TEMA22. Función Exponencial y Logarítmica

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 22. Funciones exponencial y logarítmica

TEMA22. Función Exponencial y Logarítmica.

1. Introducción

La noción de función que actualmente manejamos empezó a gestarse en el siglo XIV cuan-

do los filósofos escolásticos medievales comenzaron a preocuparse por medir las variaciones

de ciertas magnitudes respecto a otras, como la velocidad de un cuerpo en movimiento o la

diferencia de temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico.

El apoyo gráfico, que tanta importancia tiene en nuestros días, basado en los ejes carte-

sianos fue introducido por Rene Descartes en el siglo XVII.

Es en los siglos XVIII y XIX cuando el concepto de función se desarrolla ampliamente para

llevar adelante todo el desarrollo científico y tecnológico. Las funciones y el análisis diferencial

surgen para dar apoyo a los problemas físicos, estudiados en especial por Newton. Leibniz y los

hermanos Bernoulli empezaron a utilizar la palabra función en un sentido parecido al actual

con funciones particulares, como potencias y funciones circulares, aunque no usaron la nota-

ción funcional moderna.

Se puede considerar a Euler en el siglo XVIII el autor de la definición de función y la nota-

ción actual.

En este tema definiremos dos funciones muy particulares, una inversa de la otra que des-

criben fenómenos colaborativos: la función exponencial y la función logarítmica.

2. Función. Características funciones exponencial y logarítmica

Una función real de variable real es una correspondencia o aplicación de un subconjunto

no vacío D⊂ℝ en ℝ (lo escribiremos f: D → ℝ) que a cada elemento x∈D le asocia un elemento

y∈ ℝ, y sólo uno. Las funciones se clasifican en:

∑

asHiperbólic

ricasTrigonomét

asLogarítmic

lesExponencia

ntesTranscende

·asAlgebraica n

nx

En este tema solo vamos a estudiar funciones trascendentes, exponenciales y logarítmicas.

Definiremos la función exponencial, fa(x)=ax, como una función continua en ℝ que cumple

además ser homeomorfismo de grupos, transformando (ℝ,+) en (ℝ, ·), es decir:

fa: (ℝ,+) (ℝ,·), cumpliendo:

1) fa(0)=1 (transforma elementos neutro en elementos neutros)

2) fa(x+y)=f(x)·f(y)

Veremos que hay tantas funciones exponenciales como números reales (a=base de la fun-

ción exponencial). Siendo el valor a=fa(1).

Por otro lado la función logarítmica, ga(x)=loga(x), será la inversa de la función exponen-

cial, y por tanto homeomorfismo de grupos en el sentido inverso: ga: (ℝ,·) � (ℝ,+)

1) ga(1)=0

2) ga(x·y)=g(x)+g(y).



3. Construcción de la función exponencial

En este apartado buscamos la función exponencial que cumpla los requisitos anteriormen-

te descritos. Con este fin describiremos previamente las aplicaciones (no funciones) de poten-

cias de exponente natural, entero y racional.

3.1. Potencias de exponente natural.

Sea un número a∈ℝ, que denominaremos base, definimos una aplicación fa que será

“homeomorfismo” de (ℕ,+) a (ℝ,·); ponemos homeomorfismo entre comillas ya que al no ser

(ℕ,+) grupo no puede ser fa homeomorfismo.

fa: ℕ ℝ

n an

definida como fa(n)=

==

≠=

01

0....··0 nsia

nsiaaaa

vecesn

n876

, vamos como cumple los dos requisitos:

1) fa(0)=1

2) fa(n+m)=

876876876 vecesmvecesnvecesmn

aaaaaaaa .....·....··....·· =

+

=fa(n)·fa(m)

3.2. Potencias de exponte entero

Vamos ahora a ampliar la aplicación anterior siendo el conjunto inicial los enteros, por lo

que ahora será homeomorfismo entre los grupos (ℤ, +) y (ℝ*,·).

