Circuitos acoplados magnéticamente

Circuitos Eléctricos 2

Inductancia mutuaAutoinductancia

dttdi

Ltv

i1 L1 L2 v2i2L1 L2v1

M M

La corriente i1 en L1 produce el voltaje de circuito abierto v2 en L2.

La corriente i2 en L2 produce el voltaje de circuito abierto v1 en L1.

dt

tdiMtv 1

212 dt

tdiMtv 2

121

La inductancia mutua se presenta cuando dos bobinas están lo suficientemente cerca como para que el flujo magnético de una influya sobre la otra.

Convención de los puntosUna corriente que entra por la terminal punteada de una bobina produce un voltaje de circuito abierto entre las terminales de la segunda bobina, cuyo sentido es el de la dirección indicada por una referencia de voltaje positiva en la terminal punteada en esta segunda bobina.

i1

L1 L2

M

+

_dtdi

Mv 12

i1

L1 L2

M

+

_dtdi

Mv 12

i1

L1 L2

M

+

_dtdi

Mv 12

i1

L1 L2

M

+

_dtdi

Mv 12

Voltaje mutuoi1

L1 L2

+

_

v2v1

+

_

i2M

i1

L1 L2

+

_

v2v1

+

_

i2M

dtdi

Mdtdi

Lv 2111

dtdi

Mdtdi

Lv 1222

dtdi

Mdtdi

Lv 2111

dtdi

Mdtdi

Lv 1222

Para frecuencia compleja

V1 = –sL1I1 + sMI2

V2 = –sL2I2 + sMI1

Para estado senoidal

V1 = –jL1I1 + jMI2

V2 = –jL2I2 + jMI1

Estructura de bobinas acopladas

i1

i2

Flujos magnéticos aditivos

i1

i2

Flujos magnéticos sustractivos

Ejemplo

I1

100 H

V2

+

_

M = 9 H

I2

V1 = 10/_0°

= 10 rad/s1 H 400

1

+_

I1(1 + j10) – j90I2 = 10

I2(400 + j1000) – j90I1 = 0

7.1690.6

107.161724.0400

1

2

VV

Gráfico de respuesta en frecuencia

400500193600

21

2

sss

VV

Ejemplo

I1

6 H

M = 2 H

I3V1

7 H3

5

+_

(5 + 7s)I1 – 9sI2 + 2sI3 = V1

– 9sI1 + (17s + 1/s) I2 – 8sI3 = 0

2sI1 – 8sI2 + (3 + 6s) I3 = 0

I2

1 F

Consideraciones de energía

11

111 idtdi

Liv

i1

L1 L2

+

_

v2v1

+

_

i2MPoniendo en circuito abierto las terminales de la derecha y

haciendo crecer la corriente i1 desde 0 hasta I1 en t = t1.

La energía almacenada es.

2112

1

0 111

1

0 11

1

ILdiiLdtivIt

Ahora haciendo crecer la corriente i2 desde 0 hasta I2 de t = t1 a t = t2. manteniendo i1 constante

La energía entregada del lado derecho es.

2222

1

0 22222

22

1

ILdiiLdtivIt

t

Sin embargo se entrega energía a la red del lado izquierdo.

2112211212

1211

2

1

2

1

2

1

IIMdiIMdtidtdi

Mdtivt

t

t

t

t

t

21122222

12112

1 IIMILILWtotal

La energía total es.

Haciendo el proceso inverso, se tiene

21212222

12112

1 IIMILILWtotal

Por tanto

2112 MMM

Consideraciones de energía (cont)El límite superior para el valor de M es

21LLM

El Coeficiente de acoplamiento se define como

1021

kLL

Mk

EjemploSea L1 = 0.4 H. L2 = 2.5 H, k = 0.6 e i1 = 4i2 = 20 cos(500t – 20°) mA. Evalue las siguientes cantidades en t = 0: a) i2, b) v1, y c) la energía total almacenada en el sistema.

i1

L1 L2

+

_

v2v1

+

_

i2M

a) i2(0) = 20 cos(500(0) – 20°) mA = 4.698 mA

dtdi

Mdtdi

Lv 2111

b) Para v1 hay que evaluar

M = kL1L2 = 0.6 H

v1(0) = 0.4[–10 sen(–20°)] + 0.6[–2.5sen(–20°)] = 1.881 V

c) La energía es

w(t) = ½L1[i1(t)]2 + ½L2[i2(t)]2 + M[i1(t)] [i2(t)]

w(0) = 0.4/2[18.79]2 + 2.5/2[4.698]2 + 0.6[i1(0)] [i2(0)]

w(0) = 151.2 J

El transformador lineal

I1 VL

+

_

M

I2Vs

R1

+_

Vs = I1Z11 – I2sM

0 = –I1sM + I2Z22 = 0

donde

Z11 = R1 + sL1

Z22 = R2 + sL2 + ZL

22

22

111

2

Zs

ZVV

ZM

ent

ZLL1 L2

R2

En un transformador lineal el coeficiente de acoplamiento es de algunas décimas.

