INSTITUTO TECNOLOGICO DE TUXTEPEC ALUMNOS:PEREZ CHIU JUAN DE DIOSHERNANDEZ RODRIGUEZ CINTHIA AMELLALY COLIN SILVA FRANCISCO RALFERRER MARTINEZ FELIX

DOCENTE:ING. ZARAGOZA LOPEZ GERARDO

CARRERA:INGENIERA ELECTROMECANICA

MATERIA:ALGEBRA LINEAL UNIDAD 3

SEMESTRE: 2.-

TEMA: ESPACIOS VECTORIALES

INDICE

INTRODUCCIN--------------------------------------------------------------------------------------3

4.1 DEFINICIN DE ESPACIO VECTORIAL.--------------------------------------------------4

4.2 DEFINICIN DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES---------------------------------------------------------------------------6

4.3 COMBINACIN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL.--------------------------------------------------------------------------------------------8

4.4 BASE Y DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.-----------------------------------------------------------11

4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES.----------------------------------------------------------20

4.6 BASE ORTORMALIZACIN, PROCESO DE ORTONORMALIZACIN DE GRAM-SCHMIDT.----------------------------------------24

INTRODUCIN

La idea de vector est tomada de la Fsica, donde sirven para representar magnitudesvectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores dedos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...Se supone conocida la representacin grfica y manejo de los vectores de 2 y de 3. En Matemticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas tambin a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Fsica. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente: Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector; Podemos multiplicar un vector por un nmero (escalar) y obtenemos otro vector. Adems estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectoresde 2 y de 3 : En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notacin: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarn escalares.

ALEBRA LINEAL4.- ESPACIOS VECTORIALES.4.1 Definicin de espacio vectorial. Enlgebra abstracta, unespacio vectoriales unaestructura algebraicacreada a partir de unconjunto no vaco, una operacin(llamadasuma, definida para los elementos del conjunto) y unaoperacin externa(llamadaproducto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura decuerpo), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamavectoresy a los elementos del cuerpo,escalares. Sean K un cuerpo dado y V un conjunto no vaco, con reglas de suma y producto por escalar que asigna a cada par u, vV una suma u+vV y a cada par uV, kK un producto kuV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K (y los elementos de V se llaman vectores) si satisfacen los siguientes axiomas.

[A1] para toda terna de vectores u, v, wV, (u+v)+w=u+(v+w).[A2] existe un vector en V, denotado por 0 y denominado el vector cero, tal que u+0=u para todo vector uV.[A3] para todo vector uV existe un nico vector en V, denotado por u, tal que u+(-u)=0.[A4] para todo par de vectores u, vV, u+v=v+u.[M1] para todo escalar kK y todo par de vectores u, vV, k(u+v)=ku+kv.[M2] para todo par de escalares a, bK y todo vector uV, (a+b)u=au+bu.[M3] para todo par de escalares a, bK y todo vector uV, (ab)u=a(bu).[M4] el escalar unidad 1K cumple 1u=u para todo vector uV.

Los axiomas precedentes se desdoblan de forma natural en dos categoras. Los cuatro primeros ataen nicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo que V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v1+v2++vm no requieren parntesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector cero, 0, es nico, que el opuesto u de u es nico y que se verifica la ley de cancelacin; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wV.

U+w=v+w implica u=v.Asimismo, la resta se define segn u-v=u+(-v).

Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la del cuerpo K sobre V. obsrvese que la rotulacin de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espaciovectorial.

Teorema:sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.1. Para todo escalar kK y 0V, k0-0.2. Para 0K y todo vector uV, 0u=0.3. Si ku=0, donde kK y uV, entonces k=0 o u=0.4. Para todo kK y todo uV, (-k)u=-ku.

Representacin artstica de un espacio vectorial.

4.2 Definicin de subespacio vectorial y sus propiedades. Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema:supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:1. 0W2. W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vW, la suma u+vW.3. W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uW y para todo kK el mltiplo kuW.

