Ex กำ�หนดให ้ จงห�ค่�ของ

Ex จงห�จำ�นวนเชงิซอ้นซึ่ง

และ

Ex กำ�หนดให ้ Z เป็นจำ�นวนเชงิซอ้น และถ้� จงห� Z

ขอ้สอบทักษะเรื่องจำ�นวนเชงิซอ้น1. จงห�ค่�ของ 2. จงห�ค่�ของ 3. ถ้� จงห� x + y4. ถ้� จงห� 5. จงเขยีนกร�ฟของ และ

ขอ้สอบทักษะเรื่องจำ�นวนเชงิซอ้น1. จงห�ค่�ของ

2. จงห�ค่�ของ 3. ถ้� จงห� x + y4. ถ้� จงห� 5. จงเขยีนกร�ฟของ และ

Ex จงห�จำ�นวนเสน้เชื่อมทัง้หมดของกร�ฟท่ีมีผลรวมของดีกรี

ของจุดยอดทกุจุดในกร�ฟเท่�กับ 20

Ex จงห�จำ�นวนจุดยอดของกร�ฟท่ีมเีสน้เชื่อม 15 เสน้

และมจุีดยอด 3 จุดท่ีมดีีกร ี4 สว่นจุดยอดท่ีเหลือมดีีกร ี3

Ex จงห�จำ�นวนจุดยอดของกร�ฟท่ีมเีสน้เชื่อม 14 เสน้

มจุีดยอด 3 จุดดีกร ี4 จุดยอด 4 จุดดีกร ี3 สว่นจุดยอดท่ีเหลือ

มดีีกร ี2

ค่�ของ tan ในจตภุ�คต่�ง ๆ ของวงกลมหนึ่งหน่วย

65

31

67

31

31

611

4

51

2

3

2

0 0 )0(

3

43 33

5

3

23 3

3

14

7

4

31

31

6 1

4

++

-+

--

+-

Ex จงเขยีนจำ�นวนเชงิซอ้นต่อไปน้ีในรูปเชงิขัว้

1.2.3.4.5.6.7.8.

9. 10.11.12.13. Z = 514. Z = -1015. Z = 5i16. Z = - 12i

ทฤษฎีบท 3 ให ้ และ โดยท่ี แล้ว

1. 2. 3. 4.

Ex จงห�ค่�ของ1. 2.

3. 4. 5. 6.

Ex กำ�หนดให ้ และ จงห�

1)2)

Ex ให ้ , และ จงห�ค่�ของ

ทฤษฎีบทของเดอมวัร ์( De Moivres Theorem )

ถ้� และ n เป็นจำ�นวนเต็มบวกแล้ว

Ex จงห�ค่�ของ1.

2. 3. 4. 5.

Ex กำ�หนดให ้ ,

และ จงห�1)2)

Ex จงห�ค่�ของ 1. 2.

3. 4.

Ex จงห�ค่�ของ

การหารากท่ี n ของจำานวนเชงิซอ้น

ทฤษฎีบท 5 ถ้� แล้วร�กท่ี n ของ Z มทัีง้หมด n ร�กท่ีแตกต่�งกัน

คือ

เมื่อ

Ex1 จงห�ร�กท่ี 2 ของ 4iEx2 จงห�ร�กท่ี 3 ของ 8Ex3 จงห�ร�กท่ี 3 ของ –27iEx4 จงห�ร�กท่ี 4 ของ

แบบฝึกหัดเพิม่เติม

1. จงห�ผลคณูและผลห�รของจำ�นวนเชงิซอ้นต่อไปน้ีในรูปเชงิขัว้1)2)3)4)5)

2. กำ�หนดให ้ และ จงห�

1)2)

3. จงเขยีนจำ�นวนเชงิซอ้นต่อไปน้ีในรูปเชงิขัว้1)2)3)

4. จงห�ร�กท่ี 2 ของ 1) 2) 5. จงห�ร�กท่ี 3 ของ – 6 4

6. จงห�ร�กท่ี 3 ของ 7. จงห�ร�กท่ี 4 ของ 8. จงห�ร�กท่ี 4 ของ

สมการพหนุาม

สมก�รพหนุ�มตัวแปรเดียวท่ีจะกล่�วถึงในท่ีน้ีคือสมก�รท่ีสมมูลกับสมก�รในรูป เมื่อ n เป็นจำ�นวนเต็มบวก และ เป็นสมัประสทิธิข์องพหนุ�มท่ีเป็นจำ�นวนจรงิโดยท่ี และ เรยีกสมก�รดังกล่�วว�่ สมก�รพหนุ�มกำ�ลัง n

