z la profundidad desde la superficie. De las expresiones

anteriores puede observarse la dependencia de parmetros que tienen los empujes activos

calculados por Coulomb:

( , , , , , )a

E f h

W

REa

A

B

C

W

REa

A

B

C

Figura 9.1.6Casos de cuas de rotura posibles


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10

W

Ea

RW

R

Ea

A

B

C

Figura 9.1.7Cua de rotura en el posible caso ms desfavorable. Acciones sobre la cua en terreno sin

cohesin

La orientacin que define la direccin del empuje activo Ea depender del movimiento que

tenga el muro en el proceso de colapso. Dicha orientacin, definida segn (siendoel ngulo

de interaccin en el contacto tierras-muro), se opondr al posible movimiento estructural,

reduciendo o aumentando el momento de vuelco segn el caso.

El ngulo nunca va a ser mayor que el ngulo de rozamiento interno del terreno (). En

casos extremos, terrenos muy hmedos y superficies de paramento muy lisas, tender a

valores casi nulos ( = 0), mientras que en condiciones bien drenadas y superficies del

paramento muy rugosas resultar igual a (caso en el que la superficie de rotura en la

interaccin suelo-estructura se desarrolla separada del contacto). Sin embargo, en situaciones

especiales como por ejemplo el caso de que el terreno de apoyo del muro sea muy blando o en

presencia de empujes muy fuertes puede llegar a ser negativo, alcanzando valores de hasta -

con superficies rugosas.

As pues, la teora de Coulomb, para el clculo del empuje de tierras, se basa en la obtencin de

la cua de tierras que provoca el mximo empuje (caso activo siguiendo el procedimiento

descrito) o el mnimo empuje (caso pasivo, para el que hay que modificar apropiadamente el

estado tensional en la cua resistente) sobre la estructura de contencin. El procedimiento

consiste en definir la cua de rotura de empuje mximo o mnimo que es la que debe tenerse en

cuenta para dimensionar la estructura con un factor de seguridad. Como hiptesis bsica se

supone que el terreno en el momento de rotura lo hace sobre una superficie plana. Esta hiptesis

es suficientemente apropiada en el caso los empujes activos pero no lo es en el caso de los


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empujes pasivos. Por ello la teora de Coulomb para el clculo de estructuras de contencin, es

adecuada para determinar los empujes en el caso activo pero no lo es para determinar los

empujes pasivos ya que se observa que la rotura es curva, dejando, en conjunto con otros

factores como la mayor deformacin necesaria para alcanzarlos, del lado de la inseguridad encasos prcticos. Por otra parte es un mtodo muy verstil ya que se adapta a cualquier geometra

de la estructura realizando sucesivas cuas hasta encontrar la ptima.

Teora de Coulomb. Efecto de la cohesin

Si se supone la existencia de cohesin (c 0), sta contribuye a travs de la adherencia en el

trasds y el incremento de las tensiones tangenciales resistentes de la superficie de

deslizamientoBC(figura 9.1.8), todo lo cual reduce el valor deEa.

Debido a la cohesin puede ocurrir que aparezcan fisuras de traccin en la parte ms superior

del terreno del trasds debido a posibles tensiones negativas que en realidad no se desarrollan ya

que se separa el terreno. El mtodo de Coulomb permite analizar este problema (estimar, por

ejemplo, la profundidad de terreno afectada), pero es ms fcil plantearlo mediante el mtodo de

Rankine que se presenta en el siguiente subapartado.

W

Ea

R

ca

W

REa

A

B

C

Figura 9.1.8Cua de rotura. Acciones sobre la cua en terreno cohesivo

La cohesin es, pues, un factor de mejora del comportamiento del terreno, pero si finalmente no

se acaba desarrollando, o se desarrolla slo parcialmente, deja del lado de la inseguridad. Dado

que con frecuencia es difcil estimar su efecto de forma adecuada, en la prctica es habitual

despreciarla, quedando de esta manera del lado de la seguridad.


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Teora de Rankine

Pese a las limitaciones de aplicacin que se vern seguidamente, el mtodo de Rankine (1857)

es, desde un punto de vista matemtico, ms elaborado que el de Coulomb. Este mtodo obtienelos empujes del terreno partiendo de un estado de equilibrio en rotura en el que la estructura de

contencin no produce ninguna perturbacin (estados de Rankine estudiados en el tema 8).

En una masa de terreno en estado de Rankine todos sus puntos estn en situacin de rotura

(plastificados), es decir, tal y como se puede ver en la figura 9.1.9, en cada punto, el crculo de

Mohr correspondiente a su estado tensional es tangente a la lnea de resistencia.

v

Estado pasivo

h,p

h,a

Estado activo

c4 2

4 2

Figura 9.1.9Representacin de los estados activo y pasivo de Rankine en un punto de unterreno cohesivo, superficie libre horizontal y con tensin vertical z

En estas condiciones, con terreno homogneo en estado de Rankine, sin acciones exteriores y

con superficie libre horizontal (sin variacin de tensiones verticales en los puntos de cualquier

plano paralelo a la superficie), la tensin horizontal resulta:

2

3 tan 2 tan 24 2 4 2h a az c zK c K

(estado activo)


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21 tan 2 tan 24 2 4 2h p p

z c zK c K

(estado pasivo)

La expresin de los coeficientes de empuje activos y pasivos (Kay Kp) con trasds vertical sonlas siguientes (casos particulares de las expresiones vistas en el tema 8):

2 2

2 2

cos( ) cos ( ) cos ( )cos( )

cos( ) cos ( ) cos ( )aK

Que en el caso particular = 0 (superficie libre horizontal) coincide con las expresiones yavistas anteriormente:

2

2

1 sintan

1 sin 4 2

1 sintan

1 sin 4 2

a

p

K

K

El mtodo de Rankine, a diferencia del de Coulomb, impone el valor de (igualndolo a la

inclinacin del terreno en superficie , en el caso de trasds vertical) y permite obtener los

coeficientes de empujes. En el tema 8 se vio cmo obtener el estado tensional, mediante el

mtodo de Rankine, para cualquier inclinacin de la superficie del terreno en el trasds y para

cualquier inclinacin del paramento de la estructura, as como el clculo del ngulo en casos

arbitrarios.

En caso de considerar un suelo cohesivo, los empujes pueden resultar tericamente negativos

cerca de la superficie (Figura 9.1.10). En la realidad, el comportamiento de traccin consecuente

con estos empujes negativos tericos se traduce en una generacin de grietas en superficie, de

profundidad variable segn la magnitud de la cohesin y de otras consideraciones del contorno

(sobrecargas, etc.).

La ley de empujes que resulta (sin cargas exteriores) es la siguiente:

2( ) tan 2 tan 24 2 4 2a a a

e z z c zK c K

Y el empuje activo total resultante:

21 22a a a

E h K ch K


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En esta ltima expresin (empuje total) est tambin integrada la parte con empujes negativos,

lo cual no es correcto. Considerando nulas las sobrecargas, el terreno puede estar traccionado

con la consecuente aparicin de fisuras hasta una profundidadzcde valor:

2

2 tan2 2 24 2

tan4 2tan

4 2

a

c p

a

cc K c c

z KK

cz

ae z

h

Figura 9.1.10Aparicin de empujes negativos tericos (grietas) debidos a la cohesin

Estos empujes negativos, que significaran que el terreno tira del muro para estabilizarlo (son

favorables a la estabilidad), en realidad no se producen, sino que el terreno se separa del mismoy deben anularse.