Transformador lineal con una fuente en el primario y carga en el secundario

22

22

Zs MImpedancia reflejada:

222

222

2222

222

222

2222

11 XRXMj

XRRM

ent

ZZ

La reactancia reflejada tiene el signo contrario al de reactancia X22

ejemploLos valores de los elementos de cierto transformador lineal son: R1 = 3, R2 = 6, L1 = 2mH, L2 = 10mH, M = 4mH, si w = 5,000 rad/s, determine Zent para ZL igual a a) 10, b) j20, c) 10 + j20d) j20

a)

Similarmente b) 3.4862 + 4.3274i c) 4.2413 + 4.5694i d) 5.5641 - 2.8205i

Z11 = R1 + sL1 = 3 + j(5000)(0.002) = 3 + j10

Z22 = R2 + sL2 + ZL = 6 + j(5000)(0.010) + 10 = 16 + j50

22

22

111

2

Zs

ZVV

ZM

ent = 3 + j10 + (5000)2(0.004)2/(16 + j50) = 5.3222 + 2.7431i

Red equivalente T

i1

L1 L2

+

_

v2v1

+

_

i2M

Ecuaciones de malla para el transformador lineal

dtdi

Ldtdi

Mv

dtdi

Mdtdi

Lv

22

12

2111

Pueden rescribirse como

dtdi

MLdt

iidMv

dtiid

Mdtdi

MLv

22

212

21111

Las cuales corresponden a la red

i1

+

_

v2v1

+

_

i2

M

L1 – M L2 – M

Ejemplo

Determine el equivalente T del transformador de la figura

i1

30 mH 60 mH

i240 mH

i1 -10 mH 20 mH

40 mH

L1 – M = –10 mH

L2 – M = 20 mH

Red equivalente A partir de la ecs. de malla

dtdi

Ldtdi

Mv

dtdi

Mdtdi

Lv

22

12

2111

Se puede despejar i1 e i2, obteniendo

tt

tt

dtvMLL

Ldtv

MLLM

tuii

dtvMLL

Mdtv

MLLL

tuii

0 2221

1

0 1221

22

0 2221

0 1221

211

0

0

Estas ecs. representan ecs. de nodos de la red de la figura donde

MLMLL

L

MLMLL

L

MMLL

L

C

A

B

1

221

2

221

221 i1

+

_

v2v1

+

_

i2LB

LCLA

i1(0)u(t) i2(0)u(t)

ejemplo

MLMLL

L

MLMLL

L

MMLL

L

C

A

B

1

221

2

221

221

Determine el equivalente T del transformador de la figura

i1

30 mH 60 mH

i240 mH

i1 i25 mH

= 2x10–4/20x10–3 = 10mH

= 2x10–4/(–10x10–3)= -20mH

= 2x10–4/40x10–3 = 5mH

10 mH –20 mH

El transformador Ideal

Es una aproximación de un transformador fuertemente acoplado.

Las reactancias inductivas del primario y del secundario son muy grandes comparadas con las impedancias de la terminación.

Relación de vueltas

22

1

22

1

2 aNN

LL

Se cumple la siguiente relación:

I1 V2

+

_

k = 1

I2V1

+

_

ZLL1 L2

1: a

a = razón del número de vuelas del secundario al primario = N2 / N1

V1 = jL1I1 – jMI2

0 = – jMI1 + (ZL + L2) I2

Despejando V1:

2

212

1

2

22

11

1

2

22

1111

LjLL

Lj

LjM

Lj

LjM

Lj

Lent

Lent

L

ZZ

ZIV

Z

ZIIV

Relación de vueltas (continuación)

Si dejamos que L1 tienda a infinito

Dado que L2 = a2L1

211

21

12

21

2221

221

12

21

22

1

/ aLjLajLj

LajLaLaLj

LajLa

Lj

L

L

L

Lent

L

Lent

Lent

ZZ

ZZ

Z

ZZ

Z

ZZ

2aL

ent

ZZ

Acoplamiento de impedanciasSuponga un amplificador con 4000 de impedancia de salida y una bocina con 8 de impedancia.

4.22

4.221

5001

40008

84000

2

1

22

NN

a

aaL

ent

ZZ

Relación de corrientes

aLL

LjMj

LjMj

L

1

2

1

221

2

ZII

Si suponemos que L2 se hace muy grande.

N1I1 = N2I2

Entonces

Para el ejemplo anterior, si el amplificador produce una corriente de 50 mA en el primario, en ele secundario habrá una corriente de (22.4)(50mA) = 1.12 A.

La potencia en el altavoz es (1.12)2(8) = 10W.

La potencia suministrada por el amplificador es (0.05)2(4000) = 10W

Relación de tensiones

1

2

1

2

1

222

1

2

1

2

1

2

/

NN

a

aaL

L

ent

L

VV

II

ZIZI

ZIZI

VV

La relación para tensiones es

Si a > 1, en transformador es elevador

Si a < 1, en transformador es reductor

V1I1 = V2I2

Se cumple

Ejemplo

I1 I2V1

_

10 k

1: 10

+

V2

+

_

+_

100

50 V rms

Encuentre la potencia promedio disipada para el resistor de 10K,

La potencia es simplemente: P = 10000 |I2|2

La impedancia que “se ve” en la entrada es ZL/a2 = 100

I1 = 50/(100 + 100) = 250 mA rms

I2 = (1/a) I1 = 25 mA rms, la potencia es P = 6.25 W.

Relaciones de tensión en el tiempo

i1

L1 L2

+

_

v2

v1

+

_

i2M Ecuaciones de malla para el transformador ideal

dtdi

Ldtdi

Mv

dtdi

Mdtdi

Lv

22

12

2111

Despejando la derivada de i2 en la segunda ec. y sustituyendo en la primera y ya que M2 = L1L2

222

12

21

1

2

2

22

111

1v

av

LL

vLM

v

dtdi

LM

vLM

dtdi

Lv

Dividiendo la primera ec. entre L1 y suponiéndola muy grande

Aaiidtdi

adtdi

dtdi

LM

dtdi

Lv

21

21

2

1

1

1

1