Espacios vectoriales

INDICE

12.ESPACIOS VECTORIALES 23712.1. DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23712.2. SUBESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23812.3. COMBINACIONES LINEALES Y ESPACIO GENERADO . . . . . . . . . 24012.4. CONJUNTOS LINEALMENTE DEPENDIENTES Y CONJUNTOS LIN-

EALMENTE INDEPENDIENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24212.5. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24512.6. DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . 24712.7. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24912.8. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

CAPITULO 12

ESPACIOS VECTORIALES

12.1. DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

Definicion 12.1.1. Sea K un cuerpo y V un conjunto, decimos que la cuaterna (V, +, · ,K)es un espacio vectorial si se cumple

a) ∀ v, w ∈ V : v + w ∈ V ; Ley de composicion Interna.

b) v + (w + r) = (v + w) + r; ∀ v, w, r ∈ V ; Asociatividad de la Suma.

c) ∃ 0 ∈ V tal que v + 0 = 0 + v = v; ∀ v ∈ V ; Elemento Neutro 0.

d) ∀ v ∈ V ∃ − v ∈ V tal que v + (−v) = −v + v = 0; Elemento Opuesto −v.

e) v + w = w + v; ∀ v, w ∈ V ; Conmutatividad de la Suma.

f) ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K se cumple k · v ∈ V ; Ley de composicion externa.

g) k · (v + w) = k · v + k · w; ∀ v, w ∈ V,∀ k ∈ K.

h) (k1 + k2) · v = k1 · v + k2 · v; ∀ v ∈ V, ∀ k1, k2 ∈ K.

i) (k1k2) · v = k1(k2 · v) ∀ v ∈ V, ∀ k1, k2 ∈ K.

j) 1 · v = v; ∀ v ∈ V ; 1 ∈ K.

Observacion 12.1.1.

1. A los elementos de V se les llama, genericamente, “vectores” y a los elementos de Kse les llama “escalares”.

2. En general anotamos kv en lugar de k · v. Esta es la ponderacion de un vector porun escalar y no constituye una multiplicacion.

237

238 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

3. Al referirnos a la cuaterna (V, +, · ,K) tambien anotaremos VK .

Proposicion 12.1.1. Sea VK un espacio vectorial sobre el cuerpo K; se cumple

a) Los vectores 0 y −v, cuya existencia garantiza c) y d) de la definicion, son unicos.

b) La ponderacion del vector nulo por cualquier escalar produce el vector nulo.

c) La ponderacion de cualquier vector por el escalar nulo produce el vector nulo.

d) (−k)v = k(−v) = −(kv); ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K.

Demostracion.

c) Como 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v y dado que existe el vector opuesto −(0v) entonces,sumando este opuesto a la expresion 0v = 0v + 0v obtenemos −(0v) + 0v = −(0v) +[0v + 0v] de donde 0 = [−(0v) + 0v] + 0v, ası, 0 = 0v + 0v = 0v.

Ejemplo 12.1.1.

1. El conjunto de las matrices M(nR) con las operaciones usuales es un espacio vecto-rial sobre el cuerpo de los numeros reales.

2. (R2, +, · ,R) es un espacio vectorial (las operaciones usuales estan declaradas poromision).

3. (R2, +, · ,R) con las operaciones (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y k(a, b) = (a, kb) noes un espacio vectorial sobre R ya que, por ejemplo, (2 + 3)(1, 2) = 5(1, 2) = (1, 10)y sin embargo 2(1, 2) + 3(1, 2) = (1, 4) + (1, 6) = (2, 10).

12.2. SUBESPACIO VECTORIAL

Definicion 12.2.1. Sea VK un espacio vectorial sobre K y Φ 6= A ⊆ V . Decimos que Aes un subespacio vectorial de V , lo que denotamos A / V , si el conjunto A provisto de lasoperaciones del espacio vectorial es, en si mismo, un espacio vectorial sobre el cuerpo K.

Observacion 12.2.1. Demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespa-cio implica, hasta el momento, verificar que se cumplen las diez “caracterısticas” deseables;por cierto una gran tarea, sin embargo, la siguiente caracterizacion del concepto nos ayuda.

CAPITULO 12 ESPACIOS VECTORIALES 239

Caracterizacion

Sea VK un espacio vectorial sobre K y Φ 6= A ⊆ V , entonces

A / V ⇔

1) 0 ∈ A

2) v, w ∈ A ⇒ (v + w) ∈ A

3) k ∈ K, v ∈ A ⇒ kv ∈ A

Demostracion. ⇒) Sabemos que A / V entonces, se cumple inmediatamente 1), 2) y 3).

⇐) Si sabemos que se cumple 1), 2) y 3) entonces debemos verificar que se cumple a),b), . . . , j) de la definicion.

Necesitamos demostrar solo que ∀w ∈ A,−w ∈ A ya que las otras, son inmediataspuesto que, si p ∈ A ⊆ V entonces p ∈ V y satisface las condiciones en V .

Como A 6= Φ entonces existe w ∈ A ⊆ V ; en V , (−1) · w = −w, pero por 3) de lahipotesis, (−1) · w = −w ∈ A.

Ejemplo 12.2.1.

1. Sea VK un espacio vectorial sobre K, entonces V / V .

2. {0} / VK .

3. Sea R3R un espacio vectorial, entonces W = {(a, b, c) / a ∈ R, b = c = 0} ⊆ R es

subespacio vectorial de R3R.

En efecto

1) 0 = (0, 0, 0) ∈ W .

2) Sea v = (a, b, c), w = (p, q, r) ∈ W (ası, a ∈ R, b = c = 0; p ∈ R, q = r = 0)entonces v+w = (a+p, b+q, c+r) ∈ W ya que (a+p) ∈ R y b+q = c+r = 0.

3) Si v = (a, b, c) ∈ W , k ∈ R entonces kv = k(a, b, c) = (ka, kb, kc) ∈ W puestoque ka ∈ R y kb = kc = 0.