fa: ℤ ℝ

n an

definida de forma equivalente a la exponente natural si n∈ ℤ+∪{0}= ℕ, y para los enteros ne-

gativos, ℤ- descrito de la siguiente forma fa(-n)=1/fa(n)=1/a

n, con –n∈ ℤ-

y n el opuesto de –n

Vemos que transforma opuestos de (ℤ, +) en opuestos de (ℝ*,·) luego sigue cumpliendo

las dos premisas de ser homeomorfismo pues fa(n+-n)=fa(0)=1, siendo fa(n+-n)=fa(n)·fa(-

n)=an·(1/a)

n=1

3.3. Potencias de exponente racional

Este último apartado previo a la definición de la función real se amplía de exponente ente-

ro a fraccionario. Así fa es homeomorfismo entre (ℚ, +) y (ℝ*.·)

fa: ℚ ℝ

r ar donde r∈ ℚ y se expresará como la fracción irre-

ducible r=m

n. Si m=1 tendremos que r∈ℤ y tendremos que la aplicación se comporta como

vimos en el apartado anterior. Para ver como se comporta para los r∈ℚ que no son enteros

definamos la aplicación para los racionales de la forma 1/m, ya que para ver fa(m/n) apicara-

remos que es homeomorfismo y será fa(n/m)=(fa(1/m))n



Para ver el valor de fa(1/m) aplicamos que es homeomorfismo y fa(1)=fa(m/m)=(fa(1/m))m

=a,

luego se cumple: fa(1/m)= m a . Luego de forma general tenemos: fa(n/m)= ( ) m nn

m aa =

3.4. Función exponencial real.

Recodemos que buscamos una función real continua con dominio en todo ℝ y que sea

homeomorfismo de grupos (ℝ,+) en (ℝ*,·), por tanto buscamos función que cumpla:

1) Función continua en ℝ

2) fa(0)=1

3) fa*(x+y)=fa(x)·fa(y)

Veremos que hay tantas funciones exponenciales como posibles valores de a∈ ℝ, denomi-

nada base y que por definición será fa(1)=a.

4. Función exponencial de base e

4.1. Definición.

Vamos a definir una función que llamaremos ex definida como una serie de funciones,

comprobaremos que esta función cumple los tres requisitos marcados para definir la función

exponencial. Luego al calcular la base veremos que es un nº irracional que definiremos como e.

....!3!2

1!

32

0

+++== ∑∞

=

xx

n

xe

n

nx

∀x∈ℝ Veamos que cumple las 3 propiedades:

1) ex está definida y es continua en ℝ, al estar definida a partir de funciones continuas y

definidas en ℝ y el radio de convergencia de la serie r=∞ ( ∞=+

==∞→

+∞→ x

n

a

ar

nn

n

n

1limlim

1

)

2) e0=1+0+…+0=1

3) ∑∑∑ ∑∑∞

=

∞

=

−∞

= =

∞

=

+ ==−/

/=

+=

00inf

0 00

·!

·!)!(!

!

!

1

!

)(

j

yxj

i

i

suma

ini

n

n

iNewtonBinomio

n

nyx ee

j

x

i

xyx

ini

n

nn

yxe

Para calcular la base a= ...7172,21

1lim....!3

1

!2

11

!

1

0

1 ==

+=+++==∞→

∞

=∑ e

nne

n

nn

n

Este número se denomina número “e” en honor al matemático Euler y se puede de-

mostrar que e∈.

Definimos así la función exponencial de base e, que a partir de ahora denominaremos

como E(x)=ex



4.2. Propiedades

Veamos alguna de las propiedades de la función f(x)=ex

1. e0=1

2. ex+y

=ex·e

y

3. Función derivable x

x

edx

ed=

)(

4. x

x

eexf

1)( ==− −

5. Función definida positiva ex>0 ∀x∈ℝ

6. ∞=∞→

x

xelim , 0lim =

−∞→

x

xe

7. ( )yxyx eeyxf == ·)·(

8. )(xf estrictamente creciente

9. f(x) crece más rápidamente que xn ∀ n∈ℕ cuando x�∞

Demostraciones:

1. y 2. Vistos en el apartado anterior

3. x

m

m

mnn

n

n

n

n

nx

em

x

n

x

n

xn

n

x

dx

d

dx

ed==

−==

= ∑∑∑∑

∞

==−

∞

=

−∞

=

−∞

= 01

1

1

1

1

0 !)!1(!

·

!

)(

4. f(-x+x)=f(0)=1 � f(x)·f(-x)=1, luego x

x

exfexf

1

)(

1)( ===− −

5. Si x=0: e0=1>0; si x>0: f(x)>0 porque es una serie de potencias y por tanto cada térmi-

no es positivo; si x<0 , f(-x)=1/f(x) luego es también positivo.

