Exemple ˘si contraexemple^ n analiza matematic a liceal a · C oncursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Exemple ˘si contraexemple^

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro


Exemple si contraexemple ın analiza matematica liceala

Andrei Vernescu1) 2)

Abstract. We present some of the basic but nontrivial examples andcounterexamples in Calculus and in the beginning of the MathematicalAnalysis, respecting the level of the contemporary Romanian highschoolsyllabus.

Keywords: Sequence of real numbers, limit of a real function at a point,continuity, derivative, Riemann integral, antiderivative.

MSC : 26A06, 26A09, 26A15, 26A27, 26A36, 26C15.

I. IntroducereExemplele prezentate ın cadrul diferitelor teorii matematice au rolul de

a ilustra definitiile, precum si functionarea teoremelor.Contraexemplele vin sa puna ın evidenta anumite ,,delimitari“ teoretice,

ın principal, ın urmatoarele moduri:a) arata cum, uneori, o legitate aparent plauzibila nu se valideaza;b) arata cum, atunci cand nu sunt ındeplinite toate cerintele din ipoteza

unei teoreme, concluzia poate sa nu mai fie valabila, adica teorema sa nu maifunctioneze (pe scurt, arata cum, omiterea unor cerinte din ipoteza uneiteoreme poate s-o invalideze);

c) arata ca unele cerinte din ipotezele teoremelor reprezina doar conditiisuficiente (nu si necesare!);3)

d) argumenteaza, pentru cazuri individuale de teoreme, situatia gene-rala (,,majoritara“) ca reciprocele unor teoreme corecte nu sunt adevarate.

Analiza matematica se releva a fi acea ramura a matematicii care con-duce la construirea celor mai multe contraexemple si se considera ca aceastase datoreaza existentei celei mai mari varietati de situatii si nuante care aparın cuprinsul sau. Din aceasta cauza s-au si alcatuit carti dedicate special con-traexemplelor ın analiza, cea mai cunoscuta fiind cea, devenita clasica, [8],a autorilor B. R. Gelbaum si J. M. H. Olmsted, tradusa si ın limba romana([9]). Mai semnalam si cartea cea mai noua [19] (recenzata ın paginile revisteiın nr. 4/2008, pag. 364), iar din literatura matematica romaneasca, lucrarile[5], [12], cat si sectiunea de contraexemple din [3].

Invatamantul romanesc are o veche traditie ın prezentarea primelorelemente de analiza matematica (adica ale calculului diferential si integralal functiilor de o variabila reala) cu ıncepere deja din ultimii doi ani de

1)Conf. dr., Universitatea Valahia din Targoviste, e-mail: [email protected])Prezentul text contine, sub o forma putin mai dezvoltata, conferinta prezentata ın

ziua de 28 iulie 2009, ın cadrul cursurilor pentru perfectionarea profesorilor, Busteni, 28iulie - 5 august 2009. (N.R.)

3) Reamintm ca, daca p ⇒ q (unde p si q sunt propozitii), atunci se spune ca ,,p esteconditie suficienta pentru q“, iar ,,q este conditie necesara pentru p“. (N.A.)

1



2

liceu.1) Aceasta prevedere a programei, de includere – prin intermediul ele-mentelor de analiza matematica – si a matematicii miscarii, a fenomenelor deevolutie, atat de actuale astazi, ıntr-o lume ın rapida si accelerata schimbaresi interdependenta, este menita sa ofere elevilor o imagine mai apropiata derealitate, a ceea ce ınseamna matematica vie, contemporana. Ulterior, pentrucei care vor urma (si) cursuri universitare de matematica, stapanirea acestorelemente de analiza matematica este menita sa faciliteze ıntelegerea lectiilor,indispensabile, din aceasta disciplina matematica.

Modernizarea prezentarii analizei matematice ın ınvatamantul universi-tar romanesc a ınceput dupa venirea, ın 1940, a lui Miron Nicolescu2) la Cate-dra de calcul diferential si integral a Universitatii din Bucuresti. Dupa putintimp s-a pus si problema (indisolubil legata de aceasta modernizare) a uneiasezari pe baze riguroase, corecte si a ınvatamantului liceal de analiza mate-matica. Un prim pas, foarte important, ın acest sens, l-a constituit aparitiamanualului intitulat ,,Elemente de Analiza matematica pentru clasa a XI-areala“ [6], scris de catre profesorul universitar Nicolae Dinculeanu, membrude onoare al Academiei Romane, ın colaborare cu regretatul conferentiar dr.Eugen Radu, manual dupa care au ınvatat toate seriile de elevi de la sectiareala, ın perioada 1959-1979. Nu omitem aici reamintirea altor doua foarteimportante manuale de analiza matematica de liceu [11], pentru clasa a XI-asi [2] pentru clasa a XII-a, cu impact major timp de peste 20 de ani (ıncepanddin 1980) ın ınvatarea analizei de catre elevi.

