TEMA 4: Espacios y subespacios vectoriales

1. Espacios vectoriales

Sea K un cuerpo. Denominaremos a los elementos de K escalares.

Definicion 1. Un espacio vectorial sobre K es un conjunto V cuyos elementos se deno-minan vectores y en el cual hay definidas dos operaciones: una operacion interna o sumade vectores tal que

(V, +) es un grupo abeliano

El elemento neutro los denotamos como ~0 (para distinguirlo del elemento neutro del cuerpoK) , y lo llamaremos el vector cero.

Ademas hay definida una operacion llamada el producto de un escalar por un vector,es decir, una aplicacion K × V → V , verificando para cualesquiera λ, λ1, λ2 ∈ K y paracualesquiera u, v ∈ V que:

1. λ(u + v) = λu + λv2. (λ1 + λ2)u = λ1u + λ2u3. λ1(λ2u) = (λ1 · λ2)u4. 1 · u = u

Ejemplos 2.

1. El conjunto V = R × R es un espacio vectorial sobre el cuerpo R con respecto dela operaciones

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2), λ · (x1, x2) = (λ · x1, λ · x2)

El vector cero es ~0 = (0, 0).

2. Sea V = Q[x]3 = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 | ai ∈ Q} el conjunto de todos lospolinomios con coeficientes en Q y de grado menor o igual que tres. Entonces V esun espacio vectorial sobre Q con respecto de las operaciones suma de polinomios yel producto de un escalar por un polinomio:

λ · (a0 + a1x + a2x2 + a3x

3) = (λa0) + (λa1)x + (λa2)x2 + (λa3)x

3

3. Si V1, V2, . . . , Vn son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, entonces elproducto cartesiano V = V1 × V2 × . . .× Vn es de nuevo un espacio vectorial sobreK respecto de las operaciones

(u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn) = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

λ · (u1, u2, . . . , un) = (λ · u1, λ · u2, . . . , λ · un)

El vector cero de V es ~0V = (~0V1 ,~0V2 , . . . ,~0Vn).

1

2

4. El conjunto V = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 − 4x2 − 5x3 = 0} es un espacio vectorialsobre R. V tambien se puede describir como el conjunto

{λ1 · (4, 1, 0) + λ2 · (5, 0, 1) | λ1, λ2 ∈ R}

5. Mas generalmente, el conjunto de las soluciones de un sistema homogeneo de ecua-ciones lineales sobre un cuerpo K, es un espacio vectorial sobre K.

6. Es inmediato comprobar que todo cuerpo K se puede considerar como un espaciovectorial sobre sı mismo. En este caso, las operaciones sobre vectores coinciden conlas correspondientes operaciones sobre escalares.

7. El conjuntoMm×n(K) es un espacio vectorial sobre K.

Las siguientes propiedades generales se deducen de la definicion de espacio vectorial:

Propiedad 3. Sea V un espacio vectorial sobre K. Entonces:

1. ∀u ∈ V, 0 · u = ~02. ∀λ ∈ K, λ ·~0 = ~03. Dados λ ∈ K, u ∈ V , si λ · u = ~0 entonces λ = 0 o u = ~0.4. ∀λ ∈ K, ∀u ∈ V , (−λ)u = −(λu) = λ(−u)5. ∀λ ∈ K, ∀u, v ∈ V , λ(u− v) = λu− λv6. ∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u ∈ V , (λ1 − λ2)u = λ1u− λ2u

7. Dados λ, µ ∈ K y u 6= ~0, si λ · u = µ · u entonces λ = µ.8. Dados λ ∈ K,λ 6= 0, y u, v ∈ V , si λ · u = λ · v entonces u = v.

Definicion 4. Dados los vectores u1, u2, . . . , un ∈ V , y los escalares λ1, λ2, . . . , λn ∈ K, unvector de la forma

λ1u1 + λ2u2 + . . . + λnun

se denomina una combinacion lineal de los vectores u1, u2, . . . , un con coeficientes λ1, λ2, . . . , λn.

2. Subespacios vectoriales

Dado un espacio vectorial V , decimos que un subconjunto no vacıo U ⊆ V , es un sub-espacio vectorial de V cuando al restringir las operaciones de suma y multiplicacion porescalares para V a U , este es un espacio vectorial. Formalmente, lo que estamos diciendoes que:

1. Para cualesquiera u, v ∈ U , se verifica que u + v ∈ U2. Para cualesquiera λ ∈ K, u ∈ U se verifica que λ · u ∈ U

Observar que la segunda condicion anterior implica que el vector cero de V esta tambien

en U , ya que si u ∈ U , entonces 0 · u =−→0 ∈ U .

Propiedad 5. U es un subespacio vectorial de V si y solo si ∀u, v ∈ U y ∀λ, µ ∈ K severifica que λu + µv ∈ U .

3

Todo espacio vectorial V tiene siempre los subespacios vectoriales V y {−→0 }, los cualesse denominan los subespacios vectoriales triviales de V . Un subespacio de V se dicepropio si no es ninguno de los subespacios triviales.

Ejemplo 6. Comprobamos que el subconjunto U = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x − y + 5z = 0} esun subespacio vectorial de R3.

En primer lugar observamos que U es no vacıo ya que (0, 0, 0) ∈ U . Si u = (x1, y1, z1), v =(x2, y2, z2) ∈ U , y λ, µ ∈ R, entonces λu + µv = (λx1 + µx2, λy1 + µy2, λz1 + µz2), el cualpertenece de nuevo a U , ya que

2(λx1 +µx2)−(λy1 +µy2)+5(λz1 +µz2) = λ(2x1−y1 +5z1)+µ(2x2−y2 +5z2) = 0+0 = 0

Mas generalmente, se puede comprobar que todo sistema homogeneo de ecuaciones li-neales en n incognitas y con coeficientes en K, determina un subespacio vectorial de Kn.

Ejemplo 7. Sea V = R[x]8 el espacio vectorial (sobre R) de los polinomios con coeficientesen R y en la indeterminada x, y sea U = {p(x) ∈ V | p(−3) = 0}. Comprobamos que U esun subespacio vectorial de V .

En primer lugar U es no vacıo ya que el polinomio nulo pertenece a U . Dados p(x), q(x) ∈U , y λ, µ ∈ R, consideramos el polinomio t(x) = λ · p(x) + µ · q(x). Entonces t(−3) =λ · p(−3) + µ · q(−3) = λ · 0 + µ · 0 = 0, es decir, t(x) ∈ U , y por tanto U es subespaciovectorial de V .

Ejemplo 8. Sea V =Mn(K). Entonces:

El subconjunto de todas las matrices triangulares superiores de V , es un subespaciovectorial de V .El subconjunto formado por todas las matrices de V que son singulares no es unsubespacio vectorial de V .El subconjunto de V formado por todas las matrices simetricas es un subespaciovectorial de V .

