GEOMETRIJA 1. Uvod in Evklidovi Elementi - pef.uni-lj.simatijac/UvodGeom.pdf · Uvod Evklidovi Elementi Administracija Geometrija pred Evklidom Predavanja, seminarji, izpiti Prisotnost

UvodEvklidovi Elementi

GEOMETRIJA1. Uvod in Evklidovi Elementi

Matija Cencelj

Geometrija, Pedagoska fakulteta UL 2008

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 1. Uvod in Evklidovi Elementi


AdministracijaGeometrija pred Evklidom

Predavanja, seminarji, izpiti

Prisotnost na seminarju je formalno obvezna.

Izpit je pisni. Pogoj za pristop k izpitu je opravljena seminarskanaloga.Na izpitu lahko oddate izdelek, ni pa nujno.Ce izdelek oddate in ne dosezete 25%, vam dam negativnooceno (sicer prijavo vrnem).V vsakem primeru se morate na izpit pravocasno prijaviti prekoe-studenta.Nekaj dni po opravljenem izpitu preverite, ce imate vpisanooceno.

Imamo se kako vprasanje?














































Geometrija (Gea - zemlja, metros - merjenje) je ena najstarejsihvej matematike. Posvecena je proucevanju prostora, oblike tervelikosti razlicnih likov in teles, ki se v njem nahajajo.

Prve geometrijske pojme zasledimo ze pred vec tisocletji vEgiptu, Mezopotamiji, Indiji in na Kitajskem.

Tamkajsnje velike reke so vsako leto poplavile rodovitne dolinein zbrisale meje med posameznimi obmocji, ki jih je bilo natopotrebno obnoviti. Za to je bilo potrebno meriti, risati in racunati.

V precejsnji meri so to delali ”cez palec”, poznali pa so ze vsajposebne primere Pitagorovega izreka (ki je torej precej starejsiod Pitagora - to velja tako za Egipt kot tudi Mezopotamijo inKitajsko).

























Od 7. stoletja pred Kristusom se je geometrija intenzivnorazvijala v stari Grciji, kamor so jo iz Egipta prinesli trgovci.

Priblizno v 5. stoletju pred Kristusom so grski matematiki vgeometrijo pripeljali globoko spremembo – uvedli soabstrakcijo, izoblikovala sta se pojma trditve in njenegastrogega dokaza s pomocjo logicnega sklepanja iz temeljnihpredpostavk in ze prej dokazanih trditev. Vsaj teoreticno sotako geometrijski rezultati postali nesporni in natancni in ne vecle priblizni in verjetni. S tem je postala geometrija veda oabstraktnih strukturah (in se s tem locila od geodezije).

Uvajanje logike v geometrijo naj bi se zacelo s Talesom izMileta (pribl. 600 pr. Kr.) in doseglo vrh z Evklidom (pribl. 300pr. Kr.) iz Aleksandrije.





















Logi cna struktura Evklidovih ElementovZgodovniski pomen ElementovPogled na prvo knjigoOpombe k Elementom

V 3. stoletju pred Kristusom je bilo razvitega ze toliko znanja,da so se pojavili prvi poskusi zdruzitve geometrijskih znanj venoten sistem. Najznamenitejsi geometer tedanjega casa,Platonov ucenec Evklid, je ustvarjal v Aleksandriji okoli leta 300pred Kristusom. Njegovo ime je po vsem svetu najtesnejepovezano z geometrijo, ki se poucuje v soli. Vecina idej, ki se jovkljucuje v ”evklidsko geometrijo”, se verjetno ni zacela zEvklidom, ampak je Evklidova zasluga predvsem to, da je zbraldotedanje znanje geometrije in ga logicno usklajeno predstavil.

Svoje rezultate je objavil v 13 knjigah z naslovom STOIHEA,kar se v vecino evropskih jezikov prevaja z Elementi, vslovenscino pa tudi Osnove. To je takoj za Svetim pismomnajveckrat izdana knjiga na vsem svetu (preko 500 izdaj) in jetemelj geometrije ze preko dvatisoc let.














