Frakcionálne integrované procesy

Frakcionálne integrované procesyFrakcionálne integrované procesy

ACF stacionárnych procesov ARMA s rastúcim oneskorením exponenciál-ne klesá korelácia náhodných premenných, ktoré sú od seba časovo vzdialené je štatisticky nevýznamná. V hydrologickej praxi sa však často stretávame s časovými radmi tvorenými stacionárnymi procesmi, v ktorých sú aj časovo veľmi vzdialené náhodné premenné pomerne silno korelované. Na tento jav v hydrologických časových radoch prvý raz upozornil už v roku 1951 Hurst. Časové radyČasové rady s touto vlastnosťou nazývame rady s dlhou pamäťous dlhou pamäťou (generujú ich stochastické procesystochastické procesy, ktoré nazývame procesy s dlhou pamäťous dlhou pamäťou). Ich charakteristickou vlastnosťou je, že hodnoty ACFhodnoty ACF neklesajúneklesajú s rastúcim oneskorením exponenciálne ale hyperbolickyexponenciálne ale hyperbolicky..

Uvažujme proces

d Xt = t.

Ak je d = 0, je to proces bieleho šumu. Ak je d celé kladné číslo, ide o integrovaný proces I(d), t. j. nestacionárny proces. Ak je d celé záporné číslo, je to neinvertibilný proces.

Ak d nie je celé číslo, potom sa operácia d = (1 - B)d nazýva frakcionálne diferencovanie. Modely s neceločíselným d sa nazývajú frakcionálne integrované procesy rádu d:

(1 – B)d Xt = t

kde t je proces bieleho šumu.

Binomický rozvoj (1 – B)d

Pre gamma funkciu plati:

(k – d) = ((k – d – 1) (k – d – 2) …, (2 – d) (1 – d) (-d)) (– d)

k

1k

1k32

d B!k

1kd1dd11

!3

B2d1dd

!2

B1ddBd1B1

k

1kk

d B1B1

1kd

dk

!k

1kd1dd1 1k

k

Autoregresná reprezentácia frakcionálne integrovaného procesu rádu d:

t1k

ktkt XX

Gamma funkcia (v systéme Mathematica Gamma[z]):

0

t1z dtetz

Binomický rozvoj (1 – B)-d

k

1k

32d B

!k

1kd1dd1

!3

B2d1dd

!2

B1ddBd1B1

k

1kk

d B1B1

Reprezentácia frakcionálne integrovaného procesu rádu d v tvare kĺzavých priemerov:

1kktktX

Frakcionálne integrovaný proces rádu d môžeme vyjadriť aj v tvare reprezentácie kĺzavých priemerov:

td

tttd B1XXB1

Pretože

d

1kd1dddk

1kd

dk

!k

1kd1ddk

môžeme písať:

... 2, 1, k ,dk

dk,k

Autokorelačná funkcia frakcionálne integrovaného procesu rádu d:

... 2, 1, k ,

d1dk

d1dkk

Stirlingova aproximácia pre veľké k:

bakbk

ak

;d

d1k;

d

k ;

d

k 1d2

k

1d

k

1d

k

Môžeme teda písať:

Parciálna autokorelačná funkcia frakcionálne integrovaného procesu rádu d:

Pre d < 0.5 je proces stacionárny, pretože:

0j

2j

Pre d > -0.5 je proces invertibilný, pretože:

0j

2j

V tomto prípade nazývame proces perzistentnýperzistentný alebo proces s dlhou pamäťouproces s dlhou pamäťou (long memory process).

Pre d 0.5 je proces nestacionárny a pre d -0.5 je neinvertibilný.

Pre 0 < d < 0.5 má proces všetky autokorelácie kladné a platí:

m

mkk

mlim

V tomto prípade nazývame proces antiperzistentnýantiperzistentný alebo proces so strednou proces so strednou pamäťoupamäťou.