Ejemplo 12.2.2. Decida si W es subespacio de R3R en cada uno de los siguientes casos

a) W = {(a, b, c) / a = 2b, c ∈ R}.b) W = {(a, b, c) / a ≤ b ≤ c}.c) W = {(a, b, c) / ab = 0}.

Solucion.

a) Se verifica facilmente que W / R3R.

b) No es subespacio ya que, por ejemplo, v = (1, 2, 3) ∈ W y sin embargo −2v =(−1,−4,−6) /∈ W .


c) No es subespacio ya que por ejemplo, v = (0, 1, 3), w = (1, 0, 7) ∈ W pero v + w =(1, 1, 10) /∈ W .

Ejemplo 12.2.3. Si W , U son subespacios vectoriales de VK entonces W ∩ U / V . Enefecto

1. Como 0 ∈ W y 0 ∈ U entonces 0 ∈ W ∩ U .

2. Sean v, w ∈ W ∩ U , debemos demostrar que (v + w) ∈ W ∩ U . Como v, w ∈ W yv, w ∈ U entonces (v + w) ∈ W y (v + w) ∈ U , entonces (v + w) ∈ W ∩ U

3. Ahora, sea v ∈ W ∩ U , k ∈ K, debemos demostrar que kv ∈ W ∩ U . Como v ∈ Wy v ∈ U , k ∈ K entonces kv ∈ W y kv ∈ U entonces, por definicion de interseccionconcluimos que kv ∈ W ∩ U .

Ejemplo 12.2.4. Sea W ={p(x) = a + (a− b)x2 + bx3

} ⊆ R3[x]. Demuestre queW / R3[x].

Solucion.

1) p(x) = 0 = 0 + 0x + 0x2 + 0x3 ∈ W ya que p(x) = 0 + (0− 0)x2 + 0x3.

2) Si p(x) = a+bx+cx2+dx3, q(x) = e+fx+gx2+hx3 ∈ W entonces p(x)+q(x) ∈ Wya que p(x) + q(x) = (a + e) + ((a + d)− (d + h))x2 + (d + h)x3.

3) Si p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ W , k ∈ K entonces kp(x) ∈ W ya quekp(x) = ka + (ka− dk)x2 + dkx3.

Por 1), 2), 3) W / R3[x].

Observacion 12.2.2. La caracterizacion de subespacio anterior, se puede expresar tambiencomo sigue

A / VK ⇔{

1) 0 ∈ A

2) ∀ v, w ∈ A, ∀ k ∈ K; (v + kw) ∈ A

En el Ejemplo ????????, la parte 2) y 3) queda:Sean v, w ∈ W ∩U , k ∈ K, debemos demostrar que (v+kw) ∈ W ∩U . Como v, w ∈ W

y v, w ∈ U entonces (v + kw) ∈ W y (v + kw) ∈ U , entonces (v + kw) ∈ W ∩ U .

12.3. COMBINACIONES LINEALES Y ESPACIO GENERADO

Definicion 12.3.1. Sea VK un espacio vectorial sobre el cuerpo K y A = {v1, v2, . . . , vn} ⊆V entonces, si existen escalares k1, k2, . . . , kn ∈ K tal que v =

∑ni=1 kivi decimos que el

vector v es una combinacion lineal de los vectores de A.

Ejemplo 12.3.1. Determine si el vector v = (1, 7,−4) ∈ R3 es combinacion lineal de losvectores del conjunto A = {v1, v2} ⊆ R3

R donde v1 = (1, 3,−2), v2 = (2,−1,−1).


Solucion. Para que v sea combinacion lineal de los vectores del conjunto A deben existirreales k1, k2 tal que se cumpla v = k1v1 + k2v2. Consideremos v = k1v1 + k2v2.

v = k1v1 + k2v2 ⇒ (1, 7,−4) = k1(1,−3, 2) + k2(2,−1,−1) ⇒

k1 + 2k2 = 1−3k1 − k2 = 72k1 − k2 = −4

Aplicando el Teorema de Rouche obtenemos:

C = (A|B) =

1 2−3 −12 −1

∣∣∣∣∣∣

17−4

f21(3)∼

f31(−2)

1 20 50 −5

∣∣∣∣∣∣

110−6

f32(1)∼

1 20 50 0

∣∣∣∣∣∣

1104

f2( 1

5)∼

f3( 14)

1 20 10 0

∣∣∣∣∣∣

121

.

Es claro que el sistema no tiene solucion y entonces v no es combinacion lineal de v1, v2.

Definicion 12.3.2. Sea VK un espacio vectorial sobre K y φ 6= A ⊆ V , al conjuntoL(A) formado por todas las combinaciones lineales de vectores de A lo llamamos conjuntogenerado por A y lo denotamos tambien 〈A〉.

Proposicion 12.3.1. Sea VK un espacio vectorial sobre K y φ 6= A ⊆ V , entonces〈A〉 / VK .

Demostracion. Sea A = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ V , entonces

1) 0 = 0v1 + 0v2 + · · ·+ 0vn, ası, 0 ∈ 〈A〉.2) Si v, w ∈ 〈A〉 y k ∈ K, debemos demostrar que (v + kw) ∈ 〈A〉.

Como v ∈ 〈A〉 entonces v =∑n

i=1 kivi, como w ∈ 〈A〉 entonces w =∑n

i=1 pivi, dedonde (v + kw) =

∑ni=1(ki + kpi)vi ∈ 〈A〉.

A 〈A〉 lo llamamos “subespacio generado por A”.

Ejemplo 12.3.2. Considere A = {v1, v2} ⊆ R4R donde v1 = (1, 2, 1, 1), v2 = (−1, 1, 2, 2).

