Apunte Espacios Vectoriales

1

UNNOBA Álgebra y Geometría Analítica Lic. Silvia Graciela Capalbo

ESPACIOS VECTORIALES.

Espacio vectorial. Propiedades

Definición: Sea V un conjunto no vacío. V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K , si en

V están definidas dos leyes de composición u operaciones: una interna que se denomina suma

de vectores (+) tal que Vvv 21, está definido un elemento Vvv 21 y otra externa

llamada producto por escalares ( ) tal que VvK , existe un elemento Vv que

cumplen las siguientes propiedades:

a) Asociativa de la suma de vectores: 321321 )()( vvvvvv

Vvvv 321 ,,

b) Existencia de elemento neutro de la suma de vectores: vvvV 00/0

Vv

c) Existencia de elemento opuesto: 0)()/( vvvvVv Vv

d) Conmutativa de la suma de vectores: 1221 vvvv Vvv 21,

e) Asociativa de escalares: vv )()( 2121 VvK ,, 21

f) Distributiva del producto con respecto a la suma de escalares:

vvv 2121 )( VvK ,, 21

g) Distributiva del producto con respecto a la suma de vectores:

))( 2121 vvvv VvvK 21,,

h) vv 1 Vv

Esta estructura suele representarse como la cuaterna ordenada ),,,( KV y se lee Espacio

Vectorial V sobre el cuerpo K o simplemente K – espacio vectorial.

Ejemplos:

1. La recta R , el plano 2R y el espacio

3R y los vectores pertenecientes a ellos con la

suma y el producto conocidos, son espacios vectoriales.

En general, ),,,( RRn es un espacio vectorial con la suma y el producto conocidos,

siendo nR , con n 1, el conjunto de las n-uplas de números reales ),....,,( 21 nxxx

con Rxi porque cada n-upla es una matriz.

2. }0{V con la suma y producto usuales es un espacio vectorial sobre R : espacio

vectorial trivial, porque VV 00.0,000 y se cumplen todas las

propiedades de la definición.

2


3. fijoRpxpyRyxV ,./),( 2, recta del plano que pasa por el origen,

es un espacio vectorial sobre R ya que:

- Si 22

2

22211

2

11121 ./),(./),(, xpyRyxvxpyRyxvVvv

)..,().,().,(),(),( 21212211221121 xpxpxxxpxxpxyxyxvv

Vvvxxpxx 212121 )(.,

- Sean VvR , .

Si xpyRyxvVv ./),( 2

Vvxpxxpxxpxyxv .)..(,.)..,.().,(),(

Además se cumplen:

- a), d), e), f), g) y h) por ser los elementos de V vectores de 2R , que es un espacio

vectorial.

- b) vvvVp 00/)0.,0()0,0(0 Vv

- c) Si xpyyxvVv ./),( y

0)()/()).(,( vvvvVxpxv

4. RaaaaxaxaxpRP nn

nn

n ,......,,/.......)()( 10

1

10 polinomios de

grado menor o igual que n con coeficientes reales, con las operaciones habituales, es

un espacio vectorial sobre R .

5. RanjmiaARM ijij

nm /,....,1;,....,1],[)( matrices reales nm ,con la

suma y producto por escalares usuales, es un espacio vectorial sobre los reales.

Propiedades

Sea V un espacio vectorial sobre K . Entonces :

1. 00 v Vv

2. 00 K

3. Si 000 vv

4. )()( vv K , Vv

3


Demostración:

1. vvvv 00)00(0 por ser 0 el elemento neutro de la suma de vectores y

por la propiedad distributiva con respecto a la suma de escalares.

Es decir: vvv 000 (1)

Por otro lado: 0].0[.0/.00 vvVvVv por la existencia de

elemento opuesto..