Incepand ınca din perioada ın care s-a introdus la liceu predarea analizeimatematice, aceasta a solicitat si continua sa solicite, ıntr-un grad ridicat, cre-ativitatea profesorilor, dar si ofera frumoase satisfactii, deoarece, ın prezent,nu se (mai) predau mecanic ,,retete“ de determinare a limitelor sau de calcula derivatelor si primitivelor. Astazi, nu numai la facultate, dar si la liceu,se pune problema de a defini riguros notiunile, de a oferi toate explicatiile siconexiunile necesare! Astfel, pentru o buna predare a elementelor de analizamatematica la liceu, profesorul trebuie sa stapaneasca perfect – printre al-tele – un anumit ,,arsenal“ ,,minimal“ de contraexemple cu care sa ilustrezelectiile sale, pentru ca ideile sa se afle ın largul lor, dar si cu care sa poataraspunde, cu usurinta, la eventualele ıntrebari ale unor elevi cu spirit de

1)Aceasta traditie dateaza de la primele programe scolare moderne, introduse de catreSpiru Haret. In acea perioada, elementele de analiza matematica din programa liceala, erauıncorporate ın asa-numita ,,Algebra superioara“. (N.A.)

2)Miron Nicolescu (1903-1975), matematician roman, creatorul scolii romanesti modernede analiza matematica. Doctor ın matematica de la Paris, din 1928, profesor de analizamatematica din 1940 si seful catedrei corespunzatoare de la Universitatea din Bucuresti din1948 pana la pensionare, ın 1973. Are realizari ın domeniul analizei matematice; a scris unvaloros si vestit tratat de Analiza matematica ın trei volume. Director al Institutului deMatematica al Academiei ın perioada 1963-1973, presedinte al Academiei, din 1966 panala deces; vicepresedinte al Uniunii Matematice Internationale din 1974. (N.A.)



3

observatie dezvoltat, cu ıntelegere rapida. Desigur, aici ne referim la activi-tatea profesorului la clasele cu nivel (suficient de) ridicat, din care, cu toatescaderile ınvatamantului actual, mai exista si astazi! Cursurile, manualele,tratatele, prezinta uneori anumite contraexemple, pentru a ilustra teoria, darnumai ın masura ın care planul general al lucrarilor respective, stilul, anumiteelemente de subictivitate, anumite preferinte personale ale autorilor si, nu ınultimul rand, spatiul tipografic avut la dispozitie, permit aceasta prezentare.

Din toate aceste motive, ın cele ce urmeaza, oferim, cu explicatiile nece-sare, o lista ,,minimala“ de exemple si contraexemple nebanale, referindu-nenumai la cele care trebuie sa fie cunoscute dinainte de profesor, la care acestatrebuie sa fi reflectat detaliat ın prealabil, exemple si contraexemple care,ın marea lor majoritate, nu pot fi ,,produse“ ,,improvizand“ ın fata clasei.Deci, ın mod deliberat, am exclus din aceasta enumerare acele exemple sicontraexemple, a caror ,,producere instantanee“ ın fata clasei ar trebui sa fieaccesibila oricarui absolvent al unui curs universitar de analiza matematica,ca urmatorul exemplu tipic: ,,o functie discontinua pe R, al carei patrat safie o functie continua.“1).

Cunoasterea exemplelor si contraexemplelor pe care le vom prezenta, ıipoate servi profesorului de liceu si la pregatirea diferitelor examene de titu-larizare, cat si examene pentru obtinerea gradelor didactice. Majoritatea loreste clasica, o mica parte este originala (avand trimiteri bibliografice precise).

Trecem acum la prezentarea anuntata.

II. Exemple si contraexemple ın domeniul teoriei sirurilorde numere reale.

1. Un sir (an)n pentru care limn→∞

an+1

an= 1, dar care este marginit

si divergent

Este cunoscut ca, daca, pentru un sir de numere reale strict pozitive(an)n, exista limita λ

def= limn→∞

an+1

an(ın [0,∞)∪{∞}), atunci, ın cazul λ < 1,

rezulta limn→∞an = 0, iar ın cazul λ > 1, rezulta lim

n→∞an = ∞.

In cazul ın care λ = 1, nu se poate stabili o concluzie teoretica pentrusirul (an)n, putand avea loc urmatoarele situatii:

(a) limn→∞an = ∞; exemplu: an = n;

(b) limn→∞an = α ∈ R; exemplu: an = α +

1n

.

(Desigur, la exemplul (b) putem avea, ın particular, si α = 0.)Fie acum an = 2 + cos π

√n. Atunci sirul este marginit:

1 ≤ an ≤ 3, (1.1)

1) Un astfel de exemplu este f : R → R, f(x) =

{1, pentru x ∈ Q

−1, pentru x ∈ R \ Q.(N.A.)