6. ∞== ∑∞

=∞→∞→

0 !limlim

n

n

x

x

x n

xe ; 0

11limlimlim =

∞===

∞→

−

∞→−∞→ xx

x

x

x

x eee

7. La demostración es más compleja que las demás y necesita definir el exponente de ba-

se arbitraria (base ex). No haremos la demostración

8. Como f’(x)=ex>0 ∀x∈ℝ, luego es creciente

9. ∞=∞++=++=== ∑∑∑∑ ∞

+=

−

∞→

−

=

−

∞→

∞

=

−

∞→

∞

=

∞→∞→ !

10

!lim

!

1

!lim

!lim

!limlim

1

1

00

0

nj

x

nj

x

j

x

x

j

x

x

e

nj

nj

x

n

j

nj

xj

nj

xn

j

j

xn

x

x

5. Función logarítmica de base e. Logaritmo neperiano.

5.1. Definición de logaritmo neperiano

Por ser f(x)=ex una función definida en todo ℝ y creciente entonces es una función inyecti-

va, por lo que tiene inversa. Esta inversa es la que llamamos logaritmo neperiano, y=ln(x). Así:

• y=ln(x) �� x=ey y •••• ln(e

x)=e

ln(x)=x

Veamos que esta nueva función cumple ser homeomorfismo entre el grupo (ℝ,·) y el grupo

(ℝ,+), es decir a) ln(x·y)=ln(x)+ln(y); b) ln(1)=0. Demostración:

a) (x·y)=eln(x·y)

=eln(x)

·eln(y)

=x·y; b) ln(1)=0 porque e0=1.



5.2. Propiedades del logaritmo neperiano, ln(x).

Veamos algunas propiedades además de las dos vistas anteriormente:

1. ln(1)=0

2. ln(x·y)=ln(x)+ln(y)

3. −∞=+→

)ln(lim0

xx

; ∞=∞→

)ln(lim xx

4. ( ) )·ln(ln xnx n =

5. ( ) nxxn /)ln(ln =

6. )ln()ln()/ln( yxyx −=

7. ( )x

x1

')ln( =

8. Función creciente

9.

<<<

=

>>

100)ln(

0)1ln(

10)ln(

)ln(

xsix

xsix

x

Demostración: a partir de aplicar que ex es la inversa de ln(x)

1. y 2. Vistos en apartado anterior

2. ∞== ∞−∞ ee ;0 � −∞=+→

)ln(lim0

xx

; ∞=∞→

)ln(lim xx

3. ln(xn)=ln(x·x

n-1)=ln(x)+ln(x

n-1)=ln(x)+ln(x·x

n-2)=ln(x)+ln(x)+ln(x

n-2)=ln(x)+…+ln(x)=n·ln(x)

4. ( ) ( ) ( )n

xxxnxx nn

nn )ln(

ln·lnln)ln( =→=

=

5. ( ) )ln()ln()/ln(ln )ln()ln(

)ln(

)ln(/ yxyxe

e

e

y

xe yx

y

xyx −=→=== −

6. ( )

xe

dx

dex

x

x

x

111')ln(

)ln(

)ln(

==

=

7. Como f’(x)=1/x y el dominio es ℝ+ entonces f´(x)>0, y la función es creciente.

8. Como ln(1)=0, y y=ln(x) es creciente luego antes de 1 negativo, y después positivo.

6. Función exponencial de base arbitraria, y=ax

6.1. Definición exponencial de base a: y=ax

La función exponencial de base a se define como composición de la función exponencial y

la función lineal pa(x)=x·ln(a), cuyo dominio es ℝ y es creciente si a>1 y decreciente si 0<a<1.

Así la función exponencial de base a es definida como: y=f(x)=ax=e

x·ln(a)=

( )∑

∞

=0 !

)·ln(

n

n

n

ax.

Comprobemos en el apartado siguiente que cumple los requisitos marcados para ser función

exponencial, es decir ser morfismo de grupos de (ℝ, +) a (ℝ,·) y continua en ℝ en el siguiente

punto.



6.2. Propiedades

Veremos las propiedades de la función exponencial ax, donde veremos que muchas de las

propiedades depende de si a>1 o 0>a>1.

1. ax continua en todo ℝ

2. a0=1 Propiedades función exponencial.

3. ax+y

=ax·a

y

4. a1=a

5. ax definida positiva en todo ℝ

6. ln(ax)=x·ln(a)

7. (ax)

y=a

x·y

8. (ax)’=a

x·ln(a)

9. Si a>1 la función es creciente, si 0<a<1 la función es decreciente

10.