Determine si los siguientes vectores pertenecen a 〈A〉.a) v = (4, 4, 0, 7) b) w = (2, 1, 0, 3) c) r = (−2, 6,−8,−8) d) s = (4, 4, 0, 0)e) u = (4, 11, 7, 7) f) t = (−1, 4, 5, 5) g)x = (4, 5, 0, 7) h) y = (5,−2, 7, 7)

Solucion.Naturalmente que resulta largo realizar la verificacion vector a vector, en su reemplazo

determinemos una expresion funcional que cumplan los vectores que pertenecen a 〈A〉.Sea (a, b, c, d) ∈ 〈A〉 entonces, (a, b, c, d) = k1(1, 2, 1, 1) + k2(−1, 1, 2, 2), de aquı obten-

emos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

k1 − k2 = a

2k1 + k2 = b

k1 + 2k2 = c

k1 + 2k2 = d


Resolviendo el sistema obtenemos: a + b = 3k1 de donde k1 = a+b3 . Reemplazando k1

en la ecuacion 2k1 + k2 = b obtenemos k2 = b−2a3 , finalmente, reemplazando k1 y k2

en la ecuacion k1 + 2k2 = c = d obtenemos c = a+b3 + 2 b−2a

3 = b − a. Ası, 〈A〉 ={(a, b, c, d) / b− a = c, c = d}.

Con esto podemos deducir por que v, w, x, y /∈ 〈A〉 y que los otros vectores sı pertenecenal subespacio generado por A.

Ejemplo 12.3.3. Considere W ={p(x) = a + bx + cx2 + dx3 / c = a− d, b = 0

}/ R3[x].

Determine un conjunto generador de W .

Solucion. Si p(x) ∈ W entonces W ={p(x) = a + bx + cx2 + dx3 / c = a− d, b = 0

}.

Si imponemos las condiciones de pertenencia a W entonces el polinomio queda p(x) =a+(a−d)x2+dx3, si reordenamos, agrupando por coeficientes obtenemos p(x) = a(1+x2)+d(−x2 + x3), a, d ∈ R entonces, esto ultimo dice que los elementos de W son combinacionlineal los polinomios 1 + x2 y −x2 + x3, lo cual, es precisamente la definicion de conjuntogenerador, ası, un generador de W es

{1 + x2,−x2 + x3

}.

12.4. CONJUNTOS LINEALMENTE DEPENDIENTES Y CONJUN-TOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Considere los vectores v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 3, 4), v3 = (4, 7, 10), es inmediato notarque v3 = 2v1 + v2, dicho de otra forma, v3 depende de v1 y de v2, por otro lado podemosescribir 2v1 + v2 − v3 = 0; sin embargo, esta no es la unica combinacion lineal de losvectores v1, v2, v3 que producen al vector nulo, ya que tambien 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0; estonos indica la siguiente definicion.

Definicion 12.4.1. Sea VK un espacio vectorial sobre el cuerpo K y A = {v1, v2, . . . , vn} ⊆V .

a) El conjunto A es un conjunto linealmente dependiente si y solo si existe algun escalarki 6= 0, i = 1, 2, . . . , n tal que

∑ni=1 kivi = 0.

b) El conjunto A es un conjunto linealmente independiente si y solo si∑n

i=1 kivi = 0implica que todos los escalares ki son nulos y unicos.

Observacion 12.4.1.

a) Un conjunto es linealmente independiente (L.I) si la unica combinacion lineal queforma al vector nulo es la combinacion lineal trivial (solo con escalares nulos) o,equivalentemente, si el sistema lineal homogeneo

∑ni=1 kivi = 0 es un sistema com-

patible determinado.

b) Un conjunto es linealmente dependiente (L.D) si existe alguna combinacion lineal notrivial que forma al vector nulo o, equivalentemente, si el sistema lineal homogeneo∑n

i=1 kivi = 0 es un sistema compatible indeterminado.


Ejemplo 12.4.1. Determine la dependencia o independencia lineal de los siguientes sub-conjuntos.

a) {(6, 1, 1), (−2, 0, 0), (4, 1, 1)} ⊆ R3R.

b) {(1, 2,−1), (1, 0, 2), (2, 4,−2)} ⊆ R3R.

Solucion.

a) Considere la combinacion lineal a(6, 1, 1)+ b(−2, 0, 0)+ c(4, 1, 1) = (0, 0, 0), entoncesse produce el siguiente sistema lineal

6a− 2b + 4c = 0a + c = 0a + c = 0

Si el sistema tiene solucion unica, la trivial, entonces el conjunto es linealmenteindependiente, en caso contrario, el conjunto es linealmente dependiente. Usandomatrices tenemos

C = (A|B) =

6 −2 41 0 11 0 1

∣∣∣∣∣∣

000

f12∼

1 0 16 −2 41 0 1

∣∣∣∣∣∣

000

f21(−6)∼

f31(−1)

1 0 10 −2 −20 0 0

∣∣∣∣∣∣

000

f2(− 12)∼

1 0 10 1 10 0 0

∣∣∣∣∣∣

000

.

El conjunto es linealmente dependiente ya que el sistema tiene infinitas solucionesademas de la trivial a = b = c = 0.

Es posible “colocar” los vectores en una matriz donde, cada vector constituye unafila; se puede demostrar que las filas no nulas de la matriz escalonada equivalente ala original estan asociados a vectores linealmente independientes.

Veamos la tecnica con los mismos vectores.

6 1 1−2 0 04 1 1

f21∼

−2 0 06 1 14 1 1

f1(− 1

2)∼

1 0 06 1 14 1 1

f21(−6)∼

f31(−4)

1 0 00 1 10 1 1

f23(−1)∼

1 0 00 1 10 0 0

Podemos concluir que los 3 vectores originales forman un conjunto linealmente de-pendiente ya que la matriz escalonada solo tiene dos filas no nulas, sin embargo, nosentrega mas informacion; los dos primeros vectores forman un conjunto linealmenteindependiente, es decir {(−2, 0, 0), (6, 1, 1)} es un conjunto linealmente independi-ente.

b) Si los vectores del conjunto {(1, 2,−1), (1, 0, 2), (2, 4,−2)} ⊆ R3R los colocamos en

una matriz, obtenemos

1 2 −11 0 22 4 −2

f21(−1)∼

f31(−2)

1 2 −10 −2 30 0 0


Es inmediato acepta que los tres vectores forman un conjunto linealmente dependi-ente, en tanto que, los dos primeros vectores son vectores linealmente independientes.