Prvotnega besedila Elementov se je ohranilo bolj malo, v celotiso ga prevedli v 12. stoletju iz arabscine Adelard iz Batha vAngliji, Hermann koroski in Gerhard iz Cremone v Spaniji.




Evklidovi Elementi imajo strogo logicno zgradbo. Vsako knjigozacne Evklid s spiskom definicij izrazov, ki jih bo uporabljal v tejknjigi (ceprav tu ne gre za definicije v danasnjem pomenubesede). V prvi knjigi potem navede pet postulatov in petocitnih dejstev (v slovenscino se slednje prevaja tudi z aksiomi,kar pa je tudi bolj ali manj sinonim za postulat). Oboje –postulati in ocitna dejstva – so osnovne trditve, katerihveljavnost naj bi bila ocitna vsaki razumni osebi. To je izhodisceza razvoj geometrije. Evklid je spoznal, da ne more dokazativsega, ampak mora zaceti z nekimi predpostavkami, poskusalpa je jasno povedati, kaj so te predpostavke.

Vecinoma so Evklidovi postulati res enostavne trditve, ki sointuitivno ocitne. Npr. Postulat I trdi, da med dvema poljubnimatockama lahko narisemo natanko eno daljico. Postulat II trdi, dalahko vsako daljico podaljsamo. Postulat III trdi, da lahkonarisemo krog s poljubnim srediscem in poljubnim polmerom.














Ti postulati obravnavajo nacrtovanje, ki ga lahko izvedemo zravnilom (ce smo bolj natancni – z ravno palico) in sestilom.

Cetrti postulat pove, da so vsi pravi koti skladni (Evklid pravienaki), peti pa je malo bolj komplicirana trditev o dveh premicahin presecnici nanju. Ta dva postulata Evklid potrebuje zadokaze naslednjih trditev.

Ocitna dejstva se od postulatov razlikujejo v tem, da se nenanasajo le na geometrijo, ampak matematiko nasploh.Predvsem gre tu za lastnosti enakosti (kot jo je razumel Evklid).

Najvecji del vsake knjige Elementov pa predstavljajo trditve innjihovi dokazi. Ti so nanizani v strogem logicnem zaporedju:prva trditev sledi iz postulatov, druga iz postulatov in prvetrditve in tako dalje.

























Tako je vsa teorija zgrajena le na postulatih in ocitnih dejstvih;ce njih privzamemo, iz njih logicno sledi cela teorija. Pravosupljivo je, koliko razlicnih trditev sledi iz tako malopredpostavk.




Pomena Elementov za razvoj matematike in cloveske kulturenasploh skoraj ne moremo preceniti. Odkar so bili napisaniprestavljajo zgled, kako naj bo skrbno zgrajena teorija zgrajenain predstavljena. Elementi so postali model za razvojznanstvenih in filozofskih teorij nasploh.

Predvsem je obcudovanja vredna jasnost, s katero je Evklidpredstavil predpostavke, iz katerih je potem s cisto logikoizpeljal zelo raznoliko in obsezno zbirko posledic.

Prav do 20. stoletja so bili Evklidovi Elementi osnovni ucbenik,s katerim so se vsi studenti ucili geometrije in logike. Tudidanes je geometrija v solah izpeljana na nacin, ki je neverjetnoblizu Evklidovemu.
















Najvec naporov za izboljsanje se je osredotocilo na petiEvklidov postulat (ceprav eksplicitno ne omenja vzporednihpremic, se mu ponavadi rece ”aksiom o vzporednicah”). Ta jeres precej drugacen od ostalih aksiomov, je precej daljsi in nitako intuitivno ociten. Zato je veliko matematikov v zgodoviniskusalo dokazati, da je ta aksiom posledica prejsnjih.

To ni nikomur uspelo in sele v 19. stoletju se je pokazalo zakaj.Izkazalo se je namrec, da je ta aksiom neodvisen od ostalih;zato zdaj govorimo o evklidski geometriji (vsaki premici skozidano tocko izven nje obstaja natanko ena vzporednica) inneevklidskih geometrijah (vzporednic ali ni ali jih je vec).