Ejemplo 9. K[x]n es un subespacio vectorial de K[x]; ademas si m ≤ n entonces K[x]mes un subespacio vectorial de K[x]n.

Propiedad 10. Para un espacio vectorial V , la interseccion de una coleccion de subespa-cios vectoriales de V es de nuevo un subespacio vectorial de V .

Ejemplo 11.Sean V = Q3, U1 = {(x, y, z) ∈ V | 7x− 4z = 0} y U2 = {(x, y, z) ∈ V | x− y + z = 0}.

Entonces U1 ∩ U2 = {(x, y, z) ∈ V | 7x− 4z = 0, x− y + z = 0}.

Definicion 12. Sea V un espacio vectorial sobre K y X un subconjunto no vacıo deV . Escribiremos 〈X〉 para representar el conjunto formado por todas las combinacioneslineales que se pueden formar utilizando un numero finito de vectores en X, es decir:

〈X〉 = {λ1u1 + · · ·+ λrur | r ∈ N, λi ∈ K, ui ∈ X}

Si X = ∅, entonces definimos 〈X〉 = {~0}.

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En algunos textos se escribe L(X) en vez de 〈X〉.

Propiedad 13. 〈X〉 es un subespacio vectorial de V , el cual se denomina el subespaciovectorial generado por el conjunto X. Ademas 〈X〉 es la interseccion de todos lossubespacios de V que contienen al subconjunto X.

Definicion 14. Un subconjunto X de V se denomina un sistema de generadores paraV si 〈X〉 = V , es decir, si cualquier vector de V se puede expresar como combinacion linealde vectores de X. Se dice que un espacio vectorial V es finitamente generado, si admiteun sistema de generadores finito.

Ejemplos 15.

1. El conjunto X = {(1, 0), (0, 1)} es un sistema de generadores para R2 pues dadov = (x, y) ∈ R2 se verifica que v = x · (1, 0) + y · (0, 1). Por tanto

R2 = 〈(1, 0), (0, 1)〉2. El conjunto X = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} es un sistema de generadores para R3,

pero X ′ = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2)} no lo es.

3. Dependencia e independencia lineal

Definicion 16. Los vectores u1, u2, . . . , un de V se dicen linealmente dependientes siexisten escalares, no todos nulos, tal que

λ1u1 + λ2u2 + . . . + λnun = ~0

Definicion 17. Los vectores u1, u2, . . . , un de V se dicen linealmente independientessi no son linealmente dependientes, es decir, para cualesquiera escalares λ1, λ2, . . . , λn ∈ K,si λ1u1 + λ2u2 + . . . + λnun = ~0 entonces λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

Definicion 18. Un subconjunto U de V se dice linealmente dependiente, si existeun subconjunto finito de U el cual es linealmente dependiente. En caso contrario, se diceque U es linealmente independiente (es decir, cuando todo subconjunto finito de U sealinealmente independiente).

Ejemplos 19.

1. Los vectores u = (−4, 2), v = (6,−3) de R2 son linealmente dependientes, ya que

verifican 3u + 2v = ~0.2. Los vectores u = (1,−1), v = (0,−2) de R2 son linealmente independientes, pues

de ocurrir λu + µv = (0, 0), vemos que la unica posibilidad es λ = µ = 0.3. Sea V = {(x1, x2, . . .) | xi ∈ R}, es decir, V es el conjunto de todas las sucesiones

de numeros reales. Entonces el subconjunto

U = {(1, 0, 0, 0, . . .), (1, 1, 0, 0, . . .), (1, 1, 1, 0, . . .), . . .}de V es linealmente independiente.

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Comentario 20.Dos vectores u, v se dicen proporcionales si existe λ 6= 0 tal que u = λ · v. Para dos

vectores no nulos u, v se verifica que el conjunto {u, v} es linealmente dependiente si y solosi u y v son vectores proporcionales.

Las siguientes propiedades son consecuencias faciles de las definiciones, y su demostracionqueda propuesta como ejercicio para el alumno.

Propiedad 21. Para un espacio vectorial V :

1. Los vectores u1, u2, . . . , ur son linealmente dependientes si y solo si alguno de dichosvectores es combinacion lineal de los restantes.

2. Si ~0 ∈ X ⊆ V entonces X es linealmente dependiente. Por tanto el conjunto {u}es linealmente independiente si y solo si u 6= ~0.

3. Supongamos que existen subconjuntos de vectores tales que X ⊆ Y ⊆ V :a) Si X es linealmente dependiente, entonces Y es linealmente dependiente.b) Si Y es linealmente independiente, entonces X es linealmente independiente.

Comentario 22. Recalcamos la importancia del cuerpo K sobre el cual se define el espaciovectorial a la hora de hablar de dependencia e independencia lineal de vectores. Por ejemplo,supongamos que V = R2 y u = (1,

√2), v = (

√2, 2). Si K = R entonces los vectores u, v

son linealmente dependientes ya que son proporcionales. Sin embargo, si K = Q entoncesambos vectores son linealmente independientes.

Definicion 23. Un subconjunto B de V se dice que es una base para V cuando:

B es un sistema de generadores para V .B es un conjunto linealmente independiente.

Ejemplos 24.

1. El conjunto B = {(1, 0, . . . , 0, 0), (0, 1, . . . , 0, 0), . . . , (0, 0, . . . , 1, 0), (0, 0, . . . , 0, 1)}es una base para V = Kn y se denomina la base canonica de Kn.

2. Para 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n sea Ai,j la matriz que tiene el valor 1 en la fila i,columna j, y el valor 0 en cualquier otra posicion.Entonces el conjunto B = {Ai,j | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} es una base para el espaciovectorialMm×n(K). B es la base canonica paraMm×n(K).

3. El conjunto {1, x, x2, . . . , xn} es la base canonica para el espacio vectorial K[x]n.

Notamos que al dar una base para un espacio vectorial, no solo estamos dando unconjunto sino ademas una ordenacion para los elementos de dicho conjunto.

El estudio de las bases de los espacios vectoriales es interesante por la siguiente propiedad:

Propiedad 25. Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de V . Entonces B es unabase de V si y solo si todo vector de V se expresa de manera unica como una combinacionlineal de vectores de B.

Definicion 26. Un espacio vectorial se dice de dimension finita (o finito-dimensional)si tiene al menos una base finita.

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Nosotros estudiaremos espacios vectoriales de dimension finita.

Propiedad 27. Si V es un espacio vectorial finitamente generado y distinto de {~0}, en-tonces V tiene al menos una base.

