1CAPTULO IIFUNCION EXPONENCIAL, LOGARTMICA Y PROGRESIONES

FUNCIN EXPONENCIAL

2.1. INTRODUCCINEn la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenmenos que se rigen porleyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capitalinvertido a inters continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso,tambin las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo dedesintegracin para producir otros tipos de tomos y generar energa y radiacionesionizantes.

2.2. DEFINICIN DE FUNCIN EXPONENCIALSe llama funcin exponencial de base a aquella, cuya forma genrica es f (x) = ax,siendo a un nmero positivo distinto de 1. Por su propia definicin, toda funcinexponencial tiene por dominio de definicin el conjunto de los nmeros reales R.La funcin exponencial puede considerarse como la inversa de la funcin logartmica,por cuanto se cumple que:

Representacin grfica de varias funciones exponenciales.

Funcin exponencial, segn el valor de la base.

2.3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALESPara toda funcin exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientespropiedades generales: La funcin aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

f (0) = a0 = 1. La funcin exponencial de 1 es siempre igual a la base:

f (1) = a1 = a. La funcin exponencial de una suma de valores es igual al producto de la

aplicacin de dicha funcin aplicada a cada valor por separado.f (x + y) = ax+y = ax ay = f (x) f (y).

2 La funcin exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicacin alminuendo dividida por la funcin del sustraendo:f (x - y) = ax-y = ax/ay = f (x)/f (y).

2.4. EJEMPLOS:Entre los fenmenos que podemos citar con crecimiento exponencial, se encuentran:El nmero de clulas de un feto mientras se desarrolla en el tero materno.

En una economa sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasacoincide con el ndice de inflacin.

El nmero de bacterias que se reproducen por mitosis

3CAPTULO IIIFUNCIN LOGARTMICA

3.1. INTRODUCCINComo la exponencial, la funcin logartmica se utiliza con asiduidad en los clculos ydesarrollos de las matemticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entreotros fines, se usa ampliamente para comprimir la escala de medida de magnitudescuyo crecimiento, demasiado rpido, dificulta su representacin visual o lasistematizacin del fenmeno que representa.

3.2. DEFINICIN DE FUNCIN LOGARTMICAUna funcin logartmica es aquella que genricamente se expresa como f (x) = logax,siendo a la base de esta funcin, que ha de ser positiva y distinta de 1.La funcin logartmica es la inversa de la funcin exponencial, dado que:

loga x = b ab = x.

Representacin grfica de funciones logartmicas y de sus inversas (exponenciales).

3.3. PROPIEDADES DE LA FUNCIN LOGARTMICALas propiedades generales de la funcin logartmica se deducen a partir de las de suinversa, la funcin exponencial. As, se tiene que: La funcin logartmica slo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero.

Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+). Las imgenes obtenidas de la aplicacin de una funcin logartmica

corresponden a cualquier elemento del conjunto de los nmeros reales, luego elrecorrido de esta funcin es R.

En el punto x = 1, la funcin logartmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquierbase.

La funcin logartmica de la base es siempre igual a 1. Finalmente, la funcin logartmica es continua, y es creciente para a > 1 y

decreciente para a < 1.

APLICACIONESFUNCIN EXPONENCIAL

La funcin exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo queel aumento (o disminucin) en un pequeo intervalo de tiempo sea proporcional a lo quehaba al comienzo del mismo.A continuacin se ven tres aplicaciones:- Crecimiento de poblaciones.

4- Desintegracin radioactiva.- Inters del dinero acumulado.