Ejemplo 12.4.2. Si {u, v, w} ⊆ VK es L.I. demuestre que {u + v, u− v, u− 2v + w} esL.I.

Solucion.Consideremos la combinacion lineal k1(u+v)+k2(u−v)+k3(u−2v+w) = 0, debemos

demostrar que k1 = k2 = k3 = 0, unicos.k1(u+v)+k2(u−v)+k3(u−2v+w) = 0 ⇒ (k1+k2+k3)u+(k1−k2−2k3)v+k3w = 0,

de donde se deduce el sistema

k1 + k2 + k3 = 0k1 − k2 − 2k3 = 0k3 = 0

resolviendo el sistema encontramos la solucion unica k1 = k2 = k3 = 0, ası,{u + v, u− v, u− 2v + w} es L.I.

Ejemplo 12.4.3. Demuestre que toda combinacion lineal de vectores L.I. es unica.

Solucion.Sea A = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ VK y v =

∑ni=1 kivi, debemos demostrar que v es unico.

Supongamos que v =∑n

i=1 pivi, entonces∑n

i=1 kivi =∑n

i=1 pivi, ası,∑n

i=1(pi−ki)vi =0 y, como A es un conjunto L.I. entonces pi−ki = 0, ∀ i = 1, 2, . . . , n, luego la combinaciones unica.

Ejemplo 12.4.4. Sea VK un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ V , entonces

a) S es L.D. ⇔ algun vector de S es combinacion lineal de los restantes vectores.

b) Si algun vector de S es el vector nulo entonces S es L.D.

c) Si S es L.I. y S1 ⊆ S entonces S1 es L.I.

d) Si S1 ⊆ S y S1 es L.D. entonces S es L.D.

Solucion.

a) ⇒) Si S = {v1, v2, . . . , vn} es L.D. entonces algun escalar es distinto de cero en laecuacion

∑ni=1 kivi = 0. Supongamos que kp 6= 0 para algun p = 1, 2, . . . , n, entonces

podemos despejar vp y obtenemos

vp = −k1

kpv1 − · · · − kp−1

kpvp−1 − kp+1

kpvp+1 − · · · − kn

kpvn.

⇐) Supongamos que el vector vp es combinacion lineal de los restantes vectores deS entonces vp = a1v1 + a2v2 + · · ·+ ap−1vp−1 + ap+1vp+1 + · · ·+ anvn, de esto ultimoobtenemos

a1v1 + a2v2 + · · ·+ ap−1vp−1 + (−1)vp + ap+1vp+1 + · · ·+ anvn = 0,

por lo tanto el conjunto S = {v1, v2, . . . , vn} es L.D. ya que ap = −1 6= 0.


b) Supongamos que vp = 0 ⇒ 0v1 +0v2 + · · ·+0vp−1 +3vp +0vp+1 + · · ·+0vn = 0, ası,S = {v1, v2, . . . , vn} es L.D.

c) Sea S1 = {v1, v2, . . . , vp} ⊆ S y consideremos la combinacion lineal a1v1+· · ·+apvp =0, debemos demostrar que la ecuacion tiene solucion unica a1 = · · · = ap = 0. Siagregamos n − p ceros tenemos a1v1 + · · · + apvp + 0vp+1 + · · · + 0vn = 0; comoesta ultima combinacion lineal es de vectores linealmente independientes entoncesa1 = · · · = ap = 0, unicos, de donde S1 es un conjunto linealmente independiente.

d) Sea S1 = {v1, v2, . . . , vp} ⊆ S. Si S1 es linealmente dependiente entonces, en lacombinacion lineal a1v1 + a2v2 + · · · + apvp = 0 existe algun escalar no nulo. Siagregamos “ceros” a la combinacion precedente entonces a1v1 + a2v2 + · · ·+ apvp +0vp+1 + · · ·+0vn = 0 y se mantiene la existencia de un escalar no nulo, ası entonces,S es linealmente dependiente.

12.5. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definicion 12.5.1. Sea VKun espacio vectorial. Decimos que el conjunto B = {v1, v2, . . . , vn}es una base de V si y solo si

a) 〈B〉 = V .

b) B es un conjunto linealmente independiente.

Ejemplo 12.5.1. Verifique que

1) E = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} es base de R2R (base canonica).

2) B = {v1 = (1, 5), v2 = (0, 3)} es base de R2R.

Solucion.

1) Debemos demostrar que: a) 〈E〉 = R2, b) E es linealmente independiente.

a) Sea v = (x, y) ∈ R2; es inmediato concluir que v = (x, y) = xE1 + yE2, ası,〈E〉 = R2.

b) Para probar que E es linealmente independiente basta con usar la expresionmatricial ( 1 0

0 1 ), lo que indica, inmediatamente, que E es linealmente indepen-diente.

Por a) y b) concluimos que E es una base de R2.

2) Debemos demostrar que a) 〈B〉 = R2, b) B es linealmente independiente.

a) Sea v = (x, y) ∈ R2, queremos determinar k1, k2 ∈ R tal que (x, y) = k1(1, 5) +k2(0, 3). El sistema lineal que se produce es

{k1 = x

5k1 + 3k2 = y

Es comodo concluir que k1 = x, k2 = y−5x3 ; ası, (x, y) = x(1, 5) + y−5x

3 (0, 3).


b) Como ( 1 50 3 ) esta escalonado entonces B = {v1 = (1, 5), v2 = (0, 3)} es lineal-

mente independiente.

Ejemplo 12.5.2. Sea VK un espacio vectorial. Si A = {a, b, c} ⊆ VK es base de Vdemuestre que N = {a + b + c, a, a + c} tambien es base de V .

Solucion. Consideremos la combinacion lineal A(a+ b+ c)+Ba+C(a+ c) = 0, debemosdemostrar que la solucion unica es A = B = C = 0.