Sumando ).0( v a ambos miembros de (1) y aplicando la propiedad asociativa de la

suma de vectores resulta:

)].0(0[00)].0([)00()].0([0 vvvvvvvv

vv .000.00

0.0 v

2. Se prueba de manera similar :

0.0.)00.(0

Es decir: 0.0.0 (2)

Pero 0)]0.([0./)0.(0 VV

Sumando )0.( a ambos miembros de (2):

)]0.([)0.0.()]0.([0.0.0.0

0.000.0)]0.(0.[0.0

0 v

3. Sea 0/0 Kv

Si 1/0 111 K

Si 0v , multiplicando ambos miembros por 1 , aplicando la propiedad

asociativa de escalares, la propiedad 2 recién demostrada y la propiedad vv 1 ,

obtenemos:

00.10)...(0.)..(0 111 vvvvv

000 vv

4. 0.0).()( vvvv por propiedad distributiva con respecto a la

suma de escalares y la propiedad 2 .

0)( vv

Sumando a ambos miembros )( v :

)]([0)]([])[(0)( vvvvvv

)()()(0)()()]}([{)( vvvvvvvv

por propiedad asociativa de la suma de vectores y por ser 0 elemento neutro de la

suma.

)()( vv

4


Subespacio vectorial. Propiedades

Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y W un subconjunto no vacío de V . W es un

subespacio vectorial de V si , con la suma de vectores y el producto por escalares, es un

espacio vectorial .

Propiedad:

Sea V un espacio vectorial sobre K y W un subconjunto no vacío de V . W es un subespacio

vectorial de V si y sólo si la suma de vectores y el producto por escalares son cerradas.

Es decir:

WVW /

W es un subespacio vectorial de

WwWwK

WwwWwwV

,

, 2121

Demostración:

) Si W es un subespacio vectorial, obviamente la suma y el producto por escalares son

cerradas por ser un espacio vectorial en sí mismo.

) Si la suma y el producto por escalares son cerradas en W , para probar que W es un

subespacio vectorial debemos probar que se cumplen los axiomas de la definición de espacio

vectorial:

Como VW , los elementos de W pertenecen al espacio vectorial V y se cumplen por lo

tanto las propiedades asociativa y conmutativa de la suma de vectores, la asociativa de

escalares, las distributivas con respecto a la suma de escalares y a la suma de vectores y

ww 1 Ww .

Además se verifica la existencia del elemento neutro de la suma de vectores: W0

porque Ww0 Ww por ser cerrado el producto por escalares y

00 w Ww por ser W un espacio vectorial y por propiedad 1 de

espacios vectoriales.

Por otro lado se cumple existencia de elemento opuesto: Ww Ww

Porque Ww )1( Ww por ser cerrado el producto por escalares y

www )1()1( Ww por ser W un espacio vectorial y por propiedad

4 de espacios vectoriales.

5


Observaciones:

En virtud de la propiedad anterior

1. W0 para todo subespacio vectorial W de un espacio vectorial V .

2. Para probar que un subconjunto W es un subespacio de un espacio vectorial V , basta

con probar que la suma de vectores y el producto por escalares son cerradas.

Ejemplos:

1. 2RV , yxRyxW /),( 2

W es un subespacio de V porque:

- Si

22

2

22222

11

2

11111

21,),(

,),(,

yxRyxconyxw

yxRyxconyxwWww

),(),(),( 2121221121 yyxxyxyxww

2121

2

2121 , yyxxRyyxxcon

Www 21

- Sean WwR , .

Si yxRyxconyxwWw 2,),(

yxRyxconyxyxw 2,),(),(

Ww

2. RanjniaRMV ijij

n /,....,1;,....,1],[)(

jiaRMaW ij

n

ij 0/)(][ es un subespacio de V :

- Si

jibnjnibw

jianjniawWww

ijij

ijij

0/,....,1;,....,1],[

0/,....,1;,....,1],[,

2

1

21

jibanjnibaww ijijijij 0/,....,1;,....,1],[21

Www 21

- Sean WwR , .

Si jianjniawWw ijij 0/,....,1;,....,1],[

jianjniaaw ijijij 0./,....,1;,....,1,.][

Ww

6


Propiedad:

Sean U y S dos subespacios de un espacio vectorial V . Entonces:

1. }/{ SsUusuSU

2. }/{ SwUwwSU

son subespacios vectoriales de V .

Demostración:

1. SU es un subespacio vectorial porque:

- Si

SsUuconsuw

SsUuconsuwSUww

22222

11111

21,

)()()()( 2121221121 ssuususuww

SssUuucon 2121 por ser U y S subespacios.