1. Inters compuestoEn el inters compuesto los intereses producidos por un capital, C0 se van acumulandoa ste, de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses.Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, sellaman periodos de capitalizacin o de acumulacin. Si son t aos, r es el rdito anual(inters anual en %) el capital final obtenido viene dado por la frmula:

Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 si es en meses, n=4 si son trimestres,n=365 si es en das,...) la frmula anterior queda:

Ejemplo:Se colocan 5000 al 6% anual. En cunto se convertirn al cabo de 5 aos?.Veremos los casos posibles:

- Si los intereses se acumulan anualmenteCF= 5000x1.065= 6691,13

- Si los intereses se acumulan mensualmente= 5000. 1 + =5000x1,00560= 6744,25 - Si los intereses se acumulan trimestralmente= 5000. 1 + =5000x1,01520= 6734,27

2. Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacin viene dado por la diferencia entrenacimientos y defunciones.Si inicialmente partimos de una poblacin P0, que tiene un ndice de crecimiento i(considerado en tanto por 1), al cabo de t aos se habr convertido en:

Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacin crece anualmente un 3%.- Cuntos habitantes habr al cabo de 8 aos?

La expresin sera: P=P0.(1+0,03)tDonde P0 es la poblacin inicial y t el tiempo en aos.P=600x1.038 = 760

3. Desintegracin radiactivaLas sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de unacierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por:

M0 es la masa inicial,0

5La rapidez de desintegracin de las sustancias radiactivas se mide por el periodo dedesintegracin que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.

Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 aos, si en el ao 2000 tenamos20 gr y tomamos como origen de tiempo el ao 2000.- La funcin es:( ) = . 0,5 =20x0,9755t- En el ao 2053 quedar:

M=20x0,975553 = 5,38 gr

EJEMPLOS ADICIONALES

1. La vida media del estroncio 90, es de 25 aos. esto significa que la mitad de cualquiercantidad dada de estroncio 90 se desintegrar en 25 aos.a) si una muestra de estroncio 90 tiene una masa de 24 mg, encuentre una expresin

para la masa m(t) que queda despus de t aos.b) encuentre la masa restante despus de 40 aos.

SOLUCIN:

La expresin general ser: ( ) = . 2a) ( ) = 24.2b) (40) = 24.2 =7,92 mg

2. En condiciones ideales, se sabe que cierta poblacin de bacterias se duplica cada 3horas. suponga que primero hay 100 bacterias.a) cul es el tamao de la poblacin despus de 15 horas?b) cul es el tamao despus de t horas?c) estime el tamao de la poblacin despus de 20 horas

SOLUCIN:

A)

(15) = 100. 2(15) = 100. 2(15) = 3200 BACTERIASB) ( ) = 100. 2C)

(20) = 100. 2(20) = 10159 BACTERIAS3. Si una poblacin de bacterias comenz con 100 y se duplica cada tres horas, la

cantidad de ejemplares despus de t horas es = ( ) = 100. 2a) Cundo habr 50000 ejemplares?

6SOLUCIN:

50000 100 2

50000 100 2

50000 1003

2

350000 100

226 897

3

3

=

=

= +

=

=

t

t

t

t

t

ln ln

ln ln ln

ln lnln

. hrs.

4. En enero del 2010 adquiriste un auto en $100000. si cada ao disminuye 13% su valorinicial, cunto valdr en el ao 2019?SOLUCIN:

( ) ( )( ) ( )( )

v t

vv

t=

=

=

100000 0 87

9 100000 0 879 4

9

.

.$28554.

5. Si inviertes $1500 en una cuenta bancaria que proporciona 23% de inters anual aplazo fijo de 5 aos. Cul es el monto que recibirs al concluir el plazo del depsito?SOLUCIN:

( )( ) ( )( )

v t i

vv

t= +

=

=

1500 1

5 1500 1235 96

5

( )

.$4222.

6. Un almacn de aparatos electrodomsticos liquida mercanca de exhibicin con ligerosdeterioros, mediante el sistema de reducir cada ao 35% el precio de esta mercancaque va quedando almacenada. si compras un refrigerador almacenado tres aos, conun precio inicial de $12455, cunto pagars por l?

SOLUCIN:( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

v t

v t

vv

t

t

=

=

=

=

12445 1 0 35

12445 0 65

3 12445 0 653 70

3

.