Dicha combinacion lineal podemos escribirla como a(A + B + C) + bA + c(A + C) = 0y dado que el conjunto {a, b, c} es linealmente independiente, deducimos el sistema

A + B + C = 0A = 0A + C = 0

este sistema tiene solucion unica A = B = C = 0 por lo tanto, N es un conjunto lineal-mente independiente.

Veamos ahora que 〈N〉 = V . Basta con demostrar que: si v ∈ V entonces v ∈ N .Si v ∈ V entonces existen escalares k1, k2, k3 ∈ K tal que v = k1a + k2b + k3c; como

queremos mostrar que existen escalares p1, p2, p3 ∈ K tal que v = p1(a + b) + p2a + p3(a +c)entonces procedemos como sigue.

Sean a + b = w1, a = w2, a + c = w3 entonces concluimos que a = w2, b = w1 −w2, c =w3 − w2, reemplazando en v = k1a + k2b + k3c obtenemos v = k1w2 + k2(w1 − w2) +k3(w3 − w2), esto ultimo lo podemos reagrupar en terminos de los w, la expresion quedav = w1(k2−k3)+w2(k1−k2)+w3k3; es decir, v = (k2−k3)(a+b)+(k1−k2)a+k3(a+c) =p1(a + b) + p2a + p3(a + c).

Con algo mas de teorıa este problema se soluciona con mas eficiencia.

Proposicion 12.5.1. B = {v1, v2, . . . , vn} es base de VK ⇔ todo vector de V se escribede manera unica como combinacion de los elementos de B.

Demostracion.

⇒) Como B es base de V , en particular genera a V , entonces; “todo vector de V seescribe como combinacion de los elementos de V ”.

Debemos demostrar, ahora, la unicidad de esta expresion.

Sea v ∈ V y escribamos v como v =∑n

i=1 aivi tanto como v =∑n

i=1 kivi; debemosdemostrar que ai = ki.

Si restamos los vectores obtenemos∑n

i=1(ai − ki)vi = 0, de donde, como B es unconjunto linealmente independiente, concluimos que ai = ki.

⇐) Como “todo vector de V se escribe como combinacion lineal de los vectores de B”entonces 〈B〉 = V . Veamos ahora que B es un conjunto linealmente independiente.

Consideremos la combinacion lineal∑n

i=1 aivi = 0; como el vector nulo tambien sepuede escribir como

∑ni=1 0vi = 0 entonces, por la unicidad de la expresion obten-

emos ai = 0.


Proposicion 12.5.2. Sea V un espacio vectorial sobre K y {v1, v2, . . . , vn} un conjuntomaximo de elementos linealmente independientes, entonces {v1, v2, . . . , vn} es base de V .

Demostracion. Debemos demostrar que 〈{v1, v2, . . . , vn}〉 = V .Sea w ∈ V entonces {w, v1, v2, . . . , vn} es un conjunto linealmente dependiente, en-

tonces en la combinacion lineal x0w + x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn = 0 existe algun escalarxi 6= 0, i = 0, 1, 2, . . . , n.

Necesariamente x0 6= 0 ya que si ası no es, es decir si x0 = 0 entonces la combinacionlineal queda x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn = 0 con algun escalar no nulo; esto ultimo esuna contradiccion ya que {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente. Entonces podemosdespejar w de la combinacion lineal x0w + x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn = 0 obteniendo

w = −x1

x0v1 − x2

x0v2 − · · · − xn

x0vn;

esto indica que w ∈ 〈{v1, v2, . . . , vn}〉, lo que completa la demostracion.

Ejemplo 12.5.3. Sea VK un espacio vectorial. Si A = {a, b, c} ⊆ VK es base de Vdemuestre que N = {a + b + c, a, a + c} tambien es base de V .

Solucion. Consideremos la combinacion lineal A(a+ b+ c)+Ba+C(a+ c) = 0, debemosdemostrar que la solucion unica es A = B = C = 0.

Dicha combinacion lineal podemos escribirla como a(A + B + C) + bA + c(A + C) = 0y dado que el conjunto {a, b, c} es linealmente independiente, deducimos el sistema

A + B + C = 0A = 0A + C = 0

este sistema tiene solucion unica A = B = C = 0 por lo tanto, N es un conjunto lineal-mente independiente; como es un conjunto maximo de vectores linealmente independientesentonces es base.

Observe que este problema ya fue solucionado anteriormente

12.6. DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Demostraremos que dos bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cantidadde elementos y definiremos como dimension del espacio vectorial a esa cantidad comun.

Teorema 12.6.1. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Si {v1, v2, . . . , vn} es basede V y {w1, w2, . . . , wm} ⊆ V es un conjunto linealmente independiente entonces m ≤ n.

El Teorema dice: ”si V es un espacio vectorial con una base que tiene n elementosy {w1, w2, . . . , wm} ⊆ V es tal que m > n entonces {w1, w2, . . . , wm} es un conjuntolinealmente dependiente. El Teorema se demuestra usando la contrapositiva planteada.


Demostracion. Sea {v1, v2, . . . , vn} una base de V entonces

w1 = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, (12.1)

ya que {v1, v2, . . . , vn} es base de V .Si ai = 0 ∀ i = 1, 2, . . . , n entonces w1 = 0 y {w1, w2, . . . , wm} ⊆ V es L.D.Si algun a1 6= 0, suponiendo, sin perder generalidad, que a1 6= 0 entonces de (12.1)

podemos despejar v1 obteniendo v1 = 1a1

w1− a2a1

v2− a3a1

v3−. . .− ana1

vn, ası entonces podemosconcluir que 〈{w1, v2, v3, . . . , vn}〉 contiene a v1 y, naturalmente a v2, v3, . . . , vn; deducimosque 〈{w1, v2, v3, . . . , vn}〉 = V .

