วิชา คณิตศาสตร ม.ตน ตอนท่ี18

เร-อง สถิติ โดย พ่ีออย รัชฎาภรณ โชติอิ่มอุดม พ่ีม.มหิดลติวเตอร

สถิติ

สถิติ (Statistics) คือ การเก็บรวบรวมขอมูลท่ีมากมายมาจัดใหอยูในรูปท่ีเขาใจงาย และสามารถนำไปวิเคราะหขอมูลน้ันได โดยท่ัวไปขอมูลท่ีเปนตัวเลขมากมาย

มักถูกเรียกวา ขอมูลดิบ ขอมูลดิบมักถูกนำมาทำใหอยูในรูปแบบของกราฟ ตารางแจกแจงความถ่ี แผนภูมิรูปวงกลม ซ่ึงจะทำใหขอมูลดิบงาย

แกการเขาใจ

การสรางตารางแจกแจงความถ่ี พิสัย = คะแนนสูงสุด – คะแนนต่ำสุด ความกวางอันตรภาคชั้น = ขอบบน- ขอบลาง

ความกวางอันตรภาคชั้น = พิสัย / จำนวนชั้น จุดก่ึงกลางชั้น = (ขอบบน+ขอบลาง) / 2

ขอบลาง = (คามากสุดของอันตรภาคชั้นน้ัน + คานอยสุดของอันตรภาคชั้นท่ีสูงกวาหน่ึงชั้น) / 2

ขอบบน = (คานอยสุดของอันตรภาคชั้นน้ัน + คามากสุดของอันตรภาคชั้นท่ีต่ำกวาหน่ึงชั้น) / 2

การนำขอมูลดิบมาวิเคราะหในรูปแบบตารางแจกแจงความถ่ี อันตรภาคชั้น ความถ่ี ความถ่ีสะสม จุดก่ึงกลาง ขอบบน ขอบลาง

11-15 5

16-20 8

21-25 12

26-30 3

31-35 2

คากลางของขอมูล คากลางขอมูลแบงออกเปน 3 ประเภทหลัก ๆ 1. คาเฉล่ียเลขคณิต (คากลางเลขคณิต)

(Arithmetic mean) 2. คามัธยฐาน (Median)

3. ฐานนิยม (Mode)

คาเฉล่ียเลขคณิต คาเฉล่ียเลขคณิต หาไดจากผลบวกของขอมูลทุกจำนวนหารดวยจำนวนขอมูล เขียนแทนดวย 𝑥  อานวา เอ็กซบาร

𝑥 = 𝑥↓1 + 𝑥↓2 + 𝑥↓3 +…+𝑥↓𝑛 /𝑁 

N

xx∑=

1. จากคะแนนสอบของนักเรียน 10 คน หาคาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบได 20 คะแนน แตปรากฏวา ครูอานคะแนนสอบของนักเรียนผิดไป 2 คน คนแรกได 17 คะแนนครูอานเปน 13 คะแนน คนท่ีสองได 20 คะแนนครูอานเปน 22 คะแนน จงหาคาเฉล่ียเลขคณิตท่ีถูกตองของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมน้ี

2. ครอบครัวหน่ึงมี 4 คน บิดาอายุ 42 ป มารดาอายุ 40 ป บุตร 2 คนอายุ 14 และ 12 ป ตามลำดับ ตอมามีญาติมาดวย 2 คน ทำใหคาเฉล่ียเลขคณิตของอายุ

คน 6 คน เพิ่มข้ึนจากเดิม 1 ป ถาญาติคนหน่ึงอายุมากกวาอีกคนหน่ึง 2 ป จงหาอายุของญาติท้ัง 2 คน

3. โรงเรียนแหงหน่ึงแบงนักเรียนชั้น ม.3 ออกเปน 2 หอง คือ หอง ก มีนักเรียน 30 คน และหอง ข มีนักเรียน 35 คน ในการสอบวิชาภาษาไทยไดคาเฉล่ียเลขคณิต

ของคะแนนของนักเรียนหอง ก เทากับ 75 คะแนน และของนักเรียนหอง ข เทากับ 70 คะแนน จงหาคาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนชั้น ม.3