Pre -0.5 < d < 0 platí:

Llimm

mkk

m

Uvažujme proces ARIMA(0, d, 0). Pre | d | < 1/2 platí:

1. {Xt} je proces stacionárny a invertibilný

2. ACF má tvar

t. j. pre k , takže pre 0.5 > d > 0 je (k) > 0 a s

rastúcim posunutím k klesá ACF monotónne a hyperbolicky k 0 (tento

pokles je omnoho pomalší než pre d = 0).

3. PACF je daná vzťahom , k = 1, 2, .... Jej pokles je určený

číslom k-1, ktoré nezávisí od d.

Proces ARIMA(0, d, 0) je pre:

Kombináciou frakcionálneho diferencovania a procesu ARMA(p, q) sa získa trieda procesov ARFIMA(p, d, q). Dôležitou vlastnosťouDôležitou vlastnosťou týchto procesov je, že vplyv parametra d na vzdialené premenné s vplyv parametra d na vzdialené premenné s rastúcim oneskorením klesá hyperbolickyrastúcim oneskorením klesá hyperbolicky, ale vplyv AR a MA para-vplyv AR a MA para-metrov klesá exponenciálnemetrov klesá exponenciálne; dd teda charakterizuje korelačnú štruk-charakterizuje korelačnú štruk-túru pre veľké oneskoreniatúru pre veľké oneskorenia, ostatné parametre charakterizujú kore-ostatné parametre charakterizujú kore-lačnú štruktúru v malých oneskoreniachlačnú štruktúru v malých oneskoreniach. Aj keď je ARFIMA(p, d, q) pre 0.5 < d < 1 nestacionárny proces, vygenerované časové rady sú pritahované k strednej hodnote procesu.

0 < d < 0.5 proces s dlhou pamäťou ( |(k)| )

-0.5 < d < 0 proces so strednou pamäťou ( |(k)| konšt.)

d 0.5 nestacionárny proces

d -0.5 neinvertibilný proces

d < 0.5 stacionárny proces

d > -0.5 invertibilný proces

Príklad 1Príklad 1: Časový rad dĺžky 3000 simulovaný na základe procesu ARFIMA(0;-0,4;0) v tvare (1 – B)-0,4 Xt = t.

Časový rad nemá žiadnu vývojovú tendenciu z hľadiska strednej hodnoty ani rozptylu, môžeme ho teda považovať za stacionárny. Odhad autokorelačnej funkcie je štatisticky nevýznamne rôzny od 0 už pre posunutie k = 2. Súčet absolútnych hodnôt autokorelácií generujúceho procesu je konečné číslo. Ide teda o proces so strednou pamäťouproces so strednou pamäťou.

Korelačná funkcia Parciálna korelačná funkcia

Príklad 2Príklad 2: Časový rad dĺžky 3000 simulovaný na základe procesu ARFIMA(0;0,45;0) v tvare (1 – B)0,45 Xt = t.

Ani tento časový rad nemá žiadnu vývojovú tendenciu z hľadiska strednej hodnoty ani rozptylu, môžeme ho teda považovať za stacionárny. Hodnoty autokorelačnej funkcie klesajú k 0 veľmi pomaly a hyperbolicky, dá sa teda predpokladať, že súčet absolútnych hodnôt autokorelácií generujúceho procesu konverguje do nekonečna. Ide teda o proces s dlhou pamäťouproces s dlhou pamäťou.

Korelačná funkciaKorelačná funkcia Parciálna korelačná Parciálna korelačná funkciafunkcia


Tento časový rad má už jasnú vývojovú tendenciu, nemôžeme ho teda považovať za stacionárny. Hodnoty autokorelačnej funkcie klesajú k 0 veľmi pomaly, ale už nie hyperbolicky (skôr lineárne).