As pues, la teora de Rankine, al igual que la de Coulomb, proporciona resultados bastante

realistas para los empujes activos. No obstante, al igual que le ocurre al mtodo de Coulomb,

este mtodo no estima de forma suficientemente correcta los empujes pasivos (las superficies de

deslizamiento no son realmente planas). As pues, el mtodo de Rankine, al igual que el de

Coulomb, podr emplearse para casos simples (con factores de seguridad apropiados) y para

determinar los empujes activos, donde el terreno tiene ms o menos una rotura plana, y por elcontrario no debe emplearse para determinar directamente el empuje pasivo, por las mismas

razones indicadas para el mtodo de Coulomb.

Empuje pasivo. Mtodo de la espiral logartmica

Para el clculo del empuje pasivo se ha propuesto otros mecanismos de rotura ms realistas,

como el de la espiral logartmica (Figura 9.1.11) que se explica someramente a continuacin y

puede considerarse una aplicacin del teorema de la cota inferior explicado en el tema 8. En este


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mecanismoAEes la superficie frente al muro (terreno superior en estado pasivo) afectada por

el posible mecanismo de rotura con terreno inclinado en el intrads; BC es una espiral

logartmica (zona OBCde plasticidad radial) que corresponde a una superficie de rotura; yACE

y AOBson cuas de rotura (ACsegn el estado de Rankine). Para obtener el empuje sobre elintrads del muro debe establecerse el equilibrio de pesos y fuerzas. Para ello puede

considerarse una seccin vertical por el punto Ce imponer equilibrio enABCD (Figura 9.1.12).

A

E

C

O

B

Estado

pasivo Estado de

plasticidad radial

Estado

pasivo

D

C B

A

O

Estado pa sivo

Estado

pa sivo

Estadoplasticida d

radial( )BCe

( )CDE

0rr

3W

2W

1W

Figura 9.1.12Mecanismo de rotura segn el mtodo de la espiral logartmica.

Fijando arbitrariamente O(que determina en consecuencia la posicin del punto Ca partir de la

expresin de la espiral logartmica), se va obteniendo el valor de los distintos parmetros (unos

ms inmediatos de definir que otros; as, por ejemplo, hay mtodos aproximados para ayudar en

la obtencin del peso en la zona en plasticidad radial W2) y se consigueEppor equilibrio (con el

ngulo de contacto que se haya adoptado, como en el caso activo), que puede suponerse

aplicado a de la altura sin no hay acciones exteriores. Se debe tantear varias posiciones de O

hasta obtener el menor valor, ya que se supone que el mecanismo de colapso se desarrollar de

forma que se minimice la resistencia opuesta por el terreno en el intrads (de forma anloga,

aunque contraria, a lo que ocurre con los empujes activos, que se producen a travs de la cua

que los hace mximos). Esta situacin, aparte, deja del lado de la seguridad. Para la aplicacin

de este mtodo pueden aplicarse programas de clculo especficos o bacos disponibles en la


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bibliografa. En el caso drenado la espiral logartmica se convierte en una circunferencia

(mtodo del crculo de rozamiento).

Existen otros procedimientos de clculo, con modelos diferentes, que tienen un tratamientoanlogo al ya visto para la espiral logartmica.

99..11..22AAcccciinnddeellaagguuaa

El agua, y concretamente las presiones intersticiales que genera, tiene una gran importancia en

el estado tensional producido en el terreno y, en particular, en superficies definidas en el mismo,

por lo que es tambin esencial en la estabilidad de las estructuras de contencin.

N.F.

+

ahK hz

'( )a ahK z h K

( )w h

H

,

agua:

0

1

w

a wK

(90 -)

Figura 9.1.13Existencia de agua en el trasds.

Para considerar el efecto del agua en una determinada superficie del terreno se debe tener en

cuenta, por una parte, el estado tensional en trminos de tensiones efectivas y por otra la accindirecta del agua. Si se supone la existencia de una cierta altura de agua en el trasds del muro

(Figura 9.1.13), para considerarla se suman los empujes del agua a los del terreno teniendo en

cuenta el peso especfico sumergido del suelo bajo el NF ( ' w ). El empuje debido al

agua siempre acta ortogonal al trasds ( 0 ) y con coeficiente de empuje unidad ( 1waK ),

lo cual es desfavorable a la estabilidad. En conjunto, la accin directa del agua y la reduccin de

empujes de tierras (acciones efectivas) inducen unos empujes mayores que en el caso de terreno

seco.


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En un caso general habra que estimar la red de flujo (por ejemplo con lluvia) y la ley general

de presiones de agua en el trasds, y a partir de ella y del estado tensional obtener los empujes

efectivos de las tierras (Ka, ) y los del agua (Ka = 1, = 0) en el trasds.

99..11..33SSoobbrreeeemmppuujjeessppoorrccaarrggaasseexxtteerriioorreess..OOttrroossccaassooss

Caso de cargas uniformemente repartidas

Si existen sobrecargas uniformemente distribuidas (Figura 9.1.14) se puede aplicar sin

problemas la teora de Rankine y, con una ligera variacin, la teora de Coulomb, segn se

indica a continuacin.

W

q

Figura 9.1.14Sobrecarga uniformemente repartida en la superficie del trasds.

Puede considerarse que las sobrecargas afectan generando un incremento ficticio del peso Wde

la cua de rotura (ver la figura 9.1.15):

1rea cuasin( ) 2 sin( )

1 21

2 sin( )

l lW q ABl q

W ABl qAB

donde2

1sin( )

qAB

es un factor constante que no depende de la cua escogida.

Luego se puede entender el problema como si la sobrecarga tuviera un efecto sobre el peso

especfico del terreno, transformndolo:


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18

1 21

2 sin( )

*

W ABl qAB

Considerando el plano de deslizamiento invariable y teniendo en cuenta la relacin

sin

hAB

, resulta

2 sin* 1

sin( )

q

h

, y se tiene:

2 2 21 1 2 sin 1 sin* 12 2 sin( ) 2 sin( )

a a a a a

qE z K z K z K qz K

z

es decir:

21 sin

2 sin( )a a aE h K qh K

Con la ley de empujes siguiente:

sin( )

sin( )a a a

e z zK qK

q

A

B

Figura 9.1.15Cua de rotura con sobrecarga uniformemente repartida.

Se puede pues, aplicar el mtodo grfico con * o el mtodo analtico con las expresiones

indicadas. Los empujes evolucionarn con la profundidad segn la ley de empujes deducida

(Figura 9.1.16). La utilizacin del peso especfico ficticio permite estimar el empuje total

producido (con una ley triangular de empujes que es irreal) pero no su distribucin, que es

trapezoidal. El empuje resultante pasar por el centro de gravedad del trapecio; calculndolo

queda:


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19

2 sin2 3sin( )

sin3 6

sin( )

h qh

zcdg

h q

Aunque resulta ms cmodo trabajar con ambas componentes, cada una de ellas aplicada en un

punto de aplicacin diferente.

q

h

2h3h

aE q

aE

(90 -)

Figura 9.1.16Ley de empujes para el caso de sobrecargas uniformemente repartidas.