4

iar pentru n = k2, rezulta:

ak2 = 2 + cos kπ = 2 + (−1)k,

adica sirul (an)n poseda un subsir divergent, deci este si el divergent. Acumvom arata ca are loc egalitatea:

limn→∞

an+1

an= 1. (1.2)

In acest scop, observam ca egalitatea (1.2) este echivalenta cu egalitatea

limn→∞

(an+1

an− 1

)= 0,

sau ınca:lim

n→∞an+1 − an

an= 0, (1.2′)

pe care o vom stabili fara dificultate. Intr-adevar, tinand seama si de (1.1),obtinem:∣∣∣∣an+1 − an

an

∣∣∣∣ =|an+1 − an|

|an| ≤ |an+1 − an| =∣∣cos π

√n + 1 − cos π

√n∣∣ =

= 2

∣∣∣∣∣sin π(√

n + 1 +√

n)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣sin π

(√n + 1 −√

n)

2

∣∣∣∣∣ ≤≤ 2

∣∣∣∣∣sin π(√

n + 1 −√n)

2

∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣sin π

2(√

n + 1 +√

n)∣∣∣∣∣ −−−−−→(n→∞)

0,

de unde, pe baza criteriului majorarii, concluzia cautata. (Exemplul este luatdin [24]; a se vedea si [23].)

2. Diferite comportari ale diferentei ∆andef== an+1 − an, pentru

un sir (an)n care tinde la ∞ (sau la −∞)

Notatia ∆an este consacrata; ea se foloseste ın mod curent ın calcululcu diferente finite, ca si notatia ∇an = an − an−1 (ın aceasta problematica,a se vedea [21], pp. 99-103). Daca an → ∞, atunci sirul (∆an)n poate aveadiferite comportari, astfel:

(a) ∆an → ∞; exemplu: an = n2; [∆an = 2n + 1];

(b) ∆an→α ∈ R∗+; exemplu: an = αn+

1n

;[∆an = α +

(1

n + 1− 1

n

)];

(c) ∆an → 0; exemplu: an =√

n;[∆an =

√n + 1 −√

n];1)

(d) (∆an)n nu are limita; exemplu: an = (2 + (−1)n)n; [∆an = −2n+1pentru n par; ∆an = 2n + 3 pentru n impar]. 2)

1) Daca ın locul sirului (an)n, care tinde la ∞, am considera un sir convergent (an)n,

atunci proprietatea ∆an → 0 ar rezulta ın mod banal. (N.A.)2) Proprietatea ca (∆an)n sa fie divergent poate avea loc si ın cazul unui sir (an)n

marginit. Exemplu: an = (−1)n, pentru care ∆an = 2 · (−1)n+1. (N.A.)



5

Exemple asemanatoare se pot obtine ın cazul ın care an → −∞.

3. Diferite tipuri de tindere la 0 a diferentei ∆an, pentru unsir (an)n care tinde la ∞. Utilizarea logaritmului ca factorde ,,ıncetinire“

Am vazut la numarul 2 ca, si pentru un sir (an)n, care tinde la ∞,putem avea ∆an → 0. Se pot gasi ınsa diferite ,,viteze “ de tindere la 0pentru ∆an. Astfel putem avea:

(a) n∆an → 1, daca an = ln n, sau an = Hndef== 1 +

12

+13

+ . . . +1n

;

(b) n∆an → 0, daca an = ln (ln n), sau an =1

2 ln n+

13 ln 3

+ . . .+1

n ln n

(la stabilirea faptului can∑

k=2

1k ln k

−−−−−→(n→∞)

∞ se va folosi partea dreapta a

inegalitatii1

(k + 1)(ln(k + 1)< ln(ln(k + 1)) − ln ln k <

1k ln k

; pentru o

stabilire fara ajutorul derivatelor, a acesteia, a se vedea [27], pp. 93-94).Totodata, exista si posibilitatea de a avea, pentru un sir (an)n, an → ∞,

o tindere ınca si mai ,,lenta“ catre infinit; de exemplu, poate avea loc relatia:(c) an2 − an → 0

(ceruta ın problema [20]). Aceasta se realizeaza, de exemplu, pentru siruldefinit de ,,logaritmul triplu“(ın sensul compunerii), anume an = ln (ln (ln n))(pentru solutie, a se vedea, de exemplu [22], [27]).

4. Doua siruri (an)n si (bn) cu bn → ∞, pentru care reciprocalemei lui Stolz1) nu este valabila

Fie an = (−1)n si bn = n. Atunci limn→∞

an

bn= 0 (ın baza criteriului

majorarii), daran+1 − an

bn+1 − bn= 2 · (−1)n+1 nu are limita. Deci reciproca lemei

lui Stolz nu este, ın general, valabila. Contraexemplul este preluat din [13].

III. Exemple si contraexemple referitoare la functii, limite,continuitate, proprietatea lui Darboux

5. O functie care nu admite limita la ∞. Generalizare2)

Este functia f : R → R, f(x) = sinx. Stabilirea rezultatului consta ın aarata ca nu este ındeplinita conditia din teorema de caracterizare a limitelorde functii cu ajutorul sirurilor.

Se poate proceda ın doua moduri:

1)Enuntul si o demonstratie directa a lemei pot fi gasite ın [14] (pentru editia din 1971,a se vedea pp. 317-319). (N.A.)

2)Exemplele 5 si 6 sunt de uz curent si, din aceasta cauza, probabil binecunoscute.Le-am inclus ın enumerarea noastra numai pentru a da expunerii un caracter de sinestatator, tinand seama ca vom folosi mai departe rezultatele respective. (N.A.)



bn+1 − bn= 2 · (−1)n+1 nu are limita. Deci reciproca lemei

lui Stolz nu este, ın general, valabila. Contraexemplul este preluat din [13].