Korelačná funkciaKorelačná funkcia Parciálna korelačná Parciálna korelačná funkciafunkcia

Testovanie hypotézy pre modely s dlhou pamäťouTestovanie hypotézy pre modely s dlhou pamäťou

Nulová hypotéza H0: Xt je proces s krátkou pamäťou

Ak proces t spĺňa nasledujúce 4 podmienky:

1. E(t) = 0

2. 0 < D(t) < 3. E(t)k < pre k > 2

4. Korelácia medzi vzdialenými premennými je štatisticky nevýznam-ná

potom H0 pre daný proces nemôžeme zamietnuť.

Uvažujme proces Xt = + t, t = 1, …, n

kde je ľubovoľný parameter

t je stochastický proces s nulovou strednou hodnotou

Zamietnutie H0 ešte neznamená, že proces je s dlhou pamäťou, ale len to, že všetky 4 predchádzajúce podmienky nie sú splnené súčasne.

Používajú sa dve testovacie štatistiky. Pri prvej sa najprv vypočíta výraz:

kde a S(m) je aritmetický priemer a smerodajná odchýlka časového radu Xt, t = 1, …, m, 1 m n (odporúčaná hodnota je m = n/4, resp. m = n/2).

m

mQVm

ˆ

Potom sa vypočíta testovacia štatistika Vm:

Ak vypočítaná hodnota testovacej štatistiky patrí do intervalu (0.809; 1.862), na hladine významnosti = 0.05 nemôžeme zamietnuť nulovú hypotézu, že proces má len krátku pamäť. Ak je však hodnota mimo tohto intervalu, neznamená to ešte jednoznačne, že proces má dlhú pamäť. Potvrdíme (alebo vyvrátime) tento predpoklad použitím ďalšej testovacej štatistiky.

Najprv vypočítame výraz (odporúčané hodnoty q pre n > 125 sú n/10 a n/5) :

kde je odhad výberového rozptylu a autokovariancie s posunutím j časového radu Xt, t = 1, …, m, 1 m n.

Opäť vypočítame hodnotu normovanej testovacej štatistiky

Vm(q) = .

Ak je vypočítaná hodnota testovacej štatistiky mimo intervalu (0.809; 1.862), na hladine významnosti = 0.05 zamietame nulovú hypotézu, že proces má len krátku pamäť.

m

qm,Q̂

Príklad 1Príklad 1: Časový rad dĺžky 3000 simulovaný na základe procesu ARFIMA(0;-0,4;0) v tvare (1 – B)-0,4 Xt = t.

Prvá testovacia štatistika:

Druhá testovacia štatistika:

Vypočítané hodnoty testovacej štatistiky sú (až na jednu) mimo (0.809; 1.862). Na hladine významnosti = 0.05 zamietame nulovú hypotézu, že proces má len krátku pamäť.

Hodnota testovacej štatistiky je mimo (0.809; 1.862). Vypočítame preto aj druhú testovaciu štatistiku.


Hodnota testovacej štatistiky je mimo (0.809; 1.862). Vypočítame preto aj druhú testovaciu štatistiku.


Vypočítané hodnoty testovacej štatistiky sú mimo (0.809; 1.862). Na hladine významnosti = 0.05 zamietame nulovú hypotézu, že proces má len krátku pamäť.



Vypočítaná hodnota testovacej štatistiky je mimo (0.809; 1.862). Neznamená to jednoznačne, že proces má dlhú pamäť. Potvrdíme (alebo vyvrátime) tento predpoklad použitím druhej testovacej štatistiky.


Dve hodnoty testovacej štatistiky sú mimo a dve v (0.809; 1.862). Na hladine významnosti = 0.05 nevieme rozhodnúť, či má proces len krátku pamäť.