Es frecuente el uso del concepto sobrecarga reducida de tierras para definir las sobrecargas a

travs de una altura representativa del mismo terreno del trasds, esto es, encontrando la altura

de tierras h0, con , que produce la sobrecarga q, luego: h0= q/ . De este modo, si se aplica una

sobrecarga uniforme de valorq (por ejemplo, en un terreno sin cohesin), se puede sustituir la

altura hpor h+ h0, siendo h0la altura de tierras que producira la sobrecarga q, entendida como

una sobrecarga reducida de tierras (figura 9.1.17), o utilizarse directamente el valor de q:

2'

( ) tan4 2a a

e z q z q z K

En el caso de terreno cohesivo (figura 9.1.10 anterior), la ley de empujes de desplaza hacia la

derecha, y los valores negativos deben anularse una vez se ha tenido en cuenta los sobreempujes

debidos a las sobrecargas en superficie del trasds, resultando:

( ) 2a a ae z q z K c K

Empuje activo total:


20/50


20

21 22a a a a

E h K qhK ch K

Donde la profundidad de las posibles grietas de traccin, resulta:

1 2c pz c K q

ae zh

q

0 ah K

0 ah h K

0( )h q

Figura 9.1.17Sobrecarga reducida de tierras.

Carga arbitraria

Si la carga aplicada en la superficie del terreno no es uniforme (carga variable, carga puntual,

etc.; figura 9.1.18), la ley de empujes no resulta lineal. A pesar de ello, el mtodo de Coulomb,

que es de una potencia significativa, puede aplicarse para estimar los empujes producidos

dividiendo el trasds en subtramos (ms exactitud a mayor nmero de divisiones) y obteniendo

de este modo las cuas de rotura de los submuros definidos (figura 9.1.19) y los diferentes

centros de gravedad de las distintas distribuciones de empuje resultantes.

Este procedimiento es largo de realizar y por ello resulta ms sencillo en la prctica utilizar

distribuciones semiempricas para estimar los sobreempujes producidos por cargas exteriores

arbitrarias. Mediante el mismo es tambin posible aproximar con la teora de Coulomb los

empujes en otras situaciones complejas como por ejemplo sobre superficies no planas.


21/50


21

Plano de

rotura

Qiq

jq

Figura 9.1.18Cargas variables en la superficie del trasds.

1aE 2*

a2 2* 1a a aE E E

1aE2a

3a

4a

Figura 9.1.19Esquema del mtodo para el clculo de empujes en el caso de carga arbitraria.

99..22CCaappaacciiddaaddppoorrttaanntteeddeelltteerrrreennoo

En esta seccin se analiza la capacidad portante de un suelo sometido a cargas repartidas.

99..22..11PPllaanntteeaammiieennttooggeenneerraall..MMeeccaanniissmmooddeerroottuurraagglloobbaall

La rotura del terreno debido a la aplicacin de cargas en superficie (por ejemplo, el hundimiento

de una cimentacin) puede definirse como la movilizacin de la mxima resistencia al esfuerzo

cortante en el suelo a lo largo de una superficie de deslizamiento acompaada con


22/50


22

deformaciones verticales (asientos) elevadas y generalmente acompaadas con giros o incluso

vuelcos de la estructura sustentada.

El mecanismo de rotura que puede desarrollarse depende del tipo de suelo y muy

particularmente de sus caractersticas resistentes y de su compresibilidad.

Si el suelo es poco compresible, el mecanismo de rotura se desarrolla sin apenas cambio de

volumen, y las deformaciones verticales de la cimentacin solamente se producen si se moviliza

una masa de terreno a lo largo de una superficie de deslizamiento. Este mecanismo de rotura es

el ms general en cimentaciones superficiales y es el que se va a analizar en detalle en este

apartado.

Las caractersticas de este mecanismo, son:

Superficies de deslizamiento bien definidas que afloran en la superficie del terreno

Levantamientos del terreno en ambos lados. Aunque la teora indica una rotura simtrica,

pequeas irregularidades hacen que sea asimtrica con giros ms o menos importantes.

La rotura puede ser repentina y catastrfica y se identifican en el terreno, de modo ms o

menos claro, por ejemplo, las zonas que se muestran en la figura 9.2.1.

p

Estado pasivoEstado pasivo

Estado activo

Zonas de plasticidad radial

Figura 9.2.1Mecanismo de rotura general

99..22..22EExxpprreessiinnddeePPrraannddttllppaarraaeellccaassooddeetteerrrreennoossiinnppeessoo

El modelo del comportamiento en rotura del terreno de Prandtl (1920) bas sus hiptesis en una

zapata corrida, lisa, apoyada en un terreno en el cual no consider su peso y que nicamente

dispona de friccin o de cohesin, pero no ambas propiedades simultneamente.

Posteriormente, la deduccin de Caquot (1948) del teorema de los estados correspondientes,

permiti superponer ambas soluciones (friccin y cohesin) y obtener as la expresin conjunta


23/50


23

de la presin de hundimiento de una zapata corrida lisa, apoyada sobre un terreno sin peso con

friccin y cohesin.

La expresin resultante de la presin de hundimiento de Prandtl tiene la estructura siguiente,

que es general para cualquier modelo esttico planteado con terreno sin peso:

Tal y como puede verse en la figura 9.2.6 existe una zona activa, una zona pasiva y entre medio

una zona de transicin de plasticidad radial. Se muestran las distintas zonas del mecanismo y el

ngulo que forman en funcin de .

Estado

activo

Zona de plasticidad

radial

B

D

F

A C G

E 1 4 2

1

22

0r

2

2 4 2

Estado pasivo

2

1

0exp tanr r

2

q

r

Figura 9.2.6Mecanismo de rotura (modelo de Prandtl). (Los ngulos y dimensiones de la figura no se

corresponden con la realidad).

A partir de las dimensiones de la zona cargada y del ngulo de rozamiento interno del terreno,

se puede definir la zona de afectacin por el mecanismo.

Para encontrar el punto ms bajo se debera hacer la derivada de la funcin matemtica, que es

una espiral logartmica, y que describe la curva que va de DaE(zona de plasticidad radial). No

obstante se puede considerar que el punto ms bajo es aproximadamente el punto F que

coincide con la vertical del puntoA(extremo derecho de la zapata), cuya profundidad se calcula

a continuacin partiendo de la figura 9.2.7.


24/50


24

En donde:

/ 2

cos 4 2

AB B

AD AD

y despejando AD, se obtiene:

0

1

2cos

4 2

BAD r

Figura 9.2.7Esquema de la media cua activa y relaciones trigonomtricas de la misma

Ya vista en el tema 8, la expresin matemtica de la espiral logartmica en la zona de plasticidad

radial (Figura 9.2.8) es: tan0r r e . A partir de esta expresin, se puede estimar la profundidad

mxima del mecanismo de rotura en la zona de plasticidad radial, segn:

tan0AF r r e

Sabiendo que el ngulo que existe entre AD y AF es:

2 4 2 4 2

, se puede,

entonces, calcular la distancia AF, que es una aproximacin a la profundidad de rotura,

resultando:

tan tan4 2 4 2

0

1

2cos

4 2

BAF r r e e

Esta expresin, que debe ser operada mediante radianes, es muy til porque permite predecir de

forma aproximada, si un estrato que est a cierta profundidad, afectar o no al mecanismo de

rotura.