En la seccion siguiente veremos un metodo para obtener una base a partir de un sistemade generadores.

Teorema 28. Si V es un espacio vectorial de dimension finita y {v1, . . . , . . . , vn} es unabase de V , entonces toda base de V es finita y tiene exactamente n elementos.

Por tanto para un espacio vectorial V de dimension finita definimos la dimension deV como el cardinal de cualquiera de sus bases y lo representaremos como dimK(V ). SidimK(V ) = n se dice que V es un espacio vectorial de dimension n (o n-dimensional) sobre

K. Para el caso particular de V = {~0}, definimos dimK(V ) = 0.

Para el ejemplo 24 anterior, podemos escribir dimK(Kn) = n y dimK (Mm×n(K)) =m · n.

La siguiente propiedad da un criterio practico para saber si un conjunto de vectores esuna base.

Propiedad 29. Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre un cuerpo K, y X unsubconjunto de V de cardinal n. Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. X es una base para V .2. X es un conjunto linealmente independiente.3. X es un sistema de generadores para V .

Es decir, conocida la dimension de V , basta comprobar solo una de las dos condicionesque definen a una base.

Como los subespacios vectoriales son espacios vectoriales en sı, toda la teorıa expuestapara espacios vectoriales es valida para los subespacios vectoriales. Ası, se puede hablarde sistema de generadores, base, dimension, etc de un subespacio vectorial. Si U es unsubespacio vectorial de V y BU es una base para U , entonces BU es un subconjunto de Vlinealmente independiente por lo que dim(U)K ≤ dimK(V ).

La siguiente propiedad es inmediata:

Propiedad 30. Para un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y un subespacio vectorialU de V , se verifica

U = V ⇐⇒ dimK(U) = dimK(V )

Ademas se puede demostrar el siguiente teorema.

Teorema 31. (de la ampliacion de la base) Sea U un subespacio vectorial de un espaciovectorial V . Si BU es una base para U , entonces existen vectores v1, . . . , vr ∈ V − BU demodo que BU ∪ {v1, . . . , vr} es una base para V .

Definicion 32. Con la notacion del teorema anterior, el subespacio de V generado por elconjunto {v1, . . . , vr} se denomina un subespacio suplementario para U .

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Cerramos esta seccion dado la definicion siguiente:

Definicion 33. Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base para V . Si w ∈ V entonces de acuerdocon la Propiedad 25 existen unos unicos escalares λ1, λ2, . . . , λn ∈ K tal que w = λ1v1 +λ2v2 + . . . + λnvn. Diremos que λ1, λ2, . . . , λn son las coordenadas del vector w respectode la base B y notaremos este hecho escribiendo

wB= (λ1, λ2, . . . , λn)

Ejemplo 34. Sean v1 = (−1, 1) y v2 = (1, 1); entonces B′ = {v1, v2} es una base para R2.

Si w = (8,−2), entonces w = (−5)v1 + 3v2. Por tanto escribimos wB′= (−5, 2).

Ejemplo 35. Las coordenadas de un vector w = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn respecto de la base

canonica B son x1, x2, . . . , xn por lo cual wB= (x1, x2, . . . , xn).

4. Criterios practicos

Ahora relacionamos las operaciones sobre matrices vistas en el tema anterior con los con-ceptos sobre espacios vectoriales estudiados en este tema. Obtendremos metodos practicospara hacer calculos sobre espacios y subespacios vectoriales.

Supongamos que tenemos un conjunto X formado por m vectores no nulos de un espaciovectorial V de dimension n sobre un cuerpo K y B es una base para V (Obsevar quem ≤ n). Sea A ∈ Mm×n(K) la matriz cuyas filas se obtienen al escribir las coordenadasde los vectores de X respecto de la base B.

1. Si A esta en forma escalonada por filas (incluso sin exigirle que los pivotes seaniguales a 1), entonces X es un conjunto linealmente independiente de vectores.

2. Supongamos que le aplicamos operaciones elementales de filas a la matriz A yobtenemos una matriz A′. Las filas de A′ representaran las coordenadas respectode la base B de los vectores de un cierto conjunto X ′. Entonces se verifica que〈X〉 = 〈X ′〉.

3. rg(A) = dimK (〈X〉). Por tanto X es linealmente independiente si y solo si rg(A) =m.

4. En el caso particular de m = n deducimos que X es una base de V si y solo si A esuna matriz regular, es decir, si y solo si |A| 6= 0.

Ejemplo 36. Calcular una base para el subespacio de R4 generado por los vectores(4,−1, 1, 7), (−1,−1, 11, 2), (1, 0,−2, 1), (4, 0,−8, 4).

Dichos vectores vienen dados en terminos de la base canonica, por lo cual la matriz Aes igual a

4 −1 1 7−1 −1 11 2

1 0 −2 14 0 −8 4

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Aplicando las operaciones elementales F4 ← F4 − 4F3, F1 ↔ F3, F2 ← F2 + F1, F3 ←F3 − 4F1, F3 ← F3 − F2 obtenemos la matriz

1 0 −2 10 −1 9 30 0 0 00 0 0 0

de lo cual deducimos que una base para U es {(1, 0,−2, 1), (0,−1, 9, 3)} y que dimK(U) =2. De hecho, dos cualesquiera de entre los tres primeros generadores dados inicialmentetambien forman una base para U (¿Por que?).

Ejemplo 37. Sea V = R[x]3 y U = 〈S〉 donde S = {1 + x2 − x3, 1− 5x2 + 4x3, 2− 4x2 +3x3, 4−2x2 +x3}. Al igual que en el ejercicio anterior, calculamos la dimension y una basepara U .

Con respecto de la base canonica B = {1, x, x2, x3} de V , la matriz de coordenadas serıa

A =

1 0 1 −11 0 −5 42 0 −4 34 0 −2 1

que es equivalente por filas con la siguiente matriz escalonada (observar que no exigimosque los pivotes tengan que ser iguales a 1)

1 0 1 −10 0 −6 50 0 0 00 0 0 0

.

Esto significa que dimR(U) = 2 y BU = {1 + x2 − x3,−6x2 + 5x3} es una base para U .

Ejemplo 38. Sea V = R[x]3 y U = 〈S〉 donde S = {1 + x + x2 − x3, 1 + x− x2 − x3}. Lamatriz de coordenadas para los vectores de S con respecto de la base canonica es(

1 1 1 −11 1 −1 −1

),

que es equivalente por filas con la matriz escalonada(1 1 1 −10 0 −2 0

).

¿Pertenece el vector p(x) = 1 + x − 5x2 − x3 a U? Si anadimos la fila de las coordenadasde este vector a la matriz anterior obtenemos la matriz 1 1 1 −1

0 0 −2 01 1 −5 −1

9

la cual es equivalente a 1 1 1 −10 0 −2 00 0 0 0

.

