filminas de Circuitos acoplados

CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNTICAMENTE

-

TRANSFORMADOR

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATAFACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA

Circuitos acoplados magnticamente _ Pablo Morcelle del Valle




iB

Efectos magnticos de la corriente

I I

I

F

i

l

Seccin recta S

i = BS




u (t)1 (t)

N1

11

1( ) = t u dtN

( ) = du t Ndt

y de acuerdo a la ley de Faraday

u (t)1 (t)

u (t)2

NN1 2

2 2( )( ) = d tu t N

dt

2 2( )( ) d tu t N

dt

=

El signo de u2(t) debe ser tal que el efecto se oponga a la causa que le da origen, por lo tanto:




Por otra parte, dada ( )

=du t Ndt

( ) = diu t Ldt junto a

resulta

=L Ni

22 2

( )( ) di td tN Ldt dt

=

Adems, si la bobina de la derecha se cortocircuitara

u (t)1 (t)

u (t)2

NN1 2

Autoinductancia

que se puede reescribir

Adems, la relacin de y a travs del flujo, origina

Y combinando y resulta




Recordando la expresin:

e indica que u2 depende de i1 a travs de una constante M, llamada inductancia mutua

21

M Ni

=2 2( )( ) = d tu t N

dt1

2( )

( ) =di tu t M

dt

1 1( )( ) = d tu t N

dt

1 1

2 2

N uaN u

= =

2 2( )( ) = d tu t N

dt

relacin de transfomacin

u (t)1 (t)

u (t)2

NN1 22 2

( )( ) = d tu t Ndt

12

( )( ) =

di tu t Mdt




Los mismos resultados se obtendran si se intercambian la fuente y la bobina pasiva

u (t)1

(t)

u (t)2

NN1 2

CONCLUSIN

Se ha podido representar un efecto magntico mediante unarelacin entre tensiones y corrientes, en vez de considerar flujosu otras variables magnticas

21

( )( ) =

di tu t Mdt

22 2

( )( ) =

di tu t Ldt




Si ambas bobinas fueran activas

u (t)f1

(t)

u (t)f2

i (t)1 i (t)21 (t)2

aparece un flujo neto, que es compartido por ambas bobinas, y se suele denominar flujo mutuo o concatenado

Se puede plantear un par de expresiones que relacionan el efecto de cada fuente y elefecto mutuo sobre cada arrollamiento, teniendo en cuenta cmo interactan los flujosgenerados por ambas bobinas

1 21 1

( ) ( )( ) = f

di t di tu t L Mdt dt

2 12 2

( ) ( )( ) = f


cmo se determina el signo de los trminos de M?




Y no hace falta dibujar el ncleo de hierro!

- la forma en la que estn enrolladas las bobinas sobre el ncleo,Indican:

- que la polaridad instantnea de la tensin inducida en un punto homlogo respecto lacada de tensin en el otro punto es la misma.

L1 L2

PUNTOS HOMLOGOS

L1 L2




DISPERSIN

u (t)1 (t)

u (t)2i (t)1

m

(t)d

1 = +m d

Analizando las autoinductancias

y

y los flujos totales resultan

con k + = 1




Al existir flujo de dispersin, se puede escribir: y1 1 1

1 1 1

=

=m

d

k 2 2 22 2 2

=

=m

d

k

k1 y k2 coeficiente o factor de acoplamiento 1 y 2 coeficiente o factor de dispersin

1 1 1 1 1 1( ) + = + =m d k

2 2 2 2 2 2( ) + = + =m d k

k y son funcin de la geometra del sistema, y pueden tomar valores entre 0 y 1, en forma contrapuesta

1 1 1 11 11 1 1

1 1 1

= = + = +d m d m

N NNL L Li i i

2 2 2 22 22 2 2

2 2 2

= = + = +d m d m

N NNL L Li i i

Si la dispersin fuera nula

y luego

Resultan y

de las cuales

Recordando las expresiones y




1

2

=NaN

1 2 1 222

2 2 2

= = =m m m

N NNM aLi N i

2 1 2 1 11

1 1 1

= = =m m m

N N LNMi N i a

21 2=m mL a L

2 1

1

mNMi

=

Por otra parte, se puede demostrar que

1 2

=

MkL L

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2= = = = m mM k L L k k L L k k L L L L

1 1=mL L

2 2=mL L




TRANSFORMADOR

Circuito acoplado bsico

L1 L2

u (t)f1

i (t)1

i (t)2

Rc Rcu (t)

1 21 1

( ) ( )( ) = f


2 12 2

( ) ( )0 ( ) C

di t di tL i t R Mdt dt

= +

1 2 1 21 1 1f L MU j L I j M I jX I jX I = =

2 2 1 2 2 12 20 C L C Mj L I R I j M I jX I R I jX I = + = +

Cmo se determina elsigno de los trminos de M?