Ası, existen c1, c2, . . . , cn ∈ K tal que

w2 = c1w1 + c2v2 + c3v3 + · · ·+ cnvn. (12.2)

Si ci = 0 ∀ i = 1, 2, . . . , n entonces w2 = 0 y {w1, w2, . . . , wm} ⊆ V es L.D.Si algun ci 6= 0, suponiendo que c2 6= 0, despejando v2 de la (12.2) conseguimos

v2 =1c2

w2 − c1

c2w1 − c3

c2v3 − · · · − cn

c2vn

y, de manera analoga obtenemos que 〈{w1, w2, v3, . . . , vn}〉 = V .El proceso de reemplazo de los vi por los wi nos lleva a concluir que 〈{w1, w2, . . . , wn}〉 =

V y como quedan todavıa wn+1, wn+2, . . . , wm ∈ {w1, w2, . . . , wm} ⊆ V entonces{w1, w2, . . . , wm} ⊆ V es L.D.

Corolario 12.6.1. Si VK es un espacio vectorial que tiene una base con n elementos yotra base con m elementos entonces m = n.

Demostracion. Sean A = {v1, v2, . . . , vn}, B = {w1, w2, . . . , wm} dos bases del espaciovectorial VK entonces m ≥ n, considerando a A como base y a B como un conjuntolinealmente independiente; ademas, n ≥ m, considerando a B como base y a A como unconjunto linealmente independiente; entonces m ≥ n ∧ n ≥ m, ası, m = n.

Definicion 12.6.1. Sea VK un espacio vectorial tal que V 6= {0}, entonces definimos ladimension de V , denotada dim(V ), como la cantidad de elementos que tiene una base delespacio. Si V = {0} entonces dim(V ) = 0.

Ejemplo 12.6.1.

1) dim(R2R) = 2 ya que E = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} es la base canonica de R2

R.

2) dim(M(2,R)R) = 4 ya que la base canonica para este espacio vectorial es:

E ={

e1 =(

1 00 1

), e2 =

(0 10 0

), e3 =

(0 01 0

), e4 =

(0 00 1

)}


Ejemplo 12.6.2. Sea A = 〈{(1, 0,−5), (0, 1, 1)}〉 y B = {(x, y, z) / x− 2y + z = 0} sube-spacio vectorial de R3

R. Determine una base para A ∩B.

Solucion. Sea (x, y, z) ∈ A entonces ∃ a, b ∈ R tal que (x, y, z) = a(1, 0,−5) + b(0, 1, 1),esta ecuacion genera el sistema

x = a

y = b

z = −5a + b

Reemplazando a y b en la ultima ecuacion obtenemos z = −5x + y de donde A ={(x, y, z) / 5x− y + z = 0}.

Ahora, si (x, y, z) ∈ A ∩B entonces el trıo debe satisfacer el sistema{

5x− y + z = 0x− 2y + z = 0

Dado que la solucion del sistema es Sol ={(−1

9z, 49z, z

)/ z ∈ R}

entonces, un gener-ador de A∩B es, por ejemplo, {(−1, 4, 9)} que, como es un conjunto linealmente indepen-diente nos indica que A ∩B tiene dimension 1.

12.7. EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 12.1. Decida si el subconjunto del espacio vectorial dado es o no subespacio

i) A ={(

a bc d

)/ a + b = 0

} ⊆ M(2,R).

ii) B = {(x, y, z) / z − 2y = 2} ⊆ R3R.

Solucion.

i) A / M(2,R) ya que

a) 0 =(

0 00 0

)∈ A.

b) Si

v =(

a cb d

), w =

(e gf h

)∈ A, k ∈ R

entonces

kv + w =(

ka + e kc + gkb + f kd + h

)∈ A

esto ultimo dado que (ka + e) + (kc + g) = 0. Note que (a + c) = (e + g) = 0.

ii) B no es subespacio vectorial de R3R ya que (0, 0, 0) /∈ B.

Ejercicio 12.2. Sea v /∈ 〈{q, w, z}〉. Demuestre que {v, q, w, z} ⊆ VK es linealmenteindependiente si {q, w, z} es un conjunto linealmente independiente.


Solucion.Considere av + bq + cw + dz = 0; a, b, c, d ∈ K. Debemos demostrar que la ecuacion

tiene solucion unica a = b = c = d = 0.Se cumple que a = 0, ya que si no es ası, es decir, si a 6= 0 entonces podrıamos despejar

el vector v; tendrıamos v = − baq − c

aw − daz; esto nos indicarıa que v ∈ 〈{q, w, z}〉 lo que

es una contradiccion con la hipotesis; ası entonces a = 0.Como a = 0 entonces la combinacion original queda bq+cw+dz = 0, como el conjunto

{q, w, z} es linealmente independiente, entonces la unica solucion de la ecuacion es b =c = d = 0, de donde, finalmente la unica solucion es a = b = c = d = 0.

Ejercicio 12.3. Demuestre que A = {(2, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 0, 3)} ⊆ R3R es base.

Solucion. Se demuestra que(

2 1 00 1 21 0 3

)es equivalente fila con

(1 0 30 1 −60 0 8

), de donde, el conjunto

A = {(2, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 0, 3)} es linealmente independiente. Como ademas es un conjuntomaximal L.I. entonces es base de R3

R.

Ejercicio 12.4. Sea

A =

2a a a0 c 00 0 c

/ a, c ∈ R

/ M(3,R).

Determine la dimension de A.

Solucion.

v =

2a a a0 c 00 0 c

∈ A ⇔

2a a a0 0 00 0 0

+

0 0 00 c 00 0 c

∈ A ⇔ a

2 1 10 0 00 0 0

+c

0 0 00 1 00 0 1

∈ A,

de donde concluimos que

A =

⟨

2 1 10 0 00 0 0

,

0 0 00 1 00 0 1

⟩.

Solo falta ver si el conjunto generador es o no linealmente independiente.Considere la ecuacion

a

2 1 10 0 00 0 0

+ b

0 0 00 1 00 0 1

=

0 0 00 0 00 0 0

,

se deduce que la unica solucion de la ecuacion planteada es a = b = 0, por tanto el conjuntoes linealmente independiente. Como el conjunto es una base de A entonces dim(A) = 2.