Puesto que el numero de filas no nulas no ha aumentado al calcular la forma escalonada,podemos decir que el vector p(x) ∈ U .

Ejemplo 39. Para V = R3, estudiar cuando el conjunto S = {(3,−1, 2), (a, 1,−1), (a2, 1, 4)}es una base para V segun los valores de a.

Para ello calculamos el determinante∣∣∣∣∣∣3 a a2

−1 1 12 −1 4

∣∣∣∣∣∣ = −a2 + 6a + 15

a2 − 6a− 15 = 0 si y solo si a = 6±√

962

, siendo ambos valores de R.

Por tanto S es una base para V si y solo si a 6= 6±√

962

Ejemplo 40. Para V = R3, estudiar cuando el conjunto S = {(1, 0, 1), (2, a,−1), (0, 1, a)}es una base para V segun los valores de a.

Igual que antes calculamos el determinante∣∣∣∣∣∣1 2 00 a 11 −1 a

∣∣∣∣∣∣ = a2 + 3

Ya que dicha ecuacion no tiene soluciones en R, que es el cuerpo que estamos considerando,podemos concluir que S es una base para V , para todo a ∈ R.

5. Ecuaciones del cambio de base

Definicion 41. Sean B1 = {u1, u2, . . . , un} y B2 = {v1, v2, . . . , vn} dos bases para unespacio vectorial V . Dado un vector cualquiera w ∈ V , este siempre se puede expresarcomo combinacion lineal de los vectores de B1 ası como combinacion lineal de los vectoresde B2:

wB1= (λ1, λ2, . . . , λn),

wB2= (µ1, µ2, . . . , µn).

¿Que relacion existe entre los escalares λ1, λ2, . . . , λn y los escalares µ1, µ2, . . . , µn? A lasexpresiones que representan los valores λi en funcion de los µj las denominaremos unasecuaciones del cambio de base de B2 a B1. De manera similar, a las expresiones querepresentan los valores µj en funcion de los λi las denominaremos unas ecuaciones delcambio de base de B1 a B2. Para concretar ideas, supongamos que n = 2 y que

v1 = a1,1u1 + a2,1u2,v2 = a1,2u1 + a2,2u2.

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Partimos de w = µ1v1 + µ2v2.Reemplazando los vi por las igualdades anteriores, obtenemos:

w = µ1(a1,1u1 + a2,1u2) + µ2(a1,2u1 + a2,2u2).

Quitando parentesis y sacando factor comun, se obtiene:

w = (µ1a1,1 + µ2a1,2)u1 + (µ1a2,1 + µ2a2,2)u2,

es decir,

wB1= (µ1a1,1 + µ2a1,2, µ1a2,1 + µ2a2,2).

Pero tenıamos ademas que wB1= (λ1, λ2), luego por la unicidad de las coordenadas de un

vector respecto a una base, finalmente obtenemos que:

λ1 = a1,1µ1 + a1,2µ2

λ2 = a2,1µ1 + a2,2µ2

}.

Estas son por tanto las ecuaciones del cambio de base de B2 a B1. Dichas ecuaciones laspodemos escribir matricialmente de la siguiente forma(

λ1

λ2

)=

(a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

)·(

µ1

µ2

)La matriz cuadrada que aparece en dicha expresion es la matriz del cambio de base deB2 a B1. Dicha matriz es regular, y su inversa es la matriz del cambio de base de B1 a B2

Ejemplo 42. Para V = R2, B1 = {u1, u2} y B2 = {v1, v2}, tales que u1 = (2, 3), u2 = (1, 2),v1 = (−3, 2), v2 = (−5, 3), hallar las ecuaciones del cambio de base de B1 a B2. Sea w ∈ V

tal que wB1= (λ1, λ2) y w

B2= (µ1, µ2). Resolviendo los oportunos sistemas de ecuacioneslineales se puede comprobar que

u1 = 21 · v1 − 13 · v2, u2 = 13 · v1 − 8 · v2.

De esta forma tenemos que las ecuaciones del cambio de base de B1 a B2 son:

µ1 = 21λ1 + 13λ2

µ2 = −13λ1 + −8λ2

}.

La matriz del cambio de base de B1 a B2 es P =

(21 13−13 −8

). Ya que P−1 =

(−8 −1313 21

)las ecuaciones del cambio de base de B2 a B1 son:

λ1 = −8µ1 + −13µ2

λ2 = 13µ1 + 21µ2

}.

Como un recıproco de las propiedades anteriores, se puede demostrar que toda matrizregular representa una matriz de cambio de base.

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Ejemplo 43. Sea B1 = {u1, u2} una base para R2, y P =

(5 −107 4

), una matriz regular.

Entonces, si v1 = 5u1 + 7u2 y v2 = −10u1 + 4u2, el conjunto B2 = {v1, v2} es una basepara R2, y la matriz P es la matriz del cambio de base de B2 a B1.

6. Ecuaciones parametricas y ecuaciones implıcitas para un subespacio

Sea un espacio vectorial V de dimension n sobre K y U un subespacio vectorial de V dedimension r. Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y BU = {u1, . . . , ur}, respectivamente, bases paraV y U .

Suponemos ademas que

u1 = a11v1 + a21v2 + · · ·+ an1vn...

......

ur = a1rv1 + a2rv2 + · · ·+ anrvn

Entonces un vector w ∈ U se expresa en BU de la forma

w = λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λrur

y como vector de V se podra expresar con respecto a la base B de la forma

w = x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn

Entonces w = λ1u1 + λ2u2 + · · · + λrur = λ1(a11v1 + a21v2 + · · · + an1vn) + λ2(a12v1 +a22v2 + · · ·+ an2vn) + · · ·+ λr(a1rv1 + a2rv2 + · · ·+ anrvn) = (λ1a11 + · · ·+ λra1r)v1 + · · ·+(λ1an1 + · · ·+ λranr)vn.

Por la unicidad de las coordenadas del vector w respecto de la base B obtenemos

(∗)

x1 = a11λ1 + · · ·+ a1rλr...

......

xn = an1λ1 + · · ·+ anrλr

Ası obtenemos unas ecuaciones parametricas del subespacio U con respecto de labase B.

Ejemplo 44. Sea U el subespacio vectorial de R3 generado por los vectores {(6,−9, 2), (−5, 7, 1)}.Puesto que dicho conjunto de generadores es una base para U , entonces las ecuaciones pa-rametricas de U (con respecto de la base canonica de R3) son x1 = 6λ1 −5λ2

x2 = −9λ1 +7λ2

x3 = 2λ1 +λ2

Las ecuaciones parametricas se pueden interpretar como las soluciones de un sistemahomogeneo de ecuaciones lineales con incognitas x1, . . . , xn. A cualquier sistema homogeneocuyas soluciones vienen dadas por las ecuaciones parametricas para U , se denomina unsistema de ecuaciones implıcitas o cartesianas para U con respecto de la base B.