25/50


25

0r

22

2

Figura 9.2.8Espiral logartmica.

El ngulo entreADyAEes /2 tal y como puede verse en la figura 9.2.6, de modo que:

tan tan2 2

0

1

2cos

4 2

BAE r r e e

tan tan2 2

cos4 2

tan2 2 4 2

cos4 2

B BAC e e

A partir deACse puede determinar el alcance en superficie, es decir la distancia BGque es la

extensin de rotura (sabiendo queBG = (B/2)+ 2AC):

tan21 2 tan

2 4 2

BBG e

A medida que aumenta el ngulo de rozamiento interno mejora la calidad del terreno. Esto

afecta al mecanismo de rotura en que lo hace ms profundo y ms extenso con lo que aumentala presin de hundimiento de ese terreno ya que se tiene que movilizar ms superficie para

producirse la rotura y generar el mecanismo.

Si el ngulo de rozamiento es menor, el terreno es de peor calidad, el mecanismo de rotura

abarca menos zona y por tanto la presin de hundimiento es ms baja debido a que se moviliza

menos superficie.

r


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26

El mecanismo de rotura de Prandtl se acerca a lo comprobado experimentalmente. Falta

conocer el valor de la hp : presin de hundimiento tal que genera el estado tensional que est en

equilibrio en condiciones de rotura. Para ello se hace el anlisis que se desarrolla a continuacin

(figura 9.2.10),

A

D

E

CB

BAvp

ACvq

2tan 4 2 2 tan 4 2ap p c

2tan 4 2 2 tan 4 2pq q c

a

pq

Figura 9.2.10Equilibrio de tensiones (terreno sin peso).

En el interior del dominio no hay fuerzas por unidad de masa porque se supone terreno sin peso

(= 0), luego:

BD

V z p p

CE

V z q q

En la superficie real de rotura DE, en el momento que se alcanza la rotura se debe cumplir

estrictamente el criterio de Mohr-Coulomb, tannc (figura 9.2.11):

tan( )

tan( )c

c

Figura 9.2.11Resistencia al corte segn el criterio de rotura de Mohr-Coulomb.


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27

Haciendo equilibrio de momentos en el puntoAobtenemos:

2 22 2 2 2h a a p p c

AB BD AC CEp AB pK c K BD q AC qK c K CE M

donde:

Kaes el coeficiente de empuje activo de Rankine:2tan

4 2aK

Kpes el coeficiente de empuje pasivo de Rankine:2tan

4 2pK

Mces el momento producido por la cohesin y se calcula segn se indica a continuacin.

Teniendo en cuenta que acta entreDyE y el ngulo es /2

2

/2tan 2

0

0

dd cos d

cos

( ) d

c

c

rrc r c

M r e c

De este modo se puede despejarph(presin de hundimiento), resultando:

tan 2 tan 2tan tan 1 cot4 2 4 2h

p qe c e

Definiendo los factores siguientes:

tan 2tan4 2q

N e

tan 2tan 1 cot ( 1)cot4 2c q

N e N

Resulta, finalmente, la expresin de la presin de hundimiento:

h q cp qN cN

Donde:

q es la sobrecarga equivalente al peso del terreno que hay por encima de la base de la

sobrecarga correspondiente a las acciones exteriores.

c es la cohesin del terreno.

Y donde los factoresNqyNcrefieren a:

Nq: factor de capacidad de carga debido a la friccin y que slo depende del ngulo de

rozamiento interno. Debe tenerse en cuenta que Nc se cumple siempre, sea cual sea la

hiptesis que se plantee ya que proviene del teorema de los estados correspondientes.


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28

Nc: factor de capacidad de carga debido a la cohesin y que slo es funcin de Nq (se

demuestra con el teorema de los estados correspondientes)

En condiciones no drenadas (se toma el lmite cuando 0) ambos factores adoptan losvalores 1qN y 2cN como se demostrar posteriormente.

El planteamiento utilizado en esta seccin es una aplicacin del teorema de la cota inferior ya

que se ha definido un mecanismo en equilibrio en el que en ningn punto se supera a la tensin

de rotura. Como tambin se trata de un mecanismo cinemticamente admisible (superficies de

deslizamiento rectas o espirales logartmicas, al ser un planteamiento drenado), podra

imponerse un desplazamiento del mismo, aplicar el principio de los trabajos virtuales y deducir

una presin correspondiente, en este caso, al teorema de la cota superior.

99..22..33TTeerrrreennooccoonnppeessoo..OOttrroossccaassooss

En el caso de tener en cuenta el peso del terreno con el mecanismo de Prandtl, el esquema de

equilibrio es el que se presenta en la figura 9.2.12. Si se realiza el equilibrio de momentos, la

expresin resultante es la de Prandtl ms un tercer trmino debido a la contribucin del peso del

terreno:

1

2q cp qN cN B N

Donde:

Bes la anchura de la zona cargada.

es el peso especfico del terreno.

Y tambin:

N: factor de capacidad de carga debido al peso del terreno.

La expresin del factor N fue dada por Buissman para el mecanismo de Prandtl pero en la

actualidad no se usa debido a su complejidad y porque deja del lado de la inseguridad.


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29

A

D

E

CB

p

q

2( ) tan 4 2 2 tan 4 2p p z c

2( ) tan 4 2 2 tan 4 2a q z c

1W

2W

3W

p

a

Figura 9.2.12Equilibrio de tensiones (terreno con peso).

Para calcularNse usa habitualmente un mecanismo debido a Terzaghi en el que tiene en cuenta

el peso y la friccin entre zapata y terreno (zona elstica bajo la zapata; Figura 9.2.13). Debido

al rozamiento bajo la zapata, se generan unas tensiones que se oponen a la rotura.

Zona

elstica

Figura 9.2.13Modelo de Terzaghi.

El modelo de Terzaghi tiene la misma expresin general que el modelo de Prandtl

1

2h q cp qN cN B N

, pero en este caso, los coeficientes Nqy Nc tienen expresiones

diferentes al adoptar hiptesis diferentes a las adoptadas por Prandtl, mientras que el factor del

trmino de peso es 2( 1) tanqN N .

Sea cual sea el modelo a plantear (hay varios en funcin de las hiptesis planteadas por

diferentes autores), la estructura de la expresin para calcular la presin de hundimientoph(con

sus tres trminos Nq, Ncy N) siempre es la misma. Adems, a partir de Nqse puede siempre

determinarNc a travs del teorema de los estados correspondientes ( ( 1)cotc qN N ).


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30

De nuevo, todos estos planteamientos en los que la presin de hundimiento se deduce a partir de

un mecanismo en equilibrio en el que no se supera en ningn punto el criterio de rotura,

corresponden a aplicaciones del teorema de la cota inferior.

En la prctica se utiliza una expresin combinada propuesta por Brinch-Hansen en la que Nqy

Nc tienen la misma expresin que en el modelo de Prandtl (Nc procede del teorema de los

estados correspondientes)yNen cambio se toma del modelo de Terzaghi.