III. Exemple si contraexemple referitoare la functii, limite,continuitate, proprietatea lui Darboux

5. O functie care nu admite limita la ∞. Generalizare2)

Este functia f : R → R, f(x) = sinx. Stabilirea rezultatului consta ın aarata ca nu este ındeplinita conditia din teorema de caracterizare a limitelorde functii cu ajutorul sirurilor.

Se poate proceda ın doua moduri:

Exemple si contraexemple ın analiza matematica liceala

Andrei Vernescu1) 2)

Abstract. We present some of the basic but nontrivial examples andcounterexamples in Calculus and in the beginning of the MathematicalAnalysis, respecting the level of the contemporary Romanian highschoolsyllabus.

Keywords: Sequence of real numbers, limit of a real function at a point,continuity, derivative, Riemann integral, antiderivative.

MSC : 26A06, 26A09, 26A15, 26A27, 26A36, 26C15.

I. IntroducereExemplele prezentate ın cadrul diferitelor teorii matematice au rolul de

a ilustra definitiile, precum si functionarea teoremelor.Contraexemplele vin sa puna ın evidenta anumite ,,delimitari“ teoretice,

ın principal, ın urmatoarele moduri:a) arata cum, uneori, o legitate aparent plauzibila nu se valideaza;b) arata cum, atunci cand nu sunt ındeplinite toate cerintele din ipoteza

unei teoreme, concluzia poate sa nu mai fie valabila, adica teorema sa nu maifunctioneze (pe scurt, arata cum, omiterea unor cerinte din ipoteza uneiteoreme poate s-o invalideze);

c) arata ca unele cerinte din ipotezele teoremelor reprezina doar conditiisuficiente (nu si necesare!);3)

d) argumenteaza, pentru cazuri individuale de teoreme, situatia gene-rala (,,majoritara“) ca reciprocele unor teoreme corecte nu sunt adevarate.

Analiza matematica se releva a fi acea ramura a matematicii care con-duce la construirea celor mai multe contraexemple si se considera ca aceastase datoreaza existentei celei mai mari varietati de situatii si nuante care aparın cuprinsul sau. Din aceasta cauza s-au si alcatuit carti dedicate special con-traexemplelor ın analiza, cea mai cunoscuta fiind cea, devenita clasica, [8],a autorilor B. R. Gelbaum si J. M. H. Olmsted, tradusa si ın limba romana([9]). Mai semnalam si cartea cea mai noua [19] (recenzata ın paginile revisteiın nr. 4/2008, pag. 364), iar din literatura matematica romaneasca, lucrarile[5], [12], cat si sectiunea de contraexemple din [3].

Invatamantul romanesc are o veche traditie ın prezentarea primelorelemente de analiza matematica (adica ale calculului diferential si integralal functiilor de o variabila reala) cu ıncepere deja din ultimii doi ani de

1)Conf. dr., Universitatea Valahia din Targoviste, e-mail: [email protected])Prezentul text contine, sub o forma putin mai dezvoltata, conferinta prezentata ın

ziua de 28 iulie 2009, ın cadrul cursurilor pentru perfectionarea profesorilor, Busteni, 28iulie - 5 august 2009. (N.R.)

3) Reamintm ca, daca p ⇒ q (unde p si q sunt propozitii), atunci se spune ca ,,p esteconditie suficienta pentru q“, iar ,,q este conditie necesara pentru p“. (N.A.)

1



6

(i) Fie sirurile (x′n)n si (x′′

n)n, de termen general x′n =

π

2+2nπ, respectiv

x′′n = −π

2+2nπ. Atunci x′

n → ∞, x′′n → ∞ si avem f(x′

n) = sin(π

2+ 2nπ

)=

= 1 −−−−−→(n→∞)

1, precum si f(x′′n) = sin

(−π

2+ 2nπ

)= −1 −−−−−→

(n→∞)−1, deci f

nu are limita la ∞1).(ii) Fie sirul (xn)n de termen general xn =

π

2+nπ. Rezulta ca xn → ∞

si f(xn) = sin(π

2+ nπ

)= (−1)n, divergent, de unde aceeeasi concluzie.

La aceeasi concluzie, a inexistentei limitei la ∞, se ajunge folosindfunctia cosinus, functia tangenta (definita pe multimea {x ∈ R | cos x 6= 0}),sau functia cotangenta (pe multimea {x ∈ R | sin x 6= 0}).

O generalizare imediata este urmatoarea: orice functie periodica, necon-stanta f : R → R nu admite limita la ∞. Intr-adevar, daca T > 0 esteperioada si daca a = f(α) si b = f(β) sunt doua valori diferite ale functiei,atunci utilizarea sirurilor de termen general x′

n = α + nT si x′′n = β + nT

conduce la concluzia enuntata.Toate rezultatele mentionate se transpun fara nicio dificultate pentru

limita la −∞.