Una forma de obtener uno de dichos sitemas homogeneos es la siguiente:Sea A la matriz de orden n×r formada por los coeficientes que aparecen en las ecuaciones

parametricas de U . Puesto que dichas columnas son las coordenadas para los vectores de

12

una base de U con respecto de B, resulta que rg(A) = r, con lo cual sabemos que Acontiene una submatriz cuadrada regular de orden r. Supongamos que una tal submatrizes

C =

a1,1 . . . a1,r...

......

ar,1 . . . ar,r

.

Entonces un vector w ∈ V , tal que wB= (x1, . . . , xn), pertenecera ademas a U si y

solo si el sistema (∗) tiene solucion en las incognitas λ1, . . . , λr, lo cual equivale a querg(A) = r = rg(A∗), donde

A =

a1,1 . . . a1,r...

......

an,1 . . . an,r

y A∗ =

a1,1 . . . a1,r x1...

......

...an,1 . . . an,r xn

.

Esto equivale a decir que todas las submatrices cuadradas de A∗ de orden r + 1 que seobtienen al orlar o ampliar C con la columna de los elementos xj y cada una de las n− rfilas restantes han de ser singulares, es decir, han de tener determinante nulo:

∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1 . . . a1,r x1...

......

...an,1 . . . an,r xr

ar+1,1 . . . ar+1,r xr+1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, . . . ,

∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1 . . . a1,r x1...

......

...an,1 . . . an,r xr

an,1 . . . an,r xn

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Desarrollando los n− r determinantes se obtienen n− r ecuaciones lineales independien-tes en las incognitas x1, . . . , xn, que son unas ecuaciones cartesianas o implıcitas deU respecto de la base B

Ejemplo 45. Calcular unas ecuaciones implıcitas para el subespacio U = 〈(2, 2,−1, 3), (2, 2, 1, 3)〉de R4.

Los dos generadores dados ya son una base para U , pues no son proporcionales. Unasecuaciones parametricas para U son

x = 2λ + 2µy = 2λ + 2µz = −λ + µt = 3λ + 3µ

.

Como submatriz regular cogemos la formada por la segunda y la tercera fila de A:

C =

(2 2−1 1

).

13

Entonces, unas ecuaciones implıcitas para U se obtienen ampliando con la primera y cuartafilas: ∣∣∣∣∣∣

2 2 x2 2 y−1 1 z

∣∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣∣2 2 y−1 1 z

3 3 t

∣∣∣∣∣∣ = 0,

es decir, x− y = 0, 3y − 2t = 0.

Deducimos ademas de la discusion anterior que para un subespacio U de V se verificasiempre que

dimK(V ) = dimK(U) + mınimo numero de ecuaciones implıtas para U

De esta formula deducimos que el subespacio impropio V carece de ecuaciones implıci-

tas, mientras que el subespacio impropio {−→0 } tiene tantas ecuaciones implıcitas como ladimension del espacio V .

Ejemplo 46. x1 = 0, x2 = 0 son una ecuaciones implıcitas para el subespacio cero (es

decir, {~0}) de V = K2.

x1 + x2 = 0, x1 − 2x2 = 0 tambien son otras ecuaciones implıcitas para {~0} ⊆ K2.Mas generalmente, si A ∈M2(K) es regular, entonces(

00

)= A ·

(x1

x2

)son unas ecuaciones implıcitas para {~0}.

Ademas es inmediato que a partir de unas ecuaciones implıcitas se pueden obtener unasecuaciones parametricas simplemente resolviendo el sistema homogeneo correspondiente.

7. Operaciones con subespacios vectoriales

Si U y W son dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial V , ya hemosmencionado en una seccion anterior que U ∩W es de nuevo un subespacio vectorial de V .Si disponemos de unas ecuaciones implıcitas para U y otras para W , claramente el sistemaobtenido al juntar ambos sistemas constituye unas ecuaciones implıcitas para el subespacioU ∩W . De hecho lo normal es que en dicho sistema ampliado se puedan suprimir algunasecuaciones que dependan de otras ecuaciones del sistema.

Ejemplo 47. Calcular una base para el subespacio interseccion de los subespacios siguien-tes de R3: U = {(x, y, z) | 2x + y − 5z = 0}, W = {(x, y, z) | 3x− y + 4z = 0}.

Resolviendo el sistema

{2x + y − 5z = 03x− y + 4z = 0

obtenemos

x = (1/5)λy = (23/5)λz = λ

ecuaciones

que son equivalentes a

x = λy = 23λz = 5λ

, con lo cual una base para U ∩W es {(1, 23, 5)}.

14

Ejemplo 48. Calcular una base para el subespacio interseccion de los subespacios siguien-tes de R4: U = {(x, y, z, t) | 2x + 5y − z − t = 0}, W = 〈(1, 2, 3, 4), (−1, 0, 1,−1)〉.

Una alternativa es obtener previamente unas ecuaciones implıcitas para W (concreta-mente dos ecuaciones) y a continuacion resolver el sistema de tres ecuaciones resultante aljuntar estas con las ecuaciones de U .

Otra posibilidad (mejor para este ejemplo) es obtener unas ecuaciones parametricas paraW y substituirlas en las ecuaciones implıcitas para U , con lo cual obtenemos un sistemade dos ecuaciones con dos incognitas λ y µ (que son los parametros que aparecen en lasecuaciones parametricas para W ). La solucion de este sistema nos dice que relacion debede cumplirse entre λ y µ para que un vector pertenezca a U y a W , es decir, a U ∩W .

Aplicamos este segundo metodo y obtenemos:x = 1λ− µy = 2λz = 3λ + µt = 4λ− µ

unas ecuaciones parametricas para W .

Substituyendolas en las ecuaciones implıcitas para U resulta:2(λ− µ) + 5(2λ)− (3λ + µ)− (4λ− µ) = 0 , es decir, 5λ− 2µ = 0. Por tanto el vector

w = (x, y, z, t) de W pertenece a U si y solo si λ = 25µ. Substituyendo en las ecuaciones

parametricas de W y simplificando resulta que w ∈ U ∩W si y solo si

w = (x, y, z, t) = (−3

5µ,

4

5µ,

11

5µ,

3

5µ)

Por consiguiente, dimK(U ∩W ) = 1 y una base para U ∩W es {(−3, 4, 11, 3)}.