SUww 21

- Sean SUwR , .

Si SsUuconsuwSUw

SsUuconsusuw )( por ser U y S

subespacios.

SUw

2. - Si

SwUw

SwUwSUww

22

11

21 , SwwUww 2121 por

ser U y S subespacios.

SUww 21

- Sean SUwR , .

Si SwUwSUw SwUw por ser U y S

subespacios.

SUw

Por lo tanto SU es un subespacio vectorial .

7


Combinación lineal

Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y sean .,......,, 21 Vvvv n Una combinación

lineal de nvvv ,......,, 21 sobre K es cualquier elemento de la forma

nnvvv ......2211 con Kn ,......,, 21 .

Ejemplos:

1. En 2RV

)14,3( es combinación lineal de )0,1()2,4(,)4,1( y porque

)0,1.(2)2,4).(1()4,1.(3)14,3(

2. En )(3 RMV

136

717

522

es combinación lineal de

015

412

301

y

114

113

120

ya que

114

113

120

).1(

015

412

301

.2

136

717

522

Sistemas de generadores

Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y sea nvvv ,......,, 21 un subconjunto de V .

nvvv ,......,, 21 es un sistema de generadores de V , si cualquier vector de V puede

expresarse como combinación lineal de nvvv ,......,, 21 .

nvvv ,......,, 21 sistema de generadores de V

/,.....,, 21 Kn nnvvvv ......2211 Vv

Ejemplos:

1. )1,0(),0,1( es un sistema de generadores de 2RV porque

2),( Ryxv , )1,0.()0,1.( yxv

8


2. )2,1(),5,3( es un sistema de generadores de 2RV

)2,()5,3(),()2,1.()5,3.();(/, 22112121 yxyxvR

21

21

212125

3)25,3(),(

y

xyx

Resolviendo el sistema se obtiene: 11

21

yx y

11

352

yx

Por lo tanto )2,1(),5,3( es un sistema de generadores de 2R .

3. nxxx ,......,,,1 2es un sistema de generadores de )(RPV n pues cualquier

polinomio )()( RPxp n se puede escribir

n

nnn xaxaxaaxp 0

2

21 ......1.)(

4. Dada cualquier matriz )(2 RMdc

ba

10

00.

01

00.

00

10.

00

01. dcba

dc

ba

Luego

10

00,

01

00,

00

10,

00

01 es un sistema de generadores de )(2 RM .


El conjunto de todas las combinaciones lineales de nvvv ,......,, 21 es el espacio generado por

dicho conjunto de vectores.

KvvvvVvvvvgen nnnn ,.....,,,....../,......,, 21221121

Observación:

nvvvgen ,......,, 21 es un subespacio vectorial de V .

Ejemplos:

1. En 2RV

RvRvgen 2121

2 ,,)1,0.()0,1.(/)1,0();0,1(

2

2121

2 ,,),(/ RRvRv

9


2. En 3RV

RvRvgen 2121

3 ,,)0,1,0.()0,0,1.(/)0,1,0();0,0,1(

RvRv 2121

3 ,,)0,,(/

)0,1,0();0,0,1(gen (plano xy )

3. En 3RV

RvRvgen 2121

3 ,,)6,1,4.()4,1,2.(/)6,1,4();4,1,2(

RvRv 21212121

3 ,,)64,,42(/

Rcon

z

y

x

Rzyx 21

21

21

21

3 ,

64

42

/),,(

Trabajamos con el sistema

21

21

21

64

42

z

y

x

y eliminamos 1 y 2 :

2121 yy

2222221 224224).(242 yxyxyxx

2

22

yx

2222221 246446).(464 yzyzyzz

2

42

yz

02042422

4

2

2

zyxyzyxyzyx

yzyx

02)6,1,4();4,1,2( zyxgen ( plano que pasa por el origen y que

contiene a los vectores que lo generan)

10


Vectores linealmente independientes y linealmente dependientes

Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K y sean .,......,, 21 Vvvv n

nvvv ,......,, 21 son linealmente dependientes (ld) si existen escalares, no todos nulos, tales que

la combinación lineal de ellos es igual a 0 y son linealmente independientes (li) en caso

contrario.

