Espacios vectoriales Euclídeos

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ACTIVIDAD ACADEMICA DIRIGIDA | Antonio Otero Veiga

ALGEBRA ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

Algebra [ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS]

2 Antonio Otero Veiga

[ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS] Algebra

Antonio Otero Veiga 3

ALGEBRA

ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

ACTIVIDAD ACADEMICA DIRIGIA

Grado Ingeniería Informática Universidad Europea de Madrid

Alumno: Antonio Otero Veiga

Profesora: Niurka Barrios Bermudez





INDICE Introducción 7

Definición de producto escalar 9

Expresión matricial del producto escalar en una base dada. (Matriz de Gram) 11

Norma de un Vector. 13

Definición de ortogonalidad 15

Bases ortogonales y ortonormales 17

Método de ortogonalización de Gram-Schmidt 18

Complemento ortogonal 20

Proyección ortogonal 21

Ejercicios 23





Introducción

Aunque los Griegos habían reconocido ya que el espacio matemático o abstracto es

distinto del espacio percibido a través de los sentidos, la mayoría de los matemáticos

hasta alrededor de 1800 estaban convencidos de que la Geometría Euclídea era la única y

correcta idealización del espacio físico sensible.

La razón es que un vector geométrico como segmento orientado sirve para modelizar

muchas aplicaciones en física, como es así también los términos longitud y ángulo.

Esta profunda convicción en el valor absoluto de la Geometría Euclídea queda claramente

de manifiesto atraves de los muchos intentos de basar la Aritmética, Álgebra y Análisis,

cuyos fundamentos lógicos eran bastante oscuros en la Geometría Euclídea, y garantizar

así la verdad y consistencia de estas áreas de la Matemática.

Hacia 1850, los conceptos generales y los objetivos de la Geometría Proyectiva y su

diferencia con los de la Geometría Euclídea, estaban claros; sin embargo no se habían

clarificado lo suficiente la relación lógica entre ambas geometrías. Fue Von Staudt , quien

desarrollo las ideas de liberar la Geometría Proyectiva de las notaciones de longitud y

congruencia. A Traves de sucesivos trabajos en 1856, 1857 y 1860, Von Staudt consiguió

desarrollar la Geometría Proyectiva independientemente de la noción de distancia. De esta

manera, se puso de manifiesto que la Geometría Proyectiva es previa y más general que la

Geometría Euclidea, al tratar propiedades cualitativas y descriptivas de las figuras

geométricas.

Por otro lado, los geómetras “algebraicos” pronto se aprecibieron de que también era

posible utilizar los métodos de la Geometría Analítica en la nueva Geometría. Así aparecen

las que hoy comocemos como coordenadas homogéneas, que alcanzan su pleno desarrollo

con Plücker.

Los estudios relativos a otras geometrías han continuado hasta nuestros días sin que la

Geometría Euclidea haya perdido su vigencia.

En esta línea, hay que destacar los trabajos de Cayley; en ellos trata de definir un producto

escalar que generalice el usual, y emplear las fórmulas habituales para definir angulos y

distancias. Este proceso es también el utilizado al definir una métrica y es el que sigue en

la actualidad para definir axiomáticamente el espacio Euclídeo.

La extensión de espacios de dimensión infinita fue llevada a cabo de Hilbert y su escuela,

introducen formalmente el lenguaje geométrico habitual del espacio de Hibert:

ortogonalidad, teorema de la proyección ortogonal, bases ortonormales, etc. Son embargo,

la formulación axiomática del espacio de Hilbert general se debe a J. Von Neuman (1929-

30), en sus trabajos decisivos sobre la fundamentación matemática de la Mecánica

Cuántica.



Euclides

Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego

(ca. 325 - ca. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría".

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (Egipto) durante el reinado de

Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan

tres hipótesis:

1. Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió Los elementos y otras

obras atribuidas a él.

2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría.

Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso

firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.

3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de

Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de

Megara, que había vivido unos cien años antes.

Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió

importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen

una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos,

por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo en relación a la teoría de la proporción

y de Teeteto sobre los poliedros regulares.



Definición de producto escalar

Sea V un R-espacio vectorial, un producto escalar en V es una aplicación.

< , >: V X V → R

Verificando las siguientes propiedades:

< U, V > = < V, U >; ∀ U , V ∈ V

< U + V, W > = < U, W > + < V , W >; ∀ U , V, W ∈ V

< AU, V > = A < U, V >; ∀ A ∈ R, >; ∀ U , V ∈ V

∀ U ∈ V, < U, U > ≥ 0 Y < U, U > = 0 ↔ U = 0

A partir de la definición es fácil comprobar que se verifican además las siguientes

propiedades:

∀ u ∈ V, < 0 , u > = < u, 0 > = 0

∑iaiui, ∑jbjvj, >= ∑i,j aibj < ui , vj > para cualesquiera a1, …., ar, b1,… ,bs ∈ R, u1, …., ur, v1, … ,vs ∈

Un Conjunto E es un espacio vectorial euclídeo n-dimensional si es un espacio vectorial real

de dimensión n en el que se ha definido una dorma bilineal simétrica f: E x E → R, cuya

forma cuadrática asociada fc: E→R es definida positiva.

La forma bilineal f recibe el nombre de producto escalar y la notación que se utiliza es f

(x,y) = x ∘ y.

Nota: La matriz asociada a un producto escalar recibe el nombre de matriz de Gram.



Ejemplos:

1. Producto escalar usual en R2

Para X = (X1 , X2) , Y = (Y1 , Y2) vectores de R2 definimos:

<x , y > = x1y1 + x2y2

X = (2,1) Y = (0,3)

< x, y > = 2 · 0 + 1 · 3 = 0 + 3 = 3

2. Producto escalar en R2

Para X = (X1 , X2) , Y = (Y1 , Y2) vectores de R2 definimos:

<x , y > = x1y1 + ( x1 + x2 ) (y1 + y2)

X = (2,1) Y = (0,3)

< x, y > = 2 · 0 + (2 + 1) · (0 + 3) = 0 + 9 = 9

3. Producto escalar usual en Pn

P(x) = anXn + an-1 Xn-1 + … + a1X + a0 para Q(x) = bnXn + bn-1 Xn-1 + … + b1X + b0

definimos: <P(x), Q(x) anbn + an-1 bn-1 + … + a1b1 + a0b0

En P2 -> P(x) = 2x2 + 3 , Q(x) = 4x2 – x + 4

<p(x) , q(x)> = 2 · 4 + 0 · (-1) + 3 · 4 = 20

4. Producto escalar usual en Mnxn (R)

Para A, B ∈ Mnxn (R) definimos <A,B> = traza (BT · A)

Siendo la traza de una matriz cuadrada la suma de los elementos de su diagonal

principal.

A= 1 −12 3

; B= 1 40 2

<A,B> = traza (BT · A)

= traza 1 04 2

· 1 −12 3

= traza 1 −18 2

= 1 + 2 = 3



Expresión matricial del producto escalar en una base dada.

(Matriz de Gram)

Si V es un espacio vectorial euclídeo de dimensión n, y B = |e1,e2,…,e3| una base

cualquiera de V, entonces, cualquier pareja de vectores x, y ∈ V se puede expresar como:

x=x1e1 + x2e2 + … + xnen; y = y1e1 + y2e2 + … + ynen

Si conocemos los n2 productos escalares ei · ej (para i,j = 1,2,…,n), el producto escalar x · y

se puede expresar de la siguiente forma:

X · Y = (x1e1 + x2e2 + … + xnen) · (y1e1 + y2e2 + … + ynen)

Luego, utilizando las propiedades del producto escalar:

x · y = x1 ·y1 (e1 · e1) + x1y2(e1 · e2) + … + x1yn(e1 · en) + x2y1(e2 · e1) + x2y2(e2 · e2) +…+ x2yn(e2 ·

en) + … + xny1(en · e1) + xny2(en · e2) + … + xnyn(en · en)