La union de dos subespacios vectoriales no siempre es un subespacio vectorial:

Ejemplo 49. Sean V = R2, U = 〈(1, 0)〉 y W = 〈(0, 1)〉. Entonces U ∪ W no es unsubespacio vectorial de V ya que aunque (1, 0), (0, 1) ∈ U ∪W , sin embargo (1, 0)+(0, 1) =(1, 1) 6∈ U ∪W .

Ver el ejercicio 17.

Otra operacion que se puede definir es la suma de subespacios vectoriales:Para dos subespacios vectoriales U y W de V , se define la suma de U y W , y se representa

por U + W , como el conjunto de todos los vectores que se obtienen sumando un vector deU con otro de W , es decir,

U + W = {u + w | u ∈ U ∧ w ∈ W}

Es inmediato ver que tanto U como W estan incluidos en U + W . Ademas U + W es unsubespacio vectorial de V , el cual es el subespacio vectorial de V generado por el conjuntoU ∪W , es decir, U + W = 〈U ∪W 〉. Dicho de otra forma, U + W es el menor subespaciovectorial de V el cual contiene a los subespacios U y W .

De lo anterior deducimos que U + W estara generado por el conjunto que se obtiene aljuntar un sistema de generadores para U con un sistema de generadores para W .

15

Ejemplo 50. En R3, si U = 〈(1, 2,−1), (0, 1, 3)〉 y W = 〈(2, 3,−1), (1, 0, 2)〉 entoncesU +W = 〈(1, 2,−1), (0, 1, 3), (2, 3,−1), (1, 0, 2)〉. Escribiendo dichos vectores como las filasde una matriz y calculando una forma escalonada obtenemos que U + W esta generadopor tres vectores linealmente independientes, con lo cual necesariamente U + W = R3.Observar ademas que U + W carece de ecuaciones implıcitas, al ser todo R3.

Definicion 51. Decimos que el subespacio suma U+W es suma directa, si U∩W = {−→0 },en cuyo caso se escribe U ⊕W para representar este hecho.

En el ejemplo anterior, la suma de los subespacios U y W no es directa, ya que como se

puede comprobar facilmente, U ∩W 6= {−→0 }.

Ejemplo 52. La suma de los subespacios U = {(x, y, z) | 2x + 5y + z = 0} y W ={(x, y, z) | x + y + z = 0} de R3 no es directa, ya U ∩W tiene dimension 1 (al resolver elsistema formado por ambas ecuaciones obtenemos un sistema compatible indeterminado).

Proposicion 53. Supongamos que el espacio vectorial V es igual a la suma directa de los

subespacios U y W , es decir, V = U + W y U ∩W = {−→0 }. Entonces todo vector de V sedescompone de manera unica como un vector de U mas otro vector de W .

Demostracion. Por hipotesis V = U + W , luego solo hay que demostrar la unicidad. Si

v = u+w y v = u′+w′ son dos descomposiciones, entonces−→0 = (u+w)−(u′+w′), es decir,

u−u′ = w′−w. Ya que u−u′ ∈ U y w′−w ∈ W , deducimos que u−u′ = w′−w ∈ U ∩W .

Puesto que U ∩W = {−→0 }, necesariamente u = u′ y w = w′. �

Definicion 54. Si U y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V talesque V = U ⊕W , se dice que U y W son subespacios vectoriales suplementarios.

Ejemplo 55. Para el espacio vectorial R3, los subespacios U = 〈(34, 89,−11)〉 y W =〈(45, 0, 0), (−1, 2, 0)〉 son suplementarios debido a que {(34, 89,−11), (45, 0, 0), (−1, 2, 0)}forma una base para R3 y por tanto R3 = U + W . Por ultimo, si (x, y, z) ∈ U ∩W estoimplica que δ(34, 89,−11) = (x, y, z) = λ(45, 0, 0) + µ(−1, 2, 0) es decir 34δ − 45λ + µ = 0

89δ − 2µ = 0−11δ = 0

sistema cuya unica solucion es la trivial. Por tanto U ∩W = {~0} y R3 = U ⊕W .

El resultado obtenido en este ejemplo es una caso particular de la siguiente propiedad:

Propiedad 56. Si {v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vn} es una base para V entonces

V = 〈v1, . . . , vr〉 ⊕ 〈vr+1, . . . , vn〉

Dado un subespacio U de un espacio vectorial V , ¿como encontrar un subespacio suple-mentario para U? Simplemente, partiendo de una base para U , la ampliamos hasta unabase para V .

16

Ejemplo 57. Encontrar un subespacio suplementario para el subespacio vectorial U deR4 generado por los vectores (1, 1, 0,−1), (2, 2, 4, 5), (3, 3, 4, 4).

En primer lugar extraemos una base para U . Escribimos sus generadores como filas deuna matriz y la transformamos en forma escalonada. Deducimos que una base para U es{(1, 1, 0, 1), (0, 0, 4, 7)}. Ampliamos este conjunto de vectores linealmente independienteshasta una base para R4. Un posibilidad es anadirle los vectores (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1). Portanto una posibilidad para W es 〈(0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)〉.

Por ultimo, la siguiente proposicion nos da una formula que relaciona las dimensionesde los subespacios estudiados en esta seccion. Dicha formula se muestra util a la hora deresolver ejercicios.

Proposicion 58. Si U y W son dos subespacios de un espacio vectorial V de dimensionfinita, se verifica que

dimK(U + W ) = dimK(U) + dimK(W )− dimK(U ∩W )

Un truco para acordarse de esta formula es observar su gran parecido con la formulapara el cardinal de la union de dos conjuntos: |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

Ejemplo 59. Sea V un espacio vectorial de dimension 4, y U,W dos subespacios de V ,ambos distintos y de dimension 3. ¿Que podemos afirmar acerca de la dimension de U∩W?

Puesto que U 6= W y ambos tienen dimension 3, deducimos que ninguno puede estarincluido en el otro; por tanto existira algun vector u ∈ U el cual no esta en W . Si BW

es una base para W , entonces el conjunto de cuatro vectores BW ∪ {u} es linealmente

independiente y por tanto es una base para V . Esto prueba que V = U + W . Aplicandola formula anterior de las dimensiones obtenemos que 4 = 3 + 3− dimK(U ∩W ), es decir,que dimK(U ∩W ) = 2.

8. Ejercicios Propuestos

1. Demostrar los distintos apartados de la propiedad 3.2. Sea V el conjunto de todas las funciones f : [0, 1] → R. Definimos la suma de dos

funciones f, g ∈ V , como una nueva funcion h : [0, 1] → R que obedece a la reglah(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ [0, 1], y definimos el producto de un escalarλ ∈ R por una funcion f en V de la forma usual, es decir λf es la funcion tal que(λf)(x) = λ · f(x) para todo x ∈ [0, 1].a) Comprobar que V es un R-espacio vectorial.¿Quien es el vector cero?b) Sea U el subconjunto de V formado por aquellas funciones que verifican la

condicion de que el conjunto {x ∈ [0, 1] | f(x) 6= 0} es finito. Estudiar si U eso no es un subespacio vectorial de V .