TRANSFORMADOR

Circuito equivalente con fuentes dependientes

2 11 1f M LU jX I jX I+ =

1 2 22M L CjX I jX I R I= +

jXL1 jXL2

Uf1

I1

I2

Rc RcU

I1IjX 2M MjX

Reescribiendo adecuadamente el sistema anterior




TRANSFORMADOR

Modelo conductivo

Se pueden separar las inductancias de dispersin y de magnetizacin

L1 L2

u (t)f1

i (t)1

i (t)2

Rc Rcu (t)

Lm1 Lm2

uf1 i1

i2Rc Rcu

Ld2Ld1

1u 2u

Debe tenerse en cuenta que, en esta condicin, el acoplamiento entre Lm1 y Lm2 es perfecto, es decir k=1

1 11 1 1 2f d mU j L I j L I j MI = +

2 2 2 12 20 d m Cj L I j L I I R j M I = + +

A partir de dicha separacin se pueden reescribir las ecuaciones del sistema

1 21 1fU j L I j M I =

2 2 120 Cj L I R I j M I = +




TRANSFORMADOR

Determinacin del modelo conductivo a partir de la admitancia equivalente

Lm1 Lm2

uf1 i1

i2Rc

Rcu

Ld2Ld1

1u 2uA

B

1 21 1

( ) ( )( ) ( )AB m

di t di tu t u t L Mdt dt

= =

1 2 22 2 2m d C

di di diM L L i Rdt dt dt

= + +

1 21 1AB mU U j L I j M I = =

1 2 2 22 2m d Cj M I j L I j L I R I = + +

1 21 1m MU jX I jX I=

1 2 2 22 2M m d CjX I jX I jX I R I= + +

1 2= m mM L L2

1 2m mM L L= 212 =

mmM L LX X X

Recordando la expresin de M en funcin de Lm1 y Lm2 (para acoplamiento perfecto)

multiplicando por 2 a ambos lados del igual

con




Operando matemticamente para obtener la admitancia vista desde AB y ordenando

( )1

21 1 2

1 1AB

m d C

IYU jX a jX R

= = ++

2 11 1

2 2 2

m

m

XX k XaX k X X

= = =Lm1 Lm2

uf1 i1

i2Rc

Rcu

Ld2Ld1

1u 2uA

B

2 21 2

1 1AB

m C d

YjX R a jX a

= ++

Inductancia de valor

Lm1

Resistencia de valor RCen serie con inductancia de valor Ld2 Ambos

elementos estn en paralelo

Lm1 a Rc

a Ld2A

B

2

2

Circuito equivalente conductivo visto desde AB




uf1 i1

i'2R'c

Rcu'

L'd2Ld1

1u 2u'A

B

im

Dibujando el circuito completo, incluidas la fuente y las corrientes

A partir de la definicin de la relacin de transformacin

y de los resultados anteriores asociados al ltimo circuito presentado, se obtiene:

22 2'd dL a L=

2'C CR a R=

22 '

iia

=

1 1

2 2

N uaN u

= =

22 2 1'm m mL a L L= =

2 2 1'u au u= ='Rc Rcu au=

Inductancia de magnetizacin del secundario reflejada al primario

Inductancia de dispersin del secundario reflejada al primario

Resistencia de carga (del secundario) reflejada al primario

Tensin del secundario reflejada al primario

Tensin de la resistencia de carga reflejada al primario

Corriente del secundario reflejada al primario

En este modelo da origen a dos nodos, en los cuales se cumple 21 2 'm mii i i ia

= + = +




Lm1= a Lm2

uf1

i1

i'2

R'cRcu'

L'd2Ld1

1u 2u'

A

B

im

2

R'2R1

ih

i0

Rh1 = a Rh22

1 0 2 'i i i= + 0 m hi i i= +

Un modelo ms completo incluye las prdidas en el cobre y en el ncleo magntico

TRANSFORMADOR

Modelo completo




RECAPITULACIN

Dos inductores energizados, muy prximos uno del otro, ejercen influencia mutua a travs de sus respectivos campos magnticos

Dicha influencia puede ser cuantificada en funcin de la geometra del conjunto y expresada matemticamente mediante relaciones de tensiones y corrientes, lo cual permite el anlisis utilizando las leyes bsicas de circuitos

u (t)f1

(t)

u (t)f2

i (t)1 i (t)21 (t)2

L1 L2

u (t)f1

i (t)1

i (t)2

Rc Rcu (t)

Surge como principal aplicacin el transformador, para el cual se present un modelo conductivo, lo cual permite suprimir del anlisis circuital el acoplamiento magntico

uf1 i1

i'2R'c

Rcu'

L'd2Ld1

1u 2u'A

B

im

Se pone de manifiesto la utilidad de los puntos homlogos para establecer las polaridades de las cadas de tensin y de las correspondientes tensiones inducidas en los inductores involucrados, cuya ubicacin surge del modo en que se encuentran arrolladas las bobinas

CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNTICAMENTE

-

TRANSFORMADOR




Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22

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