Si para todo i,j se denota el producto ei ej = gij es posible escribir el producto escalar x · y

de forma matricial:

x · y = (x1, x2 … xn) 𝑔11 ⋯ 𝑔1𝑛⋮ ⋱ ⋮

𝑔𝑛1 ⋯ 𝑔𝑛𝑛

𝑦1⋮𝑦𝑛

De manera abreviada podemos expresarlo de la siguiente forma:

x · y = XGY´

Donde X e Y son las matrices fila de las cordenadas de los vectores x e y, respectivamente

y G es la llamada matriz métrica del producto escalar o matriz de Gram.

Es sencillo demostrar que para la expresión XGY´ represente el producto escalar de los

vectores x e y, respecto a una base dada, es condición necesaria y suficiente que se

verifiquen las siguientes condiciones:

1. Es simétrica gij = gji

2. Es una matriz semidefinida positiva, y todas las matrices semidefinidas

positivas son la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. Este

generalmente no es único.

3. El primer elemento es positivo. gij > 0

4. Sus dos determinantes principales son positivos. 𝑔11 𝑔12𝑔21 𝑔22

> 0 => |G| > 0



Ejemplos

1. Consideremos en R3 con el producto escalar usual, B´ = {(1,0,0), (1,1,0),(1,1,1)},

por lo tanto

< v1, v1 > = 1 < v1, v2 > = 1 < v1, v3 > = 1

< v2, v2 > = 2 < v2, v3 > = 2 < v3, v3 > = 3

Así que la matriz de Gram respecto a la base será: 1 1 11 2 21 2 3

2. Consideremos en R2 de la base canónica B={u1, u2} si se sabe que:

<u1, u1> = 1 <u1, u2> = 1 y <u2, u2> = 2

Entonces la matriz de gran es: 1 11 2

Así pues para u = (2,3) y v = (1,2)

< u, v > = < (2,3),(1,2) > = (2 3) 1 11 2

12 = 5 8

12 = 21

3. Sea V un espacio vectorial euclídeo, y sean G y G´ las matrices de Gram de su

producto escalar respecto de las bases B y B´, respectivamente, es decir:

<u; v> = utB GvB = ut

B´ GvB´

Si P = M(B´;B) es la matriz del cambio de base de B´ a B, entonces:

uB = PuB´ vB = PvB´

por lo que:

<u,v>= utB GvB = ut

B´ GvB´= (utB´Pt) G (PvB´) = ut

B´ (PtGP) vB´ = utB´ G´vB´

Luego G´= PtGP



Norma de un Vector.

Si recordamos la definición del producto escalar de vectores geométricos:

x · y = |x| |y| cos(x · y)

podemos obtener el módulo (logitud) de un vector, de la siguiente forma:

x · x = |x||x| cos (0) => |x|= 𝒙 · 𝒙 , pues cos(0) = 1

Generalizando la definición anterior para el caso de un espacio vectorial euclídeo,

tenemos:

Se llama norma de un vector x, perteneciente a un espacio vectorial euclídeo V, a la raíz

cuadrada positiva del producto escalar x · x (se denota como ||x||)<=> ||x||= 𝑥 · 𝑥

Podemos observar que como x · x ≥ 0, siempre existe ||x||

Ejemplo

En Pn(R) con el siguiente producto escalar la norma de un polinomio p(x) vendrá

dada po:

< p(x) , q (x) > = 𝑝 𝑥 𝑞(𝑥)𝑑𝑥1

0

||p(x)|| = 𝑝(𝑥)2𝑑𝑥1

0

Así p(x) = x+1 tiene norma:

||p(x)|| = (𝑥 + 1)2𝑑𝑥1

0 = 𝑝(𝑥2 + 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥

1

0 =

𝑥3

3+ 𝑥2 + x ]10 =

7

3

Otra definición que debemos tener en cuenta es la del vector unitario, que es:

Se dice que un vector unitario o normalizado cuando su norma es igual a uno <=> ||u||=

1.