<<

>∞=

∞→ 100

1lim

asi

asia x

x

<<∞

>=

−∞→ 10

10lim

asi

asia x

x

Demostraciones: basadas en la definición de ax como composición de funciones:

1. ax=e

x·ln(a), composición de dos funciones continuas, luego es continua

2. a0=e

0·ln(a)=e

0=1

3. ax+y

=e(x+y)·ln(a)

=eln(a)·x

·eln(a)·y

=ax·a

y

4. ax=e

x·ln(a) como e

x definida positiva en todo ℝ, entonces a

x también.

5. a1=e

1·ln(a)=e

ln(a)=a

6. ln(ax)=ln(e

x·ln(a))=x·ln(a)

7. (ax)

y= ( ) yxayxyax aee ·)·ln(·)ln( ==

8. (ax)’= ( )

)·ln())'·ln(·()·ln()·ln(

aaaxedx

ed xaxax

==

9. Por ser ax definida positiva se cumple a) si a>1, ln(a)>0 y entonces (a

x)’=a

x·ln(a)>0 y la

función creciente; b) si 0<a<1 entonces ln(a)<0 y por tanto (ax)’<0 y la función decrece.

10. Si a>1 � ln(a)>0 y si 0<a<1 � ln(a)<0. Se cumple así

- Si a>1 : ∞=== ∞

∞→∞→eea ax

x

x

x

)·ln(limlim ; 0limlim )·ln( === −∞

−∞→−∞→eea ax

x

x

x

- Si 0<a<1 0limlim )·ln( === −∞

∞→∞→eea ax

x

x

x; ∞=== ∞

−∞→−∞→eea ax

x

x

x

)·ln(limlim

7. Función logarítmica de base arbitraria, y=loga(x)

7.1. Definición del logaritmo de base a>0

Podemos definir la función logaritmo en base a, y=loga(x) como la inversa de la función ex-

ponencial de base a. Es decir f(x)=loga(x) definida de tal forma que:

1. loga(x)=y �� x=ay

2. xaaxx

aa == )(log

)(log

Veremos en el siguiente apartado que la función y=loga(x) cumple ser morfismo de grupos

entre (ℝ,·) y (ℝ,+).

Notación: log10(x)=log(x)



7.2. Propiedades del logaritmo de base a>0

Veremos las propiedades de la función logarítmica y como depende muchas de ellas del

valor de a.

1. loga(1)=0 7. Cambio de base: loga(x)=logb(x)/logb(a)

2. loga(x·y)=loga(x)+loga(y) 8. loga(b)·logb(a)=1

3. loga(x/y)=loga(x)-loga(y) 9. Si a>1 la función creciente, si a<1 decrece

4. loga(xn)=n·loga(x) 10.

<<∞−

>∞=

∞→ 10

1)(loglim

asi

asixa

x

5. n

xx an

a

)(log)(log = 11.

<<∞

>∞−=

+→ 10

1)(loglim

0 asi

asixa

x

6. )·ln(

1)(log

axdx

xd a =

Demostraciones: a partir de la definición del logaritmos como inversa de la función ex-

ponencial.

1. a0=1 � loga(1)=0

2. ( ) )(log)(log)(log)(log)·(log···

yxyxyx aaaaa aaayxayx+==== � loga(x·y)=loga(x)+loga(y)

3. )(log)(log

)(log

)(log)/(log yx

y

xyx aa

a

a

a aa

a

y

xa

y

x −====

� loga(x/y)=loga(x)-loga(y)

4. loga(xn)=loga(x·x

n-1)=loga(x)+loga(x·x

n-2)=loga(x)+loga(x)+loga(x

n-2)=…=n·loga(x)

5. ( ) ( )n

xxxnxx an

a

despejandona

nn

aa

)(log)(log·loglog)(log = →=

=

6. xaaa

dx

addx

xdx

x

x

a

a

a

)·ln(

1

)·ln(

1

)(

1)(log)(log

)(log

==

=

7. Llamemos z=loga(x), t=logb(x) � x=az , x=b

t � a

z=b

t, luego t=logba

z � t=z·logba, susti-

tuyendo logb(x)=loga(x)·logb(a)� loga(x)=logb(x)/logb(a)

8. Aplicando la proposición anterior con x=b � loga(b)=logb(b)/logb(a) � loga(b)·logb(a)=1

9. El signo de la derivada de la función y’= xa)·ln(

1 en el dominio x>0 es: Si a>1 entonces

ln(a)>0 e y’>0 la función creciente, si 0<a<1 ln(a)<0 e y’<0 decreciente.