nvvv ,......,, 21 ld Kn ,.....,, 21 , no todos nulos 0....../ 2211 nnvvv

nvvv ,......,, 21 li 0......2211 nnvvv 0.....21 n

Ejemplos:

1. En 2RV , )0,1(1 v y )1,0(2 v son li porque:

)0,0(),0()0,()0,0()1,0.()0,1.(0 21212211 vv

0)0,0(),( 2121

2. En 2RV , )2,1(1 v y )4,2(2 v

)0,0()4,2()2,()0,0()4,2.()2,1.(0 2211212211 vv

042

02)0,0()42,2(

21

21

2121

Resolviendo el sistema:

2121 202

0.004)2.(2042 22221 2 puede tomar cualquier

valor y no es necesariamente nulo.

Por lo tanto )2,1(1 v y )4,2(2 v son ld ( )2 12 vv

3. En )(2 RMV

10

00,

01

00,

00

10,

00

014321 vvvv son li:

04432211 vvv

00

00

10

00

01

00.

00

10

00

014321

000

004321

43

21

11


Propiedades:

1. Sea V un espacio vectorial sobre K y sean .,......,, 21 Vvvv n

nvvv ,......,, 21 son linealmente dependientes si y sólo si uno de ellos es combinación

lineal de los restantes.

2. Sean n

n Rvvv ,......,, 21 y A la matriz cuyas filas ( o columnas) son las componentes

de nvvv ,......,, 21 .

nvvv ,......,, 21 son linealmente independientes si y sólo si 0 XA tiene solución

única ( solución trivial)

Observaciones:

1. En virtud de la propiedad 2 y la teoría de los sistemas lineales homogéneos :

- n

n Rvvv ,......,, 21 son linealmente independientes 0 A

n

n Rvvv ,......,, 21 son linealmente dependientes 0 A

siendo A la matriz cuyas filas (o columnas) son las componentes de nvvv ,......,, 21 .

Ejemplos:

En 3RV

a) )0,0,1(1 v , )0,1,0(2 v y )1,0,0(3 v son li porque:

100

010

001

A y 01A

b) )1,4,1(1 v , )0,1,1(2 v y )2,8,2(3 v son ld porque:

282

011

141

A y 0A

- n

n Rvvv ,......,, 21 son linealmente independientes si reduciendo la matriz A ,

cuyas filas (o columnas) son las componentes de nvvv ,......,, 21 , a la forma

12


escalonada no se obtiene ninguna fila completa de ceros, y linealmente

dependientes en caso contrario.

Ejemplos:

En 3RV

a) )0,0,1(1 v , )0,1,0(2 v y )1,0,0(3 v son li porque:

100

010

001

A y es una matriz escalonada con todas sus filas no nulas.

b) )1,4,1(1 v , )0,1,1(2 v y )2,8,2(3 v son ld porque:

282

011

141

A y su forma escalonada

000

130

141

tiene una fila

completa de ceros.

2. Si 2

21, Rvv son linealmente dependientes, pertenecen a la misma recta ( porque

uno de ellos es múltiplo del otro, por propiedad 1) y a rectas distintas si son

linealmente independientes.

3. 3

321 ,, Rvvv son linealmente dependientes si son coplanares ( porque 0A por

observación 1) y si no pertenecen al mismo plano son linealmente independientes.

Bases y dimensión


nvvv ,......,, 21 es una base de V si y sólo si es un sistema de generadores de V y sus

elementos son linealmente independientes .

nvvv ,......,, 21 base de

livvv

VvvvgenV

n

n

,......,,

,......,,

21

21

13


Ejemplos:

1. En 2RV : )0,1(1 v y )1,0(2 v son li ( ver ejemplo 1 pág. 10)

)0,1(1 v y )1,0(2 v generan 2R (ver ejemplo1 pág. 8)

Por lo tanto: )1,0();0,1( es una base de 2R : Base canónica.

2. En 2RV : )5,3(1 v y )2,1(2 v son li porque 011)5(621

53

)5,3(1 v y )2,1(2 v generan 2R (ver ejemplo 2 pág. 8)

Por lo tanto: )2,1();5,3( es una base de 2R .