ในโรงเรียนน้ีท้ังหมด

4. ผลการวัดความสูงของนักเรียน (หนวยเปนเซนติเมตร) 30 คน เปนดังน้ี

ความสูง (เซนติเมตร) 138 140 142 144 146 148

จำนวนนักเรียน (คน) 3 5 7 9 4 2

จงหาคาเฉล่ียเลขคณิตของความสูง ของนักเรียนท้ัง 30 คน น้ี

การหาคาเฉล่ียจากขอมูลแบบแจกแจงความถ่ี

คาเฉล่ีย ( 𝑥 ) = ∑↑▒𝑓𝑥 /𝑁 

การหาคาเฉล่ียโดยวิธีลัด

กรณีท่ีขอมูลมีความกวางของอันตรภาคชั้นเทากัน คาเฉล่ีย ( 𝑥 ) = a + I ( ∑↑▒𝑓𝑑 /𝑁 )

a คือ จุดก่ึงกลางชั้นของชั้นใดชั้นหน่ึงมักนิยมให a อยูในชั้นท่ีมีความถ่ีสูงสุด

I คือ ความกวางของอันตรภาคชั้น

d = 0 ชั้นท่ีมี a อยู d = -1,-2,-3,… ในชั้นท่ีมีขอมูลต่ำกวา a ถัดไป

d = 1,2,3,… ในชั้นท่ีมีขอมูลสูงกวา a ถัดไป N คือ จำนวนขอมูลท้ังหมด

∑↑▒𝑓𝑥  คือ ผลรวมของ (ความถ่ี คูณ จุดก่ึงกลางชั้น)  ∑↑▒𝑓𝑑  คือ ผลรวมของ (ความถ่ี คูณ d)

5. จงหาคาเฉล่ียจากตารางแจกแจงความถ่ีตอไปน้ี

อันตรภาคชั้น ความถ่ี

10-14 3

15-19 8

20-24 10

25-29 7

30-34 2

อันตรภาคชั้น ความถ่ี จุดก่ึงกลาง (x) Fx

10-14 3

15-19 8

20-24 10

25-29 7

30-34 2

คาเฉล่ีย ( 𝑥 ) = ∑↑▒𝑓𝑥 /𝑁 

อันตรภาคชั้น ความถ่ี d Fd

10-14 3

15-19 8

20-24 10

25-29 7

30-34 2

คาเฉล่ีย ( 𝑥 ) = a + I ( ∑↑▒𝑓𝑑 /𝑁 )

ขอควรรูเก่ียวกับ คุณสมบัติท่ีนาสนใจเก่ียวกับคาเฉล่ียเลขคณิต

1) ถาบวกทุก ๆ คาของขอมูลดวยคาคงตัว k แลว ( 𝑥 )ใหม = ( 𝑥 )เดิม + k 2) ถาลบทุก ๆ คาของขอมูลดวยคาคงตัว k แลว ( 𝑥 )ใหม = ( 𝑥 )เดิม - k

3) ถาคูณทุก ๆ คาของขอมูลดวยคาคงตัว k แลว ( 𝑥 )ใหม = ( 𝑥 )เดิม x k 4) ถาหารทุก ๆ คาของขอมูลดวยคาคงตัว k แลว

( 𝑥 )ใหม = ( 𝑥 )เดิม ÷ k ; k  ≠ 0

6. ครอบครัวหน่ึง 4 คน บิดาอายุ 32 ป มารดาอายุ 30 ป บุตร 2 คน อายุ 14 และ 10 ป ตามลำดับ จงหา

6.1 คาเฉล่ียเลขคณิตของอายุคนท้ัง 4

6.2 คาเฉล่ียเลขคณิตของอายุคนท้ัง 4 เม-อ 2 ปท่ีผานมา

6.3 คาเฉล่ียเลขคณิตของอายุคนท้ัง 4 ในอีก 3 ป ขางหนา

มัธยฐาน

มัธยฐาน คือ คาท่ีอยูก่ึงกลางของขอมูลท้ังหมด เม-อเรียงขอมูลจากคานอยท่ีสุดไปหาคามากท่ีสุด หรือจากคามากสุดไปหาคานอยสุด

7. จากขอมูลตอไปน้ี จงหาคามัธยฐาน 20 16 19 24 36 18 17 25

8. จากตารางแจกแจงความถ่ี คามัธยฐานอยูในอันตรภาคชั้นใด

อันตรภาคชั้น ความถ่ี 2 – 4 5 – 7 8 – 10 11 – 13 14 – 16

1 2 4 2 1

ฐานนิยม

ฐานนิยม หมายถึง คะแนนท่ีซ้ำกันมากท่ีสุดในขอมูลชุดน้ัน หรือมีความถ่ีสูงสุดในขอมูลชุดน้ัน

7 8 8 9 9 9 11 12 12

9. จากขอมูลตอไปน้ี จงหาคาฐานนิยม

10. จากขอมูลตอไปน้ี จงหาคาฐานนิยม

3 2 4 3 2 1 4

การวัดการกระจายสัมพัทธ 1) พิสัย (Range) 2) สวนเบ่ียงเบนควอไทล (Quartile Deviation)

3) สวนเบ่ียงเบนเฉล่ีย (Mean Deviation or Average Deviation)

4) สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

S.D. =  √∑𝑖=1↑𝑁▒( 𝑥↓𝑖 − 𝑥 )↑2 /𝑁    = √∑↑▒𝑥↑2  /𝑁 − 𝑥 ↑2  

คาความแปรปรวน (Variance) = (S.D.)2

11. ขอมูลชุด A = 3, 1, 2, 6, 7, 5 และขอมูลชุด B = 8, 6, 3, 7, 2, 4 จงหาคาเฉล่ียและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลท้ัง 2 ชุด

12. ขอมูล 4 จำนวนมีคาดังน้ี 5, a, b, 1 โดยท่ี 1≤a<b ถาขอมูลชุดน้ีมีคาเฉล่ียเทากับ 4 คาความแปรปรวนเทากับ 5 แลวคาของ b-a เทากับขอใด

1) 2 2) 4 3) 6 4) 8

แบบฝกหัด

1. ขอมูลชุดหน่ึงคือ 28, 29, 28, a, 32, 28 ถาคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ 30 จงหาคา a เทากับเทาไร

1. 30 2. 33 3. 35 4. 40

2. จากขอมูลตอไปน้ี 12, 10, 11, 7, x, y ถาคาเฉล่ียเลขคณิต ของขอมูลชุดน้ีคือ 14 จงหาคา x + y เทากับเทาใด

1. 30 2. 40

3. 44 4. 45

3. ถาขอมูลชุดหน่ึงมี 20 จำนวน และคาเฉล่ียเลขคณิต เปน 12.3 แลวผลรวมคะแนนของขอมูลชุดน้ีตรงกับขอมด

1. 123 2. 246

3. 326 4. 486

4. นักเรียน 6 คน สอบวิชาคณิตศาสตรไดคะแนนเฉล่ีย 30 คะแนน ถานำ คะแนนของนักเรียนอีก 2 คน มารวมเฉล่ีย จะทำใหคะแนนเฉล่ียเพิ่มข้ึนอีก 2 คะแนน ถาเด็ก 2 คนน้ีไดคะแนนตางกันอยู 4 คะแนน อยากทราบวาเด็ก 2 คนน้ี คนท่ีไดคะแนนมากกวาไดก่ีคะแนน

1. 32 2. 36 3. 40 4. 44

5. นักเรียนชั้นหน่ึงมีนักเรียนชาย 30 คน นักเรียนหญิง 20 คน คาเฉล่ียเลขคณิต ของอายุนักเรียนชายเปน 15 คาเฉล่ียเลขคณิต ของอายุนักเรียนหญิงเปน 14 ถามีนักเรียน 3 คน บอกอายุเกิน ไปคนละ 3 ป และ มีนักเรียนอีกคนหน่ึงบอก อายุนอยไป 1 ป คาเฉล่ียเลขคณิตของอายุท่ีถูกตองของนักเรียนท้ังชั้นมีคาเทาไร

1. 14.44 2. 14.51 3. 15.10 4. 15.20

6. นักเรียนชั้น ม.3 สามหอง แตละหองมีนักเรียน 30, 36 และ 34 คน ตามลำดับ แตละหองมีคะแนนสอบเฉล่ียเปน 8, 7 และ 9 คะแนน ตามลำดับ คาเฉล่ียเลขคณิต

ของคะแนนสอบ ของนักเรียนท้ังสามหองตรงกับขอใด

1. 7.60 2. 7.98 3. 8.00 4. 8.89

7. ถา x, y, z มีคาเฉล่ียเลขคณิตเปน 5 และ x, y, z, a, b, c มีคาเฉล่ียเลขคณิตเปน 8 ดังน้ันคาเฉล่ียเลขคณิตของ a, b, c เปนขอใด

1. 6.5 2. 11 3. 13 4. 15

8. นักเรียนหองหน่ึงมี 45 คน คาเฉล่ียเลขคณิตของน้ำหนักเปน 45 กิโลกรัม ตอมามีนักเรียนลาออกไป 1 คน ทำใหคาเฉล่ียเลขคณิตของน้ำหนักลดลง 0.12

กิโลกรัม นักเรียนท่ีลาออกไปมีน้ำหนักก่ีกิโลกรัม

1. 50.28 กิโลกรัม 2. 50.45 กิโลกรัม 3. 51.28 กิโลกรัม

4. 51.45 กิโลกรัม

9. ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนกลุมหน่ึง 20 คน ไดคาเฉล่ียเลขคณิตเปน 12 แตตอมาพบวามีการบอกคะแนนผิดอยู 2 คน คือ ตอนแรกเปน 10 และ 12 ซ่ึงท่ี