Zgodovina raziskovanja vloge Evklidovega aksioma ovzporednici je ena najzanimivejsih zgodb v zgodovinimatematike. Tekom leta bomo to obnovili in struktura tegapredmeta je v veliki meri posvecena temu.
















Razlog za vse te napore za izboljsanje Elementov ni bilomnenje, da je z Evklidovim razmisljanjem kaj narobe, ampaknasprotno – mnenje, da so Elementi zgled matematicnega delain bi ga zato bilo vredno se izpiliti.




Razlog za vse te napore za izboljsanje Elementov ni bilomnenje, da je z Evklidovim razmisljanjem kaj narobe, ampaknasprotno – mnenje, da so Elementi zgled matematicnega delain bi ga zato bilo vredno se izpiliti.




Oglejmo si nekaj definicij in vse (postulate in) aksiome iz prveknjige Elementov.Kot receno te definicije ne ustrezajo danasnjemu razumevanjutega pojma, a od tedaj je preteklo vec kot 2000 let!Opomba: Za Evklida so vsi geometrijski liki omejeni, zatogovorimo tu o crtah in ne o premicah.

Definicija 1

Tocka je, kar nima delov.

Definicija 2

Crta je dolzina brez sirine.





Definicija 1


Definicija 2






Definicija 1


Definicija 2






Definicija 1


Definicija 2





Definicija 4

Ravna crta je crta, ki lezi enakomerno na svojih tockah.

Definicija 10

Ce ravna crta stoji na drugi ravni crti tako, da sta kota na obehstraneh enaka, je vsak od teh kotov pravi in je prva ravna crtapravokotnica na drugo.

Definicija 11

Topi kot je kot, ki je vecji od pravega kota.

Definicija 12

Ostri kot je kot, ki je manjsi od pravega kota.




Definicija 4


Definicija 10


Definicija 11


Definicija 12





Definicija 4


Definicija 10


Definicija 11


Definicija 12





Definicija 4


Definicija 10


Definicija 11


Definicija 12





Evklidovi postulati:

Postulat I

Med poljubnima tockama (je mozno) narisati ravno crto.

Postulat II

Vsako ravno crto (je mozno) podaljsati (na obe strani).

Postulat III

Narisati (je mozno) kroznico s poljubnim srediscem inpoljubnim polmerom.





Postulat I


Postulat II


Postulat III






Postulat I


Postulat II


Postulat III






Postulat I


Postulat II


Postulat III





Postulat IV

Vsi pravi koti so si enaki.

Postulat V

Ce dve ravni crti preskamo s tretjo (precnico) in je na eni straniprecnice vsota notranjih kotov manj kot vsota dveh pravih kotov,se na tej strani precnice prvi dve crti sekata, ce ju dovoljpodaljsamo.




Postulat IV


Postulat V





Postulat IV


Postulat V





Evklidove splosne resnice (ki jih je kasneje Proklus imenovalaksiomi).

Aksiom I

Stvari, ki so enake neki stvari, so tudi med seboj enake.

Aksiom II

Ce enakima kolicinama pristejemo isto kolicino, sta vsoti enaki.

Aksiom III

Ce enakima kolicinama odstejemo isto kolicino, sta razlikienaki.





Aksiom I


Aksiom II


Aksiom III






Aksiom I


Aksiom II


Aksiom III






Aksiom I


Aksiom II


Aksiom III





Aksiom IV

Stvari, ki sovpadajo, so tudi med seboj enake.

Aksiom V

Celota je vecja od svojega dela.




Aksiom IV

Stvari, ki sovpadajo, so tudi med seboj enake.

Aksiom V

Celota je vecja od svojega dela.




Tri Evklidove trditve in njihovi dokazi

Trditev 1

Nad poljubno daljico (omejeno ravno crto) je mozno nacrtatienakostranicni trikotnik.

Dokaz: Naj bo AB dana daljica, torej moramo konstruiratienakostranicni trikotnik nad AB.