Ejercicio 12.5. Sean A = {(1, 2, 0), (0, 2, 1)}, B = {(2, 2,−1), (1, 6, 2)} ⊆ R3R.


a) Encuentre una “expresion funcional” para los elementos de 〈A〉.b) Demuestre que 〈A〉 = 〈B〉.

Solucion.

a) Sea (x, y, z) ∈ 〈A〉, entonces existen escalares a, b tal que (x, y, z) = a(1, 2, 0) +b(0, 2, 1), de esto deducimos el sistema

x = a

y = 2a + 2b

z = b

La segunda ecuacion del sistema, al expresarla en funcion de x, y, z queda y = 2x+2zde donde, 〈A〉 = {(x, y, z) / y = 2x + 2z; x, z ∈ R}.

b) De manera analoga al caso a) tenemos: si (p, q, r) ∈ 〈B〉, entonces existen escalaresa, b tales que (p, q, r) = a(2, 2,−1) + b(1, 6, 2). El sistema es ahora

p = 2a + b

q = 2a + 6b

r = −a + 2b

combinando las dos primeras ecuaciones del sistema obtenemos 5b = q − p, luego,b = q−p

5 ; si esta expresion la reemplazamos en la tercera ecuacion, (despejandoallı la “variable a”) tenemos, a = 2b − r = 2q−2p

5 − r = 2q−2p−5r5 ; estamos ahora en

condicion de encontrar una relacion entre p, q, r; para ello basta con reemplazar a, ben la ecuacion q = 2a + 6b.

La relacion que se obtiene es q = 2p+2r; ası, 〈B〉 = {(p, q, r) / q = 2p + 2r; p, r ∈ R}.Se concluye que 〈A〉 = 〈B〉.

Ejercicio 12.6. Sea W ={p(x) = ax2 + bx + c / 2a + c = b

} ⊆ R2(x).

a) Demuestre que W es subespacio de R2(x).

b) Determine dim(W ).

c) Extienda la base de W a una base de R2(x).

Solucion.

a) i) 0 = 0x2 + 0x + 0 ∈ W ya que 2 · 0 + 0 = 0, ası, 0 ∈ W .

ii) Si p(x) = ax2 + bx + c, q(x) = dx2 + ex + f ∈ W entonces p(x) + q(x) ∈W ya que p(x) + q(x) = (a + d)x2 + (b + e)x + (c + f) satisface la relacion2(a + d) + (c + f) = (b + e).

iii) Si p(x) = ax2 + bx + c ∈ W, k ∈ K entonces k · p(x) = kax2 + kbx + kc ∈ W yaque 2ka + kc = kb.

Por i), ii), iii) W es subespacio vectorial de R2(x).


b) Si p(x) = ax2+bx+c ∈ W entonces p(x) = ax2+(2a+c)x+c = a(x2+2x)+b(x+1)ası, 〈{x2 + 2x, x + 1

}〉 = W . Como{x2 + 2x, x + 1

}es linealmente independiente,

entonces{x2 + 2x, x + 1

}es base de W y dim(W ) = 2.

c) Como la dimension de R2(x) es 3 entonces debemos agregar un vector a la base deW tal que los tres vectores sean linealmente independientes, tal vector, por ejemploes el 1, ası,

{x2 + 2x, x + 1, 1

}es base de R2(x).

Ejercicio 12.7. Sea A = 〈{(1, 0,−5), (0, 1, 1)}〉 y B = {(x, y, z) / x− 2y + z = 0} sube-spacio vectorial de R3


Solucion. Sea (x, y, z) ∈ A entonces ∃ a, b ∈ R tal que (x, y, z) = a(1, 0,−5) + b(0, 1, 1),esta ecuacion genera el sistema

x = a

y = b

z = −5a + b

Reemplazando a y b en la ultima ecuacion obtenemos z = −5x + y de donde A ={(x, y, z) / 5x− y + z = 0}.

Ahora, si (x, y, z) ∈ A ∩B entonces el trıo debe satisfacer el sistema{

5x− y + z = 0x− 2y + z = 0

Dado que la solucion del sistema es Sol ={(−1

9z, 49z, z

)/ z ∈ R}

entonces, un generadorde A∩B es, por ejemplo, {(−1, 4, 9)} que, como es un conjunto linealmente independientenos indica que A ∩B tiene dimension 1.

12.8. EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 12.1. Considere el conjunto formado por los polinomios en la indeterminadax, con grado a lo mas dos, definidos en el conjunto de los numeros reales, R2(x), con lasuma y ponderacion usuales. Demuestre que (R2(x), +, · ,R) es un espacio vectorial.

Ejercicio 12.2. Sean U y W espacios vectoriales sobre R; si definimos V = U ×W y lasoperaciones (u,w) + (u′, w′) = (u + u′, w + w′); k(u,w) = (ku, kw), k ∈ R. Demuestre queV es espacio vectorial sobre R.

Ejercicio 12.3. Sea R2 y considere las siguientes operaciones: (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d);k(a, b) = (k2a, kb), k ∈ R. ¿Es R2 sobre R un espacio vectorial. Justifique.

Ejercicio 12.4. Sea V = {(a, b) / a, b ∈ R}. Demuestre que (V,+, · ,R) es un espaciovectorial donde (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); k(a, b) = (ak, bk), k ∈ R.


Ejercicio 12.5. Sea R2 y considere las siguientes operaciones: (a, b)+(c, d) = (a+d, b+c);k(a, b) = (ka, kb), k ∈ R. ¿Es R2 sobre R un espacio vectorial. Justifique.

Ejercicio 12.6. Sea R2 y considere las siguientes operaciones: (a, b) + (c, d) = (0, 0);k(a, b) = (ka, kb), k ∈ R. ¿Es R2 sobre R un espacio vectorial. Justifique.

