UNIVERSIDAD MAYOR REAL Y PONTIFICIA DE SANFRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA

FACULTAD DE TECNOLOGIA

CARRERA: ING. DE GAS Y PETROLEO

MATERIA: ALGEBRA II (MAT – 103)

TITULO DE LA PRÁCTICA: ESPACIOS VECTORIALES

GRUPO Nº: 2

UNIVERSITARIO: CASTRO UGARTE VICTOR JESUS

FECHA DE ENTREGA: 15 – 05 – 08

NOMBRE DEL DOCENTE: ING. ALVAREZ

Sucre – Bolivia01/2008

ESPACIOS VECTORIALES

1. Espacio Vectorial.

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. Las operaciones que podemos realizar entre ellos son: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, el producto punto, el producto vectorial y el triple producto escalar con algunas restricciones naturales como el cierre de estas operaciones, la asociatividad de estas y la combinación de estas operaciones, siguiendo, llegamos a la descripción de una estructura matemática llamada espacio vectorial.

Definición formal

Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Y un conjunto V dotado de una ley de composición interna (+), (suma de vectores), y una ley de composición externa (·), (producto por un escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y solo si:

V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composición interna (+), (suma de vectores). Esto significa que:

1. La suma de vectores es ley de composición interna.

2. La suma de vectores es asociativa.

3. La suma de vectores es conmutativa.

4. Existe un elemento neutro o nulo.

5. Existe un elemento simétrico u opuesto aditivo.

Dónde representa el vector nulo. Respecto a su ley de composición externa (·), (producto por un escalar), se

cumple:

6. El producto es ley de composición externa.

7. El producto posee asociatividad mixta.

8. El producto es distributivo respecto a la suma en V.

9. El producto es distributivo respecto a la suma en K.

10. Existe el elemento neutro para el producto.

EJEMPLOS

2. Subespacios Vectoriales.

Un subconjunto  W  de un  k-espacio  vectorial  V, se llama   subespacio vectorial de  V, si  W  es un  k-espacio  vectorial bajo las operaciones  +  y   de  V. 

Por ejemplo, dado un  k-espacio  V,  los subconjuntos     y  V  claramente son subespacios. Se les conoce como los subespacios triviales de

. 

Según la definición, para ver que   es un subespacio de  ,

debemos verificar que   cumple con todos los axiomas de espacio

vectorial. Sin embargo, hay varios axiomas que por ser válidos en ,

automáticamente son válidos en   (por ser 

 ). Mas aún, tenemos el siguiente: 

TEOREMA.  Sea  V  un  k-espacio  y  sea  , entonces  W es un subespacio de V  si y solo si  se cumplen los siguientes axiomas:

                      i)      

                      ii)  

 

                      iii) 

Demostración .-  “  ”  Supongamos que  

  es subespacio.   Es obvio que   ( ii )  y  ( iii ) se deben  satisfacer .  

Además, existe    tal que 

.En particular,  

                              Por otro lado,     

                                

                         

Por la ley de la cancelación de  V, tenemos que  

.

“  “   Supongamos que se satisfacen   (i) –( iii ).    Dado  

,  por  (iii) 

,  pero  .  Por lo tanto, 

. Los demás axiomas se heredan de 

.  Por lo tanto,   es subespacio de  .Ejemplo 1.

Dada una matriz  A , la matriz transpuesta     se define como:

Es decir,   se obtiene de  A  intercambiando los renglones por columnas.

Una matriz  A  se llama  simétrica  si  .   Por la misma definición, una   matriz simétrica  debe ser cuadrada.Por ejemplo,  la siguiente matriz

  es  simétrica.

Ahora,  sea  

  es  simétrica ,  entonces  

  es un  subespacio.En efecto, verificamos las tres condiciones del último teorema:

         i)   Es claro que   la matriz cero   es  simétrica. 

         ii)    Suponiendo que   y 

, entonces:

                                             

 ,       es  simétrica 

         iii)   Supongamos que   y 

,  entonces:

                                                 

 ,   

 es  simétrica 

Por lo tanto,   es subespacio  de 

. Ejemplo 2.

Sea  

  es contínua

Por las conocidas propiedades de las funciones contínuas, se concluye que 

  es un subespacio.

3. Combinación Lineal.

Un vector (elemento de un espacio vectorial) es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una cantidad finita, pero a su vez se encuentra regida por la ley de Bohegiher IV de elementos de que denotaremos por , y esa misma cantidad de escalares (elementos del cuerpo sobre el que el espacio vectorial está construido) , de forma que

.

Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de .

Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque

podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.Sean los vectores no paralelos y no nulos, A, B, y C dados en un sistema tridimensional. Si gráficamente un vector V del espacio podemos expresarlo como una suma de componentes vectoriales r A, s B y t C , que son múltiplos escalares de A, B y C, entonces se dice que el vector V se ha expresado como una combinación lineal de los vectores A, B y C es decir:

V = r A + s B + t C

Ahora bien, todo vector V ε R3 se puede expresar como una suma de múltiplos escalares de versores básicos : i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1).En efecto sean (x,y,z) las componentes del vector V, entonces podemos escribir:

V = (x,y,z) = (x,0,0) + (0,Y,0) + (0,0,z) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1)

V = xi + yj + zk

4. Lineal Dependiente.

Un sistema de vectores (A,B,C) se llama linelamemte dependiente, cuando, y solo cuando, los vectores A, B y C son coplanares, es decir, son paralelos o coincidentes.

Propiedades de los vectores linealmente dependientes 1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno

de los vectores es combinación lineal de los demás.

5. Lineal Independiente.

Se dice que tres vectores A, B y C ε R3 son linealmente independientes, si y solo si A, B, y C no son coplanares.Propiedades de los vectores linealmente Independientes

1. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.

Criterio de Independencia Lineal.Tres vectores A, B y C ε R3 son,inealmente independientes si se verifican las condicones siguientes:

rA + sB + tC = 0 r = 0, s = 0, t = 0