Podemos ver qye dado un vector u, no nulo, el vector u´ = 𝑢

||𝑢 || es unitario.

ya que ||u||2 = u · u = (𝑢

| 𝑢 |) · (

𝑢

| 𝑢 |) = (

𝑢·𝑢

| 𝑢 |2) = | 𝑢 |2

| 𝑢 |2 = 1



PROPIEDADES DE LA NORMA

Dados dos sectores x e y del espacio vectorial euclídeo V y ∀𝜆 ∈ 𝑅 se cumple las siguientes

propiedades de la norma:

|| 𝜆𝑥|| = 𝜆||x||

|x · y | ≤ ||x|| ||y|| - Desigualdad de Schwartz

|| x + y || ≤ ||x|| + ||y|| - Desigualdad de Minkowski. (Desigualdad tirangular)

Demostraciones

1. ||𝜆𝑥|| = 𝜆𝑥 · (𝜆𝑦) = 𝜆2 · (𝑥 · 𝑥) = 𝜆 | 𝑥 |

2. Desigualdad de Schwartz.

|x · y| ≤ ||x|| ||y||

Si x=0 ó y=0, no hace falta demostrar nada, lo único que se escribe es 0 ≤ 0

Si x≠0 y y≠0, sean v1= 𝑥

𝑥 +

𝑦

𝑦 y v2=

𝑥

𝑥 −

𝑦

||𝑦 || , es evidente que v1 v2 ∈ V, por tanto

v1 · v1 ≥ 0 y v2 · v2 ≥ 0 <=> (𝑥

𝑥 ±

𝑦

𝑦 ) · (

𝑥

𝑥 ±

𝑦

𝑦 ) ≥ 0 <=>

𝑥· 𝑥

𝑥 2 +

𝑦 ·𝑦

𝑦 2 ± 2

𝑥 ·𝑦

𝑥 | 𝑦 | ≥ 0

como 𝑥 · 𝑥

𝑥 2 = 1 y

𝑦 ·𝑦

𝑦 2 =1, podemos escribir:

2±2 𝑥 ·𝑦

𝑥 | 𝑦 | ≥ 0 <=> ± 2

𝑥 ·𝑦

𝑥 | 𝑦 | ≥ -2 <=> ± x·y ≤ ||x|| ||y||.

3. Desigualdad de Minkowski.

||x + y ||2 = (x+y) · (x+y) = ||x||2 + ||y||2 + 2(x+y)

Aplicando la desigualdad de Schwartz resulta: ||x+y||2 ≤ ||x||2 + ||y||2 + 2 ||x|| ||y||

= (||x|| ||y||)2 , y extrayendo la raíz cuadrada, obtenemos la desigualdad de Minkowski:

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||.

Si ahora expresamos la desigualdad de Schwartz: |x · y| ≤ ||x|| ||y|| en la forma

equivalente: -||x|| ||y|| ≤ x · y ≤ ||x|| ||y||, y suponiendo que ||x||, ||y|| ≠ 0.

dividimos por ||x|| ||y|| y obtenemos:

-1 ≤ 𝑥 ·𝑦

𝑥 | 𝑦 | ≤ 1

podemos ver que el cociente anterior toma los mismos valores que el coenso de un ángulo.

Además para x=y se tendría un ángulo igual a cero y el valor del cociente anterior resulta

igual a uno.

Aunque. en general los vectores del espacio vectorial euclideo V no serán vectores

geométricos, las consideraciones anteriores permiten llegar a la siguiente definición:



Definición de coseno del ángulo entre dos vectores

Dados dos vectores no nulos, x, y pertenecientes a un espacio vectorial euclídeo V se

define coomo coseno del ángulo entre dichos vectores a: cos(x,y) = 𝑥·𝑦

𝑥 | 𝑦 |

Definición de ortogonalidad

Dos vectores x, y son ortogonales <=> El producto escalar de x · y es igual a cero, siendo x,

y distintos del vector nulo.

e acuerdo con la definición anterior, para que dos vectores sean ortogonales debe

cumplirse que cos(x,y)=0. Esta definición coincide con la dada para perpendicularidad de

vectores geométricos, en la que el ángulo que determinan ambos vectores debe ser recto.