3. Calcular todos los valores de a para los cuales los vectores

(1, 2,−1, 2), (2,−1, 3,−1), (1, a,−6, a)

de R4 son linealmente independientes.

17

4. a) Dado un espacio vectorial V de dimension n sobre un cuerpo K, y dos basesB y B′ para V , razonar que el conjunto U formado por aquellos vectores de Vlos cuales tienen las mismas coordenadas con respecto de la base B que conrespecto de la base B′ es un subespacio vectorial de V .

b) Con la notacion del apartado anterior, si V = R3, B = {(2, 5, 1), (0, 1, 2), (3, 1, 2)}y B′ = {(1, 5, 0), (−1, 0, 1), (1, 0, 0)}, calcular una base para el subespacio vec-torial U .

5. De los siguientes subconjuntos de R3, estudiar cuales son subespacios vectoriales:a) {(x, y, z) | x2 + y − z = 0}.b) {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 = 0}.c) {(x, y, z) | x = 2y = 3z}.d) {(x, y, z) | x = y + 1 = z + 2}.

6. Sea E el conjunto de matrices de la forma a b cb a + b + c bc b a

donde a, b, c ∈ R. Demostrar que E es un subespacio vectorial de M3(R), de di-mension tres.

7. Sea el conjunto U = {p(x) ∈ Q[x]3 | p(1) = p(2) y p(−1) = 0}. Probar que U esun subespacio vectorial de Q[x]3 y calcular una base para U .

8. Sean B y B′ dos bases de V y sean u, v, w ∈ V con coordenadas (2,−1,−1), (1, 0,−1)y (2,−2, 0) en la base B. Si las cordenadas de los mismos vectores respecto de B′son (1, 3, 0), (3, 4,−2) y (0, 2, 1) respectivamente, calcular las coordenadas de losvectores de B′ respecto de los de B.

9. Sean B = {e1, e2, e3} y B′ = {e′1 = e1 +e2 +e3, e′2 = e1 +2e2 +e3, e

′3 = e1 +e2 +3e3}

dos bases de R3. Calcular las expresiones del cambio de base de B a B′ y de B′ a

B. Si vB= (23,−7, 19) calcular las coordenadas de v en la base B′.

10. Sea K un cuerpo finito con q elementos y V un espacio vectorial de dimension nsobre K. ¿Cuantos elementos distintos hay en V ?

11. Demostrar que cada uno de los conjuntos siguientes son bases para el espacio vec-torial K[x]n:a) B1 = {1, x, x(x− 1), x(x− 1)(x− 2), . . . , x(x− 1)(x− 2) · · · (x− n + 1)}b) B2 = {1, x − a1, (x − a1)(x − a2), . . . , (x − a1)(x − a2) · · · (x − an)}, siendo

a1, . . . , an elementos distintos pertenecientes a K.c) B3 = {1, x− a, (x− a)2, . . . , (x− a)n}, con a perteneciente a K.Dado el polinomio p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ anxn, calcular las coordenadas de

dicho polinomio respecto de cada una de las bases anteriores.12. Sean a0, a1, . . . , an elementos distintos de un cuerpo K. Para cada i = 0, 1, . . . , n

consideramos el polinomio

pi(x) =(x− a0) · · · (x− ai−1)(x− ai+1) · · · (x− an)

(ai − a0) · · · (ai − ai−1)(ai − ai+1) · · · (ai − an).

18

a) Demostrar que el conjunto de polinomios B = {p0(x), p1(x), . . . , pn(x)} es unabase del espacio vectorial K[x]n.

b) Sea p(x) ∈ K[x]n un polinomio tal que p(ai) = bi para cada i = 0, 1, . . . , n.Probar que las coordenadas de p(x) respecto de la base B son (b0, b1, . . . , bn).

13. Sabiendo que el conjunto de vectores {(1, 2), (3, 1)} es una base de R2, ¿como po-demos calcular las coordenadas del vector v = (7, 8) respecto de la base anteriormediante operaciones elementales de filas sobre una matriz?

14. Sea U el subespacio vectorial V = (Z7)3 dado por las siguientes ecuaciones implıci-

tas respecto de la base canonica de V :{2x + 3y + z = 03x + y + 4z = 0

a) Calcular una base para U .b) Calcular un subespacio suplementario para U .

15. Obtener una base para el subespacio interseccion de los subespacios siguientes deR4: U = {(x, y, z, t) | 2x− y + z + 2t = 0}, W = 〈(1, 1, 2, 2), (1,−1, 1,−1)〉.

16. Calcular una base para el subespacio interseccion de los subespacios siguientes deR4: U = 〈(1, 2, 4, 8), (−1, 1, 1,−1)〉, W = 〈(1,−1, 2, 1), (1, 1, 1, 1)〉.

17. Sean U y W dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V . Probar queU ∪W es un subespacio de V si y solo si U ⊆ W o bien W ⊆ U .

18. Estudiar si la union de los subespacios vectoriales siguientes de R4 U = {(x, y, z, t) |4x−7y +z−9t = 0, 3x+5y−4z−6t = 0} y W = {(x, y, z, t) | x−12y +5z−3t =0, 2x + 17y − 9z − 3t = 0} es o no un subespacio de R4.

19. Demostrar que el espacio vectorial Q3 es suma directa de los subespacios vectoriales

U1 = {(x, y, z) | x− y + 4z = 0}, y U2 = {(λ, 2λ,−5λ) | λ ∈ Q}.

20. Calcular unas ecuaciones implıcitas para E1 + E2 y para E1 ∩ E2 siendo

E1 = 〈(1, 1, 1, 1, 1), (1,−1, 1,−1, 1)〉

E2 = 〈(1, 2, 0, 2, 0), (1, 2, 1, 2, 1), (3, 1, 3, 1, 0)〉21. Dados los subespacios vectoriales U = 〈(23, 12,−45, 17), (16,−32, 71, 11)〉 y W =

〈(94,−72, 123, 67), (4,−240, 606,−2)〉 de R4, ¿son iguales? Proponer al menos dosmetodos distintos para resolver este problema.