.

.$3417.

7. Si un cuarto de jugo de naranja contiene 200 mg de vitamina C y sta se oxida a raznde 12.5 mg cada minuto, cuntos mg de vitamina habr en el jugo si lo consumesdespus de transcurridos 35 minutos desde su elaboracin?

SOLUCIN:

7( )

( ) ( )( ) ( )( )

O t

O t

OO

t

t

=

=

=

=

200 112 5200

200 0 9375

35 200 0 937535 2089

35

.

.

.. mg

8. En una ciudad, de 9000 habitantes se esparce un rumor de modo que cada hora seduplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. cuntas personasconocern el rumor al cabo de 12 horas?

SOLUCIN:

( )( )( )

N tN tN t

t=

=

=

224096

12

PERSONAS

9. Si depositas $100000 en una cuenta bancaria que te produce intereses compuestos a15% anual. calcula el saldo en tu cuenta al cabo de tres aos, si los intereses secapitalizan continuamente.

SOLUCIN:

( ) ( )( ) ( )( )

v t e

v ev

t=

=

=

1000003 1000003 22

0 15

0 15 3

.

.

$156831.

10. Cunto tiempo debes dejar $25000 en una cuenta que capitaliza continuamenteintereses a 18% anual, para obtener $50000?

SOLUCIN:

50000 2500050000 2500050000 2500050000 25000 018

50000 25000018

385

0 18

0 18

0 18

=

=

= +

= +

=

=

ee

et e

t

t

t

t

t

.

.

.

ln lnln ln lnln ln . ln

ln ln.

.

8PARA PRACTICAR1. Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales. Escribe la funcin que relaciona el

nmero de botellas y su capacidad.2. Un mvil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante. Escribe la funcin

velocidadtiempo, calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50 km/h, y lavelocidad si el tiempo ha sido 5 horas.

3. Un grifo con un caudal de 8 litros/min tarda 42 minutos en llenar un depsito. Cuntotardara si el caudal fuera de 24 litros/min?. Escribe la funcin caudaltiempo.

4. Los costes de edicin, en euros, de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (x>0). Cunto cuesta editar 8 ejemplares?, y 80 ejemplares?. Escribe lafuncin que da el coste por ejemplar. Por muchos ejemplares que se publiquen, cules el coste unitario como mnimo?.

5. En qu se convierte al cabo de 15 aos un capital de 23000 al 5,5% anual?6. Un capital colocado a inters compuesto al 2% anual, se ha convertido en 3 aos en

9550,87. Cul era el capital inicial?7. Un capital de 29000 colocado a inters compuesto se ha convertido al cabo de 4 aos

en 31390,53 . Cul es el rdito (inters anual) a que ha estado colocado?8. Un capital de 7000, colocado a inters compuesto del 2% anual, se ha convertido al

cabo de unos aos en 8201,61. Cuntos aos han transcurrido?9. Cuntos aos ha de estar colocado cierto capital, al 3% anual, para que se duplique.10. El periodo de desintegracin del Carbono 14 es 5370 aos. En qu cantidad se

convierten 10 gr al cabo de 1000 aos?11. Cuntos aos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en

20,86 gr.? (Periodo de desintegracin del C14 5370 aos).12. Una muestra de 60 gr. de una sustancia radiactiva se convierte en 35,67 gr en 30 aos.

Cul es el periodo de desintegracin?.13. El tamao de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos. Si

suponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias, dentro decuntas horas tendr 320 millones de bacterias?.

14. El tamao de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos, si al cabode 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias, cuntas haba en el instanteinicial?

15. Calcula en cunto se convierte un capital de 9000 colocado al 4,5% anual durante 3aos.

16. La poblacin de una especie en extincin se reduce a la mitad cada ao. Si al cabo de9 aos quedan 12 ejemplares, cul era la poblacin inicial?