Caso no drenado

Esta expresin puede obtenerse deducindola directamente como se hace a continuacin a travsdel mecanismo de Prandtl. Se considera el caso general de una zapata corrida apoyada en

superficie con carga vertical (Figura 9.2.14).

M

p

q

Zona de plasticidad radial

44

2

2h uq c 2h up c

P Q

T

4B

2B

4B

(abnico de transicin)

Figura 9.2.14Tensiones en condiciones no drenadas (la superficie de rotura en la zona radial en el casono drenado es circular).

Se observa la rotura del suelo en condiciones no drenadas en el caso de que se alcance su

mxima resistencia de corte debido a un aumento de la tensin vertical manteniendo la

horizontal constante y como lo hace si se aumenta la tensin horizontal manteniendo la vertical

constante.


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31

P

uc

h v p 0v

4

P

uc

4

v p h0h

Estado activo de rankine Estado pasivo de rankine

Figura 9.2.15Rotura del terreno en estados activo y pasivo de Rankine.

La curva que describe la zona de transicin es un crculo, que es la que resulta al considerar la

expresin de la espiral logartmica con 0 , siendo la trayectoria de menor energa.

tan0 constante crculor r e r

En esta lnea, la mxima tensin de corte que se puede desarrollar es cu. Si se integra las

tensiones de corte a lo largo de la superficie, se obtiene el valor de la fuerza T:

d d 22 2 2u u u

BT l c l c r c

siendo 2 2

Br

Fcilmente se puede determinar el valor dePy de Qque aparecen en la figura 9.2.14:

22h u

BP p c

22u

BQ q c

Justo antes del colapso el mecanismo tiene que estar en equilibrio. Si se hace equilibrio de

momentos en el puntoM:

2 4 4 4 2 4hB B B B B B

p P Tr Q q

( 2 ) 2 2 ( 2 )2 4 2 4 4 2 2 4 2 4h h u u u

B B B B B B B B B Bp p c c q c q

2 2 2 2 2 2 2

2 2 28 8 8 8 8 8 8h h u u u

B B B B B B Bp p c c q c q

2 2 2 2 2h u u u u u u

p c c q c c c q c

obtenindose, finalmente:


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32

(2 )h u

p q c

Si se comprueba este resultado, que es una cota inferior, con el obtenido mediante el teorema de

la cota superior visto en el tema 8, se observa que el resultado coincide y por tanto se puedeafirmar que la presin de hundimiento es la solucin exacta con las hiptesis inherentes al

procedimiento (plasticidad perfecta y asociada, criterio de rotura de Mohr-Coulomb, etc.) ya

que la presin de colapso es la misma.

Si el terreno tuviera peso, la expresin sera la misma ya que la componente del peso est a

ambos lados, es decir, tanto en la zona pasiva como en la activa, con lo que quedara anulada.

Este resultado para la presin de hundimiento puede deducirse tambin, como se ha indicado

anteriormente, por simple aplicacin de la expresin de Prandtl y Terzaghi con c = cuy = 0.

99..33EEssttaabbiilliiddaaddddeettaalluuddeesseennssuueellooss

En esta seccin se estudia la estabilidad de taludes en suelos.

99..33..11IInnttrroodduucccciinn..PPllaanntteeaammiieennttooddeellpprroobblleemmaa

Los movimientos de ladera o talud naturales constituyen uno de los principales mecanismos de

erosin y transporte en reas de montaa y al mismo tiempo, uno de los riesgos geolgicos de

mayor impacto por la cantidad de material movilizado. Los movimientos de una ladera se

pueden clasificar en: desprendimientos, vuelcos, deslizamientos, expansin lateral y flujos. En

cualquier caso puede distinguirse entre taludes naturales (por ejemplo laderas de montaas) y

artificiales (permetros de terraplenes, desmontes o excavaciones sin elementos estructurales de

contencin, paramentos de presas de tierras, etc.); o entre taludes en roca, muy condicionados

por su estructura, y taludes en suelos.


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33

Figura 9.3.1Esquema general de una ladera inestable

Muchos de los movimientos de ladera que se observan, y en particular los ms voluminosos,

habitualmente no pueden ser explicados mediante un nico mecanismo de rotura. Cuando se

movilizan cientos de miles o millones de metros cbicos de terreno el comportamiento no suele

ser homogneo y finalmente lo que se observa es una combinacin de varios mecanismos de

rotura como, por ejemplo, vuelco + desprendimientos. As pues, en la estabilidad de una ladera

o talud intervienen simultneamente diversos factores, por lo que es difcil plantear que slo uno

de ellos sea la causa del movimiento. No obstante, cuando se analiza la rotura puede, en

ocasiones, concluirse que ha sido la modificacin de un determinado parmetro concreto la que

ha provocado el inicio de la inestabilidad (por ejemplo, en un deslizamiento particular, por el

aumento de la presin de agua debido a lluvias intensas das antes). En algunos casos,

parmetros que tienen notables influencias en la estabilidad (como por ejemplo, la altura del

talud) pueden ser secundarios. Si algn parmetro suele tener una importancia decisiva, ste es

la litologa, ya que cada material presenta unas caractersticas resistentes especficas y, adems,

un estado de fracturacin, permeabilidad, facilidad de meteorizacin particulares que

condicionan fuertemente la estabilidad.

Es importante tener en cuenta qu factores y situaciones favorecen a la estabilidad y cules son

desfavorables a la estabilidad. A modo de ejemplo, las cargas en coronacin del talud sern, por

lo general, siempre desestabilizadoras, mientras que las cargas en el pie del talud sern

estabilizadoras. Las presiones de agua, como ya se ha comentado, favorecen la inestabilidad,

con lo que ser importante tenerlas en cuenta. Tambin influyen, como es lgico, las


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34

caractersticas geomtricas, de forma que los taludes ms altos y verticales sern ms

inestables que los ms bajos y horizontales, a igualdad de otros factores.

El objetivo final es determinar cundo un talud es o no estable y con qu factor de seguridad loes. Para ello se deben analizar todos los mecanismos (superficies) de rotura posibles y obtener,

para cada uno de ellos, cul es su factor de seguridad. Como es lgico, el talud tendr un nico

factor de seguridad y ste ser el mnimo de todos los calculados para cada una de los

mecanismos de inestabilidad y rotura previstos.

Estabilidad de los suelos

A diferencia de otros materiales, los suelos pueden llegar a ser extremadamente heterogneos,con casos que incluyen granulometra, textura y consistencia muy diversas en un mismo

volumen de anlisis. Los hay que son originarios de fenmenos de transporte y deposicin muy

selectivos (por ejemplo arenas y limos elicos) resultando materiales bastante homogneos; y

otros consistentes en una mezcla de partculas de diversa granulometra (por ejemplo, los

depsitos coluviales). El mecanismo de rotura y la evolucin de la masa movilizada se vern

condicionados por este tipo de caractersticas.

Los suelos cohesivos suelen corresponder a depsitos bastante homogneos que cuando sepresentan en grosores potentes pueden dar lugar a deslizamientos rotacionales. Los

deslizamientos rotacionales se caracterizan por presentar una superficie de rotura curva. Se

produce un giro de la masa de terreno inestable alrededor de un eje imaginario. Por simplicidad

se supone una superficie de rotura circular, aunque sta puede ser elptica o de formas diversas.