Nacrtajmo krog s srediscem A in polmerom |AB| (Post. III) inkrog s srediscem B in polmerom |AB| (Post. III). Iz tocke C, kjerse kroga sekata nacrtajmo daljici do tock A oziroma B.





Trditev 1








Trditev 1








Trditev 1







A•

B•

C




Ker je A sredisce prvega kroga, sta dolzini |AB| in |AC| enaki.Podobno sta dolzini |AB| in |BC| enaki. Torej sta po Aksiomu Itudi dolzini |AC| in |BC| enaki. Torej so res vse tri stranicetrikotnika ABC enako dolge. �












Trditev 4

Ce sta dve stranici enega trikotnika enaki dvema stranicamadrugega trikotnika in sta tudi kota med ustreznima stranicamaenaka, bosta tudi tretji stranici enaki, enaka bosta trikotnika intudi ostala dva kota si bosta enaka.

Dokaz: Trikotnika naj bosta ABC in DEF , naj bo |AB| = |DE | in|AC| = |DF | in kota BAC in EDF naj bosta enaka.

Dokazimo, da velja tudi |BC| = |EF | in da sta tudi kota ABC inDEF enaka in prav tako tudi kota BCA in EFD.




Trditev 4







Trditev 4







A•

B•

C•

D•

E•

F•




Ce premaknemo trikotnik ABC na tako, da polozimo tocko A natocko D in daljico AB na DE , pade tocka B na tocko E , saj velja|AB| = |DE |.




Ce premaknemo trikotnik ABC na tako, da polozimo tocko A natocko D in daljico AB na DE , pade tocka B na tocko E , saj velja|AB| = |DE |.




S tem, ko smo stranico AB polozili na stranico DE , je tudistranica AC padla na stranico DF , saj sta kota BAC in EDFenaka. Torej je tocka C padla na tocko F , zato sta trikotnikaenaka [ce bi med istima tockama imeli dve razlicni daljici, biomejevali neki lik - ploskev, to pa ni mogoce] in s tem dolzinestranic (Aksiom IV) in vsi istolezni koti.

�

Trditev 16

Ce v poljubnem trikotniku podaljsamo eno stranico, je takodobljeni zunanji kot vecji od vsakega od nasprotnih notranjihkotov.




S tem, ko smo stranico AB polozili na stranico DE , je tudistranica AC padla na stranico DF , saj sta kota BAC in EDFenaka. Torej je tocka C padla na tocko F , zato sta trikotnikaenaka [ce bi med istima tockama imeli dve razlicni daljici, biomejevali neki lik - ploskev, to pa ni mogoce] in s tem dolzinestranic (Aksiom IV) in vsi istolezni koti.

�

Trditev 16

Ce v poljubnem trikotniku podaljsamo eno stranico, je takodobljeni zunanji kot vecji od vsakega od nasprotnih notranjihkotov.




Dokaz: Naj bo ABC trikotnik in podaljsajmo stranico BC dotocke D. Dokazimo, da je zunanji kot ACD vecji od kota CBA inod kota BAC.Razpolovimo stranico AC in naj bo razpolovisce tocka E(Trditev 10, ki smo jo zdaj sicer spustili). Podaljsajmo daljico BEdo tocke F tako, da je |BE | = |EF |. Podaljsajmo stranico AC doneke tocke G.

Ker je |AE | = |EC|, |BE | = |EF | in sta kota AEB in CEF enaka(saj sta sovrsna – Trditev 15), je |AB| = |CF | in sta triktonikaABE in CFE enaka in s tem tudi vsi njuni koti (Trditev 4). Torejje kot BAE enak kotu ECF . Kot ECD pa je vecji od kota ECF(Aksiom 5), torej je kot ACD vecji od kota BAE .Podobno, ce razpolovimo stranico BC, dokazemo, da je kotBCG (kar je isto kot kot ACD – Trditev 15) vecji od kota ABC.