6. O functie care nu admite limite laterale (si deci nici limita)ın 0

Este functia f : R → R, f(x) =

{sin

1x

, daca x 6= 00, daca x = 0

(o schita a

graficului este redata ın fig. 1).Functia nu admite limite laterale ın punctul x = 0, ceea ce se poate

obtine utilizand, de asemenea, caracterizarea cu siruri a limitelor (laterale)ale unei functii ıntr-un punct.

De exemplu, pentru a arata ca functia nu are limita la dreapta ın 0,

se pot utiliza sirurile de termen general x′n =

1π

2+ nπ

si x′′n =

1

−π

2+ nπ

;

desigur x′n 6= 0, ∀n ∈ N∗, dar x′

n −−−−−→(n→∞)

0, analog si pentru (x′′n)n, dar

1)Se pot alege si alte siruri, de exemplu x′n =

π

3+ 2nπ, ımpreuna cu x′′

n = −π

3+ 2nπ.

(N.A.)



7

f (x′n) = 1 −−−−−→

(n→∞)1, ın timp ce f (x′′

n) = −1 −−−−−→(n→∞)

−1. Se poate lucra si

cu un singur sir, de exemplu xn =1

π

2+ nπ

etc. Pentru a arata ca functia

nu are limita la stanga ın punctul 0, se procedeaza analog, folosindu-se, de

exemplu, sirurile de termen general1

π

2− 2nπ

si1

−π

2− nπ

, n ∈ N∗, sau numai

sirul de termen general1

π

2− nπ

etc.

Neadmitand o limita laterala ın 0, functia nu admite nici limita (bila-terala) ın acest punct. Situatia din punctul x0 = 0 constituie o discontinui-tate de speta a doua.

7. O functie care nu admite limite laterale (si deci nici limita)ın niciun punct x0 ∈ R

Este functia lui Dirichlet1) f : R → R:

f(x) ={

1, daca x ∈ Q

−1, daca x ∈ R \ Q.2)

Stabilirea rezultatului se face apeland tot la caracterizarea cu siruri alimitei unei functiei ıntr-un punct. Fie x0 ∈ R, oarecare.3)

Sa consideram un sir (x′n)n cu toti termenii rationali (scris prescurtat:

(x′n)n ⊂ Q) cu x′

n 6= x0, ∀n ∈ N, 4), dar astfel ıncat x′n → x0. Atunci

f (x′n) = 1 −−−−−→

(n→∞)1. Fie acum un sir (x′′

n)n cu toti termenii irationali

((x′′n)n ⊂ R \ Q), cu x′′

n 6= xn, ∀n ∈ N5), dar astfel ıncat x′′n → x0. Atunci

f (x′′n) = 0 −−−−−→

(n→∞)0.

1)Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805-1859), mare matematician german. (N.A.)2)Aparitia functiilor de acest tip a avut o deosebita importanta ın evolutia notiunii de

functie, pana la gradul maxim de generalitate de astazi. In secolul al XVIII-lea si chiar laınceputul secolului al XIX-lea, ınca se mai considera ca orice functie numerica trebuie safie legata de o expresie analitica, de o formula. De abia ulterior s-a degajat definitia ceamai generala a functiei, care cere doar ca, la orice element din domeniul de definitie, sacorespunda un element unic din codomeniu.

Functiile f(x) =

{a, daca x ∈ Q

b, daca x ∈ R \ Qsi f(x) =

{g(x), daca x ∈ Q

h(x), daca x ∈ R \ Qau

capatat denumirea de functii de tip Dirichlet. (N.A.)3)Este recomandabil sa se lucreze direct cu x0 real, fara a analiza separat cazurile x0 ∈ Q,

respectiv x0 ∈ R \ Q, care ar constitui doar o pierdere de timp. (N.A.)4)Daca am sti ca x0 ∈ R\Q, atunci conditia teoretica xn 6= x0 ar fi de la sine ındeplinita.

Dar, cum am mentionat, noi lucram direct cu x0 ∈ R, deci conditia trebuie pusa. (N.A.)5)Observatie asemanatoare, pentru cazul ca x0 ∈ Q. (N.A.)



8

Deci functia f nu admite limita ınpunctul x0. Intrucat x0 a fost arbitrar,rezulta ca functia f nu are limita ın niciun punct al axei reale. Se mai spune ca feste total discontinua. O schita a graficu-lui este sugerata ın fig. 2.

De asemenea, functia lui Dirichlet, fiind neconstanta si periodica (deperioada orice numar rational T > 0 (usor verificabil!)), nu admite nici limitala +∞, respectiv −∞.

Ca observatie metodologica utila de retinut, subliniem ınca o data ca, ıntoata justificarea precedenta, procedeul adoptat, de a considera direct x0 ∈ R,este mai rapid decat examinarea separata a cazurilor x0 ∈ Q si x0 ∈ R \ Q.

Functia precedenta mai poate servi drept exemplu si pentru alte nu-meroase proprietati ,,negative“: nu este continua ın niciun punct, nu estederivabila ın niciun punct, nu este integrabila Riemann pe niciun interval[a, b] (cu a < b), nu are proprietatea valorilor intermediare, a lui Darboux peniciun astfel de interval, nu admite primitive pe niciun interval. Totodata,ıntrucat f 2 = f , aceasta constituie si un exemplu pentru care toate pro-prietatile ,,patologice“ mentionate se pot transmite de la o functie la patratulsau.