3. En 3RV : )0,0,1(1 v , )0,1,0(2 v y )1,0,0(3 v son li ( ver ejemplo pág.

11) y generan 3R ( ver ejemplo 2 pág. 9).

Luego )1,0,0();0,1,0();0,0,1( es una base de 3R : Base canónica.

4.

10

00,

01

00,

00

10,

00

01 es una base )(2 RM porque es un sistema de

generadores de )(2 RM (ver ejemplo 4 pág. 8) y son li. (ver ejemplo 3 pág. 10)

Propiedad 1

Sea V un espacio vectorial sobre K y nvvv ,......,, 21 una base de V .

Entonces, todo elemento del espacio vectorial se puede expresar de manera única como

combinación lineal de elementos de la base.

Es decir

/cos,.....,, 21 úniKn nnvvvv ......2211 Vv

Demostración:

Sea Vv y supongamos que se puede expresar de dos maneras distintas como combinación

lineal de elementos de la base:

nnvvvv ......2211 con Kn ,.....,, 21

nnvvvv ......2211 con Kn ,.....,, 21

14


Si nnnn vvvvvv ............ 22112211

0............ 22112211 nnnn vvvvvv

0......222111 nnn vvv

0..........2211 nn por ser nvvv ,......,, 21 una base y por lo

tanto li.

Luego nn .;;.........; 2211 , lo que prueba que la representación de Vv es

única.

Propiedad 2

Sea V un espacio vectorial sobre K y nvvv ,......,, 21 , mwww ,......,, 21 son dos bases

cualesquiera de V . Entonces dichas bases tienen el mismo número de elementos.

nvvv ,......,, 21 , mwww ,......,, 21 bases de mnV

Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K con una base finita. La dimensión del espacio

vectorial es el número de elementos de cualquier base. En este caso, V es un espacio

vectorial de dimensión finita o finito-dimensional.

Si nvvv ,......,, 21 base de V nV dim

Observación:

Si 0dim0 VV

Ejemplos:

1. 2dim 2 R

2. 3dim 3 R

3. 4)(dim 2 RM

Propiedad

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n . EntoncesV tiene a lo sumo n vectores

linealmente independientes.

15


Coordenadas. Cambio de base

Definición: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y sea nvvvB ,......,, 21 una

base de V .

Si Vv /,.....,, 21 Kn nnvvvv ......2211

n ,.....,, 21 son las coordenadas de v en la base B .

Notación:

n

B vC

.

.)(

2

1

Ejemplos:

1. 2RV ; )1,3();2,1( B ; )3,5(v

)2,3()3,5()1,3()2,1()3,5( 2121212211 vvv

1;232

5321

21

21

1

2)(vCB

2. 2RV ; )1,0();0,1(B ; )3,5(v

3

5),()3,5()1,0()0,1()3,5(

2

1

21212211

vvv

3

5)(vCB

3. 2RV ; )0,1();1,0(B ; )3,5(v

5

3),()3,5()0,1()1,0()3,5(

2

1

12212211

vvv

5

3)(vCB

16


4. 3PV ; 1;52;3 2 xxxB ; 2532 xxv

)1(.)52()3(532 2

321

2

332211 xxxxxvvvv

3

2

32211

2 523532 xxxxx

5

32

253

)2()53(532

3

21

321

2

321321

2

xxxx

5;2;1 321

5

2

1

)(vCB

5. )(2 RMV ;

10

00,

01

00,

00

10,

00

01B ;

51

12v

44332211 . vvvvv

10

00

01

00

00

10

00

01

51

124321

43

21

0

00

0

00

00

0

00

0

51

12

5;1;1;251

124321

43

21

5

1

1

2

)(vCB

17


Observaciones:

1. Si n

n Rv ),......,,( 21 y B la base canónica .

Entonces

n

B vC

.

.)(

2

1

2. Las coordenadas de un vector dependen de la base del espacio vectorial y también

del orden de los elementos de la misma. Es decir, si se cambia la base B del espacio

vectorial o se cambia el orden de los vectores de B , cambian las coordenadas del

vector.

Propiedad. ( Cambio de base)

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, sean B y D dos bases de V y Vv .

