Función exponencial

Una función exponencial f está

dada por:

f(x) = ax

donde x es cualquier número real,

a > 0 y a ≠ 1. El número a se

llama base.

x

ytabulamos:

Gráfica de f(x)=2x

x

y

xy 2

La curva se acerca al eje x pero no lo toca nilo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

La gráfica es:CrecienteCóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; 2).

x

y

a = 2

seguir

xay

x

y

a = 3

seguir

xay

x

y

a = 4

seguir

xay

x

y

a = 5

seguir

xay

x

y

a = 1.5

seguir

xay

x

y

a = 1.2

seguir

xay

x

y

a = 1

seguir

xay

tabulamos…

x

y

Gráfica de f(x)=(½)x

x

y

x

y21 La gráfica es:

DecrecienteCóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; ½ ).

La curva se acerca al eje x pero no lo toca nilo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

x

y

a = 0.5

seguir

xay

x

y

a = 0.33

seguir

xay

x

y

a = 0.25

seguir

xay

x

y

a = 0.2

seguir

xay

Muy importante!!x

y

f(x)=

a > 1

xa

);1( 1a

);2( 2a

);1( 1a)1;0(

Función crecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba

Conclusiones

OJO!!

x

y

f(x)=

0 < a < 1

xa

)1;0();1( 1a

);2( 2a

);1( 1a

);2( 2a

Función decrecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba

Conclusiones

n

1 S/.2,00000

2 S/.2,25000

3 S/.2,37037

4 S/.2,44141

12 S/.2,61304

52 S/.2,69260

365 S/.2,71457

8760 S/.2,71813

525600 S/.2,71828

…. …..

n)n1(1A

El monto obtenido crece como puede apreciarse pero solo hasta cierta cantidad, es decir cuando n se hace muy grande…

....718281828,2

11lim

e

ne

n

n

El número e

Gráfica de f(x) = ex

x

y

xey

Función crecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba

x ex

0 1

1 2,71..

2 7,38..

x

y

xy 3xy 2

xey

Gráfica de f(x) = ex

f

g

Note que: y = f(x) y x = g(y)

g(y)x. .y = f(x)

Diagrama de una función inversa

Definición

Sean f y g dos funciones tales que: dominio de f es D y rango Cdominio de g es C y rango D

g es la inversa de f si se cumple:

– g(f(x)) = x para todo x en D

– f(g(x)) = x para todo x en C

Función logarítmo

log ax = y ay = x

a>1 y a≠1

• El logaritmo de un número x en una base

a es el exponente y al que hay que

elevar la base para obtener el número.

Ecuación logarítmica Ecuación exponencial

NMalog MaN

2100log10

201,0log10

21

49 7log

100102

01,010 2

74921

Exponenciales y logarítmos

xxy y2log2

¼ -2

½ -1

1 0

2 1

4 2

8 3

yx 2 y

x

y

graficamos…

Gráfica de f(x) = log 2 x

x

y

xy 2log

Se observa que ahora la asíntota vertical es el eje y

La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo y pasa por (1; 0)

¿cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2?

¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?

x

y

xxf 2)(

xxg 2log)(

xy

(2; 4)

(4; 2)

Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Cada punto (a; b) de la curva exponencial tiene su simétrico de la forma (b; a) en la curva logarítmica.

x

y

a = 2

seguir

xy alog

x

y

a = 2,5

seguir

xy alog

x

y

a = 3

seguir

xy alog

x

y

a = 3,5

seguir

xy alog

x

y

a = 4

seguir

xy alog

x

y

a = 4,5

seguir

xy alog

x

y

a = 5

seguir

xy alog

x

y

a = 1,6

seguir

xy alog

x

y

a = 1,2

seguir

xy alog

a = 0,8

x

y

seguir

xy alog

a = 0,7

x

y

seguir

xy alog

a = 0,6

x

y

seguir

xy alog

a = 0,5

x

y

seguir

xy alog

a = 0,4

x

y

seguir

xy alog

x

y

xy alog

a > 1

Función crecienteDominio: (0; ∞)Rango: Asíntota: Eje yGráfica cóncava hacia abajo

base

a

Conclusiones

x

y

xy alog

0 < a < 1

Función decrecienteDominio: (0; ∞)Rango:Asíntota: Eje yGráfica cóncavahacia arriba

a

base

Conclusiones

Propiedades de logarítmos

eedcb

b

aa

mb

an

ma

an

a

xmx

nmn

m

nmnm

abya

adcba

x

xb

m

bm

b

bn

b

am

a

bbb

bbb

yb

b

n

loglog.log.log.log)8

log

loglog)7

)6

loglog)5

log1

log)4

loglog)3

logloglog)2

loglog.log)1

log

log

Para cualquier número positivo x.

xx loglog10

Logarítmo decimal o común

El logaritmo log10 x se llama

logaritmo común de x y su forma abreviada es log x.

Son aquellos cuya base es el número e ≈ 2,7182818..

Para cualquier número positivo x.

xxe lnlog

Logaritmo natural

x

y

e

Posee las características de toda gráfica logaritmica de base mayor que 1.

Gráfica de f(x) = ln x

Resolver: 15)5(2 xx

EXPONENCIALES

0)5)(2( 55 xx

0)5)(2( xx

05210 2xxx

01072 xx

0)2)(5( xx

0205 xx

25 xx

C.S: {2;5}

Resolver:

EXPONENCIALES

C.S:

25 272 12 x xx x aa

25

27

2

12

x

x

x

x

aa

25

27

2

12

x

x

x

x

)2)(27()25)(12( xxxx

41272910 22 xxxx

042129710 22 xxxx

06213 2 xx

25 272 12 x xx x aa

)(2

))((42

a

cabbx

)2(2

)2)(1(477 2

x

4

8497x

4

417x

0272 xx

4

417;

4

417

Resolver:

LOGARITMOS

2log216loglog3

xx

2

3

2log16loglog

xx

23

2log

16log

xx

23

216

xx

416

23 xx

4

162

3

x

x

4x

C.S: {4}

Resolver:

LOGARITMOS

Rpta: 4

49log25log3log4log 2759

22

275

2

37log.5log.3log.2log 2

7log.5log.3log.2log2

2.2.22753

3log.5log.7log.2log.4 5723

3log.4 3

)1.(4

4

Resolver:

LOGARITMOS

Rpta: 32

2log3243

2log5 3)3(2log5 335

3 2log352

32

Resolver:

LOGARITMOS

Rpta:

122 23x

12log2log 23x

12log2log)23( 22x

3log2log2log2log)23( 2222x

3log1123 2x

2log

3log43x

30.0

48.043x

46,13x6,53x

.)(87,1 aproxx

Para cualesquier números positivos a, M y N, a ≠ 1 ycualquier número real k:

MkM

NMN

M

NMNM

ka

a

ak

a

aaa

aaa

ka

a

a

loglog.6

logloglog.5

logloglog.4

log.3

01log.2

1log.1

Propiedades de logarítmos