ถูกตองคือ 20 และ 13 จงหาคาเฉล่ียเลขคณิตท่ีถูกตองหลังจากแกคะแนนแลว ตรงกับขอใด

1. 12.50 2. 12.05 3. 12.52 4. 12.55

10. ขอมูลชุดหน่ึงมี 10 จำนวน มีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ A ถาบวกขอมูลแตละจำนวนดวย 5 ขอมูลใหมมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับขอใด

1. เทาเดิม 2. A + 1 3. A + 2 4. A + 5

11. จากการสำรวจนักเรียน 50 คน ความสูงโดยเฉล่ียเทากับ 160 เซนติเมตร ถาความสูงของนักเรียน 30 คน เทากับ 4,890 เซนติเมตร จงหาความสูงเฉล่ีย

ของนักเรียน 20 คนท่ีเหลือ

1. 150.0 เซนติเมตร 2. 155.5 เซนติเมตร 3. 160.5 เซนติเมตร 4. 165.5 เซนติเมตร

12. ถาอันตรภาคชั้นหน่ึงมีชวงคะแนนเปน a – b มีความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 10 และจุดก่ึงกลางชั้นเปน 50.5 จงหาคาของ a –b ตรงกับอันตรภาคชั้นในขอใด

1. 46 – 55 2. 46 – 56 3. 45 – 54 4. 45 – 56

13. ขอมูล X + 4, 2X + 6, 3X – 1, 4X + 2 และ 5X – 1 มีคาเฉล่ียเลขคณิตเปน 8 ขอใดถูกตอง

1. ฐานนิยม = 10 2. มัธยฐาน = 9 3. คาเฉล่ียเลขคณิต ฐานนิยมและมัธยฐานรวมกันได 17

4. ถูกมากกวา 1 ขอ

14. ขอมูลชุดหน่ึงมี 10 รายการ มีคาเฉล่ียและเลขคณิตเปน 56 ปรากฏวา รวมคะแนนผิดเกินไป 20 คะแนน จงหาคะแนนเฉล่ียท่ีถูกตอง

1. 52 2. 53

3. 54 4. 55

15. นักเรียนหองหน่ึงเปนชายและหญิงรวมกัน 40 คน ปรากฏวาผลการสอบวิชาคณิตศาสตร นักเรียนชายไดคะแนนเฉล่ียเทากับจำนวนนักเรียนชายพอดี นักเรียนหญิงไดคะแนนเฉล่ียเทากับจำนวนนักเรียนหญิงพอดี ถาคะแนนเฉล่ียของนักเรียนท้ังชั้นเทากับ 25 คะแนน จงหาจำนวนนำเรียนชาย เม-อจำนวนนักเรียนชายมากกวาจำนวนนักเรียนหญิง

1.10 2. 15 3. 25 4. 30

16. ถาคาเฉล่ียเลขคณิตของ a, b, c เปน w คาเฉล่ียของ b, c, d เปน x คาเฉล่ียของ a, b, d เปน y และคาเฉล่ียของ a, c, d เปน z แลวคาเฉล่ียของ a, b, c, d เปนเทาไร

1. w + x + y + z

2. 1 ( w + x + y + z) 2

3. 1 ( w + x + y + z)

8 4. 1 ( w + x + y + z)

12

17. กำหนดขอมูลชุดหน่ึงคือ a, a-1, b, b-1 มีคาเฉล่ียเลขคณิตเปน 4 ถา a + 1, a + 2, b + 3, b + 4 เปนขอมูลอีกชุดหน่ึงคาเฉล่ียเลขคณิต

ของขอมูลชุดน้ีมีคาเทากับเทาใด

1. 4.5 2. 5.5 3. 6.5 4. 7.5

18. ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียน 3 กลุม ไดคาเฉล่ียเลขคณิตรวมเปน 65 คะแนน นักเรียนกลุมแรกมี 30 คน กลุมท่ีสองมี 25 คน ถาคาเฉล่ียเลขคณิต

ของแตละกลุมเปน 60, 70 และ 66.25 ตามลำดับ จงหาวานักเรียนกลุมท่ี 3 มีก่ีคน

1. 15 2. 20 3. 25 4. 30

1. 1,545 2. 1,555 3. 1,565 4. 1,655

19. นักเรียนกลุมหน่ึงมีจำนวน 6 คน มีความสูงเฉล่ียเทากับ 155 เซนติเมตร ถาความสูงของคนท้ัง 6 เปนดังน้ีคือ 150, x, 156, 159, 156 และ y

โดยท่ี x-y=5 จงหาวา x2-y2 เทากับเทาใด

20. คาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลชุดหน่ึงเปน 11 เม-อเพิ่มขอมูลเขาไปอีกตัวหน่ึงคือ 29 จะทำใหคาเฉล่ียเลขคณิตกลายเปน 13 จงหาวาเดิมมีขอมูลอยูก่ีรายการ

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8