17. Con la calculadora halla el valor de x en 1,97x =215. Redondea el resultado acentsimas.

18. En el ao de 1990 la poblacin mundial de la Tierra era de 5 292 millones dehabitantes. Suponiendo que la tasa de crecimiento durante una dcada es de 18% ysta se mantiene constante:a) Cul ser la poblacin en los aos 2010, 2020 y 2030?b) Representen en una grfica los valores encontrados y discutan el tipo de

crecimiento que se da.c) A partir de la grfica estimen la poblacin para el ao 2050.

TRABAJO1. Un colegio muy prestigioso duplica su matrcula cada 4 aos. Si en el ao 2009 tena

320 alumnos. cuntos alumnos tendr en 3 decenios ms (estos son 30 aos es deciren el 2039)?

9En este problema primero hay que calcular la tabla de valores para cada 4 aos. Larespuesta es 40,960 alumnos.

2. Macarena est estudiando el crecimiento de una poblacin de insectos. Durante laprimera semana hay 500 insectos, la segunda semana hay 1500 y las semanassiguientes se sigue triplicando la poblacin. Cuntos insectos habr para la quintasemana? Expresa tu respuesta utilizando ecuacin exponencial es decir utilizandopotencias.Primero organiza la informacin en una tabla y despus represntalo grficamente.

3. Compras por $7000 un auto usado que se deprecia anualmente un 6%. Halla su valoral cabo de los aos indicados.a) 2 aos b) 5 aos c) 8 aos d) 10 aos

4. Un negocio gan $85,000 en 1990 y durante los 10 aos posteriores sus gananciasdisminuyeron anualmente en un 2%. Escribe un modelo de decremento exponencialpara las ganancias E en el ao t. t = 0 representar 1990.

5. Compras por $20,000 un camin usado que se deprecia anualmente un 15%. Halla suvalor al cabo de los aos indicados.a) 3 aos b) 8 aos c) 10 aos d) 12 aos

6. Decide si el modelo es de crecimiento exponencial o de decremento exponencial.Identifica el factor de crecimiento o decremento y el porcentaje de aumento odisminucin por perodo de tiempo.

a) y = 24(1.18)t b) y = 14(0.98)t c) y = 35(5/4)td) y = 112(0.4)t e) y = 9(2/5)t f) y = 97(1.01)t

7. La concentracin de aspirina que contiene la sangre de una persona puederepresentarse mediante la ecuacin y = A(0.8)t, donde y es la concentracin de aspirinaen miligramos (mg) contenida en la sangre, A la cantidad de aspirina tomada y t elnmero de horas transcurridas desde su ingestin. Halla la cantidad de aspirina quequeda en la sangre segn la dosis administrada.

a) Dosis: 250 mg b) Dosis: 500 mg c) Dosis: 750 mgTiempo: despus de Tiempo: despus de Tiempo: despus de

2 horas 3.5 horas 5 horas

8. En 1996, compraste por $10,500 un camin usado que se deprecia anualmente un 10%.Escribe un modelo de decremento exponencial para representar esta situacin.Despus estima el valor del camin al cabo de 10 aos.

9. Cada ao en el mes de marzo, se celebra el torneo de basquetbol de la NCAA paradeterminar el equipo campen nacional. Al iniciarse el torneo hay 64 equipos y en cadaronda se va eliminando a la mitad de los equipos.a) Escribe un modelo de decremento exponencial que muestre el nmero de equipos N

que quedan en el torneo despus de la ronda t.b) Cuntos equipos quedan despus de 3 rondas? .Y despus de 4?

10. En 2010, compras por $8000 un terreno. Su valor se deprecia anualmente un 4%.Qu valor aproximado tendr en 2017?

10

A) $5760 B) $5771 C) $6012 D) $6262

11. El noticiero local de una emisora de TV cuenta con 50,000 telespectadores. Losgerentes piensan aumentar mensualmente ese nmero en un 2%. Escribe un modelode crecimiento exponencial para representar el numero en t meses.