22. (En este ejercicio se construye la estructura de espacio vectorial cociente.)Sea V un K-espacio vectorial y U un subespacio vectorial de V . Entonces (V, +)es un grupo abeliano y por tanto, tal y como vimos en el Tema 2 sobre Grupos,(U, +) es un subgrupo normal de (V, +). Por tanto el conjunto cociente V/U es ungrupo abeliano respecto de la suma de clases

[v1] + [v2] = [v1 + v2]

a) Ahora, si λ ∈ K, definimos el producto de un escalar por una clase:

λ · [v] = [λ · v]

19

Comprobar que esta definicion es correcta y no depende de los representanteselegidos.Como consecuencia, el conjunto cociente V/U es un K-espacio vectorial, y sedenomina el espacio vectorial cociente de V por el subespacio U .

b) ¿Cual es el espacio vectorial cociente que resulta si U = V ? ¿Y si U = {~0}?c) Supongamos que dimK(V ) = n, U es un subespacio propio de V , dimK(U) = s

y BU = {u1, . . . , us} es una base para U (observar que 0 < s < n).Ampliamos BU hasta una base B = {u1, . . . , us, us+1, . . . , un} de V . Obser-

var que [u1] = . . . = [us] = [~0], que es el vector cero de V/U . Sea B ={[us+1], . . . , [un]}.Demostrar que B es una base del espacio vectorial cociente V/U , y por tanto

dimK(V/U) = dimK(V )− dimK(U).

d) Dado el R-espacio vectorial V = R2 y el subespacio U = {(x, y) | x = y}:1) Determinar una base para V/U , e interpretar geometricamente los resul-

tados obtenidos.2) Calcular las coordenadas del vector [(4,−5)] de V/U con respecto de la

base obtenida en el apartado anterior.23. Para el espacio vectorial V = Q[x]3 se considera el subespacio vectorial

U = {p(x) | p(−1) = 0 = p(1)}.Se pide:a) ¿Son iguales los elementos [4x3−7x2+3x+1] y [5x3−4x2+2x−2] del conjunto

cociente V/U?b) Calcular una base B para el espacio vectorial cociente V/U .c) Encontrar las coordenadas del vector [4x3 + 3x2 + 2x + 1] con respecto de la

base B calculada en el apartado anterior.24. Sea el espacio vectorial V = R[x]5 y el subespacio vectorial U = R[x]3. Si p(x) =

a0 +a1x+ . . .+a5x5 y q(x) = b0 + b1x+ . . .+ b5x

5, ¿que significa que [p(x)] = [q(x)]en V/U? ¿Cual es la dimension y una base para V/U?

25. Sea {e1, e2, e3, e4, e5} una base de R5 y sea W el subespacio vectorial de R5 generadopor {e1 + e2, e1− e3, e1 + e2 + e3, e1 + 2e3, e5, e1 + e4}. Sea U el subespacio vectorialde R5 generado por {e1, e2, e3, e2 + e3, e1 + e2 + e5 + 2e4}. Calcular bases paraU ∩W, U + W y R5/W. Calcular un subespacio W ′ de R5 tal que R5 = W ⊕W ′.

20

9. EJERCICIOS APARECIDOS EN EXAMENES ANTERIORES

1. En Z47 consideramos los subespacios vectoriales de ecuaciones

V1 ≡ {x + y + 6z + 6t = 0 V2 ≡{

x + 6z + t = 0y + 5t = 0

Una base de V1 ∩ V2 esa) {(1, 1, 5, 4), (3, 3, 1, 5)}b) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 6)}c) {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 4, 4)}d) {(1, 0, 1, 0), (1, 1, 5, 4), (0, 0, 0, 0)}

2. Sea U el subespacio vectorial de R4 generado por {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 1,−1)}. Unasecuaciones implıcitas para U son:a) x1 + x2 + x3 + x4 = 0

b)

{x1 + x3 = 1x1 + x2 + x3 + x4 = 0

c)

{x1 + x2 = 0x3 + x4 = 0

d)

x1 + x3 = 1x1 + x2 = 0x1 + x2 + x3 = 0

3. Sean B1 = {u1, u2} y B2 = {v1, v2} dos bases de R2 tales que v1 = −2u1 − u2 yv2 = 5u1 +2u2. Si w es un vector de R2 cuyas coordenadas respecto de B1 son (a, b),entonces las coordenadas de w respecto de B2 son

(a) (2a− 5b, a− 2b) (b) (3a, 2a− b) (c) (3a + b, a− 3b) (d) (b,−a)

4. Sean B = {v1, v2, v3} y B′ = {v′1 = v1, v′2 = v1 + v2, v

′3 = v1 + v2 + v3} dos bases de

un espacio vectorial V sobre R. Si las coordenadas de x respecto de la base B′ son(1,−1, 1), entonces las coordenadas de x respecto de B son

(a) (1, 0, 1) (b) (1, 0,−1) (c) (1, 2,−1) (d) (0, 0, 1)

5. Consideremos los siguientes subespacios de (Z5)4: U1 = 〈(1, 1, 2, 0), (3, 1, 4, 1)〉, y

U2 = 〈(0, 1, 0, 3), (1, 0, 1, 3)〉. Una base de U1 ∩ U2 esa) {(2, 0, 2, 1)}b) {(1, 1, 2, 0), (3, 1, 4, 1), (0, 1, 0, 3), (1, 0, 1, 3)}c) {(1, 1, 2, 0)}d) {(2, 0, 2, 1), (1, 0, 1, 3)}

6. Sea U = {(x, y, z) ∈ R3 | x+y+z = 0}. El subespacio vectorial W de R3 verificandoque R3 = U ⊕W esa) W = {(x, y, z) ∈ R3 | x− y − z = 0}.b) W = {0}.c) W = R3.

21

d) W ={(x, y, z) ∈ R3 | x−y =0

x−z =0

}.

7. Sea V = {A ∈M2(Q) | det(A) = 0}. Entoncesa) V es un Q-espacio vectorial de dimension 4.b) V es un Q-espacio vectorial de dimension 0.c) V es un Q-espacio vectorial de dimension 3.d) V no es un Q-espacio vectorial.

8. Consideremos los subespacios de (Z5)4 definidos por las ecuaciones

U1 =

{x + y + 2z = 0

3x + y + 4z + t = 0y U2 =

{y + 3t = 0

x + z + 3t = 0

Una base de U1 + U2 esa) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3), (0, 1, 0, 0)}b) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 1, 3)}c) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3), (1, 1, 1, 3)}d) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3)}

9. Sean B = {v1, v2, v3} y B′ = {v′1, v′2, v′3} dos bases de un espacio vectorial V sobre Rtales que v′1 = v1 +2v2 +v3, v′2 = −v2 +v3 y v′3 = −v1 +v2−5v3. Si las coordenadasde x respecto de la base B son (1,−2, 3), entonces las coordenadas de x respectode B′ son:

(a) (3, 10, 2) (b) (−2, 7,−16) (c) (0, 5,−18) (d) (−9, 4, 2)