Ejercicio 12.7. Definimos los siguientes subconjuntos de R3.

a) U = {(a, b, c) / a + b + c ≤ 1}.b) W =

{(x, y, z) / z = 0 ∧ x2 + y2 ≤ 0

}.

c) P = {(x, y, z) / x + 2y = 0 ∧ y + z = 8}.¿Es U,W,P subespacio vectorial de R3

R?. Justifique.

Ejercicio 12.8. Si S1 / VK y S2 / VK demuestre que S1 ∩ S2 / VK .

Ejercicio 12.9. Determine si los siguientes subconjuntos de R3R son subespacios.

a) A = {(x, y, z) / x = 0}.b) B = {(x, y, z) / z − 2y = 0}.c) C = {(x, y, z) / z − 2y = 2}.d) D =

{(a, b, c) / a2 + b2 + c2 = 0

}.

Ejercicio 12.10. Sea V = M(2,R) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden2 sobre R. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial de V ?. Justifique.

a) A ={(

0 ab 0

)/ a, b ∈ R}

.

b) B ={(

1 ab 0

)/ a, b ∈ R}

.

c) C = {A ∈ V / det(A) = 0}.d) D =

{(a bc d

)/ a + b = 0

}.

Ejercicio 12.11. Sea V = M(n,R) el espacio vectorial de las matrices cuadradas deorden n sobre R. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial de V ?.Justifique.

a) A ={A ∈ V / A = 3At

}.

b) A = {A ∈ V / AC = CA, C ∈ V }.


c) C = {A ∈ V /A es simetrica}.

Ejercicio 12.12. Sea V = M(2, 3,R) el espacio vectorial de las matrices cuadradas deorden 2 por 3 sobre R. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial deV ?. Justifique.

a) A ={(

0 0 cd e f

)/ c = d + f

}.

b) B ={(

a b cd 0 0

)/ d > 0

}.

Ejercicio 12.13. Determine cual(es) de los siguientes conjuntos dados es o no un conjuntolinealmente independiente.

a) A = {(1, 1, 0, 1), (1,−1, 1, 1), (2, 2, 1, 2), (0, 1, 0, 0)} ⊆ R4R.

b) B = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} ⊆ R4R.

c) C ={t3 − 4t2 + 2t + 3, t3 + 2t2 − 4t + 1, 2t3 − t2 + 3t− 5

} ⊆ R3(t).

Ejercicio 12.14. Sea A = {f(t), g(t), h(t)} ⊆ V donde V es el espacio vectorial R2(t)sobre R, tal que f(t) = 2t2 +3t+1, g(t) = −t2 +at+2, h(t) = 2t2 +3t+a− 5. Determinea ∈ R para que A sea un conjunto linealmente independiente.

Ejercicio 12.15. Sea A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} ⊆ R3R. Demuestre que A es

un conjunto linealmente dependiente y que cualquier subconjunto de A con tres elementoses un conjunto linealmente independiente.

Ejercicio 12.16. Considere el espacio vectorial VK y S ⊆ V un conjunto linealmenteindependiente. Si v /∈ 〈S〉 demuestre que S∪{v} es un conjunto linealmente independiente.

Ejercicio 12.17. Demuestre que el conjunto A = {(1, 0,−1), (1, 2, 1), (0,−3, 2)} formauna base para R3

R y exprese cada vector de la base canonica como combinacion lineal delos vectores de la base A.

Ejercicio 12.18. Si A = {v1, v2, . . . , vn} es una base del espacio vectorial VK demuestreque B = {v1 + v2 + v3, v2 + v3, v3} tambien es base del espacio.

Ejercicio 12.19. Encuentre una base del conjunto solucion del sistema

S :

2x + y + 3z = 0x + 2y = 0y + z = 0

y determine su dimension.


Ejercicio 12.20. Sea W ={p(x) = ax2 + bx + c / 2a + c = b

} ⊆ R2(x).




Ejercicio 12.21. Demuestre que

A = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} y B = {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (0, 0, 2)}

son base de R3R.

Ejercicio 12.22. Sea A = {(x, y, z) / 3x− 2y − z − 4w = 0 ∧ x + y − 2z − 3w = 0} ⊆ R4.

a) Demuestre que A / R4R.

b) Determine una base de A.

c) Determine la dimension de A.

Ejercicio 12.23. Demuestre que A ={(

a 2c 2bb 2a 2cc b a

)/ a, b, c ∈ R

}es subespacio vectorial de

M(3,R) sobre R; determine ademas, la dimension de A.

Ejercicio 12.24. ¿Para que valor(es) de a ∈ R:

a) A = {(2, 3, 4), (6, 7, 8), (4, 5− a, 4)} es base de R3R?.

b) B ={( 1 1

0 1 ) , ( 1 21 ) ,( −1 −1

a+1 7

), ( 0 1

1 3 )}

es base de M(2,R)R?.

Ejercicio 12.25. Sea W ={p(x) = a + (a− b)x2 + bx3

} ⊆ R3(x).




Ejercicio 12.26. Sean U = {(x, y, z) / x + 3y − 5z = 0}, W = {(x, y, z) / x− y + 2z = 0}dos subconjuntos de R3.

a) Demuestre que U,W / R3R.

b) Encuentre una base para cada subespacio.

c) Encuentre una base para U ∩W .


d) Extienda la base encontrada en c) a una base de R3R.

Ejercicio 12.27. Sea A = {(1, 2, 1, 1), (−1, 1, 2, 2)} ⊆ R4R.

a) ¿v1 = (3, 2, 4, 5), v2 = (1, 3, 2, 2), v3 = (3,−3, 6, 6) ∈ 〈A〉?. Justifique.

b) Encuentre una expresion funcional para los vectores que pertenecen al espacio gen-erado por el conjunto A.

Ejercicio 12.28. Sea A = 〈{(1, 0,−1), (0, 1, 2)}〉 y B = {(x, y, z) / 5x− y + z = 0} sube-spacio vectorial de R3


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