Corolario:W es un subespacio de V si y solo si:1. 0W.2. au+bvW para todos los u, vW y a, bK.

Ejemplo:sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la interseccin UW es tambin subespacio de V. claramente, 0U y 0W, porque U y W son subespacios, de donde 0UW. Supongamos ahora que u, vUW. Entonces u, vU y u, vE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuU y u+v, kuW para cualquier escalar k. as u+v, kuUW y por consiguiente UW es un subespacio de V.El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema:la interseccin de cualquier nmero de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

Recurdese que toda solucin de un sistema de ecuaciones lineales con n incgnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solucin de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solucin. Como A0=0, el vector cero 0W adems, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razn, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A(au+bv)=aAu+bAv=a0+b0=0+0=0. De esta manera, au + bv es tambin una solucin de AX=0 o, dicho de otro modo, au+bvW. En consecuencia, segn el corolario, hemos demostrado:

Teorema:el conjunto solucin W de un sistema homogneo con n incgnitas AX=0 es un subespacio de kn. Hacemos nfasis en que el conjunto solucin de un sistema inhomogneo AX=B no es subespacio de Kn. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solucin.

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto novacies un sub espacioi)SixHyyH, entoncesx + yH.ii)SixH,entonces xHpara todo escalar . Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se debern cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deber demostrar que los axiomas i) a x) de la definicin cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicacin por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hiptesis, como los vectores en H son tambin vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomasii),v),vii),viii),ix) yx)] se cumplen. Este teorema demuestra que para probar siHes o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:x + yy X estn enHcuandoxyyestn enHy es un escalar.

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL1). El vector cero deVest enH.22).Hes cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cadauyven H, la sumau+vest enH.3).Hes cerrado bajo la multiplicacin por escalares. Esto es, para cada uenHycada escalarc, el vectorcuest enH.

4.3 Combinacin lineal. Independencia lineal.COMBINACIN LINEAL

Sean v1, v2, , vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2++anvn, donde a1,a2,,an son escalares se denomina una combinacin lineal de v1, v2,,vn.

Una combinacin lineal en M23

Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2, , vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinacin lineal del mismo. Es decir, para todo vV, existen escalares a1, a2, , an tales que v=a1v1+a2v2++anvn

Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, , vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, , vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, , vk. Es decirdonde a1, a2, , ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2, , vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, , vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. Cul es la apariencia de H? si v=(x, y,z)H, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6 2. Si se piensa que (x, y, z) est fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

INDEPENDENCIA LINEAL En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta seccin se define el significado de independencia lineal y se muestra su relacin con la teora de sistemas homogneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relacin espacial entre los vectores, se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuacin de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinacin no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinacin lineal no son ambos cero). Qu tienen de especial los vectores? La respuesta a esta pregunta es ms difcil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene.

Se ha escrito el vector cero como una combinacin lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuacin y los tres vectores de la otra ecuacin tienen una relacin ms cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En trminos generales, se tiene la importante definicin a continuacin presentada.

Definicin: sean v1, v2, , vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, , cn no todos ceros tales que.

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2, .., vn son linealmente independientes si la ecuacin c1v1+c2v2++cnvn=0 se cumple nicamente para c1=c2==cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinacin lineal de v1, v2,,vn con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2, , vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, , vn} es linealmente independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintamente.

Teorema: dependencia e independencia lineal

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un mltiplo escalar del otro.

Demostracin: primero suponga que v2=cv1 para algn escalar c0. Entonces cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al menos uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c10, entonces dividiendo entre c1 se obtiene v1+(c2/c1)v2=0, o sea,

Es decir, v1 es un mltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c20 y, por lo tanto, v2=0=0v1.

4.4 Base y dimensin de un espacio vectorial, cambio de base. Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinacin lineal de los vectores . En R3 se escribieron los vectores en trminos de. Ahora se generalizara esta idea.BASE Un conjunto finito de vectoreses una base para un espacio vectorial V si

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.En Rn se define Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1),es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base cannica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base cannica para M22Se vio quegeneran a, entonces es evidentemente que. As, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base cannica para M22. TEOREMA: sies una base para V y si vV, entonces existe un conjunto nico de escalarestales que

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porquegenera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinacin lineal de los vectores de la base.