�






�






�






�




Kot smo ze omenili, so bili Evklidovi Elementi preucevani skozivso zgodovino.Najprej je bilo najvec pozornosti posvecene 5. postulatu (”ovzporednici”), napori za osvetlitev pomena postulatov/aksiomovpa so privedli do spoznanja, da so tezave tudi z drugimi aspektiElementov.Ce gledamo na Elemente z vidika dansnje matematicnestrogosti, postane jasno, da Evklid ni v celoti dosegel ciljev, ki sijih je zadal, ali ki so mu jih pripisovali.Evklidove definicije osnovnih pojmov seveda niso strogematematicne definicije, kakor to danes razumemo, ceprav sointuitivno sugestivne.
















Da je tocka nekaj, cesar ne moremo razdeliti na dele, nekajpove vecini ljudi, ni pa prava definicija, ki bi povedala, zakaksne objekte tu gre. Iz konteksta postane stvar bolj jasna, avseeno ni cisto neproblematicna: v realnem – fizicnem svetunasih izkusenj ni nicesar, kar bi temu popolnoma ustrezalo, gretorej za idealizacijo ali abstrakcijo in ni dobro razlozena z‘definicijo’. Podobno velja za Evklidova pojma crte in ravne crte.Za razliko od tega pa so kasnejse definicije bolj jasne. To veljana primer za definiciji topega in ostrega kota, ceprav zadanasnje standarde tudi tu manjka definicija, kaj pomeni, da jeen kot vecji od drugega.A to se da brez problema narediti popolnoma strogo (za razlikood ‘definicij’ osnovnih pojmov).












To je privedlo do spoznanja, da obstajata dve vrsti pojmov. Ninamrec mogoce definirati vseh pojmov. Podobno kot se ne dadokazati vseh trditev/dejstev, ampak jih moramo nekaj sprejetibrez dokaza (aksiomi), iz njih pa potem dokazemo druge,moramo tudi nekaj pojmov pustiti nedefiniranih, druge padefinirati s pomocjo nedefiniranih in prehodno definiranihpojmov.To bomo bolj jasno obravnavali v naslednjem poglavju.

Ce pozorno beremo Evklidove dokaze, tudi najdemo kakopomankljivost. Dober zgled tega je ze prva Trditev, ki trdi, dalahko nad poljubno daljico konstruiramo enakostranicnitrikotnik. Evklid narise kroga s srediscema v krajiscih daljiceAB, katerih polmer je dolzina te stranice. Eno od tock, kjer sekroga sekata, imenuje C in dokaze, da je ABC enakostranicnitrikotnik (za to uporabi Postulata III in I in aksiome), ob tem jese skica, kar naredi dokaz zelo nazoren.
























A, ce smo pozorni, opazimo, da je Evklid predpostavil vec, kotle postulate in aksiome. V postulatih ni nicesar, kar bizagotavljalo obstoj presecisca omenjenih dveh krogov. Dokaztu temelji le na skici. Evklid torej uporablja tudi ‘dejstva’ o svojihtockah in crtah, o katerih ne dvomi in so intuitivno ocitna vecinibralcev, a niso bila eksplicitno omenjena v postulatih. Inobstajajo situacije, v katerih na primer takega preseciscakrogov nimamo. Tudi k temu se bomo se vrnili v naslednjihpoglavjih.

Evklidova Trditev 4 je znana trditev o skladnosti trikotnika, cesta skladni dve njuni stranici in kot med njima. Pri tem premikatrikotnik (temu se rece tudi Evklidova metoda superpozicije), neda bi to kje formuliral v aksiomih. Tekom zgodovine so geometrispoznali, da ni mogoce kar tako privzeti, da lahko premikamolike, ne da bi jim spremenili obliko. Tudi o tem bomo se vec rekliv naslednjih poglavjih.





























Kot kaze sedanji tekst, so ze kmalu po Evklidu spoznali, da zadokaz na primer Trditve 4 ne potrebujemo le obstoj daljice medpoljubnima tockama, ampak tudi to, da je taka daljica ena sama(torej natanko dolocena z tockama na robu) in to vnesli kotopombo (glej opombo v oglatem oklepaju) v Evklidov tekst.Poleg tega Evklid v dokazu Trditve 16 ( o zunanjem kotupredpostavi, da je tocka F v notranjosti kota ACD, a tega nikjerne argumentira.V naslednjih poglavjih bomo zgradili sistem aksiomov, ki nambo popravil tudi to pomanjkljivost.