Si por el contrario los grosores son pequeos, la rotacin puede quedar inhibida y en este caso

se produce una rotura de tipo plana. Las circunstancias que provocan esta rotura plana suelen

ser, entre otras, la presencia de litologas ms resistentes por debajo del material cohesivo o la

existencia de una superficie de separacin entre el suelo compacto y la parte superior

meteorizada.

En los suelos no cohesivos existe, en su composicin, una transicin hacia los suelos cohesivos.

De este modo, no es difcil encontrar depsitos con contenido de fraccin fina (matriz arcillosa

o limosa) superiores al 10% o 20% en peso, lo que puede proporcionar una cierta cohesin y

adherencia en el conjunto. En este tipo de suelos es corriente la aparicin de fenmenos de

inestabilidad superficial y la cada por desprendimiento de bloques. La estabilidad del conjunto

del depsito depender en gran medida del grado de clasificacin de las partculas y de su


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35

empaquetamiento natural, si bien cuando no existe cementacin entre partculas, los taludes

tienden a desmoronarse.

Estabilidad de los macizos rocosos

Las rocas presentan en general una elevada cohesin y resistencia, por lo que su

comportamiento en lo que se refiere a taludes es distinto a los suelos. En las rocas existen

numerosas debilidades estructurales internas como: juntas, planos de estratificacin, diaclasas,

fallas, planos de esquistosidad, etc., que reducen la resistencia del conjunto. Cuando estas

discontinuidades no existen o no estn presentes con una disposicin desfavorable, puede darse

taludes verticales de gran altura sin problemas de estabilidad y tambin formas en voladizo de

magnitud importante. En granitos, calizas, conglomerados, areniscas, gneis y cuarcitas (entreotras) se desarrollan paredes fuertemente empinadas nicamente controladas por dichas

discontinuidades.

En los apartados posteriores nicamente se va a analizar la estabilidad de los taludes en suelos y

no se va a considerar la estabilidad de taludes en roca. Se va a comenzar por dos casos simples

(talud indefinido y corte vertical) que permiten plantear el procedimiento bsico de clculo de la

estabilidad de un talud y con los que se pueden obtener resultados analticos especficos, y

despus se va a pasar a los mtodos generales de equilibrio lmite, que son los utilizadoshabitualmente en casos de cierta complejidad.

99..33..22CCaassooddeettaalluuddiinnddeeffiinniiddoo

En deslizamientos translacionales, cuya superficie de deslizamiento sea sensiblemente paralela a

la superficie y la profundidad de deslizamiento sea pequea comparada con la longitud, pueden

analizarse las condiciones de estabilidad en la hiptesis de talud indefinido que se indica en la

figura 9.3.2

Interesa conocer las condiciones de estabilidad en un plano comoPPsituado a una profundidad

d. Se alcanzar una situacin inestable cuando la tensin de corte , existente en este plano sea

igual o superior a la resistencia al corte disponible. De acuerdo con la expresin de Mohr-

Coulomb, en tensiones efectivas, es necesario conocer la tensin norma y la presin de agua

upara obtener la tensin de rotura f, en el mismo plano.


36/50


36

A

Wd E

'B

C

D

n

l

cos( )b l

w

u

P

P

, , nc

l

nlW

Figura 9.3.2Esquema para el anlisis de la estabilidad de un talud indefinido, deslizamiento plano

Teniendo en cuenta que el talud considerado es infinito, todos los planos verticales son

equivalentes entre s. Las fuerzas E y E ejercidas a ambos lados de dos secciones verticales

prximas sern iguales y de sentido contrario. Esto permite resolver el estado de tensiones en la

base de un elemento (con puntos A, B, C y D del contorno) proyectando el peso del elemento W

sobre la superficie de rotura.

2

sin sin sin cos

cos coscosn

W bd dl l

W bdd

l l

Esto permite obtener el factor de seguridad que se define de la siguiente manera:

Resistencia al corte del suelo

Tensin de corte actuanteF

2' cos tan '' tan 'sin cos

f c d uc uF

d

Esta expresin puede particularizarse a determinados casos.

Talud en terreno granular seco

Al estar el terreno seco no se consideran presiones intersticiales y por ser granular la cohesin es

nula. En este caso la expresin del factor de seguridad queda reducida a:


37/50


37

tan

tanF

El mximo ngulo del talud permitido es y corresponde a un factor de seguridad 1.

Flujo de agua paralelo a la superficie

En la figura 9.3.3 se muestra el esquema con las variables necesarias para analizar este caso.

A

d

B

N.F.

P P

, , nc

C z

Figura 9.3.3Flujo paralelo a la superficie en talud indefinido

Con objeto de conocer la presin de agua, sta se determina en un punto genrico B de lasuperficie de rotura. La equipotencial que pasa por Bcorta la superficie del talud en el puntoA.

De este modo, la altura piezomtrica en el punto Aes la mismao que en el punto B. Tomando

como referencia el planoPPcomo origen para el clculo de la altura piezomtrica, se obtiene:

2

2

0 0 0cos

cos

BA

w B w

uz AC

u d

AC d

El factor de seguridad ser en este caso:

2' cos tan 'sin cos

wc d

Fd

Si el terreno es granular (c=0):

tan 'tanwF


38/50


38

Teniendo en cuenta valores habituales para el peso especfico, la expresin resulta

aproximadamente como:

1 tan '

2 tan

F

Es decir cuando hay flujo paralelo a la superficie, el factor de seguridad en terrenos granulares

se reduce aproximadamente a la mitad en roturas planas.

Talud sumergido

El esquema para plantear este caso se muestra en la figura 9.3.4.

AWd

'EB

C

D

n

l

N.F.

, , nc

wH

w ww wH u

w wH u

1w

2w

1sin( )

2 wu

Figura 9.3.4Talud indefinido sumergido

Sobre los planos verticales acy bdactan las presiones de agua y los empujes efectivos Ey E

que se han supuesto iguales y de sentido contrario (mismo estado de tensiones efectivas). Los

empujes horizontales de aguaEw1yEw2 tienen una resultante dada por la siguiente expresin:

1 2

2 2sin

w w

w w w w w w w w w w w w w w

w

E E

H p H p d H p H p dd d

d

Resolviendo el conjunto de esfuerzos sobre el plano de corte y la direccin perpendicular,

obtenemos las siguientes expresiones para y :


39/50


39

2 2

sin cos sin cos ( ) sin cos

cos 1 sinw w

N w w w

d d d

d H d

En este caso el factor de seguridad queda:

2 2

2

' cos sin tan '

sin cos

' cos tan ' ' tan '

sin cos sin cos tan

w w w w w

w

w

w w

c d H d H d F

d

c d c

d d

Por consiguiente, en ausencia de cohesin, el hecho de sumergir un talud no altera su

coeficiente de seguridad en caso de rotura plana paralela a la superficie.

Si hay cohesin la seguridad es mayor que en el caso de terreno seco pues la tensin de corte

en la base de la columna de suelo es menor.

99..33..33CCaassooddeeccoorrtteevveerrttiiccaall

El caso de corte de talud vertical se analiza a continuacin por separado cuando se tiene un

suelo puramente cohesivo, que se estudia en condiciones no drenadas, y en un caso general encondiciones drenadas.