Es decir, suponga que Seados bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hiptesis de que S es una base. Esto demostrara que mn. la misma prueba demostrara que m y esto prueba el teorema. As, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una combinacin lineal de las v. se tiene (1)TEOREMA:suponga que dimV=n. si

Entonces, restando se obtiene la ecuacinpero como los v son linealmente independientes, esta ecuacin se cumple si y solo si

As,y el teorema queda demostrado.

TEOREMA:sison bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo nmero de vectores.

Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares

no todos cero, tales que (2)

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3)

La ecuacin (3) se puede reescribir como

Pero comoson linealmente independientes, se debe tener (5)

El sistema (5) es un sistema homogneo de n ecuaciones con las mincgnitasy como m>n, el teorema dice que el sistema tiene un nmero infinito de soluciones. De esta forma, existen escalaresno todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradiccin prueba que mn si se cambian los papeles de S1 y S2, se demuestra que nm y la prueba queda completa. Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el lgebra lineal.

DIMENSIN Si el espacio vectorial V tiene una base con un nmero finito de elementos, entonces la dimensin de V es el nmero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensin finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensin infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensin cero.Notacin. La dimensin V se denota por dimV.

EJEMPLO:la dimensin de Mmn En Mmnsea A la matriz de mxn con un uno en la posicin ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,,m y j=1,2,,n forman una base para Mmn. As, dimMmn=mn.

TEOREMA:suponga que dimV=n. sies un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces mn.

Seaentonces, igual que la prueba del teorema, se pueden encontrar constantesno todas cero, tales que la ecuacin (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. as, mn.

TEOREMA:sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensin finita V. entonces H tiene dimensin finita y (6)

Sea dimV=n. cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es tambin linealmente independiente en V. por el teorema anterior, cualquier conjunto linealmente independiente en H puede contener a lis ms n vectores. Si H={0}, entonces dimH=0. Si dimH{0}, sea v0 un vector en H y H=gen{v}. si H=H, dimH=1 y la prueba queda completa. De lo contrario, elija a vH tal que vH y sea H=gen{v1,v2}, y as sucesivamente. Continuamos hasta encontrar vectores linealmente independientestales que H=gen{}. El proceso tiene que terminar porque se pueden encontrar a lo ms n vectores linealmente independientes en H. entonces H-kn.

EJEMPLO:una base para el espacio de solucin de un sistema homogneoEncuentre una base (y la dimensin) para el espacio de solucin S del sistema homogneo

SOLUCIN: aqu.Como A es una matriz de 2x3, S es un subespacio de R3. Reduciendo porrenglones, se encuentra, sucesivamente,

Entonces y=z y x=-z de manera que todas las soluciones son de la forma.As,es una base para S y dimS=1. Obsrvese que S es el conjunto de vectores que se encuentran en la recta x=-t, y=t, z=t. TEOREMA: cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensin n constituyen una base apara V. Sean, n vectores. Si generan el espacio V, entonces constituyen una base. De lo contrario, existe un vector uV tal que ugen. Esto significa que los n+1 vectores, u donde linealmente independientes. Para ver esto observe que si (8)

Entoncesporque de lo contrario podramos escribir u como una combinacin lineal dedividiendo la ecuacin (8) entrey poniendo todos los trminos, excepto u, en el lado derecho. Pero sientonces (8) es Lo que significa queya que los v son linealmente independientes. Ahora sea W=gen{,u}. como todos los vectores entre las llaves estn en V, W es un subespacio de V. como,u son linealmente independientes, forman una base para W, y dimW=n+1. Pero por el teorema, dimWn. esta contradiccin muestra que no existe el vector uV tal que ugen{}. As,genera a V y, por lo tanto, constituye una base para V.