Naj se enkrat poudarimo, da to niso neke temeljnjepomanjkljivosti, gre za to, da se je - seveda - v teh dvatisoc letihspremenil standard matematicne strogosti.



















Ker bomo v nadaljevanju skusali v aksiome formulirati vsepredpostavke nase geometrije, bomo seveda moralipredpostaviti precej vec kot je v Evklidovih postulatih inaksiomih.

Sledi se nekaj opomb.1) Za Evklida je sta tocka in crta cisti geometrijskiformi/abstrakciji, ki lebdita v ravnini brez fiksne lokacije (in jihzato prosto premikamo). Mi smo od otrostva navajeniidentificirati tocke na premici s stevili in tocke na ravnini skoordinatnimi pari. To bi bilo Evklidu popolnoma tuje. SeleDescartes (17.stol.) je uvedel koordinate v prostor/ravnino. Insele v 20. stoletju je postalo ocitno, da moramo v geometrijskeaksiome uvesti tudi realna stevila.





























2) Evklid je obravnaval koncne like (zato smo tudi mi priprevodu uporabili izraz ‘crta’ namesto ‘premica’), zato je govorilo moznosti podaljsevanja crt. Mi smo (nekako od GeorgaCantorja iz 19. stoletja) navajeni na neskoncne like (npr.premice) in zato nam podaljsevanje ni potrebno.

3) Evklid je formuliral svoje aksiome z mislimi na konstrukcije, kijih lahko izvedemo izkljucno le z ravno palico (ravnilom brezoznake dolzin) in sestilom (ki pa skoci skupaj, ce ga dvignemos povrsine risanja – tj., ni ga uporabljal za prenasanje dolzin).Na neki nacin je Evklid enacil eksistenco (geometrijskih likov) zmoznostjo konstrukcije.

Danes tudi v soli uporabljamo ravnilo (z oznakami za dolzino) inkotomer.




























Za stare Grke pa je bil problem, ki ga niso razresili, trisekcijakota – ali lahko poljubni kot razdelimo na tri enake dele (z‘njihovima’ ravnilom in sestilom).




Da se ne bi prevec zanasali na skice, si oglejmo primernapacnega dokazovanja – lazni izrek iz konca 19. stoletja.

Lazni izrek

V poljubnem trikotniku △ABC sta stranici AB in AC skladni.

”Dokaz”: Naj bo ℓ simetrala kota ∠BAC in naj bo tocka Gpresecisce premice ℓ in stranice BC.

Imamo dve moznosti – ali je ℓ pravokotna na stranico BC, ali pani. Za vsakega od teh dveh primerov bomo dali drugacendokaz.





Lazni izrek








Lazni izrek








Lazni izrek








Lazni izrek







Najprej predpostavimo ℓ ⊥ BC. Tedaj sta trikotnika △AGB in△AGB skladna (po izreku ”kot-stranica-kot”) in zato sta straniciAB in AC skladni.

Zdaj predpostavimo, da ℓ 6⊥ BC. Tedaj ℓ preseka simetralostranice BC v neki tocki D. Imamo tri moznosti:

ali je D znotraj trikotnika △ABC,

ali je na triktoniku △ABC,

ali pa je zunaj tega trikotnika.




































Naj bo tocka M na sredi stranice BC. Iz tocke D nacrtamo

pravokotnici na premici nosilki↔

AB in↔

AC stranic AB oziroma

AC. Presecisci teh pravokotnic s premicama↔

AB oziroma↔

ACnaj bosta tocki E oziroma F .






AB in↔



AB oziroma↔







AB in↔



AB oziroma↔



Documents

GEOMETRIJA 1. Uvod in Evklidovi Elementi - pef.uni-lj.simatijac/UvodGeom.pdf · Uvod Evklidovi Elementi Administracija Geometrija pred Evklidom Predavanja, seminarji, izpiti Prisotnost