Pentru functiile de tip Dirichlet :

f(x) ={

g(x), daca x ∈ Q

h(x), daca x ∈ R \ Q,

se arata (folosind tot caracterizarea cu siruri a limitei unei functii ıntr-un punct) ca f este continua numai ın acele puncte x0 ∈ R pentru careg(x0) = h(x0), daca astfel de puncte exista (pentru functia-prototip a luiDirichlet :

f(x) ={

1, daca x ∈ Q

0, daca x ∈ R \ Q

neexistand astfel de puncte). Vom utiliza o astfel de functie la exemplul 11.

8. Functii irationale

Intrucat elevii sunt familiarizati ınca din clasele precedente cu noti-unea de numar rational, prezentat ca raport de doua numere ıntregi (relativprime)1), este firesc sa se defineasca si notiunea de functie rationala ca raport

1)La acel nivel, nu este ınca indicata prezentarea numarului rational ca o clasa deechivalenta. (N.A.)



9

de polinoame, f(x) =U(x)V (x)

, cu V 6= 0 1) 2), desigur functia avand sens pe

multimea Dfdef== {x ∈ R | V (x) 6= 0}.

Astfel apare si cerinta de a explica de ce anumite functii nu intra ınaceasta categorie, adica nu sunt functii rationale. In acest scop, reamintimcateva observatii binecunoscute asupra functiilor rationale, anume:

(α) Intrucat functia polinomiala V , de la numitor, admite cel mult unnumar finit de radacini reale distincte, x1 < x2 < . . . < xk, multimea Df

este multimea numerelor reale, R, din care s-au eliminat cel mult un numarfinit de puncte, deci este o reuniune finita de intervale deschise disjuncte,adiacente:

Df = (−∞, x1) ∪ (x1, x2) ∪ . . . ∪ (xk,∞)(subıntelegandu-se ca, ın cazul ın care V nu admite radacini reale, avemDf = (−∞,∞) = R).

(β) Functiile rationale sunt continue si derivabile ın orice punct dindomeniul de definitie Df .3)

(γ) Functiile rationale au limite la +∞ si la −∞ finite si egale ıntre ele,daca gr(U) ≤ gr(V ) (egale cu 0, daca gr(U) < gr(V )), respectiv infinite (cuacelasi semn sau de semne contrare) daca gr(U) > gr(V ).

Prezentam, ın continuare, cateva exemple de functii irationale.(a) Functia x 7→ |x| nu este functie rationala deoarece nu este derivabila

ın origine.(b) Functiile parte ıntreaga x 7→ [x] si parte fractionara x 7→ {x} nu

sunt functii rationale, deoarece nu sunt continue ın punctele x0 = n ∈ Z.(c) Functia x 7→ √

x nu este functie rationala deoarece nu este definitadecat pe semidreapta [0,∞).4)

(d) Functia x 7→ √x2 + 1 nu este functie rationala.

Intr-adevar, prespunand prin absurd contrariul, am avea√

x2 + 1 =

=U(x)V (x)

, unde x 7→ U(x) si x 7→ V (x) sunt doua functii polinomiale, cu

V (x) 6= 0, ∀x ∈ R. Rezulta:√

x2 + 1x

=U(x)xV (x)

,

1)Adica functia polinomiala V este diferita de functia polinomiala identic nula. (N.A.)

2)Polinoamele U si V se considera, de asemenea, relativ prime, deci fractiaU

Veste

nesimplificabila. (N.A.)

3)Reamintim (daca mai era necesar!) ca, pentru functia x 7→ 1

x, de exemplu, problema

continuitatii ın punctul x0 = 0 nu are sens! Pur si simplu, f nu este definita ın punctulx0 = 0. (N.A.)

4)Pentru stabilirea rezultatelor de la punctele (a) – (c) se pot da si alte argumentari, lacare invitam cititorul sa reflecteze. (N.A.)



10

unde functia din membrul drept este, de asemenea, rationala (definita pe(−∞, 0) ∪ (0,∞) = R∗). Considerand limitele pentru x → ∞ si apoi pentrux → −∞, obtinem pentru functia din membrul stang valorile 1, respectiv−1, ceea ce nu poate avea loc pentru functia rationala din membrul drept.Contradictie! 1)

(e) Functia x 7→ ln x nu este functie rationala, deoarece nu este definitadecat pe intervalul (0,∞).

(f) Functia x 7→ ex nu este functie rationala, din cauza situatiei limitelorla +∞, respectiv −∞.

Propunem acum cititorului sa stabileasca – folosind metode asemana-toare – ca urmatoarele functii definite pe R nu sunt functii rationale:

f(x) = arctgx, f(x) =ex − e−x

ex + e−x, f(x) =

x√1 + x2

, f(x) =x

1 + |x| .