Postup pri testovaní mesačného hydrologického časového radu:

Tieto časové rady obsahujú výraznú sezónnu zložku (s periódou 12 mesiacov), ktorú odstránime nasledovne:

1. Upravíme časový rad do tvaru matice 12 x N (N - počet rokov) s prvkami Xij, i = 1, …, 12, j = 1, …, N.

2. Vypočítame priemernú hodnotu pre každý mesiac:

12 ..., 1, iXN

1X

N

1j

jii

,

3. Vypočítame smerodajnú odchýlku pre jednotlivé mesiace:

12 ..., 1, i ˆ

1N

XX

S

N

1j

2

iji

i

5. Označme Yt = Mij, i = 1, …, 12 pre každé j = 1, …, N. Tento časový rad sa nazýva štandardizovaný časový rad. Testovacie štatistiky Vm a Vm(q) sa počítajú pre štandardizovaný časový rad.

6. Najprv sa vypočíta testovacia štatistika Vm (odporúčané hodnoty pre m sú n/4 a n/2). Ak je hodnota Vm vo vnútri intervalu [0.809, 1.862], nulovú hypotézu na hladine významnosti = 0.05 nezamie-tame časový rad je generovaný procesom s krátkou pamäťou. V tomto prípade už nie je nutné počítať aj druhu testovaciu štatistiku Vm(q).

7. Ak je hodnota Vm mimo intervalu [0.809, 1.862], nulovú hypotézu ešte nemôžeme zamietnuť. To, že časový rad nie je generovaný procesom len s krátkou pamäťou treba overiť vypočítaním testovacej štatistiky Vm(q) (odporúčané hodnoty q pre n > 125 je n/10 a n/5). Ak je aj Vm(q) mimo intervalu [0.809, 1.862], na hladine významnosti = 0.05 môžeme zamietnuť nulovú hypotézu časový rad nie je generovaný procesom len s krátkou pamäťou.

4. Vypočítame „normované“ hodnoty:

i

ijiji

S

XXM

ˆ

Druhú skupinu tvoria jednokrokové metódy, v ktorých sa súčasne odhadnú všetky parametre modelu ARFIMA. Väčšina z nich je založená na rôznych variantoch metódy maximálnej vierohodnosti či už v časovej alebo vo frekvenčnej oblasti. Hlavným nedostatkom týchto metód je ich výpočtová zložitosť, nutnosť poznať počiatočné hodnoty pre jednotlivé parametre a možná existencia lokálneho extrému funkcie vierohodnosti.

Odhad parametrov modelov ARFIMAOdhad parametrov modelov ARFIMA

Prvú skupinu tvoria dvojkrokové metódy: najprv sa odhadne parame-ter d a potom sa odhadnú parametre modelu ARMA pre transformova-ný časový rad (filtrovaný frakcionálnym diferencovaním pre vypočíta-ný parameter d). Tieto metódy sú použiteľné len pre dostatočne dlhé časové rady.

Odhad parametrov pri modeloch ARFIMA je podstatne komplikova-nejší ako pri modeloch ARMA. Neceločíselný parameter d má v porovnaní s ostatnými parametrami špecifický význam, pretože podľa jeho hodnoty je možné určiť, či ide o proces s dlhou alebo krátkou pamäťou, stacionárny alebo nestacionárny. Existujú dve skupiny metód na odhad parametrov modelov ARFIMA.

1. Dvojkrokové metódy1. Dvojkrokové metódy

Najprv musíme rozdeliť časový rad do m spojitých úsekov dĺžky N, pričom m x N = n (celková dĺžka časového radu). Pre každý tento j-ty úsek (j = 1, …, m):

1. Vypočítame aritmetický priemer (označíme ho Ej) a smerodajnú odchýlku Sj

a. Hurstov koeficienta. Hurstov koeficient

2. Centrujeme dáta odčítaním aritmetického priemeru

Yi, j = Xi, j - Ej pre i = 1, …, N

3. Vytvoríme kumulatívny časový rad postupným sčítaním po sebe idúcich centrovaných premenných:

4. Určíme rozsah kumulatívneho časového radu odčítaním minimálnej hodnoty od maximálnej, čím získame štatistiku Rj:

Rj = max (Z1, j, …, ZN, j) - min (Z1, j, …, ZN, j)

5. Vydelíme rozsah Rj smerodajnou odchýlkou Sj (reškálovaný rozsah)

8. Dĺžku úseku N zväčšíme na najbližšie číslo, pre ktoré existuje také celé číslo m, že m x N = n. Kroky 1 - 7 opakujeme, pokiaľ N n/2.