Condiciones no drenadas

Condiciones no drenadas responde a un suelo cohesivo en el que la estabilidad de un corte

vertical del terreno se analiza a corto plazo. En terrenos de permeabilidad reducida (K10-6 m/s)

la estabilidad a corto plazo (horas o das) siguientes a la excavacin puede analizarse por el

siguiente procedimiento. Se trata de estudiar el equilibrio de las cuas de terreno con superficiede rotura plana que pasan por el pie del talud tal y como se observa en la figura 9.3.5.

El factor de seguridad se define como cociente entre el mximo esfuerzo de corte = cuque

puede ser movilizado a lo largo del plano de rotura AB y el esfuerzo de corte existente Sen el

mismo plano debido a las cargas actuantes, en este caso el peso del terreno situado por encima

del plano AB.


40/50


40

2

sin1 1

sin cot sin cos2 2

2 2 2sin cos sin cos sin cos

donde es un factor adimensional

u u

u uc

uc

Lc HcF

S S

S W H H H

c cF N

H H

cN

H

/sinL H

A

B

uc

W

N

S

Figura 9.3.5Estabilidad de un corte vertical en condiciones no drenadas

De todos los planos de rotura posibles caracterizados por el ngulo el que se busca es el que

tenga un factor de seguridad mnimo. Para ello se hace la derivada y se iguala a cero para

determinar qu ngulo es el apropiado:

d0 45

d

42sin45cos45

u u

F

c cF

H H

A partir de la expresin anterior se puede encontrar la altura mxima o crtica que se puede

alcanzar en un terreno cohesivo en condiciones no drenadas a corto plazo. Para ello basta con

imponer un factor de seguridad igual a 1 y obtener la altura mximaHmax:

max

4 41u u

c cF H

H


41/50


41

A modo de ejemplo, para un terreno cohesivo de consistencia media con una cu = 50 kN/m2y

un peso especfico de = 20 kN/m3, la altura que se puede alcanzar es de 10 metros

aproximadamente.

Puede observarse que en el caso del talud indefinido el factor de seguridad se ha definido como

cociente de tensiones mientras que en este caso se ha definido como cociente de fuerzas. Se

puede hacer mediantes tensiones si, debido a que actan en la misma superficie, el resultado

equivale al equilibrio de fuerzas.

Por otro lado, con el procedimiento aplicado se han comprobado todas las superficies planas que

pasan por el pie del talud, pero la ms crtica podra ser otra (plana pasando por otro punto o

curva). En este caso, sin embargo, en lnea con lo observado por Coulomb para el colapso demuros (con trasds sensiblemente vertical), las superficies de deslizamiento planas adoptadas

dan lugar a una aproximacin adecuada al problema.

Condiciones drenadas

A continuacin se muestra el anlisis en condiciones drenadas de un suelo que presenta una

cierta cohesin cy un ngulo de rozamiento interno . Estas condiciones son propias cuando

se analiza la estabilidad a largo plazo. En la figura 9.3.6 se muestra el esquema para el anlisis

de estabilidad.

La geometra del problema es en todo similar a la del caso no drenado, y la nica diferencia

estriba en que la resistencia al corte movilizable a lo largo de AB tiene la componente de

cohesin y la de friccin, de tal modo que el coeficiente de seguridad frente a rotura a lo largo

de un plano inclinado se define como:

2

( ' ' tan ')

1 cos2

rotL L c

F SH

El trminoLes, por equilibrio, la componente normal,N, del peso Wsobre el plano AB:

2 21' ' cos cos / sin2L N W H Substituyendo los trminos y simplificando se obtiene:

2 ' tan '

sin cos tan

cF

H


42/50


42

Para encontrar el plano crtico, se deriva la expresin respecto a :

2 2

2 2 2

d 2 (cos sin ) tan ' '0; donde

d sin cos

tan 'tan 12

cc

c

F N cN

sen H

N

El factor de seguridad obtenido es por tanto:

'2 2 (2 tan ') donde

c c c

cF N N N

H

La altura crtica de un talud, es decir imponiendoF=1 es:

4 ' 'tan 45

2crticac

H

H

/sinL H

A

B

'cW

N

S ' tan( ')

'

Figura 9.3.6Esquema para el anlisis de estabilidad de un corte vertical en condiciones drenadas

99..33..33MMttooddoossggeenneerraalleessddeeeeqquuiilliibbrriioollmmiittee..EEqquuiilliibbrriioogglloobbaallyyppaarrcciiaall

Estos mtodos son relativamente simples y proporcionan resultados razonablemente buenos

cuando se evala la estabilidad de un talud. Se aplican a todo tipo de terreno. La aplicacin de

estos mtodos requiere las siguientes etapas de clculo:

1. Se busca un mecanismo de rotura cinemticamente admisible.

2. Generalmente se define el coeficiente de seguridad a partir del concepto de esfuerzo o

tensin de corte movilizado.


43/50


43

3. Mediante consideraciones de equilibrio se establecen relaciones entre fuerzas. En general

las condiciones de equilibrio a satisfacer en un problema dado son:

a. Dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas (horizontales y verticales).

b.

Una ecuacin de equilibrio de momentos, con relacin a un punto arbitrario.4. Se obtiene el factor de seguridad despejando F en las ecuaciones de equilibrio

mencionadas en el punto 3. Ser necesario encontrar elFmnimo variando la geometra de

la superficie de rotura, lo que conduce a un proceso de clculo repetitivo.

En general el nmero de incgnitas supera al de ecuaciones y es necesario hacer hiptesis

adicionales para la resolucin de los casos. Los mtodos basados en las superficies de rotura

(equilibrio lmite) pueden dividirse en dos grandes grupos segn se considere el equilibrio

global o se plantee el equilibrio parcial de una serie de rebanadas en las que se divide a la masaque se moviliza.

99..33..33..11..MMttooddoossddeeeeqquuiilliibbrriioogglloobbaall

Son los mtodos ms antiguos y nicamente son vlidos para suelos homogneos ya que se

suponen constantes los parmetros resistentes en toda la masa que desliza. Para estos mtodos

se va a considerar una rotura circular, ya que otros tipos de rotura como por ejemplo plana o en

cua es ms propio en rocas y no en suelos. En la figura 9.3.7 se muestra el problema msgeneral.

Condiciones no drenadas

En este caso resulta conveniente expresar el factor de seguridad como cociente de momentos:

Momento resistente

Momento volcadoru AB

s

c rLF

Wd

En el caso de que la resistencia al corte sin drenaje cu no sea constante se puede calcular el

factor de seguridad de la siguiente forma:

dB

u

As

c r s

FWd


44/50


44

W

A

B

r

rCentro de la rotura circular Perfil del talud

Superfcie

circular derotura

T

cT

T

U

'N

' :N Es la resultantede las tensiones

normales

:U Es la resultantede las presiones

de agua

d

Figura 9.3.7Fuerzas consideradas en un mecanismo circular de rotura

Condiciones drenadas

Si existe rozamiento, tanto la resultante de las fuerzas tangenciales movilizadas (T) como la

resistencia que puede proporcionar el suelo (R) se pueden descomponer en dos trminos (TC, T)

(RC, R) asociados cada uno de ellos a las fuerzas de cohesin y rozamiento respectivamente, de

tal modo que se cumplir:

CC

C

R R RT T T

F F F

Por conveniencia se considerar que el factor de seguridad asociado a las fuerzas de rozamiento

y de cohesin coinciden (F= FC = F).

