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Función Exponencial
Se conoce como función exponencial a la función f de variable real cuya regla de correspondencia es:
Si a > 0; a ≠ 1; x € IR
xaxf )(
Propiedades
El dominio de la función exponencial está dado por los números R.
El recorrido de la función exponencial está dado por los R*.
El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1).
La función no intercepta el eje X.
A continuación se puede ver como varían las funciones de acuerdo a su base a
f(x) = 2^x
f(x) = (1 / 4)^xf(x) = 4^x
g_1(x) = (1 / 2)^x
f(x) = 6^x f(x) = (1 / 6)^xf(x) = 8^x f(x) = (1 / 8)^x
f(x) = (1 / 10)^xf(x) = 10^x
Caso 1: 0 < a < 1
Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR
Caso 1: 0 < a < 1Ejemplo: f(x) = 0,5x
Caso 1: 0 < a < 1f(x) para diferentes valores de a
Dominio= IRRango= (0, ∞)Asíntota en y=0Función decreciente
Dominio= IRRango= (- ∞, 0)Asíntota en y=0Función creciente
xy 5.0 xy 5.0
Caso 2: a > 1
Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR.
Mientras más grande el número de la base, la línea estará más cerca del eje Y.
Caso 2: a > 1Ejemplo: f(x) = 2x
Caso 2: a > 1f(x) para diferentes valores de a
Dominio= IRRango= (0, ∞)Asíntota en y=0Punto de corte en y = 1Función crecienteAsíntota horizontal
Dominio= IRRango= (-∞, 0)Asíntota en y=0Punto de corte en y =- 1Función decrecienteAsíntota horizontal
xy 2 xy 2
Desplazamientos vertical
A la función se le suma o resta un valor c para el desplazamiento vertical
Dominio= IRRango= (1, ∞)Asíntota en y=1Función crecientePunto de corte con y en y=2Punto de corte con x= no existe
cay x
12: xyEjemplo
A la función se le suma o resta un valor b para el desplazamiento horizontal
Dominio= IRRango= (0, ∞)Asíntota en y=0Función crecientePunto de corte en y=4Punto de corte con x= no existe
bxay
22: xyEjemplo
Desplazamiento horizontal
Xexf )(
Es decir con base e=2.718
Puesto que 2<e<3, la grafica de la función exponencial natural esta entre las graficas:
Función Exponencial natural
Gráfica de la función logarítmica
Función Logarítmica
La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por:
a
f(x) = loga x
Propiedades
El dominio de la función logarítmica está definida para x > 0.
El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).
La función no intercepta el eje Y.
Función Logarítmica creciente
Si a > 1, f(x) = loga x es creciente
Función Logarítmica crecienteEjemplo: f(x) = log2 x
Función Logarítmica crecienteEjemplo: f(x) = log2 x
Función Logarítmica creciente
Función logarítmica para diferentes valores de a
Función Logarítmica Decreciente
Si 0 < a < 1, f(x) = loga x es decreciente
Función Logarítmica Decreciente
Ejemplo: f(x) = log0,5 x
Función Logarítmica Decreciente
Ejemplo: f(x) = log0,5 x
Función Logarítmica Decreciente
Funciones logarítmicas con diferentes valores de a
nxxf log)(
3log)(: xxfEjemplo
Dominio= IR+Rango=RealesCrecienteAsíntota en x=0Asíntota vertical
Desplazamiento vertical
Dominio= (-3 , ∞)Rango=RealesCrecienteAsíntota en x = -3Asíntota vertical
Desplazamiento Horizontal)log()( nxxf
)3log()(: xxfEjemplo
Leyes de los logaritmos1. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números.
2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números
3. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero.
BAAB loglog)log(
BAB
Aloglog)log(
AnAn loglog
n
AAn
loglog
El Logaritmo con base 10 se llama logaritmo común y se denota omitiendo la base: Log x
El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln: ln x
Para algunos propósitos, se encuentra útil cambiar los logaritmos de una base a logaritmos de otra base para lo que se utiliza la siguiente formula:
Logaritmos comunes
Logaritmo natural
Fórmula de cambio de base
V. Función Logarítmica• Ejercicios:
– Dado los valores: log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771. Entonces, en la función f(x) = log x, determine f(6).
Solución:
f(6) = log (6)
Donde
log 6 = log (2 · 3)
Por Propiedad
log (2 · 3) = log 2 + log 3
= 0.3010 + 0.4771
= 0.7781
Por lo tanto:
Si f(x) = log x, entonces f(6) = 0.7781
V. Función Logarítmica
La Respuesta correcta es D
Los logaritmos
Se usaron para hacer operaciones de forma sencilla con una tabla