ซึ่งสมก�รพหนุ�มกำ�ลัง n ทกุสมก�รจะส�ม�รถห�คำ�ตอบหรอืร�กของสมก�รได้เสมอ ที่เป็นเชน่น้ีโดยอ�ศัยทฤษฎีบทพชีคณิตเบื้องต้นเป็นทฤษฎี-บทพื้นฐ�น ดังต่อไปน้ี

ในก�รห�คำ�ตอบของสมก�รพหนุ�มกำ�ลัง n นัน้ ทำ�ได้โดย ก�รพย�ย�มเขยีนพหนุ�ม ใหอ้ยูใ่นรูปผลคณูของพหนุ�มกำ�ลัง 1 ซึ่งจะแบง่ก�รห�คำ�ตอบของสมก�รพหนุ�มกำ�ลัง n เป็น 2 กรณีดังน้ี

กรณีท่ี 1 สมการพหนุามกำาลัง 2 หรอืสมการควอดราติกพจิ�รณ�ก�รห�คำ�ตอบของสมก�ร

จ�ก หรอื

จะได้ ดังนัน้คำ�ตอบของสมก�ร คือ และ

Ex 1 จงห�เซตคำ�ตอบของสมก�รต่อไปน้ี1)2)3)4)5)

กรณีท่ี 2 สมการพหนุามกำาลังมากกวา่ 2 ในก�รเขยีนสมก�รพหนุ�ม ใหอ้ยูใ่นรูป

ผลคณูของพหนุ�มกำ�ลัง 1 หรอืกำ�ลัง 2 นัน้ ทฤษฎีบทต่อไปน้ีเป็นทฤษฎีบทที่ใชช้ว่ยในก�รกระทำ�ดังกล่�ว

ทฤษฎีบท 2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem ) เมื่อ

เมื่อ n เป็นจำ�นวนเต็มบวก และ เป็นสมัประสทิธิ์ของพหนุ�มท่ีเป็นจำ�นวนจรงิโดยท่ี ถ้�ห�รพหนุ�ม ด้วยพหุน�ม เมื่อ c เป็นค่�คงตัวใด ๆ แล้วเศษจะเท่�กับ

Ex จงห�เศษจ�กก�รห�ร P(x) ด้วย x – c ต่อไปน้ี

1) , x – 1 2) , x + 13) , x – i 4) , x + 2i

ทฤษฎีบท 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบเมื่อ เมื่อ n เป็นจำ�นวนเต็มบวก และ เป็นสมัประสทิธิข์องพหนุ�มที่เป็นจำ�นวนจรงิโดยท่ี พหนุ�ม น้ีจะม ี เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ

ทฤษฎีบท 4 ทฤษฎีบทตัวประกอบจำ�นวนตรรกยะเมื่อ เมื่อ n เป็นจำ�นวนเต็มบวก และ เป็นสมัประสทิธิข์องพหนุ�มที่เป็นจำ�นวนจรงิโดยท่ี ถ้� เป็นตัวประกอบของพหนุ�ม โดยท่ี m และ k เป็นจำ�นวนเต็ม ซึ่ง และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่�กับ 1 แล้ว m จะเป็นตัวประกอบของ และ k จะเป็นตัวประกอบของ

Ex จงห�คำ�ตอบของสมก�รต่อไปน้ี1. 2.3.4. 5.

ทฤษฎีบท ถ้�สมก�รพหนุ�มกำ�ลัง n

เมื่อ n เป็นจำ�นวนเต็มบวก และ เป็นสมัประสทิธิ์ของพหนุ�มที่เป็นจำ�นวนจรงิโดยท่ี ม ี เป็นคำ�ตอบของสมก�รแล้ว จะเป็นคำ�ตอบของสมก�รด้วย เมื่อ a และ b เป็นจำ�นวนจรงิ โดยที่

Ex1 จงห�สมก�รพหนุ�มกำ�ลังตำ่�สดุท่ีมสีมัประสทิธิเ์ป็นจำ�นวนจรงิและม ี และ เป็นคำ�ตอบของสมก�ร

Ex2 จงห�สมก�รพหนุ�มกำ�ลังตำ่�สดุท่ีมสีมัประสทิธิเ์ป็นจำ�นวนจรงิและม ี , และ เป็นคำ�ตอบของสมก�ร