9. O suma de fractii rationalen∑

k=1

ak

(ak =

p(k)q(k)

), care nu se

poate restrange ca functie rationala de n (dupa [25])

Sa consideram ıntai, ca exemplu introductiv, formula binecunoscuta:

11 · 2 +

12 · 3 +

13 · 4 + . . . +

1n(n + 1)

= 1 − 1n + 1

(=

n

n + 1

).

Ea ofera ,,restrangerea“ sumei de functii rationale de forma1

k(k + 1)(cu k = 1, 2, 3, . . . , n) sub forma tot a unei functii rationale, ın variabila n,anume

n

n + 1.

O astfel de ,,restrangere“ nu mai este posibila pentru alte sume, ca, deexemplu, pentru suma armonica:

Hn = 1 +12

+13

+ . . . +1n

.

Dar aceasta simpla afirmatie, neınsotita de nicio explicatie, de niciojustificare, este nesatisfacatoare! Se poate ınsa demonstra

Teorema 1. Nu exista nicio functie rationala cu coeficientii realif : E → R (unde N∗ ⊆ E ⊆ R), astfel ıncat :

Hn = f(n), ∀n ∈ N∗. (9.1)

Demonstratie. Sa presupunem, prin absurd, ca ar exista o astfelde functie f ; aceasta ar ınsemna ca exista doua functii polinomialeU, V : R → R,

U(x) = apxp + . . . + a0, V (x) = bqx

q + . . . + b0,

1)Toate exemplele (a) – (d), cat si demonstratiile respective au fost adaptate din [9],pag. 62-63. (N.A.)



11

cu ap 6= 0, bq 6= 0, V (x) 6= 0, pentru orice x ∈ E 1), astfel ıncat:

f(x) =U(x)V (x)

, ∀x ∈ E. (9.2)

Cu aceasta notatie, egalitatea (9.1) s-ar scrie:

Hn =U(n)V (n)

, ∀n ∈ N∗. (9.3)

Trecand la limita pentru n → ∞ si tinand seama ca limn→∞Hn = ∞,

rezulta limn→∞

U(n)V (n)

= ∞. Deci p > q, adica p − q > 0, sau, cum p, q ∈ N,

avem p − q ≥ 1. Impartim egalitatea (9.3) prin np−q si gasim:

Hn

np−q=

U(n)np−qV (n)

, ∀n ∈ N∗, (9.4)

unde, ın membrul drept, functiile polinomiale de la numarator si de la numitorau acelasi grad, p, iar coeficientii lor dominanti sunt ap, respectiv bq.

Trecand acum la limita pentru n → ∞, ın relatia (9.4) se obtine0 =

ap

bq.2)

Contradictie!Pe o cale asemanatoare, se demonstreaza ca nu exista nicio functie

rationala cu coeficienti reali f : E → R (N∗ ⊆ E ⊆ R), astfel ıncat saavem:

1 +11!

+12!

+ . . . +1n!

= f(n), ∀n ∈ N

(pentru detalii, a se vedea [25]).

10. Daca functia f : R → (a, b) cu a < b, este bijectiva, atunciaceasta nu este functie rationala

Intr-adevar, sa presupunem, prin absurd, ca f este o functie rationala

f(x) =U(x)V (x)

, ∀x ∈ R (si, desigur, V (x) 6= 0, ∀x ∈ R). Intrucat, functia f

este injectiva si continua, ea va rezulta, ın baza unui rezultat binecunoscut(v. [11], cap II, §2), ca f este strict monotona. In acest caz, ın baza altuirezultat binecunoscut, ar avea loc una din urmatoarele situatii:

I. limx→−∞ f(x) = a si lim

x→∞ f(x) = b, daca f este strict crescatoare;

1)In cazul particular E = R, ultima conditie revine la faptul ca functia polinomiala Vadmite numai radacini complexe. (N.A.)

2)Obtinerea rezultatului limn→∞

Hn

nr= 0 (cu notatia r = p− q, deci r ≥ 1) este binecunos-

cuta; ea se poate baza, de exemplu, pe egalitateaHn

r=

Hn

n· 1

nr−1(unde r − 1 ≥ 0), iar

limita primului factor din membrul drept poate fi gasita cu lema lui Stolz. (N.A.)



12

II. limx→−∞ = b si lim

x→∞ f(x) = a, daca f este strict descrescatoare.

In ambele cazuri, limitele la −∞ si la ∞ sunt finite si diferite ıntreele, ceea ce contrazice situatia limitelor la −∞ si la +∞ pentru o functierationala. Asadar, f nu este o functie rationala.