Observamos que se ha definido la ortoganalidad para vectores no nulos. Tambien podemos

ver que el vector nulo es ortogonal a cualquier vector x, ya que 0 · x = 0.

Dados dos vectores de un espacio euclídeo x, y se verifica:

||x+y||2 = (x · y) · (x · y) = x · x + 2(x · y) + y · y

pero si dichos vectores son ortogonales, es x · y = 0, se obtiene la conocida expresión del

teorema de Pitágoras:

||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2



Ejemplo

En el espacio vectorial euclídeo R3, con el producto escalar usual, determínese

un vector que sea ortogonal a los vectores: u=(1,2,1); v=(0,-1,1); w=(1,1,2)

Sea x=(a,b,c) el vector a determinar.

Como x debe ser ortogonal a u entonces x · u = 0 => a + 2b + c = 0

Tambien debe ser ortogonal a v : x · v = 0 => -b + c = 0

Por último, debe ser ortogonal a w : x · w = 0 => a + b + 2c = 0

Por tanto, el vector buscado debe ser la sulocion del sistema

a+2b+c=0

-b+c=0

a+b+2c=0

por lo que: a= -3a; b=a, c=a => x= (-3a, a, a) es decir,

es espacio vectorial generado por (-3,1,1)

Volviendo al caso de los vectores geométricos, de gran utilidad en física, cuando se

habla de la proyeción de un vector sobre otro, en general se hace referencia al módulo

del vector de proyección, pero si lo que se requiere es el vector que se obtiene como

proyección ortogonal de un vector u sobre otro vector v, tendremos que determinarlo

como la composición de u con otro vector w ortogonal a v.

Sea u el vector proyección de u sobre v.

El modulo de u resulta: ||u|| = ||u|| cos(u,v) = (𝑢 .𝑣)

| 𝑣 |



Bases ortogonales y ortonormales

Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita A una base de E que sea sistema

ortogonal u ortonormal se le llamara, respectivamente, base ortogonal o base ortonormal de

un producto escalar es una forma bilineal simétrica definida positiva.

- Si B es una base ortogonal de E, la matriz del producto escalar respecto a B es diagonal.

- Si B es una base ortonormal de E, la matriz del producto escalar respecto a B es la

identidad.

Nota: En cualquier base ortonormal la matriz de Gram es la matriz uidad.

Las bases ortonormales son particularmente cómodas a la hora de efectuar calculos,

puesto que al ser la matriz de Gram respecto a una base ortogonal la identidad, se obtiene

la expresión matricial del producto escalar

<x,y> = XtY=x1y1 + ... + xnyn

Para x= (x1,...,xn)B y =(y1,...,yn)B, Esto es: tmando coordenadas respecto de una base

ortonormal el producto escalar se calcula como el producto escalar se calcula como el

producto escalar usual de Rn.

Demostración:

San B y B´dos bases ortonormales de un espacio vectorial euclideo V y llamemos P a la

matriz del cambio de base B´ a B. Teniendo en cuenta la relación de matrices de Gram

respesto de ambas bases es C= Pt AP. Ahora bien, puesto que ambas bases son

ortonormales se tiene A = C = I, luego se obtiene I = PtIP y de aqui Pt = P-1 como queriamos

demostrar.

Ejemplo

Si en R3 consideramos la base ortogonal B´ = {(1,1,1) (1,-1,0) (1/2, 1/2, -1)} y el

vector x=(1,2,1) entonces sus coordenadas en la base B´ serán:

X1 = < 1,2,1 1,1,1 >

| 1,1,1 |2 = 4

3

X2 = < 1,2,1 1,−1,0 >

| 1,−1,0 |2 = −1

2

X3 = < 1,2,1 1/2,1/2,−1 >

| 1/2,1/2,−1 |2 = 1/2

3/2 =

1

3

Con lo que: x= (4

3,−1

2,

1

3 )𝐵´



Método de ortogonalización de Gram-Schmidt

Este método nos permite construir una base ortonormal a partir de una base cualquiera del

espacio.