Entonces

)()( vCPvC BD

donde P es una matriz invertible cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la

base B en la base D .

Demostración:

Sean nvvvB ,......,, 21 y nwwwD ,......,, 21 bases de V y sea Vv .

Por ser B una base de V : nnvvvv ......2211 con Kn ,.....,, 21

n

nvvvv

.

...

2

1

21 (1)

Por ser D una base de V : nnwwwv ......2211 con Kn ,.....,, 21

n

nwwwv

.

...

2

1

21 (2)

18


Por otro lado, todo vector de la base B se puede expresar como combinación lineal de los

vectores de la base D :

nniiii wwwv ......2211 con Kniii ,.....,, 21 ; ni ,........,2,1

ni

i

i

ni wwwv

.

...

2

1

21 para ni ,........,2,1

Luego:

nnnn

n

n

nn wwwvvv

..

...

...

..

....

21

22221

11211

2121 (3)

Por (1) y (3):

nnnnn

n

n

n

n

n wwwvvvvv

.

.

..

...

...

..

..

.

...

2

1

21

22221

11211

21

2

1

21

(4)

Teniendo en cuenta (2) y (4), por unicidad de coordenadas:

nnnnn

n

n

n

.

.

..

...

...

..

.

.

2

1

21

22221

11211

2

1

19


n

.

.

2

1

son las coordenadas de v en la base B y

n

.

.

2

1

son las coordenadas de v en la base D .

nnnn

n

n

..

...

...

..

21

22221

11211

es una matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores

de la base B en la base D , a la que llamamos P .

)()( vCPvC BD

Observación:

P es llamada matriz de transición de la base B a la base D y 1P es la matriz de transición

de D a B .

Ejemplo:

2RV ; )1,0();0,1(B ; )1,1();1,2( D

Si

3

3)(vCB , hallar )(vCD

a) Determinamos las coordenadas de los vectores de la base B en la base D :

),2()0,1()1,1()1,2()0,1( 2121211 v

3

1;

3

1

0

1221

21

21

3

13

1

)( 1vCD

20


),2()1,0()1,1()1,2()1,0( 2121212 v

3

2;

3

1

1

0221

21

21

3

23

1

)( 2vCD

b) La matriz de transición de la base B a la base D es

3

2

3

13

1

3

1

P

c) Las coordenadas de

3

3v en la nueva base D son:

1

2

3

3

3

2

3

13

1

3

1

)()( vCPvC BD

1

2)(vCD

Nulidad y rango de una matriz

Definición: El espacio nulo de una matriz )(RMA nm es el conjunto de soluciones del

sistema 0 XA .

0/)( XARXAN n

Propiedad

El espacio nulo de una matriz )(RMA nm es un subespacio vectorial de nR .

Demostración:

0/)( XARXAN n es un subespacio vectorial porque:

21


- Si 00)(, 2121 XAXAANXX

000)( 2121 XAXAXXA

)(21 ANXX

- Sean RANX ),( .

Si 0)( XAANX

00.).().( XAXA

)(. ANX

Definición: La nulidad de una matriz )(RMA nm es la dimensión de espacio nulo, es decir

la dimensión del conjunto de soluciones del sistema 0 XA .

)(dim)( ANA .

Observación:

Si 0)(0)( AAN

Ejemplo:

321

112A

0/)( 3 XARXAN

032

02

0

0

321

1120

321

321

3

2

1

xxx

xxx

x

x

x

XA

Resolvemos el sistema: Rxxxxxx 333231 ;;

3

3

3

)(

x

x

x

AN

Pero

1

1

1

3

3

3

3

x

x

x

x

1

1

1

es base de 1)(dim)( ANAN

1)( A

22


Propiedad

Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su nulidad es cero.

Es decir:

0)()( AsisóloysiinvertibleRMA nn

Demostración:

)(RMA nn invertible 0 A .

Además un sistema homogéneo 0 XA es compatible determinado y su única solución es

la trivial cuando 0A .

Por lo tanto

)(RMA nn invertible 000 XúnicasolucióntieneXAA

0)(0)( AAN

Aplicación:

Si un sistema lineal homogéneo es compatible indeterminado podemos determinar una base

del espacio solución, que es una base del espacio nulo y la dimensión del mismo, que es la

nulidad de la matriz de los coeficientes.