7. Vypočítame priemer reškálovaných rozsahov pre všetky úseky dĺžky N:

9. Hurstov koeficient H, pre ktorý platí H = d + 0.5H = d + 0.5 odhadneme ako regresný parameter v lineárnej regresii, kde závisle premenná je

a nezávisle premenná je ln(N):NS

Rln

Aby sme dostali korektný odhad Hurstovho koeficientu H, musí byť v regresii minimálne 10 bodov.

Táto metóda je založená na odhade parametra d vo frekvenčnej oblasti. Vychádza z teórie lineárnych filtrov, ktorá umožní vyjadriť proces (1 - B)d Xt = t v tvare fX() = | 1 - e-i | -2d f(), kde fX() a f() sú spektrálne hustoty procesov Xt a t. Po úprave môžeme písať (v spojitom tvare):

b. Semiparametrický odhad db. Semiparametrický odhad d

v diskrétnom tvare:

Odhad parametra d sa získa z lineárnej regresie vychádzajúcej z predchádzajúcej rovnice pre rôzne frekvencie 1, 2, …, N:

Napriek tomu, že semiparametrický odhad parametra d je veľmi jednoduchý, nejasnosti spojené s určením čísla N pri silnej autoko-relácii procesu {uj} znižujú jeho atraktívnosť. Pri nevhodnej voľbe N môžeme totiž získať veľmi vychýlený odhad. Preto sa stále častejšie v praxi používajú jednokrokové metódy.

Predpokladá sa, že uj sú nezávislé rovnako rozdelené náhodné premenné s nulovou strednou hodnotou a rozptylom 2/6. Ak je {uj} proces bieleho šumu, regresiou sa získa dobrý odhad parametra d. Ak sú náhodné premenné autokorelované, platí vzťah regresie len pre frekvencie blízke 0 len v tomto prípade je odhad d konzistentný. Základnou otázkou v prípade korelovaných uj je teda určenie čísla N

(napr. N , resp. sa volí také N, aby bol reziduálny rozptyl regresie rovný približne 2/6).

n

Na testovanie parametra d sa používa štandardný t-test (jeden z výstupov príkazu Regress v systéme Mathematica).

2. Jednokrokové metódy2. Jednokrokové metódy

Táto metóda je určená k odhadu parametrov modelu ARFIMA v tvare

p(B) (1 - B)d Xt = q(B) t

za predpokladu, že t sú nezávislé náhodné premenné s rovnakým normálnym rozdelením pravdepodobnosti. Potom logaritmus presnej vierohodnostnej funkcie má tvar:

Metóda maximálnej vierohodnostiMetóda maximálnej vierohodnosti

kde je vektor parametrov modelu AR, je vektor parametrov modelu MA, n je autokovariančná matica procesu {Xt} typu n x n a XX je stĺpcový vektor náhodných premenných typu 1 x n.

Funkciu vierohodnosti môžeme prepísať pomocou autokorelačnej matice Pn typu n x n do tvaru:

Deriváciou podľa 2 získame odhad tohoto parametra

Maximalizáciou tejto funkcie získame maximálne vierohodné odhady parametrov d, , .

Hlavným problémom pri tejto metóde je výpočet autokorelačnej matice Pn a jej invertovanie. Boli vyvinuté mnohé iteračné metódy, ktoré okrem odhadov počítajú aj ich smerodajné chyby, potrebné k t-testom.

Potom už môžeme uvažovať funkciu vierohodnosti bez parametra 2

Documents

Frakcionálne integrované procesy