Si B= {e1,e2,...,en} los vectores que se obtienen de la forma

c1 = e1

c2 = e2 - 𝑐1 ° 𝑒2

𝑐1 ° 𝑐1𝑐1

c3 = e3 - 𝑐1 ° 𝑒3

𝑐1 ° 𝑐1𝑐1 -

𝑐2 ° 𝑒3

𝑐2 ° 𝑐2𝑐2

...................................................

cn = en - 𝑐1 ° 𝑒𝑛

𝑐1 ° 𝑐1𝑐1 - … .

𝑐𝑛−1 ° 𝑒𝑛

𝑐𝑛−1 ° 𝑐𝑛−1𝑐𝑛 − 1

constituyen una base ortogonal. Entonces B* ={𝑐1

|𝑐1|,𝑐2

|𝑐2|,… ,

𝑐𝑛

|𝑐𝑛 |, } es una base ortogonal.

Así pues el metodo Gram-Schidt es un proceso para obtener una base ortonormal a partir

de una base cualquiera B= {u1,...,un}

Sea (V, < , >) un espacio vectorial euclídeo y sea B = {u1,...,un} una base de V, entonces

existe una base ortogonal (resp. ortonormal) {e1,...,en} de V de forma que para cada k se

verifica L(u1,...,uk) = L(e1,...,ek)



Ejemplos

El subespacio de V4 expandido por los siguientes vectores

|v1 > =

13−12

; |v2 > =

2013

; |v3 > =

−1100

;

Tendrá una base ortogonal asociada dada por:

|v1 > ≡ |v3 > =

−1100

; |v2 > ≡ |v2 > - <𝑣2|𝑢1>

<𝑢1|𝑢1> |v1 > =

2013

+

−1100

=

1113

|v3 > ≡ |v1 > = - <𝑣1|𝑢2>

<𝑢2|𝑢2> |u2 > -

<𝑣1|𝑢1>

<𝑢1|𝑢1> |u1 > =

|v3 > ≡

13−12

- 9

12

1113

- (1)

−1100

= 1

4

55−7−1

;

Y la base ortonormal asociada será

|e1 > = |u1 >

<𝑢1|𝑢1> = (

2

2)

−1100

; |e2 > = |u2 >

<𝑢2|𝑢2> = (

12

12)

1113

;

|e3 > = |u3 >

<𝑢3|𝑢3> = (

2 3

9)

5/45/4−7/4−1/4

;

Para el caso de R2 es muy claro. Si tenemos dos vectores v1 y v2 linealmente

independientes

|v1 > = 11 ; |v2 > =

01 ;

Elegimos |u1 > ≡ |v2 > entonces, |u2 > vendrá dado por

|u1 > ≡ |v2 > - <𝑣1|𝑢1>

<𝑢1|𝑢1> |u1 > => ≡

11 −

01 =

10

|v1 > ≡ |v3 > =

−1100

; |v2 > ≡ |v2 > - <𝑣1|𝑢1>

<𝑢1|𝑢1> |u1 > => |u2 >

11 −

01 =

10

Tal y como se esperaba, el otro vector ortogonal es canóico.



Complemento ortogonal

Dados un vector x ∈ V y un subespacio U de V se dice que x es ortogonal al subespacio U y

se denota x ⊥ U si es ortogonal a todos los vectores de U.

x ⊥ U <=> x ⊥ y; ∀𝑦 ∈ 𝑈

Podemos hacer la siguiente definición del complemento ortogonal:

V e.v. con producto interno < , >

S ⊂ V subconjunto cualquiera

llamamos complemento ortogonal de S al conjunto

S⊥ = {v ∈ 𝑉 ∶ 𝑣 ⊥ 𝑠 ∀𝑠 ∈ 𝑆

Así pues si tenemos; V = R3 con producto interno usual

S = {(1; 1; 1)}

S = {(x; y; z) : (x; y; z) ⊥ (1; 1; 1)} = {(x; y; z) : <(x; y; z); (1; 1; 1)> = 0}

= {(x; y; z) : x + y + z = 0 } = {(x; y;-x; -y) : x; y ∈ R} = {x(1; 0;-1) + y(0; 1;-1) : x , y ∈ R

S = [(1; 0;-1); (0; 1;-1)]

Ejemplos

En R3 con el producto escalar usual, consideraremos el subespacio vectorial

U=L((1,0,1)) Entonces

(x,y,z) ∈ U <=> < (x,y,z), (1,0,1)>=0 <=>x+z = 0

Luego U tiene ecuación cartesiana x+y=0

En R3 se considera el producto escalar cuya matriz de Gram respecto a la base

canónica es

1 1 11 2 21 2 3

Consideremos de nuevo el subespacio U=L(1,0,1), entonces:

(x,y,z) ∈ U <=> <(x,y,z), (1,0,1)>= <=>

<=> (x y z) 1 1 11 2 21 2 3

101

=0 <=> (x y z) 234 = 0 <=> 2x + 3y + 4z =0

Luego U⊥ tiene ecuaciones cartesianas 2x + 3y 4z = 0



Proyección ortogonal

Sea (V, < , >) un espacio vectorial euclídeo y sea U un subespacio de V, Todo vector x ∈ V

podrá escribirse de forma única como x = u + v con u ∈ U en esta situación diremo que u

es la proyección ortogonal de x sobre U y lo denotaremos por u = PU(x). puesto que

(U) = 𝑈, el vector v será la proyección de x sobre U

.

Sean (V, < , >) un espacio vectorial euclídeo de V y {u1,...,un} una base ortogonal de U.

Entonces, dado un vector v ∈ V se verifica:

PU(X) = <𝑥 ,𝑢1>

||𝑢1||2 u1 + ... + <𝑥 ,𝑢𝑟>

||𝑢𝑟 ||2 ur

Ejemplo

Consideremos R3 con el producto escalar usual el subespacio U=L(1,0,1) y sea x

el vector e x = (1,2,3) U y U tienen respectivamente ecuaciones cartesianas:

U ≡ 𝑥 − 𝑧 = 0𝑦 = 0

U ≡ {x+z=0

Llamemos Pu(x) = (a,b,c), entonces:

(1,2,3) = (a,b,c) + (1 - a,2 - b,3 - c)

Con (a,b,c) ∈ U, (1 - a,2 - b,3 - c) ∈ U. Por lo tanto:

𝑎 − 𝑐 = 0𝑏 = 0

1 − 𝑎 + 3 − 𝑐 = 0

A=2, b=0, c=0 => PU(x) = (2,0,2)





EJERCICIOS





Problema 1: Calcular la matriz de Gram del producto escalar usual de ℝ𝟑

respecto de la base B = {(1, 1, 2), (3, 1, 1), (-2,-1,2)}

Aplicamos A = Pt P, donde P es la matriz de cambio de base B a la canoníca.

P= 1 3 −21 1 −12 1 2

A = Pt P = 1 1 23 1 1−2 −1 2

1 3 −21 1 −12 1 2

= 6 6 16 11 −51 −5 9

Problema 2: En ℝ𝟑 y con el producto escalar usual, se considera el subespacio

vectorial de ecuaciones cartesianas:

𝑼 = { 𝒙,𝒚,𝒛 / 𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟎, 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟎}

Se pide calcular unas ecuaciones paramétricas de U

U ≡ 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0

(x,y,z) ∈ U ↔ ≡ < 2,1,−1 , 𝑥,𝑦, 𝑧 > = 0

< 1,−1,3 , 𝑥,𝑦, 𝑧 > = 0

Por lo que para el subespacio W = L(2,1,-1),(1,-1,3) verificamos que U = W

por lo que U =(W

)

= W. Con lo que sacamos:

La Base de U

es {(2,1,-1) (1,-1,3)}

Con las ecuaciones parametricas.