Ejemplo:

03242

0222

0342

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

La matriz de los coeficientes es

3242

2221

3421

A

Reducimos la matriz a la forma escalonada:

0000

1200

3421

3600

1200

3421

3242

2221

3421

Entonces

02

0342

43

4321

xx

xxxx

43432

102 xxxx

23


032

1.420342 44214321 xxxxxxxx

421421 202 xxxxxx

Luego )(

4

3

2

1

AN

x

x

x

x

X

es:

12

10

1

.

0

0

1

2

.

2

10

0

0

2

2

1

2

42

4

4

4

2

2

4

4

2

42

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

X

Y una base de )(AN y por lo tanto del conjunto solución es

12

10

1

;

0

0

1

2

y la dimensión del espacio solución es 2)( A .

Definición: La imagen de una matriz )(RMA nm es el conjunto

nm RXúnaparaYXARYA lg/)Im(

Propiedad

La imagen de una matriz )(RMA nm es un subespacio vectorial de mR .

Demostración:

nm RXúnaparaYXARYA lg/)Im( es un subespacio vectorial porque:

- Si 22112121 /,)Im(, YXAYXARXXAYY n

)Im()(/ 2121212121 AYYYYXAXAXXARXX n

- Sean RAY ),Im( .

YXAXARXYXARXAY nn .).().(/./)Im(

)Im(. AY

24


Definición: El rango de una matriz )(RMA nm es la dimensión de espacio imagen.

)Im(dim)( AA .

Definiciones:

- El espacio fila de una matriz )(RMA nm es el subespacio de mR generado por

sus filas.

mA rrrgenR ,......,, 21 donde mrrr ,......,, 21 son las filas o renglones de A .

- El espacio columna de una matriz )(RMA nm es el subespacio de nR

generado por sus columnas.

nA cccgenC ,......,, 21 donde nccc ,......,, 21 son las columnas de A .

Ejemplo:

321

112A

)3,2,1();1,1,2( genRA )3,1();2,1();1,2( genCA

Propiedades

1. La imagen de una matriz es igual a su espacio columna.

Sea )(RMA nm

ACA )Im(

2. El rango de una matriz es igual a la dimensión de su espacio fila y a la dimensión de su

espacio columna.

Sea )(RMA nm

AA CRA dimdim)(

3. La suma del rango y de la nulidad de una matriz es igual al número de sus columnas.

Sea )(RMA nmnAA )()(

Observaciones

1. Como ACA )Im( y AC está generado por las columnas de A , para determinar

una base y la dimensión del espacio imagen basta con ver cuáles de los vectores

columnas que generan AC son linealmente independientes para formar una base

de AC y por lo tanto de )Im(A .

25


Ejemplo:

321

112A

Vemos cuáles de los vectores que la generan son li. Una forma de hacerlo es

expresar dichos vectores como filas de una matriz y reducir la matriz a la forma

escalonada:

00

50

21

50

50

21

31

12

21

31

21

12

Los 2 primeros son linealmente independientes.

)2,1();1,2()Im( ABase y 2)( A

2. Como ARA dim)( y AR está generado por las filas de A , para determinar el

rango de A debemos ver qué filas son li para formar una base de AR .

Para ello reducimos la matriz A a la forma escalonada y el rango es la cantidad de

filas cuyos elementos no son todos 0.

Ejemplo:

321

112A

550

321

112

321

321

112A

2)( A

Como también ACA dim)( , se puede proceder de manera similar pero

partiendo de la matriz cuyas filas son los vectores que generan AC .

)3,1();2,1();1,2()Im( genCA A

26


3. Como nAA )()( . Entonces )()( AnA

Ejemplo:

321

112A

Como 2)( A y 3n , resulta 123)()( AnA

1)( A

Aplicación:

El cálculo del rango lo empleamos para determinar si un sistema lineal homogéneo tiene o no

solución. Recordar que un sistema homogéneo BXA es compatible si )'()( AA e

incompatible en caso contrario, siendo A la matriz de los coeficientes y 'A la matriz ampliada.

Documents

Apunte Espacios Vectoriales