Ex3 จงห�สมก�รพหนุ�มกำ�ลังสีท่ี่มสีมัประสทิธิเ์ป็นจำ�นวนตรรกยะ และม ี 3 , - 4 และ เป็นคำ�ตอบของสมก�ร

Ex 4 ถ้� – 2 เป็นคำ�ตอบซำ้� 2 ครัง้ของสมก�รพหนุ�ม

จงห�คำ�ตอบทัง้หมดของสมก�ร

Ex5 ถ้� เป็นคำ�ตอบของสมก�ร จงห�คำ�ตอบท่ีเหลือของสมก�ร

Ex 6 ถ้� เป็นคำ�ตอบของสมก�ร จงห�ผลบวกของคำ�ตอบทัง้หมดของสมก�ร

Ex7 จงห�สมก�รพหนุ�มดีกร ี3 ท่ีมสีมัประสทิธเ์ป็นจำ�นวนจรงิและสมัประสทิธิข์อง เป็น 1 ถ้� x – 1 ห�ร P(x) เหลือเศษ - 4 และ เป็นคำ�ตอบหน่ึงของสมก�ร

Ex8 จงห�สมก�รพหนุ�มดีกร ี3 ท่ีมสีมัประสทิธเ์ป็นจำ�นวนจรงิและสมัประสทิธิข์อง เป็น 1 ถ้� x + 2 ห�ร P(x) เหลือเศษ 6 และ เป็นคำ�ตอบหน่ึงของสมก�ร

การหารากท่ีสองของจำานวนเชงิซอ้น

Ex จงห�ร�กท่ีสองของจำ�นวนเชงิซอ้นต่อไปน้ี1)Z = 42)Z = 18i3)Z = -4i4)Z = 3 + 4i5)Z = 8 – 6 i6)Z = 5 – 12 i 7)Z =

Z = a + bi ร�กท่ีสองของ Z คือ เมื่อ

สมก�รพหนุ�ม มจีำ�นวนจรงิที่เป็นคำ�ตอบซำ้� 2 ครัง้ หน่ึงคำ�ตอบ

ถ้� a และ b เป็นคำ�ตอบที่แตกต่�งกันแล้วจงห�ค่�ของ

แบบฝึกหัดเพิม่เติม

1. จงห�เซตคำ�ตอบของสมก�รต่อไปน้ี1)2)3)

2. จงห�เซตคำ�ตอบของสมก�รต่อไปน้ี1)2)3)4)

3. จงห�เซตคำ�ตอบของสมก�รต่อไปน้ี1) 2) 3) 4) 5)

3. ถ้� เป็นคำ�ตอบของสมก�ร และห�ร�กที่เหลือของสมก�ร

4. จงห�สมก�รพหนุ�มกำ�ลัง 4 ท่ีมสีมัประสทิธิเ์ป็นจำ�นวนเต็ม และม ี 3 , -4 , เป็นคำ�ตอบของสมก�ร

5. จงห�สมก�รพหนุ�มกำ�ลัง 5 ท่ีมสีมัประสทิธิเ์ป็นจำ�นวนเต็ม และม ี2 , -1 , และ เป็นคำ�ตอบของสมก�ร

6. จงห�สมก�รพหนุ�มกำ�ลัง 4 ท่ีมสีมัประสทิธิเ์ป็นจำ�นวนจรงิและม ี และ เป็นคำ�ตอบของสมก�ร

ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

Ex จงห�จำ�นวนเสน้เชื่อมทัง้หมดของกร�ฟท่ีมีผลรวมของดีกรี

ของจุดยอดทกุจุดในกร�ฟเท่�กับ 20

Ex จงห�จำ�นวนจุดยอดของกร�ฟท่ีมเีสน้เชื่อม 15 เสน้

และมจุีดยอด 3 จุดท่ีมดีีกร ี4 สว่นจุดยอดท่ีเหลือมดีีกร ี3

Ex จงห�จำ�นวนจุดยอดของกร�ฟท่ีมเีสน้เชื่อม 14 เสน้

มจุีดยอด 3 จุดดีกร ี4 จุดยอด 4 จุดดีกร ี3 สว่นจุดยอดท่ีเหลือ

มดีีกร ี2

Ex จะสร�้งกร�ฟท่ีมดีีกรตี�มท่ีกำ�หนดต่อไปนี้ได้หรอืไม่

1) 2 , 4 , 1 , 2 และ 3

2) 2 , 2 , 1 , 1 และ 3