CAMBIO DE BASE En R2 se expresaron vectores en trminos de la basecannica. En Rn se defini la base cannica . En Pn se defini la base estandra como. Estas bases se usan ampliamente por la sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas. Pero en ocasiones ocurre que es ms conveniente alguna otra base. Existe un nmero infinito de bases para elegir, ya que en un espacio vectorial de dimensin n, cualesquiera n vectores, linealmente independientes, forman una base. En esta seccin se ver como cambiar de una base a otra mediante el clculo de cierta matriz. Iniciaremos por un ejemplo sencillo. Sean u. entonces,es la base cannica en R2. SeanComo v1 y v2 son linealmente independientes (porque v1 no es un mltiplo de v2),es una segunda base en R2. Seaun vector en R2. Esta notacin significa que

Es decir, x est expresando en trminos de los vectores de la base B. para hacer hincapi en este hecho, se escribeComo B es otra base en R2, existen escalares c1 y c2 tales que (1)Una vez que se encuentran estos escalares. Se puede escribirpara indicar que x esta ahora expresado en trminos de los vectores en B. para encontrar los nmeros c1 y c2, se escribe la base anterior en trminos de la nueva base. Es sencillo verificar que(2) yes decir,

Entonces,

As, de (1),

o

Por ejemplo, si

entonces

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. Un espacio vectorial complejo V se denominaespacio con producto internosi para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un nmero complejo nico (uva), denominadoproducto internode u y v, tal que si u, v y w estn en V yC, entonces

La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.Nota. Si (uva) es real, entonces (uva)=(uva) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO:producto interno de dos vectores en C3En C3 seen x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entices

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v estn en V. entonces

Nota 1. Aqu se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusin con el valor absoluto. Por ejemplo sen t denota la norma de sen t como un vector en C[0, 2] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la funcin sen t.Nota 2. La ecuacin anterior tiene sentido ya que (u, u)0.

EJEMPLO:dos vectores ortogonales en C2En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto ortonormal El conjunto de vectoreses un conjunto ortonormal en V siy Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.

TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.

TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.

Proyeccin ortogonal Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal Si vV, entonces la proyeccin ortonormal de v sobre H denotada por proyHv est dada por (6)

Las demostraciones de los siguientes teoremas son idnticas a sus contrapartes en Rn.TEOREMA: sea H un subespacio de dimensin finita con producto interno V. suponga que H tiene dos bases ortonormalesSea vV. entonces

Complemento ortogonal Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, est dado por (7)

TEOREMA: si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIN: sea H un subespacio de dimensin finita del espacio con producto interno V y suponga que vV. entonces existe un par nico de vectores h y p tales que hH, pH, y (8)v=h+pdonde h=proyHv.

Si V tiene dimensin finita, entonces p=proyHv.

TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios linealmente independientes si y solo si multiplicidad geomtrica de cada valor propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt.Conjunto ortonormal en Rn Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, , uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2)

Si solo satisface la ecuacin (1), se dice que el conjunto es ortogonal.Si u, v y w en Rn y es un nmero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)

Ahora se presenta otra definicin til

Si vRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, est dada por (8)

Nota. Sientonces v*v=Esto significa que (9)

De esta forma se puede obtener la raz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)

TEOREMA: si S=es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Suponga queEntonces, para cualquier i=1,2,,k

Como v0 por hiptesis |v|2>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,,k, lo que completa la prueba.

Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt Sea H un subespacio de dimensin m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal. Sea S=una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasos para esta construccin, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Eleccin del primer vector unitarioSea (12)

Entonces

De manera que |u|=1.

Paso 2. Eleccin de un segundo vector ortogonal a u Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vectores la ortogonal a v. en este casoes la proyeccin de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.

Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v estn en Rn para cualquier n2. Obsrvese que como u es un vector unitario,para cualquier vector v.

Sea (13)entoncesde manera que v es ortogonal a u. ms aun, por el teorema, u y son linealmente independientes. v0 porque de otra maneralo que contradice la independencia de v1 y v2.

Paso 3. Eleccin de un segundo vector unitario Sea (14)entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.Suponga que se han construido los vectores u1, u2,,uk(k