10. →∞=> ∞acumpleseasi 1 ∞=∞→

)(loglim xax

,

∞=<< −∞acumpleseasi 10 � −∞=∞→

)(loglim xax

11. →=> +−∞ 01 acumpleseasi −∞=

+→)(loglim

0xa

x

,

+∞ =<< 010 acumpleseasi � ∞=+→

)(loglim0

xax

8. Gráficas de la función exponencial y logarítmica

8.1. Gráfica de la función exponencial

Vamos a ver las gráficas de las funciones exponenciales según los valores de la base a∈ℝ.

Las gráficas se basan en las propiedades vistas en el apartado 6. Lo más importante es:



1. Monotonía (si a>1 crece y si 0<a<1 decrece)

2. Tendencias:

∞==<<

=∞=>

−∞→∞→

−∞→∞→x

x

x

x

x

x

x

x

aaasi

aaasi

lim;0lim10

0lim;lim1

3. y’=ax·ln(a): ∀x∈ℝ

<<

>

ntodecrecimieelesmenoraseamenorasi

ocrecimientelesmayoramayorasi

10

1

8.2. Gráficas de la función logarítmica

Vamos a ver las gráficas de las funciones logarítmicas según los valores de la base a∈ℝ. Las

gráficas se basan en las propiedades vistas en el apartado 7. Lo más importante es:

1. Dominio es x∈ ℝ+

2. Monotonía (si a>1 crece y si 0<a<1 decrece)

3. Tendencias:

∞=−∞=<<

−∞=∞=>

+

+

→∞→

→∞→

)(loglim;)(loglim10

)(loglim;)(loglim1

0

0

xxasi

xxasi

ax

ax

ax

ax

4. y’=1/(x·ln(a)): ∀x∈ℝ

<<

>

ntodecrecimieelesmenoraseamenorasi

ocrecimientelesmenoramayorasi

10

1

ex 1.5

x 3

x (1/3)

x (1/e)

x (2/3)

x

ln(x)

Log3(x)

Log2(x)

Log1/3(x

log1/e(x)

log1/2(x)



8.3. Función exponencial frente a la logarítmica

Como la función exponencial es la inversa de la función logarítmica (o al revés) se cumple

que las dos funciones son simétricas respecto a la función identidad y=x. Basta verlo en la si-

guiente tabla de valores.

y=2x y=log2(x)

x Y x y

-2 ¼ ¼ -2

-1 ½ ½ -1

0 1 1 0

1 2 2 1

2 4 4 2

9. Situaciones reales donde aparecen

9.1. Función exponencial.

Las funciones exponenciales aparecen en multitud de situaciones en la física, la ingeniería

y las funciones sociales. La función exponencial y=ex solución a la ecuación diferencial kx

dx

dy=

y de las de segundo orden xkdx

yd 2

2

2

=

Las funciones exponenciales son típicas de los fenómenos cooperativos:

1. Exponencial con a>1 (creciente): cuando el incremento de una cantidad produce que

colabore en el incremento siendo por tanto el crecimiento cada vez mayor.

2. Exponencial con a<1 (decreciente): cuando el decrecimiento de la función es cada vez

menor hasta estabilizarse en un valor.

a) Desintegración atómica

Existen elementos en la naturaleza que no son estables, por lo que sus átomos emiten ra-

diaciones. A medida que la sustancia se irradia el elemento inestable se va estabilizando, de

forma que la radiación disminuye. En un tiempo grande (t�∞) el elemento es totalmente es-

table y ya no radia. Es por tanto un fenómeno exponencial con a<1 o con a>1 pero exponente

negativo. N(t)=N0·e-kt

, donde N0= átomos iníciales y K=cte de radiactividad.

Se llama periodo de semidesinte-

gración al tiempo en el que la sus-

tancia tiene la mitad de átomos

radiactivos (N0/2)� t1/2=ln(2)/k



b) Carga y descarga de un condensador

La carga y descarga de un condensador de capacidad C en serie con una resistencia R es

otro ejemplo de magnitud que se comportan de forma exponencial. Si se carga, cada vez que

pase el tiempo el condenador iguala la tensión con la pila y por tanto la carga es más lenta

hasta que llega a la tensión de la pila. Por otro lado la intensidad cada vez es menor hasta que

esta se hace cero. Veamos el esquema del circuito y el valor del voltaje del condensador y de la

intensidad que circula.