*

* *

Aceasta delimitare prezinta un anumit interes teoretic ın stabilirea echi-valentei cardinale 1) dintre multimea R a numerelor reale si un interval oare-care (a, b) (cu a < b)2), care poate fi ales ca fiind intervalul ,,standard“ (0, 1), sau intervalul (−1, 1)3). Astfel, bijectii f de la R la (−1, 1), sunt f(x) =2π

arctgx, f(x) =ex − e−x

ex + e−x(functia numita si ,,tangenta hiperbolica“ notata

th x), f(x) =√

x2 + x + 1 − √x2 − x + 1, f(x) =

x√1 + x2

, f(x) =x

1 + |x|(propunem cititorului studiul si reprezentarea grafica). Dar, ın orice cartede analiza matematica, este ın ordinea fireasca a lucrurilor ca, ıntai sa seprezinte si sa se analizeze multimea R, a numerelor reale (,,materia prima“a analizei matematice4)), iar de abia mai tarziu sa se treaca la definirea ri-guroasa a functiilor mai complicate decat modulul (absolut necesar de a fidefinit la ınceput, fiind folosit la descrierea distantei pe R!), functiile poli-nomiale si functiile rationale (ne referim la functiile radical, exponentiala,logaritm, functiile trigonometrice si inversele lor). Astfel, dintre toate celecinci functii bijective f : R → (−1, 1) prezentate anterior, va fi de preferatcea mai ,,simpla“, adica ultima f(x) =

x

1 + |x| . Rezultatul demonstrat an-

terior ne arata ca procesul de selectare a unei functii si mai ,,simple“, prinrenuntarea la modul, nu mai poate continua: nu putem gasi o functie bi-jectiva f : R → (−1, 1), care sa fie rationala! (Este interesant de notat ca,

1)Reamintim ca doua multimi A si B se numesc cardinal echivalente, daca exista ofunctie bijectiva f : A → B. Relatia astfel definita este o relatie de echivalenta ın cadrulmultimilor. Notiunea a fost introdusa de Georg Cantor (1845 - 1918). (N.A.)

2)Ambele multimi R si (a, b) sunt nenumarabile. Reamintim ca o multime cardi-nal echivalenta cu multimea N, a numerelor naturale, se numeste multime numarabila,multimile Z si Q sunt, de asemenea, multimi numarabile. O multime care nu este cardinalechivalenta cu multimea N se numeste multime nenumarabila. Tot multimi nenumarabilemai sunt R \ Q si C. O multime cardinal echivalenta cu multimea R, a numerelor reale, senumeste multime de puterea continuului. (N.A.)

3) Alegerea intervalului ,,standard“ (0, 1) sau a intervalului (−1, 1) nu micsoreaza cunimic generalitatea, deoarece ıntre oricare doua intervale deschise (a, b) si (α, β) (cu a < bsi α < β) se poate stabili o bijectie, de exemplu functia de gradul I care transforma pe aın α si pe b ın β. (N.A.)

4) Expresie preluata din [6]. (N.A.)



13

invers, de la (−1, 1) la R, gasim cu usurinta bijectii rationale, de exemplug : (−1, 1) → R, g(x) =

x

1 − x2.)

11. O functie f : I → I, I = [0, 1], cu f(I) = I, dar care nu areproprietatea lui Darboux (dupa [11])Este o functie de tip Dirichlet f : I → I

(I = [0, 1]):

f(x) ={

x, pentru x ∈ Q ∩ Ix2, pentru x ∈ (R \ Q) ∩ I.

Se obtine usor, cu o demonstratie prindubla incluziune, ca are loc egalitatea f(I) = I(la stabilirea ambelor incluziuni, se vor consi-dera separat cazurile cand se lucreaza cu valorirationale, respectiv irationale).

Se poate ınsa arata acum ca functia f nu are proprietatea lui Darboux.

Intr-adevar, pentru a face o alegere convenabila, fie x1 =14, iar x2 =

12; avem

x1 < x2. Sa consideram acum o valoare irationala, din intervalul ,,de pe axa

Oy“ (f(x1), f(x2)) =(

14,12

), de exemplu, λ =

1√7. Cautam un numar

c ∈ (x1, x2) =(

14,12

), ,,de pe axa Ox“, astfel ıncat sa avem f(c) =

1√7.

Numarul c nu poate fi rational, deoarece, ın acest caz, am avea f(c) = c ∈ Q,deci f(c) 6= λ. Asadar c trebuie sa fie irational . In acest al doilea caz, am

avea f(c) = c2, deci, din conditia f(c) =1√7, rezulta ca trebuie sa alegem

c =14√

7. Insa

14√

7>

12, deci c /∈ (x1, x2). Asadar, nu exista niciun numar

real c ∈ (x1, x2), astfel ıncat f(c) = λ, deci functia f nu are proprietatea luiDarboux.

Contraexemplul prezentat ne arata ca, pentru o functie f : I → R (undeI este un interval), satisfacerea proprietatii lui Darboux nu este echivalentacu transformarea unui anumit interval I1 ⊆ I 1) tot ıntr-un interval. Propri-etatea lui Darboux este echivalenta cu transformarea oricarui interval I1 ⊆ 1tot ıntr-un interval. Mentionam ca, ın unele carti de analiza matematica,aceasta din urma proprietate este luata tocmai drept definitie a proprietatiilui Darboux (a se vedea [4], pag. 136).

1)In contraexemplul prezentat, avem chiar I1 = I = [0, 1] ceea ce nu joaca un rol esential,deoarece functia putea fi definita si pe un interval J , astfel ıncat J ⊃ [0, 1]. (N.A.)

Documents

Exemple ˘si contraexemple^ n analiza matematic a liceal a · C oncursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Exemple ˘si contraexemple^