U ≡

𝑥 = 2𝜆 + 𝜂𝑦 = 𝜆 − 𝜂𝑧 = −𝜆 + 3𝜂



Problema 3:En un espacio vectorial euclideo V de dimensión 3, el producto

escalar tiene matriz de Gram siguiente 𝑨 = 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟑

, respecto a una

determinada base B. Sea además U un subespacio vectorial de V, que respecto a

la base B tiene las siguientes ecuaciones cartesianas:

𝑼 = 𝒙 − 𝒚 = 𝟎𝒙 + 𝒛 = 𝟎

.

Calcular U

Sacando una Base de U tenemos: U = {(1,1,-1)}

Por lo tanto podemos resolver:

(x,y,z) ∈ U

<(x,y,z) (1,1,-1) > = 0

(x y z) 1 1 11 2 21 2 3

11−1

= 0

(x y z) 110 = 0

x + y = 0



Problema 4: En ℝ𝟑 y con el producto escalar usual, calcular la proyección del

vector (1, 0, 0) sobre el subespacio U = {(x, y, z) /x + y = 0 }

Sacamos las Bases de U tenemos: U = {(1,-1,0) (0,0,1)} U

Con lo que:

(x,y,z) ∈ U

<=> < 𝑥,𝑦, 𝑧 , 1,−1,0 >= 0

< 𝑥,𝑦, 𝑧 , 0,0,1 > = 0 <=>

𝑥 − 𝑦 = 0𝑧 = 0

Descomponiendo (1,0,0) Como suma de un vector U y otro de U

(1,0,0) = (a,b,c) + (1.-a -b, -c); con (a,b,c) ∈ U, (1-a,-b,-c) ∈ U

Resolviendo el sistema:

𝑎 + 𝑏 = 0

1 − 𝑎 − −𝑏 = 0−𝑐 = 0

a= 1/2 , b= -1/2 , c= 0

Pu (1,0,0 ) = (1/2, -1/2,0)



Problema 5: En ℝ𝟑 y con el producto escalar usual, se pide ortonormalizar la

base

B = {(1, 1, 1), (1, -1, 1), (-1, 1, 1)}, usando el método de Gram-Schmidt.

Aplicamos el método Gram-Schmidt:

e1 = u1 = (1,1,1)

||e1||2 = 3; <u2, e1> =1

e2 = u2 - <𝑢2,e1>

||e1||2 e1 = (1,-1,1) - 1/3 (1,1,1) = (2/3, -4/3, 2/3)

||e1||2 = 8/3; < 𝑢3, e1 > = 1; < 𝑢3, e2 > = -4/3

e2 = u2 - <𝑢3,e1>

||e1||2 e1 - <𝑢3,e1>

||e2||2 e2 = (-1,1,1) -1/3(1,1,1) + 1/2 (2/3, -4/3, 2/3) = (-1, 0,1)

Obtenemos esta base ortogonal:

{(1,1,1,), (2/3, -4/3, 2/3) (-1,0,1)}

La convertimos en ortonormal y obtenemos la base ortonormal:

||e1|| = 3

||e2|| = 8

3 =

2 2

3 =

2 6

3

||e3|| = 3

{(1

3 ,

1

3 ,

1

3 ), (

1

6 , −2

6 ,

1

6 ), (

−1

2 , 0 ,

1

2 ) }



Bibliografía

- Álgebra (Lineal Básica) – Ana Mª Díaz, Vicente Bargueño, Carlos Romera, Luis

Manuel Ruiz, Luis Tejero. Editorial Sanz y Torres.

- Álgebra Lineal con métodos elementales – Luis Merino, Evangelia Santos Editorial

Paraninfo.

- Problemas de álgebra con esquemas teóricos, A. de la Villa. Editorial Clag

- Wikipedia, La enciclopedia libre (http://es.wikipedia.org)

http://es.wikipedia.org/

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