Se llama RC=τ la constante del tiempo de la carga del condensador.

c) Productividad del dinero a plazo fijo.

Si introducimos un dinero a plazo fijo, por ejemplo 200€ a 10% anual. El primer año ten-

dremos que el dinero ha aumentado hasta los 220€, en el segundo año los 20€ que ha aumen-

tado nuestro dinero también producen intereses, por lo que el segundo año aumentará en 22€

nuestro saldo. Así cada año el aumento es mayor, por lo que estamos en un claro ejemplo de

un exponencial con a>1, aunque no es una función pues la variable independiente (tiempo en

años) sólo toma valores naturales.

Capital=200€·(1.1)n con n=años.

RCt

RCt

eR

VI

RC

I

dt

dI

eVVRC

V

dt

dV

−

−

=→−=

−=→−=

ε

ε 1·



d) Crecimiento o decrecimiento poblacional

El crecimiento poblacional o crecimiento demográfico es el cambio en la población en un

cierto plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una po-

blación por unidad de tiempo para su medición. El término crecimiento demográfico puede

referirse técnicamente a cualquier especie, pero se refiere casi siempre a seres humanos.

Un modelo de crecimiento muy aplicado en poblaciones donde hay todos los recursos ne-

cesarios y no hay limitaciones para el crecimiento es el crecimiento exponencial positivo, por el

contrario si la población la población decrece de forma brusca el modelo usado es el creci-

miento exponencial negativo. P(t)=P0·e±kt

e) Control de sistemas de primer grado a una entrada escalón

La función exponencial es la forma típica que tienen los sistemas de control de primer or-

den (ecuaciones diferenciales de primer orden) a una entrada escalón.

Por ejemplo queremos que una bomba de agua suministre una cantidad de agua constan-

te, de valor por ejemplo de 10l/s, entonces el comportamiento del sistema es de la forma:

flujo=10·(1-e-t/τ

) donde τ es una constante que depende del sistema.

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

TEMA 22.

9.2. Función logarítmica

La función logarítmica es menos utilizada que la función exponencial, si bien tiene gran i

terés a la hora de calcular las soluciones a expresiones exponenciales al ser la inversa de esta.

Muchas magnitudes cuyo crecimiento es exponencial en base 10 se utiliza su represent

ción la escala logarítmica. En esta escala el crecimiento exponencial re

recta, siendo las medidas en esta escala denominada decibelios (db). Así una magnitud que

aumenta en 2db implica que esta aumenta su magnitud en un factor 10

x=102·x0

Los ejemplos más conocidos que se miden en escala lo

de los terremotos (escala Richert). También se trabaja en los diagramas de bode que e

representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema

10. Contexto con secundaria.

En el curso 4º de la ESO se estudia en las dos ramas (Matemáticas A y B) la representación

de la función exponencial, y en la opción B también la función logarítmica.

En bachillerato se estudian el comportamiento y la gráfica de las funciones a partir de de la

expresión analítica.

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)


Función logarítmica

La función logarítmica es menos utilizada que la función exponencial, si bien tiene gran i


Muchas magnitudes cuyo crecimiento es exponencial en base 10 se utiliza su represent

ción la escala logarítmica. En esta escala el crecimiento exponencial representado por una


aumenta en 2db implica que esta aumenta su magnitud en un factor 102: log(x/x

Los ejemplos más conocidos que se miden en escala logarítmica es la medida del sonido o

de los terremotos (escala Richert). También se trabaja en los diagramas de bode que e

representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema

Contexto con secundaria.

rso 4º de la ESO se estudia en las dos ramas (Matemáticas A y B) la representación

de la función exponencial, y en la opción B también la función logarítmica.

bachillerato se estudian el comportamiento y la gráfica de las funciones a partir de de la

12

La función logarítmica es menos utilizada que la función exponencial, si bien tiene gran in-


Muchas magnitudes cuyo crecimiento es exponencial en base 10 se utiliza su representa-

presentado por una


: log(x/x0)=2db �

garítmica es la medida del sonido o

de los terremotos (escala Richert). También se trabaja en los diagramas de bode que es una

representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema.

rso 4º de la ESO se estudia en las dos ramas (Matemáticas A y B) la representación

bachillerato se estudian el comportamiento y la gráfica de las funciones a partir de de la

Documents

TEMA22. Función Exponencial y Logarítmica