Siguiendo el mtodo del caso no drenado, es fcilmente deducible el valor de RCy la lnea de

aplicacin de TC. No obstante, para el resto de variables se hace la hiptesis de que todas las

tensiones normales efectivas que actan sobre el crculo estn concentradas en un punto x

(desconocido) del mismo.

Si se sabe la distribucin de presin intersticial se puede conocer la resultante U, tal y como se

muestra en la figura 9.3.8, que compuesta por el peso del terreno W, proporciona el vectorD. A

partir del vectorDse encuentra el puntof por donde debe pasar la resultante de las fuerzasNy

Tdesconocidas hasta el momento.


45/50


45

W

A

B

r

rO Perfil del talud

Lnea de accin de Tc

D

U

f

u

Figura 9.3.8Condiciones drenadas. Obtencin del puntof

Por otra parte se puede escribir:

'

' tan '

tan 'tan

' d

R N T F

T

N F

De donde se deduce que la resultante T y N forman un ngulo d con la normal de la

circunferencia de rotura en el puntox. Esto es equivalente a decir que dicha resultante debe ser

tangente a un crculo, llamado crculo de rozamiento, de centro Oy de radio rsind. Conocido el

punto de pasofe imponiendo esta ltima condicin, puede conocerse la lnea de actuacin de la

resultante TyN, el valor de sta y el de TC, tal y como se muestra en la figura 9.3.9.

A partir del valor de TCpuede encontrarse el valor deFCcon la siguiente expresin:

'CC

C C

R c ABF

T T

La solucin se habr encontrado si FC =F. Como en general esto no ocurrir, se probar un

nuevoF(lo que define un nuevo crculo de rozamiento) y se obtendr un nuevo TC.

Cuando se hayan encontrado varios valores de FC yF se puede construir un grfico anlogo al

de la figura 9.3.10 que proporciona la solucin.


46/50


46

A

B

r

rO Perfil del talud

f

'N

x

'' T

D

'T

cT

radio = sin dr

Crculo de

rozamiento

Figura 9.3.9Condiciones drenadas (0). Definicin del crculo de rozamiento

cF

FF

cF F F

cF F

Puntos obtenidos

Figura 9.3.10Obtencin del factor de seguridad solucin del problema.

Para llegar a soluciones ms realistas se han estudiado diversas distribuciones de N ms

acordes con las realmente existentes. Taylor (1937) propone el uso de distribuciones de tipo

senoidal. Hoek y Brown (1981) publican bacos para distintas opciones hidrolgicas del talud

con la existencia de una fisura vertical en el borde superior del talud situada en la posicin ms

desfavorable y con una distribucin de Nconcentrada en un punto. Hoy en da, sin embargo, y

como se ha comentado con anterioridad, estos mtodos se aplican mediante programas de

ordenador que facilitan el clculo.


47/50


47

99..33..33..22MMttooddoossddeeeeqquuiilliibbrriiooppaarrcciiaalloommttooddooddeellaassrreebbaannaaddaass

Con objeto de mejorar la precisin de los mtodos de equilibrio global se desarrollaron losmtodos de las rebanadas. En ellos la masa de deslizamiento se divide, a efectos de clculo, en

una serie de rebanadas verticales, que se consideran como slidos rgidos y bloques y que

satisfacen condiciones de equilibrio. Estos mtodos permiten adaptarse a geometras del talud

complicadas y permiten realizar el clculo en condiciones drenadas y no drenadas. El

inconveniente de estos mtodos es que son estticamente muy indeterminados ya que el

nmero de incgnitas y ecuaciones no coincide y se deben realizar hiptesis adicionales. A

continuacin se hace un recuento del nmero de incgnitas (tabla 9.3.1) y ecuaciones

disponibles (tabla 9.3.2) para un talud dividido en nrebanadas:

Tabla 9.3.1. Recuento del nmero de incgnitas

Nmero de incgnitas: Descripcin:

1 Factor de seguridad (FS)

n Fuerzas efectivas normales en la base N. La presin del agua

es conocida

n Posicin de la fuerza normal efectiva en cada rebanada

n Fuerza resistente disponible en la base de cada rebanada

n-1 Fuerzas normales en los bordes laterales

n-1 Fuerzas tangenciales en los bordes laterales

n-1 Localizacin de los puntos de aplicacin de las fuerzas

normales en los bordes laterales

6n-2 Total incgnitas

Tabla 9.3.2. Recuento del nmero de ecuaciones

Nmero de ecuaciones: Descripcin:

2n Ecuaciones de equilibrio de fuerzas segn direcciones

independientes

n Ecuaciones de equilibrio de momentos

n Relaciones de rotura entre las tensiones normales y tangenciales

en la lnea de rotura

4n Total ecuaciones


48/50


48

Por lo tanto hay un total de 2n-2 incgnitas que requieren hiptesis adicionales. La empleada

por la mayora de los mtodos es la aplicacin de la fuerza normal situada en el centro de la

rebanada. Esta hiptesis ser tanto ms exacta cuanto mayor sea el nmero de rebanadas. Esta

hiptesis reduce el nmero de incgnitas a n-2. Para acabar de resolver el problema se debenhacer hiptesis adicionales acerca de las fuerzas que actan en los bordes laterales de las

rebanadas y son distintas para cada uno de los mtodos. El mtodo de equilibrio parcial o

rebanadas que se muestra a continuacin es el desarrollado por Bishop (1955).

Mtodo de Bishop

El mtodo de Bishop supona originalmente rotura circular, aunque en la actualidad los

programas informticos permiten adoptar diferentes geometras. El mtodo consiste en dividir eltalud en bloques o rebanadas, tal y como se muestra en la figura 9.3.11, cumpliendo equilibrio

entre ellos (ver figura 9.3.12), y en definir diferentes superficies de rotura e ir obteniendo los

distintos factores de seguridad para cada una de las superficies para finalmente quedarse con el

ms pequeo.

Perfil del talud

A

B

r

O

Figura 9.3.11Discretizacin del talud en rebanadas para el anlisis del problema


49/50


49

A

B

r

O

ix Wi

sini i

x r

iWiv

i

1iH

1iv

iT

iN

iz

1iz

ix

il

Figura 9.3.12Equilibrio en una rebanada segn el mtodo de Bishop

El mtodo de Bishop establece el factor de seguridad como relacin entre momentos:

resistente

volcador

MFS

M

Donde los Mresistentesy Mvolcadoresse definen de la siguiente manera:

' ' ' '1 1 1

tan ' tan 'i n i n i n

resistentes i i i i i i i i

i i i

M r T r c l l r c l N

1 1

sini n i n

volcador i i i i

i i

M W x r W

' '1

1

tan '

sin

i n

i i i

resistente i

i n

volcadori i

i

c l NM

FSM

W

Haciendo equilibrio de fuerzas verticales, se obtiene:

' cos cos sin 0i i i i i i i i i i iW X X X N u l T


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Documents

Geotecnia Ing Deza